Manual do Professor - losangouba.com.br · Stênio Vinícios de Medeiros, Taciana Macêdo, Tatiana Bacelar, Thalassa Kalil, Thamires Rodrigues, Vladimir Avelar Assistente de tecnologia

Autores: Luiz Paulo e Paulo Ribeiro.

4V | Volume 1 | Matemática

Manual do Professor

4VMPV1_MAT_Atualizado.indd 1 14/11/17 14:12

2 Coleção 4VColeção 4V

C689 Coleção 4V: - Belo Horizonte: Bernoulli Sistema de Ensino, 2018. 144 p.: il.

Ensino para ingresso ao Nível Superior. Bernoulli Grupo Educacional.

1. Matemática I - Título II - Bernoulli Sistema de Ensino III - V. 1

CDU - 37CDD - 370

Centro de Distribuição:

Rua José Maria de Lacerda, 1 900 Cidade Industrial Galpão 01 - Armazém 05 Contagem - MGCEP: 32.210-120

Endereço para correspondência:

Rua Diorita, 43, PradoBelo Horizonte - MGCEP: 30.411-084www.bernoulli.com.br/sistema 31.3029.4949

Fotografias, gráficos, mapas e outros tipos de ilustrações presentes em exercícios de vestibulares e Enem podem ter sido adaptados por questões estéticas ou para melhor visualização.

Coleção 4V – Volume 1 é uma publicação da Editora DRP Ltda. Todos os direitos reservados. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

SAC: [email protected]

AutorESMatemática: Luiz Paulo, Paulo Ribeiro

ADMiniStrAtivoGerente Administrativo: Vítor LealCoordenadora técnico-Administrativa: Thamirys Alcântara Coordenadora de Projetos: Juliene SouzaAnalistas técnico-Administrativas: Ana Clara Pereira, Bárbara Câmara, Lorena KnuppAssistentes técnico-Administrativos: Danielle Nunes, David Duarte, Fernanda de Souza,

Priscila Cabral, Raphaella HamziAuxiliares de Escritório: Ana da Silva, Sandra Maria MoreiraEncarregado de Serviços Gerais e Manutenção: Rogério Brito

CoMErCiAlGerente Comercial: Carlos Augusto AbreuCoordenador Comercial: Rafael CurySupervisora Administrativo-Comercial: Mariana GonçalvesConsultores Comerciais: Adalberto de Oliveira, Carlos Eduardo Oliveira, Cláudia Amoedo,

Eduardo Medeiros, Guilherme Ferreira, Ricardo Ricato, Robson Correia, Rossano Rodrigues, Simone Costa

Analistas Comerciais: Alan Charles Gonçalves, Cecília Paranhos, Rafaela RibeiroAssistentes Comerciais: Laura Caroline Tomé, Melissa Turci

oPErAçõESGerente de operações: Bárbara AndradeCoordenadora de operações: Karine ArcanjoSupervisora de Atendimento: Vanessa VianaAnalista de Controle e Planejamento: Vinícius AmaralAnalistas de operações: Adriana Martins, Ludymilla BarrosoAssistentes de relacionamento: Amanda Aurélio, Amanda Ragonezi, Ana Maciel, Ariane Simim,

Elizabeth Lima, Eysla Marques, Flora Freitas, Iara Ferreira, Luiza Ribeiro, Mariana Girardi, Renata Gualberto, Renata Magalhães, Viviane Rosa

Coordenadora de Expedição: Janaína CostaSupervisor de Expedição: Bruno Oliveiralíder de Expedição: Ângelo Everton PereiraAnalista de Expedição: Luís XavierAnalista de Estoque: Felipe LagesAssistentes de Expedição: Eliseu Silveira, Helen Leon, João Ricardo dos Santos,

Pedro Henrique Braga, Sandro Luiz QueirogaAuxiliares de Expedição: Admilson Ferreira, Marcos Dionísio, Ricardo Pereira, Samuel PenaSeparador: Vander Soares

SuPortE PEDAGóGiCoGerente de Suporte Pedagógico: Renata GazzinelliAssessoras Pedagógicas Estratégicas: Madresilva Magalhães, Priscila BoyGestores de Conteúdo: Luciano Carielo, Marinette FreitasConsultores Pedagógicos: Adriene Domingues, Camila Ramos, Claudete Marcellino,

Daniella Lopes, Denise Almeida, Eugênia Alves, Francisco Foureaux, Heloísa Baldo, Leonardo Ferreira, Paulo Rogedo, Soraya Oliveira

Analista de Conteúdo Pedagógico: Paula VilelaAnalista de Suporte Pedagógico: Caio PontesAnalista técnico-Pedagógica: Graziene de AraújoAssistente técnico-Pedagógica: Werlayne BastosAssistentes técnico-Administrativas: Aline Freitas, Lívia Espírito Santo

tECnoloGiA EDuCACionAlGerente de tecnologia Educacional: Alex Rosalíder de Desenvolvimento de novas tecnologias: Carlos Augusto PinheiroCoordenadora Pedagógica de tecnologia Educacional: Luiza WinterCoordenador de tecnologia Educacional: Eric LongoCoordenadora de Atendimento de tecnologia Educacional: Rebeca MayrinkAnalista de Suporte de tecnologia Educacional: Alexandre PaivaAssistentes de tecnologia Educacional: Augusto Alvarenga, Naiara MonteiroDesigner de interação: Marcelo CostaDesigners instrucionais: Alisson Guedes, David Luiz Prado, Diego Dias, Fernando Paim,

Mariana Oliveira, Marianna DrumondDesigner de vídeo: Thais MeloEditora Audiovisual: Marina Ansalonirevisor: Josélio VerteloDiagramadores: Izabela Brant, Raony Abade

ProDuçãoGerente de Produção: Luciene FernandesAnalista de Processos Editoriais: Letícia OliveiraAssistente de Produção Editorial: Thais Melgaço

núcleo PedagógicoGestores Pedagógicos: Amanda Zanetti, Vicente Omar TorresCoordenadora Geral de Produção: Juliana RibasCoordenadoras de Produção Pedagógica: Drielen dos Santos, Isabela Lélis, Lílian Sabino,

Marilene Fernanda Guerra, Thaísa Lagoeiro, Vanessa Santos, Wanelza Teixeira

Analistas Pedagógicos: Amanda Birindiba, Átila Camargos, Bruno Amorim, Bruno Constâncio, Daniel Menezes, Daniel Pragana, Daniel Pretti, Dário Mendes, Deborah Carvalho, Joana Leite, Joyce Martins, Juliana Fonseca, Luana Vieira, Lucas Maranhão, Mariana Campos, Mariana Cruz, Marina Rodrigues, Paulo Caminha, Paulo Vaz, Raquel Raad, Stênio Vinícios de Medeiros, Taciana Macêdo, Tatiana Bacelar, Thalassa Kalil, Thamires Rodrigues, Vladimir Avelar

Assistente de tecnologia Educacional: Numiá GomesAssistentes de Produção Editorial: Carolina Silva, Suzelainne de Souza

Produção EditorialGestora de Produção Editorial: Thalita NigriCoordenadores de núcleo: Étore Moreira, Gabriela Garzon, Isabela DutraCoordenadora de iconografia: Viviane FonsecaPesquisadores iconográficos: Camila Gonçalves, Débora Nigri, Eloine Reis, Fabíola Paiva,

Guilherme Rodrigues, Núbia Santiagorevisores: Ana Maria Oliveira, Gabrielle Ruas, Lucas Santiago, Luciana Lopes, Natália Lima,

Tathiana OliveiraArte-Finalistas: Cleber Monteiro, Gabriel Alves, Kátia SilvaDiagramadores: Camila Meireles, Isabela Diniz, Kênia Sandy Ferreira, Lorrane Amorim,

Naianne Rabelo, Webster Pereirailustradores: Reinaldo Rocha, Rodrigo Almeida, Rubens Lima

Produção GráficaGestor de Produção Gráfica: Wellington SeabraAnalista de Produção Gráfica: Marcelo CorreaAssistente de Produção Gráfica: Patrícia ÁureaAnalistas de Editoração: Gleiton Bastos, Karla Cunha, Pablo Assunção, Taiana Amorimrevisora de Produção Gráfica: Lorena Coelho

Coordenador do PSM: Wilson BittencourtAnalistas de Processos Editoriais: Augusto Figueiredo, Izabela Lopes, Lucas RoqueArte-Finalista: Larissa AssisDiagramadores: Anna Carolina Moreira, Maycon Portugal, Rafael Guisoli, Raquel Lopes,

Wallace Weberilustradores: Carina Queiroga, Hector Ivo Oliveirarevisoras: Danielle Cardoso, Luísa Guerra, Marina Oliveira

ConSElho DirEtorDiretor Administrativo-Financeiro: Rodrigo Fernandes DomingosDiretor de Ensino: Rommel Fernandes DomingosDiretor Pedagógico: Paulo RibeiroDiretor Pedagógico Executivo: Marcos Raggazzi

DirEçãoDiretor Executivo: Tiago Bossi

Expediente


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Manual do Professor

3Bernoulli Sistema de Ensino

APRESENTAÇÃOCaro professor,

O presente Manual tem como objetivo lhe fornecer sugestões e orientações no que diz respeito ao

planejamento de suas aulas e à abordagem do conteúdo apresentado. Pretendemos, também, esclarecer

a metodologia utilizada na produção do material didático, de modo que cada professor, em face das

particularidades do seu trabalho em sala de aula, adapte essa metodologia à sua realidade e à sua experiência

profissional.

O material teórico foi produzido de maneira a incorporar, na medida do possível, exemplos concretos e

situações-problema, a partir dos quais os conceitos são desenvolvidos. Reconhecemos os limites impostos

à elaboração de um material que aborde praticamente todo o conteúdo do Ensino Médio em um espaço de

tempo relativamente curto. Tais limites exigem um equilíbrio entre desenvolvimento teórico e comentário

de exercícios, sem que se abra mão, em alguns tópicos, do rigor e do formalismo, fundamentais para uma

construção teórica consistente.

Em cada módulo, além da parte teórica, são apresentadas

• uma seção de Exercícios de Aprendizagem, cujo objetivo é que as soluções sirvam demodelo

para os demais exercícios, embora devamos ter consciência da variedade de problematizações e,

consequentemente, das enormes possibilidades de soluções dos problemas matemáticos em geral;

• uma seção de Exercícios Propostos, cujo objetivo é possibilitar o desenvolvimento de

competências/habilidadesdosalunosparaaresoluçãodeexercícioscomníveisvariadosdedificuldade,

integrantes de vestibulares de diversas instituições de Ensino Superior do Brasil.

• ASeçãoEnem,quefinalizaasatividadesdosmóduloseobjetivaprepararoalunoparaoExame.

Portanto, esperamos que, dentro das possibilidades e, principalmente, dentro de sua realidade (carga

horária, objetivos, público-alvo), você consiga

• desenvolverteoricamenteostemasabordados,focandoasprincipaisdefinições,propriedades,exemplos

e aplicações;

• resolvertodososExercíciosdeAprendizagememsaladeaula,destacandoosaspectosmaiscomumente

explorados nos diversos vestibulares;

• resolvere/oudiscutirosExercíciosPropostoseaSeçãoEnemnosquaisosalunosapresentarem

mais dúvidas ou aqueles que você julgue mais importantes.

AcreditamosqueépossívelenecessárioqueseestudenãosomentemuitaMatemática,mastambémboa

Matemática. Foi com esse espírito que o material didático foi elaborado.

Bom trabalho, e conte com o apoio de nossa equipe para quaisquer dúvidas ou esclarecimentos!

Atenciosamente,

os autores.


4 Coleção 4V

NOVIDADES 2018O Bernoulli Sistema de Ensino tem sua atividade pautada na busca constante da excelência. Por isso,

trabalhamos sempre atentos à evolução do mercado e com empenho para oferecer as melhores soluções educacionais aos nossos parceiros. Em 2017, iniciamos o nosso atendimento ao segmento da Educação Infantil com o material didático para 4 e 5 anos, que já é sucesso nas escolas, trazendo ainda mais inovação e qualidade para as práticas escolares. Em 2018, é hora de estendermos nossa atuação às outras crianças desse segmento: as de 2 e 3 anos, que poderão vivenciar práticas lúdicas e pedagogicamente ricas.

NosAnosIniciaisdoEnsinoFundamental,anovidadeéaparceriafirmadaparaofertadeumacoleção de livros literáriostotalmentealinhadaaostemastrabalhadosnoslivrosdo1ºao5ºano.Asobrassãovoltadas para o desenvolvimento de temas transversais, como respeito a diferenças, sustentabilidade, cidadaniaemanifestaçõesculturais.Alémdisso,atendendoaospedidosdenossosparceiros,passamosaoferecer o livro de Língua Inglesa para o 1º ano, que foi construído com o mesmo rigor de qualidade ecommaisludicidadeainda,emconsonânciacomapropostapedagógicadaEducaçãoInfantilecomadosAnosIniciaisdoEnsinoFundamental.

NosAnosFinaisdoEnsinoFundamental,agrandenovidadeficaacargodaColeção de Arte para o 6º até o 9º ano, que apresenta uma abordagem integrada das quatro linguagens artísticas (artes visuais, música, teatro e dança), de forma a desenvolver a sensibilidade, criticidade, criatividade, bem como a fruição estética, entrelaçando a esses aspectos práticas de criação e produção artísticas, incitando nos alunos e nos professores um olhar reflexivo e curioso. Contamos também com um novo livro de Biologia para atender às escolas que trabalham separadamente esse componente curricular no 9º ano do Ensino Fundamental, uma solução totalmente integrada às temáticas e ao projeto editorial da Coleção Ensino FundamentalAnosFinais.TemascomoaBioquímica,aBiotecnologia,aEcologia,aEvoluçãosãodestaquesno conteúdo programático dessa obra, que tem como objetivo a retomada de assuntos trabalhados ao longo do Ensino Fundamental e a introdução de tópicos relevantes para a preparação dos alunos que em breve ingressarão no Ensino Médio.

No Ensino Médio, as novidades estão no campo da tecnologia, com a disponibilização do Meu Bernoulli tambémparaa1ªea2ªsérie.Alémdisso,serádisponibilizadoumnovoformatodee-book, mais leve, com novas funcionalidades e recursos de acessibilidade. Quem já conhece sabe que o Meu Bernoulli é uma plataforma digital de aprendizagem inovadora capaz de trazer grandes benefícios para acomunidadeescolar.AlémdetodasasfuncionalidadesqueoMeuBernoullijáapresenta,osparceirosque adquirirem os Simulados Enem terão, a partir deste ano, acesso a todas as provas comentadas.

AinovaçãotambémestápresentenoBernoulli TV!Apartirdeagora,osvídeosestarãodisponíveisnoappe em maior variedade, de modo a apresentar a resolução de questões para novas disciplinas das Coleções 6V, 4V e 2V, Ensino Médio (1ª e 2ª séries) e também para a Coleção do 9º ano do Ensino Fundamental. Alémdisso,estarãodisponíveisaresoluçãodetodososSimuladosEnemeEnsinoMédio(1ªe2ªséries)logoapósaaplicaçãodasprovaseosáudiosparaasdisciplinasdeLínguaInglesaeLínguaEspanhola.

E ainda tem mais: alinhado com um mundo cada vez mais digital, o Bernoulli Sistema de Ensino passa a integrar os seus objetos de aprendizagem (games, animações, simuladores e vídeos) às Coleções, de modo que eles possam ser acessados através de QR codes e códigos impressos nos materiais físicos. Com isso, o conteúdo estará sempre à mão, podendo ser acessado por meio de smartphones e tablets, onde o aluno estiver, tornando a aprendizagem ainda mais interativa e instigante!

Como você poderá comprovar, o Bernoulli Sistema de Ensino não para! Estamos sempre à frente a fim de trazer o que há de melhor para que sua escola continue sempre conosco.


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FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICAO ensino da Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades relacionadas à compreensão, à comunicação, à investigação e, também, à contextualização sociocultural.

ParâmetrosCurricularesNacionais(BRASIL,2002).

Deve ser preocupação no ensino da Matemática a comunicação do processo por meio do qual

determinados resultados foram produzidos, buscando situações familiares que deem sentido aos mesmos.

Assim,deve-secontextualizaroconhecimentoparaqueestesejacompreensívelaosalunos.Pormeiode

um processo de análise, conduzido pelo professor, o aluno percebe que o conhecimento produzido pode ser

aplicado a muitas situações, transformando, progressivamente, suas conclusões e seus conhecimentos em

saber matemático com caráter universal.

Acontextualizaçãoéfeitaparadarsentidoaoconhecimentomatemáticoantesensinadodeformaabstrata.

Alémdisso,osproblemaseosExercíciosPropostosincentivamodesenvolvimentodashabilidadesexigidas

pelo ensino da Matemática.

Os conteúdos da Coleção 4V – Matemática foram criteriosamente selecionados para que os alunos do

Pré-vestibular e os da 3ª série integrada possam revisitar conceitos e habilidades desenvolvidos durante o

Ensino Médio.

O fato de a Coleção ser dividida em frentes não significa que os conteúdos devam ser trabalhados de

formafragmentada,mas,aocontrário,deve-sebuscar,constantemente,articulaçãoentreeles.Aoproporo

trabalho por frentes, tenciona-se desenvolver os conteúdos, agregando valor formativo no que diz respeito

ao desenvolvimento do pensamento matemático, pois, assim, espera-se que os alunos saibam usar a

Matemática para resolver os problemas, entendê-los e inferir soluções acerca desses, tanto de ordem escolar

quanto no exercício de sua cidadania.

MATRiz dE REfERêNciA ENEMMatemática e suas tecnologias

Eixos cognitivos (comuns a todas as áreas de conhecimento)

I. Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens

matemática,artísticaecientíficaedaslínguasespanholaeinglesa.

II. Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para

acompreensãodefenômenosnaturais,deprocessoshistórico-geográficos,daproduçãotecnológica

e das manifestações artísticas.

III. Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar e interpretar dados e informações

representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema.


6 Coleção 4V

IV. Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas,

e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente.

V. Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de

propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a

diversidade sociocultural.

Habilidades e competências

Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e das operações

– naturais, inteiros, racionais ou reais.

H2– Identificarpadrõesnuméricosouprincípiosdecontagem.

H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

H4– Avaliararazoabilidadedeumresultadonumériconaconstruçãodeargumentossobreafirmações

quantitativas.

H5– Avaliarpropostasdeintervençãonarealidadeutilizandoconhecimentosnuméricos.

Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da

realidade e agir sobre ela.

H6– Interpretaralocalizaçãoeamovimentaçãodepessoas/objetosnoespaçotridimensionalesua

representação no espaço bidimensional.

H7– Identificarcaracterísticasdefigurasplanasouespaciais.

H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como

solução de problemas do cotidiano.

Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a

solução de problemas do cotidiano.

H10–Identificarrelaçõesentregrandezaseunidadesdemedida.

H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.

H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.

H13–Avaliaroresultadodeumamediçãonaconstruçãodeumargumentoconsistente.

H14–Avaliarpropostadeintervençãonarealidadeutilizandoconhecimentosgeométricosrelacionadosa

grandezas e medidas.


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Manual do Professor


Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e

a solução de problemas do cotidiano.

H15–Identificararelaçãodedependênciaentregrandezas.

H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas direta ou inversamente proporcionais.

H17–Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção

de argumentação.

H18–Avaliarpropostasdeintervençãonarealidadeenvolvendovariaçãodegrandezas.

Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou

técnico-científicas, usando representações algébricas.

H19–Identificarrepresentaçõesalgébricasqueexpressemarelaçãoentregrandezas.

H20–Interpretargráficocartesianoquerepresenterelaçõesentregrandezas.

H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

H22 – Utilizar conhecimentos algébricos / geométricos como recurso para a construção de argumentação.

H23–Avaliarpropostasdeintervençãonarealidadeutilizandoconhecimentosalgébricos.

Competência de área 6– Interpretar informaçõesdenaturezacientíficaesocialobtidasda leitura

de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendências, extrapolação, interpolação e interpretação.

H24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.

H25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.

H26–Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção

de argumentos.

Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos

naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras

e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma

distribuição estatística.

H27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma

tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos.

H28 – Resolver situações-problema que envolvam conhecimentos de estatística e probabilidade.

H29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.

H30–Avaliarpropostasdeintervençãonarealidadeutilizandoconhecimentosdeestatísticaeprobabilidade.


8 Coleção 4V

PLANEJAMENTO ANUALDisciplina: MATEMáTicA

série: 3ª

segmento: EM/PV

FRENTE MÓDULO VOLUME CONTEÚDO

A

01

1

•Teoria dos conjuntos

02 •Divisibilidade, MDC e MMC

03 •Potenciação, radiciação e fatoração

04 •Equações e problemas

05

2

•Função

06 •Funçãoafim

07 •Função quadrática e inequações

08 •Funções composta, inversa e modular

09

3

•Função exponencial

10 •Logaritmos

11 •Função logarítmica

12 •Princípio fundamental da contagem e arranjos

13

4

•Permutações

14 •Combinações

15 •ProbabilidadesI

16 •ProbabilidadesII

B

01

1

•Razões, proporções e Regra de três

02 •Porcentagem

03 •Juros simples e compostos

04 •Sistemas métricos

05

2

•Quadriláteros notáveis e polígonos

06 •Circunferência

07 •Relações métricas nos triângulos

08 •Cálculo de áreas

09

3

•Sistema cartesiano e ponto

10 •Estudo analítico da reta

11 •Posições relativas e teoria angular

12 •Estudo analítico da circunferência

13

4

•Números complexos

14 •Matrizes

15 •Determinantes

16 •Sistemas lineares


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C

01

1

•Estatística

02 •Médias

03 •Ângulos e triângulos

04 •Semelhança de triângulos e Teorema de Tales

05

2

•Trigonometria no triângulo retângulo

06 •Ciclo trigonométrico, seno e cosseno

07 •Outras funções trigonométricas

08 •Equações e inequações trigonométricas

09

3

•Geometria de posição e poliedros

10 •Prismas e cilindros

11 •Pirâmides e cones

12 •Esfera e inscrição de sólidos

13

4

•Progressão aritmética

14 •Progressão geométrica

15 •Polinômios

16 •Equações polinomiais

PLANEJAMENTO dO VOLUMEDisciplina: MATEMáTicA

série: 3ª

segmento: EM/PV

volume: 1

FRENTE MÓDULO CONTEÚDO SUGESTÕES DE ESTRATÉGIAS

A

01 •Teoria dos conjuntos

•Aulaexpositiva

•Aplicaçãodeexercícios

•Comentário de exercícios

•Aulaprática

•Aulamultimídia

•Discussão em grupos

02 •Divisibilidade, MDC e MMC

03 •Potenciação, radiciação e fatoração

04 •Equações e problemas

B

01 •Razões, proporções e Regra de três

02 •Porcentagem

03 •Juros simples e compostos

04 •Sistemas métricos

C

01 •Estatística

02 •Médias

03 •Ângulos e triângulos

04 •Semelhança de triângulos e Teorema de Tales


10 Coleção 4V

ORiENTAÇõES PARA cOMPOSiÇÃO dE cARgA HORáRiA

Para otimizar o uso do material, sugerimos a você, professor, uma composição de carga horária em que deverão ser observados alguns pontos enumerados a seguir.

Uso anual1. Considere que o ano letivo tenha, em média, trinta e duas semanas letivas. Como a Coleção 4V possui

quatro volumes, recomendamos dedicar oito semanas letivas a cada volume.

2. OconteúdodeMatemáticaestádispostoemtrêsFrentes.AsFrentesA,BeCtêm,respectivamente,quatro módulos por volume.

Para calcular o número médio de aulas por módulo, basta considerar a carga horária de oito semanas e dividi-la pelo número de módulos.

ApósautilizaçãodosquatrovolumesdaColeção4V,recomendamosquesejarealizadaumarevisãoem,pelo menos, duas semanas letivas.

ORiENTAÇõES E SUgESTõESMód Ulo – A 01

Teoria dos conjuntosDefina conjunto e mostre as suas notações (enumerando elementos, apresentando uma propriedade, ou pelo

DiagramadeVenn).Apresenteossímbolospertinênciaeinclusão,esclarecendoautilizaçãoeadiferençaentreeles. Explique as principais operações envolvendo conjuntos (união, interseção, diferença, complementar), sempre utilizando exemplos. Você, professor, pode calcular o número de subconjuntos para um conjunto com 2 e 3 elementos; em seguida, apresente a fórmula e, ainda, se preferir, deduza-a.

Mód Ulo – A 02

divisibilidade, MdC e MMCConceituemúltiplosedivisoresnaturaisdeumnúmeronatural.ApresenteolemadaDivisãodeEuclides,

resolvendo problemas. Recorde a expressão que permite o cálculo do número de divisores naturais de um número natural. Trabalhe o conceito de MMC e de MDC, além das técnicas para seu cálculo.

Você, professor, pode selecionar alguns Exercícios Resolvidos, de Aprendizagem ou Propostos para ilustrar diferentes tipos de exercícios.

Mód Ulo – A 03

Potenciação, radiciação e fatoraçãoProfessor, defina potência e exemplifique os casos de expoentes negativos, positivos e nulos. Demonstre

para seu aluno como escrever uma potência de expoente fracionário em forma de radical, e vice-versa, além dos casos clássicos de racionalização de denominadores. Liste as principais propriedades das potências e das raízes, ilustrando cada uma delas com exemplos numéricos. Em seguida, esclareça algumas dúvidas comuns, tais como a diferença entre –22 e (–2)2. Todos esses assuntos são abordados sob a forma de exemplos, de maneira a ganhar tempo e a tornar a aula mais dinâmica.


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Recorde os principais produtos notáveis e resolva alguns problemas de desenvolvimento dos mesmos. Em seguida, trabalhe com as principais técnicas de fatoração, sempre utilizando exemplos para ilustrar cada uma dessas técnicas. Resolva os Exercícios de Fixação e / ou alguns Propostos.

Mód Ulo – A 04

Equações e problemasTrata-se de um módulo cujo principal objetivo é desenvolver a capacidade não só de resolver equações,

mas também de montar uma equação a partir de uma situação-problema. Portanto, a aula deve basear-se

na resolução de exercícios. Sugere-se que os alunos resolvam exercícios em sala.

Mód Ulo – B 01

Razões, proporções e Regra de trêsInicieaaularecordando,rapidamente,osconceitosderazãoeproporção.Emseguida,resolvaproblemas

de divisão de um número em partes direta ou inversamente proporcionais a valores dados. Defina regra detrêssimplesecompostapormeiodeexemplospráticos,evitandoformalismosexcessivos.Alémdisso,é fundamental que você, professor, utilize outra aula para resolver exercícios, inclusive propondo que os alunos resolvam alguns problemas em sala.

Mód Ulo – B 02

PorcentagemEssa aula é extremamente importante. Você pode iniciá-la relembrando brevemente o conceito de

porcentagem, inclusive discutindo situações envolvendo raízes e potências, por exemplo ¹9% e (40%)2. Em seguida, procure discutir o conceito de aumentos e descontos sucessivos, trabalhando muitos exemplos, bem como o efeito que tais mudanças provocam em relação ao preço original do produto. Discuta também o conceito de lucro, calculando-o em termos do preço de custo e do preço de venda. Faça vários exercícios.

Mód Ulo – B 03

Juros simples e compostosO conceito de taxa de juros é, inicialmente, desenvolvido de maneira intuitiva, partindo do conhecimento

prévio dos alunos. É importante, nesse ponto, que sejam utilizados exemplos de pagamentos parcelados. Eis um exemplo:

Um rádio é vendido nas seguintes condições:

• R$100,00àvista;ou

• duasparcelasdeR$55,00,sendoumanoatodacompraeaoutra30diasdepois.

Se uma pessoa optar pela compra em duas parcelas, qual será a taxa de juros cobrada?

Em seguida, defina os regimes de juros simples e compostos, resolvendo vários exemplos.

Observação: Se houver tempo, professor, relacione o assunto com temas que se encontram na ordem dodia,taiscomotaxadejurosSELIC,inflação(IPCA),tarifasbancárias,bolsasdevalores,entreoutros.


12 Coleção 4V

Mód Ulo – B 04

Sistemas métricosProfessor, procure recordar o sistema métrico decimal, trabalhando enfaticamente o conceito de escala

e as transformações de unidades de medida de comprimento, de área e de volume, utilizando bastante as

potências de dez. Resolva o maior número de exercícios possível.

Mód Ulo – C 01

Estatística

Defina, brevemente, Estatística, destacando os problemas com os quais ela lida. Em seguida, defina

média aritmética, mediana e moda. Se possível, trabalhe um pouco a ideia de desvio padrão e variância.

Resolva exercícios.

Mód Ulo – C 02

Médias

Inicieaaula,professor,definindomédiaaritmética,médiageométrica,médiaharmônicaemédiaponderada.

Em cada caso, dê um exemplo simples. Em seguida, resolva vários exercícios.

Mód Ulo – C 03

Ângulos e triângulos

Iniciesuaaulafazendoumapanhadogeraldeângulos(definição,notação,unidadesdemedida,operações,

ângulos em duas retas paralelas e uma reta transversal, etc.). Merecem atenção especial os problemas

envolvendo ângulos complementares e suplementares.

Em seguida, trabalhe com as propriedades básicas dos triângulos, tais como soma dos ângulos internos e

externos, classificação de triângulos, Teorema de Pitágoras, entre outras. Tais conceitos capacitam os alunos

a resolver muitos problemas. Procure solucionar várias questões no quadro, além de propor a leitura de vários

exercícios a seus alunos.

Mód Ulo – C 04

Semelhança de triângulos e Teorema de Tales

Esse módulo é extremamente importante, devido à grande ocorrência de questões relacionadas a ele em

examesdevestibular.ComeceaaularelembrandooTeoremadeTales.Apósresolveralgunsexemplos,

definaoTeoremadaBissetriz Interna,comoconsequência imediatadoTeoremadeTales.Emseguida,

definatriângulossemelhanteseoscasosdesemelhança,comespecialatençãoaocasoAA(ângulo,ângulo).

Apartirdaí,aauladevebasear-seemresoluçãodeproblemas.


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Manual do Professor


Mód Ulo – A 01Teoria dos conjuntos

Exercícios de Aprendizagem

Questão 01 – Letra A

Comentário: Transcrevendo os dados para o Diagrama de

Venn, temos:

4 900 – 1 800 =3 100

1 80015 000 – 1 500 – 1 800 – 3 100 =

8 600

1 500

Campos São Bento

ApreciamoclubeSãoBento1800+8600=10400pessoas.

Questão 02 – Letra DComentário:

= =

= =

+ = + =

x 0,949494...9499

y 0,060606...699

x y9499

699

10099


Comentário: Diagrama de Venn:

BA

30 10 8

n(A–B)=30⇒ n(A)–n(A ∩ B)=30⇒

n(A)–10=30⇒ n(A)=40

n(A∪B)=48⇒ n(A)+n(B–A)=48⇒

n(B–A)=48–40⇒n(B–A)=8

Logo,n(B)=18.

Daí,n(B–A)=18–10=8elementos.

Questão 04 – Letra D

Comentário: Entre os números X e Y, existem dez intervalos

de mesmo tamanho, cada um medindo, pois,

=

3

2– 1

6

10

2

15.

Logo, o número x representado por D é tal que: = + =x16

4.215

710

.

Questão 05Comentário: Diagrama de Venn:

A B

C

109 – 48 =61

25 – 5 =20 203 – 61 =

142

5 41 – 5 =3628 – 5 =

23

162 – 64 = 98

115

A) 61+20+5+23+142+36+98+115=500

B) 142+115=257

C) 20+23+36+5=84

D) Porcentagem=ParteTodo

= 20500

=0,04=4%

E) Porcentagem=ParteTodo

= 98500

=0,196=19,6%

Questão 06 – Letra B Comentário: Para que m

n assuma seu maior valor possível,

o valor de m deve ser máximo, e de n mínimo.

Portanto, = =mn

824

13

.

Exercícios Propostos

Questão 01 – Letra B

Comentário:

40

Laranja Banana

Maçã

20 30

y

x25100

cOMENTáRiO E RESOLUÇÃO dE qUESTõES


14 Coleção 4V

Tomemos x o número de pessoas que consomem somente banana e y o número de pessoas que consomem somente maçã. Como o número de pessoas que consomem banana é igual ao número de pessoas que consomem maçã, pelo diagrama observamos que:25 + 100 + 30 + x = 20 + 100 + 30 + y ⇒ x = y – 5Por outro lado, sabemos que temos um total de 400 pessoas, então temos:40 + 25 + x + 20 + 100 + 30 + y = 400 ⇒x + y = 400 – 215 ⇒Substituindo a igualdade encontrada anteriormente, temos:y – 5 + y = 185 ⇒ 2y = 190 ⇒ y = 95Como desejamos encontrar o número de pessoas que consomem maçã e não consomem laranja, voltando ao diagrama, temos: y + 30 = 95 + 30 = 125.

Questão 02 – Letra BComentário: Disciplina A Disciplina B

1 324

2 825 – x 1 027 – xx

Tomemos como x o número de pessoas que cursam as duas disciplinas. Pelo diagrama, observamos que:

2 825 – x + x + 1 027 – x + 1 324 = 5 000 ⇒

x = 5 176 – 5 000 ⇒ x = 176

Questão 03 – Letra EComentário: Seja x a porcentagem de alunos que estudam as duas línguas. Assim, temos o seguinte Diagrama de Venn:

Inglês Francês

80% – x 40% – xx

10%

80% – x + x + 40% – x + 10% = 100% ⇒

–x = 100% – 130% ⇒ x = 30%

Portanto, 30% dos alunos estudam inglês e francês.

Questão 04 – Letra CComentário: Analisando cada alternativa, sabendo que R é um retângulo, T é um triângulo e H é um hexágono, temos:

A) (H – T) ∩ R

B) T – H

C) (R ∩ T) – (T ∩ H)

D) (R ∩ T)

Questão 05 – Letra EComentário: Observe que os conjuntos C – (A ∪ B) e C ∩ (A ∪ B) são disjuntos.

C – (A∪B)

A B

C C

A B

C ∩ (A∪B)

Logo, C = {4, 5, 6, 7}.

Questão 06 – Letra CComentário: Sejam M, T e N os conjuntos dos alunos que frequentaram as piscinas pela manhã, pela tarde e pela noite, respectivamente. Note que “sendo 20 pela manhã e à tarde” faz referência ao conjunto M ∩ T. O número de alunos que frequentaram as piscinas somente pela manhã e à tarde é igual ao número de alunos que o fizeram pela manhã e à tarde menos o número de alunos que o fizeram pela manhã, tarde e noite, ou seja, 20 – 8 = 12. Observe o Diagrama de Venn a seguir:

M T

N

12 12 0

8yx

3

Sabemos que o número total de alunos que frequentaram as piscinas é 38, ou seja, 12 + 12 + 0 + x + 8 + y + 3 = 38. Logo, x + 8 + y + 3 = 14. Note que a soma anterior expressa o número de alunos que frequentaram a piscina à noite.

Questão 07 – Letra CComentário: Considere o conjunto dos alunos entrevistados como o conjunto universo, e F, P e B como os conjuntos dos alunos que optaram por frango, peixe e carne bovina, respectivamente. Note que, por exemplo, “7 por carne bovina e frango” faz referência ao conjunto B ∩ F. Observe o Diagrama de Venn a seguir:


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


F P

B

34 5

y

9 x 3

20 U

Do dado que 36 pessoas não optaram por carne bovina

(BC tem 36 elementos), equacionamos 9 + x + 3 + 20 = 36 ⇒

x = 4, e do dado que 42 pessoas não optaram por peixe

(PC tem 42 elementos), equacionamos 9 + 3 + y + 20 = 42 ⇒

y = 10. Assim, foram entrevistados

9 + x + 3 + 3 + 4 + 5 + y + 20 =

9 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 10 + 20 = 58 alunos.

Questão 08 – Letra DComentário: O total de espécies em extinção é:

160 + 16 + 20 + 69 = 265

Como 175 das espécies ameaçadas viviam somente na

Mata Atlântica e 75 somente fora dela, podemos dizer que

265 – 175 – 75 = 15 espécies viviam nos dois lugares.


Comentário:

A) π π4 2= , que é irracional.

B) 0 1 1

103

3, = , que é irracional.

C) 0 27 27

100

3

1003

3

3 3, = = , que é irracional.

D) − = − = − = −0 064 64

1 000

410

0 433

3, , , que é racional.

E) 0 016 16

1 000

2

1 0004

4

4 4, = = , que é irracional.


Comentário: Tome como exemplo os números irracionais

(2 – e) e e, cuja soma vale 2.

Questão 11 – Letra C

Comentário: Sabendo que a e b são ambos positivos, para

maximizar a fração ab

, deve-se maximizar o numerador e

minimizar o denominador. Analogamente, para minimizá-la,

deve-se minimizar o numerador e maximizar o denominador.

Temos, então:

Mín(a)Máx(b)

Máx(a)Mín(b)

< <ab

⇒ 15

23

< <ab

Questão 12 – Letra BComentário: Foi dado que 0 < y < 1. Multiplicando as desigualdades por x (sem invertê-las, pois x > 0), temos 0 < xy < x. Logo, xy está entre zero e x.

Questão 13 – Letra EComentário: Dízima periódica:

1,333... + 0,1666... = 1,3 + 0,16 =

13 19

16 190

129

1590

43

16

8 16

96

32

− + − = + = + = + = =

Seção Enem

Questão 01 – Letra CEixo cognitivo: III

Competência de área: 1

Habilidade: 3

Comentário: Pelo conceito de frações equivalentes, temos que:

= =12

48

e 54

108

. Assim, < < ⇒ < <38

48

108

38

12

54

.



Habilidade: 3

Comentário: Colocando todas as espessuras em ordem crescente em uma reta e comparando com a medida de 3 mm, teremos:

2,099

mm

d1 = 0,04 d2 = 0,021

2,960 3,000 3,021 3,070 3,100

Verificamos que a espessura mais próxima de 3mm é 3,021 mm.

Questão 03 – Letra BEixo cognitivo: IV


Habilidade: 4

Comentário: Sabemos que o ano 0 para os astrônomos refere-se ao ano 1 a.C. Assim, o ano 2 a.C. corresponde ao ano –1, e o ano 3 a.C., ao ano –2. Já o ano 1 d.C. será o ano 1 na nomenclatura dos astrônomos (pois é o ano posterior 1 a.C.), e o ano 2 d.C. será o ano 2.

Questão 04 – Letra CEixo cognitivo: II


Habilidade: 24

Comentário: A partir do gráfico “Por que vive na rua?”, somando o percentual indicado em cada barra, temos:

36% + 30% + 30% + 20% + 16% = 132%

Logo, algumas pessoas declaram mais de um motivo para estarem vivendo na rua.


16 Coleção 4V


Eixo cognitivo:III


Habilidade: 25

Comentário: Seja A o percentual de pessoas que vivem na

rua por alcoolismo / drogas, mas não por decepção amorosa;

B o percentual de pessoas que vivem por decepção amorosa,

mas não por alcoolismo / drogas; e X o percentual de pessoas

que vivem na rua devido a alcoolismo / drogas e decepção

amorosa, simultaneamente. Desejamos calcular X.

Pelosdadosapresentadosnográfico,temos:

Alcoolismo / Drogas Decepção amorosa

A BX

+ =+ =+ + =

⇒ + + =+ + =

⇒ =

A X 36%B X 16%A B X 40%

A B 2X 52%A B X 40%

X 12%


Eixo cognitivo:II


Habilidade: 2

Comentário: Considere o Diagrama de Venn a seguir, em que

cada conjunto representa um catálogo e os números referem-se

às quantidades de páginas a serem publicadas em cada catálogo.

C1

50 – 12 = 38 10 – 4 = 6 45 – 11 = 34

4

6 – 4 = 2 5 – 4 = 1

40 – 7 = 33

C2

C3

Logo, o total de originais de impressão necessários, dado pelo

total de diferentes páginas a serem impressas, é:

38+6+34+1+33+2+4=118

Questão 07 – Letra DEixo cognitivo:IV


Habilidade: 4

Comentário: Vamos analisar as possibilidades para cada candidato.

1ª) O candidato X terá entre 33% e 39% dos votos.

2ª) O candidato Y terá entre 30% e 36% dos votos.

3ª) O candidato Z terá entre 28% e 34% dos votos.

Logo, os três candidatos podem vencer. Note que o candidato Z só

vencerá se obtiver 34% dos votos e se X e Y conseguirem 33%.

Questão 08 – Letra AEixo cognitivo:IV


Habilidade: 4

Comentário: Basta analisar os três casos possíveis:

1º) O posto X encerra suas atividades.

Nesse caso, o posto Y ganha mais 45 fregueses, totalizando

70. Já o posto Z continua com os 25 fregueses iniciais.

2º) O posto Y encerra as suas atividades.

Nesse caso, o posto Z ganha mais 25 pessoas, chegando

a 55. Já o posto X continua com os 45 fregueses iniciais.

3º) O posto Z encerra as suas atividades.

Nesse caso, o posto Yganhamais30pessoas,ficando

com 55. Já o posto X mantém os 45 fregueses.

Assim,apreferêncianuncapertenceráaX.

Questão 09 – Letra CEixo cognitivo:III


Habilidade: 21

Comentário:

Inicialmente,temosa+b+c+d+e+f=250.

Se 32% dos alunos são homens, temos que:

d+e+f=0,32.250⇒d+e+f=80.

Se 40% dos homens estão na primeira série, temos que

d=0,4.80⇒d=32.Logo,jápodemosassumirquee+f=48.

Se 20% dos alunos estão na terceira série, temos que:

c+f=0,2.250⇒c+f=50.

Se10alunosdaterceirasériesãohomens,c=40ef=10.

Dee+f=48,temose+10=48⇒e=38.

Entre os alunos da segunda série, o número de mulheres é igual

aonúmerodehomens;então,temosqueb=38.

Concluindo, temos: a+ 38+ 40+ 32+ 38+ 10= 250.

Daí,a=92.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Mód Ulo – A 02divisibilidade, MdC e MMC


Questão 01 – Letra BComentário: Pelodispostonatabela,(n+1)édivisívelpor

12,18e20.ComoMMC(12,18,20)=180,(n+1)deveser

múltiplode180.Comon<1200en+1=1080,temosque

n=1079,cujasomadealgarismosvale17.

Questão 02 – Letra DComentário: Seja l a quantidade de laranjas colhidas e

500 < l<1500.Aodividirasl laranjas em sacos com 50 e 36

unidades, sobram 12 laranjas. Daí:

l 50

12 q1

⇒ l=50q1+12⇒ l–12=50q1, ou seja,

l – 12 é um múltiplo de 50, e

l 36

12 q2

⇒ l=36q2+12⇒ l–12=36q2, ou seja,

l – 12 é um múltiplo de 36.

MMC(50,36)=900.Osoutrosmúltiploscomunsde50e36

são (1 800, 2 700, 3 600, ...) e, portanto, não fazem parte do

intervalo estipulado.

Então, se l–12=900,temosl=912.

Logo, l=912=35.26+2.

Portanto, se as laranjas fossem colocadas em sacos com

35 unidades cada um, sobrariam 2 laranjas.

Questão 03 – Letra CComentário: Como o medicamento A é tomado de 8 em

8 horas, o medicamento B é tomado de 12 em 12 e D. Cacilda

tomou os dois medicamentos às 7 horas, ela os tomará juntos

novamente após:

⇒MMC(8,12)

8 = 212 = 2 .3

MMC(8,12) = 2 .3 = 24horas3

23

Ou seja, todo dia, às 7 horas, ela tomará os remédios A

e B simultaneamente. Dessa forma, ela tomará 248

= 3

comprimidos de A e 2412

= 2 comprimidos de B por dia. Então,

cadacaixadecomprimidoserásuficientepara:

⇒

⇒ ��

A

B

Caixado comprimido : 303

= 10 dias de tratamento

Caixado comprimido : 282

= 14 dias de tratamento

MMC(10,14)10 = 2.514 = 2.7

MMC(10,14)= 70 diasTempo total do

tratamento

Portanto, o número de caixas dos comprimidos A e B será, respectivamente:

A

B

Comprimido :7010

= 7

Comprimido :7014

= 5

Questão 04 – Letra BComentário: Queremos determinar a que horas, depois da primeira saída conjunta, ocorrerá a próxima saída simultânea dos dois ônibus, então precisamos do mínimo múltiplo comum de seus intervalos de horários.

MMC(45,50)=2.32 . 52=450Como a primeira saída conjunta do dia ocorreu às 6 horas, a segunda saída conjunta do dia ocorrerá às 6h+450min=6h+7h30min=13h30min.


Comentário: Observemos a divisão de m por 15:

⇒ = +m 157 q

m 15q 7

Apartirdesseresultado,observamosqueonúmerom pode

tambémserescritodeduasoutrasformas:m=3(5q+2)+1

em=5(3q+1)+2.Concluímosqueosrestosdasdivisões

de m por 3 e mpor5são,respectivamente,1e2.Assim,

asomadosrestosé1+2=3.

Questão 06 – Letra DComentário: Seja xonúmeroprocurado.Assim,387<x<429.

Temos que x – 2 é múltiplo comum de 3, 5 e 7.

Como MMC(3,5,7)=105,devemoster:

x–2=105.k⇒x=105.k+2⇒387<105k+2<429⇒k=4

Logo,x=105.4+2=422.


Questão 01 – Letra BComentário: Inicialmente,calculamosaquantidadedehoras

queexistemem30dias:30.24=720horas.Parasaberquantas

vezes os remédios foram tomados simultaneamente, contamos

quantos múltiplos comuns de 4, 5 e 6 existem entre 1 e 720.

� ��

===

⇒ = =

=

= =

MMC(4, 5, 6)4 25 56 2 .3

MMC 2 . 3 . 5 60

Múltiplos em comum dos números (4, 5, 6) 60, 120, 180, ..., 720

2

2

Quantidade de múltiplos 72060

12

Percebemos que o 720 não é incluso porque, mesmo se o primeiro medicamento fosse tomado à meia-noite do primeiro dia, após 720 horas depois iria cair à meia-noite no 31º dia. Portanto, o número de vezes em que os três remédios foram ingeridos simultaneamente foi igual a 12 dos múltiplos em comum dos números, mais um do remédio tomado no início do tratamento, ou seja 13 vezes.


18 Coleção 4V

Questão 02 – Letra DComentário: Perceba que cada um dos sinais possui um ciclo completo de:

Pr imeiro sinal: 40 10 50 segundos

Segundo sinal: 30 10 40 segundos

Tempoaberto

Tempofechado

Tempoaberto

Tempofechado

+ =

+ =

Logo, o número mínimo de segundos para que eles fechem juntos novamente será:

⇒ ==

⇒ = =MMC(40, 50) 40 2 .5

50 2 .5MMC(40, 20) 2 . 5 200

3

23 2

Questão 03 – Letra AComentário: x = 3 600 = 24 . 32 . 52

i) Sendo p o total de divisores, temos:

p = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 5 . 3 . 3 = 45

ii) Para termos divisores pares, basta que o expoente do fator 2 não seja nulo, havendo, então, 4, e não 5, possibilidades de escolha desse expoente.

Logo, sendo q o número de divisores pares, temos: q = 4(2 + 1)(2 + 1) = 36

Questão 04 – Letra EComentário: Os números formados por 3 algarismos iguais são: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 e 999. Todos são números múltiplos de 3.

Questão 05 – Letra DComentário: Seja r o número de páginas restantes após um número x de dias. De acordo com o enunciado, podemos escrever:

( )

− =− =

− − − = − ⇒ − = ⇒ =

675 25x r (I)615 15x r (II)

Fazendo (I) – (II), temos :675 25x 615 15x r r 60 10x 0 x 6

Questão 06 – Letra CComentário: m = a2bc2 e n = ab2

i) mDc(m, n) = ab = 21 = 3 . 7

Se a > b, então a = 7 e b = 3.

ii) mmc(m, n) = a2b2c2 = 1 764 = 22 . 32 . 72

72 . 32 . c2 = 22 . 32 . 72 ⇒ c = 2

Logo, a + b + c = 7 + 3 + 2 = 12.

Questão 07 – Letra AComentário: O tempo que cada torneira gasta para encher sua respectiva embalagem será:

=

=

=

A

B

C

Tempo torneira :305

6 min

Tempo torneira :405

8 min

Tempo torneira :905

18 min

Logo, as três torneiras voltarão a encher as embalagens

simultaneamente após:

⇒==

=

⇒

= = = =

MMC(6, 8, 18)6 2 . 38 218 2 .3

MMC(6, 8, 18) 2 . 3 72 min 7260

1,2 horas

3

2

3 2

Questão 08 - Letra EComentário: Temos que o mmc(5, 8, 12) = 23 . 3 . 5 = 120.

Assim, devemos ter um múltiplo de 120 trufas de modo que,

independentemente do tipo de embalagem, não sobre nenhuma

trufa no estoque. O primeiro múltiplo de 120 que é maior que

793 é 840. Portanto, a menor quantidade de trufas que márcia

deverá acrescentar ao estoque será de 840 – 793 = 47.

Questão 09 – Letra AComentário: Fatorando o número 2 004, temos:

2 004 = 22 . 3 . 167

O número de todos os tipos de caixas possíveis será igual ao

número de divisores de 2 004, ou seja:

(2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 3 . 2 . 2 = 12

Questão 10 – Letra BComentário: Testando todas as possibilidades de utilização do

cartão no transporte urbano que superem o valor de R$ 12,50,

temos:

5 . 3,00 = 15,00

4 . 3,00 + 1 . 4,65 = 16,65

3 . 3,00 + 1 . 4,65 = 13,65

2 . 3,00 + 2 . 4,65 = 15,30

1 . 3,00 + 3 . 4,65 = 16,95

0 . 3,00 + 3 . 4,65 = 13,95

O menor valor possível para a recarga é:

R$ 13,65 – R$ 12,50 = R$ 1,15

Questão 11 – Letra DComentário: Note que para fixar cada ripa são necessários

4 parafusos. Temos ripas horizontais, verticais e transversais.

Para montar uma cerca de 100 metros, precisaremos da

seguinte quantidade de ripas:

• Horizontais: 50 superiores + 50 inferiores = 100

• Verticais: 51

• Transversais: 50

Portanto, serão necessárias 201 ripas, e como para cada ripa

são necessários 4 parafusos, precisamos de 201 . 4 = 804

parafusos. Avaliando o número 804, temos:

804 = 13 . 60 + 24

Logo, precisaremos de 14 caixas de parafusos.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Questão 12 – Letra BComentário: Seja x o número de ações. Temos:

x 3

1 q ⇒ x – 1 é múltiplo de 3.

x 4

3 m ⇒x+1émúltiplode4.

i) Sabe-se que 30 < x < 40, então 29 < x – 1 < 39. Como x – 1 é múltiplo de 3, temos as seguintes possibilidades:

x–1=30⇒x=31ou

x–1=33⇒x=34ou

x–1=36⇒x=37

ii) Alémdisso,temos31<x+1<41;masx+1émúltiplode4.Assim,temos:

x+1=32⇒x=31ou

x+1=36⇒x=35ou

x+1=40⇒x=39O único valor que satisfaz as duas condições é x = 31.

Portanto, temos 31 4

3 7, ou seja, cada neto receberá 7 ações.


i) Em 2007 → 365 dias

Apartirdodia01/01/07(segunda-feira),temos364dias:

364 7

0 52

Logo,o1ºdiade2008serásegunda-feira+1=terça-feira.

ii) Em 2008 → 366 dias (bissexto)

A partir do dia 01/01/08 (terça-feira), temos 365 dias:

365 7

1 52

Logo,o1ºdiade2009seráterça-feira+2=quinta-feira.

Observamos, pelos exemplos apresentados, que, a cada passagem de um ano comum, avançamos um dia na semana, em relação ao primeiro dia do ano anterior. Se o ano for bissexto, avançamos dois dias na semana.

Em 2008 → terça-feira

Em 2009 → quinta-feira (2008 foi bissexto)

Em 2010 → sexta-feira

Em 2011 → sábado

Em 2012 → domingo

Em 2013 → terça-feira (2012 foi bissexto)

Em 2014 → quarta-feira

Em 2015 → quinta-feira

Em 2016 → sexta-feira

Em 2017 → domingo (2016 foi bissexto)

Em 2018 → segunda-feira

Portanto, o próximo ano a começar em uma segunda-feira será 2018.

Seção Enem

Questão 01 – Letra EEixo cognitivo:IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: Conforme o enunciado, as tábuas são de 540 cm, 810 cm e 1 080 cm. Já os pedaços solicitados pelo arquiteto devem ter o mesmo tamanho, não havendo sobra. Portanto, o valor do comprimento dos pedaços deve ser divisor de 540, 810 e 1 080.

Fatorando os valores:

540270 90 30 10 2

,,,,,,

810405135 45 15 3

,,,,,,

1 080 540 180 60 20 4

23335

Peloexposto,oMDCentreosvaloresédadopor2.33.5=270cm.Como o valor n deve satisfazer, ainda, a condição de ser menor que 2 m, tem-se: n < 200 cm, n ∈ div (270) e n é o maior valor natural. Logo, n é dado por 135 cm.Calculando o número de tábuas após o corte:

+ + =40 .540135

160

30 .810135

180

10 .1 080135

80

420 peças� ��



Habilidade: 3

Comentário: Para escolhermos o número mínimo de escolas, devemos distribuir o maior número possível de ingressos para cada escola. Portanto, o número de ingressos que cada escola vai receber é o MDC(320,400).

MDC(320,400)=80

Assim, =40080

5 escolas e =32080

4 escolas.

5+4=9escolasserãocontempladasnototal.

Questão 03 – Letra EEixo cognitivo:IICompetência de área: 1Habilidade: 2Comentário: Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x . 5y . 7z, na qual, x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.O número de divisores de Néiguala(x+1)(y+1)(z+1),incluindo o próprio N. Como o enunciado pergunta o número de divisores de N diferentes de N, a reposta é:(x+1)(y+1)(z+1)–1Observação: Note que, como N émúltiplo de 10, x≠ 0 e y≠0.ComoNnãoémúltiplode7,z=0.


20 Coleção 4V

Mód Ulo – A 03Potenciação, radiciação e fatoração


Questão 01 – Letra BComentário: Basta racionalizar.

( )+ −

+ +

+ +=

+ ++ −

= + +7

7 a a.

7 a a

7 a a

7 7 a a7 a a

7 a a

Questão 02 – Letra BComentário: 517 . 49=517 . 218=(5.2)17.2=2.1017, que tem dezessete algarismos 0 e um algarismo 2, totalizando 18 algarismos.

Questão 03 – Letra BComentário: Basta fatorar.

+xy

yx2

2

=–2⇒ +x yxy

2 4

2=–2⇒

x2+y4=–2xy2;comx,y≠ 0 ⇒

x2+2xy2+y4=0⇒(x+y2)2=0⇒

( )+ =x y 0222

⇒|x+y2|=0⇒x+y2=0


Comentário: Basta fatorar.

+−

−

=+

+ −−

x xyx y

1y

1x

x(x y)(x y)(x y)

x yxy

2

2 2

Comox>0ey>0⇒x+y>0,−

−

x

x yx yxy

Temos x > 0 e x ≠y,ouseja,x–y≠ 0. Logo:

−−

=x

x yx yxy

1y

Questão 05 – Letra EComentário:

( ) ( )++

−=

− + +

+ −

1

1 x

1

1 x

1 x 1 x

1 x 1 x =

−2

1 x,comx≠1.

Questão 06 – Letra EComentário: O objetivo dessa questão é simplificar a

expressão utilizando a fatoração.

( )( )+

+

=

+

+

− +

+

10 (10 10 )

10 10 10

1010

1010 .10

10 10 10 .10

n

2 m 1 m 1

mn

22

n

2

n

2m

m

mn

2 2n

2

=

+

+

=

1010 10 .100

10

10 .10 ( 1 100 )

10 .101

10

10 .101

n

2

m m

mn

2

m

m =

= = −10 . 101

10.

1

10 . 101

1

1010

m

m

1


Questão 01 – Letra DComentário:Aexpressãopodesersimplificadapormeiodouso das regras de potência para multiplicação e divisão.

0,01 . 0,001 .10100 . 0,0001

10 .10 .1010 .10

1010

101010

a10

1 2 3 1

2 4

6

2–4

3

= = = = =− − − −

−

−

−

−


Comentário: O número 0,064, pode ser escrito como 64

1 000,

que, por sua vez, pode ser simplificado e, assim, teremos:

0,06464

1 0008

12525

25

3

3

3

= = = =

Questão 03 – Letra AComentário:

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

+ ++

⇒

+ +

+

+⇒

+ + + ⇒ + + =

+ + =

2 31

5 2 6

2 2. 2. 3 31

5 2 6.

5 – 2 6

5 – 2 6

2 2 6 35 – 2 6

5 – (2 6)5 2 6

5 – 2 6

(25 – 24)

5 2 6 5 – 2 6 10

2

2 2

2 2


Comentário:

+=

−abb c

b bca

2

⇒ +

=−ab

b cb(b c)

a ⇒b(b–c)(b+c)=a2b ⇒

b2 – c2=a2 ⇒ b2=a2+c2

Questão 05 – Letra EComentário:

a2+3b2= 1a,coma≠0⇒ a3+3ab2=1

Portanto,(a+b)3+(a–b)3=

� ��

a + 3a b + 3ab + b + a – 3a b + 3ab – b =

2a + 6ab = 2(a + 3ab ) = 2 .1 = 2

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 3 2

1


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Questão 06 – Letra E

Comentário: Fatorando os produtos notáveis da forma

(a+b)(a–b)e(a+b)2, temos:

x4–y4+2x3y–2xy3

(x2–y2)(x2–y2)+2xy(x2–y2)

(x2–y2)(x2+y2+2xy)

(x+y)(x-y)(x+y)2

(x+y)3(x–y)


( ) ( )− +

+ +

= + −

+ +

x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x

12

14

12

14

12

14

12

14 =

( ) ( )+ − = + + − = + +x 1 x x 2x 1 x x x 112

214

212

12

12

Questão 08 – Letra CComentário:

−− +

=−

− − +=

+ −− − −

ax ayx 4xy 3y

a(x y )x xy 3xy 3y

a(x y)(x y)x(x y) 3y(x y)

2 2

2 2

2 2

2 2=

Comox≠y⇒x–y≠0, + −− −

=+

−a(x y)(x y)(x y)(x 3y)

a(x y)x 3y

.

Questão 09 – Letra EComentário:Aplicandoaspropriedadesdepotência,temos:

14

:132

14

:132

14

:132

12

:12

10,5 0,2 1

215

5

=

=

= =


Comentário: +

++

3 1

3 –1

3 –1

3 1

Racionalizando ambas as frações, temos:

( )( )

( )( )

+ +

++

+=

++ =

+ ++

+=

+ + + +=

+=

3 1

3 –1.

3 1

3 1

3 –1

3 1.

3 –1

3 –1

3 1

3 –1

3 –1

3 –1

3 2 3 13–1

3 –2 3 13–1

3 2 3 1 3– 2 3 12

4 42

4

2

22

2

22

2 2


Comentário:

N=20022 . 2 000 – 2 000 . 1 9982=2000.(20022 – 1 9982) ⇒

N=2000.(2002+1998).(2002–1998)=2000.(4000).(4)⇒

N=2.103 . 4 . 103.4=32.106


(a2b+ab2).−

−

1a

1b

1a

1b

3 3

2 2

=(a2b+ab2).

−

−

b aa b

b aa b

3 3

3 3

2 2

2 2

=

(a2b+ab2). −−

b aa b

.a b

b a

3 3

3 3

2 2

2 2=

++ +

+= + +ab(a b).

(b – a)(b ab a )ab(b a)(b – a)

a ab b2 2

2 2

Questão 13 – Letra CComentário: Fatorando o numerador, teremos:

4x9 + 2x6y2 + 4x3 + 2y2 = 2x6(2x3 + y2)+ 2(2x3 + y2)= 2(x6+1)(2x3+y2)

Fatorando o denominador, teremos:

8x6+4x3y2=4x3(2x3+y2)

Dividindo o numerador pelo denominador, teremos: +

12

x1x

33

.

A s s im , c omo +

= + + +x1x

x 3x3x

1x

3

33

e + =x1x

33

+

− +

=x1x

3 x1x

183

, logo, o valor pedido é 9.

Seção Enem

Questão 01 – Letra DEixo cognitivo:III


Habilidade: 16

Comentário: Pelo enunciado, o cubo da área S é proporcional

ao quadrado da massa M, ou seja, =SM

k3

2(constante de

proporcionalidade).

= ⇒ = ⇒ =SM

k S k .M S k .M3

23 2

13

23

Questão 02 – Letra BEixo cognitivo:IV


Habilidade: 17

Comentário: Como no período da infância até a maioridade o indivíduo teve sua massa multiplicada por 8, podemos associar os valores da seguinte maneira:

( )= = = ⇒

= ⇒ =

A k .(8m) k .(8) (m) 8 k.(m)

A 4.k .(m) A 4.A

Adulto

2

3

2

3

2

3 232

3

Adulto

2

3

A

Adulto Infância

Infância

� ��

Portanto, a área corporal do indivíduo foi multiplicada por 4.


22 Coleção 4V



Habilidade: 17

Comentário: De acordo com a tabela, a classe espectral B0

tem uma temperatura em torno de 5 vezes maior que a do Sol.

Assim,aluminosidadedessaestrelaseráde2.104, ou seja,

20 000 vezes a luminosidade do Sol.

Questão 04 – Letra EEixo cognitivo:III


Habilidade: 12

Comentário: 10litrosdeóleosãosuficientesparacontaminar

107 litros de água potável; isto é, 1 litro de óleo para cada

106 litros de água. Então, o total de água contaminada por

1 000 L de óleo será 1 000 . 106=109 L.



Habilidade: 12

Comentário: Se cada folha possui 0,1 mm de espessura e

há uma pilha de 1 m de altura, temos, então, 10 000 folhas,

pois =1m

0,1mm =

1 000mm 0,1mm

10 000. Como, em cada folha,

há 10 títulos, concluímos que temos, no total, 100 000 títulos,

o que corresponde a 105.

Questão 06 – Letra EEixo cognitivo:IV


Habilidade: 13

Comentário: Se um ano possui, aproximadamente,

32 . 106 segundos e estima-se um desmatamento de um

campo de futebol a cada 8 segundos, temos a destruição de

uma área que corresponde a =−32 . 108

. 10 4 . 10 km6

2 4 2,

o que chama atenção para um fato realmente grave.

Questão 07 – Letra BEixo cognitivo:II


Habilidade: 24

Comentário:

= = −500 000200 .10

5 .102 .10

2,5 . 109

5

116

Questão 08 – Letra BEixo cognitivo:II


Habilidade: 7

Comentário: Afiguraéformadaporumquadradodeladoa, um quadrado de lado b e dois retângulos de dimensões a e b. Alémdisso,asomadasáreasdessasfiguraséigualàáreadoquadradomaior,deladoa+b.Temos,então:

�� + = + +(a b) a 2ab b2

Área doquadrado

maior

2 2

Soma das áreasdos quadrados menorese dos dois retângulos

Logo,afiguraéarepresentaçãogeométricadoprodutonotável(a+b)2.



Habilidade: 17

Comentário: Fatorando a expressão, obtemos:

A=4000.(2062 – 2042) ⇒

A=4000.(206–204).(206+204)⇒

A=4000.2.410=3280000

Mód Ulo – A 04

Equações e problemas


Questão 01 – Letra EComentário: Sejam x e y esses números. Temos:

x y 6x y 68

x 6 y

6 y y 68

y 6y 16 0 y 2 ou y 8

2 2 2 2

2

( )+ =+ =

⇒

= −

− + =

− − = ⇒ = − =

Nesse caso, as soluções do sistema são (x, y) = (8, –2) ou(–2,8).Portanto,|x–y|=10.

Questão 02 – Letra CComentário: João tinha B balas. Como comeu uma bala, então João tem B – 1 balas.JoãodeuametadedoquesobrouparaMário.Então,Joãoficou

com B −12

balas.

João comeu mais uma bala. Logo, João tem −B 12

– 1 balas,

ou seja, B − 32

balas.

Em seguida, João deu a metade do que sobrou para Felipe.

Logo, ele ainda tem

B − 322

balas, ou seja, B − 3

4 balas.

Assim,−B 34

=7⇒B=31balas.

Portanto, João tinha 31 balas, ou seja, 30 < B < 40.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor



Comentário: Temos a seguinte equação do 2º grau:

(4m+3n)x2–5nx+(m–2)=0

SejaS= − ba

a soma das raízes. Daí:

58

54 3

= − −+n

m n ⇒4m+3n=8n⇒

4m=5n⇒20m=25n(I)

SejaP= ca

o produto das raízes. Daí:

332

24 3

= −+

mm n

⇒12m+9n=32m–64⇒

20m=9n+64(II)

SubstituindoIemII,temos:25n–9n=64⇒n=4Logo,4m=5.4⇒m=5.Portanto,m+n=5+4=9.


Comentário: Seja d a distância percorrida pelos três atletas.

Sabemos que A percorre 27

d, B percorre 25

d e C percorre 660 m.

Daí, A e B percorrem uma distância de:

27d+ 2

5d= 10 14

35d d+ = 24

35d

Daí, C terá de percorrer o restante da distância, que equivale

a 1135

d.

Mas 1135d=660⇒ d=2100m,ouseja,d=2,1km.

Portanto, os três atletas percorreram 2,1 km.

Questão 05 – Letra DComentário:Adatadenascimentodadaé16/05/1963.

Seguindo os passos do algoritmo, temos:

1. D=16,M=05eA=1963

2.

Mês Dias

Janeiro 31

Fevereiro 28

Março 31

Abril 30

Maio 16 decorridos

31+28+31+30=136dias

3. =

=

=

=Y A –1

41 963–1

4490,5 490

4. S=A+N+Y=1963+136+490=2589

5. S=q.7+X⇒2589=369.7+6⇒X=6

6. Pela tabela, o dia correspondente da semana é quinta-feira.

Questão 06 – Letra CComentário: Seja Ma, Me, Ba a quantidade de maçãs, melões e bananas, respectivamente, temos:

5.M

65.(M ) 3.

B

1267,00

5.M

65.M 67,00 –3 . 4.

12

1255

M

6M 11 M 6.M 66

ae

a

ae

ae a e

+ + = ⇒

+ = = ⇒

+ = ⇒ + =

Como foram compradas 89 unidades de frutas: M M B 89 M M 41

a e a

4 .12

a e+ + = ⇒ + =

Substituindo na equação anterior, temos:

�� + = ⇒ + + = ⇒

= ⇒ =

+ = ⇒ = =

M 6.M 66 M M 5.M 66

5.M 25 M 5

M M 41 M 41–5 36 maçãs

a e a e

41

e

e e

a e a



Comentário: Sejam a e b os dois números. Então:

a b

b a

a b

b a

+ =

+ =

⇒+ =

+ =

210

310

2 20

3 30

Usando o método de adição, temos:

2 203 30

2 202 6 60

5

a ba b

a ba b

b

+ =+ =

⇒ + =

− − = −

− = −4408b =

⇒

Logo,2a+b=20⇒2a+8=20⇒a=6.

Assim,essesdoisnúmerossão6e8.


• Noprimeiromês,oinvestidoradquire22açõesaR$9,00cada uma.

200=22.9+2

Assim,gastaumtotaldeR$198,00.

• Nosegundomês,oinvestidorcompra28açõesaR$7,00cada uma.

200=28.7+4

Assim,gastaumtotaldeR$196,00.

• Noterceiromês,oinvestidorvendeas50açõesquehaviaadquiridoaR$8,00cadauma.

(22+28).8=50.8=400

Assim,ganhaumtotaldeR$400,00.

ComohaviagastadoR$198,00+R$196,00=R$394,00, eleteveumlucrodeR$400,00–R$394,00=R$6,00.


24 Coleção 4V


Comentário: Sejam L o número de DVDs em lançamento e

C o número de DVDs em catálogo. Daí:

L+C=1000(I)

Emumdeterminadofimdesemana,temos:

45

15

L C+ =260⇒4L+C=1300(II)

ResolvendoosistemadeequaçõesIeII,temos:

L C

L C

+ =

+ =

1 000

4 1 300 ⇒3L=300⇒L=100

SubstituindoL=100naequaçãoI,temos:

100+C=1000⇒C=900

Portanto,onúmerodeDVDsemcatálogolocadosnessefim

de semana foi:

15C= 1

5.900=180


Comentário: Se b é o número total de bancadas e n o número

de alunos, então, montando um sistema, temos:

2 11

3 4

b n

b n

+ =

− =

( ) ⇒2b+11=3(b–4)⇒b=23

Substituindob=23naequação2b+11=n,temos:

n=2.23+11=57

Portanto, temos 57 alunos.

Questão 05 – Letra EComentário: Sendo p o preço inicial em reais e n a quantidade

de peças compradas em agosto:

=

= + = + = + ⇒

= ⇒ =+

=+

⇒ + = ⇒ = ⇒ + =

192 np

192 (n–2)(p 8) np –2p 8n–16 192 –16 –2p 8n

4n–p 8 np 8

4

192 p.p 8

4p 8p –768 0 p 24 p 8 322


(x –3) (x 11) 2x.8 20

x – 6x 9 x 11 16x 20

x –21x 0 x 21

2

2

2

+ + = +

+ + + = +

= ⇒ =

x não pode assumir o valor zero, pois não há divisão por zero

dentro dos reais.

Questão 07 – Letra DComentário:Aequaçãox2+px+q=0,emquep e q são reais não nulos, tem como raízes D e 1 – D, em que D denota o discriminante dessa raiz.

Sendo S a soma das raízes, temos:S=–p⇒ D+1–D=–p⇒p=–1Se D=p2 – 4 . 1.q, então D=1–4q.Daí, sendo P o produto das raízes, temos:P=q⇒ D(1 – D)=q⇒(1–4q)4q=q⇒

1–4q=14, pois q ≠ 0 ⇒q= 3

16

Questão 08Comentário: Sejam s o número de sacos de cimento e c o

número de cavalos. Montando o sistema, temos:

c sc s.

( ).2 9

3 3+ =

− =

⇒2c+9=3(c–3)⇒c=18

Substituindoc=18naequação2c+9=s,temoss=45.

Portanto, são 18 cavalos para transportar 45 sacos de cimento.

Questão 09 – Letra BComentário: Seja x o número de tapetes retangulares e y o número de tapetes redondos, então temos que:

x y 6012x 10y 500 160

–10x –10y – 60012x 10y 660

2x 60 x 30x y 60 y 60 – 30 y 30

+ =+ = +

⇒ =

+ =

⇒

= ⇒ =+ = ⇒ = ⇒ =

Questão 10 – Letra DComentário: Considere os seguintes dados:

• PreçodeumadiáriadapousadaA:R$25,00

• PreçodeumadiáriadapousadaB:R$30,00

• DiasqueoestudanteficounapousadaA:a

• DiasqueoestudanteficounapousadaB:b

Agora,deacordocomoenunciado,temosque:

a=b+3(I)

Seja x a quantia reservada por esse estudante para viajar, temos:

x=a.25(II)

x=b.30(III)

Agora,substituindo(I)em(II),temos:

x=(b+3).25(IV)

x=b.30(III)

Substituindo(IV)em(III),temos:

(b+3).25=b.30⇒

25b+75=30b⇒

5b=75⇒

b=15Portanto, para descobrir o valor reservado por esse estudante, basta multiplicar o preço da diária da pousada B pelototaldediasqueoestudanteficounessapousada.Dessaforma, temos:x=15.30=450Então,oestudantetinhareservadoumtotaldeR$450,00.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Questão 11Comentário: Sejam A e M a distância, em km, que o

trabalhador deve percorrer no automóvel e na motocicleta,

respectivamente.

Comootrabalhadorpercorre550kmcomumcustodeR$70,00

por mês, então temos:

+ =

+ =

⇒A M 550

0,21A 0,07M 70

+ =

+ =

⇒21A 21M 11 550

21A 7M 7 000

14M=4550⇒M=325SubstituindoM=325naequaçãoA+M=550,temosA=225.Portanto, o trabalhador percorre 225 km de automóvel e 325 km de motocicleta.

Questão 12 – Letra DComentário: Seja k a raiz das equações x2–x–a=0ex2+x–(a+20)=0.

Assim,substituindok nas equações, temos:

k k ak k a

2

2

020 0

− − =+ − + =

( ) ⇒2k–20=0⇒k=10

Substituindok=10naequaçãok2–k–a=0,temos:

100–10–a=0⇒a=90

Portanto, o valor de a é 90.

Questão 13 – Letra DComentário: Sejam x’ e x’’ as raízes da equação. Sendo x’ > x’’,

temos que

xꞋ–xꞋꞋ=6⇒x’=6+x’’esabemosqueoprodutodasraízes

=x'x" ca, logo:

xꞋ.xꞋꞋ=40⇒(6+xꞋꞋ).xꞋꞋ=40⇒(xꞋꞋ)2+6xꞋꞋ–40=0

Resolvendoaequaçãodo2ºgrau,temosquexꞋ=4exꞋꞋ=10 ouxꞋ=–4exꞋꞋ=–10.Assim,asomadasraízesédadapor:

x' x''–ba

10 4–b1

b –14 |b| 14

x' x''–ba

–10 – 4–b1

b 14 |b| 14

+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Seção EnemQuestão 01 – Letra AEixo cognitivo:ICompetência de área: 4Habilidade: 15

Comentário:ParaqueaarrecadaçãosejaR$300,00,devemoster:

(400–100p)p=300

–100p2 +400p –300=0

p2 – 4p +3=0,

cujassoluçõessãop=1oup=3.

Para que a quantidade vendida seja máxima, p deve ser 1.

Questão 02 – Letra AEixo cognitivo:III


Habilidade: 28

Comentário: Supondo que, em um público-alvo de 100 pessoas, tem-se (n) vacinadas e (100 – n) não vacinadas,

como a eficácia da vacina é de 98%, então 2

100.n estão sem

vacina. Logo,

+ ≤

+ ≤

≤

≥

12

.2

100.n

12

(100 –n) 5,9

2n

200

100(100 –n)

200

1180

200

–98n –8820

n 90

Assim,apropostaimplementadafoiaI.

Questão 03 – Letra BEixo cognitivo:III


Habilidade: 21

Comentário: Seja n a quantidade que a pessoa compra habitualmente. Temos 12(n – 2) = 10n + 6⇒ n = 15. Logo, a pessoa levava semanalmente, para fazer a compra, 15.10+6=156reais.

Questão 04 – Letra DEixo cognitivo:II


Habilidade: 24

Comentário:Oíndicedeeficiênciaparacadavacapodesercalculado a partir dos valores fornecidos na tabela através da fórmula descrita no texto:

Índice de eficiência =

.Tempo de lactação

Produção médiadiária de leite

Intervalo entre partos

Vaca

Tempo de

lactação (dias)

Produção média

diária de leite

(kg/dia)

Intervalo entre partos

(meses)

Índice de eficiência

Malhada 360 12 15 288

Mamona 310 11 12 284

Maravilha 260 14 12 303

Mateira 310 13 13 310

Mimosa 270 12 11 295

Realizandooscálculos,conclui-sequeavacamaiseficienteé a mateira.


26 Coleção 4V

Questão 05 – Letra AEixo cognitivo: III


Habilidade: 8

Comentário: Cada placa de lado y tem área y2. Dessa forma, as N unidades cobrem uma área total S = Ny2. As novas placas têm área (3y)2 = 9y2 cada uma, de forma que, para totalizar a

mesma área S = Ny2, as novas caixas devem conter =Ny9y

N9

2

2

unidades.

Questão 06 – Letra BEixo cognitivo: I


Habilidade: 19

Comentário: Seja Z o tempo que a luz vermelha permanece

acesa. = ⇒ =X23

Z Z32

X . Como o ciclo dura Y segundos, temos

X + 5 + Z = Y ⇒ X + 5 + 32

X = Y ⇒ 2X + 10 + 3X = 2Y ⇒

5X – 2Y + 10 = 0.

Questão 07 – Letra BEixo cognitivo: I


Habilidade: 19

Comentário: Sendo m o número de moedas de R$ 1,00 que se consegue produzir com R$ 1 000,00 e c o número de cédulas de R$ 1,00 que se conseguiria produzir com os mesmos R$ 1 000,00, com m e c valores inteiros, temos:

m = R

R$ ,

$ ,1 000 00

0 26 = 3 846 moedas e sobram R$ 0,04

c = R

R$ ,

$ ,1 000 00

0 17 = 5 882 cédulas e sobram R$ 0,06

Para calcular quantas cédulas a mais o Banco Central conseguiria fabricar com os R$ 1 000,00 destinados às moedas, devemos calcular a diferença c – m. Assim:c – m = 2 036



Habilidade: 21

Comentário: Sabemos que, para a compra dos selos de 500 folhetos do segundo tipo, serão gastos R$ 725,00, pois:

500.(0,65 + 0,60 + 0,20) = 725,00

O restante do dinheiro será gasto apenas na compra de selos de R$ 0,65.

1 000 00 725 000 65

275 000 65

, – ,,

,,

= = 423 selos e sobram R$ 0,05.

Portanto, foram comprados 500 + 423 = 923 selos de R$ 0,65.

Questão 09 – Letra DEixo cognitivo: IV


Habilidade: 22

Comentário: Sendo x a distância, em metros, alcançada no primeiro salto, temos:

Salto Alcance (m)

1º x

2º x – 12

3º (x – 1,2) – 1,5

Para que o atleta atinja a meta de 17,4 m, temos:x + (x – 1,2) + (x – 1,2 – 1,5) = 17,4 ⇒ 3x – 3,9 = 17,4 ⇒ 3x = 21,3 ⇒ x = 7,1Portanto, o alcance do primeiro salto precisa ser de 7,1 m.

Questão 10 – Letra EEixo cognitivo: III


Habilidade: 3

Comentário: Vamos calcular quanto João gastaria em cada pacote:Pacote 1: 40 . 7 = 280 reaisPacote 2: 80 + 10 . 7 = 150 reaisPacote 3: 60 + 15(7 – 4) = 105 reaisAgora, para Maria:Pacote 1: 40 . 4 = 160 reaisPacote 2: 80 + 10 . 4 = 120 reaisPacote 3: 60 + 15(4 – 4) = 60 reaisEntão, o pacote 3 é melhor para os dois.

MÓDULO – B 01Razões, proporções e Regra de três


Questão 01 – Letra DComentário: O valor a ser pago é diretamente proporcional ao peso do produto. Dessa forma, temos a regra de três:

Peso (kg) Valor (R$)

0,256 1

12,80 x

0,2561

12,80x

x 50= ⇒ =


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Questão 02 – Letra BComentário: Convertendo as dimensões da copa de acordo

com a escala, temos:

9,6 m

9,6 m

5,6 m

3,2 m

4,0 m

6,4 m

Perceba que a área da copa corresponde à área de um quadrado

de lado 9,6 m, excluindo a área de um retângulo de dimensões

3,2 m × 4,0 m. Portanto, a área da copa é:

A = 9,6 . 9,6 – 3,2 . 4,0 = 79,36 m2

Questão 03 – Letra CComentário: Como o alimento A tem 60 kcal em 20 g, ele

conterá 3 kcal/g. Analogamente, o alimento B contém 4 kcal/g.

Considerando uma porção de massa 4x de A, uma porção

isocalórica de B terá 3x de massa. Como 30% do alimento

A é composto de proteína, uma porção de 4x de massa terá

1,2x de proteína. De maneira semelhante, como 5% de B é

composto de proteína, uma porção de 3x de massa de B terá

0,15x de proteína. Logo, a razão pedida vale 8.

Questão 04 – Letra DComentário: Como o pai pagou uma dívida de 7

20, então o

que restou foi 1320

de 800 reais.

Assim, 1320

.800 = 520 reais.

Agora, vamos dividir os 520 reais restantes em partes

inversamente proporcionais a 3, 8 e 12, pois essas são as

idades dos filhos. Suponha que o filho mais novo receberá

a reais, o filho do meio, b reais, e o filho mais velho, c reais.

Daí, temos:

a b c13

18

112

= = = k ⇒ a b c+ +

+ +13

18

112

= k ⇒

k = 5208 3 2

24+ +

⇒ k = 960

Assim, o filho mais velho receberá:

c112

= k ⇒ c = k12

⇒ c = 96012

⇒ c = 80 reais


Comentário: Dos 30,6 L de gasolina que estão no tanque, uma

parte (x litros) será utilizada pelo próprio consumo do carro,

e o restante (y litros) vazará do tanque.

Suponha que o carro percorreu uma distância d, em km.

Daí, temos:

10 1km litrod x

−−−−−−−−

⇒ x = d

10 litros

Como t = dv

, então t = d50

horas.

Logo, a gasolina que vazará do tanque é:

0 1 1

50

, L h

y d h

−−−−

−−−−

⇒ y = d500

litros

Assim: x + y = 30,6 L ⇒ d d10 500

+

= 30,6 L ⇒

50500

30610

d d+ = ⇒ d = 300 km


Comentário: Regra de três simples:

Com 1 litro de álcool, percorre-se 8 km.

Daí, com 0,25 L de álcool, percorre-se 0,25 . 8 = 2 km.

Com 1 litro de combustível gasolina + álcool, percorre-se 11 km.

Desse 1 litro, temos 0,25 L de álcool e 0,75 L de gasolina.

Com 0,25 L de álcool, é possível percorrer 2 km. Então, com

0,75 L de gasolina, percorre-se 9 km.

Agora, com 0,20 L de álcool, o carro percorrerá

0,20 . 8 = 1,6 km.

Com 0,80 L de gasolina, o carro percorrerá:

0 75 90 80,,

LL x

−−−−−−−−

⇒ 0,75x = 0,8 . 9 ⇒ x = 9,6 km

Logo, com a porcentagem de 20% de álcool e 80% de gasolina,

um carro percorrerá 1,6 km + 9,6 km = 11,2 km com um litro

dessa mistura.



Comentário: Com 300 mg de cálcio extras por semana,

a pessoa pode consumir 7,5 copinhos de café de 178 mL

cada. Como 178 = 4 . 44,5, a pessoa pode, então, consumir

4 . 7,5 = 30 copinhos por semana, ou seja, considerando os

cinco dias da semana, 6 por dia.


28 Coleção 4V

Questão 02 – Letra DComentário: 13 operários terminariam a obra no prazo

trabalhando 6 horas por dia. Para que 10 operários terminem

no mesmo prazo, eles deveriam trabalhar x horas. Assim,

fazendo uma regra de três, temos:

Operários Horas de trabalho

13 6

10 x

Como o número de horas e o número de operários é

inversamente proporcional, obtemos:

13.6=10.x⇒x=7,8h=7h48min

Questão 03 – Letra E Comentário: Como a escala é de 1 : 250 000, temos que

a largura real da pista da rodovia é de 250 m. Portanto,

a alternativa correta é a letra E.


Comentário: Chamando de x a distância real entre as cidades,

a escala é a razão 65 cmx

. Essa razão deve ser igual à razão

representada pela escala, isto é, tem-se a proporção:

= ⇒ = ⇒

= =

65 cmx

1200 000

x.1 200 000 .65 cm

x 13 000 000 cm 130 km

Questão 05 – Letra AComentário: Sejam φA a vazão da torneira que leva 10 horas

para encher o tanque e φB a vazão da torneira que leva 15 horas

paraencheromesmotanque.Assim,sendoV o volume do

tanque, temos:

φA=V10

e φB=V15

Enchendo o tanque juntas, a vazão total será φTotal=φA+φB.

Assim:

φA+φB=V10

+ V15

⇒ φTotal=V6

Como a vazão total é a razão entre o volume V do tanque e o

tempo T que se gasta para enchê-lo, temos:

φTotal=VT= V

6 ⇒T=6horas


Comentário: De acordo com os dados da questão, em 6 horas

temos um escoamento de 240 litros. Sabendo que a vazão é

constante e que corresponde ao volume pelo tempo, podemos

estimar o tempo em que a água no interior do tanque demorou

para se reduzir à metade:

= ⇒ =240 litros6 horas

1 000 litrosx

x 25 horas

Logo, se às 8 horas de certo dia o tanque estava cheio de

água, seu volume foi reduzido a 1 000 litros às 9 horas do

dia seguinte.

Questão 07

Comentário: Sendo x, y e z a quantia, em reais, que cada

pessoa receberá, então:

A)x8

y5

z7

x y z8 5 7

1 28020

64= = =+ ++ +

= = ⇔

x8

64

y5

64

z7

64

x 512

y 320

z 448

=

=

=

⇔

=

=

=

B) x15

y12

z110

x y z15

12

110

1 2802 5 1

10

= = =+ +

+ +=

+ += 1 600 ⇔

x15

1 600

y12

1 600

z110

1 600

x15

.1 600

y12

.1 600

z110

.1 600

x 320

y 800

z 160

=

=

=

⇔

=

=

=

⇔

=

=

=


Comentário: Temos um total de 120 embalagens,

o que corresponde ao ângulo de 360°. Seja x o número de

embalagens de 500 mL, sabemos que elas correspondem ao

ângulo de 48°, logo, temos que:

°=

°⇒

= ⇒

= =

120360

x48

360x 120 . 48

x 483

16


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor



Comentário:Asomadosvaloresinvestidosé:

R$2500,00+R$3500,00+R$4000,00=R$10000,00

Logo, o rendimento é de:

R$12500,00–R$10000,00=R$2500,00

Sejam P, A e L as quantias investidas por Paulo, Ana eLuís respectivamente e P’, A’e L’ o retorno do investimento de cada um. Dessa forma:

P'2 500

A'3 500

L '4 000

P' A ' L 'P A L

2 50010 000

14

P' 625A' 875L ' 1 000

= = =+ ++ +

= = ⇒===

Assim,adiferençaentreosvaloresrecebidosporAnaeporPauloéA’–P’=R$875,00–R$625,00=R$250,00

Questão 10 – Letra BComentário: Se 6 pessoas, trabalhando 4 horas por dia, realizam um trabalho em 15 dias, temos que o trabalho éexecutadoem15.4horas=60horas.

Sendo x o total de horas a serem trabalhadas pelas 8 pessoas, temos:

Total de pessoas Total de horas

1ª situação 6 60

2ª situação 8 x

O total de horas a serem trabalhadas é inversamente proporcionalaonúmerodepessoas.Assim:

68 60

= x ⇒x=45horas


y

O

P Q

x

Sabe-se que x e y são grandezas inversamente proporcionais. Assim,dadaumaconstanterealk,temosquexy=k.

Como 53

, 480

éumpontodacurvadefinidapory=f(x),

temos:

k= 53

.480 ⇒k=800

AáreaS do triângulo OPQ é dada por:

S= PQ OP.2

SendoQ=(x,y)umpontodacurva,concluímosque:

PQ=xeOP=y⇒S= xy k2 2

8002

400= = =

Questão 12 – Letra BComentário: No ano anterior, os professores corrigiram 500

provas por dia, o que dá uma média de 50013

provas/dia para

cada professor. Já que neste ano há 15 professores corrigindo

50013

provas/dia, temos que 50013

.15 =7 500

13 provas serão

corrigidas por dia. Como há 5 500 provas, as provas serão

corrigidas em 5 500

7 500

13

9,53

≅ .

Questão 13 – Letra AComentário: Correndo a uma velocidade de 10 km/h, omaratonista chegará ao final do percurso às 10 horas.Correndo a uma velocidade de 15 km/h, ele chegará às 8 horas e, portanto, 2 horas mais cedo. Como a velocidade é a razão entre a distância D percorrida e o tempo gasto no percurso, temos:

10= DTe15= D

T − 2

Note que T é o tempo gasto pelo maratonista quando ele corre

aumavelocidadede10km/h.Assim,parachegaràs9horas,

ele deverá ter uma velocidade V tal que:

V= DT −1

Utilizando as relações anteriores, concluímos que:

10T=15(T–2)⇒T=6horas

SabendoqueT=6horasequeD=10T,temosD=60km.

Assim,V= 606 1−

=12km/h.

Seção Enem



Habilidade: 12

Comentário: Para o cálculo das concentrações de fibras em cada marca de pão, deve-se obter a razão entre a massa da fibra e a massa de pão.

• MarcaA: 250=0,04

• MarcaB: 540=0,125

• MarcaC: 5100

=0,05

• MarcaD: 690=0,06

• MarcaE: 770=0,1

Como recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior

concentração de fibras, a marca a ser escolhida é a B.


30 Coleção 4V

Questão 02 – Letra EEixo cognitivo:II


Habilidade: 11

Comentário: Como a escala é a razão entre medida representada e medida real, tem-se que a escala pedida é:

= = =5 cm25 km

5 cm2,5 . 10 cm

21000000

15000006


Eixo cognitivo:II


Habilidade: 11

Comentário: Denote por x a medida real da distância entre

ascidades,emcm.Assim,peladefiniçãodeescala:

130000

5x

x 150000 cm= ⇒ =

Denote por d a distância desejada. Assim, pela definição

de escala:

120000

d150000

d 7,5 cm= ⇒ =

Questão 04 – Letra DEixo cognitivo:II


Habilidade: 11

Comentário: A razão entre amedida real e amedida da

fotografiadacanetaé =16,8cm1,4cm

12 , portanto as medidas da

pegadasão2,2cm.12=26,4cme3,4cm.12=40,8cm.



Habilidade: 16

Comentário: Para cada aplicação, pode-se estabelecer os valores abaixo.

• Retirarbolhasdear:2doses.

• Prescrição:10doses.

• Totaldecadaaplicação,emmL:12.0,01mL=0,12mL.

O número de aplicações (n) é a razão entre a quantidade total

(3 mL) pela quantidade da aplicação (0,12 mL).

n3mL0,12

25= =

Logo, o número de aplicação é 25.



Habilidade: 25

Comentário: Temos 250 mg/m2.

Como 3 kg correspondem a 0,208 m2, teremos:

250mg───1m2

x───0,208m2

x=250.0,208

=

= ⇒ =

x 250.208

1 000

x2084

x 52 mg

4


Eixo cognitivo:III


Habilidade: 3

Comentário: O ponto central receberá 0,6 . 12 t= 7,2 t.

O restantedacarga,12 t–7,2 t=4,8 t, será igualmente

distribuído entre os outros dois pontos, isto é, cada ponto

sustentará 2,4 t.


Eixo cognitivo: II


Habilidade: 11

Comentário: No detalhe do mapa, no qual é mostrada a

ampliação, a escala é 1 : 4 000 000, enquanto no mapa do

Brasil,aescalaéde1:25000000.Issosignificaqueaescala

foi ampliada segundo a razão =25 000 0004 000 000

254

. Como a escala

diz respeito às dimensões lineares, a razão entre as áreas será

o quadrado da razão entre as escalas, isto é,

=254

62516

2

.

Essa fração é um número maior que 30 e menor que 40.

Questão 09 – Letra DEixo cognitivo: II


Habilidade: 11

Comentário: Pela definição de escala, temos que esta

representaarazãoentreaalturagráficaeaalturareal.Assim,

percebe-se que o tamanho real é dado pela razão entre o

tamanhográficoeaescala.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Efetuando os cálculos para as 5 árvores:

I. =91

100

900 u.c.

II. =92

100

450 u.c.

III. 62

300

900 u.c.=

IV. =51

300

1 500 u.c.

V. =52

300

750 u.c.

Assim,aárvoreIVéaqueapresentamaiortamanhoreal.


Eixo cognitivo:I


Habilidade: 15

Comentário:Nafiguraaseguir,temos:Fio condutor

A

A A A

2A2AA

Resistência R

Resistência R Resistência RResistência R

Resistência Resistência RResistência 2R

Fios de mesmo material Fios de mesmo material Fios de mesmo material

2� 2�

R__2

�

�

�

� �

• Mantendoaáreaconstante,dobrando-seocomprimento

também duplica-se a resistência. Logo, essas duas últimas

são diretamente proporcionais;

• Mantendo, agora, o comprimento constante, vemos

que a área da secção transversal duplica-se enquanto a

resistênciareduz-seàmetade.Assim,resistênciaeárea

são inversamente proporcionais;

• E,comR constante, vemos que, ao dobrar o comprimento,

a área também se duplica. Logo, área e comprimento são

diretamente proporcionais.


Eixo cognitivo:III


Habilidade: 3

Comentário: Do texto, sabemos que serão necessárias

1,4 milhões de colmeias nas lavouras de amêndoas da

Califórnia. Como o preço de cada uma é 150 dólares,

os agricultores deverão pagar:

150 . 1,4 . 106=210.106



Habilidade: 16

Comentário:EssefuncionáriorecebeR$200–R$120=R$80 porcadaR$600queelevendeamaisqueocombinadocomo seu patrão. Então, seja x o valor que ele vai receber a mais pelosR$990–R$600=R$390.Assim,temos:

R$600_________________R$80

R$390_________________ x

x80 .390

600x R$ 52,00= ⇒ =

Logo,elereceberáR$120+R$52=R$172,00.



Habilidade: 3

Comentário: Seja m a massa do prato de um cliente,

emquilos.Opreçop=m.18,20calculadoinicialmentepela

funcionáriadeveriaserp’=m.12,80.Logo:

p

p

m

mp p

' . ,

. ,' . ,= ⇒ ≅

12 80

18 200 70

Mód Ulo – B 02

Porcentagem



Comentário: O preço da garrafa após os dois reajustes é igual a5,00.1,1.0,9=R$4,95.

Questão 02 – Letra D Comentário: Em 2011: Sejam x a quantidade vendida do produto e y o preço por unidade. De acordo com os dados do enunciado, temos:

Receita em 2011:

R(2011)=x.y

Em 2012:

1,15x=quantidade

1,1y=preço

Receita em 2012:

R(2012)=(1,15).(1,1).x.y=1,265xy

Portanto,houveumaumentode0,265xy=26,5%dex na receita de 2011.


32 Coleção 4V

Questão 03 – Letra DComentário: No início, os 60 homens representavam 30% do total T1. Temos:

0,3T1=60⇒ T1=200(60homense140mulheres)

84 homens representam 24% do total T2. Temos:

0,24T2=84⇒ T2=350(84homense266mulheres)

Portanto,350–200=150pessoasentraramnoclube.

Noinício,havia140mulherese,nofinal,havia266mulheres.

Temos 266140

=1,9,ouseja,houveumaumentode90%.

Questão 04 – Letra CComentário: Os valores a seguir devem ser considerados em

milhões de hectares.

Com o desmatamento de 57%: 204.(1 – 0,57) ≅ 87,72.

Perdendo 3 milhões de hectares por ano (em 10 anos):

87,72–(10.3)=57,72

Assim,opercentualrestanteéde ≅ =57,72204

0,28 28%.

Questão 05 – Letra CComentário: Seja x a massa de água que será retirada,

em gramas, de 1 kg de massa de tomate.

Como, após o processo de desidratação, a massa de água

deverá corresponder a 20% da massa de tomate, temos:

⇒

⇒

⇒

800– x1000– x

=20%

800– x1000– x

= 15

4 000–5x=1000– x

x=750 g

Portanto, após o processo de desidratação, a massa de tomate,

emgramas,seráde1000–750=250g.


Comentário: Bruno, há um ano, comprou uma casa de

R$50000.Paraisso,tomouemprestadosR$10000deEdson

eR$10000deCarlos. Logo,Bruno já tinhaoequivalente

aR$30000.

Bruno combinou com Edson e Carlos de pagar-lhes juros de

5% e 4% em um ano, respectivamente.

Assim,apósumano,BrunodeveaEdsoneaCarlosoequivalentea:

• Edson:10000.(1,05)=10500

• Carlos:10000.(1,04)=10400

Com a venda da casa, que valorizou 3% durante o ano, Bruno

obteve50000.(1,03)=R$51500.

Apósavenda,BrunopagouoquedeviaaEdsoneaCarlos

e subtraiu o que tinha inicialmente para a compra da casa:

51500–(10500+10400+30000)=51500–50900=600

Portanto,BrunolucrouoequivalenteaR$600,00.


Questão 01 – Letra BComentário: Como a taxa de juros deve ser contada sobre

a parcela ainda não paga de 400 reais, os juros serão de

420–400=20reais,eataxaseráde20400

=5%.

Questão 02 – Letra DComentário: Apartecinzadográficoéequivalentea46,6%

daenergiaproduzidanoBrasilnoanode2030.Aestimativa

é que, no ano de 2030, a energia total produzida seja de

557 milhões de tep, logo, a parcela oriunda de fontes renováveis

seráiguala557.0,466=259,562.

Questão 03 – Letra BComentário: Sejam r e p, respectivamente, a renda per capita

e a população economicamente ativa em 1996.

Assim, temos que a rendaper capita em 1996 é dada por

= ⇒ =rPIBp

pPIBr

Por outro lado, se p’ é a população economicamente ativa em

2010, então:

= ⇒ = =1,36.r1,564.PIBp'

p' 1,15.PIBr

1,15.p

Ou seja, o acréscimo percentual da população economicamente

ativa foi de 1,15.p –p

p.100% 15%.=

Questão 04 – Letra AComentário:Observequehá0,3.80000=24000litrosde

álcool no posto. Seja x o número de litros de gasolina a ser

adicionada. Temos:

(80000+x).0,25=24000⇒

80000+x=96000⇒

x=16000litros

Questão 05 – Letra D Comentário: Sendo x a capacidade do tanque, inicialmente

este continha 0,8x de gasolina e 0,2x de álcool. Após a

utilizaçãodemetadedotanque,otanqueficacom0,4xde

gasolina e 0,1x de álcool, completados com 0,5x de álcool,

detalformaqueotanqueficacom0,4x(40%)degasolina

e 0,6x (60%) de álcool.


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TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Questão 06 – Letra EComentário:Aporcentagemdenãofumantesdaturmaseráde 80% dos rapazes e 70% das moças. Logo:

+ = + =80

100.40

70100

.40 32 28 60

Portanto, a porcentagem dos não fumantes é dada por

= =6080

0,75 75%.


Comentário: Seja p o preço de custo do televisor para o comerciante.

Daí, temos que:1,4.p.0,9=6300⇒p=R$5000,00

Portanto, a porcentagem de lucro do comerciante nessa

transação foi de =6 300 –5 000

5 000.100% 26%

Questão 08 – Letra CComentário: Sabendo que uma hora possui 60 minutos, temos queofluxode180veículosporhoraéomesmoque3veículosporminuto.Assim,comoofluxoanteriorerade60veículospor minuto, temos que 3 veículos por minuto representam

= =360

0,05 5% dofluxoanterior.Portanto,houveumareduçãode

100%–5%=95%nofluxodeveículos.


Comentário: O maior valor é de 63 886 e o menor

valor é de 11 266. O aumento percentual pedido vale

(63 886 –11 266)1 266

467%.= O valor que se aproxima mais é

de 470%.

Questão 10 – Letra BComentário: Sejam C1 e C2 os preços, em reais, de compra das bicicletas.

Temos que C1+C2=670.(I)

Sejam V1 e V2 os respectivos preços, em reais, de venda das bicicletas. Então:

V1=1,1C1 e V2=0,95C2

O lucro total é dado por:

(V1+V2) – (C1+C2)=7⇒ 1,1C1+0,95C2 – C1 – C2=7⇒

0,1C1 – 0,05C2=7⇒ 10C1 – 5C2=700(II)

Dasequações(I)e(II),temososistema:

C C

C C

1 2

1 2

670

10 5 700

+ =

− =

Resolvendo-o, temos C1=270eC2=400.

Portanto,ospreçosdecompradasbicicletasforamR$270,00eR$400,00,respectivamente.

Questão 11 – Letra AComentário: Sendo x o preço referente ao produto. Logo:

60% referentes ao custo: 0,60x

10% referentes ao lucro: 0,10x

30% referentes a impostos: 0,30x

Apósasalterações:

• Aumentode10%nocusto:1,1.0,60x=0,66x

• Reduçãode20%novalordosimpostos:0,80.0,30x=0,24x

• Reduçãodametadedolucro:0,50.0,10x=0,05x

Com isso, o valor do produto passou a ser de:

0,66x+0,24x+0,05x=0,95x

Portanto, o produto sofreu redução de 5%.

Questão 12 – Letra CComentário: Como o copo de suco de laranja é vendido a R$1,50com lucrode50%, temosqueocustodocopodesucoédeR$1,00.Com o aumento de 20% no preço de custo, esse valor passou a ser de:

+ = + = + =1,0020100

.1,00 1,0020100

1,00 0,20 1,20.

Logo,paraocopode300mL,ocustopassouaserdeR$1,20.Agora, queremos saber a quantidadex mL que o copo terá aocustodeR$1,00,paraassimpermanecercomosmesmos50% de lucro.

Basta fazer uma regra de três simples:

= ⇒ = ⇒ = =3001,20

x1,00

1,20x 300 x3001,20

250

Portanto, o copo de suco passará a ter 250 mL.

Questão 13

Comentário:

A) Perdeu40%de3000=1200; Recuperou30%de1200=360; Apessoaficoucom3000–1200+360=2160reais.

B) Oprejuízototalfoide3000–2160=840.

Como 8403 000

=0,28,oprejuízofoide28%.

Seção Enem


Eixo cognitivo:III


Habilidade: 3

Comentário: Perceba inicialmente que 23

.150 100= milhões

de toneladas de alimentos são produtos do plantio. Denote por x a porcentagem desta quantidade de alimentos que é desperdiçada no processamento culinário e hábitos alimentares. Pelosdadosdoenunciado,20+8+15+1+x=64ex=20%. Logo, 20% . 100milhões = 20milhões de toneladas dealimentos são desperdiçados durante o processamento culinário e por hábitos alimentares.


34 Coleção 4V

Questão 02 – Letra EEixo cognitivo:III


Habilidade: 16

Comentário: Observe os dados apresentados no texto.

Calculando o valor da renda total (t), temos:

T=101,8.106 . 1202

Média dos 10% mais pobres (M1)

= =M

1,1

100. 101,8 . 10 . 1 202

10

100.101,8 . 10

1,1 . 1 202101

6

6

Média dos 10% mais ricos (M2)

M

44,5

100.101,8.10 . 1 202

10

100.101,8 . 10

44,5 . 1 202102

6

6

= =

Calculando a diferença das médias M2 e M1.

M=M2 – M1=4,45.1202–0,11.1202

M=4,34.1202=5216,68



Habilidade: 3

Comentário: Seja I a intensidade da luz proveniente da

fonte. Considerando os valores mínimos de transparência,

aintensidadequeatravessaapelículaé0,5I.Aintensidadeque

atravessaovidroé,então,0,7.0,5I=0,35I.Considerandoos

valoresmáximosdetransparência,0,7Iatravessaapelículae

0,9.0,7I=0,63Iatravessaovidro.Logo,P está entre 35%

e 63%.



Habilidade: 16

Comentário:Aáreaoriginalédadapor30cm.15cm=450cm2.

Osladosdabasepassaramamedir0,8.30cm=24cme

0,8.15cm=12cm.Logo,anovaáreaserá:

24cm.12cm=288cm2

Arazãoentreasáreasserá =288 cm450 cm

0,642

2, ou seja, a área

sofre uma redução de 36%.

Questão 05 – Letra BEixo cognitivo: III


Habilidade: 3

Comentário: O lucro obtido foi:

R$34000,00–R$26000,00=R$8000,00

O imposto devido será:

0,15.R$8000,00=R$1200,00

Questão 06 – Letra DEixo cognitivo:III


Habilidade: 16

Comentário: � ��

300 210 189. 0,7Redução de 30%

Pr imeira etapa

. 0,9Redução de 10%

Segunda etapa

→ →

Após o tratamento, o paciente passa a ter uma taxa de glicose

que o situa na categoria de diabetes melito.



Habilidade: 3

Comentário: Sendo q a quantia aplicada, em reais, por essa pessoa, temos:

1° mês: a pessoa perdeu 30% do total investido, ou seja, perdeu0,3q,ficando,então,com0,7q;

2° mês: a pessoa recuperou 20% do que havia perdido, ou seja, 0,2(0,3q)=0,06q.

Assim,depoisdessesdoismeses,essapessoatemoequivalentea0,7q+0,06q=0,76q.

ComoomontanteédeR$3800,00,temos:

0,76q=3800⇒q=R$5000,00

Questão 08 – Letra BEixo cognitivo:IV


Habilidade: 4

Comentário: Sejam H o número de homens e M o número de mulheres.

Dado que 35% das mulheres e 12% dos homens não sentem vontade de fazer sexo, temos que o total de brasileiros com essa característica é de 35%M + 12%H. Portanto, a porcentagem de brasileiros sem vontade de fazer sexo é de:

35 12% %M HM H

++

No entanto, de acordo com o enunciado, podemos considerar queH=M.Então,temosqueaporcentageméde:

35 122

% %H HH+ =23,5%≅ 24%


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Mód Ulo – B 03Juros simples e compostosExercícios de Aprendizagem


Comentário: Seja x o valor da dívida inicial. Logo:

�� x.0,8Amortização

de 20%

( ) . 0,4=2 032 0,32x=2 032 x=R$ 6 350,00⇒ ⇒

Questão 02 – Letra BComentário: Seja x o valor da dívida inicial e y o saldo devedor no primeiro mês após o pagamento da primeira parcela. De acordo com o enunciado, temos:

R$

⇒

⇒

⇒

1,02x –119,34= y

1,02y –260,10=0

1,02x = y +119,34

1,02y=260,10

1,02x =255+119,34

y=255x= 367,00


M=C(1+i)t ⇒ 518400=250000(1+i)2 ⇒ (1+i)2=2,0736⇒

1+i=1,44⇒ i=0,44=44%

Questão 04 – Letra EComentário: M=C(1+i)t ⇒ M=1000(1+0,01)24 ⇒M=1000.(1,01)24

Questão 05 – Letra CComentário:Osjurosincidemsobre860–460=400reais,que sobrariam após o pagamento do primeiromês. Assim,

a taxa é 460 – 400400

=15%.

Questão 06 – Letra BComentário: O rendimento efetivo será dado por:

�

�⇒ R

I

1,261,20

=1,05 endimento de 5%

Rendimentode 26%

nflaçãode 20%


Questão 01 – Letra EComentário: Como incidem juros de 2% no saldo devedor, temos:Apósoprimeiromês:4000.(1,02)–1500=2580Apósosegundomês:2580.(1,02)–1500=1131,6Apósoterceiromês(últimopagamento):

1131,6.(1,02)=1154,232

Logo, o total a ser pago, será:

1500+1500+1154,232≅R$4154,24

Questão 02 – Letra CComentário: Seja P o preço de cada produto caso não houvesse desconto. Havendo um desconto i, temos:5P(1–i)=4P⇒1–i=0,8⇒i=0,2=20%Portanto, temos um desconto de 20% sobre cada unidade.

Questão 03 – Letra DComentário: Considerando x o capital do sr. Paulo, temos que, após 3 meses com juros simples de 4% ao mês, os juros J1 serão iguais a 0,12x, e, reaplicando o montante obtido à taxa de juros simples de 3% ao mês durante 9 meses, os juros J2 serão iguais a0,3024x.Assim,paraobteromesmorendimento,eledeveriater investido esse capital a uma taxa t durante um ano, tal que:

12tx=0,12x+0,3024x⇒12tx=0,4224⇒ t=0,0352=3,52%

Questão 04 – Letra CComentário:

C C.i.4 672

C C.i.10 780

C(1 4i) 672

C(1 10i) 780

+ =

+ =

⇔+ =

+ =

Dividindo a primeira equação pela segunda, temos:C i

C i

( )

( )

1 4

1 10

672

780

+

+= ⇒

1 4

1 10

56

65

+

+=

i

i ⇒56+560i=65+260i⇒

300i=9 ⇒ i=0,03=3%

Questão 05 – Letra CComentário: Temos que o valor da dívida de Renato após ummêserade1400.1,15=1610reais.Comoelepagouapenas 750 reais, ainda restaram 860 reais a serem pagos, e, nasmesmas condições firmadas, depois de outromês, opagamentodeveráserde860.1,15=989reais.

Questão 06 – Letra AComentário: Sejam J1 e M1, respectivamente, os juros e o montante atingido por João. Temos:

J1=520.0,03.6=93,60reais

M1=520+93,60=613,60reais

Sejam J2 e M2, respectivamente, os juros e o montante atingido pelo irmão de João. Temos:

J2=450.i.6=2700i

M2=450+2700i

Mas, M2=M1=613,60.Logo:

450+2700i=613,60⇒ 2700i=163,60⇒

i ≅ 0,06 ≅ 6% ao mês


Comentário: Seja x o preço pago após 45 dias. Temos:

À vista: 0,92x

Após45dias:x

x

x0 921 087

,,≅ ⇒ taxa de juros ≅ 8,7%

Portanto, a taxa de juros de 45 dias é de, aproximadamente, 8,7%.

Como se trata de um regime de juros simples, temos:

45 dias ________ 8,7%i

30 . 8,7%

45

⇒ = ⇒ i=5,8%aomês30 dias ________ i


36 Coleção 4V

Questão 08 – Letra CComentário: Considerando P o preço da máquina, temos que a taxa de juros mensal é tal que:

0,8P.(1+3i)=P⇒0,8+2,4i=1⇒2,4i=0,2⇒ =i 0,22,4

.

Portanto, a taxa anual é de = =12.0,22,4

1 100%


Comentário: Saldo devedor após 2 meses:

8 000 . 1,052=8820reais

Amortização:5000reais

Saldodevedor:8820–5000=3820reais

Saldodevedorapós1mês:3820.1,05=4011reais

Comoodébitofoiquitado,oúltimopagamentofoideR$4011,00.

Questão 10 – Letra BComentário: Considere D o saldo devedor de Lúcio. Como é cobrado 10% de juros ao ano, temos que a dívida de Lúcio após o primeiro ano era de: D=R$10000,00.1,1=R$11000,00.Como ele pagou R$ 3 000,00 na primeira parcela, o saldodevedorpassouaserdeR$8000,00,que,apósumano,erade:D=R$8000,00.1,1=R$8800,00.ComoelepagouR$4000,00nasegundaparcela,osaldodevedorpassouaserdeR$4800,00,que,apósoterceiroano,foideR$4800,00.1,1=R$5280,00Tem-se, assim, o valor pago na terceira e última parcela.

Questão 11 – Letra EComentário: Valor aplicado a juros compostos:

2

3.2400=1600reais

Montante:1600(1+0,03)2=1600.1,032=1697,44

Juros:1697,44–1600=97,44reais

Valor aplicado a juros simples:

1

3.2400=800reais

Juros:800.0,03.2=48reais

Jurostotalarrecadado:97,44+48=R$145,44.


Comentário: Seja P o preço do produto. No pagamento à vista,

temos10%dedesconto.Assim,opreçorealdoprodutoé0,9P.

O pagamento a prazo será feito em duas prestações mensais

iguais,semdesconto.Assim:

1º mês 2º mês

0,5P 0,5P

No 1º mês, foi feito um pagamento de 0,5P.

Como o verdadeiro preço do produto é 0,9P, então resta para o2ºmês0,9P–0,5P=0,4P.Logo, sendo i a taxa de juros embutida, temos:

(0,4P)(1+i)=0,5P⇒1+i=1,25⇒i=0,25=25%

Portanto, no pagamento a prazo, paga-se uma taxa mensal de juros de 25%.

Questão 13 – Letra CComentário:TemosqueovalorqueexcedeosR$50000é R$ 20 000,00. Assim, omontanteM1 sobre esse valor do investimento foi de:M1=20000.(1+0,01)2=R$20402,00.Logo,osjurosforamdeR$402,00,quetiveramumdescontoddoIRde:d=402.0,225=R$90,45.O montante M2 bruto da aplicação foi de:M2=70000.(1+0,01)2=R$71407,00.Portanto,orendimentolíquidodaaplicaçãoaofinaldosdoismeses foi de:1407–90,45=R$1316,55

Questão 14 – Letra DComentário: Saldo devedor após 2 meses: 12 000 . 1,052=13230

Amortização:7230

Saldodevedor:13230–7230=6000

Saldo devedor atualizado após 2 meses: 6 000 . 1,052=6615

Como a dívida foi quitada, o segundo pagamento foi igual a R$6615,00.

Questão 15 – Letra DComentário: Considere V o valor do automóvel. Se ele sofre uma desvalorização de 4% ao ano, temos que seu valor daqui a dez anos será de:

V=45000.(1–0,04)10=45.103 .(0,96)10

Questão 16 – Letra BComentário: Considerando V1 V2 V3, os valores que foram amortizados nos três períodos informados e sabendo que a taxa

mensal é de =0,1812

0,015, temos que o valor do empréstimo é tal que:

=+

++

++

⇒

=+

++

++

⇒

= + + ⇒

= + + ⇒

= =

10 600V

1 i . 4

V

1 i . 8

V

1 i .10

10 600 5 3001 0,015 . 4

2 8001 0,015 . 8

V

1 0,015 .10

10 600 5 3001,06

2 8001,12

V

1,15

10 600 5 000 2 500V

1,15

V 1,15 . 3100 3 565

1 2 3

3

3

3

3

Assim,asomadosvalorespagosfoide:5300+2800+3565=R$11665,00.Portanto, o valor total de juros que essa pessoa pagará será de: R$11665,00–R$10600,00=R$1065,00


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Questão 17 – Letra CComentário: Desejamos retirar os juros referentes à última

parcela. Observe que cada parcela teve seu valor original

aumentado em 5%. Seja P a parcela sem juros.

Temos:

= ⇒ = =1,05.P 462 P 4621,05

440 reais

Questão 18 – Letra AComentário: Para encontrar o preço à vista do produto,

encontraremos a parcela do preço à vista do produto embutido

em cada parcela e em seguida as somaremos. Na entrada,

não incide juros, logo 500 reais do preço do produto estão

embutidos na entrada. Chamando de C2 e C3 o valor à vista

embutido na segunda e terceira parcelas, teremos:576 C .1,2

C 480

576 C .(1,2) C .1,44

C 400

2

2

32

3

3

= ⇒

=

= = ⇒

=

Logo, o preço à vista do produto é de 500 + 480 + 400 = 1 380 reais.

Seção Enem

Questão 01 – Letra DEixo cognitivo: III


Habilidade: 16

Comentário: Observe que o saldo devedor é diminuído em 500 reais a cada mês. A tabela a seguir mostra a prestação e o valor do saldo.

Saldo Prestação

180 000 (a1) 500

179 500 (a2)500 + 1% de 179 500500 + 1 795

179 000 (a3)500 + 1% de 179 000500 + 1 790

178 500 (a4)500 + 1% de 178 500500 + 1 785

Observe que os termos a1, a2, a3, ... formam uma P.A. e o termo

esperado é o a10, sendo seu valor dado por:

a10 = a1 + (10 – 1)(–500)

a10 = 180 000 + 9 (–500)

a10 = 175 500

A prestação obtida pode ser encontrada por:

500 + 1% de 175 500

500 + 1 755 = 2 255


Eixo cognitivo: IV


Habilidade: 4

Comentário: Aplicando R$ 500,00 na poupança, com

rendimento mensal de 0,560%, o montante, em reais, será de:

500,00.(1,00560) = R$ 502,80.

Aplicando R$ 500,00 no CBD, com rendimento mensal de

0,876%, o juros ou o ganho, em reais, será de:

500,00.(0,00876) = R$ 4,38

Como o imposto de renda no CBD é de 4% sobre o ganho,

temos que o montante, em reais, será de:

500,00 + 4,38.(0,96) = R$ 504,21

Portanto, a aplicação mais vantajosa é a do CBD, pois

o montante é maior.


Eixo cognitivo: IV


Habilidade: 4

Comentário: O investimento A tem uma rentabilidade

anual de:

(1,03)12 –1 = 1,426 – 1 = 0,426 = 42,6%

O investimento B tem uma rentabilidade anual de:

(1,36)1 – 1 = 1,36 – 1 = 0,36 = 36%

O investimento C tem uma rentabilidade anual de:

(1,18)2 – 1 = 1,3924 – 1 = 0,3924 = 39,24%

Portanto, o investimento em A é o que tem a maior rentabilidade

anual (42,6%).

Questão 04 – Letra CEixo cognitivo: IV


Habilidade: 4

Comentário:

M = C(1 + i)t ⇒ M = 20 000(1 + 0,02)t ⇒ M = 20 000(1,02)t

Fazendo t = 3, temos:

M = 20 000(1,02)3 ≅ 21 225 reais

Assim, João deverá esperar 3 meses para adquirir o carro e

ainda sobrarão R$ 225,00.


38 Coleção 4V

MÓDULO – B 04Sistemas métricos



Comentário: A medida em milímetros de 100157

de polegada é

dada por ≅100157

.25 16.


Comentário: Sendo C e r os comprimentos do sofá e da régua,

respectivamente, temos:

12r 15 = C

11r + 5 = C

–

Igualando as equações anteriores, temos:

12r – 15 = 11r + 5 ⇒ r = 20 e

C = 12 . 20 – 15 ⇒ C = 225

Portanto, o comprimento do sofá é de 225 cm.


Comentário: Como 1 km2 = 106 m2, a área da cidade é de

1,8 . 10 8m2 e sua população é de:

2 . 10–3 . 1,8 . 108 = 3,6 . 105 = 360 mil habitantes


Comentário: De acordo com o enunciado, 1 litro de refrigerante

possui 5 . 21 = 105 g de açúcar.

Dessa forma, 13 mil toneladas de açúcar seriam o suficiente

para produzir:

1105 . 10

X13

X 13105 . 10

124 . 10 L6 6

6= ⇒ = ≅− −

Questão 05 – Letra EComentário: Como a maquete de uma casa é feita na escala 1 : 500, então as dimensões reais da sala são 4 000 mm × 5 000 mm × 4 000 mm. Sendo assim, a capacidade da sala é:V = 4 000 . 5 000 . 4 000 = 8 . 1010 mm3 = 8 . 104 dm3 = 80 000 L

Questão 06 – Letra AComentário: Se a área é quadrada e possui uma área de 1,6 km2, seu lado é de L 1,6 km= . Dessa forma, fazendo uma regra de três, encontramos o lado do quadrado no mapa:

=

= = ⇒

⇒ = =

10 km4 cm

1,6x

x 4 1,610

410

1610

410

. 4

10

16 1010 . 10

0,16 10


Questão 01 – Letra DComentário: A área total da fachada do prédio é 12 m × 20 m = 240 m2. A área de cada cerâmica é 10 cm × 10 cm = 0,1 m × 0,1 m = 0,01 m2. Assim, serão

necessários 240 m0,01 m

2,4 . 10 24 0002

24= = ladrilhos para o

revestimento da fachada. Como cada caixa contém 50 ladrilhos,

o número x de caixas necessárias pode ser calculado por

x caixas= =24 00050

480 .

Questão 02 – Letra DComentário: O número de fileiras de quadrados que o tecido pode ser partido é de:

1,2 m0,24 m

5 fileiras=

E cada uma dessas fileiras teria:

s7805

156 quadrado=

Ou seja, um comprimento de:

0,24 . 156 = 37,44 m

Questão 03 – Letra EComentário: Primeiramente, devemos converter milímetros cúbicos em decímetros cúbicos (litros):

1 mm = 10–2 dm ⇒ 1 mm3 = (10–2 dm)3 = 10–6 dm3

Agora, uma regra de três simples nos dá o número total x de glóbulos vermelhos no corpo do indivíduo:

5 . 106 10–6 dm3 ⇒ x = 2,75 . 1013

x 5,5 dm3

Questão 04 – Letra CComentário: Se cada habitante utiliza 0,028 m3 de água por dia, em 16 dias serão utilizados 16 . 0,028 m3 = 0,448 m3.

Como há na cidade 3 500 habitantes, o gasto total de água será 3 500 . 0,448 m3 = 1 568 m3 = 1 568 000 dm3 = 1 568 000 L.

Questão 05 – Letra CComentário: O volume necessário para vacinar todas as crianças é 114 000 . 18 cm3 = 2 052 000 cm3 = 2 052 L.

Como a prefeitura recebeu apenas 1 728 litros, ainda faltam 2 052 – 1 728 = 324 L.

Se 1 728 L estão distribuídos em 80 caixas, em cada uma das caixas, há 1 728 : 324 = 21,6 L da vacina. Portanto, o número de caixas que acomoda os 324 L da vacina é de 324 : 21,6 = 15.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Questão 06 – Letra BComentário: A precipitação pluviométrica diz respeito à altura do paralelepípedo, cujo volume representará a quantidade total de água precipitada. Lembrando que 1 litro equivale a 1 dm³, devemos achar o volume, em litros, do paralelepípedo de área da base 10 km2 e altura 5 cm, a fim de resolver o problema. Assim, devemos transformar as unidades:

1 km = 104 dm ⇒ 1 km2 = (104 dm)2 = 108 dm2

Agora, lembrando que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da base pela altura, temos:

V = 10 km2 × 5 cm = 10 × 108 dm2 × 0,5 dm = 5 . 108 dm3

Questão 07 – Letra BComentário: Como 10 m3 equivalem a 10 000 L, a residência está pagando por 10 000 – 600 L = 9 400 L por mês que não estão sendo consumidos. Ao longo de 12 meses serão pagos, sem consumir,12 . 9 400 L = 112 800 L.

Seção Enem



Habilidade: 12Comentário: A quantidade de água ingerida por esse paciente antes do exame deverá ser igual a:150 . 2 . 10 = 3 000 mL = 3 LPortanto, ele deverá comprar 2 garrafas de capacidade 1,5 litro, ou seja, deverá escolher a garrafa IV.

Questão 02 – Letra EEixo cognitivo: I


Habilidade: 10

Comentário: 8 hectares = 8 hm2 = 8.(102 m)2 = 8 . 104 m2 = 80 000 m2



Habilidade: 3

Comentário: Em uma hora, há 60.60 = 3 600 segundos; logo, em

6 horas há 21 600 segundos. Assim, caíram 21 600

37 200 gotas= ,

sendo desperdiçado um volume de 7 200 . 0,2 = 1 440 mL = 1,44 L

Questão 04 – Letra BEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário:

a = 2 300 mm = 230 cm = 23 dm = 2,3 m.

b = 160 cm = 16 dm = 1,6 m.



Habilidade: 3

Comentário: 6 000 m ≅ 6 000 . 3,3 pés ≅ 19 800 pés.

Logo, a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu é:

31 000 – 19 800 = 11 200 pés.

MÓDULO – C 01

Estatística


Questão 01 – Letra CComentário: Organizando as notas em ordem crescente, temos: 2, 3, 4, 5, 7, 7 e 8. Assim, a mediana é 5 e a moda é 7.

Questão 02 – Letra CComentário: A frequência relativa de aparecimento de um resultado ímpar será a razão entre a frequência absoluta e o total de observações.

Assim, a frequência relativa fr de um resultado ímpar é:

fr = 7 8 950

+ + ⇒ fr = 1225

Questão 03 – Letra EComentário: Os meses em que o número de ligações l foi 1 200 ≤ l ≤ 1 300, baseado no gráfico, foram fevereiro, março, abril, junho, julho, setembro, outubro e novembro.

Portanto, em 8 meses, temos 1 200 ≤ l ≤ 1 300.

Questão 04 – Letra DComentário: De acordo com a tabela de frequência dada, temos que Ma é:

Ma = + + ++ + +

13 .3 14 . 2 15 . 4 16 .13 2 4 1

⇒ Ma = 14,3

A idade que aparece com maior frequência é 15 anos. Logo, Mo = 15. Colocando as idades em ordem crescente, temos que a 5ª e a 6ª idades ocupam a posição central, ou seja, a mediana das idades:

Me = 14 152+ ⇒ Me = 14,5

Questão 05 – Letra DComentário: Como existem 450 famílias na comunidade, 0,32 . 450 = 144 são sustentadas apenas por mulher e 0,28 . 450 = 126 são sustentadas apenas por homem. Assim, o primeiro número supera em 18 o segundo número.


40 Coleção 4V

Questão 06 – Letra EComentário: Considerando o ponto médio de cada intervalo salarial e ponderando-se pelos respectivos pesos, temos que o salário médio dos empregados, em reais, é:

A= + + ++ + +

1 500 .20 2 500 .18 3 500 . 9 4 500 .320 18 9 3

⇒

A=30 000 45 000 31 500 13 50050

+ + + ⇒A=R$2400,00


Questão 01 – Letra DComentário: Os setores c e d equivalem a 50% das respostas.

Como a equivale a 35% das respostas, então b equivale a

15% das respostas.

Sendo R o número de respostas, temos:

15%.R=270⇒R=1800

Como os setores c e d têm 50% das respostas, então eles têm

900 respostas, ou seja, cada um tem 450 respostas.

Questão 02 – Letra DComentário: Basta analisar no gráfico a quantidade de árvores que possui o diâmetro do tronco maior que 8 cm: 8+4+6=18árvores


A) Média= + + + + += ≅

5 5 7 8 9 106

446

7,3

Mediana= += =

7 82

152

7,5

B) Média= + + + + += ≅

4 5 6 7 8 86

386

6,3

Mediana=+

= =6 7

2132

6,5

C) Média= + + + + += =

4 5 6 7 8 96

396

6,5

Mediana= += =

6 72

132

6,5

D) Média= + + + + += ≅

5 5 5 7 7 96

396

6,3

Mediana= += =

5 72

122

6

E) Média= + + + + += ≅

5 5 10 10 10 106

506

8,3

Mediana= += =

10 102

202

10

Portanto, apenas na alternativa D a média é maior que a mediana.


Comentário: Considerando o ponto médio de cada intervalo

salarial e ponderando-se pelos respectivos pesos, temos que

o salário médio dos empregados, em reais, é:

A= + + + ++ + + +

250 .14 750 . 4 1 250 .2 1 750 .2 2 250 .214 4 2 2 2

⇒

A≅R$708,00


Comentário:Amédiaaritméticadasmassasdos6objetosé:

A=+ +2 .3 3 . 4 1. 6

6 ⇒A=4

Já o desvio padrão é:

s= 2 3 4 3 4 4 1 6 46

2 2 2( ) ( ) ( )− + − + − ⇒ s=1

Acrescentandon objetos de massa 4 kg, temos que o desvio

padrão se reduz à metade do que era, ou seja:

12

2 3 4 3 4 4 1 6 46

12

66

182 2 2

= − + + − + −+

⇒ =+

⇒ =( ) ( )( ) ( )nn n

n

Portanto, foram acrescentados 18 objetos ao grupo.


Comentário:Analisandoográfico,temos1questãoclassificada

como muito fácil, 4 questões fáceis, 14 questões medianas,

10 questões difíceis e 1 questão muito difícil, totalizando

30 questões.

Paraaconstruçãodeumgráficodesetores,devemosconsiderar

que o ângulo de 360° representa 30 questões e o ângulo maior

dessegráficoseriaocorrespondenteaosetorquerepresenta

o número de questões medianas.

Seja x o ângulo procurado. Utilizando regra de três, temos que:

= ⇒ = ⇒ = =360°30

x14

30x 360 .14 x360 .14

30168°.

Questão 07

Comentário:

A) Deacordocomoenunciado,temosqueamédiasalarial

dos funcionários é:

A=10 500 5 1000 1 1500 10 2000 4 5000 1 1050010 5

. . . . . .+ + + + ++ ++ + + +1 10 4 1

⇒

A=R$2000,00

Ordenando o conjunto de funcionários da empresa em

ordem crescente de salário, temos que o 16º funcionário

ocupaaposição central e o seu salário éR$1500,00,

ouseja,amedianadossalárioséR$1500,00.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


B) ConsidereafórmuladavariânciaV=d d d

nn1

222 2+ + +...

e a

médiasalarialigualaR$2000,00.Contratando2novos

funcionárioscomosaláriodeR$2000,00,ouseja,desvio

da média igual a zero, a nova variância será:

V’=d d d

nVn

nn1

222 2 0 0

2 2

+ + + + +

+=

+

...

Logo, a variância diminuiu, pois V’ é menor que V.

Questão 08 – Letra DComentário:Analisandoatabela,concluímosquetemosumtotal de 30 funcionários. Logo, a mediana, nesse caso, seria dada pela média aritmética dos 15º e 16º funcionários.

ComoqueremosumamedianaigualaR$2800,00,temosqueter a média aritmética entre um funcionário com o salário de R$2000,00eooutrodeR$3600,00.Paraissoacontecer,a mediana deverá ser dada pelo 10º e 11º funcionários, ou seja, deve existir um total de 20 funcionários.

Como são 30 funcionários, devemos retirar 10 funcionários.

Questão 09 – Letra DComentário: Sejam x, y e z os três números restantes da lista denovenúmerosemquex<y<z.Paraqueamedianasejaamaior possível, x, y e z devem ser os maiores números da lista.

Ordenando o conjunto dos nove números em ordem crescente, asequênciaseria3,5,5,7,8,9,x,y,z.

Portanto, nesse caso, 8 é o maior valor possível para a mediana.

Questão 10 – Letra DComentário: Como a mediana das notas é 2,5, colocando as notas em ordem crescente, temos que as duas notas centrais são 2 e 3.

Portanto, a 20ª nota é 2, e a 21ª nota é 3. Então, a frequência da nota 2 será 10.

Núm

ero

de a

luno

s

109876543210

0

4 36

10

1 2 3Notas

4 5

Sejam x a frequência da nota 4 e 17 – x a frequência da nota 5.

Como a média aritmética das notas é 2,6, temos que:

2,6=+ + + + + −4 . 0 6 .1 10 . 2 3 . 3 x.4 (17 x).5

40 ⇒x=16

Logo,16alunosobtiveramnota4,e17–16=1alunoobtevenota 5. Portanto, a moda dessas notas é 4 pontos.

Questão 11 – Letra EComentário: Sejam x1, x2, x3 e x4 as alturas dos quatros amigos, sendo x1 o mais baixo e x4 o mais alto.AmedianaN das alturas será dada por:

=+

= ⇒

+ = =

Nx x

21,70

x x 1,70 . 2 3,40

2 3

2 3

Calculando a média aritmética M dessas alturas, temos que:

=+ + +

= ⇒

+ + + = =

Mx x x x

41,72

x x x x 1,72 . 4 6,88

1 2 3 4

1 2 3 4

Das duas equações, chegamos que:

+ + + = ⇒

+ + = ⇒

+ = − =

x x x x 6,88

x 3,40 x 6,88

x x 6,88 3,40 3,48

1 2 3 4

1 4

1 4

Portanto, a média entre as alturas do mais baixo e do mais alto será:

=+

⇒ = =M'x x

2M'

3,482

1,741 4

Questão 12 – Letra AComentário:Antesdacorreção,asmodasdasnotaseram5,6e7(deacordocomográfico).Como a moda passou a ser apenas 7, a nota foi corrigida para 7 pontos, gerando 5 alunos com essa nota.Além disso, a média das notas da turma aumentou em0,2ponto.Issosignificaquecadaumdos20alunosganhou,emmédia, 0,2 ponto, gerando um aumento de 4 pontos (20 . 0,2) na soma das notas.Como esse aumento foi de 4 pontos para um único aluno,

este tinha nota 3.

Seção Enem



Habilidade: 25

Comentário: Perceba que, nos meses de janeiro, fevereiro,

abril, maio, junho e agosto, as despesas da empresa foram

maiores ou iguais ao total de vendas, de sorte que não se obteve

lucro. Calculando o lucro para os outros meses:

Março:3–2=1

Julho:6–4=2

Setembro:7–3=4

Outubro:5–4=1

Novembro:8–7=1

Dezembro:5–2=3

Logo, os maiores lucros foram atingidos em julho, setembro e dezembro.


42 Coleção 4V



Habilidade: 25

Comentário: O valor destinado à produção de tecidos e malhas

deacordocomográfico,éde30%dosusosfinaistêxteis,que,

por sua vez, representam 37,8% do total reciclado.

=30100

.37,8100

.282 31,98

Como o valor está em kton, tem-se aproximadamente 32 kton.

Questão 03 – Letra DEixo cognitivo: II


Habilidade: 27

Comentário: Colocando os elementos em ordem crescente, temos:

– – – – – – –20,50 20,60 20,60 20,80 20,90 20,90 20,90 20,96

Amedianaé+

=20,80 20,90

220,85



Habilidade: 28

Comentário: Colocando as notas dos candidatos em ordem

crescente, temos:

→

→

→

→

→

K : 33 33 33 34 33

L : 32 33 34 39 33,5

M: 34 35 35 36 35

N: 24 35 37 40 36

P : 16 26 36 41 31

Como temos 4 termos, a mediana é a média dos dois centrais.

AmaiormedianaéadocandidatoN.


Eixo cognitivo: III


Habilidade: 28

Comentário: Existem 200 hotéis, sendo:

• 25%dehotéiscompreçoA

=25100

.200 50 hotéiscompreçoR$200,00.

• 25%dehotéiscompreçoB

=25100


• 40%dehotéiscompreçoC

=40

100.200 80 hotéiscompreçoR$400,00.

• 10%dehotéiscompreçoD

=10100


Consideremos a série numérica formada pelos preços em

ordem crescente (rol) com base no número de hotéis calculado

anteriormente.

Amedianaseráamédiadosdoistermoscentraisdorol,sendo

o valor 300 (termo de posição 100) e o valor 400 (termo de

posição 101).

=+

=Mediana300 400

2350 reais


Eixo cognitivo: III


Habilidade: 28

Comentário: Posicionando em ordem crescente dos dados,

temos:

5º1º

181 419 181 796 204 804 209 425 212 952

246 875 255 415 290 415 298 041 305 088

2º 3º 4º

6º 7º 8º 9º 10º

Como temos 10 elementos ordenados, os valores para calcular

a mediana são o quinto e o sexto elementos.

= =

= +� ��

Mediana 212 952 + 246 8752

229 913,5 229 913 0,5Parte inteira

Parte inteira: 229 913.


Eixo cognitivo:IV


Habilidade: 29

Comentário: Perceba que as médias dos classificados

Marco e Paulo são iguais. Logo, se o critério de desempate

é em favor do que obtiver pontuação mais regular,

temos de observar quem obteve menor desvio padrão.

O classificadoMarco obtevemenor desvio padrão, ou seja,

é o que tirou notas de Matemática, Português e Conhecimentos

gerais mais regulares.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor




Habilidade: 28

Comentário: AmédiaX do número de gols por partida pode ser calculada por:

=+ + + + + +

+ + + + + +⇒

= ⇒ =

X0 .5 1 . 3 2 . 4 3 . 3 4 . 2 5 . 2 7 .1

5 3 4 3 2 2 1

X4520

X 2,25

Para determinar o valor da mediana Y, vamos ordenar os elementos:{0,0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5,5,7}

O número de elementos desse conjunto é par; logo, para a mediana, temos:

Y Y= + ⇒ =2 22

2

Para determinar o valor da moda Z, basta perceber na tabela queonúmero0apresentamaiorfrequência.LogoZ=0.

Finalmente,temosZ<Y<X.



Habilidade: 28

Comentário:Amédiaaritméticadosnúmerosé:

+ + + +=

1 . 4 2 .1 4 . 2 5 . 2 6 . 110

3

Para determinar a mediana, vamos ordenar todos os números obtidos:

{1,1,1,1,2,4,4,5,5,6}

Como o número de elementos é par, a mediana será dada por

2 42

3+ = .

Peladefinição,modaéaqueleelementoqueaparececommaiorfrequência. Logo, pela tabela, a moda é 1, pois aparece quatro vezes.

Mód Ulo – C 02MédiasExercícios de Aprendizagem

Questão 01 – Letra BComentário: Pela definição dada no enunciado:

2 . 5 3 . 75

6,2µ =+

=

Questão 02 – Letra BComentário: Sendo x o número médio de passageiros transportados por ônibus nesse município temos que:

= + + + ++ + + +

= ≅ ⇒ <x 1 410 1 400 1 536 1 352 1 66647 50 48 52 49

7 364246

29,93 x 30

Questão 03 – Letra AComentário: Como a média salarial inicial é de 3 500 reais, a soma dos salários será de 3 500 . 22= 77 000. Comacontratação dos três novos funcionários, a soma dos salários passaráaser77000+900+1200+1800=80900reais. Assim, a nova média salar ia l será, em reais, de

80 90025

3 236,00.µ = =

Questão 04 – Letra EComentário:Amédiaprocuradaétalque:

2 .1 3 . 4 4 . 4 5 . 6 6 . 5 7 . 8 8 . 8 9 . 41 4 4 6 5 8 8 4

2 12 16 30 30 56 64 3640

24640

6,15

µ =+ + + + + + +

+ + + + + + +=

µ =+ + + + + + +

= =

Questão 05 – Letra DComentário: O peso das três provas são, respectivamente, de 1, 4 e 9. Como se deseja que o aluno seja aprovado independentemente das notas tiradas nas outras provas, ou seja, tirando zero tanto na P1 como na P2, tem-se que o conjunto de notas x da P3 que satisfaz essa condição é dado por:

0 .1 0 . 4 x . 91 4 9

9x14

5,4 x 8,4+ +

+ += ≥ ⇒ ≥

Questão 06 – Letra CComentário: Sabendo que o preço médio é a média dos preços praticados por cada barraca, temos:

481

440,8

451

481

400,8

400,8

6

48 55 45 48 50 506

2966

49

µ =+ + + + +

⇒

µ =+ + + + +

= ≅


Questão 01 – Letra BComentário:Asomadossaláriosdaempresa,inicialmente,

seráde3200.100=320000reais.Asomadossaláriosdos

empregadosdispensadosseráde20.4000=80000reais.

Então,asomadossaláriosdos100–20=80funcionáriosque

restaramnaempresaéde320000–80000=240000reais.

Amédiasalarialaofinalserá,portanto,de 240 00080

3 000.µ = =

Questão 02 – Letra BComentário: Sendo x a nota mínima que Vivian precisa tirar

na terceira certificação para ser aprovada, temos:

6,2 . 3 7,4 . 3 x.43 3 4

718,6 22,2 4x

107

+ ++ +

≥ ⇒+ +

≥ ⇒

40,8+4x=70⇒4x=29,2⇒x=7,3


44 Coleção 4V

Questão 03 – Letra DComentário: Como temos o valor da nova média salarial, então, usando a fórmula de média ponderada, conseguimos determinaronovosaláriododiretor.Assim,sendox o salário do diretor após o aumento, temos:

1952,50= + + ++ + +

⇒(1 000 . 1,1).10 (1 500 . 1,1).5 (2 000 . 1,1).4 x.1

10 5 4 1

39050=11000+8250+8800+x⇒x=11000

Portanto,R$11000éonovosaláriododiretor.


Comentário: Como há 20 alunos cujo conjunto de notas deve

ter média superior a 7,50, a soma das notas dos alunos deve

sermaiorouiguala7,5.20=150.Asomadasnotasdos

dezenovealunosquenãoJoanaéiguala7,6.19=144,4.Logo,

anotafinaldeJoanadevesermaiorouiguala150–144,4=5,60.

O conjunto de notas x na segunda chamada que satisfaz tal

condição é dado por:

2 .7 3 . 5 5x10

5,60 14 15 5x 56 x 5,40+ +

≥ ⇒ + + ≥ ⇒ ≥

Questão 05

Comentário: Sejam H e M os números de homens e mulheres

e SH e SM a soma das idades dos homens e das mulheres,

respectivamente.Assim,temos:

40=S S

H M+

120 ⇒ SH+SM=4800(I)

35=S

MM ⇒ SM=35M(II)

50=S

HH ⇒ SH=50H(III)

SubstituindoasequaçõesIIeIIInaequaçãoI,temosque:

35M+50H=4800⇒7M+10H=960

Comotemos120pessoas,entãoM+H=120.

Assim,resolvendoosistema 7 10 960120

M HM H

+ =+ =

, obtemos M=80

eH=40,ouseja,nogrupo,temos80mulherese40 homens.

Questão 06 – Letra AComentário: Comoanotafinalédadapelamédiaaritmética

das notas de todas as provas realizadas, e a nota final do

candidato foi 6,5, temos:

( ) ( )( ) ( )

+ + + −+ + + −

= ⇒

+ + + −= ⇒ + = ⇒

8.x 6. x 1 5. x 1x x 1 x 1

6,5

8x 6x 6 5x 53x

6,5 19x 1 19,5x

0,5x=1⇒x=2.

Portanto, o número de provas que o candidato realizou foi:

2+(2+1)+(2–1)=6.

Questão 07 – Letra CComentário: Como os cinco números são positivos, o menor deles necessariamente é x.Assim,pelacondiçãodeovalordamédia ser aumentado de 7 unidades, retirando-se x:

+ + + + + + + + + + + =

+ − + =

+ − − == ⇒ =

(2x) (x 10) (3x 10) 4x4

– (2x) (x 10) x (3x 10) 4x5

7

10x 204

11x 205

7

2,5x 5 2,2x 4 70,3x 6 x 20

Omaior elemento será 4x= 80 e omenor x = 20, cujadiferença é 60.

Questão 08 – Letra BComentário: Sendo x a menor nota que garanta a aprovação do aluno, tem-se:

++

+

+=

+ =

= ⇒ =

2 x 34 . 2 6 . 3

2 3

2 35

2 x 3.26

525

2 x47

5x 4 ,7

Questão 09 – Letra CComentário: Sendo S a soma das notas dos homens, a soma das notas das garotas será 2S. Sendo M a média da classe, amédiadasgarotasserá(M+1).Peladefiniçãodemédia,

y2,5

0,6.=

=++

=

+ = =

−

= − = ⇒ =

MS 2S8 6

3S14(I)

M 12S8

S4(II)

(II) (I):

1S43S14

S28

S 28

Logo, a média dos homens será 286

4,7≅

Questão 10 – Letra AComentário: Pelas informações do enunciado e sendo z a média procurada, temos:

xa b c

3

ya b c

3

z2ab 2ac 2bc

3

2 2 2

=+ +

=+ +

=+ +

Elevando a primeira equação ao quadrado, temos:

xa b c 2ab 2ac 2bc

9a b c

92(ab ac bc)

9

x

a b c33

2ab 2ac 2bc33

y3

2z3

3x y 2z

z3x y

2

22 2 2 2 2 2

2

2 2 2

2

2

=+ + + + +

=+ +

++ +

=

=

+ +

+

+ +

= + ⇒ = +

=−


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Seção Enem



Habilidade: 25

Comentário: Como o diretor da empresa decidiu comprar, nos dois meses subsequentes, a mesma quantidade de matéria- -prima comprada no mês em que o lucro mais se aproximou da média dos lucros, calcula-se a média.

=+ + + + + +

=

=

X37 33 35 22 30 35 25

7

X2177

X 31

Assim, o mês em que o lucro mais se aproximou da média foi o mês V.

Questão 02 – Letra AEixo cognitivo: III


Habilidade: 3

Comentário: Calculando as médias dos candidatos (I) e (III), temos:

M 20 . 4 23 . 610

21,8

M 21. 4 18 . 610

19,2

I

III

=+

=

=+

=

Para ganhar, a média de (II) deve ser maior que 21,8:4x 6 .25

1021,8

x 17

+> ⇒

>

Assim, a menor nota inteira que (II) deve tirar é 18.



Habilidade: 25

Comentário: Calculando o valor do lucro médio anual para cada empresa.

Empresa Lucro total Tempo Média anual

F 24 3,0 MF = 243

= 8

G 24 2,0 MG = 242

= 12

H 25 2,5 MH = 252,5

= 10

M 15 1,5 MM = 151,5

= 10

P 9 1,5 MP = 91,5

= 6

Pelo exposto, conclui-se que o empresário escolheu a empresa G, pois apresenta a maior média anual.



Habilidade: 25

Comentário: Calculando a média para todos os valores, temos:

=+ + + + + + +

=X 18 16.2 17 13 14.2 19 12 110

14

Determinando a média, excluindo o maior e o menor valores, temos:

=+ + + + +

=X 18 16.2 17 13 14.2 128

151

Observa-se, então, o aumento da média em 1 ponto.

Questão 05 – Letra CEixo cognitivo: II


Habilidade: 25

Comentário: O desmatamento médio por estado em 2004 era:

A2004 = 4 + 136 + 326 + 549 + 766 + 797 + 3 463 + 7 293 + 10 4169

⇒

A2004 ≅ 2 638,9 km2

Considerando que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação a 2004, essa média passou para:

A2009 = A2004.1,105 ⇒ A2009 = 2 638,9.1,105 ⇒ A2009 ≅ 2 916 km2,

ou seja, valor entre 2 800 km2 e 3 200 km2.

Questão 06 – Letra BEixo cognitivo: II


Habilidade: 2

Comentário: No quadrilátero da figura de 20 pastilhas × 10 pastilhas, temos: 40 pastilhas pretas e 160 pastilhas brancas. A razão entre o número de pastilhas pretas e brancas, respectivamente, é 1 : 4. Assim, o custo, em reais, por metro quadrado do revestimento será:

+1 . 10,00 4 . 8,005

= 8,40



Habilidade: 25

Comentário: Como as velocidades dos veículos, em km/h, estão sujeitas a pesos, que são os percentuais de veículos, temos então uma média ponderada das velocidades com seus pesos percentuais. Daí:

P = + + + + + ++ + + + + +

20 . 5 30 . 15 40 . 30 50 . 40 60 . 6 70 . 3 80 . 15 15 30 40 6 3 1

P = 4 400100

= 44

Portanto, a velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de 44 km/h.


46 coleção 4v

MódUlo – C 03

Ângulos e triângulosExercícios de AprendizagemQuestão 01 – Letra E

Comentário: Sabemos que dois ângulos consecutivos possuem um lado em comum.Considerando o desenho a seguir, temos que OB é o lado comum aosângulosb=COBea=AOB.

A DB

E

C

O

a

2

a

2

b

2

b

2

Sejam OD a bissetriz do ângulo a e OE a bissetriz do ângulo b.Assim,oânguloformadopelasbissetrizesODeOEé:

DOE= a b a b2 2 2

+ = +

Porhipótese,a+b=90°.

Portanto, DOE= °902=45°.

Questão 02 – Letra EComentário: Considereafiguraaseguir:

r

t

B

s

45°A

C

D

55°

3

α

Por hipótese, r // s está sendo cortada pela transversal t.Assim,oânguloa=55°,poisa e 55° são alternos internos.Oângulo3éânguloexternodotriânguloABC.Logo,ACD=45°+55°=100°.Portanto,amedidadoângulo3(ACD) é 100°.

Questão 03 – Letra DComentário: Considereafiguraaseguir:

x yaCA

D

E

F

B2a

2b

2b

b

O ângulo x é ângulo externo do triângulo BCD.

Logo,x=2b+2a⇒x=2(a+b).(I)

O ângulo yéânguloexternodotriânguloABE.

Logo,y=a+b.(II)

DeIeII,temosx=2ye,comox+y=180°,obtemos:

2yx

+y=180°⇒y=60°⇒ x=2.60°=120°


Comentário: Considereafiguraaseguir:

3

A

C B

x

5

Pela desigualdade triangular, temos:

|5–3|<x<5+3⇒ 2 < x < 8

Assim, os possíveis valores inteiros para o terceiro lado do

triângulo sãox=3,4,5,6,7,ouseja, temos5possíveis

valores para o terceiro lado do triângulo.


Comentário: Os ângulos A e B são suplementares. Sendo A=xe B=3x,temosque:A+B=180°⇒x+3x=180°⇒x=45°

B – A=3x–x=2x=2.45°=90°

Questão 06 – Letra BComentário: O suplemento de 60° é 120° (180° – 60°), logo,

° = ° = °34

.120 3604

90 .


Questão 01 – Letra AComentário:Observandoafiguraeutilizandoângulosalternosinternos e colaterais internos, temos:

° α + ° = ° ⇒ α = ° ° ⇒ α = °90 – 130 180 220 –180 40

α

α

90° – α

130°


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor



Comentário: Como as medidas x, y e z são proporcionais a

5, 20 e 25, temos:

i) ===

∈+

x 5ky 20kz 25k

k *

Dafigurapropostanoenunciado,concluímosque:

ii) x+y+z=5k+20k+25k=50k=360°

De(i)e(ii):k=7,2

Portanto, x = 5 . 7,2 = 36°, e o suplemento de x vale

180°–36°=144°.


Comentário:Considereafiguraaseguir:

140˚

90 ̊– x

x

A B

C

t s

120˚

Oânguloobtusodemedida120°+90°–x,formadoentre

a reta seabaseABdotriângulo,mede140°,poiséalterno

interno ao ângulo de 140° já assinalado. Equacionando, temos:

120°+90°–x=140°⇒x=70°



xx

xy

x

Note que todos os ângulos agudos têm a mesma medida x, e

qualquer ângulo obtuso tem medida y.

Assim,doenunciado,tiramos:2x=72°⇒x=36°.

Como x e y são suplementares, temos:

y=180°–36°=144°


Comentário: Triplo do complemento de um ângulo x: 32π −

x

Terça parte do suplemento de um ângulo x: 13

( )π − x

Do enunciado: 32

13

716

π π π−

= − ⇒ =x x x( ) rad


Comentário: Inserindo o pontoD no lado AC de forma a

cumpriracondiçãoAD=BD=BC=1cm,podemosverque

ostriângulosABDeBCDsãoisósceles.

Observando o triângulo ABD, por ser isósceles, temos

ABD=BAD=a, e, consequentemente, seu ângulo externo

BDC=BAD+ABD=a +a=2a.

Como o triângulo BCD também é isósceles, temos BCD=BDC=2a.

Assim,porserumânguloexternodeABC,temosb=BAC+BCA=

a +2a=3a.

A B

C

D 2α

2α

α α β = α + 2α = 3α


Comentário:Observeafiguraaseguir,construídaapartirdos

dados do enunciado:

M

PN

θ 80°

80°100°

60°

60°60°

60°20°20°

Considerando que a soma dos ângulos internos de um triângulo

vale 180° e que o ângulo externo P vale 120°, descobrimos

que o ângulo θ pedido vale 40°.


48 coleção 4v

Questão 08

Comentário: Sabendo que o ortocentro é o encontro das

alturasdeumtriângulo,considereasfigurasaseguirparaa

resolução do problema:

Figura 1

Figura 2

A

A

D

D

EE

C

C

B

B

H

H

Afigura1representaumtriânguloacutângulo;eafigura2,

umtriânguloobtusângulo.Analisandoafigura1,temosque

BHC= 50°, logo, DHE 50° (OPV). Assim, pela soma dos

ângulosinternosdoquadriláteroADHE,temosqueoângulo

BAC=360°–90°–90°–50°=130°.Assim,otriânguloda

figura1nãopodeservirdeparâmetroparaanossaresolução.

Analisandoafigura2,temosqueBHC=50°,e,pelasomados

ângulosinternosdoquadriláteroADHE,temosqueoângulo

EAD=360°–90°–90°–50°=130°.Assim, temosque

EAD=BAC=130°(OPV).ComootriânguloABCéisósceles,

oânguloABC=ACB=25°.Portanto,osângulosdotriângulo

ABCsão130°,25°e25°.


Comentário: Considere a imagem a seguir para a resolução

da questão:

α

40°

x s

t

r

β

Traçamosumaretatparalelaares.Assim,temosquea=40°

(alternosinternos)ex=b (alternos internos). Portanto, como

a+b=112°,então40°+x=112°⇒x=72°.

Questão 10 – Letra BComentário: Como o perímetro do triângulo sombreado é 5 e cada um dos seus vértices coincide com o ponto médio do lado do triângulo que está em volta dele, o perímetro seguinte é 10, pois a medida do lado é o dobro do lado do triângulo menor. Segue que o perímetro do próximo triângulo é 20 e,consequentemente, o perímetro do triângulo maior é 40.


Comentário:Observeafiguraaseguir:

A B

C

D

E

80°

Se BCD e ECB são suplementares e ECB = 80°, entãoBCD=100°.

Pelo enunciado, ECB=2(EAB) ⇒80°2=EAB ⇒ EAB=40°.

ECB é ângulo externo ao triângulo ABC e CAB é o mesmo

ângulo de EAB, logo:

C B C A E B E B C A 80°

40 C A 80° C A 40°C B

+ = ⇒ + = ⇒

° + = ⇒ =

A B C A B

B BA

Como BD é bissetriz de CBA,temosC DC A

240°2

20°= = =B B .

ECB é ângulo externo ao triângulo CBD, logo:

ECB=CDB+CBD ⇒80°=CDB+20°⇒ CDB=60°


Comentário: Como o triângulo ABC é isósceles, temos

ABC=ACB.

O ângulo ACB é suplementar de ACF = 140°. Logo:

A B 180° A F 40°140°

= − =C C

BE e CE são bissetrizes de ABC e ACB respectivamente. Logo,ABD≡DBC≡BCE≡ECD=20°.

DEC é ângulo externo do triângulo BCE; logo, sua medida equivale à soma dos ângulos internos BCE e EBC.

DEC=BCE+EBC=20°+20°=40°

C

A

DE

20°20° 20°

20°

40°

140°

FB


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


Questão 13 – Letra DComentário:ABC=ACB,poisotriânguloABCé isósceles. Como BD e CD são bissetrizes, D é o incentro e, então,

ABD=DBC=ACD=DCB=b. Sejam A=a e D=3a. Pelas

somasdosângulosinternosnostriângulosABCeDBC,temos:

α + β =α + β =

4 180°

3 2 180°, cuja solução é b=a=36°.

Questão 14Comentário: Seja x a medida de AR.

SeAB=15,entãoBR=15–x.

Se BQ é bissetriz do ângulo B, então RBQ=CBQ.

O segmento BQ corta os segmentos RS e BC, que são paralelos;

então, RQB=CBQ, pois esses ângulos são alternos internos.

Se RBQ=RQB, então QR=BR=15–x.

Seja y a medida de AS.

ComoAC=18,entãoCS=18–y.

Se CQ é bissetriz do ângulo C, então SCQ=BCQ.

O segmento CQ corta os segmentos RS e BC, que são paralelos;

então, SQC=BCQ, pois esses ângulos são alternos internos.

Se SQC=BCQ,entãoQS=CS=18–y.

C

A

Q

x

15 – x 18 – y

15 – x 18 – y

y

B

SR

Enfim,operímetrodotriânguloARSé:

2p=AR+RS+AS ⇒

2p=x+15–x+18–y+y=33

Portanto,operímetrodotriânguloARSvale33cm.

Questão 15 – Letra BComentário: Como NPR é um triângulo equilátero,

PR=RN=NP e RPN=60°.

Como MNPQ é um quadrado, NP=PQ=QM=MN.

Como RPN=60°eNPQ é reto, RPQ=30°.

Daí, PR=PQ e RPQ=30°,entãoPRQ=PQR=75°.

Q

R75°75°

60°

60° 60°

30°

αM

NP

Como PQM=90°ePQR=75°,entãoa=15°.


Comentário:

Deacordocomoenunciado,quandoofiopassapelopontoM,

atravessaBCficanaposiçãohorizontal,assimBCficaparalelo

aDF.Dessemodo,notriânguloADE,temos:

ADE+45°+85°=180°⇒ADE=50°

JánotriânguloADF,temos:

= ° − ° = °A F 180 452

67,5D

Portanto, a=67,5°–50°=17°30ꞌ.

Seção Enem



Habilidade: 7

Comentário: Observe os elementos descritos no texto com as

possíveis dobras e cortes na ordem estabelecida.

BN

M

D C

visão final

Alinha da1ª dobra

B

D C

D C

deslocamentodo papel

N

M

D

linha decorte

A N

M

D

F

O

OO

G

G

G

deslocamentodo papel

linha dadobra

A B


Eixo cognitivo: III


Habilidade: 8

Comentário: Se pelo menos um dos lados do triângulo deve

ter 6 palitos, então a soma dos outros dois lados deve ser

11 palitos, cujas possibilidades são (1, 10); (2, 9); (3, 8); (4, 7)

e (5, 6). No entanto, pela condição de existência de triângulos,

(1, 6, 10) e (2, 6, 9) não podem ser lados de um triângulo,

pois6nãoestáentre(10–1)e(10+1)nementre(9–2)e

(9+2).Logo,arespostaé3triângulos.


50 coleção 4v


Eixo cognitivo:I


Habilidade: 6

Comentário: Como informado no enunciado, AII partiu de

Brasília, formando um ângulo de 135°, no sentido horário, com

arotaBrasília-Belém,queéaproximadamentevertical.Apenas

com a noção de que o ângulo de 135° é maior que o de 90° e

menorqueode180°,vemosqueAIIpodeteridoparaBelo

Horizonte ou para o Rio de Janeiro.

N

3

45

67

8

9

1011

1314

135°DF

Como nenhuma das alternativas da questão cita o Rio de

JaneirocomoopçãodedestinoparaAII,concluímosqueAII

foiparaBeloHorizonte.PartindodeBeloHorizonte,AIIIseguiu

uma direção que forma, com a direção Brasília-Belo Horizonte,

90° no sentido anti-horário ou, ainda, 135° – 90°= 45°,

no sentido horário, com a rota Brasília-Belém.

10

N

3

45

67

8

9

1011

12

1314

135°DF

1313

Assim,apenastendoanoçãodequeoângulode45°émaiorqueode0°emenorqueode90°,vemosqueAIIIsedirigiuaalgumadascapitaisdeestadosnordestinos.Aúnicaalternativaem que isso está evidente é na alternativa B.

Questão 04 – Letra CEixo cognitivo:II


Habilidade: 24

Comentário: Para preenchermos corretamente o espaço indicado no tabuleiro da figura A, devemos utilizar uma peça que complete o desenho da peça que se encontra à direita do espaço. Assim, somente a peça 2 podeser utilizada. Como na peça 2 a parte inferior deverá ficar voltada para a direita, deveremos girá-la 270° no sentido horário ou 90° no sentido anti-horário.


Eixo cognitivo: II


Habilidade: 7

Comentário: Considerando um plano cartesiano com origem

nopontosimétricodopontoA=(x,y),emrelaçãoàorigem,

temosopontoA’=(–x,–y).Logo,porexemplo,osimétricodo

pontoA=(–1,3),emrelaçãoàorigem,éopontoA’=(1,–3),

conformeilustradonafiguraaseguir.

A

A'

O

y

x

1

1

–1

–1

2

–2

–2

2

3

3

–3

–3

Vale ressaltarqueopontoA’ é colinear aospontosA e O,

eétalqueasdistânciasAOeA’Osãoiguais.

Desse modo, verificamos que a única alternativa que

apresentaaimagemsimétricadafiguraoriginal,emrelação

ao ponto O,éaalternativaE.Afiguraaseguirilustradois

pontos, A e B, e seus respectivos simétricos,A’ eB’, em

relação ao ponto O.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor


O

y

x

A

B

A'

B'

MÓDULO – C 04Semelhança de triângulos e Teorema de Tales


Questão 01 – Letra AComentário: Pelo Teorema de Tales:

= = =+ ++ +

= =18a

24b

33c

(18 24 33)(a b c)

75100

34

.

Logo, a = 24, b = 32 e c = 44.

Questão 02 – Letra EComentário: Considere a figura a seguir:

r1

r2

r3

15

x

3

1 1

5

Como as retas r1, r2 e r3 são paralelas e estão sendo interceptadas por duas retas, aplicando o Teorema de Tales, temos:

x x x15

1153 15

653 15

25

= ⇒ = ⇒ = ⇒ x = 6

Questão 03 – Letra DComentário: Considere a figura a seguir:

A

DE

hb

a3 m

9 m

bCB H

aSejam a e b as alturas dos triângulos AEB e DEC, de base AB e CD, respectivamente.

Os triângulos ABE e DCE são semelhantes.

⇒

A B D C opostos pelo vértice

A E C E alternos

E EB D

=

=

( )

( interrnos

internos

)

( )B E D E alternosA C=

Daí, 93

= ab

⇒ a = 3b.

B E B D

H E C D

H CB B

=

=

⇒ Os triângulos BHE e BCD são semelhantes

pelo caso AA (ângulo, ângulo).

Daí, h aa b3

=+

⇒ h = 3aa b+

⇒ h = +

=3(3b)3b b

9b4b

= 2,25,

pois b > 0.

Portanto, as barras se encontram a uma altura de 2,25 m

do chão.


Comentário: Considere a figura a seguir:

E

C

A D B

h

17,5

10,5 90 – θ

90 – θ

1,5θ

Temos que os triângulos ADE e ABC são semelhantes pelo caso

AA (ângulo, ângulo). Então:

EDCB

AEAC h

h m= ⇒ = ⇒ =1 5 10 528

4, ,

Portanto, a altura da rampa é 4,0 m.


Comentário:

A

2,0 m

1,0 m

1,2 m

P

B

Q CLα α

LQ = 2,0 m – 1,2 m = 0,8 m

O triângulo CLB e QLP são semelhantes. Logo:

= ⇒ = ⇒

= = = =

≅

BCCL

PQLQ

1,0 m

1,2 m

PQ0,8 m

PQ0,81,2

m 0,666...m 0,666...100 cm

66,666... cm 67 cm


52 coleção 4v

Questão 06 – Letra DComentário: Trata-se de semelhança entre triângulos retângulos.

10 m

5 m

4 m

y

x

Primeiramente, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo menor:

5 4 y 5

y 25 –16

y 9 y 3

2 2 2 2

2

2

= + = ⇒

= ⇒

= ⇒ =

Aplicandosemelhançadetriângulos,temosque:

xy

105

x10 . 3

5x 6= ⇒ = ⇒ =


Questão 01 – Letra CComentário:ComoostriângulosABCeAB’C’sãosemelhanteseaindaAC=4AC’, tem-sequeaconstantedesemelhança

desses triângulos é k AC'AC

AC'4AC'

k14

.= = ⇒ =

Portanto,arazãoentreosperímetrosdeABCeAB’C’também

será igual a 14

.

Questão 02 – Letra EComentário: Os triângulos ABD e CEB são semelhantes,poisosângulosABD e EBC são complementares.

A Bx 11 – x C

E

D

6 dm

3 dm

11 dm

Logo, temos que: ABD CEB

611 x

x3

11x x 18

x 11x 18 0

2

2

∆ ∆

−= ⇒

− = ⇒

− + =

Resolvendoaequaçãodo2ºgrau,encontramosx=9oux=2.

Questão 03 – Letra BComentário: Como BFDE é um losango, temos que BC // ED, ou seja, os triângulosABCeAEDsão semelhanteseaindaBE=ED=x,ladosdolosango.

A

B C

DE x

x

F

8

12

8 –

x

Logo:ABC AED

ABAE

BCED

88 x

12x

96 12x 8x 20x 96

x9620

x 4,8

∆ ∆

= ⇒−

= ⇒

− = ⇒ = ⇒

= ⇒ =

Questão 04 – Letra AComentário: Sendo h a altura do prédio, utiliza-se semelhança de triângulos:h5

153

h15 .5

3h 25= ⇒ = ⇒ =

Questão 05 – Letra DComentário: Sendo h a profundidade do poço, utiliza-se semelhança de triângulos:

h1,6

1,100,50

h1,10 .1,6

0,501,760,50

3,52= ⇒ = = =

Questão 06 Comentário: SejaAB=x.Aoprolongarossegmentossuperiore inferior, obteremos dois triângulos semelhantes:

y A

B

30 m

30 m

20 mx

40 m

Utilizando semelhança de triângulos, temos que:

y20

y 30 4030

y20

y 7030

30y 20y 1 400

3y 2y 140 y 140

=+ +

⇒

=+

⇒

= + ⇒

= + ⇒ = y

20y 30

x

14020

140 30x

140x 3 400

x3 400140

1707

=+

⇒

=+

⇒

= ⇒

= =

Logo,osegmentoABmedeaproximadamente24m.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor



Comentário: Sabemos que em cada um dos túneis são

perfurados 12 m por dia e que o túnel 1 demorará 250 dias,

ou seja, o túnel 1 terá 3 000 m. Com isso, AC = 1 000 m e

CX = 2 000 m.

Aplicando o Teorema de Tales, temos que:

ACCX

BDDX

1 0002 000

1 500DX

DX2 000 .1 500

1 0003 000

= ⇒ = ⇒

= =

Logo, o túnel 2 demorará 3 000 1 50012

4 50012

375+

= = dias para

ser construído. Isso significa que, para que a contrução do túnel 2

termine no mesmo dia que a do túnel 1, a contrução do túnel

2 deverá anteceder à do túnel 1 em 125 (375 – 250) dias.


Comentário: Seja a seguinte figura com seus dados.

3 2

4

C

BA D

Como CD é bissetriz do ângulo interno C, então, aplicando o

Teorema da Bissetriz Interna, temos que:

CAAD

CBBD

43

CB2

CB83

= ⇒ = ⇒ =

Portanto, BC mede 83

cm.


Comentário: Seja l a medida do lado do quadrado ABCD.

Se AM = m e AN = n, então BM = m – l e DN = n – l.

Se ABCD é um quadrado e AD // BC, então MBC = CDN = 90°,

e MCB = CND, pois são ângulos correspondentes.

C

ND

M

Bm –

n –

A

Logo, os triângulos MBC e CDN são semelhantes.

Assim, temos:

MBCD

BCDN

mn

= ⇒−

=−

l

l

l

l

⇒ mn – ml – nl + l2 = l2 ⇒

l(m + n) = mn ⇒ l = +

mnm n

Portanto, a medida do lado do quadrado em função de m e n

é mnm n+

.

Questão 10


A D

D'

B2 3 5C

B'

13

C'

Temos três retas paralelas cortadas por duas transversais.

Aplicando o Teorema de Tales, temos:

ABAD

ABAD

AB AB cm''

' ' ,= ⇒ = ⇒ =13

210

2 6

B CAD

BCAD

B C B C cm' ''

' ' ' ' ,= ⇒ = ⇒ =13

310

3 9

C DAD

CDAD

C D C D cm' ''

' ' ' ' ,= ⇒ = ⇒ =13

510

6 5

Portanto, AB’ = 2,6 cm, B’C’ = 3,9 cm e C’D’ = 6,5 cm.



P

O25

40

30

x

A

CB

Rio

Os triângulos POA e PBC são semelhantes pelo caso

AA (ângulo, ângulo). Daí:

OABC

POPB

xx

= ⇒ =+

2540 30

⇒ 5x + 150 = 8x ⇒ x = 50

Portanto, a distância do observador, que está em O, até o

ponto P, é de 50 m.


54 Coleção 4V

Questão 12 – Letra CComentário: Seja x amedida de FC. Se BC= 12, então BF=12–x.SeBC//DE,entãoostriângulosABCeADEsãosemelhantes.

A

D E

CB12 – x

7 8

xF

G

Assim,temos:BCDE

FCGE

1215

x8

x 6,4= ⇒ = ⇒ =

Portanto, FC mede 6,4.

Questão 13 – Letra CComentário:ComoostriângulosPABePCAsãosemelhantes,temos:

PAPC

ABCA

BPPA

= = ⇒ PAPC

PCPA

= = +86

7

Daí, temos:

PA PC

PA PC

=

= +

433 21

4

⇒ 43

3 214

PC PC= + ⇒PC=9

Portanto, o segmento PC mede 9.

Questão 14 – Letra DComentário:Considereafiguraaseguir:

8

α

αα

β

βBx

C

8

DG

F

46,2 46,2

E 61,6

61,6O Q

A

P

1,8 1,8

8

Seja x o comprimento do para-raios que o observador não

consegue enxergar.

Os ângulos DAE e GDAsãoalternosinternoseBDC e GDAsãoopostos pelo vértice.

Logo, os triângulos AED eDCB são semelhantes pelo caso

ângulo, ângulo, ou seja:

= ⇒ = ⇒ =DEBC

EACD

46,2x

61,68

x 6

Portanto, o observador não consegue avistar 6 m do para-raios.

Questão 15 – Letra AComentário: Considereafiguraaseguir:

r

B

sQ

A

C

O

P

αα

β

β

θ

AP =BP

A O =B OOP (comum)P P

⇒ Os triângulos APO e BPO são congruentes

pelo caso lado, ângulo, lado. Logo, AOP=BOP.

SejaAOP=BOP=a.

Analogamente,temosqueBQ CQ

B O C OOQ comum

=

=

Q Q( )

⇒

Os triângulosBQOeCQO são congruentes pelo caso LAL

(lado, ângulo, lado). Logo, BOQ=COQ.

Seja BOQ=COQ=b.

Daí,AOC=2a+2b=2(a+b).

Mas, a+b=θ.

Portanto,AOC=2θ.


Comentário: Como amassa da chapa triangular ABC vale

1 250 g e a massa do trapézio BCED vale 700 g, a massa do

triânguloADEvale550g.

Como a reta r // BC,ostriângulosADEeABCsãosemelhantes.

Assim,sendoSADE e SABCasáreasdostriângulosADEeABC,

respectivamente, temos S

SADAB

ADE

ABC

=

2

.

Como a espessura e a densidade do material da chapa são

uniformes,arazãoentreasáreasdostriângulosADEeABC

é igualà razãoentreasmassasdos triângulosADEeABC.

Daí, temos:

S

SADAB

ADE

ABC

=

=2

5501 250

⇒ ADAB

= 1125

⇒

ADAB

= 3 325, ⇒ AD

AB=0,664

Portanto,ovalorpercentualdarazãodeADporABé66,4.


MA

TEM

ÁTI

CA

Manual do Professor

55Bernoulli sistema de ensino

Questão 17 – Letra EComentário: Os triângulos ABC e ECD são retângulos epossuem o ângulo Cemcomum.Logo,pelocasoAA,essestriângulos são semelhantes.

E

A

B C

D

α90° – α

90° – α

Seja k a razão de semelhança de dois segmentos

correspondentes.Assim,temos:

kEDAB

DCBC

ECAC

kEDAB

DCBC

48

k12

= = = ⇒ = = = ⇒ =

Arazãoentreasáreasdosdois triângulossemelhanteséo

quadrado da razão das medidas correspondentes.

Logo:S

Sk

S

S12

14

2

1

2 2

1

2

= ⇒ =

=

Portanto, a razãoentreasáreasdos triângulosECDeABC

vale 14

.

Questão 18 – Letra CComentário:Considereafiguraaseguir:

A 2b

b

d

B

C

D

ComoACébissetrizdotriânguloretânguloBAD,aplicandooTeoremadaBissetrizInterna,temos:

ADDC

ABBC

= ⇒ ADd

bb

= 2 ⇒AD=2d,poisb>0

AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloretânguloABD,temos:

(2d)2=(2b)2+(b+d)2 ⇒ 4d2=5b2+2bd+d2 ⇒

3d2 – 2bd – 5b2=0

D=(–2b)2 – 4 . 3.(–5b2)=64b2

d b b= ±2 86

⇒ d b= 53

, pois b > 0

Portanto, =d5b3

.

Questão 19 – Letra CComentário: Seja O o centro da circunferência inscrita no triânguloABCeM e D pontos de tangência dos segmentos BCeACrespectivamente,comoilustradonafiguraaseguir:

90° –

α

90° – α

α

3

3

O

A

B C

D

5

M

ADO≡AMC e DAO≡MAC.Logo,pelocritérioAA,ostriângulosDAOeMACsãosemelhantes.

AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloDAO,temos:

AO AD OD AD 16 AD 4 cm2

5

2 2

3

2

2 2

= + ⇒ = ⇒ =

Utilizando a razão de semelhança das medidas correspondentes, temos:

MCOD

AMAD

MC3

84

MC 6 cm= ⇒ = ⇒ =

PelofatodeotriânguloABCserisósceles,M é ponto médio do segmento BC. Portanto:

BM=MC=6eBC=12cm

Seção Enem

Questão 01 – Letra CEixo cognitivo:I


Habilidade: 6

Comentário: Considerando as medidas indicadas na seguinte figuraefazendoassemelhançasaseguir,temos:

C

A

E

F

D

B

4

x y

6

D AFE~D ABDeD BFE~D BAC,logo:

EF6

xx y

(I)=+

EF4

yx y

(II)=+

SomandoasequaçõesIeII,encontra-seocomprimentoda

haste EF: + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =EF6

EF4

1 5EF 12 EF125

EF 2,4m.


56 coleção 4v

Questão 02 – Letra DEixo cognitivo:IV


Habilidade: 9


A B

C

D

Ex

2,23,2

0,8

Os tr iângulos ADE e ABC são semelhantes, poisADE=ABC=90°,eoânguloA é comum aos dois triângulos.

Daí, temos:

AEAC

DEBC

= ⇒ 3 2

3 20 82 2

,,

,,+

=x

⇒x=5,6

Portanto, o paciente deverá percorrer 5,6 m para atingir o ponto mais alto da rampa.

Questão 03 – Letra DEixo cognitivo:IVCompetência de área: 2Habilidade: 9Comentário:Considereafiguraaseguir:

d

a

c

b

Por semelhança no triângulo anterior e a partir do enunciado, temos:

ba

dc

d d

=

=

23

' Logo: b

a cd b

adc

= ⇒ =1 23

23

. ' '

Questão 04 – Letra DEixo cognitivo:IIICompetência de área: 2Habilidade: 8Comentário: Sejam a, b e c o comprimento dos degraus, conformeafiguraaseguir:

30

60

A B

F

CD

E

a

b

c

Note que bébasemédiadotrapézioABCD,a é base média

dotrapézioABFEecébasemédiadeEFCD.Abasemédiaé

a média das bases superior e inferior de um trapézio. Logo:

b

a b

c b

= + =

= + =

= + =

⇒

30 602

45

302

752

602

1052

300 60 225+ + + + =a b c

Então, o comprimento mínimo da tábua deverá ser 225 cm.


Eixo cognitivo:IV


Habilidade: 9

Comentário:

1,8 m

0,6 m 2,0 m

h

αα

Seja h a altura do poste. Usando a semelhança dos triângulos

formados pela pessoa e sua sombra e pelo poste e sua sombra,

no momento inicial, temos:

1 8060 200

6, mcm

hcm

h m= ⇒ =

1,8 m

x 2,0 m – 0,5 m

6 m

θθ

Utilizando, novamente, semelhança e sendo x o novo valor da

sombra da pessoa, temos:

1 80 6200 50

45, mx

mcm cm

x cm=−

⇒ =


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