154
MineSight ® for Modelers Geostatistics Workbook E005 Rev. B

Manual Mine Sight Geoestadistica

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Manual Mine Sight Geoestadistica

����������

��� �����

�����������������

���������

Page 2: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������������� ���������������

������������ � �! ����"�#���"$�������"�%& �������� � #�"�%� �����"� ������ ��� !������ &��"�����&��� ������& ��� � ���"����& �������#�"�"�"#����� �"�����"��"�� �'�� ��'���"%��'���� �# �&����"�$�"&�����������

����� �&��& ��" ����������"�%& ������� �("'��"� ���� &�(��"��� ���� � ����� &�(��"$��� ���� �# �)��! ��"&#� ���! �� �##�"#��� ����� ��$� ��

�� *����������� ���� � ����� &�(�"$������������

�+%�� ������� ���� � ����� &�(�"$�� � ���,���-��

Page 3: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������ ��������

��������������� �� ��!�"#

������������� �������������������

��������������

������������������� ���������������� ���������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��

"���������������#�����������������$����������� �%���&�����������������������������������'��

(��&������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)��

��������*��������+������(������� �������������������,�-������.����������/��

(�&����������*��������0&���������������������������������������������������������������������������������1��

"���������������#������������������$�%��� ���������������#��������"��� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2��

��������������#��������0��������������������������������������������������������������������������3��

��������&���������������������������������������������������������������������������������������������������������4��

5&����$,�������������,�����������������������������������������������������������������������������������������6��

�������$��&**��������������������������������������������������������������������������������������������������������

�&�����0��������-���������������������������������������������������������������������������������������������!��

����������-����������($�����������7�&����,�8�������&��$$�������������������������'��

&��*������������-����������������������������������������������������������������������������������������������)��

�����9���-�����������*�������������������������������������������������������������������������/��

Page 4: Manual Mine Sight Geoestadistica

������ �������� ������������ ��������� �����������

�� � �!�"$ ���������������

Page 5: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �����������������������

������������ �! ���������"#

�������������������������� ��� �

���������������� ���������� ��������������� ������������������������������������������� ������������� ������������� ������������������������ ����������������������� �������������������� ���� �� ���������� ���������

���������������� �����

����������������������������������������������������������������������� ����������������������������� ����������� ���������������������������������� ��� �� ������������������ ���������������������������� ��������������������������������� �������������

�� ���������� ��� ���������� ��������� �������������������������� ��������������������� � ��������������� ����� � �����������������!������� �� �"��� ���� ����� ��������������������� �� ������� ��� ���� �� ������� ����������������������#������������������������ ��������������������������� �������������� ���������������������� ������$��������� � �������������������� �� ����������� � �������������������������� ���� ������������� �� ����������� �

������������� �������������������������� ������������� �������� �������������������� ����� �������������������� ����������������������������������� � ������������������������������ ������� ����� ������� ���������������������� ��%���������������������������� ������� � ��������� ������������ ������������� ������������������������������� �������������������

�����������������

���� � ����������� �������� ����������� ������ ����������������� �������� ������������� �� ��������������������� �� ��� ��������� � ������������������������������������������������������ ����������� ��

������������

���������������� ������ ������� ��������� ���������������������� �&

������'��� ���������� ������������ ������

�����������'���������������� ������������������ ���� ��

�����������'���� ���������� ������������ ������

�����'������������ ����������������������������� ������

����������'������������ ������������ ��������� ������������������ ���������

������'��� ��������� �����������������������

�������� ���������

Page 6: Manual Mine Sight Geoestadistica

����������������������� ������������ ��������� �����������

���� �����"$ ������������ �!

������������������������� ������������� ������ ��������������������� &

������������������������������������'���������������� �(���)������������ ����������������*������������ +�������� ����� �������������,������� ��������������������������������������������������� �����������*-����������.+�

�����������'��������������������������������������/��������� �(��)���������������������������������������������� ������������������������������

������������������0������ ���������������� �������������������������

����������������������

�����!!�����'�������������"���������������������������������� ��������������������������� ����� ����$���������������� �������

����!������'�������������"����������������� ������������������� ������������

� ������%�������&�����'����(���������������)*

� ������%������(+",�-.��!/.�.�0*�

"������'���������������� ���������������� �������������������������������� ��

���������� ��������

#���$����������������!�� �� ���������� ����������� ���������������������� ����������������1���������������� ���23456�783'9:8;��������'����������<���������

Page 7: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �����������������

�������������� �������� !

������������� ��������������������� ����

��������������� ����������������������������������

������������������������������������������� �����

!������� �������������������� ������������

"����������������� ����� �������

��� ������������ �

���� ������������ ����������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ������������ �������������������������������������������������������#�������������������������� ��������������������$�����%��������������������������� ������������ ���������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ��

���� ������� ������ ����

&������������������������������������������� ��'����������������(�������������������������������������������������������� ���������������� ��� �������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������&���������������������������������������������� �������� ��'����������������������������� �������������������������������������������������������������������)*&��������������� �����

������������ ������ ����

�������������������������������������������� �������������������������������������������������+������ ����������������������������������#����������������������������$���������*���*���������������,������������������������������� ����������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������� ��������� ��������������������������)*&��������������������� �����������������%����������������������� ����������������� ��������

������� �������� ����

"�� ������������������������������#�����������������������$���������������#�������������$����������������������������������������������������"�� ����������������������������������� ����������������������������������������� ������"�� ������������������������ �������������������������������������������� ��������� ��������������������������)*&��"�� ������������ �����������������%�� ���������� ������������������������

������������� ����

����������� �������� �������������� ���������������� �������������������������� ������)*&�������������#)&!�$�������������������������������������� ������������� �� ������� ���������������*��������� ���������������������������#- �$��������������������� �������������������������������(������������������������������� ������������� ���������������������������������������������������� ���������������(���)&!��������� �������������������������������������������������������

Page 8: Manual Mine Sight Geoestadistica

����������������� ������������ ��������� �����������

���� ���� " ���������������

���������- ����������������������������������������������������������������������������.�������������������������������������������������������

�� ������������������)&!������������������������������������������������ ��� ��� ���������������������������������� ��������.����- ������������� ������������������������������+�������/�������������������+������ �������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������-������������� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������� �����)*&��� ����������������������������������������������������-������������������������������������� �������������+������������0�����������������������������������/���������������������������������������� ���������������������������� ���������� ���������������������������� ���������������������������)*&������������������������ ����+������������� ������������� ����������� �������

����������� ����� �� ��� �� ����� ���

����������������������������������������������������)*&������������������������������������������������1�����*-��������������+�������������������� �������������������������������������������� �������2�������������������+������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ���������� ���/��������� ��� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������� ������������������������)*&������������������������������������������������������������������������� �� ��� ���������������������������������������������������

�� �������

����3���&���������������������������������������������� ������������������ �� ������������������������� �������������������� ����������������� ��� ���������������������������� �������������������������������������������������3������������������� �������� ������������������������ ����������� ��� ��������������������������������)*&��4����������������� ������������������������� ����������������������������������������������� ��������������������

����!� ���������!����

��������� ���� ��������������������� ����������������������*����� ������������ ��� ���������������#��� ����$���������������� ����������������� ������ ������������������� ��� ���������������� ���������� �������������������� ����������� �����������������������.��������� ������������������������� ��������������

� "�������������� ���������� ������������������ ���������������������� ������������������ �������������������������

� 3�� ������������*��* ���������� ������� �

� "����������������������������������������������������������������

� 5������������������ ��������������������+�������������� ����

Page 9: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �����������������

�������������� �������� #

�����������"�� ��#!���������� ���������

���� ��������������������������� ���� ������������� ��������������������������������������������� ��������������������� ��������5��� ��������������������������������������������������������������������������� ��������6��������������������������������� ������������������� ����������������������������������������� ������������������������������������������������%������������ ��������������6��������������������������������������������� ������������������������������������� �����"�� ���������������������������� ����7�������������� ���������������������������������(� ��������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� ���������������(�������������������%������������������ ������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����)*&��� �������������� ���������������*����������������������������������������*��*����������������������������"�&������������ ����������������������������������������������

������������� ������

�������������������������������������������������������������������� ��'�������������������������������������������������� ������������� ��������������������� ������� �� �������*��������������������������������������������������������� ����� ���������������������������������������������������������������� ����������������

Page 10: Manual Mine Sight Geoestadistica

��$���%&'�(��(��) ������������ ��������� �����������

���� ���� *

���������������� �

���

���������������������������������� �������������������������� ��� ��������� ����������� ������������ ������������������ � �����!���������������������

������������������ �������������������"�����#������ ��� ��������� �������������������������������� ��������� ������������������ ����� �����!���������������������

�� �����������������������������������������������#��� ���������� ��� �� ��$� ������������������ ������������ ��������� ������������ ����� �����!����%������ ���� ��������

��������������

������������������ ��������� �����!���

��������� �����������&�����������'������������&��������������&������������� ��$� ����&��������������� ���������� ��������� ������ ��$� ������ �������� �� ��$� � �����!

��� � ����������� �

�����������#���������

����������������� ����������������� ���������

����(��))*���$�+

Page 11: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �����������������

�������������� �������� �

����������� �����������������

����������� �8�����������������������������������9����������������������������������������

�������������� ��::��������������� ������������� �;<=�<>;������������� �������� �>�?>:������������� ������������� ��::������� ���������� ������� ��������������������������#��������������������������+�����$

������� ��� ;<=�<>;������������� �������

� >�?>:���� ������� ������������

� ::������� ������ ������������

� ����� ������ �������������������#��������������������������+�����$

$�������������� )*&����������������������?@@@����������?@@@���������=@@��������

� �-��������������������������?@@@����������?@@@���������<@@�����

� ::������� ��������

� ����� ����������������������#��������������������������+�����$

���� ��������� ��� �� �=�@@@� ����� ��������*�������� �������������

� �<@�@@@���������#�����������������������$� ��� ���

� �?@@�@@@� ������ ��� ���

� �::��������������������������� ��� �����������+�����+������������

� ������ ���������������

� 3���/ ����������#.�����������A1�����*-������� ������$

� �B@@��������B@@���������+�������#�����C���������D�)B@@@@$

� ������ ������������������

#�������� �<@��������������

� �<@���������������������������������

� �?@�����������

� ������ �����������������������

������%�����&����� ���� ����������������������!����� �<�@@@�@@@���������������������������#������������������������������� ���

�������������������� ��������������$� �2����������������������������

� �)@������� ��������

Page 12: Manual Mine Sight Geoestadistica

����������������� ������������ ��������� �����������

���� ���� + ���������������

���������'��� �����

� ;<=�<>;����������� ��������������������.����?<

� >�?>:����������� ��������������������.����?<

� =�?:=�)@?����������� ��������������% �����������.����?<

� �?�@<?����������� ��������������% �����������.����?<

� �::������� �����������

� ������ �������������������������#��������������������������+�����$

Page 13: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 1

Introduction to Geostatistics

Objective: To make you familiar with the basic concepts of statistics, and the geostatistical tools available to solve problems in geology and mining of an ore deposit

Classical Statistics

• Sample values are realizations of a random variable

• Samples are considered independent• Relative positions of the samples are

ignored• Does not make use of the spatial

correlation of samples

Geostatistics

• Sample values are realizations of random functions

• Samples are considered spatially correlated

• Value of a sample is a function of its position in the mineralization of the deposit

• Relative position of the samples is taken under consideration.

Topics

• Basic Statistics• Data Analysis and Display• Analysis of Spatial Continuity (variogram)

Basic Statistics

• Statistics• Geostatistics• Universe• Sampling Unit• Support• Population• Random Variable

Definitions

Statistics

• The body of principles and methods for dealing with numerical data

• Encompasses all operations from collection and analysis of the data to the interpretation of the results

Page 14: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 2

Geostatistics

Throughout this workbook, geostatistics willrefer only to the statistical methods and tools used in ore reserve analysis

Universe

The source of all possible data (for example, an ore deposit can be defined as the universe; sometimes a universe may not have well defined boundaries)

Sampling Unit

Part of the universe on which a measurementis made (can be a core sample, channelsample, a grab sample etc.; one must specify the sampling unit when making statements about a universe)

Support

• Characteristics of the sampling unit • Refers to the size, shape and orientation of

the sample (for example, drillhole core samples will not have the same support as blasthole samples)

Population

• Like universe, population refers to the total category under consideration

• It is possible to have different populations within the same universe (for example, population of drillhole grades versus population of blasthole grades; sampling unit and support must be specified)

Random Variable

A variable whose values are randomly generated according to a probabilistic mechanism (for example, the outcome of a coin toss, or the grade of a core sample in a diamond drill hole)

Page 15: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 3

Frequency Distribution

Probability Density Function (pdf)• Discrete:

1. f(xi) ≥ 0 for xi∈R (R is the domain)2. Σf(xi) = 1

• Continuous:1.f(x) ≥ 0 2.∫f(x)dx = 1

Frequency Distribution

Cumulative Density Function (cdf)Proportion of the population below a certainvalue:

F(x) = P(X≤x)1. 0≤F(x) ≤ 1 for all x2. F(x) is non decreasing3. F(-∞)=0 and F(∞)=1

Example

Assume the following population of measurements:1, 7, 1, 3, 2, 3, 11, 1, 7, 5

PDF

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

CDF

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Descriptive Measures

Measures of location: • Mean• Median• Mode• Min, Max• Quartiles• Percentiles

Page 16: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 4

Mean

m = 1/n Σxi i=1,...,n

Arithmetic average of the data values

Mean

What is the mean of the example population:

1, 7, 1, 3, 2, 3, 11, 1, 7, 5m =?

Mean

m= (1+ 7+ 1+ 3+ 2+ 3+ 11+ 1+ 7+ 5)/10== 41/10== 4.1

Mean

What is the mean if we remove highest value?

Mean

m= (1+ 7+ 1+ 3+ 2+ 3+ 1+ 7+ 5)/9== 30/9== 3.33

Median

M = x(n+1)/2 if n is odd M = [x n/2+x(n/2)+1]/2 if n is even

Midpoint of the data values if they are sorted in increasing order

Page 17: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 5

Median

What is the median of example population?

M=?

Median

Sort data in increasing order:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11

M = 3

Other

• Mode• Minimum• Maximum• Quartiles• Deciles• Percentiles• Quantiles

Mode

The value that occurs most frequently

In our example:

Mode=?

Mode

1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11

Mode = 1

Quartiles

Split data in quarters

Q1 = 1st quartileQ3 = 3rd quartile

In example:Q1=?Q3=?

Page 18: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 6

Quartiles

1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11Q1= 1Q3= 6

Deciles, Percentiles,Quantiles

1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11

D1= 1D3= 1D9= 7

Mode on the PDF

Mode (also min)Mode (also min)

MaxMax

Mean on the PDF

Mean(=4.1)Mean(=4.1)

Median on the CDF Descriptive Measures

Measures of spread: • Variance• Standard Deviation• Interquartile Range

Page 19: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 7

Variance

S2 = 1/(n-1) Σ(xi-m)2 i=1,...,n

• Sensitive to outlier high values• Never negative

Variance

Example:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11M=4.1S2= 1/9 {(1-4.1)2+ (1-4.1)2+ (1-4.1)2+ (2-4.1)2+ (3-4.1)2+

(3-4.1)2+ (5-4.1)2+ (7-4.1)2+ (7-4.1)2+ (11-4.1)2 } == 1/9 (9.61+ 9.61+ 9.61+ 4.41+ 1.21+ 1.21+ 0.81+ 8.41+

8.41+ 47.61) == 100.9/9 = = 11.21

Variance

Remove high value:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 M=3.33S2= 1/8 {(1-3.33)2+ (1-3.33)2+ (1-3.33)2+ (2-3.33)2+

(3-3.33)2+ (3-3.33)2+ (5-3.33)2+ (7-3.33)2+ (7-3.33)2 =

= 1/8 (5.43+ 5.43+ 5.43+1.769+ 0.109+ 0.109+ 2.789+ 13.469+ 13.469) =

= 48/8 = = 6

Standard Deviation s = √s2

• Has the same units as the variable• Never negative

Standard Deviation

Example:S2= 11.21S = 3.348

S2 = 6S =2.445

Interquartile Range

IQR = Q3 - Q1

Not used in mining very often

Page 20: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 8

Descriptive Measures

Measures of shape:• Skewness• Peakedness (kurtosis)• Coefficient of Variation

Skewness

Skewness = [1/n Σ(xi-m)3] / s3

• Third moment about the mean divided by the cube of the std. dev.

• Positive - tail to the right• Negative - tail to the left

Skewness

Example:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11M=4.1Sk= 1/10 {(1-4.1)3+ (1-4.1)3+ (1-4.1)3+ (2-4.1)3+

(3-4.1)3+ (3-4.1)3+ (5-4.1)3+ (7-4.1)3+ (7-4.1)3+ (11-4.1)3 } =

= 1/10 (-29.79-29.79-29.79-8.82-1.33 1.33+ 0.73+ 24.39+ 24.39+328.51) =

= 277.2/10 = = 27.72

Skewness

Remove high value:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 M=3.3Sk= 1/10 {(1-3.3)3+ (1-3.3)3+ (1-3.3)3+ (2-3.3)3+

(3-3.3)3+ (3-3.3)3+ (5-3.3)3+ (7-3.3)3+ (7-3.3)3 } =

= 1/10 (-12.17- 12.17- 12.17- 2.2- 0.03- 0.03+ 4.91+ 50.65+ 50.65) =

= 67.44/9 = = 7.49

Positive Skewness Peakedness

Peakedness = [1/n Σ(xi-m)4] / s4

• Fourth moment about the mean divided by the fourth power of the std. dev.

• Describes the degree to which the curve tends to be pointed or peaked

• Higher values when the curve is peaked• Usefulness is limited

Page 21: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 9

Coefficient of Variation

CV = s/m• No units• Can be used to compare relative dispersion

of values among different distributions• CV > 1 indicates high variability

Coefficient of Variation

In our example:CV = 3.348/4.1 =0.817

Remove high value:CV = 2.445/3.33=0.743

Normal Distribution

f(x) = 1 / (s √2π) exp [-1/2 ((x-m)/s)2]• symmetric, bell-shaped• 68% of the values are within one std. dev.• 95% of the values are within two std. dev.

Normal Distribution curve

Std. normal distribution

• mean = 0 and s = 1• standardize any variable using: z = (x-m) / s

Normal Distribution Tables

• The cumulative distribution function F(x) is not easily computed for the normal distribution.

• Extensive tables have been prepared to simplify calculation

• Most statistics books include tables for the std. normal distribution

Page 22: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 10

Example of cdf (normal)

Find the proportion of sample values above 0.5 cutoff in a normal population that has m =0.3, and s = 0.2

Solution:

• First, transform the cutoff, x0 , to unit normal.z = (x0 - m) / s = (0.5 - 0.3) / 0.2 = 1

• Next, find the value of F(z) for z = 1. The value of F(1) = 0.8413 from Table

• Calculate the proportion of sample values above 0.5 cutoff, P(x > 0.5), as follows:

P(x > 0.5) = 1 - P(x ≤ 0.5) = 1 - F(1) = 1 -0.8413 = 0.16

• Therefore, 16% of the samples in the population are > 0.5

Lognormal Distribution

Logarithm of a random variable has a normal distributionf(x) = 1 / (x β√2 π) e -u for x > 0, β> 0where u= (ln x -α ) 2 / 2β2

α= mean of logarithmsβ= variance of logarithms

Conversion Formulas

Conversion formulas between the normal and lognormal distributions:Lognormal to normal:

• µ = exp (α+β2 /2) • σ2 = µ2 [exp(β2) - 1] Normal to lognormal:• α = logµ - β2 /2 • β2 = log [1 + (σ2 /µ 2)]

Lognormal Distribution Curve

Three-Parameter LN Distribution

Logarithm of a random variable plus aconstant, ln (x+c) is normally distributed

Constant c can be estimated by: c = (M2 - q1 q2 ) / (q1 + q2 + 2M)

Bivariate Distribution

• Joint distribution of outcomes from two random variables X and Y:

F(x,y) = Prob {X≤x, and Y≤y}• In practice, it is estimated by the proportion

of pairs of data values jointly below the respective threshold values x, y.

Page 23: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 11

Statistical analysis

• To organize, understand, and/or describe data

• To check for errors• To condense information• To uniformly exchange information

Error Checking

• Avoid zero for defining missing values• Check for typographical errors• Sort data; examine extreme values• Plot sections and plan maps for coordinate

errors• Locate extreme values on map; Isolated?

Trend?

Data Analysis and Display Tools

• Frequency Distributions• Histograms• Cumulative Frequency Tables• Probability plots• Scatter Plots• Q-Q plots

Data Analysis and Display Tools

• Correlation• Correlation Coefficient• Linear Regression• Data Location Maps• Contour Maps• Symbol Maps• Moving Window Statistics• Proportional Effect

Histograms

• Visual picture of data and how they are distributed

• Bimodal distributions show up easily• Outlier high grades• Variability

# CUM. UPPER

FREQ. FREQ LIMIT 0 20 40 60 80 100----- ----- ----- +......... +......... +. ........ +. ........ + ......... +

86 .093 .100 +*****. + 34 .130 .200 +** . +48 .182 .300 +*** . +73 .261 .400 +**** . +86 .354 .500 +***** . +80 .440 .600 +**** . +84 .531 .700 +***** . +74 .611 .800 +**** . +70 .686 .900 +**** . +60 .751 1.000 +*** . +43 .798 1.100 +** . +28 .828 1.200 +** . +29 .859 1.300 +** . +31 .893 1.400 +** . +25 .920 1.500 +* .+19 .941 1.600 +* .16 .958 1.700 +* .8 .966 1.800 + . 9 .976 1.900 + . 3 .979 2.000 + . 6 .986 2.100 + . 4 .990 2.200 + . 1 .991 2.300 + . 3 .995 2.400 + . 3 .998 2.500 + .1 .999 2.600 + .0 .999 2.700 + . 0 .999 3.500 + . 0 .999 3.600 + . 0 .999 3.700 + . 1 1.000 3.800 + .

---- ----- ----- + .........+ .........+ ......... + .........+ . ........ + 925 1.000 0 20

Histogram in text file

Page 24: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 12

Histogram Plot Histograms with skewed data

• Data values may not give a single informative histogram

• One histogram may show the entire spread of data, but another one may be required to show details of small values.

Histograms with skewed data Cumulative Frequency TablesCUTOFF SAMPLES PERCENT MEAN C.V.

CU ABOVE ABOVE ABOVE

.000 2399.00 100.00 .5129 .8782

.200 1717.00 71.57 .6858 .6133

.400 1240.00 51.69 .8365 .4809

.600 840.00 35.01 1.0025 .3889

.800 522.00 21.76 1.1917 .32291.000 310.00 12.92 1.4012 .26631.200 205.00 8.55 1.5682 .22661.400 133.00 5.54 1.7165 .21061.600 72.00 3.00 1.9206 .20021.800 35.00 1.46 2.1697 .19662.000 21.00 .88 2.3614 .19472.200 11.00 .46 2.6118 .20062.400 6.00 .25 2.8667 .21342.600 2.00 .08 3.6550 .01742.800 2.00 .08 3.6550 .01743.000 2.00 .08 3.6550 .01743.200 2.00 .08 3.6550 .01743.400 2.00 .08 3.6550 .01743.600 2.00 .08 3.6550 .0174

Min. data value = .0000Max. data value = 3.7000Std. Deviation = .450C.V. = Coeff. of variation = Standard deviation / mean2399 Intervals used out of 2412

Probability Plots

• Shows if distribution is normal or lognormal• Presence of multiple populations• Proportion of outlier high grades

Probability Plot

Page 25: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 13

Scatter Plots

• Simply an x-y graph of the data• It shows how well two variables are related• Unusual data pairs show up• For skewed distributions, two scatter plots may be required to show both details near origin and overall relationship.

Scatter Plot

L inear Regression

• y = ax + b a = slope, b = constant of the line • a = r (σy/σx) • b = my - amx

Linear Regression

Different ranges of data may be describedadequately by different regressions

Cu<5, Mo<0.5

y= 6.526x +0.127

Linear Regression

Cu<0.5, Mo<0.05

y= 8.363x +0.049

Q-Q Plots

• Quantile-Quantile plots• Straight line indicates the two distributions

have the same shape• 45-degree line indicates that mean and

variance are the same.

Page 26: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 14

Q-Q plot Covariance

Covxy= 1/n Σ(xi-mx)(yi-my) i=1,...,n

Where mx = mean of x values and my = mean of y values

High Positive Covariance

x-mx<0 x-mx>0

y-my<0

y-my>0

mx

my

Covariance Near Zero

Large Negative Covariance Covariance

It is affected by the magnitude of the dataValues:Multiply x and y values by C, thencovariance increases be C2.

Page 27: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 15

Covariance

C=20.975

C = 2097.5

Correlation

Three scenarios between two variables: • Positively correlated• Negatively correlated• Uncorrelated

Correlation Coefficient

r = Covxy / σxσy

• r = 1, straight line, positive slope• r = -1, straight line, negative slope• r = 0, no correlation• May be affected by a few outliers• It removes the dependence on themagnitude of the data values.

Correlation Coefficient

ρ = 0.99

Correlation Coefficient

ρ = -0.03

Correlation Coefficient

ρ = -0.97

Page 28: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 16

Correlation Coefficient

It measures linear dependence

ρ = -0.08

Data Location Map

Contour Maps Symbol Maps

• Each grid location is represented by a symbol that denotes the class to which the value belongs

• Designed for the line printer• Usually not to scale

Moving Window Statistics

• Divide area into several local areas of same size

• Calculate statistics for each smaller area• Useful to investigate anomalies in mean

and variance

Proportional Effect

• Mean and variability are both constant• Mean is constant, variability changes• Mean changes, variability is constant• Both mean and variability change

Page 29: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 17

Proportional Effect Plot

Page 30: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 18

Spatial continuity

H- scatter plots

Plot the value at each sample locationversus the value at a nearby location

Spatial continuity

A series of h-scatter plots for severalseparation distances can show how the spatial continuity decays with increasing distance.You can further summarize spatial continuity by calculating some index of the strength of the relationship seen in each h-scatter plot.

Spatial continuity Moment of inertia

For a scatter plot that is roughly symmetric about the line x=y, the moment of inertia about this line can serve as a useful index ofthe strength of the relationship.

γ = moment of inertia about x=y= average squared distance from x=y=1/n Σ [1/√2 (xi-yi)2]=1/2n Σ (xi-yi)2

Moment of inertia

X

(X-Y)/√2

(X,Y)

X-YY

Variogram

• Measures spatial correlation between samples

γ(h) = 1 / 2n Σ [Z(xi) - Z(xi+h)]2

• Semi-variogram will be referred as variogram for convenience

Page 31: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 19

Variogram

• Function of distance• Vector• Depends on distance and direction

Variogram parameters

• Range• Sill• Nugget Effect

TYPE: NORMAL TRANSFORMATION: NONE VARIABLE: CU

FROM TO PAIRS DISTANCE DRIFT V(H) MEAN1 0 - 50 2666 30.9 .2536E-01 .1030E+00 .7488E+002 50 - 100 9734 79.2 -.8209E-03 .2186E+00 .8056E+003 100 - 150 23036 126.4 -.2306E-01 .2490E+00 .7981E+004 150 - 200 32117 175.6 -.1505E-01 .2560E+00 .7652E+005 200 - 250 45989 225.4 .2757E-02 .2601E+00 .7419E+006 250 - 300 47351 275.1 -.2589E-01 .2508E+00 .7286E+007 300 - 350 51794 324.7 -.2560E-01 .2505E+00 .7417E+008 350 - 400 46522 373.8 -.3154E-01 .2434E+00 .7270E+009 400 - 450 40313 424.5 -.4489E-01 .2448E+00 .7113E+0010 450 - 500 32113 473.7 -.4401E-01 .2270E+00 .6915E+00

.2790E+00 +

.2647E+00 + X

.2504E+00 + X X X X X X

.2361E+00 +

.2218E+00 + X X

.2075E+00 +

.1932E+00 +

.1789E+00 +

.1645E+00 +

.1502E+00 +

.1359E+00 +

.1216E+00 +

.1073E+00 + X

.9300E-01 +

.7869E-01 +

.6439E-01 +

.5008E-01 +

.3577E-01 +

.2146E-01 +

.7154E-02 +- - - - - - - + - - - - - - - - -+

250. 500

Sample variogram output Data for computation

Computation 1

For the first step (h=15), there are 4 pairs:1. x1 and x2 , or .14 and .282. x2 and x3 , or .28 and .193. x3 and x4 , or .19 and .104. x4 and x5 , or .10 and .09Therefore, for h=15, we getγ(15)=1/(2*4)[(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x5)2 ]= 1/8 [ (.14-.28)2 + (.28-.19)2 + (.19-.10)2 + (.10-.09)2]= 0.125 [(-.14)2 + (.09)2 + (.09)2 + (.01)2 ]= 0.125 ( .0196 + .0081 + .0081 + .0001 )= 0.125 ( .0359 )γ(15) = 0.00448

Computation 2

For the second step (h=30), there are 3 pairs:1. x1 and x3 , or .14 and .192. x2 and x4 , or .28 and .103. x3 and x5 , or .19 and .09Therefore, for h=30, we getγ(30) = 1/(2*3) [(x1-x3)2 + (x2-x4) 2 + (x3-x5)2 ]= 1/6 [(.14-.19)2 + (.28-.10)2 + (.19-.09)2 ]= 0.16667 [(-.05)2 + (.18)2 + (.10)2 ]= 0.16667 ( .0025 + .0324 + .0100 )= 0.16667 ( .0449 )γ(30) = 0.00748

Page 32: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 20

Computation 3

For the third step (h=45), there are 2 pairs:1. x1 and x4 , or .14 and .102. x2 and x5 , or .28 and .09Therefore, for h=45, we getγ(45) = 1/(2*2) [(x1-x4 )2 + (x2-x5)2]= 1/4 [(.14-.10)2 + (.28-.09)2 ]= 0.25 [(.04)2 + (.19)2 ]= 0.25 ( .0016 + .0361 )= 0.25 ( .0377 )γ(45) = 0.00942

Computation 4

For the fourth step (h=60), there is only one pair: x1 and x5 . The values for this pair are .14 and .09, respectively. Therefore, for h=60, we getγ(60) = 1/(2*1) (x1 - x5 ) 2

= ½ (.14-.09)2

= 0.5 (.05)2

= 0.5 ( .0025 )γ(60) = 0.00125

If we take another step (h=75), we see that there are no more pairs. Therefore, the variogram calculation stops at h=60.

Class Size

Three possible options:• Lag distance = 500-50, 51-100, 101-151 etc..• Lag = 50, tolerance = 250-75, 75-125, 125-175 etc..• Lag = 50, strict tolerance = 250-25, 25-75, 75-125 etc..

Windows and Band Widths

Fitting a Theoretical Model

• Draw the variance as the sill (c + c0 )• Project the first few points to the y-axis. This is an

estimate of the nugget (c0 ).• Project the same line until it intercepts the sill. This

distance is two thirds of the range for spherical model.

• Using the estimates of range, sill, nugget and the equation of the mathematical model under consideration, calculate a few points and see if the curve fits the sample variogram.

• If necessary, modify the parameters and repeat Step Four to obtain a better fit.

Variogram models

• Spherical• Linear• Exponential• Gaussian• Hole-Effect

Page 33: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 21

Variogram Models Variogram Models

Sample Variogram Plot Types of Anisotropy

• Geometric same sill and nugget, different ranges• Zonal same nugget and range, different sills

Anisotropy Modeling Anisotropy

• Geometric

Page 34: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 22

Modeling Anisotropy

• Zonal

Modeling Geometrical Anisotropy: a recipe

• Calculate variograms in different directions• Keeping nugget and sill the same, fit one-

dimensional models to the sample variograms in all directions

• Make a rose diagram of ranges and find the direction of the longest range

• If diagram looks like a circle, no anisotropy. If diagram looks like an ellipse, there is anisotropy. Use ellipse pattern in search parameters.

Rose diagram

0o90o

135o

Length of axes correspond to variogram ranges

45o

Variogram Contours

Nested Structures Variogram types

• Normal • Relative• Logarithmic• Covariance Function• Correlograms• Indicator Variograms• Cross Variograms

Page 35: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 23

Relative Variogram

γR (h) = γ(h) / [m(h) + c]2

c is a constant parameter used in the case of a three- parameter lognormal distribution.

• Pairwise Relative Variogram:

γPR (h) = 1/(2n) Σ[(vi -vj ) 2 /((vi +vj )/2)2 ]

vi and vj are the values of a pair of samples at locations i and j, respectively.

Logarithmic Variogram

• Variogram using the logarithms of the data instead of the raw data

y = ln x or y = ln (x + c) for 3-parameter lognormal• Reduces or eliminates the impact of

extreme data values on the variogram structure

T ransformation from Logs

To transform log parameters back to normal values:1. Ranges stay the same2. Estimate the logarithmic mean (α) and variance (β2). Use the sill of the logarithmic variogram as the estimate of β2

3. Calculate the mean, (µ) and the variance ( σ2 ) of the normal data:

µ = exp (α + β2 /2) σ 2 = µ2 [exp (β2 ) - 1]

4. Set the sill of the normal variogram = the variance ( σ2 )5. Compute c (sill-nugget) and c0 (nugget) of the normal variogram:

c = µ 2 [exp (clog ) - 1] c0 = sill - c

Covariance Function Variograms

C(h) = 1/N Σ [vi vj - m-h . m+h ]• v1 ,...,vn are the data values • m-h is the mean of all the data values

whose locations are -h away from some other data location.

• m+h is the mean of all the data values whose locations are +h away from some other data location.

γ(h) = C(0) - C(h)

Correlograms

ρ(h) = C(h) / ( σ-h . σ+h ) σ-h is the standard deviation of all the data

values whose locations are -h away from some other data location:

σ 2-h = 1/N Σ (vi

2 - m2-h )

σ+h is the standard deviation of all the data values whose locations are +h away from some other data location:

σ2+h = 1/N Σ (vj

2 - m 2+h )

Indicator Variogram

1, if z(x) < zci(x;zc) ={

0, otherwisewhere:x is location,zc is a specified cutoff value,z(x) is the value at location x.

Page 36: Manual Mine Sight Geoestadistica

• 24

Cross Variograms

γCR (h) = 1/2nΣ [u(xi)-u(xi+h)]2 * [v(xi)-v(xi+h)]2

• Used to describe cross-continuity between two variables

• Necessary for co-kriging and probability kriging

Cross Validation

• Predicts a known data point using an interpolation plan

• Only the surrounding data points are used to estimate this point, while leaving the data point out.

• Other names: Point validation, jack-knifing

Cross Validation

• The least amount of average estimation error

• Either the variance of the errors or the weighted square error (or variance) is closest to the average kriging variance.

• The weighted square error (WSE) is given by the following equation:

WSE = Σ [(1/σi2) (ei)2 ] / Σ (1/σi

2)

Cross Validation Report

Variable : CU

ACTUAL KRIGING DIFF

Mean = 0.6991 0.7037 -0.0045

Std. Dev. = 0.5043 0.3870 0.2869

Minimum = 0.0000 0.0200 -0.9400

Maximum = 3.7000 2.1000 2.2100

Skewness = 1.0641 0.5634 1.3559

Peakedness= 2.0532 -0.0214 7.0010

Ave. kriging variance = 0.3890

Weighted square error = 0.0815

Page 37: Manual Mine Sight Geoestadistica

25

The Necessity of Modeling

• Suppose we have the data set below• It provides virtually no information about the

entire profile

Deterministic Models

Depend on:• Context of data• Outside information (not contained in data)

Probabilistic Models• The variables of interest in earth science data are typically the end result of vast number of processes whose complex interactions cannot be described quantitatively.

• Probabilistic random function models recognize this uncertainty and provide tools for estimating values at unknown locations once some assumptions about the statistical characteristics of the phenomenon are made.

Probabilistic Models• In a probabilistic model, available sample data are viewed as the result of a random process.

•Data are not generated by a random process; rather, their complexity appears as random behavior

Random Variables

• A random variable is a variable whose values are randomly generated according to some probabilistic mechanism.

• The result of throwing a die is a random variable. There are 6 equally probable values of this random variable: 1,2,3,4,5,6

Functions of Random Variables

Since the outcomes of a R.V. are numerical values, we can define another random variable by performing mathematical operations on the outcome of a random variable.

Example: if D is the variable defined as the result

of throwing a die, 2D can be the variable defined as the result of throwing the die and doubling the result.

Page 38: Manual Mine Sight Geoestadistica

26

Parameters of a Random Variable

The set of outcomes and their corresponding probabilities is sometimes referred to as the “probability distribution” of a random variable.

These probability distributions have parameters that can be summarized.

Example: Min, Max etc…

Parameters of a Random Variable

The complete distribution can not be determined from the knowledge of only a few parameters.

Two random variables may have the same mean and variance but their distributions may be different.

Parameters of a Random Variable

The parameters can not be calculated by observing the outcomes of a random variable.

From a sequence of observed outcomes all we can calculate is sample statistics based on that set of data. Different set of data will produce different statistics.

As the number of outcomes increases, the sample statistics becomes more similar to their model parameters. In practice, we assume that the parameters of our random variable are the same as the sample statistics.

Parameters of a Random Variable

The two most commonly parameters used in probabilistic approaches to estimation are the mean or expected value of the random variable and its variance.

Expected value

• Expected value of a random variable is its mean or average outcome.

µ = E(x) • E(x) refers to expectation:

E(x) = -∞ ∫∞ x f(x) dx where f(x) is the probability density function of the random variable x.

Variance of a Random Variable

• The variance of a random variable is the expected squared difference from the mean of the random variable.

σ2 = E (x-µ)2 = -∞ ∫∞ (x-µ)2 f(x) dx

• Std. dev. is σ

Page 39: Manual Mine Sight Geoestadistica

27

Expected value

Example:Define R.V. L=outcome of throwing two dice and taking the larger of the two values.

What is the expected value of L?E(L)=1/36 (1)+3/36 (2)+5/36 (3)

+7/36(4)+9/36 (5)+11/36 (6) = = 4.47

Joint Random Variables

Random variables may also be generated in pairs according to some probabilistic mechanism; the outcome of one of the variables may influence the outcome of the other.

Covariance

The dependence between two random variables is described by covariance

• Cov(x1 ,x2) = E {[x1 - E(x2)] [x2 - E(x2)]}= E(x1 x2) - [E(x1)] [E(x2)]

Independence

• Random variables are considered independent if the joint probability density function satisfies:

p(x1 ,x2 ,...,xn) = p(x1) p(x2) ... p(xn) i.e., probability of two event happening is

the product of each event’s probability

Expectation and variance

Properties:• C is a constant, then E(Cx) = C E(x)• If x1 , x2 , ..., xn have finite expectation, then

E(x1 +x2 ...+xn ) = E(x1) + E(x2) + ... + E(xn)• If C is a constant, then Var(Cx) = C2 Var(x)• If x1 , x2 , ..., xn are independent, then

Var(x1 +x2 ...+xn) = Var(x1)+Var(x2)+...+Var(xn)• Var(x+y) = Var(x) + Var(y) + 2 Cov(x,y)

Weighted Linear Combinations of Random Variables

Estimate is an outcome of a random variable that is created by a weighted linear combination of other random variables.

Expected value and Variance (same definition as before)

Page 40: Manual Mine Sight Geoestadistica

28

Random Functions

R.F. is a set of random variables that have some spatial locations and whose dependence on each other is specified by some probabilistic mechanism.

Parameters of RF

• The set of realizations of a random function and their corresponding probabilities are often referred as the “probability distribution”

• Like the histograms of sample values, these probability distributions have parameters that summarize them

Random Functions

Parameters commonly used to summarize the behavior of the random function:

Expected valueVarianceCovarianceCorrelogram Variogram

Reality vs Model

Reality:• sample values• summary statistics Model:• possible outcomes with corresponding

probabilities of occurrence• parameters It is important to recognize the distinction

between a model and the reality

Linear Estimators

• all estimation methods involve weighted linear combinations:

estimate = z* = Σ wi z(xi) i = 1,...,n

The questions:• What are the weights, wi ?• What are the values, z(xi) ?

Desirable Properties

Desirable properties of an estimator:• Average error = 0 (unbiased)

E (Z - Z * ) = 0 where Z * is the estimate and Z is the true value of the random variable

• Error variance (spread of errors) is smallVar (Z - Z * ) = E (Z - Z * )2 = small

• Robust Question:• How to calculate the weights so that they satisfy

the required properties?

Page 41: Manual Mine Sight Geoestadistica

29

Random Process Assumptions

• Strong stationarity• Second order stationarity• Intrinsic hypothesis

Stationarity

The independence of univariate and bivatiate probability laws from the location x is referred as stationarity.

(They may depend on separation distance h)

Strong StationarityIn order for a random function Z(x) to meet the strong stationarity requirement, the following properties must be satisfied:

• E[Z(x)] = m, m = finite and independent of x No gradual increase or decrease in grade for some specified direction (no drift).

• Var[Z(x)]= σ2 , σ2 = finite and independent of x Constant parameter value of the underlying density functions.

Second Order StationarityE[Z(x)] = m, m = finite and independent of x E[Z(x+h). Z(x)] - m2 = C(h) = finite and independent of x •For each pair of random variables Z(x+h) and Z(x), the covariance exists and depends only on the separation distance h. •The covariance does not depend on the particular location x within the deposit.•The stationarity of covariance implies the stationarity of the variance as well as the variogram. •Under this assumption, the relationship between the variogram and the covariogram is:γ(h) = C(0) - C(h) = Var[Z(x)] - C(h)

Intrinsic HypothesisThe intrinsic hypothesis of order zero:E[Z(x)] = m, m = finite and independent of x E[Z(x+h)- Z(x)]2 = 2γ(h) = finite and independent of x (variogram function)

•We assume no drift , and the existence and the stationarity of the variogram only.•If condition of no drift in a deposit cannot be satisfied, the intrinsic hypothesis of order one is invoked.

Intrinsic Hypothesis

Intrinsic hypothesis of order one:E[Z(x+h)-Z(x)]=m(h)=finite and independent of xE[Z(x+h)-Z(x)]2=2γ(h) = finite and independent of x• The difference in the mean must be finite, independent of the support point x, and depend only on the separation distance h.• In performing local estimation using ordinary kriging, the intrinsic hypothesis of order zero is invoked. Universal kriging may be employed under the first order hypothesis.

Page 42: Manual Mine Sight Geoestadistica

30

Ensuring UnbiasednessEstimated value: Z* = Σλi Z(xi)Estimated error: R* = Z*-Zo = ΣλiZ(xi) - ZoAverage error: r = 1/n Σ R*Set expected value of average error to zero:E{r} = E{1/n ΣR*} = 1/n ΣE{R*} = 0To guarantee that E{r} = 0, make E{R*} = 0E{R*} = E{Σλi Z(xi) - Zo}

= ΣλiE{Z(xi)} - E{Zo}Using the strong stationarity requirement:E{Z(xi)} = E{Zo} = E{Z}Therefore,E{R*} =ΣλiE{Z} - E{Z} = 0 =>(Σλi -1) E{Z} = 0 => Σλi -1 = 0 => Σλi =1

Ensuring Unbiasedness

• Sum of weights, Σ wi = 1 Two limitations:• The average error is not guaranteed to be

zero, only the expected value• The result is valid only if the linear

combination belongs to the same statistical population

Estimation methods

Traditional:• Polygonal• Triangulation• Inverse distanceGeostatistical:• Kriging

Polygonal

Assigns all weight to nearest sample.Advantages:• Easy to understand• Easy to calculate manually• Fast• Declustered global histogramDisadvantages:• Discontinuous local estimates• Edge effect• No anisotropy• No error estimation

T riangulationWeight at each triangle is proportional to the area of the opposite sub triangle.Advantages:• Easy to understand and calculate manually• FastDisadvantages:• Not unique solution• Only three samples receive weights• Extrapolation?• 3d?• No anisotropy• No error control

Inverse Distance

• Each sample weight is inversely proportional to the distance between the sample and the point being estimated:

z* = [Σ (1/dip) z(xi ) ] / Σ (1/ di

p) i = 1,...,n wherez* is the estimate of the grade of a block or a point, z(xi) refers to sample grade,

p is an arbitrary exponent, and n is the number of samples

Page 43: Manual Mine Sight Geoestadistica

31

Inverse Distance

If p tends to zero =>local mean sample

If p tends to ∞ => nearest neighbor method (polygonal)

Traditionally, p = 2

Inverse Distance

Advantages:• Easy to understand• Easy to implement• Flexible in adapting weights to different

estimation problems• Can be customizedDisadvantages:• Susceptible to data clustering• p?• No anisotropy• No error control

Ordinary kriging

Ordinary kriging is an estimator designed primarily for the estimation of block grades as a linear combination of available data in or near the block, such that estimate is unbiased and has minimum variance.

Definition:

Ordinary kriging

B.L.U.E. for best linear unbiased estimator.

Linear because its estimates are weighted linear combinations of available dataUnbiased since the sum of the weights adds up to 1 Best because it aims at minimizing the variance of errors.

Kriging Estimator

• z* = Σwi z(xi ) i = 1,...,nwhere

z* is the estimate of the grade of a block or a point, z(xi) refers to sample grade, wi is the corresponding weight assigned to z(xi), and n is the number of samples.

Kriging Estimator

Desirable Properties:• Minimize σ2 = F (w1, w2, w3,…,wn)• r = average error = 0 (unbiased)• Σ wi = 1

Page 44: Manual Mine Sight Geoestadistica

32

Error variance

Using R. F. model, you can express the error variance as a function of R.F. parameters:σ2

R= σ2z + Σ Σ(λi λj Ci,j ) - 2 Σ λi C i,o

whereσ2

z is the sample varianceCi,j is the covariance between samplesCi,o is the covariance between samples and location of estimation.See Isaaks and Srivastava pg 281-284

Error variance

σ2R= σ2

z + Σ Σ(λi λj Ci,j ) - 2 Σ λi C i,o

• Error increases as variance of data increases

• Error variance increases as data become more redundant

• Error variance decreases as data are closer to the location of estimation

Ordinary Kriging

• Minimize error σ2

R= σ2z + Σ Σ(λi λj Ci,j ) - 2 Σ λi C i,o

• Σ λi = 1• Use Lagrange method (Isaaks and

Srivastava, pg 284-285).

Result:Ci,o = Σ(λi Ci,j) + µΣ λi = 1

Kriging System (point)Previous equation in matrix form:

Point Kriging (cont.)

• Matrix C consists of the covariance values Cij

between the random variables Vi and Vj at the sample locations. • Vector D consists of the covariance values Ci0

between the random variables Vi at the sample locations and the random variable V0 at the location where an estimate is needed. • Vector λ consists of the kriging weights and the Lagrange multiplier.

Kriging System (block)

Page 45: Manual Mine Sight Geoestadistica

33

Block Kriging (cont.)• In point kriging, the covariance matrix D consists of point-to-point covariances. In block kriging, it consists of block-to-point covariances. • Covariance values CiA no longer a point-to-point covariance like Ci0 , but the average covariance between a particular sample and all of the points within A:CiA = 1/A Σ CijIn practice, the A is discretized using a number of points in x, y and z directions to approximate CiA .

Kriging Variance

σ2ok = CAA - [Σ(λi CiA) + µ]

Data independent

Block Discretization

To be considered:• Range of influence of the variogram used in kriging.• Size of the blocks with respect to this range.• Horizontal and vertical anisotropy ratios.

Advantages of kriging

• Takes into account spatial continuity characteristics

• Built-in declustering capability• Exact estimator• Calculates the kriging variance for each

block • Robust

Disadvantages of kriging

• computer required • prior variography required• more time consuming• smoothing effect

Assumptions

• No drift is present in the data(Stationarity hypothesis)

• Both variance and covariance exist and are finite.

• The mean grade of the deposit is unknown.

Page 46: Manual Mine Sight Geoestadistica

34

Effect of scale Effect of shape

Nugget Effect Effect of range

Effect of Anisotropy Search Strategy

• Define a search neighborhood within which a specified number of samples is used

• If anisotropy, use an ellipsoidal search

• Orientation of this ellipse is important

• If no anisotropy, search ellipse becomes a circle and the question of orientation is no longer relevant

Page 47: Manual Mine Sight Geoestadistica

35

Search Strategy• Include at least a ring of drill holes with enough samples around the blocks to be estimated

• Don’t extend the grades of the peripheral holes to the undrilled areas too far

• Increasing vertical search distance has more impact on number of samples available for a given block, than increasing horizontal search distance (in vertically oriented drillholes)

• Limit the number of samples used from each individual drillhole

Search strategy (cont.)

Octant or Quadrant Search Importance of kriging plan

An easily overlooked assumption in every estimate is the fact the sample values used in the weighted linear combination are somehow relevant, and that they belong to the same group or population, as the point being estimated. Deciding which samples are relevant for the estimation of a particular point or a block may be more important than the choice of an estimation method.

DeclusteringClustering in high grade area:

Naïve mean=(0+1+3+1+7+6+5+6+2+4+0+1)/12 = 3

Declustered mean=[(0+1+3+1+2+4+0+1) +(7+6+5+6)/4] /9 ==2

DeclusteringClustering in mean grade area:

Naïve mean=(7+1+3+1+0+6+5+1+2+4+0+6)/12 = 3

Declustered mean=[(7+1+3+1+2+4+0+6) +(0+6+5+1)/4] /9 ==3

Page 48: Manual Mine Sight Geoestadistica

36

DeclusteringClustering in low grade area:

Naïve mean=(7+1+6+1+0+3+4+1+2+5+0+6)/12 = 3

Declustered mean=[(7+1+6+1+2+5+0+6) +(0+3+4+1)/4] /9 ==3.33

Declustering

• Data with no correlation, do no need declustering (pure nugget effect model)

• If variogram model has a long range and low nugget, you may need to decluster.

Declustering

• Cell declustering

• Polygonal

Cell Declustering

Each datum is weighted by the inverse of the number of data in the cell

Polygonal Declustered Global Mean

• DGM = Σ(wi . vi ) / Σwi i=1,...,n

where n is the number of samples, wi are the declustering weights assigned to each sample, and vi are the sample values. The denominator acts as a factor to standardize the weights so that they add up to 1.

Page 49: Manual Mine Sight Geoestadistica

37

Cross Validation

• To check how well the estimation procedure can be expected to perform.

• Temporarily discard the sample value at a particular location and then estimate the value at that location using the remaining values.

Cross validation

• It may suggest improvements• It compares, does not determine

parameters• Reveals weaknesses/shortcomings

Cross validation

Check:• Histogram of errors• Scatter plots of actual versus estimate

Cross validation

Remember:• All conclusions are based on observations of errors at locations were we do not need estimates.

• We remove values that, after all, we are going to use.

Quantifying Uncertainty

One approach:• Assume that the distribution of errors is

Normal• Assume that the ordinary kriging estimate

provides the mean of the normal distribution

• Build 95 percent confidence intervals by taking ±2 standard deviations either of the OK estimate

Quantifying Uncertainty

Kriging Varianceσ2

ok = CAA - [Σ(λi CiA) + µ]AdvantagesDoes not depend on dataIt can be calculated before sample data are available (from previous/know variography)DisadvantagesDoes not depend on dataIf proportional effect exists, previous assumptions are not true

Page 50: Manual Mine Sight Geoestadistica

38

Quantifying Uncertainty

Same Kriging Variance!!!

Quantifying Uncertainty

Other approachIncorporate the grade in the error variance calculation:Relative Variance = Kriging Variance /Square

of Kriged Grade

Quantifying Uncertainty

Combined Variance = sqrt (local variance * kriging variance)

where local variance of the weighted average (σ2w ) is:

σ2w = Σw2

i * (Z0- zi )2 i = 1, n (n>1)

where

n is the number of data used,

wi are the weights corresponding to each datum,

Z0 is the block estimate,

and zi are the data values.

Quantifying Uncertainty

Relative Variability Index(RVI) = SQRT(Combined Variance) / Kriged Grade

Change of Support

N = 4M = 8.825

Change of Support

N = 16M = 8.825

Page 51: Manual Mine Sight Geoestadistica

39

Change of Support

>10N = 2 = 50%M = 11.15

Change of Support

>10N = 5 = 31%M =18.6

Change of Support

• The mean above 0.0 cutoff does not change with a change in support

• The variance of block distribution decreases with larger support

• The shape of the distribution tends to become symmetrical as the support increases

• Recovered quantities depend on block size

Affine CorrectionAssumptions:• The distribution of block or SMU grades has same shape as the distribution of point or composite samples.• The ratio of the variances, i.e., variance of block grades (or the SMU grades) over that of point grades is non-conditional to surrounding data used for estimation.

Krige’s Relation

σ2p = σ2

b + σ2 p∈b

σ2p = Dispersion variance of composites in the

deposit (sill)σ2

b = Dispersion variance of blocks in the depositσ2

p∈b = Dispersion variance of points in blocks

This is the spatial complement to the partitioning of variances which simply says that the variance of point values is equal to the variance of block values plus the variance of points withinblocks.

Krige’s Relation (cont’d)

Total σ2 = between block σ2 + within block σ2

σ2p = calculated directly from the composite or

blasthole data

σ2 p∈b = calculated by integrating the variogram

over the block b

σ2b = calculated using the Krige’s relation:

σ2b = σ2

p - σ2 p∈b

Page 52: Manual Mine Sight Geoestadistica

40

Krige’s Relation (cont’d)

How to calculate σ2 p∈b ?

Integrating the variogram over a block provides variance of points within the block

σ2 p∈b = γblock = 1/n2 Σ Σ γ(hi,j)

Calculation of A.C.K2 = σ2

b / σ2p ≤ 1

(from the variogram averaging):

K2 = [ γ(D,D) - γ(smu,smu) ] / γ(D,D)= 1 - [ γ(smu,smu) / γ(D,D) ] ≤ 1

Affine correction factor, K = √K2 ≤ 1

Affine Correction (cont.)

Use affine correction if:

(σ2p -σ2

b) /σ2 p ≤ 30%

Affine correction of Variance

Indirect Lognormal method

Assumption: all distributions are lognormal; the shape of distribution changes with changes in variance.Transform:znew = azb

old

a = Function of (m, σnew ,σold ,CV)b = Function of (σnew,σold,CV), see the notes

CV: coefficient of variation = σold / mold

Indirect Lognormal method

Disadvantage:If the original distribution departs from log normality, the new mean may require rescaling: znew = (mold/mnew) zold

Page 53: Manual Mine Sight Geoestadistica

41

Change of Support (other)

Hermite Polynomials:• Declustered composites are transformed

into a Gaussian distribution • Volume-variance correction is done on the

Gaussian distribution• Then this distribution is back transformed

using inverse Hermite Polynomials

Change of Support (other)

Conditional Simulation:• Simulate a realization of the composite (or

blasthole) grades on a very closely spaced grid (for example, 1x1)

• Average simulated grades to obtain simulated block grades

Change of Support (applications)

Design a search strategy:• Decluster composites/variogram• Define SMU units• Apply change of support from composites to SMU• Calculate the SMU GT curves.• “Guess at a search scenario • Krige blocks => create GT curves• Compare GT curves of block estimates to GTcurves of SMUs• Adjust search scenario etc..GT: grade tonnage curves

Change of Support (applications)

Reconciliation between BH model andExploration model:• Calculate GT curves of exploration model• Apply change of support from BH model to

Exploration model• Calculate the adjusted BH model GT

curves.• Compare GT curves of block estimates to

GT of adjusted BH model estimates.

C. of S. for Ore Grade/Tonnage Estimation Equivalent Cutoff Calculation

(zp - m) / σp = (zsmu - m) / σsmuzp = the equivalent cutoff grade to be applied to the point (or composite) distributionm = mean of composite and SMU distributionσp = square root of composite dispersion variancezsmu = the cutoff grade applied to the SMUm = mean of composite and SMU distributionσsmu = square root of SMU dispersion variance

Page 54: Manual Mine Sight Geoestadistica

42

Equivalent Cutoff Calculation

zp = ( σp / σsmu ) zsmu + m [1 - ( σp / σsmu )]

The ratio σp / σsmu is basically the inverse of the affine correction factor K.

This ratio is ≥1.

Numeric Example

Let the mean of composites = 0.0445, and the specified cutoff grade zsmu = 0.055

If the ratio σp / σsmu = 1.23, what is the equivalent cutoff grade?

zp=1.23 (0.055) + 0.0445 (1 - 1.23) =0.0574

Therefore, the equivalent cutoff grade to be applied to the composite distribution is 0.0574.

Equivalent Cutoff

• if the specified cutoff grade is less than the mean, the equivalent cutoff grade becomes less than the cutoff

• if the specified cutoff grade is greater than the mean, the equivalent cutoff grade becomes greater than the cutoff.

Change of Support (applications)

Other:• Almost required in MIK

Page 55: Manual Mine Sight Geoestadistica

43

Simple Kriging

Z*sk = Σλi [Z(xi ) - m] + m i = 1,...,n

•Z*sk - estimate of the grade of a block or a

point•Z(xi ) - refers to sample grade •λi - corresponding simple kriging weights assigned to Z(xi )•n - number of samples•m = E{Z(x)} - location dependent expected value of Z(x).

Cokriging

•Suitable when the primary variable has not been sampled sufficiently. •Precision of the estimation may be improved by considering the spatial correlations between the primary variable and a better-sampled variable. •Example: extensive data from blastholes as the secondary variable - Widely spaced exploration data as the primary variable.

Cokriging ....................................... ..... ...........

[Cov{didi}] [Cov{dibj}] [1] [0] [�i] [Cov{x0di}]

....................................... ..... ...........

[Cov{dibj}] [Cov{bjbj}] [0] [1] [�j] [Cov{x0bj}]

....................................... x ..... = ...........

[ 1 ] [ 0 ] 0 0 µd 1

....................................... ..... ...........

[ 0 ] [ 1 ] 0 0 µb 0

....................................... ..... ...........

[Cov{didi}] = drillhole data (dhs) covariance matrix, i=1,n

[Cov{bjbj}] = blasthole data (bhs) covariance matrix, j=1,m

[Cov{dibj}] = cross-covariance matrix for dhs and bhs

[Cov{x0di}] = drillhole data to block covariances

[Cov{x0bj}] = blasthole data to block covariances

[�i] = Weights for drillhole data

[�j] = Weights for blasthole data

µd and µb = Lagrange multipliers

[Cov{didi}] = drillhole data (dhs) covariance matrix, i=1,n

[Cov{bjbj}] = blasthole data (bhs) covariance matrix, j=1,m

[Cov{dibj}] = cross-covariance matrix for dhs and bhs

[Cov{x0di}] = drillhole data to block covariances

[Cov{x0bj}] = blasthole data to block covariances

[�i] = Weights for drillhole data

[�j] = Weights for blasthole data

µd and µb = Lagrange multipliers

Cokriging-steps for Drill and Blasthole data

• Regularize blasthole data into a specified block size. Block size could be the same as the size of the model blocks to be valued, or a discreet sub-division of such blocks. A new data base of average blasthole block values is thus established.

• Variogram analysis of drillhole data.• Variogram analysis of blasthole data.• Cross-variogram analysis between drill and blasthole

data. Pair each drillhole value with all blasthole values.• Selection of search and interpolation parameters.• Cokriging.

Universal Kriging Outlier Restricted Kriging

•Determine the outlier cutoff grade•Assign indicators to the composites based on the cutoff grade

0 if the grade is below the cutoff1 otherwise

•Use OK with indicator variogram, or simply use IDS , or any other method to assign the probability of a block to have grade above the outlier cutoff.•Modify Kriging matrix.

Page 56: Manual Mine Sight Geoestadistica

44

ORK matrix Nearest Neighbor Kriging

Utilize nearest samples (assign more weight)

Non-Linear kriging methods

• Indicator kriging•Probability kriging•Lognormal kriging •Multi-Gaussian kriging•Lognormal short-cut•Disjunctive kriging

Parametric (assumptions about distributions)or non-parametric (distribution-free)

Why Non-Linear• To overcome problems encountered with outliers• To provide “better” estimates than those provided by linear methods• To take advantage of the properties on non-normal distributions of data and thereby provide more optimal estimates• To provide answers to non-linear problems• To provide estimates of distributions on a scale different from that of the data (the “change of support” problem)

Indicator Kriging

Suppose that equal weighting of N given samples is used to estimate the probability that the grade of ore at a specified location is below a cutoff grade. The proportion of N samples that are below this cutoff grade can be taken as the probability that grade estimated is below this cutoff grade. Indicator kriging obtains a cumulative probability distribution at a given location in a similar manner, except that it assigns different weights to surrounding samples using the ordinary Kriging technique to minimize the estimation variance.

Indicator Kriging

The basis of indicator kriging is the indicator function:At each point x in the deposit, consider the following indicator function of zc defined as:

1, if z(x) < zci(x;zc ) =

0, otherwisewhere:x is location,zc is a specified cutoff value,z(x) is the value at location x.

Page 57: Manual Mine Sight Geoestadistica

45

Indicator Kriging

Examples:Separate continuous variables into categories:I(x) = 1 if k(x) ≤ 30, 0 if k(x) >30

Characterize categorical variables anddifferentiate types: I(x) = 1 for heterozygote, 0 for homozygote

Indicator Kriging (applications)

Some drill holes have encountered a particular horizon, some were not drilled deep enough, some penetrated the horizon but the core or the log is missing:Use I(x) = 1 for drill hole assays above the horizonand I(x) = 0 for assays below the horizon. Use

indicator kriging and calculate the probability of the missing assays to be 1 or 0.

Indicator Kriging (applications)

Some data may represent a spatial mixture of twoor more statistical populations (for example, clay and sand.• Separate populations:I(x) = 1 for clay, 0 for sand.• Then calculate the probability of an unsampled location to be clay or sand.• Krige (local estimates) unsampled locations using only data belonging to that population• Final estimate can be a weighted (by probabilities) average of the local estimates.

Indicator Kriging (applications)

Extreme values:Separate population to 1 and 0 based on outlier cutoff. Proceed then as though you are dealing with two spatially mixedpopulations.

Multiple Indicator Kriging

Same as indicator kriging but instead of one cutoff, we use a series of cutoffs.

Multiple Indicator Kriging

THE INDICATOR FUNCTION:At each point x in the deposit, consider the following indicator function of zc defined as:

1, if z(x) < zci(x;zc ) =

0, otherwisewhere:x is location,zc is a specified cutoff value,z(x) is the value at location x.

Page 58: Manual Mine Sight Geoestadistica

46

Indicator Function at point x The ϕ(A;zc) function

ϕ(A;zc ) = 1/A∫A i(x;zc ) dx ∈ [0,1]

Proportion of Values z(x)≤ zc within area A Local Recovery FunctionsTonnage point recovery factor in A:t*(A;zc) = 1 - ϕ(A;zc)

Quantity of metal recovery factor in A:q*(A;zc) = ∫zc u d ϕ(A;u)

A discrete approximation of this integral is given byq*(A;zc) = Σ1/2 (zj + zj-1) [ϕ*(A;zj) -ϕ*(A;zj-1) ] j=2,...,n

Local Recovery Functions

This approximation sums the product of median cutoff grade and median (A;zc) proportion for each cutoff grade increment. The mean ore grade at cutoff zc gives the mean block grade above the specified cutoff value.

Mean ore grade at cutoff zc :m*(A;zc) = q*(A;zc) / t*(A;zc)

Estimation of φ(A;zc)ϕ(A;zc) proportion of grades z(x) below cutoff zc within panel A. (unknown since i(x;zc) known at only a finite number of points).ϕ(A;zc) = 1/n Σ i(xj ;zc) j=1,...,nor

ϕ(A;zc) =Σ λj i(xj ;zc) xj ∈ D j=1,...,Nwhere n is the number of samples in the panel A, N is the number of samples in search volume D, j are the weights assigned to the samples, Σλj = 1, and usually N >> n.

Ordinary kriging is used to estimate ϕ(A;zc) from the indicator data i(xj ;zc). We use a random function model for i(xj ;zc), which will be designated by I(xj ;zc).

Page 59: Manual Mine Sight Geoestadistica

47

Indicator Variography

γI(h;zc ) = 1/2 E [ I(x+h);zc ) - I(x;zc ) ]2

Median Indicator Variogram

γm(h;zm ) = 1/2n Σ [ I(xj+m+h);zm ) - I(xj;zm ) ]2

j=1,…,n

Indicator variogram where cutoff corresponds to median of data

Order Relations Advantages of MIK

• It estimates the local recoverable reserves within each panel or block.

• It provides an unbiased estimate of the recovered tonnage at any cutoff of interest.

• It is non-parametric, i.e., no assumption is required concerning distribution of grades.

• It can handle highly variable data.• It takes into account influence of neighboring

data and continuity of mineralization.

Disadvantages of MIK• It may be necessary to compute and fit a

variogram for each cutoff.• Estimators for various cutoff values may not show

the expected order relations.• Mine planning and pit design using MIK results

can be more complicated than conventional methods.

• Correlation between indicator functions of various cutoff values are not utilized. More information becomes available through the indicator cross variograms and subsequent cokriging. These form the basis of the Probability Kriging technique.

Change of SupportFunction ϕ*(A;zc) and grade-tonnage relationship for each block is based on distribution point samples (composites).

Selective mining unit (SMU) volume is much larger than sample volume, therefore, one must perform a volume-variance correction to the initial grade-tonnage curve of each block.

Page 60: Manual Mine Sight Geoestadistica

48

Affine Correction

Equation for affine correction of any panel or block is given byϕ*v (A;z) = ϕ* (A;zadj) wherezadj=adjusted cutoff grade = K(z - ma)+ma

Use affine correction if:

(σ2p -σ2

b) /σ2 p ≤ 30%

Grade Zoning

• Grade zoning is usually applied to control the extrapolation of grades into statistically different populations

• Often grade zones or mineralization envelopes correspond to different geologic units

Grade Zoning (cont’d)

Determine how the grade populations are separated spatially

• Is there a reasonably sharp discontinuity between the grades of the different populations?

• Or is there a larger transition zone between the grades of the different populations?

Grade Zoning (cont’d)

Discontinuity between grade populations:

Grade Zoning (cont’d)

Transition zone between grade populations:

Grade Zoning (cont’d)

• Discontinuity between the grade populations is best modeled using a deterministic model, i.e., digitized the outlines

• Transition zone between the grade populations is best modeled using a probabilistic model, i.e., indicator kriging

Page 61: Manual Mine Sight Geoestadistica

49

Grade Zoning (cont’d)

Characterizing the contact between different spatial populations:

• Calculate the difference between the average grades within each population as a function of distance from the contact:

Dzi = zi - z(-i)

Grade Zoning (cont’d)

• If the average difference in grade Dzi vsdistance from the contact is more or less constant, then there is probably a discontinuity between the different populations :

Grade Zoning (cont’d)

• If the average difference in grade Dzi vsdistance from the contact is small for small distances but increases with increasing distance, then there is likely a transition zone between the different populations:

Grade Zone Bias Check

• Often mineralization envelopes lead to biased ore reserve models. To check:

• Interpolate using the nearest neighbor (polygonal) method)

• Use the search parameters corresponding to the model of spatial continuity

• Disregard all grade zoning• Compare at 0.0 cutoff grade, the tons and

grade of the polygonal model to those of the mineralization envelope model.

Page 62: Manual Mine Sight Geoestadistica

���������������� ���� �����������������������������������

���� ��� ���������� ���!

���������

Page 63: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������

��������������� ���� !

��������������������������

���������������������� ������������������������������������������ ������ ���������������������������������� ��� ���������������������������������� ������ ������������������������������������������������������������� �����������������

����������� ��

���������������� �����������

� ��������� �������������������

� ����������� ������������

� ����������� ���� � �����������

� ����������� ������������

� ��������� ��������� ����������

� ��������� ��������������������

��������������������

������������������������������������!���� ���������������������

� ������������������!������

� ����������

� " � ����!���� ��������

� "����������

� " � ����!���� � �����������

#�����������������������

� $����%�����������������������!���������

� ������������ � ������������� ������� �������������

��������� �������!��!������������������������������������������������������&������

� ������� ������� ����� ��� �������� ���� ���������� ��� ��� ���� ����� ������ ���������������������!�����

� '��������������%����������!����������������������� �����������(����%����������� ������������������

� '������������������������!���������!�� ���������� ��� �������������������������������������������������� ����������

Page 64: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������� ������������ ��������� �����������

���� !" ���������������

���������� $���� �������������� �� ��������%����������������!����� ���!�� ����

���� ���'���������������� ������������������������������������������������� ������������������������������������������� �����(�����

������������������

)��������������"��������� ��� ���������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ����������������������������� !��*����� ������������������ ��

��������������� ��� � � ����������

�������������!������� ����������������� ������%����������������������������������������� ������������������������������������������������������������ ������%���"��������������#������������������������������� �������$��%�������&��'�����������������#���()����������������'�� !�

��������������� ��� � � ����������

�������������!������� ��������� ����������������������������������$���� ������!�������+������ � �����������!�� �� ����,������ ���������-.���������/,��� �������!������������(���������� ��0 .�������� ����������������(��������

������������ �������� ������� ������������ � � ��

������������������� ����������������������������������� �����(� ������������������ �����������!�� ���������������������������������������� �������������������1������������� �����2$���������������������� �������3�

��������������������� ������ ������� ������� ���

�������������!���������������������������������������������������������� �����&������������������� ������ ������� � ����������

������������ ��������� � �� ! �

�������������!����������������������� ���� �����������������������������

"�!� ������� ���������

����� ��������������������������������������������������������4���/,+� 5����� ��������������������� ��������������

Page 65: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������

��������������� ���� !#

���������

�������

��������

Page 66: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������� ������������ ��������� �����������

���� !$ ���������������

������������������������������������!����������������� � ���������!����(� ��� ���

����������������������� ������ ���������� ��������

�������

*���������������� ��������������������������1��������� �������� ���������+66�*������������������������������������7)�������������7)��������������� ��������������������������������������������

��������

�������������������������������������������

Page 67: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������

��������������� ���� !�

���������#$�������

#������ ���/,6,+���������������������������������#����������������������������������#��������������������������������"������������������������������

#$�������

8������������������������������������������������!�$7�9�:�+�����6�������������������� �������������������������;�

#$�������

9�������(�����������������������������!�9)"<�:�+�����6������

#$�������

8���������������������������������������������������������������!�9)"<�:+�

�������������������� � ��������

*����������������"��������� ��� ���������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ��*����������������������� � !��*����� ������������������ ��

�������������������� ���� ��� � � ����������

�������������!������� ���������������������������������������������������������������������������#�����*���=������9)"<�������������������������������� � ��������������� �������>����"#��������������������������� � ���������������������������<������������������������������

�������������������� ���� ��� � � ����������

�������������!������� ��������� ����������������������������������$���� ������!������+������ � ��� � �����"#���������������� ����������� ���������9)"<�����$���������+�����#�,�-.��/��� �����������������01��2���3�+/�����������������,�����������#���������������� ��������!�

������������ �������� ������� ������������ � � ��

������������������� ����������������������������������� �����(� ������������������ �����������!�� ���������������������������������������� �������������������1������������� �����2+?@�� ������������ ���������3�

��������������������� ������ ������� ������� ���

�������������!���������������������������������������������������������� �����&������������������� ������ ������� � ����������

������������ ��������� � �� ! �

�������������!����������������������� ���� �����������������������������

"�!� ������� ���������

����� ��������������������������������������������������������4���/,6���5����� ��������������������� �������������������������������������������������9)"<����������������� ���������1��� ���������������������� �������!�������������������

��������������� �������� ��� �� ���������������������!�����������"#�

Page 68: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������� ������������ ��������� �����������

���� !% ���������������

���������

���������������������������!����������������� � ���������!����(� ��� �������������������������� ������ ���������� ��������

�������������������������

�����7)��������������� �������������� ���������������������������� ���������������������+����������#����������,���4���������� �����'����� ���� �%��4!�

#$�����

8�������������" ������������������$7�9�����

�� ����������� ��

)��������������"��������� ��� ���������������� ��������������������

Page 69: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������

��������������� ���� !&

���������� �������5������������� �������������������� ������� ��*���������5�#�#������5����(����������� ������ !��*����� ������������������ ��

������������� �%������������&���� ��'�

��������6�������(������������������������%�� �#�#������ ������������%������6��������������%�����7�4����4��#���+������������������!�

�������������� ���������� � ��� �����

�"����������������������#�� ��������4��������������%���������������������,����%���������������������������� ����4������'��������������������� ������3��/�����������������,�����������#���������������� ��������!�������������������������������������� ��������� � ����������1������������� �����2"#���� � �����������@����������+����63�

���������� �������� ������� ���

������������������� ����������������������������������� �����(� ������������������ �����������!�� �������������������������������������������A�� � ��������������� ����������������������������8��9������%������������*���� ������'#������'�����8(:"��������!�

���������� ��������� �%���

�������������!������� �����������!��������(������������������7�!���������� �����

���������� ��������� ������� ��

�������������!����������������������� ���� ����� � �������������� ����B� �������� ������������������� ������� ���������������� �����

"�!� �������� � ��� �����

�����7)���������������������!������ ����������������!���������������������������������������������������������������� ����5�%��4����� ������������������� �%��4�4��������3;/�����",�������$5<�=� ����!�

Page 70: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������� ������������ ��������� �����������

���� !' ���������������

���������

#$�������

8�������� � �����������������������������������!�$7�9�:�+�����6�������������������� �������������������������;�

#$�������

9�������(����� �����������������

#$�������

)!������������������� � �������������������������� � ���������������������������) �� ���������� � ����!���� � ������ �!�������������������!�������������� ������������ � �����������

Page 71: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������

��������������� ���� !(

���������

#$�������

8�������� � ����������������� �� ������������������������

�����������������������

)��������������"��������� ��� ���������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ��>���������)��������������������� ������ !��*����� ������������������ ��

����������(���� !��� ��� � � ����������

�"����?�������������������������������%������6���������������%�����7�4����4��#���+�����������������!�

����������(���� !��� ��� � � ����������

�������������!������� ��������� �����������������������������������"���������������� ������'������������@���(��� ��������������������������� ���������#���� �����3��/������������������,������������#���������������� ��������!�

������������ �������� ������� ��������� � � ����������

������������������� ����������������������������������� �����(� ���������

Page 72: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������� ������������ ��������� �����������

���� ! � ���������������

������������������ �����������!�� ���B� ��������������������������� � ������������������������2�������8(:"������������� ������8��9�=� ���������*�����!�

���������������� ������������ !�� � � ����������

�� ���������� ���������������>�.�'��������������������������������������(����� ����� ���� ���������������������������������#�� ������!�

"�!� �������� �!���� �����

����� ������������@��� �����������������������������������������������4���/,;� 5����� ���������

-����� ������������������������7)��������������� �����!������ ��������� ����������!���������� �������������������������������������������������������������������� ��

Page 73: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������

��������������� ���� !

���������

#$�����

8�������@��� ��������������������������!�����������6?,,����;,,,�

� ������� ���������������� ��

��������$�����'������ ����$������#��������������� ���������������������� ��������������������������� �������������������� ������� �����������������������(����������� ������ !��*����� ������������������ ��

����������)�*���� ������������� ���+���&�����,�,����

�������������!������� �����������������������!����������������������������-����� ��*���++��������������������������������������!���1�������0 .�������������

Page 74: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������� ������������ ��������� �����������

���� ! " ���������������

���������(����������� �������� ������������������7�!�������������������� �������������(����

����������)�*���� ������������� ���+���&�����,�,����

�������������!������� ����������������� ������%�1��������2�����������,�������$���������,��,���������� ������ ������@���������������������#�������������%����������,���������2��������A����������,��������$�!�

����������)�*���� ������������ ��������� ������� ��

�������������!������� ��������� �����������������1�����������������������-�� �%�������%�����1������� �����������#����� �����>����� ������#��������� �������������������� �����#��������#�������������A���'����������������!�

����������,�,�-,!�� ����,!�� ���.���� ��� ���

����������������(������������ �����C@C��������1���!����������� �����

������������ �������� ������� ���

������������������� ����������������������������������� �����(� ������������������ �����������!�� ���B� ��������������������������� � �������������A���������������������������#�����9$D8>�����������������9)"<������+�����6�����

"�!� �������� ������

���������������������� ���������������������������������"#������)�������

��������������� ���������������������������������������������������������������������������

Page 75: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������

��������������� ���� ! #

���������

-����� ������������������������7)��������������� �����!������ ���

Page 76: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������� ������������ ��������� �����������

���� ! $ ���������������

��������� ������ ����������!������������������������������������������������������������������������� ��

�� ���� � ��� ����������

)��������������"��������� ��� ���������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ��>���������)��������������������� ������ !��*����� ������������������ ��

����������(���� !��� ��� � � ����������

�"����?�������������������������������%������6���������������%�����7�4����4��#���+�����������������!�

����������(���� !��� ��� � � ����������

�������������!������� ��������� �����������������������������������"���������������� ������'������������@���(��� ��������������������������� ���������#���� �����3��/������������������,������������#���������������� ��������!�

������������ �������� ������� ��������� � � ����������

Page 77: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������

��������������� ���� ! �

���������������������������� ����������������������������������� �����(� ���������

��������� �����������!�� ���B� ��������������������������� � �����������������������#�����9$D8>�����������������9)"<������+�����6������

���������������� ������������ !�� � � ����������

������������������������;@'������������������������������������" ��$������������������������������������������ ��������

����������+����� ����� �!����������� �����*��

�������������������+����������������.�%0�#�,�����������������������������������������,������4���������������������������� �������������'������������'������������������ ������#���������������������'����������@����(��� �������������������������������� ����!�

#$� �/���0������

������������������ �������������������)��������������"��������� ��� �E��������� ��������������� ���������������������������� ������������������� ������� ����*�����!

�������

E"���������>�����������(��))��� ���������2�����������������,�� �����������,�������������������������,���B ��������,��,��������+������ ��������������� ����������������������4��������2�������������������,������������������������ ��������C�!

�������

E��������,�� �����������������������������,��,�� ��������A��������������� ���(��)).(=(����������������������A��� ����%����!

�������

�"�������������$����%������� ��2������������������#����#�������������A���'��������F

�������

7�!����������� �����

"�!� �������� ������

��!��������

Page 78: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������� ������������ ��������� �����������

���� ! % ���������������

���������

Page 79: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������

��������������� ������

������������������

���������������������� ��� ���������������������������������� ������������������������������������������������������ ����������������������������������������

����������� ��

���������������� �����������

� ��������������� ���������

� !�������������������������"��#����

� ���� �����������������������

�������� ����

������������������������������� �������������������������� ������������������������

#������������$���������������������� � �������������������������%�����������&���������������������������������������������� ����������������������� ��������������������&������������&�����������������������

�!����������������������������' �����������������������������&����������������������������������������������' �����������������&�����������������������(�)������������������������������� �$����*�+����������������(�)����������������$ �$���

,���������� ��� ���$���������' �����������*�+�����������������������(�)&���������������������������-���� �������������������������������������������������������' �������������������������������������(�)�������������� ������������

!�������������������������������������������������������������������������������������� ����*�+����������������������������������!��������������������' ��������������������������

!������������������������������������������&����� � ������������������������������������!������������%�������������������������������������������������&���������� � �����������������������������!������������������������ ����������������������

%��.�#!%/01��23�*�����4�������������������������+������������� ����� ���&����������������������� � �������������!�����������&�����������������������/ ��������������� ���� ���&����������������������������������������� ������ ���

�������������

!�����������������������' ����������� ��������&���������������������������������� ��������5���������������*�������������+�������&�����"��#��������

� #������

� 1$��������

Page 80: Manual Mine Sight Geoestadistica

���������� ������������ ��������� �����������

���� ��� ���������������

���������� ,����

�������������� ��

-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� ��������������������� �������������������� ������� ��������������������������������� ������������������&��

������������������������

!�������������������� ����������������������������&����������������������������������������������������� �������������������!�"������������������!���������������������#�����!�������$�� ��������� ����%�&��'������������������#����������$���������������� ����������

����������������������������������

!����������������������� ��������� �&�������������������� ���������������������&�����������������(��������������������&)��*��% ���'������ ����%�����������%�$���% ������+���������%�$�����"���������������� ����% ����,�����������������������&�����

���������������������������������

!������������������ ����������������������������������� �����$� ������������������&�������������� ���!����������������������������������������&������ ��������������������#��������6-0��������� �7��������������&�� ��������6%/81�������

�������������������������

!������������������ ������������������� �����������&�������������������������&� �����������,�������������&�����

������������������� �����������������������

!�������������������� �������������������������������������� ����%�����"��������������������������,����,��!���!������-����!������ ����%���.�������������������-��������,����,��!���!�������+���!�������������������+���������������������#����� ���������������� ����.��%��

�� �� ������������������

!���� �����������������������������������������������������������������*���977� +������& ����������!��������������&��������������� #�����������' ��������& ����������������

Page 81: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������

��������������� ������!

���������

Page 82: Manual Mine Sight Geoestadistica

���������� ������������ ��������� �����������

���� ��" ���������������

���������

:����� ����������������������"�,-!�������������� ������������ ��������� ������������������ #����������������������������������������������������������������������� ��

Page 83: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������

��������������� �������

���������

!"���� �

8������ ����������������������3 ;3���������������������������������������

��������������� ����������� ������

-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� ������� �������������������� �������������������� ������� ����/������0���!���������� ������������������� ������������������&��

����������!"�������������������� �#������������ ���

!�������������������� �����������������������������������������������������<������=�������������������������������� ����������������������������������0<��%������������� �������������� ��������$�� ���������������������������#��������������$����������>337?������������������� �� ������

��������������������������������������

!�������������������� ������������������������� �������������������������#������������� �����>�����������5����������6�������7?��,��������������������&�����

Page 84: Manual Mine Sight Geoestadistica

���������� ������������ ��������� �����������

���� ��# ���������������

������������������������������������������

!������������������ ����������������������������������� �����$� ������������������&�������������� ���#��������6-0��������� �7�&�� ��������6%/81�������

���������������������������� �#�����������������

!������������������ ������������������� �����������&�������������������������&� �����������,�������������&�����

������������������� �#��� �������������������������

!������������ ���������������������������������������0��� ��@������������������*@$7+������������������������������3�3������@;���������������������������������3�3��<��73���������������;3��������������<��44�;����������������������������������73�����������������

�� �� ������������������

����������������*���939�337+����� �������������������������������� �����

!��������������� ���� ��������� ���5*�+������������������������� �$���������������!���������(�)���� ��������� ���.�#!%/01������������������������$ �$��������������

Page 85: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������

��������������� ������$

���������� ����������� �����

-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� ������� �������������������� �������������������� ������� ����/������0���!���1������!��������� ������������������&��

��������������������$����%�� �

!�������������������� ���������"��#�������������������������������������#�������������A ������������939�337�

�� �� ������������������

��������"93357�������������������������������������@������������������������ ����4 .�8��&��������������������9 .�8��&��������������� ���*��������������������������� �������

!"���� ���

����������������������������������������������$�������������������&��������������������

7������������2�,�1��������������

Page 86: Manual Mine Sight Geoestadistica

���������� ������������ ��������� �����������

���� ��% ���������������

���������4����3���!�������������������2�!!���������������%��#���4�������5�

9����3���!������������������������6�)��!��0������,����������������$%������������ ���������%���� ����%�

@���� ���*��!��������� ��%�1�������������0������$��������%��������������

!"���� ���

���������������������������������������������� �A ��������&��������������������

7�������������� �������������������

4���� ���*����%���2�!!���0�����4�������5�������.�����������,���������������������,���������� ���*��!�����������������,����������

9������������� ��������!����� ���*����%�������7)��!��0�����4������/5�������.����������,���������������������,����������� ���*��!�����������������,����������

@������������� �������������������

;������������������������.����������!���������8��#���4��!���+��5���������*�

B���� ���*����������/�������.������������42������������%����������0������������!��!�5 ���*��!�����������������,������

C������������� ��������������������41�*������9�#�)��!��������5

D������������������������.��������������������%��#���4��!�����5���������*�

=���� ���*����������/�������.������������42������������%�����)��!���������!��!�5� ���*�!�����������������,�)��!�

73���� ���*����������#���0���!���1������!���!����

!"���� ���

!������$�������������������������������*��� ����+�����������������

!"���� ���

!�������������������������������������������������������������

!"���� ���

����������������������������������� ��������������������&��� ���������������4;��.��?�� ������������� ���&���9��<��$�������334�

!"���� ��&

!������������������������������������*93E+��<��$�������339�

!"���� ��'

!��������� ������������� ��������������������������������������0���������������������������������������������<��$�������33@�

!"���� ��(

0��� ������������� ������������������������������������� ���������������<��$�������33;�

Page 87: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������

��������������� ������&

���������!"���� ��)

6 �������������*������1$����;+�������������4��<��$�������33B�

!"���� ���*

6 ��������������������������������������������F���&������������0����������������������� �&����������� ���������

������������ ���� ������� �����

-�����"#�0�������"� ���&���������8�� ��#�����������������-�������0�� ������G������������� ���������������� ���93737����� �.��� ���5����������������� ������������������&��

����������$�����������������+,������������

!�������������������� ����������� �����G��� ������������������ ���������������������������H� ����������������������������������������������<��������������77���������������������������������7������������������������

����������%�� �����������

��������������� ������������������������������������������������ �������$�� ����� ���<��0 ������������������������������������ ������ ���������������$��#���������������$�������> ?������������������� �� �������

��������������������������������������

!�������������������������������������������������#������������� ����>.����������������� �6�������7?

����������������������������������#�����-��.�������������

!������������������ ����������������������������������� �����$� ������������������&�������������� ���#��������6-0��������� �7�&�� ��������6%/81�������

���������������������������� �#�����������������

!������������������ ������������������� �����������&�������������������������&� �����������,�������������&�����

������&������������ �#�����-��.����/ �,����������

!�������������������� �����������������������������0��� �����������������������������������������������3�����������������=3��������������������� =3����������������7;E��<��43���������������;�������������

�������������������� �������������������������������� ������������������ ��������������&��������������

!��������������� ���� ��������� ���5*�+������������������������� �$���������������!���������(�)���� ��������� ���.�#!%/01������������������������$ �$��������������

-�������������������������������������������������������������&��������������

Page 88: Manual Mine Sight Geoestadistica

���������� ������������ ��������� �����������

���� �� � ���������������

���������

!"���� ���

"���������&�������� ������������������� ����� ������� �

!"���� ���

0�� ������������������� ��������������������������4������ ����� ������� �

!"���� ���

8��������� ��������������� ������������������

���� ����������� �� ����

-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� ��������������������� �������������������� ������� .!��������� �����0���!���:������������ ������������������&��

Page 89: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������

��������������� ������

�������������������01���1���������� �#����������������������� ����

!�������������������� ������������ �����������������������<����������������������������������6-0�7�*���939�334+���������������� �� ���������939�334��� ���*����$�#����;�������.���!���.��������� ���������.������<��������.���������������� �����$���*��

������������� ����������������

!�������������������� ����������������������G�����������.���������,�������������,��!���$�����,�������������������������&�����

���� ����������� ���� �������

����

���� ������������� ���� �������

������

���� ������������������������������

�!� ���"������#���"#��$��%���&��'�(

��� �����������)�#��$

����������0������������� � �#������������������

!�������������������� ������������� ����������������3�������������������.��������������#����������,�����������������������������:�� ��%������!�����������!�����������������������!��� ������$���������������������!������������.���=��������������"�������+����>����%����/��������1�#�����!�����"�����/������� � ������������'������*�����$�#�����.���%�������� ����

�������������������#��������������������2 ��������$���

!�������������������� ��������������������$������������������,������������&�����

���������������+�����3�"����� �

!�������������������� ����������������� ��������������������������������&���������������

�� �� ��������� ������

!��"�,-!��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ������.��,����� ������������������� �.��,�,��������&8'�����(#�������1�?�;� ������

Page 90: Manual Mine Sight Geoestadistica

���������� ������������ ��������� �����������

���� �� � ���������������

���������

!"���� ���

-����������������������������������� ��� �������433����A����$���������74;��������$����:������������A����$�������������I�%�A ���������� ������������������������� ��������� ������������������������������� ����?�������������������� ���������������������������������������������

!"���� ���

6����������������4�

���� �������������������

-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� �������(������������� �������������������� ������� .! ��������0���!����������9������������ ������������������&��

��������� �������������� ������������������� �� ��������������������������� �������������������������������������������������

Page 91: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������

��������������� ������ !

�������������$�����

*����)+ ��� ���� ����

���,�������������� �)+��#��

� -��!� �-�!� ����� �� �����- �� �������)�

� ���!� �.�!� �-��. �� �/���0 �� �������)�

%�� �����������������$�����������������������������$��������� � ����$��������������� ��������������������������������������������������������������

������������������������������$���

!�������������������� ����������������������������������������������� ���������������������������������@��������.���!��� ������������������ �������.����*�������������������� �����&0���!��������*��% ���'��

���������������������������

!������������������������������������������������������������ ���������������������������������A����$�����(��������.���������)��*��% ��������������$���$�.���������������������������������&����� ������� ��������

�� ��

!���� �������������������������&�&�� ���� ������������

!"���� ���

#�� ����������������������������6���!���4�

!"���� ���

#�� �������������������������&����6���!����7�����4�������������������������������������&�����6-0�������������������

Page 92: Manual Mine Sight Geoestadistica

���������� ������������ ��������� �����������

���� �� " ���������������

���������

Page 93: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������������������������������� ���������������������

��������� !���" ����#$%

������������������������� ��������������� �� ��� ������������

��������������������� ����������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������� ��

�������������� ���������������������������������������������������������������

������ ���� ��� ��� ��

��������������������������������������������������������������������

� ������������� ���! "������� ��������

� # $����������������

� %�������������&����������������������������

� %�&�������������������������������

� '�����������������������

� �����������������������������������������

���������������������������%()*+,�������������������������������������������-�.��������������������������������������������%()(�������������������������������������������������������

�������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������������������

� ������������ �

/�������%��������.�������%���������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ������������ ����!���������"��/���������������������������

������������������ �����������

�������������������������������������������� ���������������������������������������&����������� ����#������$���������� ��������������������������������� ����"�

������������������� �������

�������������������������������������������������������������������������������%��� �����������&����������'�������������������������������������������������������������������(��������)����� ����������*����������� ����+��#"�

������������������������������� ����� ����� �

!����������������������������������������������������������/������������������

Page 94: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������������������� ��������������������� ������������ ��������� �����������

���� #$& ��������� !���"

�����������,�������������+����������������������������������������������� ����+��#��-���.-/�������������������'���� ��������������������0�����)�(����������������� ���������

�������������������������������

������������������ ���������� ��������������������������������������������������������������������������&��������01��2�,3��$����2�3�����$��!�2�3�

�������������������� ����� �

�-�������������������� �+�����#� � ����+���'��� ������������1+����0�2"������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������4����������

���������������������������������� ���������� �������

����������������� �������������������������������������������&��������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�3��4������+��������� ������'�)#�����'�����356-��������������� ����#�3��4��������'����'����������'����"�

������ �������������!���"� ���������� ��� ����� �

�&���������������%/7� �8�����������������'������������������� �����������*�����'���������9����#�����+��������������+���"�

#��$���

����������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������

�����������������������5�������&�����6�������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 95: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������������������������������� ���������������������

��������� !���" ����#$#

���������

���������������������������5�������&�����6����������������������������������������������������������

Page 96: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������������������� ��������������������� ������������ ��������� �����������

���� #$' ��������� !���"

���������

�%� ���

%���� ���������������������������'�����������������0�������������������������������.�������������5 ������������������������������������������������������6�

Page 97: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������������

��������������� ���� !"

�������������������

���������������������� ��� ����������������������������������������������������� ������ ������� ������������ ������ ���������������������������������� ������������������

����������� ��

���������������� �����������

� ��������� ��������������� �

� ����������� ������������������ ���������������� �

�����������

������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������� ����� ��������������������������� ����������������������������������������������������������������� ���������������

���������������� �������� ������������� ���������������������������������������������� ���������������������!������������������������������������������������� ������������������������������������������"� ��������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������

������������������������������ �������������������������������#������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������$��������������������������������������������������������������������� ����������������� �����������������

������������� �� ���������

%�����&��'�����"�������&� �������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ����������� �������� ���!��(����� ���������������������

�������������� ������������� ��� �

��������������������� ������������������ ��������������������������������"����������������� �������������������#�������$����%������������������&���������'������&����$������������(����)�����&����"����*��+������������������,�����������#��������������� ��������!�

������������ ������� ������ ��������������� ������ �����

������������������� ����������������������������������� �����)� ��������������������������������� ���*���������������������� ������������ �����" �

�������������� ������������� ��� �

������������������� ������+ �������������#������� ���������� ����)�,��)������%�������%������������������������ ����&��)!�

Page 98: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ������������ ��������� �����������

���� !# ���������������

�������������� �

�������������������� ����������������������������������������� ������������

���������

%�������� ���������� ����������#��,-�)�,-�����,.�)�,.�

���������

"�����������������������#������������ �����������#���������������������� ���� ����������������

���������

������ ������� �����/�������$������

���� ����� �����������������

%�����&��'�����"�������&� �������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� '���'�������-��.. ���������!��(����� ���������������������

����������������� ��� � �� ������������

�"����-��..���� ���/����������%���(�������'����������������'�0��������� �&���� ��������1����1���������������#������������2�����#�,��������������������

����������������� ��� � �� ������������

�"��������������#�����������������)%����������-��..�����������������,�� ����������������3!�

����������������� ��� � �� ������������

��������������������� �����������������������������1�������������&��������%�����(����)�����&���������$����'������&�����"����*'�+������������������,�����������#��������������� �����������������������������������* ���������������/�������%��'�0+!�

Page 99: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������������

��������������� ���� !$

��������������� ���!�� ��������� �� ��"� ��

'�� ��������������������0����� ������������

����� ����#�!�� ���������

������������������������� ������������������������� ������������������������������

Page 100: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ������������ ��������� �����������

���� ! ���������������

���������

1����� �)��������������������&�*%���������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ���4�&��$����� �������������������� �&��$�$��������*5+�����",�������647�8� ����!�

Page 101: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������������������

��������������� �������

���������������������� ��

���������������������� ��� ������������������������������ �������������������������������������������������������������������� ���� �������������������������������������������������������������� ������������������������������ ����������������������������������

������������ ���

���������������� �����������

� ���������������������������������

� ��� �������������������������������

� ���������������������������!��"����

����������� ������ ����

������������������������������������������������� �

� �������������������

� ���������������������

� #��������������

� ���������

� $�������

� %������

�������������������

���������������������������������������������������������������������

� "�����������&'"��(')����������������

� !���� ��������*�� ��� ������������������� �����������+

� !�*�� ����������������������������

� ,�����������������������

������ ������ ���

-������!��"�����.������!� ����������������������� ������ ����������������������� ���������������������������� ������������������������ ������� ������ !�"�!��� �������#$�/����� ���������������������

Page 102: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������ ������������ ��������� �����������

���� �� ���������������

����������������������������������������������

��������������������� ������������������������� �������������������������������������������*���������/��������*������ �������01��������������2�����������3���4��������������*�������������������� �����������������

������������������������������������

�% ����&���� ���������������������� �������'��������������(������&�)*�������+�������,����(������&�����-���+�������&������*���.#�/��������+�������������� �'�������� ����&���������������� ���������'�������������������������'������������������ ���������������0����������$�

���������������������������������

���������������� ������������������������������������������������!��� ����������/����������� ���������������+�������������'�����������������������������/!�������!���� ����+��&#�1��������� �����������/���� ��������������������������/234������ ��&����������������#�%���������������������������������� ���������������!%52�����������0��������*������������������6��2!#�/�������78%85�� ��������������������� �������� ������������� ��� �����������������!5�� ����$�

�������������������� ����

��������������������������������������������������������������������� ���5����������������+����������*�����

�����!���"�������������������

(�����������"�������� �������������������������������������/���������� �������������������*&�����*&����#�8�����8�%����������������������� ��������������������.����*�0����������������� �����������

���������"�����������������

����������������������� ������� ��������������������������������������������� ��������������������������*��������#-��6�07��8��&�6�7�����8��(�6�7�

�����#���"������$����%����&�

������������������������������ ������������+���������������������������������������,�������#�+�����0�������������#�+���������+������������������������������ �0�����������������������������9���� ��#-.%��������������������

�����'���"�����������������

"������������������������������������������� ������+���������������������������������������+�

(� )��

����� ����������������������������������������������01:������������� ����������������������!��"�����;'8�

��������

#� ������#�+�����<��.���������������������� ���������������.�����������������������

�������������������������������������

����������������������0������������*���������������� ������������9���:$�

Page 103: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������������������

��������������� ������!

���������������������������������������������

�% ����&���� ���������������������� �������'�������;���)*��������+�������,���(������&�����-���+�������&������*���.$�

���������������������������������

,�����-!������������������������������������������

�����!���"�������������������

�<������������������������=�������������+���������������������������;����>�������>���� ����+��&$��

���������"�����������������

������������������*��������#-��6�=1��8��&�6�7�����8��(�6�7�

�����#���"������$����%����&�

,�������#�+�����<�������������#-.%���������+������������������������������ �<����������������������������

9����������� ���������������������������#�+�����<�������+�������������!����>������!��"�����;'8�

���������������

-��������+�������������������������������������������������������������������+����������������������������������������������������������������+��� ������������������� �������������������� ������������������������������������������������������������?�5�,�(������*������������*����������������-��������+����������������� ����������������������������������������������������������������*�������������� ������������������0������������ ������������������������������������������

��������������������������������� �������������������������������������������������������������� �������������������������� ���������� �������������+����������������������������������������������������������������������������������������

���������� ������ ���

?�������� �������������������� �����+���������� �����������������������������������������������������

� "������

� 5����

� (*��������

-�����!��"�����.������!� �������������������� ������ ����������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ��;��#���� �����&�?�����$#�/����� ���������������������

���������������*�+�%�%��������������

��������������������� ���������������������������������� �������������������������������������������*���������/��������*������ �����������01�������������2������������@+�0A��������������*�������������������� �����������

Page 104: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������ ������������ ��������� �����������

���� ��" ���������������

��������������

���������������*�+�%�%��������������

�% ����&���� ���������������������� �������'�����������)*��������+�������,���(������&�����-���+�������&������*���.#�% ����&��������������������� �����������*�'�������������������������'������������������� ���������������0����������$�

���������������������������������

������������������� ����������������������������������������������������������.,���������� �����+����������������������.,%#$��,�����#("(����������������������������������������:������ ������������� �����-!����������

���������"���������)��������� ������ ���,-��

,����������������������������������������������B��� ��C������������������+�����������������������"���������������������+���������������������.,%>#�

�����!������%����������

������������������������������������������������������������� ���������������������������������D����*�����8��������+���������7��.��& ��������������*���������@�����������������������'�.*��.�$������������������������������������ ������ ��������

���������"�������������������

(�����������"�������� �������������������������������������/��������� ����������=�������������+����������������������������������������������� ����+��&#�8����8�%����������������������� ��������������������.�����*�0���������������� ����������

�����#���"�����������������

����������������������� ������� ��������������������������������������������� ��������������������������*��������#-��6�07��8��&�6�7�����8��(�6�7�

�����'���"������.���/�����%��&�$����%�������%

������������������������������ ������������+���������������������������������������,�������#�+�����0�������������#-.%���������+������������������������������ �0�����������������������������9���� ��#-.%��������������������

�����0���"�����������������

"������������������������������������������� ������+���������������������������������������+�

����� �����������������������������������������01�'��� �����+������ ������ �����������������!����>������!��"�����;'8�

��������

#������ ������������#�+�����<��,��������������� ��������"�����<��.���������������������� ����������8)�

Page 105: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ��������������������������

�������������� ����!"#

�������������� ������������� ���

����������� ��

����������������� ����������� ������������������������������

��� ����������� ���

� �����������������������������������������������������

� �������������������������������������������������������

� ��������� ��������������������������������������������������������

��������������� �����

���������

��������������� ��������� ����������������������������������������������������������������������� ����

��� �����������������������������������

������������� �����������������������������������!�����"#�����"#����$�������������������������!�����%�����&%����$������������������������!���������'�����������(#��� �)#�������*#$���������������'��������! �+�������,���+���������'�����$�

��� ������������������������������������

�����������������������������������������������������������-�����������������.������'�������� �+�������������������������������������������������������������������/����������������������������� � �������!����"������������#��� � �������������� �!� � �������$�%� �������&�������������� �!� � �'(�������������������� ������������ ��)����"��� ��� � ����'��� ������������ �!� � �������� ��������������������������*�+�0����������������������������������������

��� ������������ ������������ ������

����������������������������������������������������������������'������� �+������������������������12��������������������������12345������������������������!��������&$��6�����������������������������������������

��� ����� ������ ����!�����������"����������#$��

����������������������������������������������������������������������-����������������������������������������������������.������������ �������������������������������������������������������7���������������������������������'������

��� �%����������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������2���������� ���������������

model nugget Sill (without

nugget) Ranges

Directions (MEDS)

EXP 0.007 0.078 80/60/60 45/0/0

Page 106: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������� ������������ ��������� �����������

���� !"$ ��������������

��������� ����� ������ �&����������'�����������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������*��"���$������������ ��������������*��"�$��������������������������� � ��"��,� ��"��,� ���#����()��������������������������������������������������������+

��� �(��� ������ �)������ ������

�(����������������������������������� %������������������������������������������������+

��� �*��� ������ �����������)������ ������

������������� ��������������������������������������������'�����������������������������������������������������������������������8���������������������������������������������������

��� �+������!������������,���� �����'�����������-

�����������������������������������������������9������0�������������������'������

��������.��! ��

�-������������ ������� ���������������������������������

DIST EAST NORTH ELEV VALUE DH 84.24 2628.40 5432.60 2435.0 0.6300 53 86.58 2628.40 5432.60 2450.0 0.3700 53 93.25 2628.40 5432.60 2465.0 0.3100 53 93.25 2628.40 5432.60 2405.0 0.4700 53

103.42 2628.40 5432.60 2390.0 0.6100 53 103.42 2628.40 5432.60 2480.0 0.4100 53 103.69 2728.30 5439.10 2480.0 0.7300 54 132.10 2618.80 5558.90 2435.0 0.0100 61 133.60 2618.80 5558.90 2420.0 0.0000 61 133.60 2618.80 5558.90 2450.0 0.0100 61 138.02 2618.80 5558.90 2465.0 0.0000 61 138.02 2618.80 5558.90 2405.0 0.0100 61 145.09 2618.80 5558.90 2390.0 0.0000 61 145.09 2618.80 5558.90 2480.0 0.0000 61 158.24 2829.60 5537.40 2435.0 0.3300 62 159.50 2829.60 5537.40 2420.0 0.2300 62

:���!)#��)#$�1���������;�&�(%&<

=������������������������� ���������������/>&����'�������������������?����������������������9�������������������������� ������������������������������������������ �������������������������������������� ��������������������������������������������

����������

��������������.������ �����"��� �!�������������� ���/�������������������������������������!0�!0����@�������������A

Page 107: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ��������������������������

�������������� ����!"%

�������������������

��������������.������ �����"��� �!����������������������� ������1������%� ���@�������������A

����������

���������������/����� �!����������������������� ���������*������� ��.����� �����"� �!��� �������� ���������������1�������2����1���������������������������

DIST EAST NORTH ELEV VALUE DH 77.99 2728.30 5439.10 2480.0 0.7300 54 84.20 2628.40 5432.60 2435.0 0.6300 53 85.52 2628.40 5432.60 2450.0 0.3700 53 89.38 2628.40 5432.60 2465.0 0.3100 53 89.38 2628.40 5432.60 2405.0 0.4700 53 95.47 2628.40 5432.60 2390.0 0.6100 53 95.47 2628.40 5432.60 2480.0 0.4100 53

����������%

���������������������������������������� ����������������#������������3��������2����#�� �!��������������������1�������2%�����B����������

DIST EAST NORTH ELEV VALUE DH 84.20 2628.40 5432.60 2435.0 0.6300 53 85.52 2628.40 5432.60 2450.0 0.3700 53 89.38 2628.40 5432.60 2465.0 0.3100 53 89.38 2628.40 5432.60 2405.0 0.4700 53 95.47 2628.40 5432.60 2390.0 0.6100 53 95.47 2628.40 5432.60 2480.0 0.4100 53

���������������������������������������������������.������� ����2�������������� �!������������ � ����������������������������������� �!�,�!�,��

DIST EAST NORTH ELEV VALUE DH 84.20 2628.40 5432.60 2435.0 0.6300 53 85.52 2628.40 5432.60 2450.0 0.3700 53 89.38 2628.40 5432.60 2465.0 0.3100 53 89.38 2628.40 5432.60 2405.0 0.4700 53 95.47 2628.40 5432.60 2390.0 0.6100 53 95.47 2628.40 5432.60 2480.0 0.4100 53 99.08 2618.80 5558.90 2435.0 0.0100 61

����������

���������������������������41����������������������

Page 108: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������� ������������ ��������� �����������

���� !"& ��������������

������������ �����������

��������

��������������� ��������������� �����������3����� �������)�����'5(��?������������C.��������������

���D���8�����(E?���������������������������D���8������9���!��������������������$���6�9�����������������9�������������

Page 109: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������������������������� ���������������������������

��������� !�"�# ��$�%�&

������������������������� ������������������������������������� ���� ��

�� ����� �

����������������� ������������������������ ��������������������������������������������������� ���������������������������������� ������������������������������������������������� ���������� �������������������������������� ���������������������������������

����������� ��

����������������� ����������

� ����������������������������������������������������

� ���������������������������������

� � �������������������������� ���� ���!����

������ ��� ���������� ���� ��

"������������������������������������������ ���������������������� �������������������������������������������������������#����� ���������������������� ����������������������������� ���������������������� �������������������������������������������������

� ���������������� ���������$�%&'���� ���(�)

� �%&���� ���(�*

� �%&���� ���+�)

� �%&���� ���+�*

� �%&���� ���,�)

� �������

������ ���� ��� ��� ��

���������������������������������������������������������������������

� ��������������'�����(����)���"�����

� *�+�����������������

� �����,������-��,��,�)��� ������������,��

� ��-��,������������������������������

� .��������$����$���������

� ��"��������������/������"����$�������������

Page 110: Manual Mine Sight Geoestadistica

����������������������������� ��������������������������� ������������ ��������� �����������

��$� %�0 ��������� !�"�#

���������-����������������������� *+./(����������������������������������������

���0!1�������������������������������������������������� *+*�!��������������������������������������������������������

� ������������ �

2������ ���!�����1������ ����������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ������������ ����!���������"��3������������������������������

������������������ �����������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������#��������$����������������� �����%���&"�

������������������� �������

�����������������������������������������������������������������������'�������(��&��) ���������� �������$��������������*������+��������,�����������$������������-./��*���-�������������������%�������� ������������0����������1�����"

������������������������������� ����� ����� �

"����������!���������������������������������������������3�������������������2�������������$����������������������������������������������� ����$��)��'���3'.�������������������4���� ��������������������&�����%�1����������������� ���������4

�������������������������������

����������� �������������������������������������������������������������������������������������������5����������62��7�()��%�-8�7�)�����%�-"�7�)�

�������������������� ����� �

�'�������������������� �$�����)� � ����$���4��� ������������+$����&�/"���������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������9������������

���������������������������������� ���������� �������

�������������� ��������������������������������������������5���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)�(��5������$��������� ������4�%)�����4�����(67'��������������� ����)�(��5��������4����4����������4����"�

������ ������������� ����� �

:����������������%&�� ��������������;����������������������������������,���������)�(����9������������������.)�����������

!��"���

�����������$��������5������'��� ����������������������������������������������������������������������������������������

Page 111: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ����������������������������� ���������������������������

��������� !�"�# ��$�%�*

���������

������������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������

Page 112: Manual Mine Sight Geoestadistica

����������������������������� ��������������������������� ������������ ��������� �����������

��$� %�1 ��������� !�"�#

��������������������������������������� ������������������������ �����������������

���������������

������������������������������ ������������������������ ����������������������������������������

�#� ���

1�������������������������������������������������������������&��������������<

Page 113: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������������������

��������� ����! ����"#$

���������������������� ����������������

���������������������� ������������������������������������������������������������������������������� ������� �������������������������������� ��������� ������������ ������������������ ���

����������� ��

���������������� �����������

� ��������� ���������������������������������� �����

� ��������� �������������������������� �����

� ����������� ����������������������������� �

� ����������������������������������������� ��

� �������������������������������������������

� ��������������

�������� !�"������� � �������������������� ���������������������� ��������������������������� �������������������� ������� ������������������������ ����!"������� ���������������������

������������� ���������������������������

#������������ �������������������������������������$�����%&���������'�����

������������� ���������������������������

#�������������������� ������������(�)���������������������������������������������������������������������'������������#$%��������������&���!���������������������������#'(���#)*+������ �$%��,��-��������������&.�����/�)������0����������� �����������"�

������������ ���������������������������

#������������ ���������������� ��������������������*� ��������� �������������+,���������������������������������,�%���1����2���3������������������4����������&���������������� ��������"�

��������������������������������

#������������������ ����������������������������������� �����'� ��������������������������������� ��-��������(��'������5������������6�&.�����-�����(781���������1�������6��������� �������������������������"��#����������.������/���0������ �����1��

������������� ���������������������������

#�������������������������� ������������������������������������������������������������������������������2������������������� �������������������� �������������� �����3������4������5�������6�

������������������������������� ���

!�� ��������������������7����� ������������

Page 114: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#% ��������� ����!

���������!�� ������ ���������������

#��������������������������(���8,9� %)�����������������������������":�4�":.;<��":�2=����� >�4���� ������������ ������

#������������������������������������������������������":�4���� ������������#����������������������������������� ����� ����������������?�

Page 115: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������������������

��������� ����! ����"#&

���������

5����� ���������������������� �2>#�������������� ������������ ��������� ��������������������� �������������������������������������������������������������������� ��

Page 116: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#' ��������� ����!

���������

"#������

<�����������������������������������45����������������.�����������������������:��������� ���������������5������ ����������� �� ���������������� ������0��������������������:���������'�������� ��� ������� 0����������

������� �������� ��

�������� ��!�����"������� � �������������������� ��������������������� �������)������������� �������������������� ������� -� ������������9/����-�)����"�������� ��������������������

���������������$������������������

5���������������/������� ���������������������45�����0������������������������������!���������������������� ������������� ���������������������������������8,9� ������8,9� ���������8,9� 0��4������������������ ������������������������������������������������������������������� �����3�������������45�(@)����.�������(A)6�

!�� ������ �%�� �&'�����������

#�� �2>#��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ����)�5��0����� ������������������� �5��0�0��������2:3�����14������� )*�/� ����"�

Page 117: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������������������

��������� ����! ����"#

���������

�� ���������������������� ������� ������

>����� ��!�����"������� � �������������������� �)������-����������� ������)������������� �������������������� ���������. ������������9/����-��)����"������� ��������������������

����������������������

�1��������������4��.��������� ������-������������ �;���������!"������������������:!B;���:���������������������������������������������� ���������'������

Page 118: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#( ��������� ����!

���������

!�� ������ ���������������

#�������������������������� %CC ����/���4��������<�����2:3"�

Page 119: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������������������

��������� ����! ����"#)

���������� ������������������������� ����!� ""�

>����� ��!�����"������� � �������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ����6��������������������#������������ ����!"�������� ���������������������

������������� ���������������������������

#�������������������� �����������������$� ������%&����������'�����

������������� ���������������������������

#�������������������� ������������(�)���������������������������������������������������������������������'������ ��":�4�������������(���)����*����������� ����������#>�>������������� �����������,�,%�

������������ ���������������������������

#�������������������� �������������������������� �������������1����=������������������5��������������������<�����&�4�����������������������5�������������3��6>�����������������4�����������&���������������� ��������"��#��":� ��������������'��������,�C��,�+��,�&��,�D&��%�,������%�&�

���������������������������������(����� �������������

#������������������ ����������������������������������� �����'� ��������������������������������� �����������(��'������5������������6�&.�����-�����(781���������$��������������������6��������� �������������������������"��#���������.������/���0������ �����1��

������������� ���������������������������

"�� ���������������������������������������������� ������ ������������������ �����3�45���� ��� �����/���� � �����6�

������������������������������� ���

!�� ��������������������7����� ������������

Page 120: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#" ��������� ����!

���������!�� ������ ���������������

#������������������������������������������������������":�4���� ����� ��������� �������E�������������� ������������������ �������#���� ��������������������� ������������������������������������

#�����������������������������������$��$�������0��������":�4���� ��

5����� �'�������������������� �2>#��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ���)�5��0����� �������������������� �5��0�0��������2:3�����14������� )*�/� ����"�

Page 121: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������������������

��������� ����! ����"#*

���������

� ����! ������� ��

�������� �����-������ ���� ������&��������������� ���������������������� ��������������������������� �������������������� ������� ����������������������� ����!"�������� ���������������������

�������������� �������)�������������������

#�������������������� �������������������������'�����������������������������������������?%�������������������@!������� ����.�������������4�����������2��3����&��������������� ��������"�

�������������� �������)�������������������

#�������������������� ���������������������������'������ ����1�����#$%�������.��4��������#'(��������4��4���������� �����#����������������=����������4����������������&�����4��"�

������������ �������)�������������������

���������������������������������&�������&.����� ���-�������������5�������������������������������2$%,�5��'�-��-3"�

���������������������������������(����� ���)�����������

#������������������ ����������������������������������� �����'� ��������������������������������� ���#������������������������������������������� ������������������������������.�(��'������5�������&.�����-�����(781��������"�

!�� ������ �)���������������

#��������������������������(���8%9� )����������� ���������������������������������":�4�����":.<;���� ��

Page 122: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#$� ��������� ����!

���������

5����� �'�������������������� �2>#��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ���)�5��0����� �������������������� �5��0�0��������2:3�����14������� )*�/� ����"�

Page 123: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������������������

��������� ����! ����"#$$

���������"#������

"�� �������������������������������������.��������������5��������� �����F

�� #�#����$��� ��

>����� ��!�����"������� � �������������������� ��������������������� �������)������������� �������������������� ������� ��A���������)�&�&����.�)���� ����!"�������� ���������������������

������������� ���) � ����*������������������

#�������������������� ��������������������������������������������'���������!������?4����������(����%&)������������������������������������ ���

������������� ���) � ����*������������������

#�������������������� �������������������������������������������������������������������#'(������-�����������5��������=�����������4�����5��������������1�������������������2)�&�&����.� �������<�-��-���������3"�

��������������������������������(����+������������������

#������������������ ����������������������������������� �����'� ��������������������������������� ���#������������������������������������������� �������������������!�����������������������������������������0�

�������������������(���������� ����������,���������$����

#�������������������������� �������������������������������������������2����������������0����������'����

����������������������������������

#�������������������� ����������� ���������������*����������������� �����������

!�� ������ �����������������

#�� �2>#��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ����)�5��0����� ������������������� �5��0�0��������2:3�����14������� )*�/� ����"�

Page 124: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#$% ��������� ����!

���������

"#������

"���������������������������������;�0�#����%�����C��"�������� ����

Page 125: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �����������������

��������������� �� �!"#

����������������������� ������������������ ��������������������������������������������������������

�����

����������� ��

����������������� ����������� �����������������������������������������������������

� ������������ ��

������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �!����"�#���"�����$����%&���������������������������������

����������������� ���������������������������������

���������������������������������������������!������������������������������"���������������'������(���������)����������������������������*!&

����������������� ���������������������������������

�����������������������������������������������������������������#���� �� ����������������������������������������������$�����%&�$!� ����������������������������������+�����,�����������������)��������������������������������)�����!&

��������������������������������������� ��!����������

������������� ��������������������������������������������"������������������������������������������'������������������������������������������������������#�������-./�+�����������������'�-��0�1'������������������#23�)��������4���� �����55�(

������"�������������������#����!������������������ �

�������������������������������)�*������������+��������������������������������,�����!����������"�����������������������������������"�����!� �� ����������+6�#�7��#23�8��23�9�(��������)��������:�������*��!&

������$����������������%�����������&��'�����(������

���������������������������������������������)�*�������������� ���������������������������������������"�����!� �-�������������'�����+6�#����!&

������������������������������������������������������������������� ������������������������!����������������%����.�� ����%���#�����/0$�

Page 126: Manual Mine Sight Geoestadistica

����������������� ������������ ��������� �����������

�� � !"$ ���������������

���������

Page 127: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������ �������������

��������������� ������ �

���������������������� ������

���������������������� ��� ��������������������������������������������������������

����������� ��

����������������� ������������������� ��������� ����������������� ��������������������� ��������

������� �������������������

� ���������������������������

� ���������������

� ����������������������

� ���� ������!��������������"�

���������� ������� ������ �� �������������� ��

������������ ������������� ������������������������������#�$������ ���������������������������%�������������������%�&'������������������������������������������������������(�

%���������)*��������������������������+,-�������������.���������������������������������������� ��������������/,-� ����������%���������������� $�����������������(�

0�����1&�2�������1� �������� ����� !��"�#���"�����$�� �����������"!������%� �� �����&��!�����"!����!� ������ ���"!����!�"'()*(+����,�-�!,%� ���.$�� /0��.����� ���������������������

����������������� ���������������������������������

'�������������������� ������������������������������������������������"���������&���������3,����������������������������������

����������������� ���������������������������������

'�������������������� ���������������������� ���������� ��������&������������� ����������������� ������������� ������������������������

��������������������������������������� ��!����������

'������������������ ����������������������������������� �����"� ��������������������������������� ���4� ����������������������������� ������������������������-����1�� ��������������"���2��������� ���3����*�����#4�����%-����� ���3����*�����440�

������"�������������������#����!������������������ �

����������������������� ������$�(���������5������������������ ������������ �������������"��������������������������.��������"������������������������(����� �����3�5�����6�0�

Page 128: Manual Mine Sight Geoestadistica

������ ������������� ������������ ��������� �����������

���� �� ! ���������������

���������������$����������������%�����������&��'�����(������

'�������������������� ���������������������$�(���������������������� �����������������.��������"������6����������������7089�����

����������� ������

7���:�+�����%�&'��:�;<����,/

7���:�)�����%�&'��:�,/����//

7���:�;�����%�&'��#//

'������ ������7089�������� ��������������������$7089�:3����+(������������$7089�:)(����������������$7089�:;(�

)*�����

1���������������������7089����1&+������������ ����������������������

����������������

1������������������������2=�! ������������� ��������� ���������� ��>+;<3�%?'��=�� ������������������������������$� ������(�

Page 129: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������ �������������

��������������� ������ "

���������

!�������+�%�%�,������

� ����������������� ������������������2�� �������������������������������������������&�����������2=�2!��1���������������=�� �������������������������������$� ������(�

����-��,������.�����*

� ����������������� ������������������2�� ���� !������������2��������������&����������� !���1���������������=�� ����������������� ����������$� ������(������������ �����@

Page 130: Manual Mine Sight Geoestadistica

������ ������������� ������������ ��������� �����������

���� �� # ���������������

���������

Page 131: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������� �������

��������������� ���� !

���������������������� �

���������������������� ��������������������������������������������������������� �������� ����������������������������������������������������������������

����������� ��

���������������� �����������

� �������������� ����������

� ���������������������� �����

� �������� ����!��"������������������������!��"�

� ��������#���$�����������������������

� ���������������������� �������������������

� ������������!������������ �������������

� %��������� ������������

������� ����� ��

&����������������������������������������������������������������������� ���'�� �����������'����������������������������������(���)����'����������������������������������������������������� ��������*���������������������������������'������������������������������������������� ���������������������������������

��������������������� ��������������������� ���������� ���������������� ��'����������������� ���������������������� ������������������������ ���*����� ������������'����������! ����������������� �����!�������������������&��������������������������������!������ ����������������������������&������������������� �������������������������������� ������

�� ����� ������ �

&�����������������������!��������+ �����������������������! ���������� ���������� �����������&���������� ������������������������������������������������������������*���������������������������� ������������

,��&��������������������������! ����� �������

-��&������������������������������! �����!������.��+ �����/�������

�������������� ������ ����������

&�����������������������������������������������������'�������������������������������������������� �����0 �������������������!��"���� ���� ����������������������������!��"���&��0 ��������������!����

��������

���������

Page 132: Manual Mine Sight Geoestadistica

������� ������� ������������ ��������� �����������

���� !" ���������������

����������������� �� ���� �����������

���������������� ����������������������������� �������������������������� ��������� ����� �������� ��������������������� �������������������� � ���!������"�(����� ������������������!��

�������������� ��������������

&�������������������� ������������������������������'�!��"�����������������������������1�����)������������������������������������",������������!��������������� �����!�����������������������'�����������������������������

�������

&��� �� ������������� ���������������������

��� �����

%�����!��"��������,2),2�������� ��������� ������������������ ��������!��"�������3

��� �����

%�����!��"�����������������,2),2)4��������������������!��"�����������-2)-2�!��"��

��� �����

����� ���������������������������������'������ ������������� �������������������� ��!���3

Page 133: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������� �������

��������������� ���� !#

���������������� ����� ��� ��� �� ����������

5�����6��7�����%�������6� ���!'��������������� ������������������������� ���������� ����� �������� ��������������������� ��������#$%$&��������������'� �� ����("��(����� ������������������!��

����������������������������������������������

&�������������������� ��������������������������������������������8���������������9�����������%1�������!��������������������������������������������

����������������������������������������������

&�������������������� ���������������������0 ����������������������)���������1��������� ����� �������'�����������:2����������������������������2�,��8�������������)����������; $��������� ����������������'������"������������ �������������

�������������� ��!����� ���� ����� �

&�������������������� ���������� �� ������������������!��"���������7������� ������������� ������������� ���'����� �����!��"�������������� ��������"������� ��<2�,==>�

������"���#��������������������! ������������������

&������������������ ����������������������������������� �����)� ������������������!�������������� ���&���������������������������������������������7�������?5%#�������� �,�!�� ��������?*@A8�������'����������������� �����$,4���!����������������"�����,B�

������$�������� %������&������! �������������

&������������������ ������������������� ����'������!�����������������������������+�����������!� �����������C�������������!���"�

������'���(��� ���������� �)����

&������������������������������������ ���� ���������������������7�� ���� ��������������*����! ������������

�������

C��"����������������������� �����@�����������������)���������&��������� ������������������������������������!��"������������������������ ���������������������&��������� ���������������������������������� ��

Page 134: Manual Mine Sight Geoestadistica

������� ������� ������������ ��������� �����������

���� !$ ���������������

���������

��������� �� ����� ���������� ���

5�����6��7�����%�������6� ���!'��������������� ������������������������� ���������� ����� �������� ��������������������� ��������#$%$#�������)�**+��������"���(����� ������������������!��

�������������**�������������������������

&�������������������� ����������� ����������'�������!�'������������������������'��������������������1��D��"�������������� �����'�DC#������������������!�'�����"����!�)���������������������

����������+ ���+ ��������

&����������������������������������� �����<�>�!���� ����7���%�� ���E,�������������������

�������������**�������������������������

&�������������������� �������������������������������������'��������)�������'���������������������1��������� ����� �������������:2���0 �����������'�����2�,�8��������������)�������;!�"$�����!�������� ����������������'������������������ �����;&��������!��"�$�

������"���(��� ���������� �)����

&������������������������������������ ���� ���������������������7�� ���� ��������������*����! ������������

Page 135: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������� �������

��������������� ���� !�

�������������������%�(��� ������

&����������������������*7%����������������������! �����������!������������������

������ �)���������������'����6�C5&����������������'���������� ������������������'�������������������������'������������������������������������ ���������������'��������������������������;F$�����8)������6�C5&������

� ��� ���������� ������ �� ��� �� ���������

5�����6��7�����%�������6� ���!'��������������� ������������������������� ���������� ����� �������� ��������������������� ��������������������! �����!�������'� �� ����("��(����� ������������������!��

������������������ ������ ���������������, �%��

&�������������������� ����������� �������������'�������������������'�����������)�����������������������*��������� �������9'������"����!�)���!����������,-�

������������������ ������ ���������������, �%��

&�������������������� ���������������������'���������������'����������������������������1�����%1������������� �'��������������� �����������������%�"����!�)����������� ���'���������������������������������<��� ��>�

����������#��������������������! ���������

&������������������ ����������������������������������� �����)� ������������������!�������������� ���&�����������!� �����������������������������������������������7��������?5%#�������� �,�!�� ��������?*@A8��������

������"����������� ������ ������� ����� �

&��G�� ��G������%�������������������!�!��"������������������������2�,=H99I2�-4=�J�2�HK9L���������������������������������������<2�=24�>�

Page 136: Manual Mine Sight Geoestadistica

������� ������� ������������ ��������� �����������

���� !% ���������������

����������������

&������������<���42K���>������������ ������������G�� ������������������ ����

��� �����

? ���������������������������"����������������! ������1��)�������*((�

��� �����

? �����G�� ��G������%�������� ��������������������������������1��2�=-�����������������������������<7����!�"����%1DC#'�� �����������'� ��)�������C6�>

��� �����

%��!�����������������������������

��������������<���:2-� >

���������������������������������<���:2-�!�">

��������������<���:2-����>'����

�����������������������<���:2-����>

5�����6��7�����%�������6� ���!'��������A�� ����������'��������5�����������L������������� ������'��������� ������������������������178?(I�*&*(��(���� ������������������!��

������ ������

8������������)'���������<��������� ����'��������+�>�������������������178?(��1��������������������������

�������

&���������� ������"���"������

Page 137: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������� �������

��������������� ���� !&

���������

� �������������� ������ �� ��! "�������

M,� �������������� ����������������������� ���-����.�/)/*/*��������� ��/0���.��������� �������1� �������+�����.�! ����������������� ��������

������������������+������-��

C�������������!���"�

��������������*�������)��-��%

7������������������������������������1������%1#?A��7����!�"�������%1#AA�

��������#�������������������

7���?�"�&���,�

������"��������� ������ ������� ����� �

1���������������������,�2K��*�� ��������� ��761� �������,2�)�,2�)�,4�������

Page 138: Manual Mine Sight Geoestadistica

������� ������� ������������ ��������� �����������

���� !' ���������������

���������� ������ ����!�"������������������������!��"'��� ���� ��������!��"����������2�,9,4=L���������������������������� ���!�2�,9,4=I2�,=H99�J�,�2K��&���������������������?�"�&���,�����2�H9,=���������������2�42-4�

�������

��� �����

? ���������������%1#AA�������"���������������! �����

��� �����

����������������� �������%1#AA�����%1#?A��������������������������������+ ���������������! �����

Page 139: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������������������������

������������ �! ����"#$"

�������������������������� ������

����������� �

����������������� ��������������������������������������������� �������������������������

�������������������������������

�������������� ������������������ ����������������� �����������������������������������!"#$��������������� ����������������� ���������������������%���������� ����&�����'�������������������%�%������������������ ����� ���������������������� ����������������%����� ���������������� ����������������������������� ��������������� ����� ������� ����������������������������������������������������� ������������������ ������� ��������������� ������� �������������������������'�(!"#$�������)��������� ��������� ����������')���������������� �����������������������

����� ������������������������

*��������������� �� ����������� �������������������������������������� � �������������������� �����

�!����"#������ � ����������������� ����$���� ���%������#�����������$����&�����'���+��,��������#�������� ������������������������� ������� ����������������'�-�"��������������������%������ ��������������������������������������������������������$�

Page 140: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������������ ������������ ��������� �����������

���� "#$# ������������ �!

���������������������������

��������������������������������� ����������������%��������'�-)� ���������������������������%�������������������.

&�� ������������������ �'�-)

'�� ����� ����

�����������������������������%����������������������� ����/��������������������� �������0&)���#�0'�"�����$�������������0�'�

*�����������"��� ������������ ���"������ �����������������&�(��������#����"������"��� ����

#��� ������")*����+������$����&������'������ ,��%����-����� ������")*������!������������������.$������ ,��%������")*/��0��"1���1

���������������������

1��������������������� �������� ��������������������������������������������������������%����������������������� ����'2����������������������������������������������������3��� ��������0&)���#�0')���������0�&�&'���&�&&'���4�����%����5�������6������������������������������������

*�����������23� ��� �,��������� ���"������ �����������������'����������435� �������� �

#����$������������$���������������� �����% ��������6���������� ����� �����������"#473�� �,���")*����4������������������$���������(���#������������������8���� ���0�����0 ���������������1

����� ����

*�����������23� ��� �,��������� ���"������ �����������������'����������� �����)� , �,

#����$������������$���������������� �����% ��������������������� ����� ������������"#�9:���4������������������$���������(���#������������������8���� ���0�����0 �����������������6����$����)��� ��� ���$����������������� �����")*�0������� ���0 ������� ����"#473�0���������1

� �������������������������������

7�������������� ����������������������������������������������������������������������������������(���������%���

Page 141: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������� ����������������������������

������ !!"#���� ����$%&$

�������������������������� �������������������������������

����������� �

����������������� ����������

��� ����������������������������������������������������������

��� ���������������������������������������������������������������������

��� ������ ��������������������� ����� ��������!���"����

����������������

#��������������������$������������� �������� �������������������������������%&��� ����������������������������������������������� �������������� ���������� ������������������������%�#������������� ��������� ����� ������������� ������������������'�������������������%�#�������������'���������� ��������������������������������������������������������������������������%

����������������

(������!���"������ �����!�������)�*������������ ��������������������������������������������������������������������� ���������� ���������������� �����!%+

���������������� ������������������

*"�������� �����������#����� ���������#������������$

�������������������������������

*"���������%&�"�'���#����������������(������������)������� ���������**�$

��������������������������������

,���������������������%

������������������������ ����������

*+���#���������������������� �����������������'�������� ���������������#����������,���#����� ������������� ��'����'� ������������������������$

������� ������������

(������!���"������ �����!�������)�*������������ ������������������������������������-���������.�.�)�����/��� �� ���� ���$

�������������������������� ���������!�� �������

*"�����%0��1�����#����� ������������������� ���2��� �� ��������!�����������$

���������������������� �������������

,���������������������

Page 142: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������� ���������������������������� ������������ ��������� �����������

���� $%&' ������ !!"#����

����������������������������������������

*����,�#���(�������$

���������!�� ���"������������������������������

,���������������������

������#���������������$����!����������������� ���

*� ����3��� ���2��� �� ���3!����������� ����#��4������� �������5��#�3���� �������� ��������������2���������� ���'�������������������2����5��#���� ��� ���������������))����� ����#��4�����5���5�� ��� ������������ ����2��������5���5�� ��� ���$

�������������������������

(������!���"�����!�������)�6������������ ���������������������������������������������.���)������/��� �� �7����� ��-��(��#��.�8� �,��2��� �� �'� ��#������������!����������7�(������5� ������ ���9���:��������9��).3���� ��9�.;���$

Page 143: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� �������������������� ����������������������������

������ !!"#���� ����$%&%

������������������������

(������!���"�����!�������)�*������������.8�8������7����� �+���������������������������������������:)3������������������<�� �� �$

��������%������"�$�"�����������������&���

*�����!�����������$

��������'�� �������(����������

*"�������������#����������'�.;� �����#��!��������������������5��������� �!� �����������"������� �����#��4���������������� �!� �.8����������'��������� ������'���� ��=����'���� ��� �'�.�� ������������� �!� �'��:� ����������������������,��(�$

���������������������� �����������

*����� ��������� �%0��1����������������� ���+&8�$

��������������������������������

,���������������������%

������#������ �������������

*����'� ����'� ����2����!�������$

������)*�+*�,

,����������������������%

������������������������

*���������2��5�'���� ���+&8���=����������2����'�������5��#��������� ����'�����>���(���������''���!����������?#�����5���������������,�,��������,������'� ���2������,2����.�$

Page 144: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������� ���������������������������� ������������ ��������� �����������

���� $%&( ������ !!"#����

���������

Page 145: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ��������������������������������

������������ �! ����"#$"

��������������������� ������������������

��������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������� ��

�������������� �������������

� ����������������������������

� ��������������������������������

� ������������������������������

� �������������������������������

� ��������������������������������������

� ������������������������������������������

� ��������������������������

� ��������������������������!����������

� ����������������������!������������

�������

"����������������!�������#"���!�$����������%�����������������������&�����������������������������&���������'��&���������������%�����������������������������������������������������������������������������()�*+������������&���'����������������������������������&�������������������������������������'������%��������������������������������&����������������������'��������&�����������������������������������������������������������#,"-$�����'���� ��������������&���������,"-�����������������&��.��/��������������&������������&������������������&��.����&���������0�����������������&����������������&��.�������������������������&��������&����������������������

����� ��������� ��

�������������&��������

� �����������������

� �������������������������

� ����������������#������������%���������������&��$

� ��������������&������

� �����������������������

Page 146: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#$% ������������ �!

�������������������������������

1����������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �� �������!�

��������������������� ��"���������������� ������#�������"����$��������%&��#������������������#�����������'����������������������� ���������������(�����)����������*�#�����'��*�����+

��������

Page 147: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ��������������������������������

������������ �! ����"#$&

���������

������������������� ���

1������������� ����������������������������%&�������������������������������������������'�����������%&�����##�,���*����+

'������������������������� ���������"���!����������������&����������������������&����������������&�����"���!�����������������'��&������������ ������������������������������������������������������&���������������� ��� ����������������������������������������������������������������

������ ����������������������������

1-���������������� �#�����������#�� �����.��#����� �������� ��������'�!�+�'����������������&����������������������������������������������1-����������������� ����#���%�&������##����������+

Page 148: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#$# ������������ �!

�����������������

������������������ ������ �����

1����������������� �����������������������������%&�����������������/*�������������������������������0�0�0������%���������.������ �+

������������������������������

1"����� ���������� ��"������ ���������(������ ����"����$���������%&�+

�����������������������������

����#*���������##�����1���������������(������ �������������� �����2

Cutoffs 0.42 0.56 0.68 0.78 0.88 0.98 1.12 1.30 1.46 1.66 ���� �����������!�������

2����������������������3�.�' ��*���� �

����"�����������������#�����

������������������������������������������������������2�������������&���.�

����$�������������� ����%����������������������������

1�� �����������������(������ �� �$�!�����������������3���������������1����4������������ ������������(������������������"�����������(����1����5� �������������+'��������&������������������������������������������*)���������'�������������&������������������������������������'���������������������������������������������

Page 149: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ��������������������������������

������������ �! ����"#$�

������������������������������������������'�����������������������������������������������������������������#�4�*$�

� �������������� ������ �����

1����������������� �����������������������������%&������������/*�������������������6����������0������.������ ���������

"��������������#�� ����(������������������������ ���0�0� �'!���6���� ��0��.�1����������*�����������������������#�������������������(������ �������������)�������(������ ���������0�)��������(������ �#�����������������������'����������������������#��������������������������������� ������

�������������(������ ��+

Page 150: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#$' ������������ �!

���������

���� �������������������

1���������������������������������������%&��������������/*����-���������6����������( �'��������%&�.������ �6��� �����7����+

��������������������������&���

5�����������������������&��������������������������������#��������.$����-��*)���������'�������& ���������������������6�)������������7�����������8���0�����������������������&�%���������������������*�#���*�*9$�

����������������������

1-������������� ������#�������#���������##��������������������������(������ ���� ������#���������������������������##��+��������������������������������&��

Page 151: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ��������������������������������

������������ �! ����"#$(

���������

Cutoff Mean Variogram type

Nugget Sill-nugget Range

0.42 0.1907 3 0.05 0.20 75 0.56 0.4802 3 0.05 0.20 75 0.68 0.6132 3 0.05 0.20 63 0.78 0.7241 3 0.06 0.18 63 0.88 0.8232 3 0.06 0.17 57 0.98 0.9199 1 0.05 0.15 51 1.12 1.0279 1 0.03 0.13 41 1.30 1.2050 1 0.03 0.10 41 1.46 1.3727 1 0.03 0.06 41 1.66 1.5539 1 0.02 0.03 32

���� ���������� ���������

1����������������� �����������������������������������������������8��������������������%���������&�����+

������!������&�����'�(��

1"����%&����#�����$���������+

������ �"���!���)���������

1����#*���0�)�����������#���������� ��������1��������� �����3������*�����5� (��������*��#�������'��"������ ���� �$� � ��������������������������� ��������"���� ��� � ��#�0�������� �$� � ��#��8��� ��������+

���� � ��������������������������

'��������������������������������������������&�������������������������&��.���������������������������&��.��������1"���3�����������##����������������������� ��"6�/�����������'9������� �6�/�������#*��������������'9���� ���������������� ���"����� ���������� ��"�+

����"� ����������������

"�!�����������������������������&��������#��������.$��1"���5���� ����� ����#��� ������������������������(���#������������ �������������� �����+

����$�����������!�������

������3�.�' ��*��������� �

����*��������!���)���������

2�������������&���.�

����+����������������������

!������������&��������3�.�' ��*�&��.����� ���-�����������������#���3:;!$�

Page 152: Manual Mine Sight Geoestadistica

�������������������������������� ������������ ��������� �����������

���� "#$) ������������ �!

�������������!�������

1����������������� �����������������������������%&������������������������������������������8�:������������������� ����!�<

������ %�� ��������!���������(�,���

1"���#�����5�<

������ ��������!���������(�,���

,���"�!����������������������&��.������������������������������ ����"�!�������������������)���1"������ ��"6�/�1������� ��/�6������6�/���1���������� �� ����� ����������!�+

���� � ��������!���������(�,���

1"����������� ������#�������"����$��������%&��+

����"�����������!�������

1-������8������ ����������#������������������������+�'����������!������=&��.�����������>����;<� ��������������������'��*�����<

����$� ��� �����!���������(�,���

1�������������������������#�������1����� �����+

����*�-�������������(����.����

�������

Page 153: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������ ��������� ����������� ������������������������������������

��������� !�"�# ����$ �$

�������������������� � ��������������������

����������� ��

����������������� ����������

� �������������������������������������������

� ����������������������������������������

������������������������� ���� �

��������������������������������������������� ��!�� �"��#����������������$�����������������%���������������������������&�������������������������� ����������������������%���'����������������������$������ ������� �����������������������$��������%�#���������������������!

������$�������&���������������������� �!���!�����������������&�������������(�$���)����������#�������������������� ����������� ������������ �!

������

*�������������� � ��������������������������������������������������������� ������"�����������������+��$��$�������!

��������������� ���� ����������

���,��������$��������������$�&���$���������� ��$����$�����������������������$�������������������������"�����!�����,���������������$������������$��������������������������&�%�"��������������������!����$�����������������������&�� ����������������������������������&��������$�&���$��������!�-���������������������������� ��$���������

� ������������������������$�������������"����������������������������.�!�!#�����$�����/�.$����0�"����0#

� ����������$����������������%��� ����"�������������������������"���������������������$�&���������&��������'��!

������$�������� ��$�����&�������������� ����������������"���������$�&���$���������������������������������!�1������������$���������������$��������#�&�%�"�������������������������$�&���$���������.� � ����$��������0!��2������������������� ���������$�&����������������������������!�����$�����������������������������������"���������������&�%������������������������������&�%�"������� ��$�����&����������������������&�%�������������!

������

*���������������� �������������������� ����������� ���������� ���!3�����������������������������������������������"����������!

Page 154: Manual Mine Sight Geoestadistica

������������������������������������ ������������ ��������� �����������

���� $ �% ��������� !�"�#

���������