Manual Octave

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ManualdeiniciacinaGNUOctave

Autor:JosMaraValienteCifuentes TrabajorealizadodentrodeunProyectoFindeCarreradirigidopor CarlosMedranoSnchez enlaE.U.PolitcnicadeTeruel Ao2006

LicenciaCopyright(c)2006JosMaraValienteCifuentes

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Manual de Iniciacin a GNU Octave

Manual De GNU Octave

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Manual de Iniciacin a GNU Octave

1. Operaciones Bsicas 1.1. Operaciones con matrices y vectores 1.1.1. Introduccin de matrices desde el teclado 1.1.2. Operaciones con matrices 1.1.3. Tipos de datos 1.1.3.1. Nmeros reales de doble precisin 1.1.3.2. Nmeros Complejos 1.1.3.3. Cadenas de caracteres 1.1.3.4. Otras formas de definir matrices 1.1.3.4.1 Tipos de matrices predefinidos 1.1.3.4.2 Formacin de una matriz a partir de otras 1.1.3.4.3 Direccionamiento de vectores y matrices a partir de vectores 1.1.3.4.4 Operador (:) 1.1.3.4.5 Definicin de matrices y vectores desde fichero 1.1.3.5. Operadores Relacionales 1.1.3.6. Operadores Lgicos 1.2. Funciones de Librera 1.2.1 Caractersticas Generales de las funciones de librera 1.2.2. Funciones matemticas elementales que operan de modo escalar 1.2.3. Funciones que actan sobre matrices 1.2.3.1 Funciones elementales 1.2.3.2 Funciones Especiales 1.2.3.3 Funciones de Factorizacin y/o Descomposicin Matricial 1.3. Ms sobre operadores relacionales con vectores y matrices 1.4. Otras funciones que actan sobre vectores y matrices 2. Otros tipos de datos de GNU Octave 2.1. Cadenas de caracteres 2.2 Hipermatrices (arrays de ms de dos dimensiones) 2.2.1 Definicin de Hipermatrices

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Manual de Iniciacin a GNU Octave 2.3 Estructuras 2.3.1 Creacin de Estructuras 2.3.2 Funciones para operar con Estructuras 2.4 Vectores o matrices de celdas (Cell Array) 2.4.1 Creacin de vectores y matrices de Celdas 2.4.2 Funciones para trabajar con vectores y matrices de celda 3. Programacin en GNU Octave 3.1. Bifurcaciones y bucles 3.1.1. Sentencia IF 3.1.2. Sentencia SWITCH 3.1.3. Sentencia FOR 3.1.4. Sentencia DO-UNTIL 3.1.5. Sentencia WHILE 3.1.6. Sentencia BREAK y CONTINUE 3.2 Ficheros *.m 3.2.1 Ficheros de Comandos (SCRIPTS) 3.2.2 Definicin de Funciones 3.2.3. HELP para las funciones de usuario 4. Grficos bidimensionales 4.1 Funciones grficas 2D elementales 4.1.1 Funcin PLOT 4.1.2 Estilos de Lnea y Marcadores para PLOT 4.1.3 Aadir Lneas a un grfico ya existente 4.1.4 Comando SUBPLOT 4.1.5 Control de los Ejes 4.2 Control de ventanas grficas: Funcin Figure 4.3 Otras funciones grficas 2-D 5. Grficos tridimensionales 5.1 Tipos de funciones grficas tridimensionales 5.1.1 Dibujo de lneas: Funcin PLOT3 5.1.2 Dibujo de mallados: Funciones MESHGRID, MESH Y SURF 5.1.3 Dibujo de lneas de contorno: Funcin CONTOUR 5.2. Elementos Generales: Ejes, Puntos de vista, lneas ocultas,

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Manual de Iniciacin a GNU Octave 6. Otros aspectos de GNU Octave 6.1 Guardar variables y estados de una sesin: Comandos save y load 6.2 Guardar sesin: Comando diary 6.3 Medida de tiempos y de esfuerzo de clculo 6.4. Funciones de funcin 6.4.1 Integracin numrica de funciones 6.4.2 Integracin Numrica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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1. Operaciones Bsicas

1.1. Operaciones con matrices y vectoresComo se coment en la introduccin que hemos visto en el punto anterior, GNU Octave es un programa creado para trabajar con matrices, por lo tanto, este punto es probablemente el ms importante y en el que mejor tenemos que aclararnos para empezar a trabajar. Tenemos muchas opciones para trabajar con ellas, podemos intercambiar matrices, permutarlas, invertirlas; GNU Octave es una herramienta de clculo muy potente en lo que a matrices se refiere.

1.1.1. Introduccin de matrices desde el tecladoLas matrices y vectores son variables del programa cuyos nombres podemos definir, siempre y cuando no utilicemos los caracteres que el programa tiene como caracteres prohibidos. Para definir una matriz en GNU Octave se determina el nmero de filas y de columnas en funcin del nmero de elementos que se proporcionan (o se utilizan). Las matrices se definen por filas; los elementos de una misma fila estn separados por blancos o comas, mientras que las filas estn separadas por pulsaciones intro o por caracteres punto y coma (;). Tomemos como ejemplo:

octave:31> a=[1 1; 2 5]

Cuya salida ser:a =

1 2

1 5

A partir de este momento la matriz a est disponible para hacer cualquier tipo de operacin con ella (adems de valores numricos, en la definicin de una matriz o vector se pueden utilizar expresiones y funciones matemticas). Por ejemplo, una

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Manual de Iniciacin a GNU Octave sencilla operacin con a es hallar su matriz traspuesta. En GNU Octave, el apstrofo (') es el smbolo de trasposicin matricial. Para calcular a (traspuesta de a) basta teclear lo siguiente (se aade a continuacin la respuesta del programa):octave:32> a ans =

1 1

2 5

Como el resultado de la operacin no ha sido asignado a ninguna otra matriz, GNU Octave utiliza un nombre de variable por defecto (ans, de answer), que contiene el resultado de la ltima operacin. La variable ans puede ser utilizada como operando en la siguiente expresin que se introduzca. Tambin podra haberse asignado el resultado a otra matriz llamada b. Ahora vamos a definir una matriz b diferente para hacer operaciones bsicas con estas 2 matrices:octave:32> b=[7 6; 8 3] b =

7 8

6 3

Comenzamos con las operaciones ms bsicas que podemos encontrar, la suma y la resta de matrices:octave:33> a + b ans =

8 10

7 8

octave:34> a -b ans =

-6 -6

-5 2

Si realizamos la multiplicacin de matrices con el operando * tendremos que tener cuidado con que el nmero de columnas de la primera matriz debe coincidir con el nmero de filas de la segunda: Pg -6-

Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:35> a * b ans =

15 54

9 27

Tambin podemos utilizar una multiplicacin elemento a elemento, que aunque no tiene demasiado sentido como multiplicacin de matrices, si que es muy utilizable en el caso de que la matriz no sea ms que un conjunto ordenado de valores.octave:36> a .* b ans =

7 16

6 15

A continuacin vamos a definir una nueva matriz a a partir de una funcin que genera valores aleatorios entre 0 y 1.octave:4> a=rand(3); #generar una matriz aleatoria de 3x3 octave:5> a a =

0.6086115 0.4910289 0.6238124

0.0010003 0.2250230 0.5558372

0.3250563 0.4538064 0.9002053

Vamos ahora a crear una matriz 3x3 para realizar nuevos clculos a partir de una matriz ms manejable si queremos comprobar a mano los datos que creamos.octave:6> a=[1 2 1;1 2 3;4 3.4 4.5] a =

1.0000 1.0000 4.0000

2.0000 2.0000 3.4000

1.0000 3.0000 4.5000

A partir de esta matriz a calculamos su inversa con el comando inv(a):octave:7> b=inv(a) b =

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-0.13043 0.81522 -0.50000

-0.60870 0.05435 0.50000

0.43478 -0.21739 0.00000

Podemos comprobar multiplicando una por la otra que el clculo es correcto:octave:9> c=a*b c =

1.00000 0.00000 0.00000

0.00000 1.00000 0.00000

0.00000 0.00000 1.00000

Si los valores no son exactos podemos utilizar el comando round() ya que debido a los errores de aproximacin en los clculos podemos encontrar valores como2.3e-109 que representa un valor extremadamente pequeo.

Si queremos comentar las lneas de cdigo que ejecutamos, a continuacin de la operacin podemos poner un comentario anteponiendo el carcter # o %octave:10> c=a*b #podemos ver que la matriz c es la matriz identidad

De igual manera que se define una matriz podemos definir un vector:octave:49> b=[2 0 0] b =

2 0 0 octave:50> b=[2 0 0] b =

2 0 0

Como podemos observar, podemos definir vectores fila y vectores columna, con slo hacer la traspuesta del vector en la definicin. Tambin podemos definir un vector columna como si hicieramos una matriz de 1xnoctave:46> b=[1;0];

Como podemos ver, no hemos obtenido resultado tras realizar la operacin; esto es debido a que hemos puesto un ; al final de la lnea de comando, esto hace que no salga por pantalla lo que hemos ejecutado, cosa que resulta muy til cuando las Pg -8-

Manual de Iniciacin a GNU Octave matrices/vectores son de un nmero muy grande (100, 1000, ) y por lo tanto, difciles de manejar visualmente. En GNU Octave se accede a los elementos de un vector poniendo el ndice entre parntesis (por ejemplo x(3) x(i)). Los elementos de las matrices se acceden poniendo los dos ndices entre parntesis, separados por una coma (por ejemplo A(1,2) A(i,j)). Las matrices se almacenan por columnas (aunque se introduzcan por filas, como se ha dicho antes), y teniendo en cuenta esto puede accederse a cualquier elemento de una matriz con un slo subndice. Por ejemplo, si A es una matriz (3x3) se obtiene el mismo valor escribiendo A(1,2) que escribiendo A(4).

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1.1.2. Operaciones con matricesGNU Octave puede operar con matrices por medio de operadores y por medio de funciones. Se han visto ya los operadores suma (+), producto (*) y traspuesta ('), as como la funcin invertir inv( ). Los operadores matriciales de GNU OCTAVE son los siguientes: + * ' ^ \ / adicin o suma sustraccin o resta multiplicacin traspuesta potenciacin divisin-izquierda divisin-derecha

.* producto elemento a elemento ./ y .\ divisin elemento a elemento .^ elevar a una potencia elemento a elemento Estos operadores se aplican tambin a las variables o valores escalares, aunque con algunas diferencias. Todos estos operadores son coherentes con las

correspondientes operaciones matriciales: no se puede por ejemplo sumar matrices que no sean del mismo tamao. Si los operadores no se usan de modo correcto se obtiene un mensaje de error. Veamos un ejemplo del uso del divisor:octave:45> #vamos a resolver un sistema de ecuaciones octave:45> #x+y=1 octave:45> #2x+5y=0 octave:45> a=[1 1;2 5]; octave:46> b=[1;0]; octave:47> x=inv(a)*b x = 1.66667 -0.66667

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octave:48> #por tanto x=1.6667 e y=-0.66667 octave:48> a\b ans =

1.66667 -0.66667

Vase el siguiente ejemplo de tres ecuaciones formadas por una recta que no pasa por el origen y los dos ejes de coordenadas:

octave:49> A=[1 2; 1 0; 0 1], b=[2 0 0]' A =

1 1 0

2 0 1

b =

2 0 0

octave:50> x=A\b, resto=A*x-b x =

0.33333 0.66667

resto =

-0.33333 0.33333 0.66667

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Vamos a ver como funcionan una serie de operadores:octave:37> a/b

0.185185 1.259259

-0.037037 -0.851852

octave:38> a\b ans =

9.0000 -2.0000

9.0000 -3.0000

Si los operadores / y \ van precedidos de un . La operacin se realiza elemento a elemento:octave:39> a./b ans =

0.14286 0.25000

0.16667 1.66667

octave:40> a.\b ans =

7.00000 4.00000

6.00000 0.60000

Podemos comprobar que premultiplicar con / es lo mismo que postmultiplicar con \ .octave:41> b./a ans =

7.00000 4.00000

6.00000 0.60000

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1.1.3. Tipos de datosGNU Octave trabaja siempre con el tipo Real de doble precisin, sobre el que se implementan el resto de tipos, avanzados o no. Este tipo de dato se guarda con un tamao de 8 bytes, que tiene un tamao de 15 cifras exactas. Adems del tipo Real, podremos trabajar con strings, matrices, hipermatrices y estructuras ms avanzadas.

1.1.3.1. Nmeros reales de doble precisin

Los elementos constitutivos de vectores y matrices son nmeros reales almacenados en 8 bytes (53 bits para la mantisa y 11 para el exponente de 2; entre 15 y 16 cifras decimales equivalentes). Es importante saber cmo trabaja GNU Octave con estos nmeros y los casos especiales que presentan. GNU Octave mantiene una forma especial para los nmeros muy grandes (ms grandes que los que es capaz de representar), que son considerados como infinito. Por ejemplo, obsrvese cmo responde el programa al ejecutar el siguiente comando:octave:52> 1/0 warning: division by zero ans = Inf

As pues, para GNU Octave el infinito se representa como inf Inf. GNU Octave tiene tambin una representacin especial para los resultados que no estn definidos como nmeros. Por ejemplo, ejectense los siguientes comandos y obsrvense las respuestas obtenidas:octave:51> 0/0 warning: division by zero ans = NaN

La respuesta es NaN, que es la abreviatura de Not a Number. Este tipo de respuesta, as como la de Inf, son enormemente importantes en GNU Octave, pues permiten controlar la fiabilidad de los resultados de los clculos matriciales. Los NaN se propagan al realizar con ellos cualquier operacin aritmtica, por ejemplo, cualquier

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Manual de Iniciacin a GNU Octave nmero sumado a un NaN da otro NaN. GNU Octave tiene esto en cuenta. Algo parecido sucede con los Inf. Podemos encontrar 3 variables predefinidas por GNU Octave que nos dan los valores mximos y mnimos de este tipo de datos: eps devuelve la diferencia entre 1.0 y el nmero de coma flotante

inmediatamente superior. Da una idea de la precisin o nmero de cifras almacenadas. En un computador, eps vale 2.2204e-016. realmin devuelve el nmero ms pequeo con que se puede trabajar

(2.2251e-308) realmax devuelve el nmero ms grande con que se puede trabajar

(1.7977e+308)

1.1.3.2. Nmeros complejos (complex)Muchas veces nos vamos a encontrar que el clculo que necesitamos ejecutar nos lleva a tener que definir el cuerpo de los nmeros complejos, dado que el cuerpo de los nmeros reales no es suficiente, por ejemplo, para realizar transformadas de Fourier o Laplace. Para ello se define la variable compleja i o j:octave:61> i i = 0 + 1i octave:62> j j = 0 + 1i octave:63> I I = 0 + 1i octave:64> 2J J = 0 + 2i

Como podemos ver, se pueden definir tanto en mayscula como en minscula, y que no es necesario el uso del operador * para multiplicarlo por un escalar. Debemos tener la precaucin de no redefinir la variable i o j, ya que nos podra llevar a equvocos.octave:63> i=2 i = 2

Podemos definir a su vez un nmero complejo con la funcin complex:octave:77> complex(7,6) ans = 7 + 6i

Es importante advertir que el operador de matriz transpuesta (), aplicado a matrices complejas, produce la matriz transpuesta conjugada. Existe una funcin que

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Manual de Iniciacin a GNU Octave permite hallar simplemente la matriz conjugada (conj()) y el operador punto y apstrofo (.) que calcula simplemente la matriz transpuesta.octave:78> conj(a) ans = 1 - 1i

Esta funcin conj() puede ser empleada con escalares debido a que podemos entender dicho escalar como una matriz de 1x1.

1.1.3.3. Cadenas de caracteresPara crear una cadena de caracteres (string) en GNU Octave podemos hacerlo de estos dos modos:octave:79> s='cadena de caracteres' s = cadena de caracteres octave:80> s="cadena de caracteres" s = cadena de caracteres

Debido a que para su uso es necesario un conocimiento previo de las funciones orientadas a matrices, postpondr otras explicaciones hasta que se hayan explicado stas, al igual que con los strings, se postpone la explicacin de hipermatrices, structs y cell arrays. Ya han aparecido algunos ejemplos de variables y expresiones matriciales. Ahora se va a tratar de generalizar un poco lo visto hasta ahora. Una variable es un nombre que se da a una entidad numrica, que puede ser una matriz, un vector o un escalar. El valor de esa variable, e incluso el tipo de entidad numrica que representa, puede cambiar a lo largo de una sesin de GNU OCTAVE o a lo largo de la ejecucin de un programa. La forma ms normal de cambiar el valor de una variable es colocndola a la izquierda del operador de asignacin (=). Una expresin de GNU OCTAVE puede tener las dos formas siguientes: primero, asignando su resultado a una variable,variable = expresin

y segundo evaluando simplemente el resultado del siguiente modo, expresin en cuyo caso el resultado se asigna automticamente a una variable interna de GNU OCTAVE llamada ans (de answer) que almacena el ltimo resultado obtenido. Se considera por defecto que una expresin termina cuando se pulsa intro. Si se desea que una expresin contine en la lnea siguiente, hay que introducir tres puntos (...) antes de

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Manual de Iniciacin a GNU Octave pulsar intro. Tambin se pueden incluir varias expresiones en una misma lnea separndolas por comas (,) o puntos y comas (;). Si una expresin termina en punto y coma (;) su resultado se calcula, pero no se escribe en pantalla. Esta posibilidad es muy interesante, tanto para evitar la escritura de resultados intermedios, como para evitar la impresin de grandes cantidades de nmeros cuando se trabaja con matrices de gran tamao. A semejanza de C, GNU OCTAVE distingue entre maysculas y minsculas en los nombres de variables. A diferencia del lenguaje C, no hace falta declarar las variables que se vayan a utilizar. Esto hace que se deba tener especial cuidado con no utilizar nombres errneos en las variables, porque no se recibir ningn aviso del ordenador. Cuando se quiere tener una relacin de las variables que se han utilizado en una sesin de trabajo se puede utilizar el comando who. Existe otro comando llamado whos que proporciona adems informacin sobre el tamao, la cantidad de memoria ocupada y el carcter real o complejo de cada variable.

El comando clear tiene varias formas posibles: clear sin argumentos, clear elimina todas las variables creadas previamente (excepto las variables globales). clear A, b borra las variables indicadas. clear global borra las variables globales.

1.1.3.4. Otras formas de definir matricesGNU OCTAVE dispone de varias formas de definir matrices. El introducirlas por teclado slo es prctico en casos de pequeo tamao y cuando no hay que repetir esa operacin muchas veces. Recurdese que en GNU OCTAVE no hace falta definir el tamao de una matriz. Las matrices toman tamao al ser definidas y este tamao puede ser modificado por el usuario mediante adicin y/o borrado de filas y columnas. A continuacin se van a ver otras formas ms potentes y generales de definir y/o modificar matrices.

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1.1.3.4.1 Tipos de matrices predefinidosExisten en GNU OCTAVE varias funciones orientadas a definir con gran facilidad matrices de tipos particulares. Algunas de estas funciones son las siguientes: eye(2) forma la matriz unidad de tamao (2x2)octave:84> eye(2) ans =

1 0

0 1

zeros(3,5) forma una matriz de ceros de tamao (3x5)octave:83> zeros(3,5) ans =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

zeros(2) dem de tamao (2x2)octave:85> zeros(2) ans =

0 0

0 0

ones(3) forma una matriz de unos de tamao (3x3) ones(3,4) idem de tamao (3x4)octave:87> ones(3,4) ans =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

linspace(x1,x2,n) genera un vector con n valores igualmente espaciados entre x1 y x2octave:88> linspace(1,10,9) ans =

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Columns 1 through 8:

1.0000 8.8750

2.1250

3.2500

4.3750

5.5000

6.6250

7.7500

Column 9:

10.0000

octave:89> #semejante a la definicion 1:1.125:10

logspace(d1,d2,n) genera un vector con n logartmicamente entre 10^d1 y 10^d2.

valores espaciados

rand(3) forma una matriz de nmeros aleatorios entre 0 y 1, con distribucin uniforme, de tamao (3x3) rand(2,5) idem de tamao (2x5) randn(4) forma una matriz de nmeros aleatorios de tamao (4x4), con distribucin normal, de valor medio 0 y varianza 1. magic(3) crea una matriz (3x3) con los nmeros 1, 2, ... 3*3, con la propiedad de que todas las filas y columnas suman lo mismo.

octave:92> magic(3) ans =

8 3 4

1 5 9

6 7 2

compan(pol) construye una matriz cuyo polinomio caracterstico tiene como coeficientes los elementos del vector pol (ordenados de mayor grado a menor).octave:100> compan([1 2 1]) ans =

-2 1

-1 0

Hay ms tipos predefinidos de matrices, podemos encontrar en la ayuda todos estos tipos y otros muchos ms con solo hacer help i matrix. Pg -18-

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1.1.3.4.2 Formacin de una matriz a partir de otrasGNU Octave ofrece tambin la posibilidad de crear una matriz a partir de matrices previas ya definidas, por varios posibles caminos: recibiendo alguna de sus propiedades (como por ejemplo el tamao), por composicin de varias submatrices ms pequeas, modificndola de alguna forma. A continuacin se describen algunas de las funciones que crean una nueva matriz a partir de otra o de otras, comenzando por dos funciones auxiliares: [m,n]=size(A) devuelve el nmero de filas y de columnas de la matriz A. Si la matriz es cuadrada basta recoger el primer valor de retornooctave:103> a=[1 2 1;3 2 5;6 7 5]; octave:104> [m,n]=size(a) m = 3 n = 3

n=length(x) calcula el nmero de elementos de un vector xoctave:105> x=1:0.00001:2; octave:106> longitud_vector=length(x) longitud_vector = 100001

zeros(size(A)) forma una matriz de ceros del mismo tamao que una matriz A previamente creada.octave:107> zeros(size(a)) ans =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

ones(size(A)) dem con unos A=diag(x) forma una matriz diagonal A cuyos elementos diagonales son los elementos de un vector ya existente x. x=diag(A) forma un vector x a partir de los elementos de la diagonal de una matriz ya existente A.

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Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:111> diag(a) ans =

1 2 5

diag(diag(A)) crea una matriz diagonal a partir de la diagonal de la matriz A.octave:112> diag(diag(a)) ans =

1 0 0

0 2 0

0 0 5

triu(A) forma una matriz triangular superior a partir de una matriz A (no tiene por qu ser cuadrada).octave:110> triu(a) ans =

1 0 0

2 2 0

1 5 5

tril(A) dem con una matriz triangular inferior.octave:109> tril(a) ans =

1 3 6

0 2 7

0 0 5

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Manual de Iniciacin a GNU Octave

rot90(A,k) Gira k*90 grados la matriz rectangular A en sentido antihorario. k es un entero que puede ser negativo. Si se omite, se supone k=1octave:113> rot90(a,1) ans =

1 2 1

5 2 3

5 7 6

flipud(A) halla la matriz simtrica de A respecto de un eje horizontaloctave:114> flipud(a) ans =

6 3 1

7 2 2

5 5 1

Un caso especialmente interesante es el de crear una nueva matriz componiendo como submatrices otras matrices definidas previamente. A modo de ejemplo, vamos a realizar la matriz generadora de un cdigo ortogonal con M=2:octave:124> a=[0 0;0 1]; octave:125> h2=[a a;a not(a)] h2 =

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 1

0 1 1 0

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1.1.3.4.3 Direccionamiento de vectores y matrices a partir de vectoresLos elementos de una matriz a pueden direccionarse a partir de los elementos de vectores:

octave:127> a=rand(2,5) a =

0.253124 0.081242

0.517686 0.079172

0.089229 0.841718

0.382511 0.649800

0.177737 0.634496

octave:128> b=[1 2 5]; octave:129> a(b) ans =

0.253124

0.081242

0.089229

Podemos ver que hemos obtenido las posiciones 1, 2 y 5 de la matriz a, que debemos contar teniendo en cuenta que la matriz se recorre por columnas y no por filas. Si queremos ver un elemento concreto de la matriz, podemos ejecutar lo siguiente:octave:132> a(2,1) ans = 0.081242

Creamos esta nueva matriz a para que sea ms fcil seguir los valores:octave:133> a=randn(4)*10 a =

-22.94025 5.12081 -0.69713 -17.50361

6.55306 8.98726 1.40557 -0.63861

-2.80857 1.81236 25.56103 4.61985

-1.33060 3.29938 5.62650 1.21845

octave:134> a(2,3) ans = 1.8124

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Manual de Iniciacin a GNU Octave

Ahora podemos ver las columnas 1, 2 y 3 de la 4 filaoctave:135> a(4,1:3) ans =

-17.50361

-0.63861

4.61985

octave:136> #tercera fila octave:136> a(3,:) ans =

-0.69713

1.40557

25.56103

5.62650

octave:137> #tercera columna octave:137> a(:,3) ans =

-2.8086 1.8124 25.5610 4.6199

Para ver el ltimo elemento de una matriz podemos usar el direccionamiento end:octave:139> a(end,end) ans = 1.2185

1.1.3.4.4 Operador (:)Se trata de una de las formas de definir vectores y matrices ms usada y ms fcil de utilizar, dada la rpida visualizacin de la salida sin necesidad de ver el resultado:octave:140> x=1:1:10; octave:141> x x =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Pg -23-

Manual de Iniciacin a GNU Octave En cierta forma se podra decir que el operador (:) representa un rango: en este caso, los nmeros enteros entre el 1 y el 10. Por defecto el incremento es 1, pero este operador puede tambin utilizarse con otros valores enteros y reales, positivos o negativos. En este caso el incremento va entre el valor inferior y el superior, pero podemos hacer que el incremento sea negativo, o que se haga con un incremento mayor o menor:octave:142> x=10:-1:1 x =

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1.1.3.4.5 Definicin de matrices y vectores desde ficheroGNU Octave acepta el uso de scripts desde los que crear matrices, vectores, variables, etc; como si estuviramos ejecutndolo desde la propia lnea de comandos. Por ejemplo, si creamos el fichero matriz_a.m donde creamos una matriz a cualquiera, al ejecutarla en GNU Octave podremos ver que se crea como si estuvieramos generndola en el propio programa: #primer scripta=randn(4)*10 #fin del script octave:133> matriz_a a =

-22.94025 5.12081 -0.69713 -17.50361

6.55306 8.98726 1.40557 -0.63861

-2.80857 1.81236 25.56103 4.61985

-1.33060 3.29938 5.62650 1.21845

Nota: Tenemos que estar dentro del directorio de trabajo o incluir el directorio donde encontrar la funcin dentro del path

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Manual de Iniciacin a GNU Octave

1.1.3.5. Operadores RelacionalesEl lenguaje de programacin de GNU Octave dispone de los siguientes operadores relacionales: < menor que > mayor que = mayor o igual que == igual que ~= distinto que Obsrvese que, salvo el ltimo de ellos, coinciden con los correspondientes operadores relacionales de C. Sin embargo, sta es una coincidencia ms bien formal. En GNU Octave los operadores relacionales pueden aplicarse a vectores y matrices, y eso hace que tengan un significado especial. Al igual que en C, si una comparacin se cumple el resultado es 1 (true), mientras que si no se cumple es 0 (false). Recprocamente, cualquier valor distinto de cero es considerado como true y el cero equivale a false. La diferencia con C est en que cuando los operadores relacionales de GNU Octave se aplican a dos matrices o vectores del mismo tamao, la comparacin se realiza elemento a elemento, y el resultado es otra matriz de unos y ceros del mismo tamao, que recoge el resultado de cada comparacin entre elementos.octave:147> a=7; octave:148> b=8; octave:149> a a==b ans = 0Pg -25-Manual de Iniciacin a GNU Octave1.1.3.6. Operadores LgicosLos operadores lgicos de GNU Octave son los siguientes: & and | or ~ negacin lgica Obsrvese que estos operadores lgicos tienen distinta notacin que los correspondientes operadores de C (&&, || y !). Los operadores lgicos se combinan con los relacionales para poder comprobar el cumplimiento de condiciones mltiples.octave:165> a=true a = 1 octave:166> b=not(a) b = 0 octave:167> c=a&b c = 0 octave:168> c=a|b c = 1Pg -26-Manual de Iniciacin a GNU Octave1.2. Funciones de LibreraGNU Octave posee un gran nmero de funciones integradas y de funciones definidas por el usuario, las primeras son funciones optimizadas para Octave, las segundas, con extensin *.m son funciones definidas en ficheros, que pueden ser: o Definidas por GNU Octave o Definidas por grupos/usuarios desinteresados que ofrecen su cdigo a los dems usuarios de GNU Octave o Definidas por el propio usuario, para su uso y/o comparticin con otros usuarios.1.2.1 Caractersticas Generales de las funciones de libreraEl concepto de funcin en GNU OCTAVE es semejante al de C y al de otros lenguajes de programacin, aunque con algunas diferencias importantes. Al igual que en C, una funcin tiene nombre, valor de retorno y argumentos. Una funcin se llama utilizando su nombre en una expresin o utilizndolo como un comando ms.#funcion de prueba para evaluarfunction y=prueba(x)y=x+3;endfunctionPodemos ver que esta funcin es solamente la funcin de una recta, cuya pendiente es de 45 y desplazada 3 unidades. y : es el valor de retorno. prueba : es el nombre de la funcin. x : es el argumento de entrada. Una caracterstica de GNU OCTAVE es que las funciones que no tienen argumentos no llevan parntesis, por lo que a simple vista no siempre son fciles de distinguir de las simples variables. Ejemplo:#! hello -qf printf("hello, world \n")Pg -27-Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:1> hellohello, wordLos nombres de las funciones de GNU Octave no son palabras reservadas del lenguaje. Es posible crear una variable llamada sin o cos, que ocultan las funciones correspondientes. Para poder acceder a las funciones hay que eliminar (clear) las variables del mismo nombre que las ocultan. Podemos encontrar gran variedad de tipos de funcin segn lo que resuelvan: 1.- Funciones matemticas elementales. 2.- Funciones especiales. 3.- Funciones matriciales elementales. 4.- Funciones matriciales especficas. 5.- Funciones para la descomposicin y/o factorizacin de matrices. 6.- Funciones para anlisis estadstico de datos. 7.- Funciones para anlisis de polinomios. 8.- Funciones para integracin de ecuaciones diferenciales ordinarias. 9.- Resolucin de ecuaciones no-lineales y optimizacin. 10.- Integracin numrica. 11.- Funciones para procesamiento de seal.Las caractersticas principales de estas funciones son:oLos argumentos actuales de estas funciones pueden ser expresiones y tambin llamadas a otra funcin.o Admite valores de retorno matriciales mltiples. Por ejemplo, en el comando:octave:177> a=[1 2;2 3]; octave:179> [vector_propio, valor_propio]=eig(a) vector_propio =-0.85065 0.525730.52573 0.85065Pg -28-Manual de Iniciacin a GNU Octavevalor_propio =-0.23607 0.000000.00000 4.23607la funcin eig() calcula los valores y vectores propios de la matriz cuadrada A. Los vectores propios se devuelven como columnas de la matriz vector_propio, mientras que los valores propios son los elementos de la matriz diagonal valor_propio.oLas operaciones de suma y/o resta de una matriz con un escalar consisten en sumar y/o restar el escalar a todos los elementos de la matriz.oRecurdese que tecleando help nombre_funcion se obtiene de inmediato informacin sobre la funcin de ese nombre.1.2.2. Funciones matemticas elementales que operan de modo escalar.Estas funciones, que comprenden las funciones matemticas trascendentales y otras funciones bsicas, actan sobre cada elemento de la matriz como si se tratase de un escalar. Se aplican de la misma forma a escalares, vectores y matrices. Algunas de las funciones de este grupo son las siguientes: o sin(x) : seno o cos(x) : coseno o tan(x) : tangente o asin(x) : arco seno o acos(x) : arco coseno o atan(x) : arco tangente (devuelve un ngulo entre -90 y 90) o sinh(x) : seno hiperblico o cosh(x) : coseno hiperblico o tanh(x) : tangente hiperblica o asinh(x) : arco seno hiperblico o acosh(x) : arco coseno hiperblico o atanh(x) : arco tangente hiperblica o log(x) : logaritmo natural o log10(x) : logaritmo decimal o exp(x) : funcin exponencial Pg -29-Manual de Iniciacin a GNU Octave o sqrt(x) : raz cuadrada o round(x) : redondeo hacia el entero ms prximo o fix(x) : redondea hacia el entero ms prximo a 0 o floor(x) : valor entero ms prximo hacia - o ceil(x) : valor entero ms prximo hacia + o gcd(x) : mximo comn divisor o lcm(x) : mnimo comn mltiplo o real(x) : partes reales o imag(x) : partes imaginarias o abs(x) : valores absolutosoangle(x) : ngulos de faseEn realidad estas funciones se pueden aplicar tambin a matrices, pero en ese caso se aplican por separado a cada columna de la matriz, dando como valor de retorno un vector resultado de aplicar la funcin a cada columna de la matriz considerada como vector. Si estas funciones se quieren aplicar a las filas de la matriz basta aplicar dichas funciones a la matriz traspuesta.Pg -30-Manual de Iniciacin a GNU Octave1.2.3. Funciones que actan sobre matricesLas siguientes funciones exigen que el/los argumento/s sean matrices. En este grupo aparecen algunas de las funciones ms tiles y potentes de GNU OCTAVE. Se clasificarn en varios subgrupos.1.2.3.1 Funciones elementaleso B = A' calcula la traspuesta (conjugada) de la matriz Aoctave:29> a=[1+i,2+3i;1+2i,2+i]; octave:30> b=a' b =1 - 1i 2 - 3i1 - 2i 2 - 1io B = A.' calcula la traspuesta (sin conjugar) de la matriz Aoctave:31> b=a.' b =1 + 1i 2 + 3i1 + 2i 2 + 1io v = poly(A) devuelve un vector v con los coeficientes del polinomio caracterstico de la matriz cuadrada Aoctave:35> x=[1 2 1]; octave:36> v=poly(x) v =1-45-2o t = trace(A) devuelve la traza t (suma de los elementos de la diagonal) de una matriz cuadrada Aoctave:37> t=trace(c) t = 2Pg -31-Manual de Iniciacin a GNU Octave o [m,n] = size(A) devuelve el nmero de filas m y de columnas n de una matriz rectangular Aoctave:38> [m,n]=size(c) m = 2 n = 2o n = size(A) devuelve el tamao de una matriz cuadrada Aoctave:39> n=size(c) n = 21.2.3.2 Funciones EspecialesLas funciones exp(), sqrt() y log() se aplican elemento a elemento a las matrices y/o vectores que se les pasan como argumentos. Existen otras funciones similares que tienen tambin sentido cuando se aplican a una matriz como una nica entidad. Estas funciones son las siguientes (se distinguen porque llevan una "m" adicional en el nombre): o expm(A) : si A=XDX, expm(A) = X*diag(exp(diag(D)))*X o sqrtm(A) : devuelve una matriz que multiplicada por s misma da la matriz A o logm(A) : es la funcin inversa de expm(A)octave:39> logm(c) ans =0.8047 + 1.5708i 0.5309 - 1.9238i0.3540 - 1.2825i 0.8047 + 1.5708iPg -32-Manual de Iniciacin a GNU Octave1.2.3.3 Funciones de Factorizacin y/o Descomposicin MatricialA su vez este grupo de funciones se puede subdividir en 4 subgrupos: Funciones basadas en la factorizacin triangular (eliminacin de Gauss): o [L,U] = lu(A) descomposicin de Crout (A = LU) de una matriz. La matriz L es una permutacin de una matriz triangular inferior (dicha permutacin es consecuencia del pivotamiento por columnas utilizado en la factorizacin).octave:42> a=rand(3) a =0.521692 0.245762 0.4680850.247373 0.047457 0.3750040.174305 0.744174 0.362295octave:43> [L,U]=lu(a) L =1.00000 0.47109 0.897250.00000 -0.45134 1.000000.00000 1.00000 0.00000U =0.52169 0.00000 0.000000.24737 0.15305 0.000000.17430 0.20590 0.75499Pg -33-Manual de Iniciacin a GNU Octaveo B = inv(A) calcula la inversa de A. Equivale a B=inv(U)*inv(L)octave:63> a=[1 1;2 2]; octave:65> inv(a) warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = 0 ans =2.00000 0.500002.00000 0.00000o d = det(A) devuelve el determinante d de la matriz cuadrada A. Equivale a d=det(L)*det(U) o E = rref(A) reduccin a forma de escaln (mediante la eliminacin de Gauss con pivotamiento por columnas) de una matriz rectangular A. Slo se utiliza la diagonal y la parte triangular superior de A. El resultado es una matriz triangular superior tal que A = U'*U.octave:46> a=[2 1 3 0;1 2 1 1;1 1 1 3]; octave:47> e=rref(a) e =1.00000 0.00000 0.000000.00000 1.00000 0.000000.00000 0.00000 1.0000013.00000 -2.00000 -8.00000o c = rcond(A) devuelve una estimacin del recproco de la condicin numrica de la matriz A basada en la norma sub-1. Si el resultado es prximo a 1 la matriz A est bien condicionada; si es prximo a 0 no lo est. Funciones basadas en el clculo de valores y vectores propios:o [X,D] = eig(A) valores propios (diagonal de D) y vectores propios (columnas de X) de una matriz cuadrada A. Con frecuencia el resultado es complejo (si A no es simtrica). o [X,D] = eig(A,B) valores propios (diagonal de D) y vectores propios (columnas de X) de dos matrices cuadradas A y B (Ax = Bx). Funciones basadas en la descomposicin QR:Pg -34-Manual de Iniciacin a GNU Octave o [Q,R] = qr() descomposicin QR de una matriz rectangular. Se utiliza para sistemas con ms ecuaciones que incgnitas.octave:51> a=[1 1 1 1;1 1 2 4; 1 2 1 2; 1 2 2 3]; octave:52> [q,r]=qr(a); octave:53> q q =-0.50000 -0.50000 -0.50000 -0.50000-0.50000 -0.50000 0.50000 0.500000.50000 -0.50000 0.50000 -0.500000.50000 -0.50000 -0.50000 0.50000octave:54> r r =-2.00000 0.00000 0.00000 0.00000-3.00000 1.00000 0.00000 0.00000-3.00000 0.00000 -1.00000 0.00000-5.00000 0.00000 -2.00000 -1.00000o B = null(A) devuelve una base ortonormal del subespacio nulo (kernel, o conjunto de vectores x tales que Ax = 0) de la matriz rectangular A.octave:56> a=[1 1; 2 1]; octave:57> null(a) ans = [](2x0)Pg -35-Manual de Iniciacin a GNU Octaveo Q = orth(A) las columnas de Q son una base ortonormal del espacio vectorial de las columnas de A, y el nmero de columnas de Q es el rango de A .octave:62> q=orth(a) q =0.36060 0.932720.93272 -0.36060Funciones basadas en la descomposicin de valor singularo B = pinv(A) calcula la pseudo-inversa de una matriz rectangular Aoctave:63> a=[1 1;2 2]; octave:64> pinv(a) ans =0.100000 0.1000000.200000 0.200000o r = rank(A) calcula el rango r de una matriz rectangular A o nor = norm(A) calcula la norma sub-2 de una matriz (el mayor valor singular) o nor = norm(A,2) lo mismo que la anterioroctave:67> x=rand(1,4) x =0.845250.672840.872060.57248octave:68> norm(x,2) ans = 1.5018Pg -36-Manual de Iniciacin a GNU Octave Clculo del rango, normas y condicin numrica: Existen varias formas de realizar estos clculos, con distintos niveles de esfuerzo de clculo y de precisin en el resultado. El rango se calcula implcitamente (sin que el usuario lo pida) al ejecutar las funciones rref(A), orth(A), null(A) y pinv(A). Normas de vectores: norm(x,p) norma sub-p, es decir sum(abs(x)^p)^(1/p). norm(x) norma eucldea; equivale al mdulo o norm(x,2). norm(x,inf) norma sub-, es decir max(abs(x)). norm(x,1) norma sub-1, es decir sum(abs(x)).octave:67> x=rand(1,4) x =0.845250.672840.872060.57248octave:68> norm(x,2) ans = 1.5018 octave:69> norm(x,3) ans = 1.2072Pg -37-Manual de Iniciacin a GNU Octave1.3. Ms sobre operadores relacionales con vectores y matricesCuando alguno de los operadores relacionales vistos previamente (, =, == y =) acta entre dos matrices (vectores) del mismo tamao, el resultado es otra matriz (vector) de ese mismo tamao conteniendo unos y ceros, segn los resultados de cada comparacin entre elementos hayan sido true o false, respectivamente. De ordinario, las matrices "binarias" que se obtienen de la aplicacin de los operadores relacionales no se almacenan en memoria ni se asignan a variables, sino que se procesan sobre la marcha. GNU OCTAVE dispone de varias funciones para ello. Recurdese que cualquier valor distinto de cero equivale a true, mientras que un valor cero equivale a false. Algunas de estas funciones son: any(x) funcin vectorial; chequea si alguno de los elementos del vector x cumple una determinada condicin (en este caso ser distinto de cero). Devuelve un uno un cerooctave:70> any(x) ans = 1any(A) se aplica por separado a cada columna de la matriz A. El resultado es un vector de unos y ceros all(x) funcin vectorial; chequea si todos los elementos del vector x cumplen una condicin. Devuelve un uno un cero.octave:71> any(a) ans =11Pg -38-Manual de Iniciacin a GNU Octaveall(A) se aplica por separado a cada columna de la matriz A. El resultado es un vector de unos y ceros.octave:74> all(a) ans =11find(x) busca ndices correspondientes a elementos de vectores que cumplen una determinada condicin. El resultado es un vector con los ndices de los elementos que cumplen la condicin.octave:82> x x =0.845250.672840.872060.57248octave:83> find(x>0) ans =1234find(A) cuando esta funcin se aplica a una matriz la considera como un vector con una columna detrs de otra, de la 1 a la ltima.Pg -39-Manual de Iniciacin a GNU Octave1.4. Otras funciones que actan sobre vectores y matricesLas siguientes funciones pueden actuar sobre vectores y matrices, y sirven para chequear ciertas condiciones: exist(var) comprueba si la variable var existe isnan() chequea si hay valores NaN, devolviendo una matriz de unos y cerosoctave:89> x=[1 2 3 4 0/0 6] warning: division by zero x =1234NaN6octave:90> isnan(x) ans =000010ans =isinf() chequea si hay valores Inf, devolviendo una matriz de unos y cerosoctave:91> isinf(x)000000ans =isfinite() chequea si los valores son finitosoctave:94> isfinite(x)111101 isempty() chequea si un vector o matriz est vaco ischar() chequea si una variable es una cadena de caracteres (string)octave:95> ischar(x) ans = 0isglobal() chequea si una variable es globaloctave:97> isglobal(y) ans = 0Pg -40-Manual de Iniciacin a GNU Octaveissparse() chequea si una matriz es dispersa (sparse, es decir, con un gran nmero de elementos cero)2. Otros tipos de datos de GNU OCTAVEEn los Captulos precedentes se ha visto la especialidad de GNU OCTAVE: trabajar con vectores y matrices. En este Captulo se va a ver que GNU OCTAVE puede tambin trabajar con otros tipos de datos: 1. Conjuntos o cadenas de caracteres, fundamentales en cualquier lenguaje de programacin. 2. Hipermatrices, o matrices de ms de dos dimensiones. 3. Estructuras, o agrupaciones bajo un mismo nombre de datos de naturaleza diferente. 4. Vectores o matrices de celdas (cell arrays), que son vectores o matrices cuyos elementos pueden ser cualquier otro tipo de dato.2.1. Cadenas de caracteresGNU OCTAVE trabaja tambin con cadenas de caracteres, con ciertas semejanzas y tambin diferencias respecto a C/C++. A continuacin se explica lo ms importante del manejo de cadenas de caracteres en GNU OCTAVE. Los caracteres de una cadena se almacenan en un vector, con un carcter por elemento. Cada carcter ocupa dos bytes. Las cadenas de caracteres van entre apstrofos o comillas simples, como por ejemplo: 'cadena'. Si la cadena debe contener comillas, stas se representan por un doble carcter comilla, de modo que se pueden distinguir fcilmente del principio y final de la cadena. Por ejemplo, para escribir la cadena ni idea se escribira niidea. Una matriz de caracteres es una matriz cuyos elementos son caracteres, o bien una matriz cuyas filas son cadenas de caracteres. Todas las filas de una matriz de caracteres deben tener el mismo nmero de elementos. Si es preciso, las cadenas (filas) ms cortas se completan con blancos. Las funciones ms importantes para manejo de cadenas de caracteres son las siguientes:Pg -41-Manual de Iniciacin a GNU Octave double(c) convierte en nmeros ASCII cada carcter char(v) convierte un vector de nmeros v en una cadena de caracteres char(c1,c2) crea una matriz de caracteres, completando con blancos las cadenas ms cortas deblank(c) elimina los blancos al final de una cadena de caracteres disp(c) imprime el texto contenido en la variable c ischar(c) detecta si una variable es una cadena de caracteres isletter() detecta si un carcter es una letra del alfabeto. Si se le pasa un vector o matriz de caracteres devuelve un vector o matriz de unos y ceros isspace() detecta si un carcter es un espacio en blanco. Si se le pasa un vector o matriz de caracteres devuelve un vector o matriz de unos y ceros strcmp(c1,c2) comparacin de cadenas. Si las cadenas son iguales devuelve un uno, y si no lo son, devuelve un cero (funciona de modo diferente que la correspondiente funcin de C) strcmpi(c1,c2) igual que strcmp(c1,c2), pero ignorando la diferencia entre maysculas y minsculas strncmp(c1,c2,n) compara los n primeros caracteres de dos cadenas c1==c2 compara dos cadenas carcter a carcter. Devuelve un vector o matriz de unos y ceros s=[s,' y ms'] concatena cadenas, aadiendo la segunda a continuacin de la primera findstr(c1,c2) devuelve un vector con las posiciones iniciales de todas las veces en que la cadena ms corta aparece en la ms larga num2str(x,n) convierte un nmero real x en su expresin por medio de una cadena de caracteres, con cuatro cifras decimales por defecto (pueden especificarse ms cifras, con un argumento opcional n) str2double(str) convierte una cadena de caracteres representando un nmero real en el nmero real correspondiente vc=cellstr(cc) convierte una matriz de caracteres strrep(c1,c2,c3) sustituye la cadena c2 por c3, cada vez que c2 es encontrada en c1Pg -42-Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:3> c=char('mas','madera') c =mas maderaoctave:4>a=[11,112,121,23];#podemoscrearloscaracteresconsunumero en ascii octave:5> b=char(a) b= py_ octave:6> char(11) ans=octave:7> char(112) ans = p octave:8> char(121) ans = y octave:9> char(23) ans = _ octave:10> double(b) ans =1111212123octave:11> c='espacios c = espacios octave:12> size(c) ans ='112octave:13> deblank(c)#deestemodopodemoseliminarlosespacios existentes en el string ans = espacios octave:14> size(ans) ans =18Pg -43-Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:15> strcmp(a,b) ans = 0 octave:16> strcmp(b,b) ans = 1 octave:17> acordarme' a = en un lugar de la mancha de cuyo nombre no puedo acordarme octave:18> b='n'; octave:19> findstr(a,b) ans = a='en un lugar de la mancha de cuyo nombre no puedo25213441octave:20> strmatch(a,b) ans = [](0x0) octave:21> strrep(a,b,'T') ans = eT uT lugar de la maTcha de cuyo Tombre To puedo acordarmePg -44-Manual de Iniciacin a GNU Octave2.2. Hipermatrices (arrays de ms de dos dimensiones)GNU OCTAVE permite trabajar con hipermatrices, es decir con matrices de ms de dos dimensiones. Una posible aplicacin es almacenar con un nico nombre distintas matrices del mismo tamao (resulta una hipermatriz de 3 dimensiones). Los elementos de una hipermatriz pueden ser nmeros, caracteres, estructuras, y vectores o matrices de celdas. El tercer subndice representa la tercera dimensin la profundidad de la hipermatriz.2.2.1. Definicin de HipermatricesLas funciones que operan con matrices de ms de dos dimensiones son anlogas a las funciones vistas previamente, aunque con algunas diferencias. Por ejemplo, las siguientes sentencias generan, en dos pasos, una matriz de 2x2x2:octave:25> rand(2,2,2) ans =ans(:,:,1) =0.31106 0.486940.70197 0.45170ans(:,:,2) =0.017063 0.2346820.261818 0.340703Pg -45-Manual de Iniciacin a GNU Octave2.3. EstructurasUna estructura (struct) es una agrupacin de datos de tipo diferente bajo un mismo nombre. Estos datos se llaman miembros (members) o campos (fields). Una estructura es un nuevo tipo de dato, del que luego se pueden crear muchas variables (objetos o instances). Por ejemplo, la estructura alumno puede contener los campos nombre (una cadena de caracteres) y carnet (un nmero).2.3.1 Creacin de EstructurasEn GNU OCTAVE la estructura alumno se crea creando un objeto de dicha estructura. A diferencia de otros lenguajes de programacin, no hace falta definir previamente el modelo o patrn de la estructura. Una posible forma de hacerlo es crear uno a uno los distintos campos, como en el ejemplo siguiente:octave:35> alumno.nombre='jose'; octave:36> alumno.apellido='escriche'; octave:37> alumno alumno = { apellido = escriche nombre = jose }Tambin puede crearse la estructura por medio de la funcin struct(), como por ejemplo,octave:38> alumno=struct('nombre','jose maria','dni',77335559) alumno = { dni = 77335559 nombre = jose maria }GNU Octave permite, adems, aadir un nuevo campo a una estructura en cualquier momento. La siguiente sentencia aade el campo edad a todos los elementos del vector alumno.Pg -46-Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:39> alumno.edad=23 alumno = { dni = 77334059 edad = 23 nombre = jose maria }Como hemos visto desde un inicio, GNU Octave trabaja con matrices, por lo tanto, todo lo que veamos para un elemento es extrapolable a una matriz, vector o conjunto de estos, por lo tanto, podemos hacer matrices de structs al igual que hemos hecho structs de vectores/matrices.2.3.2 Funciones para operar con EstructurasLas estructuras de GNU OCTAVE disponen de funciones que facilitan su uso. Algunas de estas funciones son las siguientes: isstruct(ST) permite saber si ST es o no una estructura fieldnames(struct) devuelve un array de celdas con el numero y nombre de los elementos de la estructura isfield (expr, nombre) nos dice si la structura posee un campo con el nombre indicado.Pg -47-Manual de Iniciacin a GNU Octave2.4. Vectores y matrices de CeldaUn vector (matriz o hipermatriz) de celdas es un vector (matriz o hipermatriz) cuyos elementos son cada uno de ellos una variable de tipo cualquiera. En un array ordinario todos sus elementos son nmeros o cadenas de caracteres. Sin embargo, en un array de celdas, el primer elemento puede ser un nmero; el segundo una matriz; el tercero una cadena de caracteres; el cuarto una estructura, etc.2.4.1 Creacin de vectores y matrices de CeldasObsrvese por ejemplo cmo se crea, utilizando llaves {}, el siguiente vector de celdas,octave:42> vc(1)={[1 1 2]} vc ={ [1,1] =112}octave:43> vc(2)={'jose maria'} vc ={ [1,1] =112[1,2] = jose maria }Pg -48-Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:44> vc(3)={rand(2,2)} vc ={ [1,1] =112[1,2] = jose maria [1,3] =0.39113 0.415010.97938 0.77790}Otra nomenclatura alternativa y similar, que tambin utiliza llaves, es la que podemos ver a continuacin.octave:45> v{1}=[1 2 1] v ={ [1,1] =121}Pg -49-Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:46> v{2}='escriche' v ={ [1,1] =121[1,2] = escriche }2.4.2 Funciones para trabajar con vectores y matrices de celdasGNU OCTAVE dispone de las siguientes funciones para trabajar con cell arrays: cell(m,n) crea un cell array vaco de m filas y n columnas celldisp(ca) muestra el contenido de todas las celdas de ca cellplot(ca) muestra una representacin grfica de las distintas celdas iscell(ca) indica si ca es un vector de celdas num2cell() convierte un array numrico en un cell arrayoctave:48> c=cell(2,2) c ={ [1,1] = [](0x0) [2,1] = [](0x0) [1,2] = [](0x0) [2,2] = [](0x0) }Pg -50-Manual de Iniciacin a GNU Octaveoctave:49> c{1,1}='jose maria' c ={ [1,1] = jose maria [2,1] = [](0x0) [1,2] = [](0x0) [2,2] = [](0x0) }octave:50> c{2,2}='azucar' c ={ [1,1] = jose maria [2,1] = [](0x0) [1,2] = [](0x0) [2,2] = azucar }Pg -51-Manual de Iniciacin a GNU Octave3. Programacin en GNU OctaveEste es uno de los puntos flojos de todo este tipo de herramientas de clculo numrico, ya que no existen grandes posibilidades de programacin, aunque s las formas de programacin bsicas.3.1. Bifurcaciones y buclesComo todo lenguaje de programacin, podemos encontrar bifurcaciones y bucles. Las bifurcaciones sirven para realizar una u otra operacin:Los bucles nos permiten realizar varias iteraciones de un mismo proceso, o sea, realizar una misma operacin sobre distintos elementos. Podemos encontrar varios tipos de bucles: while do-until forAdems de las sentencias break y continue utilizadas dentro de los bucles para salir del proceso.Pg -52-Manual de Iniciacin a GNU Octave3.1.1. Sentencia IFEsta sentencia nos sirve para hacer bifurcaciones, podemos hacer 3 usos diferentes de ella: Una sola sentencia que utilizamos si es verdadera y sino no hacemos nada:then-body endifif (condition)Utilizando la expresin else con la que conseguiremos hacer uso de una expresin u otra si es consecuentemente true o false.if (condition) then-body else else-body endifUtilizando la expression elseif con la que se pueden anidar bifurcaciones (aunque es mejor usar la sentencia switch)if (condition) then-body elseif (condition) elseif-body else #es la opcin por defecto cuando no se cumple ninguna condicin else-body endifPg -53-Manual de Iniciacin a GNU Octave Una observacin muy importante: la condicin del if puede ser una condicin matricial, del tipo A==B, donde A y B son matrices del mismo tamao. Para que se considere que la condicin se cumple, es necesario que sean iguales dos a dos todos los elementos de las matrices A y B. Basta que haya dos elementos diferentes para que las matrices no sean iguales, y por tanto las sentencias del if no se ejecuten. Anlogamente, una condicin en la forma A=B exige que todos los elementos sean diferentes dos a dos. Bastara que hubiera dos elementos iguales para que la condicin no se cumpliese. En resumen: if A==B exige que todos los elementos sean iguales dos a dos if A=B exige que todos los elementos sean diferentes dos a dos3.1.2. Sentencia SWITCHSe trata de una sentencia con la que podemos hacer una funcin similar a la concatenacin de sentencias elseif, de manera que simplifiquemos el modo de programar:switch expression case label command_list case label command_list ...otherwise #con este ltimo agregamos todas las posibilidades que no se#contemplan en los anteriores command_list endswitchAl principio se evala la expression, cuyo resultado debe ser un nmero escalar o una cadena de caracteres. Este resultado se compara con las label, y se ejecuta el bloque de sentencias que corresponda con ese resultado. Si ninguno es igual a expression se ejecutan las sentencias correspondientes a otherwise.Pg -54-Manual de Iniciacin a GNU Octave3.1.3. Sentencia FORRepite una serie de sentencias un nmero determinado de veces, sin importar los procesos que ocurran dentro, por lo que la nica manera de salir del bucle es esperar que acabe (ms adelante veremos la sentencia break).for var = expression body endforcuando var llega al valor expression el bucle se detiene.3.1.4. Sentencia DO-UNTILRepite una serie de sentencias hasta que la condicin until se hace true, momento en el que se detiene la ejecucin.do body until (condition)3.1.5. Sentencia WHILESimilar a DO-UNTIL salvo que la comprobacin de la condicin se hace antes de la ejecucin de la iteracin.while (condition) body endwhilePg -55-Manual de Iniciacin a GNU Octave3.1.6. Sentencia BREAK y CONTINUEAl igual que en C/C++/Java, la sentencia break hace que se termine la ejecucin del bucle ms interno de los que comprenden a dicha sentencia. La sentencia continue hace que automticamente se pare la ejecucin de la iteracin actual, por lo que vuelve al principio del bucle (slo sirve para el bucle FOR).3.2 Ficheros *.mLos ficheros con extensin (.m) son ficheros de texto sin formato (ficheros ASCII) que constituyen el centro de la programacin en GNU OCTAVE. Ya se han utilizado en varias ocasiones. Estos ficheros se crean y modifican con un editor de textos cualquiera. Existen dos tipos de ficheros *.m, los ficheros de comandos (llamados scripts en ingls) y las funciones. Los primeros contienen simplemente un conjunto de comandos que se ejecutan sucesivamente cuando se teclea el nombre del fichero en la lnea de comandos de GNU OCTAVE. Un fichero de comandos puede llamar a otros ficheros de comandos. Las funciones permiten definir funciones enteramente anlogas a las de GNU OCTAVE, con su nombre, sus argumentos y sus valores de retorno. Los ficheros *.m que definen funciones permiten extender las posibilidades de GNU OCTAVE. Las funciones definidas en ficheros *.m se caracterizan porque la primera lnea (que no sea un comentario) comienza por la palabra function, seguida por los valores de retorno (entre corchetes [ ] y separados por comas, si hay ms de uno), el signo igual (=) y el nombre de la funcin, seguido de los argumentos (entre parntesis y separados por comas). Recurdese que un fichero *.m puede llamar a otros ficheros *.m, e incluso puede llamarse a s mismo de forma recursiva. Los ficheros de comandos se pueden llamar tambin desde funciones, en cuyo caso las variables que se crean pertenecen a espacio de trabajo de la funcin. El espacio de trabajo de una funcin es independiente del espacio de trabajo base y del espacio de trabajo de las dems funciones. Esto implica por ejemplo que no puede haber colisiones entre nombres de variables aunque varias funciones tengan una variable llamada A, en realidad se trata de variables completamente distintas (a no ser que A haya sido declarada como variable global).Pg -56-Manual de Iniciacin a GNU Octave3.2.1 Ficheros de Comandos (SCRIPTS)Los ficheros de comandos o scripts son ficheros con un nombre tal como file1.m que contienen una sucesin de comandos anloga a la que se tecleara en el uso interactivo del programa. Dichos comandos se ejecutan sucesivamente cuando se teclea el nombre del fichero que los contiene (sin la extensin), es decir cuando se teclea file1 con el ejemplo considerado. Cuando se ejecuta desde la lnea de comandos, las variables creadas por file1 pertenecen al espacio de trabajo base de GNU OCTAVE. Por el contrario, si se ejecuta desde una funcin, las variables que crea pertenecen al espacio de trabajo de la funcin. En los ficheros de comandos conviene poner los puntos y coma (;) al final de cada sentencia, para evitar una salida de resultados demasiado cuantiosa. Un fichero *.m puede llamar a otros ficheros *.m, e incluso se puede llamar a s mismo de modo recursivo. El comando echo hace que se impriman los comandos que estn en un script a medida que van siendo ejecutados. Este comando tiene varias formas: echo on activa el echo en todos los ficheros script echo off desactiva el echo echo file on donde 'file' es el nombre de un fichero de funcin, activa el echo en esa funcin echo file off desactiva el echo en la funcin echo file pasa de on a off y viceversa echo on all activa el echo en todas las funciones echo off all desactiva el echo de todas las funciones Mencin especial merece el fichero de comandos octaverc. Este fichero se ejecuta cada vez que se entra en GNU OCTAVE. En l puede introducir todos aquellos comandos que le interesa se ejecuten siempre al iniciar la sesin, por ejemplo format compact y los comandos necesarios para modificar el path.Pg -57-Manual de Iniciacin a GNU Octave3.2.2 Definicin de FuncionesLa primera lnea de un fichero llamado name.m que define una funcin tiene la forma:function [lista de valores de retorno] = name(lista de argumentos)donde name es el nombre de la funcin. Entre corchetes y separados por comas van los valores de retorno (siempre que haya ms de uno), y entre parntesis tambin separados por comas los argumentos. Puede haber funciones sin valor de retorno y tambin sin argumentos. Recurdese que los argumentos son los datos de la funcin y los valores de retorno sus resultados. Si no hay valores de retorno se omiten los corchetes y el signo igual (=); si slo hay un valor de retorno no hace falta poner corchetes. Tampoco hace falta poner parntesis si no hay argumentos. Las variables definidas dentro de una funcin son variables locales, en el sentido de que son inaccesibles desde otras partes del programa y en el de que no interfieren con variables del mismo nombre definidas en otras funciones o partes del programa. Se puede decir que pertenecen al propio espacio de trabajo de la funcin y no son vistas desde otros espacios de trabajo. Para que la funcin tenga acceso a variables que no han sido pasadas como argumentos es necesario declarar dichas variables como variables globales, tanto en el programa principal como en las distintas funciones que deben acceder a su valor. Dentro de la funcin, los valores de retorno deben ser calculados en algn sitio. De todas formas, no hace falta calcular siempre todos los posibles valores de retorno de la funcin, sino slo los que el usuario espera obtener en la sentencia de llamada a la funcin. En cualquier funcin existen dos variables definidas de modo automtico llamadas nargin y nargout, que representan respectivamente el nmero de argumentos y el nmero de valores de retorno con los que la funcin ha sido llamada. Dentro de la funcin, estas variables pueden ser utilizadas como el programador desee ya que las variables en Octave son pasadas por valor. La ejecucin de una funcin termina cuando se llega a su ltima sentencia ejecutable. Si se quiere forzar el que una funcin termine de ejecutarse se puede utilizar la sentencia return, que devuelve inmediatamente el control al entorno de llamada.Pg -58-Manual de Iniciacin a GNU Octave3.2.3. HELP para las funciones de usuarioTambin las funciones creadas por el usuario pueden tener su help, anlogo al que tienen las propias funciones de GNU OCTAVE. Esto se consigue de la siguiente forma: las primeras lneas de comentarios de cada fichero de funcin son muy importantes, pues permiten construir un help sobre esa funcin. En otras palabras, cuando se teclea en la ventana de comandos de GNU OCTAVE:help mi_funcel programa responde escribiendo las primeras lneas del fichero mi_func.m que comienzan por el carcter #, es decir, que son comentarios.Pg -59-Manual de Iniciacin a GNU Octave4. Grficos bidimensionalesA estas alturas, despus de ver cmo funciona este programa, a nadie le puede resultar extrao que los grficos 2-D de GNU Octave estn fundamentalmente orientados a la representacin grfica de vectores (y matrices). En el caso ms sencillo los argumentos bsicos de la funcin plot van a ser vectores. Cuando una matriz aparezca como argumento, se considerar como un conjunto de vectores columna (en algunos casos tambin de vectores fila). GNU Octave utiliza un tipo especial de ventanas para realizar las operaciones grficas. Ciertos comandos abren una ventana nueva y otros dibujan sobre la ventana activa, bien sustituyendo lo que hubiera en ella, bien aadiendo nuevos elementos grficos a un dibujo anterior. Todo esto se ver con ms detalle en las siguientes secciones. Todo este sistema de grficos est implementado a partir de GNU Plot, por lo que si fuera necesario, siempre podramos llamar directamente a este programa en vez de dejar que sea Octave el que lo haga por nosotros.4.1 Funciones grficas 2D elementalesGNU Octave dispone de cuatro funciones bsicas para crear grficos 2-D. Estas funciones se diferencian principalmente por el tipo de escala que utilizan en los ejes de abscisas y de ordenadas. Estas cuatro funciones son las siguientes: plot() crea un grfico a partir de vectores y/o columnas de matrices,con escalas lineales sobre ambos ejes. loglog() semilogx() dem con escala logartmica en ambos ejes dem con escala lineal en el eje de ordenadas y logartmicaen el eje de abscisas semilogy() dem con escala lineal en el eje de abscisas y logartmicaen el eje de ordenadas En lo sucesivo se har referencia casi exclusiva a la primera de estas funciones (plot). Las dems se pueden utilizar de un modo muy similar.Pg -60-Manual de Iniciacin a GNU Octave Existen adems otras funciones orientadas a aadir ttulos al grfico, a cada uno de los ejes, a dibujar una cuadrcula auxiliar, a introducir texto, etc. Estas funciones son las siguientes: title('ttulo') xlabel('tal') aade un ttulo al dibujo. aade una etiqueta al eje de abscisas. Con xlabel off desaparece. ylabel('cual') aade una etiqueta al eje de ordenadas. Con ylabel off desaparece. text(x,y,'texto') introduce 'texto' en el lugar especificado por las coordenadas x e y. Si x e y son vectores, el texto se repite por cada par de elementos. Si texto es tambin un vector de cadenas de texto de la misma dimensin, cada elemento legend() grid se escribe en las coordenadascorrespondientes. define rtulos para las distintas lneas o ejes utilizados en la figura. Para ms detalle, consultar el Help. activa la inclusin de una cuadrcula en el dibujo. Con grid off desaparece la cuadrcula.Los dos grupos de funciones anteriores no actan de la misma forma. As, la funcin plot dibuja una nueva figura en la ventana activa (en todo momento GNU Octave tiene una ventana activa de entre todas las ventanas grficas abiertas), o abre una nueva figura si no hay ninguna abierta, sustituyendo cualquier cosa que hubiera dibujada anteriormente en esa ventana.Pg -61-Manual de Iniciacin a GNU OctaveAhora se deben ejecutar los comandos siguientes:octave:2> grid octave:3> x=0:0.1:10;y=sin(x); octave:4> plot(x,y)Ms adelante se ver que con la funcin hold pueden aadirse grficos a una figura ya existente respetando su contenido.Pg -62-Manual de Iniciacin a GNU Octave4.1.1 Funcin PLOTEsta es la funcin clave de todos los grficos 2-D en GNU Octave. Ya se ha dicho que el elemento bsico de los grficos bidimensionales es el vector. Se utilizan tambin cadenas de 1, 2 3 caracteres para indicar colores y tipos de lnea. La funcin plot(), en sus diversas variantes, no hace otra cosa que dibujar vectores. Un ejemplo muy sencillo de esta funcin, en el que se le pasa un nico vector como argumento, es el siguiente:octave:6> x=[1 3 2 4 5 3],plot(x) x =132453El resultado de este comando es que se abre una ventana. Por defecto, los distintos puntos del grfico se unen con una lnea continua. Tambin por defecto, el color que se utiliza para la primera lnea es el rojo. Cuando a la funcin plot() se le pasa un nico vector real como argumento, dicha funcin dibuja en ordenadas el valor de los n elementos del vector frente a los ndices 1, 2, ... n del mismo en abscisas. Ms adelante se ver que si el vector es complejo, el funcionamiento es bastante diferente.Pg -63-Manual de Iniciacin a GNU OctaveEn la pantalla de su ordenador se habr visto que GNU Octave utiliza por defecto color blanco para el fondo de la pantalla y otros colores ms oscuros para los ejes y las grficas. Una segunda forma de utilizar la funcin plot() es con dos vectores como argumentos. En este caso los elementos del segundo vector se representan en ordenadas frente a los valores del primero, que se representan en abscisas. Vase por ejemplo cmo se puede dibujar un cuadriltero de esta forma (obsrvese que para dibujar un polgono cerrado el ltimo punto debe coincidir con el primero):octave:8>x=[1 6 5 2 1]; y=[1 0 4 3 1]; octave:9>plot(x,y)La funcin plot() permite tambin dibujar mltiples curvas introduciendo varias parejas de vectores como argumentos. En este caso, cada uno de los segundos vectores se dibujan en ordenadas como funcin de los valores del primer vector de la pareja, que se representan en abscisas. Obsrvese bien cmo se dibujan el seno y el coseno en el siguiente ejemplo:octave:10> x=0:pi/25:6*pi; octave:11>y=sin(x); z=cos(x); octave:12>plot(x,y,x,z)Ahora se va a ver lo que pasa con los vectores complejos. Si se pasan a plot() arios vectores complejos como argumentos, GNU Octave simplemente representa las partes reales y desprecia las partes imaginarias.octave:12> a=rand(3,3)+rand(3,3)*i; octave:13> plot(a)Pg -64-Manual de Iniciacin a GNU OctaveComo ya se ha dicho, si se incluye ms de un vector complejo como argumento, se ignoran las partes imaginarias. Si se quiere dibujar varios vectores complejos, hay que separar explcitamente las partes reales e imaginarias de cada vector, como se acaba de hacer en el ltimo ejemplo. El comando plot puede utilizarse tambin con matrices como argumentos. Vanse algunos ejemplos sencillos: plot(A) dibuja una lnea por cada columna de A en ordenadas, frenteal ndice de los elementos en abscisas plot(x,A) dibuja las columnas (o filas) de A en ordenadas frente alvector x en abscisas. Las dimensiones de A y x deben ser coherentes: si la matriz A es cuadrada se dibujan las columnas, pero si no lo es y la dimensin de las filas coincide con la de x, se dibujan las filas plot(A,x) anlogo al anterior, pero dibujando las columnas (o filas) deA en abscisas, frente al valor de x en ordenadas plot(A,B) dibuja las columnas de B en ordenadas frente a las columnasde A en abscisas, dos a dos. Las dimensiones deben coincidir plot(A,B,C,D) anlogo al anterior para cada par de matrices. Las dimensiones de cada par deben coincidir, aunque pueden ser diferentes de las dimensiones de los dems pares. Se puede obtener una excelente y breve descripcin de la funcin plot() con el comando help plot. La descripcin que se acaba de presentar se completar en la siguiente seccin, en donde se ver cmo elegir los colores y los tipos de lnea.Pg -65-Manual de Iniciacin a GNU Octave4.1.2 Estilos de Lnea y Marcadores para PLOTEn la seccin anterior se ha visto cmo la tarea fundamental de la funcin plot() era dibujar los valores de un vector en ordenadas, frente a los valores de otro vector en abscisas. En el caso general esto exige que se pasen como argumentos un par de vectores. En realidad, el conjunto bsico de argumentos de esta funcin es una tripleta formada por dos vectores y una cadena de 1, 2 3 caracteres que indica el color y el tipo de lnea o de marcador. En la tabla siguiente se pueden observar las distintas posibilidades. Smbolo y m c r g b Color yellow magenta cyan r ed green blue x + * s Smbolo . o Marcadores puntos crculos marcas en x marcas en + marcas en * marcas cuadradas (square) w white d marcas endiamante (diamond) k black ^ tringulo apuntando arribaPg -66-Manual de Iniciacin a GNU Octave4.1.3 Aadir Lneas a un grfico ya existenteExiste la posibilidad de aadir lneas a un grfico ya existente, sin destruirlo o sin abrir una nueva ventana. Se utilizan para ello los comandos hold on y hold off. El primero de ellos hace que los grficos sucesivos respeten los que ya se han dibujado en la figura (es posible que haya que modificar la escala de los ejes); el comando hold off deshace el efecto de hold on. El siguiente ejemplo muestra cmo se aaden las grficas de x2 y x3 a la grfica de x previamente creada (cada una con un tipo de lnea diferente):octave:16> closeplot octave:17> x1=rand(100,1); octave:18> x2=1+0.8*cos(0:0.1:10); octave:19> plot(x1) octave:20> hold on octave:21> plot(x2) octave:22> print('plot4.png','-dpng')Pg -67-Manual de Iniciacin a GNU Octave4.1.4 Comando SUBPLOTUna ventana grfica se puede dividir en m particiones horizontales y n verticales, con objeto de representar mltiples grficos en ella. Cada una de estas subventanas tiene sus propios ejes, aunque otras propiedades son comunes a toda la figura. La forma general de este comando es:subplot(m,n,i)donde m y n son el nmero de subdivisiones en filas y columnas, e i es la subdivisin que se convierte en activa. Las subdivisiones se numeran consecutivamente empezando por las de la primera fila, siguiendo por las de la segunda, etc. Por ejemplo, la siguiente secuencia de comandos genera cuatro grficos en la misma ventana:octave:23> x=0:0.01:10;y=sin(x); z=cos(x); w=exp(-x*.1).*y; v=y.*z; octave:24> subplot(2,2,1), plot(x,y) octave:25> subplot(2,2,2), plot(x,z) octave:26> subplot(2,2,3), plot(x,w) octave:27> subplot(2,2,4), plot(x,v)Se puede practicar con este ejemplo aadiendo ttulos a cada grfica, as como rtulos para los ejes. Se puede intentar tambin cambiar los tipos de lnea.4.1.5 Control de los EjesTambin en este punto GNU Octave tiene sus opciones por defecto, que en algunas ocasiones puede interesar cambiar. El comando bsico es el comando axis. Por defecto, GNU Octave ajusta la escala de cada uno de los ejes de modo que vare entre el mnimo y el mximo valor de los vectores a representar. Este es el llamado modo "auto", o modo automtico. Para definir de modo explcito los valores mximo y mnimo segn cada eje, se utiliza el comando:axis([xmin, xmax, ymin, ymax])mientras que :axis(auto)devuelve el escalado de los ejes al valor por defecto o automtico.Pg -68-Manual de Iniciacin a GNU Octave4.2 Control de ventanas grficas: Funcin figureSi se llama a la funcin figure sin argumentos, se crea una nueva ventana grfica con el nmero consecutivo que le corresponda. El valor de retorno es dicho nmero. Por otra parte, el comando figure(n) hace que la ventana n pase a ser la ventana o figura activa. Si dicha ventana no existe, se crea una nueva ventana con el nmero consecutivo que le corresponda (que se puede obtener como valor de retorno del comando). La funcin close cierra la figura activa, mientras que close(n) cierra la ventana o figura nmero n. Para practicar un poco con todo lo que se acaba de explicar, ejectense las siguientes instrucciones de GNU Octave, observando con cuidado los efectos de cada una de ellas en la ventana activa.octave:41> plot(x,sin(x),'r',x,cos(x),'g') octave:42> title('Funcin seno(x) -en rojo- y funcin coseno(x) -en verde-') octave:43> xlabel('ngulo en radianes') octave:43> ylabel('valor de la funcin trigonomtrica') octave:44> axis([-12,12,-1.5,1.5])Pg -69-Manual de Iniciacin a GNU Octave4.3 Otras funciones grficas 2-DExisten otras funciones grficas bidimensionales orientadas a generar otro tipo de grficos distintos de los que produce la funcin plot() y sus anlogas. Algunas de estas funciones son las siguientes (para ms informacin sobre cada una de ellas en particular, utilizar help nombre_funcin): bar() barh() bar3() bar3h() pie() pie3() area() stairs() errorbar() crea diagramas de barras diagramas de barras horizontales diagramas de barras con aspecto 3-D diagramas de barras horizontales con aspecto 3-D grficos con forma de tarta grficos con forma de tarta y aspecto 3-D similar plot(), pero rellenando en ordenadas de 0 a y funcin anloga a bar() sin lneas internas representa sobre una grfica mediante barras valores de errores. compass() dibuja los elementos de un vector complejo como un conjunto de vectores partiendo de un origen comn feather() dibuja los elementos de un vector complejo como un conjunto de vectores partiendo de orgenesuniformemente espaciados sobre el eje de abscisas. hist() dibuja histogramas de un vectorA modo de ejemplo, genrese un vector de valores aleatorios entre 0 y 10, y ejectense los siguientes comandos:octave:53> x=[rand(1,100)*10]; octave:69> plot(x,'m') octave:71> bar(x)Pg -70-Manual de Iniciacin a GNU OctavePg -71-Manual de Iniciacin a GNU Octave5. Grficos tridimensionalesQuizs sea sta una de las caractersticas de GNU OCTAVE que ms admiracin despierta entre los usuarios no tcnicos (cualquier alumno de ingeniera sabe que hay ciertas operaciones algebraicas como la descomposicin de valor singular, sin ir ms lejos, que tienen dificultades muy superiores, aunque "luzcan" menos).5.1 Tipos de funciones grficas tridimensionalesGNU Octave tiene posibilidades de realizar varios tipos de grficos 3D. Para darse una idea de ello, lo mejor es verlo en la pantalla cuanto antes, aunque haya que dejar las explicaciones detalladas para un poco ms adelante. La primera forma de grfico 3D es la funcin plot3, que es el anlogo tridimensional de la funcin plot. Esta funcin dibuja puntos cuyas coordenadas estn contenidas en 3 vectores, bien unindolos mediante una lnea continua (defecto), bien mediante markers. Asegrese de que no hay ninguna ventana grfica abierta y ejecute el siguiente comando que dibuja una lnea espiral:octave:1> fi=[0:pi/20:6*pi]; plot3(cos(fi),sin(fi),fi,'g')Ahora se ver cmo se representa una funcin de dos variables. Para ello se va a definir una funcin de este tipo en un fichero llamado test3d.m. La frmula ser la siguiente: Pg -72-Manual de Iniciacin a GNU Octavefunction z=test3d(x,y) z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ... - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ... 1/3*exp(-(x+1).^2 y.^2);Ahora, ejectese la siguiente lista de comandos (directamente, o mejor creando un fichero test3dFC.m que los contenga):x=[-3:0.4:3]; y=x; closeplot figure(),fi=[0:pi/20:6*pi]; plot3(cos(fi),sin(fi),fi,'r') [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=test3d(X,Y); figure(), mesh(Z)Estos son unos ejemplos de las posibilidades que GNU Octave ofrece para el uso de grficos 3-D.Pg -73-Manual de Iniciacin a GNU Octave5.1.1 Dibujo de lneas: Funcin PLOT3La funcin plot3 es anloga a su homloga bidimensional plot. Su forma ms sencilla es la siguiente:octave:81>plot3(x,y,z)que dibuja una lnea que une los puntos (x(1), y(1), z(1)), (x(2), y(2), z(2)), etc. Y la proyecta sobre un plano para poderla representar en la pantalla. Al igual que en el caso plano, se puede incluir una cadena de 1, 2 3 caracteres para determinar el color, los markers, y el tipo de lnea:octave:82>plot3(x,y,z,s)Tambin se pueden utilizar tres matrices X, Y y Z del mismo tamao:octave:83>plot3(X,Y,Z)en cuyo caso se dibujan tantas lneas como columnas tienen estas 3 matrices, cada una de las cuales est definida por las 3 columnas homlogas de dichas matrices. A continuacin se va a realizar un ejemplo sencillo consistente en dibujar un cubo. Para ello se crear una matriz que contenga las aristas correspondientes, definidas mediante los vrtices del cubo como una lnea poligonal continua (obsrvese que algunas aristas se dibujan dos veces). La matriz A cuyas columnas son las coordenadas de los vrtices, y cuyas filas son las coordenadas x, y y z de los mismos:octave:86>A=[0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0];Ahora basta ejecutar los comandos siguientes (el trasponer los vectores en este caso es opcional):octave:87>plot3(A(1,:)',A(2,:)',A(3,:)')Pg -74-Manual de Iniciacin a GNU Octave5.1.2 Dibujo de mallados: Funciones MESHGRID, MESH Y SURFAhora se ver con detalle cmo se puede dibujar una funcin de dos variables (z=f(x,y)) sobre un dominio rectangular. Se ver que tambin se pueden dibujar los elementos de una matriz como funcin de los dos ndices. Sean x e y dos vectores que contienen las coordenadas en una y otra direccin de la retcula (grid) sobre la que se va a dibujar la funcin. Despus hay que crear dos matrices X (cuyas filas son copias de x) e Y (cuyas columnas son copias de y). Estas matrices se crean con la funcin meshgrid. Estas matrices representan respectivamente las coordenadas x e y de todos los puntos de la retcula. La matriz de valores Z se calcula a partir de las matrices de coordenadas X e Y. Finalmente hay que dibujar esta matriz Z con la funcin mesh, cuyos elementos son funcin elemento a elemento de los elementos de X e Y. Vase como ejemplo el dibujo de la funcin sen(r)/r (siendo r=sqrt(x2+y2); para evitar dividir por 0 se suma al denominador el nmero pequeo eps). Para distinguirla de la funcin test3d anterior se utilizar u y v en lugar de x e y. Crese un fichero llamado sombrero.m que contenga las siguientes lneas:closeplot u=-8:0.5:8; v=u; [U,V]=meshgrid(u,v); R=sqrt(U.^2+V.^2)+eps;Pg -75-Manual de Iniciacin a GNU OctaveW=sin(R)./R; mesh(W)Se habr podido comprobar que la funcin mesh dibuja en perspectiva una funcin en base a una retcula de lneas de colores, rodeando cuadrilteros del color de fondo, con eliminacin de lneas ocultas. Ejectese ahora el comando:octave:91> surf(W)En vez de lneas aparece ahora una superficie faceteada (aunque no es fcilmente visible, pero de manera terica es as). El color de las facetas depende tambin del valor de la funcin.Pg -76-Manual de Iniciacin a GNU Octave5.1.3 Dibujo de lneas de contorno: Funcin CONTOURUna forma distinta de representar funciones tridimensionales es por medio de isolneas o curvas de nivel. A continuacin se ver cmo se puede utilizar estas representaciones con las matrices de datos Z y W que se han calculado previamente:octave:3>contour(Z,20) octave:5>contour(W,20)donde "20" representa el nmero de lneas de nivel. Si no se pone se utiliza un nmero por defecto. Otras posibles formas de estas funciones son las siguientes: contour(Z, val) siendo val un vector de valores para las isolneas a dibujar. contour(u,v,W,20) se utilizan u y v para dar valores a los ejes de coordenadas.Pg -77-Manual de Iniciacin a GNU Octave5.2. Elementos Generales: Ejes, Puntos de vista, lneas ocultas,Las funciones surf y mesh dibujan funciones tridimensionales en perspectiva. La localizacin del punto de vista o direccin de observacin se puede hacer mediante la funcin view, que tiene la siguiente forma:view(azimut, elev)donde azimut es el ngulo de rotacin de un plano horizontal, medido sobre el eje z a partir del eje x en sentido antihorario, y elev es el ngulo de elevacin respecto al plano (x-y). Ambos ngulos se miden en grados, y pueden tomar valores positivos y negativos. Tambin se puede definir la direccin del punto de vista mediante las tres coordenadas cartesianas de un vector (slo se tiene en cuenta la direccin):view([xd,yd,zd])En los grficos tridimensionales existen funciones para controlar los ejes, por ejemplo:axis([xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax])Tambin se pueden utilizar las funciones siguientes: xlabel, ylabel, zlabel, axis(auto), axis(axis), etc. Las funciones mesh y surf disponen de un algoritmo de eliminacin de lneas ocultas (los polgonos o facetas, no dejan ver las lneas que estn detrs). El comando hidden activa y desactiva la eliminacin de lneas ocultas. En el dibujo de funciones tridimensionales, a veces tambin son tiles los NaNs. Cuando una parte de los elementos de la matriz de valores Z son NaNs, esa parte de la superficie no se dibuja, permitiendo ver el resto de la superficie.Pg -78-Manual de Iniciacin a GNU Octave6. Otros aspectos de GNU Octave6.1 Guardar variables y estados de una sesin: Comandos save y loadEn muchas ocasiones puede resultar interesante interrumpir el trabajo con GNU Octave y poderlo recuperar ms tarde en el mismo punto en el que se dej (con las mismas variables definidas, con los mismos resultados intermedios, etc.). Hay que tener en cuenta que al salir del programa todo el contenido de la memoria se borra automticamente. Para guardar el estado de una sesin de trabajo en el directorio actual existe el comando save. Si se teclea:octave:2>saveantes de abandonar el programa, se crea un fichero binario con el estado de la sesin (excepto los grficos, que por ocupar mucha memoria hay que guardar aparte). Dicho estado puede recuperarse la siguiente vez que se arranque el programa con el comando:octave:3>loadEsta es la forma ms bsica de los comandos save y load. Se pueden guardar tambin matrices y vectores de forma selectiva y en ficheros con nombre especificado por el usuario. Por ejemplo, el comando:octave:4>save filename A, x, yguarda las variables A, x e y en un fichero binario llamado filename. Para recuperarlas en otra sesin basta teclear:octave:5>load filenamePg -79-Manual de Iniciacin a GNU Octave Si no se indica ningn nombre de variable, se guardan todas las variables creadas en esa sesin. El comando save permite guardar el estado de la sesin en formato ASCII utilizndolo de la siguiente forma:octave:6>save octave:7>save octave:8>save binario octave:9>save -ascii #guarda en formato compatible con matlab text #guarda en formato texto mat-binary #guarda en formato compatible con matlab en hdf5 #guarda en formato hdf5Cuando se recuperan estos ficheros con load tipo la informacin se recupera, hay que tener cuidado si guardamos en ascii o en text dado que la informacin recuperada se hace en una sola matriz.Pg -80-Manual de Iniciacin a GNU Octave6.2 Guardar sesin: Comando diaryLos comandos save y load crean ficheros binarios o ASCII con el estado de la sesin. Existe otra forma ms sencilla de almacenar en un fichero un texto que describa lo que el programa va haciendo. El comando diary nos permite guardar el proceso de trabajo en un archivo de tipo texto:octave:32>diary filename6.3 Medida de tiempos y de esfuerzo de clculoGNU Octave dispone tambin de funciones que permiten calcular el tiempo empleado en las operaciones matemticas realizadas. Algunas de estas funciones son las siguientes: cputime devuelve el tiempo de CPU (con precisin de centsimas de segundo) desde que el programa arranc. Llamando antes y despus de realizar una operacin y restando los valores devueltos, se puede saber el tiempo de CPU empleado en esa operacin. Este tiempo sigue corriendo aunque GNU Octave est inactivo. etime(t2, t1) tiempo transcurrido entre los vectores t1 y t2 (atencin al orden!), obtenidos como respuesta al comando clock. tic operacioness toc imprime el tiempo en segundos requerido por ops. El comando tic pone el reloj a cero y toc obtiene el tiempo transcurrido.Pg -81-Manual de Iniciacin a GNU Octave6.4. Funciones de funcinEn GNU Octave existen funciones a las que hay que pasar como argumento el nombre de otras funciones, para que puedan ser llamadas desde dicha funcin. As sucede por ejemplo si se desea calcular la integral definida de una funcin, resolver una ecuacin no lineal, o integrar numricamente una ecuacin diferencial ordinaria (problema de valor inicial). Estos sern los tres casos de gran importancia prctica que se van a ver a continuacin. Se comenzar por medio de un ejemplo, utilizando una funcin llamada prueba que se va a definir en un fichero llamado prueba.mfunction y=prueba(x) y = 1./((x-.3).^2+.01)+1./((x-.9).^2+.04)-6;6.4.1 Integracin numrica de funcionesLo primero que se va a hacer es calcular la integral definida de esta funcin entre dos valores de la abscisa x. En ingls, al clculo numrico de integrales definidas se le llama quadrature. Sabiendo eso, no resulta extrao el comando con el cual se calcula el rea comprendida bajo la funcin entre los puntos 0 y 1 (obsrvese que el nombre de la funcin a integrar se pasa entre apstrofos, como cadena de caracteres):octave:45>area = quad('prueba', 0, 1) area = 29.8583Si se teclea help quad se puede obtener ms de informacin sobre esta funcin.Pg -82-Manual de Iniciacin a GNU Octave6.4.2 OrdinariasIntegracinNumricadeEcuacionesDiferencialesGNU Octave dispone de varias funciones capaces de realizar la integracin de ecuaciones diferenciales; si hacemos uso del fichero tiropar.m:function deriv=tiropar(t,y) fac=-(0.001/1.0)*sqrt((y(1)^2+y(2)^2)); deriv=zeros(4,1); deriv(1)=fac*y(1); deriv(2)=fac*y(2)-9.8; deriv(3)=y(1); deriv(4)=y(2); enddonde se han supuesto unas constantes con los valores de c=0.001, m=1 y g=9.8. Falta fijar los valores iniciales de posicin y velocidad. Se supondr que el proyectil parte del origen con una velocidad de 100 m/seg y con un ngulo de 30, lo que conduce a los valores iniciales siguientes: u(0)=100*cos(pi/6), v(0)=100*sin(pi/6), x(0)=0, y(0)=0. Los comandos para realizar la integracin son los siguientes (se podran agrupar en un fichero llamado tiroparMain.m):t0=0; tf=9; y0=[100*cos(pi/6) 100*sin(pi/6) 0 0]'; [t,Y]=ode23('tiropar',[t0,tf],y0); plot(t,Y(:,4)) # dibujo de la altura en funcion del tiempopodemos encontrar varios tipos de funciones que resuelven ecuaciones diferenciales: ode23 : resuelve ecuaciones diferenciales de 2 y 3er orden ode45 : resuelve ecuaciones diferenciales de 4 y 5 orden ode78 : resuelve ecuaciones diferenciales usando frmulas de 7 ordenPg -83-GNUFreeDocumentationLicenseGNUFreeDocumentationLicense Version1.2,November2002 Copyright(C)2000,2001,2002FreeSoftwareFoundation,Inc. 51FranklinSt,FifthFloor,Boston,MA021101301USA Everyoneispermittedtocopyanddistributeverbatimcopies ofthislicensedocument,butchangingitisnotallowed. 0.PREAMBLE ThepurposeofthisLicenseistomakeamanual,textbook,orotherfunctionalandusefuldocument "free"inthesenseoffreedom:toassureeveryonetheeffectivefreedomtocopyandredistributeit, withorwithoutmodifyingit,eithercommerciallyornoncommercially. Secondarily,thisLicensepreservesfortheauthorandpublisherawaytogetcreditfortheirwork, whilenotbeingconsideredresponsibleformodificationsmadebyothers. ThisLicenseisakindof"copyleft",whichmeansthatderivativeworksofthedocumentmust themselvesbefreeinthesamesense.ItcomplementstheGNUGeneralPublicLicense,whichisa copyleftlicensedesignedforfreesoftware. WehavedesignedthisLicenseinordertouseitformanualsforfreesoftware,becausefreesoftware needsfreedocumentation:afreeprogramshouldcomewithmanualsprovidingthesamefreedoms thatthesoftwaredoes.ButthisLicenseisnotlimitedtosoftwaremanuals;itcanbeusedforany textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommendthisLicenseprincipallyforworkswhosepurposeisinstructionorreference. 1.APPLICABILITYANDDEFINITIONS ThisLicenseappliestoanymanualorotherwork,inanymedium,thatcontainsanoticeplacedby thecopyrightholdersayingitcanbedistributedunderthetermsofthisLicense. Suchanotice grants a worldwide, royaltyfree license, unlimited in duration, to use that work under the conditionsstatedherein.The"Document",below,referstoanysuchmanualorwork.Anymember ofthepublicisalicensee,andisaddressedas"you".Youacceptthelicenseifyoucopy,modifyor distributetheworkinawayrequiringpermissionundercopyrightlaw. A"ModifiedVersion"oftheDocumentmeansanyworkcontainingtheDocumentoraportionofit, eithercopiedverbatim,orwithmodificationsand/ortranslatedintoanotherlanguage. A"SecondarySection"isanamedappendixorafrontmattersectionoftheDocumentthatdeals exclusivelywiththerelationshipofthepublishersorauthorsoftheDocumenttotheDocument's overallsubject(ortorelatedmatters)andcontainsnothingthatcouldfalldirectlywithinthatoverallsubject.(Thus,iftheDocumentisinpartatextbookofmathematics,aSecondarySectionmaynot explainanymathematics.) Therelationshipcouldbeamatterofhistoricalconnectionwiththe subjectorwithrelatedmatters,oroflegal,commercial,philosophical,ethicalorpoliticalposition regardingthem. The"InvariantSections"arecertainSecondarySectionswhosetitlesaredesignated,asbeingthose ofInvariantSections,inthenoticethatsaysthattheDocumentisreleasedunderthisLicen