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matematica basica

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matematica

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Page 1: matematica basica

© 2010 Universidad Privada del Norte.

Laureate International Universities

Av. Del Ejército 920 – Urb. El Molino

(+51)44-220062

www.upnorte.edu.pe

© 2010 Santos Andrés Castillo Vargas / Percy Enrique Angulo Vilca / Sonia Mábel Huertas López /

Augusto Isaac Morán Carril / Willy Antonio Olaya Vásquez / Juan Carlos Ponte Bejarano / Wilmer

Pedro Chávez Sánchez / Zulema Santillán Orbegozo / Marciano Daniel Arteaga Blas / Karol Aide

Malasquez Sagástegui / Francisco Javier Rodas Díaz.

Corrección:

ISBN:

Depósito Legal:

Impreso en:

Trujillo, diciembre del 2010

Page 2: matematica basica

Matemática Básica CeroSantos Andrés Castillo Vargas / Percy Enrique Angulo Vilca /

Sonia Mábel Huertas López / Augusto Isaac Morán Carril / Willy

Antonio Olaya Vásquez / Juan Carlos Ponte Bejarano / Wilmer

Pedro Chávez Sánchez / Zulema Santillán Orbegozo / Marciano

Daniel Arteaga Blas / Karol Aide Malasquez Sagástegui / Francisco

Javier Rodas Díaz.

Page 3: matematica basica

A Dios, por ser nuestro creador, amparo y fortaleza cuando más lo necesitamos, y por hacer palpable su amor a través de cada uno de los que nos rodea.

A nuestros padres, amigos, parejas y alumnos que, sin esperar nada a cambio, han sido pilares en nuestro camino. Ellos forman parte de este logro que nos abre puertas inimaginables en nuestro desarrollo profesional.

Page 4: matematica basica

PRESENTACIÓN

LÓGICA PROPOSICIONAL

Proposición

2

Caso de estudio: Un hecho policial

2

Introducción a la Lógica

3

Enunciados y proposiciones

3

Tipos de proposiciones

5

Conectores lógicos

6

Tablas de verdad

7

Traducciones verbales de los conectores lógicos

8

Ejercicios resueltos

10

Ejercicios propuestos

12

Respuestas

15

Equivalencias e inferencias lógicas

16

Equivalencias lógicas

16

Inferencias lógicas

17

C O N T E N I D O

1C A P Í T U L O

1.1.

1.1.1.

1.1.2.

1.1.3.

1.1.4.

1.1.5.

1.1.6.

1.1.7.

1.1.8.

1.1.9.

1.1.10.

1.2.

1.2.1.

1.2.2.

1.2.3.

1.2.4.

1.2.5.

1.3.

1.3.1.

1.3.2.

1.3.3.

1.3.4.

Page 5: matematica basica

Ejercicios resueltos

18

Ejercicios propuestos

20

Respuestas

22

Circuitos lógicos

23

Circuitos Lógicos

23

Ejercicios resueltos

23

Ejercicios propuestos

24

Respuestas

27

ARITMÉTICA

Números reales

28

Caso de estudio: la importancia de los números

28

La leyenda del ajedrez

30

Conjunto de los números naturales

32

Conjunto de los números enteros

32

Conjunto de los números racionales

33

Conjunto de los números irracionales

33

2C A P Í T U L O

2.1.

2.1.1.

2.1.2.

2.1.5.

2.1.6.

2.1.7.

2.1.8.

2.1.9.

2.1.10.

2.1.11.

2.1.12.

2.1.13.

2.1.3.

2.1.4.

Page 6: matematica basica

Conjunto de los números reales

33

Potenciación

35

Radicación

37

Número decimal

38

Ejercicios resueltos

41

Ejercicios propuestos

46

Respuestas

53

Teoría de Conjuntos

55

Caso de estudio 1: Las drogas y la Teoría de

Conjuntos 55

Caso de estudio 2: Jóvenes emigrantes

57

Introducción a la Teoría de Conjuntos

58

Idea de conjunto

59

Relación de pertenencia

59

Relación de inclusión

60

Igualdad de conjuntos

60

Determinación de conjuntos

60

Cardinal de un conjunto

61

2.2.

2.2.1.

2.2.2.

2.2.3.

2.2.4.

2.2.5.

2.2.6.

2.2.7.

2.2.8.

2.2.9.

2.2.10.2.2.11.

2.2.13.

2.2.12.

2.2.14.

Page 7: matematica basica

Clases de conjuntos

61

Operaciones con conjuntos

63

Ejercicios resueltos

64

Ejercicios propuestos

67

Respuestas

74

Técnicas de conteo

75

Caso de estudio 1: Elaboración de placas para

autos 75

Caso de estudio 2: Turismo en el Perú

76

Factorial de un número natural

77

Principios fundamentales de conteo

78

Permutación

80

Variación 82

Combinación

83

Cuadro resumen

85

Ejercicios resueltos

86

Ejercicios propuestos

88

Respuestas

92

2.3.

2.3.1.

2.3.2.

2.3.3.

2.3.4.

2.3.5.

2.3.6.

2.3.7.

2.3.8.

2.3.9.

2.3.10.2.3.11.

Page 8: matematica basica

Proporcionalidad

93

Caso de estudio: Pago de impuestos

93

Razón

95

Proporción

96

Magnitud y cantidad 98

Relaciones entre magnitudes

98

Propiedades de las magnitudes

99

Regla de Tres Simple

100

Regla de Tres Compuesta

100

Ejercicios resueltos

101

Ejercicios propuestos

103

Respuestas

106

Porcentajes

107

Caso de estudio 1: Promedio final

107

Regla del Tanto por Ciento

108

Porcentaje de Porcentaje

108

Tanto por ciento de una cantidad

108

2.5.

2.5.1.

2.5.2.

2.5.3.

2.5.4.

2.5.5.

2.4.

2.4.1.

2.4.2.

2.4.3.

2.4.4.

2.4.5.

2.4.6.

2.4.7.

2.4.8.

2.4.9

2.4.9.

2.4.11.

2.4.10.

Page 9: matematica basica

Operaciones con porcentaje

109

Relación de parte – todo

109

Descuentos y aumentos sucesivos

109

Venta de artículos

110

Ejercicios resueltos

111

Ejercicios propuestos

114

Respuestas

117

Interés 118

Orígenes del interés 118

Caso de estudio 2: Compensación por Tiempo de

Servicios – CTS 118

Interés

121

Ejercicios resueltos 125

Ejercicios propuestos 129

Respuestas 133

ÁLGEBRA

Expresiones algebraicas 134

Caso de estudio: El efecto ecológico del

calentamiento de la tierra

134

Definición de las expresiones algebraicas 136

Clasificación de las expresiones algebraicas 137

Término algebraico 138

Grado de una expresión algebraica 138

3C A P Í T U L O

3.2.

3.1.

2.1.4

3.1.11.

3.1.1.

2.1.3

2.1.5.

3.1.6.

2.1.7

2.1.8

3.1.9

3.1.2.

3.1.3.

3.1.4.

3.1.6.

3.1.7.

3.1.8.

3.1.9.

3.1.10.

2.5.9.

2.5.11.

2.5.7.

2.5.8.

2.5.6.

2.5.10.

2.6.

2.6.1.

2.6.2.

2.6.3.

2.6.4.

2.6.5.

2.6.6.

Page 10: matematica basica

Semejanza de monomios 139

Operaciones con expresiones algebraicas 140

Teorema del Resto 147

Ejercicios resueltos 148

Ejercicios propuestos 152

Respuestas 155

Productos notables 157

Caso de estudio: Poda de un terreno 157

Productos notables más importantes 158

Ejercicios resueltos 159

Ejercicios propuestos 162

Respuestas 165

Cocientes notables 166

Caso de estudio: Cálculos aritméticos sin usar

calculadora 166

Cocientes notables 166

Expresión general de un cociente notable 167

Criterio del término general 168

Ejercicios resueltos 169

Ejercicios propuestos 171

Respuestas 174Factorización 175

Caso de estudio: Costo de producción 175

Definición de factorización 175

Métodos de factorización 176

Ejercicios resueltos 182

Ejercicios propuestos 184

Respuestas 187

Simplificación de expresiones algebraicas

189

Caso de estudio: Clave de la cerradura 189

Definición de fracciones algebraicas 189

3.2.1.

3.2.2.

3.2.3.

3.2.4.

3.2.5.

3.5.9.

3.5.10.

3.5.11.

3.4.3.

3.4.5.

3.4.7.

3.5.

3.5.1.

3.5.2.

3.5.3.

3.5.5.

3.5.4.

3.5.6.3.5.7.

3.5.8.

3.4.6.

3.3.7.

3.3.

3.3.1.

3.3.2.

3.3.3.

3.3.5.

3.3.4.

3.3.6.

3.4.

3.5.

3.5.9.

3.5.10.

3.5.11.

3.5.1.

3.5.2.

3.5.3.

3.5.5.

3.5.4.

3.5.6.

3.5.7.

3.5.8.

3.4.1.

3.4.2.

3.4.3.

3.4.5.

3.4.7.

3.4.6.

Page 11: matematica basica

Conjunto de valores admisibles 189

Observaciones relativas al signo de las fracciones

190

Fracciones equivalentes 190

Principio de Transformación de Fracciones 190

Regla de Simplificación 190

Álgebra de las fracciones algebraicas 191

Ejercicios resueltos 193

Ejercicios propuestos 195

Respuestas 198

Ecuaciones 199

Historia de las ecuaciones 199

Caso de estudio 1 : Grabación en calidad variable

200

Caso de estudio 2: El mono y los cocos 201

Ecuaciones 202

Ecuaciones lineales o de primer grado con una

incógnita 203

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado con una incógnita

204Ecuaciones polinómicas o de grado superior con

una incógnita

206

Ejercicios resueltos 208

Ejercicios propuestos 215

Respuestas 218

GEOMETRÍA

Geometría Plana 219

Caso de estudio: La circunferencia de la tierra 219

Ángulo 220

Polígonos 223

4C A P Í T U L O4.1.

4.1.1.

4.1.2.

4.1.3.

4.1.4.

4.1.5.

4.1.6.

4.1.7.

4.1.8.

3.6.

3.6.1.

3.6.2.

3.6.3.

3.6.4.

3.6.5.

3.6.6.

3.6.7.

3.6.8.

3.6.9.

3.6.10.

Page 12: matematica basica

Área de los polígonos regulares 227

La circunferencia 227

Ejercicios resueltos 228

Ejercicios propuestos 232

Respuestas 241

Geometría del Espacio 242

Caso de estudio: Nueva presentación de envases tetra pak

242Algunas definiciones importantes 243

Áreas y volumenes de los principales sólidos 244

Ejercicios resueltos 247

Ejercicios propuestos 251

Respuestas 256

Bibliografía 257

AGRADECIMIENTO

Queremos expresar nuestro aprecio a cada uno de los siguientes revisores, cuyas sugerencias han ayudado a mejorar esta obra.

Lic. Wilmer Pedro Chávez Sánchez

4.2.

4.2.1.

4.2.2.

4.2.3.

4.2.4.

4.2.5.

4.2.6.

Page 13: matematica basica

Universidad Privada Del NorteLaureate International Universities

Lic. Hugo Vergara Lau

Universidad Privada Del NorteLaureate International Universities

Lic. Luis Eduardo García López

Universidad Privada Del NorteLaureate International Universities

Lic. Rocío Del Pilar Rojas Jara

Lic. Hosny Lily Mendoza Alfaro

Queremos también expresar nuestro agradecimiento al diseñador de la portada:

Alfieri Díaz Arias

Universidad Privada Del NorteLaureate International Universities

Joseph Sanchez Horna

PRESENTACIÓN

Page 14: matematica basica

Este libro ha sido preparado con la intención de enriquecer el material docente correspondiente a la asignatura de Matemática Básica Cero. Este curso es dictado a los ingresantes con la finalidad de completar los conocimientos matemáticos adquiridos en la educación secundaria.

El presente trabajo texto está dividido con fines pedagógicos en 4 capítulos: Lógica proposicional, Aritmética, Álgebra y Geometría, con los cuales se espera que el estudiante esté en condiciones de realizar con éxito sus estudios en las diferentes carreras profesionales que ofrece la Universidad Privada del Norte.

Cada capítulo empieza con un caso de estudio que permite desarrollar el contenido teórico. Para una mayor comprensión de estos contenidos, el libro consta de una serie de ejercicios desarrollados con detalle. Los autores han queridos insistir en aquellos puntos en los que su experiencia como docentes les indica que se presentan mayores dificultades para el aprendizaje.

El objetivo es que el texto sea útil para el estudio autónomo de los estudiantes de Matemática Básica Cero y sirva como una guía práctica dentro del proyecto de aprendizaje diseñado para el curso y el trabajo diario en las aulas.

Los autores

Page 15: matematica basica

9

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) Al menos unos de los tres sospechosos participó en el asalto.b) Juan participa en fechorías siempre en compañía de Pedro.c) Ángel no sabe manejar.

¿Cuál de los tres sospechosos participó en el asalto?

Solución

A continuación simbolizamos las siguientes proposiciones:

p= Pedro participó en el robo.q= Ángel participó en el robo.r= Juan participó en el robo.

La formalización de las tres pistas para poder encontrar al culpable es la siguiente:

De la premisa tres se puede concluir, por la Ley de Adición, que Ángel no sabe manejar a menos que Pedro o Juan participen en el robo.

Por lo tanto, usando equivalencias lógicas en las premisas P1, P2 y P4 se encontrará al culpable. Es decir:

LÓGICA PROPOSICIONALCAPÍTULO 1

Proposición1.1.

Caso de estudio: Un hecho policial1.1.1.

Era una noche de invierno en Trujillo y los ciudadanos regresaban a casa después de un día de trabajo. De pronto, el estruendo de un disparo proveniente de la avenida España quebró la noche.Pasado el desconcierto y el ulular de un patrullero, la gente supo que se había cometido un robo cuantioso de dinero en una farmacia de prestigioso nombre. «Los delincuentes huyeron en auto», dijo un testigo. Después, nada.

Tras unas horas, la policía capturó a tres sospechosos: Pedro, Ángel y Juan. Ya en la comisaría y después del interrogatorio, la policía estaba segura que:

Page 16: matematica basica

9

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

(p q r ) (r p) ( q p r ) (p q r ) ( r p) ( q p r ) ……………………………… Ley Condicional p [(q r ) r ( q r )] .…………………..……………… Ley Distributivap {[(q r ) r ] ( q r )} ……………………………… Ley Asociativap [(q r ) ( q r )] ……………………………… Ley de Absorción p {q [ r ( q r )]} ……………………………… Ley Asociativap [q ( r q)] ……………………………… Ley de Absorciónp [(q q) r ] ……………………………… Ley Asociativap (0 r ) ……………………………… Ley del Complementop 0 ……………………………… Identidadp

En conclusión, Pedro participó en el robo.

Cuando deseamos establecer una verdad o queremos convencer a alguien de que nuestra posición o nuestras ideas son las correctas, recurrimos a un razonamiento o presentamos una evidencia que respalde nuestras opiniones. Este razonamiento o evidencia presentados con el propósito de demostrar algo se conocen como lógica.

El nombre de lógica deriva de la palabra griega “logos”, que tiene múltiples y diversas acepciones.

Un griego lo podía emplear en diversos contextos y con diversas significaciones: proposición, definición, afirmación, argumento, razonamiento, facultad de razonar, juicio, buen sentido, razón de las cosas, motivo, causa, ley, etc.

En tal sentido, podemos decir que la lógica es la ciencia que estudia el pensamiento humano, de tal manera que se puedan producir razonamientos correctos que tomen como base la estructura de nuestros pensamientos. La lógica formal es la ciencia que busca hallar los esquemas universales y válidos en todo momento, según los cuales suele y debe pensar el hombre para alcanzar la verdad.Leibniz dijo que «las leyes de la lógica no son sino las reglas del buen sentido puestas en orden y por escrito».

Enunciado

Es toda frase u oración que señala simplemente una idea. Según el uso del lenguaje, puede cumplir las siguientes funciones:

1. Directiva: Su objeto es dar órdenes o hacer pedidos. Se subdivide en:

A.1. Interrogativa: Su propósito es averiguar algo.

Introducción a la lógica1.1.2.

Enunciados y proposiciones1.1.3.

Page 17: matematica basica

9

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Ejemplos: ¿Qué hora es?¿Cuándo es el examen de Matemática Básica Cero?

A.2. Imperativa o exhortativa: Origina o cumple una acción.Ejemplos: Levántate y sigue adelante, nunca mires atrás. Por favor, podría prestarme dinero.

2. Expresivo: Busca comunicar sentimientos, deseos o actitudes. Se clasifica en:

B.1. Exclamativo o admirativo: Expresa emociones.Ejemplos: ¡Viva el Perú! ¡Hoy es un día maravilloso!

B.2. Desiderativo: Señala deseos o anhelos. Ejemplos: Deseo ser un profesional de éxito. Ojalá no desapruebe el curso.

3. Informativo: Busca afirmar algo.Ejemplos: El calentamiento de la tierra produce desastres naturales. Toda materia posee masa.

4. Abierto: Cuando el valor de la incógnita o variable no satisface un único valor de verdad.Ejemplos: x + 4 > 15 (x+2)2 = 13

5. Los mitos, las leyendas y las fábulasEjemplos: Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol. Hay vida después de la muerte.

6. Los refranesEjemplos: A quien madruga, Dios le ayuda. A veces es peor el remedio que la enfermedad.

7. Las valoraciones sobre la moral, la belleza y la justiciaEjemplos:Hoy es un día maravilloso.La sinceridad es lo más valioso de un hombre.

8. Los sueñosEjemplos: Ayer soñé que ingresé a UPN. Juan soñó que ganaba la lotería.

Proposición

Es aquel enunciado aseverativo (afirma algo) del cual se puede decir con respecto a una realidad que es verdadero o falso, pero no que tiene las dos condiciones a la vez.

Page 18: matematica basica

9

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Ejemplos: Hay habitantes en el planeta Júpiter. Claudia es hermana de Carlos.

Variables proposicionales

Son las letras minúsculas p, q, r, … que se le asigna a cada proposición.

Ejemplos:

p: Alan García aprobó el Tratado de Libre Comercio con Estados Unidos.q: Miles de pobladores fueron evacuados ante el desborde de la laguna San Luis de Lucma en Cajamarca.

Los valores de verdad de las proposiciones p y q pueden ser verdaderos o falsos.

Proposiciones simples o atómicas

Son aquellas en las que aparece una afirmación o acción. Se caracterizan porque se expresan mediante oraciones que no utilizan conjunciones gramaticales ni el adverbio “no.” Se dividen en:

a) Predicativas: Son aquellas que atribuyen o describen algunas cualidades o circunstancias del sujeto en la proposición.

Ejemplos: Carlos Max fue el creador del materialismo dialéctico. Aristóteles fue el autor de la obra “Organón”.

b) Relacionales: Es la comparación de un sujeto con otro mediante términos relacionales. Puede ser relación de orden, espacio, parentesco, acción, etc.

Ejemplos: La Libertad está entre Lambayeque y Lima. Carlos es hermano menor de Víctor. 8>3

Proposiciones compuestas o moleculares

Son aquellas que están constituidas por proposiciones simples enlazadas entre sí con conectores lógicos.

Ejemplos:

No es el caso que los médicos salven vidas. Trujillo y Tacna son ciudades del norte del Perú.

Tipos de proposiciones1.1.4.

No son proposicionesNo son proposiciones los hechos, los personajes literarios, los proverbios, los refranes, los enunciados interrogativos, las órdenes, las dudas y las súplicas.

Page 19: matematica basica

9

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

No vendré a la universidad hoy día a estudiar matemática.

A partir de las proposiciones simples es posible generar proposiciones compuestas mediante símbolos llamados conectores lógicos. A continuación definimos cada uno de ellos:

NOMBRE DEL CONECTOR SIMBOLO DEL CONECTOR

NEGADOR NO ,

CONJUNTOR Y

DISYUNTOR DÉBIL O ,

DISYUNTOR FUERTE O … O … , , ,

CONDICIONAL O IMPLICADOR SI … ENTONCES…

, ,

REPLICADOR PORQUE ,

BICONDICIONAL SÍ Y SÓLO SÍ

INALTERADOR O DAGA DE SHEFFER

NI … Y NI …

INCOMPATIBILIZADOR O BARRA DE NICOLD

NO … O NO …/

Nota

Negador interno: Se caracteriza por su carácter débil, solo acepta a la proposición simple más cercana y son solo tres: “no”, “nunca”, “jamás.”

Negador externo: Es de carácter más fuerte, generalmente se encuentra delante de la oración.

Condición suficiente: Es la circunstancia que genera una consecuencia (causa o antecedente).

Condición necesaria: Es el resultado motivado por una circunstancia anterior (efecto o consecuente).

Conectores lógicos1.1.5.

CAUSAANTECEDENTE

COND. SUFICIENTE

EFECTOCONSECUENTE

COND. NECESARIA

Page 20: matematica basica

9

Tablas de verdad1.1.6.

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

A continuación se presenta un cuadro resumen de los valores de verdad de los conectores lógicos.

Sean p y q las proposiciones simples. Entonces, la tabla de verdad tendrá 22

valores.

p q –p p q

p q

p q

pq

pq

pq

p q

p/q

1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1

Nota:

El cálculo del número de arreglos que tiene una tabla de verdad se da mediante la siguiente fórmula:

2número de proposiciones simples

La ubicación de los valores de verdad en la tabla es la siguiente:– Para la primera proposición p, se divide el total de valores de verdad

de la tabla entre dos y se ubican los valores: mitad verdaderos (o unos) y luego la otra mitad falsos (o ceros).

– Para la segunda proposición q, se divide el total de valores de verdad de la tabla entre cuatro y se ubican los valores: la cuarta parte verdaderos o unos, luego la cuarta parte falsos o ceros y así sucesivamente hasta completar la tabla.

– Para la tercera proposición r, se divide el total de valores de verdad de la tabla entre ocho y se ubican los valores: la octava parte verdaderos, luego la octava parte falsos y así sucesivamente hasta completar la tabla.

– Estos pasos se repiten, de acuerdo al número de proposiciones que tiene la tabla.

Ejemplo:

Supongamos que la tabla de verdad tiene tres proposiciones simples, entonces los valores de verdad que tiene la tabla son:

p q r

1 1 1

Page 21: matematica basica

9

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

Número de arreglos de la tabla: 23 = 8

Page 22: matematica basica

9

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Page 23: matematica basica

9

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

NEGADOR

No p , No ocurre que p, No es cierto que p, No es verdad que p, No acaece que p,No siempre que p,No es que p,Nunca p, Nadie que sea p,Es absurdo que p, Es inconcebible que p, Es imposible que p, Es mentira p, Es inadmisible que p,Es negable que p,Es erróneo que p,Es incierto que p,Es incorrecto que p,Es objetable que p,Es falaz que p,En modo alguno que p,En forma alguna p,De ninguna forma se da p,Jamás p,

CONJUNTOR

p y qp incluso qp pero qp aunque qp al igual que qp tal como qp tanto como qp también qp así como qp vemos que también qp al mismo tiempo que qp sin embargo qp es compatible con qp aún cuando qp del mismo modo qp de la misma manera qp no obstante qp empero qp así mismo qp a pesar que qp igualmente qp de la misma manera qTanto p como, cuando qSiempre ambos p con q No sólo p sino también qSin que p tampoco qCierto que p lo mismo que qSimultáneamente p con q

DISJUNTOR INCLUYENTE

p o qp a menos que qp salvo que qp y bien, o también qp excepto que qp o incluso qp o a la vez qp ya bien qp y/o qp o no es que qp o en todo caso qp alternativamente qA menos que p, qP a no ser q

DISJUNTOR EXCLUYENTE

O p o qO bien p o bien qp o solamente qp o únicamente qp o sólo qp no es equivalente a qp salvo que tan sólo qNo es equivalente p con qYa bien p ya bien qO siempre p o siempre qSólo p sólo qSalvo que solamente p ocurre qp excluya q

Traducciones verbales de los conectores lógicos1.1.7.

Page 24: matematica basica

IMPLICADOR

Si p entonces qApenas p inmediatamente qSiempre que p por consiguiente qYa que p bien se ve que qCon tal que p es obvio que qCuando p así pues qToda vez que p en consecuencia qDado p por eso qEn cuanto p por tanto qCada vez que p consiguientemente qYa que p es evidente qDe p derivamos qComo quiera que p por lo cual qEn el caso de que p en tal sentido qUna condición necesaria para p es qya que p por ende qApenas p inmediatamente qSiempre que p sólo si q En virtud de que p es evidente que qp es condición suficiente para qp sólo si qp sólo si cumple qp da lugar a qp es innecesario y q es insuficientep implica qP luego q

REPLICADOR

Sólo si p, qPara p es suficiente qÚnicamente si p entonces qEl que p depende de qEs necesario p para qSi solamente p cada vez que qNo es suficiente que p y no es necesario que qp porque qp siempre que qp puesto que qp dado que qp supone que qp pues qp en vista de que qp cada vez que qp es necesario para qp es insuficiente para qp es insuficiente y q es innecesariap se sigue de q

BICONDICIONAL

p si y sólo si qp siempre y cuando qp se define lógicamente como qp es equivalente a qp por lo cual por la misma forma qp si de la misma forma qp es idéntica qp es igual a qp cada vez que y sólo si qp es equipolente a qp es condición necesaria y suficiente para qp siempre que y sólo cuando qp sea la misma que qp por lo cual y según lo cual qp cada una de las veces que y todas las veces que qp es la definición lógica de qCuando y sólo cuando p luego qSólo si p y sólo si qSólo si p luego es porque qSiempre que p y siempre que q

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71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

1. Identifique cual de las siguientes oraciones son proposiciones. Justifique su respuesta.a)Qué linda flor.b)Los chasquis fueron los mensajeros de los incas.c) Sobre la montaña Pacaritambo aparecieron los hermanos Ayar.d)Existen habitantes en el planeta Júpiter.

Solución

a)No es una proposición porque expresa una opinión. Lo lindo o bonito es relativo.

b)Si es proposición, pues está comprobado por los historiadores.c) No es proposición, pues los hermanos Ayar es una leyenda de los Incas.d)Si es proposición, pues es una aseveración que puede ser comprobada si es

verdadera o falsa.

2. Clasifique las siguientes proposiciones.a)Alianza Lima y Universitario jugarán hoy día, en el Estadio Nacional.

b)Los gorilas y los chimpancés pertenecen a la misma familia.

c) Kina Malpartida es la mejor boxeadora del mundo, según el último ranking

mundial.

d)Si Jonathan corre, transpira.

Solución

a)Es una proposición compuesta porque se puede separar en dos proposiciones simples. Es decir:p: Alianza Lima jugará hoy día, en el Estadio Nacional.q: Universitario jurará hoy día, en el Estadio Nacional.

Formalización:p q

b)Es una proposición simple, porque no se puede se parar en dos proposiciones. Es decir:p: Los gorilas pertenecen a la misma familia.q: Los chimpancés pertenecen a la misma familia.No tienen sentidos las oraciones por separado.

c) Es una proposición simple. Tener cuidado con este tipo de proposiciones porque podemos confundirnos por la palabra “la mejor”. En este caso, Kina Malpartida fue reconocida la mejor boxeadora del mundo por un jurado calificador.

d)Es una proposición compuesta porque tiene la forma de causa efecto.p: Jonathan correq: Jonathan transpira

Formalización:p q

3. Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones.a)

Ejercicios resueltos 1.1.8.

Page 26: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

b)

Solución

Los pasos para encontrar los valores de una tabla son:

1. Encuentre los valores de los negadores de cada proposición, si existe.2. Encuentre los valores de cada paréntesis.3. Encuentre los valores del negador externo, si existe.4. Finalmente, encuentre los valores de la matriz principal.

a) La tabla de verdad es la siguiente:

p q r[(

p q)]

( r P)]

1 1 1 1 0 0 1 01 1 0 1 0 0 1 01 0 1 0 1 0 1 01 0 0 0 1 0 1 00 1 1 0 1 0 1 10 1 0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1

b) La tabla de verdad es la siguiente:

p q r ( p ) ( r p )1 1 1 1 0 1 11 1 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 11 0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 10 0 1 1 1 0 00 0 0 1 1 1 1

4. Sabiendo que es falso, calcule el valor de verdad de la proposición

Solución

De la fórmula lógica dada se obtienen los valores de verdad de cada proposición. Es decir:

Luego, reemplace los valores de verdad de las proposiciones en la fórmula pedida. Es decir:

p= 1q= 1r = 0s = 0

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71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

5. La proposición «Es falso que Carolina no sepa tocar el piano y que, además, no componga melodías, puesto que es egresada del Instituto Nacional de Cultura» se formaliza.

Solución

Se identifica las proposiciones simples y luego los conectores lógicos.

PROPOSICIONESCONECTORES LÓGICOS

FORMALIZACIÓN

p: Carolina sabe tocar piano

q: Carolina sabe componer melodía

r: Carolina es egresada del INC

: es falso que, no

: y

: puesto que

Nivel 1

1. Identifique cuales de las siguientes oraciones son proposiciones.

a)b) Lunes, 24 de diciembre c) Viena es la capital de Tokio. d) Penélope con su bolso de piel marrón y sus zapatos de tacón y su

vestido de domingo.e) El 90% de los que han usado cocaína han muerto. f)

g) El cráneo consta de ocho huesos. h) Andrés prefiere el rostro de una muchacha a toda una pinacoteca nacional. i) Cada loco con su tema. j) En el 2007, el Fenómeno del Niño destruyó el aeropuerto Carlos Martínez de Pinillos.k) No me gusta estudiar. l) La calificación final dependerá del esfuerzo y la dedicación, no de

qué tan bien le caes al profesor.

m) Los profesionales peruanos son justos y amorosos. n) A menos que Juan corra, engordará. o) Quisiera ir a la guerra, pero no morir. p) Hoy soñé que un oso me besaba y me abrazaba.

2. Clasifique las siguientes proposiciones:

Ejercicios propuestos 1.1.9.

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71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) No es verdad que haya un profesor calvo en la UPN. b) Es innegablemente falso que varios elementos químicos son gaseosos. c) El sodio, el oxígeno y el agua reaccionan para formar soda cáustica. d) 8>3. e) Si Willy ingresa a la UPN, entonces será profesional. f) Leonardo Da Vinci fue físico y pintor. g) O es tarde o está muy oscuro. h) Masa equivale a energía. i) No ocurre que todos los números son positivos. j) Esta noche iremos a la fiesta y no al cine. k) Cesar Vallejo y Vargas llosa son contemporáneos. l) El título Cien años de soledad es el más adecuado, puesto que narra la

historia de una familia que a lo largo de un siglo vive sin amor.

m) Dos y tres son primos entre sí. n) Los que compren diez discos tienen un derecho a un descuento del 10% o

un vale por otro monto equivalente para otra compra. o) Trujillo está ubicado entre Chiclayo y Chimbote. p) Ni todo texto literario es ficcional, ni todo texto ficcional es literario.

3. Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones:a)

b)

c)

d)

Nivel 2

1. Exprese las siguientes proposiciones en el lenguaje simbólico:

a) 16 es número par o, de lo contrario, es un número impar.

b) Dado que los precios suben, luego la demanda baja.

c) Cada vez que Crecencio reciba un sueldo, podrá salir a comprar.

d) Las calles se están mojando porque está lloviendo.

e) Podrías salir a comprar cada vez que recibas tu sueldo. f) Obtener ganancias es necesario para poder invertir. g) Es suficiente —para aprender la lección— estar bien motivado. h) Trabajar diariamente es suficiente para tener dinero. i) Es suficiente invertir para obtener ganancias. j) Hoy es sábado dado que ayer fue viernes. k) Sólo si existe oferta, habrá demanda. l) Los cuerpos se dilatan cuando y solo cuando están sometidos al calor.

m) Juan tiene derecho a votar cuando y solo cuando está inscrito en el registro electoral.

n) No es cierto que la democracia jamás podrá ser destruida.

o) No es verdad que Perú tanto como Venezuela clasificaron al último mundial.

p) No es el caso que llueva o haga viento cuando ha terminado el invierno.

Page 29: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

q) Diego no fuma si hace deporte y ahorra dinero si no fuma. r) Percy es un jugador de ajedrez porque y sólo porque domina la deducción

lógica, sin embargo ha perdido el campeonato.

s) Es imposible que Andrés cometiera el crimen a no ser que lo hizo por despecho. Sin embargo, nunca tuvo problemas con su esposa dado que ella fue una mujer inteligente.

2. Construye la tabla de verdad de las siguientes proposiciones lógicas:

a) p qb) (p q) pc) (p q ) (p q)d) ( q p) qe) ( p q) p q

f)(p q ) ( p q)g) ( p r) ( q p )h) (p q) ri) (p q) (p r)j) [(r p ) q] p

Nivel 3

1. Dados los valores de: p=0; q=0; r=1; s=1. Y las fórmulas:1. 2. 3. Los valores correspondientes de verdad son:a) 100 b) 001 c) 000 d) 110 e) 111

2. Dado el siguiente esquema verdadero, los valores de las variables son respectivamente:a) 1111 b)0000 c)1100 d) 0001 e)1110

3. Proposición: «La lógica es una ciencia formal, tiene aplicaciones prácticas, no obstante la lógica no estudia el contenido del pensamiento, tampoco estudia los valores». Se formaliza:a) b) c)

d) e)

4. Formalice: «Estar tranquilo es condición necesaria para rendir un buen examen. Pero saber es condición suficiente para ingresar».a) (p q) (r s) b) (p q) (r s) c) (p q) (r s)d) (p q) (r s) e) (p q) (r s)

5. Formalice: «Es mentira que la inflación sea un indicador de pobreza a menos que ésta sea equivalente a un indicador poblacional».a) p q b) (p v q) c) ( p v q) d) p(q v q) e) T.A.

6. Formalice: «Porque la luz tiene naturaleza dual, se transmite en el vacío. Sin embargo, el sonido no se transmite en el vacío porque tiene naturaleza ondulatoria». a) (p q) (–p r) b) (p q) (–rs) c) (p q) –(qr) d) (p q) (–rs) e) (p q) (–qr)

7. Formalice:« Las pirámides son reliquias históricas, joyas arquitectónicas a menos que también una de las siete maravillas del mundo. El Coloso de Rodas también es una de las siete maravillas del mundo, al igual que el faro de Alejandría. Por tanto, es imposible que los tres no sean joyas arquitectónicas».

Page 30: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) [(p q r) (s t)] ( p q r) b) [(p q r) (s t)] (u)c) [(p q r) (s t)] ( q u v) d) [(p q r) (s t)] (p)e) [(p q r) (s t)] ( p q r)

8. Se define las proposiciones: p # q p qp q p v q

Además la proposición [ (p # q) (q r)] es verdadera. Halle los valores de verdad de “p”, “q” y “r”.

a) 101 b)111 c) 000 d) 110 e) 001

9. Si p(x): x2 = 16, q(x): x – 4 = 8, r(x): x2 – 4 > 5. Halle el valor de verdad de:a) {[p(1) p(3)] [ r(2) v p(3)] } q(4)b) [p(2) q(12) ] r(4)c) p(4) [r(5) v q(4) ]

a) 000 b) 111 c) 101 d) 110 e) 001

Nivel 1

1. a) SI m) NO i) Cb) NO n) SI j) Cc) SI o) NO k) Sd) NO p) NO l) Ce) SI 2. a) C m) Sf) SI b) C n) Cg) SI c) S o) Sh) SI d) S p) Ci) NO e) C 3. a) 1j) SI f) C b) 1k) NO g) C c) 1l) SI h) S

Nivel 2

1. a) p q k) p q 2. a) 0010b) p q l) p q b) 1100c) p q m) p q c) 1111

d) p q n) ( p) d) 0101

e) p q o) e) 1010

f) p q p) f) 0101

g) p q q) g) 11111011h) p q r) (p q) r h) 11101011i) p q s) i) 11100000j) p q j) 00111001

Respuestas 1.1.10.

Page 31: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Nivel 3

1. C 4. D 7. C2. D 5. B 8. E3. C 6. B 9. E

Definición: Dos esquemas proposicionales p y q se dice que son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en su matriz principal. Es decir:

LEY DE DOBLE NEGACIÓN

( p) p

LEY DE IDEMPOTENCIA

LEY DEL COMPLEMENTO

p p 1 p p 0

LEY DE IDENTIDAD

LEY DEL CONDICIONAL

p q p q (p q) p q

LEYES DE ASOCIACIÓN

(p q) r p (q r ) (p q) r p (q r )

LEYES DE DISTRIBUCIÓN

p (q r ) (p q) (p r ) p (q r ) (p q) (p r )

LEYES DE ABSORCIÓN

Equivalencias lógicas 1.2.1.

Si p q, entonces p ↔ q representa un esquema tautológico.y

Si p ↔ q es un esquema tautológico, entonces p q.

Equivalencias e inferencias lógicas1.2.

Page 32: matematica basica

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

p 1 1 p 0 0 p 1 p p 0 p

CONMUTATIVIDAD

CONTRAPOSICIÓN

LEYES DE MORGAN

(p q) p q (p q) p q

p (p q) p p (p q) p

p (p q) p q p (p q) p q

LEYES DEL BICONDICIONAL

p q (p q) (q p) p q ( p q) (p q) p q (p q) ( p q)

DISYUNTOR FUERTE

p q ( p q) (p q) p q ( p q)

EXPORTACIÓN

(p q) r p ( q r )

Definición: Son estructuras de proposiciones donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se obtiene otra proposición final llamada conclusión. Formalmente podemos expresarlas de dos formas: Esquema Lineal y Esquema Vertical.

Esquema Lineal: 1 2 n(p p p ) C

Donde “pi ” con i= 1,n son premisas y “C” la conclusión.

Esquema vertical: Esta formalización es la más recomendada para poder encontrar rápidamente la conclusión. Nótese que el conector que va a enlazar o unir siempre las premisas va a ser el conjuntor y, asimismo, la línea horizontal es el implicador, lo que nos induce a encontrar la conclusión.

1

2

n

p

p

p

C

«Si la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas, la inferencia es válida, o también se dice que el conjunto de premisas implica a la conclusión, o la conclusión es consecuencia lógica del conjunto de premisas; pero si la conclusión no se deduce correctamente del conjunto de premisas, simplemente la inferencia no es válida».

A continuación estudiaremos las reglas de inferencias más importantes:

SIMPLIFICACIÓN MODUS TOLLENDO TOLLENS(MTT) (, )

Inferencias lógicas 1.2.2.

Page 33: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

p q

p

o

p q

q

ADICIÓN O NUEVO FACTOR

F

p

p N

CONJUNCIÓN O ADJUNCIÓNp

q

p q

MODUS PONENDO PONENS(MPP) (, )

p q

p

q

p q

q

Falacia

p q

p

q

p q

q

p

p q

q

p

p q

p

Falacia

p q

p

q

p q

q

p

MODUS PONENDO TOLLENS(MPT) ( )

p q

p

q

p q

q

p

MODUS TOLLENDO PONENS(TP)

( , )

p q

p

q

p q

q

p

SILOGISMO HIPOTÉTICO PURO

p q

q r

p r

p q

r p

r q

DILEMAS

p q

r s

p r

q s

p q

r s

q s

p r

CONSTRUCTIVO DESTRUCTIVO

1. Simplifique: {[(p q) q] [q (p r )]} (s q)

Solución

Ejercicios resueltos 1.2.3.

Page 34: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

1

2. Las pilas secas son celdas electroquímicas, aunque no son celdas fotoeléctricas. Se puede inferir:

Solución

PROPOSICIONES ESQUEMA

CONCLUSIÓN

p: Las pilas secas son celdas electroquímicas.

q: Las pilas secas son celdas fotoeléctricas.

1º: Las pilas secas son celdas electroquímicas.

2º: Las pilas secas no son celdas fotoeléctricas.

3. Dado el siguiente argumento: «Si estudio arduamente, apruebo el curso de Matemática Básica Cero; y si apruebo el curso de Matemática Básica Cero, entonces estudiaré Matemática Básica el próximo ciclo con el profesor Castillo»; se puede concluir:

Solución

Se identifica las proposiciones simples y luego los conectores lógicos.

PROPOSICIONESESQUEMA

CONCLUSIÓN

p: Yo estudio arduamente.

q: Yo apruebo el curso de matemática básica Cero.

r: Yo estudio matemática básica el próximo ciclo con el profesor Castillo.

p q

q r

p r

Si estudio arduamente entonces estudio matemática básica el próximo ciclo con el profesor Castillo.

4. Dado el siguiente argumento: «A menos que Percy no estudie, es un buen hijo. Y si juega fútbol, entonces es un buen deportista. Sin embargo, Percy estudia o juega fútbol»; se concluye que:

Solución

PROPOSICIONES ESQUEMA CONCLUSIÓN

Page 35: matematica basica

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

p: Percy estudia.

q: Percy es buen hijo.

r: Percy juega fútbol.

s: Percy es buen deportista.

Percy es buen hijo o es buen deportista.

5. Use las identidades lógicas para obtener una conclusión de las siguientes premisas.1.2.3. (r s) (s t )

4. r

Solución

1.2.3. (r t ) (s p)

4. r--------------5. Definición de implicador en 1.6. q w Definición de implicador en 2.7. p w Silogismo Hipotético puro en 5 y 6.8. r t Adición en 4.9. s p Modus Ponendo Ponens en 3 y 8.10. p Simplificación en 9.11. w Modus Ponendo Ponens 7 y 10.

Nivel 1

1. ¿Cuántas de las siguientes fórmulas es equivalente a: ?

1. p q 2. (q p) 3. q p 4. (q p) 5. (p p) qSon ciertas:a) una b) dos c) tres d) cuatro e) cinco

2. Halle por contraposición la fórmula equivalente a : (p q)a) q p b) q p c) q p d) q p e) N.A.

3. ¿Cuál de las siguientes fórmulas lógicas equivale a: pq?1. pq 2. (p q) 3. (p q) 4. q p 5. ( p q)Son ciertas:a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) 2,4,5 e) 1,2,4

4. La fórmula (p q) ( p q) equivale a:

Ejercicios propuestos 1.2.4.

Page 36: matematica basica

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) (p / q) / ( p / q) b) (p q) / ( p q) c) (p / q) (p / q )d) (p q) ( p q) e) N.A.

5. Si Acuña es el alcalde de Trujillo, representa a Defensa Civil en esta ciudad. Es cierto que Acuña representa a Defensa Civil en Trujillo. La conclusión correcta es:a) Acuña es el alcalde de Trujillo.b) Acuña no es el alcalde de Trujillo.c) Acuña no representa a Defensa Civil.d) Acuña no sólo es el alcalde de Trujillo, sino que representa la

defensa civil.e) Imposible, es una falacia formal.

6. Isabel irá a la playa dado que hace calor, lo cual se verifica. Podemos concluir que:a) No es innegable que Isabel irá a la playa.b) Isabel irá a la playa.c) Hace calor si y solo sí Isabel irá a la playa.d) De ninguna manera Isabel puede ir a la playa.e) Hace calor porque Isabel irá a la playa.

Nivel 2

1. Simplifique las siguientes fórmulas lógicas:

a) ( p q ) qb) [ (p q) q] qc) [( p q ) ( r r ) ]

qd) [( p q ) q ] p

e) [( p q ) q ] q f) [ p (q r)] [( p q) ( p r ) ]g) [( q p ) ( p q ) ] qh) [ (p q) ( q p ) ] ( p q )

2. La proposición El Perú no es un país democrático, sin embargo se rige por leyes constitucionales. Esta proposición es equivalente a:a) Es mentira, que ya que el Perú es un país democrático y evidentemente se

regirá por leyes constitucionales.b) Es falso decir que si el Perú se rige por leyes constitucionales, es obvio que

se trata de un país democrático.c) El Perú no se rige por leyes constitucionales, pues no es un país

democrático.d) Falacia.e) N.A.

3. La proposición «Es suficiente que llueva para salvar la cosecha» es equivalente a:a) Si no llueve, entonces se salva la cosecha.b) No es cierto que llueva y no se salva la cosecha.c) No es cierto que no llueva y se salve la cosecha.d) No llueve y no se salva la cosecha.e) N.A.

4. Un abogado dice a su patrocinado: «Si pides perdón, te absolverán. Si eres ofensivo, te condenarán. Pero pides perdón a menos que seas ofensivo”. El abogado quiso decir:a) Es innegable que te absolverán, no obstante nadie te condenará.b) Te absolverán a menos que te condenarán.c) Si te absuelven, no te condenarán.d) Si no pides perdón, te condenarán.e) No pedirás perdón.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Nivel 3

1. Si el neutrón tiene carga eléctrica neutra, es obvio que el electrón si tiene carga eléctrica. Sin embargo, el oxígeno es átomo, luego H2O2 es molécula. Asimismo es cierto que el neutrón tiene carga eléctrica neutra, excepto que átomo sea el oxígeno. En consecuencia: 1) Salvo que el H2O2 sea molécula, el electrón tiene carga eléctrica.2) El electrón tiene carga eléctrica, o incluso el H2O2 es molécula.3) Es innegable que el H2O2 es molécula, salvo que el electrón tenga carga

eléctrica.4) Si el H2O2 no es molécula, en consecuencia el electrón tiene carga

eléctrica.5) Es falso que el electrón no tenga carga eléctrica y el H2O2 no sea

molécula.Son ciertas:a) Sólo 1,2 b) 3,4y5 c) Sólo 1y5 d) todas e) 1,2y4

2. No hay aprendizaje, a menos que haya enseñanza. Empero, no hay enseñanza excepto que incluso haya instrucción; por tanto:a) Si hay aprendizaje, hay instrucción.b) Al no haber instrucción, tampoco hay instrucción.c) Jamás hay aprendizaje, salvo que a la vez no haya instrucción.d) Es mentira que hay aprendizaje, sin embargo hay instrucción.e) Hay instrucción, así como no hay aprendizaje.

3. No hay ascetas a menos que haya estoicos. Si hay estoicos, por ende existen castos. En consecuencia:a) Hay castos, salvo que existan ascetas.b) Puesto que no hay ascetas se infiere que no existen castos.c) Es objetable que existan ascetas, pero no castos.d) Jamás habrá castos, salvo que hayan ascetas.e) N.A

4. «El uranio no sería rebuscado, excepto que fuese un mineral abundante. La plata no sería atrayente salvo que fuese refulgente, mas, es indefectible que el uranio no es rebuscado en consecuencia es atrayente la plata». No se concluye:a) Al no ser el uranio mineral abundante, la plata si es refulgente.b) Si la plata no es refulgente, el uranio es mineral abundante.c) Es inadmisible que el uranio sea falso, que es mineral abundante y

la plata no sea refulgente.d) Si la plata no es refulgente, es obvio que el uranio es mineral

abundante.e) No sucede que la plata jamás sea refulgente, aún cuando el uranio

sea un mineral abundante.5. En modo alguno, el lógico razona y no deduce. En forma alguna, el

empírico piensa, mas jamás actúa. Sin embargo, es mentira que el lógico nunca razona, aún cuando el empírico deje de pensar. De esto se infiere:a) El lógico razona y el empírico

piensa.b) El lógico deduce, salvo que el

empírico actúe.c) El empírico piensa, excepto

que deje de pensar.

Page 38: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

d) El empírico actúa y el lógico razona.

e) N.A

6. Sean las premisas: , , ,

,

Se infiere:a) q b) t s c) t s d) e)

7. Sean las premisas: , , . Se infiere:a) b) c) d) e)

8. De las Premisas:

Se infiere:a) b) c) d) e)

9. De las premisas:

Se infiere:a) p r b) p r c) s r d) s r e) (p s) r

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31. C 1 a) 1 1. D2. D b) q 2. A3. D c) q 3. C4. B d) p q 4. E5. E e) 1 5. B6. B f) 1 6. E

g) q 7. Dh) q 8. E

2. B 9. B3. B4. B

Respuestas 1.2.5.

Circuitos lógicos 1.3.1.

Circuitos lógicos1.3.

Page 39: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Definición: Dispositivos que permiten la representación de las fórmulas proposicionales de la lógica.

Circuitos o conmutadores:

Circuitos en serie: Representa fórmulas conjuntivas en las que los conmutadores está a continuación de otro.

p q

Circuitos en paralelo: Representa fórmulas disyuntivas incluyentes en las que un conmutador está sobre otro.

p q

1. Formalice el siguiente circuito adjunto:

Solución

1º 2º

2. Si el costo de cada llave en la instalación mostrada es de S/.10, ¿en cuánto se reduciría el costo de la instalación si este circuito se simplificara?

Ejercicios resueltos 1.3.2.

q p

p

q

p q

p r

p

qp

q

r

p

q p

q

r

( p r) q

p q

p r q

p q

( p r) q

r q

r

p p q

q p

Page 40: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Solución

Reduce el sistema usando la equivalencia del circuito en paralelo.

Luego, reduce el circuito usando la equivalencia del circuito en serie.

Use absorción y luego circuito en paralelo. Es decir:

Finalmente use la ley distributiva y la ley de absorción y se tiene el circuito simplificado

El circuito inicial contaba con 8 llaves entonces su costo era de s/. 80, luego de simplificar el circuito, se tiene 2 llaves (costo s/. 20). Por lo tanto el costo se ha reducido en s/. 60

Nivel 1

1. La proposición «Cada vez que trabajo, gano dinero; pero no ocurre que ni trabajo ni gano dinero» queda representada por:

a)

b)

c)

Ejercicios propuestos 1.3.3.

(pq)

p

q

(rq)

p

r

(pq) pq

r p (rq)

p

p

q

rq

p

q r

(pq)

p

q

(rq)

p

r

pq

p (rq)

(pq )[ p (rq) ]

q p

p

q

p

q

p

q

p

q

p p

qq

Page 41: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

d)

2. Represente mediante funciones booleanas los circuitos:

a)

b)

3. Construya el circuito lógico de las siguiente funciones booleanas:a) p → q

b) p ∆ q

c) [p → (q r)]

Nivel 2

Simplifique y dé como respuesta la fórmula lógica equivalente de los siguientes circuitos:

1.

2.

3.

4.

Nivel 3

p q

q p

p q

p

q

r

p

p q

qp p

q p p

p

qp

q

p q

p

qq

p p q

r

p

q

p q

p

q

p q

p

q

p

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71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

1. Simplifique los siguientes circuitos:

a)

b)

2. Una empresa localizada en Trujillo tiene una factura de luz mensual de s/. 3000. Su circuito es el siguiente:

¿Cuánto ahorrará mensualmente con su equivalente mínimo?

3. Halle el circuito lógico más simple que represente a:

4. Sea M la proposición simplificada del circuito:

y sea N la proposición simplificada del circuito correspondiente a [(p s) (p s)] [(p q) (p r)] .Simplifique N M, luego construya el circuito lógico que corresponda a la proposición simplificada.

5. Encuentre el circuito mínimo equivalente a:

rq

q

r

r

p q

pq

q

q

p

q

p p

p q

p

q

r

r

p

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s

r s

rr

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p

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r q

r

q

q

r qp

qp

p q

p p

q q

p q

p q

s t

p

q

r

t s

p q r

Page 43: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Nivel 1

1. C

2. a)

b)

3.

a) b)

c)

Nivel 2 Nivel 3

1. p 1. a) 2. b) 3. 2. 18004. 3.

4. 5.

Desde hace miles de años se utilizan los números para contar y ordenar los elementos de un conjunto de objetos. Ninguna sociedad puede sustraerse del uso de los números. Ellos están presentes en las diferentes etapas de nuestra vida,

Respuestas 1.3.4.

ARITMÉTICACAPÍTULO 2

Números reales2.1.

Caso de estudio: La importancia de los números2.1.1.

p

p

q

q

p

q

r

p

q r

s t

q

p

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71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

en el ejercicio de todo oficio, arte o profesión y ―de manera muy sofisticada― en la tecnología actual.

Toda gran sociedad debe su grandeza a la comprensión numérica. Los antiguos egipcios, por ejemplo, desarrollaron una arquitectura de enormes pirámides, templos, obeliscos, esfinges, etc. Gracias a que tenían una buena comprensión numérica. Ellos definieron el año con 365 días y tres estaciones de cuatro meses cada una, con lo cual comprendieron la regularidad del río Nilo, su recurso más preciado. La numeración egipcia se representó con símbolos que conocemos como jeroglíficos numéricos egipcios.

En el imperio romano se utilizó el sistema de numeración que asignaba una letra para cierto valor numérico:

Letra

I V X L C D M

Valor

1 5 10

50

100

500

1000

Los romanos y los egipcios desconocían el cero; este fue introducido posteriormente por los hindúes y adoptado por los árabes, así que no existe ningún símbolo en los sistemas de numeración romana y egipcia que represente el valor cero.

Se cree que la sociedad incaica administró eficientemente un territorio de dos millones de kilómetros cuadrados debido a que imitaba la sincronización de un mecanismo de relojería. O otras palabras, gracias a que comprendía los números. De lo contrario, ¿cómo sus pobladores podrían haber construido gigantescos complejos arquitectónicos con parámetros de exactitud e igualdad a lo largo de este vasto territorio sin tener alguna base de datos?

Pablo Macera sosiene que el quipu es el elemento matriz de la cultura inca y que el control político se debió en parte a que a través de este podían llevar información numérica de los pueblos que controlaban.

El quipu era un sistema de información que consistía en cuerdas anudadas. Fue empleado por los incas para administrar su imperio. Ellos registraban en estos instrumentos información censal, tributaria, de calendario, etc.

El sistema numérico de los quipus era de base decimal. La posición de los nudos de las unidades se registraba en la parte inferior, arriba iban las decenas, luego las centenas, etc. El cero era representado por la ausencia de nudos y los diferentes colores de las cuerdas indicaban diferentes objetos. Véase la siguiente figura.

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71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Quipu incaico

Hace más de un siglo, Lord Kelvin dijo unas frases muy aleccionadoras sobre la importancia de los números: «Cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo de ello; pero cuando no se puede medir, cuando no se puede expresar numéricamente, el conocimiento que se tiene es de calidad débil y poco confiable».

Esto vale tanto para la naturaleza como para la tecnología. Galileo Galilei demostró que la naturaleza está escrita en lenguaje matemático, lo que fue refrendado por Albert Einstein: «Lo más incomprensible del universo es que pueda ser comprendido en una fórmula matemática».

Por otro lado, la tendencia contemporánea de administración entre ellas el balance scorecard se basa en el siguiente principio: «No puedes controlar aquello que no puedes medir y expresar en números». Por este motivo, hoy más que nunca toda opinión económica y comercial precisa de números. Las empresas se autoevalúan y evalúan a su personal practicándoles constantes mediciones, sobre las cuales se toman decisiones según las metas propuestas.

Empezaremos el estudio de los números con la disciplina conocida como Aritmética, la cual es la más antigua y elemental rama de la Matemática utilizada en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. La Aritmética estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales. La palabra «aritmética» proviene del término de origen griego arithmos que quiere decir «número» y techne que significa «habilidad».

La idea de número ha evolucionado y se ha sofisticado a lo largo de nuestra historia como respuesta a las necesidades de los cálculos o como consecuencia de la creatividad humana.

La Leyenda del ajedrez2.1.2.

Tomado de : http://sepiensa.org.mx/contenidos/historia_mundo/antigua/peru/quipus/quipus_1.htm

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71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

La invención del ajedrez se atribuye a los hindúes, árabes, persas, egipcios, babilonios, chinos, griegos, romanos, judíos, araucanos, castellanos, irlandeses, italianos, galos, entre otros. Las lagunas históricas acerca de su origen contribuyeron al florecimiento de diversas leyendas; entre ellas, podemos destacar la del joven Lahur Sissa.

Este personaje era un pobre y modesto brahmán (miembro de una casta sacerdotal hindú que reconoce a Brahma como su Dios) que vivió hace muchos siglos en la provincia de Taligana, al norte de la India, en el continente asiático.

(Tomado de:http://cibergeek.com/jugar-ajedrez-online/)

En aquellas lejanas tierras gobernaba un magnánimo rey llamado Iadava. Cierto día, las huestes del aventurero Varangul invadieron el reino, desatándose una cruenta guerra. Iadava, que era un excelente estratega, derrotó a sus enemigos en los campos de Dacsina, pero en el fragor de la lucha perdió a su hijo, el príncipe Aljamir. Este incidente lo abatió profundamente y se pasó los días subsiguientes encerrado en su palacio reproduciendo, en una gran caja de arena, las alternativas del combate donde perdió al único heredero de la dinastía.

Los sacerdotes elevaban sus plegarias y de todas partes llegaban obsequios y diversiones para tratar de sacar al rey de su aflicción; mas todo parecía en vano.

Algún tiempo después, un inesperado visitante llegó al palacio solicitando una audiencia con el rey. Al interrogársele sobre el motivo de su petición, el joven se identificó como Lahur Sissa y había viajado durante treinta días desde la aldea de Namir, para entregarle a su majestad un modesto presente que lo sacaría de su tristeza, le brindaría distracción y abriría en su corazón grandes alegrías.

Iadava, al enterarse de las intenciones del desconocido, ordenó que lo hicieran pasar de inmediato. Sissa presentó al monarca un gran tablero dividido en 64 cuadrados y sobre éste colocó dos colecciones de diferentes piezas. Le enseñó pacientemente al rey, los ministros y los cortesanos de la corte la naturaleza del juego y las reglas fundamentales: Cada uno de los jugadores disponía de ocho piezas pequeñitas, llamadas peones. Representaban la infantería que avanza sobre el enemigo para dispersarlo. Secundando la acción de los peones iban los elefantes de guerra (las torres), representados por piezas mayores y más poderosas. La caballería, indispensable en el combate, aparecía igualmente en el juego, simbolizada por dos piezas que podían saltar como dos corceles sobre las otras, y para intensificar el ataque se incluían ―representando a los guerreros nobles y de prestigio― los dos visires (alfiles) del rey. Otra pieza dotada de amplios movimientos, más eficiente y poderosa que las demás, representaba el espíritu patriótico del pueblo y era llamada la reina (la dama). Completaba la colección una pieza que aislada vale poco, pero que amparada por las otras se tornaba muy fuerte: el rey.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

En pocas horas el soberano comenzó a jugar fascinado por el nuevo pasatiempo, consiguiendo derrotar a varios miembros de su corte en partidas que se desenvolvían impecablemente sobre el tablero.

En determinado momento el rey hizo notar, con gran sorpresa, que la posición de las piezas, por las combinaciones resultantes de diversos lances, parecía reproducir exactamente la batalla de Dacsina. Intervino entonces Sissa para decirle:

―Piensa que para el triunfo es imprescindible que sacrifiques a este visir (alfil), pero te has empeñado inútilmente, Señor, en defenderlo y conservarlo.

Con esta aguda observación el monarca comprendió que, en cierta circunstancia, la muerte de un príncipe (su hijo) es una fatalidad que puede conducir a la libertad y la paz de un pueblo.

―Quiero recompensarte por este magnífico obsequio ―dijo el rey―.

―Mi mayor premio es haber recobrado la felicidad de Vuestra Majestad ―respondió Sissa―.

―Me asombra tu humildad y el desprecio por las cosas materiales, pero exijo que selecciones, sin demora, una retribución digna de tan valioso regalo. ¿Quieres una bolsa llena de oro?, ¿Deseas un arca llena de joyas? ¿Pensaste en poseer un Palacio? ¿Aspiras a la administración de una provincia? Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra está ligada a una promesa.

―Aprecio vuestra generosidad, majestad, y como obediente súbdito me veo en la obligación de escoger; pero no deseo joyas, ni tierras, ni palacios. Deseo que me recompenses con granos de trigo, los cuales deberán ser colocados en el tablero, de la siguiente forma: un grano por la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta y así duplicando sucesivamente hasta la última casilla.

Iadava, al oír el extraño e ínfimo pedido del joven, lanzó una sonora carcajada y, tras burlarse de su modestia, ordenó que se le diera lo que había solicitado. Al cabo de algunas horas los algebristas más hábiles del reino le informaron al soberano que se necesitarían:

18 446 744 073 709 551 615

Dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.

Los algebristas y geómetras más sabios concluyeron que la cantidad de trigo que debía entregarse a Lahur Sissa equivalía a una montaña que, teniendo como base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos y destruidas todas sus ciudades, no bastaría para producir durante un siglo la cantidad de granos calculada.

El rey y su corte quedaron estupefactos ante los cálculos estimados. Por primera vez el soberano de Taligana se veía en la imposibilidad de cumplir una promesa. Acto seguido, Sissa renunció públicamente a su pedido y llamó la atención del monarca con estas palabras:

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

―Los hombres más precavidos eluden, no sólo la apariencia engañosa de los números, sino también la falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz de aquel que toma sobre sus hombros los compromisos de honor por una deuda cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios. Más previsor es el que mucho pondera y poco promete.

Estas inesperadas y sabias palabras quedaron profundamente grabadas en el espíritu del rey. Olvidando la montaña de trigo que, sin querer, prometiera al joven brahmán, lo nombró su primer ministro. Cuenta la leyenda que Sissa orientó a su rey con sabios y prudentes consejos y, distrayéndolo con ingeniosas partidas de ajedrez, prestó los más grandes servicios a su pueblo.

Cálculo de los granos de trigo

En la siguiente tabla se presenta las primeras 5 casillas que incluyen los granos de trigo que les corresponden, los granos acumulados y una expresión matemática que la comprende.

Casilla (n)

Número de granos

en la casilla

Número de granos

acumulado (N)

Expresión para el número

de granos acumulado (N)

1 1 = 20 1 21-12 2 = 21 3 22-13 4 = 22 7 23-14 8 = 23 15 24-15 16 = 24 31 25-1

El número de granos por casilla es una potencia de base 2, cuyo exponente es el número de casilla menos la unidad (2n-1). El número de granos acumulados también es una potencia de base 2 cuyo exponente es el número de casilla, disminuido en la unidad (2n-1); lo que se podrá expresar como:

… … … …n 2n-1 2n-1 N = 2n-1… …. … …

64 263 264-118 446 744 073 709 551 615

Para definir formalmente el conjunto de los números naturales Nse recurre habitualmente a los axiomas de Peano:

A.1. 0 es un número natural.

A.2. Todo número natural tiene un sucesor.

A.3. Si dos números naturales tienen el mismo sucesor, entonces son iguales.

A.4. 0 no es el sucesor de ningún número natural.

Conjunto de los números naturales2.1.3.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Entonces, se puede escribir que el conjunto de los números naturales está formado por los números 0, 1, 2, 3... Estos números se usan para contar los elementos de un conjunto finito.

El conjunto de los números enteros Z está formado por los números naturales y sus respectivos opuestos (negativos) y el cero; es decir: …-3, -2, 0, 1, 2, 3… . Se puede decir que el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros, es decir: N Z .

El conjunto de los números racionales Q tiene como elementos a todo

número que se obtiene por la división de dos números enteros: b

a, donde b 0.

Se puede decir que el conjunto de los números enteros están incluidos en el conjunto de números racionales, es decir: Z Q

Al representar los números racionales en una línea recta (llamada recta numérica), puede parecer que se ha terminado con la clasificación de los números, pero eso no es así. Quedan muchos "huecos" por rellenar en dicha recta. Se trata de los números irracionales. El conjunto de los números irracionales I está conformado por los números que no pueden expresarse como racionales. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

Ejemplos:

2 = 1.414213562…

= 3.141592653…

3 = -1.732050807…

e = 2.718281828…

=1 5

2

= 1.618033988…

El conjunto de los números reales R se define de manera intuitiva como el conjunto de números formados por los racionales y por los irracionales, es decir:

R== Q I .

A continuación, se tiene un modelo de la recta numérica real:

Conjunto de los números enteros2.1.4.

Conjunto de los números racionales2.1.5.

Conjunto de los números irracionales2.1.6.

Conjunto de los números reales2.1.7.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Axiomas de los números reales.

A) La adición de los números reales goza de los siguientes axiomas:

1) Conmutatividad

a b b a ; a,b R

2) Asociatividad

(a b) c a (b c) ; a,b,c R

3) Elemento Neutro

Existe un único número real, llamado cero o elemento neutro de la

adición, denotado con 0, tal que:

a 0 a ; a R

4) Inverso aditivo

Para cada número real “a”, existe un único número real, opuesto o

simétrico de “a”, denotado por “–a”, tal que:

a ( a) 0

5) Cancelación a c b c a b

B) La multiplicación de los números reales goza de los siguientes axiomas

1) Conmutatividad

2) Asociatividad

3) Elemento Neutro

Existe un único número real, llamado uno o elemento neutro de la

multiplicación, denotado con 1, tal que:

a.1 a ; a R

4) Inverso multiplicativo

Para cada número real a, existe un único número real, recíproco

(inverso) de a, denotado por 1a tal que:

5) Distribución de la multiplicación con respecto de la adición.

6) Cancelación de la multiplicación.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

7) Si a, b son números reales entonces se cumple

8) El opuesto aditivo –a de un número real, goza de las siguientes

propiedades:

a a a 0

( a) a

(a b) ( a) ( b)

C) La división goza de las siguientes propiedades:a b

; c 0 a bc c

a ba b c 0

c c

a b a b; c 0

c c c

a c ad bc; b,d 0

b d bd

a a a; b 0

b b b

Ahora se dará algunas propiedades de la relación menor o menor igual de números reales. Es decir, para todo a, b R se cumple:

a b a b a b

a b a b a b

a bc 0 a b c c

a.c b.c

a bc 0 a b c c

a.c b.c

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

1) Definición: Es una operación matemática que se denota como an y que se lee " a elevado a n" e involucra dos números: la base a y el exponente n. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una multiplicación de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

an =a.a.a anveces

= P ; n Z

Cuando el exponente es un entero negativo -n, una potencia que tenga exponente negativo es el resultado de elevar la fracción inversa de la base 1/a al exponente positivo n.

nn 1

a ; a 0a

Cuando n=0 entonces se define:

0a 1 ; a 0 La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales,

complejos o incluso matriciales.

Ejemplos:

Usando el software Derive 6 se puede calcular:

a) 22 2,665144142 b) 2 8,824977827

2) Propiedades de la potenciación

Producto de potencias de bases iguales:

Cociente de potencias de bases iguales:

m

m nn

aa ;a 0

a

Potencia de un producto:

Potenciación2.1.8.

Exponente

Base Potencia

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Potencia de un cociente:

m m

m

a a; b 0

b b

Potencia de una potencia:

n

m mna a

Exponente de exponente:

pnm

pnma a

1) Definición: Es la operación inversa de la potenciación. Suponga que le dan un número a y le piden calcular otro tal que multiplicado por sí mismo un número n de veces le da el número a. Es decir:

nn a b a b

2) Propiedades de la radicación

Exponente fraccionario:

Exponente fraccionario irreducible n

m :

;

mn mna a a 0

Raíz de un producto:

Raíz de un cociente:

Radicación2.1.9.

Índice de la raíz

Radicando Raíz

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Raíz de una raíz:

Raíz de una potencia:

1) Definición: Consta de una parte entera y una parte decimal; ambas están separadas por una coma. Es decir:

a,bcd...x

Ejemplos:

a) 7

5= 1,4

b) 7

6=1,1666…

c) 3

7= 0,428571428571…

2) Clases de números decimales

Los números decimales se clasifican en exactos e inexactos.

A.Números decimales exactos. Son aquellos que tienen finitas cifras decimales.

Ejemplos: a) 1,3 se lee “uno coma tres” o “un entero tres décimos”b) 0,34 se lee “cero coma treinta y cuatro” o “34 centésimos” c) 3,787 se lee “tres coma setecientos ochenta y siete” o “3 enteros y 787 milésimos”

Nota:

Número decimal 2.1.10.

Parte entera

Parte decimalComa decimal

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Una fracción irreducible genera un número decimal exacto si su denominador está formado por sólo potencias de 2 y 5, o ambas.

Ejemplos:

a) 3

0,65

b) 7

3,52

c) 2

190,95

2 5

Fracción generatriz

n cifrasn cifras

abc x0,abc x

1000 0

B.Números decimales inexactos. Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales. Estos números a su vez se clasifican en: periódicos y no periódicos.

B.1. Números decimales periódicos. Son puros o mixtos.

B.1.1. Números decimales periódicos puros: Se llaman así porque la o las cifras de la parte decimal se repite infinitamente. A estas cifras se le llama periodo.

Ejemplos:

a)

0,2222222... 0,2 (periodo 2)

b) 3,454545... 3,45 (periodo 45)

c) 0,321321321... 0,321 (periodo 321)

Nota:

Una fracción irreducible origina un número decimal periódico puro si su denominador es diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5.

Ejemplos:

a) 2

0,29

b) 3

0,2711

c) 1

0,1428577

Fracción generatriz

n cifrasn cifras

abcd...x0,abcd...x

999...9

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

B.1.2. Números decimales periódicos mixtos: Se llaman así porque el periodo se inicia después de un grupo de cifras. Al grupo de cifras que no se repite se le llama parte no periódica.

Ejemplos:

a)

0,1233333... 0,123

b) 5,02454545... 5,0245

c)

2,02022222... 0,0202Nota:

Una fracción irreducible origina un número decimal periódico mixto si su denominador tiene potencias de 2 y/o 5 y, además, algún otro factor necesariamente diferente.

Ejemplos:

a) 7 7

0,2330 2 3 5

b) 4 4

0,2615 3 5

c)

2

5 50,416

12 2 3

Fracción generatriz

ABC abc ABC0, ABC abc

99 9 00 0n cifrasm cifras

m cifrasn cifras

B.2. Números decimales no periódicos

Son todos aquellos números cuya parte decimal tiene infinitas cifras, aunque carecen de una parte que se repite.

Ejemplos:

= 3,1415926535897932384…e = 2,7182818284590452354…= 1,6180339887498948482…

Estos números decimales reciben el nombre de números irracionales y no tienen una fracción generatriz.

1. Efectúa las siguientes operaciones combinadas.

Ejercicios resueltos 2.1.11.

Page 57: matematica basica

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) 15 8 3 3

E 23 18 12 4

Solución

Primero reducir las expresiones a su mínima expresión.

4 1 3E 2 5

9 4 4

Luego, se efectúan las operaciones indicadas, de acuerdo al orden jerárquico, de izquierda a derecha. Es decir:

4 1 3E 10

9 4 4 =

9 1 3 90 1 310

4 4 4 4 4 4

Posteriormente, se efectúa la sustracción y la adición:

90 1 3 89 3E

4 4 4 4

Finalmente:89 3 92

E 234 4

b) 15 8 3 3

N 23 18 12 4

Solución

Al igual que en el ejercicio anterior, primero se debe simplificar a su mínima expresión:

4 1 3E 2 5

9 4 4

Primero se realiza la división, debido a que se debe respetar el orden jerárquico de las operaciones:

1 4 1 3 8 1 3E 2

5 9 4 4 45 4 4

Para operar las fracciones, extraer el m.c.m. de los denominadores, así se obtiene:

32 45 135 122 61E

180 180 90

2. Simplifique: M= (-2)0 + (-2)2 + (-2)4 + (-2)5

Solución

Primero, ejecutar cada una de las potencias y luego operar las adiciones y sustracciones, es decir:

Page 58: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

M = 1 + 4 + 16 - 32 = -11

3. Efectúe:

3 4 3 12 3 4 2

M5 3 3 1

2 13 2 8 4

Solución

Extrayendo el m.c.m. de cada factor y simplificando, se tiene:

9 8 3 26 4

M20 9 6 3 2

6 8

=

176

5

4

176

1

8

=512

=10

4. Simplifique:

1 1 1 12 6 12 72M1 1 5 1 1

18 6 18 3 9

Solución

Los denominadores de las fracciones en el numerador se pueden expresar como el producto de dos números consecutivos. Es decir:

1 1 1 11 2 2 3 3 4 8 9M

1 1 5 1 118 6 18 3 9

Descomponer en el numerador y extraer el m.c.m. de los denominadores en el denominador, luego simplificar; es decir:

11

2M

12

13

13

1 1 14 7 8

1

8

19

1 3 5 6 218

11

91718

8

917

18

1617

5. Halle el producto de: 6 15 3 24 72

M4 6 5 48 36 8

Solución

Al simplificar se obtiene:

6M

15 3 24 724 6 5 48 36 8

=3 3 2 4 2 8

=9

32

Page 59: matematica basica

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

6. Halle el valor de la siguiente expresión:

2E 2

11

22

11

2

Solución

Para operar, se inicia el proceso de abajo hacia arriba. Luego, se aplica el mínimo común múltiplo y el producto de extremos y medios y se tiene:

E =

22

11

22

11

2

=

22

11

22

3

2

=

22

11

42

3

=

22

11

2

3

=

22

31

2

= 2

25

2

= 4

25

=6

5

7. Simplifique:

k 3 k 2 k 1 k

k 1 k

3 3 3 3N

3 3

Solución

Para simplificar este tipo de ejercicios, primero se debe descomponer cada potencia, tanto del numerador como del denominador:

Ahora, se factoriza el factor común tanto en el numerador como en el denominador y luego se simplifica. Es decir:

N=k3 3 2 1

k

(3 3 3 1)

3 1(3 1)

=

27 9 3 1

3 1 =

4010

4

8. Efectúe:

43052E 7

Solución

El cero elevado a cualquier número real es cero. Es decir:

430 0

Además, todo número diferente de cero elevado al exponente cero es 1. Entonces, la expresión dada se reduce:

E = 127 =

27 = 49

Page 60: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

9. Simplifique: 8 5

5 4

10 30R

6 500

Solución

Es preferible empezar con la descomposición prima de cada factor y luego cancelar los factores comunes del numerador y del denominador.

R=

8 5

5 2 3 4

(2 5) (2 3 5)

(2 3) (2 5 )=

8 8 5 5 5

5 5 8 12

(2 5 ) (2 3 5 )

(2 3 ) (2 5 )=

132 53 13

13

5

2

53 125

=5

10. Simplifique: n 90 n 91

n 91 n 92

2 2 2 2M

2 2 2 2

Solución

Se trabaja con las propiedades de potencias de igual base y se buscan factores comunes que luego se cancelen entre sí.

M =

n 90 n 90

n 90 n 90 2

2 . 2 .1 2 . 2 .2

2 . 2 .2 2 . 2 .2 =

n2 90.2n

.(1 2)

2

90.2 2.(2 2 )

= 3

6= 1

2

11. Simplifique: 3 27N 4

8

Solución

Aplicando la propiedad de la raíz de un cociente se tiene:

3

3

27N 4 .

8 =

34

2 =

12

2 = 6

6. Efectúe: A 3 8 32 128 2

Solución

Descomponer cada radicando y se obtiene:

2 4 6A 3 2 .2 2 .2 2 .2 2 Simplificar en cada raíz y se tiene:

2 3A 3.2 2 2 2 2 2 2 = (6 4 8 1) 2 = 3 2

12. Efectúe:

1 12 2 13

1 5 3E 3

5 2 8

Solución

Page 61: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Primero se realizan las operaciones internas y luego se simplifica progresivamente:

12 13

1 2 8E 3

25 5 3

1 13 1 4 1

25 25 3

13 5

325

1

3 13

5

3 35 3 8 2

13. Simplifique:

2 05 5 2 1134

4 6 10

(5 )E 5

5 .5 .5

Solución

En el primer sumando se simplifica los exponentes y los índices, mientras que en el segundo se aplica la propiedad de las potencias de bases iguales.

E =

2 1125 1

4 34 6 10

55

5=

222412

20

55

5=

24

22 20125 5 =

2 25 5 = 25 + 25 = 50

14. Efectúe: E= (4,1818.....+ 0,2020.....) x 4,95 – 0,844.....

Solución

Pasando todos los decimales a fracción se tiene:

18 20 495 84 8E 4

99 99 100 90 =

4 99 18 20 495 84 8

99 100 90

434

E99

1

495

5

76

100 90 434

217 51

10020

10

76

90

E= 1877

90

15. Halle el valor de C, si

0,1 0,2 0,3 0,9C

0,01 0,02 0,03 0,09

Solución

Escriba cada número decimal en fracción y se tiene:

Page 62: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

C=

1 2 3 9

9 9 9 91 2 3 9

90 90 90 90

=

1 2 3 9

9

1 2 3 9

90

= 11

10

= 10

Nivel 1

1. Efectúe: R=6 1

3 35 2

2. Efectúe: N= 1 2 3 14 2 3

( )3 5 7 6 15 4

3. Efectúe: S= 10 1 1 3 1

( )7 7 2 4 5

4. Efectúe: T=

2

2 2 2 2

(8 12)( 3) ( 2 5 6)

2 ( 3 4 )

5. Efectúe: M=

328 1 3

1 ( 3)9 2 2

6. Efectúe: E=

331 3 2

2716 4 3

7. Efectúe: R= 3 8 2 18 4 50

8. Efectúe: N= 3 3 64 5 2 135 3 1600

9. Efectúe: H= 3 3 65 16 2 128 7 256

10. Halle el valor de las siguientes potencias:

a) 1236

b) 130,125 c)

1432 d)

324

9

11. Halle la fracción generatriz:a) 0,018

b) 1,186

c) 0,2020...

d) 0,12312

3...

e) 0,1844...

f)

0,51919...

g) 3,55...

h) 1,033...

i) 0,3622...

j) 0,198

k) 4,186186...

l) 3,004…

m) 0,2366...

n) 0,1244...

o) 0,8181...

12. Efectúe los siguientes ejercicios:

Ejercicios propuestos 2.1.12.

Page 63: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) A = 0,133...+ 0,6444... – 0,14333...

b) B = 0,06 +2

0,333...+ 0,988... – 0,05

c) C = 5,1818... + 1,31515... – 0,0303...

d) D = (1,033...)(0,344...) – 1,7272... + 0,199…

e) E = 0,1414...+ 0,8181... – 3, 4141…

13. Calcule el valor de: p q r , si: 1 1 1

p 3 ; q ; r 22 5 6

a) 8114

b) 8215

c) 8715

d) 6 e) 1

6

14. Calcule el valor de: M= –[ – (–41)+(24–37)]+[–(–13+18)+(29–15)]a) –19 b)–20 c)18 d) 19 e) 20

15. Si 2 3

E152

, calcule el valor de 5E

a) 29 b) 20 c)30 d) 18 e) 32

16. Determine el valor de: 1P (0,4949... 0,1616...)

a) 3 b) 1

3c) 0,3 d) 6 e)

1

617. Efectúe: E=(-2)2 + (-2)3 + (-2)4 + (-2)5

a) 20 b) –20 c) 22 d) –22 e) 25

18. Efectúe: E=(-3)0 + (-3)1 +(-3)2 + (-3)3 a) 20 b) –18 c) 18 d) –20 e) 21

19. El equivalente de 3 54 es:

a) 18 b) 36 3 c) 33 16 d) 33 2 e) 36 2

20. ¿Cuál es el equivalente a 3 3 ?

a) 4 27 b) 43 3 c) 4 9 d) 27 e) 3 6

21. El equivalente a 0,75 4 125 es:

a) 125 b) 75 c) 5 d) 25 e) 16 85

22. El equivalente de 2

55

es:

a) 2 b) 10 c) 2 d) 7

5e)

2

5

23. El equivalente de 3

2

2es:

a) 10 32 b)

3 102 c) 2 d) 2 e) 6 4

24. Efectúe: 12 155 14E a a

Page 64: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) 3 13a b)

60 31a c) 13 60a d)

20

9a e) 6a

25. Determine el valor de A + B, si A = 2A y B 6B , sabiendo que A y B

están en el intervalo 1;6 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Nivel 2

Resuelva los siguientes ejercicios y marque la alternativa correcta en cada caso

siguiente:

1. Simplifique: 6 3 3

4 9 2

21 35 80E

15 14 30

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Simplifique: 6 4

2 6 4

35 42E

5 7 105

a) 14 b) 20 c) 12 d) 8 e) 16

3. Simplifique: 6 4 2

9 6

42 70 50E

14 15 200

a) 4 b) 12 c) 7 d) 8 e) 10

4. Simplifique: 50 50 100 100

50 50 50 50 50

3 6 10 77E

21 14 33 55 20

a) 1 b) 2 c) 3 d) 8 e) 10

5. Efectúe: E=

1 112 531 1 1

9 27 32a) 14 b) 20 c) 12 d) 18 e) 8

6. Efectúe:

a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

7. Efectúe: E=

015 3 103

32

2 644 9

272

a) 54 b) 30 c) 32 d) 44 e) 36

8. Calcule:

23 0,5 6

1E 4

4

a) 2 b) 5 c) 2 d) 3 2 e) 3

Page 65: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

9. Efectúe: E=

13 1 22 11

9 3 182

2 5 35

a) 4 b) –1 c) 2 d) 3 e) 1

10. Efectúe:

21 111 7 4

E 3 42 2 3

a) 1 b) 2 c) 1

4d)

3

4e)

4

3

11. Simplifique: E =

1249278a) 4 b) –1 c) 2 d) 3 e) 1

12. Si A 25veces

3 3 3 ... y B 25veces

12 12 12 ... .

Halle: R = A B

a) 4 35 3 b) 5 3 c) 3 d) 4 3 e) 3 3

13. Efectúe: E= 1 162 4 115

3

a) 14-2 b) 11 c) 12-2 d) 3 e) 25

14. Halle el valor de la siguiente expresión:

1E 1

11

11

11

2

a) 9

5b)

6

8c)

3

8d)

5

8e)

13

8

15. Evalúe: 0,5 0,753 2 3 4E ( 2 ) ( 0,5 )

a) 64 b) –64 c) 63 d) 60 e) -63

16. Efectúe: P= 7

(11 0,033033...) (0,1111... 0,037037...)33

a) 9 b) 27 c) 33 d) 90 e) 11

17. Simplifique la siguiente expresión:

0,432432 0,0909 0,8181 407

2,75 0,3636 546a) 9 b) 37 c) 40 d) 0 e) 1

Page 66: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

18. Determine el valor de la siguiente expresión:

3a 57 3a3

E 0,754

a) 9

19

b) 34

c) 14

d)

2a3

4e)

2a13

19. Reduce:

2 1 5 2 2 3 2

2 3 2 2 2

7 .7 .7

7 .7a) 57 b) 7 c) 47 d) 49 e) 67

20. Halle el área del círculo mostrado a continuación.

Usa la fórmula 2r , donde: 21

r m99

y 227

a) 22 m² b) 21 m² c) 14 m² d) 7 m² e) 1 m²

21. Halle el perímetro de la figura mostrada a continuación:

a) 4 2 2 b) 2 2 2 1 c) 4 2 2 1 d) 8 2 2 e) 2 4 2 1

22. Un tanque de petróleo tiene las siguientes dimensiones: la base tiene una longitud de 4 5 m, el ancho 2,4 50 m y la altura 10 10 m. El volumen de

dicho tanque en 3m será: a) 1800 b) 2000 c) 2100 d) 4600 e) 4800

23. Halle 2M – N, dados: M 3 3 3... y N 5 5 5... siendo M y N

números positivos.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24. Siendo 32 cm² el área del círculo pequeño de la figura. Determinar el diámetro del círculo mayor en cm.a) 4 b) 12 2 c) 4 2 d) 16 2 e) 8 2

25. Dos cuadrados de 169 m² y 49 m² de área se juntan formando una ele (L). La medida M del perímetro de la figura formada es: a) 56 m b) 63 m c) 66 m d) 67 m e) 30 √2 m

Nivel 3 Resuelva los siguientes ejercicios y marque la alternativa correcta en cada caso:

1. ¿Cuántas fracciones irreductibles con denominador 14 existen, de tal modo

que sean mayores que 27

pero menores que 57

?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Simplifique:

r

Page 67: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) 2,87 b) 2,85 c) 8,52 d) 2,58 e) 2,97

3. Halle x y , si 0,xy 0,yx 1,4

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 5

4. Si 10,1z2y5x

x . ¿Cuántas cifras no periódicas genera

x

yz?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que su cuadrado al dividirse entre 71 deja residuo 16?a) 11 b) 22 c) 23 d) 24 e) 26

6. El número abcdefg tiene cifras diferentes, además su raíz cuarta y su raíz quinta son exactas. Halle la diferencia de las raíces cuarta y quinta del número.a) 27 b) 26 c) 16 d) 17 e)7

7. La diferencia de dos cuadrados perfectos de cuatro cifras cada uno es 5320 y la diferencia entre los complementos aritméticos de sus raíces cuadradas es 38. Halle la suma de las cifras del menor de los cuadrados. a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) 1

8. Sobre una caja cúbica de 512 000 cm3 se coloca otra similar de 8000 cm3. Halle el área total de la superficie externa del nuevo sólido en m².a) 4 b) 400 c) 758 d) 360 e) 3,36

9. Calcule el valor de :

3 2 7 2 13

9254 7 6 3 23 1 3 1 1 3518 6 5 2 4

a) 4 b)3 c) 5 d) 6 e) 7

10. Calcule

277 120,1 2 2 5 5 2 2 212012 41 0,9

0,3 3 120 3 3 8 12 5 13 251,6 7 8

a) 4 b)3 c) 5 d) 6 e) 7

11. Sume a 12

los 23

de1

45

; reste de esta suma la mitad de 35

; divide esta

diferencia por el resultado de sumar a 14

los 54

de 13

, y el cociente

multiplíquelo por el resultado de sumar a 14

la quinta parte de 14

. Exprese

este último producto en número decimal. a) 1 b)3 c) 1,34 d) 1,36 e) 1,35

12. Calcule el valor de:

22 2

2 2 2

3 2 3 3 2 3 3 2 2 33 34 5 4 2 5 2 4 5 5 24 2

3 2 3 2 3 32 5 4 5 2 4

Page 68: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

a) 0,074 b) 0,063 c) 0,064 d) 0,067 e) 0,077

13. Calcule el valor de

1 1 0,31 0,03 8 0,1 5 2 29 374

13 3 6 9 2,5 9 45 30 4533 2

35

2 31

1 1,0641

68

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

14. Calcule el valor

a) 0,4 b) 2,5 c) 5,2 d) 3,6 e) 1,7

15. Calcule el valor de :

a) 4 b)3 c) 5 d) 6 e) 7

16. Aún tengo tanto como la mitad de lo que he perdido. De no haber perdido me hubiera sobrado tanto como lo que me falta hoy para comprar un par de zapatos de S/. 30 ¿Cuánto tenía inicialmente?a) 20 b) 45 c) 30 d) 40 e) 25

17. Yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes, más 10 soles. Si tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías 5 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto me quedaría si comprara un artículo y gastara la cuarta parte de lo que no gastaría?a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 44

18. El costo de fabricación de un libro es “a” soles, el cual se vende ganando tanto como se rebajó al momento de vender. De no haber rebajado, se hubiera ganado “b” soles más de lo que costó. ¿Cuánto se rebajó?

a) b4

b) a b

2

c) b a

2

d) b2

e) a2

Page 69: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

19. De dos velas de igual calidad una tiene 24 cm de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la menor. ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor, si la menor duró 150 minutos en total?a) 50cm b) 58cm c) 60cm d) 64cm e) 67cm

20. Para un arreglo floral se dispone de 48 flores entre rosas y margaritas. Si disponemos las flores por parejas de rosas con margaritas, se observa que el número de margaritas que sobran es el menor que se puede disponer en cinco líneas de a 4. Halle el número de rosas.a) 14 b) 15 c) 18 d) 19 e) 13

Nivel 1

1.3910

d) 278

l) 676225

16. A

2.6712

11. a) 9

500m)

71300

17. B

3.6920 b)

593500

n) 28

22518. D

4.83

c) 2099

0) 9

1119. D

5.3512

d)

41/33312. a)

571900

20. A

6.198

e) 83

450b)

6299900

21. C

7. 20 2 f) 257495

c) 9715

22. B

8. 4 35 g) 329

d) 8155

23. E

9. 16 ( 32 ) h) 3130

e) 2711 24. B

10. a) 6 i) 163450

13. B 25. D

b) 0,5 j) 99

50014. A

c) 4

1

2 2k)

1394333

15. E

Nivel 2 Nivel 31. B 21. C 1. B2. E 22. E 2. A3. C 23. A 3. D4. A 24. D 4. B5. E 25. C 5. E6. B 6. C7. D 7. C8. D 8. A9. D 9. B10. C 10. D

Respuestas 2.1.13.

Page 70: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

11. C 11. E12. A 12. C13. E 13. A14. E 14. B15. A 15. E16. D 16. B17. E 17. E18. B 18. B19. A 19. D20. C 20. D

«El 23 de mayo del 2003 el Dr. Ricardo López Murphy, candidato a la presidencia de Argentina, visitó la ciudad de Rosario.

Al ser entrevistado por varios periodistas, el candidato respondió preguntas sobre todos los temas: política, economía, educación, salud, defensa. La opinión de mucha gente es que éste era el candidato intelectualmente más lúcido y mejor preparado para el cargo al cual se postulaba.

Sin embargo, la solvencia que venía mostrando (sobre todo en cuestiones económicas)

se vio opacada cuando un periodista le preguntó: «¿Y qué harían ustedes, si llegaran al gobierno, con el problema de las drogas?». El candidato respondió sin vacilar: «Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico».

Tres cosas se deben aclarar:1) Su respuesta fue una frase hecha, muy trillada.2) La misma no mereció la repregunta de ninguno de los periodistas presentes.3) La nota no perdió ritmo como consecuencia de esa respuesta.

Estas observaciones son importantes porque revelan que:1) Muchos piensan lo mismo que López Murphy.2) Nadie advirtió la trampa que la respuesta encerraba.3) Todos (entrevistadores y entrevistado) parecían más preocupados por

mantener el ritmo de la nota que por lo que se estaba diciendo. Y la verdad es que la respuesta sorprendió como un detalle “progresista” que provenía de alguien a quien se lo había calificado como partidario de la “mano dura”.

Más allá de las cuestiones políticas, la propuesta de López Murphy proviene de un planteo incorrecto. ¿Cuál es el planteo incorrecto según usted?

Solución

Para mostrar cuál es el inconveniente se recurrirá a la Teoría de Conjuntos. Quienes concuerdan con la propuesta de López Murphy representan la situación del problema que plantean las drogas como se muestra en la figura 1.

Teoría de Conjunto2.2.

Caso de estudio I: Las drogas y la Teoría de Conjuntos

2.2.1.

Page 71: matematica basica

71

CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Pero cualquiera que haya estudiado Teoría de Conjuntos sabe que ésta no es la disposición más general de dos conjuntos. La disposición más general es la que se muestra en la figura 2.

Es decir, hay tres categorías: la de los que consumen, la de los que trafican y la de los que consumen y trafican.

Esto es importante porque, desde el punto de vista del Derecho Penal, si uno dice: «Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico», en realidad está diciendo: «Los consumidores al hospital y los traficantes a la cárcel». La pregunta que surge entonces es: «¿Y los que consumen y trafican adónde deben ir?».

Si la ley se hace con el esquema de la figura 1, todo traficante preferirá que se lo trate como consumidor y los productores de drogas usarán a los consumidores como traficantes. Se debe legislar sobre la base del esquema de la figura 2. Es decir, lo que hay que discutir es qué se hace con quienes están en la intersección de los dos conjuntos. Con los otros es fácil ponerse de acuerdo. La propuesta de López Murphy hace referencia a los casos fáciles y elude el caso difícil. Por esto no sería injusto tildarla de demagógica: pone de su lado al interlocutor, pero no resuelve el problema.

Las respuestas a la pregunta «¿Y los que consumen y trafican adónde deben ir?» serían las siguientes: Si se volvieron traficantes como consecuencia de la desesperación que les produce su adicción, enviarlos al hospital. Si se volvieron adictos cuando ya eran traficantes, enviarlos al hospital hasta que se curen y luego a la cárcel como castigo.

Lógicamente, esta propuesta es opinable desde el momento que fija una posición. Lo que nadie podrá decir es que se trata de una propuesta demagógica»

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Tomado de:  http://www.luventicus.org/articulos/03R008/index.html

En la actualidad, emigran prácticamente de todas las clases sociales y grupos culturales del Perú. Sin embargo, la mayor concentración de migrantes se encuentra en los jóvenes de clase media.

La migración internacional posee una dinámica diversa y compleja. No hay teoría única que explique este fenómeno. Para explicar sus causas se requiere en realidad de diversos niveles de análisis complementados entre sí.

La primera causa que explica la migración de peruanos al extranjero es la inestabilidad e inseguridad que se vive en el país. Luego está la insatisfacción, puesto que los peruanos perciben que sus ingresos y necesidades no mejoran en lo más mínimo. Migrar hacia un país con mejor distribución de ingresos se convierte así en un incentivo. Los ciudadanos comparan el ingreso nacional per cápita y los salarios del Perú con el que tienen los ciudadanos del país a donde quiren ir, entonces esto se convierte en un factor determinante.

En conclusión, la migración es un reflejo de la desconfianza que los peruanos poseen hacia su propio país, ya que éste no les brinda las oportunidades necesarias para subsistir y poder salir adelante. Por tal motivo, van en búsqueda de nuevos horizontes que los ayudan a superarse económica y socialmente. Además, muchos de ellos optan por quedarse definitivamente en el país elegido, para luego establecer una familia.

En los últimos meses se ha realizado un estudio de investigación donde se pregunta a los jóvenes si tienen la intención de viajar y las razones por las cuales viajarían. Con estos resultados, el Gobierno piensa plantear estrategias para retener a esots jóvenes emigrantes.

Los resultados del estudio son los siguientes:

Creo que hemos asistido al nacimiento de una disciplina entre el

Derecho Penal y la Matemática

Podríamos llamarla“Derecho Penal Matemático”

Caso de estudio II: Jóvenes emigrantes2.2.2.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

¿Viajarías al extranjero?

Intención Estudiantes %SÍ 938 93,8%NO 62 6,2%

Fuente: STATPERÚ.

¿Cuáles son las razones por la cual Ud. Viajaría al extranjero?

Razones EstudiantesEstudio y vacaciones 75Trabajo 733Sólo trabajo y estudios 212Sólo vacaciones 89Trabajo y vacaciones 206Estudio, trabajo y vacaciones

16

Fuente: STATPERÚ.

En base a los resultados del estudio responder a las siguientes preguntas:1) ¿Qué porcentaje del total de jóvenes desea viajar por estudio?2) ¿Qué porcentaje del total de jóvenes desea viajar sólo por estudio?3) ¿Qué porcentaje del total de jóvenes desea viajar sólo por trabajo?4) ¿Qué porcentaje del total de jóvenes desea viajar sólo por trabajo y

vacaciones?

Solución

Primero, representamos las razones que tienen los jóvenes mediante los conjuntos: estudiar (E), trabajar (T) y vacaciones (V). Señalamos a continuación la cantidad de elementos correspondientes a cada región, según los datos dados.

También podemos deducir los elementos de las regiones comunes interpretando y restando en cada caso. Hay que tener en cuenta el término “sólo”, el cual es excluyente.

Para calcular los valores de x, y, z y w utilizamos los datos dados en el cuadro anterior:a) z 16 75 z 59

212

16

x y

wz

8962

V

TE

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

b) w 16 206 w 90c) y w 16 212 733 y 190 228 733 y 315

d) x y z w 212 16 89 62 1000 x 315 59 190 379 1000 x 57

Ahora que se sabe el cardinal de todas las regiones se responde las preguntas.

1) 344 jóvenes desean viajar por estudios. Esto equivale al 34,4 %.2) 57 jóvenes desean viajar sólo por estudios. Esto equivale al 5,7 %.3) 315 jóvenes desean viajar sólo por trabajo. Esto equivale al 31,5%.4) 190 jóvenes desean viajar sólo por trabajo y vacaciones. Esto equivale al

19%.

El origen de este concepto se debe al matemático alemán George Cantor, quien dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los fundamentales en Matemática, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente en todas las ramas de las matemáticas puras o aplicadas.

En su forma explícita, los principios y terminologías de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas, y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

Surgió de la necesidad de darle rigurosidad lógica a las discusiones matemáticas con el fin de eliminar la ambigüedad del lenguaje cotidiano.

Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de una misma clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados elementos del conjunto.

Ejemplos:

Introducción a la Teoría de Conjuntos2.2.3.

Idea de conjunto2.2.4.

George Cantor

El conjunto formado por los alumnos del octavo ciclo de la carrera de Administración de la UPN-Trujillo

Las estrellas del firmamento en un viaje planetario

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Notación:

Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota con letras mayúsculas: A, B, C,…; sus elementos se separan con punto y coma.

Ejemplos:

El conjunto de las vocales se puede escribir así: V={a; e; i; o; u}El conjunto de planetas del sistema solar: S = {Mercurio; Venus; Tierra; Marte; Júpiter; Saturno; Urano; Neptuno}.

La relación de pertenencia se da entre elemento y conjunto. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo .Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo .

Ejemplos:

Sea A = {1; 5; 9; 13}, se puede afirmar que:Se lee: 1 pertenece al conjunto A.

5 A Se lee: 5 pertenece al conjunto A.7 A Se lee: 7 no pertenece al conjunto A.12 A Se lee: 12 no pertenece al conjunto A.

Un conjunto A está incluido en otro conjunto B; sí y sólo si todo elemento de A es también elemento de B. Se denota A B y se lee: A está incluido en B, A es subconjunto de B, A está contenido en B, A es parte de B.

Ejemplo:

Sean dos conjuntos: A = {1; 5} y B = {1; 5; 9; 13}; entonces se afirma que A está incluido en B: A B

Relación de pertenencia2.2.5.

Relación de inclusión2.2.6.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

Ejemplo:

A = {1; 5} y C = {2; 4; 6} son disjuntos.

Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos.Simbólicamente:

A B A B B A

Ejemplo:

Sean 2A {x / x 9} y B {x / (x 3)(x 3) 0} dos conjuntos.

Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 ó -3; es decir: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}; por lo tanto A=B.

Los conjuntos pueden ser determinados por extensión o por comprensión.

A) Por Extensión. Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplos:

A = {1; 2; 3; 4; 5}Se lee: A es el conjunto formado por los cinco primeros números naturales.

B = {m; u; r; c; i; e; l; a; g; o}Se lee: B es el conjunto formado por las letras de la palabra murciélago.

B) Por Comprensión. Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad o condición que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

Ejemplos:

Se lee: A es el conjunto formado por las x tal que x es un número natural menor que 10.

B {x / x es par 0 x 7}

Se lee: B es el conjunto formado por los números enteros pares tal que se encuentran entre cero y siete.

El cardinal de un conjunto A es el número de elementos que tiene dicho conjunto.

Igualdad de conjuntos2.2.7.

Determinación de conjuntos2.2.8.

Cardinal de un conjunto2.2.9.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

Las notaciones que normalmente se usan para indicar el cardinal de un conjunto es:

n(A) o Card(A)

Ejemplos:

Conjunto Cardinal

A={1;2;3;5;7;11;13;17;19} Card(A)=9

F={66;77;88;99} Card(F)=4

H={9;16;25;36;49;64} Card(H)=6

G={Luna} Card(G)=1

Según el número de elementos (según su cardinal), los conjuntos pueden dividirse en:

Conjunto vacío. Es un conjunto que no tiene elementos. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }.

Ejemplo:

M = {números mayores que 9 y menores que 5}

Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: F x / 2x 6 0

Conjunto finito. Es el conjunto con un número limitado de elementos.

Ejemplo:

E = {x / x es un número impar positivo menor que 10}

Conjunto infinito. Es el conjunto con un número ilimitado de elementos.

Ejemplo:

S = { x / x es un número par }

Conjunto universal. Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U.

Ejemplo:

El universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los números complejos.

Clases de conjuntos2.2.10.

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CAPÌTULO 1LÓGICA PROPOSICIONAL

La forma clásica de representar un conjunto cualquiera A y su conjunto universal es la siguiente:

Conjunto potencia. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Ejemplo:

Sea A {1; 2; 3} ; entonces .

Se incluye como subconjuntos tanto los llamados impropios, y A, como los propios (los subconjuntos propiamente dichos).

El cardinal del conjunto potencia de A es:

Ejemplos:

a) En el ejemplo anterior Card(A)=3, entonces Card[P(A)] = 23 = 8

b) Si el conjunto potencia de A tiene 64 elementos entonces cuántos elementos tiene el conjunto A.

Solución

Por dato, 2n(A) = 64 = 26 Card(A) = 6

El número de elementos del conjunto A es 6.

A U

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.

Definición Representación gráfica

Unión. La unión de A y B, escrito AB, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B (sin repetir ninguno).

A B x / x A x B

Intersección. La intersección de A y B, escrito AB, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez.

A B x / x A x B

Diferencia. La diferencia entre los conjuntos A y B, escrito A B, es el conjunto de todos los elemento de A que no pertenecen a B.

A B x / x A x B

Complemento. El complemento de un conjunto A, escrito A= A’, es el conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto universal, pero no pertenecen al conjunto A.

A A' x / x U x A

Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre A y B, escrita A B, está formada por todos los elementos de A que no son de B, junto con los elementos de B que no son de A.

A B x / x A B x A B

Operaciones con conjuntos2.2.11.

A A’

U

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A BA B

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Conjuntos disjuntos. Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío; es decir, no tienen elementos comunes.

A B

1. Expresar el conjunto 3 2A {x / x 2x x 2 0} por extensión.

Solución

Resolviendo la ecuación 3 2x 2x x 2 0 se tiene:

(x+2)(x+1)(x–1)=0

x=–2; x=–1; x=1

Por lo tanto: A { 2; 1; 1}

2. Dado el conjunto A {x / 7x 43} . Indicar lo incorrecto.

a) 3 A b) 2 A c) 6 A d) 7 A e) 5 A

Solución

Primero se expresa el conjunto A por extensión, así se tiene:

A {1;2;3;4;5;6}

Por lo tanto, la alternativa es “d”, ya que: 7 A

3. Halle la suma de los elementos del conjunto A {x / 7x 2x 100; x }

Solución

Primero se expresa el conjunto A por extensión, para esto se resuelve la inecuación: 7x 2x 100 de esto se tiene: x 20

Entonces el conjunto es:

A = {1;2;3;4;…;18;19;20}

Utilizando la fórmula que suma los “n” primeros números naturales (

n(n 1)S

2

) se tiene: 1+2+3+…+20= 210

4. Halle los valores de x e y si los conjuntos A y B son iguales. Respetar el orden de los elementos.

Ejercicios resueltos2.2.12.

A B

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

A = {6;8;14} y B = {3+x;8;2y–4}

Solución

Si el conjunto A es igual al conjunto B, entonces tienen los mismos elementos, es decir:

6 = 3 + x 14 = 2y – 4,De lo cual se obtiene:

x = 3 ; y =9

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

5. Se puede formar un conjunto con los números obtenidos al lanzar dos dados, es decir:

U = {2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}

A continuación formamos los siguientes subconjuntos del conjunto U:

A = {3;4;7;11;12} B = {3;5;8;10;12} C = {6;9;10;11;12}

a) Representar en un diagrama el universo y los conjuntos A, B y C.b) Halle los siguientes conjuntos

, , , , , , , , , ,

, c) Halle el cardinal de los siguientes conjuntos

, , , , , , ,

Solución

a)Representemos los elementos de los conjuntos antes mencionados en el siguiente diagrama:

b) Los elementos de los conjuntos pedidos son:

A B {3;12}A B {3;4;5;7;8;10;11;12}A B {4;7;11} B C {10;12}C' {2;3;4;5;7;8}A B {4;5;7;8;10;11}

(A B) C {10;11;12} (A B)' {2;6;9}(A B C)' {2} A' C {2;5;8}

(A C)' {2;5;8;11;12} P(A B) { ;{3};{12};{3;12}}

c) El cardinal de los conjuntos dados son

5Card P(A) 2 32 2Card P(A B) 2 4

Card (A B) 6 6Card P(A C) 2 64

Card (A B) 3 Card (A B C) 10 Card (A B C)' 1

Card (A B) C 3

6. En una encuesta de preferencia de los artículos X, Y, Z; 20 prefieren los tres artículos; 43 prefieren X y Y; 40 prefieren X y Z; 57 prefieren sólo X; 143 prefieren Y; 75 prefieren sólo Z; y 69 prefieren sólo Y.a) ¿Cuántos prefieren sólo X y Y?b) ¿Cuántos prefieren sólo Y y Z?c) ¿Cuántos son los encuestados?

.7.4

.3 .5.8.12

.10.11

.6 .9.2

C

BA

U

Page 83: matematica basica

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Solución Primero, representamos los tres conjuntos de preferencias de manera

general, señalamos a continuación la cantidad de elementos correspondientes a cada región, según los datos dados.

También podemos deducir los elementos de las regiones comunes interpretando y restando en cada caso. Hay que tener en cuenta el término “sólo”, el cual es excluyente.

Para calcular la cantidad “m” de elementos que prefieren sólo Y y Z,

utilizamos el cardinal de Y y los cardinales de sus partes (subconjuntos),

esto es:

n(Y) = 23 + 69 + 20 + m

143 = 112+m

Luego:

m=31

Ahora que sabemos el cardinal de todas las regiones respondemos las preguntas.a) 23 personas prefieren sólo X y Y. b) 31 personas prefieren sólo Y y Z. c) Se encuestaron a 295 personas (suma de los elementos de

todas las regiones).

7. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de sociología y 53 no siguen el curso de filosofía. Si 27 alumnos no siguen filosofía ni sociología, ¿cuántos alumnos llevan sólo uno de tales cursos?

Solución

Datos:x + z + 49 = 100 x+z=51 (1)y + z + 53 = 100 y+z = 47 (2)

Sumando (1) y (2): x + y + z + z = 98 100 –27 + z = 98 implica z=25

5720

20

Z

YX

U

69

75

23

?

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Pero: x + y +25 = 100 – 27

Por lo tanto, x + y = 48

Nivel 1

1. Establezca si cada una de las siguientes oraciones determinan un conjunto.1) Las mujeres más hermosas de Trujillo.2) El hombre más chistoso del Perú.3) Los habitantes de la Luna.4) Los números pares menores a 1000.a) VFVF b) VFVV c) FFVV d) VVFF e) N.A.

2. Determine el valor de verdad de las siguientes expresiones si:A {4; 6; 8; 10; 12} B = {2; 4; 8; 10} C = {4; 10; 12;

14}1) 4 A 2) 8 B 3) 4 C 4) 8 B 5) 10 A a) VVFFF b) FFVVF c) VVFVV d) FFVVV e) N.A.

3. Determine el valor de verdad de las siguientes expresiones:1) {2; 5; 3} = {3; 5; 2} 2) {4} {{4}; 5} 3) {3} {2; 3; 4}a) VVF b) VVV c) FVF d) FFV e) N.A.

4. Dado A={2; 4; 6; 8}, halle el valor de verdad de:1) 3)

2) 4) a) VVVF b) FVFV c) FVFF d) FFVF e) FVVV

5. Si A =1; 2; {3}; {1; 3}}. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?1) 2) 3)

4) 5) 6) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.

6. Halle los valores de x e y si los conjunto A y B son iguales.y

a) 2 y 6,5 b) 2 y 6 c) 3 y 6 d) 4 y 6,5 e) 3 y 6

7. Dado los conjuntos A = {9; 16; 25; 36} y

¿Ay B son iguales?

8. Determine por comprensión el conjunto E = { 9 ; 99 ; 999 ; 9999 ; 99999}a) 10x 1 / x x 6 N < b) 10x 9 / x x 5 N <

c) x 110 1/ x x 5 N < d) x 110 1/ x x 5 Z < e) N.A.

9. Dado el conjunto A = {2; 6; 12; 20; 30; 42; 56}, determine el conjunto dado por comprensión.

a) b)

Ejercicios propuestos2.2.13.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

c) d)

e)

10. Determine por extensión el siguiente conjunto:

a) I={1; 2; 4; 8; 16; 32; ....} b) I={1; 3; 5; 8; 16; 32; ....} c) I={1; 2; 4; 10; 18; 32; ....} d) I={1; 2; 8; 16; 32; 64; ....} e) N.A.

11. Determine por extensión el siguiente conjunto:

a)I={1; 3; 7; 9} b) I={7; 9; 11; 15} c) I={5; 7; 9; 11} d) I={7; 9; 11; 13} e) N.A.

12. Halle la suma de los elementos del conjunto

a) 108 b) 28 c) 78 d) 98 e) 89

13. Determine por extensión al conjunto y halle la suma de sus elementos.a) –20 b) –21 c) –19 d) –18 e) N.A.

14. Determine por extensión y de cómo respuesta el número de elementos del

conjunto

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

15. Carla cuida de manera responsable su salud, pero a ella le gusta cierto tipo de chocolates en barra, cada uno de los cuales contiene 220 calorías. A fin de quemar las calorías sobrantes, Carla participa en sus actividades favoritas por periodos de una hora y nunca repite una en un mismo día.

Actividad SímboloCalorías quemadas

por horaVóleibol

GolfRemo

NataciónCarreras

vgrnc

160260340410680

a) El lunes, Carla tiene tiempo para no más de dos actividades. Haga una lista de todos los conjuntos posibles de actividades con las quemaría al menos el número de calorías obtenidas de tres barras de chocolate.

b) Suponga que Carla tiene tiempo para tres horas de actividad el sábado. Haga una lista de todos los conjuntos de actividades con las que quemaría al menos el número de calorías de cinco barras de chocolate

Nivel 2

1. Dé el valor de verdad de:I. A B A B B II. A B A B

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

III. A B A B A a) VFV b) VVV c) FFF d) VFF e) FFV

2. Sean A y B dos conjuntos no disjuntos. Si , ,

, calcule el número de subconjuntos de A B .a) 8 b) 7 c) 4 d) 64 e) 12

3. De dos conjuntos A y B se conoce:

Calcule .a) 8a b) 7a c) 4a d) 6a e) 2a

4. Sean A y B dos conjuntos diferentes del nulo o vacío, además el . Si , determine el valor de

. a) 2456 b) 2012 c) 4012 d) 2048 e) 2047

5. A es un conjunto de 8n elementos, B es un conjunto de 5n elementos que tienen 2n-1 elementos comunes. Si , ¿cuál es el cardinal del conjunto potencia de ( )A B .a) 244 b) 128 c) 401 d) 204 e) 202

6. El diagrama muestra los cardinales de todas las regiones; en base a esta información, determine los cardinales siguientes: 1.

2.

3.

a) 5; 18; 56 b) 1; 2; 5 c) 4; 5; 11 d) 2; 10; 24 e) 2; 1; 2

7. En un salón de clase, se preguntó a los alumnos sus preferencias por Matemática y Lenguaje. El resultado fue el siguiente: a 25 alumnos le gusta la Matemática, a 30 Lenguaje y a 15 solamente uno de los cursos. Si 5 alumnos no mostraron interés por los cursos, ¿a cuántos alumnos se encuestó?a) 20 b) 12 c) 40 d) 28 e) 29

8. De 100 personas encuestadas, 40 sólo trabajan, 48 no estudian y 45 no trabajan. ¿Cuántas personas estudian y trabajan?a) 20 b) 15 c) 40 d) 16 e) 22

9. De 50 alumnos, 30 estudian Matemática y 25 Historia. Además, 21 estudian Matemática e Historia. ¿Cuántos alumnos no estudian Matemática ni Historia?a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 21

10. En una entidad internacional trabajan 36 personas, de las cuales 6 hablan solo inglés y español; 10 hablan solo francés y español; 8 hablan inglés, francés y español. Si todos hablan español:1) ¿Cuántas personas solo hablan español?2) ¿Cuántas personas hablan inglés?3) ¿Cuántas personas hablan francés?a) 12, 14, 19 b) 15, 14, 12c) 16, 12, 15d) 17, 12, 15e) 12, 14 18

11. De un total de 320 consumidores de pollos a la brasa:125 no consumen ketchup135 no consumen mostaza.20 no consumen mostaza ni kétchup.¿Cuántas personas consumen ambas salsas?

Page 87: matematica basica

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

12. De un grupo de 80 personas se sabe que 30 de ellas no estudian ni trabajan; 20 personas estudian y 6 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de las dos actividades? a) 44 b) 42 c) 41 d) 45 e) 49

13. En las competencias internas de la UPN se ha abierto un campeonato de triatlón, atletismo (A), ciclismo (C) y natación (N). Los participantes pueden inscribirse en una, dos o en las tres ramas deportivas. Si al cierre de las inscripciones se registraron las siguientes listas: A: 13, C: 15, N: 13, A y C: 5, A y N: 4, N y C: 7, A, N y C: 3, ¿cuántas personas se inscribieron en total?a) 24 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

14. De 200 alumnos, 105 se inscriben en Aritmética, 115 en Álgebra y 75 en Geometría; 65 en Álgebra y Aritmética; 35 en Aritmética y Geometría; 30 en Álgebra y Geometría; y 20 en los tres cursos. ¿Cuántos no se han inscrito en ningún curso?a) 14 b) 21 c) 15 d) 30 e) 19

15. En una ciudad, a de la población no le gusta la carne ni el pescado, a la

la carne y a los el pescado. ¿A qué fracción de la población le gusta la

carne y el pescado?a) 1/4 b) 2/3 c) 1/5 d) 3/2 e) 1/6

16. En una población, el 50% toma leche y el 40% come carne. Los que solo comen carne o solo toman leche son el 54%, ¿cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne?a)12% b) 20% c) 28% d) 30% e) 24%

17. En un colegio el 50% de los alumnos aprobó Física; el 42%, Química; y el 56% uno y sólo uno de los dos cursos. Además, 432 aprobaron Física y Química. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?a) 2400 b) 2800 c) 2900 d) 3000 e) 3100

18. En un instituto de idiomas donde se dan clases de inglés, alemán y francés se observa que de los que estudian alemán, ninguno estudia francés. De los 15 que estudian alemán, 3 estudian inglés; de los 15 que estudian francés, 4 estudian inglés; además, la mitad de los que estudian inglés estudian a su vez otro idioma. ¿Cuántos alumnos estudian en dicho instituto?a) 28 b) 34 c) 37 d) 39 e) 38

19. En una reunión de la Cancillería de la República se encuentran invitados que hablan hasta 4 idiomas: español (E), inglés (I), francés (F) y portugués (P). Todos los 70 invitados hablan español y 7 hablan los 4 idiomas; además, n(IF)=19; n(IP)=15; n(sólo I y E)=13; n(sólo F y E)=8; n(sólo P y E)=6 y n(sólo E)=7.1) ¿Cuántos hablan español y otro idioma?2) ¿Cuántos hablan español y sólo dos idiomas más?3) ¿Cuántos no hablan inglés? a) 63; 29; 30 b) 65; 24; 22 c) 66; 32; 25d) 37; 32; 45 e) 32; 24; 28

20. A la biblioteca de la UPN asisten 50 estudiantes, de los cuales 20 solicitaron libros de Filosofía; 21 de Matemática; 19 de Inglés. Además, 9

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

leen libros de Matemática e Inglés; 3 leen solo Inglés; 4 solo leen libros de Matemática; y 3 leen los tres libros.1. ¿Cuántos leen solo Filosofía?2. ¿Cuántos no leen ninguno de estos tres libros?a) 1; 17 b) 2; 16 c) 2; 17 d) 2;18 e) 1; 18

21. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 en la fábrica B, 40 en la fábrica C y 7 están contratados en las tres fábricas. ¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente?a) 28 b) 22 c) 12 d) 18 e) 38

22. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron Aritmética y 6 Literatura; 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso. Hay 16 hombres en total; 5 aprobaron los 2 cursos y 11 aprobaron sólo Aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solo Literatura?a) 2 b)3 c) 1 d) 5 e) 6

23. Una máquina dibuja en una pantalla figuras a partir de instrucciones de operaciones entre conjuntos. La máquina conoce dos dibujos:

¿Qué órdenes debe dársele a la máquina para que dibuje las siguientes figuras?

24. Sombrea la parte que representa cada operación:

25. Si A es todo el círculo y las partes sombreadas de color verde son B, C, D, E (ver figura) respectivamente, indique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

A B

C

A B

C

A B

CA

B

A

C

A

D

A

E

a)C E B

b)C D A

c)B C E

d)B C C

e)C' B E

f)B C E

El dibujo A

El dibujo B

Si se le da la instrucción , la

máquina dibuja:

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

26. Considere el conjunto universal U y tres subconjuntos del mismo: A, B y C, de acuerdo a la siguiente figura:

Dibuje: a) b) c) d)

Nivel 3

1. De un grupo de 200 personas, se determina que 80 eran mudos, 70 cantantes y 90 ciegos. De estos últimos, los mudos eran tantos como los cantantes. Si los que no son cantantes ni mudos ni ciegos son 20, ¿cuántos sólo cantan?a) 40 b) 28 c) 29 d) 30 e) 39

2. A una reunión donde asistieron 50 personas, 5 mujeres tienen 17 años, 14 no tienen 19 años y 16 mujeres no tienen 17 años. En tanto 10 hombres no tienen ni 17 ni 19 años. ¿Cuántos hombres tienen 17 ó 19 años?a) 21 b) 18 c) 29 d) 19 e) 39

3. En un microbús viajan 41 pasajeros entre los cuales se observa que:21 personas están sentadas. Hay 16 mujeres en total.De los que están parados, 10 son hombres que no fuman.De las 12 mujeres sentadas, 8 no fuman. ¿Cuántos hombres que están parados no cuidan su salud, si hay 6 mujeres que fuman? a) 5 b)3 c) 1 d) 2 e) 6

4. En una oficina, 20 empleados conversan en voz baja para no despertar a los 10 que duermen; 18 están echados, 3 de ellos duermen y 5 conversan en voz baja. Si en total hay 50 empleados, ¿de cuántos se puede decir “quizás están trabajando?a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

5. En una encuesta realizada a 100 personas, todos los hombres tenían más de 20 años. En el grupo hay 50 mujeres y 60 personas con más de 20 años. En el grupo hay también 25 mujeres casadas, 15 personas casadas con más de 20 años y 10 mujeres casadas con más de 20 años. Determinar la cantidad de hombres solteros.a) 35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55

UA

BC

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

6. De 90 artistas, se sabe que 12 bailan, cantan y declaman; hay 56 que bailan, 49 que declaman y 25 que cantan. Además, todos los que cantan saben bailar y 8 no bailan, no cantan y no declaman. ¿Cuántos bailan y declaman pero no cantan?a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

7. De una muestra recogida a 200 secretarias, 40 eran rubias, 50 eran morenas y 90 tenían ojos azules. De estas últimas, 65 no son rubias y 60 no son morenas. ¿Cuántas no eran rubias ni morenas ni tenían ojos azules?a) 35 b) 110 c) 90 d) 105 e) 75

8. En un hospital general del distrito federal de México fueron internados 60 personas que presentaron sintomatología de influenza AH1N1, de las cuales se sabe que: 15 son mujeres mexicanas, 19 mujeres no son mexicanas, 17 mujeres no son sudamericanas y 10 hombres no son ni mexicanos ni sudamericanos. ¿Cuántos hombres mexicanos y sudamericanos fueron internados?a) 22 b)12 c) 16 d) 24 e) 18

9. En la Universidad Privada del Norte se dictan tres cursos generales: Matemática, Lengua e Inglés. En la carrera de Psicología, hay 24 cachimbos inscritos en Inglés, en Lengua 18 y en Matemática 20. ¿Cuántos alumnos se inscribieron en los tres cursos, si 13 se han inscrito en más de un curso y 34 en uno solo?a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

10. Sean los conjuntos: y . Si w es el número de subconjuntos propios del conjunto A, que son disjuntos con el conjunto B; además p es el número de subconjuntos no vacíos del conjunto

B, que son disjuntos con el conjunto A; halle entonces .a) 22 b)23 c) 20 d) 24 e) 18

11. Sean los conjuntos A,B yC diferentes del conjunto vacío, tal que:

Halle

a) 7 b) 4 c) 3 d) 8 e) 10

12. En un salón de clase, de matemática básica cero de la UNP-T, hay 45 alumnos de los cuales 15 son mujeres. 32 alumnos piden prestado el libro de matemática básica cero a la biblioteca y 8 mujeres compran el libro. ¿Cuántos hombres compraron el libro de matemática básica cero, si se supone que todos los alumnos tienen el libro? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Considera el conjunto . ¿Cuántos subconjuntos tiene A tales que la suma de sus elementos sea 2 007 000?a) 0 b) 8 c) 5 d) 4 e) 10

14. Se dice que un conjunto es aritmetical si tiene exactamente tres elementos y uno de ellos es igual al promedio aritmético de los otros dos.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

¿Cuál es el menor entero positivo tal que el conjunto 1,2,3, ,n tiene, al menos, 2004 subconjuntos aritmeticales? a) 53 b) 100 c) 91 d) 92 e) 98

15. De un grupo de 80 personas:Todos los hombres tienen más de 22 años.Hay 49 mujeres en el grupo y 25 son casadas.16 personas casadas tienen más de 22 años.Hay 10 mujeres casadas con más de 22 años de edad.60 personas tienen más de 22 años.¿Cuántas mujeres solteras no son mayores de 22 años?a) 5 b) 10 c) 11 d) 12 e) 18

16. En una reunión se observa que 40 mujeres son inglesas; 37 hombres son franceses; 28 ingleses son casados; 45 franceses son solteros. Hay, además, 42 hombres casados. Si 18 mujeres inglesas son solteras; entonces el número de mujeres francesas solteras es:a) 64 b) 57 c) 52 d) 49 e) 44

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31. C 1. A 18. C 1. A2. A 2. A 19. A 2. D3. B 3. E 20. C 3. E4. C 4. D 21. B 4. D5. B 5. B 22. A 5. C6. A 6. A 23 6. D7. SI 7. C 24 7. E8. C 8. B 25 8. C9. D 9. C 26 9. A

10. A 10. E 10. B11. D 11. E 11. C12. D 12. A 12. E13. B 13. B 13. D14. E 14. C 14. C

15. E 15. A16. C 16. E17. A

15. a) {g; n}; {r; n}; {c; v}; {c; r}; {c; n}; {c}b) {v; g; c}; {v; r; c}; {v; n; c}; {g; n; c}; {r; n; c}

23. a) b) c) d) e) f) g) h)

24. a) b) c)

Respuestas2.2.14.

A B

C

A B

C

A B

C

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

25. a) V b) V c) F d) V e) F f) V

26. a) b) c) d)

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Debido a la falta de trabajo en Trujillo, el número de taxis y colectivos se ha incrementado. El jefe de Transportes de esta ciudad desea diseñar placas nuevas para los 20 100 autos que circulan por sus calles, para lo cual a propuesto crear el código correspondiente con 6 caracteres, de los cuales los 2 primeros deben ser letras: desde la A hasta la C, y los 4 siguientes, números: desde el 1 hasta el 7. También ha indicado que ninguno de los caracteres, ya sea letra o número, debe ser repetido. a) ¿Es posible obtener el número de placas requeridas con las

condiciones dadas? b) En el caso que tu respuesta sea no, ¿qué recomiendas hacer para

que se logre obtener el número de placas pedidas?

Solución

El conjunto de letras a considerar: N={A,B,C} El conjuntos con los dígitos a considerar: M={1;2;3;4;5;6;7}

Este problema práctico es una aplicación del principio de la multiplicación. Es decir:

A B 1 2 3 4

3 2 7 6 5 4

Explicación:

Para colocar una letra en el primer casillero hay 3 posibilidades. Para colocar una letra en el segundo casillero hay 2

posibilidades, puesto que ya se usó una letra en el primer casillero. Para colocar un número en el tercer casillero hay 7

posibilidades. Para colocar un número en el cuarto casillero hay 6

posibilidades, puesto que ya se uso un número para el tercer casillero. Este razonamiento continúa hasta el último casillero. Por último, se multiplican estos números y se obtiene el

resultado

Entonces, el número total de ordenaciones es 5040.

Por lo tanto, la respuesta es:a) No, usando el principio de la multiplicación nos damos cuenta que sólo se

podrían obtener 5040 placas, lo cual indica que no alcanzaría para todos los autos.

b) La sugerencia es aumentar letras y dígitos hasta lograr obtener el número de placas pedidas. Es decir, considerar las letras desde la A hasta la D y los dígitos desde el 1 hasta el 8. Si con esto no se llega al número pedido, se tendrá que seguir aumentando hasta conseguirlo.

A B 1 2 3 4

4 3 8 7 6 5

Al multiplicar se tiene 20 160.

Técnicas de conteo2.3.

Caso de estudio I: Elaboración de placas para autos2.3.1.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Por lo tanto, incrementando una letra y un dígito se cubre el número de placas pedido.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

«Doscientos treinta y seis mil novecientos cuarenta y cinco (230 945) pasajeros nacionales y extranjeros transitaron en el Perú del 1 al 30 de Julio del 2009, según informó la Dirección General de Migraciones y Naturalización.

Dicha instancia registró la documentación de pasajeros que ingresaron por los controles migratorios a nivel nacional, estableciendo que de dicha suma 139 mil 554 eran turistas que eligieron al Perú como destino de vacaciones.

Siete mil doscientos noventa (7290) son peruanos que residen en el extranjero y que llegaron al país por turismo y para disfrutar el fervor patriótico de las fiestas de julio. Los turistas extranjeros eran de diferentes partes del mundo. Esta lista estuvo encabezada por ciudadanos estadounidenses, quienes sumaron 36 570 y llegaron al Perú en el mes de julio.

Tras los estadounidenses, figuran los ecuatorianos: 8 503 turistas. La lista la completan: 7548 franceses, 6456 brasileros, 7422 argentinos 7303 chilenos, 6838 españoles, 5607 colombianos, 5002 británicos, 4491 bolivianos y 4 122 bolivianos, entre otros.

Este año 2009 retornaron miles de peruanos residentes en el extranjero para disfrutar de nuestras coloridas Fiestas Patrias; la gran mayoría eligió como destino la ciudad de Lima para apreciar de cerca la festividad».(Tomado de: http://www.notiviajeros.com/category/notiviajeros/page/117/)

El Perú es un país muy atractivo tanto en su cultura como en su historia; posee más de 100 000 lugares arqueológicos y es por este motivo muy visitado por turistas de casi todo el mundo.

Algunos de los lugares más visitados por los turistas son:

Caso de estudio II: Turismo en el Perú 2.3.2.

Machu PicchuCusco

Cristo de YungayHuaraz

Catedral de Lima Cañón del ColcaArequipa

Silla del Inca-Cajamarca

Chan Chan- Trujillo

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Supongamos que dos amigos sólo pueden visitar 1 lugar de los 6 que se mencionan. Uno dice al otro: «Ve tú a comprar los pasajes, pero elige 3 lugares y luego decide a qué lugar irá cada uno». ¿De cuántas maneras diferentes podrá comprar los pasajes?.

Si analizamos la pregunta nos damos cuenta que el amigo tendrá primero que seleccionar los lugares que se va a visitar y luego decidir a que lugar tendrá que ir cada uno. Es decir:

Primera elección:

Para que sea más fácil la selección, asignemos letras a los lugares:Cerrito Santa Polonia = A Chan Chan = B Machu Picchu = CMonasterio de Santa Catalina = D Catedral de Lima = E La Alpaca = F

ABC ACD ADF BCF CDEABD ACE AEF BDE CDFABE ACF BCD BDF CEFABF ADE BCE BEF DEF

Hay 20 maneras de seleccionar 3 lugares de 6.

Elija el lugar a visitar y, según esto, compre los pasajes.Supongamos que tiene la primera elección: A , B y C.Las maneras diferentes de comprar pasaje son:

AA, AB, AC, BB, BC y CC.

AA, BB y CC, significa que ambos van al mismo lugarAB, AC y BC, significa que van a lugares diferentes.

Este suceso se repite 20 veces, por lo tanto las maneras diferentes de comprar los pasajes son:

20 x 6 = 120

Los dos casos presentados nos indican que a menudo en nuestra vida diaria estamos contando las formas en las que se puede realizar una determinada tarea. La Aritmética tiene una rama que se encarga de determinar las veces que ocurre un determinado evento. Esa rama se llama Técnicas de Conteo.

Antes de desarrollar el tema de técnicas de conteo es necesario recordar la definición de un factorial de un número natural y algunas de sus propiedades.

Factorial de un número “n” es el producto de los “n” primeros números naturales.Notación:

n! 1 2 3 (n 1) n, n N

Definición por convención

0! = 1

Factorial de un número natural2.3.3.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Propiedades de los factoriales

1. El factorial de un número entero negativo no existe.2. El factorial de un número entero positivo es igual al producto del número

con el factorial del número que le antecede. Es decir: n! = n (n – 1)! n! = n (n – 1) (n – 2) (n – 3)!

3. Factorial de “uno” es “uno”, es decir: 1! = 1 4. Si a! = b! , entonces: a = b

Precaución

En factoriales se debe tener encuenta lo siguiente:

Ejemplo:

Si A = 6! 7! 8!

6! 7!

; B = 71!

69! 70! ; C = 34! 35!

36!

. Calcule A x B x C

Solución

Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo términos se tiene:

A = 6! 6!x7 6!x7x8 6!(1 7 56)

6! 6!x7 6!(1 7)

= 64

88

B = 69!x70x71 70x71

7069!(1 70) 71

C = 34!(1 35) 36 134!x35x36 35x36 35

Luego:

= 1

8 70 1635

Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos casos.

Principio de Adición

Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento “B” ocurre de “n” maneras diferentes, entonces el evento A o B ―es decir no simultáneamente― ocurre de “m+n” maneras diferentes.

Principios fundamentales de conteo2.3.4.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Observación:

Este principio se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes. Es decir, ocurre el evento “A” o el evento “B”, pero no ambos a la vez; este principio se puede generalizar para más de dos eventos

Ejemplos:

a) Pedro desea viajar de Trujillo a Lima y tiene a su disposición tres líneas aéreas y 7 líneas terrestres ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje Pedro?

Solución

Por el Principio de Adición, tenemos: 3 + 7 = 10 maneras distintas.

b) Jenny desea comprar un libro de Matemática Básica que se vende en 5 “ferias de libros” y en 3 librerías diferentes del Centro Histórico de Trujillo. ¿De cuántas maneras puede obtener el libro?

Solución

Usando el Principio de Adición, se tiene: 5 + 3 = 8.Es decir, se tiene 8 maneras diferentes de comprar el libro.

Principio de Multiplicación. (Teorema Fundamental del Análisis Combinatorio)

Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y para cada una de estas otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento “A” seguido de “B” ocurre de “m ∙ n” maneras.

Observación:En este principio la ocurrencia es uno a continuación del otro; es decir, ocurre el evento “A” y luego ocurre el evento “B”. Este principio se puede generalizar para más de dos eventos

Ejemplos:

a) María tiene tres pantalones diferentes y siete blusas distintas. ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir María?

Solución

Usando el principio de multiplicación, tenemos: 3 x 7 = 21 maneras diferentes de vestirse.

b) Julio puede viajar de Trujillo a Chimbote de 2 formas y de Chimbote a Lima de 3 formas ¿De cuántas maneras distintas puede ir de Trujillo a Lima pasando por Chimbote y sin retroceder?

Solución

Usando el principio de multiplicación, tenemos: 2 x 3 = 6 maneras diferentes

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Es un arreglo u ordenación que se pueden formar con todos los elementos disponibles de un conjunto. La característica principal es que importa el orden de sus elementos. Existen las siguientes permutaciones: lineales y circulares.

A) PERMUTACIONES LINEALES

Son cuando las ordenaciones se dan en línea recta. Pueden ser sin repetición y con repetición.

PERMUTACIONES LINEALES SIN REPETICIÓN

Se da cuando todos sus elementos considerados son diferentes y se calcula como sigue:

mP m! m 0

Ejemplos:

a) ¿Cuántas ordenaciones pueden formarse con los elementos del conjunto A={a, b, c}?

Solución

abc acb bca bac cab cba

Usando fórmula se tiene: 3P 3! 3.2.1 6 formas.

b) ¿De cuántas maneras pueden sentarse cuatro personas en cuatro asientos uno a continuación de otro?

Solución

Tenemos 4 asientos y 4 personas. Se trata de una permutación, ya que se toman todos los elementos e importa el orden en que se sientan. Es decir:

P 4! 4.3.2.1 244

PERMUTACIONES LINEALES CON REPETICIÓN

Se da cuando no todos los elementos considerados son diferentes. Se calcula mediante la siguiente fórmula:

n!

Px !.x !. .x !1 2 m

nx ,x ,x , x1 2 3 m

 Donde,

nx ,x ,...,x1 2 m

P número total de permutaciones que es posible obtener con n

objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...… y una cantidad xm de objetos del tipo m.

Permutación2.3.5.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

n x1 + x2 + … + xm Ejemplo:

¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3?a) 260 b) 270 c) 280 d) 290 e) 300

Solución

Identificando: x1 = 3 pues el 1 se repite 3 vecesx2 = 4 pues el 3 se repite 4 veces

Usando la fórmula se tiene:

8 8! 8 7 6P3;4 3!.4! 5 4!

3 2 14!280

B) PERMUTACIONES CIRCULARES

Es un arreglo o conjunto de ordenaciones alrededor de un objeto. La fórmula para calcular el número de ordenaciones es:

CP (n) (n 1)!; n Z

Donde n es el número de elementos que intervienen.

Ejemplos:

¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa?

Solución

CP (5) (5 1)! 4! 24

¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas alrededor de una mesa, de tal manera que dos de ellos siempre estén juntos?

Solución

Existen dos casos

CP (5) 4! + CP (5) 4!

Luego, el total de ordenaciones = 4!+4! = 48

AB

C

D E

F

BA

C

D E

F

EN GENERAL:Si hay m elementos y n siempre están juntos y se desea ordenar alrededor de un objeto, entonces el número total de ordenaciones se calcula de la siguiente manera:

Pn x PC(m–1) = n!(m–2)! Por lo tanto, en nuestro ejemplo el total de ordenaciones es:

P2 x PC(5) = 2!(5–1)! =48

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Una variación es una permutación en donde sólo intervienen n elementos de los m elementos que se han considerado. n es menor que mExisten dos tipos de variaciones:

A) VARIACIÓN SIN REPETICIÓN

Se da cuando todos sus elementos son diferentes y se calcula mediante la siguiente fórmula.

m!mV ; 0 n mn (m n)!

Donde:

m es el total de elementos que intervienen

n es el número de elementos que se toman para ser ordenados

Ejemplos:

a) Joel tiene tres balones de fútbol diferentes. ¿De cuántas formas diferentes se podrán alinear ordenándolos de dos en dos?

Solución

Sean los balones de fútbol:Ordenándolos de dos en do, tenemos seis formas diferentes:

1º forma 2º forma 3º forma 4º forma 5º forma 6º formaUsando la fórmula obtenemos:

32

3! 3.2.1V 6

(3 2)! 1

b)Cuatro alumnos se matriculan en la UPN, que dispone de siete aulas. ¿De cuántas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes?

Solución

En este problema encontramos una variación, porque lo que más importa es el orden de los alumnos en cada aula. Entonces, usando la fórmula resulta:

74

7! 7.6.5.4.3!V 840

(7 4)! 3!

B) VARIACIÓN CON REPETICIÓN

Se da cuando uno o más de sus elementos se repiten. Se calcula con la siguiente fórmula:

m nV m ; n mn

Variación2.3.6.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Donde:m es el número total de elementosn es el número de elementos que se considera para ser ordenados

Ejemplo:

¿Cuántos números diferentes se pueden formar con los elementos del conjunto tomados de 2 en 2?

Solución

Los números pueden ser:12 13 14 23 24 34 21 31 41 32 42 43 11 22 33 44

Si aplicamos la fórmula tenemos:4 2V 4 162

Es una selección o agrupación de elementos que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. Su característica principal es que no interesa el orden en que se agrupan sus elementos.Existen dos tipos de combinaciones.

A) COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN

Se da cuando de “m” elementos diferentes se forma grupos de “n” elementos diferentes. El número de combinaciones se calcula mediante la siguiente fórmula:

mn

m!C ; 0 n m

(m n)!n!

Ejemplos:

a) Dado el conjunto A = {a, b, c, d}, encuentre el número de variaciones y el número de combinaciones de los elementos de “A” tomados de 3 en 3.

SoluciónVariaciones Combinacione

abc, acb, bac, bca, cab, cba 6 abc 1

abd, adb, bad, bda, dab, dba 6 abd 1

acd, adc, cad, cda, dac, dca 6 acd 1

bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb 6 bcd 1

s

Total de variaciones: 4!4V 243 (4 3)!

Total de combinaciones:4!4C 43 (4 3)!3!

Notemos que cada combinación tiene seis variaciones, es decir .

Combinación2.3.7.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

b)Se organiza un triangular entre los equipos de fútbol Universitario de Deportes, Sporting Cristal y Alianza Lima. ¿Cuántos partidos diferentes se pueden jugar en una sola rueda?

Solución

Los partidos serían:

U vs SC

U vs AL

SC vs AL

Entonces habrá: 32

3!C 3

(3 2)!2!

partidos diferentes

c) ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar de un total de 6 personas?

Solución64

6!C 15

(6 4)!4!

Propiedades

1. mmC 1

2. m0C 1

3. m1C m

4. m mn m nC C

5. m m 1n n 1

mC C

n

6. m m m 1n n 1 n 1C C C

7. m m m m m0 1 2 mC C C C 2

Ejemplos:

1. Calcule el valor de x en:20 20 x18 19 x 19C C C

Solución

Usando las propiedades 4 y 6 se tiene:

21 x19 19C C

Comparando resulta:x = 21

2. De un grupo de 6 hombres y 4 mujeres se desea formar comisiones, de tal manera que en cada comisión exista por lo menos una mujer y tres hombres. ¿Cuántas comisiones en total se podrán formar?

Solución

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Según el enunciado se tiene:

Total de comisiones = 4 6 4 6 4 6 4 61 3 2 3 3 3 4 3C C C C C C C C

= 4 4 4 4 61 2 3 4 3(C C C C )C

= 4 63(2 1)C = 4 6!

(2 1)(6 3)! 3!

= 300

B) COMBINACIÓN CON REPETICIÓN

Este tipo de combinación es un caso especial y, generalmente, ocurre en los casos de gustos o preferencias.

Ejemplo:

Suponga que la Universidad Privada del Norte necesita libros de Aritmética (A), Geometría (G) y Trigonometría (T) para su biblioteca, entonces le pide a sus profesores Wilmer y Percy que cada uno compre un libro. De este modo, la Universidad tendrá los siguientes libros en su biblioteca:

AA AG AT GA GG GT TT

Como se observa, existen libros repetidos, esto porque los profesores coincidieron en su preferencia por un libro.

Por lo tanto, el enunciado general para estos problemas es: «Se tiene objetos o elementos de m tipos diferente. ¿Cuántas combinaciones de n objetos se pueden formar tomados de m elementos si se permite la repetición de elementos?»Para calcular las combinaciones con repetición (CR) se usa la siguiente fórmula:

m m n 1n n

(m n 1)!CR C

(m 1)! n!

PERMUTACIÓN VARIACIÓN COMBINACIÓNInfluye el orden de colocación de los elementos en

la agrupación

Sí Sí No

Intervienen todos los

elementosSí No Se da en algunos casos

Fórmula sin repetición mP m! m 0 m!mVn (m n)!

mn

m!C

(m n)!n!

Fórmula con repetición

n!

Px !.x !. .x !1 2 m

nx ,x ,x , x1 2 3 m

nmV mn mn

(m n 1)!CR

(m 1)! n!

Fórmula circularCP (n) (n 1)!; n Z

Cuadro resumen2.3.8.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

1. ¿Cuántos números pares de tres cifras pueden ser formados usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 si estas pueden repetirse?

Solución

Para ser número par debe terminar en cero o cifra par; además, la primera cifra nunca será cero. Entonces, por el principio de la multiplicación tenemos:

6 7 4

6x7 x4 = 24x7=168

2. Diez amigos desean ordenarse linealmente para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse?

Solución

La pareja se debe considerar como si fuese una sola persona, entonces se tendrá permutación de 9, pero a la vez la pareja puede conmutar. Por lo tanto, el número total de ordenaciones es:

2!

9!

9!x2! = 2x9!.

3. En un simposio organizado por la Municipalidad de Lima, participan 4 alcaldes del Cono Norte y 3 alcaldes del Cono Sur, los cuales están ubicados en una mesa rectangular frente al público asistente. ¿De cuántas maneras pueden disponerse los alcaldes si los elementos de un mismo cono no pueden estar separados?

Solución

Como los alcaldes del mismo cono no se pueden separar, entonces el número de ordenaciones es permutación de 2, a la vez en cada grupo el número de ordenaciones es de permutación de 4 y permutación de 3 respectivamente. Por lo tanto, el número de ordenaciones totales es:

4! 3!

2!

2! x 4! x 3! = 288

Ejercicios resueltos2.3.9.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

4. Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas formas podrán ubicarse si un asiento vacío debe quedar entre las dos mujeres?

Solución

Si el asiento vacío debe estar siempre entre las dos mujeres, entonces alrededor de la mesa sólo se considera 4 asientos ordenables en tanto las dos mujeres pueden conmutar. Por lo tanto, el número total de ordenaciones circulares es:

PC(4) x 2! = 3! x 2! = 12

5. Se desea colocar 11 fichas en un tablero recto, disponiéndose para tal efecto de 2 verdes, 2 azules, 4 anaranjadas, 1 amarilla, 1 roja y 1 negra. ¿Cuántas ordenaciones diferentes se podrán lograr si se desea que las dos verdes estén siempre juntas y que la ficha roja esté siempre en medio de la amarilla y la negra?

Solución

Si se agrupa las 2 fichas verdes y las fichas amarilla, roja y negra según el enunciado, se tendrá 8 fichas para aplicar permutación con repetición.Además, en el grupo de las fichas verdes se aplica permutación con repetición. En en el grupo de las fichas amarilla, roja y negra sólo hay 2 ordenaciones, pues la ficha roja siempre estará en el centro.Por lo tanto, se tiene:

22P x 2 x

82;3P =

2! 8!2

2! 2! 4!

= 1680

6. Con los dígitos 1, 2, 3, 5 y 7 ¿cuántos números de cuatro cifras, mayores que 5000, se pueden formar?

Solución

Los números que se pueden formar admiten cifras repetidas e importa el orden; entonces estamos en el caso de variación con repetición.Gráficamente se tiene:

2 5V3

5 5 3 3 2 x 53 = 2 x 125 = 250

22P 2

82;3P

vacío 2!

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

7. Cuatro personas entran a un colectivo en el que hay 7 asientos disponibles. ¿De cuántas maneras pueden sentarse?

Solución

En este caso se trata de una variación sin repetición, pues importa el orden y una persona no se puede sentar en dos asientos a la vez. Es decir:

74

7! 7 6 5 4 3!V

(7 4)! 3!

= 840

8. En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, ¿de cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan?

Solución

En este caso no importa el orden en que se haga la compra. Para las camisas es combinación de 6 en 3 y para los pantalones combinación de 5 en 2, luego se multiplica. Es decir:

6 53 2

6! 5!C C

(6 3)! 3! (5 2)! 2!

= 200

9. De un grupo de 8 hombres y 7 mujeres ¿cuántos grupos mixtos de 7 personas se puede formar sabiendo que en cada grupo hay 4 varones y el resto son damas?

Solución

En este caso no importa el orden. El número total de grupos mixtos es:

8 74 3

8! 7!C C

(8 4)! 4! (7 3)! 3!

= 2450

10. Si de 10 artículos 6 de ellos son defectuosos, ¿de cuántas maneras se puede escoger 3 artículos, de tal modo que entre ellos haya por lo menos 2 defectuosos?

Solución

En este caso no importa el orden entonces el número total de artículos que se pueden escoger es:

4 6 4 61 2 0 3

6! 6!C C C C 4 1

(6 2)! 2! (6 3)! 3!

= 80

Nivel 1

1. Una persona desea viajar de Trujillo a Tacna y dispone de 4 líneas aéreas, 3 terrestres y 2 rutas marítimas. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar este viaje?

Ejercicios propuestos2.3.10.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

2. Ana tiene 3 blusas diferentes, 4 faldas también diferentes y 2 pares de zapatos, rojos y azules ¿De cuántas maneras se puede vestir Ana?a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32

3. Un producto es armado en 3 etapas, disponiéndose para la primera 3 líneas de armado; para la segunda, 5 líneas; y para la tercera, 4 líneas. ¿De cuántas maneras distintas puede armarse el producto?a) 24 b) 48 c) 60 d) 25 e) 30

4. De una ciudad A a una ciudad B hay 6 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta si en el regreso no podemos elegir el camino de ida?a) 12 b) 42 c) 25 d) 36 e) 30

5. Simplifique: 17! 18! 19!

N17! 18!

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

6. Simplifique: R = 83! 40! 41!

x81! 82! 42!

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. El jefe de personal de un restaurante planea un banquete y no puede decidirse cómo acomodar a los seis invitados especiales en la mesa de honor. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar las seis sillas en un lado de la mesa?a) 700 b) 620 c) 720 d) 500 e) 520

8. Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.a) 60 b) 70 c) 28 d) 20 e) 30

9. ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos plátanos, cuatro cerezos y tres chirimoyas?a) 1 270 b) 1 260 c) 1 280 d)1 290 e) 3 000

10. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas alrededor de una fogata?a) 5 255 b) 5 256 c) 5 040 d) 5 253 e) n.a.

11. ¿Cuántos números de tres dígitos que no se repiten pueden escribirse con los dígitos del conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8}?a) 90 b) 100 c) 80 d) 110 e) 120

12. Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de 3 dígitos. Él sabe que los dígitos posibles son 1, 3, 5 y 7. ¿Cuál es el mayor número de “ordenaciones” erradas que podría intentar?a) 63 b) 64 c) 65 d) 60 e) n. a.

13. ¿De cuántas maneras se puede elegir al presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de una organización de 20 miembros?a) 116 280 b) 122 680 c) 135 640 d) 140 210 e) 4 845

14. De entre 12 miembros de un club se va a elegir, en votación secreta, cuatro directivos: un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. Los 12 postulantes a los cargos son elegibles para cualquiera de ellos. Determine cuántos grupos de cuatro miembros pueden ser elegidos.a) 11 881 b) 12 000 c) 13 500 d) 14 400 e) 11 880

15. En un salón de clase hay 20 alumnos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden formar comisiones de 4 alumnos?

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a) 255 b) 4 845 c) 254 d) 253 e) n. a.

16. Se tiene 20 preguntas de Matemática. Si se desea elaborar un examen de 15 preguntas, ¿cuántos exámenes diferentes se pueden hacer?a) 15 090 b) 15 100 c) 15 504 d) 15 110 e) 15 120

17. Ruth quiere comprar 10 libros diferentes, pero sólo tiene dinero para cuatro. ¿De cuántas maneras puede hacer su selección?a) 300 b) 200 c) 150 d) 210 e) 250

18. Todos los miembros de un club de fútbol desean ir a un evento este fin de semana, pero sólo a 10 de ellos se les permitirá asistir. ¿De cuántas maneras se puede elegir a los 10 afortunados si hay un total de 48 miembros?a) 63 024 560b) 63 201 254 c) 63 502 634 d) 64 215 400 e) 6 540 715 896

19. En un restaurante se venden 6 tipos de platos y Carlos desea ordenar 4 platos (para él y sus tres amigas). ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo?a) 15 b) 25 c) 124 d) 126 e) 127

20. Las universidades en Trujillo son UPN, UPT, UCV, UPAO, UNT y UAP. ¿De cuántas maneras diferentes pueden elegir 3 personas 3 universidades trujillanas para continuar sus estudios?a) 56 b) 50 c) 54 d) 46 e) 20

Nivel 2

1. Calcule el valor de n, si (n 6)!(n 4)!

12!(n 5)! (n 4)!

a) 5 b) 9 c) 13 d) 6 e) 7

2. Halle el valor de “n” en : a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5

3. Anita tiene 6 blusas y 5 minifaldas de colores distintos. ¿De cuántas maneras diferentes puede lucir ambas prendas a la vez si la blusa azul y la minifalda blanca las usa siempre juntas, y la minifalda roja con la blusa negra nunca las usa juntas?a) 20 b) 25 c) 36 d) 100 e) 64

4. Cuántas palabras diferentes de cuatro letras ―no es necesario que tengan sentido― se puede formar con las letras de la palabra LOVE, de modo que la letra V esté siempre antes de la E.a) 6 b) 8 c) 10 d) 4 e) 16

5. Un grupo de 5 amigos se van de paseo en un auto que tiene 2 asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuántas formas se podrán ubicar si sólo 2 de ellos saben manejar? a) 10 b) 48 c) 16 d) 24 e) 120

6. ¿Cuántas ordenaciones lineales distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra FERMAT, de tal manera que comiencen y terminen en consonantes?a) 240 b) 720 c) 288 d) 420 e) 320

7. Calcule el número de ordenaciones distintas que pueden realizarse con las letras de la palabra SOCIOLOGICAL, de tal forma que las vocales estén todas juntas.a) 54 000 b) 58 950 c) 65 400 d) 72 400 e) 75 600

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

8. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes existen en el sistema de base 7?a) 2 480 b) 3 280 c) 6 350 d) 2 160 e) n.a.

9. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se puede formar con los números 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9 si cada uno de estos puede emplearse una sola vez?a) 90 b) 60 c) 50 d) 40 e) 80

10. Un cuerpo legislativo está integrado por 19 personas en el que 8 representan al partido rojo, 7 al partido azul y 4 al partido blanco. ¿Cuántas juntas de 5 miembros se pueden integrar si 4 de sus miembros deben ser del partido azul?a) 300 b) 320 c) 420 d) 400 e) 480

11. Una tejedora de alfombras ha decidido utilizar siete colores compatibles en su nueva línea de productos, sin embargo al tejer una alfombra solo puede utilizar cinco colores. En su publicidad desea indicar el número de los distintos arreglos de colores que están a la venta. ¿Cuántas alfombras diferentes puede ofrecer la tejedora si los colores no se pueden repetir en una alfombra?a) 21 b) 2 520 c) 20 d) 2 540 e) 30

12. Calcule el número total de ordenaciones diferentes que se pueden formar a la vez con todas las letras de la palabra KATTII, de manera que las vocales iguales estén juntas.a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 e) 20

13. El número de combinaciones de “x” elementos, tomados de 4 en 4, está en la relación ½ con el número de variaciones de los mismos elementos, tomados de 2 en 2. Halle el valor de “x”.a) 10 b) 12 c) 5 d) 6 e) 8

14. Se tiene una línea de producción con trece operarios. El gerente de producción desea reducir el número de estos con la finalidad de disminuir los costos de producción. Según un estudio de balance de líneas, se determinó que el número límite para el manejo adecuado de dicha línea es de 11 trabajadores. ¿Cuántos días se necesitarán como máximo para encontrar el grupo ideal si cada grupo debe ser evaluado en un día de trabajo?a) 78 b) 80 c) 100 d) 70 e) 60

15. Un mozo debe servir 10 vasos diferentes de cerveza y gaseosa en una mesa donde hay 6 caballeros y 4 damas. Los vasos de cerveza son para los caballeros y los de gaseosa para las damas. ¿Calcule la cantidad de maneras diferentes en que el mozo pueda realizar la distribución?a) 205 b) 450 c) 210 d) 178 e) 189

Nivel 3

1. Halle el valor de "n" en: 1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+n(n!) =5 039.a)6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

2. De 6 hombres y 4 mujeres se van a formar comités mixtos de 5 personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse si en cada comité hay como mínimo 2 mujeres?a) 200 b) 150 c) 120 d) 186 e) 190

3. En una comunidad se desea formar una delegación de 5 miembros con 9 ingenieros y 7 médicos. ¿De cuántas maneras puede formarse la delegación de modo que incluya siempre a 2 ingenieros?

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a) 4 032 b) 4 320 c) 4 350 d) 4 000 e) 4 800

4. De 6 números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcule el número de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea positivo.a) 170 b) 120 c) 150 d) 171 e) 180

5. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en un estante 6 libros diferentes de Aritmética y 2 diferentes de Álgebra si un libro de Álgebra debe ir siempre al final? Deben seleccionarse de 10 libros de Aritmética y 4 de Álgebra. a) 17 640 b) 12 700 800 c) 17 550 800 d) 17 561 e) 17 680 500

6. Hugo tiene en una bolsa 8 naranjas y 6 plátanos. Él quiere regalar a su amiga Norma 4 plátanos y, por lo mucho 2 naranjas. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo? a) 650 b) 170 c) 550 d) 555 e) 170

7. La selección de básquet de Trujillo está conformada por 15 muchachas. ¿De cuántas maneras se puede conformar el equipo de 5 si se sabe que 3 de ellas se niegan a jugar en el mismo equipo? a) 1 300 b) 1 320 c) 1 350 d) 1 485 e) 2 277

8. Juan dispone de 8 libros grandes diferentes y 6 libros chicos diferentes. ¿De cuántas maneras puede colocar en un estante los libros en grupos de 5 ―3 grandes y dos chicos— si los grandes y los chicos siempre deben estar juntos?a) 20 160 b) 13 210 c) 13 050 d) 10 000 e) 10 080

9. Un niño observa en su mesa que hay 5 naranjas y 6 manzanas; además, el debe tomar al menos dos frutas distintas y, a lo más, 2 naranjas. Calcule de cuántas maneras lo puede hacer.a) 343 b) 701 c) 5040 d) 435 e) 945

10. Ocho delegados, entre ellos una mujer, deben sentarse alrededor de una mesa circular que tiene disponible cinco asientos. La cantidad de maneras distintas en que pueden sentarse asegurando siempre que la mujer esté sentada entre dos hombres es:a) 56 b) 168 c) 96 d) 560 e) 840

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31. D 1. E 1. A2. A 2. A 2. D3. C 3. A 3. A4. E 4. A 4. A5. C 5. B 5. B6. B 6. C 6. D7. C 7. E 7. E8. A 8. D 8. A9. B 9. A 9. E10. C 10. C 10. E11. E 11. B12. A 12. A

Respuestas2.3.10.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

13. A 13. D14. E 14. A15. B 15. C16. C17. D18. E19. D20. A

Una empresa trujillana, debido a razones particulares, decidió pagar el impuesto a la renta en forma inversamente proporcional a los gastos reportados por sus socios, incentivándolos de esta manera a que puedan declararlos a tiempo y con el sustento correspondiente. A continuación, se presenta en forma muy resumida el monto total que la empresa tuvo que pagar a la Sunat: S/. 127 729.89.

UTILIDAD ANTES DE IMPUESTOS Y PARTICIPACIONES 910 041,72PARTICIPACION DE UTILIDADES A LOSTRABAJADORES (5%) –45 502,09UTILIDAD ANTES DE IMPUESTOS 864 539,64IMPUESTO A LA RENTA (30%) –259 361,89MENOS PAGOS A CUENTA DEL IMP. RTA. 131 632,00

IMPUESTO A PAGAR AL 31/12/2007 –127 729,89

Los socios de la empresa son propietarios de buses, algunos de los cuales tienen varias unidades. En el siguiente cuadro se presentan los gastos realizados por unidad. El desafío fue efectuar el reparto inversamente proporcional a cada uno de los gastos sustentados por unidad (bus).

Nº DE BUS PLACAS GASTOS

Nº DE BUS PLACAS GASTOS

01 UD 3475 27453,09072 19 UE 1622 113660,4091

02 UD 3543 112123,93 20 VG 3729 89843,09

03 UD 2736 72723,97347 21 UD 3123 112865,6796

04 UD 3191 84463,59 22 UD 2140 142616,79

05 UO 9930 78087,42347 23 UD 2908 135513,3856

06 UQ 3396 80195,04 24 UD 2780 96450,20749

07 UD 3698 79957,3208 25 UO 9818 150042,8058

08 UQ 9137 134211,0895 26 UD 2578 122284,9651

Proporcionalidad2.4.

Caso de estudio: Pago de impuestos2.4.1.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

09 UD 3512 109482,9768 27 UD 3879 96828,54

10 UD 3458 134269,8415 28 UD 0502 103618,51

11 UZ 1731 125993,3056 29 UD 0878 34050,662

12 UD 3745 122913,3903 30 UD 2059 101682,699

13 UD 3102 145961,421 31 UQ 9058 76824,30088

14 UD 3614 48767,32807 32 UA 1110 122115,678

15 UO 8815 133656,3191 33 UJ 1470 95985,40089

16 UD 3517 108976,441 34 UD 8970 81990,25434

17 UO 7019 67415,83108 35 UD 3519 71393,50515

18 UD 2921 54329,39932

Con la ayuda de Microsoft Excel calcule la cantidad asumida (por cada bus) como parte del pago a la SUNAT.

SoluciónAntes de utilizar Excel, es necesario recordar, con fines didácticos, un

ejemplo de un reparto proporcional práctico con cantidades pequeñas. Luego utilizaremos la misma lógica para poder resolver el caso anteriormente planteado.

CASO ILUSTRATIVO:

Se reparte 1000 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 5, es decir:

AHORA REVISEMOS EL CASO PLANTEADO INGRESANDO LOS DATOS EN EXCEL:

C D ENº DE BUS

PLACAS GASTOS RENTA Ak MONTO A PAGAR

01 UD3475 27453,09072 127703,81 2,8879E+169 11.304,9602 UD3543 112123,93 127703,81 7,071E+168 2.767,9703 UD 2736 72723,97347 127703,81 1,0902E+169 4.267,5904 UD3191 84463,59 127703,81 9,3866E+168 3.674,4405 UO 9930 78087,42347 127703,81 1,0153E+169 3.974,4706 UQ3396 80195,04 127703,81 9,8863E+168 3.870,0207 UD3698 79957,3208 127703,81 9,9156E+168 3.881,5208 UQ9137 134211,0895 127703,81 5,9073E+168 2.312,4509 UD3512 109482,9768 127703,81 7,2416E+168 2.834,7410 UD3458 134269,8415 127703,81 5,9047E+168 2.311,4411 UZ1731 125993,3056 127703,81 6,2926E+168 2.463,2712 UD3745 122913,3903 127703,81 6,4503E+168 2.525,0013 UD3102 145961,421 127703,81 5,4318E+168 2.126,2914 UD 3614 48767,32807 127703,81 1,6257E+169 6.364,0215 UO8815 133656,3191 127703,81 5,9318E+168 2.322,0516 UD 3517 108976,441 127703,81 7,2752E+168 2.847,9217 UO7019 67415,83108 127703,81 1,176E+169 4.603,6118 UD2921 54329,39932 127703,81 1,4593E+169 5.712,4919 UE1622 113660,4091 127703,81 6,9754E+168 2.730,5620 VG3729 89843,09 127703,81 8,8246E+168 3.454,42

Page 114: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

21 UD 3123 112865,6796 127703,81 7,0245E+168 2.749,7822 UD2140 142616,79 127703,81 5,5592E+168 2.176,1523 UD2908 135513,3856 127703,81 5,8506E+168 2.290,2224 UD2780 96450,20749 127703,81 8,2201E+168 3.217,7925 UO9818 150042,8058 127703,81 5,284E+168 2.068,4526 UD2578 122284,9651 127703,81 6,4834E+168 2.537,9727 UD3879 96828,54 127703,81 8,188E+168 3.205,2128 UD0502 103618,51 127703,81 7,6514E+168 2.995,1829 UD0878 34050,662 127703,81 2,3284E+169 9.114,5430 UD2059 101682,699 127703,81 7,7971E+168 3.052,2031 UQ9058 76824,30088 127703,81 1,032E+169 4.039,8232 UA1110 122115,678 127703,81 6,4924E+168 2.541,4933 UJ1470 95985,40089 127703,81 8,2599E+168 3.233,3734 UD 8970 81990,25434 127703,81 9,6698E+168 3.785,2835 UD 3519 71393,50515 127703,81 1,1105E+169 4.347,12

127.703,81

RENTA 127703,81

PRODUCTO 7,9283E+173

NxProducto 1,0125E+179

Suma Ak = 3,2623E+170

k = 310356128,3

PRODUCTO = PRODUCTO (C56:C90)

Este producto representa la multiplicación o producto de todos los gastos cuyo resultado sería equivalente al mínimo común múltiplo de dichas cantidades. En el ejemplo ilustrativo fue 30, es decir 2x3x5.

Después, ese producto obtenido se dividirá entre cada uno de los gastos por bus (resultados en la columna Ak) y cada uno de estos resultados se multiplicarán por 1 y se sumará para obtener el valor final del numerador (en el ejemplo 31 k).

Se continúa con la lógica equivalente al ejemplo del reparto proporcional dado y, por último, se obtienen las cantidades repartidas proporcionalmente a los gastos.

Se denomina razón a la comparación entre dos cantidades mediante las operaciones de sustracción o división.

1. Razón aritmética. Es la comparación entre dos cantidades homogéneas mediante la sustracción.

a – b = r

Razón2.4.2.

Page 115: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Elementos

Antecedente: aConsecuente: b

Ejemplo:58m – 48m = 10m

2. Razón geométrica. Es la comparación entre dos cantidades homogéneas mediante la división.

ak

b

Elementos

Antecedente: aConsecuente: b

Ejemplo:40km

5km/ h8h

Serie de razones geométricas equivalentes

Es llamado así al conjunto de razones geométricas que, en común, van a tener un mismo valor.

31 2 n

1 2 3 n

aa a a...... k

b b b b

En donde se cumplen las siguientes relaciones:

a) 1 2 3 n

1 2 3 n

a a a ..... ak

b b b ..... b

b)n1 2 3 n

1 2 3 n

a xa xa x......xak

b xb xb x......xb

c) 3 31 1 2 2 n n

1 1 2 2 3 3 n n

a ba b a b a b k 1......

a b a b a b a b k 1

Serie de razones geométricas continuas equivalentes

Es aquella en la que se cumple que el valor de la razón geométrica formada por el primer antecedente y el último consecuente. Tiene como valor a la constante de proporcionalidad elevado al número de razones que tiene la serie.Es de la forma:

31 2 n

2 3 4 n 1

aa a a...... k

a a a a

En la que se cumple que: n1

n 1

ak

a

Page 116: matematica basica

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Dados los cuatro números ordinales a, b, c y d, si el valor de la razón entre las dos primeras es igual al valor de la razón entre las dos restantes, entonces las cuatro cantidades forman una proporción.

1.1. Proporción aritmética. Llamada también equidiferencia: es decir, la equivalencia de dos razones aritméticas:NOTACIÓN:

a – b = c – d

Propiedad

En toda proporción aritmética la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios.

a + d = b + ca) Proporción aritmética discreta. Es aquella en la que sus cuatro

términos son diferentes:a – b = c – d

Donde: a, b, c y d son llamadas cuartas diferenciales.

b) Proporción aritmética continua. Es aquella en la que sus términos medios son iguales.

a – b = b –d

Donde:

2.2. Proporción geométrica. Llamada también equicociente: equivalencia de dos razones geométricas:

NOTACIÓN: a cb d

Propiedad

En toda proporción geométrica el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.a x d = b x c

a) Proporción geométrica discreta. Es aquella en le que sus cuatro términos son diferentes

a cb d

Donde: a; b; c y d son llamadas cuartas proporcionales.

b) Proporción geométrica continua. Es aquella en la que sus términos medios son iguales.

Proporción2.4.3.

Page 117: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a bb d

Donde:

Propiedades de las proporciones

a) Dada la proporción:

a ck

b d

Implica a c a c

kb d b d

b) Dada la proporción:

a ck

b d

Implica

a b c dk 1

b da b c d k 1a b c d k 1

MAGNITUD

Es todo aquello susceptible de ser medido. Por ejemplo: la longitud, el volumen, el área, etc.

CANTIDAD

Es el resultado de medir la intensidad de una magnitud. También se dice que es un estado particular de la magnitud; por ejemplo: 25m/s, 5horas, 30cm, etc.

Ejemplos:

Magnitud Cantidad

Longitud 75cm

Volumen 30litros

Número de días 25 días

Número de obreros

43 obreros

Magnitud y cantidad2.4.4.

Page 118: matematica basica

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Cantidad de obra 700m3

1. Magnitudes directamente proporcionales (D. P.)

Se llaman así porque el cociente de sus valores correspondientes es una cantidad constante.

A

A es D.P. a B kB

Ejemplo:

La longitud de la circunferencia y su diámetro son cantidades directamente proporcionales.

Magnitudes Valores

Longitud de circunferencia

C1 = 2r1

C2 = 2r2

C3 = 2r3

Diámetro d1 = 2r1 d2 = 2r2 d3 = 2r3

Luego: 31 2

1 2 3

CC C

d d d

2. Magnitudes inversamente proporcionales (I. P.)

Se llaman inversamente proporcionales cuando el producto de sus valores correspondientes es una cantidad constante.

Ejemplo:

El número de obreros y el tiempo en que se realiza una obra son magnitudes inversamente proporcionales.

Magnitudes

Valores

Obreros 15 5 1

Tiempo120hr

s360hr

s1800hr

s

Luego: 15 x 120 = 5 x 360 = 1x 1800 = k

Relaciones entre magnitudes2.4.5

Propiedades de las magnitudes2.4.6.

Page 119: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

1. Si una cantidad A es D. P. o I. P. con otra B, entonces B será D. P. o I. P. respectivamente, con la magnitud A.

2. Si una magnitud “A” es I. P. con otra B, entonces A es D. P. a la inversa de B; es decir:

AA B k k

1B

3. Si una magnitud A es D. P. con otra B y también con C, entonces A será D. P. al producto (BC); es decir:

Ak

B C

4. Si una magnitud A es I. P. con otra B y también con C, entonces A será inversamente proporcional al producto BC; es decir:

A (B C) = k5. Si una magnitud A es D. P. con B y A es I. P. con C, entonces: A es D. P.

con B/C; es decir: A C

kB

En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una cantidad desconocida (incógnita). Esta regla puede a su vez ser directa o inversa, en tanto las magnitudes sean directa o inversamente proporcionales.

1.1. Regla de tres simple directa:

Cuando intervienen cantidades directamente proporcionales.

2.2. Regla de tres simple inversa:

Cuando intervienen cantidades inversamente proporcionales.

Una regla de tres es compuesta cuando se le da una serie de “ n” valores correspondientes a “n” magnitudes y una segunda serie de “ n – 1” valores correspondientes a las magnitudes ya mencionadas. El objeto de la regla compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores.

Ejemplo:

Veinte obreros construyen 3 zanjas de 18 km. de Largo c/u empleando 27 días en esa labor. Determinar el tiempo que tardarán 15 obreros para construir 4 zanjas en iguales condiciones a lo largo de 36 km.

Solución

Regla de Tres Simple2.4.7.

Regla de Tres Compuesta2.4.8.

Page 120: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Una forma práctica de resolver este tipo de problemas es aplicando la “Ley de signos”, que no es más que la consecuencia práctica de magnitudes proporcionales. La ley consiste en lo siguiente: Se colocan los valores correspondientes a cada magnitud y también se ubica la variable que será calculada. En la magnitud que tiene la variable se ubica el signo positivo al dato numérico y luego se compara con cada una de las otras magnitudes.

Si son magnitudes directamentes proporcionales los signos que se ubican en la magnitud comparadas es de la siguiente forma:

Si son magnitudes inversamente proporcionales los signos que se ubican en la magnitud comparada es de la siguiente forma:

El valor de la incógnita viene dado por una fracción cuyo numerador es el producto de todas las cantidades afectadas de signo (+) y cuyo denominador es el producto de las cantidades afectadas designo (-) en todos los problemas sin excepción.

Planteado nuestro problema tenemos:

Obreros Zanjas km. Días20(+) 3(–) 18(–) 27(+)15(–) 4(+) 36(+) X

20 4 36 27x 96

15 3 18

días

1. Dos números son entre sí como 5 es a 4. Además, la suma de dichos números es 54. Calcule los valores de a y b.

Solución

Sean los números: a = 5k y b= 4k, entonces 9k = 54. Esto quiere decir que k=6. Por lo tanto, los números son:

a= 30 y b = 24

2. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcule los números.Solución

Sean los números: a = 2k ; b= 3k y c= 4k, entonces 9k = 36. Esto quiere decir que k=4. Por lo tanto, los números son:

Ejercicios resueltos2.4.9.

Page 121: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a= 8 ; b = 12 y c= 16

3. Si A es I. P. con B y D. P. con C cuando A = 5, B = 4 y C = 2, halle el valor de C cuando A= 6 y B = 9.

Solución

A Bk

C

Reemplazando los valores dados en la expresión:

5 4 6 9entonces: C 5,4

2 C

4. La temperatura en grados centígrados en un aula es D. P a la raíz cuadrada del número de alumnos presentes. En un determinado momento, la temperatura es de 24º cuando están presentes 36 alumnos. ¿Cuál será la temperatura cuando ingresen 28 alumnos más?

Solución

Sea C la temperatura en grados centígrados y N el número de alumnos:

Por datos tenemos: C es D. P. entonces:

Si C = 24 y N = 36 entonces 24 24

k 4636

Ahora para N = 36 + 28 = 64, la temperatura será: oC

4 C 8 4 3264

5. Una rueda A de 90 dientes engrana con otra B de 60 dientes fija al eje de B . Hay otra rueda C de 20 dientes que engrana con otra D de 45 dientes. ¿Cuántas vueltas dará D, si A da 60 rev/min?

Soución

A B90 60

CD

4520

Si están engranado: (# dientes) (#vueltas) = Cte

A y B: 90 60 = 60 VB VB = 90 rev/min

Pero:VC = VB = 90 rev/min

C y D: 20 90 = 45 VD VD = 40 rev/min

Notas:

Cuando dos ruedas engranan se cumple:(#dientes) I. P (Velocidad)

Page 122: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Cuando dos ruedas tienen eje común se cumple que sus velocidades serán iguales

6. Cierta cantidad de leche que contiene 20% de agua cuesta s/. 40 ¿Cuánto costará la misma cantidad de leche si su contenido de agua fuera del 25%?

Solución

80 4075 x Soles

7. Un automóvil tarda 8 horas en recorrer un trayecto yendo a 90km/h ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60km/h?

Solución

1º Método:

90 x60 8

90.8x 12

60 Horas

2º Método:

Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se multiplican los datos y se divide entre el otro dato; este cociente es el valor de la incógnita.

90 8x 12

60

Horas

8. ¿Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 20 días, trabajando 9h/d han hecho 30m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 20 m3 de la misma obra de 5 como dificultad se emplean 8 personas de 60% de rendimiento durante 15 días de 8h/d?

Solución

Otra forma práctica es identificar el tipo de magnitudes que intervienen. Para nuestro problema tenemos:

Supuesta

Pregunta

Obreros Rendimiento Días h/d Volumen Dificultad8

6

60

x

15

20

8

9

20

30

53

( I ) ( I ) ( I ) ( D ) ( D )

#%

#

%

#

Page 123: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Despeje: 8 15 8 30 3

x% 60% 486 20 9 20 5

cada uno

NIVEL 1

1. La razón aritmética de dos números es 12. Si uno de ellos es el cuádruplo del otro, halle la suma de dichos números.a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32

2. José y Juan tienen S/. 700 entre ambos. Lo que tiene José es a lo que tiene Juan como 4 es a 3. ¿Cuánto tiene José?a) S/. 400 b) S/. 300 c) S/. 1000 d) S/. 100 e) S/. 600

3. Los ángulos de un triángulo son entre sí como los números 4, 7 y 9. Halle al menor de los ángulos.a) 20° b) 24° c) 28° d) 32° e) 36°

4. Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, entonces si A=90, B=30, halle B cuando A=21.a) 63 b) 7 c) 3 d) 42 e) 10,5

5. Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, entonces si A=40, B=30, halle A cuando B=15.a) 20 b) 80 c) 4 d) 40 e) 16

6. Si “A” varía a razón directa a “B” e inversamente al cuadrado de “C”. Cuando A=10, entonces B=4 y C=14. Halle A cuando B=16 y C=7.a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120

7. Un hombre tarda 12 días en colocar 11520 ladrillos. ¿Cuántos ladrillos podrá colocar en 17 días?a) 16000 b) 15500 c) 16320 d) 18200 e) 16230

8. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 2 m de lado en 3 días. ¿Cuántos días se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 4 m de lado?a) 6 b) 12 c) 18 d) 10 e) 3

9. La razón entre dos números es 3/5. Determine la diferencia entre ellos, sabiendo que su suma es 72.a) 9 b) 12 c) 16 d) 18 e) 24

10. Dos números están en la razón de 3 es a 2. Si la suma de dichos números excede a la diferencia de los mismos en 80, halle el mayor de los números.a) 45 b) 60 c) 75 d) 90 e) 120

11. La razón geométrica entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. Si la suma del mayor con el triple del menor es 14, halle la suma de los cuadrados de los números.a) 68 b) 72 c) 76 d) 80 e) 100

NIVEL 2

1. A una fiesta asistieron 140 personas, entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta?

Ejercicios propuestos2.4.10.

Page 124: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a) 2/3 b) 4/5 c) 1/3 d) ¾ e) 5/3

2. En un salón hay 40 varones y 30 mujeres. ¿Cuántas parejas deben retirarse para que los varones que quedan sean a las mujeres que quedan como 7 es a 5?a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

3. En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Halle el valor de la constante de proporcionalidad.a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

4. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4, 1 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números?a) 4 b) 10 c) 14 d) 15 e) 16

5. El gasto de una persona es D. P a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo mensual es de S/. 1200 ahorra S/. 200. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1300?a) S/.1400 b) S/.1134 c) S/.1500 d) S/.1620 e) S/.1560

6. Con una cierta cantidad de gasolina un camión sólo puede correr 60 km con 2 toneladas de carga. ¿Cuántos km podrá recorrer dicho camión con la misma cantidad de gasolina si lleva una carga de 10 toneladas?a) 30 b) 15 c) 12 d) 32 e) 28

7. A es D. P a B e I. P a C2, cuando A=10, B=25 y C=4. Halle A cuando B=64 y C=8.a) 6 b) 8 c) 4 d) 12 e) 10

8. El cuadrado de A varía proporcionalmente al

cubo de B, cuando A=3, B=4. Halle el valor de B cuando A=3

.3

a) 1 b) 3 c) 2/3 d) 1/3 e) 4/3

9. Una rueda de 80 dientes engrana con otra de 15 dientes, la que está montada sobre el mismo eje que una tercera rueda. ¿Cuántas vueltas dará esta última rueda cuando la primera ha dado 60 vueltas?a) 300 b) 320 c) 350 d) 400 e) 480

10. Una rueda “A” de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fija el eje “B”, hay otra rueda C de 15 dientes que en engrana con una rueda “D” de 40 dientes. Si “A” da 150 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda “D”?a) 60 b) 80 c) 90 d) 120 e) 30

11. En 15 días, 16 obreros han hecho la mitad de una obra que les fue encomendado. Si entonces se retiran 4 obreros, ¿en cuántos días terminarán lo que falta de la obra los obreros restantes?a) 5 b) 45 c) 30 d) 20 e) 33

12. Se sabe que un obrero A es 30 % más eficiente que B y B se demora 46 días en hacer una obra. ¿En cuántos días harán juntos dicha obra?a) 10 días b) 12 días c) 18 días d) 20 días e) 28 días

NIVEL 3

Page 125: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

1. Dos trenes, A y B, marchan con velocidades que están en la relación ¾. A recorre 210 Km en 7 horas. ¿Cuánto recorrerá B en 5 horas y 20 minutos?

a) 1

2135

b) 1

2313

c) 1

2133

d) 1

2353

e) 1

2137

2. Un depósito tiene 5 conductos de desagüe de igual diámetro. Abiertos tres de ellos, se vacía el depósito en 5 horas y 20 minutos. Abiertos los cinco, ¿en cuánto tiempo se vaciará?a) 3h12m b) 3h25m c) 3h20m d) 2h25m e) 1h30m

3. 5 trabajadores demoran 14 días trabajando 10 h/d en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para sembrar otro terreno cuadrado de 40 m de lado trabajando 7 h/d durante 20 días?a) 20 b) 21 c) 18 d) 24 e) 22

4. En 8 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Si se retiran 6 obreros, ¿cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?a) 12 b) 16 c) 24 d) 32 e) 8

5. Quince obreros pueden hacer 30 carpetas en 18 días. ¿Cuántos días demorarán 10 obreros de doble eficiencia en hacer 40 carpetas si la dificultad es la tercera parte de la anterior?a) 12 b) 10 c) 15 d) 6 e) 8

6. Una obra puede ser hecha por 8 hombres en 16 días trabajando 10 h/d. Si antes de empezar la obra, 4 de ellos aumentan su rendimiento en 50%, ¿cuántos días de 8 h/d de trabajo demoran en realizar la obra?a) 3 b) 7 c) 8 d) 2 e) 16

7. Ocho obreros pueden hacer una obra en 10 días. Inician el trabajo y al final del quinto día se retiran 2 obreros. Los restantes trabajan juntos durante x días, al final de los cuales se retiran 4 obreros más. Halle x si se sabe que los obreros que quedaron terminaron la obra y la entregaron con un atraso de 7 días.a) 5 b) 8 c) 4 d) 6 e) 10

8. Dos personas tienen concedidas pensiones en razón directa a la raíz cuadrada del número de años de servicio. El servicio de la primera excede a

la segunda en 14

4 años y las pensiones están en la relación de 9 a 8.

¿Cuánto tiempo ha servido la segunda?a) 8 años b) 16 años c) 24 años d) 12 años e) 18 años

9. Un muchacho da 100 pasos en un minuto, y un hombre 3 pasos en 2 segundos. El primero avanza en cada paso 70 cm, y el segundo 90 cm. ¿Cuánto tardará el hombre en hacer un recorrido de 5670 m?a) 1h10m b) 1h12m c) 1h21m d) 1h20m e) n.a.

10. Para la construcción de una cerca de 84 m de longitud, 3 m de altura y 0,60 m. de espesor se hizo un presupuesto de 10 854 soles. Al ejecutar la obra, se rebajó la altura en un metro; se disminuyó el espesor en 10 cm y la longitud en 2 m. ¿Qué ahorro se obtuvo?a) 4840,42 b) 4841,57 c) 5886,42 d) 4843,56 e) 4967,57

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31. B 1. A 1. C2. A 2. B 2. A3. E 3. C 3. A4. B 4. B 4. B5. B 5. E 5. D6. B 6. C 6. E7. C 7. C 7. C8. B 8. E 8. B9. D 9. B 9. A

10. B 10. C 10. E11. A 11. D

12. D

En una prestigiosa universidad el sistema de evaluación es el siguiente: se considera 7 evaluaciones, de las cuales 5, que denominaremos 1t , 2t , 3t , 4t

y 5t

tienen un peso correspondiente a 10%, 15%, 20%, 25% y 30% respectivamente. Estas integran la nota de evaluación continua (T) cuyo peso en la nota final es del 60%. Adicional a estas 5 evaluaciones, existen dos más: Examen de Medio Ciclo (EM) y Examen Final (EF) con un peso del 20% cada una en la nota final.

Si el alumno Andrés saliera desaprobado, tiene el derecho a una evaluación más cuya nota sustituirá a cualquiera de las 7 notas mencionadas.

Si la nota aprobatoria mínima fuera 11.5, podrías ayudar a Andrés quien está indignado y pensando cuánto tendrá que sacar en la evaluación sustitutoria para aprobar el curso a partir de las notas que presenta la siguiente tabla:

1t 2t 3t 4t 5t EM EF12 13 12 02 12 08 11

Considerar lo siguiente:

Para obtener la nota de evaluación continua (T) se “redondean” los decimales. Para sacar la nota final se toman en cuenta 3 notas: T, EM, EF con sus

respectivos pesos.

Respuestas2.4.10.

Porcentajes2.5.

Caso de estudio: Promedio final2.5.1.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

En la nota final que muestra el sistema también se “redondean” los decimales.

Solución

Veamos primero cuanto de promedio tiene:

T= 1 2 3 4 50.1(t )+0.15(t )+0.2(t )+0.25(t )+0.3(t )

T=0.1(12)+0.15(13)+0.2(12)+0.25(2)+0.3(12)

T= 9.6500Entonces:

T =10 (redondeado)

Luego sacamos el promedio final:

Promedio final = 0.2 (EM)+0.6(T)+0.2(EF)

Promedio final = 0.2 (8)+0.6(10)+0.2(11)

Promedio final = 9.8

Promedio final = 10 (redondeado)En el sustitutorio tendría que sacar 10, para que reemplace al 4t y obtenga así un promedio final de 12 (“redondeado”).

Nos indica una relación entre una parte y la unidad que ha sido dividida en 100 partes iguales.

Es decir:Unidad

1100

1100

1100

1100

1100

100 partes iguales

Luego:

1 parte 1

100 = 1% (uno por ciento)

2 partes 2

100 = 2% (dos por ciento)

3 partes 3100

= 3 % (tres por ciento)

100 partes 100100

= 100% (cien por ciento)

Se observa que:

Regla del Tanto por Ciento2.5.2.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

1% = 1

100 a % =

a100

. 100% = 100100

= 1

El a% del b% de c%

a b abc. .c% %

100 100 10000

El 20% del 10% de 40% es:

20 10.

100 100 . 40% =

810

% = 0,8%

El a% de x es:

ax

100

El 20% de 30 es:

20100

(30) = 6

El 60% del 10% de 500 es = 60 10

.100 100

(500) = 30

a%x b%x (a b)%x

x + a% x = 1

100% x + a% x = (100+a)% x

x – a% x = (100-a)% x

n% menos = (100 – n)%

n% mas = (100 + n)%

Porcentaje de porcentaje2.5.3.

Tanto por ciento de una cantidad2.5.4.

Operaciones con porcentajes2.5.5.

Relación parte – todo2.5.6.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

¿Qué porcentaje de “A” es “B“?

Ejemplo:

En un salón de clase de 40 alumnos, el 70% son hombres y el resto mujeres. ¿Qué porcentaje de la población hombres representan las mujeres?

Solución

N° personas: 40 =

Luego: 1228

. 100% 42.86%

AUMENTOS SUCESIVOS (A)

¿A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 1 2 3 nr %,r %,r %,...,r %

?Sea A el aumento único, por fórmula se tiene:

A= n n-1 2 1n-1

(100 r )(100 r )...(100 r )(100 r )100 %

100

Ejemplo:

¿Cuál es el aumento único equivalente a los aumentos sucesivos del 10%, 20%, 25%, y 30%?De la fórmula se obtiene:

A= 3

(100 10)(100 20)(100 25)(100 30)100 %

100

A=(110)(120)(125)(130)

100 %100x100x100

A=114.5%

DESCUENTOS SUCESIVOS (D)

¿A qué descuento único equivalen los descuentos sucesivos del

1 2 3 nr %,r %,r %,...,r % ?Si D representa el descuento único, entonces:

Descuentos y aumentos sucesivos2.5.7.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

D= 1 2 n-1 nn-1

(100 r )(100 r )...(100 r )(100 r )100 %

100

Ejemplo:

¿Cuál es el descuento único equivalente a los descuentos sucesivos del 10%, 20%, 25% y 3%?De la fórmula se obtiene:

A= 3

(100 10)(100 20)(100 25)(100 3)100 %

100

A=(90)(80)(75)(97)

100 %100x100x100

A=47.62%

1) vp : Representa el precio de venta

cp :Precio de compra

G: Ganancia

De esto: v cp p G

2) Si hay gastos extras ( eg ) desde la compra hasta la venta.

v c ep p G+g

También:

Ganancia=I ngreso-Gastos

neta

3) Si fijamos precio a un artículo de venta.

v Fp p -D

Fp : Precio fijadoD : Descuento

4) Se compra un artículo con un descuento.

PC=PL– D

Cp : Precio de compra

Lp : Precio de listaD : Descuento

Ejemplo:

Venta de artículos2.5.8.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

¿A qué precio se debe vender lo que ha costado S/. 27 200 si desea ganar el 18% del costo?

Por fórmula: v cp p G y G=18% cp (dato)Luego, reemplazando los valores se tiene:

1. El área de un rectángulo se disminuye en un 30% y resulta 350 cm2. ¿Cuál era el área original?

Solución

Sea x el área original, se reduce en 30% x , el área final será 70% x , o sea:

70% x=350 quedando 70

x 350100

, entonces x 500 cm2.

2. Después de una de sus batallas, Napoleón observó que el 5% de sus soldados habían muerto y el 20% de los que quedaron vivos estaban heridos, quedaban 608 sanos. ¿Cuántos soldados habían muerto?

Solución

Sea T: la cantidad total de soldados. Entonces, el número de muertos es 5%T y el número de vivos es 95%T. Del 95% de vivos el número de heridos es 20%(95%T) y el número de sanos es 80%(95%T). Por dato el número de

sanos es 608, entonces 80%(95%T)=608, es decir: 80 95

x T=608100 100

de

donde T=800. El número de muertos es 5%(800)=40

3. En un salón de clases el número de varones es el 80% del total de las mujeres. Si el 75% de los varones de este salón se van de paseo con el 40% de las mujeres, ¿qué porcentaje de los hombres que se quedaron constituyen el 10% de las mujeres que no fueron de paseo?

Slución Al paseo: 40%(100)=40

N° mujeres =100Nofueron: 60%(100)=60

Sea x% de los hombres que se quedaron igual al 10% de las mujeres que no fueron de paseo.

x%(20)=10%(60) x%=30%

Ejercicios resueltos2.5.9.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

4. Mary compró un radio de segunda y después de hacerlo reparar lo vendió con una ganacia del 40% sobre el costo. Más tarde, después de revisar sus gastos en la reparación, se dio cuenta de que realmente había ganado sólo el 30% . Sabiendo que vendió el radio en S/. 588, ¿cuánto gastó Mary en la reparación?

Solución

Pv=588 G=40%Pc ………………………………………………………(I) Bn=30%Pc ……………………………………………………….(II)

Pv = Pc + G

588 = Pc + 40%Pc 588 = 140%Pc Pc = 420

Además: G = Bn + Gtos.40%Pc = 30% Pc + Gtos.

Gastos = 10% Pc = 10%(420) = S/. 42

5. El precio de un artículo se aumenta en S/. 40 y luego se vende con una ganancia del 20 % sobre el costo. ¿Qué porcentaje del precio de venta se ganó?

Solución

Sabemos que: Pv = Pc + G …………………. (1)

Por dato se tiene:G = 20% Pc = 40 Pc= S/. 200

Luego, en (1) se tiene:Pv = 200 + 40 Pv=S/. 240

Sea la ganancia el x% del precio de venta, entonces:

G=x%Pv x%(240) = 40 x=16,6

6. Un televisor se vende con una ganancia del 40% sobre el costo. Si se hubiese hecho un descuento del 10% sobre el precio de venta, se habría ganado S/. 520. Halle el precio de costo del televisor.

Solución

Graficando

Si se rebaja 10%, se venderá al 90% del 140%Pc, o:De la figura:

520 + 10%140%Pc = 40%pc

Pc 40%Pc Ganancia

S/. 520

10%(140%Pc)Ganancia Rebaja

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

520 + 14%Pc = 40%Pc 26%Pc=520 Pc=2 000

7. Arturo compró una calculadora, luego la vendió con un recargo sobre el precio original del 30%. Al momento de venderla a su amiga Carmen, le hizo una rebaja del 30% y pensó que con esta rebaja volvía al precio original, sin embargo quedó perjudicado con S/. 54. ¿A qué precio la vendió?

Solución

Graficando

De la figura:Pv = 70%(130%Pc) =91%Pc,

Es decir, hay un perjuicio del 9% PcEntonces:

Perjuicio = 54 = 9%Pc Pc=S/. 600

Por lo tanto la vendió al precio de: Pv = 91%(600) = S/. 546

8. Se va a rifar una computadora cuyo costo es de S/. 5040 nuevos soles y con este fin se imprimirán 300 boletos, de los cuales se piensa vender el 80%. ¿Cuál debe ser el valor de cada boleto si se piensa obtener una ganancia que sea igual al 30% del monto que se recaudará?

SluciónLa cantidad de boletos que se piensa vender es:

80% (300) = 240

Sea P la cantidad recaudada por la venta de los 240 boletos, entonces según el enunciado se tiene:

P = 5040 + 30%P 70%P = 5040 P = 7200

Por lo tanto, el precio de cada boleto es:

720030

240

9. Si a un número se le hacen tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 30% luego tres descuentos sucesivos también del 10%, 20% y 30%, ¿Cómo varía el número?

Solución

Denote por A al aumento y por D al descuento, entonces según el enunciado se tiene

3erA 2doA 1erA

3erD 2doD 1er D

( 70% 80% 90% )( 130% 120% 110% ) 86,486%

Por lo tanto la variación es:

30% Pc Recargo

Pv

Pc

Perjuicio

30%(30%Pc) Rebaja

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

100% – 86,486% = 13,513%

10. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar a 30 litros de alcohol con una concentración del 40% para que esta se reduzca al 30%?

Solución

Supóngase que agregamos “x” litros.

A.Antes de agregar:

Mezcla : 30 lts Alcohol : 40%(30) = 12

lts

Agua : 60%(30) = 18 lts Concentración: 40%

B.Después de agregar:

Mezcla : (30+x) lts Alcohol: 12 lts

Agua : (18+x) = 18 lts Concentración: 30%

Como la nueva concentración es 30%, entonces:

(alcohol) = 30% (mezcla)

12 = 30% (30 + x) x = 10 lts.

Nivel 1

1. ¿Cuál es el 26% de 480?

2. Encuentra el 10,5% de 28.

3. ¿Qué porcentaje de 30 es 45?

4. ¿150 es el 25% de qué número?

5. ¿Qué porcentaje de 28 es 0,392?

6. Se observó que en una granja el número de patos, conejos y pavos estaba en relación con los números 4, 5 y 6. ¿Qué porcentaje del total son pavos?

7. En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres?

8. En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres?

9. El 20% menos de A es igual a 2% más de B si A + B = 546. Halle A – B.

10. Si el 65% de “N” es igual al 106% de (N - 123). ¿Qué porcentaje de N representa 53?

11. En una reunión, el 70% del número de mujeres es igual al 50% del número de hombres. ¿Qué porcentaje del total son mujeres?

Ejercicios propuestos2.5.10.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

12. En una granja el 30% de los animales son pollos, el 45% patos y el resto gallinas. Si se venden la mitad de los pollos, el 4/9 de los patos y el 3/5 de las gallinas, ¿qué porcentaje del nuevo total son patos.

13. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de la mitad del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del número?

Nivel 2

1. Si la base de un rectángulo se aumenta en 25% y el área no varía, ¿en qué porcentaje disminuye entonces la altura?a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 25

2. La edad de A es el 30% de la de B. Si hace 5 años la diferencia de sus edades era de 14 años, determine qué porcentaje de la edad de B representará la edad de A, dentro de 20 años.a) 58 b) 60 c) 62 d) 65 e) 66

3. Al inicio de 1994, una población tenía 10 000 habitantes. El consumo de agua por persona y por hora era de 10 litros. La población crece a un ritmo del 20% anual. Determine el lado de la base cuadrada de un reservorio de 6 metros de altura capaz de satisfacer la demanda diaria de la población al inicio de 1998.a) 18.8 b) 20.8 c) 22.8 d) 28.8 e) 28.9

4. En cierta universidad particular se decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar en un 30% al resto. Con esta política, el monto total de las pensiones queda rebajado en un 10%. ¿Qué porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos? Antes que la universidad aplique esta políticaa) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 95

5. Un comerciante vende la quinta parte de su mercadería con una ganancia del 8%, luego vende otro tanto igual con un 13% de utilidad y el resto con un porcentaje de perdida gracias al cual se puede decir que ni ha ganado ni ha perdido. ¿Cuál fue dicho porcentaje?a) 6% b) 7% c) 8% d) 9% e) 10%

6. Un artefacto ha sido vendido por un comerciante en 470 soles, operación en la que ha perdido una cantidad equivalente al 11% del precio de venta más el 6% del precio de costo. ¿Cuánto le costó dicho artefacto?a) 500 b) 555 c) 559 d) 650 e) 700

7. Una persona compró 200 objetos “A” y después los revendió con una ganancia del 10%. Con el importe de la venta, compró 80 objetos “B” y a continuación los vendió con una ganancia del 15%. Con el importe, compró 828 objetos “C” al precio de 88 la docena. ¿Cuánto le costó cada objeto “A”?a)24 b) 22 c) 18 d) 20 e) 25

8. Una mercancía ha sido comprada y revendida por 4 comerciantes. Los dos primeros han obtenido un beneficio del 15% cada uno y los dos últimos el 10% de pérdida cada uno. ¿Cuánto pagó por ella el primero, si el último lo vendió en 44849 soles?

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a) 40 000 b) 36 000 c) 44 440 d) 48 000 e) 49 000

9. El valor total de un artículo es S/. 36 más el 10 % . ¿Cuál es su valor total?a)32 b) 28 c) 40 d) 44 e) 46

10.En una industria se han fabricado 1000 productos, el 60% de ellos a través de la máquina “A” y el resto a través de la máquina “B”. Si se sabe que el 5% de lo fabricado por “A” es defectuoso y el 4% por “B” también lo es, ¿cuántos de los 1000 productos son defectuosos? a)30 b) 36 c) 46 d) 44 e) 55

11.En la venta de un reloj gané tanto como rebajé (el 20% del costo). ¿Cuánto pensaba ganar sin rebajar si el reloj me costó 60 soles más de lo que gané?a)S/. 30 b) S/. 50 c) S/. 40 d) S/. 42 e) S/. 36

12.Una casa comercial ofrece un descuento del 20% sobre el valor real de cada uno de sus artículos. Uno de estos tiene un costo de S/. 3120. ¿Qué precio tendrá en dicha casa comercial este artículo si se desean ganar el 10%?a)S/.4 000 b) S/.4 200 c) S/.5 000 d) S/.4 850 e) S/.4 290

Nivel 3

1. Gasté el 60% de lo que no gasté. ¿Cuánto tenía sabiendo que no gasté S/. 120 más de lo gasté?

a)180 b) 240 c) 360 d) 480 e) 490

2. Una fábrica redujo en un 20% el precio de venta de sus artículos. ¿En qué porcentajes aumentaron sus ventas, si se sabe que sus ingresos aumentaron en un 20%?

a) 30% b) 60% c) 90% d) 80% e) 50%

3. Un comerciante vende un objeto “A” al mismo precio con el que se adquiere el objeto “B”. Si “A” se vende con una ganancia del 20% del costo y “B” se compra con un descuento del 20% sobre un precio establecido, ¿cuánto costó “A” si el precio establecido de “B” es superior en S/. 100 al precio de costo de “A”? a) 180 b) 200 c) 240 d) 360 e) 270

4. Se sabe que una tela de calidad “x” se encoge después de lavada: 20% en el largo y 10% en el ancho. Después de que esto ocurre, la tela se vende a S/.50 el metro cuadrado con una ganancia del 20% sobre el costo. ¿Cuánto costó cada metro cuadrado de tela? a) 16 b) 20 c) 24 d) 30 e) 35

5. Un boxeador ha decidido retirarse cuando llegue al 90% de triunfos en su carrera. Si ha boxeado 100 veces y obtenido 85 triunfos, ¿cuál es el número mínimo de peleas ganadas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar?a)10 b) 48 c) 50 d) 40 e) 55

6. José y Rubén invitaron un almuerzo a Cristina por su cumpleaños. José cubrió el 40% de los gastos y Rubén el resto. Al almuerzo asistieron los 3. Otro día, en agradecimiento y en recompensa a los gastos que habían realizado, Cristina les regaló un reloj valorizado en S/.300. Si José quería quedarse con el reloj, ¿cuánto dinero tenía que darle a Rubén?

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a)120 b) 180 c) 150 d) 240 e) 245

7. Un comerciante compra mercadería por S/.400 y vende luego el 20% de esta con una pérdida del 10%. ¿Qué tanto por ciento debe ganar en el resto de la mercadería para recuperar lo perdido y ganar además el 30%?a) 40%b) 35% c) 30% d) 15% e) 20%

8. Un recipiente “A” contiene 250cc de alcohol al 64% y otro recipiente “B” con 200 cc de alcohol al 80%. ¿Cuántos cc de agua tendríamos que agregar a cada recipiente de modo que al final haya igual cantidad de mezcla y una concentración de 40% en cada recipiente?a) 100,150 b) 150,200 c) 200,250 d) 250,300 e) 255,350

9. Andrés compró con una rebaja del 25% un lote de artículos cuyo precio de lista era S/.3000. Luego, vendió todos los artículos de la siguiente forma: primero el 20% con una ganancia de 5 soles por artículo; en segundo lugar, el 30% con una pérdida de 2 soles por artículo; y finalmente, lo restante con una ganancia de 4 soles por artículo. Si como producto final de esta venta Andrés ganó 720 nuevos soles, ¿a qué precio compró cada artículo?a) S/. 8 b) S/. 10 c) S/. 3 d) S/. 20 e) S/. 25

10. Un carpintero se comprometió a construir 250 mesas iguales. En las 30 primeras, perdió el 20% de su importe ajustado. Por esto, estimuló a sus obreros y ganó en las mesas restantes el 40%, así que decidió después entregar una gratificación de S/. 100 a los operarios. Finalmente, obtuvo un beneficio del 32% de la cantidad estipulada ¿Cuál es el precio de cada mesa?a) S/.10 b) S/.20 c) S/.40 d) S/.50 e) S/.80

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31. 124.8 1. B 1. D2. 2.94 2. D 2. E3. 150% 3. D 3. B4. 600 4. C 4. D5. 1.4% 5. B 5. C6. 40% 6. B 6. B7. 25% 7. A 7. A8. 66 8. A 8. B9. 16.6% 9. C 9. A

10. 41.6% 10. C 10. D11. 50% 11. A12. 2% 12. E

De igual forma que los impuestos, el interés aparece en los primeros registros de la historia humana. Su existencia se revela en Babilonia en el año 2000 a. C. En los primeros casos, el interés se pagó en forma de dinero por el uso

Respuestas2.5.11.

Interés2.6.

Orígenes del interés2.6.1.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

de grano u otras mercancías tomadas en préstamo; también se pagó en forma de grano u otros bienes. Muchas prácticas de interés actuales se derivan de las primeras costumbres en el préstamo y reembolso de grano y otros cultivo

La historia también revela que la idea de interés llegó a establecerse tan bien que en el año 575 d. C existió una empresa de banqueros internacionales, con oficina matriz en Babilonia. Los ingresos de la empresa derivaban de las altas tasas de interés que cobraban por el uso de su dinero para financiar un comercio internacional.

En la primera historia registrada, las típicas tasas de interés anual sobre préstamos de dinero oscilaban entre 6% y el 25%, aunque en algunos casos se permitieron tasas legalmente sancionadas del 40%. El cobro de tasas de interés exorbitantes sobre préstamos se llamó usura, y la prohibición de ésta se encuentra en la Biblia (véase Éxodo 22:21-27).

La Compensación por Tiempo de Servicios (CTS) es un beneficio que tiene como propósito fundamental prever y proteger el riesgo que origina el cese de una relación laboral y la consecuente pérdida de ingresos en la vida de una persona y su familia. En la relación que se produce con motivo de la CTS participan, por regla general, tres partes: el empleador, obligado a realizar los depósitos; la entidad financiera, obligada a guardar los depósitos; y el trabajador, quien será el beneficiario.

Este beneficio se devenga desde el primer mes de iniciado el vínculo laboral y se deposita semestralmente durante los primeros quince (15) días en los meses de mayo y noviembre, en la empresa depositaria elegida por el trabajador y, a elección de éste, en moneda nacional o extranjera.

Las empresas depositarias pueden ser consideradas las empresas bancarias, las financieras, las cooperativas de ahorro y crédito autorizadas a captar recursos del público, las cajas rurales de ahorro y crédito y las cajas municipales de ahorro y crédito.

Los depósitos de CTS, incluidos sus intereses, son intangibles e inembargables hasta el 50%, salvo por alimentos, y el trabajador sólo podrá efectuar retiros parciales de libre disponibilidad con cargo a su CTS e intereses acumulados hasta el 50% de los mismos. El resto del depósito no será retirado por el trabajador hasta su cese de labores en la empresa.

Caso de estudio: Compensación por Tiempo de Servicios – CTS

2.6.2.

El Ábaco de babilonia

Durante la Edad Media se proscribió la recaudación de interés sobre préstamos con base en las escrituras. No obstante, en 1536 Juan Calvino estableció la teoría protestante de la usura y rebatió la idea de que el interés era ilegítimo. En consecuencia, la recaudación del interés volvió a ser una parte esencial y legal de hacer negocios. A la larga, la publicación de tablas de interés llegó a estar disponible para el público.

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71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

¿Cómo calcular los intereses de un depósito CTS?

Considere el caso de un empleado al que le hacen su primer depósito en una caja rural con las siguientes características:

Moneda del depósito: soles. Saldo el 01/11/2008: S/ 3,000 El monto de interés se abona mensualmente. Capitalización mensual; es decir, el interés se suma al capital cada fin de

mes. Las tasas del depósito (tasa de interés): Tasa Efectiva Anual (TEA) están

dadas por:

Moneda nacionalMoneda

extranjera12% TEA 6% TEA

Se considera el cálculo de la TEA a 360 días. Comisiones y gastos: ninguna. Retiro el 01/11/2008: S/ 500 Fecha de cese: 01/03/2009 (120 días después del retiro)

Se considera que el trabajador no efectuó ningún otro retiro hasta la fecha del cese.Para determinar el monto que retirará el trabajador en la fecha del cese se usará la siguientefórmula para el cálculo del interés:

n

360I D 1 TEA 1

Donde: I : Interés.D: Depósito.n: Plazo del depósito en días.

Según lo planteado en el caso se manejan los siguientes datos de referencia:

- TEA=12% - Retiro del disponible: S/. 500- Depósito intangible: S/. 1500 - Saldo del disponible: S/. 1000- Depósito disponible (50%): S/. 1500 - Plazo: 120 días (Fecha del cese)Los intereses se calcularán por partes:

1. Interés del intangible:

Deacuerdo a la fórmula de interés se tiene:

120360I 1,500 1 0.12 1

I=57,75 Nuevos soles.

A fin de cada mes:Monto = saldo + interés

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71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Como la capitalización es mensual, entonces:

Mes Saldo Días TEAInterés/

Mes1 1500 30 12% 14,232 1514,23 30 12% 14,373 1528,60 30 12% 14,504 1543,11 30 12% 14,64

TOTAL 57.,75

2. Interés del saldo sisponible:

Aqí: D=1000 es el saldo disponible.

120360I 1,000 1 0.12 1

I 38.5 Nuevos Soles.

Entonces, el interés total del saldo disponible es S/. 38.5.

Mientras que el abono mensual es:

Mes Saldo Días TEAInterés/

Mes1 1000 30 12% 9,492 1009,49 30 12% 9,583 1019,07 30 12% 9,674 1028,74 30 12% 9,76

TOTAL 38,50

3. Cancelación:

Por tanto en la fecha del cese el trabajador retirará:

CAPITAL INTERÉSINTANGIBLE 1500 57,75DISPONIBLE(SALDO) 1000 38,5

Sub-total250

0 96,25TOTAL 2596

Por tanto, el trabajador puede disponer de un beneficio de S/.2596 por Compensación por Tiempo de Servicios como forma de proteger al trabajador y su familia de las contingencias del cese.

Interés2.6.3.

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71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

1. Definición: Se denomina interés o rédito a la suma (ganancia) que produce un capital prestado durante cierto tiempo y según una tasa fijada (en porcentaje).

2. Elementos de la regla de interés:

2.1. Tasa (r%): Señala que tanto por ciento del capital se obtiene como ganancia de un periodo de tiempo.

Ejemplos:

5% mensual, significa que por cada mes se gana 5% del capital. 4% trimestral, significa que por cada trimestre se gana 4% del capital. 10% anual, significa que por cada año se gana 10 % del capital.

Nota:

1. Cuando no se especifica el periodo de tiempo referido a una tasa de interés se asume que la tasa es anual.

Ejmplo: 25% anual = 25%

2. Tasas equivalentes: En caso que el interés no esté en forma anual, se aplicarán las siguientes conversiones:

% mensual x 12 = % anual% bimestral x 6 = % anual% trimestral x 4 = % anual% cuatrimestral x 3 = % anual% semestral x 2 = % anual

2.2. Tiempo (t): Periodo durante el cual el capital permanece impuesto a ciertas condiciones.

Paa calcular el interés se considerará el mes y año comercial, donde:

1 mes comercial tiene 30 días. 1 año comercial tienen 360 días. 1 año común tiene 365 días. 1 año bisiesto tiene 366 días.

2.3. Monto (M): Suma de capital e interés que genera este en un periodo determinado.

M=C+I

3. Clases de interés

El interés puede ser simple o compuesto. Se llama simple, cuando los intereses son retirados, permaneciendo el capital constante durante todo el tiempo de préstamo. El interés se llama compuesto, cuando los intereses no se retiran, sino se van acumulando al capital primitivo formando nuevos capitales. Entonces, se dice que los intereses se capitalizan.

3.1. Interés simple:

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Es una operación que tiene por objeto calcular el interés o rédito que produce un capital prestado a una tasa y durante un tiempo determinado.

El interés simple es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto el monto del interés es calculado sobre la misma base.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Interés simple es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo durante todo el período de transacción comercial.

Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que estos son cobrados o pagados.

Fórmula del interés simple

El interés que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial, al tiempo que dure la inversión y a la tasa de interés:

Donde r% es la tasa de Interés anual y t en años.

Por ejemplo, Miguel tiene 100 soles y desea depositarlos en un banco, el cual le ofrece un interés anual del 6%; es decir, al cabo de un año el banco le devuelve 100 soles más el 6% de 100 (6 soles de interés), luego le devuelve 106 soles.

A Miguel le ha gustado esta operación y vuelve a realizarla con los 100 soles, ya que decide gastarse los 6 soles ganados de interés. Entonces, tras dos años se encontraría de nuevo con 106 soles. Dos años después, ha pasado de 100 soles a 112, ya que le ha añadido 6 cada año a los 100 primeros. Si esto se hiciera durante varios años, se podría resumir en la siguiente tabla:

Año 0 1 2 3 4Capital total

100 106 112 118 124

3.2. Interés compuesto

Cuando el interés no se retira sino que pasa a formar parte del capital, se dice que los intereses se capitalizan. Los problemas de interés compuesto son de cálculo logarítmico, por lo que su solución es algebraica.

Supongamos ahora que María realiza la misma operación que Miguel el primer año, transcurrido el cual tendrá 106 soles. María decide, al igual que su novio, volver a depositar en el banco el dinero, pero ella no deposita sólo los 100 soles, sino que añade el interés conseguido. La situación sería que el 6% en el segundo año se debe calcular sobre 106 soles, y este interés sería de:

I C r% t

C r tI

100

“t” en

años

“t” en meses

“t” en días

C r tI

1200

C r tI

36000

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

6106 6.36soles

100

Al final del segundo año, María tendría 112,36 soles y, si continuásemos el proceso, calculando siempre el 6% sobre el capital obtenido el año anterior, los primeros años quedarían reflejados en la siguiente tabla:

Año 0 1 2 3 4Capital total

100 106112.36

119.10

126.25

La diferencia entre los dos tipos de interés es evidente: en el primer caso, los intereses no se acumulan al capital, pero en el segundo sí lo hacen, siendo este más beneficioso para la parte que aporta el dinero.

El proceso que consiste en sumar al capital inicial el interés correspondiente al tiempo que dura la inversión o el préstamo se le llama capitalización. En nuestros dos ejemplos, tras cuatro años, el proceso de capitalización ha dado dos cantidades distintas que se han obtenido mediante las llamadas leyes financieras de capitalización simple y compuesta, respectivamente.

Habitualmente, el interés compuesto o la llamada ley financiera de capitalización compuesta es la que se utiliza en los préstamos. La razón es evidente: porque si el banco nos prestase 5000 soles es más beneficioso para ellos que el interés que tengamos pactado sea un interés compuesto, ya que se acumularían más intereses a lo largo del tiempo.

Fórmula del interés compuesto

Sea un capital invertido durante n años a una tasa de interés compuesto por cada año. Durante el primer año, el capital C produce un interés de:

El capital final al primer año será:

Después del segundo año, el capital produce un interés:

El capital final al segundo año será:

y así sucesivamente.

Por inducción, al cabo de n años el capital inicial C invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final dado por la fórmula:

La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de

Aunque las fórmulas de interés compuesto se han deducido para una tasa de interés anual durante años, todo sigue siendo válido si los períodos de

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

reinversión son semestres, trimestres, etc.; no es necesario convertir estos en años.

Puesto que el interés generado es la diferencia entre el capital final y el inicial, se obtiene:

Por tanto, se dirá:

Interés Compuesto (lc):

Es el interés ganado por un principal C a la tasa de interés i durante n intervalos de acumulación.

nCI C (1 i) 1

Tasas de interés compuesto:

Es la tasa de interés simple a la cual se calcula el interés correspondiente a cada intervalo de acumulación.

Tasa nominal (j):

Es una tasa de interés simple que no puede ser aplicada directamente sino que debe ser transformada a una tasa efectiva. Las tasas nominales siempre deben ir acompañadas de su forma de capitalización.Por ejemplo, una tasa nominal anual del 20% que se capitaliza mensualmente.

Tasa de interés efectiva (i):

Es la tasa de interés compuesto que describe la acumulación real de los intereses de una operación financiera dada.

Para calcular una tasa efectiva i se puede multiplicar o dividir una tasa nominal j por un factor m de proporcionalidad.

Por ejemplo se tiene una tasa nominal del 20% que se capitaliza mensualmente, entonces la tasa efectiva mensual es de:

.

Tasa de interés equivalente (ieq):

Las tasas de interés efectivas pueden convertirse de un periodo a otro; es decir, se puede calcular sus tasas de interés efectivas equivalentes. En otras palabras, toda tasa de interés efectiva de un periodo de capitalización tiene su tasa de interés efectiva equivalente en otro periodo de capitalización. Para realizar esta conversión no se multiplica ni divide por ningún factor de conversión, sino que se debe aplicar:

Hfeq(1 i) 1 i

Se relacionan

Se relacionan

En las mismas unidades

Donde: i =Tasa de interés efectiva.

eqj

im

Tasa equivalente,

obtenida de la tasa nominal j.j= Tasa nominal.H=Horizonte de tiempo de la operación financiera.f =Periodo de capitalización

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

1. Calcule a cuánto asciende el interés producido por un capital de 25 000 soles invertido durante 4 años a una tasa del 6% anual.

Solución

Del enunciado se tiene: C= S/. 25 000

r%= 6% anual

Luego: 25000 6 4

I 6000100

El interés es de 6 000 soles.

2. Calcule el interés simple producido por 30 000 soles durante 90 días a una tasa de interés anual de 5%.

Solución

Como el tiempo se indica en días, entonces el interés es: 30 000 5 90

I 37536 000

El interés generado es de 375 soles.

3. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro 970 soles por concepto de intereses. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2% anual. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?

Solución

Despejando C de la fórmulaC 2 1

970100

Se obtiene que970

C 48 5000,02

El saldo medio ha sido de 48 500 soles.

4. Un préstamo de 20 000 soles se convierte al cabo de un año en 22 400 soles. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

Solución

Los intereses han ascendido a:

Ejercicios resueltos2.6.4.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

22400 20000 2400 C r% 1 Y despejando r se obtiene:

2400r 0,12

20000

La tasa de interés es del 12%.

5. Un capital de S/. 300 000 invertido a una tasa de interés del 8% durante un cierto tiempo ha generado unos intereses de S/.12 000. ¿Cuánto tiempo ha estado depositado ese dinero?

Solución

Aplicando la fórmula, se tiene que: 300000 8 t

12000100

y despejando: 12 000

t 0,5300 000 0,08

Por lo que el tiempo que ha estado invertido es de 0.5 años, es decir, 6 meses.

6. Averiguar a cuánto asciende un capital de 1 200 000 soles al cabo de 5 años y a una tasa de interés compuesto anual del 8%.

Solución

Aplicando directamente la fórmula de Cn:

C5 =1 200 000(1+0,08)5

=1 200 000 x 1,4693280 = 1 763 193,6

El capital de S/. 1 200 000 se convertirá en S/. 1 763 193,6

7. Calcule la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de para que al cabo de 4 años se haya convertido en S/. 2 360 279.

Solución

Se tiene:n=4, C= 1 500 000, C4 = 2 360 279

y por consiguiente:

42 360 279

i 11 500 000

41,5735193 1 0,1199999

La tasa de interés ha sido del 12%.

8. El banco Falabella ofrece una tasa del interés capitalizable mensualmente de 2,65%. Si un cliente financia un crédito hipotecario de S/. 30 000 durante 5 años sin amortizaciones, determine el monto que el cliente acumula para cancelar al final de dicho periodo.

Solución

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

Como el capital es: C=S/. 30 000, la tasa de interés capitalizable mensualmente es: i%=2,65%; además en un año se capitaliza 12 veces, por tanto en 5 años se habrá capitalizado 60 veces, entonces aplicando:

Monto Final = C(1+i)n.

Remplazando los datos en esta fórmula se obtiene:

Monto Final = 30 000(1+0,0265)60

Monto Final = 144 098,174

Por lo tanto, el cliente deberá cancelar al final de los 5 años la suma de: S/. 144 098,2.

9. Determine la tasa efectiva anual, si la tasa efectiva mensual (TEM) es del 4%.

Solución

Aplicando la fórmula se tiene:

121(1 i) 1 0,04 1,601 i 1,601 1 0,601 TEA

Si para el ejercicio anterior, el capital impuesto fuese de S/. 450 con una capitalización mensual entonces el monto generado sería:

12112C 450 1 0,04 720,46 Monto Final

10. El ejercicio 1 puede ser planteado de manera inversa, es decir: ¿cuál será la tasa efectiva mensual, si la tasa efectiva anual es de 60,1%?

Solución Para este caso la fórmula quedaría expresada como:

1

12(1 TEM) 1 TEA

Reemplazando los datos, se tiene:

1

12(1 TEM) 1 0,601 1,03999

Despejando:TEM 0,03999 0,04

Por lo tanto: TEM=4%

11. Si se tiene una tasa efectiva anual del 20%, indique la tasa efectiva semestral.

Solución

Aplicando la fórmula se tiene:

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

21(1 0,02) 1 TES TES 0,095 0,1

La TES=10%

12. Si se tiene una tasa nominal anual del 15% capitalizable trimestralmente, determine la tasa efectiva anual.

Solución

Como se tiene una tasa nominal se debe llevar primero a una tasa efectiva, para lo cual se debe dividir 15% entre 4 porque una año tiene 4 trimestres (periodos de capitalización) y luego transformarla a una tasa efectiva anual, es decir:

410,15

(1 TEA) 14

TEA 0,158

13. Determine la tasa de interés compuesto anual que es equivalente al 10.5 con capitalización semestral.

Solución

En este caso, se tiene que comparar dos capitalizaciones compuestas pero con periodos distintos de capitalización.

21 2(1 i ) (1 i )

Donde 2i =0.105, entonces:2

1(1 i ) (1 0,105) 1,221 .

Luego, 1i 0,221 .Es decir la tasa anual es de 22,1%.

14. Si se tiene una tasa de interés del 15% compuesta anualmente, señale la tasa equivalente de capitalización cuatrimestral.

Solución

El interés compuesto cuatrimestral: 1(1 i )

El interés compuesto anual: 13(1 0,15) .

Igualando:13

1(1 i ) (1 0,15) Despejando, se tiene:

13

1i (1 0,15) 1

Luego 1i 0,048 .Es decir, la tasa equivalente de capitalización cuatrimestral es de 4,8%.

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

NIVEL 1

1. ¿A cuánto asciende el interés que paga un banco si depositamos S/. 12 000 durante dos años a una tasa de interés del 16 %?a) 3 840 b) 3 842 c) 4 840 d) 5 580 e) 4 020

2. Determine el monto que produce S/. 20 000 al 10% anual durante 3 años.a) 22 000 b) 23 000 c) 24 000 d) 25 000 e) 26 000

3. Halle el tiempo que estuvo colocado un capital de S/. 15 200 que al 7 % produjo un interés de S/. 6 384.a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) 5 años e) 6 años

4. ¿En qué tiempo S/. 4000, invertidos al 3% anual simple, producen S/. 1000 en intereses?a) 100 b) 300 c) 400 d) 500 e) 600

5. Si Mario pagó $2300,75 en la fecha de vencimiento de un préstamo por 15 meses  al 7,5% de interés simple, ¿de cuánto fue el préstamo?a) 2 103,54 b) 3 103,54 c) 4 103,54 d) 2 103,45 e) 3 103,4

6. Si se necesita tomar un préstamo por 2 años de $3000, ¿cuál de las siguientes tasas de interés conviene?a) 9% computado mensualmente         b) 8,5% computado semanalmente

7. Determine el tiempo que  tomaría  triplicarse a $3 000 al 10% anualmente.a) 25 años b) 18 años c) 20 años d) 35 años e) 6 años

8. ¿Cuál es el interés que produce S/. 108 000 al 5% anual en 2 años 1 mes y 10 días?a) 11 400 b) 12 000 c) 14 050 d) 15 100 e) 16 280

9. ¿A qué tasa de interés la suma de S/. 30 000 llegará a un monto de S/. 31 200 colocada a interés simple en 10 meses?a) 42% b) 43% c) 48% d) 49% e) 46%

10. Determine el valor futuro generado por $ 20 850 al 5% compuesto trimestralmente durante 6 años.

a) 27 092 b) 28 092,27c) 26 092,8 d) 32 054,9 e) 31 054

11. Una persona pide prestada la cantidad de $ 800. Cinco años después devuelve $ 1020. Determine la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si el interés es:a) Simpleb) Capitalizado anualmentec) Capitalizado trimestralmented) Compuesto mensualmente

Ejercicios propuestos2.6.5.

Page 151: matematica basica

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CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

12. Una letra de $17 000 que vence en 10 años es ofrecida por $10 000. Si el dinero está depositado al 6% efectivo anual, ¿cuál será la utilidad o pérdida que se puede producir en la compra de la letra?

a) $ –507,29 b) $ 507,29 c) $ 587,29 d) $ 354,9 e) $ 31,549

13. ¿Cuánto años tardará una suma de dinero en quintuplicarse si el interés a que está invertida es el 6% nominal anual compuesto cada cuatro meses?a) 17,29 b) 25,29 c) 7,29 d) 27,09 e) 31,5

14. Un capital de $ 10 000 se acumula durante 30 años. El interés durante los primeros 10 años es del 5% efectivo. Durante los 10 años siguientes, el 6%; y los últimos 10 años ,del 7%. ¿Qué capital tendrá al finalizar el tiempo?a) 34 127,29 b) 32 425,29 c) 12 567,29 d) 270 339,4

e) 57 383,83

NIVEL 2

1. Determine el interés que genera $ 8726 al 4,5% compuesto mensualmente durante 20 meses.

a) 678 b) 578 c) 478 d) 378e) 778

2. ¿Cuál es el capital que impuesto al 8% trimestral ha producido en 6 meses S/. 1696 menos que si el capital hubiera sido impuesto al 16% cuatrimestral durante 150 días?

a)44 200 b) 41 200 c) 42 400 d) 44 400 e) 46 300

3. Un comerciante que deberá entregar dentro de 4 años una cantidad de S/. 23 400, quiere saber de qué capital ha de disponer hoy si espera del mismo un rendimiento del 4,25% anual a interés simple.

a) 20 000 b) 22 200 c) 22 400 d) 20 200 e) 21 200

4. Halle el monto a los 4 años si $ 5000 se invierten al 7% anual capitalizable mensualmente.

a) 6 612,72 b) 6 410 c) 6 640,8 d) 6 610,27 e) 6 600

5. Una suma de S/. 39 984 se ha dividido en dos partes, la primera impuesta al 9% durante 3 años ha producido igual interés que la segunda, impuesta al 4% durante 6 años. ¿Cuáles son las partes?

a) 18 816 y 21 168b) 18 681 y 20 168 c) 18 826 y 20 168d) 14 400 y 21186 e) 16 861 y 20 186

6. Un prestamista da los 3/7 de su capital al 6% y el resto al 5%, y resulta un interés anual de S/. 2 500. Indique cuál es la suma impuesta al 6%.

a) 1 749,2 b) 1 973,7 c) 2 187,5 d) 1 834,3 e) 1 635,1

7. El 1 de enero del 2008 se depositó al 5% de interés compuesto anual la suma de S/ 40 000. Al final del año 2010, ¿qué cantidad se obtendrá?

a) 46 350 b) 46 503 c) 46 030 d) 46 300 e) 46 305

8. La suma de tres capitales es S/. 59 800. Colocado a interés simple durante 4 años se convierten, respectivamente en S/. 15 300, S/. 28 800 y S/. 24 960. Determine la tasa de interés y el menor de los capitales.

a) 18 000 y 4% b) 20 750 y 6% c) 15 000 y 5% d) 14 000 y 6% e) 20 000 y 5%

Page 152: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

9. Una máquina pesada que cuesta S/. 62 500 se desvaloriza uniformemente a razón de 3 500 nuevos soles al año. Una empresa que desea comprarlo deposita S/ . 36 000 al 5% de interés simple. ¿Dentro de cuánto tiempo podrá adquirir la máquina?

a) 6 años b) 5 años c) 4 años d) 3 años e) 7 años

10. Determine el capital que un cliente del banco CrediBanc deposita al 4% anual capitalizable trimestralmente por medio año y que origina un monto de S/ . 20 402 .

a) 60 000 b) 50 000 c) 40 000 d) 30 000 e) 20 000

NIVEL 3

1. Un prestamista entrega la suma de S/. 5 800 al 10% de interés mensual sobre el saldo deudor de cada mes. El primer y segundo mes no se amortiza nada, el tercer y el cuarto mes se amortiza una cantidad igual a C soles. ¿Cuánto debe ser C para que la deuda se cancele al cuarto mes?

a) 6 045,1 b) 5 354,5 c) 4 043,7 d) 3 098,6 e) 2 341,8

2. Un capital de S/. 20 000 estuvo impuesto cierto número de años, meses y días. Por los años se cobró 5% anual, por los meses 4% y por los días 3%. Determine la utilidad producida por dicho capital sabiendo que, si se hubiera tenido impuesto durante todo el tiempo al 5%, habría producido S/ 2540 más que si se hubiera colocado todo el tiempo al 3%.

a) 6 276,6 b) 4 354,5 c) 7 043,7 d) 9 098,2 e) 8 341,4

3. Una empresa deposita un monto de S/. 2 000 en la cuenta de CTS de un trabajador. La Ley dispone que el 50% del depósito corresponde al monto intangible y el 50% restante al monto disponible. El día del depósito el trabajador retira S/. 500. Su cese se efectúa 120 días después, tiempo en el cual el trabajador no efectúa ningún retiro. ¿Cuál es el monto que retirará en el momento de su cese?

a)1 557,78 b) 1 557,72 c) 1 557,75 d) 1 557,73 e) 1 557,74

4. Si el banco Falabella ofrece por campaña navideña lo mostrado en el siguiente anuncio:

Indique: ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual?. Además, si usted recibiera un préstamo de 2 500 nuevos soles y no efectuó ninguna amortización, ¿cuál es el monto que debería cancelar al finalizar el mes de mayo?a) 35,6% y S/. 3 540.82 b) 36,87% y S/. 2 849.28 c) 32,40% y S/. 2500,64d) 25,4% y S/. 2 889.1 e) 47,74% y S/. 4 855.74

,65%TIEM2

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Page 153: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

5. Una persona deposita cierta cantidad de dinero al 10% de interés compuesto, capitalizable anualmente, durante 4 años. Al retirar dicho monto observa que hubiera obtenido S/. 655,9 más si lo depositaba a interés simple, que le pagaban 7% trimestral en el mismo tiempo. Determine la ganancia.a) 6 045,1 b) 5 354,5 c) 4 043,7 d) 3 098,6 e) 2 341,8

6. ¿Qué es más conveniente: invertir en una empresa productora de espárrago que asegura duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros en el Banco Falabella que ofrece el 5% capitalizable trimestralmente?

7. Un padre decide repartir el interés que produce su capital de S/. 360 000 al cabo de un año 3 meses y 21 días a una tasa del 41% anual, entre sus cuatro hijos proporcionalmente a sus edades, las cuales son los primeros 4 números primos de dos cifras. Calcule cuánto le toca al mayor de los hermanos.

a)80 030 b) 80 040 c) 80 050 d) 80 070 e) 80 060

8. Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una institución financiera la cantidad de $ 5 000. La institución le abona el 2% nominal anual compuesto trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una niña y entonces divide el monto del depósito en dos partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué cantidad tendrá cada uno cuando cumplan 21 años?a) 5 879,48 y 2 280,55 b) 80 030 y 80 040 c) 80 050 y 2 280,55d) 5 879,48 y 80 070 e) 80 060 y 5 879,48

9. Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados y de acuerdo con un contrato, tiene que pagar a las hijas de este igual cantidad cuando lleguen a la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada que debe pagar la compañía por la muerte de su asegurado es de $ 100 000. El interés que abona la empresa aseguradora el tiempo que el dinero se encuentre en su poder es del 2% nominal anual compuesto semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tiene las edades de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21 años, ¿qué cantidad recibirá cada una?a) 5 879,48 b) 80 031 c) 2 280,55 d) 80 170 e) 54 132,11

10. Usted compra una póliza de vida con un valor de $ 25 000 y paga por ella una prima única de $ 15 000. Si usted no se muere antes, la compañía le pagará dentro de 20 años la cantidad de $ 25 000. ¿A qué interés nominal anual compuesto semestralmente debe invertir la empresa aseguradora su capital, para realizar una utilidad de $2.000 en la póliza, si los gastos son de $500?a) 5,88% b) 8,31% c) 3,06% d) 8,01% e) 5,41%

11. ¿Cuál será el monto final acumulado en una cuenta que paga el 29% anual compuesto mensualmente si usted realiza depósitos anuales de Bs. 100.000 al final de cada uno de los próximos tres años? Usted abre hoy la cuenta con la misma cantidad.

Page 154: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

a) 646 793,588 b) 646 793,106 c) 646 783,105 d) 646 873,106 e) 646 793,206

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31. A 1. A 1. C2. E 2. C 2. A3. E 3. A 3. C4. A 4. D 4. B5. A 5. A 5. C6. B 6. B 6. Esparraguerr

a7. C 7. E 7. D8. A 8. C 8. A9. C 9. B 9. E10. B 10 E 10. C11. a) 5,5% 11. B

c) 4,979%d) 4,889%e) 4,869%

12. A13. D14. E

Respuestas2.6.6.

Page 155: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

El calentamiento global es un fenómeno complejo en el que las temperaturas globales promedio del planeta se están incrementando con una tendencia positiva. Sus impactos a gran escala son difíciles de predecir con certeza. Sin embargo, cada año los científicos tienen más información sobre la forma en que el calentamiento global está afectando al planeta.

Un posible efecto de este calentamiento es el derretimiento de los casquetes polares, lo que aumenta el nivel del mar produciendo inundaciones costeras en los litorales de diferentes países y el trastorno de hábitats como los arrecifes de coral y las praderas alpinas que podrían llevar a la extinción muchas especies vegetales y animales.

La preocupación es tan grande que en 1992, más de 150 naciones firmaron un tratado destinado a reducir la emisión de gases que, según se afirma, agravan los efectos del calentamiento global.

Una causa del calentamiento de la tierra es el llamado efecto invernadero. El smog y la contaminación en la atmósfera crean una capa en la parte superior de la atmósfera que funcionan como una campana de cristal.

ÁLGEBRACAPÍTULO 3

Expresiones algebraicas3.1.

Caso de estudio: El Efecto ecológico del calentamiento de la Tierra

3.1.1.

http://cambioclimatologico2008.wordpress.com/

2008/11/

http://educasitios2008.educ.ar/aula124/efecto-invernadero/

Page 156: matematica basica

71

CAPÌTULO 2ARITMÉTICA

El calor del sol golpea la superficie de la tierra y rebota, pero tiende a no abandonar la superficie debido a la capa de cubrimiento originada por la contaminación. Algunas fuentes de contaminación son los gases emitidos por automotores y la deforestación.

Observe los datos que aparecen en la tabla derecha donde se relaciona los años con la temperatura promedio del planeta.

A continuación se examinan los datos y se desarrollará una gráfica para hallar algunos modelos y efectuar unas predicciones.

Para hallar un modelo matemático del calentamiento terráqueo, en primer lugar se representan gráficamente los datos de temperatura y se busca un patrón.

Temperatura de la Tierra

56

57

58

59

60

61

62

63

AÑOS

Tem

pera

tura

(en

ºF

)

Año

Temperatura Promedio de la Tierra

(en ºF) 0 1975 58.91º 1 1976 58.62º 2 1977 59.29º 3 1978 59.16º 4 1979 59.25º 5 1980 59.50º 6 1981 59.70º 7 1982 59.13º 8 1983 59.52º 9 1984 59.20º 10 1985 59.20º 11 1986 59.29º 12 1987 59.58º 13 1988 59.63º 14 1989 59.45º 15 1990 59.85º 16 1991 59.74º 17 1992 59.23º 18 1993 59.36º 19 1994 59.56º 20 1995 62.30º 21 1996 62.00º 22 1997 62.46º

Page 157: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Si se observa la gráfica anterior y se intenta determinar un modelo, se aprecia un comportamiento cíclico, pero hay una tendencia general hacia un incremento. De hecho, si se traza una recta con base a los datos, tal como se muestra en la gráfica, se observa que la recta parece tener una pendiente positiva con tendencia a incrementarse.

Temperatura de la Tierra

56

57

58

59

60

61

62

63

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

AÑOS

Tem

per

atu

ra (

en º

F)

1. Modelo lineala. Determine un polinomio lineal de la forma P(x)=ax+b, que ajuste los

datos de la temperatura de la tierra versus los años.b. Represente gráficamente el polinomio lineal.c. Utilice el polinomio para predecir la temperatura promedio de la

tierra en los años 1999, 2000 y 2050.d. Utilice el polinomio para predecir cuándo la temperatura promedio

de la tierra alcanzará 70º y 80º.

2. Modelo cuadrático

a. Considere los datos para hallar un polinomio cuadrático de la forma y=ax2+bx+c, que ajuste los datos.

b. Utilice el polinomio cuadrático para predecir la temperatura promedio de la tierra en los años 1999, 2000 y 2050.

c. Utilice el polinomio cuadrático para predecir cuándo la temperatura promedio de la tierra alcanzará 70º y 80º.

Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde sólo intervienen las seis operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación; además los exponentes no contienen variables.

Definición de las expresiones algebraicas3.1.2.

Page 158: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Ejemplos: -8x3 y2 z ; x2 - x +1; 4y

2xz

,

2 2 3

2 7

4x 5 7 y x z

3x y 3xy 3

Nota: Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente.

Ejemplos: 2x , log x2 ; 1 + x + x2 + x3 + … ; sen(x) + y

Es decir, las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas no son expresiones algebraicas.

A. Según la naturaleza de sus exponentes: Se tiene

1.1. Expresión algebraica racional(E.A.R): Es aquella que se caracteriza por tener exponentes enteros o no contener letras en su cantidad subradical.

Ejemplo: 3 1 5 53x y x y z 12xyz

Las expresiones algebraicas racionales se subdividen en:

1.1.1. Expresión algebraica racional entera (E.A.R.E.) (E.A.R.E.): Es aquella expresión que se caracteriza porque sus exponentes son enteros positivos o no tiene letras en su denominador. A este tipo de expresiones se denominada polinomios.

Ejemplo: 3 2 5 3 7 2 93x y x y z x y z

1.1.2. Expresión algebraica racional fraccionaria (E.A.R.F.) (E.A.R.F.): Es aquella expresión que se caracteriza porque sus exponentes enteros son negativos o tiene letras en su denominador.

Ejemplo: 3

3 2 7 2 93

yx y x y z

xz

1.2. Expresión algebraica irracional (E.A.I.): Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes fraccionarios.

Ejemplo: 1

3 2 3 7 2 733x y ; x y z ; x y z

B. Según el número de términos:

a. Para las EARF o EAI se indica el número de términos, por ejemplo:

3 2x y EAI de un término

Clasificación de las expresiones algebraicas3.1.3.

Page 159: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

3

3 23

y 2x y EARF

yxz de tres términos

b. Las EARE se subdividen en:

Es una expresión algebraica que no está separada por los signos ni de adición ni de sustracción.

Ejemplos:

3abc, –4x2y3z

PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO

Todo término algebraico tiene como partes bien diferenciadas el coeficiente y la parte de las variables, también denominada parte literal.

Ejemplo:

7 25 x y

El grado es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras, que viene dado por el exponente de sus variables, debe debe ser un número entero positivo. El grado puede ser relativo (respecto a una sola variable) o absoluto (respecto a todas las variables)

CASOS:

A) MONOMIO

Monomio Un término

Binomio Dos términos

TrinomioTres términos

Polinomio

Término algebraico3.1.4.

Grado de una expresión algebraica3.1.5.

Exponentes

Parte Literal

Coeficiente

Signo

Page 160: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Es la mínima expresión algebraica racional entera que tiene un solo término algebraico.Grado de un monomio

Grado relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable referida en dicho monomio.

Ejemplo:

Dado el monomio M(x, y, z)=–4x2y3z, se tieneEl grado relativo de x: G.R.(x)= 2El grado relativo de y: G.R.(y)= 3El grado relativo de z: G.R.(z)= 1

Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de todas las variables.

Ejemplo: M(x, y, z)=–4x2y3z

El grado absoluto: G.A.= 2 + 3 + 1 = 6

B) POLINOMIOEs una expresión algebraica racional entera.

Ejemplo: 3 2 5 6P(x, y,z) 5x y 3y z 2xyz

Grado de un polinomio

Grado relativo (G.R.): Está dado por el mayor exponente de la variable en referencia en todos los términos del polinomio.

Ejemplo: 3 2 5 6P(x, y,z) 5x y 3y z 2xyz

Término 3 25x y5 63y z 2xyz Mayor

Exp.G.R.(x) 3 0 1 3G.R.(y) 2 5 1 5G.R.(z) 0 6 1 6

Luego: G.R.(x)=3, G.R.(y)=5 y G.R.(z)=6.

Grado absoluto (G.A.): Está dado por el mayor grado absoluto de todos sus términos.

Ejemplo:

3 2 5 6

GA 3GA 5 GA 11

P(x, y,z) 5x y 3y z 2xyz

Por tanto, el grado absoluto: G.A.=5+6 = 11

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Semejanza de monomios3.1.6.

Page 161: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Ejemplo: 3abc y 5abc, 4x2y3z y 10x2y3z

A. Adición y sustracción

La adición y sustracción de varios monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma o diferencia de coeficientes.

Ejemplo:7 x + 4 x = (7 + 4) x = 11 x

5 x y2 − 3 x y2 = (5 − 3) x y2 = 2 x y2

Nota:

1. Dos o más monomios no semejantes no se pueden sumar ni restar. Por ejemplo, los monomios 3x2z y 7yx2 no se pueden sumar ni restar. Por tanto:

La suma será: 3 x2 z + 7 y x2

La diferencia será: 3 x2 z − 7 y x2

2. La suma o diferencia de varios monomios no semejantes es un polinomio formado por dichos monomios.

Algunos ejemplos de sumas y diferencias de monomios son:

8xy2 + 2xy2 = 10xy2

8x4 − 3x4 + 5x4 = 10x4

7x − 3x + 4x2 = 4x + 4x2

6x2z − 3zx2 + xy = 3x2z + xy

B. Multiplicación de expresiones algebraicas racionales enteras

B.1. Multiplicación de monomios

El producto de monomios es otro monomio que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes y, como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las multiplicaciones de potencias de igual base.

Ejemplos:

B.2. Multiplicación de un polinomio por un monomio

Operaciones con expresiones algebraicas3.1.7.

Page 162: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Partiendo del polinomio: 5 4 3 2P(x) 5x 7x 5x 3x 8x 4 y del

monomio: 2M(x) 3x se tiene la siguiente multiplicación:5 4 3 2 2P(x).M(x) (5x 7x 5x 3x 8x 4)(3x ) 7 6 5 4 3 2P(x).M(x) 15x 21x 15x 9x 24x 12x

B.3. Multiplicación de dos polinomios

Dados dos polinomios P(x) y Q(x) de grados n y m respectivamente, se tiene que el grado del polinomio producto P(x) Q(x) es n + m.

Ejemplo:

3 2P(x) 2x 5x 6x 3 2Q(x) 3x x 4

5 4 3 2P(x) Q(x) 6x 13x 31x 23x 27x 12

B.4. División algebraica

Es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otro residuo de dos expresiones dadas llamadas dividendo y divisor

Propiedades

1. En toda división, el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

2. En toda división entera, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor.

3. En toda división, el grado del divisor es mayor que el grado del resto.4. En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor

disminuido en, uno.5. En el caso de polinomios homogéneos, el grado del resto es mayor que el

grado del divisor.6. En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad número

4.

Casos de división

a) DIVISIÓN DE MONOMIOS

Para dividir dos monomios se divide los coeficientes y la parte literal y se tiene en cuenta la división de potencias de bases iguales.

Dividendo

ResiduoCociente

Divisor

d(x)D(x)

r(x) q(x)

Page 163: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Ejemplos:

1. 4 2 3 4 2

3 4 1 2 1 3 0 3 324x y z 24 x y. . .z 3x .y .z 3x yz

8xy 8 x y

2. 3 4 2

22 2

15x y z3xy z

5x y z

3. 2 5 4

1 43

21x y 7y7x y

x3x y (no es monomio, dado que una de las variables

tiene un exponente negativo, lo que produce una EARF).

b) DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

En general, la división de un polinomio entre un monomio será posible cuando todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio.

Ejemplos:

2 2 2 212x yz 8xy 12x yz 8xy6xz 4y

2xy 2xy 2xy

Si se puede realizar la división.

25x 2x 1

xy

No se puede realizar la división, ya que el segundo término y el tercer término del numerador no se pueden dividir entre xy.

c) DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para dividir dos polinomios se puede utilizar los siguientes métodos

Método Normal, Tradicional o Clásico:

Para dividir por este método se debe de seguir los siguientes pasos:

a) Los polinomios deben estar completos y ordenados, generalmente en forma decreciente. Si se da el caso que uno de los polinomios no está completo, se completa con ceros.

b) Se escribe en línea horizontal uno a continuación del otro utilizando el signo de la división aritmética.

c) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente.

d) Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.

e) Se baja el siguiente término (o términos según corresponda) y se repite el paso anterior hasta obtener en el residuo un polinomio de grado menor al grado del divisor.

Page 164: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Ejemplo:

Dividir 4 3 2P(x) 3x 2x 4x 2x 3 entre 2Q(x) x 2x 1

Solución

Aplicando los pasos antes mencionados se tiene:

Donde: r(x) = 36x 12 (Resto) y q(x) = 23x 4x 15 (cociente)

Método de Horner

Este método se aplica para polinomios de cualquier grado, pero generalmente cuando el grado del divisor es dos o mayor a dos. Este método trabaja con los coeficientes de los polinomios dados.

Para dividir por este método se debe de seguir los siguientes pasos:

a) Los polinomios deben estar completos y ordenados en forma decreciente.

b) Se escriben los coeficientes con su propio signo en una fila.

c) Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos, con su propio signo; y los restantes, con signos cambiados.

d) El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.

e) Se multiplica este término del cociente sólo con los términos del divisor a los cuales se cambió el signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila y corriendo un lugar hacia la derecha.

f) Se suma los coeficientes de la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para luego dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener así el segundo término del cociente.

g) Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se les cambió el signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.

4 3 23x 2x 4x 2x 3 2x 2x 1 23x 4x 15 4 3 23x 6x 3x

3 24x 7x 2x 3 24x 8x 4x

215x 6x 3 215x 30x 15

36x 12

÷

Page 165: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

h) Se continúa este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y el resto.

i) Para obtener los coeficientes del resto se observa el grado del divisor y se cuenta los coeficientes de derecha a izquierda, según indique el grado.

ESQUEMA GENERAL

Ejemplo:

Dividir: 7 6 5 4 2P(x) 15x 6x 25x 9x 7x 4 entre 4 2Q(x) 3x 5x 2x 1

Solución

Siguiendo los pasos indicados anteriormente se tiene:

q(x) = 5x3 + 2x2 – 3 r(x) = x3 – 6x2 + 6x +1

Método de Paolo Ruffini

Se utiliza para dividir polinomios cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma:

coeficientes coeficientesdel del

cociente resto

6 0 9

3 15 6 25 9 0 7 0 4

0 0 25 10 5

5 0 10 4 2

2 0 0 0 0

1 0 15 6 3

5 2 0 3 1 6 6 1

NºColum.= Grado-Divisor

Coeficientes del dividendo

Coeficientes del divisor con signo cambiado

Coeficientes del cociente

Coeficientes del resto

LINEA DIVISORA

Primer coeficiente

Page 166: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

(ax+ b)

También podría ser cualquier otro divisor que pueda ser llevado o transformado en la forma antes mencionada.Pasos a seguir:

1. El polinomio dividendo debe ser completo y ordenado, generalmente en forma decreciente.

2. Se escribe los coeficientes del dividendo en línea horizontal.

3. Se iguala a cero el divisor y se despeja la variable x. Es decir:

b

x ; a 0a

4. El número obtenido en el paso 3 se ubica a la izquierda.

5. El primer coeficiente del dividendo es el primer coeficiente del cociente. Este número se multiplica con el número obtenido en el paso 3 y se ubica en la segunda fila, debajo del segundo coeficiente del dividendo.

6. Se suma la segunda columna y el resultado se multiplica con el número obtenido en el paso 3, y se ubica debajo del tercer coeficiente del dividendo y así, sucesivamente, hasta llegar al término independiente del dividendo.

7. El resto de la división se obtiene al sumar la última columna.

ESQUEMA GENERAL

Ejemplo 1

Dividir 5x4 - 20x2 -x + 3 entre x + 2

Solución

Ordenando y completando el polinomio dividendo se tiene:

5x4 + 0x3 - 20x2 – x + 3 entre x + 2

Igualando el divisor a cero se tiene: x + 2 = 0 entonces: x = - 2.

Coeficientes de dividendo

Coeficientes del cociente Resto

LINEA DIVISORA

Page 167: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Siguiendo los pasos indicados se tiene:

Finalmente se obtiene:

Q = 5x3 – 10x2 - 1 y R = 5

Observación:

Si el divisor es de la forma (ax + b) con a 1, entonces después de dividir por el Método de Ruffini a los coeficientes del cociente se debe de dividir entre “a” para obtener el cociente correcto.

Ejemplo 2

Dividir 8x4 +2x3 +3x2 –13x + 8 entre 4x –1

Solución

Los polinomios están ordenados y completos con respecto a la variable x, entonces se iguala el divisor a cero obteniendo x = ¼. Así aplicando el Método de Ruffini para dividir se tiene:

Finalmente se obtiene:

Q = 2x2 + x2 +x -3 y R = 5

Coeficientes verdaderos del

cociente

8 2 3 –13 8

2 1 1 –3

8 4 4 –12 5

2 1 1 –3Resto

5 0 –20 –1 3

–2 – –10 20 0 2

5 –10 0 –1 5

Coeficientes del cociente

Resto

Page 168: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Observación:

Si el divisor es de la forma (axn + b ), para proceder a dividir por el Método de Ruffini todos los exponentes de la variable en el dividendo deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor. Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores.

Ejemplo 3

Dividir 3x8 – 28x4 – 5x2 + 4 entre x2 + 3

Solución

Los exponentes del polinomio dividendo 8, 4, 2 y 0 son múltiplos de 2, entonces es posible aplicar el Método de Ruffini, para lo que se descompone el polinomio y se completa en la forma siguiente:

3x8 – 28x4 – 5x2 + 4 =3(x2)4 +0(x2)3– 28(x2)2– 5(x2)+ 4

Aplicando el Método de Ruffini:

El grado del cociente es: 8 – 2 = 6, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de dos en dos.

Finalmente se obtiene:Q = 3x6 – 9x4 – x2 – 2 y R = 10

El Teorema del Resto se aplica para determinar el resto sin necesidad de efectuar la división. El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del dividendo al sustituir "x" por el opuesto de "a" (es decir, x=−a).

Ejemplo: Halle el resto que se obtiene al dividir 3 2P(x) 3x 5x 3x 20 entre Q(x)=x– 2.

Solución

Del denominador se tiene x=2, entonces el resto es el valor numérico.P(2)= 3 (2)3 – 5(2)2 +3(2) – 20 = 3 (8) – 5 (4) + 3 (2) – 20 = – 10

Por lo tanto, el residuo es: –10.

Teorema del Resto3.1.8.

x2 +3= 0 3 0 -28 -5 4

x2 = -3 -9 27 3 6

3 -9 -1 -2 10

Page 169: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Nota:

Para las operaciones con expresiones algebraicas es necesario tener presente la Teoría de Exponentes.

1. Cuál debe de ser el valor de “m” para que el polinomio

P(x) = x3 + m(a–1)x2 + a2(mx + a – 1) sea divisible por (x + a); a0.

SoluciónPor el teorema del resto se tiene:

P(–a) = (–a)3 + m(a–1)(–a)2 + a2(m(–a) + a –1) = 0

–a3 +a3m – a2m – a3m + a3 – a2 = 0 m=–1

2. Si se tiene el Método de Ruffini:4 . 6 . 8

.-

.-

.

. . . .1

Entonces, la suma de coeficientes del cociente es:

Solución

Completando el cuadro se tiene:

Primer caso

4 . 6 . 8

– -.

-.

4 . . .1

Segundo caso

4–

6 7 8

–-4 9

–8

4– 1

–81

Por lo tanto, la suma de los coeficientes del cociente es:

4 – 9 + 15 – 8 = 2

Ejercicios resueltos3.1.9.

Page 170: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

3. Completar el siguiente esquema de Horner

1 a 3 - 1 f

p - b

3 4 c

d e

7 - 5 - 1

y dar el valor de la expresión: M = a + b + c + d + e + f:

Solución

Completando el cuadro:

1 7 3 - 1 f

– - 21

3 4 –

–5 1

7 - 5 -16 1

Por lo tanto:M = a + b + c + d + e + f = 21

4. Halle el resto de la siguiente división:2

2

x(x 4)(x 2)

x 4x 1

Solución

Multiplicando y desarrollando el binomio al cuadrado en el numerador se

tiene:

2 2

2

(x 4x)(x 4x 4)

x 4x 1

Ahora, aplicando el teorema del resto se tiene:

a=7; p=–1; b = 21; c=–12;d = –5; e = 15;f+15 = 10 f = –5

1 7 3 -20 1 f –1 -7 21 3 4 –12 –5 15 7 -4 5 -16 10

Page 171: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

x2 – 4x +1 = 0 x2 – 4x = –1

Luego, reemplazando este valor en el numerador se tiene el resto de la

división:

R = (x2 – 4x)(x2 – 4x + 4) = (–1) (–1 + 4) = –3

5. Halle un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente de “x” y término independiente son iguales. Si P (1 ) = 7 y P( 2 ) = 18. Dar como respuesta el coeficiente de x2.

Solución

Sea el polinomio de segundo grado: P(x) = ax2 + bx +b

Entonces se cumple:

P(1) = 7 7 = a +b + b 7 = a + 2b …. (1)

P(2) = 18 18 = 4a + 2b +b 18 = 4a + 3b …. (2)

Multiplicando por –3 a la ecuación (1) y por 2 a la ecuación (2) se tiene:

3a 6b 21

8a 6b 36

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

a = 3 y b = 2

Por lo tanto, el coeficiente de x2 es 3.

6. Sean los polinomios P (x) y Q (x) tal que: P (x+3)=3x –5 y P(Q(x)) = 6x+4 . Calcule: P (-1) + Q (1)

Solución

Haciendo el cambio de variable y = x+3 entonces x = y –3. Entonces, el polinomio P(x+3) es:

P(y) = 3(y–3) – 5 = 3y –14

Por otro lado,

P(Q(x)) = 6x + 4 3Q(x)– 14 = 6x +4 Q(x) = 2x + 6

Por lo tanto:

P(–1) + Q(1) = 3(–1) –14 + 2(1) + 6 = –9

7. Halle el grado de los polinomios P (x ) y Q ( x ) sabiendo que el grado de 3P (x).Q(x) es 17 y el grado de 2 3P (x).Q (x) , es 23.

Solución

Considerando que:

Grado(P(x)) = m y Grado(Q(x)) = n

Entonces:

Page 172: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Grado( 3P (x).Q(x) ) = 3m + n = 17 (1)

Grado( 2 3P (x).Q (x) ) = 2m + 3n = 23 (2)

Multiplicando por –3 a la ecuación (1) y luego sumando con la ecuación (2)

se tiene:

m = 4

Luego reemplazando el valor de m en la ecuación (1) se tiene:

n=5

Por lo tanto, los grados son 4 y 5.

8. ¿Cuánto se debe aumentar al coeficiente de “x” en: P(x) = 3x4 – 2 + x – x3

para que al dividir P(x) entre (x + 1) el residuo sea 16?

Solución

Ordenando el polinomio se tiene:

P(x) = 3x4– x3+ x– 2

Sea el nuevo polinomio P(x) = 3x4– x3+(1+a) x– 2, tal que deja por residuo

16 cuando se divide por (x+1).

Entonces, aplicando el teorema del resto se tiene:

16 = 3(–1)4 – (–1)3 + (1+a)(–1) –2

16 = 3+1 –1 – a –2

a= –15

Por lo tanto, se debe aumentar al coeficiente –15 al coeficiente de x.

9. Si un polinomio completo de segundo grado se divide entre (x – 1), se obtiene un resto de 7; si se divide entre (x + 2), da un resto de 28; y si se divide entre (x – 3) da un resto de 23. ¿Cuál será el resto si se divide entre (x + 1)?

Solución

Sea el polinomio completo de segundo grado:

P(x) = ax2 + bx cEntonces:

P(x) entre (x–1) P(1) = 7 a + b + c = 7 ---- (1)

P(x) entre (x+2) P(–2) = 28 4a – 2b + c = 28 ---- (2)

P(x) entre (x–3) P(3) = 23 9a + 3b + c = 23 ---- (3)

(2) – (1): a – b = 7 ------- (4)

(3) – (1): 4a + b = 8 ------- (5)

(4) + (5): 5a = 15 a = 3

Page 173: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Reemplazando el valor de a en la ecuación (4) se tiene:

b = –4Reemplazando el valor de a y b en la ecuación (1) se tiene:

c=8

Entonces el polinomio es:

P(x) = 3x2 – 4x + 8

Por lo tanto:

P(–1) = 3(–1)2 – 4(–1) + 8 = 15.

Nivel 1

1. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas:

a) 25 x

3x

b) 1

3 2x 2x x

c) 3

3

y 2xy

2 z

d) 2 25 14x 3y x y x

7

e) 5 417x y 61xy 79 5xy

f) 2

2 x2(x 3) 5xyz

4

g) 1 1132 42x (3x) 4

h) 3 6 3

3

x yx y 1

y

i) x 1x 179 3

j) xxe y 5

2. Indique si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no.

a) 2 1

2x 3x2

b) 23x 2(x 4)

c) 2 1

2x 3xx

d) 23(3x 4)x 4

3. Determine el grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios. Ordénelos según las potencias decrecientes.

a)

b)

c)

d) 3(x 4) (4 x x )

3 2

4. Dados los polinomios: ; y ,

halle:a) P(x) + Q(x) b) P(x) + R(x) c) Q(x)R(x)

d) P(x)Q(x) e)P(x)

R(x) f) Q(x)

R(x)

Ejercicios propuestos3.1.10.

Page 174: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

5. Dados los siguientes polinomios: ; ; ;

, halle:

a)P(x)

Q(x) b) P(x) + R(x)

S(x) c) P(x)

R(x) d) P(x)-Q(x)

R(x)+S(x) e)

2Q (x)-R(x)

P(x)

6. Calcule el valor numérico de P(x) = 4

2 3x 2x 53x 4x 5x

2 3 4 para los

siguientes valores:

a) x = 1 b) x = -1 c) x = 2

3 d) x = -3

7. Halle el cociente C(x) y el residuo R dividiendo P(x)

Q(x) .

a)

b)

c)

d)  

e)

8. Señale si P(x) es divisible por Q(x).

a)

b)

c)

d)

9. Calcule k para que:

a) sea divisible por

b) sea divisible por

c) sea divisible por

d) sea divisible por

Nivel 2

1. Halle el resto en:4 3 2 2x 2x m x mx m

x m 1

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) –2

2. Indique el resto en: 4 3 2x 2x x x 2

x 2 1

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) –2

3. Cuál es el residuo que resulta de dividir - 3 - 6

- 2

40 30 20 10

10

6x x 7x x 5

x

a) 90 b) 91 c) 92 d) 93 e) 94

Page 175: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

4. Divida por el Método de Horner y dé como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio cociente.

entre

a) 6 b) 10 c) 9 d) 11 e) 5

5. Divida por el Método de Horner y dé como respuesta el término independiente del polinomio cociente.

entre .

a) 3 b) 0 c) 9 d) 1 e) 4

6. Divida por el Método de Horner y dé como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio residuo.

P(x) = 5 7 2 4 62x 4x 6x x 2 6x x entre .

a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 67. Determine k sabiendo que el resto de la división entre y es

30.

, .

a) –252

b) 252

c) 14 d) 25 e) 0

8. Determine a y b sabiendo que el polinomio dividido

por da cociente y con resto 0.a) 7; 2 b) –7 ; 2 c) –7; 4 d) 2; 5 e) 5; 6

9. Determine h en , de tal modo que al dividirlo por

de resto 142.a) 17 b) 12 c) 14 d) 19 e) 15

10. Sean y , calcule h para que P(x) sea

divisible por Q(x).a) –7 b) –4 c) –1 d) 1 e) 5

11. ¿Para qué valores de a la división de por da

resto 4?a) 5 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3

Nivel 3

1. Halle los valores de a y b, tal que: sea divisible

por y .a) –1 y –2 b) –1 y 4 c) 1 y 2 d) –1 y 2 e) 3 y 5

2. Dada la expresión: S(x) =5 4 3 2

2

x x 7x x kx

x 1

Halle aplicando sucesivamente el Método de Ruffini para el valor de k de

modo que la división sea exacta.a) 6 b) 1 c) 2 d) 5 e) 7

3. Obtenga las raíces restantes y factorice el polinomio:

Page 176: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

, sabiendo que 2 y –2 son raíces.

a) 1;–1;0 b) 1;1;1 c) 0;0;1 d) 1;3;5 e) n.a.

4. Si GR(x) = a, GR(y) = b; calcule el GA de:

M(x , y) =

a 1 b 4

4 b 7 3a

x y

x y

a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5

5. Halle el valor de n, para que el grado de sea 18.

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

6. Sea el monomio , calcule su grado absoluto si se

sabe que: ; ; .a) 73 b) 70 c) 40 d) 45 e) 49

7. Halle P(x) si es un polinomio de segundo grado, tal que: ; P(0)=0

a) b) c) d) x e) 8. Determine un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente principal

sea la unidad, tal que: ; P(0)=3.

a) b) c)

d) e)

9. Calcule el resto de dividir: 2 4 8

2

(x 1)(x 1)(x +1)(x 1)

x x 1

a) 3 b) x–1 c) 4 d) 1 e) 5

10. Calcule el residuo de la siguiente división:

2

(x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 12

x 2x 15

a) 219 b) 209 c) 0 d) –209 e) –219

11. Si el polinomio P(x) = 4 3 2x ax bx cx 1 es divisible por

, calcule el valor de (a+b+c)3.a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

1. a) E.A.R.F. b) E.A.I c) E.A.R.F. d) E.A.I.

e) E.A.R.E f) E.A.R.E g) E.A.I h) E.A.R.F.i) Trascendente j) Trascendente

2. a) Si b) Si c) No d) No

3. a) 3; 4 b) 6; 1 c) 3; 3 d) 3; 12

4. a) 3 2x 4x 1

Respuestas3.1.11.

Page 177: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

b) 24x x 1 c) 4 3 22x x 2x 3x 1 d) 5 4 3 24x x 6x 5x 3x 2

e) Cociente: 1

2x2

, Residuo:5

2

f) Cociente: 2x x 5

2 4 8 , Residuo:

3

8

5. a) x–1

b) 2

2

x(x 1)(x +3x+4)

(x+1)

c) 2

1x 1

d) 2

(x 1)(x-2)

2(x +1)

e) 4x

(x 1)(x-1)

6. a) 35

12

b) 145

12

c) 245

972

d) 503

47. a) C(x)= 2x x ; R= –1

b) C(x) = 3

2xx 3x 6

2 ; R = 11

c) C(x) = 3 22x 4x x 3 ; R= –2

d) C(x) = 5 3 2x 5x 3x 2 ; R= 3

e) C(x) = 3 25x 3x 2 R= 0

8. a) Si b) Si c) No d) No

9. a) 2 b) 2 c) 39

2d) 1

Nivel 2 Nivel 31 A 1 A2 C 2 A3 D 3 B4 A 4 D5 E 5 A6 D 6 E7 A 7 B8 B 8 C9 D 9 D

Page 178: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

10 B 10 E11 E 11 A

El jardinero de la Universidad Privada del Norte corta el césped de los bordes del jardín principal de la Universidad en la misma magnitud. El resto del jardín permanece intacto para que sirva como hábitat de pájaros y otros pequeños animales. El jardinero desconoce la longitud del terreno, pero conoce que el terreno es cuadrado, aunque ignora el área del césped que corta.

Un día, decide averiguar el área de la parte podada y consulta a un profesor del Departamento de Ciencias. El profesor realiza una representación geométrica del problema (figura 1) y mediante cálculos elementales establece que el área de

la parte podada es: 2 22b (b x) .

¿Explique cómo dedujo el área de la parte podada el profesor del departamento de Ciencias?

Productos notables3.2.

Caso de estudio: Poda de un terreno3.2.1.

b

x

Page 179: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Para hallar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas, se usa frecuentemente la propiedad distributiva. Ciertos tipos de productos se pueden aprender fácilmente sin necesidad de aplicar ésta propiedad. Estos productos reciben el nombre de productos especiales o productos notables.

Los productos notables son el resultado de multiplicaciones indicadas, que se determinan sin necesidad de efectuar la multiplicación y el resultado puede ser escrito por simple inspección.

Los productos notables más importantes son:

1. Binomio al cuadrado:2 2 2

2(a b) a ab b 2 2 22(a b) a ab b

2. Binomio al cubo:

3 3 2 2 33 3(a b) a a b ab b

3 3 2 2 33 3(a b) a a b ab b

3 3 33(a b) a b ab(a b) 3 3 3

3(a b) a b ab(a b)

3. Diferencia de cuadrados:

2 2a b (a b)(a b)

4. Suma y diferencia de cubos:3 3 2 2

a b (a b)(a ab b ) 3 3 2 2a b (a b)(a ab b )

5. Identidades de Legendre:2 2 2 2

2(a b) (a b) (a b ) 2 2

4(a b) (a b) ab 4 4 2 2

8(a b) (a b) ab(a b )

6. Identidades de Steven:

2(x a)(x b) x (a b)x ab

3 2(x a)(x b)(x c) x (a b c)x (ab ac bc)x abc

2(ax b)(cx d) acx (ad bc)x bd

7. Identidades de Argand:2 2 4 2

1 1 1(a a )(a a ) a a

Productos notables más importantes3.1.3.

Figura 1

Page 180: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

2 2 2 2 4 2 2 4(a ab b )(a ab b ) a a b b

8. Trinomio al cuadrado:

2 2 2 22(a b c) a b c (ab ac bc)

9. Identidades de Lagrange:

2 2 2 2 2 2(a b )(x y ) (ax by) (ay bx)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

(a b c )(x y z ) (ax by cz) (ay bx) (az cx)

(bz cy)

10. Trinomio al cubo:3 3 3 3

3(a b c) a b c (a b)(a c)(b c) 3 3 3 3 2 2 2

3 3 3 6(a b c) a b c a (b c) b (a c) c (a b) abc

1. Si 2

2

12m

m , halle:

12

6

1

3

m

m

Solución

Dando común denominador, se tiene: 4

2

12

m

m

4 2

1 2m m 4 22 1 0m m

221 0m 2

1m , además: 6 12

1 1m y m

Reemplazando: 12

6

1 1 1 2

3 1 33

m( )m

2. Si: 1

2 32 3

a

y 1

3 83 8

b

, entonces halle: 2 2

a b

Solución

Hallando a2:

2

22 1

2 3 2 3 2 2 32 3

a

1

2 3

2

1

2 3

2

2a 3 2 1 1 2 3 4 2 3 2

3 22 3 2 3 2 3 2 3

( )

Entonces: 22a

Hallando b2:

Ejercicios resueltos3.2.3.

Page 181: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

2

22 1

3 8 3 8 2 3 83 8

b

1

3 8

2

1

3 8

23b 8 2

1 1 3 4 8 9 4 3 81 8 4

3 8 3 8 3 8 3 8

( )

Ento

ncesi: 24b

2 22 4 6a b

3. Reducir: .

Solución

Desarrollando los productos de binomios:

4. Si: , entonces halle: .

Solución

Usando binomio al cuadrado:

Reemplazando los datos:

Por lo tanto:

5. Si 1x x 3 , entonces halle: 2 2x x .

Solución

Elevando al cuadrado la condición dada y desarrollando se tiene:

2 21x x 3 2 1 2x 2xx x 3 2 2x 2 x 3

Por lo tanto: 2 2x x 5

6. Si , entonces halle:

Solución

En el consecuente se tiene:

Desarrollando la diferencia de cuadrados:

Usando identidades de Legendre:

Reemplazando:

Page 182: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Obteniendo una suma de cubos:

Por lo tanto:

7. Si , entonces halle el valor de: E = 13xy 2(x y) .

Solución

De la condición suficiente se tiene:

Por lo tanto:

1

13 2 1 1 x 3E xx 2(x x) x (4x) x

4 4x

8. Siempre que: por consiguiente halle: .

Solución

De la hipótesis se tiene una suma de cubos: La suma de cubos es equivalente:

Por condición se descarta y se obtiene:

Reemplazando en la conclusión:

Además:

9. Si , halle el valor de .

Solución

Elevando al cubo:

Sumando ambos miembros se tiene:

(1)

Restando ambos miembros se tiene:

(2)

Multiplicando (1) con (2), se tiene:

Page 183: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

10. Si , entonces simplificar:

Solución

Se tiene:

Racionalizando:

Elevando al cuadrado:

Nuevamente, se eleva al cuadrado:

Por lo tanto:

Nivel 1

1. Halla el valor numérico de: 2 416 1 1 1 1 1(x )(x )(x )(x ) , para x = 36

a) 6 b)6 c) 36 d) 236 e) 1296

2. Al simplificar 3 2

2 3 6 9 3(x ) (x x )(x )

se obtiene:

a) 3

x b) 2

2x c) 3

3(x ) d) 29x e) 0

3. Simplificar: 2 2

2 4 5 7 9 17E (x )(x )(x )(x ) (x x ) a) -9 b)-5 c) 0 d) 5 e) 9

4. Halle el valor de: 2 2 2 2

(a b) (b c) (a c) (a b c) , Si: 2 2 27a b c .

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

5. Si: 24(x y) xy , halle el valor de: E =

9 9 xyx y

x y

a) 2

xb) x c) 2x d)

3

xe)

5

2

x

Ejercicios propuestos3.2.4.

Page 184: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

6. Si: 14a a

. Halle el valor de: 3 3

a a

a) 72 b) 76 c) 80 d) 92 e) 24

7. Determinar una expresión polinomial para calcular el área total de la figura:

a) x2+3x b) x2+2x c) x2+5x d) x2+5 e) x2+3

8. Determine una expresión polinomial para calcular el área de la parte sombreada de la figura:

a) 2x2+11x +12 b) 2x2 c) 3x+7 d) 11x+12 e) 79. El volumen de la siguiente caja es

2x3+4x2+2x. Halle “w” en términos de “x”.

a) x +1 b) x2 c) x d) x2+1 e) x2+x+1

10. Si 1

2 ww , entonces halle el valor de:

12

8

2

3

w

wa)-1 b)1 c)0 d)2 e)-2

11. Halle el producto de los valores de “b” que hagan de 4x2+bx+9 un trinomio cuadrado perfecto. a) –169 b) –100 c) 81 d) –36 e) –144

12. La fórmula para calcular el área de un cuadrado es A= s2, donde “s” es la longitud de un lado. Si el área del cuadrado que se indica en la parte inferior es:

Halle s(x)

A(x)=25x2–30x+9

S(x)

2xx x+4

2x+3

x

2x+2x

wx

x 3

x

2

Page 185: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

a) 5x +3 b) 5x+9 c) 5x-9 d) 5x-3 e) 25x-3

Nivel 2

1. Efectuar: 2 23 3

2 2 54 2 2 54n n n n

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

2. Si 0x; y R talque: 3 3

3 32

x y.

y x Halle el valor numérico de:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(x y ) (x y )C

(x y ) (x y )

a) -1 b) 0 c) 1 d) 4 e) ½

3. Si : 5n n

x x , halle el valor de: n n

x x

a) -2 b) 1 c) 0 d) 2 e) N.A.

4. Si 23 5 0x x , entonces halle: 1 2 3 2 5P x(x )(x )(x )

a) 5 b) 2 5 c) 0 d) 5 e) 7

5. Simplificar: 2 2 2 2 2 2 6 61 1 1 1 1 1x x (x x ) (x x ) (x )(x )

a) 62 1( x ) b) 6

2 1(x ) c) 6

1( x ) d) 63 1( x ) e) N.A.

6. Si 1 1

2 xy yx . Calcule: 2

2

3n n

n

x y xM

yx

a) 10 b) 12 c) 17 d) 16 e) 18

7. Si: (x + y + 2z)2 = 8(x + y) z. Calcule: 3 3 3

2

x z y z x yE

z y z x z

a) 0 b) 2 c) 3 d) 7 e) N.A.

8. Si: 1

1aa

halle, 12

12

1a

a

a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) N.A.

9. Si 1

3xx , entonces halle:

11

1 10

xxx xC x x , x

x x

a) 10 b) 12 c) 16 d) 17 e) 20

10. Si 2x yy x , entonces halle:

2009 2009x y

Wy x

a) 2009 b) 4018 c) 0 d) 1 e) 2

Page 186: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Nivel 3

1. Si 62x yy x , entonces halle el valor de

1

3

0 0

x yP , x y

x.y

a)1 b) 2 c) 4 d) 7 e) N.A.

2. Halle el valor numérico de

21

1

1

aa ax xC

a a

, si: 1 1 aa ax a

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) N.A.

3. Si 3

a bx

a b

e 2 2

2 2

3

3

a(a b )y

b( a b )

, entonces halle: H xy x y

a)-1 b) -2 c) 2 d) 50 e) 1

4. Halle el valor de:

2 n2

n 22n factores

S (4x10x82x ) 0,5 2

a) 1 b) 4 c) 9 d) 27 e) 81

5. Si: 1 1 31 1

a z xyz ax y

, donde: 0x, y, z, a ; entonces halle el

valor numérico de:2 2 2 2 2 2

2 2 2

(x a )(y a )(z a )W

(x y) (y z) (z x)

a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 1

6. Si a,b, c son los lados de un triángulo y si además se cumple: 2 2 2

3a ( a b c) b (a b c) c (a b c) abc , entonces:

( a b c)(a b c)(a b c) es menor que:

a) ab b) ac c) bc d) abc e) ab

7. Si y satisface el siguiente sistema: 2 2 2

49

7

(up) (pn) (nu)

up pn nu

. Halle el valor numérico de:

3 3 3

3 3 3

(u p n) (p n u) (n u p)H

u p n upn

a) 42 b) -24 c) -12 d) -6 e) 9

8. Reducir: 1 1 1 1

1 2 3 2 2 3 144 143W

a) 1 b) 144 c) 143 d) 12 e) 11

Page 187: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

9. Si y satisface el siguiente sistema: 0

1

upn

u p n

. Halle el valor

numérico de: 2 2 2 3 3 3

2 3

u p n u p nC

a) 2 b) 6 c) 1/2 d) 1/6 e) 1/3

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31 B 1 D 1 B2 C 2 C 2 A3 A 3 B 3 E4 C 4 D 4 E5 A 5 A 5 E6 B 6 C 6 D7 C 7 C 7 D8 D 8 E 8 E9 A 9 E 9 D

10 B 10 E11 E12 D

Respuestas3.2.5.

Page 188: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar una cosa con otra en un pensamiento o discurso.

En muchas ocasiones, se necesita hacer uso de una calculadora, sin embargo existen ciertas operaciones que nos ayudaría a realizar estos cálculos sin necesidad de ella. Como por ejemplo:

¿Cuál es el cociente que resulta al dividir 9

2 1

7

?

¿Cuales son los factores que al multiplicarse resulta: 330 - 215?

Los cocientes notables son resultados de divisiones de la forma: n n

x ax a

. Para que la división sea un cociente notable, esta debe ser exacta y el desarrollo de estos cocientes se pueda escribir fácilmente sin necesidad de efectuar la división. Se presentan tres casos de cocientes notables:

Primer caso

1 2 2 1

n nn n n nx a

x x a ... xa a ,x a

"n" par o impar

Segundo caso

1 2 2 1

n nn n n nx a

x x a ... xa a ,x a

"n" impar

Tercer caso

1 2 2 1

n nn n n nx a

x x a ... xa a ,x a

"n" par

Observaciones:

El cociente n n

x ax a

no origina un cociente notable (su división no es

exacta). El dividendo y el divisor deben ser binomios o cualquier otra expresión que

se reduzca a ellos. Las bases están indicadas en el divisor y deben repetirse en el dividendo. Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales

y nos indicarán el número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable.

Cocientes notables3.3.

Caso de estudio: Cálculos aritméticos sin usar calculadora

3.3.1.

Cocientes notables3.3.2.

Page 189: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Los divisores de la forma x – a generan un desarrollo en donde los signos son todos positivos.

Los divisores de la forma x + a generan un desarrollo en donde los signos están en alternados: +, -, +,

El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, así se obtiene: xn-1

A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en1, mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 (hasta n-1).

El desarrollo es un polinomio homogéneo. El cociente notable tiene “n” términos.

m p

q r

x a

x a

genera un cociente notable si y sólo si:

m pn

q r

Donde: n = Número de términos del cociente. m, p, q, r .

Ejemplos:

1)5 5

4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 4 3 2 2 3 4a ba b a b a b ab a b a a b a b ab b

a b

2)4 4

3 0 2 1 1 2 0 3 3 2 2 3a ba b a b ab a b a a b ab b

a b

3) Halle el desarrollo del cociente notable originado por: 21 35

3 5

x a

x a

Solución

7 73 521 35

3 5 3 5

6 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 63 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 5

x ax a

x a x a

x x a x a x a x a x a a

21 3518 15 5 12 10 9 15 6 20 3 25 30

3 5

x ax x a x a x a x a x a a

x a

4) Halle el desarrollo del cociente notable originado por: 24 18

4 3

x a

x a

Solución

24 1820 16 3 12 6 8 9 4 12 15

4 3

x ax x a x a x a x a a

x a

Expresión general de un cociente notable3.3.3.

Page 190: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

5) Halle el valor de “w” si la división 5 3 5 6

1 2

w (w )

w w

x a

x a

origina un cociente

notable.

SoluciónSi origina un cociente notable, entonces:

5 3 5 6

1 2

w (w )número natural

w w

Entonces: 5 3 2 5 6 1( w )(w ) (w )(w )

2 25 13 6 5 25 30w w w w

Simplificando3w

En el cociente notable: 1 2 2 1n n

n n n nx ax x a ... T ... xa a

x a

el término que ocupa el lugar “k” en su desarrollo es:

El signo del término buscado dependerá de acuerdo al caso que corresponda.

Ejemplos

1) Halle el octavo término del desarrollo del C.N. :60 72

5 6

x y

x y

Solución

Transformando el cociente se tiene: 12 125 6

5 6

x y

x y

Donde el número de términos: n= 12 y el valor de: k=8.Entonces:

T8 = - (x5)12 - 8 (y6)8-1 = - x20y42

2) Si el grado del octavo término del C.N. 3

1

1

nx

x

es 12, halle el número de

términos.

Solución

El número de términos es: n3

. Entonces:

Por datos se tiene: n – 24 = 12 n = 36

Por lo tanto, el número de términos es:

Criterio del término general3.3.4.

1 2 . . . k . . . (n-1) n

Tk = (signo) x n - k a k - 1

Page 191: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

1. Sin hacer uso de una calculadora, determinar que 129 es divisor de 2 097

153

Solución

Se expresa ambos números como un cociente:

Se observa que es un caso de cociente notable.Por lo tanto:

129 es divisor de 2 097 153.

2. Halle el residuo que se obtiene al dividir: si n es par.

Solución

Sea:

Como n es par, entonces w es un cociente notable.Por lo tanto, el residuo es 0 .

3. Determinar si la siguiente división es un C.N.

Solución

Para que sea un C.N. se tiene cumplir la siguiente igualdad:

Como todas las igualdades son iguales a 5 , entonces P es un cociente notable.

4. Sea el C.N.: , halle el penúltimo término.

Solución

Por ser un C.N. se cumple: 40 10

104 1 términos.

Entonces el penúltimo término es:

5. Halle el número de términos del C.N.

17,5 8,75

0,5 0,25

a b

a b

Solución

Ejercicios resueltos3.3.5.

Page 192: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Se tiene:

175 875 35 3535 3517 5 8 75 10 100 2 4 4

0 5 0 25 1 1 1 1 42 4 2 4

, ,

, ,

a b a b a b a b

a ba ba b a b

Por lo tanto, el número de términos es: 35

6. Halle el tercer término en el siguiente C.N.

Solución

Por ser un C.N. se cumple: términos.

Entonces:

Luego:

Por lo tanto,

7. La división se puede desarrollar como un cociente notable. Halle

el término independiente.

Solución

Dando la forma de un C.N.:

Desarrollando el C.N.:

1 2 3 2(x 1) 1

(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 1(x 1) 1

Donde el número de términos del C.N. es y el término independiente del desarrollo del C.N. es:

.

8. Halle el cociente notable que dio origen al desarrollo de la expresión:

Solución

Las únicas bases que aparecen en el desarrollo son a y 1 . Además los exponentes de a disminuyen 2w .Como en el desarrollo son todos positivos, se tiene el siguiente C.N.

Donde:

Luego el cociente es:

Page 193: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Sea el C.N. Por ser un C.N. se cumple: términos.

Sea el término de grado 101. Entonces:

El grado absoluto de

Por lo tanto, el lugar es: 15

9. Halle el término independiente de a , en el C.N. generado por: ,

si: .

Solución

Se tiene:

Donde:

Entonces:

Por lo tanto, que es término independiente de a.

Nivel 1

1. Desarrolle los siguientes cocientes notables:

a) 4

1

1

xx

b) 12

3

625

5

x

x

c)

4256 81

4 3

aa

d)

12

4

8 729

2 9

a

a

e) 12 20

3 5

3

3

x

x

f)

4

2

25 36

5 6

x

x

g)

3 327 125

3 5

m nm n

h)33 18

6

343a - 10 b

7a - 10b

Ejercicios propuestos3.3.6.

Page 194: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

i) 3 6 9

2 3

729x y - 512z

9xy - 8zj)

4 6

2 3

(a+b) - 49m

(a+b) -7m

2. Dado el C.N. 5 7

m nx y

x y

, determine el valor de “m + n” sabiendo que tiene 8

términos.a) 96 b) 54 c) 76 d) 114 e) N. A.

3. Halle el valor de “m” para que sea C. N.:8 40

8 4

mx y

x y

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 104. Halle el valor de “n” y el número de términos de los siguientes C. N. :

210

3 5

nx y

x y

a) 100, 20 b) 150, 30 c) 250, 50 d) 350, 70 e) 400, 80

5. El desarrollo del C. N.: 3 4

R Sx y

x y

tiene 14 términos. Halle el valor de (R - S)

a) 14 b) -14 c) 98 d) -98 e) 0

Nivel 2

1. Calcule: 9

10 1

999

, usando cocientes notables.

a) 1101011 b) 1001001 c) 1011011 d) 1110001 e) N.A.

2. Halle el cociente de dividir el T5 entre el T10 del siguiente desarrollo: 51 119 85 34

3 7 5 2

a b m n

a b m n

a) a12b8m-16n-20 b) a25b35m–25n–10 c) (a3 b7m5n2)5 d) (a4

b6m5n3)5 e) N. A.

3. Halle el tercer término del desarrollo del C. N.:5 18

2 9

n na b

a b

a) a10b16 b) -a10b18 c) a30b18 d) a15a6 e) a32b20

4. Calcule el cuarto término del C. N.4 5 4 6

4 5

n n

n n

x y

x y

a) x21y6 b) -x21y5 c) x22y6 d) -x10y6 e) -x21y6

5. En el C.N. generado por:2 3

2 3

n nx x

x x, calcule la suma de valores para 33n ,

tal que existen 13 términos enteros en su desarrollo.a) 90 b) 94 c) 96 d) 86 e) 64

6. Halle el número de términos que tendrá el C.N. generado por: 5 10 5 50

2 9 2 5

m m

n n

x y;

x y 32m,n , m

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Page 195: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

7. La suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de 100 100

4 4

x y

x y

es:

a) 2 400 b) 2 500 c) 2 600 d) 2 700 e) N.A.

8. El cociente

2 2

3 1 3 1m m

n nx y

x y

tiene como segundo término . Halle el

número de términos.a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A.

9. ¿Cuántos términos enteros tiene el desarrollo del cociente notable: 3

3

16 4 8 2

4 2

?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 2

Nivel 3

1. Halle el valor de “w” en el C. N. 2

w w(x y) y

x y

, si el penúltimo término de

su desarrollo es 5 62xy y .

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A.

2. Si W=1110-1, entonces W es divisible por:a) 1 000 b) 10 000 c) 10 d) 7 e) 11

3. El grado del término del lugar “k” en el desarrollo del C. N. 105 63

5 3

x y

x y

es 8

unidades mayor que el término que ocupa el mismo lugar, pero contando a partir de la derecha. Halle “k”. a) 10 b) 7 c) 8 d) 9 e) N.A.

4. Halle el término independiente del C. N. 100 100

2 2(x )x

a) 100 b) 100x2100 c) 100x299 d) 100x2199 e) N.A.

5. Halle la suma de los coeficientes del cociente: 100 50 22 1 1x x (x )

a) 2500 b) 3500 c) 2000 d) 500 e) N.A.

6. Si el C. N. originado al dividir: 9 8

2 4

m n

n m

x y

x y

tiene “k” términos, halle “k”.

a) 71 b) 51 c) 2 d) 19 e) N.A.

7. Si 861

2 1N , entonces un divisor de N es:a) 129 b) 128 c) 65 d) 8 e) N.A

8. Halle el resto de la división: 22 1 1 1 2

n nx x x x

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0

9. 2903 803 464 261n n n n

P ( ) ( ) ( ) ( ) es divisible por:

a) 803 b) 1879 c) 1987 d) 1897 e) N.A.

Page 196: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 301 - 1 B 1 D02 E 2 C 2 C03 E 3 C 3 D04 D 4 E 4 C05 B 5 C 5 A

6 D 6 E7 A 7 A8 A 8 E9 E 9 D

Respuestas3.3.7.

Page 197: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Valles del Inca es una empresa agro-industrial peruana líder en fabricación de conservas vegetales. Actualmente exporta a diferentes países de Europa, Oceanía y Asia.

Durante sus inicios ha presentado inconvenientes con los costos de producción, dado que no ha llevado un control profundo en cuanto a la cantidad de toneladas producidas.

Hace un mes, en el área de Logística, se ha elaborado un modelo para pronosticar y controlar aquellos costos. A continuación se muestra el modelo obtenido.

Donde: y: Costo de producción.x: Cantidad de toneladas producidas.

El modelo ha sido de mucha utilidad, sin embargo aún se tiene la necesidad de saber qué cantidad de toneladas producidas es la necesaria para tener un costo de producción de 800 mil soles. ¿A partir de que cantidad producida los costos tienden a disminuir?, ¿en qué cantidad se estabilizan?, ¿qué herramientas matemáticas te permitirían resolver los problemas planteados?

Factorización es un proceso algebraico que permite transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros.

Ejemplo

Factorizar en R la siguiente expresión:

Solución

Nota:

Factorización3.4.

Caso de estudio: Costo de producción3.4.1.

Definición de factorización3.4.2.

Page 198: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Indicar el campo en el cual se va a factorizar la expresión algebraica; es decir, que los coeficientes de los factores primos pertenecen al campo.

Cuando no indiquemos el campo de factorización se debe asumir que es en el campo de los números reales.

1. Factor común

Se aplica cuando en todos los términos del polinomio se repite el mismo factor, el cual se denomina factor común.

Regla:

Para factorizar, se extrae a cada término del polinomio el factor común (o mcd).Si este tuviese diferentes exponentes, se elige el menor de ellos.

Ejemplos

1. Factorizar en Q:

Solución

El máximo común divisor de 36, 12 y 18 es 6, por lo tanto:

2. Factorizar en Q:

Solución

Agrupando

Nota: La factorizaciòn concluye cuando todos los términos obtenidos sean

primos entre sí.

2. Factorización De Expresiones Notables

Se utiliza cuando se reconocen los productos notables como la estructura del polinomio en estudio. CASO I: Diferencia de cuadrados

Se denomina a toda expresión de la forma

Equivalencia:

Métodos de factorización3.4.3.

Page 199: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Regla Semántica:

Diferencia de cuadrados =(Diferencia de las raíces cuadras) (suma de las raíces cuadradas)

Ejemplos

1. Factorice:

Solución

De acuerdo a la regla semántica.

Raíces cuadradas:

Por tanto:

2. Factorice en los enteros :

Solución

Se extrae primero el factor común:

Cada factor es una diferencia de cuadrados, por tanto:

CASO II: Trinomio cuadrado perfecto

Se denomina a toda expresión de la forma

en la cual el primero y el tercer término son cuadrados perfectos y el segundo término es el doble del producto de las raíces del primero y el tercer término.

Equivalencia:

Regla semántica: 2

suma de las raíces cuadradas de los términos Trinomio cuadrado perfecto =

cuadrados perfectos

Ejemplo

Factorice en Q:

Solución

Page 200: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Se trata de un cuadrado perfecto, pues es el doble del producto de

las raíces cuadradas de .De acuerdo a la regla semántica:

CASO III: Suma o diferencia de cubos

Se denomina a toda expresión de la forma

Equivalencia:

Regla semántica:

3 3 3 3

suma o diferencia de cociente notable de la suma o diferencia Suma o diferencia de =

los cubos de " " y " " las raíces cúbicas de y de los cubos ; x y x y x y

Ejemplos

1. Factorice en :

Solución

Se trata de una diferencia de cubos, pues raíz cúbica de x3 es x y raíz cúbica de 64 es 4. De acuerdo a la regla semántica:

2. Factorice en :

Solución

CASO IV: Suma o diferencia de potencias de igual exponente

Se denomina a toda expresión de la forma:

Equivalencia:

Regla semántica: suma o diferencia de las raíces cociente notable de la suma o diferencia Suma o diferencia de la n-ésima

= potencia de " " y " " enésimas de y de las potencias ;

n n n nx y x y x y

Ejemplos

1. Factorice en :

Page 201: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Solución

De acuerdo a la regla semántica:

2. Factorice en :

Solución

3. Factorización de trinomios de segundo grado:

Se factoriza polinomios de la forma

Nota:

Los polinomios de segundo grado cuyo discriminante sea menor que cero no se pueden factorizar en los reales. Es decir:

2ax bx c no es factorizable en R si y sólo sí 2b 4ac 0

CASO I: Método del aspa

Regla: Se descompone el término principal e independiente. Se realizan las combinaciones binarias en aspas, de modo que se verifique

el tercer término.

Ejemplo

Factorice en :

Solución

CASO II: Método de completar cuadrados

Sea el polonomio a factorizar:

Regla: A) Factorizar el coeficiente de a todo el trinomio. Es decir:

2x 10x 9

x 9 9x

x 1 x

10x

2x 10x 9 (x 9)(x 1)

Page 202: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

B) En el trinomio factorizado, agregar y quitar el cuadrado de la división del coeficiente de entre 2. Es decir:

C) Asociamos para formar el trinomio cuadrado perfecto y luego la diferencia de cuadrados. Es decir:

D)Finalmente se factoriza usando la diferencia de cuadrados. Es decir:

Ejemplos:

1. Factorice en :

Solución

Por tanto,

2. Factorice en :

Solución

Por tanto,

4. Método De Los Divisores Binómicos:

Un divisor binomio del polinomio

es una expresión de la forma ; donde

Page 203: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

 

Regla: Se calcula los posibles valores de b y usando el Método de Ruffini se

comprueba si alguno anula al polinomio; por ejemplo: si se anula para: es factor. Si es factor.

Al polinomio dado, se le divide entre el factor o factores binomios obtenidos en el primer paso. El cociente de esta división es el otro factor del polinomio.

Ejemplos:

1. Factorice en :

Solución

Posibles valores de 1; 7b

2( 5) 4(1)(7) 25 28 3 0 entonces el cociente es un polinomio

de segundo grado que no se factoriza en los reales.

Finalmente:

2. Factorice en Q:

Solución

Posibles valores de 3; 1

4; 2; 1b

Por tanto,

5. Método de los artificios

Regla:Se aplica cuando los métodos anteriores no son fáciles de aplicar.

12

32

4 4 1 4 3

2 3 2 3

4 6 4 6 0

2 2 3 2 3 cociente real

3 0 3

2 0 2 0

2 1 0 1 cociente real

1 6 12 7

1 1 5 7

1 5 7 0

Page 204: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Se sugiere que si: Aparecen exponentes pares, se trate de formar un trinomio cuadrado

perfecto. Si aparecen exponentes impares, se trate de formar una suma o diferencia

de cubos.

Ejemplo:

Factorice en Q:

Solución

Como hay exponentes impares, se busca suma o diferencia de cubos.Si a se factoriza aparece .

Artificio: sumar y restar

Por tanto:

1. Al factorizar en Q el polinomio se

obtiene un factor que se repite varias veces. ¿Cuántas veces se repite?

Solución

Factorizando usando el método de divisores binómicos se tiene:Posibles ceros: 1, 2, 4 Para 1x ,

6 5 4 3 2(1) (1) 4(1) 2(1) 12(1) 23(1) 16(1) 4 0P

Por Ruffini. 1 -4 2 12 -23 16 -4 1 1 -3 -1 11 -12 4 1 -3 -1 11 -12 4 0 1 1 -2 -3 8 -4 1 -2 -3 8 -4 0 1 1 -1 -4 4 1 -1 -4 4 0 1 1 0 -4 1 0 -4 0

Del último cociente,

Finalmente,

Ejercicios resueltos3.4.5.

Page 205: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Luego, el factor se repite 4 veces

2. Encuentre la suma de los coeficientes de los factores de:

Solución

El polinomio

se puede escribir

agrupando

el factor común

Finalmente: 4+5+7-11+8=13

3. La expresión ( 3)( 2)( 1) 3x x x x admite ser descompuesta en dos factores

cuadráticos, ¿cuál de ellos posee menor valor numérico para cualquier valor de x?

Solución

Haciendo el cambio de variable se tiene

Regresando a la viable original se tiene:

Finalmente, se observa que el factor que posee menor valor numérico para todo x es:

4. Factorice y dar como respuesta el número

de factores primos.

Solución

Agrupando los términos señalados y sacando sus factores comunes tenemos:

Page 206: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Factor común:

Finalmente, el número de factores primos es 2

5. Factorice en Q y obtenga la suma de los coeficientes

de sus factores de igual grado.

Solución

Escribiendo

como

Entonces:

Luego, se tiene dos factores del mismo grado y la suma de los coeficientes es:

1+1+1+1-1+1=4.

Nivel 1

1. Factorice en Q los polinomios siguientes usando el método del factor

común:

a) b)

c) d)

e) f)

2. Factorice en Q los polinomios usando el método de las expresiones

notables:

a) b)

c) d)

e) f)

Ejercicios propuestos3.4.6.

Page 207: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

g) h)

i) j)

k) l )

3. Factorice en los siguientes polinomios usando el método del aspa:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

4. Factorice en completando cuadrados:

a) b) c) 122

x x d)

e) f) g) h)

Nivel 2

1. Factorice en Q los siguientes polinomios:

a) b) c)

2. Factorice en Q usando método de divisores binómicos:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

3. Factorice en Q usando el método de los artificios las expresiones:a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

Nivel 3

1. La suma de los factores primos de

será:a) b) 0 c) d) e)

2. Señale un factor primo que se repite luego de factorizar:

Page 208: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

a) b) c) d) e)

3. Indique la expresión que no corresponde como factor de:

a) b) c) d) e)

4. Señale el factor primo de mayor multiplicidad con coeficientes enteros

de:

a) b) c) d) e)

5. Factorice: . Indicar el número de

factores primos.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Señale el polinomio primitivo mónico que se encuentra en:

a) b) c) d) e)

7. Factorice en Q el polinomio: 2 2 29 3 4 2 4P a a b b c c bc . Halle la suma de coeficientes de un factor primo.a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

8. Luego de factorizar en Q el polinomio: 2 2 28 4 4 12 6 9 E a ab b bc ac c calcule la suma de sus factores primos.a) 9a b) 6a c) 2( )a b d) 2( )a b e) 4( 2 )a c

9. Factorice en Q el polinomio: . Señale la suma

de los términos independientes de los factores primos.a) 8 b) 11 c) 8 d) 11 e) 3

10. Al factorizar en Q el polinomio: indique un

factor primo.a) b) c) d) e)

11. Factorice en Q el polinomio: y señale la

suma de los factores primos lineales.a) b) c) d) e)

12. Factorice en Q el polinomio: y señale el

factor primo de mayor multiplicidad.a) b) c) d) e)

13. Factorice en Q el polinomio: y señale la suma de

coeficientes del factor primo de mayor grado.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Page 209: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

14. Factorice en Q el polinomio: y señale la suma de

los factores primos.a) b) c) d) e)

Nivel 1

1.a) b)

c) d)

e) f)

2.

a)

b)

c)

d)

e)

f) g)

h)

i )

j)

k)

l)

3.a) b)

c) d)

e) f)

Respuestas3.4.7

Page 210: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

g) h)

i)

4.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Page 211: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Nivel 2

1.

a.

b.

c.

2.a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

3.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Nivel 3

01 C 06 A 11 B02 D 07 C 12 A03 E 08 B 13 E04 B 09 C 14 A05 C 10 C

Page 212: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Un profesor ofrece de premio un libro al alumno que descubra la clave, de 3 dígitos, que abre la cerradura de un portafolio.

El profesor les informa a los alumnos que para descubrir la clave que abre al portafolio tendrán que hallar los términos independientes de las siguientes expresiones en el orden que se les indica.

2x 3x 10A

x 5

, 2 2

2

x 1 x 6x 9 1B

x 1 x 3 x 2x 3

, 2

2

3x 3xC

x x

¿Qué operaciones sugiere usted que deben realizar los alumnos a fin de hallar los términos independientes? ¿Por qué?

¿Cuál es el número clave para abrir el portafolio?

Una fracción algebraica es la razón indicada de dos polinomios, de los cuales el denominador no puede tener grado cero.

Ejemplos:

2x 7x 4

P(x) ; x R 3 22x 3

;

2 2x y xy

Q(x) ; x yx y

2x 5

R(x)121

no es fracción algebraica

Es el conjunto de valores que toman las variables y que hacen posible que el denominador no sea nulo y, por lo tanto, que la fracción algebraica esté bien definida.

Ejemplo:

Halle el C.V.A. de la siguiente fracción: 4x 8

F(x)2x 3 7x 2

Solución

Por definición

Simplificación de expresiones algebraicas

3.5.

Caso de estudio: Clave de la cerradura3.5.1.

Definición de fracción algebraica3.5.2.

Conjunto de valores admisibles (CVA)3.5.3.

Page 213: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

a) El signo positivo o negativo de la fracción la afecta totalmente y el comportamiento es análogo al de un signo de agrupación.

Ejemplo:2x y 2x y

z z3w 3w 3w

b) Una fracción será de signo positivo cuando ambos términos sean de igual signo, y negativo cuando ambos sean de signos diferentes.

Ejemplo:5x 1 5x 13 x x 3

Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando adoptan los mismos valores comunes para un C.V.A. común.

Ejemplo:

Sean 2x 1

P(x)(x 1)(x 5)

y

x 1Q(x)

x 5

Son equivalentes para x 1, 5

Si se multiplican o dividen los términos de una fracción algebraica por una expresión racional algebraica no nula, se obtendrá una fracción algebraica equivalente.

Ejemplo:

Sea 3

4

x 1F(x)

x 1

entonces para 1 son equivalentes a:

4

5

x xG(x)

x x

, pues se multiplicó por x a F(x)

2

2

x x 1H(x)

(x 1)(x 1)

, pues se dividió por ( x 1 ) a F(x)

Simplificar una fracción algebraica es transformarla en otra equivalente, cuyos términos no tengan factores comunes. Para esto se realiza los siguientes pasos:

Observaciones relativas al signo de las fracciones3.5.4.

Fracciones equivalentes3.5.5.

Principio de transformación de fracciones3.5.6.

Regla de simplificación3.5.7.

Page 214: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Factorizar los términos de la fracción. Suprimir los términos de la fracción dividiéndolos por su mcd.Ejemplo:

Simplifique 2

x 1E

x 2x 3

Solución

2

x 1 x 1 1; x 1,3

(x 1)(x 3) x 3x 2x 3

Por tanto: 1

Ex 3

Caso I: Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Para sumar o restar fracciones algebraicas es necesario obtener un denominador común.

Ejemplo:

Simplifique: 2 2 2

2 2 2

x 8x 15 x x 2 x 6x 8M

x 5x 6 x 4 x 4x 4

Solución

(x 5)(x 3) (x 1)(x 2) (x 2)(x 4)M

(x 3)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

x 5 x 1 x 4 (x 5) (x 1) (x 4) x 2M

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Por tanto: M 1

Caso II: Multiplicación de fracciones algebraicas

La multiplicación de fracciones algebraicas equivale a otra fracción algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores.

Ejemplo:

Simplifique la siguiente expresión: x 1 x 1 x 1

Tx 1 x 1 4x

Solución

Álgebra de las fracciones algebraicas3.5.8.

Page 215: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Resolviendo los factores: 2 2(x 1) (x 1) x 1 4x x 1

T(x 1)(x 1) 4x (x 1)(x 1) 4x

4x(x 1) 1T

4x(x 1)(x 1) x 1

Por tanto: 1

Tx 1

Caso III: División de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es aquella que resulta de multiplicar la fracción dividendo por la recíproca de la fracción divisor.

Ejemplo:

Efectúe 2 2 2 2 3b a b 2a b b b 1

a aa2a a b a b 1b

Solución

Operando en los factores:

2 2 2

2 3

b a ba a

2a a b

2a b b b 1aa b 1b

=2 2 2 2 2 2 32a b a ab a b 2a b b b b2a a b a b a b

;

De acuerdo con la división:

2 2 2

2 3

b a ba a

2a a b

2a b b b 1aa b 1b

=2 2

2 2

2a b b(a b) a b a b2a a b 2ab(2a b )

Caso IV: Potenciación de fracciones algebraicas

Para ejecutar la potenciación de fracciones algebraicas se ejecutan las potenciaciones de los términos de la fracción.

Ejemplo:

Ejecute:

54 5

6 11

2a b

3d e

Page 216: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Solución

55 4 54 5 20 25

6 11 5 30 556 11

2a b2a b 32a b

3d e 243d e3d e

SOLUCIÓN DEL CASO DE ESTUDIO

Un profesor ofrece de premio un portafolio al alumno que descubra la clave de 3 dígitos que abre la cerradura. Para esto, propone a sus alumnos los

siguientes tres ejercicios:2x 3x 10

Ax 5

2 2

2

x 1 x 6x 9 1B

x 1 x 3 x 2x 3

2

2

3x 3xC

x x

Para hacerse acreedores del premio, los alumnos deberán hallar los términos independientes de los resultados de A ,B,C respectivamente, con los cuales se

abre el portafolio. ¿Cuál es el número clave para abrir el maletín?

Solución

Simplificando las expresiones previa factorización:

2x 3x 10 (x 5)(x 2)A x 2

x 5 x 5

;

(x 1)(x 1) (x 3)(x 3) 1

B 1x 1 x 3 (x 3)(x 1)

;

3x(x 1)C 3

x(x 1)

Los términos independientes de A,B,C son 2, 1, 3 respectivamente. Por tanto, la clave del maletín es 213.

1. Halle el C.V.A. de la siguiente fracción: 5 8 2

F(x)2x y 2x 3y 5

Solución

C.V.A. = (x,y) / x,y 2x y 0; 2x 3y 0 R

Por tanto: C.V.A. = R(x,y) /x,y y 2x; 2x 3y (0,0)

2. Simplifique: 21x 21 xy y

F ; 31x 31 x y 031x 31 xy y

Ejercicios resueltos3.5.9.

Page 217: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Solución

Factorizando los términos de la fracción:21(x 1) y(x 1) (x 1)(21 y)

F ; x 1, y 3131(x 1) y(x 1) (x 1)(31 y)

Por tanto:

21 yF

31 y

3. Efectúe: 2

2 2

a 1 a 1 a 1 4aG

2a 2 2a 2a 1 a 1

Solución

2a 1 a 1 a 1 4aG

(a 1)(a 1) 2(a 1) 2(a 1) (a 1)(a 1)

El mínimo común múltiplo será: 2(a 1)(a 1)

Expresando la suma en forma homogénea:

2 2 22a 2 (a 1) (a 1) 8aG

2(a 1)(a 1)

Usando identidad de Legendre se tiene:

22a 2 4a 8aG

2(a 1)(a 1)

2 22a 4a 2 2(a 2a 1) (a 1)(a 1) a 1G

2(a 1)(a 1) 2(a 1)(a 1) (a 1)(a 1) a 1

Por tanto: a 1

Ga 1

4. Efectúe: 2 2

2 2

a b a b a b ab1

2ab a b a b a b

Solución

Resolver los factores:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a 2ab b (a b) (a b) ab 2(a b) (a b )ab2ab (a b)(a b) a b 2ab(a b)(a b)(a b )

= a ba b

Page 218: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

Nivel 1

Factorice y simplifique cada una de las siguientes expresiones e indique el C.V.A.

Ejercicios propuestos3.5.10.

Page 219: matematica basica

133

CAPÌTULO 3ÁLGEBRA

1.5x 4y 3z3z 5x 4y

2. 2

(x 5)(x 7)

(5 x)(x 8x 7)

3.4

2

b 256

b 16

4.5 532y 243x2y 3x

5.2

2

4x 20x 24

6 10x 4x

6.3 2

2

x 2x 5x 6

x x 6

7.4 3 2

3 2

x 4x x 16x 12

x 6x 11x 6

Opere y simplifique las siguientes fracciones algebraicas.

8.5 20

5x 45 2x 18

9.2

2 2

5x 5x 5x 30

x 2x 1 x 5x 6

10.2

2

2

1 x1 x

1 x

11.2

2 2

4x 7 x 2x 3 5x 10x 3 x 9 x 5x 6

12. 2 2

3x 9 2x 2 5xx 1x 2x 3 x 1

13.2

2 2

a 1 a 1 a 1 4a2a 2 2a 2a 1 a 1

14.2

3 2

x 16 1 3x 2x 8 x 2x 4

15.2

2

2m m 1 m 1m mm 1

Page 220: matematica basica

Nivel 2

Efectúe las siguientes operaciones:

1.2 2

2 2

2x 3x 2 4x x 3

x x 2 2x 5x 3

2.2 2

2 2

a b a b a b ab1

2ab a b a b a b

3.2

2

m 2m 1 m 1m 1m 1

4.2 2

2 2

x 2ax a x a2x 2ax a

5.2 2

2 3 2

3x x 2 3x 7x 6

x x 2 3x x 10x 8

6.

2 2

2 2

2x 9x 4 2x x 1

x 7x 12 x 3

7.2 2 2 2 3b a b 2a b b a 1

a ab2a a b b a 1a

8.a b a b a b a ba b a b a b a b

Realizar las siguientes operaciones combinadas:

9.

2 2

5 8x 12y2x 3y4 10x 15y4x 9y

10.

2

22

2 2

2

x x 62x 5x 32x 9x 9

x x 12 x x 2

x 3x 4

11.

2 22 2 2 2a b a b a b (a b)

(a b)b a b a b a 0,25

Page 221: matematica basica

12.2

2

2

4x 2 x 4x 3x 1

x 3x 5x 6

x 1

13.

2 2 2x 3 x 2 x 1

2 2x 2 x

5 5 5

5 5

14.

2 21 (a a) (a 1) a 1a (1 a) (a 1) a 1

15.

4

2

1 x 1 11 1

1 1(x 1) xx xx x

Nivel 3

Resuelve los siguientes problemas:

1. Una manada de lobos atacó en varias oportunidades una granja de pollos. Averigüe cuántos pollos se comieron o llevaron si sólo sobraron 3 vivos. En las dos primeras incursiones se llevaron o comieron la mitad en cada oportunidad; en la tercera y cuarta incursión, la tercera parte cada vez; y en la quinta y sexta ocasión la cuarta parte y los 11/12 de los que sobrevivían respectivamente.

2. En una máquina de escribir mecánica se puede preparar una nómina en 120 horas; pero digitando la misma nómina en una computadora personal se llega a 80 horas. ¿En cuánto tiempo se prepara toda la nómina si se trabaja simultáneamente en ambas?

3. Un muro de 1000 2m puede ser pintado a mano por Juan en 120 horas. El mismo muro puede ser pintado con una máquina por Antonio en 20 horas. ¿Qué tiempo demoran en pintar de un solo color dicha pared y de qué color será toda vez que el primero usa color azul y el segundo crema?

4. Carlos puede recoger suficientes manzanas para llenar 1 2barril en 10 horas, José 5 barriles en 150 horas, mientras que Roy llena un barril en 60 horas. ¿En cuánto tiempo pueden completa 8 1 2 barriles trabajando simultáneamente?

5. Una recompensa de 5 millones de soles es repartida por la Policía Nacional, en partes iguales, entre x 3 personas. Teniendo como referencia que x es número natural mayor que cero, encontre cuánto recibe cada persona que colaboró con la justicia.

6. Tres grupos de militares, signados con los códigos de seguridad 2 x 3

,x 1 x 1

y 2

4

x 1

, realizan labores de apoyo en la construcción de

Page 222: matematica basica

carreteras. Al sumar sus códigos y simplificarlos se obtiene un cociente. Si el grupo de militares forma un rectángulo al alinearse, el número de filas y columnas corresponden al denominador y numerador del cociente, respectivamente. Calcule el número de militares del batallón.

7. Un número de dos cifras satisface las siguientes condiciones: el número dividido entre el doble de la cifra de las unidades es igual al cociente del cuadrado de la suma de 2 más la cifra de las decenas, entre la suma de 4 más la cifra de las unidades. Además, la cifra de la decenas excede a la de las unidades en 2. Encuentre dicho número.

8. El digito de las decenas de un número de dos cifras excede al de las unidades en 2. Si el número se divide por la suma de sus dígitos, el cociente es 6 y el residuo es 2. Encuentre el número.

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3

1 -1 14x 3x 3

1Se comieron 429 pollos

21

x 1

2a ba b

2 48 horas

3 2b 16 3 1 3Demoran 24 horas y el color será crema

4

4 3 2 2

3 4

81x 54x y 36x y

24xy 16y4

12

4 85 horas

52(2 x)2x 1

5(x 1)(3x 4)

x 3

5

5 000 000( x 3)x 9

soles

6 x 1 6x 3x 1

6 2x 1

7 x 2 7a b2a

7 64

811

x 98

2 2a b2ab 8 86

9 5 91

2x 3y

Respuestas3.5.11.

Page 223: matematica basica

10 2

2

1 x10

x 1x 3

115x 11x 3

11 16(a b)

12 5 12 1

13a 1a 1

13358

14 2

2x 9

x 2x 4

14

11 a

15 2 15 2x x 1

161

1 x

Page 224: matematica basica

«Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa y a la ciencia de hacerlo: Álgebra. La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval, los matemáticos españoles llamaron a la cosa X.

Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad; a situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado

3 2ax bx cx d 0

requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento, en Italia. Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora, finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar fueron resueltas. Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometría Analítica y Cálculo Diferencial e Integral que afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos; es decir, encontrando una fórmula general o, como se dice actualmente, resolverlas por radicales.

El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas publicado en 1770-1771 (con más de 200 páginas), examina críticamente todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y raíces con exponentes enteros positivos, los cuales pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes, fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados.

Una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aún en los casos particulares en que existe, es de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tienen que hacer. Actualmente, las computadoras facilitan todo ese trabajo.

En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son: En el problema de la existencia de raíces (soluciones). En el problema de saber algo acerca de las soluciones sólo trabajando con

sus coeficientes. En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación»

Ecuaciones3.6.

Historia de las ecuaciones3.6.1.

Page 225: matematica basica

(Tomado de http://hydra.dgsca.unam.mx/color/files/mariog/histecua.htm )

«En la actualidad, por el gran avance económico del país, usted pasa más tiempo en el trabajo que en casa y, lógicamente, ya no puede ver algunos documentales, series y entre otros programas televisivos que le interesan. Entonces, si usted tiene una grabadora de video ha visto la necesidad de grabar dichos documentales, series y otros programas de televisión para verlos después»

En formato VHS puede seleccionar la velocidad de grabación estándar SP, larga duración LP o extendida EP. El formato SP es el de mayor velocidad y proporciona la mejor calidad de grabación; LP es de una velocidad más lenta y proporciona una menor calidad; y EP es el de velocidad más lenta y de calidad más baja de grabación.

Con la cinta de video común T-120, el tiempo máximo de grabación en SP es de 2 horas; en LP de 4 horas; y en EP 6 horas. En el siguiente análisis, se supone que estos tiempos de grabación son exactos y que la cantidad de cinta utilizada cambia uniformemente con el tiempo de grabación.

Si desea grabar una película cuya duración no es más de 2 horas, es obvio que SP puede utilizarse para obtener la mejor calidad. Sin embargo, para grabar una película de 3.5 horas en una sola cinta T-200, usar sólo la velocidad SP provocaría que la cinta se llenase 1.5 horas antes de que la película terminara. Puede salvar este inconveniente si utiliza SP junto con otro formato de velocidad, asegurándose de maximizar el tiempo en SP». (Tomado del libro de Ernest F. Haeussler, JR / Richard S. Paul / Richard J. Wood )

Por ejemplo, se puede empezar a grabar en LP y completar en SP. Obviamente, su problema será determinar cuándo debe realizarse el cambio a SP. Sea el tiempo, en horas, que LP es utilizado, entonces 3,5 t horas de película serán grabadas en SP. Como la velocidad en el modo LP es de 1/ 4 de cinta por hora y en SP es de 1/ 2 cinta por hora, la parte de la cinta utilizada en LP es t / 4 y la parte en SP es (3,5 t) / 2 . La suma de estas fracciones debe ser 1, ya que la cinta debe usarse por completo. Por tanto, necesita resolver una ecuación lineal.

t 3,5 t1 t 2(3,5 t) 4

4 27 t 4

t 3

Por tanto, debe grabar en LP durante 3 horas y después cambiar a SP la restante

3,5 t 3,5 3 0,5

hora. Esto significa que sólo un séptimo de la película

se grabará con la mejor calidad.

Caso de Estudio I: GRABACIÓN EN CALIDAD VARIABLE3.6.2.

Page 226: matematica basica

En lugar de restringirse a una película de 3,5 horas, puede generalizar el problema anterior para grabar una película de h horas, donde 2 h 4 . Esta situación da

t h t1

4 2cuya solución es

t 2h 4

Así mismo, puede parecerle que no existe demasiada diferencia entre las cantidades de grabación en LP y EP. Si desea iniciar en EP y terminar con SP, puede manejar una película de longitud h, en donde 2 h 6 . sea t el tiempo, en horas, que EP es utilizada. Entonces:

t h t1 t 3(h t) 6

6 23t 3h 6

3h 6 2t

3t h 3

2

Por ejemplo, con una película de 3,5 horas grabaría en EP durante horas y después en SP durante horas.

Esto demuestra que al utilizar EP en lugar de LP, se tendrá 45 minutos más de calidad de grabación en SP. Como un segundo ejemplo, considere una grabación de una película de 5 horas y 20 minutos. Aquí h=16/3 horas, de modo que

utilizaría EP durante 3 16

t 3 52 3

Horas y SP para el resto de la película.

Tomado de: “Matemáticas para Administración y Economía” de Ernest F. Haeussler, JR/ Richard S. Paul/ Richard J. Wood

«Tres hombres y un mono naufragaron en una isla desierta. Los tres hombres pasaron el primer día recogiendo cocos para comer. Al llegar la noche, amontonaron los cocos todos juntos y después se fueron a dormir.

Pero cuando todos estaban dormidos, uno de los hombres se despertó y se levantó. Fue a la pila de cocos y pensó que no había ningún problema en tomar su parte en ese momento.

Así que dividió los cocos en tres partes, comprobando que sobraba un coco. Le dio el coco que sobraba al mono, tomó su parte, juntó las otras dos partes de modo que quedara una sola pila y tras ello se fue a dormir.

Poco más tarde, otro de los hombres se despertó e hizo exactamente lo mismo que el anterior. De nuevo, al dividir la pila en tres partes, le sobraba un coco, que entregó al mono.

Finalmente, el tercer hombre también hizo lo mismo: repartió la pila de cocos en tres montones, tomó su parte y comprobó que sobraba un coco, que entregó al mono.

Caso de estudio II: El mono y los cocos3.6.3.

Page 227: matematica basica

Por la mañana, todos se acercaron a la reducida pila de cocos, la dividieron en tres partes, comprobando que sobraba un coco que, de común acuerdo, entregaron al mono, y cada uno de ellos tomó su parte. ¿Cuál es el menor número de cocos que podía tener la pila original? » (Tomado de http://abelgalois.blogspot.com/2006/09/cocos-en-una-isla-desierta.html )

Solución

Sea N el menor número de cocos que podía tener la pila original.Según los datos del problema se construye el siguiente cuadro:

Número de repartos

La cantidad a repartir

Lleva Queda para repartirse

Lleva el mono

1º N=3x+1 x el primero 2x 12º 2x=3y+1 y el

segundo2y 1

3º 2y=3z+1 z el tercero 2z 14º 2z=3w+1 w cada uno 0 1

Por otro lado, se sabe que la cantidad total es igual a la cantidad que lleva cada hombre más la cantidad que lleva el mono. Es decir:

N = (x+w) +( y+w) + (z+w) + 4 (1)

Del gráfico se tiene:

2x 3y 1

2y 3z 1

2z 3w 1

3w 1x (2)

29w 5

y (3)4

3w 1z (4)

8

Reemplace (2), (3) y (4) en (1) y se tiene:

3w 1 9w 5 3w 1

N 3w 42 4 8

81w 65 (80w 64) w 1 w 1N 10w 8

8 8 8

Por dato del problema, N es entero positivo y debe ser el menor valor. Entonces se concluye que:

w=7

Luego, reemplazando el valor de x en las ecuaciones (2), (3) y (4) se tiene:

x=26; y = 17; z=11

Por lo tanto, el número de cocos que había inicialmente en la pila es:

N = 26 + 17 + 11 + 3(7) + 4 = 79.

Page 228: matematica basica

Se denomina ecuación a la igualdad de dos expresiones algebraicas cuya solución o raíz es aquel valor de la incógnita o variable que sustituida en la ecuación verifica la igualdad.

Ejemplo:

4x 1 32 5x

2 2 Donde es la solución de la ecuación.

Las ecuaciones se clasifican en:

1. Ecuaciones compatibles determinadas: Son las ecuaciones que tienen un número finito de soluciones.Ejemplo:

→ Conjunto solución 3,1,2

2. Ecuaciones Compatibles indeterminadas: Son las ecuaciones que tienen un número infinito de soluciones.

Ejemplo:

→ Tiene infinita soluciones

3. Ecuaciones incompatibles o absurdas: Son las ecuaciones que no tienen solución.

Ejemplo:

→ No tiene solución.

Para resolver una ecuación se debe aplicar las propiedades de las operaciones como la propiedad aditiva, la propiedad multiplicativa y la propiedad de la transposición de términos. Después de simplificar nos queda la forma:

0 ax b , donde a y b son los coeficientes.

La solución es:

Si a 0, b 0, se tendrá:

Si 0, 0,a b se tendrá:

Ecuaciones3.6.4.

Ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita

3.6.5.

Page 229: matematica basica

Si 0, 0,a b es una ecuación compatible indeterminada.

Si 0, 0,a b no hay solución o es una ecuación incompatible o absurda.

Ejemplo:

Resuelve: 2

2

2

4x3x

17x8x

10x6x

Solución

Desarrollando la potencia:

Haciendo cambio de variables: ;

Se tiene:

Transponiendo y simplificando se tiene:

Reemplazando los valores de a y b se tiene:

Es un tipo de ecuación particular en la que la variable o incógnita está elevada al cuadrado. En su forma más general se puede decir que:

es una ecuación cuadrática, donde los coeficientes a, b y c son números reales cualesquiera, con .

En estas ecuaciones, la variable x no se despeja con facilidad, por lo que se requiere de diferentes procedimientos para halle la solución.

El procedimiento más sencillo consiste en realizar una factorización de la ecuación general: usando el método del aspa simple hasta que la x quede despejada. Otra forma de encontrar la solución de una ecuación de segundo grado es a través de la llamada fórmula general:

MERGEFORMAT

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado con una incógnita

3.6.6.

Page 230: matematica basica

La fórmula produce dos respuestas: una con el signo + y otra con el signo –

Tipos de soluciones: reales e imaginarias

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones:

Dos raíces reales distintas. Una raíz real (que vendrían a ser dos raíces iguales). Dos raíces imaginarias distintas.

Si el valor del discriminante resulta positivo, entonces la ecuación tendrá dos soluciones reales (dos raíces).

Si el valor del discriminante resulta cero, entonces la ecuación tendrá una sola solución (una raíz).

Si el valor de es negativo, entonces la raíz cuadrada es imaginaria, generando dos raíces imaginarias.

Método 1:

Resuelva

Solución

Se identifican los coeficientes, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, en forma decreciente (de grado mayor a menor). Con esta condición se tiene: y se aplica la fórmula:

Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo –. Llámense x1 y x2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación; es decir, al sustituir x por los valores obtenidos producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verificación o comprobación.

Probando con , resulta: tal como se

esperaba en el segundo miembro.

Lo mismo sucederá si se comprueba con .

Método 2:

Page 231: matematica basica

Resuelva

Solución

En este caso, la ecuación no está ordenada según el formato ; por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada: . Ahora, se identifican los coeficientes:

y se aplica la fórmula general:

Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo que se

producen dos raíces iguales a 3; es decir, . Sustituyendo los valores en

la ecuación original, se comprueba que: .

Método 3:

Resuelva

Solución

Nuevamente hay que ordenar para obtener: , identificando los

coeficentes: . Aplicando la fórmula general se tiene:

El discriminante es negativo y no existe raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, este es un resultado que pertenece a los números complejos:

Su solución se basa en el siguiente criterio de divisibilidad: “Si un polinomio P(x) se anula para , entonces uno de los factores será: ”. Los posibles valores que anulan a un polinomio son los divisores del término independiente del polinomio y los que resultan de la división de estos divisores con el coeficiente del término de mayor grado.

Para calcular el cociente en cada división se emplea el Método de Ruffini, que consiste en trazar dos rayas que se intersecan: una vertical y otra horizontal.

Ecuaciones polinómicas o de grado superior con una incógnita

3.6.7.

Page 232: matematica basica

Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo, y encima de la raya horizontal y a la izquierda de la vertical se coloca aquel valor de “x” que anule al divisor.

Ejemplo:

Resuelva

Solución

Se hace

a) Rango de valores: Aquellos divisores del término independiente, –10.

b) Ceros del polinomio:Se inicia con los valores más pequeños del rango de valores y tomando sólo los valores que eliminan al polinomio:

Para

Esto implica que 0)1( PR (R es el resto, recuerde el Teorema del Resto) y, por lo tanto, es divisor exacto; es decir, se puede escribir:

c) Cálculo del cociente :Usando a RUFFINI:

Es decir , que factorizando nuevamente por el Método de

Ruffini o por el método de aspa aimple se puede escribir como:

Finalmente:

Observe que los valores de x que anulan al polinomio son 1, –2 y –5, que están comprendidos en el rango de valores y que vienen a ser las soluciones de la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es:

Ejemplo:

Resuelva

Solución

1 6 3 –10 1 1 7 10 1 7 10 0 R )(xQ

Page 233: matematica basica

Considerando

a) Rango de valores:

Como todos los términos del polinomio son positivos, los únicos valores de x que pueden anularlo son valores negativos.

b) Ceros del polinomio:

(no se considera)

Luego es divisible por

Luego es divisible por

Por ser el polinomio de cuarto grado, basta con encontrar dos de sus ceros. Así, se puede escribir:

c) Cálculo del cociente:

Puesto que , usemos la división clásica en lugar del

Método de Ruffini:

Es decir , que se puede factorizar por aspa simple como:

Por lo tanto:

Observe que los valores de x que anulan al polinomio son –2, –3, –1/2 y –5, que están comprendidos en el rango de valores y que vienen a ser las soluciones de la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es:

1. Resuelva: 2x 10x 21 0

Ejercicios resueltos3.6.8.

4 3 22 x 21x 72x 91x 30 2x 5x 6 4 3 22x 10x 12x 22x 11x 5

4 3 20x 11x 60x 91x

3 211x 55x 66x

3 20x 5x 25x 30

25x 25x 30 0 + 0 + 0

Page 234: matematica basica

Solución

Factorizando el primer miembro por aspa simple:

x 3 x 7 0

Se iguala cada factor a cero y se obtiene el conjunto solución: C.S. { 3; 7}

2. Resuelva la siguiente ecuación: 2 x 1 x 9 3 x 1 8

Solución

Se aplica la propiedad distributiva y se tiene: 2x 2 x 9 3x 3 8

Se reduce los términos semejantes en cada uno de los miembros y se tiene:

x 7 3x 5

Agrupando las “equis” en el segundo miembro y los números en el primero

7 5 3x x

se reduce nuevamente términos en cada miembro y se despeja la incógnita:

2 2x 2

x2 1 x

3. Resuelva la siguiente ecuación: 2x 3 x 1 x 2 3x

Solución

Multiplicando los dos factores lineales se obtiene:

2 2x 6x 9 x x 2 3x

Introduciéndole signo negativo se tiene:

2 2x 6x 9 x x 2 3x

Simplificando el término cuadrático y despejando la variable x resulta:

11x

4

4. Resuelva la siguiente ecuación: 2x 3 3x 5 x 1 6x 5

Solución

Multiplicando en ambos lados los factores lineales se tiene:

2 26x 10x 9x 15 6x 5x 6x 5

Reduciendo términos semejantes y pasando todos los términos cuadráticos

y lineales al primer lado y los términos independientes al segundo lado se

obtiene:

Page 235: matematica basica

26x 2x 6x x 15 5

Simplificando los términos cuadráticos y despejando la variable x, se

concluye:

5. Resuelvala siguiente ecuación: x 4 x 3 8

Solución

Efectuando el producto se tiene:2x x 12 8

Se pasa el 8 al primer miembro:

2x x 20 0

Factorizando el primer miembro por aspa simple se obtiene:

x 5 x 4 0

Se iguala cada factor a cero se obtiene el conjunto solución:

C.S. { 5;4}

6. Resuelva la siguiente ecuación: 2x 8 x 2 x 5 x 5 x 1

Solución

Reduciendo y pasando todo al primer miembro:

2 2 2x 6x 16 x 5 x 6x 5

2x 16 0

Se factoriza el primer miembro:

x 4 x 4 0

Se iguala a cero cada factor y se obtiene el conjunto solución:

C.S. { 4;4}

7. Resuelva la siguiente ecuación: 23x 10x 5 0

Solución

Comparando la ecuación dada 23x 10x 5 0 , con la forma 2ax bx c 0 ;

se obtiene que: a 3; b 10; c 5

Reemplazando estos valores en la fórmula general: 2b b 4ac

x2a

Se obtiene:

Page 236: matematica basica

210 10 4 3 5 10 40 10 2 10 5 10

x2 3 6 6 3

El conjunto solución de la ecuación es:

5 10 5 10C.S. { ; }

3 3

8. Resuelva la siguiente ecuación: x 3 x 1

4x 2 x 5

Solución

En primer lugar, se reduce la ecuación hasta llevarla a la forma: 2ax bx c 0

Es decir:

x 3 x 14 M.C.M. x 2 x 5

x 2 x 5

x 3 x 5 x 2 x 1 4 x 2 x 5

2 2 2x 2x 15 x x 2 4 x 3x 10

2 22x x 17 4x 12x 40

22x 11x 23 0

Multiplicando ambos miembros por –1 se tiene:

22x 11x 23 0

Comparando con la forma 2ax bx c 0 ; se tiene que:

a 2; b 11; c 23

Reemplazando estos valores en la fórmula general:

2b b 4acx

2a

Se obtiene:

El conjunto solución de la ecuación es:

11 305 11 305C.S. { ; }

4 4

9. Resuelva la siguiente ecuación: 3 2

10 17 81

xx x

Solución

Page 237: matematica basica

Se da denominador común, siendo este 3x .

Multiplicando cada término de la ecuación por el común denominador, es

decir 3x

3 3 3 33 2

10 17 8x x 1 x x

xx x

y simplificando y pasando todos los términos al primer lado se obtiene:

3 21x 8x 17x 10 0

Los posibles valores que anulan a dicha ecuación son las raíces de la

ecuación, para hallar dichos valores se efectúa de la siguiente manera:

Divisores de 10: 1; 2; 5; 10

Divisores de 1: 1

Los posibles valores serán: 1 2 5 10

; ; ; 1; 2; 5; 101 1 1 1

Los únicos valores que anulan a la ecuación 3 21x 8x 17x 10 0 son:

x 1; x 2; x 5

Ahora se aplica el Método de Ruffini cuando: x 1

1

1 8 17 10

1 7 10

1 7 10 0

Luego, el cociente es: 21x 7x 10

Se aplica el método de Ruffini cuando: x 2

2

1 7 10

2 10

1 5 0

Luego, el cociente es: 1x 5

Se aplica el Método de Ruffini cuando: x 5

5

1 5

5

1 0

El conjunto solución de la ecuación 3 2

10 17 81

xx x es:

C.S. { 1; 2; 5}

10. Halle el conjunto solución de la ecuación: 2 4

5 30 25x 66

x x x

Page 238: matematica basica

Solución

Se da denominador común, siendo este 4x .

Multiplicando cada término de la ecuación por el común denominador, o sea 4x

4 4 4 42 4

5 30 25x 66 x x x x

x x x

y simplificando se obtiene:

4 3 26x 5x 30x 25x 6

4 3 26x 5x 30x 25x 6 0

Los valores que anulan a dicha ecuación son las raíces de la ecuación. Para

hallar dichos valores se efectúa se de la siguiente manera:

Divisores de 6: 1; 2; 3; 6

Divisores de 6: 1; 2; 3; 6

Los posibles valores son: 1 1 1 2 3

1; ; ; ; 2; ; 3; ; 62 3 6 3 2

Los únicos valores que anulan a la ecuación 4 3 26x 5x 30x 25x 6 0 son:

x 1; x 1/ 2; x 3; x 2 / 3

Ahora, se aplica el Método de Ruffini cuando: x 1

1

6 5 30 25 6

6 11 19 6

6 11 19 6 0

Luego, el cociente es:

3 26x 11x 19x 6

Ahora, se aplica el Método de Ruffini cuando: x 1/ 2

1/2

6 11 19 6

3 7 6

6 14 12 0

Luego, el cociente es:

26x 14x 12

Se aplica el Método de Ruffini cuando: x 3

3

6 14 12

18 12

6 4 0

Luego, el cociente es: 6x 4

Se aplica el Método de Ruffini cuando: x 2 / 3

Page 239: matematica basica

2/3

6 4

4

6 0

El conjunto solución de la ecuación 2 4

5 30 25x 66

x x x

es:

1 2C.S. { 1; ; 3; }

2 3

11. El ingreso mensual total de una guardería por concepto del cuidado de x niños está dado por I 450x y sus costos mensuales totales C 380x 3 500 . ¿Cuántos niños necesitan inscribirse mensualmente para

alcanzar el punto de equilibrio?

Solución

El punto de equilibrio se alcanza cuando el ingreso es igual al costo; es

decir:

450x = 380x + 3500

450x – 380x = 3500

70x = 3500

x = 50

Por lo tanto, se deben de inscribir 50 niños para que la guardería no pierda ni gane.

12. Sonia y Carlos desean comprar una casa, de manera que han decidido ahorrar cada uno la quinta parte de sus salarios. Sonia trabaja en una empresa y gana 25 nuevos soles por hora y recibe un ingreso adicional de 120 nuevos soles por semana de asesoría. Carlos trabaja en una fábrica y gana 35 nuevos soles la hora. ¿Cuántas horas debe trabajar cada uno de ellos cada semana para ahorrar 564 nuevos soles?

Solución

Supongamos que ambos trabajan x horas por semana. Entonces, el ingreso semanal de cada uno es:

S = 25x + 120; C = 35x

Cada uno debe ahorrar la quinta parte; es decir:

S C5 5 = 564

25x 120 35x5 5

= 564

5x 24 7x = 564

12x = 540

x = 45

Page 240: matematica basica

Por lo tanto, si desean ahorrar 564 soles semanales tendrán que trabajar 45 horas semanales cada uno.

13. Una compañía manufacturera fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son

de $ 20 000, determine:

a) La ecuación que represente el ingreso.b) La ecuación que determina el costo total.c) La ecuación que determina la utilidad total.d) ¿Cuál sería la utilidad si se vende 8550 artículos?

Solución

Sea x la cantidad que se fabrica y se vende

a) Ingreso = (Precio de venta)( Cantidad vendida)

I(x) = 20x

b) Costo total = costo fijo + costo variable

C(x) = 20 000 + 15x

c) Utilidad = Ingreso total – costo total

U(x) = 20x –(20 000 + 15x) = 5x – 20 000

d) U(850) = 5(8550) – 20 000 = 42 750 – 20 000 = 22 750

NIVEL 1Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:

Ejercicios propuestos3.6.9.

Page 241: matematica basica

1. 2x + 3= x + 62. 4x–10=2x+123. 9x + 9 + 3x = 254. 300x – 250 = 150x + 7505. 17x-3x = 5x +186. 2,5x+0,5x=1,5x+4,57. 9y–19+y=218. x+ 2x + 9 – 4x = 5x –9 9. 2y + 3y – 4 = 5y + 6y – 16

10. 75z – 150 = 80z – 30011. 3,3x + 2,7x – 4,6 =7,412. 2y – 3y + 4y – 5 = 6y – 7y + 1513. 4x + 6 – 2x = x – 6 + 2414. 15y – (3 – (4y + 4) – 57) = 2 – y15. (2y–(3y–4)+5y–6)+10y=12(y–

1)+ 3616. 4t – (12t – 24) + 38t – 38 = 0

Resuelva las siguientes ecuaciones:

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24. (2x – 3)2 = (x + 3)2 – 2425. (3x – 3)2 + 40 = (x + 7)2 + 25626. x4 – 5x2 + 6 = 027. (3x + 1)2 = 4(x + 2)2

28. x3 – 4x2 + x + 6 = 029. x3 – 111x + 110 = 030. x3 – x2 – 66x + 216 = 0

Page 242: matematica basica

NIVEL 2

Resuelva los siguientes problemas:

1. Halle un número sabiendo que aumentado en 28 equivale al triple de su valor.a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

2. Halle dos números sabiendo que uno excede al otro en 8 unidades y que el menor es 25 unidades menos que el doble del mayor. Dar como respuesta el producto de los números.a) 153 b) 9 c) 17 d) 162 e) 18

3. El producto de 2 números consecutivos es 462. Determine los números positivos.a) –21; –22 b) 21; 22 c) 11; 42 d) 14; 33 e) n.a.

4. Se tienen dos números: el mayor excede al menor en 20 unidades. Si al menor se le aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la mitad del mayor. ¿Cuáles son esos números?a) 2; 22 b) 20; 40 c) 11; 31 d) 10; 30 e) 8 ; 28

5. La suma de tres números enteros consecutivos es 41 unidades más que el número menor. Halle el mayor de los tres números.a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

6. Si se multiplica el menor y el mayor de tres números pares consecutivos, se obtiene un número que es 36 unidades menos que el producto del mayor y el segundo número de los tres mencionados. Halle la suma de dichos números.a) 36 b) 42 c) 48 d) 54 e) 60

7. Si al triple de la edad que tenía Alfredo hace 20 años se le resta su edad actual, se obtiene la edad que tendrá dentro de 5 años. ¿Cuál es su edad?a) 65 años b) 50 años c) 60 años d) 55 años e) 70 años

8. Pedro dice: “Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/. 20 más, quedándome con la quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más”. ¿Cuánto tenía Pedro?a) S/. 65 b) S/. 50 c) S/. 60 d) S/. 55 e) S/. 70

9. Una persona depositó en un banco S/. 1480. Su depósito consistió en 60 billetes, algunos de 10 nuevos soles y el resto de cincuenta nuevos soles. ¿Cuántos billetes de mayor denominación depositó?a) 22 b) 38 c) 20 d) 40 e) 33

10. Halle el mayor valor de “m” para el cual las raíces de la ecuación cuadráticax2 + 2(m+2)x + 9m = 0 sean iguales.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Si una raíz de la ecuación: x2 + (3 45)x 5 = 0 es el inverso aditivo de la otra y una raíz de la ecuación: 12x2 – (6 1)x – 4(1 + ) = 0 es el inverso multiplicativo de la otra, formar la ecuación cuadrática cuyas raíces son: + 5 y 1.a) x2+10x–75 b) x2–15x–100c) x2–10x+75 d) x2+10x+75 e) x2+15x+100

12. Calcule el valor de “p” en la ecuación: 6x2 – (3p+4)x + 4p – 10 = 0,

sabiendo que admite por raíces a x1 y x2, y además se cumple: 1 2

1 1 19x x 10 .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Page 243: matematica basica

NIVEL 3

Resolver los siguientes problemas de aplicación:

1. Un fabricante puede vender cierto producto en S/. 115 la unidad. El costo

total consiste de un costo fijo indirecto de S/. 5 600 más los costos de producción de S/. 45 la unidad. ¿Cuántas unidades debe de vender el fabricante para no perder ni ganar?a) 50 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

2. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $ 2,50 y el de mano de obra es de $ 4,00 ; el gasto general sin importar el volumen de ventas es de $ 5 000. Si el precio para un mayorista es de $ 7,40 por unidad, determinar el número de unidades que deben ser vendidos para que la compañía obtenga una utilidad de $3100.a) 1 000 b) 2 000 c) 3 000 d) 9 000 e) 5 000

3. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es de S/. 5 más que el de B. Los costos de producción de A y B son S/. 2700 y S/. 1500 respectivamente, y se producen 30 unidades más de A que de B. ¿Cuántas unidades de cada producción se fabrican? Dar como respuesta la mayor cantidad.a) 150 y 180 b) 70 y 100 c) 60 y 90 d) 90 y 120 e) 100 y 130

4. Un determinado producto tiene como precio de venta por unidad p 300 20x soles. Determinar el número de unidades que se deben producir para obtener un ingreso mensual de S/. 27 000.a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

5. Suponga que los clientes comprarán unidades de un producto si el

precio es de 80 q

4

nuevos soles cada uno. ¿Cuántas unidades deben

venderse para que el ingreso por ventas sea de 400 nuevos soles?a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10

6. El margen de utilidad de una empresa es su ingreso neto dividido entre sus ventas totales. El margen de utilidad en cierta empresa aumentó en 0,02 respecto al año pasado. cuando vendió su producto en $ 3,00 por unidad y tuvo un ingreso neto de $ 4 500. Este año incrementó su precio en $ 0,50 por unidad, vendió 2 000 más y tuvo un ingreso neto de $ 7 140. La empresa nunca ha tenido un margen de utilidad mayor o igual que 0,15. ¿Cuántas unidades vendió entre el año pasado y este año?a) 32 000 b) 15 000 c) 10 000 d) 17 000 e) 12 000

7. Una compañía de maquinaria tiene un plan de incentivos para sus agentes de ventas. La comisión por cada máquina que un agente venda es S/. 40. La comisión de cada máquina vendida se incrementará en S/. 0,04 si se vende un exceso de 600 unidades. Por ejemplo, la comisión sobre cada una de las 602 máquinas vendidas será de S/. 40,08. ¿Cuántas máquinas debe vender un agente para obtener un ingreso de S/. 30 800?a) 900 b) 1 000 c) 700 d) 800 e) 1 010

8. Hace seis meses, una compañía de inversiones tenía una cartera de S/. 3100 000 , que consistía en acciones de primera y acciones atractivas. Desde entonces, el valor de la inversión en acciones de primera aumentó en 0,1; mientras que el valor de las acciones atractivas disminuyó en 0,1. El valor

Page 244: matematica basica

actual de la cartera es S/. 3 240 000. ¿Cuál es el valor actual de la inversión en acciones de primera?a) 850 000 b) 100 000 c) 700 000 d) 1 250 000 e) 2 250 000

9. El total de área territorial de las cuatro poblaciones de: Gibraltar, Nauru, Bermudas y la Isla Norfolk es de 116 km2. El área territorial de Gibraltar es 1/3 del área de Nauru. El área de la Isla Norfolk es 5/3 del área de Nauru. El área de Bermudas es 10 km2 menos que tres veces el área de Nauru. Determine el área de Nauru.a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

10. El plan de pago Tasa Preferencial de la compañía telefónica AT&T (en los EE.UU.) requiere que el cliente pague una cuota mensual de $3.95 y luego 6.9 centavos por minuto por cualquier llamada de larga distancia realizada. El plan de Servicio Básico de la misma compañía no tiene un pago mensual, pero el cliente paga 18 centavos por minuto por cualquier llamada de larga distancia realizada. Determine el número de minutos que un cliente necesitaría dedicar a llamadas de larga distancia para que el costo de los dos planes sean iguales.a) 35,57 b) 35,58 c) 35,59 d) 35,6 e) 35,61

11. Como beneficio complementario para sus empleados, una compañía estableció un plan de cuidado de la vista. Bajo este plan, cada año la compañia paga los primeros $ 35 de los gastos del cuidado de la vista y el 80% de todos los gastos adicionales de ese tipo, hasta cubrir un total máximo de $ 100. Determinar los gastos anuales totales en cuidado de la vista cubiertos por este programa para un empleado.a) $ 115,10 b) $ 117,20 c) $ 120,80 d) $ 150,35 e) $ 116,25

Nivel 1

1. 3 11. 2 21. -2; -1; 12. 11 12. 5 22. -2; 2; 3

3.43

13. 12 23. -12 ; 4

4.203

14.145

24. 2; 4

5. 2 15. 13 25. -4 ; 8

6. 3 16.7

1526. 3 ; 2 ; 2 ; 3

7. 4 17. 0; 4 27. -1; 3

8. 3 18. 0 ; 32

28. -1; 2; 3

9. 2 19.5 73

4

29. -11; 1; 10

10. 30 20. -1; 0; 5 30. -9; 6; 4

Nivel 2 Nivel 3 A1. B 1. C2. A 2. D

Respuestas3.6.9.

Page 245: matematica basica

3. B 3. A4. E 4. C5. D 5. B6. C 6. A7. A 7. C8. E 8. E9. A 9. A

10. D 10. C11. B 11. E12. E

Page 246: matematica basica

256

CAPÌTULO 4GEOMETRÍA

Eratóstenes nació en Cyrene en el año 276 A.C. Fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Padecía ceguera Fue discípulo de Aristón de Quios, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco, y amigo de Arquimedes. Aproximadamente en el año 255 A.C. fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Murió de hambre por su propia voluntad en 194 A.C. en Alejandría.

Destacó por ser uno de los primeros científicos de la Edad Antigua que utilizó el método experimental. La creencia común en la astronomía de esos tiempos aseguraba que la tierra era un cuerpo plano. Eratóstenes estaba convencido que ésta tenía forma esférica; idea que motivó la realización de su trabajo. Los conocimientos con los que contaba eran el cálculo trigonométrico y nociones de latitud y longitud establecidas por el geómetra Dicearte. Para demostrarlo, pensó que si se clavaba dos estacas verticalmente sobre el mismo meridiano, a varios kilómetros de distancia entre sí, por la curvatura de la tierra arrojaría sombras distintas a la misma hora.

Eratóstenes sabía que en Siena y Egipto, durante el solsticio de verano los objetos no arrojaban sombra alguna, por lo que supuso que la ciudad se hallaba situada en la línea del trópico. Basado en datos previos, asumió que Alejandría, más al norte, en la costa del Mediterráneo, se encontraba en la misma longitud de Siena (realmente están separadas 30). El mismo día del solsticio midió la sombra de la estaca en Alejandría y encontró que el cenit de Siena distaba 7,20 del de Alejandría. Después, calculo la distancia entre las dos ciudades (en realidad no se sabe con seguridad como obtuvo esta distancia. Algunas versiones señalan que el dato provino de un libro de Geografía, otros de los reportes de las caravanas comerciales o de un grupo de soldados al los que mando a caminar de una ciudad a otra). De esta forma determinó la diferencia de latitud (distancia de un punto de la tierra al Ecuador). Al conocer el arco de circunferencia así como el ángulo central de la misma, obtuvo el resultado de la circunferencia completa, de esta manera era posible conocer la longitud de la circunferencia de la tierra. Eratóstenes concluyó que la circunferencia medía aproximadamente 40 000 km (255 000 estadios). Las mediciones recientes reportan la distancia de 40 008 km; lo que le dio un margen de error del 1%.

AS = 5 000 estadios

7º 5 000 estadios

luego: 360º 255 000 estadios

GEOMETRÍACAPÍTULO 4

Geometría Plana4.1.

Caso de estudio: La circunferencia de la Tierra4.1.1.

ALEJANDRÍA

SIENA

ECUADOR

Page 247: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

La geometría trata sobre la medición y las propiedades de puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí. A continuación veremos algunas definiciones y propiedades.

Porción de plano determinada por dos rayos con origen común y no colineales. El punto de intersección se conoce como vértice del ángulo.

OA

y OB

= Rayos

O = Vértice

se lee “medida del ángulo AOB”

Unidades de medición de los ángulosLas unidades comunes para medir los ángulos son: el grado sexagesimal, centesimales y el radián.

El grado sexagesimal (S): Unidad de medida cuyo símbolo es º. Hay 360º en una vuelta completa; es decir:

1 vuelta = 360º

El Grado centesimal (C): Unidad de medida cuyo símbolo es g. Hay 400g

en una vuelta completa; es decir:

1 vuelta = 400g

El radián (R): Un radián es un ángulo cuya medida es igual a la de un arco de longitud r (radio) de la circunferencia que lo contiene. Por consiguiente hay 2π radianes en una vuelta completa; es decir:

1 vuelta = 2 rad

Por lo tanto, una fórmula que relaciona a los tres sistemas de medidas es:

S C R180 200

Los ángulos se pueden dividir en diferentes tipos tomando como base los grados que tienen.

Clasificación de los ángulos

A. Por su ,edida:

Según su medida, un ángulo puede ser:

A.1. Ángulo recto:: Es aquel ángulo cuya medida es 90º.

A.2. Ángulo obtuso:: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90º pero menor que 180º.

Ángulo4.1.2.

B

A

Ángulo AOB

O

Page 248: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

A.3. Ángulo agudo:: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90º pero mayor que 0º.

A.4. Ángulo llano: Es aquel ángulo cuya medida es 180º.

B. Por su posición:

Dos ángulos adyacentes tienen el mismo vértice, un lado común y los otros en regiones distintas a dicho lado común.

Tres o más ángulos son consecutivos si cada uno es adyacente con su inmediato.

Dos ángulos opuestos por el vértice tienen sus lados que son pares de rayos opuestos. Se demuestra que miden igual.

C. Por su relación:

C.1. Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90º.

C.2. Ángulos son suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180º.

La Bisectriz.

Es aquel rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se dice que la bisectriz biseca al ángulo.

En la figura En la figura OM

biseca el ángulo m∡AOB. m∡AOM = m∡MOB = m AOB2

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante a ellas

Si las rectas Si las rectas L y F son paralelas y P es una secante a ellas, tendremos las relaciones entre pares de ángulos:

Ángulo Obtuso Ángulo AgudoÁngulo Recto Ángulo Llano

β β

Ángulos Adyacentes

Ángulos Consecutivos

Opuestos por el Vértice

B

O

M

A α

α

Page 249: matematica basica

= x + y + z

P

g h f e

d c

b a

F

L

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

A) Ángulos alternos: Ubicados a uno y al otro lado de la secante, en su intersección con cada paralela; tienen igual medida. Pueden ser:

Alternos internos: c = f; d = e Alternos externos: a = g; b = h

B) Ángulos correspondientes: Los que tienen sus lados dirigidos en un mismo sentido. Miden igual:

a = e; b = f; c = h; d = g

C) Ángulos conjugados: Ubicados a un mismo lado de la recta secante y en su intersección con cada paralela. Son suplementarios.

Conjugados internos: c + e = 180º; d + f = 180º Conjugados externos: a + h= 180º; b + g = 180º

Propiedades auxiliares:

1. Para ángulos consecutivos como los de la figura:

2. Si M y L son dos rectas paralelas, entonces:

Polígonos4.1.3.

w

x +y + z + w = 360º

xy

z

x

y

z

M

N

a

a + b + c + d = 180º

cd

b

Page 250: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Un polígono es una figura plana y cerrada formada por tres o más segmentos de línea unidos en sus extremos. Estas figuras pueden dividirse en dos grupos:

Polígonos regulares: Son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos congruentes. Además, todo polígono regular está inscrito en una circunferencia.

Por ejemplo:

Polígono irregular: Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales.

Ejemplo:

TRIÁNGULO

Es un polígono cerrado que consta de tres lados y tres ángulos.

Los triángulos se clasifican:

Por sus lados:

a) Escaleno:: Tiene sus tres lados diferentes y sus tres ángulos interiores no

son congruentes.

b) Isósceles: Tiene dos lados congruentes y los ángulos opuestos a estos

lados también son congruentes.

c) Equilátero: Tiene sus tres lados congruentes y tres ángulos miden 60º.

Triángulo

60º

60º

60º

Cuadrado

90º

90º

90º

90º

Octógono

135º 135º

135º

135º

135º135º

135º

135º

Triángulo Cuadrilátero Pentágono

Lados: AB, BC y AC Ángulos interiores: , y Ángulo exterior:

Vértices: A, B y C Área:

base altura AC BHA

2 2

B

A

CH

Page 251: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Por sus ángulos:

a) Acutángulo:: Tiene sus tres ángulos agudos.

b) Obtusángulo:: Tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo obtuso es de mayor longitud.

c) Rectángulo:: Tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Para calcular cuánto mide la hipotenusa se aplica el Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras:

2 2 2c a b

Se aplica a los triángulos rectángulos. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

Ejemplo:

Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 4 unidades de longitud. Halle la longitud de la hipotenusa.

Solución

Por el teorema de Pitágoras se obtiene:

2 2 2c a b 2 2 2c 4 5 c 41

Algunos triángulos rectángulos notables

Se denomina así a aquellos triángulos en los que son conocidas las medidas de los ángulos agudos y las relaciones entre las longitudes de los lados.

Isósceles Equilátero

60º

60º 60º

Escaleno

30º

60º

k

2k k

45ºk

k45º

k

16º

74º

24k

7k

25k

15º

75º

2k()k

()k

53º

37º

5k3k

4k

Hipotenusa

c Cateto

b

Cateto

a

Page 252: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Propiedades básicas

1. La medida de los ángulos interiores suman 180º.

2. Cada ángulo exterior mide igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a dicho ángulo.

CUADRILÁTEROSCUADRILÁTEROS

Es un polígono cerrado que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS

A) TRAPECIOEs un polígono de cuatro lados, dos de ellos paralelos pero de tamaños distintos.

αβ

β + + α = 180º

αβ

β + = α

Elementosa) Bases: BC y AD ( son paralelos)b) Altura: BH

c) Mediana: MN (es paralela a las bases)BC AD

MN2

d) Segmento que une los puntos medios

de las diagonales: AD BCPQ

2

Área:Basemayor Basemenor AD BC

A altura BH2 2

MP Q

N

A

B C

DH

Cóncavo

Convexo360º

Page 253: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

CLASES DE TRAPECIO

1. Trapecio Escaleno 2. Trapecio Isósceles 3. Trapecio Rectángulo

B) PARALELOGRAMOEs un polígono cerrado de cuatro lados; sus lados paralelos son congruentes.

CLASES DE PARALELOGRAMOS

1. Romboide o paralelogramo

ÁreaA AD h

2. Rombo o Losange

ÁreaAC BD

A2

3. Rectángulo

ÁreaA a b

4. Cuadrado

Área 2A L

Perímetro de polígonos regulares

Como en los polígonos regulares todos los lados son iguales obtendremos las siguientes fórmulas:

Asigenemos c = lado del polígono

Triángulo equilátero: perímetro = 3c

Cuadrado: perímetro = 4c

Pentágono: perímetro = 5c

Característicasa) AD / / BC yAD BC

b) AB / / CD yAB CD

c) AO OC y BO OD

d) A C y B D

e) AC BD

f) m A m B 180º

m D m C 180º

Área:

A D

CB

O

H

A C

B

O

D

DA

CB

L

L

L

LCB

A D

a

b

A

CB

O

D

h

Page 254: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Consideremos diversos polígonos regulares como un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular o un octógono regular. Todos ellos tienen un centro definido; si unimos dicho centro con los vértices de cada uno de los polígonos, se descompondrán en tantos triángulos como lados tiene.

Todos los triángulos resultantes de la descomposición son iguales y tienen como base un lado c, y su altura es el apotema del polígono a. El área de estos triángulos será:

lado apotema c aÁrea de cada triángulo

2 2

Por lo tanto, el área del polígono regular será el resultado de multiplicar esta área por el número de triángulos que se han formado.

n lado apotema n c aÁrea de unpolígono regular de n lados

2 2

Como nxc también es el perímetro del polígono, entonces n c

2

es la mitad

del perímetro o semiperímetro, por lo que podemos afirmar que:

Área delpolígono regular a semiperimetro

Es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro. El término equidistar significa que están a la misma distancia. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

Los principales elementos de una circunferencia son:

RADIO:: Es el segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia. El radio permite nombrar a la circunferencia y lo identificamos con la letra r.

DIÁMETRO:: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. El diámetro equivale a la medida de dos radios.

CUERDA:: Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

ARCO:: Es una parte o subconjunto de la circunferencia limitada por dos puntos de ella.

Área de los polígonos regulares4.1.4.

La circunferencia4.1.5.

ca

Page 255: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

a)a) ÁREA DEL CÍRCULO:

2oA R

b)b) ÁREA DE SECTOR CIRCULAR:

2

SCR

A360º

1. La diferencia de 2 ángulos complementarios es 400. Halle el suplemento del ángulo mayor.

Solución

Incógnita: Su complemento:

Entonces:

El ángulo mayor es: 650, entonces su suplemento será: 1800 – 650 = 1150

2. Dos rectas al cortarse forman 4 ángulos, dos de ellos están en relación de 4 a 11. ¿Cuánto miden los ángulos?

Solución

Del grafico:

m AOB m BOC 180º

4x 11x 180º

15x 180º

x 12

Ejercicios resueltos4.1.6.

11x

4x

A

B

C

DO

R

R R

Page 256: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

De donde: m AOB 11x 11(12) 132º m BOC 4x 4(12) 48º

3. El área de un cuadrado es 256 m2. ¿Cuál es el área de otro cuadrado cuyo lado es igual a la diagonal del primero?

Solución

Del grafico se tiene que L es el lado del cuadrado pequeño. Entonces del enunciado tenemos que:

2L 256

L 16

Diagonal de cuadrado pequeño: D L 2

Sustituyendo el valor de L se tiene: D 16 2

Luego, 2

cuadradoA D

Entonces: 2 2cuadradoA (16 2) 512m

Por tanto, el área del cuadrado mayor es 512 2m .

4. Halle el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 2m y uno

de sus catetos es el triple del otro.

Solución

Incógnita: A

Considerando el gráfico y por el Teorema de Pitágoras tenemos que:

2 2 2x (3x) (10 2)

2

2

10x 200

x 20

Entonces:2(3x)(x) 3x 3(20)

A 302 2 2

El área del triangulo rectángulo es: 30 2m

5. El lado AB del cuadrado ABCD mide 12 cm. Sobre el lado CD se construye un triángulo equilátero CDE. Halle el área del triángulo ADE.

Solución

Por lo tanto:

Área = 12 62 = 36 cm2

L

L

D D

3x

x

10 2m

12

1212

12

A D

CB

Eh

12

12

Según los datos se construye el siguiente gráfico.

Si se traza la altura del triángulo rectángulo, vemos que divide al lado CD en en dos partes iguales.

h= 6

Page 257: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

6. ¿Cuál es el resultado de sumar el valor numérico de un ángulo en el sistema sexagesimal más su valor en el sistema centesimal si en el sistema radial es

4

radianes?

Solución

Sea el ángulo: rad4

Usemos S C R

180 200

para hallar en el sistema sexagesimal y centesimal:

180

S 45º4

g200

C 504

Luego: 45 + 50 = 95

7. Un arco gótico está formado por dos arcos de circunferencia unidos, siendo cada uno de ellos igual a la sexta parte de la circunferencia. El centro de cada uno está en el extremo opuesto de la anchura del arco, como indica la figura, por lo que uniendo los tres puntos de los dos arcos se forma un triángulo equilátero. ¿Cuál es el área de un arco gótico de 6 metros de ancho?  

Solución

Se Observa: 1 3A A

total 1 2A 2A A

y 1 sc 2A A A

Luego: 2 2

scR 60 (6)

A 6360 360

Además el 2A es la región formada por un triángulo equilátero de lado 6m, entonces:

2 2

2L 3 6 3

A 9 34 4

Entonces:

1 sc 2A A A 6 9 3

Por tanto:

total 1 2A 2A A 2(6 9 3) 9 3) 12 9 3

8. Un círculo está inscrito en un triángulo equilátero. ¿Cuál es la razón entre el área de ese círculo y el área del triángulo que lo circunscribe?

Solución

Del gráfico y usando el triángulo notable se obtiene R:

LR

2 3

A1

A2

A3

6m

30ºL/2

R

LL

Page 258: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Entonces2

20

L 3 L 34 4

L( )

A R 32 32 2A 93 3

9. El triángulo ABC es equilátero y M, N y P son puntos medios de AB,BC y AC respectivamente; los puntos R,

Q y S son los puntos medios de PM,MN y NP respectivamente. ¿ Qué fracción representa el área de le región sombreada del área total?.

Solución

Se Observa: ABC MNPA 4A ; MNP MQRA 4A

Luego: ABC MQRA 16A y sombreada MQRA 3A

Entonces: MQRsombreada

total MQR

3AA 3A 16A 16

Por tanto, el área sombreada representa los 3

16del área total.

10. Halle el área de la zona sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide a.

Solución

Del gráfico adjunto se observa: 1 SCA A A

2 2 2

1R bh a a

A4 2 4 2

2 2

1a 2a

A4

Luego: sombreada cuadrado 1A A 2A

2 2

2sombreada

a 2aA a 2

4

2 2

sombreada4a a

A2

A

B C

D

A C

B

NM Q

SR

P

A

B C

D

A1

Page 259: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Nivel 1 1

1. Dos ángulos A y B de un triángulo miden /3 rad y 40°, respectivamente. Exprese la medida del tercer ángulo mayor en grados sexagesimales.a) 80° b) 99° c) 97° d) 98° e) 90º

2. Si la suma de dos ángulos es 80° y su diferencia es 10°, halle el mayor ángulo en radianes.a)

5rad

b)

3rad

c)

4rad

d)

5rad

e) N.A

3. Se tienen los ángulos AOB, BOC y COD, donde: m∡AOC=62º, m∡BOD=56º y m∡AOD=81º. Halle m∡BOCa) 28º b)17º c)37º d)47º e)31

4. AOB y BOC, son dos ángulos suplementarios , bisectriz del ángulo AOB. Halle m∡BOC, si m∡POC = 112º a) 56º b)54º c)48º d)44º e)46º

5. En la figura adjunta, halle el valor de x.

a) 20º b)28º c)34º d)24º e)15º

6. En la figura determine el valor del ángulo 8, si se sabe que:

a) 58° b) 48° c) 72° d)80° e) 60º

7. Si L1 // L2. Calcule el valor “”

a) 20º b)10º c)30º d)35º e)15º8. Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si el menor

mide 4

rad, expresar el ángulo mayor en grados sexagesimales.

Ejercicios propuestos4.1.7.

4a 2x

3x

5a

2a

2

6

13

L1

L2

Page 260: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

a) 80º b)90º c)75º d)100º e) 105º

9. Los tres lados de un triángulo están en la razón de 1 : 3 : 5. El perímetro del triángulo es 72 cm. Encuentra la longitud del lado menor. a) 12cm b)8cm c)9cm d)14cm e)24cm

10. Cuánto mide el ángulo x si el triángulo es isósceles.

11. ¿Cuál es la expresión con que se calcula la diferencia entre las áreas del cuadrado grande y las áreas de los cuadrados pequeños?

12. Calcule el área sombreada si el área del cuadrado ABCD es 50m2.

13. El área del rectángulo es de 20 cm2. Halle el área del triángulo sombreado.

14. El cuadrado mostrado tiene 4 cm. de lado, halle el área sombreada.

15. La figura consiste de 5 cuadrados. El área total de la figura es 180 m2

¿Cuál es su perímetro en metros?

A

B C

50º

X

A B

D C

b

a

a) 110ºb)120ºc)130ºd)115ºe) 100º

a) 2 2a bb)

2 24a bc)

2 22a bd)

2 24a b

a) 100 m2

b) 25 m2

c) 50 m2

d) 40 m2

e) 60cm2

a) 10 cm2

b) 15 cm2

c) 16 cm2

d) 18 cm2

e) 20 cm2

a) 16 cm2

b) 4 cm2

c) 9 cm2

d) 8 cm2

e) 10 cm2

Page 261: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

16. En la figura: AB = 7 y AD = DC = 4 halle el perímetro y su área.

17. Calcule el área sombreada si se conoce que los terrenos que lo limitan son cuadrados.

18. Si el polígono ABCD es un cuadrado cuya lado mide 4m y el triángulo ABE es isósceles. El valor de la región no sombreada es:

19. Calcule el área de la región sombreada:

Nivel 2 2

A

D C

B

4

a) 36 mb) 45 mc) 72 md) 90 me) 84 m

a) 35 y 22b) 16 y 11c) 18 y 11d) 20 y 22e) 22 y 20

a) 30 m²b) 50 m²c) 60 m²d) 120 m²e) 70 m2

a) 14 m²b) 12 m²c) 4 m²d) 6 m²e) 10 m2

a) 13,76b) 14,76c) 15d) 13,36e) 15,5

Page 262: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

1. En la figura, si m // n. calcule el valor de x.

2. Sobre un plano se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, además

OP y OQ

son bisectrices de los ángulos AOB y COD respectivamente.

Si m∡POQ = 80º y m∡AOB – m∡COD=20º, calcule la m∡AOC.a) 90º b)100º c)110º d)120º e) 105º

3. Dados los rayos consecutivos OA,OB,OC,OD,

tal que m∡AOD = 114º y la

mitad de la medida del ángulo formado por el rayo OD

y la bisectriz OW del

ángulo BOC es 16º. Calcule la m∡AOW.a) 80º b)82º c)85º d)90º e) 84º

4. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: 7(m∡AOC)=5( m∡COD) y 5(m∡BOD) – 7(m∡AOB) = 120º. Determine la m∡BOC.a) 5º b)15º c)10º d)40º e) 25º

5. Se quiere proteger una piscina de forma circular de 20m de diámetro con una cerca cuadrada cuyo perímetro sea el doble de la longitud de la circunferencia de la piscina (ver figura) ¿Cuál es la longitud de un lado de la cerca?

6. Calcule en radianes el ángulo que forman las agujas de un reloj cuando marcan las 5 p.m.a) /6rad b) 7/6rad c) /6rad d) 5/6rad e) N.A.

7. ¿Cuál es el área de un círculo sabiendo que una  circunferencia tangente al que pasa por su centro tiene un área de 9 centímetros cuadrados?

R

r

m

2xº

n

6xºa) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40ºe) 45º

a) 10b) 5c) 20d) 40

a) 12cm2

b) 24cm2

c) 36 cm2

d) 9 cm2

e) 36 cm2

Page 263: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

8. Siendo 32 cm² el área del círculo pequeño de la figura, determine el diámetro del círculo mayor.

9. Determinar el área del rectángulo ABCD y el ángulo AEB de la figura:

10. Calcule la región sombreada:

a) 18 3 92 b) 18 3 3

2 c) 20 3 9

2 d) 20 3 3

2 e) N.A

11. Calcule el área la región sombreada si el área del cuadrado es 80 m2.

a) 15cm2 b) 20cm2 c) 30 cm2 d) 40cm2 e) 10cm2

12. Calcule el área de la región sombreada:

2a

a a

a

a

a) 22

2

4acm b) 2

2

2

3acm c) 2

2

2

5acm d) 2

2

2

acm e) a2

13. Calcule el área de la región sombreada:

33

33

33

a) 4 cm b) 12 √2 cm c) 4√2 cm

d) 16√2 cme) 8√2 cm

a) 50 y 90 b) 50 y 120 c) 25 3 y 120d) 25√2 y 120e) N.A.

a) 50 y 90 b) 50 y 120 c) 25 3 y

120d) 25√2 y 120

Page 264: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

a) 2

16318 b)

3

16328 c)

3

16348 d)

2

3320 e) N.A

14. El pie cuadrado de aluminio cuesta aproximadamente 80 soles. ¿Cuánto se gastará en cubrir la parte sombreada?

6

16 pp

10

15. Si “R” es el radio del círculo grande y “r ” el radio del círculo pequeño, ¿cuánto debe medir “ r ” para que el área del círculo pequeño sea igual al área sombreada?

a) 3

R

b) 2

R

c) R d) 2

3Re) 4

3R

16. Calcule el área del cuadrado ABCD, si el área del cuadrado PNQA mide 12 cm2 y el área del cuadrado RCSN mide 3 cm2.

17. Calcule el perímetro del cuadrado MNPQ si ABCD es un cuadrado de 100 cm2

de área y si M, N, P y Q son puntos medios.

a) 20 2 b) 50 c) 20 5 d) 40 2 e) 5 2

A C

B

4 4

4 4

46

4

a) 17600b) 16600c) 18600d) 17000e) 17500

a) 27cm2

b) 24cm2

c) 39 cm2

d) 18cm2

e) 20m2

Page 265: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Nivel 3 3

1. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC. Se trazan OM y ON

,

bisectrices de ángulos AOB y BOC respectivamente. Calcule m∡AOC, si: m∡AON=55º y m∡MOC=68º.a) 123º b) 61,5º c) 69º d) 82º e) N.A

2. En la figura: m∡AOB=32º y m∡COD=36º. Calcule m∡POQ, siendo OP

bisectriz del ángulo AOD y OQ

bisectriz del BOD.

O D

C B A

a) 16º b)34º c)24º d)28º e)N.A

3. En la figura: m // n., calcule el valor de x m

n

90º + 3x

140º - 2x

a) 15º b)10º c)20º d)25º e)5º

4. En la figura: FB // DE, calcule el valor de x

D

x

150º - 2a

10º + 8a

160º - a

C

H

B

E

F

a) 44º b) 52º c) 56º d) 8º e) N.A

5. En la figura: BE = ED = BC, halle m∡DBC = x.

Page 266: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

a) 10º b)20º c)30º d)5º e)15º

6. Calcule el área de la región sombreada :

a) 2

24

5a b)

2

24

10a c)

2

24

15a d)

2

24

2a e) N.A.

7. En el gráfico se tiene una circunferencia cuyo radio mide 12 cm, en la cual se han inscrito cuatro circunferencias iguales. Calcule el área de la región sombreada.

a) 2

)113144(8

b) )1128(144 c)

2

)11324(8 d)

2

)11324(8 e) N.A.

8. AOB es un sector circular, tal que m∡AOB = 30º. Calcule el área de la región sombreada, si el semicírculo de centro M tiene área K.

M

O A

B

a) 2

k b) 3

k c) 2

3kd) 4

ke) N.A.

9. Calcule el área de la región sombreada.

50ºx

10ºA D C

E

B

Page 267: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

a

a

a) 2a b) 2

2

1a c)

2

5

1a d)

2

5

2a e) N.A.

10. Un enamorado de la geometría para el día de San Valentín construyó un corazón geométrico con un triángulo equilátero y dos círculos iguales. Comenzó con el triángulo, como indica la figura, que tenía 3cm. de lado. En los vértices A y B colocó dos círculos, de manera tangente a los lados y entre sí. El problema consiste en averiguar el radio de estos círculos para que puedan formar con el triángulo el corazón geométrico.

A B

C

B A 3

a)3

2 3cm b)

2

3 2cm c)

3

3 2cm d)

2

2 3cm e) N.A.

11. En la figura adjunta, ABCD y EFGH son cuadrados y “O” centro de EFGH. Calcule el área de la región sombreada.

4u O

G

F

H

E

C

A

B

a) 4u2 b)2u2 c) 1u2 d) 5u2 e) N.A.12.12. Si AB = BC = AE, calcule el área de la región sombreada..

a) )33(2 b) )33(3 c) 33 d) )23(3 e) N.A.

13. Calcule el área de La región sombreada.

BA C

DE

6m

Page 268: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

R

R

a) )2252(2 2 R b) )2252(2 R c) 2R (4 4 2 2 )

d) )2232(2 2 R e) N.A

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31 A 1 B 1 D

2C

2 A 2 A

3 C 3 B 3 B4 D 4 C 4 A

5 B 5 A 5 B

6 C 6D

6 A

7 B 7 C 7 B

8 C 8 D 8 A

9 B 9 C 9 D

10 D 10A

10 A

11B

11 B 11 A

12 C 12B

12B

13 A 13C

13C

14 D 14 A

15 C 15B

16 D 16 A17 A 17 A18 B19 A

Respuestas4.1.8.

Page 269: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

«El Grupo AJE lanzó la nueva campaña Pulpín y Pulpmanía pensando en los engreídos de la casa. Pulpín, el néctar con más pulpa de fruta, trae su presentación de tetra pak con alegres y coloridos modelos de autos de carrera.

A través de la Pulpmanía, los niños podrán canjear sus pistas de carreras en los principales puntos de venta a nivel nacional. Así, los niños disfrutarán de su néctar favorito con un animado juego para la casa y el colegio.

Pulpín viene en tres deliciosos sabores: durazno, manzana y surtido, y es ideal para la lonchera. Por seguridad y practicidad, es el preferido de las amas de casa y de los niños, motivo por el cual lidera hoy el mercado de néctares infantiles en el formato de 150 ml., en envases de tetra pak.

En el primer semestre del año, Pulp representó el 31,1% del mercado de néctares a nivel nacional (según Latin Panel), siendo una de las marcas más importantes de esta categoría.

El grupo AJE produce néctares en Perú, México y Ecuador, utilizando la pulpa de fruta de los productores agrarios de Ancash, Lima, Piura, Cajamarca e Ica, generando empleo en el campo y contribuyendo a una mejor alimentación infantil y al crecimiento de la economía nacional.

El Pulpin, como es llamado a la presentación de 150 ml viene en un empaque de forma piramidal. Es un envase único y divertido que a primera vista le encanta a los niños, muy práctico para colocar en la lonchera.

Asimismo, gracias a su forma, el empaque utiliza un mínimo de material y genera ventajas a nivel económico y ambiental, “Es un empaque conveniente para beber con facilidad pues contiene la cantidad justa  para un niño en edad preescolar”, dicen los especialistas.

La forma piramidal del nuevo envase solo se basa en un sachet común, el cual solo se ha modificado el cierre de uno de sus extremos, el cual presenta una rotación de noventa grados, con ello se ahorra tiempo y material para su

Geometría del espacio4.2.

Caso de estudio: Nueva presentación de envases de tetra pack

4.2.1.

Page 270: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

fabricación. Así también para la obtención de las dimensiones del envase, que inicialmente es un molde plano, se consideró el volumen establecido y ahorro de material». (Tomado de http://www.peru.com/finanzas/idocs2/2008/9/9/detalledocumento_535118.asp )

Si varía el tamaño del envase, ¿cómo podríamos calcular el área lateral y el volumen?

Respuesta:

Es sencillo, pues al abrir cuidadosamente un envase nos damos cuenta que la figura proviene de un cilindro

Por lo tanto, si el tamaño varia sólo se debe de usar las formulas para calcular área lateral y volumen de un cilindro.

ESPACIO Es el ambiente que nos rodea. Es el lugar que contiene a todos los objetos que existen.

CUERPO GEOMÉTRICOEs una porción del espacio cuando está totalmente limitado.

ÁREA O SUPERFICIEEs el lugar que limita al cuerpo del resto del espacio.

POLIEDROEs un sólido geométrico completamente limitado por polígonos. Un poliedro tiene un mínimo de 4 caras.

Poliedros irregulares: Cuando sus caras son polígonos irregulares y no todos sus ángulos son iguales.

Poliedros regulares: Cuando todas sus caras son polígonos regulares y todos sus ángulos son iguales.

PRISMA

Es el poliedro (cerrado o abierto) comprendido entre dos polígonos iguales y paralelos cuyas caras laterales son paralelogramos.

Prisma recto: Cuando las caras laterales son perpendiculares a las bases.

Algunas definiciones importantes4.2.2.

Page 271: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Prisma oblicuo: Cuando las caras laterales son oblicuas a la bases.

Prisma regular: Es un prisma recto cuya base es un polígono regular.

Prisma irregular: Es un prisma recto cuya base es un polígono irregular.

1. PRISMA RECTO

En todo prisma recto las caras laterales son rectángulos.

2. PRISMA OBLÍCUO

3. PARALELEPÍPEDO RECTO (Ortoedro)

Es un cuerpo geométrico limitado por seis caras rectangulares, siendo las caras paralelas iguales.

El volumen del paralelepípedo recto se calcula multiplicando las longitu-des de las tres aristas convergentes a un vértice.

Áreas y volúmenes de los principales sólidos4.2.3.

Área Lateral

AL = 2c(a + b)

Área Total

AT =

2(ab+ac+bc)

Volumen

V = abc

Área lateral = Perímetro de la base por su

altura

AL = (a + b + c)h

Área total

AT = AL + 2 Abase

Volumen

V = Abase x h

Área lateral = (Perímetro de SR) por la

arista

AL = (m + n + l)a

Donde “a” es la arista

Área total

AT = AL + 2 Abase

Volumen

V = ASR x a = Abase x h

ab

c

a b

c

h

nah

l mSección

Recta (SR)

Page 272: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Propiedad

En un paralelepípedo recto. Si las áreas de las tres caras diferentes son A1, A2 y A3, entonces el volumen V se calcula:

1 2 3V A A A

4. CUBO

Es un paralelepípedo cuyas caras son cuadrados. También se puede decir que es un cuerpo geométrico limitado por seis cuadrados.

5. PIRÁMIDE REGULAR

Una pirámide es regular si su base es un polígono regular, sus aristas laterales son congruentes y sus caras laterales son triángulos con un vértice en común.

OT := ApotemaOG := Altura de la pirámidePbase := Semiperímetro de la base

6. CILINDRO RECTO

Un cilindro recto es el sólido generado por la rotación completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, como muestra la figura adjunta.

Área lateral

AL = 4L2

Área Total

AT = 6L2

Volumen

V = L3

Arista: Es la intersección de las caras.

Vértice: Es la intersección de las aristas.

Área Lateral

AL = Pbase x OT

Área Total

AT = AL + Abase

Volumen

V = 1

3Abase x OG

Área lateral

AL = 2Pbase x h

Área total

AT = AL + 2Abase

Volumen

V = Abase x h = 2r h

O

D

E

A

B C

TG

h

r

LL

L

Page 273: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

h:= altura del cilindro rector:= radio de la base del cilindro recto

2Pbase = perímetro de la base = 2 r Abase = 2r

7. CONO RECTO

Es el sólido que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, como se muestra en la figura adjunta.

Pbase = semiperímetro de la baseg:= generatriz del cono rectoh:= altura del cono rector:= radio de la base del cono recto

8. ESFERA

Es el sólido que se obtiene al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro, como se muestra en la figura adjunta.

Área y volumen de una zona esférica

El área de una zona esférica es igual al producto de la longitud de la circunferencia maxima de la esfera por su respectiva altura.

Área Lateral

AL = Pbase x g = x r x g

Área Total

AT = AL + Abase = r(g r)

Volumen

V = 1

3 Abase x h =

2r h

3

Área AE =4 R2

Volumen

V = 34R

3

r

hg

BR

O

Page 274: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

AZE = 2Rh3 2 2

ZEh h(a b )

V6 2

Volumen de un sector esférico

Volumen de un anillo esférico

1. Un prisma recto tiene por base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm. y 16 cm. respectivamente. Halle el área lateral, área total y el volumen del prisma si su arista lateral mide 40 cm.

Solución

Primero, calculamos la hipotenusa:

c = 2 212 16 20

Ahora se puede calcular lo que piden:

Ejercicios resueltos4.2.4.

Área lateral

AL = (a + b + c)h

AL = (12 + 16 + 20)40 = 1920 cm2

Área total

AT = 1920 + 2 (12 16

2

) = 2112 cm2

Volumen

V = 96 x 40 = 3840 cm3

El volumen de un sector esférico es igual a dos tercios del área del círculo de la correspondiente esfera multiplicado por la proyeccion del sector sobre el diametro.

2SE

2V R h

3

El volumen de un anillo esférico es igual a un sexto del producto del círculo que tuviera por radio la cuerda del segmento multiplicada por la proyección de esta misma cuerda sobre el eje de revoución.

2AE

1V (AB) h

6

RO

h

a

b

O ha

aR

R

hR

O

A

R

B

12 16

40

Page 275: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

2. La sección recta de prisma oblicuo es un trapecio rectangular cuyas bases miden 40m y 80m, y cuya altura es igual a 30m. Calcule el área total del prisma si se sabe que su arista lateral mide 60m y su altura 30m.

Solución

Recordar que el área del trapecio es:

base mayor + base menoraltura

2

Entonces:

3. Calcule el área lateral, total y volumen del paralelepípedo cuya base es cuadrada con área 16cm2 y su altura es el doble de la arista de la base.

SoluciónSegún los datos tenemos: 16 cm2 = x2 implica x = 4

4. Las aristas que concurren en los vértices de un ortoedro miden 12, 15 y 18 cm. Halle la longitud de la diagonal.

SoluciónUsando el Teorema de Pitágoras dos veces se tiene:

Volumen

V = ASR x a = Abase x h

40 8030 60

2

= Abase x 30

Abase = 3600 m2

Área Total

AT = AL + 2 Abase

AT = (50+30+80+40)60 + 2(3600)

AT = 19 200 m2

AL = 2(8cm)(4cm + 4cm) = 128 cm2

AT = 2(4x4cm2 + 4x8cm2 + 4x8cm2 ) =160cm2

V = 4x4x8 = 128 cm3

y2 = 152 + 182

x2 = 122 + y2

x2 = 122 + 152 + 182 =693

x = 3 77

40m

30m80m

60m

30m

50m

xx

2x

16 cm2

12

15

18

x

y

Page 276: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

5. Calcule el área lateral, total y volumen del cubo cuya arista mide 3 cm.

Solución

Aplicando las fórmulas se tiene:AL = 4(3)2 = 36 cm2 ; AT = 6(3)2 = 54 cm2 ; V = (3)3 = 27 cm3

6. Halle el volumen de una pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero de 16 cm de lado y la altura de la pirámide mide 27 cm.

Solución

7. En una pirámide regular de base cuadrada de lado L, las caras laterales forman un ángulo de 60º con el plano de la base ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

Solución

Construyamos la pirámide según el enunciado

ºEntonces el volumen es: 2(2L) (L 3)

V3

= 32L 3

V3

8. El área lateral de un cilindro circular recto es 192 y su altura mide 24 cm. Calcule el área total y el volumen.

Solución

16cm

16cm

16cm 27cm

Área de la base

Abase = 2L 3

4=

2(16) 3

4=64

3cm2

Volumen

V = (1

3 x 64

3x 27)cm3 = 576

3cm3

60º

L

2L

L

60º

L

L 2L

h=24cm

r

Área Lateral 192 = 2 r ( 24)

r = 4cmÁrea Total

AT = 192 + 2 2(4 ) = 224 cm2

Volumen

V = 2(4 ) (24) = 3842 cm3

Page 277: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

9. La longitud de la base de un cono recto circular es 37,68cm y una generatriz de 18cm. Halle el área lateral, el área total y el volumen. Considerar 3,14

Solución

10. Halle el área de la superficie de una esfera que pasa por los vértices de un cubo cuya área total mide 512 cm2.

Solución

AT cubo = 6a2 512 = 6a2 a = 16 3

3 cm

Diámetro de la esfera =Diagonal del cubo

2R = a 3 = 16 3

33 R = 16 cm

Entonces, el área de la esfera es:

AE = 4

(16)2 = 1024

cm2

11. Calcule el volumen del casquete:

Longitud de la base = 2 x r37,68 = 2(3,14)r

r = 6 cmPor Pitágoras tenemos:

h = 2 218 6 =16,97cm

Área lateral

AL = 37,68

182

= 18,84 x 18 =339,12 cm2

Área total AT = 18,84 x 18 + 36(3.14) =452,16 cm2

Volumen

V = 1

3 (3,14 x 62) (12 2 ) = 639,42 cm3

r

hg = 18 cm

RO

a

aa

40º

18cm

Page 278: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Solución

CasqueteV=

3 31 4 (18 ) 1 1 4 (18 )2 3 9 2 3

CasqueteV=

31 4 (18 ) 1(1 )

2 3 9

= 3456 cm3

Nivel 1

1. La arista lateral de una pirámide regular hexagonal es de 30 m y el lado de la base es de 18 m. Halle el volumen de la pirámide.a) 3888 3 cm3 b) 3788 3 cm3 c) 3878 3 cm3 d) 3887 3 cm3

e) N.A.

2. Calcule el área de la esfera que circunscribe a un cubo, si el área total del cubo inscrito es igual a 60m2.

a) 20

m2 b) 30 m2 c) 230 m d) 25

m2 e) 27

m2

3. El área total de un cubo es 2 400 cm2. Halle su volumen.a) 2000 cm3 b) 3000 cm3 c) 4000 cm3 d) 8000 cm3 e) 7000 cm3

4. El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es 1 000 cm2, si el apotema de la pirámide es 25 cm. Encuentre la medida dell lado de la base.a) 20 cm b) 30 cm c) 40 cm d) 80 cm e) 70 cm

5. El volumen de un paralelepípedo es 504 cm3. Si sus dimensiones son tres números enteros consecutivos, halle la dimensión mayor.a) 7 cm b) 8 cm c) 9 cm d) 6 cm e) 5 cm

6. Al girar un rectángulo de 20 m2 de área sobre uno de sus lados genera un cilindro. Halle el área lateral del cilindro.a) 30 m2 b) 40 m2 c) 50 m2 d) 60 m2 e) 70 m2

7. La altura de un cono es el doble del radio de su base; si la generatriz del cono mide 45 cm, calcule el volumen del cono en cm3

a) 2430 b) 2431 c) 2432 d) 2433 e) 2434

8. Una pirámide regular de base cuadrada tiene una altura de 1,2 m y cada arista lateral tiene 1,3 m. Halle la proyección de una arista lateral sobre la base de la pirámide.a) 0.6 m b) 0.5 m c) 0.4 m d) 0.8 m e) 0.7 m

9. Calcule el volumen de la pirámide triangular que se muestra en la figura adjunta.a) 20 cm3

b) 30 cm3

c) 40 cm3

d) 10 cm3

Ejercicios propuestos4.2.5.

45º10cm

6cm

Page 279: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

e) 50 cm3

10. Calcule el volumen del sólido recto al cual le falta una rebanada de 90º.

a) 321

b) 322

c) 323

d) 324

e) 325

11. En el cubo mostrado halle el área de la región sombreada.

a) 2 2

2

ab)

2 2

3

ac)

2 2

4

ad)

2 3

2

ae)

2 3

4

a

12. Una esfera se encuentra inscrita en un cubo de 64 cm3. Calcule el volumen de la esfera.

a) 334

3cm

b) 332

3cm

c) 332

4cm

d) 335

3cm

e) 335

2cm

13. Se tiene una pirámide hexagonal regular cuya base está inscrita en una circunferencia de 6 m de radio; si su altura mide 6 m, calcule la suma de sus aristas laterales.a) 36 2 b) 38 2 c) 40 2 d) 34 2 e) 35 2

14. ¿Cuántos metros cúbicos de hormigón se necesitan para construir una escalera maciza como la mostrada en la figura?

0,3m

0,3m

0,3m

0,3m

2 m

3 m

0,2m

0,2m

0,2m

a) 8.22 m3 b) 8.28 m3 c) 4.28 m3 d) 5.24 m3 e) 7.22 m3

15. Una esfera hueca tiene 2 cm de espesor y su diámetro exterior es de 80 cm. Calcule el área de la superficie interior en cm2

a)2400 b) 3400 c) 4400 d) 5776 e) 5006

12 cm

6 cm

a

Page 280: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

Nivel 2

1. En la figura adjunta se muestra una esfera inscrita en un cono. Calcule el volumen de la esfera.a) 38b) 37c) 36d) 20e) 17

2. La relación entre los volúmenes de dos esferas concéntricas es 8. Halle la relación entre sus áreas.a) 4 b) 5 c) 3 d) 8 e) 7

3. Un prisma recto tiene por base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 cm. y 20 cm. respectivamente. Calcule el volumen del prisma si su arista lateral mide 40 cm.a) 2000 cm3 b) 6000 cm3 c) 4000 cm3 d) 1000 cm3 e) 5000 cm3

4. Determine el volumen que resulta al quitarle a una esfera de diámetro 30 cm un cono circular recto con base en el plano que pasa en el centro de la esfera y tiene su vértice en la superficie esférica.

5. Calcule el volumen del sólido que está formado por un cilindro, una semiesfera y un cono, como se muestra en la figura.

6. ¿Cuántos galones de agua puede contener la piscina que tiene la forma del prisma que se muestra? (Un pie cúbico de agua es aproximadamente 7.5 galones.).

a) 72 467 gal.b) 43 460 gal. c) 61 400 gal. d) 62 467 gal. e) 40 200 gal.

7. Halle el área de una esfera sabiendo que un círculo máximo de la misma tiene 15 cm2 de área.

15cm

r

3r

2r

10cm

12cm

14 pies

16 pies

30 pies

4 pies

13 pies

a) 313

4

r

b)

313

5

r

c) 314

3

r

d)

316

3

r

e) 313

3

r

a) 3 310 cm

b) 3 311 cm

c) 3 314 cm

d)

3 315 cm

e) 3 312 cm

Page 281: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

a) 260cm b) 240cm c) 250cm d) 245cm e) 255cm

8. La base de un prisma oblicuo es un triángulo rectángulo ABC recto en B, tal que AB=24cm y BC = 32cm. La arista lateral que parte del vértice A mide 85cm y se proyecta sobre la base según la dirección AB ; si la proyección de esta arista sobre la base mide 40cm, calcule el área de la sección recta en cm2

a) 424,23 b) 338,82 c) 249,50 d) 453,63 e) 552,24

9. El área lateral de una pirámide hexagonal regular es de 48 m². Calcule el lado de la base, si el apotema de la pirámide es igual al cuádruplo del radio de la circunferencia circunscrita a la base.a) 1.5 m b) 3.5 m c) 3 m d) 2.5 m e) 2 m

10. El volumen de una pirámide regular de base cuadrada de 16 cm de lado es 1280 cm3. Determine el área total de la pirámide.a) 800 cm2 b) 600 cm2 c) 700 cm2 d) 400 cm2 e) 900 cm2

11. ¿Cuál es el volumen de una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado si sus caras laterales son triángulos equiláteros?

a) 3500

3cm3

b) 3500

2cm3

c) 34002cm

3d) 3250

2cm3

e) N.A.

12. Calcule el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 228 cm de área lateral, si sus aristas laterales forman un ángulo de 60º con el plano de la base.

a) 32 3cm

3b) 35 3

cm3

c) 34 3cm

3

d) 37 3cm

3e) 35 3

cm4

13. Encuentre el volumen de una pirámide regular de base cuadrangular cuyas caras laterales son triángulos equiláteros; el perímetro de la base es 12 3u .

a) 27 3

5b)

27 64

c) 27 6

2

d) 27 3

2e)

27 23

14. Si en una pirámide regular hexagonal el área lateral es el doble del área de la base y el radio de la circunferencia circunscrita a la base mide 4 m, determine el volumen de dicha pirámide.

a) 345 3 m b)

338 3 m c) 347 3 m

d) 348 3 m e)

358 3 m

15. Un recipiente rectangular cerrado de 6 cm por 12 cm por 15 cm está asentado sobre su cara más chica y está lleno de agua hasta 5 cm debajo

60º

60º

60º

60º

4m

Page 282: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

del borde superior. ¿A cuántos centímetros a partir del fondo llegará el agua si el recipiente se sitúa sobre su cara más grande?

a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 7 cm

Nivel 3

1. El radio de una esfera vale 5 u y la altura de un cilindro recto inscrito mide 6 u. ¿Cuál es la relación de volúmenes entre el cilindro y la esfera?

a) 72

115 b) 72

135 c) 62

125 d) 92

125 e) 72

125

2. Encuentre la relación existente entre los volúmenes de un cubo y la esfera inscrita, tal como se muestra en la figura.

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

3. Un joven escultor tiene como trabajo hacer en madera el siguiente sólido.Si se debe hacer una muestra en centímetros, ¿cuántos cm3 de madera poseerá la escultura?

a) 169,3 u3

b) 170,3 u3

c) 172,3 u3

d) 173,3 u3

e) 174,3 u3

4u

2u

10u

4u

4u

Page 283: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

4. Se tiene un prisma recto de altura igual a 8 u. cuya base es un polígono regular de 3 u. de lado. Si el ángulo diedro formado por 2 caras laterales del prisma mide 120º, calcule el área total del prisma.a) 144 + 27 3 b) 144 + 27 2 c) 144 + 26 3 d) 144 + 26 2 e) N.A.

5. Las bases de un prisma recto son cuadrados y las aristas laterales miden la misma longitud que las diagonales de los cuadrados. Halle en que relación están el área lateral y el área total.

a) 7

28 b)

7

228 c)

6

28 d)

5

28 e) N.A.

6. Calcule el volumen de un prisma oblicuo triangular ABC, A’B’C’, sabiendo que el área de la cara ACC’A’ es de 40m2 y la distancia de la arista BB’ a la cara anterior es de 5m.a) 120m3 b) 110m3 c) 100m3 d) 90m3 e) N.A.

7. Calcule el volumen de un cilindro recto, si su área total es 200m2 y la media armónica entre el radio de la base y su altura es 20.a) 10 000 m3 b) 100 m3 c) 500 m3 d) 1000 m3 e) N.A.

8. Calcule el área lateral de un cilindro de revolución conociendo que la diferencia de los cuadrados de la generatriz y el diámetro de la base es 64. Además 4FG .

a) 32 15 b) 30 15

c) 28 15 d) 26 15 e) 24 15

9. Calcule el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de radio “R”.

a)8

3 3Rb)

18

3 3Rc)

6

3Rd)

7

3Re) N.A.

10. Se considera el círculo mayor de una esfera como base y se construye un cono circular recto cuyo volumen equivale a la mitad del volumen de la esfera. Calcule el área de la zona esférica de 2 bases que se determina si el radio de la esfera mide 5m.a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 31 A 1 C 1 E2 C 2 A 2 C3 D 3 B 3 D4 A 4 D 4 A5 C 5 E 5 B6 B 6 E 6 C7 A 7 A 7 D8 B 8 B 8 A

Respuestas4.2.6.

G

F

Page 284: matematica basica

256

CAPÌTULO 3GEOMETRÍA

9 D 9 E 9 A10 D 10 A 10 E11 A 11 B12 B 12 A13 A 13 C14 B 14 D15 D 15 B

Page 285: matematica basica

256

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