Manual de Pr´acticas de Fisica 1 de Ingenier´ıa de la Saludpersonal.us.es/sara/uploads/docencia/practicasalud.pdf · aparato analo´gico de medida (amper´ımetro, balanza,...)

Manual de Practicas

de Fisica 1

de

Ingenierıa de la Salud

E.T.S. DE INGENIERIA INFORMATICA

Departamento de Fısica Aplicada 1 *

Universidad de Sevilla

*Sara Cruz Barrios; [email protected]

1

INDICE 0

Indice

1. Practica 1: Tratamiento de Errores 1

1.1. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Clasificacion de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Estimacion de errores en las medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Medida directa de una magnitud fısica . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2. Medida indirecta de una magnitud fısica.- . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Presentacion de resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Recta de mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Ajuste de recta por mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Realizacion de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7. Memoria de las practicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8. RESUMEN: Estimacion de errores en las medidas . . . . . . . . . . . . 19

1.9. Ejercicios sobre Tratamiento de Errores y Medidas . . . . . . . . . . . . 20

2. Practica 2: Ley de Hooke 22

2.1. Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Asociacion de resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Oscilaciones Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Practica 3: Conservacion de la Energıa Mecanica 37

3.1. Conservacion de la Energıa Mecanica. Momento de Inercia . . . . . . . 37

4. Practica 4: Pendulo Matematico 45

4.1. Dependencia del periodo del pendulo con el angulo de oscilacion . . . . 45

4.2. Dependencia del periodo del pendulo con la masa . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Dependencia del periodo del pendulo con el angulo de oscilacion . . . . 50

5. Practica 5: Principio de Arquımedes 53

5.1. Determinacion de la densidad un solido mediante el principio se Arquımedes 53

5.2. Determinacion de la densidad de varios solidos . . . . . . . . . . . . . . 58

6. Practica 6: Estudio del Principio de Bernoulli 62

6.1. Verificacion del Principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7. Agradecimientos 74

1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES 1

1. Practica 1: Tratamiento de Errores

Las medidas de las diferentes magnitudes fısicas que intervienen en una experiencia

dada, ya se hayan obtenido de forma directa o a traves de su relacion mediante una

formula con otras magnitudes medidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido

a la precision limitada que todo instrumento de medida tiene, ası como otros factores

de distinta naturaleza que mas adelante consideraremos, debe aceptarse el hecho de

que no es posible conocer el valor exacto de ninguna magnitud. Por tanto, cualquier

resultado numerico obtenido experimentalmente debe presentarse siempre acompanado

de un numero que indique cuanto puede alejarse ese resultado del valor exacto.

1.1. Error absoluto y error relativo

En general, se define como error absoluto de una medida a la diferencia existente

entre el valor exacto de la magnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien,

como no podemos saber el valor exacto, tampoco podemos conocer el error absoluto

ası definido. El objetivo de la teorıa de errores es la estimacion de la incertidumbre

asociada a un resultado dado. A esta incetidumbre se le denomina tambien error

absoluto, y es esta segunda definicion la que nosotros utilizaremos.

El resultado experimental para una magnitud m lo expresaremos como sigue:

m(±∆m) (1.1)

siendo ∆m el error absoluto. El doble signo ± se debe a que el error puede producirse

por exceso o por defecto. No obstante, el error absoluto de una medida no nos informa

por si solo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un

error absoluto de 1 cm, al medir la longitud de una carrera que al medir la longitud de

un folio. Por ello, se define como error relativo al cociente:

∆m

m(1.2)

que a veces se multiplica por cien, cualificando la incertidumbre en porcentaje de la

medida realizada.

1.2. Clasificacion de los errores

Fundamentalmente, los errores se clasifican en dos grandes grupos: errores sis-

tematicos y errores casuales.

1.- Errores sistematicos. Son errores que se repiten constantemente en el tran-

scurso de un experimento, y que afectan a los resultados finales siempre en el

mismo sentido. Se puede distinguir varias fuentes de errores sistematicos:


1.1- Errores de calibracion (o errores de cero) de los aparatos de medi-

da. Es el caso, por ejemplo, del error que se comete cuando la aguja de un

aparato analogico de medida (amperımetro, balanza,...) no marca cero en

la posicion de reposo. Este tipo de errores tambien pueden aparecer en los

aparatos electronicos digitales como consecuencia de una mala calibracion

interna.

1.2- Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se uti-

lizan los instrumentos de medida bajo condiciones de trabajo (presion, tem-

peratura, humedad, frecuencia de la red, etc. ) diferente de las recomendadas.

1.3- Formulas o modelos aproximados. Este tipo de error aparece al pre-

tender obtener demasiadas cifras significativas en los resultados extraıdos

de un modelo o de una formula aproximada. Por ejemplo, si se quiere medir

la aceleracion de la gravedad con mas de tres cifras significativas no se puede

usar la expresion g = 4π2L/T 2 (pendulo simple) porque esta es una aproxi-

macion que supone una serie de condiciones ideales a saber:

1) La cuerda no tiene masa (en la practica sı la tiene, entrando en juego

el momento de inercia del hilo y cambiando la longitud efectiva del

pendulo.

2) El extremo de suspension del hilo es puntiforme (en realidad el pendulo

oscila alrededor de un eje de grosor finito)

3) El roce con el aire es nulo (nunca puede reducirse a cero el rozamiento

con el aire, y esto ocasiona que las oscilaciones vaya decreciendo en

amplitud y que el periodo de oscilacion no sea constante).

4) Las oscilaciones tienen lugar sobre un plano fijo (por mucho cuidado que

se ponga, existen siempre pequenas oscilaciones laterales y rotaciones

adicionales de la masa en suspension.

5) La amplitud de oscilacion debe ser pequena (la formula anterior es tanto

mejor cuanto mas proxima a cero sea la amplitud de oscilacion).

Por definicion, una medida es tanto mas exacta cuanto menores son los errores

sistematicos.

2.- Errores casuales o aleatorios. Como el propio nombre indica, no existe una

causa predeterminada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y

alteran, tanto en un sentido como en otro (por exceso y por defecto), la medida

realizada. Este tipo de errores se someten a estudios estadısticos. Existen varias

fuentes de errores casuales:

2.1- Cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno

Esto provoca errores cuya evaluacion es solo posible a partir de un estudio

estadıstico hecho con medidas repetitivas.


2.2- Falta de definicion en la cantidad a medir, lo que provoca valores difer-

entes en las distintas medidas realizadas. Por ejemplo, el diametro de una

esfera metalica real no es una cantidad definida exactamente porque la esfera

no es perfecta; si uno mide el valor de varios diametros encontrara valores

numericos diferentes.

2.3- Errores de precision, debidos a que el aparato de medida tiene una sen-

sibilidad dada. Se define la sensibilidad como la unidad mas pequena que

puede detectar un aparato de medida.

2.4- Errores de apreciacion, debidos a posibles defectos (visuales auditivos,

etc.) del observador, o tambien a la estimacion a ojo que se hace de una

cierta fraccion de la mas pequena division de la escala de lectura de los

aparatos de medida.

Por definicion, una medida es tanto mas precisa cuanto mas pequenos son los errores

casuales.

1.3. Estimacion de errores en las medidas

La teorıa de los errores casuales proporciona un metodo matematico para calcu-

lar, con buena aproximacion, cuanto puede alejarse del valor verdadero, el valor medio

experimentalmente para una magnitud fısica dada. Debido al caracter aleatorio de

los errores casuales, distribuyendose estos al azar por exceso o por defecto, se puede

estudiar su influecian mediante tecnicas estadısticas. No ocurre ası con los errores sis-

tematicos, los cuales afectan en un sentido dado al resultado, sin tener, por tanto,

caracter aleatorio. Las normas para estimar errores absolutos que a continuacion ex-

pondremos solo sirven para errores casuales, y presuponen que los errores sistematicos

han sido cuidadosamente evitados. Hablaremos de una medida muy precisa cuando, una

vez eliminados gran parte de los errores sistematicos, consigamos errores casuales muy

pequenos, y esto permitira escribir el resultado final con bastantes cifras significativas.

El objetivo de este apartado es establecer lo que nosotros vamos a definir como

resultado experimental m de una medida y como error absoluto ∆m de la misma.

Distinguiremos dos situaciones: medida directa y medida indirecta.

1.3.1. Medida directa de una magnitud fısica

El procedimiento no sera el mismo si se hace una sola medida de la magnitud fısica

que si se hacen varias.

1. Una sola medida: En principio, cualquier medida experimental debe ser repeti-

da varias veces. Cuando se observe que el resultado obtenido es siempre identi-

camente el mismo, y solo en ese caso, estara justificado el quedarse con una sola


medida. Dicha medida m1 sera el valor esperimental obtenido para m. Como

error absoluto, ∆ m, se adoptara la sensibilidad del aparato de medida S.

Sensibilidad S: es la unidad mas pequena que el aparato puede apreciar en la

escala utilizada. En cuanto al resultado medido m1 hay que decir que en el caso

de aparatos analogicos (con agujas, diales, niveles de mercurio, etc.) existe la

posibilidad de que la aguja (o cualquier otro mecanismo de medida) quede en el

espacio intermedio entre dos marcas de la escala de medida. En este caso, puede

adoptarse como valor de la medida el de la marca mas cercana a la posicion de

la aguja y nuestro resultado sera:

m1 ± S (1.3)

Ejemplo 1.-: Supongamos un cronometro digital que mide hasta milesimas de se-

gundos (sensibilidad S = 1ms) y queremos estimar el perıodo de oscilacion de un

pendulo en 882 milisegundos; entonces m1 = 882ms. y el error absoluto 1ms, el

resultado se dara como 882(±1)ms. Si tenemos un amperımetro analogico (medidor

de intensidad de corriente) con una escala de lectura que se aprecia hasta decimas

de Amperios (sensibilidad S = 0, 1A), y al hacer una medida la aguja queda en una

posicion que es la mitad entre 0, 6 y 0, 7 la intensiad de corriente medida experimen-

talmente sera 0, 6(±0, 1)A o bien 0, 7(±0, 1)A. Ambos resultados son correctos.

2. Varias medidas: Analicemos ahora la situacion mas habitual que corresponde

al caso en que se realizan varias medidas de una magnitud fısica. La carac-

terizacion de los errores casuales se hace en este caso mediante la ayuda de la

estadıstica. La filosofıa del metodo parte del hecho de que el valor exacto de

la magnitud es inaccesible, y el proceso de medida es un proceso aleatorio que

viene gobernado por una distribucion de probabilidad normal o gaussiana cuya

representacion grafica Figura (1) es:

- 6 - 4 - 2 2 4 6

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 1: Campana de Gauss


P (x) =1

σ√2π

exp

(

(x− µ)2

2σ2

)

(1.4)

Observese que x = µ es el valor mas probable al realizar una medida ya que para

ese valor la distribucion de probabilidad presenta un maximo. El parametro σ nos

da una medida de la anchura de la campana. La probabilidad de que al realizar una

medida obtengamos un valor comprendido en un intervalo cualquiera viene dada por el

area que hay bajo la curva gaussiana en ese intervalo. Ası por ejemplo, la probabilidad

de que el valor de una medida caiga dentro del intervalo µ ± σ es el 68, 30%, dentro

del intervalo µ ± 2σ es del 95, 45%, y dentro del intervalo µ ± 3σ es del 99, 73%.

El area total bajo la campana es logicamente 1, ya que la probabilidad de encontrar

el valor de una medida entre −∞ y +∞ es del 100%. La justificacion del estudio

estadıstico radica en la suposicion de que el valor mas probable µ del proceso aleatorio

coincide precisamente con el valor verdadero de la magnitud fısica, y por ello nuestro

objetivo sera determinar con la mayor precision posible el valor de µ, y asimismo dar

una expresion para el margen de error en nuestra estimacion de µ. Observese que si los

errores sistematicos (de caracter no aleatorio) no hubiesen sido previamente eliminados,

no coincidirıan µ y el valor verdadero de la magnitud fısica.

Para determinar con exactitud µ habrıa que hacer infinitas medidas. Sin embargo,

en el laboratorio realizaremos un numero finito n de medidas que nos daran los valores

m1,m2,m3, .....,mn. Sobre ese conjunto finito de medidas, la Estadıstica nos permite

definir y calcular una serie de estadısticos (ciertas cantidades de interes estadıstico) a

saber,

Valor medio o media aritmetica de los n valores mi (i = 1, ....., n):

m =1

n

n∑

i=1

mi (1.5)

Desviacion de la medida mi respecto de la medida:

hi = mi − m. (1.6)

Tambien se puede hacer una extension del concepto a desviacion respecto de un

parametro a cualquiera:

hi,a = mi − a (1.7)

Una propiedad interesante que tiene el valor medio que lo hace ser muy represen-

tativo de un conjunto de medias es precisamente el ser el parametro respecto al

cual es mınima la suma de los cuadrados de las desviaciones, es decir, matematica-

mente:(

d (∑n

i=1(hi,a)2))

da

)

a=m

= 0 ;

(

d2 (∑n

i=1(hi,a)2)

da2

)

a=m

> 0 (1.8)


Error cuadratico medio o desviacion tıpica de las n medidas:

s =

√

∑n

i=1 h2i

n− 1(1.9)

El valor de s nos da una idea de la dispersion de las medids mi respecto de la

medida m.

Error cuadratico de la medida o desviacion estandar de las n medidas:

sm =s√n=

√

∑n

i=1 h2i

n(n− 1)(1.10)

El valor de sm es muy importante porque nos informa de como de parecido es el

valor medio m de nuestras n medidas al valor probable µ del proceso aleatorio

global (recuerdese nuestra hipotesis de partida de que µ es a todos los efectos

el valor verdadero de la magnitud fısica). De hecho, puede demostrarse que la

probabilidad de que m este dentro del intervalo µ±3sm es de 99, 73% (distribucion

gaussiana de los valores medios).

Como conclusion podemos decir que m nos da una estimacion de µ, y que cuanto menor

sea la desviacion estandar sm tanto mas se parece realmente m a µ. Evidentemente,

la desviacion estandar decrece a medida que el numero n de medida es mayor. Hay

que senalar que muchas de las consideraciones estadısticas que se han hecho solo son

estrictamente ciertas cuando n es grande (por ejemplo, n > 30). No obstante, nosotros

nos conformamos con un numero inferior de medidas, por ejemplo 10.

Como consecuencia de todo esto, nuestra forma de proceder sera la siguiente: se

realizara un cierto numero de medidas (por ejemplo 10) de una magnitud fısica, se

calculara el valor medio y la desviacion estandar de todas ellas mediante las ecuaciones

(1.5) y (1.10),se considerara como valor experimental m el valor medio y como errorr

absoluto el triple de la desviacion estandar. Es decir:

m(±3sm) (1.11)

Ejemplo 2.-: Supongamos que se desea medir con un cronometro digital el perıodo

de un pendulo. La precision del aparato es de milisegundos. Se realizan 10 medidas, y se

obtienen los siguientes resultados: 902ms, 850ms, 915ms, 930ms, 888ms, 875ms, 889ms,

902ms, 902ms, 890ms. A continuacion se procede a calcular el valor medio mediante (1.5),

obteniendose 894, 3ms. La desviacion estandar la calcularemos a partir de la ecuacion

(1.10), obteniendose un valor de 6, 9ms. Por lo tanto el valor experimental sera el obtenido

a traves de la ecuacion (1.5) y como error absoluto tomaremos el triple de la desviacion

estandar: 894(±21)ms.

En algunas ocasiones puede ocurrir que una medida suelta este especialmente ale-

jada de todas las demas, en este caso puede descartarse dicha medida y sustituirse


por una nueva, ya que lo mas probable es que se haya tomado mal esa lectura conc-

reta. Estas medidas incorrectas dan lugar a los denominados puntos experimentales

erroneos, los cuales deben ser indicados en las representaciones graficas. Como norma,

si la desviacion de una medida dudosa, hi = mi− m, es mayor o igual que cuatro veces

la desviacion promedio, se puede rechazar la medida dudosa.

Cuando se observa una fuerte dispersion en las medidas tomadas para una magnitud

dada, se puede aumentar el numero de medidas para ası reducir la desviacion estandar.

1.3.2. Medida indirecta de una magnitud fısica.-

Cuando se utiliza una expresion matematica (ley fısica) para calcular el valor de

una magnitud fısica a partir de otras magnitudes que se han medido directamente

y de constantes fısicas, decimos que estamos haciendo una medida indirecta. Es de

suma importancia para este caso saber como se propagan los errores de la magnitudes

medidas directamente hacia la que se esta obteniendo indirectamente. Dicho de otra

forma, devemos ser capaces de dar una expresion para el error absoluto de la magnitud

medida indirectamente en funcion de los errores absolutos de las magnitudes medidas

directamente. El tratamiento riguroso de la teorıa de propagacion de errores se funda-

menta en el calculo diferencial. En algunas ocasiones, una magnitud fısica es medida

indirectamente a partir de otra unica magnitud (funcion de una sola variable), pero, en

general es medida a partir de varias magnitudes cada una de las cuales viene afectada

por un margen de error (funcion de varias variables).

1.- Funcion de una sola variable:

La primera situacion que nos podemos encontrar es el caso de una magnitud y

que va a ser medida directamente mediante una formula a partir de otra unica

magnitud x que ha sido medida directamente y que tiene un error absoluto ∆x:

y = f(x) (1.12)

Como valor experimental de y adoptaremos el que resulta de evaluar (1.12) para

el valor experimental de x. Por otra parte, el calculo diferencial nos asegura que

siempre que el error no sea demasiado grande y podamos aproximar ∆x ∼ dx,

podemos obtener de forma aproximada el error absoluto de y como sigue:

∆y =

∣

∣

∣

∣

df(x)

dx

∣

∣

∣

∣

∆x (1.13)

donde se supone que ∆y ∼ dy y estando la derivada que aparece evaluada en el

valor experimental de x. Hay que descartar que (1.13) es valida tanto si el valor

experimental de x y su error absoluto ∆x fueron calculados por procedimientos


estadısticos (1.11), como si fueron calculados por procedimientos no estadısticos

(1.3). En consecuencia, el resultado para y con su error vendra dado por:

y(±∆y) = f(x) =

(∣

∣

∣

∣

df(x)

dx

∣

∣

∣

∣

∆x

)

. (1.14)

Como caso particular de interes, el estudio anterior conduce a que el error relativo

en una magnitud indirecta es el mismo que el de la magnitud medida directamente

en el caso en que ambas magnitudes sean directa o inversamente proporcionales.

Ası si y = ax o y = a/x, siendo a una constante (sin error), partiendo de (1.13),

tras realizar la correspondiente derivada y dividiendo ambos miembros por y, se

tiene:

Si y = ax o y =a

x⇒ ∆y

y=

∆x

x(1.15)

2.- Funcion de varias variables:

Consideremos ahora el caso en que la magnitud Fısica y que queremos medir

(medida indirecta) depende de varias magnitudes con sus respectivos errores, por

ejemplo:

y = f(x, y, z) (1.16)

De nuevo, se toma como valor experimental de y el que resulta de evaluar (1.16)

para los valores experimentales de x, y y z. En cuanto al error absoluto de y, hay

que distinguir ahora entre la posiblidad de que todas las magnitudes medidas

directamente lo hayan sido mediante procedimientos estadısticos y la posibilidad

de que una o varias de ellas hayan sido medidas mediante procedimientos no

estadısticos.

2.1- Todas las variables son obtenidas por procedimientos estadısticos

En el supuesto de que todas las variables hayan sido medidas mediante

procedimientos estadısticos, (1.11) o rectas de mınimos cuadrados, se

puede demostrar que la desviacion estandar asociada a y viene dada en

funcion de las desviaciones estandar de sus variables por:

sy =

√

(

∂f

∂x

)2

s2x +

(

∂f

∂z

)2

s2z +

(

∂f

∂t

)2

s2t

(1.17)

donde ∂f/∂x es la derivada parcial de la funcion f con respecto a x, y

ası sucesivamente. Todas las derivadas se evaluan en los valores experimen-

tales de x, z y t. Por tanto en esta situacion particular escribiremos como

resultado:

f(x, z, t)(±3sy) (1.18)


2.2- Alguna (o todas) las variables proceden de una sola medida. Es

estos casos usaremos como error absoluto en las variables que proceden de

una sola medida el relacionado con la sensibilidad S del aparato utilizado,

de acuerdo con (1.3), y como error absoluto para las variables estadısticas

el triple de su desviacion estandar, de acuerdo con (1.11), y como error

absoluto para las variables estadısticas el triple de su desviacion estandar, de

acuerdo con (1.11). Una vez asignados los errores absolsutos, nuevamente el

calculo diferencial (de funciones de varias variables en este caso) nos permite

obtener una aproximacion para el error absoluto ∆y en funcion de los errores

absolutos de las variables directas:

∆y =

∣

∣

∣

∣

∂f

∂x

∣

∣

∣

∣

∆x+

∣

∣

∣

∣

∂f

∂z

∣

∣

∣

∣

∆z +

∣

∣

∣

∣

∂f

∂t

∣

∣

∣

∣

∆t (1.19)

y como resultado escribiremos:

f(x, z, t)(±∆y) (1.20)

En el supueto que aparezcan constantes fısicas en la expresion matematica,

se eligiran estas con un numero suficientes de decimales para que su precision

de tal que podamos suponer que su error absoluto sea cero.

Como ejemplo de especial interes, el estudio anterior conduce a que el error

relativo en una magnitud indirecta y obtenida como cociente o producto de

dos magnitudes de medida directa (no estadıstica), x y z, tiene como error

relativo la suma de los errores relativo de las dos variables directas. Ası si

y = axz o y = ax/z, donde a es una constante sin error, tras realizar las

derivadas parciales y dividiendo ambos miembros por y en (1.19) se tiene

∆y

y=

∆x

x+

∆z

z. (1.21)

Expresion valida tanto para y = axz como para y = axz. Finalmente como

caso mas trivial pero de interes, cuando la magnitud indirecta se obtiene

como suma de las magnitudes directas, y = x + z + t, la ecuacion (1.19)

nos indica que el error absoluto sera la suma de los errores absolutos, ∆y =

∆x+∆z +∆t.

En definitiva, para medidas indirectas de una magnitud se tomara como valor

experimental de la misma el que resulte de evaluar la expresion matematica para

los valores experimentales previamente obtenidos de cada una de sus variables, y

como error absoluto el que corresponda segun los casos (1.13), (1.17) o (1.19).

Ejemplo 3.-: Supongamos que se ha medido una magnitud fısica x obteniendose un

valor experimental de 0, 442(±0, 003) y que tenemos interes en medir indirectamente otra


magnitd fısica que es precisamente y = x2 con su error correspondiente. a.-) El valor

experimental de y es y = (0.442)2 = 0.195. b.-) El error absoluto de y sera: ∆y = |2x|∆x

(1.13); ∆y = 2 × 0.442 × 0.003 = 0.003. Por lo tanto el valor experimental de y, es:

y = 0.195(±0.003) (en las unidades correspondientes)

Ejemplo 4.-: Supongamos que se ha medido de forma directa la tension y la intensidad en

una resistencia obteniendose: V = 10.0(±0.1)V e I = 2.50(±0.05)A. Determinar el valor

de la resistencia R = V/I (ley de Ohm) con su error correspondiente.

R =10.0

2.5= 4.00Ω

∆R

R=

∆V

V+

∆I

I=

0.1

10+

0.05

2.5= 0.03

∆R = 0.03× 4.00 = 0.12Ω (1.22)

por tanto:

R = 4.00(±0.12)Ω (1.23)

Ejemplo 5.-: Se han medido mediante procedimientos estadısticos la longitud L de un

pendulo obteniendose 1.453(±0.001)m y para el periodo T del mismo 2.42(±0.01)s, y se

desea calcular la aceleracion de la gravedad g con su error correspondiente a partir de la

expresion aproximada:

g =4π2L

T 2(1.24)

a.- Caculamos el valor de g

g =4× (3.1416)2 × 1.453

(2.42)2

g = 9.79ms−2 (1.25)

b.- Calculamos el error absoluto de g. Como L y T , fueron obtenidos por metodos estadısti-

cos:

sg =

√

(

∂g

∂L

)2

s2L+

(

∂g

∂T

)2

s2T

(1.26)

∂g

∂L=

4π2

T 2;

∂g

∂T= −2

4π2L

T 3(1.27)

c.- Como ∆m = 3sm, tenemos:

sL =∆L

3sT =

∆T

3(1.28)

sL =0.001

3= 0.0003m sT =

0.01

3= 0.003s (1.29)


d.- Por lo tanto:

sg =

√

(

4× π2

(2.42)2

)2

(0.0003)2 + (4× π2 × 1.453

(2.42)3)2(0.003)2

sg = 0.024ms−2 (1.30)

e.- Como ∆g = 3sg, el resultado final de la medida indirecta de g con su error correspon-

diente es:

g = 9.79(±0.07)ms−2 (1.31)

Ejemplo 6.-: Supongamos que nuevamente deseamos obtener el valor de la gravedad

de acuerdo con (1.24), habiendo side en este caso L y o T obtenidas mediante una sola

medida. En este caso, tras asignar los errores absolutos, segun corresponda (o bien a partir

de la sensibilidad S o de la desviacion estandar, dependiendo de como se obtuvo la medida),

aplicando (1.19) se obtiene:

∆g =

∣

∣

∣

∣

∂g

∂L

∣

∣

∣

∣

∆L+

∣

∣

∣

∣

∂g

∂T

∣

∣

∣

∣

∆T

=4π2

T 2∆L+ 2

4π2L

T 3∆T (1.32)

Sustituyendo los valores de L, T ,∆L,∆T del ejemplo anterior, se obtiene∆g = 0.009ms−2.

Por lo tanto, el resultado de la medida indirecta de g, en este caso es: g = 9.79(±0.09)ms−2.

1.4. Presentacion de resultados numericos

Cualquier valor experimental m de una magnitud fısica debe expresarse con de-

terminado numero de cifras significativas que viene limitado por el valor del error

absoluto. Se define cifras significativas N s al numero de cifras que hay desde la

primera cifra distinta de cero empezando por la izquierda hasta la primera cifra que

venga afectada por el error absoluto, ambas inclusive. Es evidente que no tiene senti-

do escribir cifras no significativas de un resultado fısico. Ademas, el convenio de solo

escribir las cifras significativas de un resultado nos hace tener informacion inmediata

sobre su error absoluto por el mero hecho de verlo escrito.

Ejemplo 7.-: Si nos dicen que la longitud de un cuerpo es de 14.7m sabemos que se ha

medido con una precision de decımetros y que por ello nos dan 3 cifras significativas. Si la

precision de la medida hubiese sido de centımetros, entoces nos habrıan dicho 14.70m (4

cifras significativas).

El expresar un resultado en una u otra cantidad no cambia su numero de cifras signi-

ficativas. Por ello, los ceros a la izquierda de un numero no son cifras significativas y


solo se utilizan para situar el lugar decimal. Los ceros a la izquierda pueden evitarse

usando notacion cientıfica (potencias de 10).

Ejemplo 8.-: Decir que una masa es de 2.342g o decir que es de 0.002342kg, no cambia

el numero de cifras significativas. En ambos casos es N s = 4. En notacion cientıfica serıa:

2.342× 10−3.

Los ceros al final de una medida pueden ser o no cifras significativas.

Ejemplo 9.-: Si nos dicen que en Espana hay 40000000 de personas puede que los haya

exactamente, en cuyo caso el cuatro y todos los ceros son cifras significativas, o puede

que se haya redondeado a un numero entero de millones, en cuyo caso solo el cuatro y

el primer cero son cifras significativas. Para esta ultima situacion, lo mas aconsejable para

evitar ambiguedades, serıa entonces haber escrito 40× 106 o cuarenta millones.

Cuando se hace una medida tanto directa como indirectamente puede que se obtenga

el resultado con mas cifras de las significativas. De acuerdo a lo expuesto anteriormente

sera el error absoluto de la medida el que nos determine las cifras significativas con que

debemos presentar el resultado. Ası, tras obtener el error absoluto, sera necesario llevar

a cabo un redondeo en el valor de la medida para conservar solo cifras significativas. La

tecnica de redondeo consiste en: Una vez conocido el numero de cifras significativas

con las que debemos presentar nuestro resultado, si la cifra siguiente a ella es cinco o

mayor que cinco, entonces debemos aumentarla en una unidad, pero si es menor que

cinco no se modifica la ultima cifra conservada.

El redondeo, tambien debe aplicarse al error absoluto, para ello debemos recordar

el concepto de incertidumbre en el resultado que se asocia al error absoluto, por lo tanto

este mismo no debe expresarse nunca con mas de dos cifras significativas. Por convenio,

el error absoluto se expresara con dos cifras si la primera de ella es 1, o si siendo un

2, no llega a 5 la segunda. En los demas casos, el error absoluto debera expresarse con

una sola cifra significativa obtenida mediante redondeo.

Ejemplo 10.-: Veamos algunos casos de resultados expresados correcta e incorrectamente:

INCORRECTO CORRECTO

5, 619(±0.126) 5.62(±0, 13)

8.4(±0.06) 8.40(±0.06)

345.233(±0.18) 345.23(±0.18)

2.023(±0.0261) 2.02(±0.03)

Aunque la determinacion precisa del error y por tanto, del numero de cifras significa-

tivas en una magnitud calculada a partir de otras magnitudes debe llevarse a cabo


mediante la tecnica de propagacion de errores, podemos no obtante estimar el numero

de cifras significativas en algunos casos sin necesidad de obtener previamente el er-

ror. Ası en calculos que implican multipicacion, division extraccion de raıces de

numeros, el resultado final no puede tener mas cifras significativas que los datos con

menor numero de ellas. En calculos de sumas y restas de numeros, el resultado final

no tiene mas cifras significativas despues de la coma decimal que la de los datos con

menor numero de ellas despues de la coma decimal. En el caso de restas entre numeros

muy parecidos suele ocurrir que el resultado tiene muchas menos cifras significativas

que cada uno de ellos.

Ejemplo 11.-: Tras medir los tres lados de un paralelepıpedo se han obtenido los siguientes

resultados: a = 12.3(±0.1)cm, b = 8.5(±0.1)cm y c = 0.3(±0.1)cm. Con estos datos

deseamos estimar el numero de cifras significativas para su volumen obtenido como V = abc.

De acuerdo con lo expuesto, el resultado final del volumen tendra solo una cifra significativa,

(c posee una sola cifra significativa). Por lo tanto: V = 12.3×8.5×0.3 = 31.365cm3. Tras

el redondeo V = 0.00003m3 o V = 3 × 10−5. (Si calculamos el posible valor maximo y

mınimo de V obtenemos: Vmin = 12.2×8.4×0.2 = 20.496cm3 y Vmax = 12.4×8.5×0.3 =

42.656cm3. Verificamos que la primera cifra del volumen es distinta en cada caso, por lo

tanto esta afectada de error (es incierta), y por lo tanto el resultado debera redondearse a

una sola cifra)

Cuando aparezcan constantes en las expresiones a evaluar, tomaremos dichas con-

stantes con un numero mayor o ,al menos, igual de cifras significativas que el que

corresponda a la media con mas cifras significativas. De esta forma evitamos que las

constantes introduzcan errores adicionales (podemos entoces considerarlas como exac-

tas).

Ejemplo 12.-:Se quiere calcular el volumen de un cilindro recto de radio r y altura h siendo

r = 4.5(±0.1)cm y h = 55.7(±0.1)cm. El volumen es πr2h. En este caso la constante

π la tomaremos (como mınimo) con tres cifras significativas para no ser causa de errores

adicionales y el volumen que obtendremos lo expresaremos con dos cifras significativas

(coincide con la medida con menos cifras significativas).

En el ejemplo siguiente, se pone de manifiesto la importancia de conocer los errores

absolutos de las magnitudes fısicas para poder sacar conclusiones de los resultados

obtenidos.

Ejemplo 13:-: Supongamos que se desea determinar si la resistencia de un material

depende de la temperatura. Para ello tomamos una bombilla de alambre de cobre y se mide


su resistencia a dos temperaturas distintas, obteniendose:

T1 = 20oC R1 = 4.024Ω

T2 = 30oC R2 = 4.030Ω (1.33)

Si no indicamos los errores obtenidos en cada medida, no podemos llegar a ninguna

conclusion.

Si el error en cada medida fuese ±0.002Ω, la conclusion serıa que la resistencia sı depende

de la temperatura. En cambio, si el error hubiese sido de ±0.008Ω, la conclusion serıa que

la resistencia no depende de la temperatura.

1.5. Recta de mınimos cuadrados

El problema de la ciencia experimental no se reduce a medir ciertas magnitudes

con la maxima precision posible, sino que es fundamental buscar una ley cuantitativa

entre dos o mas magnitudes que estan variando de manera correlacionada.

Supongamos que el fenomeno que se quiere estudiar dependa de dos magnitudes x

e y. La ley que gobierna el fenomeno relaciona una magnitud x con la otra y de tal

manera que durante una serie de experiencias se determinan los valores de una de ellas,

por ejemplo y, que corresponden a los distintos valores de la otra (en este caso x). Si

se han hecho n medidas tendrıamos:

(x1, y1), (x2, y2), ......, (xn, yn) (1.34)

y nos preguntamos si es posible conocer la relacion funcional o la ley fısica, entre las

magnitudes x,y. Dicha relacion se puede formular diciendo que una magnitud es funcion

de la otra, o sea:

y = y(x) (1.35)

Se trata por lo tanto de determinar la curva de mejor ajuste que relaciona ambas

magnitudes utilizando los datos experimentales (1.34). Esto suele ser un problema

bastante complejo, pero si conocemos la ley fısica (y(x)) que relaciona ambas cantidades

de antemano, se tratarıa de elegir el tipo de comportamiento funcional que representa

nuestro problema, o sea eligirıamos como ambas variables se relacionan entre sı. Esa

relacion puede ser de la forma:

y = ax+ b, y = b+ a/x, y = ax2 + bx+ c , y = aebx, ..... (1.36)

Una vez elegida, queda por determinar el valor de los parametros a, b, c, etc. que

aparezcan en y(x), de forma que la funcion se ajuste lo mejor posible a la nube de

puntos experimentales (x1, y − 1), (x2, y2), ...., (xn, yn).

Para ajustar estos puntos lo mejor posible, nosotros elegiremos el denominado

metodo de los mınimos cuadrados. A continuacion explicaremos esta tecnica para


el caso en el que la dependencia ente x e y es lineal, y = ax+ b . O sea, vamos a definir

la recta de mejor ajuste en el sentido de mınimos cuadrados, tambien denom-

inada recta de regresion. Esta idea puede ser desarrollada para ajustar cualquier

otro tipo de funcion.

1.5.1. Ajuste de recta por mınimos cuadrados

Nuestra funcion elegida es una recta de la forma:

y = ax+ b (1.37)

donde a es la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen. El objetivo sera de-

terminar a y b para que (1.37) sea la recta que mejor se ajuste a la coleccion de datos

experimentales (1.34) segun el criterio que veremos a continuacion:

1. Residuo: Lo primero que tenemos que definir es el residuo de cada punto de

(1.34) con respecto a la recta (1.37) como:

ri = yi − y(xi) = yi − (axi + b) (i = 1, .....n) (1.38)

cantidad que puede ser positiva o negativa segun si el punto experimental (xi, yi)

este por encima o por debajo, respectivamente, de la recta. En el caso particular

de que el punto estuviese sobre la propia recta su residuo serıa nulo.

En principio el valor de los residuos dependera de la recta elegida (determinada

por los valores concretos elegidos para a y b). El criterio de ajuste por mınimos

cuadrados que utilizaremos consistira en elegir la recta de forma que la suma de

los cuadrados de los residuos sea mınima. Esto es, debemos determinar a y b de

forma que:n

∑

i=1

r2i =n

∑

i=1

(yi − axi − b)2 (1.39)

sea mınima. La suma anterior puede verse como una funcion de dos variables,∑n

i=1 r2 = f(a, b), ya que, para un conjunto de datos experimentales, el resultado

de dicha suma dependera solo de los valores elegidos de a y b, que actuan ahora

como variables de la funcion. En este sentido, para determinar los valores de a

y b que hacen mınima a f(a, b) puede utilizarse la tecnica de calculo de maxi-

mos y mınimos de funciones de varias variables. Ası, exigiendo que las derivadas

parciales de la funcion f [a, b) con respento las variables a y b (∂f/∂a) (∂f/∂b),

sean nulas se obtiene:

a =nC −DE

nF −D2b =

FE −DC

nF −D2(1.40)

siendo:

C =n

∑

i=1

xiyi ; D =n

∑

i=1

xi ; E =n

∑

i=1

yi ; F =n

∑

i=1

x2i

(1.41)


Puede denostrarse que la recta de mınimos cuadrados tiene la propiedad de pasar

por el punto medio de los valores experimentales (x, y).

La pendiente a y la ordenada en el origen b de la recta de mınimos cuadrados son

en muchas ocasiones magnitudes fısicas que se quieren medir. Por ello, es impor-

tante establecer que error absoluto vamos a considerar para dichos parametros

ası calculados. Estos vienen dados por:

sa =

√

n∑n

i=1 r2i

(n− 2)(nF −D2)(1.42)

sb =

√

F∑n

i=1 r2i

(n− 2)(nF −D2)(1.43)

Tomaremos como error absoluto de la pendiente y de la ordedenada en el origen de

una recta de mınimos cuadrados el triple de sus desviaciones estandar respectivas,

o sea:

a(±3sa) b(±3sb) (1.44)

Conviene senalar que, en algunas ocasiones, esta banda de error para a y b resulta

ser excesiva, resultando aparentemente imposible seleccionar ni siquiera una sola

cifra significativa de los resultados. Cuando esto ocurra, es aceptable adoptar un

criterio de error mas suave (por ejemplo, las propias desviaciones estandar en

lugar del triple de las mismas).

La recta de regresion obtenida nos permitira, si lo deseamos, estimar el valor de

la magnitud y para valores de s inicialmente medidos. Se puede demostrar que

el valor obtenido y0, utilizando la recta de regresion para un cierto x0 cualquiera

no medido, viene afectado por una desviacion estandar

sy0 =

√

∑n

i=1 r2i

(n− 2)

[

D − 2x0D + nx0

nF −D2

]

, (1.45)

y como error absoluto del valor estimado y0 adoptaremos el triple de su desviacion

estandar:

y(±3sy0) (1.46)

2. Coeficiente de correlacion r. Parametro lineal de las variables x e y, que nos

permite determinar la bondad del ajuste de la recta de mınimos cuadrados. Una

de las formas de expresarlo es:

r =nC −DE

√

(nF −D2)(nG− E2)(1.47)

siendo G =∑n

i=1 y2i . El coeficiente de correlacion puede ser positivo o negativo

y su valor absoluto |r|, varıa entre 0 y 1. El ajuste es tanto mejor cuanto mas


proximo este |r| de la unidad. Un valor de |r| proximo a cero indica que no

hay mucha correlacion lineal entre los datos, y que simplemente hay que buscar

una correlacion mas complicada (es decir, la nube de puntos experimentales se

ajustarıa mejor con una funcion distinta de una recta).

Muchas calculadoras ası como programas para representacion graficas de fun-

ciones traen incorporadas como utilidad estadıstica el calculo de rectas de regre-

sion, proporcionando todos los parametros del ajuste para los pares de valores

(xi, yi) que utilicen como datos.

Para concluir indicar que el estudio anterior llevado a cabo para la recta de mejor

ajuste tiene un doble interes: Por un lado la dependencia lineal (tipo recta) es muy

frecuente entre magnitudes fısicas y, por otro, otras dependencia mas complicadas

pueden reducirse a una dependencia tipo recta mediante un cambio de variables

adecuado. A continuacion se muestran algunos ejemplos:

Funcion inicial Cambio Forma Lineal

y = ax2 x2 = z y = az

y = a√x

√x = z y = az

y = A exp(−x) ln(x) = z; ln(A) = b z = −x+ b

y = axn ln(x) = z; ln(A) = 0b; ln(x) = t z = b+ nt

1.6. Realizacion de graficas

Las representaciones graficas son herramientas imprescindibles para la fısica exper-

imental. Con el fin de que la grafica aporte toda la informacion necesaria de la forma

mas adecuada deben seguirse ciertas normas de caracter general:

1. Las graficas podran realizarse manualmante o bien haciendo uso de algun software

grafico. Caso de hacerse manualmente debera utilizarse papel milimetrado.

2. Los datos experimentales siempre deben aparecer nıtidamente en la grafica. Se

presentaran como un conjunto de puntos. En este sentido, no deben unirse di-

chos puntos entre sı mediante segmentos formando una extrana lınea quebrada

(debe controlarse esta opcion en los programas de software graficow.

3. La recta de regresion se dibujara sobre la nube de puntos experimentales en una

unica grafica.

4. Los intervalos de valores considerados en los ejes deben ser tales que la recta

representada se visualice convenientemente en la grafica ocupando la mayor

area posible y no aparezca concentrada en una fraccion de ella (es decir, evitar

que la grafica quede en una esquina y el resto de papel vacıo.


5. Debe especificarse siempre sobre los ejes horizontales y verticales cuales son las

magnitudes allı representadas,ası como las unidades fısicas a que corresponden.

1.7. Memoria de las practicas

La realizacion de un trabajo experimental en el laboratorio ira siempre acompanado

de la posterior presentacion de una Memoria de Practa. Cada pareja de practica pre-

sentara una memoria de cada practica realizada.

La presentacion de las memorias debera estar dentro de los margenes de claridad y

limpieza exigibles a un alumno de ensenanzas superiores. La utilizacion de ordenadores

e impresoras para la elaboracion de la memoria es la opcion mas recomendable, no ob-

stante, pueden realizarse manualmente si el alumno no dospusiese de medios adecuados.

La presentacion extremadamente cuidada sera un factor positivo a tener en cuenta, pero

en nigun caso la excusa para descuidar el contenido escrito de las memorias.

Un esquema general, aunque flexible, del contenido de una memoria es el que sigue:

1. Una primera pagina con tıtulo, autores y fecha de realizacion de la misma.

2. Una breve introduccion para marcar los objetivos de la Practica.

3. Una descripcion del montaje experimental utilizado en el laboratorio: aparatos,

tecnicas de medida, etc.

4. Presentacion de resultados: tablas, graficas, etc. Los resultados deberan venir

acompanados de sus correspondientes errores, cuando ası se especifique. No

olvidar nunca presentar los resultados con sus unidades correspondientes, en

otro caso carecerıan de significado.

5. Interpretacion de los resultados y conclusiones. a.-) Comentarios sobre cualquier

aspecto del trabajo experimental. b.-) Detalles acerca del desarrollo del experi-

mento, c.-) Posibles fuentes de errores sistematicos no eliminada, d.-) Sugerencias,

etc

6. Un ultimo punto que se debe anadir a la memoria de practica y de fundamental

importancia concierne a la confrontacion de los resultados obtenidos mediante

las rectas de mınimos cuadrados con los resultados predichos por la teorıa cor-

respondiente. Una memoria de practicas sin estos comentarios se considerara in-

completa y por lo tanto no terminada en su totalidad.


1.8. RESUMEN: Estimacion de errores en las medidas

1.- Medidas Directas

1.1- Una unica medida

1) Valor verdadero: el medido, m

2) Error cometido: Aparatos analogicos y digitales, la sensibilidad S del

aparato ⇒ m± S.

1.2- Varias medidas

1) Valor verdadero: el valor medio, m.

2) Error cometido: El triple de la desviacion estandar media, sm ⇒ m ±3sm.

2.- Medidas Indirectas y = f(x, z, t)

2.1- Medidas obtenidas de una sola medicion

1) Valor experimental de y: el que resulta de evaluar la funcion y para los

valores obtenidos directamente de x, z, t, ....

2) Error cometido: aproximamos mediante tecnicas de calculo diferencial.

dy = ∆y =

(

∂f

∂x

)

∆x+

(

∂f

∂z

)

∆z +

(

∂f

∂t

)

∆t+ .....

los ∆x,∆z,∆t, .... se obtendran de las sensibilidades de los aparatos de

medidas.

2.2- Medidas obtenidas por tecnicas estadısticas

1) Valor verdadero:

x −→ x± 3sx

z −→ z ± 3sz

t −→ t± 3st

2) Error absoluto cometido en y, ±sy, se obtiene de tecnicas estadısticas:

sy =

√

(

∂f

∂x

)2

s2x +

(

∂f

∂z

)2

s2z +

(

∂f

∂t

)2

s2t

3.- Recta de mınimos cuadrados: y = ax+ b

3.1- Error cometido en a y b, es suficiente con a± sa, b± sb.

3.2- Buen ajuste: si el valor absoluto del coeficiente de correlacion |r|, es proximo

a la unidad


1.9. Ejercicios sobre Tratamiento de Errores y Medidas

1.- Expresar en notacion cientıfica las siguientes cantidades:

1.1- 23nT

1.2- 0.003mA

1.3- −5.0µV

1.4- 2.5GHz

1.5- 3.0MW

1.6- 7.0 pF

2.- Estime el error de aproximacion al medir:

2.1- Una distancia aproximada de 75 cm con una cinta metrica.

2.2- Una masa de unos 1.2 g con una balanza analıtica.

2.3- Un lapso de aproximadamente 6min con un cronometro.

3.- Una tecnica para medir distancias desde un punto a un satelite artificial es la que

se denomina Laser Ranging. Esta tecnica consiste en emitir un pulso laser desde

la superficie terrestre y medir el tiempo que tarda en recibirse el pulso reflejado

por el objeto. Sabiendo que la velocidad de la luz es c = 299792458m/s y que

entre la emision y recepcion del pulso han transcurrido ∆t = 4000012ns:

3.1- ¿Cual es el error implıcito en c y ∆t?

3.2- ¿Cual es la distancia al satelite?

3.3- ¿Con que precision se conoce la distancia?

3.4- Expresar correctamente dicha distancia.

4.- Con una regla graduada de madera, usted determina que un lado de un trozo

rectangular de lamina mide 12mm y usa un micrometro para medir el ancho

del trozo, obteniendo 5.98mm. Conteste las siguientes preguntas con las cifras

significativas correctas:

4.1- ¿Que area tiene el rectangulo?

4.2- ¿Que razon ancho/largo tiene el rectangulo?

4.3- ¿Que perımetro tiene el rectangulo?

4.4- ¿Que diferencia hay entre la longitud y la anchura?


5.- Para determinar el area de un rectangulo se han realizado 10 medidas de cada

uno de sus lados obteniendose los valores reflejados en la tabla adjunta:

a(mm) 24.25 24.26 24.22 24.28 24.23 24.25 24.22 24.26 24.23 24.24

b(mm) 50.36 50.35 50.41 50.37 50.36 50.32 50.39 50.38 50.36 50.38

Deteminar el valor del area del rectangulo y de la incertidumbre asociada:

5.1- A partir de los valores medios asociados a cada una de las dos dimensiones.

5.2- A partir del valor medio que se obtendrıa calculando los valores individuales

del area para cada una de las medidas.

6.- Calcular la capacidad de un condensador esferico de radioR = (0.350± 0.002)cm,

y separacion entre armaduras d = (0.75 ± 0.04)mm. La permitividad dielectri-

ca del medio es ǫ = (8.85 ± 0.001)× 10−12 F/m. La capacidad del condensador

viene dada por la expresion:

C = 4 π ǫR2

d(1.48)

7.- Para determinar el valor de la aceleracion de la gravedad g se ha utilizado un

carril de aire inclinado, de longitud L = (1000 ± 1)mm, cuyo punto mas alto se

situa respecto al mas bajo a una altura de H = (259 ± 1)mm. Por dicho carril

se ha dejado caer cierta masa, y se ha medido el tiempo empleado en recorrer

distintas distancias, obteniendose los siguientes resultados:

d(cm) 100 120 140 160 180 200

t(s) 0.887 0.973 1.052 1.124 1.192 1.257

La distancia recorrida por la masa viene expresada en funcion del tiempo por:

d =gH

2Lt2 (1.49)

Si se representa en un sistema de ejes cartesianos las distancias d en ordenadas y

los cuadrados de los tiempos t2 en abscisas, obtendremos una recta cuya pendiente

nos permite determinar el valor de g.

7.1- Representar graficamente los puntos anteriores y la recta de regresion cor-

respondiente.

7.2- Obtener por el metodo de mınimos cuadrados la pendiente y la ordenada en

el origen de dicha recta.

7.3- A partir de la pendiente y su error, determinar el valor de g con su error

correspondiente.

2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE 22

2. Practica 2: Ley de Hooke

Figura 2: Muelle

2.1. Ley de Hooke

1.- Conceptos Implicados: Fuerza, esfuerzo, deformacion, constante elastica, resorte.

2.- Principios Fısicos: Para mantener un resorte estirado una distancia x mas alla de

su longitud sin estiramiento, debemos aplicar una fuerza de igual magnitud en

el extreno del resorte. Si el alargamiento x no es excesivo, vemos que la fuerza

aplicada en el extremo es proporcional al propio alargamiento, o sea :

|~F | = ky (2.50)

donde k es una constante llamada constante de fuerza o (constante de re-

sorte) del resorte (o muelle)y las unidades son: [fuerza dividida por distancia].

Esta constante nos indica lo rıgido que es dicho muelle. Por ejemplo un resorte

blando (de juguetes) tiene una constante de fuerza del orden de 1N/m; para los

resortes mucho mas rıgidos de la suspension de un automovil, k es del orden de

105 N/m. La observacion de que el alargamiento (no excesivo) es proporcional

a la fuerza fue hallada por Robert Hooke en 1678 y se conoce como Ley de

Hooke; sin embargo no deberıa llamarse ley, pues es una afirmacion acerca de

un dispositivo especıfico y no una ley fundamental de la Naturaleza. Los resortes


reales no siempre obedecen la ecuacion (2.50) con precision, o sea que no en to-

dos los resortes (muelles) la deformacion es directamente proporcional a la fuerza

aplicada. Por ejemplo una goma elastica no tiene esa propiedad. Si la fuerza apli-

cada a un resorte es muy grande, puede ocurrir que este puede que no vuelva

a su posicion de equilibrio, en este caso decimos que el resorte, (o muelle), se

ha desformado. Ası, todo muelle real tiene un lımite de deformacion en el que

pierde esta proporcionalidad (lımite elastico), o sea, que la fuerza aplicada sea

proporcional al estiramiento, no cumpliendo en ese momento la ley de Hooke.

3.- Material: Base soporte, varilla, nuez con gancho, dispositivo ley de Hooke (rojo

= muelle blando, azul = muelle duro), portapesas 20g, 8 pesas de 10 g y 5 pesas

de 20 g.

4.- Objetivos: Estudiar la relacion existente entre la fuerza aplicada a un muelle y su

estiramiento. Verificar la ley de Hooke y calcular la constante de cada uno de los

muelles.

5.- Disposicion Experimental:

Figura 3: Experimento

Realizar el montaje mostra-

do en la Figura (3). Para el-

lo roscar la varilla en la base

soporte y fijar la nuez con

gancho en la varilla vertical.

Colgar de la nuez el disposi-

tivo que corresponda: El ro-

jo es el muelle mas blando

y el azul el mas duro. Estos

dispositivos llevan incorpo-

rada una escala en milımet-

ros, para poder medir direc-

tamente el estiramiento del

muelle mediante el ındice

rojo. Antes de colgar ningun

peso asegurese que el ındice

rojo marque el ′′0′′ de la es-

cala.


6.- Realizacion y Toma de Datos: Colguemos del gancho el dispositivo rojo al que pre-

viamente habremos ajustado el ′′0′′. Puesto que el portapesas tiene un peso ex-

acto de 20 g, lo usaremos tambien como una pesa mas y mediremos la elongacion

correspondiente. Por ello, en nuestro caso, como la posicion inicial del reposo es

xo = 0, entonces ∆x = x − xo = x. Despues del portapesas iremos introducien-

do una a una las 8 pesas de 10 g e iremos rellenando la tabla I. Tener en cuenta

que |~F | es el peso en N de las masas por lo que |~F | = |m~g| con g = 9, 8m/s2 y

x es el valor medido en la escala transparente.

Tabla 1: Medidas del la fuerza aplicada al resorte Rojo en funcion de

su elongacion

m(kg) |~F | = |m× 9.8~j| (N) x(cm) x(m) kr = |~F |x(N/m)

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

0.080

0.090

0.100

A partir de los valores de kr obtenidos calcular el valor medio de k con su error

correspondiente kr ±∆ kr = ..........

Repetir estas mismas medidas para el dispositivo azul. En este caso usaremos

las cinco pesas de 20 g y las ocho pesas de 10 g. Como en el caso anterior el

portapesas lo usaremos como una pesa mas.


Tabla 2: Medidas del la fuerza aplicada al resorte Azul en funcion de

su elongacion

m(kg) |~F | = |m.9.8~j| (N) x(cm) x(m) ka = |~F |x(N/m)

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0.160

0.180

0.200

A partir de los valores de ka obtenidos calcular el valor medio de k con su error

correspondiente ka ±∆ ka = ..........

7.- Tarea a Realizar:

7.1- Dibujar la grafica de |~F | frente a x y estudiar la linealidad de la recta para

el muelle rojo.

7.2- Ajustar la recta por mınimos cuadrados y hallar el valor de la pendiente de

la recta para el muelle rojo.

7.3- Hallar el valor de kr con su error correspondiente a partir de la pendiente

de la recta para el muelle rojo.

7.4- Comparar ambos resultados, o sea el valor de kr y el obtenido a traves de la

pendiente de la recta, indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo,

explicar las causas de dicha discrepancia.


el muelle azul.


la recta para el muelle azul.

7.7- Hallar el valor de ka con su error correspondiente a partir de la pendiente

de la recta para el muelle azul.

7.8- Comparar ambos resultados o sea el valor de ka y el obtenido a traves de la

pendiente de la recta indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo,

explicar las causas de dicha discrepancia.


2.2. Asociacion de resortes

1.- Material: Base soporte, varilla, nuez con gancho, dispositivo ley de Hooke (rojo

= muelle blando, azul = muelle duro), portapesas 20g, 8 pesas de 10 g y 5 pesas

de 20 g.

2.- Objetivo: Determinar la constante k para ambos resortes conectados en serie y en

paralelo.

3.- Fundamento Teorico: Decimos que dos o mas muelles estan conectados en serie

cuando lo estan solo por uno de ellos y en el punto de conexion no hay conectado

ningun resorte adicional. Decimos que estan conectados en paralelo cuando lo

estan por sus dos extremos.

3.1- Muelle en Paralelo:

Por tanto, la asociacion se comporta como un solo muelle, cuya constante

es la suma de las constante.

kp = ka + kr (2.51)

3.2- Muelle en Serie:

m0 ~a1 = −ka~x1 − kr(~x1 − ~x) = ~F1 − ~F2

Recordando que la masa m0 es igual a cero, o sea que no esta ahı, tendremos

que:~F1 − ~F2 = ~0 ⇒ ~F1 = ~F2 = ~F

O sea, la fuerza se transmite a lo largo de la asociacion, de forma que la

fuerza que se ejerce sobre el muelle rojo es la misma que la que se hace

sobre el muelle azul y la que este hace sobre el punto de anclaje. La fuerza

se conserva a lo largo de una asociacion en serie, por lo tanto:

~x1 = −~F1

ka= −

~F

ka~x2 = −

~F2

kr= −

~F

kr~x = ~x1 +~x2 = −

(

1

ka+

1

kr

)

~F


Figura 4: Muelles en paralelo

Supondremos el caso unidimensional y

consideraremos que un peso mg cuelga

de ellos. La masa esta unida al techo

a travas de dos resortes de constantes

k1 = kr y k2 = ka. Cuando la masa

desciende una cantidad x, los muelles se

estiraran la misma cantidad.

x1 = x2 = x

La fuerza total que los muelles ejercen

sobre la masa sera su resultante:

~F = ~F1 + ~F2 = −ka~x1 − kr~x2 =

−ka~x − kr~x = −(ka + kr)~x

Figura 5: Muelles en serie

Consideremos ahora dos muelles uno

puesto a continuacion del otro. El muelle

azul se encuentra anclado en la pared y

se estira una cantidad x1. El muelle ro-

jo se encuentra anclado a este, y se es-

tirara una cantidad x2. Por lo tanto la

masa m se encontrara a una distancia

x1 + x2 = x del techo. Para escribir

las ecuaciones de movimiento, podemos

suponer temporalmente que en el punto

de union de los dos muelles se encuen-

tra una pequena masa m0, que posteri-

ormente podemos hacerla tender a cero.

Esa masa esta unida a los dos muelles,

uno de constante ka unido a la pared y

otro de constante kr unido a la masa m.

La segunda ley de Newton aplicada a la

masa m0 sera:

y la constante equivalente a la asociacion en serie cumple que:

1

ks=

1

ka+

1

kr⇒ ks =

kakrka + kr

(2.52)

Resumiendo, de forma analoga a como ocurre en condensadores en circuitos

tenemos:


1) Si los muelles estan en paralelo, la constante de la asociacion es la suma

de las constantes

kp = ka + kr (2.53)

2) Si los muelles estan en serie, la inversa de las constantes es la suma de

las inversas,1

ks=

1

ka+

1

kr(2.54)

4.- Disposicion Experimental y Toma de Datos:

4.1- Muelles en Paralelos: Siguiendo la disposicion experimental de la Figura (6)

Figura 6: Muelles en Paralelo

una el resorte rojo y el azul en paralelo.

4.2- Toma de Datos: Colguemos el portapesas de 20 g y anotemos el valor de x0

inicial que tendremos, utilice para esa medida la regla que esta unida a la

barra de la disposicion experimenal. A partir de ese valor inicial anadamos

pesas de 20 gramos, hasta completar la tabla. La elongacion asociada a cada

pesa anadida la llamaremos xi


Tabla 3: Medidas de la fuerza aplicada a dos muelles en paralelo

en funcion de su elongacion

x0(cm) =

m(kg) |~F | = |m.9.8~j| (N) xi(cm) x(cm) = xi − x0 x(m) kp = |~F |x(N/m)

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0.160

0.180

0.200

A partir de los valores de kp obtenidos calcular el valor medio de kp con su

error correspondiente kp ± ∆kp = ..............

4.3- Muelles en Serie:

Figura 7: Muelles en serie

Siguiendo la disposicion experimental de la Figura (7) una el resorte azul y

rojo en serie.


4.4- Toma de Datos: Colguemos el portapesas y anotemos el valor de la elon-

gacion inicial x0 con ayuda de la regla unida a la barra de la disposicion

experimental. A partir de este valor inicial anada pesas de 10 gramos, hasta

completar la tabla. La elongacion asociada a cada masa anadida la llamare-

mos xi.

Tabla 4: Medidas de la Fueza aplicada a dos muelles en serie en

funcion de su elongacion

x0(cm) =

m(kg) |~F | = |m.9.8~j| (N) xi(cm) x(cm) = xi − x0 x(m) kp =|~F |x

(N/m)

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

0.080

0.09

0.100

A partir de los valores de ks obtenidos calcular el valor medio de ks con su

error correspondiente ks ± ∆ks = ..............

5.- Tareas a Realizar:


la asociacion de muelles en paralelo.


la recta para los muelles en paralelo.

5.3- Hallar el valor de kp con su error correspondiente a partir de la pendiente

de la recta para los muelles en pararelos.

5.4- Comparar ambos resultados, o sea kp y kp obtenido a traves de la pendiente,

indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo, explicar las causas de

dicha discrepancia. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular

los errores correspondientes)

5.5- Verifique que el valor obtenido para kp coincide con el valor teorico kp =

ka + kr. Compare el valor de kp obtenido con la recta de ajuste por mınimos

cuadrados con el obtenido a traves de su expresion teorica. Caso no coincidan


indique el por que. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular



la asociacion de muelles en serie.


la recta para los muelles en serie.

5.8- Hallar el valor de ks con su error correspondiente a partir de la pendiente

de la recta para los muelles en serie.

5.9- Comparar ambos resultados, o sea ks y ks obtenido a traves de la pendiente,

indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo, explicar las causas de

dicha discrepancia. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular


5.10- Verifique que el valor obtenido para ks coincide con el valor teorico 1/ks =

(1/ka + 1/kr).

5.11- Compare el valor de ks obtenido con la recta de ajuste por mınimos cuadra-

dos con el obtenido atraves de su expresion teorica. En caso de que no

coincidan indique el por que. (Recuerde que para comparar dos resultados

debemos calcular los errores correspondientes).

5.12- Dos resortes estan en paralelos cuando estan conectados entre sı y estan

conectados en sus extremos. Es posible pensar en esta combinacion como

equivalente a un solo resorte. La constante de fuerza del resorte equivalente

individual se denomina constante de fuerza efectiva kefe de la combinacion.

1) Demuestre que la constante de fuerza efectiva de esta combinacion es

kefe = k1 + k2

2) Generalice este resultado para N resortes en paralelo.

5.13- Dos resortes sin masa estan conectados en serie cuando se unen uno despues

de otro, punta con cola.

1) Demuestre que la constante de fuerza efectiva de una combinacion en

serie esta dada por: 1/kefec = (1/k1 + 1/k2). (sugerencia: para una

fuerza dada, la distancia total de estiramiento por el resorte individual

equivalente es la suma de las distancias estiradas por los resortes en

combinacion, ademas cada resorte debe ejercer la misma fuerza)

2) Generalice este resultado para N resortes.

2.3. Oscilaciones Armonicas

1.- Material: Base soporte, varilla, nuez con gancho, dispositivos ley de Hoole (rojo=

muelle blando y azul = muelle duro), portapesas 20 g, 8 pesas de 10 g, 5 pesas de


20 g y cronometro.

2.- Objetivos: Realizar un estudio dinamico del muelle. Estudiaremos de que factor o

factores depende el periodo de oscilacion de un muelle y calcularemos la constante

k da cada muelle.

3.- Fumdamento Teorico: Hemos visto que la ecuacion de movimiento de un resorte

gobernado por la ley de Hooke, es:

~F = − k~x = m~a (2.55)

donde ~F es la fuerza de recuperacion, ~x es cuanto se ha estirado el muelle, k es

la constante del muelle y el signo negativo indica que la fuerza de recuperacion

es de sentido contrario a la direccion de deformacion. m es la masa que oscila en

el extremo del muelle. La ecuacion (2.55) la podemos escribir como:

m~a = md2~x

dt2= −k~x ⇒ ~a = − k

m~x (2.56)

Si hacemos

ω2 =k

m

la solucion de la ecuacion (2.56) corresponde a un movimiento armonico simple,

cuya solucion general es de la forma (en mdulo):

x = x0 cos(ωt) +v0ω

sen(ωt) = A cos(ωt − ϕ)

Donde A es la amplitud del movimiento y ϕ es la constante de fase inicial. Ambos

parametros dependen de la posicion y de la velocidad inicial. Si tomamos la fase

inicial ϕ igual a cero,

x = A cos(ωt) (2.57)

y A es la amplitud maxima inicial en t = 0.

El periodo de oscilacion T depende de la masa y de la constante del muelle,

T =2π

ω= 2π

√

m

k⇒ f =

1

T=

1

2π

√

k

m(2.58)

donde f es la frecuencia natural de las oscilaciones.

Observamos que esta ecuacion (4.76) es similar a la obtenida en el movimiento

del pendulo simple en la aproximacion de angulos pequenos, donde aparece la

masa m allı aparecıa la longitud del pendulo l y donde tenemos la constante del

muelle k en el pendulo nos aparece la constante de la aceleracion de la gravedad

g. Si tomamos el cuadrado de la expresion del periodo (4.76)

T 2 =(2π)2

km


observamos que la dependencia del periodo al cuadrado es lineal con la masa.

Esto nos permitira analizar si realmente el periodo de oscilacion de un muelle

depende de la masa que colguemos en el mismo.

4.- Disposicion Experimental: Realizar el mismo montaje que en el experimento primero.

Colgar el dispositivo rojo (muelle blando) del gancho y cargarlo con el portapesas

y pesas para conseguir oscilaciones lentas (por ejemplo cinco pesas de 10 g).

5.- Realizacion y Toma de Datos:

5.1- Dependencia del Periodo de Oscilacion con la Elongacion: Con el dis-

positivo rojo cargado con las pesas, desplazemos el muelle de su posicion

de equilibrio las cantidades indicadas en la tabla siguiente y midamos el

tiempo transcurrido en 30 oscilaciones t30 (Recordar que cada oscilacion

corresponde a un periodo, es decir hay que contar una oscilacion cada vez

que el muelle pasa por la misma posicion superior o inferior). El periodo

sera T = t30/30.

Tabla 5: Medidas del periodo de oscilacion del resorte rojo en

funcion de su amplitud

Amplitud x(cm) t30(s) T = t30/30 (s)

1

2

3

4

5.2- Realizar las mismas medidas pero con el disapositivo azul. Se recomienda

cargar el muelle con el portapesas y cinco pesas de 20 g.

Tabla 6: Medidas del periodo de oscilacion del resorte Azul en

funcion de su amplitud

Amplitud x(cm) t30(s) T = t30/30 (s)

1

2

3

4


1) Con los resutados obtenidos en las tablas 5 y 6, ¿es posible concluir que

el periodo de oscilacion de un muelle no depende de la elongacion inicial

del mismo? Comente su respuesta.

5.3- Dependencia del Periodo de Oscilacion con el Peso Aplicado: Estudiemos

ahora si el periodo de oscilacion depende o no de la fuerza que aplicamos

al muelle. En este caso necesitamos tambien considerar el peso de la varilla

portaındice ya que tambien esta oscilado.

El peso de esta varilla es de 7.5 g en ambos dispositivos. Haremos

primero las medidas con el dispositivo rojo y a continuacion con el azul.

Iremos anadiendo las masas indicadas en la tabla c (El portapesas y las 8

pesas de 10 g), desplazamos el muelle un poco de la posicion de equilibrio y

mediremos el tiempo transcurrido en 30 oscilaciones t30. (recuerde que cada

oscilacion se entiende como un periodo). El periodo sera T = t30/30

Tabla 7: Medidas del periodo de oscilacion del resorte Rojo en

funcion de su peso

Masa total

Masas incluyendo

aplicadas varilla + t30(s) T = t30/30 (s) T 2(s2) kr = (2π)2m

T 2(N/m)

(kg) portaındice

m(kg)

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

0.080

0.090

0.100

Calcule el valor medio de la constante del muelle kr con su error correspon-

diente kr ± ∆kr = ..............

5.4- Repetir estas medidas para el muelle del dispositivo azul. En este caso us-

aremos el portapesas, las cinco pesas de 20 g y las 8 pesas de 10 g.


Tabla 8: Medidas del periodo de oscilacion del resorte azul en

funcion de su peso

Masa total

Masas incluyendo

aplicadas varilla t30(s) T = t30/30 (s) T 2(s2) ka = (2π)2 mT 2 (N/m)

(kg) portaındice

m(kg)

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0.160

0.180

0.200

Calcule el valor medio de la constante del muelle kr con su error correspon-

diente ka ± ∆ka = ..............

6.- Tareas a Realizar:

6.1- Realizar las graficas de T 2 frente a m tanto para el muelle rojo como para

el muelle azul.

6.2- De la pendiente de las rectas obtenidas calcular los valores de kr y ka. Recor-

dar que T 2 = (2π)2

km.

6.3- ¿Se verifica la relacion lineal entre T 2 y m en ambos casos?

6.4- ¿Estan en concordancia los valores obtenidos de kr y ka con los obtenidos

en el experimento primero (Ley de Hooke)?

6.5- Discuta los resultados obtenidos en ambos casos justificando su respuesta.

6.6- Un efecto que no hemos tenido en cuenta es el peso del muelle que esta os-

cilando. Parte de la masa del muelle habrıa que tomarla en cuenta junto con

las masas que estamos suspendiendo en dicho muelle. Esta masas a tener en

cuenta es aproximadamente la mitad de la masa del muelle. Si tomamos en

consideracion esta masa, la expresion del periodo se verıa modificada de la

siguiente manera:

T = 2π

√

m + m0/2

k⇒ k = (2π)2

m + m0/2

T 2(N/m)


donde m0 es la masa del muelle. En nuestro caso este efecto es muy pequeno

ya que la masa de los muelles es pequena en comparacion con las masa

saplicadas. Para el dispositivo rojo esta masa es de 1.2 g y para el azul la

masa es de 2.6 g. Calcule cual serıa la correccion en la medida de la constante

k en cada un o de los muelles y compare los resultados obtenidos.

6.7- Los amortiguadores de un automovil viejo con masa de 1000 kg estan gasta-

dos. Cuando una persona de 980N se sube lentamente al auto en su centro

de gravedad, el auto baja 2.8 cm. Cuando el auto, con la persona a bordo,

cae en un bache, comieza a oscilar verticalmente en MAS. Modele el auto

y la persona como un solo cuerpo en un solo resorte y calcule el periodo y

la frecuencia de la oscilacion

3 PRACTICA 3: CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA 37

3. Practica 3: Conservacion de la Energıa Mecanica

Figura 8: Rueda de Maxwell

3.1. Conservacion de la Energıa Mecanica. Momento de Iner-

cia

1.- Conceptos Implicados: Energıa Cinetica de Traslacion, Energıa Cinetica de Rotacion,

Energıa Potencial, Conservacion de Energıa y Centro de Masa.

2.- Principio Fısico: Demostrar que el movimiento de un solido rıgido siempre puede

dividirse, en movimiento independiente de traslacion del centro de masa y rotacion

al rededor del centro de masa, no tiene cabida en este laboratorio, pero si pode-

mos comprobar que es cierto para la energıa cinetica de un cuerpo rıgido con

movimiento tanto traslacional como rotacional. La energıa cinetica total del cuer-

po es la suma de su energıa cinetica de traslacion, asociada a su centro de masa

(1/2)Mv2cm mas la energıa cinetica de rotacion (1/2)Icmω2 asociada a la rotacion

al rededor de un eje que pasa por su centro de masa.

Para demostrar esto consideramos el movimiento de un disco homogeneo Figu-

ra (8) que gira en sentido antihorario con respecto a su eje, (que tomaremos como

eje z). El centro de masa del disco sera el origen de referencia y el disco se puede

representar geometricamente como un cırculo en el plano xy que gira respecto

al eje z. Como tratamos con un solido rıgido (indeformable), compuesto de N


partıculas cada una de ella con masa mi, donde la suma total de la masa de

cada partıcula∑N

i mi es igual a la masa total del disco M . Si centramos nuestra

atencion en cualquiera de esas partıcula de masa mi, con vector posicion respecto

al centro de masa igual a:

~ri = xi~i + yi~j

su movimiento esta relacionado con el movimiento del resto de las partıculas en

el sentido de que todas recorren los mismos angulos en el mismo tiempo (solido

rıdido), es decir, si la velocidad angular de rotacion de esa partıcula de masa

mi en un instante dado es ω(t), entonces todas las N partıculas que componen

el disco giran con la misma velocidad angular. El vector velocidad angular en

relacion al eje de giro considerado (z) se define como :

~ω = ω~k

el vector unitario ~k nos esta indicando que el disco esta girando alrededor del eje

z. La velocidad de esa partıcula de masa mi sera:

~ui =d~ridt

= ~ω × ~ri. (3.59)

La Energıa Cinetica de esa partıcula de masa mi sera

Eci =1

2miu

2i =

1

2ω2(mir

2i ) (3.60)

La Energıa Cinetica total del disco sera la suma de la Energıa Cinetica de cada

una de sus partıculas, ademas como solo estamos considerando movimiento de

rotacion a esta Energıa Cinetica se le llama Energıa Cinetica de Rotacion Er, por

lo tanto:

Er =N∑

i=1

Eci =N∑

i=1

1

2miu

2i =

1

2ω2

N∑

i=1

mir2i (3.61)

La cantidadN∑

i=1

mir2i = Iz

es una caracterıstica de los cuerpos rıgidos llamada Momento de Inercia del cuer-

po con respecto al eje z (eje de giro). Por lo tanto la Energıa Cinetica de Rotacion

del disco que gira respecto al eje z que pasa por su centro de masa con velocidad

angular ω es:

Er =1

2Izω

2 (3.62)

Ahora bien, nuestra rueda de Maxwell, no solamente gira, sino que tambien se

desplaza (cae), o sea que su centro de masa no esta fijo sino que se mueve con

una cierta velocidad que llamaremos vCM ≡ v. Por tanto, ademas de la Energıa


Cinetica de Rotacion la rueda de Maxwell tiene una Energıa Cinetica de traslacion

asociada a su centro de masa que sera:

Et ==1

2Mv2 (3.63)

En el movimiento de la rueda de Maxwell tambien debemos considerar la Energıa

Potencial gravitatoria a la que esta sometida la rueda. Si tomamos el origen de

alturas en la posicion inicial, la Energıa Potencial total asociada a cada una de

las partıculas sera Epi = −migsi, donde si es el desplazamiento vertical de la

partıcula respecto a su posicion inicial. La Energıa Potencial total asociada a la

rueda de Maxwell sera:

Ep =N∑

i=1

Epi = −N∑

i=1

migsi (3.64)

El desplazamiento si lo podemos escribir como la suma del desplazamiento ver-

tical del centro de masa s mas el desplazamiento vertical del punto i respecto al

centro de masa s′

i, o sea si = s + s′

i. El desplazamiento vertical del centro de

masa esta relacionado con la velocidad del centro de masa, vCM ≡ v como:

v =ds

dt(3.65)

El termino s′

, debido a la homogeniedad de la rueda de Maxwell no afecta a la

Energıa Potencial de la rueda. Por lo tanto :

Ep = −N∑

i=1

mi g s = −gs

N∑

i=1

= −gsM (3.66)

Si durante el movimiento de la rueda de Maxwell, asumimos que la cuerda no

desliza, la velocidad del centro de masa de la rueda sera igual a la velocidad lineal

de cualquier punto situado en la periferia del eje de la rueda donde esta arrollada

la cuerda. Si el eje tiene radio r, eso significa que

v = ωr (3.67)

Con estas consideraciones podemos concluir que la Energıa total de una rueda

de Maxwell, que recorre una distancia s girando sin deslizar, es la suma de su

Energıa Cinetica de Rotacion, mas la Energıa Cinetica de Traslacion mas la

Energıa Potencial, por lo tanto:

Et =1

2Izω

2 +1

2Mv2 − Mgs

expresion que podemos reescribir como:

Et = −Msg +1

2

(

M +Izr2

)

v2 (3.68)


Donde M es la masa de la rueda, s es el desplazamiento vertical del

centro de masa de la rueda desde la posicion inicial, Iz es el momento

de inercia de la rueda respecto el eje de rotacion que pasa por su centro

de masa y v = ds/dt es la velocidad de traslacion vertical del centro de

masa.

Puesto que la Energıa Mecanica total de la rueda es constante, es decir, es una

magnitud que se conserva, la ecuacion (3.68) se puede simplificar si derivamos re-

specto del tiempo y obtener una expresion para la velocidad y el espacio recorrido

en funcion del momento de inercia. Si derivamos respecto del tiempo tenemos:

0 = −mgv +

(

m +Izr2

)

vdv

dt(3.69)

Si tomamos como condiciones iniciales que para:

t = 0; s0 = 0 y v0 = 0

podemos integrar (3.69) y obtener una ecuacion para la velocidad v(t) de la

rueda y otra para el espacio recorrido por la rueda s(t) en funcion del momento

de inercia y del tiempo transcurrido durante el desplazamiento.

v(t) =

(

Mg

M + Iz/r2

)

t (3.70)

s(t) =1

2

(

Mg

M + Iz/r2

)

t2 (3.71)

3.- Objetivos: Determinar el momento de Inercia de la rueda de Maxwell y comprobar

la conservacion de la energıa.

4.- Material: Rueda de Mawxwell, barrera fotoelectrica con contador digital de tiem-

pos, disparador de cable, escala milimetrica y cables de conexion.

5.- Disposicion Experimental: El montage de la practica se puede observar en la figu-

ra (11): En el se puede ver la rueda de Maxwell en su posicion inicial con las

cuerdas arrolladas en el eje del disco. En esta posicion se encuentra sujeto por el

disparador, Figura (10) que se ha de mantener apretado, de manera que cuando

se suelte el pulsador el disco quedara libre para caer y girar. Una vez que se ha

dejado libre el disco y antes de que el eje del disco llegue a su puerta de medicion,

hay que volver a pulsar el disparador y mantenerlo pulsado, para que la puerta

pueda medir el tiempo de caıda.



Figura 9: Dispositivo Fotoelectrico Figura 10: Dispositivo de disparo

Figura 11: Rueda de Maxwell

A una cierta distancia s se

coloca la puerta fotoelectri-

ca, Figura (9) que mide el

tiempo t que transcurre des-

de que se pulsa el disparador

hasta que el eje del disco

llega a la lınea de medi-

da. La regla permite medir

esta distancia con un er-

ror asociado a la precision

de la regla. Por otra parte,

la puerta fotodetectora per-

mite medir los tiempos con

gran precision. Las medidas

se repetiran dos veces para

disminuir el error cometido.


6.1- Medir el tiempo que tarda la rueda en recorrer la distancia que le separa

desde el punto inicial hasta el detector para 6 valores diferentes de altura s.

Medir dos veces el tiempo en cada caso y tomar el valor medio de las medidas

e indicar el error cometido tanto en las distancias como en los tiempos.

Tabla 1: Medidas del espacio recorrido por la rueda de Maxwell

en funcion del tiempo

s (mm) ∆ s (mm) t1(s) t2(s) t(s) ∆ t(s)

1) Representar graficamente s frente a t2.

2) Calcular la pendiente de la recta p y la ordenada en el origen b y el

coeficiente de correlacion lineal c de la recta de mınimos cuadrados

s = pt2 + b

p = b = c =

3) Trazar esta recta sobre la representacion anterior

4) Haciendo uso de la pendiente de la recta de mınimos cuadrados y com-

parando con la ecuacion (3.71), determinar el momento de inercia I de

la rueda de Maxwell. Tomar como valores para la rueda de Maxwell:

m = 0.436 kg para su masa y r = 2.5mm para el radio de su eje.

Iz =

6.2- Para cada valor de la distancia s, representar el valor de la velocidad v frente

al tiempo.


Tabla 2: Representacion de la velocidad de la rueda de Maxwell

en funcion del tiempo

t(s) v(m)

6.3- Para cada valor del tiempo, determinar el valor de la Energıa Potencial

Gravitatoria, Ep, el de la Energıa Cinetica de Rotacion Er y el de la Energıa

Cinetica de Traslacion Et.

Tabla 3: Representacion de la Energıa Potencial, Enegıa Cinetica

de Rotacion y Energıa Cinetica de Traslacion en funcion del

tiempo

t Ep Er Et

1) Representar el valor de cada Energıa frente el tiempo indicando el tipo

de curva que se obtiene en cada caso.

2) ¿Son las curvas obtenidas compatibles con los resultados esperados?

Explique los mismos.

7.- Preguntas y conclusiones:

7.1- ¿Se puede deducir, partiendo de los datos obtenidos en el punto 6.3 que se

conserva la Energıa Mecanica en el disco de Maxwell?

7.2- Obtener las ecuaciones (3.70) y (3.71)


7.3- Deducir las expresiones de la Energıa Cinetica de Traslacion, de Rotacion y

de la Energıa Potencial de la rueda de Maxwell en funcion del tiempo.

7.4- Calcular la Energıa total en funcion del Tiempo.

7.5- En el apartado 6.2 ¿Como has determinado la velocidad v asociada a cada

tiempo t y por que? ¿Obtienes los mismos resultados si utilizas para la

velocidad v la expresion de s/t?. Si los resultados son distintos, ¿Cual es la

expresion correcta que debemos utilizar para v, y por que?

7.6- Se hace un yoyo enrollado en un hilo varias veces alrededor de un cilindro

solido de masa M y radio R. Se sostiene el extremo del hilo fijo mientras se

suelta el cilindro desde el reposo. El hilo se desenrolla sin resbalar ni estirarse

conforme el cilindro cae y gira. Use consideraciones de Energıa para calcular

la velocidad vcm del centro de masa del cilindro solido despues de caer una

distancia h.

4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO 45

4. Practica 4: Pendulo Matematico

Figura 12: Pendulo

4.1. Dependencia del periodo del pendulo con el angulo de

oscilacion

1.- Conceptos Implicados: Periodo de oscilacion, aceleracion de la gravedad g, y angulo

de oscilacion.

2.- Principio Fısico: Un pendulo simple es un modelo idealizado que consiste en una

masa puntual suspendida de un hilo sin masa, de longitud l no estirable. Si la

masa se mueve a un lado de su posicion de equilibrio (vertical), oscilara alrededor

de dicha posicion. La trayectoria de la masa puntual no es una recta, sino el arco

de un cırculo de radio l igual a la longitud del hilo Figura (12) Las fuerzas que

actuan sobre el pendulo simple son: su peso ~P = m~g, y la tension ~T del hilo.

Cuando el hilo forma un angulo θ con la vertical, el peso tiene las componentes

mg cos θ a lo largo del hilo y mg sen θ tangencial al arco circular en el sentido

de θ decreciente. Para la componente tangencial Fθ, o fuerza de restitucion, si

aplicamos la segunda ley de Newton (∑

Fi = mai), obtenemos:

−mg sen θ = Fθ = md2s

dt2(4.72)


donde la longitud del arco s esta relacionada con el angulo θ mediante s = lθ.

Derivando dos veces con respecto al tiempo ambos lado de la expresion s = lθ se

obtiene:d2s

dt2= l

d2θ

dt2(4.73)

Sustituyendo en la ecuacion (4.72) se obtiene:

d2θ

dt2= −g

lsen θ (4.74)

Observese que la masa m no aparece en la ecuacion. Podemos considerar, anal-

izando la ecuacion (4.74), que el movimiento de un pendulo es aproximadamente

armonico simple. De hecho, si consideramos angulos pequenos, sen θ ≈ θ, pues el

sen θ puede expresarse como una serie infinita de la forma

sen θ = θ − θ3

3!+

θ5

5!− θ7

7!+ .....+

θ(2n+1)

(2n+ 1)!.

Para esta aproximacion, de angulos pequenos, la ecuacion (4.74) se convierte en:

d2θ

dt2= −g

lθ (4.75)

que corresponde a la ecuacion de un movimiento armonico simple, donde la fuerza

de restitucion Fθ es proporcinal a la coordenada para desplazamientos pequenos

y la constante de fuerza es k = mg/l. La frecuencia angular ω de un pendulo

simple con amplitud pequena es:

ω =

√

k

m=

√

mg/l

m=

√

g

l

Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son:

f =ω

2π=

1

2π

√

g

l

T =2π

ω=

1

f= 2π

√

l

g(4.76)

Insistimos en que el movimiento de un pendulo es aproximadamente armonico

simple. Si la amplitud no es pequena, la divergencia con respecto al movimiento

armonico simples puede ser considerable. De hecho el periodo puede expresarse

como una serie infinita de la forma:

T = 2π

√

l

g

(

1 +12

22sen2 θ

2+

12

2232

42sen4 θ

2+ .....

)

(4.77)

θ se expresa en radianes.

Nuestro objetivo es demostrar la dependencia de T con√l y calcular el valor

aproximado de g a partir de la expresion (4.76), despejando g obtenemos:

g =(2π)2

T 2⇔ T 2

l= cte ⇔ l

T 2= cte


3.- Material: Base soporte con varilla, nuez doble, mordaza con varilla, hilo, bola

grande con gancho, cronometro y cinta metrica.

4.- Disposicion Experimental: Realizar el montaje mostrado en la Figura (14). Para

Figura 13: Pendulo

ello unir la varilla a la base soporte. Fijar la nuez doble y a esta la mordaza con

varilla. Cortar unos 90 cm de hilo y atarlo por el extremo del orificio de la bola

grande mediante un par de nudos simples. El otro extremo del hilo lo presionare-

mos en la mordaza y con ayuda de la cinta metrica mediremos la longitud deseada

del pendulo, teniendo en cuenta que la medida es hasta la mitad del diametro

de la bola que es donde se encuentra el centro de masa. Otra opcion es medir

siempre hasta la superficie de la bola y sumarle el radio. Segun disminuyamos

la longitud del pendulo debemos bajar la nuez doble hacia la parte vertical para

ganar estabilidad.


5.- Realizacion y toma de datos: Para cada valor de l medir el tiempo en segundos,

transcurrido en 30 oscilaciones del pendulo t30 y hallar el periodo T como T =

t30/30, usando en las medidas dos cifras significativas despues del cero (es decir

precision de centesimas de segundo que es lo que nos muestra el cronometro).

Para ello desplazar el pendulo desde su posicion de equilibrio entre unos 5o o 10o

y soltar la bola. Poner en marcha el cronometro cuando la bola llegue a uno de

sus extremos y pararlo cuando halla pasado 30 veces por el mismo punto. (Se

define una oscilacion como el recorrido que hace la bola desde que sale de un

punto hasta que vuelve a pasar por el mismo punto). Con los datos obtenidos

rellenar la siguiente tabla:

Tabla 1: Medidas del Periodo de oscilacion de un pendulo en funcion

de su longitud

l(m) t30 (s) T = t30/30 (s) T 2(s2) l/T 2 (m/s2) g =(2π)2

T 2l (m/s2)

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

0.45

0.40

0.35

0.30

A partir de los valores de g obtenidos calcular el valor medio g con su error

correspondiente: g ±∆g = .................

6.- Preguntas y Conclusiones:

6.1- ¿Se verifica que l/T 2 es constante?

6.2- Dibujar la grafica de T 2 frente a l. Obtener la pendiente de la recta por

mınimos cuadrados.

6.3- Calcular el valor experimental de g a traves de la pendiente de la recta. (Si:

T 2 =(2π)2

gl Esto indica que la pendiente de la recta obtenida es: (2π)2/g).

¿Se aproxima este valor al valor teorico de g = 9.81m/s2?

6.4- Comparar el valor medio de g con el valor de g obtenido a traves de la

pendiente.


6.5- Analizar los errores de medida de los aparatos y los experimentales.

6.6- ¿Por que hemos realizado la medida para 30 periodo y no solo para uno?

6.7- ¿De que factores geograficos depende el valor de la aceleracion de g?

6.8- ¿ Se te ocurre algun otro metodo para medir el valor de g?

6.9- Calcule el periodo y la frecuencia de un pendulo simple de 1.000m de longi-

tud en un lugar donde g = 9.800m/s2.

6.10- En la Tierra cierto pendulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ¿ Que periodo

tendra en Marte, donde g = 3.71m/s2?

6.11- Despues de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial con-

struye un pendulo simple con longitud de 50.0 cm, y determina que efectua

100 oscilaciones completas en 136 s ¿Cuanto vale g en ese planeta?

4.2. Dependencia del periodo del pendulo con la masa


pequna con gancho, cronometro y cinta metrica.

2.- Objetivo: Estudiar la dependencia que existe entre el periodo de oscilacion de un

pendulo simple y la masa del mismo.

3.- Fundamento Teorico: En la expresion que hemos obtenido para el periodo de os-

cilacion de un pendulo simple T = 2π√

l/g, no aparece ninguna dependencia

con la masa del mismo. Se trata de demostrar experimentalmente que esto real-

mente es lo que ocurre, o sea que el periodo de oscilacion de un pendulo simple

no depende da la masa del mismo.

4.- Disposicion Experimental: Realizar el mismo montaje que en el experimento ante-

rior con la diferencia que ahora utilizaremos la bola pequena a la que ataremos

otro hilo.

5.- Realizacion y Toma de Datos: Repetir las medidas realizadas en el experimento

anterior pero con la bola pequena.


Tabla2: Medidas del periodo de oscilacion de un pendulo con bola

pequena en funcion de su longitud

l(m) t30 (s) T = t30/30 (s) T 2(s2) l/T 2 (m/s2) g = (2π)2

T 2 l (m/s2)

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

0.45

0.40

0.35

0.30

A partir de los valores de g obtenidos calcular el valor medio g con su error

correspondiente: g ±∆g = .................


6.1- ¿Depende el periodo del pendulo de la masa del mismo?

6.2- ¿Que debe hacerse a la longitud del hilo de un pendulo simple para

1) Duplicar su frecuencia

2) Duplicar su periodo

3) Duplicar su frecuencia angular

4.3. Dependencia del periodo del pendulo con el angulo de

oscilacion


pequena con gancho, cronometro, cinta metrica y medidor de angulos.

2.- Objetivos: Estudiar cualitativamente la dependencia que existe entre el periodo

de un pendulo simple y el angulo de oscilacion del mismo.

3.- Fundamento Teorico: Para analizar la dependencia del periodo de un pendulo con

la longitud del mismo hemos realizado la aproximacion de T = 2π√

l/g con

la condicion de oscilaciones para angulos pequenos (movimiento armonico sim-

ple). Si θ es lo suficientemente grande podemos apreciar una dependencia en

el valor del periodo con el angulo de oscilacion. Recordemos que la expresion

que resulta de resolver la ecuacion de movimiento del pendulo simples e (4.77)


Figura 14: Dispositivo para medir angulos

T = 2π√

l/g(

1 + 12

22sen2 θ

2+ 12

2232

42sen4 θ

2+ .....

)

. Note que el periodo T difiere

de T0 solamente para amplitudes muy grandes. Para pequenas oscilaciones es

suficiente tomar el primer termino correctivo, y sustituir sen(θ/2) por θ/2, obte-

niendose T = 2π√

l/g(1 + (1/16)θ2), donde θ se expresa en radianes. Esta es

una aproximacion suficiente para la mayor parte de las situaciones practicas. De

hecho, el termino θ2/16 representa menos del 1% para amplitudes menores de

230. El signo positivo que precede al termino (1/16)θ2 nos indica que para una

longitud fija del pendulo l, cuanto mayor sea el angulo de oscilacion del pendulo

mayor sera el periodo.

4.- Disposicion Experimental: Realizar el mismo montaje que en el primer experimen-

to, pero usando la bola pequena para tener mas estabilidad. En esta ocasion

mantendremos fijo el valor de l. Recomendamos que l no sobrepase los 40 cm

para evitar desestabilizaciones para angulos grandes.

5.- Realizacion y Toma de Datos: Para el valor fijado de l, medir el tiempo transcur-

rido en 10 oscilaciones t10 y hallar el periodo T = t10/10. Para ello desplace el

pendulo de su posicion de equilibrio los grados indicados en la tabla 3 y soltar

la bola. Poner en marcha el cronometro cuando la bola llegue a uno de los ex-

tremos y pararlo cuando haya pasado 10 veces por el mismo punto. Se recomienda

realizar la medida varias veces y calcular el valor medio de ¯t10 para minimizar

los errores experimentales. Con los datos obtenidos rellenar la siguiente tabla,

teniendo en cuenta que el % de desviacion se refiere a la desviacion relativa entre

el valor del periodo medio a 5o y el medido a los otros angulos indicados. El T (5o)

se corresponderıa practicamente con el valor teorico usado en los experimentos 1


y 2, esto es T (5o) ∼= 2π√

l/g.

Tabla 3: Medidas del periodo de un pendulo en funcion del angulo de

oscilacion inicial

θ t101 t102 t103 t10 T = t1010(s) %desviacion = T−T (5o)

T (5o)× 100

5o T (5o) =

30o

60o

90o


6.1- ¿Se ha conseguido demostrar que efectivamente el periodo de oscilacion de

un pendulo simple depende del angulo con el que oscila? Explique el porque.

6.2- Realizar la grafica T/T (5o) frente a θ y comprobar que no se trata de una

lınea recta.

6.3- Un pendulo simple de 2.00m de largo oscila con un angulo maximo de 30.0o

con la vertical. Obtenga su periodo,

1) Suponiendo una amplitud pequena

2) Utilizando los primeros tres terminos de la ecuacion (4.77).

3) ¿Cual de las respuestas a los incisos a) y b) es mas precisa?

4) Para aquella que es menos precisa, ¿de que porcentaje es el error con

respecto a la mas precisa?.

6.4- Si la amplitud de un pendulo simple aumenta ¿deberıa aumentar o disminuir

su periodo? Mencione un argumento cualitativo; no se base en la ecuacion

(4.77).

5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQUIMEDES 53

5. Practica 5: Principio de Arquımedes

Figura 15: Arquımedes

5.1. Determinacion de la densidad un solido mediante el prin-

cipio se Arquımedes

1.- Conceptos Implicados: Dinamometro, principio de Arquımedes, densidad, fluidos,

2.- Principio Fısico: El principio de Arquımedes establece que: Si un cuerpo esta par-

cial o totalmente sumergido en un fluido, este ejerce una fuerza hacia arriba sobre

el cuerpo (empuje) igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

Es interesante comprender que el principio de Arquımedes es una consecuen-

cia de la presion hidrostatica. Analicemos que esta ocurriendo con un cuerpo

sumergido en un fluido con densidad ρ y cuales son las fuerzas que actuan sobre

el Figura (16). Supongamos que este cuerpo es un cilindro de masa m, altura H

y area A. En la superficie superior del cilindro la presion ejercida por el fluido es

P1 = ρgh1, con h1 la profundidad a la que se encuertra dicha superficie. En la


Figura 16: Empuje

superficie inferior del cilindro la presion sera P2 = ρgh2, con h2 la profundidad

a la que se encuentra dicha superficie, con h2 > h1.

La fuerzas que actuan sobre ambas superficies debido a estas presiones seran:

~F1 = −P1A~j

~F2 = P2A~j

por lo tanto:

~Fr = (p2 − p1)A~j ⇒ ~Fr = (ρgh1 − ρgh2)A~j

expresion que podemos escribir como:

~Fr = ρg(h2 − h1)A~j ≡ ρgHA~j

Como el volumen del cilindro Vc coincide con el volumen de agua desplazado

por el cuerpo Va, Vc = Va, encontramos que la fuerza que actua hacia arriba

corresponde el empuje E, por lo tanto:

E = ρgV ⇒ E = mg (5.78)


Figura 17: Arquimedes

siendo ρV = m, la masa de agua desalojada.

Supongamos ahora que un cuerpo de masa mc, densidad ρc y volumen Vc cuelga

de un dinamometro. El peso del cuerpo en el aire sera Pc. Si este mismo cuerpo se

sumerge en un lıquido de densidad ρl, el dinamometro indicara el peso aparente

Pap debido al empuje del lıquido E Figura (17). El peso aparente Pap del cuerpo

totalmente sumergido en el lıquido sera igual a su peso en el aire menos el empuje

E.

Pap = Pc − E (5.79)

Hemos visto que el empuje esta relacionado con la densidad del lıquido, el volumen

de agua desalojada Vl y g eq.( 5.78).

E = mlg = ρlVlg (5.80)

Por otro lado el peso del cuerpo en el aire Pc se puede escribir como:

Pc = mcg = ρcVcg (5.81)

Si sustituimos les ecuaciones (5.80) y (5.81) en (5.79) obtenemos que:

Pap = ρcVcg − ρlVlg (5.82)

Recordando que el volumen de agua desalojada Vl coincide con el volumen del

cuerpo Vc si este esta totalmente sumergido en el lıquido, tenemos:

Pap = (ρc − ρl)Vcg (5.83)


Si despejamos en esta ecuacion la densidad del cuerpo llegamos a:

ρc =Pap

gVl

+ ρl (5.84)

3.- Material: Base soporte con varilla, nuez con gancho, dispositivo de la ley de hooke

(dinamometro), agua corriente, diversos cilindros regulares, probeta graduada,

balanza de precision,


Figura 18: Dinamometro

Realizar el montaje mostrado en la figura (18). Para ello roscar la varilla en

la base soporte y fijar la nuez con gancho en la varilla vertical. Colgar de la

nuez el dispositivo que corresponda (preferiblemente el muelle rojo). Colgar el

cilindro de este muelle. La masa del cuerpo en el aire la determinamos con el

dinamometro. Recuerde que |~F | = kx = Pap . Una vez determinado el peso

aparente del cuerpo sumergirlo totalmente en la probeta graduada llena de agua


destilada y determinar el volumen de agua desalojada. Usando la ecuacion (5.84)

determinaremos la densidad de diferentes cuerpos.


5.1- Colgar del dinamometro uno de los cilindros, determinar y anotar su peso.

5.2- Anotar el volumen de agua corriente contenida en la probeta.

5.3- Sumergir el cuerpo en agua corriente y anotar su peso aparente y el volumen

de agua desalojada.

5.4- Calcular la densidad del cilindro mediante la ecuacion (5.84)

5.5- Calcular el error ∆ρ de la medida obtenida para la densidad del cilindro

5.6- Repetir el proceso para los demas cinlindros rellenando la Tabla 1

Tabla 1: Medidas de Pap, Va y densidad para distintos solidos

Cilindro Pap (N) Va(m3) ρl(kg/m

3) ρc =Pap

gVl

+ ρl ∆ρc(kg/m3

(kg/m3)


6.1- Compare las densidades obtenidas para cada cilindro ¿Son razonables los

valores obtenidos? Comente los resultados.

6.2- ¿Por que el volumen de agua desalojada con el cuerpo transparente es mayor

que en el caso de los cilindros de metal si su peso es menor? ¿De que depende?

6.3- ¿Se podrıa utilizar este metodo para determinar densidades de lıquidos. ¿En

caso afirmativo, como se harıa?

6.4- Pase las unidades de la densidad de los solidos obtenidos de (kg/m3) a

(g/cm3).

6.5- Un trozo de aluminio totalmente cubierto con una capa de oro forma un

lingote que pesa 45.0N . Si el lingote se suspende de una balanza de resorte

y se sumerge en agua, la lectura es de 39.0N . ¿Que peso de oro hay en el

lingote?

6.6- Un trozo de acero pesa, P . Su peso aparente sumergido por completo en

agua es Pa y sumergido en un fluido desconocido es Pf .


1) Demuestre que la densidad del fluido relativa al agua (gravedad especi-

fica) es : (P − Pf )/(P − Pa).

2) ¿Es razonable este resultado para los tres casos en el que Pf sea mayor,

igual o menor que Pa.

3) El peso aparente de un trozo de acero en agua (densidad ρ = 1000kg/m3)

equivale a 87.2% de su peso. ¿Que porcentaje de su peso sera su peso

aparente en acido formico (densidad ρ = 1220 kg/m3)?

5.2. Determinacion de la densidad de varios solidos

1.- Material: Varios cilindros, aparatos de precision: balanza, calibre, micrometro.

2.- Disposicion Experimenal: Trataremos de calcular la densidad de varios cilindros

determinando su masa y su volumen. Para determinar su masa utilizaremos una

balanza de precision. El valor del volumen lo obtendremos determinando con un

calibre y micrometro el valor de su altura y el area de su base.

Figura 19: Calibre

El calibre Figura (19) es un aparato empleado para la medida de espesores y

diametros interiores y exteriores. Consta de una regla provista de un nonius. El

nonius es un aparato destinado a la medida precisa de longitudes o de angulos.

El empleado para la medida de longitudes consta de una regla dividida en partes

iguales, sobre la que desliza una reglilla graduada (nonius) de tal forma que

n − 1 divisiones de la regla se dividen en n partes iguales del nonius. Si D es la

longitud de una de las divisiones de la regla, la longitud de una division de nonius


Figura 20: Micrometro

es d = D(n − 1)/n). Se llama precision p a la diferencia entre las longitudes de

una division de la regla y otra del nonius. Su valor es:

p = D − d = D − D(n− 1)

n=

D

n(5.85)

Ası, si cada division de la regla tiene por longitud un milımetro, y se han dividido

nueve divisiones de ella en diez del nonius, la precision es de 1/10 de mm (nonius

decimal).

El micrometro que tambien es denominado tornillo de Palmer, calibre Palmer

o simplemente palmer, Figura (20) es un instrumento empleado para medir lon-

gitudes exteriores o interiores con alta precision (en dependencia del modelo de

que se trate) basado en la rotacion de un tornillo, cuyo desplazamiento axial

es proporcional a su desplazamiento angular. (Palmer ideo la forma practica de

utilizar este principio en la medicion.)

En la figura 20 se puede visualizar las partes fundamentales de un micrometro.

1. Cuerpo: Constituye la estructura o armazon del micrometro.

2. Tope Fijo: Determina el punto cero de la medida.

3. Tope Movil o Espiga: Parte movil que determina la lectura del instrumen-

to.

4. Dispositivo de Seguro o Tuerca de Fijacion: Permite paralizar el desplaza-

miento del tope movil.

5. Tambor Micrometrico Fijo: Adherido al cuerpo, donde se graba la escala

fija de 0 a 25mm.

6. Tambor Micrometrico Movil: Solidario al tope movil, donde se graba la

escala circular o movil de 50 divisiones.


7. Trinquete o Freno: Sirve para limitar la presion del tope movil sobre la

pieza a medir, ya que una excesiva presion sobre la misma nos llevarıa a

mediciones erroneas.

Pasos para realizar la lectura. En la figura 21 se puede apreciar la escala longi-

tudinal y la circuferencial de un micrometro

Figura 21: Micrometro-Lectrura

a) Se anota la ultima lectura visible de la escala grabada longitudinalmente

en el cuerpo del instrumento (escala fija). En nuestro ejemplo el valor es de

5.5mm

b) Se observa cual es la division del tambor que coincide exactamente con la

raya longitudinal de la escala fija. En el ejemplo mostramos el numero 11

(este valor es el numero de centesimas de mm) y se agregara a la lectura

anterior como 0.11mm.

c)

5.5 (mm) + 0.11 (mm)en el tambor = 5.61 lectura.


3.1- Pese cada uno de los cilindros con la balanza de precision y anote la masa

M de cada cilindro con su error correspondiente.

3.2- Mida la altura h de cada uno de los cinlindros con el calibre y anote su valor

con el error correspondiente.

3.3- Mida el diametro D de cada uno de los cilindros con el micrometro y anote

su valor con el error correspondiente.

3.4- Calcule el volumen V = π(D/2)2h de cada cilindro con su error correspon-

diente.


3.5- Calcule la densidad ρ = M/V de cada cilindro con su error correspondiente.

Tabla 2: Medidas de masa, volumen y densidad para distintos solidos

cilindro M ±∆M (g) h ±∆h (cm) D ±∆D (cm) V ± ∆V (cm3) ρ ± ∆ρ (g/cm3)


4.1- Compare el valor de la densidad obtenida para cada cilindro utilizando el

pricipio de Arquımedes con la obtenida a traves de la expresion ρ = M/V .

4.2- ¿Cual de ellas es la mas correcta y por que?

4.3- Imagine que compra una pieza rectangular de metal de 5.0× 15.0× 30.0mm

y masa de 0.0158 kg. El vendedor le dice que es de oro. Para verificarlo, usted

calcula la densidad media de la pieza. ¿Que valor obtiene? ¿Fue una estafa?

4.4- Una esfera uniforme de plomo y una de aluminio tienen la misma masa

¿Cual es la razon entre el radio de la esfera de aluminio y el de la esfera de

plomo?

4.5- Un tubo cilındrico hueco de cobre mide 1.50m de longitud, tiene un diametro

exterior de 3.50 cm y un diametro interior de 2.50 cm. ¿Cuanto pesa?

6 PRACTICA 6: ESTUDIO DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI 62

6. Practica 6: Estudio del Principio de Bernoulli

Figura 22: Bernoulli

6.1. Verificacion del Principio de Bernoulli

1.- Conceptos Implicados: Conservacion de energıa, presion de un fluido, flujo, densi-

dad y masa de un fluido, caudal, ecuacion de continuidad.

2.- Principio Fısico: El flujo de fluidos suele ser extremadamente complejo (por ejem-

plo corrientes de los rıos), pero en algunas situaciones se pueden representar con

modelos idealizados relativamente simples. Definimos un fluido ideal a todo

fluido con las siguientes caracterısticas:

Fluido no viscoso: Se desprecia la friccion interna entre las distintas capas del

fluido

Flujo estacionario: La velocidad del fluido en un punto cualquiera del mismo

es constante en el tiempo.

Flujo incompresible: La densidad del fluido permanece constante.

Flujo irrotacional: no presenta torbellinos.

2.1- Ecuacion de Continuidad: Consideremos una porcion de fluido ideal en la

Figura (23), en el instante t y en el instante t+∆t. En un intevalo de tiempo

∆t, la seccion S1 que limita a la porcion de fluido en la tuberıa inferior se


Figura 23: Continuidad

mueve hacia la derecha la distancia ∆x1 = v1∆t, con v la velocidad de

desplazamiento del fluido en ese tramo. La masa de fluido desplazada hacia

la derecha en ese mismo instante de tiempo es ∆m = ρS1∆x1 = ρS1v1∆t.

Analogamente, la seccion S2 que limita la porcion de en la tuberıa superior

se mueve hacia la derecha ∆x2 = v2∆t en el intervalo de tiempo ∆t. La

masa de fluido desplazada es ∆m2 = ρS2v2∆t. Como el flujo es estacionario,

la masa de fluido que atraviesa la seccion S1 en el tiempo ∆t, es igual a la

masa que atraviesa la seccion S2 en el mismo intervalo de tiempo. Por lo

tanto para tiempos infinitesimales, nos quedara

ρS1v1dt = ρs2v2dt (6.86)

o bien,

v1S1 = v2S2 (6.87)

Esta relacion se conoce con el nombre de Ecuacion de Continuidad, y

establece una relacion entre las secciones transversales de la tuberıa y las

velocidades correspondientes a esas secciones, o sea

v1v2

=S2

S1

(6.88)

Una condicion importante que hemos utilizado para obtener esta relacion es

que el fluido es incompresible.

El producto Sv se define como Tasa de flujo de volumen o caudal y se


entiende como la rapidez con que el volumen cruza una seccion del tubo:

dV

dt= Sv = Q (6.89)

La tasa de flujo de masa es el flujo de masa por unidad de tiempo a traves

de una seccion transversal, y es igual a la densidad ρ multiplicada por el

flujo de volumendV

dto caudal Q. La ecuacion (6.87) indica que la tasa de

flujo tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de cualquier tubo

de flujo. Si la seccion transversal de un tubo de flujo disminuye, la rapidez

o caudal aumenta y viceversa. (El chorro de agua que sale de un grifo se

adelgaza al adquirir velocidad durante su caıda, perodV

dtsu caudal, tiene el

mismo valor en todo el chorro).

2.2- Deduccion de la Ecuacion de Bernoulli: Evaluemos los cambios energeticos

que ocurren en la porcion de fluido, cuando se desplaza a lo larga de la

tuberıa. En la figura (24), se senala la situacion inicial y se compara con la

situacion final despues de un tiempo ∆t.

Figura 24: Deduccion de la ecuacion de Bernoulli

El trabajo realizado sobre este elemento de fluido durante el tiempo ∆t

sera igual a la variacion de energıa cinetica mas la variacion de energıa

potencial. Este trabajo, suponiendo que la friccion interna del fluido es de-

spreciable, se debe a la presion de los fluidos circundantes. Si las presiones

en los extremos son p1 y p2 , la fuerza sobre la seccion transversal S1 es

|~F1| = p1S1 y sobre la seccion transversal S2 es |~F2| = p2S2. Por lo tan-

to el trabajo neto infinitesimal efectuado sobre el elemento por el fluido

circundante durante ese desplazamiento es:

dW = p1S1dx1 − p2S2dx2 (6.90)


La energıa mecanica para el fluido entre las secciones 1 y 2 no cambia. En el

instante inicial de ∆t el fluido en 1 tiene volumen S1∆x1 y masa ρS1∆x1 y

energıa cinetica1

2ρ(S1∆x1)v

21. Al final ∆t el fluido en 2 tiene energıa cinetica

1

2ρ((S2∆x2)v

22. El cambio neto infinitesimal de energıa cinetica dEc durante

el tiempo dt sera:

dEc =1

2ρdV (v22 − v21) (6.91)

De forma analoga al iniciar ∆t, la energıa potencial para la masa que esta en

1 es ∆mgy1 = ρ∆V gy1 y al final de ∆t para la masa que esta en 2, la

energıa potencial es δmgy2 = ρ∆V gy2. El cambio neto infinitesimal de

energıa potencial dU durante ese intervalo de tiempo infinitesimal dt sera:

dU = ρdV g(y2 − y1) (6.92)

Combinando las ecuaciones (6.90), (6.91) y (6.92) obtenemos:

(p1 − p2)dV =1

2ρdV (v22 − v21) + ρdV g(y2 − y1)

p1 − p2 =1

2ρ(v22 − v21) + ρg(y2 − y1)

p1 + ρgy1 +1

2ρv21 = p2 + ρgy2 +

1

2ρv22 (6.93)

Esta es la ecuacion de Bernoulli y dice que el trabajo efectuado sobre una

unidad de volumen de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de

los cambios de las energıas cinetica y potencial por unidad de volumen que

ocurre durante el flujo. Tambien podemos interpretar la ecuacion (6.93) en

terminos de presiones y nos dice que la suma del termino correspondiente

a la presion del fluido en un punto determinado , mas la presion asociada

a la velocidad en ese punto o termino cinetico mas la presion asociada a la

altura del fluido en ese punto o termino potencial se mantiene constante.

2.3- Efecto Venturi: Cuando el desnivel es cero, la tuberia es horizontal, entonces

tenemos el denominado tubo de Venturi, que se usa para medir la velocidad

de un fluido en una tuberıa. El manometro mide la diferencia de presion entre

las dos ramas de la tuberıa. La ecuacion de continuidad (6.87) nos dice que

la velocidad del fluido en el tramo de la tuberıa que tiene menor seccion

es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor seccion,.

Si S1 > S2 entonces necesariamente v1 < v2. Ademas, como y1 = y2, la

ecuacion de Benoulli (6.93) se expresa como:

p1 +1

2ρv21 = p2 +

1

2ρv22 (6.94)


Figura 25: Tubo de Venturi

Como la velocidad en el tramo de menor seccion es mayor, la presion en dicho

tramo es menor. Si V1 < v2 p1 tiene que ser mayor que p2, por lo tanto el

lıquido manometrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el lado

derecho. Las velocidades se obtienen despejando de la ecuacion (6.94), a

partir de la lectura de las diferencias de presiones en el manometro.

v2 = S1

√

2(p1 − p2)

ρ(S21 − S2

2)(6.95)

Recordando que la medida de presion en un manometro es de la forma:

p = ρgh, con h la altura de columna de lıquido en el manometro, podemos

reemplazar esta presion en la ecuacion (6.94) y tenemos:

ρgh1 +1

2ρv21 = ρgh2 +

1

2ρv22

h1 +v212g

= h2 +v222g

(6.96)

y la velocidad vendra dada por:

v2 =

√

2gh

1− (S2/S1)2(6.97)

con h la diferencia entre las alturas de presiones manometricas h1 − h2

Podemos considerar tambien que a lo largo del recorrido entre 1 y 2 tenemos

perdida de presion por friccion del lıquido con las paredes y accesorios de la

tuberıa, entonces la ecuacion (6.96) toma la forma:

h1 +v212g

= h2 +v222g

+ hv (6.98)

con:


1) h1 nivel de presion (altura de presion) en la seccion transversal 1.

2) v1 velocidad del fluido en la seccion transversal 1.

3) h2 nivel de presion (altura de presion) en la seccion transvesal S2.

4) v2 velocidad del fluido en la seccion transversal S2.

5) hv nivel de perdidas a lo largo del recorrido entre 1 y 2.

2.3.1-Presiones en el Tubo de Venturi: La ecuacion (6.96) la podemos ree-

scribir de forma generica en funcion de las alturas de presiones como:

hesta. + hdin. = htotal (6.99)

con hesta. = h que corresponde a la altura de presion manometrica, y que

llamaremos altura de presion estatica, hdin. =1

2ρv2 que corresponde al

termino asociado con la velocidad del fluido y que llamaremos altura de

presion dinamica. y htotal que corresponde a la altura de presiones totales y

que para un fluido ideal y sin perdidas de presiones a lo largo del recorrido

se mantiene constante.

2.3.2- Velocidad en el Tubo de Venturi: La ecuacion (6.88)establece una

relacion entre las secciones transversales de una tuberıa y velocidad del

fluido en esas secciones. Si tenemos un tubo de Venturi con i manometros

y conocemos las secciones transversales de la tuberıa donde estan colocados

esos manometros, podremos determinar las velocidades del fluido en esos

puntos. Vamos a definir:

vi =S1

Si

(6.100)

como la velocidad de referencia estandarizada asociada a cada tubo de Ven-

turi y que depende de la geometrıa del mismo. Conocido el caudal Q, sabe-

mos que v =Q

S, por lo tanto la velocidad en cada punto del tubo de Venturi

sera:

v1 =Q

S1

vi = v1vi (6.101)

2.3.3- Determinacion del factor de paso: El tubo de Venturi se utiliza para

medir el caudal y tiene la ventaja de su escasa perdida de presion. El caudal

se puede medir como la diferencia de altura presion ∆h entre la entrada y

el punto del tubo con menor diametro:

Q = K√∆h (6.102)

con K el llamado factor de paso. Este suele venir ajustado por el fabricante

del tubo de Venturi. Si se desconoce este dato, se puede calcular a traves


de la expresion anterior,o sea, conocido el caudal y la perdida de presion,

tenemos:

K =Q√∆p

(6.103)

Donde el caudal de expresa en l/s y la diferencia de presion ∆p en [bar]

3.- Material:

Figura 26: Panel

El equipo presentado en la figura (26) nos permitira estudiar el principio de

Bernoulli utilizando para ello un tubo de Venturi con seis puntos de medicion de la

presion. Las seis presiones estaticas se muestran en un panel con seis manometros.


Se puede medir la presion total en distintos puntos del tubo de Venturi. La presion

total se indica en un segundo manometro. La medicion se efectua mediante una

sonda movil en sentido axial respecto al tubo de Venturi. La sonda esta cerrada

hermeticamente con una empaquetadura para prensaestopas.

3.1- Seis manometros acoplados al tubo de Venturi

3.2- Tubo de Venturi

3.3- Sonda de medicion de presion total

3.4- caudalımetro


Con la disposicion experimental que tenemos podemos:

Demostrar el principio de Bernoulli

Medir la presion a lo largo del Tubo de Venturi

Determinar el factor de paso

Pasaremos a continuacion a describir los distintos elementos que componen nues-

tra disposicion experimental que presentamos en la figura (27):

Figura 27: Descripcion del equipo

1- Panel de practicas.

2- Manometro de 6 tubitos.

3- Racor de manguera de entrada de agua


4- Valvula de entrada de agua

5- Tubo de Venturi con seis puntos de medicion

6- Tubo de salida

7- Valvula de salida

8- Empaquetedura para prensaestopas y Sonda de medicion de presion total

(movil en sentido axial)

9- Manometro de tubito simple


i.- Comprobar que todas la valvulas estan cerradas.

ii.- Ajustar la tuerca racor del prensaestopas de sonda de forma que la sonda se

pueda mover facilmente.

iii.- Conectar la bomba y abrir lentamente el grifo principal.

iv.- Abrir las valvulas de purga de todos los manometros.

v.- Cerrar con cuidado el grifo de salida hasta que los manometros queden

irrigados.

vi.- Ajustar simultaneamente el grifo de entrada y de salida para regular el nivel

de agua en los manometros de forma que no excedan los lımites inferiores y

superiores del area de medicion.

vii.- Medir la presion en todos los puntos de medicion. Despues colocar la sonda

de presion total en el correspondiente nivel de medicion y anotar la presion

total en cada punto de medicion.

5.1- Evolucion de la Presion en el tubo de Venturi: Rellene la siguiente tabla

con la medida de los datos de las alturas de presiones para tres caudales dis-

tintos:

Tabla 1: Medidas de altura de presiones en funcion del caudal Q

h1 h2 h3 h4 h5 h6 Q1 [l/s]

[mm.c.a.] [mm.c.a.] [mm.c.a.] [mm.c.a.] [mm.c.a.] [mm.c.a.]

hesta.

htotal

hdin.

hesta.

htotal

hdin.

hesta.

htotal

hdin.


hdin. corresponde a la altura de de presion dinamica y viene dado por:

hdin. = htotal − hesta. (6.104)

con: hesta. la altura de presion medida con los manometros en cada uno de

los tubos de Venturi y hdin. corresponde a la altura de presion total en cada

en cada tubo de Venturi medida con la sonda de medicion de presion total.

5.2- Velocidad en el tubo de Venturi: La tabla siguiente muestra la veloci-

dad de referencia estandarizada v, que se deriva de la geometrıa del tubo de

Venturi asociada a cada tubo:

Tabla de Secciones transversales y velocidades estandarizadas

Punto de Si

medicion en m2 × 10−4 vi

i

1 3.38 1.00

2 2.33 1.45

3 0.846 4.00

4 1.70 2.00

5 2.55 1.33

6 3.38 1.00

Con estas velocidades de referencia podemos calcular las velocidades teoricas

vcalc.

Complete la siguiente tabla de Velocidades en el tubo de Venturi: Tome

los mismos caudales utilizados para el calculo de las presiones.

Tabla 2: Medidas de velocidades en funcion del caudal Q

v1 v2 v3 v4 v5 v6 Q

[m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [l/s]

vmed.

vcal.

vmed.

vcal.

vmed.

vcal.


La velocidad vmed. se calcula a partir de la altura de presion dinanica obteni-

da anteriormente mediate la relacion:

vmed. =√

2ghdin. (6.105)

5.3- Determinacion del factor de paso: Complete la tabla siguiente para tres

caudales distintos:

Tabla 3: Medidas del factor de paso K en funcion del caudal

Punto de Q = [l/s] Q = [l/s] Q = [l/s]

medicion ∆h K en ∆h K en ∆h K en

i en mm.c.a.

[

l

s√bar

]

en mm.c.a.

[

l

s√bar

]

en mm.c.a.

[

l

s√bar

]

1 → 3

6.- Preguntas y conclusiones:

6.1- Represente graficamente las alturas de presiones en funcion de los puntos de

medicion i del tubo de Venturi, para cada uno de los caudales

6.2- Verifique que se cumple hdin. = htotal − hesta.

6.3- Se verifica la ecuacion de Bernoulli. Explique su respuesta

6.4- Represente graficamente las velocidades medidas vmed y calculadas vcal en

el tubo de Venturi en funcion de los puntos de medicion para cada uno de

los caudales

6.5- Interprete los resultados de dicha grafica

6.6- Explique los resultados obtenidos en la tabla del factor de paso. ¿Deberıamos

obtener los mismos resultados? Explique su respuesta.

6.7- Deduzca, a partir de la ecuacion de continuidad la ecuacion (6.88)

6.8- Deduzca la expresion para la velocidad del fluido v1 en terminos de las

secciones transversales y la diferencia de presiones (altura) para el tubo de

Venturi.

6.9- Cuando un chorro de agua fluye suavemente de un grifo, se adelgaza al caer.

Explique este fenomeno.


6.10- Una arteria cuya seccion tiene un radio de 1 cm se bifurca en otras cuatro

cuyas secciones tienen radios iguales y de 0.5 cm. Si la velocidad de la sangre

en la arteria principal es de 20 cm/s ¿Cuanto es la velocidad en las arterias

secundarias?

6.11- Si la presion en una arteria es de 100mmdeHg sobre la presion atmosferica,

¿Hasta que altura subira la sangre si se pinchara dicha arteria? Supongase

la densidad de la sangre de 1.06 g/cm3.

6.12- En el torrente circulatorio la ecuacion de continuidad:

1) No se debe aplicar, ya que la sangre es un lıquido viscoso.

2) Se puede aplicar en promedio, para intervalos de tiempos largos.

3) No se puede aplicar en los capilares.

4) Se puede aplicar en cualquier instante.

7 AGRADECIMIENTOS 74

7. Agradecimientos

Mis agradecimientos a nuestro Tecnico de Laboratorio D. Francisco Vega por apor-

tar gran parte de las fotografias

Referencias

[1] Manual de Practicas de Fundamentos Fısicos de la Informatica,

E.T.S.I.I. Departamento de Fısica Aplicada 1, Universidad de Sevil-

la.

[2] Cuestiones y Problemas de Fısica Medica; curso 2004-2005; Univer-

sidad Complutense de Madrid

[3] Manual de uso- Ventus Ciencia Experimental, 10214 Pendulo

Matematico.

[4] Phywe, p2131800, Conservacion de la Energıa Mecanica- Mechanical

conservation of energy/ Maxwell’s Wheel.

[5] Rueda de Maxwell http://www.sc.ehu./sbweb/fisica/solido/yoyo/yoyo.htm.

[6] http://aleph.eii.us.es/palmeo/docencia/rueda.pdf

[7] Manual de uso - Ventus Ciencia Experimental, 10132- Ley de Hooke.

[8] www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle

[9] www.monagrafia.com/trabajo93/micrometro-y-su-uso

[10] www.ecured.cu/index.php/Micrometro(instrumento)

[11] Gunt-Hamburg , Estudio del principio de Bernoulli-HM150.07.

[12] www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/bernoulli.

[13] Sears, Zemansky; Fisica Universitaria con Fisica Moderna, Volumen

1

[14] R. A. Serway and John W. Jewett, Jr. ; Fısica Vol 1

Documents

Manual de Pr´acticas de Fisica 1 de Ingenier´ıa de la Saludpersonal.us.es/sara/uploads/docencia/practicasalud.pdf · aparato analo´gico de medida (amper´ımetro, balanza,...)