12

maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

� � � � � �

� � � � � � �������� ������� ���� "!$#&%')(+*-,/.103254/68719 :;91<>=@?$(BA/6DCFE�GIHKJMLNHPORQTSVU1QD(XW/CFE32168Y1ZIG\[F]$6�^`_\ab S$cdQfe1gih/UDj k :mln=poq:srutBln=vHwJyx1lzH{O :}|{~�lX~�r�=

c\�1?���G����3�X�5�dQ8SVU�7/9 :�9/<>=�6 b/� g/��UTj7/9>6X�1��?�c��1gT�/<>g/��U\e>(B�X9$6X�/��?8���>�X�5��a1�F���D�/9/�>� b/� e��/�`a/��U8j 3¡ (X¢¤£/¥36d¦>G\§�¨`(`c���G©���>�X�5�X6ª*p,/«/¬/­�g b/� S3U1®�6VQXS3U8j�c¯6VQ/hT(�¢°:m�±=?T[/]36�^`_©a bB² UDj³ :´ln=µo>¶¸·Mlz¹ºx1»¼·½lz¾yxF¿À·½l{x1Á· :}|Ã~>l¯~�rÄ=

c¯61�X9`?ªÅÇÆd6¯���`�X�F�V¶¸·ÂLÀ»À·ÂLÀ¿À·¸LÀÁÈ·ÉG\Ê/Ë>SVUBcdQ�ai^/Ì©�8Ê ¡ U�e�(TAÍ6dÎdÏÍad?ª¢Ð:m�±=Ña�1���DÒ1ÓÔÅÉÆ/68Õ/Ö/×/Ø5eÍÙ>¨�Ú\�`�/ÛÍ�BÜ���Ú¯�   j  3¡ (TÅÇÆ/68Õ/Ö/×/Ø :;Ý/Þ/×/Ø>=ßQ+���5(�X9�6XC/E5a5à�Û�U�áâ:;Y/Z>= ³ :m|)=ÀL ³ :vrÄ=pQ©C/E5aFàÍÛ�U�ãdä/åæ:;ç�è8�¯9�6/éVh�= ³zê :m|)=ÀL ³ëê :sr�=ìeÍÙ>¨$ÚÎVQ8S3U/QT($c¯6F�X936X���$�8�F��e�Ê ¡ U1cdQ�a1��UTjí ¨TÜ�( ³ :}|¸=ßo ³ JML ³ :sr�=ßo ³ OîL ³ ê :}|¸=µo3ïPJ½L ³ ê :vrÄ=µo>ï\OpG�Ý/Þ/×/Ø�QXSVU/QD(³ :}|¸= o Á· o ³ J³ :sr�= o ¶Â·Rx5»ð·RxF¿À·¤x1Á· o ³ O³ëê :m|)=�o ¿¼· o ï{J³ ê :vrÄ=�o *ñ¶Â·Rx`'Ä»¼·RxF¿À· o ï�O

:sr�=

Q¯�óòw(�ÅuÆ/6X���$�8�5��?�cX6T9/�/ô/õ/­�G\ö   �T÷�U/cBQfe1gøhdUTj 3¡ (¯���>�X�5�ÍGXùøú�ûRüþýIoI:}¶Â·¸Lð»À·¸Lð¿À·¸LÀÁ·�= ÿº( � oI:ml ¹ L l ¾ LðlÐL rÄ= ÿ�Q b S$QT(³ :ml@=µo � ÿ ý : 'Â=

Q b SVcdQfe1gih/UDjXô/õ/­þ:vrÄ=±?�(���� b/� G��   UdQ�| | | rr r r r| | r |* ' r |

� ������¶Â·»À·¿À·Áñ·� ����� o

�³ J³ Oï{Jï�O� ����� o���������� :}*¸=

Q¯�3U8j5cdc�a�����������?`�X9>6XÝ/Þd×/ØiG b SXå/áiG©����Q8S3U$Åp,/.>ù�ú�û�üVg/�VU8jFc¯6Xô/õ­øG�ö���QT(¯���>�8�F��ýª?>( ý�o�� �"!$#&%(' � ��������� :mÅ)=

r

Page 2: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

Q b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a � �"!$#&%(' � ?&Å � Å ���$g1�óò (  3¡ 68�/�������Ía/?æ:�ô/õ/­368ä1å���>6���� ��G$Ï�UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf�øUTj� �"!$#(%&' � o

�' t ' r rt * * t ' t r| | r |r | | |

� �����

: 'Â= :mÅ)=�^Vòw(X[/]5e�÷�Ú\��UTj³ :´ln=µo � ÿ � �"!$#&%(' � ��������� :��ñ=

���� ������� ��������� 3¡ (Í�891e������+�/Û��BÜ���Ú¯�   E :! �"/E>=ìe ' xPr$#/Ù$¨VÚ\�`Î�®¯6VQT�d(&%dE32d61�X9øG�q���¯�F��6 *y,/«d¬d­`g b1� S3UÍcdQÍG©§>¨VUXj í ¨TÜ$(8�3U' ("dE ' E32B6/�X9iG©[/]>6d�8åæ:}*,/«/¬/­>=zg*)�+VS3UF®�6VQXSVUTj

³ :´ln=�o ¶Â·½l ¹ xF»ð·Ml ¾ xF¿À·MlPxFÁñ·, :´ln= o ¶.-îl ¹ x1»/-îl ¾ xF¿0- l{x1Á.-1 :mln= o ¶32ðl ¹ x5»02Àl ¾ x1¿42ÀlPx1Á52

�"/EqGøH76�:98�oi|ìL;:<:=: L?>°=-QTà ��QD(@%� �"/EV2/6BAd28å$? ' gF� òw($cX6 ' #36BAd216(C5ÆDCÆ>GFE�G36 *ß,/«/¬/­>g b/� S3U/cdQfaF��UDj/��ÎÍeIÌf�5(&H��qQT�T��Å ' #36X���3�X�5�ÍG\Ê/ËVSU/^5_©a+Ý/Þ/×/Ø�GI/Ë����dÛB�dÜ��3Ú8�   j 3¡ (XÝ/Þ/×/Ø�Q8����(Í'y,368ã/ä/å ¡ gF6(CKJ :;C/E36� �"/E�Q¯6�CKJ�((L@M$S3U�AX<368«1¬/­6 r ,�(Í'y,/ã/ä/å$6(CKJ>=pGNVS3QXSVUTjÝ/Þ36BOXE :!P3��U©«/¬F­$6TÝ/Þ�aRQTS/SVU�E>=@a�à   �/?�($cX6DE$gUL�MVSVUI'uÆ/6T«/¬/­V6Dáe* �"/EqQVCKJ3S3U¯ÎdÏ/68×/Ø/­"'W#�Q8(�L�M3S3U�«/¬d­>6Vc¯68E�aFàBÛ�Uqr°,3(�'º,/ã/ä/å>6�CKJ×/Ø�'X#368��YÔÅZ#$6D×/Ø`e�÷IÚf��UTjcX6i^`_\�BO8E36Tå�? '\[ rW#>gF��U^]�Ú�($cX6K_1<�a`àBÛ�U©Ý/Þ/×FØ36@`/å�?&Å '\[ Åa#�Q¯��UDjF�Î+eøÌ©�F(�WdCdEFaFà�Û�U' ("dE�Q¯6�CKJd×dØ 'b#�Gdc�¨d��®P�q���X�F��G©Ê/Ë$S3U�ÎdÏ/6X�/<`�DÝÞ/×BØFe+÷IÚ\�fe/(D�$Q�'¤Æ8×/ØiGFc`¨�U��d�FeF�VUdcBQ�e�<g]�UDj ¡ Î1(Fc¯68ô/­>6X�/�$(@hD�U]C1Æd6� f"/E`eRi�jVS3UdQ8A/6�k�l�?`�X9�H���a*mon5j����� prqtsvu�w�xyq{z�| �"1EV6Ki�j�e>�89fHB��aRmTn/63GR}o~8Î1Ï/a/?>(�%TAX<F«1¬1­IG�B���d�R�i�5�86F¦�]�Ú�Ê/ËS>UdcdQ\e+�/�`a/�VUDj1c¯6dÎdÏÍa`( ("dE H�6ÇQ�H76?�@On2/6/�X9&H\:ml@=yG�(\,�6�^F_��8Ý/Þd×dØU]�ÚÊ/ËVS3UdcdQBG\§>¨�UDj H\:}|¸= o H�6H\:sr�= o H�6?�@OH ê :}|¸=�o � 6H ê :sr�=�o � 6?�@O

:9�¸=

'

Page 3: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

c/cfa`(R�6y?&H76ya�à�ÛiU�ã/ä/åIG�Ê/ËVS3U�á$g/�óò��>����e��/Ë�S3U��/�$6/��U��>g/��UDj�X9 H\:´ln=\m��A/6Dã/<>?T[/]36�^`_©a/�iUH\:ml@=ßo�Ñl ¹ x�ºl ¾ x� ÂlPx��

H�:mln=µoI:� � �P=�l ¹l ¾l r� �����

H ê :ml@=µoI:� � �{=�*ñl ¾'Älr|� �����

:��ñ=��ÎBeIÌ��F(5:9�¸=z?+[/]36�^`_������ CT,/ô/õ/­>g b�� ��U8j

:ÈH76 H�6?�@O �6 �^6 �@Oë=-o�:� � �{=�| r | *| r | '| r r rr r | |

� ����� :��¸=

��ÎBeIÌ��F(¯���>�X�5�f?+[/]36�^`_©a/��UDj:� � �{=�o :ÈH76 H76?�@O � 6 � 60�@Oë=

�| r | *| r | '| r r rr r | |

� ������ O

o :ÈH76 H76?�@O � 6 � 60�@Oë=�' t * | rt ' * | |r t ' r |r t r | |

� �����

o :ÈH76 H76?�@O � 6 � 60�@Oë= ���

:��¸=

k k+1

P

Pk

k+1

r"! f"/E*

Page 4: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

: �)=-^Vòw(�A8<V�X9�?D[/]36�^�_�a b S3cdQfe1gøhdUDjH\:ml@= o :� � �Ã=

�l ¹l ¾l r� �����

o :ÈH76 H76 �@O � 6 � 60�@Oë= � ��l ¹l ¾l r� �����

o H76 � JÄ:ml@=�xFH�6?�@O � O½:´ln=�xf� 6 � ¾ :´ln=�xf� 6?�@O � ¹ :´ln=

:sr½|)=

c/cfa`(� J¤o�'Äl ¹ t/*Èl ¾ x$rñL � Oµoit '�l ¹ x1*ñl ¾ L � ¾ o$l ¹ tF'�l ¾ x1lÐL � ¹ o$l ¹ tBl ¾g/��UTj$c\��Ú86F�8å�?������&�����Í�8å�Q �TÜ/�IUTj

����� ��� s���w������ � �������� ��� � %�� ���! �#"$�¯?K �"dE>6 k�l1e*H��5aKm/Ü`�   Q   _&%dEiG('3S3U�e`(\ÝdÞB×dØ�QD�+�K%/EaFà+Û�U�ãdädåiG �/Ë3�+�BÛ��BÜ5�VÚ¯�   jXA3c�g`(¯�3U' �"dE5aFà�ÛVU*)�hq:vr�,/ãdädå>=°GKL�M$SU' �"/E>6D£/¥ ]�ÚF3ÏVU1cBQBG\§$¨�UTj+-, �/. %&' , # � �0"$�Da`à   �1?�(B�VU �"1E$a5àdÛiU�«/¬F­V6Dã1ä1å$?UL@MVS�UøÅ Æ/6K f"FE36ág]�Ú©[1]$6�^`_©a+Ê/Ë � ��UDjH�:}|)=µo>H�6ñLuH\:sr�=µo>H76?�@OîLuH ê :m|)=µo r' :vrut21 = :mH76 �@OptBH76 � O =ÀLÇH ê :vrÄ=ßo r' :srut21ð= :mH�6?� ¾ tBH�6½= :srñrÄ=

c/cfa � ?435�6879�����$�X�5�ª: � � '$� % � ' ! , � , � � � ��� =ßQ:�DÜ/�qUÃ���>�8�5��g1��UDjc���G ��� b GVS3UdQ©[/]36�^5_©a1��UDjH\:ml@=µoq:ÄH76 � O H�6 H�6?�@O H�60� ¾ = ��;

�l ¹l ¾l r� ����� :sr�'Â=

< �/(�#;po

�t>= '?= t>= |' t4= =Çtd* | r=utF' * t1'?= = |= t>= | |

� �����

=Éoq:vrut21 =�@¸'�gF��U8jc���Ú86T­ª^VòK(!�����&�A"$��B�8åCBED�F 6):ml@=pG �   Î8[/]36 b/� e�÷IÚf��UDjH\:´ln=�o H76 � O½:vt>= l ¹ x`'G=½l ¾ tH= ln=nx1H�6JIì: ' tH=�=vl ¹ x�:K=utd*¸=sl ¾ x$rMLxNH76?�@ONIì:O=utF'Â=vl ¹ xV:}* t1'?=�=vl ¾ x4=½lPL¤x1H760� ¾ IG= l ¹ tH= l ¾ L

o H76 � O/BED�F J�:mln=nxFH�6QBRDSFwO½:mln=nx1H76?�@O/BRDSF ¾ :ml@=Ðx1H76 � ¾ BTDSF ¹ :ml@=:sr½*)=

Å

Page 5: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

� � �������� ��� ��� � �q��bw qbs ��������� ���������' xPr #36 �"/E H�6�:98©o3| L;:=:<:?>°=ÑeÍÙ�¨VÚ��5Î�®¯63QT�B( ���:�V� � �#Í�8å��v6¸:ml@=yG�ä/åIQD�+Îc\��Ú86K �"/E$6D9/���/�>g b�� ��UF^F_��1�X9IG�§$¨�UTj

H\:ml@=ßo ��6! ÑJ � 6Â:ml@=sH76c¯6�Q/hT( %( �"/E5e#"�CTôVé�a$6�$qû>:&%���'�(>=°�BÎ3Ú+(d�X9 H\:´ln=-®)"�* �,+/Û$6-$�û3:&%��'�(>=nSVUX6�e/.10$g/��UTj$c¯68��2IG433Î/S/Î/ÏBa/?�(5%���'�(��øG �+QTà ��QT(

H\:´ln=�x �To ��66 ÑJ � 6 :´ln= :mH 6 x��p=^VòK(D[/]$6 �����&�����B�8å�a5�1S3U�×/Ø :!`�7/×/Ø>=ÑeB÷qÚ��øUTj��6! ÑJ � 6¸:ml@=ßoør :sr Å =

r � oir o I�l{xV:srutBln= L � o ��6! ÑJ � B76îl 6 :vrÇtdl@= � � 6g/��UV]�Ú+( �v6):´ln=ßo � B�6 l 6 :srutBln= � � 6?�c¯6D×1Ø�G83$ÎFS3cdQfe�< ]iUDj94:��;�<>=��@?BA#C5DFEHGJI�K�LNM#O�PRQS<&=�TUTV=XW :=�;�<>=�TZY\[^]_-`^a4b#c#dNe/fhgiLj?BAlkimn]po5q�rXIs f�t#u�vxw1yzv|{#GNM#oH}�~����ht\������kH����a�b���� UB�)���X�Z� IB�����lIB����IzW :=�;�<>=�T�?5ACJ����I^[,��YH�za�b U)��8 ¢¡¤£S¥ ¦§¨V©«ª � ¨­¬X®X¯S¨±° ¦  ²¡³£\ µ´·¶¸¡N¶ � £   �º¹ £

»h» Y�o ¬¼®p¯½¨±° ¦  ²¡³£ C�W :=�;�<>=�T¿¾zÀ)L|ÁÂuNL s�ÃBÄ   W�=�T �«ÅUÆ =�< � q�ÇhÈ £�É)Ê5Ë b U ÃBÄ k�mz]Ìo8�h�,kÙ#ÍVÚ b U)� ¬X®X¯S¨±° ¦  ²¡³£½¥ ¦ÏÎ ¨ ¡ ¨   �ÑÐ ¡³£ ¦ÓÒ ¨   �ÕÔ £W :=�;�<>=�T�?5A#CH���¸I^[#�4�JÖ�×ÙØÛÚ�Ü �Ý q�Ç�ÈlI)Þ Ä ¥ ����� Äiß �Ý�à Yjá��\Ø8â U¬X®X¯S¨±° ¦  ¢¡¤£½¥ ¦ãÎ ¨ ¡ ¨   �äÐ ¡³£ ¦ºÒ ¨@å�æ Ú o

¬X®X¯S¨­° ¦  µ´ç£½¥�è ´ éJꥸ´� é�¥¸´ ¬X®X¯S¨±° ¦   � £½¥�è ´ éjê¥#ë� é8¥#ëkim U æ Ú o �4 µ´ì£í¥l� ªïî �8  � £½¥¸� ¦ ¹

Page 6: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

Ý á��,Y���� U ?5A¸C�o����   ��� £ IäÜ�IB�����/Ø)Ü���� å��� Ø r��� Y������������ Ä Ø���� U ɬX®X¯��¨±° ¦  ²¡³£ ¥ ¦ÏÎ ¨   é Р볡³£ ¡ ¨ Ò��   �äÐ ¡³£ ¦ºÒ ¨ Ò�� �! T éJꥸë î ´¬X®X¯��ªV° ¦  ¢¡¤£ ¥ Ð ë½  �äÐ ¡³£ ¦ºÒ��¬X®X¯��¦ ° ¦  ²¡³£ ¥ 뤡 ¦ºÒ��kim U æ Ú o� �  µ´ç£S¥ Ð ë¤� ª � ë³� � ¥¸ë½ ¢� � Ð � ª £ î � �   � £½¥ Ð ë¤� ¦ÓÒ�� � ë³� ¦ ¥¸ë½ ¢� ¦ Ð � ¦ÓÒ"� £Ý W :=�;�<&=�T ?5A#CH������I�# U%$�&�' Y�(*)4b U?HA,+ I % �.-����,�^I�# U�$/&0' Y1(2)|b U » É Ø43 Í Ë [J� � �5�   �º¹ £ [Ù]Ìo �8 ¢¡¤£)¥6 ¦ ¨!©«ª87 ¨  ²¡³£ � ¨ É:9 � UJ� » I É<; 7 ¨>= ´� @?�A<B�C ØEDlc S � Ä k�m U æ Ú £ 6 ¨ 7 ¨ ¥ � É �U æ Ú o �8 ²¡³£ CH����� � ¨ Ø:F�� É S3U%$�&�' YG(*)�b UB� » biC�?5AlI1H�I,-j�����#I�J�rØ�K ; rML�b U ����I�N�O�-/P »RQ ��� » É -/S�Tza�b U » É Ø:UWVj�i� UJ�W :=�;�<>=�T�?5A�X%Y,Y,o�W :=�;�<>=�T ?%Z¸CH���lI)È#kG[ Í Q b U)�

�8 ¢¡ î]\ £½¥ ^§_ ©«ª ¦§¨V©«ª � _ ¨�¬X®X¯ _ ° ^   \ £ ¬X®p¯½¨ ° ¦  ¢¡¤£   �a` £

»�» Y � _ ¨ C  !b �¸� £dc� ¢ë �¸� £ � Ife Þ�g�h�i<jxI)�����¸k�m U)�

k ml W :=�;�<>=�T�?%Z�I�n   ���i�\Ø�o�pza>q^cB����I�o�O�n £

rtsur vxw y{z|~}���|~�>���¾nÀJLNÁzu)L sxÃJÄ -�� ÞiqiÇ�ÈlkH�za4b U W :=�;�<&=�T�?)A¸C��NÜ�I)�����¸YÙ[<�|���5�za�b U)� »IB���^o   �ïÔ £ [-]¼o��|Ü�I5¾zÀJLNÁzuBL sxÃBÄ CJ����I^[,��Y�� UJ�¬X®X¯SªV° �  ²¡³£ ¥   �äÐ ¡³£ �¬X®X¯ � ° �  ²¡³£ ¥ � ¡@  �äÐ ¡³£��¬X®X¯ � ° �  ²¡³£ ¥ � ¡ �   � Ð ¡¤£¬X®X¯ �V° �  ²¡³£ ¥ ¡ �

  ��� £Ô

Page 7: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

» b^ØÛ�-� U É o e Þ W :=�;�<&=�T�?5A#CH����I^[,� Y�� UJ��4 ¢¡³£S¥¸� ª   �äÐ ¡³£ � � � � � ¡�  �ÑÐ ¡³£ � � � � � ¡ �   �äÐ ¡³£ � � � ¡ �» biC0)5c�o5���lI^[��8� ��� Ø4�-�hcB���lk)� S » É�� k ; U)�

�8 ¢¡¤£½¥/ Ó� ª ��� � � � £�����

������¡ �¡ �¡ ��������   ��� £

� Vho »�» Y����� |¥

������м� � Ð � �� Ð Ô � ´Ð � � ´ ´� ´ ´ ´

�������

k�m UJ�

 ��ç£  �� £

 �� £k � l! #"ÛInW :=�;�<&=�T ?5A $  ��ç£� �� £ �SÞ�W :=�;�<&=�T&%  �� £ ` Þ�W :=�;�<>=�T

`

Page 8: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

� ����� � � � v�s� y �����������������W :=�;�<>=�T ?5A�C�m U �h�h�#I%oRp¸I����5-�?5A! !"�Y$#&%�k,V�)��¼Öh× Ø('.VH��� UB� WJd|eÙfxgxLCJ������I�o�p�-#?5A�I*)�+-,h�*.�/#Y�V æ ���/Ø(#10ÂaN���BÖ�×/Ø4Ú-Ü�d|e/fxgiLH?5A¸k�m U)�W ß d5eÂfhgiL)Cj�i�i�-I3254#Y\[^]7658�-:9*) ]¼oN¾nÀHLNÁ g�L sxÃ)Ä ØÛ�-� U É ���-I^[¸�4Y� S » É -ik ; U)�

�8 ²¡³£S¥ ¦§¨!©«ª � ¨­¬�¨±° ;  ¢¡¤£  ¢¡=<?>A@�¶¸¡N¶¸¡B<DCFE î ¶HG4¶,ë ��� £   ´ç£»�» Y � ¨   é�¥¸´ îJIJIJIïî ë�£ Cj�����¸k�m U)�¾nÀJLNÁzuBL shÃBÄ ¬ ¨±° ;  ²¡³£ C ¡  ¢¡B<�> @·¶^¡j¶-¡=<DCFE £ +lk ��� a8b�cLK*M�qiÇ�Èlkimn]¼oON¼I �<�/ÙØ K�M�Vjc3P��  RQ � ÆTS = � Æ T £VU ¡ _JW Ø8�-�h� ��� a�b U)� P��#Y à VJ��C ¡ _ ¶l¡ _�X � -1��Y S3U �I É S3UJ� ¬�¨­° ;  ²¡³£ CR} [Z ß]\ =W m T=^5_�È ÉBÊBË b U ����IBÈ#Y [5� �$^�_-,�Y ��� a�b U)�

¬ ¨±° �  ¢¡³£í¥�è � ¡ ¨ ¶#¡�`�¡ ¨ X �´ Æba =�Tdcä< Å =¬ ¨±° ;  ²¡³£S¥ ¡ Ð ¡ ¨¡ ¨ X ; Ò�� Ð ¡ ¨ ¬ ¨±° ; Ò��  ¢¡³£ �¡ ¨ X ; Ð ¡¡ ¨ X ; Ð ¡ ¨ X � ¬�¨ X � ° ; Ò��  ¢¡¤£   � £

uk

uk+1

uk+2

uk

uk+1

B (u) B (u)k,1 k,2

kfe l½WhdNe\fhgiLBIJ¾zÀJL ÁzuJL sxÃBÄW ß dNe/fxgiLNY à Vj�hCHÞ�I^[��8�)Ö�×�-/��]gY-Ü �Ý ¬ ¨±° ; C \ � I�I�MhK1i�i ; Ò��j ©«ª?k ¡ ¨ Xlj î ¡ ¨ XljmX � £ +#k3n�o É �z]Ìo*pJbj��L,khC ´ÌÉ � UB�(q I!MrK1ik ¡ ¨ Xlj î ¡ ¨ XljmX � £ +¸k ¬ ¨±° ; C \ ß � Þ�q�Ç�È É � UJ�sq qiÇ�È,C Î ; Ò �ut   \ ß íÞlI���� Ä I$v�w�Ö,-��]gY-Ü £ � \ C� ¶hG ¶#ë �¸� I3xryxk3z!{ UB�

Ý ���X��� IN������Y�Ü��H��?ÛA�C ���X��� I|¾ÂÀNL8Á^u�L sHÃ|Ä k�|:}\a1b UN�~q ¾ÂÀNL4Á u�L sHÃÄ ¬ ¨±° ;  ¢¡³£ C�P�� U ¡ ¨ãî ¡ ¨ X � î�I�I�I ¡ ; X ¨ W Ø ���J� ��� apb�o� O"hk ��� \ �X� � I�PH� U ¡ ªïî ¡ � îJIJIJI ¡ ¦ X ; W-���� ��

Page 9: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

Ý ����� � ¨ Y à S3U ¾zÀBLNÁ�u5L sxÃBÄ ¬�¨­° ;  ¢¡¤£ C k ¡ ¨ºî ¡ ¨ X ; £ k3n�o   n�� £ k�mn]Ìo » I���I�./   K1i £ khC ´ k�m U5� V)c�-W���io H�ÜxI5�h�h�,I%o�p,I����<-3#���xryJC�� � a bi���z]�o���¸C3)�+-,xk�m UJ�K/i k ¡� î ¡� X � £ INqHÇHÈ   ?ÛA £ Y����lØ # 0 S �H�H�xC \ ���� VHoTp5b Q Cho ��� Ò ; X � î ��� Ò ; X � î�I�I�Iïî ���kim UJ�

Ý ?�A�B�C C k ¡ ; Ò�� î ¡ ¦ X � £ I3xry�kG��]gY-Ü ����� o ¡�� k ¡ ; Ò�� î ¡ ¦ X � £ I É�; o¦§¨V©«ª ¬ ¨±° ;  ²¡³£S¥ �É � UJ����� o k ¡ ; Ò"� î ¡ ¦ X � £ Ø/Wxd|eÂfxg�LJI$'���xry É�� Í�U » É -�k ; U)�v�sur ��� y � � � ���WHdNe\fxg�LNk,?5AÙØ ��� S3U cR�xY�C�o ���h�lo \ I��-o�Ph�ÙØ(9 � SVU » É - ���¸k�m UB� P�.iiI���-,H � kim U � I�Ø�HGY WidNe/f�giL ÉJÊ � � P���I����\Ø ´ Pi�.iiI���MÂØ � É SVU ��,-Ù[ r���� Q b U)�H�Y WxdNe/fxgiLBIJ���^o�P��.ihI���M/Ø! ¡ ¥#¡ _dX � Ð ¡ _ É SVU ɬ�¨±° ;  ¢¡¤£½¥ ¬�¨ X � ° ;  ¢¡ � ¡¤£S¥ ¬ ¨ X � ° ;  ²¡ � " ¡³£ I�I�IÉ � ]po ¬Ñ¨ X � ° ;  ²¡³£ C�¾nÀJLNÁzuBL s�ÃBÄ Ø�#-t/�xVj��$ Q b U » É -�M æ U   ¬�¨ X � ° ;  ²¡³£ä¥ ¬ ¨ ° ;  ²¡ Ð% ¡³£U£ �n Í Ë o \ ¥ � ¥ �äk�m U ���/Ø � ÍiUJ� » IJ�i� o�K�MiqiÇ�È-I)Þ Ä C \ ß � ¥ k�[ Í Q b U   �� o5K�M @Þ-?5A £ � » I É5; �����*P�� Ä C ��� \ �X� ¥ ` É � UB�H�YRWjd|e\f�g�LBIB���-o » b Q I*P��lI��\Ø n Í Ë o U�´ % � % % � % e % ¹ % Ô W É S b Ë [N� � » I5����o��� [-]

¬ ªV° �  ²¡³£S¥ &''( '')�� ¡�� ´·¶,¡*` ���   Ð ¡ � ��Ô ¡ Ð � £ � ¶¸¡�` ��   � Ð ¡³£ � ¶,¡*` �É � UJ� ¬ � ° � î6¬ � ° � î6¬ �V° � C ¬ ªV° � Ø�#�t/� Vj�H����I^[���Y*$ Q b UJ�

¬�¨ X � ° ;  ¢¡³£½¥ ¬�¨ ° ;  ¢¡ Ð % £» IGn�I)���^o ?�A�B<C -��5Y SVU IhC k ¡ ; Ò"� î ¡ ¦ X � £Ñ¥ k î e £ ILK�ihkim ]¼o » ILKRi�k,?BA�- �� a4b U » É Yi� U)� ?5AlI�����+��#Y����h�B����I à ��-/��]gY-Ü ��8 ²¡ � £ ¥ �8  £½¥ ��  ²� ª � � � £�8 ²¡-,�£ ¥ �8  e £½¥ ��  ²� � � � � £� �  ²¡ � £ ¥ �

�Ð � ª�8 ²¡-,�£ ¥ � � Ð � �

H�.iY \ ß � ÞhqhÇxÈ#I5�h�¸o/�h��C��R�#I \ ß �¤� I5�h�x�#I�0�1�2 ; I A\É �z]Ìo3+h��C��1�#I \ ß �� IB���i�lI�041�2 ; I AÂÉ � U)��

Page 10: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

v�s v ����� y ����� � ��� ���� v w ����������H�YFWjd|e\f�ghL�Ø4����� �i?NA Ø ��� S$U » É Ø � Í�UB� Wjd|eÙfxghLBI)���losN1Ø���M S3U q

P��-I<iiI5K<i��¸Y#?)A�- �<� a4b U Ixk¸o » b Ø�� � ,xY���� S b Ë �i?BAÂØ �5� SVU » É -�k; UJ�K�M{�SÞ�q�Ç�È/Ø4��� U ��� o \ ¥ e k�m U æ Q o G·¶#ë �l� [-]ÌoB�����,C������ É�� e Ü���+��

�! #"%$�&('*),+.-#/ 0 1 e32 "5476�+98:0�;:<>= ?A@CBD?AEGFIH(J K9LNM�O#P� RQ:$5&TS('�+:U#K9LNM�OPWVW$.):X:J9-#/#0NY�Z�[�\^]WJ90_1�`!a�bc4,)%d*J�Y.V($9&_e.JWY#Q�+c-:/:0_f(bRgh0iM�j#k�l5mnpo +�qWJ%r_stm�`!a#[uK9LvM�O#P�V�4:6(+#U K�LiM�w#x� RQ:$5&y{zR|~}�|���|~��| @��zR|���|~��| @ | E��zR|~��| @ | E |��g zR| @ | E |~��|�}��zR| E |~��|~}�|��\ zR|~��|~}�|��>|��

e*J(r#s�m,Z5[9j7kWl�m�`_a�bc4%$!g 2 J9-7/�0RMR� } B�������BG� @ Y�ZT+~8�0�<�J.�7�RM y +�����?��t?�@Y�O#P%Z�[������.���5�T�7����J�O P   �¡y F¢m�£�¤*[�¥#¦§M�¨s�Y5+�HWJ©\ 2 J,;#<7muªT«¬$�K9LW­®#¯ J%rustm�°�V(e:Y�1 ±iQ:$ e7Y�1��!f¬$5&|  ²�³F´� �µ   y �7�¶F @ � }�µ   � � @ �#\·� �¹¸ � Fº� ��µ  »� � � @ ¸ � � �¹¸ � � ¸ y Fº� ��µ � @ � @

  �¼� F

e½4%M½¨#¾#°#¿�V($:Y ®#¯ J%r_stm ÀR$�&

|  Á�³FÂ�v Ã� } � � � � � @ F¶ÄÅÆÆÆÆÇ� @� ��y

ÈÊÉÉÉÉË

  �Ì� F

e#e�mu+Ä � y\

ÅÆÆÆÆÇ� y � � � y� �3\ Í �� � � � yy Í Í Í

ÈÊÉÉÉÉË

±#"%$5&

ÎÐÏ²Ñ ÒvÓÔÕ ÖW×ÙØ§Ú ÛTÜÞÝ©ß�à�áâã�ä*åNæ7ç �7M�O#P(V($*)7XTm#­�è ¸êé�¸ y ]WJ98#0ë? } Bº? � B����C��Bº?AìCí³îï1�ð#ñu± "�$c1u+�ò:Jis�ó�ô:õm5ö#÷#ø ù¬M�úW)#V�û#ü#ý#�_­�= ?Aî�þ � Bº?¶ìCí � F�J ;:<#J:ÿ7±#"%$�&uec4 ­!+ ãTä*åNæ:ç �*1�O#PWV�$�m

y Í

Page 11: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

­,;:<7J����:ý7�_±:­��C? } BD? � BG�C���CBº?Aîºþ ��� +���J9ý#�,m,ª:S7[�� ?AìCí � Bº?³ìCí � B�������BD?Aì�í¶î � Y5+ é� y ]�J��¥�À ;:<   8#0�F�1Tð#ñ!m À�� e7Y7M��RZ�[ S����e.J%r_stÀ��#¥!À�8#0!J�O#PiM�!«����:XTm#­_+�����������!J� "! é ]WJ98#0,1$#�%�&NM(' 2 rstm�O P�V���  é*) F,+ ) 8 0!1.-�SWb�4/���10�a�6%+ é �3g,2�è �3g*J43�5%+�ð#ñWÀ�8,0#ö �!­è ¸êé�¸ y�76�Y.À o +�ö#÷#ø#ù,1.8�9�V:�<;:=7­´= ?A@CBD? � F¢±?>��@�We.JRY#Q<+ ) 8#0�­ ®#¯ J%ruscÀ%d.JWM�-S:� e:Y�1BA�a�b�4C�@�? } �W? � �!? � �!? @ �(ÍIBD?¶E � y Bº? � �W? µ ��?ED��!?GF � �e.JRrus�À�+ ) 8#0NM�-�S�� ã7ä9åvæ7ç ��J5�����.� �����7���vM�ô#õ�m4HWX:[#ÿRrus(�®#¯ ±#­ � q�+JI?K!mir�� ã#ä.å æ:ç � MLA�a����(e.J�3�5 é � � Y9À7���7S�M�N � ]�J�-,/ 0u1`ua�bc4O�%d.JWY.V:�:Y�N é � � 2³è �%g ±?>P��f�b�è ¸êé�¸ y �PQ^]WJ�8#0,15ð ñum#À�����;7<7J����vY��!± é*) 8#0NMcO#P�V:�:Y ®#¯ J%r_stm,ÀP���? } ��? � ��? � �WÍIBº?A@�� y BD?AEÐ� � B ? � ��? µ �!?GD � �e.J%Y Q@N ãTä.å§æ7ç �

|  Á?ïFÂ� ERSUT } | SWVXSZY @  ²?¢FJ������9� ���T�T���!­�O#P!m!ZB�71v¤*[�¥#¦�V:�#Y ®#¯ ±�`Wa�b�4[��  Í]\¼Í��iÍ�Y�V��*FV } Y @Ì ²?ïFÂ�v  y �7?ïF � Í_^�?1` yV � Y @Ì ²?ïFÂ�ba �� ?¹ ²g{� � ?¢F Í_^!?�` y��   � �:?¢F � y ^!?�` �V � Y @Ì ²?ïFÂ� cdde ddf

�� ? � Íg^!?�` y��  »� � ? �^¸ \·?t� � F y ^�?1` ���   � �7?ïF � � ^!?�` �   � g¡F

V @ Y @Ì ²?ïFÂ�ba ��  Á?t� y F � y ^!?1` ���   � �:?¢F�  � ?t� � F � ^!?1` �V E Y @Ì ²?ïFÂ�v ²?t� � F � � ^�?1` �e.J�3�5:N ã�ä.åNæTç �.­ = ? � �WͳBº?A@�� y F�B~= ?A@ � y BD?AE�� � F B~= ?AEÐ� � Bº? � � � F J � 2 J,;:<�±�O#Ph 4[���� �;:<7J,K9L!­ ®#¯ J%r_stm,ÀP���Í_^u?�` y zR|  ²?¢F��   y �7?ïF � |~} ¸ �� ?^ ²g � � ?ïF |�� ¸ �� ? � |~�y ^u?�` � zR|  ²?¢F�� ��   � �#?¢F � | � ¸ ��  »� � ? � ¸ \¼?�� � F |~� ¸ ��  ²?�� y F � | @� ^u?�` � zR|  ²?¢F�� ��   � �#?¢F � |{� ¸ ��   � �7?ïFG  � ?t� � F | @ ¸  ²?t� � F � | ES:M@N�ikj"l*J ;:<�= �nm Bº�Wm í � FÂY5ª%Q�N(e.J,;:<?o7J@p�qvMc°�V�r#�§Y�Z�[�����?t�:�nmv ²Íg^WÍ_` y FM(-�S:����ikj"l*J ;:<#J K9LvM |gs mut Y�°�V(Y�N ®#¯ J K9L(J�KvM(vb�@�

| s } t  Á�IF´�   y �:�IF � |{} ¸ y� �¢ Ág{� � �¶F |�� ¸ y� � � |~�|gs � t  Á�IF´� y�   y �:�³F � |�� ¸ y�   y ¸ � �~�:� � F |{� ¸ y� � � | @   �¼� F|gs � t  Á�IF´� y�   y �:�³F � |�� ¸ y�   y �:�IF�  y ¸ � �¶F | @ ¸ � � | E

y y

Page 12: maruyama/graphics/09/pdf/spline.pdfQ b S$c/Qfe1gøh/U8j3c/c¯a "!$#&%(' ?&Å Å $g1 óò ( 3¡ 68 / Ía/?æ: ô/õ/368ä1å >6 G $Ï UdQ¯= [/]$gDÙ$¨VÚf øUTj "!$#(%&' o ' t

 ��ÞF  �� F� �¡z ã7ä*åvæ7ç �5J@0 �  ��ÃF U?%B� ã7ä*åvæ7ç �  é �3g,2 è � 6ÞF�2  �� F�� S�� ã7ä.åNæ:ç ��  é � � 2 è � 6ÞFé � �  »;9� � q�+�I�K�FïJ@3�5PN��um� �](J����#0 |�} B��C���CB |�� þ � 17`�a%b�4O�%Y#Q�N� �;:<:J�+I�K#�!­� � ] Y.ÀP���Wec4¬b�JvsTó.J i�  iê�%ͳB y B � B��C����B��� � F j"l*J@+�I�K!­�H Y@#���m!Z�[ ®¯ J%rustm À��@�

| s } t  ²�³F´�   y �:�³F � |�} ¸ y� �  Ág{� � �³F | � ¸ y� � � |{�|gs m t  ²�³F´� y�   y �:�IF � | m ¸ y�   y ¸ � ���:� � F | m í � ¸ y� � � | m í �   i � y B � B�������B����:gÞF   � \ÞF

| s � þ¡@ t  ²�³F´� y�   y �:�IF � |�� þ¡@ ¸ y�   y �7�¶FG  y ¸ � �³F |�� þ � ¸ � � |�� þ �� � � �

= y ��!#"%$'& �)(*�¼è+�¼è é+, "%-." ã �0/ & ( 221*3547698;:=< & (?>@(*�)8;A;BDCFEG3IH & (*E*BJ4¼è � è éLKÂé "%M 2 - ( & èN<OBDC &@$ �)PDP   y 6]6RQ F "

y�