Upload
spartanluism
View
18
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
maual
Citation preview
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
MANUAL DE PRÁCTICAS BASADO EN COMPETENCIAS
MATERIA: CÁLCULO DIFERENCIAL
CARRERA:INGENIERIA ELÉCTRICA
CLAVE DE LA SIGNATURA: ACF-0901SATCA: 3 - 2 - 5
PRIMER SEMESTRE
ELABORADO POR:
I. EO. ELIO AHALÁN ALVAREZ ANTONIO
Revisión Autorización
Academia deIngeniería Eléctrica
Jefe de División deIngeniería Eléctrica
INDICE DE PRÁCTICAS
0
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
No. de Práctica
Nombre de la práctica Página
1 Intervalos y desigualdades3
2 Funciones y sus gráficas7
3 Límites y sus propiedades10
4 Derivación simple y superior, de funciones.14
1
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
INTRODUCCIÓN
En éste manual de prácticas de Cálculo Diferencial, se realizó el compendio de las practicas necesarias para poder llevar a cabo con éxito la resolución de lo que ésta materia comprende.
En ésta materia se observan desde los números reales, sus propiedades y clasificación; hasta las derivadas y sus aplicaciones. Todo esto para poder comprender de la mejor manera posible los problemas específicos del área de la ingeniería donde nos encontremos.
Por ende, para poder desarrollar éstas prácticas es necesario tener los conocimientos básicos acerca del contenido de ésta materia.
Cabe mencionar que, además de lo mencionado, también abordaremos los temas de funcione y su Graficación y límites para la solución de problemas. Debido a que tienen aplicaciones en sus materias posteriores y el área de ingeniería propiamente.
Cualquier problema con el desarrollo de la resolución de alguno de los ejercicios propuestos deberá ser consultado con el asesor en turno.
Intervalos y desigualdades Práctica Número: 01
2
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
Objetivo de la práctica:
El estudiante recordará todo lo relacionado con los intervalos y sus formas
de representación tales como, las desigualdades y la forma gráfica.
Aprenderá a reconocer los diferentes tipos de desigualdades y la
metodología para su resolución.
Introducción:
Desde el principio de la humanidad, hemos tenido la necesidad de
establecer un sistema de comunicación y medida de todo lo que está a nuestro
alrededor. Por ello, el hombre tuvo que inventar la numeración para poder cumplir
con éste objetivo.
Los números naturales, enteros, racionales, positivos y negativos, son solo
algunos de los tipos de números reales que, hoy en día, el hombre ha aprendido a
utilizar para poder comprender mejor la naturaleza de las cosas; así como para
poder realizar cualquier tipo de operación matemática para satisfacer sus
necesidades.
Por otra parte, las desigualdades son expresiones que nos demuestran la
relación que existe entre dos números. Donde uno de estos es mayor que el otro.
3
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
De igual manera que en las igualdades, en las desigualdades, tenemos dos
miembros en nuestras expresiones, separados por un signo de desigualdad (>, <,
≥, ≤). Pueden ser representadas, como forma equivalente, en forma gráfica y de
intervalos. Los cuales nos describen también, el contenido de un conjunto de
números reales.
Material y equipo necesario:
Desarrollo:1.- Completa la siguiente tabla, llenando los espacios vacíos con la notación
indicada, en la parte superior.
INTERVALO DESIGÛALDAD GRAFICA
[−3, 5 ) = -3≤X<5 =
[-5,∞) = x≤−5 =
[3,8] = 3≤x≤8 =
(−5, 4 ) = -5<X<4 =
(-∞,12] = x≥1
2 =
2.- De acuerdo a lo visto en el salón de clases, resolver los siguientes
ejercicios y representar en su forma de intervalo, gráfica y de desigualdad; cada
uno de ellos.
4
Apuntes y ejercicios de la unidad 01.
Hojas blancas
Calculadora
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
a ) 2+x<9 x+6
b ) 3 x+5≤8−7 x
c ) 7≤3 x−2≤13
d ) −3≤− x+42
<16
e ) 2 x+1≤4 x−3≤ x+6f ) (x+5 ) ( x−1 ) ( x−2 )≥0
3.- Resuelve el siguiente problema de aplicación.
La temperatura en la escala Fahrenheit y Celsius están relacionadas por la
fórmula C=( 5
9 ) (F−32 ). ¿A qué temperatura Fahrenheit corresponderá una
temperatura en escala centígrada que se encuentra en el intervalo 40≤C≤50 ?
4.- El estudiante formara equipos de trabajo y discusión para resolverlas de
manera analítica y si existe duda alguna, las aclarará con el docente encargado.
5.- El estudiante elaborará su reporte de prácticas de acuerdo al plan de
estudio, el cual será revisado por el docente asignándole el valor de calificación
considerado en su instrumentación didáctica.
2.- De acuerdo a lo visto en el salón de clases, resolver los siguientes
ejercicios y representar en su forma de intervalo, gráfica y de desigualdad; cada
uno de ellos.
5
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
X-9x<6-2
8x<4 (-∞,12)
X<48
x<12
(-∞, 310)
3x+7x≤8-5
10x≤3
x≤310
a
b
-3x≤-2-7 3x≤13+2
-3x≤-9 3x≤15 [3,5]
x≤ −9−3 x≤15
3
x≤3 x≤5
x≥3
a
6
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
b
-3≤-x+4(2) <16 -x<16+8 (-24, ∞)
-3≤-x-8<16 -x<24
X≤-8+3 x<24/-1
X≤-5 x<-24
X≥-5
a
b
2x-4x≤-3 4x-x≤6+3 (-∞,2/3] [3, ∞)-2x≤-3 3x≤9
x≤ −3−2 x≤ 9
3
x≤23 x≤3
x≥23
x+10≥0 (-∞,-10)x≥-10
Cuestionario:
7
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
a) ¿Cuál es la utilidad de los números reales? Nos ayudan a representar, resolver y
comprender una amplia parte de problemas en la física, estadística y matemáticas.
los números reales se representan utilizando la recta numérica. y en u plano
corresponden a los puntos del eje horizontal. pudiendo graficar problemas para su
mejor comprensión.
b) ¿Cuáles son las diferencias entre una igualdad y una desigualdad? las igualdades
sería como sinónimos, equivalencias, a diferencia d las desigualdades.
c) ¿En qué casos debemos cambiar el sentido de una desigualdad? cuando se pasa
un numero negativo para el otro lado, ya sea multiplicando o dividiendo si es
sumando o restando.
d) ¿Cuál es la diferencia entre una desigualdad condicional y una absoluta? Explica
mediante ejemplos.
Desigualdad absoluta: es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella.
Ejemplo: a²+3>a Desigualdad condicional: es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales.
Ejemplo: 2x-8>0, que solamente satisface para x>4. Aquí se dice que 4 es el límite de x.
e) ¿Cuáles son las propiedades de las desigualdades más utilizadas en
cualquier ejercicio?
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)
a ± c < b ± c
2 + x − 2 > 16 − 2
x > 14
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:
8
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c < b • ca > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)a • c > b • c
f) ¿Cuál es la razón por la cual, en una representación gráfica, el infinito se debe
representar con una punta de flecha? Por qué quiere decir que siguen habiendo
valores de x en la recta en la recta numérica.
Bibliografía:
1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.
2. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford
University Press, 2009.
3. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.
9
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
Funciones y sus gráficas Práctica Número: 02
Objetivo de la práctica:
El estudiante recordará todo lo relacionado con las funciones, sus
características y propiedades. Así como los intervalos involucrados y su forma de
representación gráfica.
Además, aplicará los conceptos vistos en clase sobre el dominio y rango de
una función.
Introducción:
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue utilizado por
primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar
una potencia xn de la variable x.
El dominio y el rango son dos características muy importantes dentro del
tema de las funciones. Con ellas se puede hallar los valores que nuestra función
acepta para poder calcularse dentro del plano real y, al mismo tiempo, pueden
hallarse los valores para los cuales nuestra función se vuelve una indeterminación.
En ésta práctica se resolverán algunos ejercicios referentes a las funciones
y algunas de sus características. Se abordarán los primeros criterios que debemos
10
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
conocer respecto a ellas, donde se comprenden al dominio, al rango, las variables
dependientes e independientes así como la graficación de las mismas.
Material y equipo necesario:
Desarrollo:
1.- Para las siguientes funciones, encuentra el Dominio, el rango y sus
gráficas correspondientes:
a ) y=x2−5 b ) y=(x+2 ) (x2+x−2 )
2x+4c ) y=√24−x
2.- Sean las funciones
f ( x )= 12 x+3
; g ( x )= x3−3 x+2x−2
; h (x )=4 x+2,
Realizar las siguientes operaciones:
h ) (f +h ) ( x )i ) ( f⋅g ) ( x )
j) h ((g ( x ) ) )
k ) f (−32 )
1.- Para las siguientes funciones, encuentra el Dominio, el rango y sus gráficas correspondientes:
11
Apuntes y ejercicios de la unidad 02.
Hojas blancas
Calculadora
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
Y= (1)2-5= -4
Y= (1.5)2-5=-2.7
Y= (2)2-5=-1
Y= (3)2-5=4
Y= (3.5)2-5=7.2
Dom= (-2, ∞)
Rango=(-4,∞)
Y= (1+2) (1+1-2) =
06
=0
2+4
12
X Y
1 -4
1.5 -2.7
2 -1
3 4
3.5 7.2
X Y
-2 0
-3 2
-4 5
0 -1
1 0
2 2
3 5
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
13
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
Dom=R
14
X Y
-15 6.2
-12 6
-10 5.8
-8 5.6
-6 5.4
-4 5.2
-2 5
0 4.8
2 4.6
4 4.4
6 4.2
8 4
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
Rango=(4,∞)
3.- El estudiante formara equipos de trabajo y discusión para resolverlas de
manera analítica y si existe duda alguna, las aclarará con el docente encargado.
4.- El estudiante elaborará su reporte de prácticas de acuerdo al plan de
estudio, el cual será revisado por el docente asignándole el valor de calificación
considerado en su instrumentación didáctica.
Cuestionario:
¿Qué es el dominio y rango de una función? Dominio son todos los valores de x y
el rango son los valores de Y.
¿Cómo podemos hallar los puntos de discontinuidad en una función? Sustituyendo
los valores posibles en la formula dada.
¿Cuál es la forma de representar los puntos de discontinuidad en la gráfica de una
función? Se tiene que tener en cuenta que se define una discontinuidad sobre
puntos del dominio de una función. Si la función no estuviese definida en un punto,
15
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
aunque tenga comportamiento parecido al de una discontinuidad, no tendría
ninguna, ya no se podría aplicar la definición de discontinuidad.
¿Cuál es la razón de utilizar un intervalo dentro del dominio para la graficación?
Para poder observar hasta donde podemos graficar
Suponiendo que una función tiene un punto de discontinuidad, ¿qué debo realizar
para poder obtener la coordenada equivalente a ese punto? Factorizar la ecuación
dada.
Bibliografía:1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.
2. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford
University Press, 2009.
3. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.
Límites y sus propiedades Práctica Número: 03
Objetivo de la práctica:
El estudiante aplicará los conocimientos adquiridos en el salón de clases
para la resolución de ejercicios de cálculo de límites de funciones. Recordará y
utilizará los métodos de solución.
Introducción:
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis
matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se
va aproximando hacia un punto llamado “límite”.
16
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la
sucesión se aproximan tanto como queramos al valor del límite. La condición que
impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los
elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
El límite de f(x) cuando x tiende a “ a ” es “ L ”, y se denota por
limx→a
f (x )=L
Material y equipo necesario:
Desarrollo:
1.- Traza la gráfica de tendencia correspondiente a cada una de las
siguientes expresiones y describe su comportamiento:
a ) limx→6+ ( 1
x−6 )=M b )lim
x→ 12
− (√1−2x )=L
17
Apuntes y ejercicios de la unidad 03.
Hojas blancas
Calculadora
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
2.- Calcula los siguientes límites de funciones, por sustitución simple:
c ) limx→1(1√5−x ) d )
lim
x→12
(3+2x5−x )
e ) limx→12(√ x3+23 x
5−√2 x )
3.- Calcula los siguientes límites de funciones, por el método de
factorización:
f ) limx→ 4(√x−2
x−4 ) g )lim
z→910
(z4−2 z3−4 z−4z2−2 z−2 )
h)lim
x→242
(√ x6−9 x3−367 (x3+3 ) )
4.- Calcula los siguientes límites de funciones, por el método de
racionalización:
18
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
i) limx→81(√ x−9
x−81 ) j) limx→4( 2√ x−4
x−4 ) k ) limx→5(√ x+4−3
x−5 )
5.- El estudiante formara equipos de trabajo y discusión para resolverlas de
manera analítica y si existe duda alguna, las aclarará con el docente encargado.
6.- El estudiante elaborará su reporte de prácticas de acuerdo al plan de
estudio, el cual será revisado por el docente asignándole el valor de calificación
considerado en su instrumentación didáctica.
Cuestionario:
j) ¿Cuál es la razón de utilizar el método de factorización para el cálculo de
límites de funciones?
k) Explica con tus propias palabras la definición del límite de funciones, con
sus tendencias tanto por izquierda como por derecha.
Bibliografía:
1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.
2. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford
University Press, 2009.
3. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.
19
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
20
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
Derivación simple y superior, de funciones Práctica Número: 04
Objetivo de la práctica:
El alumno reforzará los conocimientos adquiridos en clases. Elaborará algunos ejercicios que involucran los conceptos de derivación más utilizados, dentro de ésta asignatura y asignaturas posteriores.
Introducción:
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
Material y equipo necesario:
Desarrollo:
21
Apuntes y ejercicios de la unidad 04. Hojas blancas
Calculadora
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
1.- Obtener la derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición de la derivada mediante incrementos.
a ) y=23x3+ x2−1 b ) y=2 x2+5
3x+6c ) y=√2 x+1
2.- Obtener la derivada de las siguientes funciones utilizando las formulas compactas de derivación.
d ) d ( x )=x3−3 x2+5x−2
e ) e ( x )=18x8−x4
f ) f ( x )=3x2 +5
x4
g ) g ( x )=( 2x4−1 ) (5 x3+6 x )
h ) h ( x )=x2+2 x+1x2−2 x+1
i) i (x )=5x1+2x3
j ) j ( x )=(2 x+13 x−1 )
4
k ) k ( x )= (3u2+5 )3 (3u−1 )2
l) l ( x )=x3
(3 x2−1 )13
m) m ( x )=(x2−5 )12 (x2+3 )
13
n ) n ( x )=(x3+5 x )e4 x2+1 o ) o ( x )= (x3+5 x )
−13e4 x2
3.- Obtener la segunda derivada de las siguientes funciones:
22
Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
Edición No. 3
Fecha de Edición:01/09/14
Departamento: Ingeniería Eléctrica.
Materia: Cálculo Diferencial
p) y=3 x4−2x2+x−5 q ) y=√2−3 x2
r ) y=x√ x−1
4.- El estudiante formará equipos de trabajo y elaborará su reporte de prácticas de acuerdo al plan de estudio, el cual será revisado por el docente asignándole el valor de calificación considerado en su instrumentación didáctica.
Cuestionario:
a) ¿Cómo podemos definir la derivada de una función?b) ¿Cómo podemos identificar la fórmula correcta para derivar mediante la forma
compacta?
Bibliografía:
1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.2. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford University Press, 2009.3. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.
23