Upload
efrain-y-mosqueyra-ramos
View
552
Download
16
Embed Size (px)
Citation preview
����������
��� �����
�����������������
���������
������������������������� ���������������
������������ � �! ����"�#���"$�������"�%& �������� � #�"�%� �����"� ������ ��� !������ &��"�����&��� ������& ��� � ���"����& �������#�"�"�"#����� �"�����"��"�� �'�� ��'���"%��'���� �# �&����"�$�"&�����������
����� �&��& ��" ����������"�%& ������� �("'��"� ���� &�(��"��� ���� � ����� &�(��"$��� ���� �# �)��! ��"&#� ���! �� �##�"#��� ����� ��$� ��
�� *����������� ���� � ����� &�(�"$������������
�+%�� ������� ���� � ����� &�(�"$�� � ���,���-��
������������ ��������� ����������� ������ ��������
��������������� �� ��!�"#
������������� �������������������
��������������
������������������� ���������������� ���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��
"���������������#�����������������$����������� �%���&�����������������������������������'��
(��&������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)��
��������*��������+������(������� �������������������,�-������.����������/��
(�&����������*��������0&���������������������������������������������������������������������������������1��
"���������������#������������������$�%��� ���������������#��������"��� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2��
��������������#��������0��������������������������������������������������������������������������3��
��������&���������������������������������������������������������������������������������������������������������4��
5&����$,�������������,�����������������������������������������������������������������������������������������6��
�������$��&**��������������������������������������������������������������������������������������������������������
�&�����0��������-���������������������������������������������������������������������������������������������!��
����������-����������($�����������7�&����,�8�������&��$$�������������������������'��
&��*������������-����������������������������������������������������������������������������������������������)��
�����9���-�����������*�������������������������������������������������������������������������/��
������ �������� ������������ ��������� �����������
�� � �!�"$ ���������������
������������ ��������� ����������� �����������������������
������������ �! ���������"#
�������������������������� ��� �
���������������� ���������� ��������������� ������������������������������������������� ������������� ������������� ������������������������ ����������������������� �������������������� ���� �� ���������� ���������
���������������� �����
����������������������������������������������������������������������� ����������������������������� ����������� ���������������������������������� ��� �� ������������������ ���������������������������� ��������������������������������� �������������
�� ���������� ��� ���������� ��������� �������������������������� ��������������������� � ��������������� ����� � �����������������!������� �� �"��� ���� ����� ��������������������� �� ������� ��� ���� �� ������� ����������������������#������������������������ ��������������������������� �������������� ���������������������� ������$��������� � �������������������� �� ����������� � �������������������������� ���� ������������� �� ����������� �
������������� �������������������������� ������������� �������� �������������������� ����� �������������������� ����������������������������������� � ������������������������������ ������� ����� ������� ���������������������� ��%���������������������������� ������� � ��������� ������������ ������������� ������������������������������� �������������������
�����������������
���� � ����������� �������� ����������� ������ ����������������� �������� ������������� �� ��������������������� �� ��� ��������� � ������������������������������������������������������ ����������� ��
������������
���������������� ������ ������� ��������� ���������������������� �&
������'��� ���������� ������������ ������
�����������'���������������� ������������������ ���� ��
�����������'���� ���������� ������������ ������
�����'������������ ����������������������������� ������
����������'������������ ������������ ��������� ������������������ ���������
������'��� ��������� �����������������������
�������� ���������
����������������������� ������������ ��������� �����������
���� �����"$ ������������ �!
������������������������� ������������� ������ ��������������������� &
������������������������������������'���������������� �(���)������������ ����������������*������������ +�������� ����� �������������,������� ��������������������������������������������������� �����������*-����������.+�
�����������'��������������������������������������/��������� �(��)���������������������������������������������� ������������������������������
������������������0������ ���������������� �������������������������
����������������������
�����!!�����'�������������"���������������������������������� ��������������������������� ����� ����$���������������� �������
����!������'�������������"����������������� ������������������� ������������
� ������%�������&�����'����(���������������)*
� ������%������(+",�-.��!/.�.�0*�
"������'���������������� ���������������� �������������������������������� ��
���������� ��������
#���$����������������!�� �� ���������� ����������� ���������������������� ����������������1���������������� ���23456�783'9:8;��������'����������<���������
������������ ��������� ����������� �����������������
�������������� �������� !
������������� ��������������������� ����
��������������� ����������������������������������
������������������������������������������� �����
!������� �������������������� ������������
"����������������� ����� �������
��� ������������ �
���� ������������ ����������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ������������ �������������������������������������������������������#�������������������������� ��������������������$�����%��������������������������� ������������ ���������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ��
���� ������� ������ ����
&������������������������������������������� ��'����������������(�������������������������������������������������������� ���������������� ��� �������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������&���������������������������������������������� �������� ��'����������������������������� �������������������������������������������������������������������)*&��������������� �����
������������ ������ ����
�������������������������������������������� �������������������������������������������������+������ ����������������������������������#����������������������������$���������*���*���������������,������������������������������� ����������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������� ��������� ��������������������������)*&��������������������� �����������������%����������������������� ����������������� ��������
������� �������� ����
"�� ������������������������������#�����������������������$���������������#�������������$����������������������������������������������������"�� ����������������������������������� ����������������������������������������� ������"�� ������������������������ �������������������������������������������� ��������� ��������������������������)*&��"�� ������������ �����������������%�� ���������� ������������������������
������������� ����
����������� �������� �������������� ���������������� �������������������������� ������)*&�������������#)&!�$�������������������������������������� ������������� �� ������� ���������������*��������� ���������������������������#- �$��������������������� �������������������������������(������������������������������� ������������� ���������������������������������������������������� ���������������(���)&!��������� �������������������������������������������������������
����������������� ������������ ��������� �����������
���� ���� " ���������������
���������- ����������������������������������������������������������������������������.�������������������������������������������������������
�� ������������������)&!������������������������������������������������ ��� ��� ���������������������������������� ��������.����- ������������� ������������������������������+�������/�������������������+������ �������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������-������������� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������� �����)*&��� ����������������������������������������������������-������������������������������������� �������������+������������0�����������������������������������/���������������������������������������� ���������������������������� ���������� ���������������������������� ���������������������������)*&������������������������ ����+������������� ������������� ����������� �������
����������� ����� �� ��� �� ����� ���
����������������������������������������������������)*&������������������������������������������������1�����*-��������������+�������������������� �������������������������������������������� �������2�������������������+������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ���������� ���/��������� ��� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������� ������������������������)*&������������������������������������������������������������������������� �� ��� ���������������������������������������������������
�� �������
����3���&���������������������������������������������� ������������������ �� ������������������������� �������������������� ����������������� ��� ���������������������������� �������������������������������������������������3������������������� �������� ������������������������ ����������� ��� ��������������������������������)*&��4����������������� ������������������������� ����������������������������������������������� ��������������������
����!� ���������!����
��������� ���� ��������������������� ����������������������*����� ������������ ��� ���������������#��� ����$���������������� ����������������� ������ ������������������� ��� ���������������� ���������� �������������������� ����������� �����������������������.��������� ������������������������� ��������������
� "�������������� ���������� ������������������ ���������������������� ������������������ �������������������������
� 3�� ������������*��* ���������� ������� �
� "����������������������������������������������������������������
� 5������������������ ��������������������+�������������� ����
������������ ��������� ����������� �����������������
�������������� �������� #
�����������"�� ��#!���������� ���������
���� ��������������������������� ���� ������������� ��������������������������������������������� ��������������������� ��������5��� ��������������������������������������������������������������������������� ��������6��������������������������������� ������������������� ����������������������������������������� ������������������������������������������������%������������ ��������������6��������������������������������������������� ������������������������������������� �����"�� ���������������������������� ����7�������������� ���������������������������������(� ��������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� ���������������(�������������������%������������������ ������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����)*&��� �������������� ���������������*����������������������������������������*��*����������������������������"�&������������ ����������������������������������������������
������������� ������
�������������������������������������������������������������������� ��'�������������������������������������������������� ������������� ��������������������� ������� �� �������*��������������������������������������������������������� ����� ���������������������������������������������������������������� ����������������
��$���%&'�(��(��) ������������ ��������� �����������
���� ���� *
���������������� �
���
���������������������������������� �������������������������� ��� ��������� ����������� ������������ ������������������ � �����!���������������������
������������������ �������������������"�����#������ ��� ��������� �������������������������������� ��������� ������������������ ����� �����!���������������������
�� �����������������������������������������������#��� ���������� ��� �� ��$� ������������������ ������������ ��������� ������������ ����� �����!����%������ ���� ��������
��������������
������������������ ��������� �����!���
��������� �����������&�����������'������������&��������������&������������� ��$� ����&��������������� ���������� ��������� ������ ��$� ������ �������� �� ��$� � �����!
��� � ����������� �
�����������#���������
����������������� ����������������� ���������
����(��))*���$�+
������������ ��������� ����������� �����������������
�������������� �������� �
����������� �����������������
����������� �8�����������������������������������9����������������������������������������
�������������� ��::��������������� ������������� �;<=�<>;������������� �������� �>�?>:������������� ������������� ��::������� ���������� ������� ��������������������������#��������������������������+�����$
������� ��� ;<=�<>;������������� �������
� >�?>:���� ������� ������������
� ::������� ������ ������������
� ����� ������ �������������������#��������������������������+�����$
$�������������� )*&����������������������?@@@����������?@@@���������=@@��������
� �-��������������������������?@@@����������?@@@���������<@@�����
� ::������� ��������
� ����� ����������������������#��������������������������+�����$
���� ��������� ��� �� �=�@@@� ����� ��������*�������� �������������
� �<@�@@@���������#�����������������������$� ��� ���
� �?@@�@@@� ������ ��� ���
� �::��������������������������� ��� �����������+�����+������������
� ������ ���������������
� 3���/ ����������#.�����������A1�����*-������� ������$
� �B@@��������B@@���������+�������#�����C���������D�)B@@@@$
� ������ ������������������
#�������� �<@��������������
� �<@���������������������������������
� �?@�����������
� ������ �����������������������
������%�����&����� ���� ����������������������!����� �<�@@@�@@@���������������������������#������������������������������� ���
�������������������� ��������������$� �2����������������������������
� �)@������� ��������
����������������� ������������ ��������� �����������
���� ���� + ���������������
���������'��� �����
� ;<=�<>;����������� ��������������������.����?<
� >�?>:����������� ��������������������.����?<
� =�?:=�)@?����������� ��������������% �����������.����?<
� �?�@<?����������� ��������������% �����������.����?<
� �::������� �����������
� ������ �������������������������#��������������������������+�����$
• 1
Introduction to Geostatistics
Objective: To make you familiar with the basic concepts of statistics, and the geostatistical tools available to solve problems in geology and mining of an ore deposit
Classical Statistics
• Sample values are realizations of a random variable
• Samples are considered independent• Relative positions of the samples are
ignored• Does not make use of the spatial
correlation of samples
Geostatistics
• Sample values are realizations of random functions
• Samples are considered spatially correlated
• Value of a sample is a function of its position in the mineralization of the deposit
• Relative position of the samples is taken under consideration.
Topics
• Basic Statistics• Data Analysis and Display• Analysis of Spatial Continuity (variogram)
Basic Statistics
• Statistics• Geostatistics• Universe• Sampling Unit• Support• Population• Random Variable
Definitions
Statistics
• The body of principles and methods for dealing with numerical data
• Encompasses all operations from collection and analysis of the data to the interpretation of the results
• 2
Geostatistics
Throughout this workbook, geostatistics willrefer only to the statistical methods and tools used in ore reserve analysis
Universe
The source of all possible data (for example, an ore deposit can be defined as the universe; sometimes a universe may not have well defined boundaries)
Sampling Unit
Part of the universe on which a measurementis made (can be a core sample, channelsample, a grab sample etc.; one must specify the sampling unit when making statements about a universe)
Support
• Characteristics of the sampling unit • Refers to the size, shape and orientation of
the sample (for example, drillhole core samples will not have the same support as blasthole samples)
Population
• Like universe, population refers to the total category under consideration
• It is possible to have different populations within the same universe (for example, population of drillhole grades versus population of blasthole grades; sampling unit and support must be specified)
Random Variable
A variable whose values are randomly generated according to a probabilistic mechanism (for example, the outcome of a coin toss, or the grade of a core sample in a diamond drill hole)
• 3
Frequency Distribution
Probability Density Function (pdf)• Discrete:
1. f(xi) ≥ 0 for xi∈R (R is the domain)2. Σf(xi) = 1
• Continuous:1.f(x) ≥ 0 2.∫f(x)dx = 1
Frequency Distribution
Cumulative Density Function (cdf)Proportion of the population below a certainvalue:
F(x) = P(X≤x)1. 0≤F(x) ≤ 1 for all x2. F(x) is non decreasing3. F(-∞)=0 and F(∞)=1
Example
Assume the following population of measurements:1, 7, 1, 3, 2, 3, 11, 1, 7, 5
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
CDF
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Descriptive Measures
Measures of location: • Mean• Median• Mode• Min, Max• Quartiles• Percentiles
• 4
Mean
m = 1/n Σxi i=1,...,n
Arithmetic average of the data values
Mean
What is the mean of the example population:
1, 7, 1, 3, 2, 3, 11, 1, 7, 5m =?
Mean
m= (1+ 7+ 1+ 3+ 2+ 3+ 11+ 1+ 7+ 5)/10== 41/10== 4.1
Mean
What is the mean if we remove highest value?
Mean
m= (1+ 7+ 1+ 3+ 2+ 3+ 1+ 7+ 5)/9== 30/9== 3.33
Median
M = x(n+1)/2 if n is odd M = [x n/2+x(n/2)+1]/2 if n is even
Midpoint of the data values if they are sorted in increasing order
• 5
Median
What is the median of example population?
M=?
Median
Sort data in increasing order:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11
M = 3
Other
• Mode• Minimum• Maximum• Quartiles• Deciles• Percentiles• Quantiles
Mode
The value that occurs most frequently
In our example:
Mode=?
Mode
1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11
Mode = 1
Quartiles
Split data in quarters
Q1 = 1st quartileQ3 = 3rd quartile
In example:Q1=?Q3=?
• 6
Quartiles
1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11Q1= 1Q3= 6
Deciles, Percentiles,Quantiles
1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11
D1= 1D3= 1D9= 7
Mode on the PDF
Mode (also min)Mode (also min)
MaxMax
Mean on the PDF
Mean(=4.1)Mean(=4.1)
Median on the CDF Descriptive Measures
Measures of spread: • Variance• Standard Deviation• Interquartile Range
• 7
Variance
S2 = 1/(n-1) Σ(xi-m)2 i=1,...,n
• Sensitive to outlier high values• Never negative
Variance
Example:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11M=4.1S2= 1/9 {(1-4.1)2+ (1-4.1)2+ (1-4.1)2+ (2-4.1)2+ (3-4.1)2+
(3-4.1)2+ (5-4.1)2+ (7-4.1)2+ (7-4.1)2+ (11-4.1)2 } == 1/9 (9.61+ 9.61+ 9.61+ 4.41+ 1.21+ 1.21+ 0.81+ 8.41+
8.41+ 47.61) == 100.9/9 = = 11.21
Variance
Remove high value:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 M=3.33S2= 1/8 {(1-3.33)2+ (1-3.33)2+ (1-3.33)2+ (2-3.33)2+
(3-3.33)2+ (3-3.33)2+ (5-3.33)2+ (7-3.33)2+ (7-3.33)2 =
= 1/8 (5.43+ 5.43+ 5.43+1.769+ 0.109+ 0.109+ 2.789+ 13.469+ 13.469) =
= 48/8 = = 6
Standard Deviation s = √s2
• Has the same units as the variable• Never negative
Standard Deviation
Example:S2= 11.21S = 3.348
S2 = 6S =2.445
Interquartile Range
IQR = Q3 - Q1
Not used in mining very often
• 8
Descriptive Measures
Measures of shape:• Skewness• Peakedness (kurtosis)• Coefficient of Variation
Skewness
Skewness = [1/n Σ(xi-m)3] / s3
• Third moment about the mean divided by the cube of the std. dev.
• Positive - tail to the right• Negative - tail to the left
Skewness
Example:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 ,11M=4.1Sk= 1/10 {(1-4.1)3+ (1-4.1)3+ (1-4.1)3+ (2-4.1)3+
(3-4.1)3+ (3-4.1)3+ (5-4.1)3+ (7-4.1)3+ (7-4.1)3+ (11-4.1)3 } =
= 1/10 (-29.79-29.79-29.79-8.82-1.33 1.33+ 0.73+ 24.39+ 24.39+328.51) =
= 277.2/10 = = 27.72
Skewness
Remove high value:1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 7 M=3.3Sk= 1/10 {(1-3.3)3+ (1-3.3)3+ (1-3.3)3+ (2-3.3)3+
(3-3.3)3+ (3-3.3)3+ (5-3.3)3+ (7-3.3)3+ (7-3.3)3 } =
= 1/10 (-12.17- 12.17- 12.17- 2.2- 0.03- 0.03+ 4.91+ 50.65+ 50.65) =
= 67.44/9 = = 7.49
Positive Skewness Peakedness
Peakedness = [1/n Σ(xi-m)4] / s4
• Fourth moment about the mean divided by the fourth power of the std. dev.
• Describes the degree to which the curve tends to be pointed or peaked
• Higher values when the curve is peaked• Usefulness is limited
• 9
Coefficient of Variation
CV = s/m• No units• Can be used to compare relative dispersion
of values among different distributions• CV > 1 indicates high variability
Coefficient of Variation
In our example:CV = 3.348/4.1 =0.817
Remove high value:CV = 2.445/3.33=0.743
Normal Distribution
f(x) = 1 / (s √2π) exp [-1/2 ((x-m)/s)2]• symmetric, bell-shaped• 68% of the values are within one std. dev.• 95% of the values are within two std. dev.
Normal Distribution curve
Std. normal distribution
• mean = 0 and s = 1• standardize any variable using: z = (x-m) / s
Normal Distribution Tables
• The cumulative distribution function F(x) is not easily computed for the normal distribution.
• Extensive tables have been prepared to simplify calculation
• Most statistics books include tables for the std. normal distribution
• 10
Example of cdf (normal)
Find the proportion of sample values above 0.5 cutoff in a normal population that has m =0.3, and s = 0.2
Solution:
• First, transform the cutoff, x0 , to unit normal.z = (x0 - m) / s = (0.5 - 0.3) / 0.2 = 1
• Next, find the value of F(z) for z = 1. The value of F(1) = 0.8413 from Table
• Calculate the proportion of sample values above 0.5 cutoff, P(x > 0.5), as follows:
P(x > 0.5) = 1 - P(x ≤ 0.5) = 1 - F(1) = 1 -0.8413 = 0.16
• Therefore, 16% of the samples in the population are > 0.5
Lognormal Distribution
Logarithm of a random variable has a normal distributionf(x) = 1 / (x β√2 π) e -u for x > 0, β> 0where u= (ln x -α ) 2 / 2β2
α= mean of logarithmsβ= variance of logarithms
Conversion Formulas
Conversion formulas between the normal and lognormal distributions:Lognormal to normal:
• µ = exp (α+β2 /2) • σ2 = µ2 [exp(β2) - 1] Normal to lognormal:• α = logµ - β2 /2 • β2 = log [1 + (σ2 /µ 2)]
Lognormal Distribution Curve
Three-Parameter LN Distribution
Logarithm of a random variable plus aconstant, ln (x+c) is normally distributed
Constant c can be estimated by: c = (M2 - q1 q2 ) / (q1 + q2 + 2M)
Bivariate Distribution
• Joint distribution of outcomes from two random variables X and Y:
F(x,y) = Prob {X≤x, and Y≤y}• In practice, it is estimated by the proportion
of pairs of data values jointly below the respective threshold values x, y.
• 11
Statistical analysis
• To organize, understand, and/or describe data
• To check for errors• To condense information• To uniformly exchange information
Error Checking
• Avoid zero for defining missing values• Check for typographical errors• Sort data; examine extreme values• Plot sections and plan maps for coordinate
errors• Locate extreme values on map; Isolated?
Trend?
Data Analysis and Display Tools
• Frequency Distributions• Histograms• Cumulative Frequency Tables• Probability plots• Scatter Plots• Q-Q plots
Data Analysis and Display Tools
• Correlation• Correlation Coefficient• Linear Regression• Data Location Maps• Contour Maps• Symbol Maps• Moving Window Statistics• Proportional Effect
Histograms
• Visual picture of data and how they are distributed
• Bimodal distributions show up easily• Outlier high grades• Variability
# CUM. UPPER
FREQ. FREQ LIMIT 0 20 40 60 80 100----- ----- ----- +......... +......... +. ........ +. ........ + ......... +
86 .093 .100 +*****. + 34 .130 .200 +** . +48 .182 .300 +*** . +73 .261 .400 +**** . +86 .354 .500 +***** . +80 .440 .600 +**** . +84 .531 .700 +***** . +74 .611 .800 +**** . +70 .686 .900 +**** . +60 .751 1.000 +*** . +43 .798 1.100 +** . +28 .828 1.200 +** . +29 .859 1.300 +** . +31 .893 1.400 +** . +25 .920 1.500 +* .+19 .941 1.600 +* .16 .958 1.700 +* .8 .966 1.800 + . 9 .976 1.900 + . 3 .979 2.000 + . 6 .986 2.100 + . 4 .990 2.200 + . 1 .991 2.300 + . 3 .995 2.400 + . 3 .998 2.500 + .1 .999 2.600 + .0 .999 2.700 + . 0 .999 3.500 + . 0 .999 3.600 + . 0 .999 3.700 + . 1 1.000 3.800 + .
---- ----- ----- + .........+ .........+ ......... + .........+ . ........ + 925 1.000 0 20
Histogram in text file
• 12
Histogram Plot Histograms with skewed data
• Data values may not give a single informative histogram
• One histogram may show the entire spread of data, but another one may be required to show details of small values.
Histograms with skewed data Cumulative Frequency TablesCUTOFF SAMPLES PERCENT MEAN C.V.
CU ABOVE ABOVE ABOVE
.000 2399.00 100.00 .5129 .8782
.200 1717.00 71.57 .6858 .6133
.400 1240.00 51.69 .8365 .4809
.600 840.00 35.01 1.0025 .3889
.800 522.00 21.76 1.1917 .32291.000 310.00 12.92 1.4012 .26631.200 205.00 8.55 1.5682 .22661.400 133.00 5.54 1.7165 .21061.600 72.00 3.00 1.9206 .20021.800 35.00 1.46 2.1697 .19662.000 21.00 .88 2.3614 .19472.200 11.00 .46 2.6118 .20062.400 6.00 .25 2.8667 .21342.600 2.00 .08 3.6550 .01742.800 2.00 .08 3.6550 .01743.000 2.00 .08 3.6550 .01743.200 2.00 .08 3.6550 .01743.400 2.00 .08 3.6550 .01743.600 2.00 .08 3.6550 .0174
Min. data value = .0000Max. data value = 3.7000Std. Deviation = .450C.V. = Coeff. of variation = Standard deviation / mean2399 Intervals used out of 2412
Probability Plots
• Shows if distribution is normal or lognormal• Presence of multiple populations• Proportion of outlier high grades
Probability Plot
• 13
Scatter Plots
• Simply an x-y graph of the data• It shows how well two variables are related• Unusual data pairs show up• For skewed distributions, two scatter plots may be required to show both details near origin and overall relationship.
Scatter Plot
L inear Regression
• y = ax + b a = slope, b = constant of the line • a = r (σy/σx) • b = my - amx
Linear Regression
Different ranges of data may be describedadequately by different regressions
Cu<5, Mo<0.5
y= 6.526x +0.127
Linear Regression
Cu<0.5, Mo<0.05
y= 8.363x +0.049
Q-Q Plots
• Quantile-Quantile plots• Straight line indicates the two distributions
have the same shape• 45-degree line indicates that mean and
variance are the same.
• 14
Q-Q plot Covariance
Covxy= 1/n Σ(xi-mx)(yi-my) i=1,...,n
Where mx = mean of x values and my = mean of y values
High Positive Covariance
x-mx<0 x-mx>0
y-my<0
y-my>0
mx
my
Covariance Near Zero
Large Negative Covariance Covariance
It is affected by the magnitude of the dataValues:Multiply x and y values by C, thencovariance increases be C2.
• 15
Covariance
C=20.975
C = 2097.5
Correlation
Three scenarios between two variables: • Positively correlated• Negatively correlated• Uncorrelated
Correlation Coefficient
r = Covxy / σxσy
• r = 1, straight line, positive slope• r = -1, straight line, negative slope• r = 0, no correlation• May be affected by a few outliers• It removes the dependence on themagnitude of the data values.
Correlation Coefficient
ρ = 0.99
Correlation Coefficient
ρ = -0.03
Correlation Coefficient
ρ = -0.97
• 16
Correlation Coefficient
It measures linear dependence
ρ = -0.08
Data Location Map
Contour Maps Symbol Maps
• Each grid location is represented by a symbol that denotes the class to which the value belongs
• Designed for the line printer• Usually not to scale
Moving Window Statistics
• Divide area into several local areas of same size
• Calculate statistics for each smaller area• Useful to investigate anomalies in mean
and variance
Proportional Effect
• Mean and variability are both constant• Mean is constant, variability changes• Mean changes, variability is constant• Both mean and variability change
• 17
Proportional Effect Plot
• 18
Spatial continuity
H- scatter plots
Plot the value at each sample locationversus the value at a nearby location
Spatial continuity
A series of h-scatter plots for severalseparation distances can show how the spatial continuity decays with increasing distance.You can further summarize spatial continuity by calculating some index of the strength of the relationship seen in each h-scatter plot.
Spatial continuity Moment of inertia
For a scatter plot that is roughly symmetric about the line x=y, the moment of inertia about this line can serve as a useful index ofthe strength of the relationship.
γ = moment of inertia about x=y= average squared distance from x=y=1/n Σ [1/√2 (xi-yi)2]=1/2n Σ (xi-yi)2
Moment of inertia
X
(X-Y)/√2
(X,Y)
X-YY
Variogram
• Measures spatial correlation between samples
γ(h) = 1 / 2n Σ [Z(xi) - Z(xi+h)]2
• Semi-variogram will be referred as variogram for convenience
• 19
Variogram
• Function of distance• Vector• Depends on distance and direction
Variogram parameters
• Range• Sill• Nugget Effect
TYPE: NORMAL TRANSFORMATION: NONE VARIABLE: CU
FROM TO PAIRS DISTANCE DRIFT V(H) MEAN1 0 - 50 2666 30.9 .2536E-01 .1030E+00 .7488E+002 50 - 100 9734 79.2 -.8209E-03 .2186E+00 .8056E+003 100 - 150 23036 126.4 -.2306E-01 .2490E+00 .7981E+004 150 - 200 32117 175.6 -.1505E-01 .2560E+00 .7652E+005 200 - 250 45989 225.4 .2757E-02 .2601E+00 .7419E+006 250 - 300 47351 275.1 -.2589E-01 .2508E+00 .7286E+007 300 - 350 51794 324.7 -.2560E-01 .2505E+00 .7417E+008 350 - 400 46522 373.8 -.3154E-01 .2434E+00 .7270E+009 400 - 450 40313 424.5 -.4489E-01 .2448E+00 .7113E+0010 450 - 500 32113 473.7 -.4401E-01 .2270E+00 .6915E+00
.2790E+00 +
.2647E+00 + X
.2504E+00 + X X X X X X
.2361E+00 +
.2218E+00 + X X
.2075E+00 +
.1932E+00 +
.1789E+00 +
.1645E+00 +
.1502E+00 +
.1359E+00 +
.1216E+00 +
.1073E+00 + X
.9300E-01 +
.7869E-01 +
.6439E-01 +
.5008E-01 +
.3577E-01 +
.2146E-01 +
.7154E-02 +- - - - - - - + - - - - - - - - -+
250. 500
Sample variogram output Data for computation
Computation 1
For the first step (h=15), there are 4 pairs:1. x1 and x2 , or .14 and .282. x2 and x3 , or .28 and .193. x3 and x4 , or .19 and .104. x4 and x5 , or .10 and .09Therefore, for h=15, we getγ(15)=1/(2*4)[(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x5)2 ]= 1/8 [ (.14-.28)2 + (.28-.19)2 + (.19-.10)2 + (.10-.09)2]= 0.125 [(-.14)2 + (.09)2 + (.09)2 + (.01)2 ]= 0.125 ( .0196 + .0081 + .0081 + .0001 )= 0.125 ( .0359 )γ(15) = 0.00448
Computation 2
For the second step (h=30), there are 3 pairs:1. x1 and x3 , or .14 and .192. x2 and x4 , or .28 and .103. x3 and x5 , or .19 and .09Therefore, for h=30, we getγ(30) = 1/(2*3) [(x1-x3)2 + (x2-x4) 2 + (x3-x5)2 ]= 1/6 [(.14-.19)2 + (.28-.10)2 + (.19-.09)2 ]= 0.16667 [(-.05)2 + (.18)2 + (.10)2 ]= 0.16667 ( .0025 + .0324 + .0100 )= 0.16667 ( .0449 )γ(30) = 0.00748
• 20
Computation 3
For the third step (h=45), there are 2 pairs:1. x1 and x4 , or .14 and .102. x2 and x5 , or .28 and .09Therefore, for h=45, we getγ(45) = 1/(2*2) [(x1-x4 )2 + (x2-x5)2]= 1/4 [(.14-.10)2 + (.28-.09)2 ]= 0.25 [(.04)2 + (.19)2 ]= 0.25 ( .0016 + .0361 )= 0.25 ( .0377 )γ(45) = 0.00942
Computation 4
For the fourth step (h=60), there is only one pair: x1 and x5 . The values for this pair are .14 and .09, respectively. Therefore, for h=60, we getγ(60) = 1/(2*1) (x1 - x5 ) 2
= ½ (.14-.09)2
= 0.5 (.05)2
= 0.5 ( .0025 )γ(60) = 0.00125
If we take another step (h=75), we see that there are no more pairs. Therefore, the variogram calculation stops at h=60.
Class Size
Three possible options:• Lag distance = 500-50, 51-100, 101-151 etc..• Lag = 50, tolerance = 250-75, 75-125, 125-175 etc..• Lag = 50, strict tolerance = 250-25, 25-75, 75-125 etc..
Windows and Band Widths
Fitting a Theoretical Model
• Draw the variance as the sill (c + c0 )• Project the first few points to the y-axis. This is an
estimate of the nugget (c0 ).• Project the same line until it intercepts the sill. This
distance is two thirds of the range for spherical model.
• Using the estimates of range, sill, nugget and the equation of the mathematical model under consideration, calculate a few points and see if the curve fits the sample variogram.
• If necessary, modify the parameters and repeat Step Four to obtain a better fit.
Variogram models
• Spherical• Linear• Exponential• Gaussian• Hole-Effect
• 21
Variogram Models Variogram Models
Sample Variogram Plot Types of Anisotropy
• Geometric same sill and nugget, different ranges• Zonal same nugget and range, different sills
Anisotropy Modeling Anisotropy
• Geometric
• 22
Modeling Anisotropy
• Zonal
Modeling Geometrical Anisotropy: a recipe
• Calculate variograms in different directions• Keeping nugget and sill the same, fit one-
dimensional models to the sample variograms in all directions
• Make a rose diagram of ranges and find the direction of the longest range
• If diagram looks like a circle, no anisotropy. If diagram looks like an ellipse, there is anisotropy. Use ellipse pattern in search parameters.
Rose diagram
0o90o
135o
Length of axes correspond to variogram ranges
45o
Variogram Contours
Nested Structures Variogram types
• Normal • Relative• Logarithmic• Covariance Function• Correlograms• Indicator Variograms• Cross Variograms
• 23
Relative Variogram
γR (h) = γ(h) / [m(h) + c]2
c is a constant parameter used in the case of a three- parameter lognormal distribution.
• Pairwise Relative Variogram:
γPR (h) = 1/(2n) Σ[(vi -vj ) 2 /((vi +vj )/2)2 ]
vi and vj are the values of a pair of samples at locations i and j, respectively.
Logarithmic Variogram
• Variogram using the logarithms of the data instead of the raw data
y = ln x or y = ln (x + c) for 3-parameter lognormal• Reduces or eliminates the impact of
extreme data values on the variogram structure
T ransformation from Logs
To transform log parameters back to normal values:1. Ranges stay the same2. Estimate the logarithmic mean (α) and variance (β2). Use the sill of the logarithmic variogram as the estimate of β2
3. Calculate the mean, (µ) and the variance ( σ2 ) of the normal data:
µ = exp (α + β2 /2) σ 2 = µ2 [exp (β2 ) - 1]
4. Set the sill of the normal variogram = the variance ( σ2 )5. Compute c (sill-nugget) and c0 (nugget) of the normal variogram:
c = µ 2 [exp (clog ) - 1] c0 = sill - c
Covariance Function Variograms
C(h) = 1/N Σ [vi vj - m-h . m+h ]• v1 ,...,vn are the data values • m-h is the mean of all the data values
whose locations are -h away from some other data location.
• m+h is the mean of all the data values whose locations are +h away from some other data location.
γ(h) = C(0) - C(h)
Correlograms
ρ(h) = C(h) / ( σ-h . σ+h ) σ-h is the standard deviation of all the data
values whose locations are -h away from some other data location:
σ 2-h = 1/N Σ (vi
2 - m2-h )
σ+h is the standard deviation of all the data values whose locations are +h away from some other data location:
σ2+h = 1/N Σ (vj
2 - m 2+h )
Indicator Variogram
1, if z(x) < zci(x;zc) ={
0, otherwisewhere:x is location,zc is a specified cutoff value,z(x) is the value at location x.
• 24
Cross Variograms
γCR (h) = 1/2nΣ [u(xi)-u(xi+h)]2 * [v(xi)-v(xi+h)]2
• Used to describe cross-continuity between two variables
• Necessary for co-kriging and probability kriging
Cross Validation
• Predicts a known data point using an interpolation plan
• Only the surrounding data points are used to estimate this point, while leaving the data point out.
• Other names: Point validation, jack-knifing
Cross Validation
• The least amount of average estimation error
• Either the variance of the errors or the weighted square error (or variance) is closest to the average kriging variance.
• The weighted square error (WSE) is given by the following equation:
WSE = Σ [(1/σi2) (ei)2 ] / Σ (1/σi
2)
Cross Validation Report
Variable : CU
ACTUAL KRIGING DIFF
Mean = 0.6991 0.7037 -0.0045
Std. Dev. = 0.5043 0.3870 0.2869
Minimum = 0.0000 0.0200 -0.9400
Maximum = 3.7000 2.1000 2.2100
Skewness = 1.0641 0.5634 1.3559
Peakedness= 2.0532 -0.0214 7.0010
Ave. kriging variance = 0.3890
Weighted square error = 0.0815
25
The Necessity of Modeling
• Suppose we have the data set below• It provides virtually no information about the
entire profile
Deterministic Models
Depend on:• Context of data• Outside information (not contained in data)
Probabilistic Models• The variables of interest in earth science data are typically the end result of vast number of processes whose complex interactions cannot be described quantitatively.
• Probabilistic random function models recognize this uncertainty and provide tools for estimating values at unknown locations once some assumptions about the statistical characteristics of the phenomenon are made.
Probabilistic Models• In a probabilistic model, available sample data are viewed as the result of a random process.
•Data are not generated by a random process; rather, their complexity appears as random behavior
Random Variables
• A random variable is a variable whose values are randomly generated according to some probabilistic mechanism.
• The result of throwing a die is a random variable. There are 6 equally probable values of this random variable: 1,2,3,4,5,6
Functions of Random Variables
Since the outcomes of a R.V. are numerical values, we can define another random variable by performing mathematical operations on the outcome of a random variable.
Example: if D is the variable defined as the result
of throwing a die, 2D can be the variable defined as the result of throwing the die and doubling the result.
26
Parameters of a Random Variable
The set of outcomes and their corresponding probabilities is sometimes referred to as the “probability distribution” of a random variable.
These probability distributions have parameters that can be summarized.
Example: Min, Max etc…
Parameters of a Random Variable
The complete distribution can not be determined from the knowledge of only a few parameters.
Two random variables may have the same mean and variance but their distributions may be different.
Parameters of a Random Variable
The parameters can not be calculated by observing the outcomes of a random variable.
From a sequence of observed outcomes all we can calculate is sample statistics based on that set of data. Different set of data will produce different statistics.
As the number of outcomes increases, the sample statistics becomes more similar to their model parameters. In practice, we assume that the parameters of our random variable are the same as the sample statistics.
Parameters of a Random Variable
The two most commonly parameters used in probabilistic approaches to estimation are the mean or expected value of the random variable and its variance.
Expected value
• Expected value of a random variable is its mean or average outcome.
µ = E(x) • E(x) refers to expectation:
E(x) = -∞ ∫∞ x f(x) dx where f(x) is the probability density function of the random variable x.
Variance of a Random Variable
• The variance of a random variable is the expected squared difference from the mean of the random variable.
σ2 = E (x-µ)2 = -∞ ∫∞ (x-µ)2 f(x) dx
• Std. dev. is σ
27
Expected value
Example:Define R.V. L=outcome of throwing two dice and taking the larger of the two values.
What is the expected value of L?E(L)=1/36 (1)+3/36 (2)+5/36 (3)
+7/36(4)+9/36 (5)+11/36 (6) = = 4.47
Joint Random Variables
Random variables may also be generated in pairs according to some probabilistic mechanism; the outcome of one of the variables may influence the outcome of the other.
Covariance
The dependence between two random variables is described by covariance
• Cov(x1 ,x2) = E {[x1 - E(x2)] [x2 - E(x2)]}= E(x1 x2) - [E(x1)] [E(x2)]
Independence
• Random variables are considered independent if the joint probability density function satisfies:
p(x1 ,x2 ,...,xn) = p(x1) p(x2) ... p(xn) i.e., probability of two event happening is
the product of each event’s probability
Expectation and variance
Properties:• C is a constant, then E(Cx) = C E(x)• If x1 , x2 , ..., xn have finite expectation, then
E(x1 +x2 ...+xn ) = E(x1) + E(x2) + ... + E(xn)• If C is a constant, then Var(Cx) = C2 Var(x)• If x1 , x2 , ..., xn are independent, then
Var(x1 +x2 ...+xn) = Var(x1)+Var(x2)+...+Var(xn)• Var(x+y) = Var(x) + Var(y) + 2 Cov(x,y)
Weighted Linear Combinations of Random Variables
Estimate is an outcome of a random variable that is created by a weighted linear combination of other random variables.
Expected value and Variance (same definition as before)
28
Random Functions
R.F. is a set of random variables that have some spatial locations and whose dependence on each other is specified by some probabilistic mechanism.
Parameters of RF
• The set of realizations of a random function and their corresponding probabilities are often referred as the “probability distribution”
• Like the histograms of sample values, these probability distributions have parameters that summarize them
Random Functions
Parameters commonly used to summarize the behavior of the random function:
Expected valueVarianceCovarianceCorrelogram Variogram
Reality vs Model
Reality:• sample values• summary statistics Model:• possible outcomes with corresponding
probabilities of occurrence• parameters It is important to recognize the distinction
between a model and the reality
Linear Estimators
• all estimation methods involve weighted linear combinations:
estimate = z* = Σ wi z(xi) i = 1,...,n
The questions:• What are the weights, wi ?• What are the values, z(xi) ?
Desirable Properties
Desirable properties of an estimator:• Average error = 0 (unbiased)
E (Z - Z * ) = 0 where Z * is the estimate and Z is the true value of the random variable
• Error variance (spread of errors) is smallVar (Z - Z * ) = E (Z - Z * )2 = small
• Robust Question:• How to calculate the weights so that they satisfy
the required properties?
29
Random Process Assumptions
• Strong stationarity• Second order stationarity• Intrinsic hypothesis
Stationarity
The independence of univariate and bivatiate probability laws from the location x is referred as stationarity.
(They may depend on separation distance h)
Strong StationarityIn order for a random function Z(x) to meet the strong stationarity requirement, the following properties must be satisfied:
• E[Z(x)] = m, m = finite and independent of x No gradual increase or decrease in grade for some specified direction (no drift).
• Var[Z(x)]= σ2 , σ2 = finite and independent of x Constant parameter value of the underlying density functions.
Second Order StationarityE[Z(x)] = m, m = finite and independent of x E[Z(x+h). Z(x)] - m2 = C(h) = finite and independent of x •For each pair of random variables Z(x+h) and Z(x), the covariance exists and depends only on the separation distance h. •The covariance does not depend on the particular location x within the deposit.•The stationarity of covariance implies the stationarity of the variance as well as the variogram. •Under this assumption, the relationship between the variogram and the covariogram is:γ(h) = C(0) - C(h) = Var[Z(x)] - C(h)
Intrinsic HypothesisThe intrinsic hypothesis of order zero:E[Z(x)] = m, m = finite and independent of x E[Z(x+h)- Z(x)]2 = 2γ(h) = finite and independent of x (variogram function)
•We assume no drift , and the existence and the stationarity of the variogram only.•If condition of no drift in a deposit cannot be satisfied, the intrinsic hypothesis of order one is invoked.
Intrinsic Hypothesis
Intrinsic hypothesis of order one:E[Z(x+h)-Z(x)]=m(h)=finite and independent of xE[Z(x+h)-Z(x)]2=2γ(h) = finite and independent of x• The difference in the mean must be finite, independent of the support point x, and depend only on the separation distance h.• In performing local estimation using ordinary kriging, the intrinsic hypothesis of order zero is invoked. Universal kriging may be employed under the first order hypothesis.
30
Ensuring UnbiasednessEstimated value: Z* = Σλi Z(xi)Estimated error: R* = Z*-Zo = ΣλiZ(xi) - ZoAverage error: r = 1/n Σ R*Set expected value of average error to zero:E{r} = E{1/n ΣR*} = 1/n ΣE{R*} = 0To guarantee that E{r} = 0, make E{R*} = 0E{R*} = E{Σλi Z(xi) - Zo}
= ΣλiE{Z(xi)} - E{Zo}Using the strong stationarity requirement:E{Z(xi)} = E{Zo} = E{Z}Therefore,E{R*} =ΣλiE{Z} - E{Z} = 0 =>(Σλi -1) E{Z} = 0 => Σλi -1 = 0 => Σλi =1
Ensuring Unbiasedness
• Sum of weights, Σ wi = 1 Two limitations:• The average error is not guaranteed to be
zero, only the expected value• The result is valid only if the linear
combination belongs to the same statistical population
Estimation methods
Traditional:• Polygonal• Triangulation• Inverse distanceGeostatistical:• Kriging
Polygonal
Assigns all weight to nearest sample.Advantages:• Easy to understand• Easy to calculate manually• Fast• Declustered global histogramDisadvantages:• Discontinuous local estimates• Edge effect• No anisotropy• No error estimation
T riangulationWeight at each triangle is proportional to the area of the opposite sub triangle.Advantages:• Easy to understand and calculate manually• FastDisadvantages:• Not unique solution• Only three samples receive weights• Extrapolation?• 3d?• No anisotropy• No error control
Inverse Distance
• Each sample weight is inversely proportional to the distance between the sample and the point being estimated:
z* = [Σ (1/dip) z(xi ) ] / Σ (1/ di
p) i = 1,...,n wherez* is the estimate of the grade of a block or a point, z(xi) refers to sample grade,
p is an arbitrary exponent, and n is the number of samples
31
Inverse Distance
If p tends to zero =>local mean sample
If p tends to ∞ => nearest neighbor method (polygonal)
Traditionally, p = 2
Inverse Distance
Advantages:• Easy to understand• Easy to implement• Flexible in adapting weights to different
estimation problems• Can be customizedDisadvantages:• Susceptible to data clustering• p?• No anisotropy• No error control
Ordinary kriging
Ordinary kriging is an estimator designed primarily for the estimation of block grades as a linear combination of available data in or near the block, such that estimate is unbiased and has minimum variance.
Definition:
Ordinary kriging
B.L.U.E. for best linear unbiased estimator.
Linear because its estimates are weighted linear combinations of available dataUnbiased since the sum of the weights adds up to 1 Best because it aims at minimizing the variance of errors.
Kriging Estimator
• z* = Σwi z(xi ) i = 1,...,nwhere
z* is the estimate of the grade of a block or a point, z(xi) refers to sample grade, wi is the corresponding weight assigned to z(xi), and n is the number of samples.
Kriging Estimator
Desirable Properties:• Minimize σ2 = F (w1, w2, w3,…,wn)• r = average error = 0 (unbiased)• Σ wi = 1
32
Error variance
Using R. F. model, you can express the error variance as a function of R.F. parameters:σ2
R= σ2z + Σ Σ(λi λj Ci,j ) - 2 Σ λi C i,o
whereσ2
z is the sample varianceCi,j is the covariance between samplesCi,o is the covariance between samples and location of estimation.See Isaaks and Srivastava pg 281-284
Error variance
σ2R= σ2
z + Σ Σ(λi λj Ci,j ) - 2 Σ λi C i,o
• Error increases as variance of data increases
• Error variance increases as data become more redundant
• Error variance decreases as data are closer to the location of estimation
Ordinary Kriging
• Minimize error σ2
R= σ2z + Σ Σ(λi λj Ci,j ) - 2 Σ λi C i,o
• Σ λi = 1• Use Lagrange method (Isaaks and
Srivastava, pg 284-285).
Result:Ci,o = Σ(λi Ci,j) + µΣ λi = 1
Kriging System (point)Previous equation in matrix form:
Point Kriging (cont.)
• Matrix C consists of the covariance values Cij
between the random variables Vi and Vj at the sample locations. • Vector D consists of the covariance values Ci0
between the random variables Vi at the sample locations and the random variable V0 at the location where an estimate is needed. • Vector λ consists of the kriging weights and the Lagrange multiplier.
Kriging System (block)
33
Block Kriging (cont.)• In point kriging, the covariance matrix D consists of point-to-point covariances. In block kriging, it consists of block-to-point covariances. • Covariance values CiA no longer a point-to-point covariance like Ci0 , but the average covariance between a particular sample and all of the points within A:CiA = 1/A Σ CijIn practice, the A is discretized using a number of points in x, y and z directions to approximate CiA .
Kriging Variance
σ2ok = CAA - [Σ(λi CiA) + µ]
Data independent
Block Discretization
To be considered:• Range of influence of the variogram used in kriging.• Size of the blocks with respect to this range.• Horizontal and vertical anisotropy ratios.
Advantages of kriging
• Takes into account spatial continuity characteristics
• Built-in declustering capability• Exact estimator• Calculates the kriging variance for each
block • Robust
Disadvantages of kriging
• computer required • prior variography required• more time consuming• smoothing effect
Assumptions
• No drift is present in the data(Stationarity hypothesis)
• Both variance and covariance exist and are finite.
• The mean grade of the deposit is unknown.
34
Effect of scale Effect of shape
Nugget Effect Effect of range
Effect of Anisotropy Search Strategy
• Define a search neighborhood within which a specified number of samples is used
• If anisotropy, use an ellipsoidal search
• Orientation of this ellipse is important
• If no anisotropy, search ellipse becomes a circle and the question of orientation is no longer relevant
35
Search Strategy• Include at least a ring of drill holes with enough samples around the blocks to be estimated
• Don’t extend the grades of the peripheral holes to the undrilled areas too far
• Increasing vertical search distance has more impact on number of samples available for a given block, than increasing horizontal search distance (in vertically oriented drillholes)
• Limit the number of samples used from each individual drillhole
Search strategy (cont.)
Octant or Quadrant Search Importance of kriging plan
An easily overlooked assumption in every estimate is the fact the sample values used in the weighted linear combination are somehow relevant, and that they belong to the same group or population, as the point being estimated. Deciding which samples are relevant for the estimation of a particular point or a block may be more important than the choice of an estimation method.
DeclusteringClustering in high grade area:
Naïve mean=(0+1+3+1+7+6+5+6+2+4+0+1)/12 = 3
Declustered mean=[(0+1+3+1+2+4+0+1) +(7+6+5+6)/4] /9 ==2
DeclusteringClustering in mean grade area:
Naïve mean=(7+1+3+1+0+6+5+1+2+4+0+6)/12 = 3
Declustered mean=[(7+1+3+1+2+4+0+6) +(0+6+5+1)/4] /9 ==3
36
DeclusteringClustering in low grade area:
Naïve mean=(7+1+6+1+0+3+4+1+2+5+0+6)/12 = 3
Declustered mean=[(7+1+6+1+2+5+0+6) +(0+3+4+1)/4] /9 ==3.33
Declustering
• Data with no correlation, do no need declustering (pure nugget effect model)
• If variogram model has a long range and low nugget, you may need to decluster.
Declustering
• Cell declustering
• Polygonal
Cell Declustering
Each datum is weighted by the inverse of the number of data in the cell
Polygonal Declustered Global Mean
• DGM = Σ(wi . vi ) / Σwi i=1,...,n
where n is the number of samples, wi are the declustering weights assigned to each sample, and vi are the sample values. The denominator acts as a factor to standardize the weights so that they add up to 1.
37
Cross Validation
• To check how well the estimation procedure can be expected to perform.
• Temporarily discard the sample value at a particular location and then estimate the value at that location using the remaining values.
Cross validation
• It may suggest improvements• It compares, does not determine
parameters• Reveals weaknesses/shortcomings
Cross validation
Check:• Histogram of errors• Scatter plots of actual versus estimate
Cross validation
Remember:• All conclusions are based on observations of errors at locations were we do not need estimates.
• We remove values that, after all, we are going to use.
Quantifying Uncertainty
One approach:• Assume that the distribution of errors is
Normal• Assume that the ordinary kriging estimate
provides the mean of the normal distribution
• Build 95 percent confidence intervals by taking ±2 standard deviations either of the OK estimate
Quantifying Uncertainty
Kriging Varianceσ2
ok = CAA - [Σ(λi CiA) + µ]AdvantagesDoes not depend on dataIt can be calculated before sample data are available (from previous/know variography)DisadvantagesDoes not depend on dataIf proportional effect exists, previous assumptions are not true
38
Quantifying Uncertainty
Same Kriging Variance!!!
Quantifying Uncertainty
Other approachIncorporate the grade in the error variance calculation:Relative Variance = Kriging Variance /Square
of Kriged Grade
Quantifying Uncertainty
Combined Variance = sqrt (local variance * kriging variance)
where local variance of the weighted average (σ2w ) is:
σ2w = Σw2
i * (Z0- zi )2 i = 1, n (n>1)
where
n is the number of data used,
wi are the weights corresponding to each datum,
Z0 is the block estimate,
and zi are the data values.
Quantifying Uncertainty
Relative Variability Index(RVI) = SQRT(Combined Variance) / Kriged Grade
Change of Support
N = 4M = 8.825
Change of Support
N = 16M = 8.825
39
Change of Support
>10N = 2 = 50%M = 11.15
Change of Support
>10N = 5 = 31%M =18.6
Change of Support
• The mean above 0.0 cutoff does not change with a change in support
• The variance of block distribution decreases with larger support
• The shape of the distribution tends to become symmetrical as the support increases
• Recovered quantities depend on block size
Affine CorrectionAssumptions:• The distribution of block or SMU grades has same shape as the distribution of point or composite samples.• The ratio of the variances, i.e., variance of block grades (or the SMU grades) over that of point grades is non-conditional to surrounding data used for estimation.
Krige’s Relation
σ2p = σ2
b + σ2 p∈b
σ2p = Dispersion variance of composites in the
deposit (sill)σ2
b = Dispersion variance of blocks in the depositσ2
p∈b = Dispersion variance of points in blocks
This is the spatial complement to the partitioning of variances which simply says that the variance of point values is equal to the variance of block values plus the variance of points withinblocks.
Krige’s Relation (cont’d)
Total σ2 = between block σ2 + within block σ2
σ2p = calculated directly from the composite or
blasthole data
σ2 p∈b = calculated by integrating the variogram
over the block b
σ2b = calculated using the Krige’s relation:
σ2b = σ2
p - σ2 p∈b
40
Krige’s Relation (cont’d)
How to calculate σ2 p∈b ?
Integrating the variogram over a block provides variance of points within the block
σ2 p∈b = γblock = 1/n2 Σ Σ γ(hi,j)
Calculation of A.C.K2 = σ2
b / σ2p ≤ 1
(from the variogram averaging):
K2 = [ γ(D,D) - γ(smu,smu) ] / γ(D,D)= 1 - [ γ(smu,smu) / γ(D,D) ] ≤ 1
Affine correction factor, K = √K2 ≤ 1
Affine Correction (cont.)
Use affine correction if:
(σ2p -σ2
b) /σ2 p ≤ 30%
Affine correction of Variance
Indirect Lognormal method
Assumption: all distributions are lognormal; the shape of distribution changes with changes in variance.Transform:znew = azb
old
a = Function of (m, σnew ,σold ,CV)b = Function of (σnew,σold,CV), see the notes
CV: coefficient of variation = σold / mold
Indirect Lognormal method
Disadvantage:If the original distribution departs from log normality, the new mean may require rescaling: znew = (mold/mnew) zold
41
Change of Support (other)
Hermite Polynomials:• Declustered composites are transformed
into a Gaussian distribution • Volume-variance correction is done on the
Gaussian distribution• Then this distribution is back transformed
using inverse Hermite Polynomials
Change of Support (other)
Conditional Simulation:• Simulate a realization of the composite (or
blasthole) grades on a very closely spaced grid (for example, 1x1)
• Average simulated grades to obtain simulated block grades
Change of Support (applications)
Design a search strategy:• Decluster composites/variogram• Define SMU units• Apply change of support from composites to SMU• Calculate the SMU GT curves.• “Guess at a search scenario • Krige blocks => create GT curves• Compare GT curves of block estimates to GTcurves of SMUs• Adjust search scenario etc..GT: grade tonnage curves
Change of Support (applications)
Reconciliation between BH model andExploration model:• Calculate GT curves of exploration model• Apply change of support from BH model to
Exploration model• Calculate the adjusted BH model GT
curves.• Compare GT curves of block estimates to
GT of adjusted BH model estimates.
C. of S. for Ore Grade/Tonnage Estimation Equivalent Cutoff Calculation
(zp - m) / σp = (zsmu - m) / σsmuzp = the equivalent cutoff grade to be applied to the point (or composite) distributionm = mean of composite and SMU distributionσp = square root of composite dispersion variancezsmu = the cutoff grade applied to the SMUm = mean of composite and SMU distributionσsmu = square root of SMU dispersion variance
42
Equivalent Cutoff Calculation
zp = ( σp / σsmu ) zsmu + m [1 - ( σp / σsmu )]
The ratio σp / σsmu is basically the inverse of the affine correction factor K.
This ratio is ≥1.
Numeric Example
Let the mean of composites = 0.0445, and the specified cutoff grade zsmu = 0.055
If the ratio σp / σsmu = 1.23, what is the equivalent cutoff grade?
zp=1.23 (0.055) + 0.0445 (1 - 1.23) =0.0574
Therefore, the equivalent cutoff grade to be applied to the composite distribution is 0.0574.
Equivalent Cutoff
• if the specified cutoff grade is less than the mean, the equivalent cutoff grade becomes less than the cutoff
• if the specified cutoff grade is greater than the mean, the equivalent cutoff grade becomes greater than the cutoff.
Change of Support (applications)
Other:• Almost required in MIK
43
Simple Kriging
Z*sk = Σλi [Z(xi ) - m] + m i = 1,...,n
•Z*sk - estimate of the grade of a block or a
point•Z(xi ) - refers to sample grade •λi - corresponding simple kriging weights assigned to Z(xi )•n - number of samples•m = E{Z(x)} - location dependent expected value of Z(x).
Cokriging
•Suitable when the primary variable has not been sampled sufficiently. •Precision of the estimation may be improved by considering the spatial correlations between the primary variable and a better-sampled variable. •Example: extensive data from blastholes as the secondary variable - Widely spaced exploration data as the primary variable.
Cokriging ....................................... ..... ...........
[Cov{didi}] [Cov{dibj}] [1] [0] [�i] [Cov{x0di}]
....................................... ..... ...........
[Cov{dibj}] [Cov{bjbj}] [0] [1] [�j] [Cov{x0bj}]
....................................... x ..... = ...........
[ 1 ] [ 0 ] 0 0 µd 1
....................................... ..... ...........
[ 0 ] [ 1 ] 0 0 µb 0
....................................... ..... ...........
[Cov{didi}] = drillhole data (dhs) covariance matrix, i=1,n
[Cov{bjbj}] = blasthole data (bhs) covariance matrix, j=1,m
[Cov{dibj}] = cross-covariance matrix for dhs and bhs
[Cov{x0di}] = drillhole data to block covariances
[Cov{x0bj}] = blasthole data to block covariances
[�i] = Weights for drillhole data
[�j] = Weights for blasthole data
µd and µb = Lagrange multipliers
[Cov{didi}] = drillhole data (dhs) covariance matrix, i=1,n
[Cov{bjbj}] = blasthole data (bhs) covariance matrix, j=1,m
[Cov{dibj}] = cross-covariance matrix for dhs and bhs
[Cov{x0di}] = drillhole data to block covariances
[Cov{x0bj}] = blasthole data to block covariances
[�i] = Weights for drillhole data
[�j] = Weights for blasthole data
µd and µb = Lagrange multipliers
Cokriging-steps for Drill and Blasthole data
• Regularize blasthole data into a specified block size. Block size could be the same as the size of the model blocks to be valued, or a discreet sub-division of such blocks. A new data base of average blasthole block values is thus established.
• Variogram analysis of drillhole data.• Variogram analysis of blasthole data.• Cross-variogram analysis between drill and blasthole
data. Pair each drillhole value with all blasthole values.• Selection of search and interpolation parameters.• Cokriging.
Universal Kriging Outlier Restricted Kriging
•Determine the outlier cutoff grade•Assign indicators to the composites based on the cutoff grade
0 if the grade is below the cutoff1 otherwise
•Use OK with indicator variogram, or simply use IDS , or any other method to assign the probability of a block to have grade above the outlier cutoff.•Modify Kriging matrix.
44
ORK matrix Nearest Neighbor Kriging
Utilize nearest samples (assign more weight)
Non-Linear kriging methods
• Indicator kriging•Probability kriging•Lognormal kriging •Multi-Gaussian kriging•Lognormal short-cut•Disjunctive kriging
Parametric (assumptions about distributions)or non-parametric (distribution-free)
Why Non-Linear• To overcome problems encountered with outliers• To provide “better” estimates than those provided by linear methods• To take advantage of the properties on non-normal distributions of data and thereby provide more optimal estimates• To provide answers to non-linear problems• To provide estimates of distributions on a scale different from that of the data (the “change of support” problem)
Indicator Kriging
Suppose that equal weighting of N given samples is used to estimate the probability that the grade of ore at a specified location is below a cutoff grade. The proportion of N samples that are below this cutoff grade can be taken as the probability that grade estimated is below this cutoff grade. Indicator kriging obtains a cumulative probability distribution at a given location in a similar manner, except that it assigns different weights to surrounding samples using the ordinary Kriging technique to minimize the estimation variance.
Indicator Kriging
The basis of indicator kriging is the indicator function:At each point x in the deposit, consider the following indicator function of zc defined as:
1, if z(x) < zci(x;zc ) =
0, otherwisewhere:x is location,zc is a specified cutoff value,z(x) is the value at location x.
45
Indicator Kriging
Examples:Separate continuous variables into categories:I(x) = 1 if k(x) ≤ 30, 0 if k(x) >30
Characterize categorical variables anddifferentiate types: I(x) = 1 for heterozygote, 0 for homozygote
Indicator Kriging (applications)
Some drill holes have encountered a particular horizon, some were not drilled deep enough, some penetrated the horizon but the core or the log is missing:Use I(x) = 1 for drill hole assays above the horizonand I(x) = 0 for assays below the horizon. Use
indicator kriging and calculate the probability of the missing assays to be 1 or 0.
Indicator Kriging (applications)
Some data may represent a spatial mixture of twoor more statistical populations (for example, clay and sand.• Separate populations:I(x) = 1 for clay, 0 for sand.• Then calculate the probability of an unsampled location to be clay or sand.• Krige (local estimates) unsampled locations using only data belonging to that population• Final estimate can be a weighted (by probabilities) average of the local estimates.
Indicator Kriging (applications)
Extreme values:Separate population to 1 and 0 based on outlier cutoff. Proceed then as though you are dealing with two spatially mixedpopulations.
Multiple Indicator Kriging
Same as indicator kriging but instead of one cutoff, we use a series of cutoffs.
Multiple Indicator Kriging
THE INDICATOR FUNCTION:At each point x in the deposit, consider the following indicator function of zc defined as:
1, if z(x) < zci(x;zc ) =
0, otherwisewhere:x is location,zc is a specified cutoff value,z(x) is the value at location x.
46
Indicator Function at point x The ϕ(A;zc) function
ϕ(A;zc ) = 1/A∫A i(x;zc ) dx ∈ [0,1]
Proportion of Values z(x)≤ zc within area A Local Recovery FunctionsTonnage point recovery factor in A:t*(A;zc) = 1 - ϕ(A;zc)
Quantity of metal recovery factor in A:q*(A;zc) = ∫zc u d ϕ(A;u)
A discrete approximation of this integral is given byq*(A;zc) = Σ1/2 (zj + zj-1) [ϕ*(A;zj) -ϕ*(A;zj-1) ] j=2,...,n
Local Recovery Functions
This approximation sums the product of median cutoff grade and median (A;zc) proportion for each cutoff grade increment. The mean ore grade at cutoff zc gives the mean block grade above the specified cutoff value.
Mean ore grade at cutoff zc :m*(A;zc) = q*(A;zc) / t*(A;zc)
Estimation of φ(A;zc)ϕ(A;zc) proportion of grades z(x) below cutoff zc within panel A. (unknown since i(x;zc) known at only a finite number of points).ϕ(A;zc) = 1/n Σ i(xj ;zc) j=1,...,nor
ϕ(A;zc) =Σ λj i(xj ;zc) xj ∈ D j=1,...,Nwhere n is the number of samples in the panel A, N is the number of samples in search volume D, j are the weights assigned to the samples, Σλj = 1, and usually N >> n.
Ordinary kriging is used to estimate ϕ(A;zc) from the indicator data i(xj ;zc). We use a random function model for i(xj ;zc), which will be designated by I(xj ;zc).
47
Indicator Variography
γI(h;zc ) = 1/2 E [ I(x+h);zc ) - I(x;zc ) ]2
Median Indicator Variogram
γm(h;zm ) = 1/2n Σ [ I(xj+m+h);zm ) - I(xj;zm ) ]2
j=1,…,n
Indicator variogram where cutoff corresponds to median of data
Order Relations Advantages of MIK
• It estimates the local recoverable reserves within each panel or block.
• It provides an unbiased estimate of the recovered tonnage at any cutoff of interest.
• It is non-parametric, i.e., no assumption is required concerning distribution of grades.
• It can handle highly variable data.• It takes into account influence of neighboring
data and continuity of mineralization.
Disadvantages of MIK• It may be necessary to compute and fit a
variogram for each cutoff.• Estimators for various cutoff values may not show
the expected order relations.• Mine planning and pit design using MIK results
can be more complicated than conventional methods.
• Correlation between indicator functions of various cutoff values are not utilized. More information becomes available through the indicator cross variograms and subsequent cokriging. These form the basis of the Probability Kriging technique.
Change of SupportFunction ϕ*(A;zc) and grade-tonnage relationship for each block is based on distribution point samples (composites).
Selective mining unit (SMU) volume is much larger than sample volume, therefore, one must perform a volume-variance correction to the initial grade-tonnage curve of each block.
48
Affine Correction
Equation for affine correction of any panel or block is given byϕ*v (A;z) = ϕ* (A;zadj) wherezadj=adjusted cutoff grade = K(z - ma)+ma
Use affine correction if:
(σ2p -σ2
b) /σ2 p ≤ 30%
Grade Zoning
• Grade zoning is usually applied to control the extrapolation of grades into statistically different populations
• Often grade zones or mineralization envelopes correspond to different geologic units
Grade Zoning (cont’d)
Determine how the grade populations are separated spatially
• Is there a reasonably sharp discontinuity between the grades of the different populations?
• Or is there a larger transition zone between the grades of the different populations?
Grade Zoning (cont’d)
Discontinuity between grade populations:
Grade Zoning (cont’d)
Transition zone between grade populations:
Grade Zoning (cont’d)
• Discontinuity between the grade populations is best modeled using a deterministic model, i.e., digitized the outlines
• Transition zone between the grade populations is best modeled using a probabilistic model, i.e., indicator kriging
49
Grade Zoning (cont’d)
Characterizing the contact between different spatial populations:
• Calculate the difference between the average grades within each population as a function of distance from the contact:
Dzi = zi - z(-i)
Grade Zoning (cont’d)
• If the average difference in grade Dzi vsdistance from the contact is more or less constant, then there is probably a discontinuity between the different populations :
Grade Zoning (cont’d)
• If the average difference in grade Dzi vsdistance from the contact is small for small distances but increases with increasing distance, then there is likely a transition zone between the different populations:
Grade Zone Bias Check
• Often mineralization envelopes lead to biased ore reserve models. To check:
• Interpolate using the nearest neighbor (polygonal) method)
• Use the search parameters corresponding to the model of spatial continuity
• Disregard all grade zoning• Compare at 0.0 cutoff grade, the tons and
grade of the polygonal model to those of the mineralization envelope model.
���������������� ���� �����������������������������������
���� ��� ���������� ���!
���������
������������ ��������� ����������� �������������������
��������������� ���� !
��������������������������
���������������������� ������������������������������������������ ������ ���������������������������������� ��� ���������������������������������� ������ ������������������������������������������������������������� �����������������
����������� ��
���������������� �����������
� ��������� �������������������
� ����������� ������������
� ����������� ���� � �����������
� ����������� ������������
� ��������� ��������� ����������
� ��������� ��������������������
��������������������
������������������������������������!���� ���������������������
� ������������������!������
� ����������
� " � ����!���� ��������
� "����������
� " � ����!���� � �����������
#�����������������������
� $����%�����������������������!���������
� ������������ � ������������� ������� �������������
��������� �������!��!������������������������������������������������������&������
� ������� ������� ����� ��� �������� ���� ���������� ��� ��� ���� ����� ������ ���������������������!�����
� '��������������%����������!����������������������� �����������(����%����������� ������������������
� '������������������������!���������!�� ���������� ��� �������������������������������������������������� ����������
������������������� ������������ ��������� �����������
���� !" ���������������
���������� $���� �������������� �� ��������%����������������!����� ���!�� ����
���� ���'���������������� ������������������������������������������������� ������������������������������������������� �����(�����
������������������
)��������������"��������� ��� ���������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ����������������������������� !��*����� ������������������ ��
��������������� ��� � � ����������
�������������!������� ����������������� ������%����������������������������������������� ������������������������������������������������������������ ������%���"��������������#������������������������������� �������$��%�������&��'�����������������#���()����������������'�� !�
��������������� ��� � � ����������
�������������!������� ��������� ����������������������������������$���� ������!�������+������ � �����������!�� �� ����,������ ���������-.���������/,��� �������!������������(���������� ��0 .�������� ����������������(��������
������������ �������� ������� ������������ � � ��
������������������� ����������������������������������� �����(� ������������������ �����������!�� ���������������������������������������� �������������������1������������� �����2$���������������������� �������3�
��������������������� ������ ������� ������� ���
�������������!���������������������������������������������������������� �����&������������������� ������ ������� � ����������
������������ ��������� � �� ! �
�������������!����������������������� ���� �����������������������������
"�!� ������� ���������
����� ��������������������������������������������������������4���/,+� 5����� ��������������������� ��������������
������������ ��������� ����������� �������������������
��������������� ���� !#
���������
�������
��������
������������������� ������������ ��������� �����������
���� !$ ���������������
������������������������������������!����������������� � ���������!����(� ��� ���
����������������������� ������ ���������� ��������
�������
*���������������� ��������������������������1��������� �������� ���������+66�*������������������������������������7)�������������7)��������������� ��������������������������������������������
��������
�������������������������������������������
������������ ��������� ����������� �������������������
��������������� ���� !�
���������#$�������
#������ ���/,6,+���������������������������������#����������������������������������#��������������������������������"������������������������������
#$�������
8������������������������������������������������!�$7�9�:�+�����6�������������������� �������������������������;�
#$�������
9�������(�����������������������������!�9)"<�:�+�����6������
#$�������
8���������������������������������������������������������������!�9)"<�:+�
�������������������� � ��������
*����������������"��������� ��� ���������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ��*����������������������� � !��*����� ������������������ ��
�������������������� ���� ��� � � ����������
�������������!������� ���������������������������������������������������������������������������#�����*���=������9)"<�������������������������������� � ��������������� �������>����"#��������������������������� � ���������������������������<������������������������������
�������������������� ���� ��� � � ����������
�������������!������� ��������� ����������������������������������$���� ������!������+������ � ��� � �����"#���������������� ����������� ���������9)"<�����$���������+�����#�,�-.��/��� �����������������01��2���3�+/�����������������,�����������#���������������� ��������!�
������������ �������� ������� ������������ � � ��
������������������� ����������������������������������� �����(� ������������������ �����������!�� ���������������������������������������� �������������������1������������� �����2+?@�� ������������ ���������3�
��������������������� ������ ������� ������� ���
�������������!���������������������������������������������������������� �����&������������������� ������ ������� � ����������
������������ ��������� � �� ! �
�������������!����������������������� ���� �����������������������������
"�!� ������� ���������
����� ��������������������������������������������������������4���/,6���5����� ��������������������� �������������������������������������������������9)"<����������������� ���������1��� ���������������������� �������!�������������������
��������������� �������� ��� �� ���������������������!�����������"#�
������������������� ������������ ��������� �����������
���� !% ���������������
���������
���������������������������!����������������� � ���������!����(� ��� �������������������������� ������ ���������� ��������
�������������������������
�����7)��������������� �������������� ���������������������������� ���������������������+����������#����������,���4���������� �����'����� ���� �%��4!�
#$�����
8�������������" ������������������$7�9�����
�� ����������� ��
)��������������"��������� ��� ���������������� ��������������������
������������ ��������� ����������� �������������������
��������������� ���� !&
���������� �������5������������� �������������������� ������� ��*���������5�#�#������5����(����������� ������ !��*����� ������������������ ��
������������� �%������������&���� ��'�
��������6�������(������������������������%�� �#�#������ ������������%������6��������������%�����7�4����4��#���+������������������!�
�������������� ���������� � ��� �����
�"����������������������#�� ��������4��������������%���������������������,����%���������������������������� ����4������'��������������������� ������3��/�����������������,�����������#���������������� ��������!�������������������������������������� ��������� � ����������1������������� �����2"#���� � �����������@����������+����63�
���������� �������� ������� ���
������������������� ����������������������������������� �����(� ������������������ �����������!�� �������������������������������������������A�� � ��������������� ����������������������������8��9������%������������*���� ������'#������'�����8(:"��������!�
���������� ��������� �%���
�������������!������� �����������!��������(������������������7�!���������� �����
���������� ��������� ������� ��
�������������!����������������������� ���� ����� � �������������� ����B� �������� ������������������� ������� ���������������� �����
"�!� �������� � ��� �����
�����7)���������������������!������ ����������������!���������������������������������������������������������������� ����5�%��4����� ������������������� �%��4�4��������3;/�����",�������$5<�=� ����!�
������������������� ������������ ��������� �����������
���� !' ���������������
���������
#$�������
8�������� � �����������������������������������!�$7�9�:�+�����6�������������������� �������������������������;�
#$�������
9�������(����� �����������������
#$�������
)!������������������� � �������������������������� � ���������������������������) �� ���������� � ����!���� � ������ �!�������������������!�������������� ������������ � �����������
������������ ��������� ����������� �������������������
��������������� ���� !(
���������
#$�������
8�������� � ����������������� �� ������������������������
�����������������������
)��������������"��������� ��� ���������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ��>���������)��������������������� ������ !��*����� ������������������ ��
����������(���� !��� ��� � � ����������
�"����?�������������������������������%������6���������������%�����7�4����4��#���+�����������������!�
����������(���� !��� ��� � � ����������
�������������!������� ��������� �����������������������������������"���������������� ������'������������@���(��� ��������������������������� ���������#���� �����3��/������������������,������������#���������������� ��������!�
������������ �������� ������� ��������� � � ����������
������������������� ����������������������������������� �����(� ���������
������������������� ������������ ��������� �����������
���� ! � ���������������
������������������ �����������!�� ���B� ��������������������������� � ������������������������2�������8(:"������������� ������8��9�=� ���������*�����!�
���������������� ������������ !�� � � ����������
�� ���������� ���������������>�.�'��������������������������������������(����� ����� ���� ���������������������������������#�� ������!�
"�!� �������� �!���� �����
����� ������������@��� �����������������������������������������������4���/,;� 5����� ���������
-����� ������������������������7)��������������� �����!������ ��������� ����������!���������� �������������������������������������������������������������������� ��
������������ ��������� ����������� �������������������
��������������� ���� !
���������
#$�����
8�������@��� ��������������������������!�����������6?,,����;,,,�
� ������� ���������������� ��
��������$�����'������ ����$������#��������������� ���������������������� ��������������������������� �������������������� ������� �����������������������(����������� ������ !��*����� ������������������ ��
����������)�*���� ������������� ���+���&�����,�,����
�������������!������� �����������������������!����������������������������-����� ��*���++��������������������������������������!���1�������0 .�������������
������������������� ������������ ��������� �����������
���� ! " ���������������
���������(����������� �������� ������������������7�!�������������������� �������������(����
����������)�*���� ������������� ���+���&�����,�,����
�������������!������� ����������������� ������%�1��������2�����������,�������$���������,��,���������� ������ ������@���������������������#�������������%����������,���������2��������A����������,��������$�!�
����������)�*���� ������������ ��������� ������� ��
�������������!������� ��������� �����������������1�����������������������-�� �%�������%�����1������� �����������#����� �����>����� ������#��������� �������������������� �����#��������#�������������A���'����������������!�
����������,�,�-,!�� ����,!�� ���.���� ��� ���
����������������(������������ �����C@C��������1���!����������� �����
������������ �������� ������� ���
������������������� ����������������������������������� �����(� ������������������ �����������!�� ���B� ��������������������������� � �������������A���������������������������#�����9$D8>�����������������9)"<������+�����6�����
"�!� �������� ������
���������������������� ���������������������������������"#������)�������
��������������� ���������������������������������������������������������������������������
������������ ��������� ����������� �������������������
��������������� ���� ! #
���������
-����� ������������������������7)��������������� �����!������ ���
������������������� ������������ ��������� �����������
���� ! $ ���������������
��������� ������ ����������!������������������������������������������������������������������������� ��
�� ���� � ��� ����������
)��������������"��������� ��� ���������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ��>���������)��������������������� ������ !��*����� ������������������ ��
����������(���� !��� ��� � � ����������
�"����?�������������������������������%������6���������������%�����7�4����4��#���+�����������������!�
����������(���� !��� ��� � � ����������
�������������!������� ��������� �����������������������������������"���������������� ������'������������@���(��� ��������������������������� ���������#���� �����3��/������������������,������������#���������������� ��������!�
������������ �������� ������� ��������� � � ����������
������������ ��������� ����������� �������������������
��������������� ���� ! �
���������������������������� ����������������������������������� �����(� ���������
��������� �����������!�� ���B� ��������������������������� � �����������������������#�����9$D8>�����������������9)"<������+�����6������
���������������� ������������ !�� � � ����������
������������������������;@'������������������������������������" ��$������������������������������������������ ��������
����������+����� ����� �!����������� �����*��
�������������������+����������������.�%0�#�,�����������������������������������������,������4���������������������������� �������������'������������'������������������ ������#���������������������'����������@����(��� �������������������������������� ����!�
#$� �/���0������
������������������ �������������������)��������������"��������� ��� �E��������� ��������������� ���������������������������� ������������������� ������� ����*�����!
�������
E"���������>�����������(��))��� ���������2�����������������,�� �����������,�������������������������,���B ��������,��,��������+������ ��������������� ����������������������4��������2�������������������,������������������������ ��������C�!
�������
E��������,�� �����������������������������,��,�� ��������A��������������� ���(��)).(=(����������������������A��� ����%����!
�������
�"�������������$����%������� ��2������������������#����#�������������A���'��������F
�������
7�!����������� �����
"�!� �������� ������
��!��������
������������������� ������������ ��������� �����������
���� ! % ���������������
���������
������������ ��������� ����������� ����������
��������������� ������
������������������
���������������������� ��� ���������������������������������� ������������������������������������������������������ ����������������������������������������
����������� ��
���������������� �����������
� ��������������� ���������
� !�������������������������"��#����
� ���� �����������������������
�������� ����
������������������������������� �������������������������� ������������������������
#������������$���������������������� � �������������������������%�����������&���������������������������������������������� ����������������������� ��������������������&������������&�����������������������
�!����������������������������' �����������������������������&����������������������������������������������' �����������������&�����������������������(�)������������������������������� �$����*�+����������������(�)����������������$ �$���
,���������� ��� ���$���������' �����������*�+�����������������������(�)&���������������������������-���� �������������������������������������������������������' �������������������������������������(�)�������������� ������������
!�������������������������������������������������������������������������������������� ����*�+����������������������������������!��������������������' ��������������������������
!������������������������������������������&����� � ������������������������������������!������������%�������������������������������������������������&���������� � �����������������������������!������������������������ ����������������������
%��.�#!%/01��23�*�����4�������������������������+������������� ����� ���&����������������������� � �������������!�����������&�����������������������/ ��������������� ���� ���&����������������������������������������� ������ ���
�������������
!�����������������������' ����������� ��������&���������������������������������� ��������5���������������*�������������+�������&�����"��#��������
� #������
� 1$��������
���������� ������������ ��������� �����������
���� ��� ���������������
���������� ,����
�������������� ��
-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� ��������������������� �������������������� ������� ��������������������������������� ������������������&��
������������������������
!�������������������� ����������������������������&����������������������������������������������������� �������������������!�"������������������!���������������������#�����!�������$�� ��������� ����%�&��'������������������#����������$���������������� ����������
����������������������������������
!����������������������� ��������� �&�������������������� ���������������������&�����������������(��������������������&)��*��% ���'������ ����%�����������%�$���% ������+���������%�$�����"���������������� ����% ����,�����������������������&�����
���������������������������������
!������������������ ����������������������������������� �����$� ������������������&�������������� ���!����������������������������������������&������ ��������������������#��������6-0��������� �7��������������&�� ��������6%/81�������
�������������������������
!������������������ ������������������� �����������&�������������������������&� �����������,�������������&�����
������������������� �����������������������
!�������������������� �������������������������������������� ����%�����"��������������������������,����,��!���!������-����!������ ����%���.�������������������-��������,����,��!���!�������+���!�������������������+���������������������#����� ���������������� ����.��%��
�� �� ������������������
!���� �����������������������������������������������������������������*���977� +������& ����������!��������������&��������������� #�����������' ��������& ����������������
������������ ��������� ����������� ����������
��������������� ������!
���������
�
���������� ������������ ��������� �����������
���� ��" ���������������
���������
:����� ����������������������"�,-!�������������� ������������ ��������� ������������������ #����������������������������������������������������������������������� ��
������������ ��������� ����������� ����������
��������������� �������
���������
!"���� �
8������ ����������������������3 ;3���������������������������������������
��������������� ����������� ������
-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� ������� �������������������� �������������������� ������� ����/������0���!���������� ������������������� ������������������&��
����������!"�������������������� �#������������ ���
!�������������������� �����������������������������������������������������<������=�������������������������������� ����������������������������������0<��%������������� �������������� ��������$�� ���������������������������#��������������$����������>337?������������������� �� ������
��������������������������������������
!�������������������� ������������������������� �������������������������#������������� �����>�����������5����������6�������7?��,��������������������&�����
���������� ������������ ��������� �����������
���� ��# ���������������
������������������������������������������
!������������������ ����������������������������������� �����$� ������������������&�������������� ���#��������6-0��������� �7�&�� ��������6%/81�������
���������������������������� �#�����������������
!������������������ ������������������� �����������&�������������������������&� �����������,�������������&�����
������������������� �#��� �������������������������
!������������ ���������������������������������������0��� ��@������������������*@$7+������������������������������3�3������@;���������������������������������3�3��<��73���������������;3��������������<��44�;����������������������������������73�����������������
�� �� ������������������
����������������*���939�337+����� �������������������������������� �����
!��������������� ���� ��������� ���5*�+������������������������� �$���������������!���������(�)���� ��������� ���.�#!%/01������������������������$ �$��������������
������������ ��������� ����������� ����������
��������������� ������$
���������� ����������� �����
-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� ������� �������������������� �������������������� ������� ����/������0���!���1������!��������� ������������������&��
��������������������$����%�� �
!�������������������� ���������"��#�������������������������������������#�������������A ������������939�337�
�� �� ������������������
��������"93357�������������������������������������@������������������������ ����4 .�8��&��������������������9 .�8��&��������������� ���*��������������������������� �������
!"���� ���
����������������������������������������������$�������������������&��������������������
7������������2�,�1��������������
���������� ������������ ��������� �����������
���� ��% ���������������
���������4����3���!�������������������2�!!���������������%��#���4�������5�
9����3���!������������������������6�)��!��0������,����������������$%������������ ���������%���� ����%�
@���� ���*��!��������� ��%�1�������������0������$��������%��������������
!"���� ���
���������������������������������������������� �A ��������&��������������������
7�������������� �������������������
4���� ���*����%���2�!!���0�����4�������5�������.�����������,���������������������,���������� ���*��!�����������������,����������
9������������� ��������!����� ���*����%�������7)��!��0�����4������/5�������.����������,���������������������,����������� ���*��!�����������������,����������
@������������� �������������������
;������������������������.����������!���������8��#���4��!���+��5���������*�
B���� ���*����������/�������.������������42������������%����������0������������!��!�5 ���*��!�����������������,������
C������������� ��������������������41�*������9�#�)��!��������5
D������������������������.��������������������%��#���4��!�����5���������*�
=���� ���*����������/�������.������������42������������%�����)��!���������!��!�5� ���*�!�����������������,�)��!�
73���� ���*����������#���0���!���1������!���!����
!"���� ���
!������$�������������������������������*��� ����+�����������������
!"���� ���
!�������������������������������������������������������������
!"���� ���
����������������������������������� ��������������������&��� ���������������4;��.��?�� ������������� ���&���9��<��$�������334�
!"���� ��&
!������������������������������������*93E+��<��$�������339�
!"���� ��'
!��������� ������������� ��������������������������������������0���������������������������������������������<��$�������33@�
!"���� ��(
0��� ������������� ������������������������������������� ���������������<��$�������33;�
������������ ��������� ����������� ����������
��������������� ������&
���������!"���� ��)
6 �������������*������1$����;+�������������4��<��$�������33B�
!"���� ���*
6 ��������������������������������������������F���&������������0����������������������� �&����������� ���������
������������ ���� ������� �����
-�����"#�0�������"� ���&���������8�� ��#�����������������-�������0�� ������G������������� ���������������� ���93737����� �.��� ���5����������������� ������������������&��
����������$�����������������+,������������
!�������������������� ����������� �����G��� ������������������ ���������������������������H� ����������������������������������������������<��������������77���������������������������������7������������������������
����������%�� �����������
��������������� ������������������������������������������������ �������$�� ����� ���<��0 ������������������������������������ ������ ���������������$��#���������������$�������> ?������������������� �� �������
��������������������������������������
!�������������������������������������������������#������������� ����>.����������������� �6�������7?
����������������������������������#�����-��.�������������
!������������������ ����������������������������������� �����$� ������������������&�������������� ���#��������6-0��������� �7�&�� ��������6%/81�������
���������������������������� �#�����������������
!������������������ ������������������� �����������&�������������������������&� �����������,�������������&�����
������&������������ �#�����-��.����/ �,����������
!�������������������� �����������������������������0��� �����������������������������������������������3�����������������=3��������������������� =3����������������7;E��<��43���������������;�������������
�������������������� �������������������������������� ������������������ ��������������&��������������
!��������������� ���� ��������� ���5*�+������������������������� �$���������������!���������(�)���� ��������� ���.�#!%/01������������������������$ �$��������������
-�������������������������������������������������������������&��������������
���������� ������������ ��������� �����������
���� �� � ���������������
���������
!"���� ���
"���������&�������� ������������������� ����� ������� �
!"���� ���
0�� ������������������� ��������������������������4������ ����� ������� �
!"���� ���
8��������� ��������������� ������������������
���� ����������� �� ����
-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� ��������������������� �������������������� ������� .!��������� �����0���!���:������������ ������������������&��
������������ ��������� ����������� ����������
��������������� ������
�������������������01���1���������� �#����������������������� ����
!�������������������� ������������ �����������������������<����������������������������������6-0�7�*���939�334+���������������� �� ���������939�334��� ���*����$�#����;�������.���!���.��������� ���������.������<��������.���������������� �����$���*��
������������� ����������������
!�������������������� ����������������������G�����������.���������,�������������,��!���$�����,�������������������������&�����
���� ����������� ���� �������
����
���� ������������� ���� �������
������
���� ������������������������������
�!� ���"������#���"#��$��%���&��'�(
��� �����������)�#��$
����������0������������� � �#������������������
!�������������������� ������������� ����������������3�������������������.��������������#����������,�����������������������������:�� ��%������!�����������!�����������������������!��� ������$���������������������!������������.���=��������������"�������+����>����%����/��������1�#�����!�����"�����/������� � ������������'������*�����$�#�����.���%�������� ����
�������������������#��������������������2 ��������$���
!�������������������� ��������������������$������������������,������������&�����
���������������+�����3�"����� �
!�������������������� ����������������� ��������������������������������&���������������
�� �� ��������� ������
!��"�,-!��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ������.��,����� ������������������� �.��,�,��������&8'�����(#�������1�?�;� ������
���������� ������������ ��������� �����������
���� �� � ���������������
���������
!"���� ���
-����������������������������������� ��� �������433����A����$���������74;��������$����:������������A����$�������������I�%�A ���������� ������������������������� ��������� ������������������������������� ����?�������������������� ���������������������������������������������
!"���� ���
6����������������4�
���� �������������������
-�����"��#�����0�������"� ���&���������������� ��������������������� �������(������������� �������������������� ������� .! ��������0���!����������9������������ ������������������&��
��������� �������������� ������������������� �� ��������������������������� �������������������������������������������������
������������ ��������� ����������� ����������
��������������� ������ !
�������������$�����
*����)+ ��� ���� ����
���,�������������� �)+��#��
� -��!� �-�!� ����� �� �����- �� �������)�
� ���!� �.�!� �-��. �� �/���0 �� �������)�
%�� �����������������$�����������������������������$��������� � ����$��������������� ��������������������������������������������������������������
������������������������������$���
!�������������������� ����������������������������������������������� ���������������������������������@��������.���!��� ������������������ �������.����*�������������������� �����&0���!��������*��% ���'��
���������������������������
!������������������������������������������������������������ ���������������������������������A����$�����(��������.���������)��*��% ��������������$���$�.���������������������������������&����� ������� ��������
�� ��
!���� �������������������������&�&�� ���� ������������
!"���� ���
#�� ����������������������������6���!���4�
!"���� ���
#�� �������������������������&����6���!����7�����4�������������������������������������&�����6-0�������������������
���������� ������������ ��������� �����������
���� �� " ���������������
���������
������������ ��������� ����������� ������������������������������� ���������������������
��������� !���" ����#$%
������������������������� ��������������� �� ��� ������������
��������������������� ����������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������� ��
�������������� ���������������������������������������������������������������
������ ���� ��� ��� ��
��������������������������������������������������������������������
� ������������� ���! "������� ��������
� # $����������������
� %�������������&����������������������������
� %�&�������������������������������
� '�����������������������
� �����������������������������������������
���������������������������%()*+,�������������������������������������������-�.��������������������������������������������%()(�������������������������������������������������������
�������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������������������
� ������������ �
/�������%��������.�������%���������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ������������ ����!���������"��/���������������������������
������������������ �����������
�������������������������������������������� ���������������������������������������&����������� ����#������$���������� ��������������������������������� ����"�
������������������� �������
�������������������������������������������������������������������������������%��� �����������&����������'�������������������������������������������������������������������(��������)����� ����������*����������� ����+��#"�
������������������������������� ����� ����� �
!����������������������������������������������������������/������������������
������������������������������� ��������������������� ������������ ��������� �����������
���� #$& ��������� !���"
�����������,�������������+����������������������������������������������� ����+��#��-���.-/�������������������'���� ��������������������0�����)�(����������������� ���������
�������������������������������
������������������ ���������� ��������������������������������������������������������������������������&��������01��2�,3��$����2�3�����$��!�2�3�
�������������������� ����� �
�-�������������������� �+�����#� � ����+���'��� ������������1+����0�2"������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������4����������
���������������������������������� ���������� �������
����������������� �������������������������������������������&��������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�3��4������+��������� ������'�)#�����'�����356-��������������� ����#�3��4��������'����'����������'����"�
������ �������������!���"� ���������� ��� ����� �
�&���������������%/7� �8�����������������'������������������� �����������*�����'���������9����#�����+��������������+���"�
#��$���
����������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������
�����������������������5�������&�����6�������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������ ��������� ����������� ������������������������������� ���������������������
��������� !���" ����#$#
���������
���������������������������5�������&�����6����������������������������������������������������������
������������������������������� ��������������������� ������������ ��������� �����������
���� #$' ��������� !���"
���������
�%� ���
%���� ���������������������������'�����������������0�������������������������������.�������������5 ������������������������������������������������������6�
������������ ��������� ����������� ������������
��������������� ���� !"
�������������������
���������������������� ��� ����������������������������������������������������� ������ ������� ������������ ������ ���������������������������������� ������������������
����������� ��
���������������� �����������
� ��������� ��������������� �
� ����������� ������������������ ���������������� �
�����������
������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������� ����� ��������������������������� ����������������������������������������������������������������� ���������������
���������������� �������� ������������� ���������������������������������������������� ���������������������!������������������������������������������������� ������������������������������������������"� ��������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������
������������������������������ �������������������������������#������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������$��������������������������������������������������������������������� ����������������� �����������������
������������� �� ���������
%�����&��'�����"�������&� �������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ����������� �������� ���!��(����� ���������������������
�������������� ������������� ��� �
��������������������� ������������������ ��������������������������������"����������������� �������������������#�������$����%������������������&���������'������&����$������������(����)�����&����"����*��+������������������,�����������#��������������� ��������!�
������������ ������� ������ ��������������� ������ �����
������������������� ����������������������������������� �����)� ��������������������������������� ���*���������������������� ������������ �����" �
�������������� ������������� ��� �
������������������� ������+ �������������#������� ���������� ����)�,��)������%�������%������������������������ ����&��)!�
������������ ������������ ��������� �����������
���� !# ���������������
�������������� �
�������������������� ����������������������������������������� ������������
���������
%�������� ���������� ����������#��,-�)�,-�����,.�)�,.�
���������
"�����������������������#������������ �����������#���������������������� ���� ����������������
���������
������ ������� �����/�������$������
���� ����� �����������������
%�����&��'�����"�������&� �������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� '���'�������-��.. ���������!��(����� ���������������������
����������������� ��� � �� ������������
�"����-��..���� ���/����������%���(�������'����������������'�0��������� �&���� ��������1����1���������������#������������2�����#�,��������������������
����������������� ��� � �� ������������
�"��������������#�����������������)%����������-��..�����������������,�� ����������������3!�
����������������� ��� � �� ������������
��������������������� �����������������������������1�������������&��������%�����(����)�����&���������$����'������&�����"����*'�+������������������,�����������#��������������� �����������������������������������* ���������������/�������%��'�0+!�
������������ ��������� ����������� ������������
��������������� ���� !$
��������������� ���!�� ��������� �� ��"� ��
'�� ��������������������0����� ������������
����� ����#�!�� ���������
������������������������� ������������������������� ������������������������������
������������ ������������ ��������� �����������
���� ! ���������������
���������
1����� �)��������������������&�*%���������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ���4�&��$����� �������������������� �&��$�$��������*5+�����",�������647�8� ����!�
������������ ��������� ����������� ������������������
��������������� �������
���������������������� ��
���������������������� ��� ������������������������������ �������������������������������������������������������������������� ���� �������������������������������������������������������������� ������������������������������ ����������������������������������
������������ ���
���������������� �����������
� ���������������������������������
� ��� �������������������������������
� ���������������������������!��"����
����������� ������ ����
������������������������������������������������� �
� �������������������
� ���������������������
� #��������������
� ���������
� $�������
� %������
�������������������
���������������������������������������������������������������������
� "�����������&'"��(')����������������
� !���� ��������*�� ��� ������������������� �����������+
� !�*�� ����������������������������
� ,�����������������������
������ ������ ���
-������!��"�����.������!� ����������������������� ������ ����������������������� ���������������������������� ������������������������ ������� ������ !�"�!��� �������#$�/����� ���������������������
������������������ ������������ ��������� �����������
���� �� ���������������
����������������������������������������������
��������������������� ������������������������� �������������������������������������������*���������/��������*������ �������01��������������2�����������3���4��������������*�������������������� �����������������
������������������������������������
�% ����&���� ���������������������� �������'��������������(������&�)*�������+�������,����(������&�����-���+�������&������*���.#�/��������+�������������� �'�������� ����&���������������� ���������'�������������������������'������������������ ���������������0����������$�
���������������������������������
���������������� ������������������������������������������������!��� ����������/����������� ���������������+�������������'�����������������������������/!�������!���� ����+��&#�1��������� �����������/���� ��������������������������/234������ ��&����������������#�%���������������������������������� ���������������!%52�����������0��������*������������������6��2!#�/�������78%85�� ��������������������� �������� ������������� ��� �����������������!5�� ����$�
�������������������� ����
��������������������������������������������������������������������� ���5����������������+����������*�����
�����!���"�������������������
(�����������"�������� �������������������������������������/���������� �������������������*&�����*&����#�8�����8�%����������������������� ��������������������.����*�0����������������� �����������
���������"�����������������
����������������������� ������� ��������������������������������������������� ��������������������������*��������#-��6�07��8��&�6�7�����8��(�6�7�
�����#���"������$����%����&�
������������������������������ ������������+���������������������������������������,�������#�+�����0�������������#�+���������+������������������������������ �0�����������������������������9���� ��#-.%��������������������
�����'���"�����������������
"������������������������������������������� ������+���������������������������������������+�
(� )��
����� ����������������������������������������������01:������������� ����������������������!��"�����;'8�
��������
#� ������#�+�����<��.���������������������� ���������������.�����������������������
�������������������������������������
����������������������0������������*���������������� ������������9���:$�
������������ ��������� ����������� ������������������
��������������� ������!
���������������������������������������������
�% ����&���� ���������������������� �������'�������;���)*��������+�������,���(������&�����-���+�������&������*���.$�
���������������������������������
,�����-!������������������������������������������
�����!���"�������������������
�<������������������������=�������������+���������������������������;����>�������>���� ����+��&$��
���������"�����������������
������������������*��������#-��6�=1��8��&�6�7�����8��(�6�7�
�����#���"������$����%����&�
,�������#�+�����<�������������#-.%���������+������������������������������ �<����������������������������
9����������� ���������������������������#�+�����<�������+�������������!����>������!��"�����;'8�
���������������
-��������+�������������������������������������������������������������������+����������������������������������������������������������������+��� ������������������� �������������������� ������������������������������������������������������������?�5�,�(������*������������*����������������-��������+����������������� ����������������������������������������������������������������*�������������� ������������������0������������ ������������������������������������������
��������������������������������� �������������������������������������������������������������� �������������������������� ���������� �������������+����������������������������������������������������������������������������������������
���������� ������ ���
?�������� �������������������� �����+���������� �����������������������������������������������������
� "������
� 5����
� (*��������
-�����!��"�����.������!� �������������������� ������ ����������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ��;��#���� �����&�?�����$#�/����� ���������������������
���������������*�+�%�%��������������
��������������������� ���������������������������������� �������������������������������������������*���������/��������*������ �����������01�������������2������������@+�0A��������������*�������������������� �����������
������������������ ������������ ��������� �����������
���� ��" ���������������
��������������
���������������*�+�%�%��������������
�% ����&���� ���������������������� �������'�����������)*��������+�������,���(������&�����-���+�������&������*���.#�% ����&��������������������� �����������*�'�������������������������'������������������� ���������������0����������$�
���������������������������������
������������������� ����������������������������������������������������������.,���������� �����+����������������������.,%#$��,�����#("(����������������������������������������:������ ������������� �����-!����������
���������"���������)��������� ������ ���,-��
,����������������������������������������������B��� ��C������������������+�����������������������"���������������������+���������������������.,%>#�
�����!������%����������
������������������������������������������������������������� ���������������������������������D����*�����8��������+���������7��.��& ��������������*���������@�����������������������'�.*��.�$������������������������������������ ������ ��������
���������"�������������������
(�����������"�������� �������������������������������������/��������� ����������=�������������+����������������������������������������������� ����+��&#�8����8�%����������������������� ��������������������.�����*�0���������������� ����������
�����#���"�����������������
����������������������� ������� ��������������������������������������������� ��������������������������*��������#-��6�07��8��&�6�7�����8��(�6�7�
�����'���"������.���/�����%��&�$����%�������%
������������������������������ ������������+���������������������������������������,�������#�+�����0�������������#-.%���������+������������������������������ �0�����������������������������9���� ��#-.%��������������������
�����0���"�����������������
"������������������������������������������� ������+���������������������������������������+�
����� �����������������������������������������01�'��� �����+������ ������ �����������������!����>������!��"�����;'8�
��������
#������ ������������#�+�����<��,��������������� ��������"�����<��.���������������������� ����������8)�
������������ ��������� ����������� ��������������������������
�������������� ����!"#
�������������� ������������� ���
����������� ��
����������������� ����������� ������������������������������
��� ����������� ���
� �����������������������������������������������������
� �������������������������������������������������������
� ��������� ��������������������������������������������������������
��������������� �����
���������
��������������� ��������� ����������������������������������������������������������������������� ����
��� �����������������������������������
������������� �����������������������������������!�����"#�����"#����$�������������������������!�����%�����&%����$������������������������!���������'�����������(#��� �)#�������*#$���������������'��������! �+�������,���+���������'�����$�
��� ������������������������������������
�����������������������������������������������������������-�����������������.������'�������� �+�������������������������������������������������������������������/����������������������������� � �������!����"������������#��� � �������������� �!� � �������$�%� �������&�������������� �!� � �'(�������������������� ������������ ��)����"��� ��� � ����'��� ������������ �!� � �������� ��������������������������*�+�0����������������������������������������
��� ������������ ������������ ������
����������������������������������������������������������������'������� �+������������������������12��������������������������12345������������������������!��������&$��6�����������������������������������������
��� ����� ������ ����!�����������"����������#$��
����������������������������������������������������������������������-����������������������������������������������������.������������ �������������������������������������������������������7���������������������������������'������
��� �%����������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������2���������� ���������������
model nugget Sill (without
nugget) Ranges
Directions (MEDS)
EXP 0.007 0.078 80/60/60 45/0/0
�������������������������� ������������ ��������� �����������
���� !"$ ��������������
��������� ����� ������ �&����������'�����������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������*��"���$������������ ��������������*��"�$��������������������������� � ��"��,� ��"��,� ���#����()��������������������������������������������������������+
��� �(��� ������ �)������ ������
�(����������������������������������� %������������������������������������������������+
��� �*��� ������ �����������)������ ������
������������� ��������������������������������������������'�����������������������������������������������������������������������8���������������������������������������������������
��� �+������!������������,���� �����'�����������-
�����������������������������������������������9������0�������������������'������
��������.��! ��
�-������������ ������� ���������������������������������
DIST EAST NORTH ELEV VALUE DH 84.24 2628.40 5432.60 2435.0 0.6300 53 86.58 2628.40 5432.60 2450.0 0.3700 53 93.25 2628.40 5432.60 2465.0 0.3100 53 93.25 2628.40 5432.60 2405.0 0.4700 53
103.42 2628.40 5432.60 2390.0 0.6100 53 103.42 2628.40 5432.60 2480.0 0.4100 53 103.69 2728.30 5439.10 2480.0 0.7300 54 132.10 2618.80 5558.90 2435.0 0.0100 61 133.60 2618.80 5558.90 2420.0 0.0000 61 133.60 2618.80 5558.90 2450.0 0.0100 61 138.02 2618.80 5558.90 2465.0 0.0000 61 138.02 2618.80 5558.90 2405.0 0.0100 61 145.09 2618.80 5558.90 2390.0 0.0000 61 145.09 2618.80 5558.90 2480.0 0.0000 61 158.24 2829.60 5537.40 2435.0 0.3300 62 159.50 2829.60 5537.40 2420.0 0.2300 62
:���!)#��)#$�1���������;�&�(%&<
=������������������������� ���������������/>&����'�������������������?����������������������9�������������������������� ������������������������������������������ �������������������������������������� ��������������������������������������������
����������
��������������.������ �����"��� �!�������������� ���/�������������������������������������!0�!0����@�������������A
������������ ��������� ����������� ��������������������������
�������������� ����!"%
�������������������
��������������.������ �����"��� �!����������������������� ������1������%� ���@�������������A
����������
���������������/����� �!����������������������� ���������*������� ��.����� �����"� �!��� �������� ���������������1�������2����1���������������������������
DIST EAST NORTH ELEV VALUE DH 77.99 2728.30 5439.10 2480.0 0.7300 54 84.20 2628.40 5432.60 2435.0 0.6300 53 85.52 2628.40 5432.60 2450.0 0.3700 53 89.38 2628.40 5432.60 2465.0 0.3100 53 89.38 2628.40 5432.60 2405.0 0.4700 53 95.47 2628.40 5432.60 2390.0 0.6100 53 95.47 2628.40 5432.60 2480.0 0.4100 53
����������%
���������������������������������������� ����������������#������������3��������2����#�� �!��������������������1�������2%�����B����������
DIST EAST NORTH ELEV VALUE DH 84.20 2628.40 5432.60 2435.0 0.6300 53 85.52 2628.40 5432.60 2450.0 0.3700 53 89.38 2628.40 5432.60 2465.0 0.3100 53 89.38 2628.40 5432.60 2405.0 0.4700 53 95.47 2628.40 5432.60 2390.0 0.6100 53 95.47 2628.40 5432.60 2480.0 0.4100 53
���������������������������������������������������.������� ����2�������������� �!������������ � ����������������������������������� �!�,�!�,��
DIST EAST NORTH ELEV VALUE DH 84.20 2628.40 5432.60 2435.0 0.6300 53 85.52 2628.40 5432.60 2450.0 0.3700 53 89.38 2628.40 5432.60 2465.0 0.3100 53 89.38 2628.40 5432.60 2405.0 0.4700 53 95.47 2628.40 5432.60 2390.0 0.6100 53 95.47 2628.40 5432.60 2480.0 0.4100 53 99.08 2618.80 5558.90 2435.0 0.0100 61
����������
���������������������������41����������������������
�������������������������� ������������ ��������� �����������
���� !"& ��������������
������������ �����������
��������
��������������� ��������������� �����������3����� �������)�����'5(��?������������C.��������������
���D���8�����(E?���������������������������D���8������9���!��������������������$���6�9�����������������9�������������
������������ ��������� ����������� ����������������������������� ���������������������������
��������� !�"�# ��$�%�&
������������������������� ������������������������������������� ���� ��
�� ����� �
����������������� ������������������������ ��������������������������������������������������� ���������������������������������� ������������������������������������������������� ���������� �������������������������������� ���������������������������������
����������� ��
����������������� ����������
� ����������������������������������������������������
� ���������������������������������
� � �������������������������� ���� ���!����
������ ��� ���������� ���� ��
"������������������������������������������ ���������������������� �������������������������������������������������������#����� ���������������������� ����������������������������� ���������������������� �������������������������������������������������
� ���������������� ���������$�%&'���� ���(�)
� �%&���� ���(�*
� �%&���� ���+�)
� �%&���� ���+�*
� �%&���� ���,�)
� �������
������ ���� ��� ��� ��
���������������������������������������������������������������������
� ��������������'�����(����)���"�����
� *�+�����������������
� �����,������-��,��,�)��� ������������,��
� ��-��,������������������������������
� .��������$����$���������
� ��"��������������/������"����$�������������
����������������������������� ��������������������������� ������������ ��������� �����������
��$� %�0 ��������� !�"�#
���������-����������������������� *+./(����������������������������������������
���0!1�������������������������������������������������� *+*�!��������������������������������������������������������
� ������������ �
2������ ���!�����1������ ����������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ������������ ����!���������"��3������������������������������
������������������ �����������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������#��������$����������������� �����%���&"�
������������������� �������
�����������������������������������������������������������������������'�������(��&��) ���������� �������$��������������*������+��������,�����������$������������-./��*���-�������������������%�������� ������������0����������1�����"
������������������������������� ����� ����� �
"����������!���������������������������������������������3�������������������2�������������$����������������������������������������������� ����$��)��'���3'.�������������������4���� ��������������������&�����%�1����������������� ���������4
�������������������������������
����������� �������������������������������������������������������������������������������������������5����������62��7�()��%�-8�7�)�����%�-"�7�)�
�������������������� ����� �
�'�������������������� �$�����)� � ����$���4��� ������������+$����&�/"���������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������9������������
���������������������������������� ���������� �������
�������������� ��������������������������������������������5���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)�(��5������$��������� ������4�%)�����4�����(67'��������������� ����)�(��5��������4����4����������4����"�
������ ������������� ����� �
:����������������%&�� ��������������;����������������������������������,���������)�(����9������������������.)�����������
!��"���
�����������$��������5������'��� ����������������������������������������������������������������������������������������
������������ ��������� ����������� ����������������������������� ���������������������������
��������� !�"�# ��$�%�*
���������
������������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������
����������������������������� ��������������������������� ������������ ��������� �����������
��$� %�1 ��������� !�"�#
��������������������������������������� ������������������������ �����������������
���������������
������������������������������ ������������������������ ����������������������������������������
�#� ���
1�������������������������������������������������������������&��������������<
������������ ��������� ����������� �������������������������������
��������� ����! ����"#$
���������������������� ����������������
���������������������� ������������������������������������������������������������������������������� ������� �������������������������������� ��������� ������������ ������������������ ���
����������� ��
���������������� �����������
� ��������� ���������������������������������� �����
� ��������� �������������������������� �����
� ����������� ����������������������������� �
� ����������������������������������������� ��
� �������������������������������������������
� ��������������
�������� !�"������� � �������������������� ���������������������� ��������������������������� �������������������� ������� ������������������������ ����!"������� ���������������������
������������� ���������������������������
#������������ �������������������������������������$�����%&���������'�����
������������� ���������������������������
#�������������������� ������������(�)���������������������������������������������������������������������'������������#$%��������������&���!���������������������������#'(���#)*+������ �$%��,��-��������������&.�����/�)������0����������� �����������"�
������������ ���������������������������
#������������ ���������������� ��������������������*� ��������� �������������+,���������������������������������,�%���1����2���3������������������4����������&���������������� ��������"�
��������������������������������
#������������������ ����������������������������������� �����'� ��������������������������������� ��-��������(��'������5������������6�&.�����-�����(781���������1�������6��������� �������������������������"��#����������.������/���0������ �����1��
������������� ���������������������������
#�������������������������� ������������������������������������������������������������������������������2������������������� �������������������� �������������� �����3������4������5�������6�
������������������������������� ���
!�� ��������������������7����� ������������
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#% ��������� ����!
���������!�� ������ ���������������
#��������������������������(���8,9� %)�����������������������������":�4�":.;<��":�2=����� >�4���� ������������ ������
#������������������������������������������������������":�4���� ������������#����������������������������������� ����� ����������������?�
������������ ��������� ����������� �������������������������������
��������� ����! ����"#&
���������
5����� ���������������������� �2>#�������������� ������������ ��������� ��������������������� �������������������������������������������������������������������� ��
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#' ��������� ����!
���������
"#������
<�����������������������������������45����������������.�����������������������:��������� ���������������5������ ����������� �� ���������������� ������0��������������������:���������'�������� ��� ������� 0����������
������� �������� ��
�������� ��!�����"������� � �������������������� ��������������������� �������)������������� �������������������� ������� -� ������������9/����-�)����"�������� ��������������������
���������������$������������������
5���������������/������� ���������������������45�����0������������������������������!���������������������� ������������� ���������������������������������8,9� ������8,9� ���������8,9� 0��4������������������ ������������������������������������������������������������������� �����3�������������45�(@)����.�������(A)6�
!�� ������ �%�� �&'�����������
#�� �2>#��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ����)�5��0����� ������������������� �5��0�0��������2:3�����14������� )*�/� ����"�
������������ ��������� ����������� �������������������������������
��������� ����! ����"#
���������
�� ���������������������� ������� ������
>����� ��!�����"������� � �������������������� �)������-����������� ������)������������� �������������������� ���������. ������������9/����-��)����"������� ��������������������
����������������������
�1��������������4��.��������� ������-������������ �;���������!"������������������:!B;���:���������������������������������������������� ���������'������
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#( ��������� ����!
���������
!�� ������ ���������������
#�������������������������� %CC ����/���4��������<�����2:3"�
������������ ��������� ����������� �������������������������������
��������� ����! ����"#)
���������� ������������������������� ����!� ""�
>����� ��!�����"������� � �������������������� ��������������������� ���������������������������� �������������������� ������� ����6��������������������#������������ ����!"�������� ���������������������
������������� ���������������������������
#�������������������� �����������������$� ������%&����������'�����
������������� ���������������������������
#�������������������� ������������(�)���������������������������������������������������������������������'������ ��":�4�������������(���)����*����������� ����������#>�>������������� �����������,�,%�
������������ ���������������������������
#�������������������� �������������������������� �������������1����=������������������5��������������������<�����&�4�����������������������5�������������3��6>�����������������4�����������&���������������� ��������"��#��":� ��������������'��������,�C��,�+��,�&��,�D&��%�,������%�&�
���������������������������������(����� �������������
#������������������ ����������������������������������� �����'� ��������������������������������� �����������(��'������5������������6�&.�����-�����(781���������$��������������������6��������� �������������������������"��#���������.������/���0������ �����1��
������������� ���������������������������
"�� ���������������������������������������������� ������ ������������������ �����3�45���� ��� �����/���� � �����6�
������������������������������� ���
!�� ��������������������7����� ������������
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#" ��������� ����!
���������!�� ������ ���������������
#������������������������������������������������������":�4���� ����� ��������� �������E�������������� ������������������ �������#���� ��������������������� ������������������������������������
#�����������������������������������$��$�������0��������":�4���� ��
5����� �'�������������������� �2>#��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ���)�5��0����� �������������������� �5��0�0��������2:3�����14������� )*�/� ����"�
������������ ��������� ����������� �������������������������������
��������� ����! ����"#*
���������
� ����! ������� ��
�������� �����-������ ���� ������&��������������� ���������������������� ��������������������������� �������������������� ������� ����������������������� ����!"�������� ���������������������
�������������� �������)�������������������
#�������������������� �������������������������'�����������������������������������������?%�������������������@!������� ����.�������������4�����������2��3����&��������������� ��������"�
�������������� �������)�������������������
#�������������������� ���������������������������'������ ����1�����#$%�������.��4��������#'(��������4��4���������� �����#����������������=����������4����������������&�����4��"�
������������ �������)�������������������
���������������������������������&�������&.����� ���-�������������5�������������������������������2$%,�5��'�-��-3"�
���������������������������������(����� ���)�����������
#������������������ ����������������������������������� �����'� ��������������������������������� ���#������������������������������������������� ������������������������������.�(��'������5�������&.�����-�����(781��������"�
!�� ������ �)���������������
#��������������������������(���8%9� )����������� ���������������������������������":�4�����":.<;���� ��
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#$� ��������� ����!
���������
5����� �'�������������������� �2>#��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ���)�5��0����� �������������������� �5��0�0��������2:3�����14������� )*�/� ����"�
������������ ��������� ����������� �������������������������������
��������� ����! ����"#$$
���������"#������
"�� �������������������������������������.��������������5��������� �����F
�� #�#����$��� ��
>����� ��!�����"������� � �������������������� ��������������������� �������)������������� �������������������� ������� ��A���������)�&�&����.�)���� ����!"�������� ���������������������
������������� ���) � ����*������������������
#�������������������� ��������������������������������������������'���������!������?4����������(����%&)������������������������������������ ���
������������� ���) � ����*������������������
#�������������������� �������������������������������������������������������������������#'(������-�����������5��������=�����������4�����5��������������1�������������������2)�&�&����.� �������<�-��-���������3"�
��������������������������������(����+������������������
#������������������ ����������������������������������� �����'� ��������������������������������� ���#������������������������������������������� �������������������!�����������������������������������������0�
�������������������(���������� ����������,���������$����
#�������������������������� �������������������������������������������2����������������0����������'����
����������������������������������
#�������������������� ����������� ���������������*����������������� �����������
!�� ������ �����������������
#�� �2>#��������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ����)�5��0����� ������������������� �5��0�0��������2:3�����14������� )*�/� ����"�
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#$% ��������� ����!
���������
"#������
"���������������������������������;�0�#����%�����C��"�������� ����
������������ ��������� ����������� �����������������
��������������� �� �!"#
����������������������� ������������������ ��������������������������������������������������������
�����
����������� ��
����������������� ����������� �����������������������������������������������������
� ������������ ��
������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �!����"�#���"�����$����%&���������������������������������
����������������� ���������������������������������
���������������������������������������������!������������������������������"���������������'������(���������)����������������������������*!&
����������������� ���������������������������������
�����������������������������������������������������������������#���� �� ����������������������������������������������$�����%&�$!� ����������������������������������+�����,�����������������)��������������������������������)�����!&
��������������������������������������� ��!����������
������������� ��������������������������������������������"������������������������������������������'������������������������������������������������������#�������-./�+�����������������'�-��0�1'������������������#23�)��������4���� �����55�(
������"�������������������#����!������������������ �
�������������������������������)�*������������+��������������������������������,�����!����������"�����������������������������������"�����!� �� ����������+6�#�7��#23�8��23�9�(��������)��������:�������*��!&
������$����������������%�����������&��'�����(������
���������������������������������������������)�*�������������� ���������������������������������������"�����!� �-�������������'�����+6�#����!&
������������������������������������������������������������������� ������������������������!����������������%����.�� ����%���#�����/0$�
����������������� ������������ ��������� �����������
�� � !"$ ���������������
���������
������������ ��������� ����������� ������ �������������
��������������� ������ �
���������������������� ������
���������������������� ��� ��������������������������������������������������������
����������� ��
����������������� ������������������� ��������� ����������������� ��������������������� ��������
������� �������������������
� ���������������������������
� ���������������
� ����������������������
� ���� ������!��������������"�
���������� ������� ������ �� �������������� ��
������������ ������������� ������������������������������#�$������ ���������������������������%�������������������%�&'������������������������������������������������������(�
%���������)*��������������������������+,-�������������.���������������������������������������� ��������������/,-� ����������%���������������� $�����������������(�
0�����1&�2�������1� �������� ����� !��"�#���"�����$�� �����������"!������%� �� �����&��!�����"!����!� ������ ���"!����!�"'()*(+����,�-�!,%� ���.$�� /0��.����� ���������������������
����������������� ���������������������������������
'�������������������� ������������������������������������������������"���������&���������3,����������������������������������
����������������� ���������������������������������
'�������������������� ���������������������� ���������� ��������&������������� ����������������� ������������� ������������������������
��������������������������������������� ��!����������
'������������������ ����������������������������������� �����"� ��������������������������������� ���4� ����������������������������� ������������������������-����1�� ��������������"���2��������� ���3����*�����#4�����%-����� ���3����*�����440�
������"�������������������#����!������������������ �
����������������������� ������$�(���������5������������������ ������������ �������������"��������������������������.��������"������������������������(����� �����3�5�����6�0�
������ ������������� ������������ ��������� �����������
���� �� ! ���������������
���������������$����������������%�����������&��'�����(������
'�������������������� ���������������������$�(���������������������� �����������������.��������"������6����������������7089�����
����������� ������
7���:�+�����%�&'��:�;<����,/
7���:�)�����%�&'��:�,/����//
7���:�;�����%�&'��#//
'������ ������7089�������� ��������������������$7089�:3����+(������������$7089�:)(����������������$7089�:;(�
)*�����
1���������������������7089����1&+������������ ����������������������
����������������
1������������������������2=�! ������������� ��������� ���������� ��>+;<3�%?'��=�� ������������������������������$� ������(�
������������ ��������� ����������� ������ �������������
��������������� ������ "
���������
!�������+�%�%�,������
� ����������������� ������������������2�� �������������������������������������������&�����������2=�2!��1���������������=�� �������������������������������$� ������(�
����-��,������.�����*
� ����������������� ������������������2�� ���� !������������2��������������&����������� !���1���������������=�� ����������������� ����������$� ������(������������ �����@
������ ������������� ������������ ��������� �����������
���� �� # ���������������
���������
������������ ��������� ����������� ������� �������
��������������� ���� !
���������������������� �
���������������������� ��������������������������������������������������������� �������� ����������������������������������������������������������������
����������� ��
���������������� �����������
� �������������� ����������
� ���������������������� �����
� �������� ����!��"������������������������!��"�
� ��������#���$�����������������������
� ���������������������� �������������������
� ������������!������������ �������������
� %��������� ������������
������� ����� ��
&����������������������������������������������������������������������� ���'�� �����������'����������������������������������(���)����'����������������������������������������������������� ��������*���������������������������������'������������������������������������������� ���������������������������������
��������������������� ��������������������� ���������� ���������������� ��'����������������� ���������������������� ������������������������ ���*����� ������������'����������! ����������������� �����!�������������������&��������������������������������!������ ����������������������������&������������������� �������������������������������� ������
�� ����� ������ �
&�����������������������!��������+ �����������������������! ���������� ���������� �����������&���������� ������������������������������������������������������������*���������������������������� ������������
,��&��������������������������! ����� �������
-��&������������������������������! �����!������.��+ �����/�������
�������������� ������ ����������
&�����������������������������������������������������'�������������������������������������������� �����0 �������������������!��"���� ���� ����������������������������!��"���&��0 ��������������!����
��������
���������
������� ������� ������������ ��������� �����������
���� !" ���������������
����������������� �� ���� �����������
���������������� ����������������������������� �������������������������� ��������� ����� �������� ��������������������� �������������������� � ���!������"�(����� ������������������!��
�������������� ��������������
&�������������������� ������������������������������'�!��"�����������������������������1�����)������������������������������������",������������!��������������� �����!�����������������������'�����������������������������
�������
&��� �� ������������� ���������������������
��� �����
%�����!��"��������,2),2�������� ��������� ������������������ ��������!��"�������3
��� �����
%�����!��"�����������������,2),2)4��������������������!��"�����������-2)-2�!��"��
��� �����
����� ���������������������������������'������ ������������� �������������������� ��!���3
������������ ��������� ����������� ������� �������
��������������� ���� !#
���������������� ����� ��� ��� �� ����������
5�����6��7�����%�������6� ���!'��������������� ������������������������� ���������� ����� �������� ��������������������� ��������#$%$&��������������'� �� ����("��(����� ������������������!��
����������������������������������������������
&�������������������� ��������������������������������������������8���������������9�����������%1�������!��������������������������������������������
����������������������������������������������
&�������������������� ���������������������0 ����������������������)���������1��������� ����� �������'�����������:2����������������������������2�,��8�������������)����������; $��������� ����������������'������"������������ �������������
�������������� ��!����� ���� ����� �
&�������������������� ���������� �� ������������������!��"���������7������� ������������� ������������� ���'����� �����!��"�������������� ��������"������� ��<2�,==>�
������"���#��������������������! ������������������
&������������������ ����������������������������������� �����)� ������������������!�������������� ���&���������������������������������������������7�������?5%#�������� �,�!�� ��������?*@A8�������'����������������� �����$,4���!����������������"�����,B�
������$�������� %������&������! �������������
&������������������ ������������������� ����'������!�����������������������������+�����������!� �����������C�������������!���"�
������'���(��� ���������� �)����
&������������������������������������ ���� ���������������������7�� ���� ��������������*����! ������������
�������
C��"����������������������� �����@�����������������)���������&��������� ������������������������������������!��"������������������������ ���������������������&��������� ���������������������������������� ��
������� ������� ������������ ��������� �����������
���� !$ ���������������
���������
��������� �� ����� ���������� ���
5�����6��7�����%�������6� ���!'��������������� ������������������������� ���������� ����� �������� ��������������������� ��������#$%$#�������)�**+��������"���(����� ������������������!��
�������������**�������������������������
&�������������������� ����������� ����������'�������!�'������������������������'��������������������1��D��"�������������� �����'�DC#������������������!�'�����"����!�)���������������������
����������+ ���+ ��������
&����������������������������������� �����<�>�!���� ����7���%�� ���E,�������������������
�������������**�������������������������
&�������������������� �������������������������������������'��������)�������'���������������������1��������� ����� �������������:2���0 �����������'�����2�,�8��������������)�������;!�"$�����!�������� ����������������'������������������ �����;&��������!��"�$�
������"���(��� ���������� �)����
&������������������������������������ ���� ���������������������7�� ���� ��������������*����! ������������
������������ ��������� ����������� ������� �������
��������������� ���� !�
�������������������%�(��� ������
&����������������������*7%����������������������! �����������!������������������
������ �)���������������'����6�C5&����������������'���������� ������������������'�������������������������'������������������������������������ ���������������'��������������������������;F$�����8)������6�C5&������
� ��� ���������� ������ �� ��� �� ���������
5�����6��7�����%�������6� ���!'��������������� ������������������������� ���������� ����� �������� ��������������������� ��������������������! �����!�������'� �� ����("��(����� ������������������!��
������������������ ������ ���������������, �%��
&�������������������� ����������� �������������'�������������������'�����������)�����������������������*��������� �������9'������"����!�)���!����������,-�
������������������ ������ ���������������, �%��
&�������������������� ���������������������'���������������'����������������������������1�����%1������������� �'��������������� �����������������%�"����!�)����������� ���'���������������������������������<��� ��>�
����������#��������������������! ���������
&������������������ ����������������������������������� �����)� ������������������!�������������� ���&�����������!� �����������������������������������������������7��������?5%#�������� �,�!�� ��������?*@A8��������
������"����������� ������ ������� ����� �
&��G�� ��G������%�������������������!�!��"������������������������2�,=H99I2�-4=�J�2�HK9L���������������������������������������<2�=24�>�
������� ������� ������������ ��������� �����������
���� !% ���������������
����������������
&������������<���42K���>������������ ������������G�� ������������������ ����
��� �����
? ���������������������������"����������������! ������1��)�������*((�
��� �����
? �����G�� ��G������%�������� ��������������������������������1��2�=-�����������������������������<7����!�"����%1DC#'�� �����������'� ��)�������C6�>
��� �����
%��!�����������������������������
��������������<���:2-� >
���������������������������������<���:2-�!�">
��������������<���:2-����>'����
�����������������������<���:2-����>
5�����6��7�����%�������6� ���!'��������A�� ����������'��������5�����������L������������� ������'��������� ������������������������178?(I�*&*(��(���� ������������������!��
������ ������
8������������)'���������<��������� ����'��������+�>�������������������178?(��1��������������������������
�������
&���������� ������"���"������
������������ ��������� ����������� ������� �������
��������������� ���� !&
���������
� �������������� ������ �� ��! "�������
M,� �������������� ����������������������� ���-����.�/)/*/*��������� ��/0���.��������� �������1� �������+�����.�! ����������������� ��������
������������������+������-��
C�������������!���"�
��������������*�������)��-��%
7������������������������������������1������%1#?A��7����!�"�������%1#AA�
��������#�������������������
7���?�"�&���,�
������"��������� ������ ������� ����� �
1���������������������,�2K��*�� ��������� ��761� �������,2�)�,2�)�,4�������
������� ������� ������������ ��������� �����������
���� !' ���������������
���������� ������ ����!�"������������������������!��"'��� ���� ��������!��"����������2�,9,4=L���������������������������� ���!�2�,9,4=I2�,=H99�J�,�2K��&���������������������?�"�&���,�����2�H9,=���������������2�42-4�
�������
��� �����
? ���������������%1#AA�������"���������������! �����
��� �����
����������������� �������%1#AA�����%1#?A��������������������������������+ ���������������! �����
������������ ��������� ����������� ������������������������
������������ �! ����"#$"
�������������������������� ������
����������� �
����������������� ��������������������������������������������� �������������������������
�������������������������������
�������������� ������������������ ����������������� �����������������������������������!"#$��������������� ����������������� ���������������������%���������� ����&�����'�������������������%�%������������������ ����� ���������������������� ����������������%����� ���������������� ����������������������������� ��������������� ����� ������� ����������������������������������������������������� ������������������ ������� ��������������� ������� �������������������������'�(!"#$�������)��������� ��������� ����������')���������������� �����������������������
����� ������������������������
*��������������� �� ����������� �������������������������������������� � �������������������� �����
�!����"#������ � ����������������� ����$���� ���%������#�����������$����&�����'���+��,��������#�������� ������������������������� ������� ����������������'�-�"��������������������%������ ��������������������������������������������������������$�
������������������������ ������������ ��������� �����������
���� "#$# ������������ �!
���������������������������
��������������������������������� ����������������%��������'�-)� ���������������������������%�������������������.
&�� ������������������ �'�-)
'�� ����� ����
�����������������������������%����������������������� ����/��������������������� �������0&)���#�0'�"�����$�������������0�'�
*�����������"��� ������������ ���"������ �����������������&�(��������#����"������"��� ����
#��� ������")*����+������$����&������'������ ,��%����-����� ������")*������!������������������.$������ ,��%������")*/��0��"1���1
���������������������
1��������������������� �������� ��������������������������������������������������������%����������������������� ����'2����������������������������������������������������3��� ��������0&)���#�0')���������0�&�&'���&�&&'���4�����%����5�������6������������������������������������
*�����������23� ��� �,��������� ���"������ �����������������'����������435� �������� �
#����$������������$���������������� �����% ��������6���������� ����� �����������"#473�� �,���")*����4������������������$���������(���#������������������8���� ���0�����0 ���������������1
����� ����
*�����������23� ��� �,��������� ���"������ �����������������'����������� �����)� , �,
#����$������������$���������������� �����% ��������������������� ����� ������������"#�9:���4������������������$���������(���#������������������8���� ���0�����0 �����������������6����$����)��� ��� ���$����������������� �����")*�0������� ���0 ������� ����"#473�0���������1
� �������������������������������
7�������������� ����������������������������������������������������������������������������������(���������%���
������������ ��������� ����������� �������������������� ����������������������������
������ !!"#���� ����$%&$
�������������������������� �������������������������������
����������� �
����������������� ����������
��� ����������������������������������������������������������
��� ���������������������������������������������������������������������
��� ������ ��������������������� ����� ��������!���"����
����������������
#��������������������$������������� �������� �������������������������������%&��� ����������������������������������������������� �������������� ���������� ������������������������%�#������������� ��������� ����� ������������� ������������������'�������������������%�#�������������'���������� ��������������������������������������������������������������������������%
����������������
(������!���"������ �����!�������)�*������������ ��������������������������������������������������������������������� ���������� ���������������� �����!%+
���������������� ������������������
*"�������� �����������#����� ���������#������������$
�������������������������������
*"���������%&�"�'���#����������������(������������)������� ���������**�$
��������������������������������
,���������������������%
������������������������ ����������
*+���#���������������������� �����������������'�������� ���������������#����������,���#����� ������������� ��'����'� ������������������������$
������� ������������
(������!���"������ �����!�������)�*������������ ������������������������������������-���������.�.�)�����/��� �� ���� ���$
�������������������������� ���������!�� �������
*"�����%0��1�����#����� ������������������� ���2��� �� ��������!�����������$
���������������������� �������������
,���������������������
�������������������� ���������������������������� ������������ ��������� �����������
���� $%&' ������ !!"#����
����������������������������������������
*����,�#���(�������$
���������!�� ���"������������������������������
,���������������������
������#���������������$����!����������������� ���
*� ����3��� ���2��� �� ���3!����������� ����#��4������� �������5��#�3���� �������� ��������������2���������� ���'�������������������2����5��#���� ��� ���������������))����� ����#��4�����5���5�� ��� ������������ ����2��������5���5�� ��� ���$
�������������������������
(������!���"�����!�������)�6������������ ���������������������������������������������.���)������/��� �� �7����� ��-��(��#��.�8� �,��2��� �� �'� ��#������������!����������7�(������5� ������ ���9���:��������9��).3���� ��9�.;���$
������������ ��������� ����������� �������������������� ����������������������������
������ !!"#���� ����$%&%
������������������������
(������!���"�����!�������)�*������������.8�8������7����� �+���������������������������������������:)3������������������<�� �� �$
��������%������"�$�"�����������������&���
*�����!�����������$
��������'�� �������(����������
*"�������������#����������'�.;� �����#��!��������������������5��������� �!� �����������"������� �����#��4���������������� �!� �.8����������'��������� ������'���� ��=����'���� ��� �'�.�� ������������� �!� �'��:� ����������������������,��(�$
���������������������� �����������
*����� ��������� �%0��1����������������� ���+&8�$
��������������������������������
,���������������������%
������#������ �������������
*����'� ����'� ����2����!�������$
������)*�+*�,
,����������������������%
������������������������
*���������2��5�'���� ���+&8���=����������2����'�������5��#��������� ����'�����>���(���������''���!����������?#�����5���������������,�,��������,������'� ���2������,2����.�$
�������������������� ���������������������������� ������������ ��������� �����������
���� $%&( ������ !!"#����
���������
������������ ��������� ����������� ��������������������������������
������������ �! ����"#$"
��������������������� ������������������
��������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������� ��
�������������� �������������
� ����������������������������
� ��������������������������������
� ������������������������������
� �������������������������������
� ��������������������������������������
� ������������������������������������������
� ��������������������������
� ��������������������������!����������
� ����������������������!������������
�������
"����������������!�������#"���!�$����������%�����������������������&�����������������������������&���������'��&���������������%�����������������������������������������������������������������������������()�*+������������&���'����������������������������������&�������������������������������������'������%��������������������������������&����������������������'��������&�����������������������������������������������������������#,"-$�����'���� ��������������&���������,"-�����������������&��.��/��������������&������������&������������������&��.����&���������0�����������������&����������������&��.�������������������������&��������&����������������������
����� ��������� ��
�������������&��������
� �����������������
� �������������������������
� ����������������#������������%���������������&��$
� ��������������&������
� �����������������������
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#$% ������������ �!
�������������������������������
1����������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �� �������!�
��������������������� ��"���������������� ������#�������"����$��������%&��#������������������#�����������'����������������������� ���������������(�����)����������*�#�����'��*�����+
��������
������������ ��������� ����������� ��������������������������������
������������ �! ����"#$&
���������
������������������� ���
1������������� ����������������������������%&�������������������������������������������'�����������%&�����##�,���*����+
'������������������������� ���������"���!����������������&����������������������&����������������&�����"���!�����������������'��&������������ ������������������������������������������������������&���������������� ��� ����������������������������������������������������������������
������ ����������������������������
1-���������������� �#�����������#�� �����.��#����� �������� ��������'�!�+�'����������������&����������������������������������������������1-����������������� ����#���%�&������##����������+
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#$# ������������ �!
�����������������
������������������ ������ �����
1����������������� �����������������������������%&�����������������/*�������������������������������0�0�0������%���������.������ �+
������������������������������
1"����� ���������� ��"������ ���������(������ ����"����$���������%&�+
�����������������������������
����#*���������##�����1���������������(������ �������������� �����2
Cutoffs 0.42 0.56 0.68 0.78 0.88 0.98 1.12 1.30 1.46 1.66 ���� �����������!�������
2����������������������3�.�' ��*���� �
����"�����������������#�����
������������������������������������������������������2�������������&���.�
����$�������������� ����%����������������������������
1�� �����������������(������ �� �$�!�����������������3���������������1����4������������ ������������(������������������"�����������(����1����5� �������������+'��������&������������������������������������������*)���������'�������������&������������������������������������'���������������������������������������������
������������ ��������� ����������� ��������������������������������
������������ �! ����"#$�
������������������������������������������'�����������������������������������������������������������������#�4�*$�
� �������������� ������ �����
1����������������� �����������������������������%&������������/*�������������������6����������0������.������ ���������
"��������������#�� ����(������������������������ ���0�0� �'!���6���� ��0��.�1����������*�����������������������#�������������������(������ �������������)�������(������ ���������0�)��������(������ �#�����������������������'����������������������#��������������������������������� ������
�������������(������ ��+
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#$' ������������ �!
���������
���� �������������������
1���������������������������������������%&��������������/*����-���������6����������( �'��������%&�.������ �6��� �����7����+
��������������������������&���
5�����������������������&��������������������������������#��������.$����-��*)���������'�������& ���������������������6�)������������7�����������8���0�����������������������&�%���������������������*�#���*�*9$�
����������������������
1-������������� ������#�������#���������##��������������������������(������ ���� ������#���������������������������##��+��������������������������������&��
������������ ��������� ����������� ��������������������������������
������������ �! ����"#$(
���������
Cutoff Mean Variogram type
Nugget Sill-nugget Range
0.42 0.1907 3 0.05 0.20 75 0.56 0.4802 3 0.05 0.20 75 0.68 0.6132 3 0.05 0.20 63 0.78 0.7241 3 0.06 0.18 63 0.88 0.8232 3 0.06 0.17 57 0.98 0.9199 1 0.05 0.15 51 1.12 1.0279 1 0.03 0.13 41 1.30 1.2050 1 0.03 0.10 41 1.46 1.3727 1 0.03 0.06 41 1.66 1.5539 1 0.02 0.03 32
���� ���������� ���������
1����������������� �����������������������������������������������8��������������������%���������&�����+
������!������&�����'�(��
1"����%&����#�����$���������+
������ �"���!���)���������
1����#*���0�)�����������#���������� ��������1��������� �����3������*�����5� (��������*��#�������'��"������ ���� �$� � ��������������������������� ��������"���� ��� � ��#�0�������� �$� � ��#��8��� ��������+
���� � ��������������������������
'��������������������������������������������&�������������������������&��.���������������������������&��.��������1"���3�����������##����������������������� ��"6�/�����������'9������� �6�/�������#*��������������'9���� ���������������� ���"����� ���������� ��"�+
����"� ����������������
"�!�����������������������������&��������#��������.$��1"���5���� ����� ����#��� ������������������������(���#������������ �������������� �����+
����$�����������!�������
������3�.�' ��*��������� �
����*��������!���)���������
2�������������&���.�
����+����������������������
!������������&��������3�.�' ��*�&��.����� ���-�����������������#���3:;!$�
�������������������������������� ������������ ��������� �����������
���� "#$) ������������ �!
�������������!�������
1����������������� �����������������������������%&������������������������������������������8�:������������������� ����!�<
������ %�� ��������!���������(�,���
1"���#�����5�<
������ ��������!���������(�,���
,���"�!����������������������&��.������������������������������ ����"�!�������������������)���1"������ ��"6�/�1������� ��/�6������6�/���1���������� �� ����� ����������!�+
���� � ��������!���������(�,���
1"����������� ������#�������"����$��������%&��+
����"�����������!�������
1-������8������ ����������#������������������������+�'����������!������=&��.�����������>����;<� ��������������������'��*�����<
����$� ��� �����!���������(�,���
1�������������������������#�������1����� �����+
����*�-�������������(����.����
�������
������������ ��������� ����������� ������������������������������������
��������� !�"�# ����$ �$
�������������������� � ��������������������
����������� ��
����������������� ����������
� �������������������������������������������
� ����������������������������������������
������������������������� ���� �
��������������������������������������������� ��!�� �"��#����������������$�����������������%���������������������������&�������������������������� ����������������������%���'����������������������$������ ������� �����������������������$��������%�#���������������������!
������$�������&���������������������� �!���!�����������������&�������������(�$���)����������#�������������������� ����������� ������������ �!
������
*�������������� � ��������������������������������������������������������� ������"�����������������+��$��$�������!
��������������� ���� ����������
���,��������$��������������$�&���$���������� ��$����$�����������������������$�������������������������"�����!�����,���������������$������������$��������������������������&�%�"��������������������!����$�����������������������&�� ����������������������������������&��������$�&���$��������!�-���������������������������� ��$���������
� ������������������������$�������������"����������������������������.�!�!#�����$�����/�.$����0�"����0#
� ����������$����������������%��� ����"�������������������������"���������������������$�&���������&��������'��!
������$�������� ��$�����&�������������� ����������������"���������$�&���$���������������������������������!�1������������$���������������$��������#�&�%�"�������������������������$�&���$���������.� � ����$��������0!��2������������������� ���������$�&����������������������������!�����$�����������������������������������"���������������&�%������������������������������&�%�"������� ��$�����&����������������������&�%�������������!
������
*���������������� �������������������� ����������� ���������� ���!3�����������������������������������������������"����������!
������������������������������������ ������������ ��������� �����������
���� $ �% ��������� !�"�#
���������