ManualFisica0708CA ITIQ IQ

Practicas de Laboratorio de Fısica

Curso 2007/2008

Departamento de Fısica

Manual de Practicas de FısicaUniversidad Rey Juan CarlosDepartamento de Fısicahttp://www.escet.urjc.es/ fisica

Mostoles, 2008

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Las practicas de laboratorio de Fısica que se presentan a con-tinuacion corresponden a las asignaturas de Fısica de las titu-laciones de Ingenierıa Quımica, Ingenierıa Tecnica Industrial(Quımica Industrial) y Ciencias Ambientales que se impartenen la Universidad Rey Juan Carlos.Este manual de practicas, ası como programas auxiliares parael analisis de datos experimentales y elaboracion de graficas seencuentran disponibles en la siguiente direccion:http://www.escet.urjc.es/ fisica/docencia.html

Mostoles, Febrero de 2008.

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Indice general

0 Introduccion a la experimentacion 10.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1.1 Fases en el desarrollo de un experimento . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Anotaciones durante el desarrollo de la practica . . . . . . . . . . . 2

0.2 Caracterısticas de los datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1 Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.3 Representacion grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3.1 Como dibujar graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.2 Eleccion de escala y de origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.3 Sımbolos, trazado de lıneas y barras de error . . . . . . . . . . . . . 80.3.4 Tıtulo, etiquetas y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.4 Tratamiento de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.4.1 Precision y exactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.4.2 Tipos de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.4.3 Calculo de errores de medidas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 120.4.4 Calculo de errores de medidas indirectas . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.5 Regresion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.5.1 Metodo de los mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.5.2 Calculo de errores de la pendiente y la ordenada en el origen . . . . 180.5.3 Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0.6 Elaboracion de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.6.1 El proposito de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.6.2 Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Medidas geometricas 241.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.1 Calibre o pie de rey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.2 Palmer o tornillo micrometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.3 Esferometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Movimiento en caıda libre 302.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

ii

INDICE GENERAL iii

2.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Leyes de Newton 343.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Conservacion de la energıa mecanica 394.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 El pendulo simple 455.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 El pendulo reversible 516.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Oscilaciones forzadas 577.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2.1 Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2.2 Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2.3 Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


INDICE GENERAL iv

8 Vibracion de cuerdas 678.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9 Tension superficial de los lıquidos 759.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10 Efectos de capilaridad 8010.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11 Flujos viscosos en conductos 8511.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2.1 Ley de Hagen-Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.2.2 Asociaciones de resistencias de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


12 Coeficiente adiabatico de los gases 9212.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13 Dilatacion termica de los solidos y los lıquidos 9613.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9613.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9613.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

13.3.1 Medida de la dilatacion de lıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9713.3.2 Medida de la dilatacion de solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

INDICE GENERAL v

13.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9813.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

14 Temperatura y densidad de los lıquidos 10014.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10014.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10014.3 Montaje Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10114.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10114.5 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

15 Campo electrico y potencial electrico 10415.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10415.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10415.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10515.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10615.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10715.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

16 Resistencia interna y f.e.m. en fuentes de tension 10816.1 Conceptos aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10816.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10816.3 Montaje experimental y Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

16.3.1 Medida de la resistencia interna y fuerza electromotriz en una fuentede tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

16.3.2 Medida de la Potencia suministrada por la fuente de tension . . . . 111

17 Campo magnetico 11217.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11217.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11217.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11317.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

17.4.1 Campo en el eje z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11417.4.2 Componente axial del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . 11617.4.3 Componente radial del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . 117

17.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11817.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

18 Calculo de la carga especıfica del electron 11918.1 Conceptos aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11918.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

18.2.1 Campo magnetico producido por las bobinas de Helmholtz . . . . . 12018.3 Montaje experimental y Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

18.3.1 Procedimiento operativo. Medida de las diferencias de potencial enel tubo de rayos catodicos e intensidad de corriente en las bobinas . 121

INDICE GENERAL vi

19 Induccion electromagnetica 12419.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12419.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12419.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12519.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12619.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12719.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

20 Temperatura y propiedades electricas 12920.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12920.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12920.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13120.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13120.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13320.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

21 Rendimiento de una celula solar 13421.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13421.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13421.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13521.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13721.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13821.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

22 Interferencias de Young 13922.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13922.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13922.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

22.3.1 Medida de las posiciones de los maximos del patron de interferencias14022.3.2 Calculo de la longitud de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

22.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14222.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14222.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

23 Difraccion 14423.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14423.2 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

23.2.1 Difraccion por abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14423.2.2 Difraccion por red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

23.3 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14623.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

23.4.1 Determinacion del radio de la abertura circular. . . . . . . . . . . . 14623.4.2 Determinacion de la constante de la red de difraccion: . . . . . . . . 147

23.5 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14823.6 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Capıtulo 0

Introduccion a la experimentacion

0.1 Introduccion

Cientıficos e ingenieros dedican gran parte de su tiempo a lo que se conoce como trabajoexperimental. Las razones son varias, y entre ellas destaca el hecho de que los experimentospermiten poner a prueba nuevas teorıas. Esto no siempre es facil, pero lo cierto es quehasta que un experimento confirma los resultados predichos por una teorıa, esta no sueleser completamente aceptada.

Por supuesto, en el laboratorio de la Universidad no se va a colaborar a este fin, perolos experimentos que se realicen nos daran la oportunidad de observar directamente comofunciona el mundo real. Se podra comprobar que lo estudiado realmente ocurre, y todossabemos que ver siempre deja una mayor huella que simplemente leer.

La experimentacion no esta exenta de dificultades y, muchas veces, se necesita tiempopara familiarizarse con las tecnicas, para obtener las medidas o incluso para analizar losresultados. Por todo esto, se necesita una buena dosis de paciencia.

0.1.1 Fases en el desarrollo de un experimento

1. El objetivo. Es el punto de partida de cualquier experimento. El objetivo nos comu-nica que es lo que estamos buscando, y puede ser una hipotesis o idea que se quierecomprobar o sobre la que se desea avanzar.

2. El plan. Una vez que se tiene claro el objetivo, se debe desarrollar un plan paraalcanzar dicho objetivo. Habra que decidir sobre que cantidades deben medirse,como se deben medir y que instrumentos son necesarios.

3. Preparacion. La fase de preparacion supone organizar el experimento. En ella, sedebe montar la practica, y para ello conviene acudir a gente familiarizada con lainstrumentacion que se vaya a utilizar.

4. Experimentos previos. Antes de comenzar a tomar datos de forma indiscrimina-da, conviene hacer varios ensayos para familiarizarse con el funcionamiento de losaparatos.

5. Toma de datos. Es imprescindible en esta fase mantenerse concentrado y prestarmucha atencion a lo que se esta haciendo, porque el experimento habra sido un

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CAPITULO 0. INTRODUCCION A LA EXPERIMENTACION 2

fracaso si no se toman las medidas de forma precisa y correcta. Conviene, igualmente,repetir las medidas mas de una vez, para disminuir los errores aleatorios y asegurarsede que se ha llevado todo a cabo correctamente.

6. Analisis de los datos. Una vez que se ha acabado con la toma de datos, llega elmomento de analizarlos, calcular los resultados, sus errores asociados, etc. En fun-cion del objetivo, se usara una tecnica de analisis u otra. Por ejemplo, si de lo quese trataba es de analizar la variacion de la intensidad de la luz de una bombillacon la distancia, nos convendrıa quizas investigar si los datos demuestran una caıdapotencial con la distancia exponencial, lineal, etc.

7. Conclusion. Una vez obtenidos los resultados, es el momento de responder si soncoherentes con el objetivo, lo contradicen o haran falta nuevos experimentos en casode que el llevado a cabo no sea concluyente.

8. Elaboracion de la memoria. Cuando se ha acabado el trabajo en el laboratorio, losresultados deben ser comunicados de forma clara y concisa. Para ello, se prepara unamemoria, en la que se presentan los puntos fundamentales del experimento, talescomo el objetivo, el metodo, las medidas, el analisis de los resultados y finalmentela conclusion.

0.1.2 Anotaciones durante el desarrollo de la practica

Es recomendable tener un cuaderno de notas, en el que apuntar absolutamente todo loque se hace, se mide y se observa en el laboratorio. Aunque al terminar el experimentotodo parezca muy claro, con el paso del tiempo los detalles se van olvidando, por lo que esfundamental tomar el mayor numero de anotaciones posibles de cara a poder mas tardeescribir la memoria sin dificultad. Conviene anotar tanto lo importante como lo que nolo es tanto, ya que muchas veces no es hasta mas tarde cuando se descubre que es loverdaderamente util para la memoria. Algunos detalles que no se debe olvidar anotar son:

1. Tıtulo.

2. Objetivo. Debe quedar claro desde el principio lo que se persigue.

3. Descripcion y esquema de los aparatos. Conviene dibujar el montaje, y describirbrevemente el funcionamiento y finalidad de cada aparato que se utilice.

4. Metodo experimental. Es fundamental apuntar todos los pasos que se llevan a cabo.

5. Medidas. Las medidas se suelen tomar en tablas en las que encima de cada columnase escribe la magnitud que se esta midiendo y las unidades que se utilizan (¡noolvidar nunca las unidades!). Tambien es importante anotar las precisiones delos aparatos que se utilicen, para luego poder hacer el calculo de errores sistematicoscorrectamente.

6. Calculos y graficas. A veces es necesario llevar a cabo calculos o dibujar graficas conlas medidas obtenidas para poder cerciorarnos de que la toma de datos se ha hechocorrectamente. Este punto es necesario para evitar futuros sustos (y la consiguienterepeticion de la practica).


7. Conclusion. Es necesario hacer anotaciones sobre el resultado de la practica (si secumplio el objetivo, etc.)

0.2 Caracterısticas de los datos experimentales

Cuando se toman medidas de alguna magnitud fısica, se debe poder responder a lassiguientes preguntas:

1. ¿Cual es la unidad de cada una de las medidas realizadas?

2. ¿Que variabilidad existe en los datos?

3. ¿Podrıamos hacer una estimacion de la medida antes de llevarla a cabo?

Analicemos las caracterısticas de los datos que se obtienen durante un experimento,para poder dar respuesta a todas estas preguntas.

0.2.1 Unidades de medida

El uso correcto de las unidades es imprescindible en fısica. Ademas, es conveniente quetodos los cientıficos utilicen el mismo sistema, para poder comparar y compartir resultadossin problemas. El sistema internacional o SI, aceptado por convenios internacionales enpracticamente todo el mundo, consta de siete unidades fundamentales, que son

Magnitud Unidad SımboloMasa Kilogramo kgLongitud Metro mTiempo Segundo sCorriente electrica Amperio ATemperatura Kelvin KIntensidad lumınica Candela cdCantidad de sustancia Mol mol

Otras unidades se derivan de estas siete fundamentales (por ejemplo el m· s−1, unidadde velocidad). Las unidades derivadas mas importantes tambien tienen nombre propio,como puede ser el Voltio, el Julio, el Newton, etc. Es de vital importancia tener en cuentalo siguiente: Siempre que se presenten resultados en una tabla, en un grafico o en uncalculo, deben ir acompanados de sus correspondientes unidades. Siempre que se utiliceun aparato, la primera pregunta a responder debe ser la siguiente: ¿En que unidades mideeste instrumento?

En muchas ocasiones las unidades son demasiado grandes o demasiado pequenas parala medida que nos interesa. Para estos casos, se utilizan los multiplos y subdivisiones de


las unidades, y esto es posible gracias a los prefijos siguientes :

Potencia de 10 Prefijo Sımbolo Ejemplo10−15 femto f fs (femtosegundo)10−12 pico p pF (picofaradio)10−9 nano n nA (nanoamperio)10−6 micro µ µPa (micropascal)10−3 mili m mJ (milijulio)103 kilo k kV (kilovoltio)106 mega M MW (megawatio)109 giga G GHz (gigahertzio)1012 tera T TΩ (teraohmio)

Tabulacion de datos

La forma habitual de presentar los datos en un experimento es la utilizacion de tablas.Toda tabla debe constar de estos tres elementos:

-Tıtulo aclaratorio.

-Unidades de las medidas.

-Medidas.

Un ejemplo serıa el siguiente.

Tabla 1: Tiempo de caıda de un objeto desde 25 m.

Tiempo de caıda ( s) 2,2 2,1 2,3 2,2 2,5 2,3 2,0 2,2

Si nuestros datos son expresados en notacion cientıfica, el metodo de construir la tablasera el siguiente.

Tabla 2: Valores medidos de la inductancia de una espira de cable.

Inductancia (×10−3 H) 9,5 9,3 9,7 9,4 9,9 9,1 9,2 9,2

Toda medida en fısica va acompanada de una incertidumbre inherente a la medida.Por muy fino que haya sido el metodo experimental, el aparato que se haya utilizadotiene una precision dada, que no es posible superar. Aunque de este tema hablaremos masadelante, veamos como se debe mostrar esta incertidumbre en las tablas de datos con unejemplo. Tabla 3: Variacion de la resistencia electrica con la temperatura de un cable decobre.

Temperatura ( C)± 0, 5 C Resistencia electrica ( Ω)± 0, 001 Ω8,0 0,20816,5 0,21323,5 0,22232,0 0,22940,5 0,23254,5 0,243


Cifras significativas

Puesto que toda medida es imprecisa, se debe expresar con un numero limitado de cifras,aun cuando su obtencion nos haya proporcionado un numero superior de ellas. Las cifrasque deben mantenerse se conocen como cifras significativas, mientras que las cifras nosignificativas son aquellas que no deben tenerse en cuenta.

Las cifras significativas son los dıgitos representativos de una magnitud. Si el valor deuna medida se expresa como 69,2, se sobreentiende que el valor real esta comprendidoentre 69,1 y 69,3. Por lo tanto, la cifra 69,2 tiene 3 cifras significativas, y la cifra 4305,031tiene 7. Sin embargo, existen ciertas reglas que deben seguirse para casos menos claros:

-Los ceros a la izquierda no cuentan como cifras significativas, y tampoco los ceros a laderecha si pertenecen a la parte decimal del numero. Por lo tanto, el 0,00030400tiene solo 3 cifras significativas (el 3, el 0 y el 4).

-Para las cifras mayores de 10 que acaben en ceros, estos no suelen tomarse como sig-nificativos, aunque depende del caso. Ası, el numero 123000 solo tendrıa tres cifrassignificativas.

Respecto al uso de las cifras significativas, se deben usar las reglas que se mencionana continuacion.

1. Redondeo de numeros. Cuando se realizan calculos, se suelen obtener numeros conmuchas cifras, y puede ser necesario reducir el numero de dıgitos. La regla a seguir esque la ultima cifra significativa (la que esta mas a la derecha) se aumentara en unaunidad si la primera no significativa a su derecha es 5 o mayor de 5, y se dejara igualsi dicha cifra es menor que 5. Por ejemplo, si se desea redondear el numero 1,3563342a dos cifras significativas, como la primera no significativa a la derecha del 3 es el5, lo correcto sera expresar 1,3563342 como 1,4, el numero 1,44565785 como 1,4 yel 0,330565 como 0,33. Para calculos que requieran varios pasos, es muy importanteno redondear los resultados intermedios, ya que esto podrıa provocar errores muygrandes en el resultado final. Por lo tanto, conviene utilizar los numeros con todassus cifras, y redondear solamente el resultado final. El redondeo de los errores, setratara en el apartado correspondiente a estos.

2. Cifras significativas y calculos. Si se debe calcular el area de una circunferencia(A = πr2) y nos dan el radio en milımetros (r = 8, 9 mm, por ejemplo), no tieneningun sentido que nuestro resultado sea A = 248, 845554091 mm2, aunque ese seael resultado que aparece en la calculadora. En esto conviene seguir las siguientesreglas:

-Cuando se multipliquen o dividan dos numeros, el resultado debe tener tantascifras significativas como el que menos tuviera de los numeros originales. Porejemplo, si se multiplican 3,7 por 3,01, el resultado da 11,137, pero se debe darsolo con dos cifras significativas (como el 3,7) y por lo tanto el resultado es 11.

-Cuando se sumen o resten dos numeros, el resultado debe tener tantas cifrasdecimales como el que menos tuviera de los numeros originales. Por ejemplo, sise suman 11,24 mas 13,1, el resultado da 24,34, pero se debe dar solo con trescifras significativas (como el 13,1) y por lo tanto el resultado es 24,3.


3. Notacion cientıfica. Cuando se utilizan numeros muy grandes o muy pequenos, esfrecuente expresarlos utilizando la notacion cientıfica. Este sistema es muy simple,y evita tener que escribir numeros con grandes filas de ceros. El sistema consisteen escribir la coma decimal tras la primera cifra significativa, y a continuacion elresto de cifras significativas. Finalmente, se multiplica ese numero por 10 elevado ala potencia correspondiente. La excepcion la forman los numeros entre 0 y 10, quese expresan sin la potencia. La siguiente tabla muetra varios ejemplos:

Numero En notacion cientıfica12,65 1, 265× 101

0,00023 2, 3× 10−4

342,5 3, 425× 102

34001 3, 4001× 104

5,64 5, 64

4. Resultados acompanados de error. Todo resultado debe ir acompanado de su errorcorrespondiente, como veremos mas adelante en el capıtulo dedicado al calculo deerrores. Tambien el valor de dichos errores debe ser redondeado a una sola cifrasignificativa, a no ser que las dos cifras significativas mas a la derecha sean menoresque 25. En ese caso, se redondea a esas dos cifras. Por lo tanto, si nuestro mon-taje preparado para medir la velocidad del sonido en el aire tiene como resultado341, 775 m · s−1 y su error asociado es de 0, 875 m · s−1, lo correcto sera expresarlocomo

c = (341, 8± 0, 9) m · s−1, (1)

o, utilizando notacion cientıfica,

c = (3, 418± 0, 009)× 102 m · s−1. (2)

Pero si el error es 0,234, lo correcto sera

c = (341, 78± 0, 23) m · s−1. (3)

5. Ordenes de magnitud. Es muy importante, siempre que sea posible, tener una ideaaproximada del valor de una medida antes de llevarla a cabo. Por ejemplo, si el valordel voltaje de una pila nos sale 1300 V , deberıamos sospechar que hemos cometidoalgun error. De hecho, es de inmensa utilidad estimar el orden de magnitud de lasmedidas antes de realizarlas, y puede evitarnos situaciones embarazosas.

0.3 Representacion grafica

Cuando los datos experimentales se representan en forma de grafica, la informacion quepodemos obtener de los mismos es mucho mas rica que cuando disponemos de ellos enforma de tabla, especialmente cuando el numero de datos de los que se dispone es muygrande. Entre otras cosas, una grafica nos informa de

1. El rango sobre el que se extienden nuestras medidas.


2. El error asociado con cada medida (si incluimos las barras de error).

3. La presencia de algun tipo de comportamiento particular; por ejemplo la relacionlineal, parabolica o de otro tipo entre dos magnitudes o la total ausencia de relacionentre ambas.

4. La existencia de algunos datos que no comparten la caracterıstica general exhibidapor la mayorıa de datos.

Evidentemente, la informacion que se obtenga de una grafica depende en gran medidadel objetivo con que se haya construido dicha grafica. En Fısica, las graficas tienen fun-damentalmente tres usos. El primero, al que quiza estemos mas acostumbrados pero queen la practica es seguramente el menos extendido, es determinar el valor de una ciertamagnitud, como por ejemplo la pendiente de una curva, cuando realizamos el ajuste a unalınea recta de un conjunto de datos a ojo (si utilizamos el metodo de mınimos cuadradosestamos empleando los datos en sı, y no la grafica, para realizar el ajuste).

La segunda forma en que se emplean las graficas es sin duda la mas importante: lasgraficas sirven como ayuda visual, revelandonos la presencia o ausencia de alguna pautainteresante en los datos experimentales o nos permiten evaluar de un vistazo el ajuste deun conjunto de datos a una determinada curva teorica cuando ambos se representan enun mismo grafico.

Las graficas tambien pueden emplearse para proporcionar un ajuste empırico entredos magnitudes, por ejemplo en el calibrado de ciertos aparatos.

0.3.1 Como dibujar graficas

Los datos que representamos en las graficas que habitualmente empleamos en Fısica estanespecificados por un par de numeros que denominamos las coordenadas del punto experi-mental a que nos referimos. La primera coordenada se denomina abcisa o variable indepen-diente, mientras que la segunda se llama ordenada o variable dependiente. En un graficocartesiano o grafico x-y, uno de los mas empleados en la practica, la abcisa correspondeal eje horizontal (eje x) del plano coordenado mientras que la ordenada corresponde aleje vertical (eje y).

Normalmente representamos los datos en escala lineal. Esta es la manera ordinaria derepresentar los datos. Sin embargo, es tambien habitual representar los datos en escalasemi-logarıtmica (uno de los ejes, normalmente el y, se escala de forma logarıtmica) ologarıtmica (los dos ejes se escalan de forma logarıtmica). El primero de los casos es utilcuando existe una relacion de tipo exponencial o logarıtmico entre los datos; el segundocuando entre los datos existe una relacion del tipo y ∝ xp.

0.3.2 Eleccion de escala y de origen

En la gran mayorıa de los casos, es aconsejable elegir escalas que permitan que los puntosrepresentados esten repartidos de manera mas o menos homogenea por el espacio fısicodel grafico, evitando situaciones en las que los puntos se acumulen en una unica zona delmismo. Del mismo modo, dependiendo del numero de datos de que dispongamos, de labondad de estos y del tipo de comportamiento que se pretenda poner de manifiesto, puedeser aconsejable mover el punto de corte entre los dos ejes desde su posicion habitual, (0,


Figura 1: Forma correcta de dibujar una lınea que ajusta una nube de puntos.

0), a otra que nos permita visualizar de manera clara las caracterısticas importantes dela relacion entre la variable dependiente e independiente.

Por otro lado, la escala debe ser simple: Una division en la grafica deberıa correspon-der a una unidad de la magnitud que se esta dibujando (0 a 10, 100, 0,1, etc.); otraselecciones adecuadas pueden consistir en hacer coincidir una division con 2 o 5 unidades.Cualquier otra escala deberıa en principio evitarse, porque complicarıa la lectura de losdatos representados en la grafica.

0.3.3 Sımbolos, trazado de lıneas y barras de error

Una recomendacion general a seguir en cuanto a la eleccion de los sımbolos utilizadospara representar los datos dibujados es que estos deben ser grandes antes que pequenos.Un sımbolo excesivamente pequeno podrıa pasarse por alto en la lectura de la grafica oincluso confundirse con defectos del papel. Cuando queramos representar en una mismagrafica los resultados correspondientes a varias realizaciones de un mismo experimento, oa condiciones cambiantes (por ejemplo, temperatura o presion variables), es convenienteutilizar sımbolos diferentes para cada uno de los conjuntos de datos, de manera que seafacil reconocer los datos que pertenecen a un mismo conjunto. No obstante, si el graficoresulta confuso debido a la profusion de datos o sımbolos, puede resultar mas util dibujarcada conjunto de datos en una grafica diferente.

En cuanto al trazado de lıneas, es importante recordar que casi en ninguna situaciones recomendable unir los puntos experimentales con lıneas. Es mucho mas realista suponerque la relacion entre las variables x e y es suave, por lo que en general dibujaremos enla grafica una lınea que sirva como ayuda para el ojo y que de alguna manera representela dependencia funcional entre ambas variables, como se muestra en la figura 1. Eviden-temente, no podemos pretender extraer conclusiones cuantitativas sobre dicha relacionfuncional a partir de dicha curva de “mejor ajuste”, salvo en casos muy particulares; porejemplo, cuando tras haber realizado un ajuste por mınimos cuadrados resulta claro quela relacion es lineal siendo el coeficiente de regresion muy cercano a 1.


Sabemos que cualquier medida experimental va acompanada siempre de un cierto er-ror. Cuando hacemos una representacion grafica de los datos experimentales, es posibleindicar la magnitud de dicho error empleando las llamadas barras de error. Las barras deerror son segmentos de recta horizontales y/o verticales centrados en el punto correspon-diente y cuya longitud nos indica el error asociado con dicho dato en particular. Dibujarlas barras de error en una grafica requiere un trabajo adicional ademas de que tiende acomplicar la lectura del mismo, sobre todo cuando en una misma grafica tenemos variosconjuntos de datos; por ello, es recomendable representar las barras de error solo cuandorealmente aporten informacion relevante sobre los datos (el ajuste de los mismos a unagrafica o la dispersion de los errores, por ejemplo). No tendrıa sentido representar lasbarras de error de una tabla de datos en que el error asociado con cada dato en partic-ular es identico en todos los casos. En esta situacion, basta indicarlo al pie de la figura.Igualmente, cuando las barras de error son demasiado pequenas como para representarlasclaramente, es posible prescindir de ellas.

0.3.4 Tıtulo, etiquetas y unidades

Normalmente, las graficas suelen venir acompanadas de un tıtulo. El tıtulo debe ser brevey claro. Por ejemplo: Longitud de una barra de aluminio frente a la temperatura. Suele iren la parte superior de la grafica, centrado y en la parte externa del recuadro, si el graficolo posee.

En los ejes deben quedar suficientemente claras las marcas correspondientes a lasdivisiones del intervalo de interes de la variable x e y. Dichas marcas iran acompanadasdel numero correspondiente a la division. Si los numeros representados son demasiadograndes o demasiado pequenos, se emplearan potencias de 10 (notacion cientıfica). Encada eje escribiremos tambien el nombre de la magnitud correspondiente y, entre parentesisnormalmente, las unidades que se emplean. En caso de estar utilizando notacion cientıfica,podemos escribir tambien la potencia que proporcione el orden de magnitud relevante endichas mediciones ası:

Tiempo (s)× 10−5. (4)

Si la etiqueta anterior corresponde por ejemplo al eje x, la marca “1” sobre dicho eje debeinterpretarse como 1× 10−5 s.

0.4 Tratamiento de errores

El fin ultimo de la ejecucion de un experimento en fısica es obtener resultados numericospara magnitudes fısicas. Tales magnitudes presentan, a priori, un intervalo continuo devalores posibles, y su valor verdadero resulta imposible de determinar con total exactitud.Todo valor experimental viene por ello afectado de una cierta imprecision que es inherentea cualquier proceso de medida. Esta imprecision se denomina tambien error experimentalo incertidumbre.

Un experimento puede consistir en realizar medidas con instrumentacion muy simple,como un reloj-cronometro o una cinta metrica, o requerir unos medios muy sofisticados,tales como satelites para medir el tamano del agujero de ozono sobre la Antartida. Encualquier caso, todos los experimentos tienen al menos una cosa en comun: cada medidaque se realiza esta sujeta a una cierta incertidumbre. Por incertidumbre (o error) se


entiende que si repitieramos varias veces la misma medida, encontrarıamos una variacionen los valores observados. Incluso si es posible reducir dicha incertidumbre mediante unmetodo experimental muy desarrollado, nunca podra ser eliminada completamente.

La validez de los resultados experimentales, ası como las conclusiones que se quieranextraer de los mismos, dependen del grado de imprecision del que vienen afectados ypor tanto, es muy importante acotar tal imprecision. El analisis de las incertidumbresintroducidas en los experimentos es esencial porque permite llevar a cabo los siguientespuntos importantes:

-Estimar la confianza de los resultados.

-Determinar los puntos debiles del experimento y mejorar el mismo.

-Establecer si los valores obtenidos concuerdan realmente con valores previos o con val-ores teoricos.

-Determinar si valores diferentes obtenidos en varios experimentos concuerdan entresı dentro de lo esperado segun el proceso de medida.

Existe un sistema formal desarrollado para llevar a cabo tal analisis. Tal sistema sedenomina normalmente reduccion de datos, analisis de errores o, simplemente, tratamientode datos experimentales.

0.4.1 Precision y exactitud

Al hablar de incertidumbres en los valores medidos conviene distinguir entre exactitud yprecision.

1. Precision. La precision de una medida se refiere a lo que concuerdan entre sı dos omas medidas de una magnitud fısica, y cuantifica de una manera clara la cantidadde variabilidad que se ha encontrado a la hora de realizar dichas medidas. Se expresacon el error que acompana a cada resultado, y es importante tener en cuenta queun resultado muy preciso no tiene porque estar cercano al valor real. Lo unico quesabremos es que las sucesivas medidas son muy parecidas.

2. Exactitud. La exactitud, por el contrario, indica lo que se aproximan las medidas alvalor verdadero.

Por ejemplo, si se hace una pesada varias veces con una balanza que siempre pesa100 g de mas, y se obtiene siempre un valor similar, seran medidas muy precisas, peromuy poco exactas. Por lo tanto, la precision no garantiza exactitud. Lo idoneo es conseguirresultados tanto precisos como exactos.

0.4.2 Tipos de error

Los errores pueden clasificarse de diferentes formas.

1. En funcion de su procedencia:


-Error de escala. Es debido a que la capacidad de resolucion de los instrumentos demedida es finita, y el valor de la magnitud que se pretende medir se ve por elloredondeada. El error de escala sera la mitad de la precision del instrumentode medida si es analogico, e igual a su precision si se trata de un instrumentodigital.

-Error aleatorio. Se debe a causas fortuitas y es difıcil de cuantificar directamente.Sin embargo, se asume que el efecto en las medidas es aleatorio y por tantosusceptible de tratamiento estadıstico. Por tanto, para detectar y cuantificareste error se han de llevar a cabo repetidos experimentos. Ejemplos serıan unavariacion en el voltaje de la red a la hora de trabajar con un circuito, el ruidode fondo de una moto cuando se estan haciendo medidas de ındole acustico,etc.

-Error sistematico. Es causado por problemas en el funcionamiento de los aparatosexperimentales o un procedimiento experimental incorrecto. A diferencia de losaleatorios, son unidireccionales, conducen a valores siempre altos o bajos y porello no pueden ser detectados por repeticion de medidas. Un ejemplo serıa unabalanza mal calibrada, estar demasiado cerca del detector Geiger cuando seesta midiendo la radiactividad de un isotopo (y por lo tanto contribuir con laradiactividad procedente de nuestro cuerpo), etc. Este tipo de errores puedenser eliminados sin dificultad una vez que se conoce su existencia.

2. Error absoluto y error relativo. En el trabajo de laboratorio podemos hablar de dostipos de numeros: exactos y aproximados.

-Numeros exactos (X). Tienen valores perfectamente definidos. Ejemplo: 1 kg sonexactamente 1000 g; si, en una ecuacion, aparece un numero entero (1, 2...) suvalor es exactamente ese, etc. Sin embargo, para que el numero π fuera exactodeberıan tomarse infinitos decimales.

-Numeros aproximados (x). Son solo una aproximacion al valor exacto de la mag-nitud que pretenden representar. Las magnitudes medidas (longitud, volumen,temperatura...) son aproximadas debido al error inherente ya mencionado ylas constantes fısicas o matematicas tambien por la limitacion en el numerode decimales usados (lo indicado para el numero π). Puesto que estos son lagran mayorıa, en los calculos se usan casi siempre numeros aproximados. Paraque el valor aproximado x quede bien caracterizado ha de ir acompanado desu error.

-Error absoluto ∆ = |X − x|. No puede evaluarse, ya que para ello se requiere elvalor exacto X que es desconocido. Sin embargo, se puede estimar una cotasuperior o lımite de error ∆x que permite acotar el valor exacto de la magnitud,de tal modo que

x−∆x ≤ X ≤ x + ∆x. (5)

Llamaremos, por tanto, error absoluto a ∆x. Puesto que tiene las mismasdimensiones que x, la forma correcta de expresar cualquier magnitud es lasiguiente:

magnitud = (numero± error) unidades = (x±∆x) unidades. (6)


Como vemos, el error absoluto representa la incertidumbre o error de la quese hablo en el apartado de Resultados acompanados de error en la seccion deCaracterısticas de los resultados experimentales.

-Error relativo δ = ∆/ |X|. Tampoco puede evaluarse exactamente, pero se utilizasu cota superior

δx = ∆/ |x| . (7)

Este error suele expresarse en%, multiplicando δx por 100. Carece de unidades.

0.4.3 Calculo de errores de medidas directas

Una unica medida

Si se realiza una unica medida no se puede estimar el error aleatorio (puesto que habrıaque aplicar tecnicas estadısticas) y se considera que el unico error en la medida es el errorde escala.

1. Escala analogica. Tomaremos como error absoluto la mitad de la sensibilidad delaparato, es decir, la mitad de la division mas pequena de la escala.

2. Escala digital. En este caso, el error absoluto sera la sensibilidad del aparato, esdecir, el incremento entre dos medidas que pueda mostrar el aparato.

En cualquier caso, nunca es recomendable hacer una unica medida, para evitar queuna equivocacion estropee el resultado del experimento.

Varias medidas

1. Calculo de la media. Si se realizan varias medidas se tomara como valor de la magni-tud la media de los diversos valores obtenidos. Por lo tanto, si se realizan n medidasde la magnitud, x, con los resultados x1, x2, ...xn, el mejor valor que podemos darde la magnitud medida es la media,

x =1

n

n∑i=1

xi. (8)

2. Error cuadratico medio o desviacion tıpica. La dispersion de los datos del valor dela media se mide por su desviacion tıpica,

s(x) =

(1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2

)1/2

. (9)

Este valor no disminuye apreciablemente aunque se aumente el numero de medidas.

3. Error cuadratico de la media o desviacion estandar. Viene dado por

sx =s(x)√

n=

(1

n(n− 1)

n∑i=1

(xi − x)2

)1/2

. (10)


El significado del error cuadratico de la media es importante, ya que nos habla de laprobabilidad de que, al medir un valor xi, obtengamos un resultado cercano al valorreal. Si llamamos µ al valor real de la magnitud (que desconocemos), la probabilidadde que al realizar una medida su valor se encuentre en el intervalo (µ−sx, µ+sx) es del68, 30 %, dentro del intervalo (µ−2sx, µ+2sx) es del 95, 45 % y dentro del intervalo(µ−3sx, µ+3sx) es del 99, 73 %. Por lo tanto, tenemos que x es la mejor aproximaciondel valor real µ de la magnitud a medir, y es casi seguro (con una probabilidad del99, 73 %) que si tomamos una medida xi de esta, se encuentre a menos de 3sx dex. Por eso, cuanto menor sea la desviacion estandar, mejor estaremos acotando elvalor real. Como la desviacion estandar decrece con el numero de medidas, siempreconvendra tomar el mayor numero posible de medidas de cualquier magnitud quese quiera conocer. Como se ve, sx es inversamente proporcional a la raız del numerode medidas, esto es,

sx ∝1√n

. (11)

4. Desechando medidas. Muy a menudo se obtienen medidas equivocadas muy distintasal resto, y cuyo altısimo o bajısimo valor influye negativamente en los resultadosdesviando la media y aumentando el error. Estas medidas se conocen como medidasespureas. Si uno esta seguro de que un determinado valor en apariencia extrano esdebido a un error de medida y que no refleja un efecto fısico no previsto, se puededesechar y trabajar unicamente con el resto.

5. En resumen, los pasos a seguir son los siguientes:

-Hallar la media x de las n medidas tomadas, intentando que n sea lo suficiente-mente grande.

-Calcular el error absoluto de la media, que se supondra igual a 3 veces la desviacionestandar,

∆x = 3sx =3s(x)√

n. (12)

-Se redondea el error a una unica cifra significativa (o dos, si las dos primeras cifrasson menores que 25), y la media x hasta ese orden de magnitud.

-Se incluyen las unidades pertinentes.

6. Ejemplo. Medimos con un cronometro el perıodo de un pendulo y obtenemos lossiguientes resultados,

Perıodo (ms) 902 850 915 930 888 875 889 902 902 890

-Calculo de la media.

x =1

10

10∑i=1

xi = 894, 3 ms. (13)

-Calculo del error asociado a la media. La desviacion estandar es

sx =s(x)√

10=

(1

10 · 9

10∑i=1

(xi − x)2

)1/2

= 6, 9 ms, (14)


de modo que el error sera

∆x = 3sx = 20, 7 ms. (15)

-Redondeo. Se debe redondear a una cifra. Se redondeara a dos si la primera es un1 o la primera es un 2 y la segunda menor que 5 (en definitiva, se redondeara ados si la cifra es menor que 25). Por lo tanto, el error sera

∆x = 21 ms. (16)

Como la ultima cifra significativa es el milisegundo, hasta este orden se re-dondeara la media. Por lo tanto se obtiene, incluyendo las unidades pertinentes,

x = 894± 21 ms. (17)

Si el error hubiera sido mayor que 25, se habrıa redondeado a una sola cifrasignificativa, como por ejemplo,

∆x = 27 ms ≈ 30 ms, (18)

y el resultado serıax = 890± 30 ms, (19)

o, en notacion cientıfica,

x = (8, 9± 0, 3)× 102 ms. (20)

0.4.4 Calculo de errores de medidas indirectas

En la mayorıa de los casos las magnitudes medidas directamente no son el objetivo finalde un experimento, sino un paso necesario para obtener otras magnitudes relacionadascon ellas mediante alguna dependencia funcional. Si x1, x2, ...xn son todas las magnitudes(ahora xi son diferentes magnitudes, no medidas de la misma magnitud, como hasta ahora)que intervienen en la evaluacion de otra indirecta y cuyo valor pretendemos determinar,podemos representar matematicamente tal dependencia funcional como

y = f(x1, x2, ...xn). (21)

Puesto que cada magnitud xi viene afectada por un error ∆xi, tal error afectara ala precision de la magnitud calculada y. El calculo de la incertidumbre de un resultadoobtenido indirectamente ∆y a partir de las correspondientes incertidumbres de las medidasdirectas ∆xi se denomina propagacion de errores y se basa en el concepto de diferencialde una funcion de varias variables. El calculo de propagacion de errores se lleva a cabode modo diferente segun sea el tipo de error ∆xi. En el caso de que todo ∆xi sea unerror aleatorio, obtenido segun las expresiones indicadas previamente, el valor de ∆y seobtendra segun la ecuacion

∆y =n∑

i=1

∣∣∣∣ ∂y

∂xi

∣∣∣∣∆xi. (22)

Algunos casos practicos, suponiendo que la funcion V depende de otras dos magnitudesa y b, es decir, V = f(a, b).


-Suma: V = a + b. Aplicando la formula anterior, se obtiene ∆V = ∆a + ∆b.

-Resta: V = a− b =⇒ ∆V = ∆a + ∆b.

-Producto: V = a · b =⇒ ∆V = b ·∆a + a ·∆b.

-Cociente: V = a/b =⇒ ∆VV

= ∆aa

+ ∆bb

.

Las magnitudes xi no son exclusivamente las medidas experimentales, ya que las con-stantes fısicas suelen estar tambien afectadas por un cierto error de redondeo, y han deser consideradas en el computo completo del error.

Sin embargo, en muchos casos practicos, la aplicacion de este procedimiento se simpli-fica bastante ya que algunas magnitudes tienen un error muy pequeno frente al de otras ysu contribucion a ∆y es despreciable. Por la misma razon, puede ser conveniente aumen-tar el numero de cifras significativas que se consideran de ciertas magnitudes (constantes,masas atomicas,...) para que el error debido a ellas sea mınimo.

Ejemplo: Dado un cilindro de radio r = 6, 0 cm y altura h = 10, 0 cm, determinaremosel volumen del mismo. Se toma como dato π = 3, 1416. El volumen V resulta

V = πhr2 = 1131 cm3. (23)

Las derivadas parciales necesarias son

∂V

∂r= 2πhr = 377 cm2, (24)

∂V

∂h= πr2 = 113 cm2, (25)

∂V

∂π= hr2 = 360 cm3. (26)

Ası, tomando como errores

∆r = ∆h = 0, 1 cm, (27)

∆π = 0, 0001, (28)

el error en el volumen es

∆V = (377 · 0, 1 + 113 · 0, 1 + 360 · 0, 0001) cm3 = 49 cm3. (29)

Finalmente, se obtieneV = 1130± 50 cm3, (30)

o,en notacion cientıfica,V = (1, 13± 0, 5)× 103 cm3. (31)

Ademas de la presentacion del resultado del volumen con su error, el analisis anteriorpermite obtener una serie de conclusiones:

-El error debido al redondeo de π es despreciable (0,036) frente al resto y podrıa habersesuprimido.

-La mayor contribucion al error ∆V se debe al radio (37,7), por lo tanto para mejorarel metodo hay que mejorar la precision de la medida de r.


0.5 Regresion lineal

La dependencia lineal entre dos variables ocurre de una manera tan frecuente en Ciencias eIngenierıa que debemos considerar con detenimiento el analisis de los datos correlacionadosde esta forma.

Supongamos que tenemos una nube de puntos de coordenadas (xi, yi) y que a simplevista sugieren una relacion lineal entre las variables x e y, es decir, existe entre ellasuna dependencia del tipo y = mx + c. Una primera aproximacion a los valores de m(la pendiente de la recta) y c (la ordenada en el origen) puede obtenerse simplementedibujando con una regla la que, a ojo, nos parezca la recta que mejor se ajusta a lanube de puntos considerada. A partir de ella, obtenemos los valores numericos de m y c.Aunque esta manera de proceder puede resultar util en alguna ocasion, hay aspectos quedesaconsejan emplearla como un metodo generalizado con el que realizar nuestros ajusteslineales. Entre ellos estan:

-Dos personas nunca dibujaran la misma recta a ojo, con lo cual difıcilmente podranreproducir nuestros resultados.

-Si el error asociado con cada dato es diferente, ¿como podemos tener esto en cuenta ala hora de dibujar la recta, puesto que unos datos tienen mas relevencia que otros?

-Dibujar la recta a ojo puede resultar muy difıcil si los datos estan excesivamente dis-persos.

¿Como podemos asociar errores a las magnitudes m y c por el anterior procedimiento?.

Todo esto lleva a considerar una herramienta mas sistematica que nos permita respon-der a las anteriores cuestiones y eliminar las incertidumbres en algunos de los calculosinvolucrados. Esta herramienta se conoce como metodo de los mınimos cuadrados.

0.5.1 Metodo de los mınimos cuadrados

El metodo de mınimos cuadrados que vamos a describir a continuacion se apoya en dossuposiciones; primero, asumimos que solo estan afectados de error los valores de la variabley, mientras que la variable x esta libre de error (esta situacion es bastante comun en lapractica, donde la variable x es generalmente la que el experimentador controla y portanto se supone conocida con una gran precision). Segundo, suponemos que los erroresasociados con cada medida de la variable y son identicos, es decir, que las barras de errorson todas de igual longitud. Mas adelante generalizaremos el metodo para el caso generalen que los errores de cada medida son diferentes.

En la figura se muestra una grafica con una recta que pasa cerca de los datos experi-mentales. Para un valor determinado de x, por ejemplo xi, tenemos dos valores de y: yi0,que corresponde al valor de y medido experimentalmente para xi; e yic, que correspondeal valor calculado usando la ecuacion de la recta

yic = mxi + c, (32)

donde m representa la pendiente de la recta y c la ordenada en el origen. Definamos ∆yi

como la diferencia entre yi0 e yic,

∆yi = yi0 − yic. (33)


Figura 2: Grafica que muestra el ajuste por mınimos cuadrados a una nube de puntos.Tambien se muestran las barras de error, ası como la forma correcta de escribir el tıtuloy las etiquetas de los ejes. Observese que el origen esta situado en (0,0.2) por claridad.

Esta claro que si utilizamos diferentes rectas para intentar ajustarlas mejor a los datosexperimentales, los valores de ∆yi van cambiando. Vamos a emplear un criterio para en-contrar la recta de mejor ajuste empleando los valores de ∆yi. Este metodo es comunmenteempleado en estadıstica teorica y se denomina el principio de maxima probabilidad. Con-siste en asumir que la mejor recta es aquella cuyos parametros m y c minimizan la sumade los cuadrados de los ∆yi. Llamemos a esta suma SS,

SS = (∆y1)2 + (∆y2)

2 + · · ·+ (∆yn)2 =n∑

i=1

(∆yi)2 (34)

donde n es el numero de datos experimentales que estamos considerando para el ajuste.Empleando la ecuacion 32, podemos escribir

SS =n∑

i=1

(yi0 − (mxi + c))2. (35)

Para obtener la recta de mejor ajuste por el metodo de mınimos cuadrados, debemosminimizar SS. Para ello debemos igualar a cero, a la vez, la derivada parcial de SS con


respecto a m y la derivada parcial con respecto a c. Esto da lugar a las ecuaciones1:

n∑i=1

[xi(yi0 −mxi − c)] = 0, (36)

n∑i=1

(yi0 −mxi − c) = 0. (37)

Las dos ecuaciones anteriores se pueden desarrollar y, combinandolas, obtener las sigu-ientes expresiones para m y c,

m =n∑

xiyi −∑

xi

∑yi

n∑

x2i − (

∑xi)2

, (38)

c =

∑x2

i

∑yi −

∑xi

∑xiyi

n∑

x2i − (

∑xi)2

, (39)

donde hemos eliminado por conveniencia el subındice 0 de yi0 y los ındices de las sumas,puesto que siempre se extienden al conjunto de datos experimentales n. Las dos ecua-ciones anteriores nos permiten calcular, a partir de medidas experimentales, la pendientey ordenada en el origen de la recta de mejor ajuste segun el metodo de mınimos cuadra-dos, de una manera completamente sistematica. En la practica, no obstante, al llevar acabo el calculo de m y c, es importante no redondear los valores intermedios utilizados enel calculo de dichas magnitudes, ya que esto puede influir tremendamente en los valoresfinales. Esto es debido a que en el numerador y en el denominador tenemos restas entremagnitudes que pueden ser muy cercanas, por lo que un cambio mınimo en el denomi-nador o el numerador puede cambiar fuertemente el resultado de la division. Por ello, esrecomendable mantener durante todo el calculo los resultados intermedios con el mayornumero de cifras significativas que sea posible; esto es posible si utilizamos una calculadorao un computador para realizar los calculos.

0.5.2 Calculo de errores de la pendiente y la ordenada en el origen

En el apartado anterior hemos encontrado las ecuaciones que nos permiten calcular losparametros de la recta de mejor ajuste a una serie de datos experimentales. Logicamente,queda una pregunta importante que contestar: ¿que error asociamos a cada una de estascantidades? Es decir, ¿con cuantas cifras significativas tenemos que escribir los valores dem y c? Para contestar a esta pregunta vamos a hacer las siguientes suposiciones:

-Para cada valor de x, el valor correspondiente de y tiene un cierto error asociado.

-El error asociado con cada valor de y contribuye al error de m y n.

-Los errores en cada valor de y son independientes.

1En realidad, la condicion que aquı empleamos unicamente asegura que el valor de SS ası encontradoes un extremo. Para poder decir que se trata efectivamente de un mınimo es necesario imponer unasegunda condicion sobre la derivadas parciales segundas, pero nosotros no vamos a llevar a cabo estecalculo, asumiendo que se trata realmente de un mınimo.


En particular esta ultima suposicion nos permite escribir

σm =

√(∂m

∂y1

)2σ21 + (

∂m

∂y2

)2σ22 + · · ·+ (

∂m

∂yn

)2σ2n, (40)

y una ecuacion similar para c. Las cantidades σ1, σ2, . . . , σn son los errores de y1, y2, . . . , yn.Suponiendo que dichos errores son iguales para todos los valores de y, tenemos

σm = σ

[n∑

i=1

(∂m

∂yi

)2]1/2

, (41)

σc = σ

[n∑

i=1

(∂c

∂yi

)2]1/2

. (42)

Empleando las expresiones para m y c que hemos calculado en la seccion anterior ysustituyendo en estas ecuaciones resulta, tras algunos calculos,

σm =σn1/2

[n∑

x2i − (

∑xi)2]1/2

, (43)

σc =σ(∑

x2i )

1/2

[n∑

x2i − (

∑xi)2]1/2

. (44)

Por supuesto, σm y σc son los errores estandar correspondientes a m y c y σ es el errorasociado con cada valor de y. Normalmente, cuando estamos realizando un ajuste lineal,solemos tomar σ como la desviacion estandar de la distribucion de valores de y en torno ala recta de mejor ajuste, en lugar del error experimental. Esta desviacion estandar resultaser:

σ =

[1

n− 2

∑(yi −mxi − c)2

]1/2

. (45)

Por tanto, las ecuaciones 43, 44 y 45 nos permiten el calculo de los errores en la pendientey la ordenada en el origen del ajuste por mınimos cuadrados.

0.5.3 Apendice

En esta seccion vamos a discutir brevemente el caso mas general del ajuste por mınimoscuadrados, es decir, aquel en que los errores asociados con cada medida yi de la variabley, son diferentes. Los llamaremos por conveniencia σi, i = 1, . . . , n.

Si bien los calculos explıcitos en este caso son mas complicados que en el caso particularque hasta ahora hemos considerado, la idea general (minimizar la suma de los cuadradosde las diferencias ∆yi) es la misma. Por tanto, vamos a limitarnos a recopilar las formulasque debemos aplicar para el calculo de m, c y sus respectivos errores.

En primer lugar, introducimos la cantidad2

∆ =∑ 1

σ2i

∑ x2i

σ2i

−(∑ xi

σ2i

)2

. (46)

2Como siempre, todos los sumatorios se extienden a los n datos experimentales.


Con ello, resultan

m =

∑1σ2

i

∑ xiyi

σ2i−∑

xi

σ2i

∑ yi

σ2i

∆, (47)

σm =

(∑1σ2

i

∆

)1/2

, (48)

c =

∑ x2i

σ2i

∑ yi

σ2i−∑

xi

σ2i

∑ xiyi

σ2i

∆, (49)

σc =

∑ x2i

σ2i

∆

1/2

. (50)

Aplicar estas expresiones a una conjunto de datos muy grande requiere por supuesto eluso de un computador con el software adecuado.

0.6 Elaboracion de la memoria

0.6.1 El proposito de la memoria

La elaboracion de memorias constituye una tarea ineludible en el quehacer cientıfico encuanto que es el instrumento habitual para hacer llegar al conjunto de la comunidadcientıfica resultados y conclusiones que en principio son solo accesibles al autor o autoresde un trabajo determinado o, en el mejor de los casos, a un entorno reducido de losmismos.

El objetivo de las practicas que vamos a realizar en el laboratorio no es convertir alalumno en un cientıfico, pero pueden constituir un primer acercamiento a la manera deproceder de estos. En ese sentido, como hemos indicado, una de las tareas que se debeafrontar es la elaboracion de informes donde se recojan diversos aspectos de su trabajo.

Escribir una buena memoria no es una tarea facil y requiere, como casi todo, algode entrenamiento. Una buena manera de empezar este entrenamiento puede ser echar unvistazo a informes que hayan sido escritos por otros, para poder hacerse una idea de todoslos componentes que deben estar presentes en una buena memoria; pero indudablemente,esto no puede sustituir nunca a la propia experiencia.

Cualquier buena memoria debe

-Ser completa pero concisa.

-Tener una estructura logica.

-Ser facil de leer.

Nos vamos a ocupar a continuacion de la estructura de la memoria. Un informe bienestructurado nos va a permitir contemplar todos los aspectos que deben estar presentesen un trabajo cientıfico, desde el transfondo general del problema hasta los detalles delexperimento.


0.6.2 Estructura de la memoria

Un esquema que es frecuentemente empleado en la redaccion de memorias o informes esel siguiente3:

-Tıtulo.

-Resumen.

-Introduccion.

-Metodos y materiales.

-Resultados.

-Discusion.

-Agradecimientos.

-Apendices.

-Referencias.

A continuacion, nos detendremos brevemente en cada uno de estos puntos.

1. Tıtulo. Debe ser breve pero, a la vez, informarnos suficientemente del contenido y/oobjetivo/s del trabajo. Debajo del tıtulo suele escribirse el nombre del autor deltrabajo.

2. Resumen. Debe contener los resultados novedosos o principales del trabajo, ası comolos aspectos fundamentales y la motivacion para la realizacion del mismo. Debe serbreve (entre unas 50 y 150 palabras) y centrarse en los puntos importantes, evitandolos detalles.

3. Introduccion. En la introduccion, el objetivo fundamental es situar el trabajo dentrode un contexto determinado; por decirlo ası, debe informarnos sobre el transfondode la investigacion que hemos llevado a cabo, sobre sus antecedentes y el estadoactual del tema. Aunque es posible, y a veces necesario, hacer referencia a trabajosanteriores, debe ser autocontenida en la medida de lo posible, aunque sin abundarexcesivamente en los detalles. La extension depende del tipo de trabajo de que setrate, pero no deberıa superar una quinta parte de la longitud del total.

4. Metodos y materiales. Es una descripcion tanto del montaje como del metodo ex-perimental empleado. Si la tecnica experimental utilizada es conocida, basta condescribirla brevemente o remitir a las referencias; sin embargo, si es novedosa enalgun aspecto, conviene describirla con el suficiente detalle como para que el exper-imento sea reproducible por cualquier otra persona. Puede resultar muy interesantela inclusion de diagramas o dibujos explicativos que ayuden en este aspecto.

3Cuando la memoria es breve, puede ser util combinar dos o mas secciones en una sola. Por ejem-plo, podrıamos tener un encabezamiento como ”Resultados y conclusiones”. Del mismo modo, algunassecciones como los ”Agradecimientos” pueden no ser necesarios


5. Resultados. En esta seccion, debemos incluir los datos que creamos necesarios paradar consistencia a nuestras discusiones y conclusiones posteriores. No se trata, portanto, de presentar todos los datos de que dispongamos sino solo los que resultenutiles para la comprension del trabajo que se presenta. A ser posible, es preferible surepresentacion en forma de graficas que en forma de tablas; otro aspecto importantees dejar bien claro el grado de precision que poseen nuestros datos, ya que es evidentela influencia de esta en la discusion y los resultados.

6. Discusion. Nos debemos ocupar aquı de interpretar los resultados que hemos presen-tado en la seccion anterior. Para ello, debemos centrarnos unicamente en los detallesprincipales del experimento, haciendo hincapie en aquellos que puedan resultar es-pecialmente influyentes en los resultados obtenidos. Por ejemplo, si hemos detectadoalgun tipo de fallo o error en el diseno o en la realizacion de la experiencia, discutir-lo brevemente podrıa ayudar a comprender hasta que punto los datos presentadosrespaldan la teorıa que se pretendıa investigar; como mınimo, esta discusion siempreaportara nuevas formas de ver el problema y de abordarlo en futuros experimentos.

7. Conclusion. Se trata de retomar el objetivo de nuestro experimento y estudiar hastaque punto los resultados obtenidos permiten afirmar que este se ha alcanzado. Esconveniente y usual comparar nuestros resultados con los de otros autores que hayanllevado a cabo experiencias similares.

8. Agradecimientos. Cualquier trabajo cientıfico, y en particular el trabajo experimen-tal, es casi siempre labor de varias personas. Es importante incluir en la memoriauna seccion muy breve destinada a agradecer a esas otras personas o entidades laayuda prestada, intelectual (en forma de discusiones sobre un aspecto particular deltrabajo, por ejemplo) o economicamente.

9. Referencias. Las referencias son una parte muy importante de la memoria, porquepermiten al lector tener acceso de forma selectiva a fuentes de informacion dondeconsultar detalles, la historia del problema, las tecnicas empleadas por otros, etc.,que evidentemente no pueden incluirse en la memoria. Existen fundamentalmentedos formas de dar las referencias en una memoria. La primera es colocar un su-perındice en alguna palabra del punto del texto donde la referencia sea relevante,que despues se correspondera en la seccion de referencias con una lınea de textodonde se incluira:

-El nombre o nombres del/los autores.

-El ano de publicacion.

-El nombre de la revista o del libro.

-Si se trata de una revista, el numero del volumen, en negrilla o subrayado.

-El numero de la primera pagina.

-A veces, tambien se incluye el tıtulo completo del artıculo en las referencias, sobretodo cuando esta seccion no es muy larga.

La segunda forma de dar una referencia consiste en escribir en el lugar del textoapropiado (y normalmente entre parentesis), el autor y el ano de la referencia; en este


caso, en la seccion de referencias, los autores estaran listados en orden alfabetico,seguidos del resto de la informacion como el ano de publicacion, etc.

10. Apendices. Aquı puede incluirse determinado material como la deduccion de unaecuacion o el codigo de un programa especialmente relevantes en la obtencion o eltratamiento de los resultados, de los cuales no existen o no conocemos referencias.

Capıtulo 1

Medidas geometricas

1.1 Objetivo

Mediante el uso de calibres, tornillos micrometricos y esferometros se determinaran lasdimensiones geometricas de distintos cuerpos. Tendra gran relevancia el analisis de loserrores de las distintas medidas directas e indirectas. Se caracterizaran adecuadamentelos distintos instrumentos de medida.

1.2 Fundamento teorico

En esta practica se hace uso de tres instrumentos de medida: el calibre o pie de rey, elPalmer o tornillo micrometrico y el esferometro. Cada uno de ellos mide determinadaslongitudes relacionadas con la geometrıa de los cuerpos que se estudian. Como se ha men-cionado en el capıtulo de tratamiento de errores, la medicion y el error de medida dealgunos instrumentos, como los tres que aquı se presentan, tienen caracterısticas espe-ciales que hay que estudiar por separado. En esta introduccion teorica se estudian estasparticularidades.

1.2.1 Calibre o pie de rey

Se trata del instrumento de la figura 1.1. Generalmente esta fabricado en acero, si bientambien hay modelos en plastico e incluso algunos modelos tienen un medidor digital. Es elmas conocido de los instrumentos de medidas geometricas, y permite una medicion rapiday relativamente precisa. Con el calibre se pueden medir longitudes interiores, exteriores yespesores de los cuerpos.

En la figura 1.1, se observa que la regla tiene una serie de marcas equiespaciadas unadistancia D (en el caso mas frecuente, y en el de este laboratorio, D = 1 mm). Sobre ellaresbala un cursor, que esta solidariamente unido a un vastago, que aparece en la parteinferior de la regla y que sirve para medir profundidades. En el cursor se encuentra unnonius, una segunda escala parecida a la de la regla pero con distinta separacion entre lasdivisiones. Cuando el calibre esta cerrado, el cero del nonius ha de coincidir con el cerode la regla. Si la escala del nonius esta dividida en n partes iguales, la precision P de un

24

CAPITULO 1. MEDIDAS GEOMETRICAS 25

Figura 1.1: Calibre o pie de rey.

calibre sera

P =D

n. (1.1)

Para medir la longitud exterior de un cuerpo hay que introducirlo entre las patillasfija y movil. Si se quiere medir una dimension interna se utilizaran las pinzas o cuchillossuperiores, y para medir profundidades se empleara el vastago posterior.

Cuando se presionan las patillas sobre el cuerpo en una determinada medicion, se puedeobservar que el cero del nonius queda comprendido entre dos divisiones consecutivas dela regla, que vamos a llamar NR y NR + 1. Posteriormente, hay que observar que divisiondel nonius es la que coincide mejor con alguna division de la regla superior. Si suponemosque esto le ocurre a la division NN del nonius, la medida total de la longitud l del cuerposera

l = NRD + NNP. (1.2)

Por ejemplo, supongamos que, al presionar las patillas del calibre sobre la longitud deuna arista de un cubo, nos encontramos con que el cero del nonius esta entre las divisiones6 y 7 de la regla, y que la division 4 del nonius coincide con la division 10 de la regla.Dado que, en nuestro calibre, el nonius tiene 10 divisiones y la division menor de la reglaes 1 mm, tenemos

NR = 6, NN = 4, D = 1 mm, n = 10, (1.3)

ası que la precision es P = D/n = 0, 1 mm, y la longitud medida es

l = NRD + NNP = 6 · (1 mm) + 4 · (0, 1 mm) = 6, 4 mm. (1.4)

1.2.2 Palmer o tornillo micrometrico

El Palmer se utiliza, por regla general, para medir el espesor de los cuerpos. El objeto amedir se coloca en la mandıbula, entre el tope y el husillo o extremo del tornillo (figura1.2). En la pieza hay una escala que se encuentra dividida en pasos. El paso de rosca,que es lo que avanza el tornillo en cada giro, es D = 0, 5 mm. Solidario con el tornillo seencuentra el collar, sobre cuyo borde hay una serie de marcas similares a las del calibre.Para obtener la precision del Palmer se utiliza la misma ecuacion que en el calibre,

P =D

n, (1.5)


Figura 1.2: Palmer o tornillo

y el grosor medido del cuerpo se determina como

l = NRD + NNP, (1.6)

al igual que en el calibre. Hay que tener en cuenta que, en este caso, NR es el numeroentero de medios milımetros leıdo en la escala, NN es la division del collar que coincidecon el trazo horizontal de la propia escala, y n es el numero de divisiones del collar.

La mayor parte de los objetos no tienen un espesor uniforme, por lo que es importanterealizar varias veces la operacion de medida en distintas partes del objeto. La correctamanipulacion del tornillo exige que el giro se realice sobre la cabeza del tornillo. Estacabeza impide realizar una fuerza excesiva con el tornillo sobre la pieza, lo que limita elpoder danar al objeto medido o al propio tornillo al hacer con el una presion excesiva.Ademas, de esta manera se asegura que la medida es correcta ya que el tornillo tiene elcontacto adecuado con el objeto a medir.

En toda medida, la primera operacion que debe realizarse es la comprobacion delajuste del cero. Para ello hay que hacer que las superficies de medicion se encuentren encontacto y se observa el valor que indica la escala. En el caso de que la medida no seacero habra que tener en cuenta el error de cero. Habra que restar el valor que indique lamedida si se trata de un error por exceso, cuando al estar cerrado indica un valor positivo,y sumarlo cuando el error sea por defecto.

1.2.3 Esferometro

El esferometro es un intrumento que permite medir la concavidad o convexidad de unasuperficie. En el caso de que se trate de una superficie esferica, se podra determinar elradio de curvatura de nuestra esfera o zona esferica. Este instrumento esta formado porun trıpode cuyos pies son puntas de acero fijas, separadas entre sı a modo de trianguloequilatero y que definen un plano en el espacio (vease la figura 1.3 A). En el centro deltrıpode se encuentra situado un tornillo micrometrico. La medida del tornillo aparecereflejada por el movimiento de una aguja sobre una escala dividida en sectores. El tamanoequivalente de cada marca es la precision P del esferometro y esta indicada en la mismaesfera. Con este tornillo se mide la altura existente desde la punta del tornillo centralhasta el plano delimitado por los tres pies fijos del esferometro y por tanto, haciendouso de una serie de formulas se puede determinar la esfericidad de nuestro elemento deestudio.


Figura 1.3: (A) Esferometro. (B) Medida de radios de curvatura.

Al igual que en los casos anteriores, previamente a cualquier medida debe realizarse ladeterminacion del error de cero. Para ello, dentro en la funda del esferometro, se encuentrauna superficie plana calibrada. Sobre ella hay que situar el esferometro, posteriormentehay que ajustar la punta del mismo hasta que la aguja se encuentra situada sobre el cerodel tornillo.

Para medir el radio de curvatura R de una esfera o de un casquete esferico (figura1.3 B) hay que colocar el esferometro de manera que las puntas de los pies y la puntade medicion esten, simultaneamente, en contacto con la superficie esferica. El radio r dela circunferencia circunscrita al triangulo que forman los tres pies fijos del esferometro sepuede calcular midiendo la distancia d que separa a dos pies entre sı. De esta manera seobtiene que

r =d√3. (1.7)

Finalmente, el radio R de la superficie esferica se podra obtener utilizando la siguienteformula

R =d2 + 3h2

6h. (1.8)

1.3 Montaje experimental

El primer paso de toda medida es la caracterizacion de los instrumentos de medida quese van a emplear. Para ello, es necesario tomar referencia de los datos de cada aparatoque a continuacion se indican.

1. Tipo de medida que realiza: profundidades, longitudes externas, longitudes internas,etc.

2. Rango de medida: valores mınimo y maximo que se pueden medir.


3. Precision: mınima medida que puede ser discriminada.

4. Error de cero: Determinar su valor y si es por exceso o por defecto.

Posteriormente se realizaran las medidas que se indicaran en el apartado de Resultados.Tiene especial relevancia en esta practica la aplicacion de la teorıa indicada sobre el calculode errores.

En las medidas realizadas con el esferometro es necesario determinar la distancia d quesepara entre sı a los pies de apoyo del esferometro, es decir, el lado del triangulo equilatero.Para medir d, que es una constante del aparato, se puede apretar el esferometro sobreun papel, de manera que quedan marcadas en el las puntas de apoyo del esferometro.Finalmente, con la ayuda de un calibre, se pueden medir las distancias entre las senales.

1.4 Resultados

1. Resultados de la caracterizacion de los aparatos de medida empleados.

Calibre Palmer EsferometroTipo de medida

Rango de medidaPrecision

Error de cerod (esferometro) ——– ——–

2. Determinar las dimensiones de la pesa de 50 g, usando el instrumento de medidaque se considere mas oportuno. Cada medida debera ser realizada tres veces comomınimo, adoptandose como resultado de la medida el valor medio. La presentacionde todos los resultados debera hacerse indicando el error de la medida y, por tanto,atendiendo al numero de dıgitos con que se proporciona la medida.

Instrumento Medidas Valor medio ErrorAltura

Diametro exteriorDiametro interiorAnchura de ranura

3. Utilizando el calibre y el tornillo micrometrico, determinar el diametro del cilin-dro de acero. Cada medida se realizara una sola vez y se acompanara del errorcorrespondiente.

Instrumento Medida ErrorCalibrePalmer

4. Haciendo uso del tornillo micrometrico, determinar el espesor de una placa fina y deuna hoja de aluminio. Tomar como mınimo cinco puntos distintos. Si el resultado


indica que son realmente uniformes, tomar el valor medio de las medidas como elautentico espesor de los objetos. Acompanar al dato con su error.

Espesor (5 medidas) =

Espesor medio (± Error) =

5. Empleando el esferometro, determinar el radio de curvatura de las tres zonas esferi-cas (vidrios de reloj) que se proporcionan (vease figura 1.3 B). Considerar que noexiste error en la medida de la distancia entre las patas del esferometro, es decir,tomar d como una constante. Realizar la medida de h una sola vez e indicar el errorasociado al radio de curvatura R.

d = h(±Eh) =

R = ER =

6. Medir el volumen de un prisma y su error. Realizar cada medida directa una solavez.

Largo(± Error) =

Ancho(± Error) =

Alto(± Error) =

Volumen(± Error) =

1.5 Cuestiones

1. En el caso de que tras medir diez veces cierta dimension de un objeto se obten-ga siempre el mismo resultado, el valor medio de las medidas coincidira con ellasmismas, y la desviacion estandar de ese conjunto de medidas sera nula. ¿Se puedeafirmar que en este caso el error absoluto de la medida sera cero? ¿Por que?

2. Obtener las ecuaciones 1.7 y 1.8 mediante argumentos geometricos.

3. ¿Que instrumento serıa mejor para medir el espesor de una placa, un tornillo mi-crometrico o un pie de rey, suponiendo que ambos tienen la misma precision? ¿Porque?

Capıtulo 2

Movimiento en caıda libre

2.1 Objetivo

Una esfera cae libremente desde alturas variables. El tiempo de caıda se determinara me-diante medicion. Se obtendra experimentalmente la relacion entre espacio recorrido ytiempo. Ademas, por comparacion con el modelo cinematico teorico, se obtendra un valorexperimental de la aceleracion de la gravedad.


La intensidad del campo gravitatorio terrestre, dirigido hacia el centro de la Tierra, sobreun punto situado a una distancia h por encima de la superficie de la Tierra es, segun laLey de Newton de la Gravitacion Universal,

g(h) =GMT

(RT + h)2, (2.1)

donde G = 6, 670 · 10−11 N · m2 · kg−2 es la constante de la Gravitacion Universal,MT = 5, 98 · 1024 kg es la masa de la Tierra, y RT = 6370 km es el radio terrestre, bajola suposicion de que la Tierra es una esfera. Cuando el valor de h es despreciable frente aRT , lo cual ocurre para movimientos de corto recorrido de los cuerpos bajo la accion dela gravedad cerca de la superficie terrestre, la intensidad del campo gravitatorio se puedeaproximar bastante bien por

g =GMT

R2T

, (2.2)

esto es, se puede tomar un valor de la aceleracion de la gravedad practicamente constantee igual a g = 9, 8 m · s−2. Esto significa que, bajo las aproximaciones arriba descritas, elmovimiento de un cuerpo bajo la accion de la gravedad terrestre es tal que su aceleraciones constante e igual a g.

Segun las leyes cinematicas, la ecuacion del espacio recorrido en funcion del tiempopara un movil con movimiento uniformemente acelerado, con aceleracion constante g, es

s(t) =1

2gt2. (2.3)

30

CAPITULO 2. MOVIMIENTO EN CAIDA LIBRE 31

Figura 2.1: Montaje experimental.

Esta expresion indica que, a partir de pares de medidas de espacio y tiempo para uncuerpo en caıda libre en la superficie terrestre, es posible realizar estimaciones de laaceleracion de la gravedad g. No obstante, debe siempre tenerse en cuenta que la Tierrano es estrictamente esferica, y que, por tanto, las ecuaciones anteriores no son mas que unaprimera aproximacion. La latitud, la altura sobre la superficie terrestre y la composicionde la atmosfera son algunos de los factores que, desde un punto de vista mas riguroso,deberıan tenerse en cuenta a la hora de medir la aceleracion de caıda libre de un cuerpo.


El montaje experimental se muestra en la figura 2.1. En el disparador se sujeta una esferaconductora, de tal modo que cierra el circuito de puesta en marcha del cronometro. Con eltornillo interruptor se ajusta la cazoleta de recogida, de forma tal que, al descender unaspocas decimas de milımetro, se interrumpa de nuevo el circuito del cronometro. Despuesde cada caıda debera colocarse la cazoleta en su posicion de partida.

Para la determinacion de la altura de caıda efectiva, debera tenerse en cuenta el radiode la esfera, ya que esta altura siempre ha de medirse desde el centro de masas. Laresistencia del aire puede, en principio, despreciarse.


2.4 Resultados

1. Modificando la separacion s entre el disparador y la cazoleta, desde 10 cm hasta80 cm, en pasos de 5 cm, para cada valor de s medir 3 veces el intervalo de tiempot que la bola tarda en llegar hasta la base. Hallar el valor medio t.

s t t t2

¿Cuales son los errores absolutos asociados a las medidas de la primera fila de latabla anterior?

Es = Et = Et = Et2 =

2. Representar graficamente el espacio s frente a los valores medios del tiempo t.

3. Calcular el coeficiente de correlacion lineal r, la pendiente a y la ordenada en elorigen b de la recta de mınimos cuadrados s = a(t)2 + b, y trazar en una grafica sfrente a (t)2.

r = a = b =

Determinar la aceleracion de la gravedad g y su correspondiente error a partir deestos valores, usando la ecuacion 2.3.

g = ∆g =

2.5 Discusion

• ¿A que puede deberse la diferencia del valor experimental de g obtenido con el valordel modelo teorico dado por la ecuacion 2.2?

• ¿Cual es el significado del parametro b del apartado anterior y cual es su valornumerico?

• Discutir cualquier otro resultado o problema de interes encontrado en el experimen-to.


2.6 Cuestiones

1. De acuerdo con la ecuacion 2.2, la aceleracion de caıda libre de una bola es indepen-diente del material con que esta se construya. ¿Serıa posible realizar esta practicacon una bola de papel?

2. ¿Se podrıa realizar esta practica con papel si estuvieramos en el vacıo?

3. ¿Que efecto tendrıa el rozamiento del aire si la altura de caıda fuera de 1 km?¿Que se medirıa entonces?

Capıtulo 3

Leyes de Newton

3.1 Objetivo

El carril neumatico, en el que se elimina practicamente el rozamiento, permitira determinarlas leyes que rigen la relacion entre espacio y tiempo, por un lado, y velocidad y tiempo,por otro, en movimientos rectilıneos uniformemente acelerados. Ademas, se estudiara larelacion existente entre la aceleracion y la masa acelerada para una fuerza constante.


Segun la Segunda Ley de Newton, la fuerza total ~F que actua sobre un cuerpo rıgido demasa m es la derivada temporal de su momento lineal ~p,

~F =d~p

dt=

d(m~v)

dt. (3.1)

Si la masa del cuerpo m permanece constante durante el movimiento, de la ecuacion 3.1se obtiene

~F = md~v

dt= m~a, (3.2)

donde ~a es la aceleracion del cuerpo.En el sistema de la figura 3.1, dos objetos, de masas m1 y m2, estan unidos por medio

de una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento.El cuerpo de masa m2 consta de un deslizador, que se halla sobre un carril neumatico, yde una serie de pesas que se pueden colocar a ambos lados del deslizador. El rozamientoentre el deslizador y el carril neumatico se puede considerar nulo, debido al colchon de aireque proporciona el propio carril. Unido al carril por un hilo, que supondremos inextensibley de masa despreciable, y por una polea sin rozamiento, se encuentra un portapesas que,junto a las pesas que pueden colocarse encima, forma el cuerpo de masa m1. Este cuerpo,que cuelga de la polea, esta sometido a la accion de la gravedad, a traves de su peso m1g.

Aplicando la ecuacion 3.2 a ambos cuerpos, y prescindiendo del caracter vectorial delas magnitudes por ser el movimiento unidimensional, es decir, de un unico grado delibertad, se tiene

m1g − T = m1a, (3.3)

34

CAPITULO 3. LEYES DE NEWTON 35

T = m2a, (3.4)

debido a que la aceleracion es la misma para ambos cuerpos, por estar unidos por unacuerda inextensible y de masa despreciable. Para obtener estas ecuaciones, tambien se hatenido en cuenta que la tension T es la misma a ambos lados de la polea al no existirrozamiento. Sumando ambas expresiones, se deduce la aceleracion

a =m1g

m1 + m2

, (3.5)

que es constante. Integrando en el tiempo esta ecuacion, se obtienen la velocidad v(t) deambos cuerpos y el desplazamiento s(t) de cada cuerpo respecto a su posicion inicial. Sipartimos de una situacion en la que la velocidad inicial es nula, la velocidad en funciondel tiempo es

v(t) = at =m1g

m1 + m2

t, (3.6)

y el desplazamiento en funcion del tiempo es

s(t) =1

2at2 =

1

2

m1g

m1 + m2

t2. (3.7)


El montaje experimental se muestra en la figura 3.1. Para reducir al mınimo el rozamientoen el movimiento de la masa m2 se dispone de un carril de aire cuya bomba se puedemantener al maximo. El deslizador dispone de un disparador magnetico conectado a uncontador digital de cuatro dıgitos, de forma que la salida del movil, con velocidad inicialnula, esta sincronizada con la puesta en marcha del reloj (t = 0).ADVERTENCIA IMPORTANTE: El disparador debe ser manejado con gran cuida-do porque es bastante delicado.

Se posee tambien una puerta fotoelectrica cuya posicion en el carril de aire es variable.Su salida esta conectada a la parada del contador. Cuando la pantallita del deslizadorintercepta el haz de luz de la puerta, el reloj se detiene (t = t1).

La puerta fotoelectrica es multifuncional, y ademas de enviar la senal de parada alcontador, mide el intervalo de tiempo (∆t = t2 − t1) que la pantallita del deslizadortarda en pasar (para ello se ha de cambiar el ajuste del medidor para que realice estafuncion). La utilidad de esta ultima funcion radica en la posibilidad de medir velocidadesinstantaneas en los instantes de tiempo dados por t1 +∆t/2, a traves de la aproximacion

v

(t1 +

∆t

2

)≈ ∆s

∆t, (3.8)

donde ∆s es la anchura de la pantallita. En esta aproximacion, se ha supuesto que ∆t esun intervalo temporal lo suficientemente pequeno como para pensar que la velocidad espracticamente constante en este intervalo.

Tambien se puede estudiar la relacion entre la aceleracion y la masa acelerada cuandose aplica una fuerza constante. Para mantener la fuerza constante, mantenemos fija la



masa que cuelga de la polea. En este caso, se puede aproximar la aceleracion instantaneapor la formula

a

(t1 +

∆t

2

)=

v

t1 + ∆t/2≈ ∆s

∆t(t1 + ∆t/2). (3.9)

3.4 Resultados

1. Anotar la anchura de la pantallita del deslizador junto con el error correspondiente.

∆s = E∆s =

2. Colocar 20 g en el gancho que cuelga de la polea (cuya masa es de 1 g), y no colocarpesas sobre el deslizador, cuya masa es de 205 g. Mantener la bomba de aire ala maxima potencia. Modificando la posicion de la barrera fotoelectrica, variar elespacio s recorrido por el deslizador desde 35 cm hasta 70 cm en intervalos de 5 cm.En cada caso, medir el tiempo t1 que tarda el deslizador en alcanzar la barrerafotoelectrica, y el intervalo de tiempo ∆t = t2− t1 que tarda la pantalla en atravesarel haz de luz. Calcular la velocidad instantanea aproximada asociada a cada ∆t(ecuacion 3.8). Es importante asegurarse de que el hilo permanece dentro del canalde la polea a lo largo de todo el movimiento. Si el hilo se sale de la acanaladura,debera repetirse el lanzamiento.

m1 = m2 =s( cm) t1 ∆t t21 t1 + ∆t/2 v

3540455055606570


Representar graficamente el espacio s frente a t21. Calcular la pendiente A1, la or-denada en el origen B1 y el coeficiente de correlacion r1 de la recta de mınimoscuadrados s = A1t

21 + B1, y trazar esta recta sobre la anterior representacion.

A1 = B1 = r1 =

A partir de la pendiente A1, y utilizando la ecuacion 3.7, calcular la aceleraciondel movimiento, que llamaremos a1, y un valor experimental de la gravedad, quellamaremos g1.

a1 = g1 =

3. Representar graficamente la velocidad instantanea v frente al tiempo (t1 + ∆t/2).Determinar la pendiente A2, la ordenada en el origen B2 y el coeficiente de corre-lacion r2 de la recta de mınimos cuadrados v = A2(t1 + ∆t/2) + B2, y trazar estarecta sobre la anterior representacion de los puntos.

A2 = B2 = r2 =

A partir de A2, y comparando con la ecuacion 3.6, calcular otro valor de la acel-eracion del movimiento a2 y otro valor experimental de la gravedad g2.

a2 = g2 =

4. Poner la puerta fotoelectrica en una posicion fija, y medir el espacio s que recorre eldeslizador para alcanzar dicha posicion desde el disparador. Sin modificar la masam1 respecto al apartado 1, ir aumentando la masa m2 en pasos de 20 g (10 g a cadalado del deslizador), siendo por tanto m2 = 205 g + mp (mp = masa de las pesas).Para cada valor de m2, medir el tiempo t1 y el intervalo ∆t. Calcular la aceleraciona correspondiente a cada caso a partir de la ecuacion 3.9.

s =mp( g) m1 + m2 t1 ∆t t1 + ∆t/2 a

020406080100120

Representar graficamente la aceleracion a frente a la masa total m1 + m2.

3.5 Discusion

• ¿Que se puede decir si se comparan los valores experimentales de la aceleracion dela gravedad g1 y g2 obtenidos?


• ¿Que interpretacion fısica tiene B2? ¿Cual deberıa ser su valor de acuerdo con elmontaje experimental? Si el valor obtenido no es el esperado, ¿como se ven afectadaslas conclusiones acerca de g1?

• En la representacion grafica de la aceleracion a frente a la masa total m1 + m2,¿que tipo de curva se esperarıa obtener?


3.6 Cuestiones

1. ¿Que ocurrirıa si la cuerda deslizase con rozamiento sobre la polea? ¿Y si la masa m2

deslizase con rozamiento sobre la superficie plana? ¿Seguirıa siendo uniformementeacelerado el movimiento?

2. ¿Cual serıa la expresion de s(t), en lugar de la dada por la ecuacion 3.7, si existieseuna velocidad inicial no nula?

3. En el apartado 3 de los Resultados se ha medido la aceleracion como cociente entrevelocidad instantanea y tiempo, por medio de la ecuacion 3.9. Podrıa medirse tam-bien la aceleracion a partir del espacio recorrido s y el tiempo t. ¿Cual de las dosestimaciones de la aceleracion a es mas precisa?

Capıtulo 4

Conservacion de la energıa mecanica

4.1 Objetivo

Mediante el uso de una rueda de Maxwell, se estudiara la conservacion de la energıamecanica y como la energıa potencial gravitatoria se transforma en energıa cinetica detraslacion y de rotacion.


La rueda de Maxwell (ver la figura 4.1) es, basicamente, un disco en el que se arrollandos cuerdas en su eje solido, a cada uno de los lados. Las cuerdas se sujetan en una barrafija, de manera que, al dejar libre el disco desde su posicion inicial de maxima altura, lascuerdas se van desenrollando y el disco va girando mientras cae.

Consideremos, en primer lugar, el movimiento de un disco homogeneo que gira ensentido antihorario con respecto a su eje, que tomaremos como eje z. El centro de masasdel disco sera el origen del sistema de referencia en este ejemplo. Por tanto, el disco sepuede representar geometricamente como un cırculo en el plano xy que gira respecto aleje z. Supongamos, por ahora, que el centro de masas esta fijo. Debido a que tratamos conun solido rıgido (indeformable), el movimiento de cada punto del disco esta relacionadocon el del resto de los puntos del disco en el sentido de que todos recorren los mismosangulos en el mismo tiempo, es decir, si la velocidad angular de rotacion de un punto deldisco en un instante dado es ω(t), entonces todos los puntos del disco giran con la mismavelocidad angular. Se define el vector velocidad angular como

−→ω = ω−→k , (4.1)

pues el disco gira alrededor del eje z, al cual se asigna un vector unitario−→k . Consideremos

un punto i del disco con vector de posicion −→ri = xi−→i + yi

−→j con respecto al centro de

masas. La velocidad de este punto es, segun las relaciones del movimiento circular,

−→ui =d−→ri

dt= −→ω ×−→ri , (4.2)

de manera que su energıa cinetica es

Ec,i =1

2miu

2i =

1

2ω2(mir

2i ). (4.3)

39

CAPITULO 4. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA 40

La energıa cinetica del disco es la suma de las energıas cineticas de todos sus puntos,ası que se llega a

Er =N∑

i=1

Ec,i =N∑

i=1

1

2miu

2i =

1

2ω2

N∑i=1

mir2i . (4.4)

Debido a que solo consideramos movimiento de rotacion del disco respecto a un eje quepasa por su centro de masas, la energıa cinetica obtenida se llama energıa cinetica derotacion. La cantidad Iz =

∑mir

2i es una caracterıstica del cuerpo rıgido llamada mo-

mento de inercia del cuerpo con respecto al eje z, que es nuestro eje de rotacion. Llegamos,por tanto, a que le energıa cinetica de rotacion de un cuerpo solido con respecto a un ejeque pasa por su centro de masas solo depende de la velocidad angular de rotacion ω y delmomento de inercia respecto a ese eje Iz,

Er =1

2Izω

2. (4.5)

Volvamos al caso de la rueda de Maxwell. Ademas de girar respecto a su eje, la ruedacae, es decir, su centro de masas no esta fijo, sino que se mueve con velocidad v. Por tanto,ademas de la energıa cinetica de rotacion, la rueda de Maxwell tiene una energıa cineticade traslacion Et dada por

Et =1

2mv2, (4.6)

donde m es la masa total del disco. Tambien se ha de tener en cuenta la energıa potencialde la gravedad a la que esta sometida la rueda. Si tomamos el origen de alturas en laposicion inicial, esta energıa potencial es

Ep = −N∑

i=1

migsi, (4.7)

siendo si el desplazamiento vertical de cada partıcula desde la posicion inicial. Podemosescribir este desplazamiento como si = s + s′i, donde s es el desplazamiento vertical delcentro de masas, relacionado con la velocidad del centro de masas v por

v =ds

dt, (4.8)

y s′i es el desplazamiento vertical del punto i respecto al centro de masas. Por la homo-geneidad del disco, es claro que el termino en s′i no afecta a la energıa potencial de larueda (se puede imaginar que, mientras un punto del disco se desplaza verticalmente unaaltura s′i con respecto al centro de masas, hay otro punto diametralmente opuesto que sedesplaza una altura −s′i, cancelandose mutuamente). Por tanto,

Ep = −N∑

i=1

migs = −gs

N∑i=1

mi = −mgs. (4.9)

Aun podemos simplificar mas estas expresiones si ocurre que, durante el movimientode la rueda de Maxwell, la cuerda no se desliza. En este caso, la velocidad del centro demasas v es igual a la velocidad lineal de cualquier punto situado en la periferia del eje


solido de la rueda, donde esta arrollada la cuerda. Si el eje tiene radio r, esto significa que

v = ωr. (4.10)

En consecuencia, la energıa total de una rueda de Maxwell, que es la suma de la energıapotencial gravitatoria, de la energıa cinetica de traslacion y de la energıa cinetica derotacion, se puede escribir como

E = −mgs +1

2

(m +

Iz

r2

)v2, (4.11)

donde m es la masa de la rueda, s es el desplazamiento vertical del centro de masas desdela posicion inicial, Iz es el momento de inercia de la rueda respecto al eje de rotacion, yv = ds/dt es la velocidad de traslacion vertical del centro de masas.

Puesto que la energıa es constante, es decir, es una magnitud conservada en esteproblema, la expresion anterior se puede simplificar si se deriva con respecto al tiempo,obteniendose

0 = −mgv +

(m +

Iz

r2

)vdv

dt. (4.12)

Dado que las condiciones iniciales, para t = 0, son s0 = 0, v0 = 0, podemos integrar estaecuacion para obtener la velocidad v(t) primero, y el desplazamiento s(t) despues. Se llegaası a las expresiones finales

v (t) =mg

m + Iz/r2t, (4.13)

s (t) =1

2

mg

m + Iz/r2t2. (4.14)


El montaje de la practica se puede observar en la figura 4.1. En el se puede ver la ruedade Maxwell en su posicion inicial con las cuerdas arrolladas en el eje del disco. En estaposicion se encuentra sujeto por el disparador, que se ha de mantener apretado, de maneraque, cuando se suelte el pulsador, el disco quedara libre para caer y girar. A una ciertadistancia s se coloca la puerta fotodetectora. La regla permite medir esta distancia conun error asociado a la precision de la regla.

Se realizaran dos tipos de medidas: por un lado, el tiempo que transcurre desde que sesuelta la rueda hasta que alcanza la puerta fotodetectora. Para ello la puerta debe estar enel modo , y el disparador debe volver a ser pulsado y mantenerse pulsadodurante la caıda del disco. Por otro lado, el tiempo que tarda el eje en cruzar la puerta.Para ello la puerta debe estar en el modo . Ademas, cada medida se realizara tres vecespara disminuir el error aleatorio cometido.

4.4 Resultados

1. Medir con un calibre de precision (al menos de decimas de milımetro) el diametroφ del eje de la rueda de Maxwell alrededor del que se arrolla la cuerda, y calcular



su radio, junto con los errores correspondientes:

φ(±Eφ) = r(±Er) =

2. Para 5 valores diferentes de distancia s entre el punto de partida y el detector, medirtres veces el tiempo t que tarda la rueda en recorrer esa distancia y otras tres vecesel tiempo ∆t que tarda el eje en cruzar el detector. Calcular los valores medioscorrespondientes e indicar los errores.

s(±Es) t1, t2, t3 t± Et ∆t1, ∆t2, ∆t3 ∆t± E∆t

Representar graficamente s frente a t2. Calcular la pendiente a1, la ordenada en el

origen b1 y el coeficiente de correlacion lineal c1 de la recta de mınimos cuadradoss = a1t

2+ b1, y trazar esta recta sobre la representacion anterior.

a1 = b1 = c1 =

Haciendo uso de la pendiente de la recta de mınimos cuadrados, y comparando conla ecuacion 4.14, determinar el momento de inercia de la rueda de Maxwell. Tomar


como valores para la rueda de Maxwell los datos m = 0, 520 kg para su masa y elvalor del radio del eje medido en el primer apartado.

Iz1(±EIz1) =

3. A partir de los valores ∆t del apartado anterior y el diametro medido del eje, calcularel valor de la velocidad v frente al tiempo de caıda t.

t v

Representar graficamente v frente a t. Calcular la pendiente a2, la ordenada en elorigen b2 y el coeficiente de correlacion lineal c2 de la recta de mınimos cuadradosv = a2t + b2, y trazar esta recta sobre la representacion anterior.

a2 = b2 = c2 =

Haciendo uso de la pendiente de la recta de mınimos cuadrados, y comparando conla ecuacion 4.13, determinar el momento de inercia de la rueda de Maxwell. Tomarcomo valores para la rueda de Maxwell los datos m = 0, 520 kg para su masa y elvalor del radio del eje medido en el primer apartado.

Iz2(±EIz2) =

4. Para cada valor del tiempo, determinar el valor de la energıa potencial gravitatoriaEp, el de la energıa cinetica de rotacion Er y el de la energıa cinetica de traslacionEt.

t Ep Er Et

Representar el valor de cada energıa frente al tiempo t. Indicar el tipo de curva quese obtiene en cada caso.

4.5 Discusion

• Discutir la bondad de los ajustes de los apartados 2 y 3 de los Resultados, y si losvalores obtenido Iz1 e Iz2 son razonables de acuerdo con la masa y geometrıa de larueda de Maxwell.


• Discutir las discrepancias entre Iz1 e Iz2. ¿Cuales son las principales fuentes de erroren cada caso? ¿Cual de los dos valores es mas fiable?

• Discutir los resultados obtenidos para la energıa a lo largo de la caıda. ¿Se puedeconfirmar con ellos la conservacion la energıa mecanica en el disco de Maxwell?


4.6 Cuestiones

1. Obtener las ecuaciones 4.13 y 4.14.

2. Deducir las expresiones de la energıa cinetica de traslacion, de rotacion y de laenergıa potencial de la rueda de Maxwell en funcion del tiempo. Hallar entonces laenergıa total en funcion del tiempo.

Capıtulo 5

El pendulo simple

5.1 Objetivo

Se medira el perıodo de la oscilacion de un pendulo simple en funcion de la longitud delhilo y del angulo de la desviacion inicial. El experimento permitira tambien obtener unvalor para la aceleracion de la gravedad.


Una masa m, considerada como partıcula puntual, se encuentra suspendida de un hilosupuesto inextensible y de masa despreciable. La partıcula se encuentra sometida a laaccion de la fuerza de la gravedad mg y se desplaza de su posicion de equilibrio, que esaquella en la cual el hilo forma un angulo φ = 0 con la vertical. Este sistema fısico seconoce con el nombre de pendulo simple (ver la figura 5.1).

Supongamos que la partıcula puntual se suelta inicialmente con velocidad nula cuandoel hilo forma un angulo φ0 con la vertical. La energıa del pendulo en este instante inicialtiene dos terminos: energıa cinetica, que es nula porque la velocidad inicial es nula, y

Figura 5.1: Pendulo simple.

45

CAPITULO 5. EL PENDULO SIMPLE 46

energıa potencial gravitatoria, que tiene la forma

Ep = −mgz, (5.1)

donde z es la distancia vertical desde el punto donde se cuelga el pendulo, y que adoptamoscomo origen de energıas potenciales, y el punto donde se encuentra la partıcula puntualen cada instante. En t = 0, la figura 5.1 muestra que

z0 = l cos φ0, (5.2)

de modo que la energıa inicial del pendulo es

E0 = −mgl cos φ0. (5.3)

Bajo la suposicion de que no existe amortiguamiento viscoso del aire de la atmosfera, laenergıa del pendulo se conserva. Esto quiere decir que, en cualquier instante de tiempo ten el cual el hilo forme un angulo φ con la vertical y se mueva con velocidad v, la suma desus energıas cinetica y potencial debe ser igual a la energıa inicial E0. Matematicamente,esto se expresa

1

2mv2 −mgl cos φ = −mgl cos φ0. (5.4)

Ahora, debido a que la partıcula colgada del hilo realiza un movimiento circular de radiol, la velocidad lineal v esta relacionada con la velocidad angular dφ/dt por la formula

v = ldφ

dt. (5.5)

Por tanto, la conservacion de la energıa del pendulo simple, dada por la ecuacion 5.4, sepuede escribir como (

dφ

dt

)2

= 2g

l(cos φ− cos φ0). (5.6)

En esta expresion se puede comprobar que el pendulo realiza un movimiento periodico.Inicialmente se encuentra con angulo φ0 y velocidad angular nula. Al soltarlo, va reco-rriendo una circunferencia de radio l hasta que su velocidad se hace de nuevo cero: comose ve en la ecuacion 5.6, esto ocurre para un angulo −φ0. Despues, la partıcula recorre elcamino inverso, y vuelve a pararse en su angulo inicial φ0. Se llama perıodo T al tiempoque tarda el pendulo en volver a su posicion inicial. El perıodo esta relacionado con elsemiperıodo t1/2 o tiempo que tarda el pendulo en ir desde un punto de retorno φ0 al otro−φ0 por

T = 2t1/2. (5.7)

Para calcular el perıodo, por tanto, podemos integrar la ecuacion 5.6 entre los puntos deretorno (hallaremos el semiperıodo) y multiplicar por 2. Despejando la velocidad angularen 5.6,

dφ

dt=

√2g

l(cos φ− cos φ0), (5.8)

de donde

dt =

√l

g

dφ√2(cos φ− cos φ0)

, (5.9)


y el perıodo resulta

T = 2t1/2 = 2

√l

g

∫ φ0

−φ0

dφ√2(cos φ− cos φ0)

. (5.10)

El resultado de esta integral es una funcion que se conoce con el nombre de integralelıptica completa de primera especie K(m), y m se llama parametro elıptico. El perıododel pendulo es, finalmente,

T = 4

√l

gK(sin φ0/2), (5.11)

que se puede desarrollar en serie de Taylor, dando

T = 2π

√l

g

(1 +

1

4sin2

(φ0

2

)+ ...

). (5.12)

Llegados aquı, es conveniente para nuestro experimento hacer alguna aproximacion. Loque vamos a hacer es considerar pequenas oscilaciones del pendulo. En este caso, φ0 esun angulo pequeno, de modo que aproximamos φ0 ≈ 0 y obtenemos

T = 2π

√l

g, (5.13)

que es el perıodo del pendulo en pequenas oscilaciones. En el caso de que las oscila-ciones sean de mayor amplitud, se puede calcular el perıodo tomando tambien el segundosumando del desarrollo de Taylor dado por la ecuacion 5.12, resultando

T = 2π

√l

g

(1 +

1

4sin2

(φ0

2

)). (5.14)


El montaje se efectua segun la figura 5.2. La esfera metalica se ata al hilo, que a su vez sefija al portaplacas. En caso de que el hilo sea nuevo, sera conveniente dejar suspendida laesfera durante algunos minutos. La longitud del pendulo se medira antes y despues de cadaensayo para hallar la media. Para ello se tendra en cuenta el radio de la bola. Se puedeusar el contador digital con la barrera fotoelectrica para la medicion del semiperıodo. Sepone el contador en la posicion de medida de medio ciclo, y se pulsa RESET para realizarcada medida. Asegurese que el contador se situe en el centro de la oscilacion para medircorrectamente el semiperiodo.

En la primera parte del experimento, el pendulo se mueve en pequenas oscilaciones(ecuacion 5.13). En la segunda parte, aumentan las desviaciones y se ha de usar la ecuacion5.14. Para medir los angulos iniciales en esta segunda parte, puede resultar comodo colocarun transportador de angulos en el portaplacas (alternativamente, se pueden dibujar losangulos en un papel y colocarlo en el portaplacas).



5.4 Resultados

1. Medir el semiperıodo t/2 del pendulo simple en pequenas oscilaciones, haciendounas 5 medidas de tiempo, y tomando el valor medio, para diferentes valores de lalongitud l (teniendo en cuenta el radio de la bola de acero), por ejemplo entre 20 cmy 1 m, en pasos de 10 cm.

l t/2 t/2 ln(t/2) ln(l)

¿Cuales son los errores absolutos asociados a la primera fila de resultados de la tablaanterior?

El = E t/2 =

Eln(l) = Eln(t/2) =

Con los valores de la tabla, representar graficamente el perıodo T frente a la longitudl. Para ello, calcular en cada caso T a partir del valor medio t/2.

2. Representar graficamente ln(T ) frente a ln(l). Calcular el coeficiente de correlacionlineal r, la pendiente a, la ordenada en el origen b, y trazar la recta de mınimos


cuadrados ln(T ) = a ln(l) + b sobre la representacion grafica anterior.

r = a = b =

Comparando con la ecuacion 5.13, calcular el valor teorico at esperado para la pen-diente de la recta anterior.

A partir del valor obtenido para b, calcular el valor de la aceleracion de la gravedadg.

3. Utilizar para esta parte una longitud fija, por ejemplo l = 0,5 m. Medir la distanciahorizontal d desde el centro de la bola de acero hasta la vertical. Con los valores de ly d, calcular el angulo φ0 que forma inicialmente el pendulo simple con el eje vertical(alternativamente, se puede utilizar un transportador de angulos). Variando d desde5 cm hasta 50 cm, en pasos de 5 cm, medir para cada valor de φ0 el semiperıodocomo en el apartado 1 de estos resultados.

d φ0 t/2 t/2

Representar graficamente T frente a sin2(φ0/2). Calcular el coeficiente de correlacionlineal r′, la pendiente a′, la ordenada en el origen b′ y trazar la recta de mınimoscuadrados T = a′ sin2(φ0/2) + b′.

r′ = a′ = b′ =

A partir de la ecuacion 5.14, calcular los valores teoricos a′t y b′t esperados para larecta anterior.

5.5 Discusion

• ¿En el punto 2 de los resultados, a que se debe la posible desviacion de at frente alvalor obtenido para a?

• En el punto 3 de los resultados, comparar los valores teoricos a′t y b′t con los valoresexperimentales y discutir el resultado.



5.6 Cuestiones

1. Discutir como puede influir en el calculo de g realizado en el punto 2 de los Resul-tados la altura del laboratorio sobre el nivel del mar y la rotacion de la Tierra. Daruna estimacin de la influencia sobre la medida.

2. Comparar esta forma de medir la aceleracion de la gravedad con otra que se conozca.

Capıtulo 6

El pendulo reversible

6.1 Objetivo

Por medio de un pendulo reversible, se determinara la aceleracion de la gravedad de laTierra g. Se calculara el perıodo de la oscilacion sin necesidad de conocer ni la masa ni elmomento de inercia del pendulo.


Un pendulo fısico difiere de un pendulo simple o matematico en el hecho de que la masaque oscila no es una partıcula puntual, esto es, no esta concentrada en un unico puntodel espacio, sino que esta distribuida en una region del espacio. Consideremos el pendulofısico reversible que se muestra en la figura 6.1. Esta compuesto por un cuerpo rıgido quegira con respecto a un eje, el eje z, que pasa por el centro de giro A, que es un punto fijo.

Debido a que el pendulo reversible es un cuerpo rıgido, la velocidad angular de rotaciondθi/dt de todos los puntos del pendulo es la misma que la del centro de masas dΘ/dt,siendo Θ el angulo que forma con la vertical la recta que une el punto fijo A con el centrode masas. Se define el vector velocidad angular del cuerpo rıgido como

d−→Θ

dt=

dΘ

dt

−→k , (6.1)

pues el giro se produce alrededor del eje z. Sea i un punto del cuerpo rıgido de vector de

posicion −→ri = xi−→i +yi

−→j +zi

−→k con respecto al centro de rotacion A del cuerpo rıgido. La

velocidad de este punto con respecto a A se puede escribir, debido al movimiento circularque realiza con respecto al centro de giro,

−→vi =d−→ri

dt=

d−→Θ

dt×−→ri . (6.2)

La energıa cinetica del cuerpo rıgido sera la suma de las energıas cineticas de todos suspuntos que, con la ecuacion 6.2, resulta

Ec =N∑

i=1

Ec,i =N∑

i=1

1

2miv

2i =

N∑i=1

1

2mi

(dΘ

dt

)2

R2i , (6.3)

51

CAPITULO 6. EL PENDULO REVERSIBLE 52

Figura 6.1: Pendulo reversible.

donde Ri es la distancia del punto i al eje de rotacion z. La cantidad

Iz =N∑

i=1

1

2miR

2i , (6.4)

se llama momento de inercia del cuerpo rıgido con respecto al eje z. Por tanto,

Ec =1

2Iz

(dΘ

dt

)2

. (6.5)

El momento de inercia de un cuerpo rıgido es una cantidad basicamente geometrica. Sesatisface el teorema de Steiner o de los ejes paralelos, que dice lo siguiente. Sea z el eje degiro de un cuerpo rıgido con respecto a un punto fijo A, y consideremos el eje Z, paralelo az pero que pasa por el centro de masas del cuerpo rıgido. Entonces, el momento de inerciaIz del cuerpo rıgido con respecto al eje z esta relacionado con el momento de inercia I delcuerpo rıgido con respecto al eje Z por

Iz = I + Ms2, (6.6)

donde M es la masa total del cuerpo rıgido y s es la distancia entre el punto fijo A y elcentro de masas del cuerpo. Por tanto, la energıa cinetica del pendulo reversible resulta

Ec =1

2

(I + Ms2

)(dΘ

dt

)2

. (6.7)

Ademas de la energıa cinetica, el pendulo reversible esta sometido a la energıa potencialgravitatoria. La fuerza exterior neta que actua sobre el cuerpo rıgido es la suma de lasfuerzas de gravedad sobre cada uno de los puntos del cuerpo rıgido. Tomando el eje y enla vertical, desde el punto fijo A, resulta

−→F =

N∑i=1

mig−→j = Mg

−→j , (6.8)


que es equivalente a una fuerza aplicada en el centro de masas del sistema, en el cual seconcentrara la masa total del cuerpo. De aquı, la energıa potencial gravitatoria es

Ep = −MgY, (6.9)

donde Y es la coordenada vertical del centro de masas a partir del punto fijo, que se tomacomo nivel cero de la energıa. Dado que s es la distancia entre el punto fijo y el centrode masas, y Θ es el angulo formado por la recta que une ambos puntos con la vertical, setiene Y = s cos Θ, de donde

Ep = −Mgs cos Θ. (6.10)

La energıa mecanica total del pendulo reversible es la suma de sus energıas cinetica ypotencial. Sumando las ecuaciones 6.7 y 6.10,

E =1

2

(I + Ms2

)(dΘ

dt

)2

−Mgs cos Θ, (6.11)

que ha de ser constante, debido a que la fuerza gravitatoria es conservativa.En la ecuacion 6.11, todas las cantidades son constantes excepto la variable angular Θ.

Consideremos pequenas oscilaciones del pendulo reversible, es decir, movimientos oscila-torios en los cuales Θ es un angulo pequeno. En este caso, se puede aproximar el cosenopor los primeros terminos de su desarrollo de Taylor,

cos Θ ∼ 1− Θ2

2, (6.12)

y la ecuacion 6.11 resulta (dΘ

dt

)2

+Mgs

I + Ms2Θ2 = cte. (6.13)

Esta ecuacion se puede resolver analıticamente, y su solucion es

Θ(t) = Θ0 sin(ωt + δ), (6.14)

que es un movimiento armonico simple, en el cual la amplitud de oscilacion es Θ0, la faseinicial es δ y la frecuencia angular esta dada por

ω =2π

T=

√Mgs

I + Ms2, (6.15)

siendo T el perıodo de la oscilacion. Si se define la longitud reducida del pendulo λr como

λr =I

Ms+ s, (6.16)

entonces el perıodo T del pendulo reversible, dado por la ecuacion 6.15 es

T = 2π

√λr

g. (6.17)

La ecuacion 6.17 es completamente equivalente al perıodo de un pendulo simple, dadopor 2π

√l/g si se cambia la longitud del pendulo simple l por la longitud reducida λr.



Es obvio, por otro lado, que el perıodo del pendulo fısico depende de su masa, pues lalongitud reducida depende de M , al contrario que el pendulo matematico o simple; delmismo modo, la longitud reducida λr del pendulo es siempre mayor que la distancia sentre el centro de gravedad y el punto fijo A, de manera que la velocidad de oscilaciondel pendulo crecera cuando la masa este concentrada cerca del centro de gravedad.

El punto A′, que esta situado en la prolongacion de la recta que une el punto fijo Acon el centro de masas, a distancia λr de A (ver la figura 6.1), se conoce con el nombrede centro de oscilacion. Si el eje de rotacion del pendulo se desplazase desde A hastaA′, es decir, si se invirtiera el pendulo, el perıodo permanecerıa inalterado porque, de lasecuaciones 6.16 y 6.17, y teniendo en cuenta la nueva distancia del eje de rotacion alcentro de gravedad, dada por

s′ = λr − s, (6.18)

se sigue que

TA′ = 2π

√I

Mg(λr − s)+

λr − s

g= 2π

√λr

g= TA, (6.19)

es decir, los perıodos de los movimientos oscilatorios respecto a los puntos A y A′ soniguales.


El montaje experimental esta ilustrado en la figura 6.2. Las abrazaderas sobre las que sesustenta la barra deben estar a la misma altura para asegurarse que la masa del pendulo


se distribuira igualmente sobre ambos puntos de sustentacion. Los puntos fijos a amboslados de la barra se deben tomar atornillando la sustentacion a unos 10 cm de los finalesde la barra. Llamaremos 1 y 2 a ambas posiciones, teniendo en cuenta que la posicion 1no se cambiara durante el experimento. El periodo del pendulo se mide a traves de unacelula fotodetectora conectada a un cronometro digital con multioperacion. Es importanteasegurarse de que la celula fotodetectora mide el periodo completo de oscilacion, y no elsemiperiodo.

6.4 Resultados

1. Mantener fija la posicion 1 de la sustentacion en un extremo de la barra, e ir variandola sustentacion 2 en el otro extremo, para valores λ de la distancia entre ambospuntos entre 34 cm y 60 cm, en pasos de 2 cm. Para cada distancia, medir 3 vecesel perıodo T1 de la oscilacion respecto al punto fijo 1 y otras 3 veces el perıodo T2

del pendulo invertido respecto al punto 2. Obtener el valor medio y el error de lamedida en ambos casos.

λ(±Eλ) T1(3 medidas) T2(3 medidas) T1(±ET1) T2(±ET2

)

2. Representar graficamente (las dos curvas en la misma grafica) los valores medios delos perıodos T1 y T2 como funcion de la distancia λ entre los puntos de sustentacion.A traves de esta representacion grafica, encontrar las distancias λr y λs para lascuales T1 = T2. Una de ellas, que sera llamada λs, corresponde al caso simetrico enque las posiciones 1 y 2 estan a la misma distancia del centro de masas de la barra.La otra, llamada λr, es el caso asimetrico, que proporciona la longitud reducida delpendulo.

λr = λs =

A partir del valor encontrado para λr, calcular el periodo del pendulo reversible enla representacion grafica anterior.

T =


Con ayuda de la ecuacion 6.17, determinar la aceleracion de la gravedad g.

g =

6.5 Discusion

• La variacion de los periodos de oscilacion T1 y T2 con λ que se observa en losresultados ¿es la esperada?

• ¿Que error hay que asignar al valor obtenido de λr y al valor de T? ¿Cual es, enconsecuencia, el error en el valor calculado de g?


6.6 Cuestiones

1. Con un pendulo simple, el valor de g se puede calcular sencillamente a partir de unperiodo de oscilacion y la longitud del hilo. En el pendulo fısico, ¿se podrıa calcular gtambien a partir de una unica medida de periodo y longitud? ¿Que otra informacionharıa falta? ¿Cual es la ventaja del metodo usado en este experimento?

Capıtulo 7

Oscilaciones forzadas

7.1 Objetivo

El pendulo de Pohl permitira estudiar el movimiento oscilatorio libre, el amortiguadoy el forzado. Se determinaran las frecuencias caracterısticas de las oscilaciones libres, eldecrecimiento exponencial de amplitud en las oscilaciones amortiguadas y las curvas deresonancia de las oscilaciones forzadas para diferentes valores de amortiguamiento.


El pendulo de Pohl (ver la figura 7.1) consta de una rueda giratoria que oscila respecto desu posicion de equilibrio, marcada por una flecha. La fuerza recuperadora que permite laoscilacion se debe a un muelle helicoidal. Conectado al pendulo hay un freno magnetico queactuara como amortiguador de la oscilacion, y un motor que actuara como forzamiento. Deeste modo, el pendulo de Pohl permite un estudio de las oscilaciones libres, amortiguadasy forzadas.

7.2.1 Oscilaciones libres

Podemos considerar el pendulo de Pohl libre como una corona circular plana que girarespecto a un eje perpendicular a ella, el eje z, que pasa por su centro de masas. La ruedaesta conectada a un muelle de tipo helicoidal, de tal manera que, cuando se separa larueda de su punto de equilibrio un angulo Φ, el muelle trata de devolverla a su posicionde equilibrio con una fuerza proporcional a la distancia dada por la ley de Hooke. Elmovimiento resultante, si no hay amortiguamiento, se puede tomar como un movimientoarmonico simple en la variable angular Φ. Tal sistema se conoce como pendulo de torsion.

Para estudiar el movimiento del pendulo de torsion libre, consideramos un sistema dereferencia en que la corona circular esta en el plano xy, el centro de masas O es el origendel sistema de referencia, y la corona gira respecto al eje z. Consideremos las ecuacionesde movimiento de un solido rıgido en rotacion. El momento angular de la corona respectoa su centro de masas, que es el origen, es la suma de los momentos angulares de cada

57

CAPITULO 7. OSCILACIONES FORZADAS 58

punto de la corona respecto al centro de masas, esto es,

−→L =

N∑i=1

−→ri ×−→pi =N∑

i=1

mi−→ri ×−→vi , (7.1)

donde −→ri = xi−→i + yi

−→j es el vector posicion del punto i respecto al centro de masas y −→vi

es su velocidad. Al girar, todos los puntos de la corona se mueven con la misma velocidadangular ω, de modo que la velocidad de cada punto es

−→vi = −→ω ×−→ri , (7.2)

donde −→ω = ω−→k , por girar la corona respecto al eje z. Insertando la ecuacion 7.2 en 7.1,

se obtiene−→L =

N∑i=1

mi−→ri × (−→ω ×−→ri ) =

(N∑

i=1

mir2i

)ω−→k = Izω

−→k , (7.3)

siendo Iz el momento de inercia de la corona respecto al eje z. Para aplicar las leyes deNewton al movimiento de rotacion de un cuerpo rıgido, se deriva respecto al tiempo elmomento angular. Por un lado, de 7.1,

d−→L

dt=

N∑i=1

mi−→ri ×

d−→vi

dt=

N∑i=1

−→ri ×−→Fi =

N∑i=1

−→Mi =

−→M, (7.4)

donde−→Fi es la fuerza exterior aplicada en el punto i del cuerpo rıgido,

−→Mi = −→ri ×

−→Fi es

el momento de la fuerza−→Fi respecto al centro de masas, y

−→M es el momento total de las

fuerzas aplicadas al cuerpo rıgido con respecto al centro de masas. Por otro lado, de 7.3,

d−→L

dt= Iz

dω

dt

−→k . (7.5)

Igualando las ecuaciones 7.4 y 7.5, se llega a

−→M = Iz

dω

dt

−→k , (7.6)

que es la ecuacion del movimiento de rotacion de la corona.Supongamos que separamos la corona de su punto de equilibrio un angulo Φ, medido

respecto a la vertical (eje y). El muelle helicoidal ejerce entonces un momento de fuerzarecuperador que es proporcional al desplazamiento angular Φ y que esta dado por

−→M = −k∗Φ

−→k , (7.7)

donde k∗ es una constante de proporcionalidad. Teniendo en cuenta la ecuacion 7.6, dondela velocidad angular es ω = dΦ/dt, el movimiento angular del pendulo de torsion satisface

Izd2Φ

dt2+ k∗Φ = 0. (7.8)

Como puede verse, el movimiento angular de un pendulo de torsion libre es un movimientoarmonico simple, cuya solucion esta dada por

Φ = Φ0 cos ω0t, (7.9)


donde Φ0 es la amplitud del movimiento, que corresponde con la desviacion inicial suponien-do que la velocidad inicial es nula, y

ω0 =

√k∗

Iz

, (7.10)

es la frecuencia natural de la oscilacion.

7.2.2 Oscilaciones amortiguadas

Cuando, en un oscilador libre, se tienen en cuenta perdidas de energıa debidas a fuerzasde rozamiento, se obtiene una oscilacion amortiguada. En el caso del pendulo de Pohl, sedispone de un freno magnetico que produce un momento de una fuerza de amortiguacion

Ma

−→k que es proporcional a la velocidad angular,

Ma = −CdΦ

dt, (7.11)

donde C es un factor de proporcionalidad que depende de la intensidad de corrienteque alimente al freno magnetico. Entonces, la ecuacion de movimiento del pendulo es,introduciendo el momento amortiguador 7.11 como un nuevo sumando en la ecuacion delcaso libre 7.8,

Izd2Φ

dt2+ C

dΦ

dt+ k∗Φ = 0. (7.12)

Utilizando la frecuencia natural de la oscilacion ω0 dada por la ecuacion 7.10, y definiendoel coeficiente de amortiguamiento ξ como

ξ =C

2Iz

, (7.13)

la ecuacion 7.12 se puede reescribir

d2Φ

dt2+ 2ξ

dΦ

dt+ ω2

0Φ = 0. (7.14)

Cuando se resuelve esta ecuacion, se obtienen distintos tipos de soluciones para cada unode los tres casos posibles siguientes.

1. Sobreamortiguamiento: Si ξ2 > ω20, entonces el pendulo retorna lentamente a su

posicion de equilibrio sin llegar a oscilar en torno a ella.

2. Amortiguamiento crıtico: Si ξ2 = ω20, el resultado es muy parecido al anterior,

aunque la convergencia hacia el equilibrio es un poco mas rapida.

3. Subamortiguamiento: Si ξ2 < ω20, entonces el pendulo oscila en torno a la posicion

de equilibrio aunque la amplitud de oscilacion va decayendo exponencialmente en eltiempo.

Debido a los valores numericos de los dispositivos experimentales usados en esta practi-ca, nuestra oscilacion es subamortiguada. La solucion de la ecuacion 7.14 en el caso sub-amortiguado es

Φ(t) = Φ0 exp(−ξt) cos ωt, (7.15)


con

ω =√

ω20 − ξ2. (7.16)

Por tanto, se obtiene que la frecuencia ω del oscilador amortiguado es menor que la deloscilador libre ω0, y que la amplitud del oscilador amortiguado decrece exponencialmentecon el tiempo. De la ecuacion 7.16 se deduce que la razon entre las amplitudes de dososcilaciones sucesivas es una constante K, con

K =Φ(nT )

Φ((n + 1)T )= exp(ξT ), (7.17)

siendo T = 2π/ω el perıodo de la oscilacion. A la constante K se le denomina razon deamortiguamiento, y a la cantidad

ln K = ξT = ln

(Φ(nT )

Φ((n + 1)T )

), (7.18)

se le llama decrecimiento logarıtmico.

7.2.3 Oscilaciones forzadas

En las oscilaciones amortiguadas, la amplitud y, por tanto, la energıa, decrecen con eltiempo hasta que la oscilacion muere. Para mantener en marcha el pendulo de torsion,se utiliza un motor que proporciona un momento de fuerzas externo periodico del tipoMf = M0 cos Ωt, donde M0 es una constante y Ω es la frecuencia del forzamiento. Alintroducir este nuevo momento, la ecuacion 7.14 se transforma en

d2Φ

dt2+ 2ξ

dΦ

dt+ ω2

0Φ = f0 cos Ωt, (7.19)

donde f0 = M0/Iz se llama amplitud del forzamiento. Esta es la ecuacion de un osciladorforzado. La solucion de esta ecuacion de movimiento tiene una componente complicada,llamada solucion transitoria, que esta llamada a desaparecer tras un intervalo inicial detiempo, pero tiene una nueva componente, que permanece indefinidamente en el tiempo,llamada solucion estacionaria, que esta provocada por la presencia del momento de fuerzasexterno, y que es del tipo armonico simple, pero tal que la frecuencia del movimiento esigual a la frecuencia de forzamiento Ω,

Φ(t) = A cos(Ωt + δ). (7.20)

La amplitud de la solucion es

A =f0√

(ω20 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2

, (7.21)

y la fase inicial δ viene dada por:

δ = arctan

(−2ξΩ

ω20 − Ω2

). (7.22)

Observando detenidamente las ecuaciones 7.20-7.22 se obtienen varias conclusiones sobrelas caracterısticas de las oscilaciones forzadas:


1. Cuanto mayor sea el coeficiente de amortiguamiento ξ, menor es la amplitud de lasoscilaciones.

2. Existe un valor Ωr de la frecuencia de forzamiento tal que, para valores fijos def0, ω0, ξ, cuando Ω = Ωr, la amplitud de las oscilaciones se hace maxima. Estefenomeno se conoce como resonancia, el valor Ωr se llama frecuencia de resonanciay la amplitud maxima Ar = A(Ωr) se llama amplitud de resonancia. Para calcularla frecuencia de resonancia, se halla el maximo de la funcion amplitud A derivandocon respecto a la variable Ω, y tomando f0, ω0, ξ como constantes. Al igualar a cerola derivada, el maximo aparece en

Ωr =√

ω20 − 2ξ2, (7.23)

y la amplitud de resonancia resulta

Ar =f0

2ξ√

ω20 − ξ2

. (7.24)

3. Si se construyese un pendulo de torsion sin amortiguamiento (ξ = 0), y a estese le forzara a oscilar a la frecuencia de resonancia (Ω = Ωr), la amplitud de lasoscilaciones serıa infinita, es decir, la amplitud de resonancia en ausencia de amor-tiguamiento es infinita.

4. Para frecuencias de excitacion Ω mucho menores que ω0, la oscilacion del penduloesta en fase (δ ≈ 0) con el momento de fuerzas externo de excitacion. Para fre-cuencias Ω mucho mayores que ω0, la oscilacion del pendulo esta en oposicion defases (δ ≈ π) con respecto a la excitacion externa. En el caso Ω = ω0, el desfase esδ = π/2, y se dice que ambos movimientos estan en cuadratura.


El aspecto general del montaje es el de la figura 7.1. El freno magnetico es un electroimanque, alimentado con corriente continua (DC), induce corrientes de Foucault sobre la ruedagiratoria, provocando un momento de frenado sobre ella. Dado que la unica salida de DCque tiene la fuente se va a reservar para la alimentacion del motor de oscilaciones forzadas,se hace necesario el uso de un rectificador que convierte en continua la corriente alterna(AC) de la otra salida de la fuente. La intensidad IB suministrada al freno es medida porun amperımetro colocado en serie.

ADVERTENCIA IMPORTANTE: El freno magnetico soporta una intensidadmaxima de 1 A. Para no sobrepasar esta cantidad de corriente rectificada, es necesario nosobrepasar los 10 V de alterna en la salida de la fuente.

Antes de observar las oscilaciones libres y amortiguadas debe ajustarse la posicionde reposo de la flecha de la rueda giratoria de modo que coincida con la posicion cerode la escala. Para conseguir esto se puede girar con la mano el disco del motor. Cuandono entre corriente al freno (IB = 0), podremos observar oscilaciones libres (en realidadson amortiguadas por el propio rozamiento del pendulo, pero este rozamiento es muypequeno). A medida que se hace crecer la corriente IB (no sobrepasar 1 A), se pueden



observar oscilaciones cada vez mas amortiguadas. Para medir el decrecimiento de lasamplitudes de las oscilaciones, se puede deflectar la rueda giratoria con la mano hacia unlado, y leer aproximadamente sobre la escala las sucesivas amplitudes hacia los dos lados.Si resulta difıcil visualizar la amplitud de oscilacion, se puede probar disminuyendo ladesviacion inicial para que la flecha se mueva un poco mas lenta. Para medir los perıodosse hara con un cronometro.

Para las oscilaciones forzadas, la salida de corriente continua de la fuente de potenciase conecta a las dos hembras superiores del motor DC de oscilaciones forzadas. El motorno debe ser alimentado con mas de 650 mA de intensidad. Por ello, debe colocarse el dialde intensidades DC de la fuente aproximadamente a 0, 65 A. Tomando esta precaucion,ya puede girarse el dial de tensiones hasta su posicion de maximo valor.

La frecuencia de las oscilaciones forzadas puede controlarse con los dos diales de laparte superior del motor. El derecho es para un ajuste aproximado y el izquierdo para elajuste fino. Una primera estimacion de la frecuencia del motor se puede obtener contandolas revoluciones del mismo por unidad de tiempo con ayuda de un cronometro. Para medirlas amplitudes y frecuencias de las oscilaciones forzadas estacionarias se debe esperar unpoco para que desaparezcan los transitorios, y luego proceder como en el caso de las os-cilaciones amortiguadas. Las amplitudes de oscilacion se debe medir ahora como la mediaaritmetica de las desviaciones del pendulo a izquierda y derecha, ya que posiblemente elpunto intermedio de la oscilacion no sea el cero de la escala.


7.4 Resultados

1. Determinar el perıodo de oscilacion T0 y la frecuencia natural ω0 = 2π/T0 de lasoscilaciones libres (tomar, por tanto, IB = 0). Para obtener valores suficientementeprecisos, realizar 5 medidas del tiempo correspondiente a veinte oscilaciones, estoes, medir t20 = 20T0.

medida 1a 2a 3a 4a 5a

t20

Promediar las 5 medidas y, a partir del valor de t20, calcular T0 y ω0 con sus corres-pondientes errores.

t20(±Et20) =

T0(±ET0) =

ω0(±Eω0) =

2. Para los casos de oscilacion amortiguada correspondientes a alimentar el freno contensiones de alterna VB = 4, 6, 8 V , estudiar el decrecimiento de la amplitud amedida que pasa el tiempo. Consignar los valores de IB correspondientes a cadavalor de VB, ası como sus errores. Estimar visualmente los sucesivos valores de laamplitud de oscilacion hasta que el pendulo se pare. Como perıodo aproximado (verla Cuestion 2) puede adoptarse en todos los casos T0 (medido anteriormente).

VB = 4 V, IB(±IB) =

t Φ(t)0T0/22T0/23T0/24T0/25T0/26T0/27T0/28T0/29T0/210T0/211T0/212T0/213T0/214T0/2


VB = 6 V, IB(±IB) =


VB = 8 V, IB(±IB) =


En una misma grafica, representar la amplitud de oscilacion Φ(t) frente al tiempopara VB = 4, 6, 8 V .

Para el caso VB = 8 V , calcular el coeficiente de correlacion lineal r, la pendiente ay la ordenada en el origen b de la recta de mınimos cuadrados ln Φ(t) = at+b. Com-parando con las ecuaciones 7.17 y 7.18, obtener el coeficiente de amortiguamientoξ, la razon de amortiguamiento K y el decrecimiento logarıtmico ln K.

r = a = b =

ξ = K = ln K =


3. Estudiar las oscilaciones forzadas correspondientes al caso VB = 8 V . Hacer variarlentamente la frecuencia del motor, y elaborar una tabla de amplitudes frente afrecuencias. Para ello, medir el perıodo Tf de la rueda giratoria del motor, a partirdel cual se podra determinar la frecuencia de excitacion Ω = 2π/Tf . Recordar quela amplitud de oscilacion Φ debe medirse ahora como la media aritmetica de lasdesviaciones del pendulo a izquierda Φi y derecha Φd. Tomar mas medidas en lazona de resonancia, cuando Tf se aproxima a T0, y tambien tomar datos en zonasposteriores a la resonancia.

Tf Ω Φi Φd Φ

Representar graficamente la curva de resonancia (la amplitud de oscilacion esta-cionaria Φ frente a la frecuencia de excitacion Ω). Sobre la grafica, trazar tres rectasverticales en los valores correspondientes a la frecuencia de resonancia Ωex

r halladaexperimentalmente (aquella para la que se haya obtenido un valor maximo de Φ), ala frecuencia de resonancia Ωt

r esperada teoricamente a partir de la ecuacion 7.23,y a la frecuencia natural ω0.

Ωexr = Ωt

r = ω0 =

Observar cualitativamente que, para frecuencias de forzamiento Ω muy inferioresy muy superiores a ω0, las oscilaciones de la rueda giratoria (flecha blanca) y lasdel resorte vinculado al motor (flecha negra) estan, respectivamente, en fase y enoposicion de fases.


7.5 Discusion


7.6 Cuestiones

1. Tal como ya se ha dicho anteriormente, el freno no debe ser alimentado a traves deuna corriente que sea mayor de 1 A. Pero, ¿cual serıa el comportamiento del pendulosi, por ejemplo, tomasemos una corriente IB = 2 A?

2. Al estudiar, en el apartado 2 de los Resultados, las oscilaciones amortiguadas, sesugiere adoptar T0 (que corresponde a IB = 0) como perıodo aproximado en todoslos casos. En realidad, de la ecuacion 7.16 se deduce que

T =2π√

ω20 − ξ2

, (7.25)

y, por tanto, T depende de la constante de amortiguamiento. Estimar el perıodo Tesperado en el caso VB = 8 V a partir de los valores de ω0 y de ξ obtenidos.

3. Demostrar las ecuaciones 7.23 y 7.24 para la frecuencia de resonancia y la amplitudde resonancia, a partir de la condicion de maximo de la funcion amplitud 7.21.

Capıtulo 8

Vibracion de cuerdas

8.1 Objetivo

Una cuerda metalica cuyos extremos estan fijos, y que esta sometida a una tension de-terminada, se somete a vibraciones, que son detectadas y amplificadas opticamente. Elproceso de vibracion se observara en el osciloscopio. Se estudiara la dependencia de lafrecuencia del armonico fundamental con la tension y la longitud de la cuerda.


Vamos a estudiar las pequenas vibraciones transversales de una cuerda homogenea cuyosextremos estan fijos. Supuestas una serie de caracterısticas ideales para la cuerda, podemosasumir que la longitud l y la tension T no varıan durante el proceso de cada vibracion.Para obtener la ecuacion diferencial que rige el movimiento de una onda transversal sobreuna cuerda en tension, observemos la figura 8.1.

Consideremos un elemento diferencial de cuerda de longitud dx. Al desplazarse ver-ticalmente a una altura y con respecto a su posicion de equilibrio, y estando sometidossus extremos a una tension T , la componente vertical Fy de la fuerza que actua sobre elelemento de cuerda es

Fy = T sin(α + dα)− T sin(α), (8.1)

Figura 8.1: Onda transversal sobre una cuerda tensa.

67

CAPITULO 8. VIBRACION DE CUERDAS 68

donde α es el angulo formado por la horizontal y la recta tangente a la curva y = y(x, t)en el punto estudiado. Por tanto, debe cumplirse que

tan α =∂y

∂x. (8.2)

Consideremos el caso de pequenas vibraciones, en el cual se puede suponer que α esinfinitesimal. Entonces, es valido quedarse a primer orden en el desarrollo de Taylor delas funciones seno y tangente, esto es,

α ≈ sin α ≈ tan α. (8.3)

Al derivar la ecuacion 8.2, teniendo en cuenta la aproximacion dada por la ecuacion 8.3,se obtiene

dα =

(∂2y

∂x2

)dx. (8.4)

Ahora, se puede reescribir la ecuacion 8.1, usando de nuevo el desarrollo de Taylor, como

Fy = T [sin(α + dα)− sin α] = Tdα = T

(∂2y

∂x2

)dx. (8.5)

La masa del elemento diferencial de cuerda dx es

dm = ρ q dx, (8.6)

donde ρ es la densidad de la cuerda, y q el area de la seccion transversal. Entonces,aplicando la segunda ley de Newton, resulta

Fy = T

(∂2y

∂x2

)dx =

(∂2y

∂t2

)ρ q dx, (8.7)

de donde se obtiene, finalmente, la ecuacion de onda de D’Alembert(∂2y

∂t2

)= c2

(∂2y

∂x2

), (8.8)

siendo

c =

√T

qρ(8.9)

la velocidad de propagacion de una onda transversal sobre la cuerda. Cuando se re-suelve la ecuacion 8.8 se obtiene como solucion cualquier pulso, con ciertas condicionesmatematicas, que se propague con velocidad c sobre la cuerda. Esta velocidad c se llamatambien velocidad de fase y es la velocidad con que tendrıa que viajar un observador quese desplazase a lo largo del eje x para ver siempre el mismo valor de y. Dentro de todaslas soluciones posibles, tienen especial interes las denominadas ondas armonicas ya que,aparte de ser por sı mismas soluciones de la ecuacion de onda, cualquier otra solucionmas complicada puede descomponerse como una superposicion de ondas armonicas, enuna herramienta matematica llamada analisis espectral o analisis de Fourier.

Por otra parte, el hecho de que los dos extremos de la cuerda de esta practica per-manezcan en reposo, hace imposible la presencia de ondas armonicas viajeras, que propa-gan energıa. Las ondas armonicas que verifican las condiciones de reposo de los extremos


se denominan ondas estacionarias, no propagan energıa y pueden entenderse como lasuperposicion de dos ondas viajeras de igual amplitud que viajan en sentidos opuestos.Por tanto, sobre la cuerda existira, en general, una superposicion de ondas armonicasestacionarias. Esta superposicion se escribe

y(x, t) =∞∑

n=1

yn(x, t) =∞∑

n=1

An sin(knx) sin(ωnt + φn), (8.10)

donde kn y ωn son, respectivamente, el numero de ondas y la frecuencia angular de laonda yn(x, t), dados por

kn =nπ

l, (8.11)

ωn = ckn =nπc

l. (8.12)

Asociados a ellos, se definen tambien la longitud de onda λn y la frecuencia νn de la ondacomo

λn =2π

kn

=2l

n, (8.13)

νn =ωn

2π=

nc

2l. (8.14)

Una caracterıstica de las ondas estacionarias, a diferencia de las ondas viajeras, es quela amplitud de vibracion varıa de un punto a otro a traves de la formula sin(knx). Porejemplo, los puntos en donde se anula la funcion sin(knx) tienen amplitud nula y se llamannodos.

Consideremos la contribucion mas importante en el desarrollo de Fourier dado porla ecuacion 8.10. Esta contribucion es la correspondiente a n = 1 y se llama armonicofundamental,

y1(x, t) = A1 sin(k1x) sin(ω1t + φ1), (8.15)

tal que su longitud de onda es el doble de la longitud de la cuerda, y su frecuencia es

ν =c

2l=

1

2l

√T

qρ. (8.16)

Las soluciones para n = 2, 3, . . . se denominan armonicos superiores (vease la figura 8.2,donde se dibujan los armonicos principales, y se observan sus nodos).

En general, el armonico que se observa y predomina es el fundamental. Esto se debe ados causas. En primer lugar, el tipo de excitacion o condicion inicial que se aplica (un golpeseco en un punto centrico de la cuerda) favorece a este armonico fundamental porque sele parece mucho (de nuevo, ver la figura 8.2). En segundo lugar, en una cuerda real existeamortiguamiento, que termina por hacer desaparecer la vibracion. Este amortiguamientoes mayor para los armonicos superiores que para el armonico fundamental y, por ello, esteultimo tarda mas en desaparecer.


Figura 8.2: Armonico fundamental y armonicos superiores.


El aspecto general del montaje es el de la figura 8.3. La cuerda apoya dos puntos sobredos pasadores triangulares (los extremos en reposo) y se mantiene tensa entre un ganchofijo y un dinamometro, que a su vez esta atado a una palometa regulable. La longitud l(distancia entre los dos puntos fijos) puede variarse desplazando los pasadores triangulares,y medirse sobre una regla. La tension T se modifica girando la palometa regulable y semide mediante el dinamometro. La tension no debe ser nunca mayor de 30 N para noproducir la ruptura de la cuerda. Tambien ha de cuidarse no intruducir la cuerda dentrodel tornillo al girarlo.

La vibracion de la cuerda es estimulada mediante un golpecito seco con el martillode goma en algun punto centrico. Debe vigilarse constantemente que la tension sobrela cuerda sea la deseada, especialmente tras los golpes de martillo y tras los cambiosde longitud. Si se detectan vibraciones en la zona de la cuerda que queda fuera de lospasadores triangulares, estas vibraciones deben ser eliminadas apoyando suavemente eldedo. La vibracion de la cuerda en un punto intermedio se detecta opticamente a partirde las sombras que produce sobre una rendija fotosensible. Es necesario asegurarse deque la sombra de la cuerda caiga exactamente sobre la rendija fotosensible cuando lacuerda este en reposo. Tambien se debe acercar suficientemente la bombilla a la cuerda(unos 3 cm de separacion) porque ası se detectaran mejor las vibraciones pequenas. Lasenal que se origina en la rendija fotosensible es amplificada y transmitida al osciloscopiopara su observacion cualitativa, y tambien a un contador de cuatro dıgitos para medir sufrecuencia. Para la amplitud habitual de la senal que se genera en la celula fotoelectrica, essuficiente amplificarla 100 veces para verla en el osciloscopio. El contador debe arrancarse



una vez que en el osciloscopio se observe una senal armonica suficientemente pura, esdecir, una vez que se hayan eliminado los transitorios.

8.4 Resultados

Se supone en todos los casos que se esta trabajando con el armonico fundamental.

1. Anotar el diametro de los hilos de cobre y constantan (CuNi) que se utilizaran enel experimento, junto con el correspondiente error.

φCu(±EφCu) = φCuNi(±EφCuNi

) =

2. Usando una cuerda de constantan, mantener la tension en un valor fijo T = 20 Ny medir la frecuencia fundamental ν (hacer 3 medidas y promediar) para distintas


longitudes l, en un rango entre 20 cm y 60 cm, en pasos de 5 cm.

T =l ν ν ln ν ln l

¿Cuales son los errores absolutos asociados a la primera fila de resultados de la tablaanterior?

ET = El = Eν =

Eν = Eln l = Eln ν =

Representar graficamente ln ν frente a ln l. Calcular el coeficiente de correlacionlineal r, la pendiente a, y la ordenada en el origen b, y trazar sobre la representacionanterior la recta de mınimos cuadrados ln ν = a ln l + b.

r = a(±Ea) = b(±Eb) =

3. Usando la misma cuerda de antes, fijar su longitud a l = 40 cm y medir la frecuenciaν (3 medidas y promediar) para distintos valores de la tension T , en un rango entre6 N y 20 N , en pasos de 2 N . Repetir el experimento para una cuerda de cobre.

(a) Constantan

l =

T ν ν√

T


(b) Cobre

l =

T ν ν√

T

Representar graficamente ν frente a√

T en los dos casos, a ser posible en la mismagrafica. Calcular los coeficientes de correlacion lineal r, las pendientes a, y las orde-nadas en el origen b, y trazar sobre la representacion anterior las rectas de mınimoscuadrados ν = a

√T + b para cada material.

rCuNi = aCuNi = bCuNi =

rCu = aCu = bCu =

8.5 Discusion

• En la primera serie de resultados, ¿cual era el valor teorico at esperado para lapendiente a de la recta de mınimos cuadrados de ln ν frente a ln l, teniendo encuenta la ecuacion 8.16? ¿A que se pueden deber las diferencias entre los valores deat y a? A partir de la ordenada en el origen b obtenida, calcular la densidad ρ delconstantan.

• Para la segunda serie de resultados, calcular las densidades del constantan y delcobre a partir de las pendientes aCuNi y aCu de las rectas de regresion. ¿Que sepuede decir sobre la diferencia con el valor hallado para el constantan en la primeraserie de resultados?


8.6 Cuestiones

1. Comprobar que las ondas estacionarias de la ecuacion 8.10, con los parametros depropagacion definidos en las ecuaciones 8.11 y 8.12, son soluciones de la ecuacionde onda de D’Alembert dada por la ecuacion 8.8. Verificar que los extremos de lacuerda, dados por los puntos x = 0 y x = l, estan en reposo, es decir, tienen unaamplitud de vibracion nula, en todo instante de tiempo.


2. En general, se va a detectar la frecuencia del armonico fundamental, que es el pre-dominante. ¿Por que se ha indicado anteriormente que no se arranque el contador decuatro dıgitos, medidor de frecuencia, hasta que se hayan eliminado los transitorioso modos superiores?

3. A la vista de la figura 8.2, ¿como se podrıa excitar la cuerda para que se hagaperceptible, aunque solo sea brevemente, el primer modo superior n = 2?

Capıtulo 9

Tension superficial de los lıquidos

9.1 Objetivo

Se determinara la fuerza de tension superficial que ejerce la superficie del agua sobre unanillo de medida justo antes de que la pelıcula de lıquido se rompa. Se obtendra unaecuacion empırica para la dependencia con la temperatura de la tension superficial.


Las fuerzas de cohesion entre las moleculas de un lıquido tienen una resultante nula en unpunto situado en el interior del propio lıquido, pues se cancelan mutuamente. Sin embargo,en un punto situado cerca de la superficie del lıquido, estas fuerzas no tienen resultantenula, y causan que la superficie de un lıquido en contacto con otro fluido se comportecomo una membrana elastica. El trabajo necesario para aumentar el area de la superficielibre de un lıquido es proporcional al area aumentada,

dW = σdS, (9.1)

y la constante de proporcionalidad σ se llama coeficiente de tension superficial del lıqui-do. Otro fenomeno debido tambien a la tension superficial se produce cuando se extraelentamente un solido que estaba sumergido dentro de un lıquido. En el instante justo enque la superficie del lıquido va a dejar de estar en contacto con el solido, se observa unapelıcula de lıquido que se aferra a la superficie de contacto del solido. Este fenomeno tieneque ver con las fuerzas de adhesion entre las moleculas de la superficie del lıquido y lasdel solido.

En el momento lımite de ruptura de la pelıcula de lıquido aferrada al solido, la re-sultante F de la fuerza con que se esta tirando del solido y del peso del solido debeequilibrarse con la fuerza Fσ debida a la tension superficial del lıquido. Dado que el tra-bajo de las fuerzas de tension superficial es dW = Fσdz, donde dz es el desplazamientovertical de la superficie del lıquido, y usando la ecuacion 9.1,

Fσ =dW

dz= σ

dS

dz, (9.2)

siendo dS el cambio en el area de la superficie de lıquido. En el caso de esta practica, elsolido es un anillo de radio R. Debido a su poco espesor, se puede considerar que tanto

75

CAPITULO 9. TENSION SUPERFICIAL DE LOS LIQUIDOS 76

el radio exterior como el radio interior del anillo son aproximadamente iguales a R. Lapelıcula de lıquido levantada por el anillo una distancia dz tiene un area que es la sumadel area levantada por el perımetro interior del anillo y el perımetro exterior del anillo,esto es,

dS = 2πRdz + 2πRdz = 4πRdz. (9.3)

Por tanto, la fuerza debida a la tension superficial es

Fσ = 4πRσ. (9.4)

Dado que esta fuerza se equilibra con F en el instante de ruptura de la pelıcula,

F = 4πRσ, (9.5)

y, en este experimento, es posible medir F con un dinamometro de torsion, lo cual permiteobtener la tension superficial del agua.

En casi todos los lıquidos se observa empıricamente que la tension superficial disminuyecon la temperatura de un modo aproximadamente lineal, hasta que se llega a la temperaturacrıtica del lıquido Tc, en la cual la tension superficial se anula. Este comportamientoexperimental puede resumirse en la expresion

σ =kσ

v2/3(Tc − T ), (9.6)

donde v es el volumen molar del lıquido, esto es,

v =V

n, (9.7)

siendo V el volumen total y n el numero de moles, y kσ es el coeficiente de Eotvos,

kσ = 2, 1 · 10−7 J · K−1. (9.8)

Consideremos la tension superficial a temperatura ambiente σ(T0) = σ0. De la ecuacion9.6, se tiene que

σ0 =kσ

v2/3(Tc − T0). (9.9)

Restando ahora las ecuaciones 9.6 y 9.9, se llega a

σ = σ0 −kσ

v2/3(T − T0). (9.10)


El montaje experimental se observa en la figura 9.1. Se coloca el punto del dinamometroen la posicion “0” y el peso del anillo de medida se compensa con el marcador, de modoque el indicador este equilibrado. El agua se situa en el vaso de precipitados y se sumergecompletamente el anillo aadiendo agua con la seringue.

Para realizar la medicion, se va extrayendo liquido con la seringue y se compensa latensio superficial del liquido con la rueda. En el momento en que se rompe la pelıcula delıquido en contacto con el anillo se mide la fuerza F en el dinamometro. A partir de aquı,se puede calcular la tension superficial σ usando la ecuacion 9.5.

Para la experimentacion de la dependencia de la tension superficial con la temperatura,el vaso de precipitados lleno de lıquido se calienta con una resistencia.



9.4 Resultados

1. Medir el diametro 2R del anillo de medida con un calibre, tomando nota tambiendel error de medida. Con el termometro, obtener tambien la temperatura ambienteT0 y su correspondiente error de medida. A traves del metodo del anillo, obtener lafuerza F , y su error, con la que el agua actua sobre el anillo de medida a temperaturaambiente. Calcular σ0 con la ecuacion 9.5.

R(±ER) = T0(±ET0) =

F (±EF ) = σ0(±Eσ0) =

2. Poner en marcha el horno. Para un rango de temperaturas entre la temperaturaambiente T0 y 90 C, obtener por el metodo del anillo la tension superficial repi-tiendo el proceso del apartado 1 mientras se calienta el agua. Al llegar a 90 C,apagar el horno y seguir haciendo medidas mientras se enfrıa el agua. Representar


graficamente σ frente a T .

T (±ET ) σ(±Eσ)

Calcular el coeficiente de correlacion lineal r, la pendiente a, la ordenada en el origenb, y trazar la recta de mınimos cuadrados σ = a(T − T0) + b.

r = a = b =

A partir de este ajuste, y con ayuda de la ecuacion 9.10, determinar el valor de latension superficial a temperatura ambiente σ0 y el valor del coeficiente kσ/v

2/3.

σ0 = kσ/v2/3 =

Utilizando el valor de kσ dado en la ecuacion 9.8, obtener el volumen molar del aguade grifo.

v =

9.5 Discusion

• Comparar el valor de σ0 obtenido en el punto 2 con el que se obtuvo en el punto 1de la seccion de resultados.

• Contrastar el valor obtenido experimentalmente con el valor de la tension superficialdel agua.


9.6 Cuestiones

1. A partir de los experimentos realizados, ¿que se puede decir de la validez de laecuacion de Eotvos?

2. ¿Bajo que condiciones es independiente el volumen molar de la temperatura si setienen en cuenta los resultados obtenidos?

3. Calcular la temperatura crıtica del agua de grifo.

Capıtulo 10

Efectos de capilaridad

10.1 Objetivo

Se determinara el coeficiente de tension superficial del agua destilada y de mezclas de lıqui-dos de diferentes concentraciones a traves del aumento de nivel en un capilar introducidoen el lıquido.


Debido a la existencia de fuerzas de cohesion intermolecular, la superficie de un lıquidoen contacto con otro fluido (en particular, con el aire) se comporta como si se tratasede una membrana elastica en estado de tension uniforme. Las fuerzas que actuan sobrecada una de las moleculas no son las mismas si las moleculas estan en la superficie o enel interior. Una molecula del interior esta totalmente rodeada por moleculas del lıquido ypor lo tanto igualmente atraıda en todas direcciones, pero una de la superficie lımite deseparacion es atraıda hacia el interior pero no hacia el exterior. Por ello, para llevar unamolecula del interior a la superficie de separacion es necesario realizar un trabajo, quequeda almacenado en la superficie como energıa potencial.

El trabajo que se debe realizar para incrementar la superficie de un lıquido es propor-cional a dicho incremento de superficie. El coeficiente de proporcionalidad se conoce conel nombre de coeficiente de tension superficial del lıquido σ,

dW = σdS. (10.1)

Si se insufla una burbuja de aire en un lıquido a traves de un tubo cilındrico de diametropequeno (un capilar) sumergiendo el tubo en la superficie de un lıquido contenido en unrecipiente de dimensiones mayores, y a continuacion se aumenta la presion del aire en eltubo, el tamano de la burbuja aumenta y se incrementa el area de la misma.

Los fenomenos que se desarrollan en la burbuja son muy complejos, pero en unaprimera aproximacion se puede decir que la burbuja de aire, poco antes de llegar a lainestabilidad y romperse, tiene la forma de una semiesfera de radio r, el radio del capilar.De este modo, el area de la superficie de la burbuja es S = 2πr2 y, al sufrir un incrementode radio dr, cambia en dS = 4πrdr.

Por otro lado, el trabajo dW debido a las fuerzas de presion sobre la superficie de laburbuja es igual a las fuerzas de presion por el desplazamiento de la superficie dr. Dado

80

CAPITULO 10. EFECTOS DE CAPILARIDAD 81

que las fuerzas de presion son iguales a la diferencia de presiones a ambos lados de lasuperficie de la burbuja por el area de esa superficie, se tiene

dW = (p0 − p′)Sdr, (10.2)

donde p0 es la presion en el interior del tubo, que es tambien la presion en la parte concavade la burbuja, y p′ es la presion en la superficie del lıquido. Utilizando la ecuacion 10.1,se llega a

(p0 − p′)2πr2dr = 4πrσdr, (10.3)

de donde

p0 − p′ =2σ

r, (10.4)

es decir, la presion sobre la cara concava de la burbuja es mayor que la presion sobre lacara convexa.

Otro fenomeno debido a la tension superficial en capilares es el ascenso o descenso deun lıquido en su interior. Este fenomeno ocurre al sumergir en un lıquido un tubo capilarabierto a la atmosfera. Las fuerzas de adhesion (debidas a las moleculas de vidrio delcapilar) y cohesion (debidas a las moleculas del lıquido) sobre una molecula del lıquidosituada cerca de la superficie del lıquido en contacto con el capilar obligan a la propiasuperficie a adoptar una forma como se indica en la figura 10.1, donde la curvatura de lasuperficie del lıquido dentro del capilar se conoce con el nombre de menisco, y el anguloθ que forma la superficie en contacto con el capilar se llama angulo de contacto, que soncaracterısticas que dependen de las sustancias en contacto. Si suponemos, por sencillez,que la superficie del lıquido dentro del capilar es una semiesfera cuyo radio es el radiodel capilar r (esto es, el angulo de contacto es θ = 0), entonces la diferencia de presionesentre ambas caras de la superficie del lıquido esta dada por la formula 10.4,

p′ = p0 −2σ

r. (10.5)

Por otro lado, la presion p en un punto del lıquido que esta a la misma altura que lasuperficie libre fuera del capilar es, segun el Principio de Pascal,

p = p′ + ρgh, (10.6)

donde ρ es la densidad del lıquido. De 10.5 y 10.6, se obtiene

p = p0 −2σ

r+ ρgh. (10.7)

Ademas, las presiones p y p0 estan relacionadas por su diferencia de alturas h. En efecto,suponiendo por simplicidad que el aire se comporta como un fluido incompresible, elPrincipio de Pascal nos ofrece que

p = p0 + ρ′gh, (10.8)

donde ρ′ es la densidad del aire. Igualando 10.7 y 10.8, se llega a

σ =(ρ− ρ′)ghr

2, (10.9)


Figura 10.1: Lıquido en un capilar.

que nos da la tension superficial del lıquido en funcion de la altura h de la columna dentrodel capilar.

Cuando el lıquido de prueba no es una sustancia pura, sino que tenemos una disolucionde dos componentes, la tension superficial σ de la disolucion varıa con respecto a la tensionsuperficial σ0 del disolvente. La relacion entre ambas tiene que ver con la concentracionc del soluto en la disolucion. Podemos usar en este caso la relacion empırica encontradapor Szyskowski,

σ = σ0

[1− a ln

(1 +

c

b

)], (10.10)

donde a y b son constantes empıricas. Para expresar concentraciones, se utilizara el sistemade los porcentajes por el cual, si tenemos una concentracion al x % de acido en agua,significa que el x % es acido y el (100− x) % es agua.


El montaje experimental se muestra en la figura 10.2.En primer lugar, se debe tomar nota del radio del capilar que se va a utilizar (esta apun-

tado en el puesto de la practica). Para medir la tension superficial, se introduce ligeramenteel capilar en el lıquido a estudiar. Entonces, se escoge el punto cero de la escala en la parteinferior del menisco fuera del capilar y, mediante el papel milimetrado, se mide la alturade la elevacion del lıquido dentro del capilar, justo hasta la parte inferior del menisco.Introduciendo el capilar mas profundamente en el lıquido, se pueden hacer varias medidas.En cada caso, se succiona el lıquido hasta que sobrepase el punto de equilibrio, y luego se



le deja relajarse hasta el nuevo equilibrio.

10.4 Resultados

1. Utilizando como lıquido de prueba el agua, calcular su tension superficial σ0 a travesde la ecuacion 10.9, usando el valor del radio del capilar calculado en la primeraparte de estos Resultados y midiendo 5 veces la altura del agua dentro del capilar,mediante el metodo dado en el Montaje Experimental. En cada caso, anotar el errorde h y calcular el de σ0.

h(±Eh) σ0(±Eσ0)

A partir de los valores de la tabla, promediar para obtener la tension superficial delagua destilada y su error, indicando de donde viene este error.

σ0(±Eσ0) =

2. Utilizando como lıquido de prueba una disolucion de vinagre en agua, calcular latension superficial σ a traves de la ecuacion 10.9 para varios valores de la concen-


tracion c de acido acetico, desde 100 % hasta 0 % en pasos de 10 %1. Realizar comoantes 5 medidas de h para cada valor de σ.

c h (5 medidas) σ (5 valores) σ(±Eσ)

Representar graficamente la tension superficial de la disolucion frente a la concen-tracion.

10.5 Discusion

• Comparar el valor obtenido para la tension superficial del agua con el valor dadopor alguna referencia autorizada. ¿Que factores podrıan explicar las discrepancias?

• Segun los datos obtenidos en el punto 2 de los Resultados, ¿se podrıan obtenerlas constantes empıricas a y b que aparecen en la formula 10.10 para la disolucionestudiada?


10.6 Cuestiones

1. Para obtener la ecuacion 10.9, se ha supuesto que el aire se comporta como un fluidoincompresible, de modo que se puede utilizar en el el Principio de Pascal. Discutiresta aproximacion y en que condiciones se puede usar.

1Empezar con una cantidad suficiente de vinagre e ir anadiendo cantidades calculadas de agua parair obteniendo sucesivos porcentajes. Por debajo de un 30 % o 20 % sera conveniente partir de agua puray anadir vinagre

Capıtulo 11

Flujos viscosos en conductos

11.1 Objetivo

Se comprobara la ley de Hagen-Poiseuille, que gobierna el flujo laminar de lıquidos new-tonianos. Tambien se investigara como depende del diametro del capilar la resistencia alflujo de un lıquido, y se estudiara la resistencia al flujo para tubos capilares conectados.


La viscosidad esta relacionada con el rozamiento interno que ocurre entre capas distintasde un fluido real. Debido a la existencia de viscosidad, es necesario ejercer una fuerzapara que una capa de fluido deslice sobre otra. En este experimento, se va a analizar elflujo de un lıquido real, esto es, viscoso, a traves de uno o varios capilares. Debido a lanaturaleza del experimento y al tipo de fluido utilizado, se pueden hacer las siguientesaproximaciones para el flujo.

1. El campo de velocidades del flujo no depende del tiempo, es decir, el flujo es esta-cionario. Dicho de otro modo, si P es un punto cualquiera del fluido, la velocidaden P no depende del tiempo, de manera que dos partıculas de fluido que pasen porP en instantes diferentes tendran la misma velocidad.

2. El flujo es irrotacional, es decir, el movimiento carece de remolinos. Dicho de otromodo, el campo de velocidades se puede expresar como el gradiente de una funcionescalar.

3. Debido a que el fluido es, en este caso, un lıquido, se puede suponer que es incom-presible, es decir, su densidad se mantiene constante.

4. Ademas, mientras la velocidad del flujo a traves del capilar no sea demasiado grande,se puede suponer que el lıquido se mueve en el regimen laminar. En este caso, elmovimiento se realiza por laminas de fluido superpuestas, que apenas se entremez-clan, y el campo de velocidades se dice paralelo a sı mismo. Dentro de un tubo, enregimen laminar, el perfil de velocidades es de tipo parabolico: el lıquido se adhiere alas paredes del tubo y fluye mas rapido en su parte intermedia, creando una parabolaen su frente. Cuando las velocidades del flujo son mucho mayores, el movimiento se

85

CAPITULO 11. FLUJOS VISCOSOS EN CONDUCTOS 86

produce en regimen turbulento, caracterizado por remolinos en el seno del lıquido yun perfil de velocidades mucho mas achatado. En esta practica, el lıquido se muevebasicamente en regimen laminar.

11.2.1 Ley de Hagen-Poiseuille

Para estudiar la viscosidad en lıquidos que cumplan estas condiciones, consideramos doslaminas de lıquido que se mueven con una diferencia de velocidades dv y que estan sepa-radas una distancia dx. Si S es el area de la superficie de contacto de las laminas, entoncesla fuerza tangencial Fη, debida a la viscosidad del lıquido, que una lamina ejerce sobre laotra es

Fη = ηSdv

dx, (11.1)

donde la constante de proporcionalidad η se llama coeficiente de viscosidad, y es unacaracterıstica de la sustancia que depende, entre otras cosas, de la temperatura. En esteexperimento, sin embargo, la temperatura de trabajo sera siempre la temperatura ambi-ente, por lo que la viscosidad del lıquido sera constante.

La relacion dada por la ecuacion 11.1 no es generalizable a todos los lıquidos, ni muchomenos. A traves de los experimentos, se ha comprobado que algunos lıquidos presentanun comportamiento viscoso que no satisface esta ecuacion, entre los cuales aparecen losplasticos, los lubricantes, etc. Los lıquidos que satisfacen la ecuacion 11.1 se llaman lıquidosnewtonianos. En este experimento, el lıquido es newtoniano.

Para establecer el flujo de un lıquido (incompresible) newtoniano en regimen laminara traves de un tubo cilındrico de radio r y longitud l, que se mueve debido a la diferenciade presiones ∆p entre los extremos del tubo, suponemos flujo irrotacional y estacionario.Escogemos la capa de fluido contenida entre un tubo de radio r′ y otro de radio r′ + dr′

(evidentemente, r′ < r). Las fuerzas que actuan sobre esta capa de fluido son las debidasa la diferencia de presiones ∆p entre los extremos del tubo y las debidas a la viscosidadη del lıquido. Por estar en regimen estacionario, la Segunda Ley de Newton dice que lasuma de estas dos fuerzas ha de ser igual a cero,

Fp + Fη = 0. (11.2)

Dado que la presion es igual a la fuerza normal efectuada sobre una superficie divididapor el area de la superficie, se tiene que

dFp = ∆p[π (r′ + dr′)

2 − πr′2]

= ∆p (2πr′dr′) , (11.3)

e, integrando,Fρ = πr′2∆p. (11.4)

Por otro lado, por ser el lıquido newtoniano, aplicando la ecuacion 11.1 y recordando queS es el area lateral de la capa de lıquido, que esta en contacto con el resto del fluido,

Fη = η(2πr′l)dv

dr′. (11.5)

Insertando 11.5 y 11.4 en 11.2, se llega a

dv

dr′= −r′∆p

2ηl. (11.6)


Por integracion, e incluyendo la condicion de contorno v(r) = 0, que significa que el propiocapilar no se mueve, se obtiene la distribucion de velocidades sobre la seccion transversaldel capilar,

v(r′) =∆p

4ηl

(r2 − r′2

), (11.7)

que da el perfil parabolico de velocidades tıpico del regimen laminar. El caudal de lıquidoQ, que se define como el volumen de lıquido que fluye por una seccion del tubo en launidad de tiempo, ha de satisfacer que el caudal dQ a traves de una seccion infinitesimaldel cilindro entre r′ y r′ + dr′ es

dQ = v(r′)dS(r′) = 2πr′dr′v(r′), (11.8)

de donde, usando 11.7 e integrando en todos los puntos interiores de la seccion del tubo,

Q =dV

dt=

∫ r

0

2πr′dr′v(r′) =πr4∆p

8ηl, (11.9)

que es la ley de Hagen-Poiseuille. De aquı, el volumen de lıquido V que fluye por unaseccion del tubo depende del tiempo segun

V =πr4∆p

8ηlt. (11.10)

Inspeccionando la ecuacion 11.9, se observa una curiosa analogıa entre el flujo laminarestacionario de un lıquido a traves de un tubo, dado por la Ley de Hage-Poiseuille, y lacorriente electrica a traves de un circuito. De hecho, esta analogıa se hace mucho masclara si se define la resistencia de flujo R como

R =8ηl

πr4. (11.11)

Con ella, la Ley de Hagen-Poiseuille se puede escribir

∆p = RQ, (11.12)

que es totalmente igual a la relacion entre la diferencia de potencial y la intensidad en uncircuito.

Si se representa graficamente el caudal de flujo Q de un lıquido de viscosidad η atraves de un capilar de longitud l y radio r frente a la diferencia de presiones ∆p entre losextremos del capilar, la ecuacion 11.12 indica que se debe obtener una recta que pasa porel origen y cuya pendiente es 1/R, donde R esta dada por la ecuacion 11.11. Sin embargo,cuando el caudal supera un determinado valor, la velocidad de flujo ha aumentado mucho,y se observara que la grafica se curva. Es en este punto cuando la ley de Hagen-Poiseuillepierde su valor, y se considera que el flujo es turbulento.

11.2.2 Asociaciones de resistencias de flujo

Si dos tubos capilares, de radios r1 y r2, estan conectados en serie, el caudal de flujo Qes el mismo en ambos y, por tanto, si R1 y R2 son los valores de la resistencia de flujo



en ambos capilares, la diferencia de presiones ∆p entre el inicio del primer capilar y elextremo del segundo es la suma de las diferencias de presiones en cada capilar,

∆p = ∆p1 + ∆p2 = Q(R1 + R2) = QReq, (11.13)

donde el valor de la resistencia equivalente en serie es

Req = R1 + R2. (11.14)

Si se conectan dos tubos capilares en paralelo, la diferencia de presiones entre losextremos de cada capilar es la misma, pero los caudales se suman, esto es,

∆p

Req

= Q = Q1 + Q2 =∆p

R1

+∆p

R2

, (11.15)

y se obtiene1

Req

=1

R1

+1

R2

, (11.16)

para la resistencia equivalente en paralelo.


El montaje experimental se muestra en la figura 11.1. Como lıquido para experimentarse usara agua. Los tubos capilares se sostienen horizontalmente mediante abrazaderas enlos extremos. Los capilares se conectan con el recipiente de lıquido y entre sı a traves de


gomas. Es importante, para asegurar el correcto paso de lıquido, evitar en lo posible quese formen burbujas de aire.

Para calcular la diferencia de presion ∆p sobre el tubo capilar se ha de usar la alturadel lıquido h segun

∆p = ρgh, (11.17)

donde ρ es la densidad del lıquido y g es la aceleracion de la gravedad. Es convenienteobtener primero la densidad del lıquido pesando el recipiente vacıo, y luego haciendolocon un volumen dado.

En el experimento, se ha de determinar el caudal de flujo para varias alturas delrecipiente, lo que se hace en la practica pesando la cantidad de lıquido que escapa enun tiempo corto. El nivel en el recipiente baja durante las medidas y causa un errorsistematico que puede ser ignorado en el caso de cantidades pequenas.

Es aconsejable representar los valores medidos en un grafico mientras se toman lasmedidas, hasta que se dibujen un numero suficiente de puntos en el area de flujo laminar.Se medira con un calibre el diametro de los tubos.

11.4 Resultados

1. Para cada uno de los 2 tubos capilares de diferentes diametros 2r, de la mismalongitud l = 25 cm, medir el caudal volumetrico para valores de la altura de aguah entre 10 cm y 60 cm, en pasos de 10 cm.

r =h Q[cm3.s−1]

r =h Q[cm3.s−1]

Representar graficamente la curva caracterıstica, esto es, el valor del caudal frente ala diferencia de presiones, para los dos casos anteriores de diferentes diametros (losdos en la misma grafica, si es posible).

2. Con respecto a las curvas del apartado anterior, escoger los puntos que correspondena flujo laminar, y, para cada valor del radio del capilar r, calcular el coeficiente de


correlacion lineal c, la pendiente a y la ordenada en el origen b de la recta de mınimoscuadrados Q = a(∆p) + b.

r c a b

A partir de los valores obtenidos en cada uno de los dos casos para la pendientea, calcular los valores de la resistencia de flujo R en Pa.s/cm3, con ayuda de laecuacion 11.12. Con este valor de R, obtener la viscosidad de cada caso segun laecuacion 11.11 y promediar para obtener la viscosidad η del agua.

R1 = R2 =

η1 = η2 = η = η =

3. Conectar en serie los 2 tubos capilares usados anteriormente. A partir de las medidasR1 y R2 obtenidas anteriormente calcular la resistencia terica equivalente Rt

eq con laayuda de la ecuacion 11.14. Mediante un proceso de medida analogo al descrito enel primer apartado de estos resultados (obtencion de la curva caracterıstica y deter-minacion de la pendiente en la zona laminar por un ajuste de mınimos cuadrados),medir el valor de la resistencia equivalente Req.

R1 = R2 =

Rteq = Req =

4. Hacer lo mismo para la asociacion de resistencias en paralelo, calculando esta vez elvalor teorico Rt

eq con ayuda de la ecuacion 11.16.

R1 = R2 =

Rteq = Req =

11.5 Discusion

• En cada caso del punto 1 de la seccion de resultados, discutir que valores del caudalcorresponden a flujo laminar y cuales a flujo turbulento.

• ¿En el punto 2, cual era el valor teorico bt esperado para la ordenada en el origende la recta de minimos cuadrados? ¿Se obtienen diferencias apreciables entre bt y b?


11.6 Cuestiones

1. En el experimento, se calcula la diferencia de presiones entre los extremos del capilara partir de la altura del lıquido en el recipiente. ¿Que implican las variaciones dealtura del liquido? ¿Que puede decir de la perdida de presion en el tubo de goma?


2. ¿Se puede extraer alguna conclusion sobre el caudal en regimen turbulento a partirde las curvas caracterısticas que se han obtenido?

3. Discutir que efectos pueden influir en la diferencia entre los valores teoricos y losexperimentales de las resistencias de flujo equivalentes obtenidas en los puntos 3 y4 de los Resultados.

Capıtulo 12

Coeficiente adiabatico de los gases

12.1 Objetivo

Un cilindro oscila en el aire dentro de un tubo de vidrio de precision con un movimientoarmonico simple. Se determinara el coeficiente adiabatico del aire a partir del perıodo dela oscilacion. Este oscilador recibe el nombre de oscilador de Flammersfeld.


En un tubo de vidrio de precision se introduce un cilindro homogeneo, cuyo radio es casiigual al radio interior del tubo. La presion del aire, que pasa al tubo de precision desde unabotella conectada a una bomba, eleva el cilindro en el tubo. Para mantener una oscilacionpracticamente libre, sin amortiguamiento, el gas que, inevitablemente, se escapa a travesdel hueco entre el tubo de vidrio de precision y el oscilador, se devuelve al sistema desdela botella. Por otro lado, hay una pequena apertura en el centro del tubo de vidrio. Eloscilador se puede colocar inicialmente bajo la apertura. El gas que fluye al sistema causaun debil exceso de presion que fuerza al oscilador a moverse hacia arriba. Tan prontocomo el oscilador deja espacio en la apertura, el exceso de presion escapa, el oscilador caey se repite el proceso. De esta manera, se impone una oscilacion libre.

Si el cuerpo se aleja de la posicion de equilibrio una distancia x, la presion p sufre uncambio ∆p. Segun la Segunda Ley de Newton, y dado que la fuerza debida a la presiondel aire es igual al area por la variacion de la propia presion, se tiene

md2x

dt2= πr2∆p, (12.1)

donde m es la masa del oscilador y r su radio. Dado que el proceso de oscilacion es rela-tivamente rapido y la oscilacion se puede considerar sin rozamiento, se puede consideraraque el proceso es adiabatico, en cuyo caso se cumple que

pV γ = cte, (12.2)

donde V es el volumen del gas, y γ es el coeficiente adiabatico. A partir de esta expresion,tomando incrementos en ambos miembros, se obtiene

∆p = −pγ

V∆V. (12.3)

92

CAPITULO 12. COEFICIENTE ADIABATICO DE LOS GASES 93

Al sustituir este resultado en la ecuacion 12.1, teniendo en cuenta que

∆V = πr2x, (12.4)

llegamos a la ecuacion diferencial

d2x

dt2+

(γπ2r4p

mV

)x = 0, (12.5)

que es, claramente, la ecuacion de un oscilador armonico de frecuencia angular

ω =

√γπ2r4p

mV. (12.6)

El perıodo de la oscilacion

T =2π

ω, (12.7)

se relaciona, entonces, con el coeficiente adiabatico segun

γ =4mV

T 2pr4, (12.8)

que es la ecuacion que nos permitira calcular el coeficiente adiabatico del gas una vez me-dido el perıodo. La presion del gas, que consideraremos constante por debajo del cilindro,se puede calcular igualando el peso del cilindro a la fuerza de presion que actua bajo el,esto es,

(p− p0)πr2 = mg, (12.9)

de dondep = p0 +

mg

πr2, (12.10)

siendo p0 la presion atmosferica externa.Segun la teorıa cinetica de los gases, el coeficiente adiabatico de un gas depende

unicamente del numero υ de grados de libertad activos de una molecula de gas que, a suvez, solo depende del numero de atomos que componen la molecula. Ası, por ejemplo, ungas monoatomico tiene 3 grados de libertad activos por molecula (3 traslaciones) y un gasdiatomico tiene 5 grados de libertad activos por molecula (3 traslaciones y 2 rotaciones).El coeficiente adiabatico γ es el cociente entre la capacidad calorıfica a presion constanteCp y la capacidad calorıfica a volumen constante CV

γ =Cp

CV

. (12.11)

La teorıa cinetica de los gases, que es aplicable en las mismas circunstancias que lahipotesis del gas ideal, permite calcular las capacidades calorıficas, obteniendose

CV =υ

2nR, Cp =

(υ

2+ 1)

nR, (12.12)

donde n es el numero de moles de gas y R es la constante universal de los gases, R =8, 314 J · K−1·mol−1. Por tanto, introduciendo 12.12 en 12.11, se llega a

γ = 1 +2

υ. (12.13)




El montaje experimental se observa en la figura 12.1. La presion requerida se genera conuna pequena bomba. Se situa una botella aspiradora entre el oscilador de gas y la bomba,para que actue como amortiguador, y se inserta un tubo de vidrio relleno de algodonhidrofilo dentro del tubo suministrador para atrapar cualquier humedad.

Se debe limpiar bien el tubo de vidrio de precision, colocarlo verticalmente e insertarel oscilador. El haz de la barrera fotodetectora debe colocarse de manera que cuenteoscilaciones completas.

Con la valvula de control del aspirador, se ajusta el caudal de gas de tal modo que laoscilacion sea simetrica respecto a la hendidura que hay en el tubo de precision. Para ello,se usan como guıa los anillos azules. Si el centro de la oscilacion cae claramente sobre lahendidura, pero cesa al reducir debilmente la presion del gas, entonces es evidente que haentrado polvo en el sistema, y habra que limpiarlo de nuevo con cuidado.ADVERTENCIA IMPORTANTE: El oscilador debe ser manejado con gran cuidadoporque es un aparato de precision. Se debe insertar el oscilador en el tubo despues deaplicar el flujo de gas, y situar la mano suavemente sobre la entrada del tubo hastaobtener una amplitud constante, de modo que no ocurra que el oscilador sea violentamenteexpulsado. Otro posible problema es que el oscilador quede inmovilizado en la parteinferior del tubo. En este caso, se debe quitar el tubo de vidrio, y aflojar cuidadosamenteel oscilador con la parte posterior de un lapiz.


12.4 Resultados

1. Pesar la masa m del oscilador, medir su diametro 2r (con el calibre de precision),y el volumen de gas V , con sus correspondientes errores. Tomar tambien el valor dela presion atmosferica en el laboratorio.

m(±Em) = V (±EV ) =

r(±Er) = p0 ± Ep0 =

Realizar un mınimo de 10 medidas del tiempo t300 que tarda el sistema en realizar300 oscilaciones.

t300

A partir del valor medio t300 y su error, calcular el periodo T de la oscilacion y sucorrespondiente error.

t300(±Et300) =

T (±ET ) =

2. Con estos valores, determinar el coeficiente adiabatico del gas y su error. Determinarel numero de grados de libertad activos de una molecula de aire a partir de la medidadel coeficiente adiabatico y su error.

γ(±Eγ) =

υ(±Eυ) =

12.5 Discusion

• Discutir si el valor de grados de libertad hallado es el esperado.

• De los factores que contribuyen al error del coeficiente adiabatico y los grados delibertad, ¿cual es el mas importante? ¿Cual es la mejor forma de reducir el error?


12.6 Cuestiones

1. ¿Por que es importante que el proceso de oscilacion sea rapido?

2. En la primera parte de los Resultados, se ha medido el tiempo necesario para que elsistema realice 300 oscilaciones. Con esta medida se ha hallado el perıodo. Demostrarque esta tecnica permite reducir considerablemente el error del perıodo.

3. A partir del calculo del numero de grados de libertad de una molecula del gas quese ha realizado en la segunda parte de los resultados y de su error, ¿se puede decircon certeza cuantos atomos tiene esa molecula?

Capıtulo 13

Dilatacion termica de los solidos y los lıqui-dos

13.1 Objetivo

Se estudiara el cambio en el volumen de los lıquidos y el cambio en la longitud de algunosmateriales solidos cuando se aumenta la temperatura.


Cuando aumenta la temperatura de un cuerpo, normalmente este se dilata. Consideremosuna varilla de longitud L a una temperatura T . Cuando la temperatura varıa infinitesi-malmente en dT (suponemos que la presion se mantiene aproximadamente constante), elcambio infinitesimal de longitud dL es proporcional a la longitud inicial L y al cambio enla temperatura dT ,

dL = αLL(dT ), (13.1)

en donde el coeficiente αL se denomina coeficiente de dilatacion lineal. Segun la ecuacion13.1, se define el coeficiente de dilatacion a una determinada temperatura como

αL(T ) =1

L

(∂L

∂T

)p

, (13.2)

donde se ha especificado que la derivada se toma con la presion p constante. En general,por tanto, el coeficiente de dilatacion depende de la temperatura. En la mayorıa de loscasos, sin embargo, se consigue una exactitud suficiente utilizando el valor medio en unintervalo amplio de temperatura. Suponiendo, segun este razonamiento, que αL va a serconstante en el intervalo de temperaturas en que vamos a experimentar, y que la presiones constante durante la medicion, se puede integrar la ecuacion 13.1 entre un estado inicial(T0, V0) y un estado final (T, V ). Se obtiene

ln

(L

L0

)= αL (T − T0) , (13.3)

de donde, despejando L,L = L0 exp [αL (T − T0)] . (13.4)

96

CAPITULO 13. DILATACION TERMICA DE LOS SOLIDOS Y LOS LIQUIDOS 97


Normalmente, en los experimentos el valor del coeficiente de dilatacion por la variacion detemperatura no es demasiado grande. Ası, podemos desarrollar la ecuacion 13.4 en seriede Taylor y quedarnos con el primer orden. Se llega ası a la expresion que se va a utilizaren esta practica,

L = L0 [1 + αL (T − T0)] . (13.5)

Analogamente, se define el coeficiente de dilatacion de volumen αV a presion constantecomo

αV =1

V

(∂V

∂T

)p

. (13.6)

Con el mismo tratamiento que en el caso lineal, se llega a la expresion

V = V0 [1 + αV (T − T0)] . (13.7)


13.3.1 Medida de la dilatacion de lıquidos

El montaje se observa en la figura 13.1. El instrumento que se utiliza para medir el volumende un lıquido es el llamado picnometro. Este elemento esta fabricado en vidrio pyrex, queresulta muy resistente a la temperatura. Su parte inferior tiene forma de burbuja y ensu parte superior se puede insertar una fina varilla de vidrio en la que se apreciaran loscambios de volumen sufridos por el lıquido interior.

Es necesario saber el volumen del picnometro, que aparece inscrito sobre la ampollade vidrio. Para realizar las medidas de la dilatacion habra que llenar el picnometro conel lıquido a caracterizar, utilizandose los distintos lıquidos que aparecen indicados en la


seccion de resultados. El picnometro debera rellenarse hasta la marca de cero del tubo queaparece en el tubo superior, de manera que el volumen inicial sera la capacidad nominal(la inscrita en el) y la temperatura inicial sera la ambiental.

Para determinar el volumen del lıquido para cada temperatura se introduce el picnometroen la cuba termostatica y se calienta el agua con la resistencia que tiene sumergida. Fi-nalmente, se tomaran pares de datos temperatura - volumen. Se ha de suponer que elvolumen del picnometro no depende de la temperatura.

IMPORTANTE: No encender la resistencia si no se encuentra sumergidaen el agua.

13.3.2 Medida de la dilatacion de solidos

Para medir la dilatacion de solidos hay que utilizar el dilatometro. Este aparato consiste enun soporte al que se le ha anadido un calibre de aguja. Para medir con el es imprescindibleajustar el cero al inicio de la medida. Posteriormente, segun aumente la longitud delcuerpo, la aguja indicadora del calibre se movera y el numero de lıneas que se mueva,multiplicado por la precision, longitud equivalente de cada division del calibre, y queaparece indicada en la esfera del calibre, sera el incremento de longitud sufrido por elcuerpo. El ajuste preciso del cero se puede hacer si se gira con suavidad el extremo de lapunta medidora.

En esta practica se dispone de una varilla de aluminio de 600 mm de longitud. Estavarilla es hueca y dispone de conexiones de entrada y de salida, de manera que se puedehacer circular por su interior una corriente de agua caliente, lo que permite modificar sutemperatura de modo controlado y homogeneo. Para que circule el agua caliente hay queconectar el tubo de entrada al calentador de temperatura regulable, y el de salida a lacuba.

Finalmente, se realizaran las medidas que se indicaran en el apartado de Resultados.

13.4 Resultados

1. Medir con el calibre el diametro del tubo del picnometro, para poder obtener lavariacion del volumen del lıquido. Realizar medidas del volumen del lıquido dentrodel picnometro para distintas temperaturas, desde la temperatura ambiente hasta75 C, en pasos de unos 5 C. Realizar el experimento con los distintos lıquidosdisponibles.

Al mismo tiempo realizar distintas medidas de la longitud de la varilla de aluminiopara las distintas temperaturas.

T ( C)∆V ( cm3) Aceite de oliva∆V ( cm3) Glicerina∆L( mm) Aluminio

2. Representar graficamente el incremento de volumen de cada lıquido frente a la tem-peratura. Calcular el coeficiente de correlacion lineal r, la pendiente a, la ordenada


en el origen b y trazar la recta de mınimos cuadrados ∆V = aT + b sobre la repre-sentacion anterior.

r = a = b =

A partir de estos valores, calcular el coeficiente de dilatacion de volumen usando laecuacion 13.7.

Lıquido αV

Aceite de olivaGlicerina

3. Representar graficamente el incremento de la longitud de la varilla de aluminio frentea la temperatura. Calcular el coeficiente de correlacion lineal r′, la pendiente a′, laordenada en el origen b′ y trazar la recta de mınimos cuadrados ∆L = a′T + b′ sobrela representacion anterior.

r′ = a′ = b′ =

A partir de estos valores, calcular el coeficiente de dilatacion lineal del aluminiousando la ecuacion 13.5.

αL =

13.5 Discusion

• Comparar los coeficientes de dilatacion obtenidos con valores estandares.

• A partir de ello deducir si la hipotesis considerada en la primera parte es cierta.


13.6 Cuestiones

1. Con los valores obtenidos en la segunda parte de los Resultados, indicar si es correctoel razonamiento hecho para la primera parte en la que se consideraba que el volumendel picnometro no variaba con la temperatura.

2. Calcular la relacion que existe entre los coeficientes de dilatacion lineal, superficialy volumetrica de un solido.

3. Tenemos una superficie de metal con un hueco cuadrado. Cuando se calienta elmaterial, ¿aumentara o disminuira el hueco del material?

Capıtulo 14

Temperatura y densidad de los lıquidos

14.1 Objetivo

Se determinara la densidad del agua y del glicerol en funcion de la temperatura, usandouna balanza de Mohr. Se comprobara experimentalmente el comportamiento anomalo delagua.


Las sustancias existen en fases diferentes. En condiciones de presion y temperatura dadas,cada sustancia aparece en una fase determinada pero, al cambiar las condiciones, puedecambiar la fase de una determinada sustancia. Los enlaces moleculares mas fuertes se danen los solidos, y los mas debiles en los gases. Una razon para este comportamiento es que,en el primer caso, las moleculas estan muy proximas unas de otras, en tanto que en losgases las separan grandes distancias.

Las moleculas de un solido se arreglan en un patron tridimensional (en forma de red)que se repite por todo el solido. Debido a las pequenas distancias intermoleculares, lasfuerzas de atraccion entre las moleculas son grandes y las mantienen en posiciones maso menos fijas dentro del solido. Las fuerzas de atraccion originan fuerzas de repulsion amedida que la distancia intermolecular se acerca a cero, evitando ası que las moleculasse apilen unas sobre otras. Aunque las moleculas en un solido no sufren traslacionesrespecto a algun punto fijo, oscilan respecto a su posicion de equilibrio. La velocidadde las moleculas durante estas oscilaciones depende de la temperatura. Cuando esta essuficientemente elevada, la velocidad de las moleculas alcanza un punto donde las fuerzasintermoleculares se superan y grupos de moleculas escapan. Este es el principio del procesode fusion.

El espaciamiento molecular en la fase lıquida es parecido al de la fase solida, exceptoen que las moleculas ya no mantienen posiciones fijas entre sı. En un lıquido, grupos demoleculas flotan unos en torno a otros; sin embargo, las moleculas tienen una estructuraordenada dentro de cada grupo y mantienen las posiciones originales unas respecto deotras. Esto significa que, en los lıquidos, solo existen pequenas regiones con un arreglotridimensional, pero no hay arreglos a nivel global o de orden macroscopico. Las distanciasentre las moleculas de los lıquidos experimentan un ligero incremento cuando un solido se

100

CAPITULO 14. TEMPERATURA Y DENSIDAD DE LOS LIQUIDOS 101

vuelve lıquido (sin embargo, el agua es una rara excepcion). Finalmente, en los gases, lasmoleculas estan bastante apartadas unas de otras, y no existe orden molecular.

La densidad de los lıquidos generalmente disminuye cuando la temperatura crece. Elcoeficiente de dilatacion del volumen de un lıquido a presion p constante se define como

α =1

V

(∂V

∂T

)p

. (14.1)

Dado que la masa se conserva, se tiene que, de la relacion entre el volumen V y la densidadρ de una sustancia,

V =m

ρ, (14.2)

se llega, derivando, a

dV =−m

ρ2dρ, (14.3)

de modo que

α = − ρ

m

m

ρ2

(∂ρ

∂T

)p

= −1

ρ

(∂ρ

∂T

)p

. (14.4)

En muchos lıquidos, como es el caso del glicerol, el coeficiente de dilatacion apenas varıacon la temperatura. Para estos casos, se puede tomar α constante e integrar la ecuacion14.4 entre el estado inicial (T0, ρ0) y el estado final (T, ρ), obteniendose

ρ = ρ0 exp [−α (T − T0)] , (14.5)

que, si α (T − T0) no es demasiado grande, como en el caso del glicerol, se puede aproximarla exponencial por los primeros terminos de su desarrollo de Taylor, para llegar a

ρ = ρ0 [1− α (T − T0)] . (14.6)

14.3 Montaje Experimental

El montaje experimental es el de la figura 14.1. El lıquido a estudiar se pone en unacuario de vidrio, de modo que su temperatura se ajusta a la del bano de agua. La bombacirculatoria del termostato asegura un rapido equilibrio termico. La temperatura deseadase selecciona en el termostato, y se mantiene constante a traves de un controlador.

La densidad del lıquido se mide por el metodo de flotacion, usando la balanza de Mohr.Este dispositivo es extremadamente fragil, y debe usarse con mucho cuidado.

14.4 Resultados

1. Por medio de la balanza de Mohr, medir la densidad del glicerol ρg y del agua ρa

para varios valores de la temperatura, desde 20 C hasta 50 C, en pasos de 5 C.



Tomar nota tambien de los respectivos errores de medida.

T (±ET ) ρg(±Eρg) T (±ET ) ρa(±Eρa)

2. Representar graficamente la densidad del glicerol frente a la temperatura. Calcularel coeficiente de correlacion lineal r, la pendiente a, la ordenada en el origen b, ytrazar la recta de mınimos cuadrados ρg = aT + b sobre la representacion anterior.

r = a = b =

Por medio de estos valores, y usando la ecuacion 14.6, calcular el coeficiente dedilatacion del glicerol.

αg =

3. Para cada valor de la temperatura en la tabla del primer punto de estos Resultados,calcular el coeficiente de dilatacion del agua αa por medio de la ecuacion 14.4, estoes, tomando

αa(T ) = − 1

ρa

∆ρa

∆T. (14.7)


Calcular tambien el error de αa(T ) en cada caso.

T (±ET ) αa(±Eαa)

Representar graficamente el coeficiente de dilatacion para el agua frente a la tem-peratura.

14.5 Cuestiones

1. Segun lo obtenido en el punto 2 de los resultados, ¿se puede considerar que elcoeficiente de dilatacion del glicerol se mantiene constante al variar la temperatura?Utilizar el valor obtenido para el coeficiente de correlacion lineal r y discutir labondad de la aproximacion dada por la ecuacion 14.6 para el glicerol.

2. ¿Que grafica se obtiene en el punto 3 de los resultados? ¿Que consecuencias se puedenextraer de esto para el comportamiento del coeficiente de dilatacion del agua frentea la temperatura?

3. Respecto a la representacion grafica anterior, ¿en que intervalo de temperaturas sepuede considerar constante el coeficiente de dilatacion del agua?

Capıtulo 15

Campo electrico y potencial electrico

15.1 Objetivo

Se estudiara el campo electrico y el potencial electrico en el interior de un condensadorde placas paralelas, analizando su comportamiento cuando varıan la distancia entre lasplacas y el valor de la diferencia de potencial aplicada.


Un condensador es un dispositivo que sirve para almacenar carga. Esta formado por dosconductores con cargas del mismo valor pero de signo opuesto. En un condensador deplacas paralelas, los conductores son 2 placas planas paralelas, separadas una distancia d.

Supongamos que colocamos una placa, cargada con una distribucion superficial ho-mogenea de carga σ, en el plano x = 0, con centro en el origen, y la otra placa, cargadacon una distribucion superficial homogenea de carga −σ, la situamos paralelamente a la

primera, en el plano x = d. Vamos a calcular el campo electrico−→E creado en el interior

del condensador, esto es, la region entre ambas placas.Si la distancia entre placas d es menor que el lado de una placa, se puede suponer

que las placas son planos infinitos. En este caso, el campo electrico creado por el planoinfinito situado en x = 0 viene dado por la Ley de Gauss, y resulta

−→E 1 = 2πkσ

−→i , si x > 0, (15.1)

−→E 1 = −2πkσ

−→i , si x < 0. (15.2)

Dado que nos interesa el campo entre las placas, es claro que x > 0, y el campo creadopor la primera placa es el dado en la ecuacion 15.1. Haciendo lo mismo para la segundaplaca, y teniendo en cuenta que, en ella, la distribucion de carga es −σ, se llega a

−→E 2 = −2πkσ

−→i , si x > d, (15.3)

−→E 2 = 2πkσ

−→i , si x < d. (15.4)

En este caso, nos interesa x < d, y el resultado esta dado por la ecuacion 15.4. El campocreado por el condensador de placas paralelas en su interior es, por tanto,

−→E =

−→E 1 +

−→E 2 = 4πkσ

−→i , 0 < x < d, (15.5)

104

CAPITULO 15. CAMPO ELECTRICO Y POTENCIAL ELECTRICO 105

que es claramente uniforme y dirigido a lo largo del eje x, que es el eje del condensador.Para calcular el potencial electrico V se puede usar que, debido a que el campo electrico

no depende del tiempo, es conservativo y, por tanto,

−→E = −

−−→gradV. (15.6)

Ademas, en la ecuacion 15.5 se observa que el campo solo depende de la coordenada x(a traves de su signo) y que tiene la direccion del eje x. Por tanto, podemos suponer queV = V (x), de donde

−→E = −dV

dx

−→i , (15.7)

y tomando−→E de 15.5, se obtiene

V (x) = V0 − 4πkσx, 0 < x < d, (15.8)

donde V0 es una constante, tomada como el valor del potencial electrico en x = 0. Ladiferencia de potencial entre las placas, que podemos modificar desde el exterior en elexperimento, es

∆V = V (0)− V (d) = 4πkσd, (15.9)

de manera que se puede despejar σ, que no conoceremos en el experimento, en funcion de∆V , que sı conoceremos. Llegamos ası a las expresiones finales para el campo electrico yel potencial en el interior del condensador de placas paralelas,

−→E =

∆V

d

−→i , (15.10)

V (x) = V0 −∆V

dx, (15.11)


El montaje experimental se muestra en la figura 15.1. El medidor de campo electrico,incrustado en una de las placas, debe alimentarse con 15 voltios de la primera salida de latriple fuente de alimentacion. Dicho medidor es analogico, y su salida, que se observara enel polımetro en forma de voltaje, es proporcional al campo electrico medido en las aspasgiratorias. La proporcionalidad entre campo electrico y voltaje depende de la escala es-cogida en el medidor. En la primera escala, una salida de 10 V corresponde a un campode 1 kV/m. En la segunda, una salida de 10 V corresponde a un campo de 10 kV/m;y en la tercera, una salida de 10 V corresponde a un campo de 100 kV/m. El fondo deescala (punto de saturacion) del medidor son 10 V , por lo que siempre que se observe queel medidor da una salida superior a 10 V se debera cambiar a la escala superior. Comoen cualquier aparato de medida, se debe emplear la escala mas baja posible sin saturar elaparato.

El medidor de campo electrico debe calibrarse con la ruedecilla de calibracion, esdecir, el medidor debe indicar campo cero cuando la diferencia de potencial entre placases nula. Cada vez que se muevan las placas debe repetirse el calibrado. Una vez calibrado elaparato, se tomaran medidas del campo electrico en funcion de la diferencia de potencialentre placas, escogida en la tercera salida de la triple fuente de alimentacion, y de ladistancia entre placas, que se mide con la regla. La distancia se debe medir entre las carasinternas de las placas.


Figura 15.1: Montaje experimental para la medida del campo electrico.

15.4 Resultados

1. Medir el modulo del campo electrico E entre las placas del condensador para unadiferencia de potencial fija ∆V = 200 V , cuando la distancia entre placas d varıaentre 2 cm y 12 cm, en intervalos de 1 cm. Observese que el error en la medida delcampo depende de la escala utilizada en el medidor.

d( cm) E( kV/m) Error E( kV/m)

Representar graficamente E frente a d. Calcular el coeficiente de correlacion linealr, la pendiente a y la ordenada en el origen b de la recta de mınimos cuadradosln E = a ln d + b.

r = a = b =


2. Medir el modulo del campo electrico E entre las placas del condensador para unadistancia entre placas fija d = 10 cm, cuando la diferencia de potencial entre placas∆V varıa entre 0 y 250 V , en intervalos de 25 V .

∆V ( V ) E( kV/m) Error E( kV/m)

Representar graficamente E frente a ∆V . Calcular el coeficiente de correlacion linealr′, la pendiente a′ y la ordenada en el origen b′ de la recta de mınimos cuadradosE = a′∆V + b′.

r′ = a′ = b′ =

15.5 Discusion

• En el apartado 1 de los resultados, ¿cuales son los valores teoricos esperados para ay b segun la ecuacion 15.10? Comparar los valores teoricos con los experimentales, ydiscutir el resultado en funcion del coeficiente r y del metodo experimental seguido.

• En el apartado 2 de los resultados, ¿cuales son los valores teoricos esperados para a′

y b′ segun la ecuacion 15.10? Comparar los valores teoricos con los experimentales, ydiscutir el resultado en funcion del coeficiente r′ y del metodo experimental seguido.


15.6 Cuestiones

1. Al calcular el valor del campo electrico entre las placas del condensador, se hasupuesto, en el Fundamento Teorico, que las placas eran planos infinitos cargadoshomogeneamente. Discutir las implicaciones del area finita de las placas en el ex-perimento.

2. Dibujar las lıneas de campo electrico y las superficies equipotenciales del conden-sador de placas paralelas.

Capıtulo 16

Resistencia interna y f.e.m. en fuentes de ten-sion

16.1 Conceptos aplicados

Esta practica consiste en la medida de las caracterısticas intrınsecas, resistencia internay fuerza electromotriz, de diferentes fuentes de tension. Para ello nos auxiliaremos de uncircuito con dos reostatos (resistencias que variaremos a nuestra conveniencia) ademas denuestra fuente de tension problema. Tambien estimaremos la potencia que se suministraal circuito.


Cuando una corriente electrica atraviesa un conductor en un circuito electrico, hay unarelacion entre la intensidad que circula a traves del conductor y la diferencia de potencialentre sus extremos. Esta relacion es la ley de Ohm

∆V = RI, (16.1)

donde R es la resistencia del conductor. Por otro lado cuando dicha corriente eletricaatraviesa a una fuente de voltaje de fuerza electromotriz ε y resistencia interna Ri ladiferencia de potencial que se crea entre sus bornes viene dada por la expresion,

∆V = ε− IRi, (16.2)

Si dicha fuente de tension la colocamos en un circuito junto con una resistencia externaRe la intensidad que circula por el mismo, de acuerdo con la Ley de Ohm, viene dada porla expresion,

I =ε

Ri + Re

, (16.3)

Donde la potencia suministrada al circuito, teniendo en cuenta la ecuacion 16.2, vale,

P = ∆V I = εI −RiI2, (16.4)

108

CAPITULO 16. RESISTENCIA INTERNA Y F.E.M. EN FUENTES DE TENSION 109

Figura 16.1: Montaje teorico.

En nuestra practica en cuestion colocaremos en el circuito, primeramente una pila deε= 4,5 V y a continuacion una fuente de tension, y mediremos su fem y su resistenciainterna. Para ello, tal y como comentamos antes, nos ayudaremos de dos reostatos quecolocaremos en serie para hacer las medidas oportunas. El montaje teorico de nuestrapractica puede contemplarse en la figura 16.1.

16.3 Montaje experimental y Resultados

El sistema experimental de esta figura puede contemplarse en la figura 16.2 en el cualdisponemos de 2 multımetros junto con una fuente de tension de resistencia interna Ri

y dos reostatos, Re, (resistencias variables, dependiendo de la posicion del indicador)quecolocaremos en serie para facilitar las lecturas de las medidas.

Importante: Una vez construıdo el circuito consultar con el profesor antesde conectar la fuente de tension y empezar a tomar las medidas.

16.3.1 Medida de la resistencia interna y fuerza electromotriz en una fuentede tension

Para poder llevar a cabo estas medidas construiremos primero el circuito tal y como seindica en la figura 16.2. Aunque no se indica en dicha figura, colocaremos nuestros dosreostatos de 100 Ω y 10 Ω en serie. Esto se debe a que al efectuar las medidas el de mayorresistencia nos servira para hacer un ajuste grueso y el de de menor resistencia para unajuste fino (esto se vera facilmente al buscar un valor de intensidad o voltaje concreto enla realizacion de las medidas oportunas). Usaremos ademas dos multımetros en posicionesde amperımetro (en serie) y voltımetro (en paralelo) para tomar las medidas de intensidady diferencia de potencial. El circuito lo cerraremos finalmente colocando la pila de petacaa la cual le tenemos que calcular su fuerza electromotriz y resistencia interna. Para ello



una vez construıdo el circuito hacemos medidas de intensidad y caıda de potencial en lapila haciendo medidas de intensidad en pasos de 0,1 A partiendo de 0,1 A hasta 1 A.

• Construir una tabla con los valores de intensidad de corriente medidos, las caıdas depotencial y la potencia que suministra la pila (recordar que la potencia es P = ∆V I).

I(A) ∆V (V) P (W)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

• Representar graficamente los valores de intensidad de corriente frente a las caıdasde tension en la pila.

• Dibujar la recta de regresion de mınimos cuadrados para la grafica del apartadoanterior calculando su pendiente, su ordenada en el origen y su coeficiente de cor-relacion.

a = b = r =


• Calcular con los datos obtenidos la resistencia interna de la pila y su fuerza electro-motriz contrastando con los datos teoricos (especificaciones del fabricante).

• Repetir la practica usando ahora en lugar de la pila la fuente de tension de la cualdisponemos.

16.3.2 Medida de la Potencia suministrada por la fuente de tension

A partir de los datos de intensidad y caıda de tension tomados en el apartado anteri-or podemos calcular el valor de la potencia suministrada por la pila al circuito y cuyaexpresion viene dada por la ecuacion 16.4.

• Dibujar graficamente los valores de potencia (calculados en la tabla anterior) frentea intensidad de corriente medidos en la pila y trazar a mano (o usando cualquiersoftware, por ejemplo el PSIPlot )la curva que mejor se aproxima a esos puntos.

• Sobre dicha curva puede observarse un maximo (que corresponde al maximo valorde potencia que se suministra al circuito). Calcular, a partir de la expresion de lapotencia consumida por la resistencia externa, P = I2Re, el valor de resistenciaexterna al cual corresponde. Interpretar fısicamente el resultado obtenido.

• Repetir los dos apartados anteriores usando los datos de intensidad y potencia dela fuente de tension. Interpreta los resultados.

• (Cuestion extra) Calcular teoricamente a partir de la ecuacion 16.4 el valor dela resistencia externa que hace que la fuente de tension suministre un maximo depotencia al circuito. ( Ayuda: Para obtener el maximo deriva la expresion 16.4 frentea Re e igualala a cero para imponer la condicion de extremo local)

Capıtulo 17

Campo magnetico

17.1 Objetivo

Se medira la distribucion espacial de la intensidad de campo magnetico creado por un parde bobinas de Helmholtz. Se obtendran medidas de todas las componentes no nulas delcampo y su variacion frente a todas las coordenadas.


El campo magnetico estatico creado por un filamento de corriente, en el caso de corrienteconstante, viene dado por la ley de Biot-Savart,

−→B (−→r ) =

µ0

4π

∫ −→dj × (−→r −−→r0 )

|−→r −−→r0 |3, (17.1)

donde µ0 = 4π ·10−7 T · m · A−1 es la permeabilidad del vacıo, −→r es el vector de posiciondel punto del espacio donde se calcula el campo, −→r0 es un punto generico del filamento de

corriente y−→dj = I

−→dl es el vector elemento de corriente por el filamento, en el cual I es

la corriente electrica que circula a lo largo del filamento, y−→dl es el vector desplazamiento

de la corriente, calculado en el punto generico −→r0 .Las bobinas de Helmholtz pueden considerarse como 2 espiras circulares de radio R,

cada una de ellas de N vueltas, por cada una de las cuales circula la misma intensidad decorriente I en el mismo sentido. Las bobinas se situan paralelas entre sı y con sus centrosalineados, separados una distancia a. El campo magnetico producido por esta distribucionde corriente en un punto generico −→r del espacio se puede escribir

−→B (−→r ) =

−→B 1(

−→r ) +−→B2(

−→r ), (17.2)

donde−→B 1 es el campo creado por la primera bobina y

−→B 2 es el campo creado por la

segunda bobina. Seguidamente, usaremos la ley de Biot-Savart para calcular el campoproducido por cada bobina. Para ello, elegimos un sistema de coordenadas como sigue. Eleje comun de las bobinas se toma como eje z, de tal manera que el centro de la primerabobina esta en z = −a/2 y el centro de la segunda esta en z = a/2. La corriente I circulapor cada bobina recorriendo en sentido antihorario un cırculo de radio R en el planoz = −a/2 y z = a/2, respectivamente.

112

CAPITULO 17. CAMPO MAGNETICO 113


El campo magnetico sobre un punto cualquiera del espacio −→r = x−→i + y

−→j + z

−→k

resulta mas sencillo si se utilizan coordenadas cilındricas (ρ, θ) y sus respectivos vectoresunitarios asociados (−→uρ,

−→uθ). Con estas expresiones, el campo magnetico de las bobinas deHelmholtz resulta

−→B (ρ, z) = Bρ(ρ, z)−→uρ + Bθ(ρ, z)−→uθ + Bz(ρ, z)

−→k , (17.3)

es decir, el campo no depende de la coordenada θ. Una simplificacion considerable ocurrecuando consideramos el campo en el eje de las bobinas, es decir, cuando ρ = 0. Entonces,

Bρ(z) = 0, Bz(z) =µ0NI

2R

(1

(A21 + 1)3/2

+1

(A22 + 1)3/2

), (17.4)

donde

A1 =z + a/2

R, A2 =

z − a/2

R. (17.5)


El aspecto general del montaje es el de la figura 17.1. Se deben conectar las bobinas enserie y en la misma direccion, segun la figura; de este modo, la corriente, que debe serunos 2 A, gira en el mismo sentido por ambas bobinas. La barra de la sonda Hall indicala direccion del campo que se esta midiendo, esto es, hay que colocarla segun el eje z sise quiere medir Bz y segun el eje ρ si se mide Bρ.


El campo magnetico del conjunto es rotacionalmente simetrico en torno al eje de lasbobinas, que se escoge como eje z de un sistemas de coordenadas cilındricas (ρ, θ, z). Elorigen, de la misma forma que el la seccion dedicada al Fundamento Teorico, esta en elcentro del sistema. El campo magnetico no depende del angulo θ, ni tiene componente θ,ası que se miden las componentes Bz(ρ, z) y Bρ(ρ, z).

La sonda Hall ha de sujetarse en su soporte nivelada con el eje de las bobinas. Esconveniente asociar 2 reglas al sistema, en paralelo y en perpendicular al eje de las bobinas.La distribucion espacial del campo magnetico se puede medir colocando la base de la barraa lo largo de una regla y las bobinas a lo largo de la otra. Alternativamente, se puede fijarsolo una regla y utilizar la otra libremente, bien en las bobinas, bien en la sonda.

Como se ha dicho, el sistema de referencia es como sigue. El origen esta en el centrodel cilindro imaginario formado por las bobinas. El eje z es el eje del cilindro. Dado quela sonda se alinea con el eje en alturas, se puede tomar el eje ρ como el eje horizontalperpendicular el eje z. El eje θ no es necesario tenerlo en cuenta, pues el campo magneticoa lo largo de este eje es cero, como se vio en el Fundamento Teorico.

Por ejemplo, si se quiere medir la componente Bρ(ρ = 0, z) (ver Fig. 17.2(a)) se colocala sonda de tal modo que su barra este perpendicular al eje de las bobinas, es decir, paralelaal eje ρ. El extremo de la sonda ha de estar situado en ρ = 0, y podemos colocar unaregla paralela al eje z para medir varios puntos z diferentes. Para medir Bρ(ρ = 10 cm, z)se hace lo mismo, pero situando el extremo de la sonda a 10 cm del eje z.

Para medir la componente Bz(ρ = 0, z) (ver Fig. 17.2(b)), se ha de colocar la barrade la sonda a lo largo del eje z, y el extremo de la sonda nos dara el punto z que estamosmidiendo. Moviendo la sonda sobre una regla paralela al eje z, obtendremos medidas deBz en puntos diferentes. Para medir Bz(ρ = 10 cm, z) se hace exactamente lo mismo, conla barra de la sonda colocada paralelamente al eje z, pero a una distancia de 10 cm deleje.

Ademas, conviene tener en cuenta ciertas normas generales de seguridad. En general,los equipos de los laboratorios estan preparados para su manejo por parte de los alumnosde las asignaturas de Fısica. Sin embargo, en el caso de las bobinas de Helmholtz, lacorriente que circula por las bobinas no es pequena. Es, pues, de sentido comun reducir lacorriente a cero cada vez que se vaya a manipular el circuito. Una vez elegido el montajeadecuado para la medicion, se vuelve a introducir la corriente.

17.4 Resultados

Medir el diametro de una bobina de Helmholtz 2R. Alimentar las bobinas, colocadas enserie, con una intensidad I = 2 A. El numero de vueltas de cada bobina es N = 100.

17.4.1 Campo en el eje z

En este primer punto, se mide el campo magnetico a lo largo del eje de las bobinas, esdecir, cuando ρ = 0. De la ley de Biot-Savart, en este caso el campo solo tiene no nula lacomponente axial Bz(z).

1. Medir el campo Bz(z) para valores de z entre −30 cm y 30 cm, en pasos de 10 cm


Figura 17.2: Medida de las componentes del campo magnetico con una sonda Hall.

cuando la distancia entre las bobinas es a = R.

z( cm) Bz(m T )

2. Medir el campo Bz(z) para valores de z entre −30 cm y 30 cm, en pasos de 10 cmcuando la distancia entre las bobinas es a = R/2.

z( cm) Bz(m T )

3. Medir el campo Bz(z) para valores de z entre −30 cm y 30 cm, en pasos de 10 cmcuando la distancia entre las bobinas es a = 2R.

z( cm) Bz(m T )

4. Representar graficamente Bz frente a z en los tres casos que aparecen en las tablas(si es posible, las tres curvas en la misma grafica).


17.4.2 Componente axial del campo magnetico

Para esta parte, fijar la distancia entre las bobinas hasta a = R usando los espaciadoresdel montaje. Se va a medir la componente Bz(ρ, z). Para ello, como se comento en elapartado del Montaje Experimental, se debe colocar la barra de la sonda paralela al ejede las bobinas, a distancia ρ del eje. Para probar que el montaje se ha hecho bien, verificarque el campo magnetico es maximo en el punto (z = 0, ρ = 0). Puede comprabar tambienque el campo es simetrico.

1. Para ρ = 0, medir la componente Bz del campo magnetico para valores de z com-prendidos entre 0 y 40 cm, en pasos de 5 cm.

z( cm) Bz(m T )

2. Para ρ = 10 cm, medir la componente Bz del campo magnetico para valores de zcomprendidos entre 0 y 40 cm, en pasos de 5 cm.

z( cm) Bz(m T )


z( cm) Bz(m T )



z( cm) Bz(m T )

5. Representar en la misma grafica las 4 curvas Bz frente a z. Hacer, con esta repre-sentacion, una estimacion de la componente Bz(ρ, z) del campo magnetico.

17.4.3 Componente radial del campo magnetico

Manteniendo fija la distancia entre las bobinas en a = R, se medira la componenteBρ(ρ, z). Para ello, se debe colocar la barra de la sonda perpendicular al eje de las bobinas,con su extremo a distancia ρ del eje. Para probar que el montaje se ha hecho bien, verificarque Br es nulo en el plano z = 0. Mover el punto cero del instrumento de medida a lamitad de la escala electronicamente por medio del teslametro, de manera que se veanvalores positivos y negativos.

1. Para ρ = 0, medir la componente Bρ del campo magnetico para valores de z com-prendidos entre 0 y 40 cm, en pasos de 10 cm.

z( cm) Bρ(m T )

2. Para ρ = 10 cm, medir la componente Bρ del campo magnetico para valores de zcomprendidos entre 0 y 40 cm, en pasos de 10 cm.

z( cm) Bρ(m T )



z( cm) Bρ(m T )


z( cm) Bρ(m T )

5. Representar en la misma grafica las 4 curvas Bρ frente a z.

17.5 Discusion


17.6 Cuestiones

1. Al medir el campo magnetico en el eje de las bobinas, se obtiene que, para z = 0, elcampo tiene un valor maximo para a < R y un valor mınimo para a > R. ¿Cualesson esos valores? ¿Por que ocurre esto?

2. El campo en el eje de las bobinas satisface que, en el intervalo −R/2 < z < R/2,es practicamente uniforme para a = R. ¿Que valor tiene el campo en este interva-lo?¿Por que?

3. En las medidas de las componentes axial y radial del campo magnetico, ¿por que solose toman medidas de z positivas? ¿Cual es el comportamiento del campo magneticopara z negativas?

Capıtulo 18

Calculo de la carga especıfica del electron

18.1 Conceptos aplicados

Se estudiara el movimiento de los electrones emitidos por un tubo de rayos catodicos ysometidos a un campo magnetico uniforme creado por un par de bobinas de Helmholtz.Mediante la diferencia de potencial suministrada por la fuente y el radio descrito por loselectrones en su movimiento en el interior del tubo de rayos catodicos podremos calcular larelacion entre la carga y la masa del electron (carga especıfica del electron). Esta practicasera de gran utilidad para entender y comprender los sentidos de los magnitudes fısicasvectoriales que aparecen en electromagnetismo y que tanto cuestan que sean asimiladasen las clases presenciales por los estudiantes.


Cuando un electron de carga q se mueve con velocidad uniforme −→v en el seno de un campo

magnetico uniforme−→B , actua sobre el una fuerza magnetica cuya expresion es:

−→Fm = q−→v ×

−→B (18.1)

donde−→Fm es perpendicular a −→v y a

−→B .

Para estudiar el movimiento resultante del electron, puede plantearse su ecuacion demovimiento sin mas que considerar la ecuacion fundamental de la dinamica

−→Fm = m

d−→vdt

. (18.2)

De donde resulta la ecuacion de movimiento del electron

md−→vdt

= q−→v ×−→B (18.3)

y a partir de aquı, puede llegar a deducirse la ecuacion de la trayectoria seguida por elelectron, −→r = −→r (t). Como este procedimiento es largo, vamos a plantear el problemadel calculo de la trayectoria del electron en terminos energeticos en lugar de en terminoscinematicos, lo cual va a permitir llegar de forma rigurosa a una solucion mas sencilladel problema. Si el electron tiene una velocidad inicial −→v , entonces su energıa cinetica

119

CAPITULO 18. CALCULO DE LA CARGA ESPECIFICA DEL ELECTRON 120

es Ec = mv2

2. Cuando el electron entra en la region donde existe el campo magnetico,

la fuerza magnetica que actua sobre el, por ser perpendicular a la trayectoria, no realizaningun trabajo, por lo tanto ni consume ni le da energıa al electron con lo cual su energıacinetica permanece inalterable y no cambia el modulo de la velocidad. El resultado de laaccion de esta fuerza es que el electron adquiere una aceleracion constante en modulo yperpendicular en todo momento a la trayectoria. Al decir esto, lo que se esta describiendoes un movimiento circular uniforme, de radio R y velocidad constante v. La aceleracioncentrıpeta correspondiente es a = v2

R. Si aplicamos ahora la ecuacion fundamental de la

dinamica, se tiene

mv2

R= qvB. (18.4)

Por otra parte, tenemos ademas que calcular la velocidad v del electron. El electron esacelerado por una diferencia de potencial ∆V = V . La energıa que adquiere el electron poraccion de esta diferencia de potencial es qV . En el momento en que el electron abandonala region de aceleracion lo hace con la velocidad v, que es la velocidad inicial con la quepenetra en el campo magnetico. Justo en ese momento, se cumple que

mv2

2= qV. (18.5)

De las ecuaciones 18.4 y 18.5 se deduce que

V =qR2B2

2m(18.6)

donde V es la diferencia de potencial suministrada por la fuente de tension, R el radio dela trayectoria del electron y B el campo magnetico que crean las bobinas. De estas tresmagnitudes, V se lee directamente de la fuente de tension. R tiene cuatro valores posibles,2, 3, 4 y 5 cm que no necesitan ser medidos y, por ultimo, el valor del campo magneticoB, no se lee directamente, sino que se determina en base a las consideraciones que figurana continuacion.

18.2.1 Campo magnetico producido por las bobinas de Helmholtz

La caracterıstica esencial de las bobinas de Helmholtz es que producen un campo magneticocasi uniforme en una zona determinada del espacio, en nuestro caso en la region dondese mueven los electrones. Esta particularidad se debe exclusivamente a su especial con-figuracion geometrica, en la que se verifica que el diametro del par de bobinas que loconstituyen es justamente igual a la distancia de separacion entre ambas. La expresionque da el campo magnetico producido por el par de bobinas Helmholtz es

B = (4/5)3/2µ0Nespiras

Rbobina

I (18.7)

En este montaje experimental concreto, Nespiras = 154 y Rbobina = 0,2 m. Si se tiene encuenta que el valor de la permeabilidad magnetica del vacıo es µ0 = 4π× 10−7 N

A2 , resultala siguiente expresion para el campo magnetico, en funcion de la corriente que circula porlas bobinas

B = 6,92× 10−4I (18.8)


siendo I la intensidad de la corriente que circula por las bobinas, una magnitud que sedetermina directamente por lectura del amperımetro y donde B viene medido en teslas(T). Si se sustituye esta expresion del campo en la ecuacion 18.6 resulta finalmente:

V = 2,393× 10−7 qI2R2

m(18.9)

que es la ecuacion final en la que se basaran todas las medidas a realizar para determinarla carga especıfica del electron.

18.3 Montaje experimental y Resultados


El aspecto general del montaje es el de la figura 18.1 en el cual disponemos de 2multımetros que se usaran como voltımetro y amperımetro y de dos fuentes de tensionjunto con las bobinas de Helmholtz y el tubo de rayos catodicos.

18.3.1 Procedimiento operativo. Medida de las diferencias de potencial en eltubo de rayos catodicos e intensidad de corriente en las bobinas

Antes de iniciar el proceso de medidas observe con detenimiento todos los elementos queintervienen en el montaje experimental y en caso de cualquier duda consulte con elprofesor. Conecte las dos fuentes de tension y ajuste el voltaje de la fuente de tensiondel potencial acelerador a 100 voltios. De igual forma, ajustamos la fuente de tension quecontrola la intensidad de corriente I de las bobinas introduciendo una I = 0 A. Al cabo deunos instantes se observara un haz rectilıneo azulado de electrones emergiendo del catodo.El color azulado se debe al efecto de fluorescencia que se produce al colisionar los electronescon los atomos del gas contenido en la ampolla de vacıo (ver Fig. 18.2). A continuacionincremente la intensidad de corriente que pasa por las bobinas y podra comprobar comola trayectoria de los electrones puede curvarse a voluntad. Manipule con precaucion ycomprobara como con distintas intensidades y distintos voltajes se obtienen distintastrayectorias circulares.


Figura 18.2: Trayectoria de los electrones en el interior del tubo de rayos catodicos.

Variando la diferencia de potencial en el tubo de rayos catodicos entre 100 y 190 voltiosen pasos de 10 voltios buscar la posicion R = 2 cm en la trayectoria de los electrones enel interior del tubo y anotar los valores correspondientes de intensidad de corriente Icontemplados en el amperımetro.

• Construir una tabla con los valores de diferencia de potencial medidos, las intensi-dades de corriente observadas en el amperımetro y los valores de I2R2 (recordar queel radio de la trayectoria descrita por los electrones es R = 2 cm).

V (V) I(A) I2R2(A2m2)100110120130140150160170180190

• Representar graficamente los valores de la diferencia de potencial frente a los valoresde I2R2.

• Dibujar la recta de regresion de mınimos cuadrados para la grafica del apartadoanterior (cuya ley teorica figura en la ecuacion 18.9) calculando su pendiente, suordenada en el origen y su coeficiente de correlacion.

a = b = r =


• Calcular con los datos obtenidos la relacion carga-masa del electron (carga especıficadel electron).

• Contrastar y comentar el resultado obtenido en la toma de datos con el valor teoricoq/m = 1,759× 1011C/kg.

• Repetir la practica usando valores de R = 3, 4 y 5 cm.

• (Cuestion extra) Explicar, de forma cualitativa, que le ocurrirıa a la trayectoriade los electrones si acercamos al tubo de rayos catodicos un iman.

Capıtulo 19

Induccion electromagnetica

19.1 Objetivo

Se determinara la induccion electromagnetica entre dos bobinas como funcion de la ampli-tud y la frecuencia de la corriente alterna en la bobina primaria, y de la longitud, numerode espiras, y diametro de las bobinas secundarias.


Consideremos una bobina, que llamaremos bobina primaria, exterior o, simplemente,grande, de longitud L, radio R1 y numero de espiras N1 por la que circula una inten-

sidad de corriente alterna I(t). El campo magnetico−→B producido por esta bobina en su

interior es, aproximadamente uniforme y su valor es el que tiene en su eje. Para verlo, sepuede usar directamente la ley de Biot-Savart,

−→B (−→r ) =

µ0

4π

∫ −→dj × (−→r −−→r0 )

|−→r −−→r0 |3, (19.1)

donde µ0 = 4π ·10−7 T · m · A−1 es la permeabilidad del vacıo. Tomando el eje z como eje

de la bobina, calculemos el campo producido en un punto −→r = z−→k del eje. El resultado

es−→B (z) =

µ0IN1

2L

(z + L/2√

R21 + (z + L/2)2

− z − L/2√R2

1 + (z − L/2)2

)−→k , (19.2)

que muestra que el campo magnetico en el eje de la bobina es paralelo al propio eje. Sila bobina es larga, se puede aproximar el resultado 19.2 por su valor en el centro de labobina, dado por z = 0. Ademas, se puede despreciar el valor de R1 frente al valor de L.Se obtiene

−→B =

µ0IN1

L

−→k , (19.3)

que es el valor que tomaremos como campo magnetico en el interior de la bobina primaria.Supongamos que, dentro de la bobina primaria, colocamos una bobina secundaria mas

pequena, de N2 vueltas y seccion A. El flujo Φ del campo magnetico producido por la

124

CAPITULO 19. INDUCCION ELECTROMAGNETICA 125

bobina primaria a traves de la bobina secundaria es igual a N2 veces el flujo a traves deuno de los N2 filamentos circulares que forman la bobina, esto es,

Φ = N2

∫A

−→B · d−→a , (19.4)

donde d−→a es el elemento diferencial de area en la seccion de la bobina secundaria. Esclaro que d−→a = da

−→k , de manera que, usando el campo magnetico en el interior de la

bobina primaria calculado en 19.3, el flujo en la bobina secundaria es

Φ = N2

∫A

Bda = N2BA =µ0IN1N2A

L, (19.5)

que tomaremos como flujo magnetico a traves de la bobina secundaria.Si la intensidad de corriente I en la bobina varıa con el tiempo, es claro que el flujo

a traves de la bobina secundaria varıa con el tiempo. La variacion en el tiempo del flujomagnetico genera una tension electrica, llamada fuerza electromotriz V , que viene dadapor la ley de Faraday,

V (t) = −dΦ(t)

dt. (19.6)

Si, en la bobina primaria, circula una corriente alterna de amplitud I0 y frecuencia f , setiene una intensidad de corriente que varıa con el tiempo segun

I(t) = I0 cos(2πft). (19.7)

A partir de las ecuaciones 19.5, 19.6 y 19.7, se obtiene que la tension inducida en la bobinasecundaria es

V (t) =µ0N1N2A

L(2πfI0) sin(2πft). (19.8)

Por tanto, si lo que se mide es el voltaje inducido de pico, pico a pico, o eficaz, su relacio conla corriente inductora de pico, pico a pico, o eficaz sera:

V =µ0N1N2A

L(2πfI0) (19.9)


El montaje experimental se muestra en la figura 19.1. Cada bobina secundaria se intro-duce dentro de la primaria y se mide la tension inducida en la menor cuando se aplicauna intensidad de corriente variable en la exterior. La corriente introducida en la bobinaexterior se mide con un polımetro, y la fuerza electromotriz inducida en la bobina secun-daria se mide con un voltımetro. Debido a que el multımetro analogico es muy sensible afluctuaciones, conviene evitar cambios al introducir la corriente en la bobina primaria.

Las frecuencias se deberan selecionar entre 1 kHz y 12 kHz, ya que, por debajo de0,5 kHz, la bobina constituye practicamente un cortocircuito y, por encima de 12 kHz,los intrumentos de medida empiezan a medir inexactamente.

Una vez realizado el montaje hay que estudiar los diferentes factores que influyen en elvalor de la fuerza electromotriz inducida. Para ello se dispone de un juego de bobinas enel que se puede variar la longitud de la bobina, el numero de espiras, el numero de espiras



por unidad de longitud y el diametro de las bobinas. De esta manera se va a estudiar elefecto de las distintas geometrıas en la induccion electromagnetica.

Ademas hay otros dos factores que se pueden estudiar, que son el efecto de la frecuenciay de la amplitud y de la intensidad de corriente que circula por la bobina primaria.

19.4 Resultados

Antes de medir, apuntar los datos de la bobina primaria, es decir, su longitud L y sunumero de espiras N1,

N1 = L =

1. Escoger una bobina secundaria, y apuntar sus datos geometricos, esto es, su numerode espiras N2 y su diametro 2R,

N2 = 2R =

Fijando una frecuencia de 10 kHz para la intensidad de corriente aplicada a labobina primaria, tomar valores del potencial V en la bobina secundaria mientras laamplitud de la intensidad de corriente de la bobina primaria varıa entre los valoresindicados.

I0( mA) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50V (m V )


Representar graficamente el voltaje en la bobina secundaria frente a la amplitudde corriente en la primaria. Calcular el coeficiente de correlacion r1, la pendientea1, la ordenada en el origen b1, y trazar sobre la representacion anterior la recta demınimos cuadrados V = a1I0 + b1.

r1 = a1 = b1 =

2. Manteniendo el montaje del apartado anterior, fijar una amplitud de intensidad decorriente de la bobina primaria de 30 mA y modificar la frecuencia f de la corrienteaplicada a la bobina exterior entre los valores indicados, midiendo el potencial en labobina secundaria.

f( kHz) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10V (m V )

Representar graficamente el voltaje en la bobina secundaria frente a la frecuenciade la corriente en la primaria. Calcular el coeficiente de correlacion r2, la pendientea2, la ordenada en el origen b2, y trazar sobre la representacion anterior la recta demınimos cuadrados V = a2f + b2.

r2 = a2 = b2 =

3. Fijar una amplitud de intensidad de corriente de la bobina primaria de 30 mA y unafrecuencia de 10 kHz. Introducir bobinas secundarias que tengan distinto numerode espiras, pero mismo diametro, en el interior de la bobina primaria, midiendo supotencial.

N2 100 200 300V (m V )

Representar graficamente el voltaje en la bobina secundaria frente al numero deespiras.

4. Fijar una amplitud de intensidad de corriente de la bobina primaria de 30 mA y unafrecuencia de 10 kHz. Introducir bobinas secundarias que tengan distinto diametro,pero mismo numero de espiras, en el interior de la bobina primaria, midiendo supotencial.

2R( cm)V (m V )

Representar graficamente el voltaje en la bobina secundaria frente a la seccion dela bobina.

19.5 Discusion

• De acuerdo con la ecuacion 19.9, ¿que valores se esperarıa obtener para a1, b1, a2 yb2? Discutir las posibles discrepancias.

• Discutir, tambien segun la ecuacion 19.9, los valores obtenidos en los apartados 3 y4 de la seccion de Resultados: ¿crece el potencial inducido con el numero de espirasy con el radio de las mismas de acuerdo con lo que establece la teorıa?



19.6 Cuestiones

1. El campo magnetico en un solenoide depende de la densidad de espiras de la bobinay es independiente del numero de espiras. ¿Sucede lo mismo en el caso de la fuerzaelectromotriz inducida? Justificar la respuesta.

2. Suponer que, en lugar de generar el campo en la bobina exterior, se alimentarala bobina secundaria. Indicar como serıa la dependencia de la fuerza electromotrizinducida en la bobina exterior en funcion de la geometrıa, de la frecuencia y de laintensidad de corriente que circule por la bobina pequena.

3. En el caso de la pregunta anterior, indicar si se induciran fuerzas electromotricesmayores o menores que en las situaciones experimentadas.

Capıtulo 20

Temperatura y propiedades electricas

20.1 Objetivo

Determinar la dependencia con la temperatura de un parametro electrico (resistencia,potencial conductor, potencial de bloqueo, etc.) en diferentes componentes.


Los diferentes materiales sufren una diferente variacion en la resistividad electrica ρ con latemperatura T . Sin embargo, la tasa de variacion ∆ρ/ρ, dentro de rangos de temperaturarestringidos, se puede suponer esencialmente lineal,

∆ρ

ρ= α∆T, (20.1)

donde α es el coeficiente de temperatura. Puesto que la resistencia es proporcional a laresistividad,

R ∼ ρ (20.2)

en los diferentes conductores, ha de satisfacer la misma tasa de variacion, esto es,

∆R = αR∆T, (20.3)

donde ∆R = R(T ) − R0 y ∆T = T − T0 para un R0 dado en alguna temperatura T0.Eligiendo la temperatura T0 = 20 C, en regiones cercanas a esa temperatura es valida,por lo tanto, la siguiente formula general para la dependencia de la resistencia con latemperatura,

R(T ) = R20 + R20α(T − 20 C). (20.4)

1. En un alambre de cobre, el camino libre de los electrones dentro del gas electronicose acorta al aumentar la temperatura. Se puede ver con claridad el cambio producidoentonces en la resistencia, en el sentido que esta crece. El resultado es un coeficientede temperatura αCu positivo, dado en la literatura por

αCu = 4, 0 · 10−3 K−1. (20.5)

129

CAPITULO 20. TEMPERATURA Y PROPIEDADES ELECTRICAS 130

La resistencia del alambre de CuNi es aproximadamente constante en el rango me-dido. Consecuentemente, predomina la resistencia absoluta R20. Este experimentoproducira entonces un coeficiente de temperatura αCuNi negativo, dado en la liter-atura por

αCuNi = −3, 0 · 10−3 K−1. (20.6)

En el resistor de capas de carbono, se empieza con una resistencia absoluta muy alta.La variacion con la temperatura es, como es el caso del CuNi, pequena y no tienepracticamente ninguno efecto. El coeficiente de temperatura αC resulta negativo,

αC = −2, 4 · 10−4 K−1. (20.7)

El resistor de capas metalicas tiene tambien una resistencia absoluta alta a 20 C.Y su variacion en el rango de temperaturas medido es aun mas baja que para elcarbono. Entonces, el coeficiente de temperatura αm se acerca al cero,

αm → 0. (20.8)

Los dos resistores NTC y PTC consisten en aleaciones. Dependiendo de sus com-posiciones, pueden darse grandes variaciones de resistencia en una pequena regionde temperatura. Las curvas para este experimento no pueden entonces considerarselineales.

2. En semiconductores, la densidad de portadores de carga crece con la temperatu-ra, por lo tanto la conductividad intrınseca del semiconductor crece. Por otro ladola movilidad de los portadores decrece y la resistencia tendria que aumentar (loschoques entre portadores son mas frecuentes y la velocidad global de los portadoresdecrece). Sin embargo el crecimiento de la densidad compensa este efecto. Se obser-va una caıda definida en la resistencia; en coeficiente de temperatura es negativo.Utilizando una formula analoga a la ecuacion 20.4, se deben obtener unos valorespara los coeficientes de temperatura que, en la literatura, son

αSi = −3, 4 · 10−3 K−1, (20.9)

αGe = −4, 6 · 10−3 K−1. (20.10)

3. En altas tensiones, alrededor de 3 V , en un diodo Z ocurre una ruptura Zener. Comoresultado del fuerte campo electrico, se generan espontaneamente pares electron-hueco en las capas electronicas de la zona de barrera. Bajo la influencia del portadorde carga electrica, estos cruzan la capa de barrera. Una temperatura alta aumentala energıa de los portadores de carga de la frontera. Como consequencia, el efectoZener puede ocurrir a altos voltajes. En el efecto avalancha, el campo electricoacelera los portadores de carga hasta tal punto que ellos, a su vez, liberan otrosportadores de carga al colisionar con otros atomos, los cuales a su vez se aceleran.La alta temperatura acorta el camino libre, de tal modo que el voltaje debe crecercon la temperatura para continuar liberando portadores de carga. Los valores de loscoeficientes en la literatura son

αZPD2,7 = [−9 · 10−4;−4 · 10−4] K−1, (20.11)

αZPD6,8 = [2 · 10−4; 7 · 10−4] K−1. (20.12)




El montaje experimental se observa en la figura 20.1. En primer lugar, se debe poner elconjunto de prueba encerrado en una bolsa de plastico y sumergirlo en el bano de agua.Se pueden medir directamente con un multımetro digital los valores de las resistenciaspara los resistores PTC y NTC de pelıcula metalica y de pelıcula de carbono, ası comolas resistencias de alambre de Cu y CuNi (ver el diagrama de circuito 20.2).

Para medir el potencial de conduccion de los diodos, se conectan a un voltaje de 10 V ,y se asocia una resistencia de 4, 7 Ω en serie con el dispositivo. Se pone el voltaje de10 V en el generador de potencia universal y se ajusta el limitador de corriente a su valormaximo, midiendose el potencial en paralelo al dispositivo.

Tambien se ha de medir el potencial de bloqueo para el Zener con el montaje ilustradoen la figura 20.3.

20.4 Resultados

1. Medir la dependencia de la resistencia con la temperatura, para los diferentes re-sistores del conjunto de prueba, esto es, alambre de Cu, alambre de CuNi, resistorde capas de C, resistor de capas metalicas, resistor NTC y resistor PTC. Comenzara temperatura ambiente y tomar medidas de cada resistor en intervalos de temper-atura de 10 C, hasta una temperatura maxima de 80 C.

Representar graficamente la resistencia frente a la temperatura (las 6 curvas en lamisma grafica). Discutir cuales de estas curvas se apueden aproximar por rectas.


Figura 20.2: Medida en los resistores.

Figura 20.3: Medida en los diodos.


En cada una de las que ası ocurra, calcular el coeficiente de correlacion lineal r, lapendiente a y la ordenada en el origen b del ajuste por mınimos cuadrados R =aT + b. A partir de estos valores, obtener el valor del coeficiente de temperatura αpara cada caso.

2. Medir el potencial de conduccion de los diodos semiconductores de Si y Ge al variarla temperatura desde la temperatura ambiente hasta la temperatura maxima de80 C, en pasos de 10 C.

Representar graficamente el potencial frente a la temperatura (las 2 curvas en lamisma grafica). Calcular el coeficiente de correlacion lineal r′, la pendiente a′ y laordenada en el origen b′ del ajuste por mınimos cuadrados V = a′T + b′. A partirde estos valores, obtener el valor del coeficiente de temperatura α para cada caso.

3. Medir el potencial en los diodos Zener ZPD6,8 y ZPD2,7 al variar la temperaturadesde la temperatura ambiente hasta la temperatura maxima de 80 C, en pasos de10 C.

Representar graficamente el potencial frente a la temperatura (las 2 curvas en lamisma grafica). Calcular el coeficiente de correlacion lineal r′′, la pendiente a′′ y laordenada en el origen b′′ del ajuste por mınimos cuadrados V = a′′T + b′′. A partirde estos valores, obtener el valor del coeficiente de temperatura α para cada caso.

20.5 Discusion


20.6 Cuestiones

1. ¿Por que se comportan de modo diferente con la temperatura las resistencias dealambre de Cu y CuNi?

2. ¿A que se debe que los resistores NTC y PTC no satisfagan la ecuacion 20.4?

Capıtulo 21

Rendimiento de una celula solar

21.1 Objetivo

Se medira el rendimiento de una celula solar bajo diferentes condiciones de funcionamiento.Ademas, se estudiara como afectan el aumento de la temperatura y las caracterısticas dela luz incidente a ese rendimiento y a la caracterıstica corriente-tension de la celula.


Una celula solar es, basicamente, una union p-n. Este tipo de uniones se forman poniendoen contacto un semiconductor dopado con impurezas donadoras del grupo V de la TablaPeriodica con un semiconductor dopado con impurezas aceptoras del grupo III de laTabla Periodica. Las impurezas donadoras liberan electrones en la Banda de Conduccion(BC) del semiconductor, y por eso los materiales dopados con impurezas donadoras sedenominan tipo n, pues en ellos los portadores mayoritarios son negativos. Las impurezasaceptoras roban electrones a los atomos del semiconductor, generando huecos en la Bandade Valencia (BV), y por eso los materiales dopados con impurezas aceptoras se denominantipo p, pues los portadores mayoritarios son positivos.

En equilibrio (sin aplicar un voltaje externo), el nivel de Fermi EF es constante. Debidoa la diferencia de concentraciones de electrones y huecos en las zonas n y p, los electronesse difunden en la zona p y los huecos en la zona n. Los atomos de impurezas ionizados,que no tienen posiblididad de moverse al fomar parte de la red cristalina, crean una regionde carga en la que se genera un campo electrico. En equilibrio, la corriente de difusionproducida por el gradiente de concentracion es igual a la corriente de arrastre producidapor el campo electrico que generan las cargas fijas. La diferencia de potencial que aparecepor efecto de este campo se denomina barrera de potencial de la union o potencial dedifusion de la union y se representa como UD.

La barrera de potencial UD depende del nivel de dopaje de la union y es igual a ladiferencia de potenciales entre los niveles de Fermi de las zonas p y n cuando estas seencuentran separadas. En el silicio, la distancia entre el maximo de la Banda de Valenciay el mınimo de la Banda de Conduccion corresponde con una energıa E = 1, 1 eV . Labarrera de potencial tıpica para el silicio se situa entre UD = 0,5 V y UD = 0, 7 V .

Cuando incide un haz de luz sobre la union p-n, los fotones crean pares electron-hueco

134

CAPITULO 21. RENDIMIENTO DE UNA CELULA SOLAR 135

que son separados en la zona de carga de espacio por efecto del campo que en ella aparece,de modo que los huecos son inyectados en la zona p y los electrones en la zona n. Perolos fotones no solo son absorbidos en la zona de la union, sino tambien en el substrato pque se encuentra sobre ella. Los electrones que se producen en este caso son portadoresminoritarios en la zona p y su concentracion se ve fuertemente reducida por efecto de larecombinacion. Por eso el substrato p debe ser lo suficientemente delgado como para quelos electrones, que tienen una longitud de difusion LE, puedan ser inyectados en la zonan sin llegar a recombinarse.

Si denominamos g al numero de pares electron-hueco que se generan por unidad dearea, y suponemos que se aplica sobre la union una diferencia de potencial U la corrienteque se genera sigue una ecuacion de la forma

i = e

(exp

(eU

kBT

)− 1

)(n0Det

L2e

+p0Dh

Lh

)− eg, (21.1)

donde e es la carga del electron en valor absoluto, kB es la constante de Boltzmann, Tes la temperatura absoluta, L es la longitud de difusion de electrones y huecos, D es laconstante de difusion de electrones y huecos, n0 y p0 son las concentraciones en equilibriode minoritarios y t el espesor del substrato p. La corriente de cortocircuito (U = 0) tomaentonces un valor

is = −eg, (21.2)

siendo, por tanto, proporcional a la intensidad luminosa para una temperatura fija. Elparametro g aumenta muy ligeramente con la temperatura (en un factor inferior al 1 %por cada K).

La caıda de potencial U puede aumentar hasta tomar el valor de la barrera de potencialde la union UD pero en ningun caso puede ser superior. A medida que la temperaturaaumenta, el potencial en vacıo disminuye (normalmente en un factor de −2,3m V · K−1),mientras que las concentraciones de equilibrio n0 y p0 aumentan con la temperaturasiguiendo una formula del tipo

n0 ∼ exp

(−∆E

2kBT

). (21.3)


El montaje a realizar se muestra en la figura 21.1. En primer lugar, es necesario medir laintensidad luminosa que incide sobre una superficie. Para ello, se utilizara un fotometrosobre el que proyectaremos la luz emitida desde una lampara. La distancia entre la lamparay el fotometro debe ser, como mınimo, de 50 cm para evitar efectos termicos indeseados.Hay que tener en cuenta que la tension maxima que es capaz de suministrar el amplificadores de 10 V . En esta situacion, se puede variar la separacion entre la fuente y el receptor,y medir como varıa la radiacion luminosa recibida en funcion de la distancia. La relacionentre la intensidad luminosa J y la separacion s debe ser aproximadamente lineal paras comprendida entre 50 cm y 200 cm. Para realizar las medidas, es necesario considerarque toda la luz que atraviesa la abertura del fotometro (de diametro 2, 5 cm) alcanza lasuperficie de medida. La sensibilidad del fotometro tiene un valor

α = 42, 1µ V · W−1 · m2. (21.4)



La caracterıstica corriente-tension de una celula solar tiene un comportamiento decorriente casi constante mientras aumenta el voltaje hasta determinado valor, en el queaparece un codo en la curva, y a partir de el la corriente cae rapidamente hasta cero.Como es sabido, la potencia que suministra la celula solar se puede escribir como

Pw = vi, (21.5)

donde v es la caıda de potencial e i la intensidad de corriente. La potencia sera maximacuando el producto vi sea maximo, condicion que tendra lugar en el codo de la curva, esdecir, en la zona en la que i deja de ser plana frente a v. Como aproximacion se puedeconsiderar que cuando la corriente toma un valor que sea el 90 % de su valor inicial estamosen el punto de maxima potencia. El objetivo que se persigue es el de medir la relacionexistente entre la potencia luminosa que incide en la celula y la potencia electrica quesuministra esta. Para ello, se utilizara la relacion medida previamente que proporciona laintensidad luminosa J con la separacion s. Para distintos valores de s (recuerdese que sdebe ser superior a 50 cm) se hara incidir la luz emitida por la lampara sobre la baterıasolar compuesta de 4 celulas solares conectadas en serie. Con la ayuda del reostato semodificara la resistencia de carga y se obtendra la caracterıstica corriente-tension paralos distintos valores de s. A continuacion se calculara el punto de maxima entrega depotencia manipulando el reostato hasta que el valor de la corriente i sea el 90 % del valoren cortocircuito (que corresponde con v = 0 V ). En ese punto, se anotara el valor de lacorriente y el valor de la tension, im y vm. La potencia maxima suministrada por la celulapara cada valor de s sera Pw = imvm. La potencia luminosa Pl que incide sobre la baterıasolar se puede calcular sabiendo que su area es de 50 cm2 y conociendo, para cada valorde s, la intensidad luminosa J que incide sobre la baterıa solar. El rendimiento de la celula


sera la relacion entre la potencia total que suministra y la potencia total luminosa queincide sobre ella,

µ =Pw

Pl

. (21.6)

A continuacion, se utilizara el inyector de aire para calentar la baterıa solar y serealizara el calculo del rendimiento para diferentes temperaturas. Al medir la temperaturacon el termometro es muy importante no tocar la celula ya que el substrato p, que es muydelgado, podrıa danarse. Luego se enfriara la baterıa solar con el inyector del aire y secalculara de nuevo el rendimiento para ver como afecta una disminucion de la temperatura.

Se obtendra la caracterıstica corriente-tension de la celula filtrando la luz de la lamparaa traves del cristal que se facilita, y se comparara con la que se obtiene, para la mismatemperatura, sin filtrar la luz.

21.4 Resultados

1. Utilizar el termopar para medir la intensidad luminosa que se recibe desde la lamparapara las distancias s indicadas en la tabla. Tener en cuenta que la salida del termopardebe ser conectada al amplificador que, como maximo, facilita una tension de 10 V .Utilizar el multımetro digital en la posicion de medida de tensiones (V) en corrientecontinua (DC) para determinar la tension de salida del amplificador. Tener en cuentaque la sensibilidad del termopar esta dada por la ecuacion 21.4.

s Tension V Amplificacion A Intensidad Luminosa J50 cm70 cm100 cm

2. Montar la baterıa solar sobre el soporte y conectarla en serie con el reostato y conun multımetro digital en posicion de amperımetro. El otro multımetro digital debeconectarse en paralelo con la baterıa solar en posicion de voltımetro para poderdeterminar la diferencia de potencial que facilita. En estas condiciones, medir losdatos siguientes,

s i0 im = 0, 9i0 vm Pm = vmim50 cm70 cm100 cm

3. Con los datos de las dos tablas anteriores, calcular el rendimiento para temperaturaambiente, teniendo en cuenta que el area total de la baterıa solar es de 50 cm2.

s Potencia Aportada Pm Potencia Absorbida Pl Rendimiento µ50 cm70 cm100 cm


4. Con la ayuda del inyector de aire, determinar el rendimiento de la baterıa solar para4 temperaturas diferentes. La separacion mınima entre temperaturas consecutivasno debera ser inferior a los 5 grados centıgrados. Dibujar en una grafica la variaciondel rendimiendo con respecto a la temperatura.

5. Utilizar el inyector de aire en modo de refrigeracion para hacer que la baterıa so-lar vuelva a encontrarse a temperatura ambiente. Entonces, medir la caracterısticacorriente-tension de la celula para una separacion s = 70 cm. Para lograrlo, se de-bera variar la posicion del mando del reostato hasta conseguir que el voltımetromarque la tension indicada. En algun caso, puede ser que no se logren alcanzar lastensiones mas elevadas; en tal caso, no se rellenara la fila correspondiente de la tabla.Sin modificar s, volver a medir la caracterıstica corriente-tension, pero filtrando laluz de la lampara a traves de uno de los cristales que se facilitan. Anotar los resul-tados en la siguiente tabla y representar corriente en funcion de tension en los doscasos.

Tension V Corriente sin cristal Is Corriente con cristal Ic0 V0,5 V1 V1,5 V1,6 V1,7 V1,8 V1,9 V

21.5 Discusion

• Comentar y discutir el valor del rendimiento obtenido.


21.6 Cuestiones

1. Explicar como varıa el rendimiento de la celula en funcion de la temperatura. ¿Hayalguna explicacion para esto?

2. ¿Como se puede explicar el hecho de que, al filtrar la luz con un cristal, la carac-terıstica corriente-tension de la celula cambie?

Capıtulo 22

Interferencias de Young

22.1 Objetivo

Se observaran las interferencias producidas por una doble rendija sobre una pantalla.Se mediran las distancias dn de los maximos de intensidad de los distintos ordenes deinterferencias, con lo que se determinara la longitud de onda del rayo laser utilizado.


Cuando una onda incide sobre un diafragma lineal doble (una doble rendija), en cada unade las rendijas se forma una onda secundaria de caracterısticas en principio identicas. Siobservamos que ocurre a cierta distancia de la doble rendija, veremos que ambas ondasse refuerzan en determinadas direcciones, produciendo interferencias constructivas, y seanulan en otras, formando interferencias destructivas. Esto se debe a que la diferenciaen los caminos opticos recorridos por ambas ondas produce un desfase entre ellas. Estadiferencia de fase es la responsable de la formacion del patron de interferencias.

En particular, puede demostrarse que, a suficiente distancia de la doble rendija, laintensidad de la luz en un punto P de una plano paralelo a dicha rendija es

IP = 4A2 cos2 δ

2, (22.1)

donde A es la amplitud de las ondas y δ es el desfase entre las ondas generadas enambas rendijas en el punto P , que vale

δ =2π

λ∆L =

2π

λ(x1 − x2), (22.2)

siendo ∆L = x1−x2 la diferencia de caminos opticos recorridos por ambos rayos desdelas rendijas al punto P , x1 la distancia entre la rendija 1 y el punto P , x2 la distancia entrela rendija 2 y dicho punto P y λ la longitud de onda de la luz que estemos empleando(ver Figura 22.1 (a)). Las interferencias totalmente constructivas se producen cuando IP

es maxima; segun la ecuacion 22.1, esto ocurre si

δ

2= nπ. (22.3)

139

CAPITULO 22. INTERFERENCIAS DE YOUNG 140

Sustituyendo el valor de δ (ecuacion 22.2) en esta expresion, llegamos a la condicionpara los maximos en el patron de interferencias,

∆L = x1 − x2 = nλ, (n = 1, 2, 3, . . .). (22.4)

De manera analoga, se puede encontrar la condicion para que se den interferenciastotalmente destructivas (mınimos), que resulta ser

∆L = x1 − x2 = (2n + 1)λ

2, (n = 0, 1, 2, 3, . . .). (22.5)


ADVERTENCIA IMPORTANTE: El laser puede producir danos oculares ir-reversibles, por lo que debemos evitar enfocar a alguna persona con el mismoa la altura de los ojos.Por supuesto, en ninguna circunstancia debemos mirardirectamente al rayo.

Para observar las franjas de interferencia de doble rendija se realiza el monjaje de laFigura 22.1 (b). A la salida del laser se puede colocar una lente de focal f = +10 si seconsidera necesario expandir el haz luminoso. A continuacion se situa la doble rendija,colocada en el portadiafragmas. La anchura de las rendijas b y la distancia entre ellas gesta escrita (en milımetros) bajo las propias rendijas. Elıjase el par de rendijas que parezcama s apropiado para la medida. La pantalla milimetrada se colocara a suficiente distanciapara poder apreciar con claridad la figura de interferencias.

22.3.1 Medida de las posiciones de los maximos del patron de interferencias

Hemos dicho mas arriba que los maximos del patron de interferencias se obtienen cuandola diferencia de caminos opticos es un multiplo de λ,

x1 − x2 = nλ, (n = 1, 2, 3, . . .). (22.6)

Si observamos la figura 22.1 y tenemos en cuenta que a dn y a g, entoncesϑn 1 para cualquier valor de n. Debe resultar claro entonces que x1 − x2 = nλ esaproximadamente la distancia marcada en la figura (es decir, los rayos x2 y x1 son casiparalelos). Pero en la figura podemos ver que

nλ

g= sin θn ≈ tan θn =

dn

a, (22.7)

donde hemos empleado la aproximacion sin θ ≈ tan θ, valida cuando θ 1. En defin-itiva, tenemos que

nλ =g

adn. (22.8)

Mıdase cuidadosamente con la cinta metrica la distancia a la pantalla milimetrada, a,y las distancias de los distintos ordenes de difraccion dn al orden cero de difraccion d0, esdecir, a la luz que no ha sufrido desviacion.


Figura 22.1: Interferencia por doble rendija


22.3.2 Calculo de la longitud de onda

Para calcular la longitud de onda de la luz empleada en la experiencia, solo tenemos quedespejarla de la ecuacion 22.8, obteniendose

λ =g

a

dn

n. (22.9)

Sabiendo la distancia a entre las rendijas y la escala, es facil obtener varios valorespara λ con tan solo tomar diferentes valores de n.

22.4 Resultados

1. Siguiendo el procedimiento experimental, medir las distancias de los maximos delpatron de interferencias situados a la derecha y a la izquierda del maximo central.

n +dn( mm) −dn( mm)1234

Representar en la misma grafica +dn frente a n y −dn frente a n. Se obtendran dosrectas. Calcular la pendiente, la ordenada en el origen, y el coeficiente de correlacionlineal de cada una de ellas mediante ajuste de mınimos cuadrados.

a1 = b1 = r1 =

a2 = b2 = r2 =

2. Para cada uno de los valores de n del apartado anterior, calcular el valor de λcorrespondiente empleando la formula 22.9. Determinar el valor medio y el errorasociados con la longitud de onda de la luz empleada.

λ(±Eλ) =

22.5 Discusion

• ¿Que valor deberıan tener a1, b1, a2 y b2 de acuerdo con la formula 22.9? A la luzde los resultados, ¿Se verifica dicha formula?

• Discutir si el valor obtenido para la longitud de onda del laser es o no compatiblecon el valor dado por el fabricante.



22.6 Cuestiones

1. ¿Que ocurrirıa si se realiza el experimento de Young con una doble rendija tal quela separacion entre ambas aberturas es muy pequena? En particular, ¿los maximosy mınimos estaran mas proximos entre sı, o por el contrario se alejaran mas unosde otros? ¿Por que ocurre esto?

2. A raız de la respuesta del apartado anterior, ¿que ocurre con la separacion entremaximos y mınimos del patron de interferencias a medida que se aleja la pantallade la doble rendija?

3. La diferencia de caminos opticos recorridos por los rayos generados en cada una delas rendijas es igual a la diferencia de distancias recorridas por ambos rayos hastallegar a punto de interferencia siempre que ambos rayos viajen por el mismo medio(en nuestro caso, el aire); cuando el medio es diferente al aire, el camino optico sedefine como L = nx, donde n es el ındice de refraccion relativo al aire del medioempleado. Segun esto, ¿como se podrıa cambiar el patron de interferencias obtenidousando el mismo laser y sin modificar la distancia entre las rendijas ni la distanciade la pantalla a las mismas?

Capıtulo 23

Difraccion

23.1 Objetivo

Se realizaran dos experiencias sobre difraccion. En la primera se observara la figura dedifraccion producida por una abertura circular, de la que se determinara el radio. En lasegunda, se determinara la constante de una red de difraccion en funcion de su figura dedifraccion.


23.2.1 Difraccion por abertura circular

Cuando un haz de luz coherente y monocromatico incide sobre una abertura circular, seproducen rayos difractados en los bordes que al interferir entre sı y con los que incidendirectamente en la zona “iluminada” correspondiente a la optica geometrica forman unaserie de maximos y mınimos. El numero de estos depende del diametro del orificio y de ladistancia de este a la pantalla de observacion. Puede demostrarse que la posicion de losmaximos y mınimos satisface la condicion

sin φn =kn

Rnλ, (23.1)

donde φn es el angulo subtendido por el maximo o mınimo de difraccion, R es el radio delorificio y λ la longitud de onda. kn es una constante para cada valor de n, cuyo valor seda en la siguiente tabla,

n k max k min1 0, 00 0, 612 0, 41 0, 563 0, 44 0, 544 0, 46 0, 53

Notese que n = 1 corresponde al maximo central y al primer anillo oscuro; n = 2 alprimer anillo luminoso y al segundo anillo oscuro; y ası sucesivamente.

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CAPITULO 23. DIFRACCION 145

Figura 23.1: Montajes para los experimentos de difraccion: (a) por abertura circular, (b)por red.

Por su parte, si la distancia entre la abertura y la pantalla es muy grande, se podrahacer la siguiente aproximacion:

sin φn v tan φn =rn

a(23.2)

siendo rn el radio del anillo correspondiente al maximo o mınimo de intensidad lumi-nosa elegido.

23.2.2 Difraccion por red

Un red de difraccion consiste en un gran numero de lıneas equiespaciadas grabadas sobreuna superficie plana, a traves de la cual se hace pasar la luz. La distancia entre las lıneasse conoce como constante de red, d.


Cuando la luz incide perpendicularmente sobre la red, el diagrama de difraccion ten-dra maximos en aquellas direcciones que forman con la luz incidente angulos dados por:

sin θn =nλ

d(23.3)

siendo λ la longitud de onda y n = 0, 1, 2 . . . el orden de difraccion. Si la distanciaentre la red y la pantalla es muy grande, se podra hacer la siguiente aproximacion:

sin θn v tan θn =rn

a(23.4)

siendo rn la distancia entre el orden n de difraccion y la direccion de propagacion dela luz no desviada.


ADVERTENCIA IMPORTANTE: El laser puede producir danos oculares ir-reversibles, por lo que debemos evitar enfocar a alguna persona con el mismoa la altura de los ojos. Por supuesto, en ninguna circunstancia debemos mirardirectamente al rayo.

Para observar las figuras de difraccion, se realizaran los montajes de las figuras 23.1(a) para la abertura y 23.1 (b) para la red de difraccion. La pantalla milimetrada secolocara tan lejos como sea necesario para poder medir claramente las distancias. En laabertura circular, es importante asegurarse de que el orificio esta bien iluminado, a fin deobtener una figura de difraccion nıtida. Deberıan verse 2 o 3 anillos luminosos alrededordel maximo central.

23.4 Resultados

23.4.1 Determinacion del radio de la abertura circular.

Para varias distancias a entre la pantalla y el orificio, mıdase el radio r del mayor anillode maxima o mınima intensidad luminosa que se observe con nitidez. Anotar en la tablael orden n y si se trata de un maximo o un mınimo. A partir de esta informacion se calcu-lara el radio que, segun las formulas 23.1 y 23.2, se obtiene para el radio R de la abertura.La longitud de onda viene dada en el laser. Todos los valores deben ir acompanados desu error.

a± Ea( mm) n max/min rn ± Ern( mm) R± ER( mm)


Determinar el valor medio R y su error asociado:

R(±ER) =

(Observar que el valor real del diametro de la abertura viene indicado en su placa)

23.4.2 Determinacion de la constante de la red de difraccion:

Para una distancia suficiente a entre la pantalla y la red, medir las distancias rn de variosordenes de difraccion a la direccion de propagacion. Deducir de ellas la constante de redd. Repetir para las dos redes de difraccion. Anotar el numero de lıneas por milımetroindicado en cada red para contrastar con los resultados del experimento.

Precaucion: para ciertas redes, debido a la anchura finita de las lıneas de la red, algunode los maximos de difraccion pueden quedar enmascarados. Tenerlo en cuenta para usarel valor de n apropiado.

Red A (lıneas por milımetro: )

n rn ± Ern( mm) d± Ed( mm)

Determinar el valor medio d y su error:

d(±Ed) =

Red B (lıneas por milımetro: )

n rn ± Ern( mm) d± Ed( mm)

Determinar el valor medio d y su error:

d(±Ed) =


23.5 Discusion

• ¿Coinciden los valores hallados para el radio de la abertura y para la distancia entrelıneas de las redes con los dados por el fabricante? Discutir las posibles discrepancias.

• Al hallar los promedios R y d se ha calculado un error estadıstico que no tiene encuenta los errores individuales de cada valor de R o d utilizado. Discutir si esteprocedimiento esta o no justificado.


23.6 Cuestiones

1. Segun la expresion 23.1, ¿en que caso se observara mas maximos y mınimos en elpatron de difraccion, cuando se tiene una abertura grande o cuando la abertura seaestrecha? ¿Por que?

2. ¿Que ocurre con los maximos y mınimos del patron de difraccion cuando el radiode la abertura se hace muy grande, segun la expresion 23.1? ¿Como se interpretaeste resultado?

3. ¿Cuando es valida en general la aproximacion 23.4? Obtenerla de forma matematica.

4. Explicar como serıa la figura de difraccion por red si el laser fuese de luz azul (λ=480nm) en lugar de rojo. ¿ Que sucederıa si la fuente en lugar de ser monocromaticafuese de luz blanca?

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