Manual de Calculo Integral Año 2015 SD3

UNIVERSIDAD AUTONOMA

DEL CARMEN

ESCUELA PREPARATORIA CAMPUS II

MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015


47

Objetivo: Aplicar

mtodos y tcnicas

establecidas para

resolver integrales

indefinidas por,

cambio de variable,

integracin por

partes, sustitucin

trigonomtrica y

fracciones parciales.

|


48

Prctica 7

Resuelve las siguientes integrales inversas

1.

dx

x 2 9

2.

dx

x 2 4

3.

dy

y25 2

4.

dx

s2 16

5.

dx

x9 42

6.

dx

x16 9 2


49

7.

e dx

e

x

x1 2

8.

dx

x x2 4 3

9.

dx

x x2 102

10.

dx

x x2 8 25

11.

dx

x x3 22

12.

dx

x x2 2 12


50

13.

dx

x x4 2

14.

dx

x x1 2

15.

dx

x x2 3 4 2

16.

17. 241 x

dx

18. 222 xba

dx


51

19. 44 axxdx

20. 221 xdx


52

INTEGRAL DEFINIDA

CONCEPTO

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO.

Informalmente, el teorema afirma que la derivacin y la integracin (definida) son

operaciones mutuamente inversas. Para ver como Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello,

consideremos las aproximaciones que muestra la figura. Cuando definimos la pendiente de la recta

tangente, utilizamos el cociente xy / (pendiente de la recta secante). Anlogamente, al definir

el rea de una regin bajo una curva, usamos el producto xy (rea de un rectngulo). As pues,

en su primer paso derivacin e integracin son operaciones inversas. El teorema fundamental del

Clculo establece que el proceso de lmite usado para definir ambas operaciones preserva esa

relacin inicial de inversas.

Objetivo

Aplicar la integral definida para conocer los valores de las reas bajo una curva.

Descripcin La integraL definida como limite de sumas de Reimann


53

Si f una funcin definida en un intervalo cerrado ba, y si el limite de la suma d Reimann existe, entonces se dice que f es integrable en ese intervalo, se expresa.

b

a

n

ix

dxxfxWf 11

10

lim

El proceso de obtener el numero representado por el limite sealado se le llama calcular la integral.

Si una funcin f es continua en un intervalo cerrado ba, entonces siempre f es integrable en ba, . Al usar el intervalo ba, condicionamos que a < b. Si a > b entonces se expresa como:

b

a

b

adxxfdxxf

Tcnica

Teorema fundamental del clculo.

Si una funcin es continua en un intervalo cerrado ba, entonces siempre f es integrable en ba, .

aFbFdxxfb

a

Donde F es cualquier funcin tal que F(x) = f(x) para toda x en ba,

Procedimiento

El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:

Integrar la expresin diferencial dada.

Sustituir en el resultado obtenido inicialmente con el valor del extremo superior y restar despus de sustituir con el valor del extremo inferior.

No es necesario utilizar la constante de integracin.

Material

Calculadora

Tabla de integrales

Hojas blancas

Lpiz


54

Ejemplos:

1. Resuelve la integral

5

23

2

x dx

7.101748.35

362.14

5

31748.3

5

362.14

5

3

25

35

5

3

5

3

3

5

13

2

35

35

5

2

3

5

5

2

3

5

5

2

13

25

2

32

5

2

3 2

xx

xdxxdxx

2. Resuelve la integral 3

2

2

3x dx

3

1

3

8

3

9

3

831812

3

827279

29233

23933

3

3

x9x33

xdx9x6xdx3x

23

23

3

2

233

2

2

3

2

2

.


55

Prctica 8 Compruebe el valor de cada una de las siguientes integrales definidas:

1

2 3

11) 2x x dx

22

02) 2 1x x dx

4

13) 5 x dx

3

22

24)

1

t dt

t

21

20 35)

1

zdz

z

2

06) ln ( 1)x x dx


56

34

07) sen x dx

02

28) 3 4t t dt

5

32 20

9)

25

dx

x

4

2310)

25

dx

x

4

2211)

6 5

dx

x x

9

1

ln12)

x

x


57

2

1 21

3dx

x

1

1

3 )9( dttt

1

1

3 2 dtt

0

1

32

31

dttt

1

02xdx

0

1)2( dxx


58

5

243 dvv

1

1

2 2 dtt

5

2

2 )23( dxxx

dtt 1

0

2)12(


59

INTEGRACION POR PARTES

CONCEPTO

En esta seccin estudiaremos una tcnica muy importante de integracin, llamada

integracin por partes. Esta tcnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es

particularmente eficaz para integrandos donde aparecen productos de funciones algebraicas y

trascendentes. Por ejemplo, funciona muy bien para resolver integrales como:

senxdxedxexxdxxxx y ,,ln 2

La integracin por partes se basa en la formula de la derivada de un producto

uvvu

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d

donde u y v son funciones derivables de x. Si u y v son continuas, podemos integrar ambos lados

para llegar al resultado

vduudv

dxvudxuvuv

Reescribiendo esta ecuacin se obtiene el siguiente teorema.

Esta frmula expresa la integral original en trminos de otra integral. Dependiendo de la eleccin

de u y de dv, puede ocurrir que la segunda integral sea ms fcil que la original. Como las

elecciones de u y de dv son criticas para la buena marcha del mtodo, damos unas indicaciones

sobre como preceder.

Objetivo Conocer y aplicar la integracin por partes como un mtodo alterno de solucin en integrales.

TEOREMA 4.- INTEGRACION POR PARTES

Si u y v son funciones de x con derivadas continuas,

vduuvudv


60

Descripcin

La integracin por partes tiene por objeto calcular la funcin primitiva del producto de una funcin por la diferencial d otra funcin de la misma variable. Se basa en la frmula de la derivada de un producto de dos funciones:

vduudvuvd integrando ambos miembros

vduudvuv despejando se obtiene la formula de integracin por partes

vduuvudv Para aplicar esta frmula en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada en dos factores u y dv.

Tcnica

Procedimiento

Para aplicar esta tcnica en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada en dos factores u y dv. Al momento de elegir estos factores se debe tomar en cuenta los siguientes puntos:

a) dx es siempre una parte de dv b) debe ser posible integrar dv c) cuando la expresin para integrar es el producto de dos funciones, es mejor

elegir la de apariencia ms complicada.

Material

Hojas blancas Lpiz Formulario

TEOREMA 4.- INTEGRACION POR PARTES

Si u y v son funciones de x con derivadas continuas,

vduuvudv


61

Ejemplos:

1. Hallar dxxex

Solucin: Para aplicar integracin por partes, necesitamos escribir la integral en la

forma .udv Hay varias maneras de hacerlo:

,1 , ,dvu

x

dv

x

udvu

x

dv

x

u

dxxedxxexdxedxex

La estrategia invita a elegir la primera opcin, ya que la derivada de u=x es

ms simple que x y adems dxedv x es la parte ms complicada del integrando

que se adapta a una regla bsica de integracin.

dxduxu

edxedvvdxedv xxx

Integrando por partes obtenemos

Cexe

dxexedxxe

vduuvudv

xx

xxx

2. Integracin por partes

Hallar xdxx ln2

Solucin: En este caso, 2x es ms fcil de integrar que ln x. Adems, la derivada

de ln x es ms sencilla que ln x. Por tanto, tomamos dxxdv 2

dxx

duxu

xdxxvdxxdv

1ln

3

322

Integrando por partes se obtiene


62

Cx

xx

dxxxx

dxx

xx

xxdxx

9ln

3

3

1ln

3

1

3ln

3ln

33

23

332

3. Sucesivas integraciones por partes

Hallar senxdxx2

Solucion: Los factores 2x y sen x son igualmente fcil de integrar, pero la derivada

de 2x es ms simple que la propia funcin, mientras que la derivada de sen x no lo

es. En consecuencia, optamos por tomar u = 2x

xdxduxu

xsenxdxvsenxdxdv

2

cos

2

Ahora, la integracin por partes lleva a que

xdxxxxsenxdxx cos2cos22

Primera integracin por partes

Con esta primera integracin por partes, hemos simplificado la integral

original, pero la nueva todava no se ajusta a ninguna regla bsica de integracin.

Volvamos a aplicar integracin por partes, esta vez con u = 2x.

dxduxu

senxxdxvxdv

22

coscos

Integrando por partes obtenemos

Cxxsenx

senxdxxsenxxdxx

cos22

22cos2

Combinando los dos resultados queda

Cxxsenxxxsenxdxx cos22cos22

4. Sucesivas integraciones por partes

Segunda Integracin por partes


63

Hallar xdx3sec

Solucin: La porcin ms complicada del integrando que resulta fcil de integrar

es sec2 x, as que tomamos xdxdv 2sec y xu sec .

xtgxdxduxu

tgxxdxvxdxdv

secsec

secsec 22

Integrando por partes se obtiene

Ctgxxxtgxxdx

xdxxtgxxdx

xdxxdxtgx

dxxxxtgx

xdxxtgxtgxxdx

secln2

1sec

2

1sec

secsecsec2

secsecsec

1secsecsec

secsecsec

3

3

3

2

23

Agrupar integrales idnticas


64

Prctica 9

Resuelve las siguientes integrales por partes

1. dxxex

2. 2( 3 5) xx x e dx

3. dxxx )Ln(

4. dxx)Ln(


65

5. dxxx sen

6. dxxx2

cos

7.

xdxex

cos

8. dxx)Ln(1


66

9. dxxxn

)Ln(

10.

dxx sen arc

11. xdx tg arc

12. dxex

x237


67

13. dxxex cos

14.

2x Senxdx

15.

2 xx e dx

16.

xe Senxdx


68

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

CONCEPTO

Sustitucin trigonomtrica

A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcin cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo la sustitucin trigonomtrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomtricas cuya integracin nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cul debe ser la sustitucin:

Expresin en el integrando

Sustitucin trigonomtrica

Objetivo

Aplicar el concepto de sustitucin trigonometra en la solucin de integrales que no pueden resolverse de forma directa.

Descripcin

La integracin por sustitucin trigonomtrica sirve para integrar funciones que

tienen la siguiente forma

, y

Este mtodo se basa en el uso de tringulos rectngulos, el teorema de

Pitgoras e identidades trigonomtricas.

La sustitucin trigonomtrica permite transformar una integral en otra que

contiene funciones trigonomtricas cuyo proceso de integracin es ms

sencillo.


69

Tcnica

Si un integrando contiene expresiones del tipo 222222 ,, axxaxa donde a

> 0 y otras como nn axax 2222 , semejante a las citadas, inicialmente deben tratarse de resolver por sustitucin algebraica, si este procedimiento no es posible aplicarlo, se puede realizar la integracin transformando la integral en una integral trigonomtrica, aplicando las sustituciones siguientes:

cos22 axa senax

sec22 axa tanax

tan22 aax secax

Elaborar un tringulo que permita encontrar las relaciones pitagricas.

Procedimiento

Se deben calcular los valores de a, x, x2, dx. Y realizar las sustituciones correspondientes.

En el desarrollo de las operaciones se pueden aplicar, segn proceda, alguna de las identidades trigonomtricas.

Material .

Hojas blancas Lpiz Formulario Tabla de identidades

Ejemplos:

1.

322

2

322 ua

du

ua

du

a2 = a2 a = a u2 = a2 sen2 u = a sen du = a cos d


70

sustituyendo en

3223222322 1

coscos

sena

da

senaa

da

ua

du

como 22 1cos sen

3366322 cos

cos

cos

cos

cos

cos

a

da

a

da

a

da

simplificando la ultima expresin

22 cosa

d

como

cos

1sec elevando al cuadrado

2

2

cos

1sec

sustituyendo

da

2

2sec

1

integrando

Ca

tan1

2

Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de tan1

2a en funcin de la

variable u original. Como u = a sen entonces h

co

a

xsen

22 uab

si la podemos sustituir

2222

1tan

1

ua

u

aa

1. dxxx 42

a2 = 4 a = 2 x2 = a2tan2 x = a tan dx = a sec2d

ca

cotan

u

a


71

sustituyendo en

daaadaaaadxxx22222222 sec1tantansectantan4

como 1tansec22

daaadaaa2222 secsectansecsectan


da23 secsectan

ddu

u

u

tansec

sec

sec

entonces

duua23

integrando Cau

a 3

sec

3

33

33

ahora calcularemos el valor algebraico de 33 seca en la funcin de la variable x

original. Como x = a tan entonces ca

co

a

xtan

si la a

bsec podemos sustituir

3

2

323

323

33 4

3

4

3sec

3 a

xa

a

xaa

colocando los valores correspondientes y simplificando

Cx 32 43

1

x

a


72

2. 94 2xx

dx

haciendo u = 2x y a = 3, resulta 222 94 aux . Por tanto si hacemos 2x = u,

entonces x = u, dx = du. Sustituyendo

22222

21

21

94 auu

du

auu

du

xx

dx

a2 =4 a = 2 u2 = a2tan2 u = a tan du = a sec2 d

sectan

sec

sectan

sec

1tantan

sec

tantan

sec 2

22

2

22

2

222

2

aa

da

aa

da

aa

da

aaa

da


d

asen

d

a

d

acsc

11

tan

sec1

integrando Cctga

cscln1

ahora calcularemos el valor algebraico de Cctga

cscln1

en la funcin de la

variable x original. Como x = a tan entonces ca

co

a

utan

si la u

bcsc y

u

actg podemos sustituir

cu

a

u

ua

a

22ln

1

colocando los valores correspondientes y simplificando

u

a


73

x

x

xx

x

2

349ln

3

1

2

3

2

49ln

3

1 22


74

Prctica 10

Desarrolle las siguientes integrales: Utilice el mtodo de sustitucin trigonomtrica.

1.

225 x

dx

2.

162x

dx

3.

49 2x

dx

4.

2916 x

dx


75

5.

19 2x

dx

6.

2

3

22x

dx

7.

225 xx

dx

8.

32 25

dx

x


76

9.

2

24

t dt

t

10. 3 2 9

dx

x x


77


78

Universidad Autnoma del Carmen Coordinacin de la Funcin Acadmica

Escuela Preparatoria Diurna. Unidad Acadmica del Campus II

Instrumento de evaluacin: Lista de cotejo

Tipo de evaluacin: SUMATIVA/FORMATIVA

Departamento: MATEMATICAS Academia: MATEMATICAS

Unidad de Aprendizaje Curricular:

Calculo Integral

Semestre: Sexto Nmero de secuencia:

3 Grupo:

Bloque: 2 Y 3 Evidencia: Manual de prcticas.

Competencias Genricas 5. innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Atributos 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de

un objetivo. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos.

Nombre del

Estudiante:

Nombre del Docente:

Porcentaje: Fecha de

aplicacin:

Caractersticas Cumple

Si No

PRESENTACION Entrega el manual o cuaderno de trabajo limpio y ordenado

Entrega puntual, en la hora y fecha acordada

CONTENIDO Letras, nmeros y smbolos son legibles?

Calcula integrales acorde al mtodo de solucin.

En el desarrollo se indica y hace evidente la realizacin de

todos los pasos que incluye el ejercicio.

Realiza las operaciones algebraicas incluidas en cada

ejercicio.

Anota la formula a emplear en cada ejercicio.

Contiene el total de ejercicios marcados

Encuentra el resultado correcto en el 80% de los ejercicios

Observaciones

Evalu Fecha

Nombre y firma


79

Universidad Autnoma del Carmen Coordinacin de la Funcin Acadmica

Escuela Preparatoria Diurna. Unidad Acadmica del Campus II

Instrumento de evaluacin: Lista de cotejo

Tipo de evaluacin: SUMATIVA/FORMATIVA

Departamento: MATEMATICAS Academia: MATEMATICAS

Unidad de Aprendizaje Curricular:

Calculo Integral

Semestre: Sexto Nmero de secuencia:

3 Grupo:

Bloque: 2 Y 3 Evidencia: Portafolio

Competencias Genricas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

Atributos 4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.

Nombre del

Estudiante:

Nombre del Docente:

Porcentaje: Fecha de

aplicacin:

Contenido del portafolio SI NO Puntaje

El portafolio es entregado impreso, en CD o formato electrnico

Utiliza portada (Nombre de la Institucin, Nombre de la unidad de aprendizaje, Leyenda: Portafolio de

evidencias, Nombre del alumno, Fecha de entrega)

Un ndice de lo que contiene el portafolio.

Gua de observacin de la evaluacin formativa.

Actividades de la antologa comentada.

Contiene ejercicios adicionales a los marcados en clases o extra clase (mnimo 10 por tema incluir

bibliografa)

Listas de verificacin de prcticas.

Ejercicios de autoevaluacin.

PUNTAJE TOTAL

Observaciones

Evalu Fecha

Nombre y firma

Documents

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