Mat Sequencias e Progressoes _002

8/3/2019 Mat Sequencias e Progressoes _002

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COLGIO VIA MEDICINA PSS 1 PGINA 1

ANOTAES1.Seqncias

1.1.Seqncias ou Sucesses

Observe atentamente a se-qncia numrica abaixo:

1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34;...

A seqncia numrica anterior uma das mais famosas na Matemti-ca: a chamada seqncia de Fibo-nacci, em homenagem ao matemticoitaliano Leonardo de Pisa, conhecidopor Fibonacci. Essa seqncia tem se-guinte caracterstica:

Cada elemento formado, a partir

do terceiro, pela soma dos dois ele-mentos anteriores.

Mas qual a definio de se-qncia?

Seqncia ou sucesso numri-ca qualquer conjunto de nmerosdispostos ordenadamente, de formaque seja possvel indicar o primeiroelemento, o segundo, o terceiro... e,assim, sucessivamente, qualquer ter-mo desse conjunto.

1.2.

Progresso Aritmtica - IVamos definio de uma pro-gresso aritmtica.

Progresso aritmtica (PA) uma seqncia em que cada termo, apartir do segundo. obtido do anteri-or, somando-se uma constante.

Observao:

Existe uma outra definio deprogresso aritmtica:

toda seqncia na qual a di-ferena entre cada termo, a partir dosegundo, e o termo anterior cons-tante.

Veja alguns exemplos de PA:

Exemplo 1:

uma progresso aritmtica derazo igual a 2.

Uma PA de razo positiva, ou seja, r >0, dita crescente.

Exemplo 2:

Matemtica

SEQNCIASNUMRICAS


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MATEMTICA Jorge Oliveira SEQUNCIAS NUMRICAS

PGINA 2 PSS 1 COLGIO VIA MEDICINA

ANOTAESUma PA de razo negativa, ou seja, r< 0, dita decrescente.

Exemplo 3:

Uma PA de razo nula, ou seja, r = 0, dita constante ou estacionria.

1.2.1. Termo Geral de uma PA

O termo geral de uma seqn-cia uma frmula que permite obterqualquer termo da seqncia, conhe-cendo-se a posio do termo.

E como podemos chegar aotermo geral de uma progresso arit-mtica?

Observando a definio de umaprogresso aritmtica, em que cadatermo a partir do segundo obtido doanterior, somando-se uma constante,

temos:

Substituindo (1) em (2), o resul-tado obtido em (3) e, assim, sucessi-vamente, teremos:

Assim, a frmula do termo geralde uma PA :

Na frmula

atribuindo-se valores para n, poss-vel obtermos seus termos em funodo primeiro termo a1 e da razo r.

Exemplo 1:

Obtenha a frmula do termogeral da PA. (7; 15; ...)

Resoluo:

Exemplo 2:

Qual o 40 termo da PA (2; 5;8; ...)?

Resoluo:


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SEQUNCIAS NUMRICAS MATEMTICA Jorge Oliveira


ANOTAES

Exemplo 3:

Obtenha o 1 termo de uma PAem que a20 = 39 e r = 4.

Resoluo:

Exemplo 4:

Qual o nmero de termos daPA (43; 38;...; -2)

Resoluo:

Observao:

A frmula do termo geral per-mite, como j vimos, expressar qual-quer termo na PA em funo do pri-meiro ter mo a e da razo r:

possvel, entretanto, relacio-nar dois termos intermedirios da PAem funo da razo. Observe:

Verificao:

Fazendo (1) - (2), membro amembro:

TESTES

1. Numa PA, o primeiro termo 2 e a

razo 3. Qual o dcimo termo?

a) 27 b) 28 c) 29d) 30 e) 21

2. (MACK SP) O trigsimo primeirotermo de uma progresso aritmticade primeiro termo 2 e razo 3 :

a) 63 b) 65 c) 92d) 95 e) 98

3. (FEl SP) A razo de uma PA de 10termos, onde o primeiro termo 42 eo ltimo -12, vale:

a) -5 b) -9 c) -6d) -7 e) 0

4. (PUC PA) Calculando o nmero determos de uma PA, onde o primeirotermo 0,5, o ltimo termo 45,5 ea razo 1,5, obtm-se:


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ANOTAES

a) 45 b) 38 c) 43d) 31 e) 57

5. (UFPA) Numa progresso aritmti-ca, temos a7 = 5 e a15 = 61. Ento, arazo pertence ao intervalo:

a)

[8, 10]

b) [6, 8[

c) [4, 6[

d) [2, 4[

e) [0, 2[

6. (PUC RS) Para que a progressoaritmtica de razo r = 5 - 2x seja de-crescente, x deve assumir valores nointervalo:

7. (PUC RS) Na seqnciaos valores de x, y, z so, respectiva-mente:

8. (VUNESP SP) Um estacionamentocobra R$ 1 ,50 pela primeira hora. Apartir da segunda, cujo valor R$ 1,00,at a dcima segunda, cujo valor R$0,40, os preos caem em progressoaritmtica. Se um automvel ficar es-tacionado 5 horas nesse local, quantogastara seu proprietrio?

a) R$ 4,58 b) R$ 5,41 c) R$ 5,14d) R$ 4,85 e) R$ 5,34

9. (UEL PR) Uma progresso aritm-tica de n termos tem razo igual a 3.Se retirarmos os termos de ordem m-par, os de ordem par formaro umaprogresso:

a) aritmtica de razo 2b) aritmtica de razo 6c) aritmtica de razo 9d) geomtrica de razo 3e) geomtrica de razo 6

10. (UEL PR) Uma criana an-mica pesava 8,3 kg. Iniciou um trata-mento mdico que fez com que en-gordasse 150 g por semana durante 4meses. Quanto pesava ao trmino da15 semana de tratamento?

a) 22,50 kg b) 15 kg c) 10,7 kgd) 10,55 kg e) 10,46 kg

11. (UFRGS) O nmero de mltiplosde 7 entre 50 e 1 206 :

a) 53 b) 87 c) 100d) 165 e) 203

12. (CESGRANRIO RJ) Em progres-so aritmtica, o termo de ordem n

Nessa progresso, a15 vale:

a) 26 b) -22 c) 22d) -13 e) 13

13. (FUVEST SP) Seja A o conjun-to dos 1 993 primeiros nmeros intei-ros estritamente positivos.

a) Quantos mltiplos inteiros de 15 per-tencem ao conjunto A?

b)Quantos nmeros de A no so mlti-plos inteiros nem de 3 nem de 5?

14. (FGV SP) Para todo n natural

no nulo, sejam as seqncias

Nessas condies, c20 igual a:

a) 25 b) 37 c) 101d) 119 e) 149

15. (UFMG) Considere o conjunto

O nmero de elementos de M que noso mltiplos de 3 nem de 5 :

a) 234 b) 266 c) 267d) 467 e) 487


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ANOTAES

16. Na seqncia numrica (4, 7, a3,a4, a5 ...), sabe-se que as diferenas

,formam uma progresso aritmtica derazo 2 e que tem soma dos 14 pri-meiros termos iguais a 224. Ento, a15 igual a:

a) 172 b) 186 c) 200d) 214 e) 228

17. (UEL PR) Seja a seqncia a1= 899, a2 = 449, a3 = 300, ... na qualan indica o nmero de mltiplos donmero natural n compreendidos en-tre 100 e 1 000. Nessas condies a37 um nmero compreendido entre:

a) 32 e 37 b) 29 e 32 c) 26 e 29d) 24 e 26 e) 20 e 24

18. (PUC SP) So dadas duasprogresses aritmticas infinitas:

O menor valor de n, tal que bn > an, :

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

19. (PUC PR) A razo de umaprogresso aritmtica 11. O primeirotermo satisfaz a condio 10 < a < 20.Se um dos termos dessa progressoaritmtica 45, o valor de a :

a) 12 b) 11 c) 15d) 17 e) 18

20. (FCMSC SP) Numa PA de setetermos a soma dos dois primeiros 14e a soma dos dois ltimos e 54. Calcu-le a razo e o ltimo termo dessa PA.

GABARITO

2.Progresso Aritmtica -II

2.1.Propriedades de uma PA

Existem trs propriedades emuma progresso aritmtica que podemfacilitar a resoluo de questes en-volvendo essa seqncia.

1 propriedade:

Numa progresso aritmtica,cada um de seus termos, com exceodos seus extremos, a mdia aritm-tica entre os termos anterior e o pos-terior.

Assim:

Vamos verificar, usando apenaso fato de que um termo menos o seuantecedente resulta na razo r:


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ANOTAESSendo (...; a; b; c; ...) uma progres-so aritmtica, ento:

Exemplo:

2 propriedade.

Numa PA finita a soma de doistemos eqidistantes dos extremos igual a soma dos extremos.

Exemplo:

Observe, no exemplo, que asoma dos extremos igual a 12, ouseja: -3 + 15 = 12

Da mesma forma, dois termoseqidistantes desses extremos tm omesmo valor para a soma:

Vamos fazer uma verificao,considerando a seguinte progressoaritmtica de n termos:

Vamos supor que os termos ap eaq sejam eqidistantes dos extremos,ou seja: p - 1 = n - q. Ento:

Somando esses dois termos, te-remos:

3 propriedade:

Numa progresso aritmtica denmero mpar de termos, o termomdio a mdia aritmtica dos ex-tremos.

Exemplo:

Agora, considere uma PA com ntermos (n mpar) e ak o termo cen-tral:

Conforme a 1 propriedade:

Sendo ap e aq termos eqidis-tantes dos extremos (2 propriedade):

2.2.Artifcio em uma PA


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ANOTAESConsidere a seguinte situao geom-trica:

Existem situaes, como a a-presentada anteriormente, que envol-vem trs termos consecutivos e des-conhecidos de uma progresso arit-mtica. Quando isso ocorre, voc po-de utilizar um artifcio que permitirum resoluo mais simples do pro-blema.

Quando trs termos consecuti-

vos de uma PA so desconhecidos,podemos utilizar a seguinte notaopara eles:

onde x o termo central e r a razoda PA

Vamos agora resolver o proble-ma geomtrico apresentado utilizan-do o artifcio:

Pelo teorema de Pitgoras:

Clculo da rea:

Logo:

Portanto, os lados do tringulomedem 6 cm, 8 cm e 10cm.

TESTES

1. (UFPA) Sabendo que a seqncia (1- 3x, x - 2, 2x + 1) uma PA, o valorde :

a) 5 b) 3 c) 4d) 6 e) 8

2. (CEFET PR) O valor de x para que(x + 3, 2x + 4, 4x + 3) sejam termosconsecutivos de uma PA :

a) -5 b) -2 c) od) 2 e) 5

3. (PUC PR) Numa progresso arit-mtica, com nmero mpar de ter-mos, se os extremos so -2 e 20, o termo mdio vale:

a) 8 b) 7 c) -8d) -9 e) 9

4. Numa PA, tem-se que a7 + a31 = 79.Ento, o valor de a10 + a28 :

a) 69 b) 96 c) 79d) 97 e) 107

5. Sabendo que a soma de trs nmerosem PA 18 e que o produto igual a162, ento a razo dessa PA pode serigual a:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. Sabe-se que os ngulos internos deum tringulo esto em PA de razo30. Ento, o maior ngulo desse tri-ngulo :

a) 80 b) 90 c) 100d) 105 e) 110

7. (PUC PR) Sabendo-se que x2 , x2 +11 e 4x2 + 3x + 16 formam, nessa or-dem, uma progresso aritmtica, osvalores de x pertencem ao conjunto:


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ANOTAESa) { -2, 1} b) { -3, -1} c) { -2, 0)d) { -3, -2) e) { -4, -2)

8. (MACK SP) As medidas dos ngu-los assinalados na figura a seguir for-mam uma progresso aritmtica. En-to, necessariamente, um deles sem-pre mede:

a) 108b) 104c) 100d) 86e) 72

9. (FEl SP) Se a, 2a, a2, b formam,nessa ordem, uma progresso aritm-tica estritamente crescente, ento ovalor de b :

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

10 . (UECE CE) As medidas, emgraus, dos ngulos internos de um tri-ngulo formam uma progresso arit-mtica e um dos ngulos mede 30.Nestas condies, a medida, emgraus, do maior ngulo do tringulo igual a:

a) 80 b) 85 c) 90d) 95 e) 100

11 . (PUC SP) Os lados de um tri-ngulo retngulo esto em PA de ra-zo 3. Calcule-os:

a) 3, 6, 9 b) 6, 9, 12 c) 12, 15, 18d) 9, 12, 15 e) 15, 18, 21

12 . (UFPR) Calcule o valor no nulode x para que o nmeros x2 + 10, 9x,x - 10, nesta ordem, sejam termoconsecutivos de uma progresso arit-mtica.

13 . (PUC SP) Os nmeros queexprimem o lado, diagonal e a reade um quadrado esto em PA, nestaordem. O lado do quadrado mede:

14 . (VUNESP SP) As medidas doslados de um tringulo retngulo for-mam uma progresso aritmtica cres-cente de razo r.

a) Mostre que as medidas dos lados dotringulo, em ordem crescente, so 3r,4r e 5r.

b) Se a rea do tringulo for 48, calculer.

15. (FATEC SP) A funo f, de IRem IR, definida por f(x) = ax2+ bx + c,admite duas razes reais iguais. Se a >0 e a seqncia (a, b, c) uma pro-gresso aritmtica de razo ento ogrfico de f corta o eixo das ordena-

das no ponto:

16. (MACK SP) Sabendo que 3, 39e 57 so termos de uma progressoaritmtica crescente, ento os poss-veis valores naturais da razo r daprogresso so em nmero de:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

17. (UFMG) Mister MM, o Mgico daMatemtica, apresentou-se diante deuma platia com 50 fichas, cada umacontendo um nmero. Ele pediu auma espectadora que ordenasse as fi-chas de forma que o nmero de cadauma, excetuando-se a primeira e altima, fosse a mdia aritmtica donmero da anterior com o da posteri-or. Mister MM solicitou a seguir es-pectadora que lhe informasse o valorda dcima sexta e da trigsima pri-

meira ficha, obtendo como resposta103 e 58, respectivamente. Para del-rio da platia, Mister MM adivinhouento o valor da ltima ficha.

Determine voc tambm este valor.

18. (UNICAMP SP) Os lados de umtringulo retngulo esto em progres-so aritmtica. Sabendo que a reado tringulo 150, calcule as medi-das dos lados desse tringulo.

19. (UFPR) O permetro de um tri-ngulo retngulo 48 cm e seus ladosesto em progresso aritmtica. Asmedidas desses lados so:


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ANOTAESa) 20 cm, 16 cm, 12 cm

b) 18 cm, 16 cm, 14 cm

c) 13 cm, 16 cm, 19 cm

d) 10 cm, 16 cm, 22 cm

e) 26 cm, 16 cm, 6 cm

20. (PUC RS) As medidas dos la-dos de um tringulo retngulo estoem progresso aritmtica. Se o per-metro deste tringulo mede 3 cm, amedida da hipotenusa, em cm, iguala:

a) 0,75 b) 1 c) 1,25d) 1,75 e) 2,25

GABARITO

3.Progresso Aritmtica -III

3.1.Interpolao Aritmtica

Os dimetros das circunfern-cias que formam um anteparo para otiro ao alvo esto em progresso a-

ritmtica de 8 termos, sendo os ex-tremos iguais a 10 mm e 80 mm, con-forme desenho:

Como obter, em mm, os dime-tros das seis outras circunferncias?

Conhecemos o primeiro e o oi-tavo termos da correspondente pro-gresso aritmtica.

Portanto, o alvo ter oito cir-cunferncias cujos dimetros estoem PA.

Interpolar ou inserir K meios a-ritmticos, entre dois termos conhe-cidos a e b, significa construir umaprogresso aritmtica com K + 2 ter-mos, onde a o primeiro termo e b o ltimo.

3.2.Soma dos Termos de uma PA

Em 1787, numa pequena escolade uma aldeia da Alemanha, um gniodespertou para o mun-


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ANOTAESdo. Querendo ver-se livre de seus alu-nos, por uma aula, um professor deMatemtica props-lhes um problemafcil, porm trabalhoso:

Pediu-lhes que calculassem asoma dos 100 primeiros nmeros na-turais no nulos:

Com esse problema, esperavaele manter os alunos ocupados por umbom espao de tempo. No entanto,aps alguns minutos, um menino de10 anos aproximou- se da mesa doprofessor e apresentou-lhe o resulta-do:

3.3.Raciocnio Utilizado pelo g-nio:

Escreveu a soma em dois sen-tidos:

Observe que a soma propostaconstitui a soma dos 100 primeirostermos de uma PA e que o pequenognio intuiu a propriedade (P2) da so-ma dos termos eqidistantes dos ex-tremos de uma PA e a utilizou pararesolver o problema.

Lanando mo do mesmo racio-cnio, podemos deduzir uma frmulaque nos fornea a soma dos n primei-ros termos de uma PA:

Apesar de aborrecido com omenino, o professor percebeu seu in-comum talento e estimulou-o a estu-

dar Matemtica. O menino, que sechamava CarI Friedrich Gauss, desen-volveu estudos importantes no s emMatemtica como tambm em Fsica.Ficou conhecido nos meios matemti-cos como prncipe da Matemtica.

Exemplo 1:

Calcule a soma dos 70 primeirostermos da PA (2; 6; 10;...):

Resoluo:

Exemplo 2:

A soma Sn dos n primeiros ter-mos de uma PA igual a 3n2 Calcule o8 termo da PA:

Resoluo:

TESTES

1. Interpolando-se seis meios aritmti-cos entre 100 e 184, a razo encon-trada vale:


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ANOTAESa) 11 b) 12 c) 15d) 17 e) 19

2. Inscrevendo-se nove meios aritmti-cos entre 15 e 45, o sexto termo daPA ser igual a:

a) 18 b) 24 c) 36

d) 27 e) 303. A quantidade de meios aritmticos

que se deve inserir entre 15 e 30, talque a razo tenha o valor 3, :

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 9

4. (UFPI) A soma dos nmeros paresde 2 a 4 igual a:

a) 7 432 b) 8 200 c) 40 200d) 80 200 e) 20 400

5. (FATEC SP) Se o termo geral deuma PA an = 5n - 13, com n E lN*,ento a soma de seus 50 primeirostermos :

a) 5 850 b) 5 725 c) 5 650d) 5225 e) 5150

6. (PUC SP) Numa progresso arit-mtica, o termo geral an = 3n + 2. Asoma dos 20 primeiros termos :

a) 62 b) 67 c) 310d) 620 e) 670

7. (FEPAR PR) Em uma progressoaritmtica, a soma dos termos 70, oprimeiro termo 10 e a razo 5. Onmero de termos :

a) 10 b) 8 c) 4d) 12 e) 16

8. (UEL PR) Interpolando-se setetermos aritmticos entre os nmeros10 e 98, obtm-se uma progresso a-ritmtica cujo termo central :

a) 45 b) 52 c) 54d) 55 e) 57

9. (FATEC SP) Inserindo-se cinconmeros entre 18 e 96, de modo quea seqncia (18, a2, a3, a4, a5, a6, 96)seja uma progresso aritmtica, tem-se a3 igual a:

a) 43 b) 44 c) 45d) 46 e) 47

10. (CEFET PR) Inserindo-se Kmeios aritmticos entre 1 e K2 obtm-

se uma progresso aritmtica de ra-zo:

a) 1 b) k c) k 1d) k + 1 e) k2

11. (UFSC) Qual deve ser o nmeromnimo de termos da seqncia (-133, -126, -119, -112, ...) para que a

soma de seus termos seja positiva?12. (PUCCAMP SP) Um veculo

parte de uma cidade A em direo auma cidade B, distante 500 km. Na 1hora do trajeto, ele percorre 20 km;na 2 hora, 22,5 km; na 3 hora, 25km e assim sucessivamente. Ao com-pletar a 12 hora do percurso, a quedistncia esse veculo estar de B?

a) 95 km b) 115 km c) 125 kmd) 135km e) 155km

13. (FATEC SP) A soma de todos

os nmeros naturais, no nulos, nomaiores que 600 e no mltiplos de 5,:

a) 180 300 b) 136 415 c) 141 770d) 147 125 e) 144 000

14. (MACK SP) A seqncia (2, a,b,......., p, 50) uma progresso a-

ritmtica de razo3

2r < onde, entre

2 e 50, foram colocados k termos. En-to, o valor mnimo de k :

a) 64 b) 66 c) 68d) 70 e) 72

15. (FUVEST SP) Do conjunto detodos os nmero naturais n, n 200,retiram-se os mltiplos de 5 e, emseguida, o mltiplos de 6. Calcule asoma dos nmeros que permanecemno conjunto.

16. (UMCSP) Um relgio marca ashoras dando uma pancada 1 hora, 2pancadas s 2 horas, e assim por di-ante at s 12 horas. s 13 horas vol-ta novamente a dar 1 pancada, 2 s

14 horas e assim por diante at s 24horas. Bate ainda uma nica pancadaa cada meia


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ANOTAEShora. Comeando a funcionar zerohora, aps 30 dias completos, sem in-terrupo, o nmero de pancadas da-do ser:

a) 5400 b) 5340 c) 5460d) 5520 e) 4800

17 .

(UNIRIO RJ) Um agricultorestava perdendo a sua plantao, emvirtude da ao de uma praga. Aoconsultar um especialista, foi orien-tado para que pulverizasse, uma vezao dia, uma determinada quantidadede um certo produto, todos os dias,da seguinte maneira:

Sabendo-se que o total de produto pulve-rizado foi de 63 litros, o nmero de diasde durao deste tratamento nesta plan-tao foi de:

a) 21 b) 22 c) 25d) 27 e) 30

18 . (ITA SP) Numa progresso a-ritmtica com n termos, n > 1, sabe-

mos que o primeiro e igualn

n1a

+e

a soma deles vale2

n31+. Ento, o

produto da razo desta progressopelo ltimo termo igual a:

a) 2n b) 2/n c) 3nd) 3/n e) 5n

19 . (FGV SP) Um jardineiro temque regar 60 roseiras plantadas aolongo de uma vereda retilnea e dis-tando 1 m uma da outra. Ele encheseu regador numa fonte situada, namesma vereda, a 15 m da primeiraroseira e, a cada viagem, rega 3 ro-seiras. Comeando e terminando namesma fonte, qual o percurso total

que ele ter que caminhar at regartodas as roseiras?

a) 1 240 m b) 1 360 m c) 1 820 md)1 630m e)2 000m

20 . (UFPR) A soma dos n primeirosnmeros mpares positivos igual (ao):

01) soma dos n primeiros nmeros parespositivos menos o nmero n;

02) razo entre o quadrado do nmero n eo ltimo termo;

04) mdia aritmtica dos termos mdios;08) quadrado do ltimo termo;16) quadrado do nmero n;32) dobro do nmero n.

4.Progresses Geomtri-cas - I

4.1.Progresso Geomtrica

Progresso geomtrica (PG) uma seqncia de termos no nulos,nos quais cada termo, a partir do se-gundo, obtido multiplicando-se oanterior por uma constante.

Observao:Existe uma outra definio de

progresso geomtrica que tambm

pode ser utilizada: toda seqncia na qual oquociente entre cada termo, a partirdo segundo, e o termo anterior constante.

Observe alguns exemplos deprogresses geomtricas a seguir:

Exemplo 1:

uma progresso geomtricade razo igual a 2:

Uma PG em que a razo maiorque 1 e o primeiro termo positivo

dita crescente.


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ANOTAESExemplo 2:

uma progresso geomtrica

de razo 1/2.

Uma PG na qual a razo maiorque zero e menor que 1 e, alm disso,o primeiro termo negativo, ditacrescente.

uma progresso geomtricade razo igual a 2.

Uma PG na qual a razo maior

que 1 e o primeiro termo negativo dita decrescente.

Exemplo 4:

uma progresso geomtricade razo igual a 1/3.

Uma PG em que a razo maiordo que zero e menor do que 1 e, almdisso, o primeiro termo positivo, dita decrescente.

Exemplo 5:

uma progresso geomtricade razo igual a 1.

Uma PG na qual a razo igual a 1 dita constante ou estacionria.

Exemplo 6:

uma progresso geomtrica

de razo igual -3.


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ANOTAESUma PG de razo negativa di-

ta oscilante.

4.2.Termo Geral de uma PC

O termo geral de uma seqn-

cia uma frmula que permite obterqualquer termo dessa seqncia, co-nhecendo- a sua posio na referidasucesso.

E como podemos chegar aotermo geral de uma progresso geo-mtrica?

Observando a definio de pro-gresso geomtrica, temos:

Assim, a frmula do termo geralde uma PG :

Na frmula,

se atribuirmos valores para n, poss-vel expressamos termos da PG emfuno do 1 termo a1 e da razo q:

Exemplo 1:

Obtenha a frmula do termogeral da PG (2; 4; 8; ...):

Resoluo:

Exemplo 2:

Resoluo:

Exemplo 3:

Obtenha o 1 termo de uma PGem que a20 = 2 048 e q = 2:

Resoluo:

Exemplo 4:

Qual o nmero de termos da

Resoluo:


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ANOTAES

Observao:E possvel relacionar dois ter-

mos intermedirios de uma PG em

funo da razo. Observe:

TESTES

1. (UFRGS) Numa PG limitada com 5termos, o ltimo e a razo

O primeiro termo :

2. Numa progresso geomtrica, o pri-meiro termo 2 e a razo 3. Qual o stimo termo da PG?

a) 729 b) 1 300 c) 1 400d)1 458 e)1 500

3. (CEFET PR) A razo q de umaprogresso geomtrica de 4 termos,

cujo primeiro termo e o ltimo

vale:

4. (CESCEM SP) Trs nmeros iguaisconstituem:

a) uma PA de razo 1

b) uma PG de razo 0

c) uma PA de razo 0e uma PG de razo 1

d) uma PA e PG de razes iguais

e) nem PA nem PG

5. (MACK SP) Se o oitavo termo de

uma progresso geomtrica e a

razo o primeiro termo desasaprogresso :

6. (PUC PR) Se a razo de uma PG maior que 1 e o primeiro termo ne-gativo, a PG chamada:

a) decrescente;

b) crescente;

c) constante;

d) alternante;

e) no decrescente.

7. (MACK SP) O terceiro termo deuma progresso geomtrica de termospositivos

Sabendo-se que o stimo termo arazo da progresso :


16/28



ANOTAES8. (CESCEA SP) Se

for-mam nesta ordem uma PG, ento os

valores de a1 e a8 so respectivamente:

9. (UFRGS) O primeiro termo de umaprogresso geomtrica em que a3 = 1e a5 = 9 :

10 . (CESGRANRIO RJ) Desde1992, certo instituto de pesquisa vemmonitorando, no incio de cada ano, ocrescimento populacional de uma pe-quena cidade do interior do estado.Os itens a seguir mostram o resultadodos trs primeiros anos, em milharesde habitantes:

I. Ano de 1992, populao (em milhares)= 25,6.

II. Ano de 1993, populao (em milhares)= 38,4.

III. Ano de 1994, populao (em milhares)= 57,6.

Mantendo-se esta mesma progresso decrescimento, o nmero de habitantes des-sa cidade, no incio do ano 2000, em mi-lhares, ser, aproximadamente, de:

a) 204 b) 384 c) 576d) 656 e) 728

11 . (UFBA) Numa progresso geo-mtrica, o primeiro termo igual a 7500 e o quarto termo igual a 20% doterceiro. Determine o quinto termoda progresso.

12 . (UFRN) Se numa progresso ge-omtrica a soma do terceiro com oquinto termo vale 90 e a soma doquarto com o sexto vale 270, ento arazo igual a:

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 713 . (FATEC SP) Se, em uma pro-

gresso geomtrica, x o primeirotermo, y o termo de ordem 2n + 1,e z o termo de ordem 3n + 1, ento verdade que:

a) z3 = yx2 b) x3 = yz2 c) x3= zy2d) y3 = xz2 e) y3 = zx2

14. (UNICAMP SP) Considere umaprogresso geomtrica de termos nonulos, na qual cada termo, a partir doterceiro, igual soma dos dois ter-mos imediatamente anteriores.

a)

Calcule os dois valores possveis pararazo q dessa progresso.

b) Supondo que o primeiro termo seja

calcule a soma dostrs primeiros termos dessa progres-so.

15. (FUVESTE SP) A seqencia an uma PA. estritamente crescente, determos positivos. Ento, a seqencia

uma

a) P.G. crescente.

b) P.A. crescente.

c) P.G. decrescente

d) P.A. decrescente

e) seqencia que no uma P.A. e no uma P.G

16. (CESGRANRIO RJ) O nmerode assinantes um jornal de grande

circulao no estado aumentou, qua-tro primeiros meses do ano, em pro-gresso geomtrica, segundo os dadosde uma pesquisa constante tabela aseguir:

Ms janeiro fevereiro maro abril

Nmero deassinantes 5 000 ------- 6 050 --------

Em relao ao ms de fevereiro, o nmerode assinantes desse jornal no ms de abrilteve um aumento de:

a)1 600 b)1 510 c)1 155

d)1 150 e) 1 050

17. (FUVEST SP) Seja (an) umaprogresso geomtrica de primeirotermo a1 = 1 e razo q

2 onde q umnmero inteiro maior que 1. Se-


17/28



ANOTAESja (bn) uma progresso geomtrica cu-ja razo q. Sabe-se que a11 = b17.

Neste caso:

a) Determine o primeiro termo b1 emfuno de q.

b)Existe algum valor de n para o qual an= bn?

c) Que condio n e x devem satisfazerpara que an = bx?

18. (UFPE) Suponha que o preo deum automvel se desvalorize 10% aoano nos seus cinco primeiros anos deuso. Se esse automvel novo custouR$ 10 000,00 qual ser o seu valor emreais aps os cinco anos de uso?

a) 5500,00 b) 5804,00 c) 6204,30d) 5904,90 e) 5745,20

19. (UFPR) Considere as progres-ses geomtricas nas quais an indica on-simo termo, sendo a3 = 8 e a5 = 32. correto afirmar:

01) a razo de cada uma dessas progres-ses 4.

02) todos os termos dessas progressesso necessariamente positivos.

04) o primeiro termo de cada uma dessasprogresses 1.

08) se i > 0 a razo de uma das progres-ses geomtricas, os nmeros logi a1,logi, a3, logi a5 formam, nesta ordem,

uma progresso aritmtica.

20. (UFPE) Em certa cidade, a po-pulao de ratos 20 vezes a popula-o humana. Supondo que ambas aspopulaes crescem em progressogeomtrica, onde a populao huma-na dobra a cada 20 anos e a de ratosa cada ano, quantos ratos haver porhabitante dentro de 20 anos?

a) 10 . 220 b)10 . 219 c) 20 . 220d) 40 . 220 e) 20 . 218

GABARITO

5.Progresses Geomtrica II

5.1.Propriedades de uma PG

Existem trs propriedades emuma progresso geomtrica cujo co-nhecimento pode facilitar a resoluode questes envolvendo essa seqn-cia.

5.1.1. 1 propriedade

Numa progresso geomtrica,cada um de seus termos, com exceodos seus extremos, (em mdulo) amdia geomtrica entre os termos an-terior e posterior.

Assim,

Observe como podemos facil-mente obter esta ltima relao, en-volvendo os termos consecutivos ak 1,ak e ak + 1 de uma PG:


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ANOTAESLogo,

Sendo (..., a; b; c; ...) uma progres-so geomtrica ento:

Exemplo:


Numa progresso geomtricafinita, o produto de dois termos eqi-distantes dos extremos igual aoproduto dos extremos.

Exemplo:

Observe, no exemplo, que oproduto dos extremo igual a - 512, ou

seja,-1 . 512 = - 512

Da mesma forma, dois termoseqidistantes desses extremos tmmesmo valor para o produto:

Vamos, agora, fazer uma verifi-cao, considerando a seguinte pro-gresso aritmtica de n termos:

Vamos considerar que os termosap e ar sejam eqidistantes dos extre-mos, ou seja.

Ento:

Multiplicando essas duas igual-dades, membro a membro, obtemos:


Numa progresso geomtrica denmero mpar de termos, o termomdio (em mdulo) a mdia geom-trica dos extremos.

Exemplo:

Agora, considere uma PG com ntermos (n mpar) e ak sendo o termocentral:

Conforme a 1 propriedade


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ANOTAES

Sendo ap e ar termos eqidis-tantes dos extremos (2 propriedade)

5.2.Artifcio em uma PG

Assim como ocorreu em pro-gresso aritmtica, tambm em pro-gresso geomtrica utiliza-se um arti-fcio:

Quando trs termos consecuti-vos de uma PG so desconhecidos,podemos utilizar a seguinte notao

para eles: na qual x o

termo central e q a razo da PG.

Exemplo:A soma de trs nmeros reais

14 e o seu produto 64. Calcule essesnmeros, sabendo que eles so ter-mos consecutivos de uma PG.

Resoluo:

TESTES

1. O valor de x progresso geomtrica(2, x, 8) pode ser:

a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 7

2. (PUC SP) Se a seqncia (4x, 2x +

1, x - 1) uma PG, ento o valor de x:

3. (CESGRANRIO RJ) As medidas dosngulos internos de um tringulo es-to em PG de razo 2. Ento, a somadesses ngulos :

a) 72 b) 90 c) 270

d) 180 e) 360

4. Numa progresso geomtrica comnmero mpar de termos, sabe-se queo produto dos extremos igual a 64.Ento, o termo central dessa PG vale:

a) 6 ou -6 b) 8 ou -8 c) 12 ou -12d) 16 ou -16 e) 32 ou -32

5. (UFPA) Numa PG de nmero mparde termos, cujo termo central a,o produto do primeiro pelo ltimotermo :

6. (CESCEA SP) Calculando-se x de

modo que a sucessocom a 0, seja uma PG, o primeirotermo ser:

7. (CESGRANRIO RJ) Se x e y so po-sitivos e x, xy e 3x esto, nesta or-dem, em progresso geomtrica, en-to o valor de y :


20/28



ANOTAES8. (UFAL) Se o nmero 111 for dividido

em trs partes, que constituem umaPG de razo

a menor dessas partes ser:

a) 12 b) 16 c) 18d) 21 e) 27

9. (UFPR) Somando-se um mesmo n-mero aos nmeros 5, 7, 6, nesta or-dem, obtm-se uma progresso geo-mtrica. O nmero somado :

10 . (ITA SP) Suponha que os n-meros 2, x, y e 1 458 esto, nesta or-dem, em progresso geomtrica. Des-se modo, o valor de x + y :

a) 90 b) 100 c) 180d) 360 e) 1 460

11 . (UEL PR) A seqncia (x, 6 +x, x + 30) uma progresso geomtri-ca. Nestas condies o quinto termode progresso aritmtica de 1 termo3x e razo (x + 2) :

a) 6 b) 10 c) 14d) 18 e) 22

12 . (MACK SP) A soma de 3 n-meros em PG crescente 26 e o ter-mo do meio 6. O maior desses n-meros dado por:

a) 36 b) 18 c) 24d) 12 e) 10

13 . (UFPR)Se log e2x - 1 , log2x + 1 eloge5x + 4 so termos em progressogeomtrica, ento os valores de xso:

14 . (UFSC) A soma dos trs nme-ros em progresso aritmtica crescen-te 12. Se somarmos 2 ao terceiroter mo, a nova seqncia constituiuma progresso geomtrica. Calcule oproduto dos trs termos da progres-so geomtrica.

15. (FUVEST SP) Os nmeros

so nessa or-dem, os trs primeiros termos de umaprogresso geomtrica. Calcule:

a) o 1 termo x; b) o 5 termo.

16. (FGV SP) Em um tringulo, amedida da base, a medida da altura ea medida da rea formam, nessa or-dem, uma PG de razo 8. Ento, amedida da base vale:

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

17. (VUNESP SP) A seqncia denmeros reais a, b, c, d forma, nessaordem, uma progresso aritmtica cu-ja soma dos termos 110; a seqn-cia de nmeros reais a, b, e, f forma,nessa ordem, uma progresso geom-trica de razo 2. A soma d + f igual

a:a) 96 b) 102 c) 120d) 132 e) 142

18. (UNIRIO RJ) O nmero quedeve ser subtrado de 1, de 11/8 e de31/16 para que os resultados formemuma PG, nessa mesma ordem, :

a)2 b) 1/2 c) 1/4d) 1/8 e) 1/16

19. (MACK SP) Na seqncia ge-omtrica (x2, x, logx), de razo q, x

um nmero real e positivo. Ento, logq vale:

20. (UFSC) Sabendo que a seqn-cia (1 - 3x, x - 2, 2x + 1) uma PA eque a seqncia (4y, 2y - 1, y + 1) uma PG, determine a soma dos nme-ros associados (s) proposio(es)verdadeira(s):


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ANOTAESGABARITO

6.Progresso Geomtrica- III

6.1.Produto dos Termos de umaPG

Vamos determinar o produtodos termos da progresso geomtrica

Sendo P8 o produto desses oitotermos, temos:

Assim, o produto dos termosde uma PG pode ser determinado co-nhecendo-se o nmero de termos daPG e os seus dois extremos.Vamos deduzir uma frmula para cal-cularmos o produto Pn dos n termosde uma progresso geomtrica.

Multiplicando membro a mem-bro (1) e (2)

Como o produto de dois termoseqidistantes dos extremos igual aoproduto dos extremos,

A escolha do sinal de Pn deveser feita, conforme o caso, de acordocom:

Exemplo:Obtenha o produto dos termos

da progresso geomtrica

Resoluo:

Existem 4 termos negativos e 5termos positivos, logo o produto po-sitivo, ou seja:


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ANOTAES

TESTES

1. (UNIFENAS MG) Inserindo quatromeios geomtricos entre 1 e 243, a

soma desses quatro termos inseridosvale:

a) 100 b) 130 c) 220d)120 e)150

2. (MACK SP) O sexto termo de umaprogresso geomtrica na qual doismeios geomtricos esto inseridos en-tre a1 = 3 e a4 = - 24, tomados nestaordem, :

a) -48 b) -96 c) 48d) 96 e) 192

3. O produto dos 7 primeiros termos daPG (1, 2, 4, ...) igual a:

a) 215 b) 219 c) 220d) 221 e) 223

4. (PUC SP) Se o produto dos cincoprimeiros termos de uma PG de ter-mos positivos 243, ento o terceirotermo :

5. (FATEC SP) O produto dos dezprimeiros termos da progresso

:

6. (UEPG PR) Inserindo quatro meiosgeomtrico entre K e 3 125, obtemosuma PG crescente de razo 5. Qual ovalor de K?

a) 5 b) 15 c) 20d) 25 e) 1

7. (UFSM RS) Os nmeros

so, nessa ordem, ostrs primeiros termos de uma pro-gresso geomtrica. Ento, o primeirotermo e o produto dos quatro primei-ros termos so, respectivamente:

8. (UEL PR) lnterpolando-se 5 n-meros entre e obteve-seuma progresso geomtrica de 7 ter-

mos positivos. O segundo termo dessaprogresso :

9. (CEFET PR) O produto dos quatroprimeiros termos da progresso geo-mtrica cujos elementos verificam asrelaes:

a) 120 b) 84 c) 104d) 64 e) 92

10. (FUVEST SP) Uma progressogeomtrica tem primeiro termo igual

a 1 e razo igual a Se o produtodos termos dessa progresso 239 en-to o nmero de termos igual a:

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

11. (CEFET PR) lnterpolando-se100 meios geomtricos entre a e3303 . a, obtemos umaPROGRESSAO GEOMETRICA cujo3termo :

a) 27 a b) 81 a c) 729 a2d) 729 a e) 27 a2

12. (ITA SP) O produto dos ter-mos da seguinte

PG

13. (UECE) Seja (t1, t2, t3, t4, t5)uma progresso geomtrica de termospositivos. Se


23/28



ANOTAESt1 . t2 . t3 . t4 . t5) = 6

10, ento (t3 +4) / (t3 4) igual a:

a) 5/4 b) 3/2 c) 7/4d) 2 e) 3

14. (MACK SP) Dados os nmerosreais a, b, c e d, se (a, c, d) uma

progresso aritmtica cuja soma dostermos e (a, b, d) uma progres-so geomtrica cujo produto dos ter-mos 8, ento, sabendo que a < d:

15. (CESGRAN RIO RJ) Considereuma progresso geomtrica de 5 ter-mos e razo positiva, onde a soma doprimeiro com o terceiro termo 9/2e o produto de seus termos 1 024. Oproduto dos trs termos iniciais dessa

progresso igual a:

16. (UFRJ) Uma progresso geom-trica de 8 termos tem primeiro termoigual a 10. O logaritmo decimal doproduto de seus termos vale 36. Achea razo da progresso.

17. (MACK SP) Seja a seqnciageomtrica de n termos positivos,que se obtm inserindo-se k meios

geomtricos entre 1/2 e 8. Se o pro-duto de todos os termos 32, ento nvale:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

18. (MAPOFEI SP)

a) Calcular a soma

b)Qual o valor de a se S = n + 1?

19. (FUVEST SP) Suponha que a1;a2; ... a20 sejam nmeros reais positi-vos em progresso geomtrica. Sabe-

se queCalcule:

20. (FAMECA SP) Calcular os ex-tremos de uma progresso geomtrica

com 4 termos na qual o produto dostermos 1010 e a razo, 10:

GABARITO

7.Progresso Geomtrica- IV

7.1.Soma dos Termos de uma PG

Existe uma lenda, extremamen-te curiosa, sobre a origem do jogo dexadrez. O rei, maravilhado pelo jogode xadrez, resolveu recompensar seuinventor. Este, diante da bondade deseu rei, pediu como pagamento, grosde trigo:

um gro de trigo pela primeiracasa;

dois gros pela segunda;

quatro gros pela terceira;

oito gros pela quarta;

e assim, sucessivamente, dobrando aquantidade at a 64 casa do tabulei-ro.


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ANOTAES

Como calcular a quantidade to-tal de gros de trigo necessrios para

recompensar o inventor do jogo dexadrez?

Logo, a quantidade total degros de trigo o resulta do da se-guinte soma.

Multiplicando (1) por dois, ob-temos:

Fazendo (2) menos (1)

Curiosidade:O rei ficou assustado quando

soube que no havia em seu reinoquantidade suficiente de gros de tri-go para cumprir a promessa de re-compensa. claro que inventor do jo-go de xadrez estava brincando com orei pois abriu mo, ao final, da re-

compensa.Vamos agora obter a frmula

que permite calcular soma dos termosde uma PG limitada.

Consideremos Sn a seguinte soma:

Multiplicando (1) por q, membro amembro.

Isolando Sn, resulta:

Esta relao permite obter asoma das termos de uma PG conhe-

cendo-se o primeiro termo, a razo eo ltimo termo.

Observaes:(1) Quando q = 1, a PG estacionria

e Sn dada por:

(2) Substituindo-se a por an por a1qn - 1

obtm-se:

Exemplo:Calcule a soma dos termos da

PG: (2; 6; 18; ..., 1458)

7.2.Limite da Soma dos Termosde uma PG

Considere a seqncia de figu-ras e as reas coloridas, iniciando porum quadrado de rea 1.


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ANOTAES

Qual ser a soma de todas asreas coloridas da seqncia?

Observe que a seqncia umaprogresso geomtrica no limitada,ou seja, existem infinitos termos.

Assim, temos de calcular a se-guinte soma

Podemos, entretanto, obter in-tuitivamente um valor correspondente tendncia da soma resultante quan-

do o nmero de termos tende ao infi-nito.

Observe que:

A soma Sn quando n tende aoinfinito, est tendendo para 2.

Outra observao importante a de que medida que aumentamos aquantidade de termos de tal suces-so, o termo a se aproxima de zero.

Podemos, ento, concluir que:Numa progresso geomtrica

infinita e decrescente, o limite dasoma dos termos pode ser obtido fa-zendo an = 0

Assim:

Fazendo an = 0 teremos o limiteS da soma dos termos:

ou seja

Exemplo: Considerando

ento:


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ANOTAES

TESTES1. (UFPA) A soma da srie infinita

:

2. (UNICRUZ RS) Numa progressogeomtrica decrescente ilimitada o 1

termo 5 e a soma O 2 ter-mo da progresso :

a) 1/2 b) 3/5 c) 2d) 1 e) 4/5

3. (UNIFENAS MG) Consideremos a

equaona qual o primeiro membro a somados termos de uma PG infinita. Ento,o valor de x :

a) 24 b) 16 c) 32d) 12 e) 8

4. (UNITAU SP) A soma dos termosda seqncia (1/2; 1/3; 2/9; 4/27;...) :

a) 15 x 10-1b) b) -3 x 10-1c) c) 15 x 10-2d) d) 5 x 10-1e) e) 5 x 10-1

5. (UFCE) A soluo da equao

:

a) 37 b) 40 c) 44d) 50 e) 51

6. Numa PG conhecemos S8 = 1 530 e q=2. Ento a1 e a5 valem respectiva-mente:

a) 11 e 81 b) 4 e 94 c) 2 e 92d) 6 e 96 e) 5 e 95

7. (UNIMAR SP) Dada a equao

eento IxI vale:

8. (UFP RS) O lado de um quadradomede l unidades de comprimento.Unindo-se os pontos mdios dos ladosopostos, obtm-se quatro novos qua-drados. Se procedermos assim suces-sivamente, obteremos novos quadra-dos cada vez menores, conforme a fi-gura abaixo, que mostra parte de umaseqncia infinita. Determine a somados permetros de todos os quadradoshachurados dessa seqncia.

9. (CEFET PR) Considere (a1, a2, a3,a4, a5) uma PG na qual a soma do 2termo com o 4 termo 1 e a somado 3 com o 5 termo 3. A soma detodos os seus termos ser:

10. (F. C. CHAGAS) Seja onde pe q so primos entre si, sendo a gera-triz da dzima 0,1252525... O valor dep + q :

a) 48 b) 557 c) 128d) 64 e) 96

11.

(FEl SP) Dada a progressogeomtrica 1, 3, 9, 27, ... se a suasoma 3 280, ento ela apresenta:


27/28



ANOTAESa) 9 termos;

b) 8 termos;

c) 7 termos;

d) 6 termos;

e) 5 termos.

12. Observe a seqncia abaixo:

O valor da soma S :

13. (UnB DF) Conta uma lendaque o rei de certo pas ficou to im-pressionado ao conhecer o jogo dexadrez; que quis recompensar seu in-ventor, dando-lhe qualquer coisa queele pedisse. O inventor, ento, disseao rei D-me simplesmente 1 grode trigo pela primeira casa do tabu-leiro, 2 gros pela segunda casa, 4gros pela terceira, 8 gros pelaquarta e assim, sucessivamente at a64 casa do tabuleiro. O rei conside-rou o pedido bastante simples e orde-

nou que fosse cumprido.

Supondo que um gro de trigo tem massaigual a 0,05 g e que a produo mundialde trigo em 1997 foi de 560 milhes detoneladas, julgue os itens abaixo:

1) O nmero de gros de trigo devido aoinventor apenas pela 11 casa do tabu-leiro menor que 1 000.

2) At a 30 casa, seriam devidas ao in-ventor mais de 50 toneladas de gros.

3) A quantidade de trigo devida apenaspela 31 casa corresponde quantida-de recebida at a 30 casa acrescidade um gro.

4) Seriam necessrias mais de 1 000 ve-zes a produo mundial de trigo de1997 para recompensar o inventor.

14. (UFRGS) Na seqncia de figu-ras, cada quadrado tem 1 cm2 de -rea. Supondo que as figuras continu-em evoluindo no mesmo padro aquiencontrado, a rea da figura 20 tervalor:

a) entre 0 e 1 000

b) entre 1 000 e 10 000

c) entre 10 000 e 50 000

d) entre 50 000 e 100 000

e)maior que 100 000

15. (UFES) Para que a soma n pri-meiros termos da Progresso Geom-trica 3, 6, 12, 24, .seja um nmerocompreendido entre 50.000 e100.000, deveremos tomar n igual a

a) 16 b) 15 c) 14d) 13 e) 12

16. (UFSC) Se n um nmero natu-ral e x = 2n a soma dos divisores de x:

17. (UEL PR) A dzima peridica1,010101 ... pode ser representadapor

18. (UFPR) No tringulo retnguloDA1C da figura, as medidas dos cate-tos A1D e A1C so 8 e 16, respectiva-mente. formada uma seqncia in-

finita de pontos A1, A2 ...,An... sendo que para cada ninteiro


28/28


ANOTAESpositivo, An+1 o ponto mdio dosegmento AnC e Bn o ponto de inter-seo do lado DC com a perpendicularao lado A1C pelo ponto An + 1. Calcu-le a soma das medidas dos segmentosA1B1, A2B2, ..., AnBn, ...

19 . (UEL PR) Os divisores positi-vos do nmero 310 (so 3, 31, 32 etc.A soma de todos esses divisores :

20 . ( RS) O valor de

:

GABARITO

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