UNIDAD I. Sistemas de ecuaciones lineales y determinantes 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales y su clasificacin Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas, x y y;

Cadaunadeestasdosecuacioneseslaecuacindeunalnearecta.Estesistemadeecuaciones puede tener tres posibles respuestas: 1.Que el sistema tenga una solucin nica. 2.Que el sistema tenga una cantidad infinita de soluciones. 3.Que el sistema no tenga solucin. Ejemplo para el caso 1; Considere el siguiente sistema: ec.1 ec.2

Sustituyendo el calor de x en la ecuacin 1, tenemos:

Por lo tanto este sistema tiene una solucin nica y son las coordenadas (6,-1). Ejemplo para el caso 2; Considere el siguiente sistema: ec.1 ec.2 Si multiplico la ec.1 por (2) Comopodemosobservaralmultiplicarlaecuacin1por(2),obtenemoslamismaecuacinque tenemos en la ecuacin 2, por lo tanto son ecuaciones equivalentes, lo que quiere decir que este sistema tiene una cantidad infinita de soluciones. Ejemplo para el caso 3; Considere el siguiente sistema: ec.1 ec.2 Si multiplico la ec.1 por (2) el sistema que queda se contradice, veamos; ec.1 ec.2 Por lo tanto esto nos indica que el sistema no tiene solucin. Otra manera en la que podemos observar el comportamiento de estos sistemas de ecuaciones es tabulando cada ecuacin y posteriormente graficndola. Si la grfica es del tipo: Cruzan en un punto, por lo tantoestas son las coordenadas de la solucin nica de este sistema. En la siguiente grfica podemos observar el comportamiento del caso 2; En este caso se dice que se tiene una cantidad infinita de soluciones porque una recta esta sobre la otra, esto quiere decir que no chocan un punto, sino que chocan en todos. Finalmente el tercer caso se manifiesta de la siguiente manera; R1 R2 R1,2 R1 R2 Enestecasolasrectasnuncasetocanporloquieredecirnotienesolucinestesistemade ecuaciones. 1.2 Ecuacin cuadrtica. Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin polinmica de segundo grado

Lassiguientesexpresionessonecuacionescuadrticasescritasenformageneral.

( )

NOTA: las ecuaciones cuadrticas que contienen fracciones suelen simplificarse escribindolas sin fracciones. Esta simplificacin se logra al multiplicar la ecuacin por el MCD de los coeficientes. Pararesolverunaecuacincuadrticanecesitamosciertaspropiedadesdelosnmerosreales como la regla del producto cero. Regla de producto cero para nmeros reales Siyson nmeros y , entonces , , o ambos,y , son iguales a cero. Encontrar las races por la regla del producto cero Esta ecuacin se factoriza como ( )( )

( )( )

Factorizacin de trinomios

Determinante: Races reales iguales

Races reales distintas

Complejas conjugadas

Ejercicios

()()Reales distintas

()()Reales distintas Frmula cuadrtica Con . Se resuelve mediante la frmula:

Quedalugaradossolucionesdistintas,dosigualesodoscomplejassegnqueeldiscriminante

sea,respectivamente,mayor,igualomenorquecero.Siola ecuacin cuadrtica se llama incompleta y se puede resolver de forma ms sencilla que aplicando la frmula anterior. Ejercicio: Desdeeltechodeunedificiode555piesdealtoselanzahaciaarribaunapelotaconuna velocidadinicialde

.Laalturadelapelotaporarribadelniveldelniveldelpisoen cualquier instanteest dada por la formula()

Cundo chocara la pelota contra el suelo? SOLUCION: Cuandolapelotachocacontraelsuelosualturaesiguala,porlotantosuecuacines:

se multiplica la ecuacin por y se obtiene la ecuacin:

Solucin

Resultado Se escoge el nmero positivo, por lo tanto enseg. la pelota chocara contra el suelo. Menor de una matriz Sea unamatrizdeysealamatrizde( )( )queseobtienede eliminando el renglny la columna .

se llama el menorde . Ejemplo 3: Sea |

| encuentre

y

. Solucin Eliminando elprimerrenglnylaterceracolumnadeseobtiene

( ).Por otrolado

( ).

Ejemplo 4: Sea (

) encuentre

y

Solucin Quitamoseltercerrenglnylasegunda columnadeyseobtiene

(

) Mientras que

(

) Cofactor Seauna matriz de . El cofactorde , denotado por

, est dado por ()

|

| Esto es, el cofactordese obtiene tomando el determinante del menory multiplicndolo por () . Observe que Ejemplo 5: Sea (

), encuentre el cofactor

()

|

||

| 1.3 Determinantes y sus propiedades Sea (

) una matriz de . El determinante dees

Con frecuencia se denotar por |||

| Sea (

) Entonces ||

|

|

|

|

|

| Ejemplo 1: Sea (

), calcule || Solucin |||

|| | | | | | ( ) ( )( ) Ejemplo 2: calcule|

| Solucin |

|| | () | | | | ( )( )( ) () () () 1.4 Determinantes e inversas (Mtodo de cofactores) Cadaelementodeldeterminantetieneuncofactor.Elvalordelcofactorsedeterminasumando primeroelnmerodelafilayelnmerodelacolumnaendondeseubicaelelemento,siel resultado de esta suma es par, el valor del cofactor = valor del menor de ese elemento. Si la suma es impar, el valor del cofactor esveces el valor del menor de ese elemento. Ejemplo: SeanAyBdosmatricesdenxn.SupongaqueAB=BA=I;entoncesBsellamainversadeAyse denota por

. Entonces se tiene:

Si A tiene inversa, entonces se dice que A es invertible. Paraencontrarlainversadeunamatrizsesiguenlossiguientespasosquesemostraran resolviendo un ejemplo; Sea|

| 1.Verificar que la matriz sea invertible, y esto se determina verificando que su determinante sea diferente de 0 (cero). Resolviendo su determinante podemos ver que si es invertible ya que det A=3 2.Como siguiente paso hay que determinar los cofactores la matriz de la siguiente manera:

()

|

| yEl primero sera:

()

| |

De esta forma obtenemos una nueva matriz: |

| Posteriormente buscamos la adjunta de A que es la transpuesta de B;

|

| Finalmenteaplicamoslafrmulaparaencontrarlainversadeunamatrizpormediode cofactores;

|

||

| Ejemplo: Uncontratistamezclaciertacantidaddeagregadoconcementoparahacerconcreto;hay2 mezclasalamanounadeellas,quellamaremosmezcla,tienedearenayde agregado.Laotramezcla,tiene arenayagregado.Cuntodecadaunadebe emplearseparaobtenerunamezcladequeseadearenaydeagregado? Utilice la regla de cramer para resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante. Solucin: MezclaMezcla

| | |

| | | |

|

|

|

1.5 Regla de Cramer Una manera distinta deresolver un sistema de ecuaciones en el que el nmero derenglonessea igualalnmerodecolumnasodichodeotraformasetieneelmismonmerodeincgnitasy ecuaciones. Considerandoquetenemosunsistemadeecuacionesde3x3,loquehacemosprimeramentees acomodarlo en forma matricial utilizando nicamente los coeficientes que acompaan a cada una de las variables y verificar que su determinante sea diferente de 0 (cero). Posteriormente sustituimos la columna del trmino independiente que se encuentra a la derecha delaigualdadporlacolumnadelavariablequedeseamosencontrar.Paraesteentonces habremosformadounnuevamatrizde3x3.Loquesigueesencontrareldeterminantedeesta nuevamatrizyelresultadodividirloentreeldeterminantedelamatrizoriginal.Yparacada variable se repite el mismo paso. Ejemplo: hallar la solucin al siguiente sistema de ecuaciones; Paso1:acomodamosloscoeficientesdelasvariablesenformamatricialyencontramossu determinante. Det: |

|= 6 por lo tanto Paso 2: sustituir los trminos independientes en la primera columna y encontrar sudeterminante para hallar el valor de la variable "x. Det x: |

|= 24

; x=4 Paso 3: repetimos el mismo paso para encontrar y y z. Obteniendo como resultados;

Paracomprobarquenuestrosresultadossonloscorrectosnicamentehayquesustituirlos valores de x, y, z en una de las ecuaciones originales. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer; 1.- 2.-

3.- 1.6 Eliminacin Gauss-Jordan Ecuaciones conincgnitas: Eliminacin de Gauss-Jordan y Gaussiana. Enestaecuacinsedescribeunmtodoparaencontrartodaslassoluciones(siexisten)deun sistema deecuaciones lineales con incognitas. Al hacerlo se ver que, lo mismo que en el caso de,talessistemasnotienensolucin,tienenunasolucinotienenotienenunnmero infinitodesoluciones.Antesdellegaralmtodogeneral,severnalgunosejemplossencillos. Como variables, se usaran

etctera, en lugar de porque la generalizacin es ms sencilla al usar la notacin con subndices. EJEMPLO 1. Solucin de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas: solucin nica. Resuelva el sistema.

SolucinEn este caso se buscan tres nmeros

tales que las tres ecuaciones en (1) se satisfacen. Elmtododesolucinqueseestudiarasereldesimplificarlaecuacionesdemaneraquelas soluciones se puedan identificar de inmediato. Se comienza por dividir la primera ecuacin entre. Esto da:

Comosevioanteriormente,alsumardosecuacionesseobtieneunaterceraecuacincorrecta. Estaecuacinpuedesustituiracualquieradelasdosecuacionesdelsistemausadaspara obtenerlas. Primero se simplifica el sistema (2) multiplicando ambos lados de la primera ecuacin de (2) pory sumando esta nueva ecuacin a la segunda. Esto da:

La ecuacin

es la nueva segunda ecuacin y el sistema ahora es:

Nota:Sehasustituidolaecuacin

porlaecuacin

Enesteejemployotrosposterioressusustituirnecuacionesconotrasmssencillashasta obtener un sistema cuya solucin se pueda identificar de inmediato. Entonces, la primera ecuacin se multiplica pory se suma a la tercera:

Observequeen elsistema(3)sehaeliminadola variable

delasegunday terceraecuaciones. Despus se divide la segunda ecuacin por :

Se multiplica la segunda ecuacin pory se suma a la primera; despus se multiplica la segunda ecuacin pory se suma a la tercera:

Se multiplica la tercera ecuacin por :

Porltimo, sesumalaterceraecuacinalaprimeraydespussemultiplicalaterceraecuacin porysesumaalasegundaparaobtenerelsiguientesistema[queesequivalentealsistema (1)]:

Esta es la solucin nica para el sistema. Se escribe en la forma ( ). El mtodo que se us se conoce como eliminacin de Gauss- Jordan. Solucin de un sistema mediante eliminacin gaussiana. Resuelva el sistema del ejemplo 1 reduciendo la matriz de coeficientes a la forma escalonada por los renglones. ( )

( )

( )

( ) Hasta aqu, este proceso es idntico al anterior; pero ahora solo se hace cero el nmero () que esta abajo del primer en el segundo rengln:

( )

( ) La matriz aumentada del sistema (y los coeficientes de la matriz) se encuentran ahora en la forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que

. Despus se usa la sustitucin haciaatrsparadespejarprimero

ydespus

.Lasegundaecuacinqueda

. Entonces

()y

.Deigualmaneradelaprimeraecuacinseobtiene

() ()o

.As,denuevoseobtienelasolucin( ).Elmtodode solucin que se acaba de emplear se llama eliminacin gaussiana. Naci en Dubln en 1805, segn Grossman (1996) considerado el ms grande matemtico irlands. A la edad de5 aos, poda leeringls, hebreo, latn y griego. Cuando cumpli 13 aos dominabaademsdelosidiomasdelcontinenteeuropeo,elsnscrito,chino,persa,rabe,malasio,hind, bengalyvariosotros.En1823,alos18aos,descubriunerrorenlaMcaniqueclestede Simon Laplace y escribi un artculo impresionante sobre el tema. Un ao despus entr al Trinity CollegeenDubln.Alos21aos,siendotodavaestudiantedelicenciatura,habaimpresionado tanto a sus maestros quefue nombrado Astrnomo Real de Irlanda y catedrtico de Astronoma delaUniversidad.Utilizandosloteoramatemticapredijorefraccincnicaenciertotipode cristales.Posteriormente,suteorafueconfirmadaporlosfsicos,loquevaliparaquele otorgaranunttulonobiliarioen1835.EnsusltimosaoslaAcademiaNacionaldeCienciasde Estados Unidos, lo eligi como su primer miembro extranjero. UNIDAD II. Polinomios Un ave trabaja de acuerdo a leyes matemticas, lo que est dentro de la capacidad humana de reproducir. Leonardo da Vinci. 2. Polinomios. 2.1. Definicin Ecuaciones de grado superior (Polinomios) Lasaplicacionesprcticasdelalgebrarequierenecuacionesquenosoncuadrticasnipueden reducirsealaformacuadrticayresultaimportanteresolvertalesecuacionescontiempoy esfuerzo mnimo. Este es el motivo por lo quelos matemticos desarrollaron diferentes mtodos para dar solucin a este tipo de problemas. Funciones Polinomiales Una Funcin polinomial es una funcin de la forma. 1) ()

Dondeesenteroy

sonconstante(Coeficientedominante).Sedicequela funcin polinomial de este tipo, tiene grado. Elgradodeunafuncinpolinomialesigualalmayorexponentequetengalaincgnitadela ecuacin. Deladefinicin podemos verqueeldominiodeunafuncinpolinomialeselconjunto detodoslosnmerosreales.Unpolinomiodegrado1esunafuncinlinealyunpolinomiode grado2esunafuncincuadrtica.Comenzamosexaminandofuncionespolinomialesms sencillas, de la forma()

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.500.511.522.53-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-4-3-2-101234 Utilice la computadora (MATLAB). 1.Grafique lo siguiente en el mismo conjunto de ejes coordenados.

Para los valores pares depuede deducir como afecta la grafica

el cambio de ? Solucin Matlab: x=-1.2:0.1:1.2; y1=x.^2; y2=x.^4; y3=x.^6; plot(x,y1); hold; plot(x,y2); plot(x,y3); Grafique lo siguiente en el mismo conjunto de ejes coordenados:

Para los valores impares depuede deducir como afecta la grafica

el cambio de ? olucin (MATLAB) x=-1.2:0.1:1.2; y1=x.^3; y2=x.^5; y3=x.^7; -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5-1-0.500.511.522.53 plot(x,y1); hold; plot(x,y2); plot(x,y3); grid; Puntos de retornos: es cuando la grfica cambia de sentido de una forma creciente a decreciente o viceversa. Propiedades de las funciones polinomiales 1.La grafica de un polinomio es una curva suave y continua. La palabra suave significa que la grfica no tiene esquinas. 2. Si() es un polinomio de grado entonces la ecuacin polinomial() tiene a lo ms soluciones distintas; es decir, () tiene a lo ms ceros. Esto equivale a decir que la grfica de () cruza por el eje a lo ms veces. As, un polinomio de grado 5 puede tener a lo ms 5 intersecciones con el eje. 3.La grafica de un polinomio de grado puede tener a lo mspuntos de retornos. 4.Lagraficadeunpolinomiosiempreexhibelacaractersticadequecuando||esmuy grande, || es muy grande. Ejemplo: trazar la grfica de ()

identificar las intersecciones con los ejes. ()

(

)( )( )Por lo tanto los puntos de interseccin con el eje x son:

MATLAB x=-2.2:0.1:1.5; y1=(x.^3)+(x.^2)-(2*x); plot(x,y1);hold; grid; 2.2 Races de polinomios. Races de Polinomios. El teorema de factor y del residuo establece la relacinntima entre los factores de un polinomio()ylasracesdelaecuacin().Aliniciodeestaseccinmencionamosvarias propiedadesdelasfuncionespolinomiales,unadeellaseraqueunapolinomiodegradono puede tener a lo masraces. Paracontardemaneramsuniformelasracesdelospolinomios,introducimos,lanocinde multiplicidad.Porejemplo,laecuacinpolinomial

( )( ),tiene como nica raz; sin embargo, como el factor-, aparece dos veces, decimos que 1 es una raz doble o una raz de multiplicidad 2. En general, si ( -)aparece como factor de un polinomio veces, decimos que es una raz de multiplicidad. Tienerazcualquierecuacinpolinomial(degradomayoroigualauno).Nuestrarespuesta dependedelsistemanumricoenelqueestemostrabajando.Sinosrestringimosalsistemade nmeros reales, entonces ya es familiar el hecho de que una ecuacin como

no tiene solucionesreales.Sinembargo,estaecuacintienedosracesenelsistemadenmeros complejos. (Las races y). El teorema fundamental del algebra. Si()esunpolinomiodegradocuyoscoeficientessonnmeroscomplejos,entoncesla ecuacin () tiene al menos una raz en el sistema de nmeros complejos Recuerdeque,comolosnmerosrealessontambinnmeroscomplejos,unpolinomiocon coeficientes reales tambin satisface el teorema fundamental del algebra. El teorema de factorizacin lineal. Si ()

donde y entonces()

(

)(

) (

). Donde

son nmeros complejos (posiblemente reales yno necesariamente distintos). Enpalabras,esteteoremadicequecualquierpolinomiodegradomayoroigualque1con coeficientes complejos puede expresarse como un producto de factores lineales. Demostracin.Envirtuddelteoremafundamental,sabemosquelaecuacin()tienealmenosunaraz compleja, digamos

. Por el teorema del factor sabemos que

esun factor de (). Por lo tantopodemosescribir()(

)

(). Donde el grado de

()es y, de nuevo tiene coeficiente principal

. Si el grado de

()escerohemosterminado.Encasocontrarioelteoremafundamentalaplicadoa

()diceque

()tienealmenosunaraz,digamos

.Alaplicarelteoremadelfactora

(),obtenemos

()(

)

(). Dondeelgradode

()es ydenuevo,tienecoeficienteprincipal

.Porlotanto obtenemos ()

()(

)(

)

(). Podemoscontinuaresteprocesohastaqueelultimocociente

()seaunaconstante;como hemosvisto,debeser

.As

() ,loqueimplica()

()(

)(

) (

)

Como se peda. Unaconsecuenciainmediatadelteoremadefactorizacinlinealeselhechoyamencionadode queunpolinomiodegradopuedeteneralomsracesdistintas.Dehecho,podemos establecer an ms. Toda ecuacin polinomial de grado tiene exactamente races en el sistema de nmeros complejos, donde una raz de multiplicidad se cuenta veces Ejemplo Encadaunadelassiguientesecuaciones,expresarelpolinomioenlaformadescritaporel teorema de factorizacin lineal. Enumere cada raz y su multiplicidad. a) ()

b) ()

c) ()

Solucin: a)Podemos factorizar

(

)( )( ) Para ajustarse al teorema de factorizacin lineal, escribimos() ( )( ()) Las races de() son ycada una de multiplicidad uno b)Podemos factorizar() como sigue ()

( )( ) Para ajustarse al teorema de factorizacin lineal, escribimoscomo (

). (

)( ) Las races de ()son

y , cada uno de multiplicidad uno. c)Podemos factorizar() como sigue: ()

(

) Podemosdeterminarlasracesde(

)utilizandolaformulacuadrtica.Lasraces son. Por lo tanto tenemos

[ ( )][ ( )] Lasracesde()son,demultiplicidaddosy y ,cadaunode multiplicidad uno. Teorema de races conjugada.Sea () un polinomio con coeficientes reales. Si el numero complejo(dondeyson nmeros reales) es una raz de () , entonces tambin lo es su conjugado . 2.3 Teorema del residuo. Teorema del residuo. La operacin para encontrar las races de (1), se simplifica considerablemente si el miembro de la izquierda,sefactorizaenunoovariosfactoresdeprimergrado.Elteoremadelresiduoquese enuncia o demuestra, estil para ese propsito y es tambin la basepara del mtodo empleado paradeterminarlasracesde(1)cuandoelmiembrodelaizquierdanoesfactorizablecon facilidad. Sisedivideunpolinomio()entrehastaobtenerunresiduoindependientede, entonces el residuo es igual a() . Antes de proceder a la demostracin del teorema del residuo se ilustrara su significado mediante el ejemplo siguiente. Sisedivide

entre-,seobtiene

comococienteycomo residuo. Debe observarse que el residuo es independiente de . En este problemas . Esto es . Ya que ()

()

()

() Que es igual al residuo obtenido anteriormente. En la operacin de divisin existe la relacin siguiente entre el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo. Dividendo = (cociente)(divisor)+ residuo. Porconsiguiente,si ()eselcocientequeseobtienealdividir()entre y esel residuo, se tiene (2)()()( ) La ecuacin (2) es vlida para todo valor de , inclusive para. Por tanto, si (2) se sustituye en vez de , se tiene()()( ) En consecuencia, () Con lo que queda demostrado el teorema. 2.4 Teorema del factor. Teorema del factor y su Reciproco. Sies una raz de (), entonces (). Por tanto, de acuerdo con el teorema del residuo, es cero en la expresin (2) del prrafo anterior, y para una situacin ()()( )De esta maneraes un factor de (), expresin que conduceal teorema del factor quese expone a continuacin. Si es la raz de la ecuacin racional entera (), entonceses factor de(). Recprocamente, sies factor de(), entonces el residuo que resulta al dividir ()entrees igual a cero. Por tanto,es raz de(). De esta manera a continuacin se expone el reciproco del teorema del factor. Sies factor del polinomio(), entonces es raz de (). EJERCICIOS. USO DE LOS TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR Empleandoelteoremadelresiduo,encuntreseelresiduoqueseobtendraaldividirlaprimera expresin de los problemas 1 a 16, entre la segunda. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Emplendose el Teorema de factor, demustrese que la segunda expresin de los problemas 17 a 36 es un factor de la primera. 17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

( ) ( ) 32

( ) ( ) 33

34

35

36

Empleandoelreciprocodelteoremadelfactor,encuntreselasracesdelasecuacionesdelos problemas 37. 37 2.5 Divisin sinttica. Divisin de Polinomios.

As cuando

se divide entre, el cociente esy el residuo es. Podemos escribir este resultado de la siguiente manera:

Es importante observar que el proceso de divisin termina cuando el grado del residuo es menor queelgradodeldivisor,demanerasimilaraladivisindenmerosnaturales,dondenos detenemoscuandoelresiduoesmenorqueeldivisor.Tambinobservequelaecuacin(1)es vlida para toda , mientras que la ecuacin (2) es vlida para todos los valores de. 2x 5 Ejemplo: dividir: 1)

El hecho de que el residuo sea nulo significa que la division es exacta. Por lo tanto, tenemos

( )(

) Y por lo tantoes un factor de

Ejemplo:Dividir:

-2

4

???

??? Divisin Sinttica Cuando dividimos un polinomio entre un divisor de la forma,se repite un poco la escritura. Podemos abreviar este proceso al reconocer toda la informacin esencial en el proceso de divisin est dada por los diversos coeficientes y su lugar especfico en el arreglo. Nota: Cuando dividimos entrerepresentamos al divisor como . El formato final siguiente se llama divisin sinttica para la divisin de

entre . Incluimos una explicacin de la construccin de esta tabla. 1.Comoeldivisor es ,representamoseldivisorcomo,escritoalaizquierdadela filasuperior.Escribimosloscoeficientesdeldividendoenlaprimerafiladelatabla. Recuerde reservar un lugar para los trminos faltantes, incluyendo un coeficiente 0. 2.Baje el 2. 3.Multiplique; escribaen la segunda columna y sume para obtener. 4.Multiplique ()() ; escriba en la tercera columna y sume para obtener5.Alreconocerelultimonumeroenelrenglndeabajocomoelresiduo,leemoslos coeficientes del cociente comoy. Por lo tanto, el cociente es y y el residuo es . Podemos resumirel procedimiento de divisin sinttica como sigue: DIVISION SINTETICA Para dividir

entremediante el proceso de divisin sinttica construimos la siguiente tabla.

Residuo Observequelasflechasdiagonalesindicanunamultiplicacinpor,ylasflechas verticales indican una suma de cada columna. Esmuyimportanterecordarqueelprocesodedivisinsintticasolofuncionacuandoeldivisor tienda la forma de . Ejemplo:Utilice la divisin sinttica para determinar el cociente

Dividendo:

Cociente:

Ejercicios: Realice las siguientes divisiones: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Utilice la divisin sinttica para determinar el cociente y residuo. 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

Figura 1. Representacin de cantidades vectoriales UNIDAD III. Vectores y Matrices Las componentes de un vector Muchascantidadesengeometrayfsica, comoel rea,el volumen,latemperatura,la masa yel tiempo,sepuedencaracterizarpormediodeunsolonmeroreal,enunidadesdemedicin apropiadas.Estascantidadessellamanescalares,yalnmerorealselellamaescalar.Otras cantidades como la fuerza, la velocidad y la aceleracin, tienen magnitud y direccin y no pueden caracterizarsepormediodeunsolonmeroreal.Pararepresentarestascantidadesseusaun segmento de recta dirigido. Actualmente, casi todas las reas de la fsica clsica y moderna son representadas por el lenguaje delosvectores.Tambinseusancadavezmsfrecuentementeenlascienciasbiolgicasy sociales.

Vector rengln de ncomponentes Definamos un vector regin de n componentes (n -dimensional) como un conjunto ordenado de n nmeros escrito como: (

) Vector columna de ncomponentes Unvectorcolumnadencomponentes(n-dimensional)esunconjuntoordenadodennmeros escrito como:(

) En el vector rengln o vector columna,

se llama la primera componente del vector mientras,

eslasegundacomponente,yassucesivamente.Engeneral,

eslak-simacomponentedel vector. Por simplicidad, frecuentementenos referimosa un vector rengln n-dimensionalcomo un vector rengln o un n-vector.De igual manera, usamos el trmino vector columna (o n-vector) paradenotaraunvectorcolumnan-dimensional.Cualquiervectorcontodassuscomponentes iguales a cero se llama vector cero. Enladefinicindevector,lapalabraordenadoesesencial.Dosvectoresconlasmismas componentesescritasendiferenteordennosonlosmismos.As,porejemplo,losvectores rengln (1,2) y (2,1) no son iguales. Vectores en

y

Vectores en el plano (R2)

eselconjuntodevectores(

),con

y

nmerosreales.Comocadapuntodelplano cartesiano se puede escribir en la forma ( ) es evidente que cualquier punto del plano se puede ver como un vector en

y viceversa. Por lo tanto se suelen utilizar indistintamente los trminos el plano y

. Sin embargo, para varias de las aplicaciones fsicas (incluyendo los conceptos de fuerza,velocidad,aceleracinycantidaddemovimiento)esimportantepensarenunvectorno como un punto, sino como un objeto que tiene magnitud y direccin. SeanP y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q, denotado por PQ, es el segmento rectilneo que va deP a Q(Figura 2a).Notemos que los segmentos de recta dirigidos y son diferentes pues apuntan en direcciones opuestas (Figura 2b). Figura 2.a) vector ??????

b) vector ??????

Elpunto Pen elsegmentoderectadirigidoseconocecomopuntoinicialdelsegmento,y el puntoQ como punto terminal. Las dos propiedades principales de un segmento de recta dirigido sonsumagnitud(longitud)ysudireccin.Sidossegmentosdirigidosytienenigual magnitud y direccin decimos que son equivalentes,sin que interese su ubicacin con respecto al origen. Todos los segmentos dirigidos de la Figura 3 son equivalentes. UnvectorenelplanosedenotaporV=Enloslibros,losvectoressedenotannormalmente con letras minsculas, en negrita o como .Cuando seescriben a mano se suelen denotar por medio de letras con una flecha sobre ellas como ,y . Definicin geomtrica de un vector El conjunto detodos los segmentos derectadirigidos equivalentes a un segmentodirigido dado, sellamavector.Cualquiersegmentoderectadirigidoeneseconjuntoseconocecomo representante del vector. Observacin: Todos los segmentos de recta dirigidos en la Figura 3 son representantes del mismo vector.Deladefinicingeomtricavemosqueunvectordadov,sepuederepresentaren diferentesmaneras.Sea

unrepresentantedev,entoncessincambiarsumagnitudnisu direccinpodemosmover

paralelamentehastaquesupuntoinicialquedeenelorigen. Hemosobtenidoaselsegmentoderectadirigido

queesotrorepresentantedelvectorv (Figura4).AhorasupongamosqueRtienecoordenadascartesianas(a,b).Entoncespodemos describir el segmento de recta dirigido

por las coordenadas(a, b).Esto es,

es el segmento dirigido con punto inicial (0,0) y punto terminal (a, b). Como un representante deun vector sirve tan bien como otro podemos expresar el vector v como (a, b). Figura 3. Vectores equivalentes Definicin algebraica de un vector.

Un vector v en el plano xy puede considerarse como un vector que se inicia en el origen y termina en ese punto. Observacin1:conestadefinicin,unpuntoenelplanoxypuedeconsiderarsecomounvector que se inicia en el origen y termina en ese punto.Observacin2:elvectorcerotienemagnitudcero.Portanto,comoelpuntoinicialyterminal coinciden decimos que el vector cero no tiene direccin.Observacin 3: enfatizar que cada punto de vista (geomtrico y algebraico) tiene sus ventajas. Los espacios

y

RepresentacinGrfica Una manera de representar un vector (a, b) en

es por medio de un segmento dirigido o flecha, como se aprecia en la Figura 5, cuyo punto inicial es el origeny punto final es el de las coordenadas (a, b). Figura 4. Segmento de recta dirigido ?????? Elusodecoordenadascartesianasenelespaciotridimensionaldalugarauna interpretacingeomtricaconvenientedelosvectoresen

.Tomadosporpares,losejes determinantresplanoscoordenados:elplanoxy,elplanoxzyelplanoyz.Estosplanos coordenadosdividenelespaciotridimensionalenochooctantes.Elprimeroctanteesenelque todas las coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P en el espacio est determinado poruna terna ordenada (x, y, z).El vector (2, 3, 4) se interpreta de esta manera, alusarunaflechacuyopuntoinicialeselorigenypuntoterminaleselpunto(2,3,4) como se muestra en la Figura 6. Figura 5. Representacin de vectores en R2 Figura 6. Representacin de un vector en R3 Magnitudy Direccin de un vector Comounvectoresrealmenteunconjuntodesegmentosderectaequivalentes,definimosla magnitudolongituddeunvectorcomolamagnitudcualquieradesusrepresentantes,ysu direccin,comoladecualquieradesusrepresentantes.Siusamoselrepresentante

y consideramos el vector v=(a, b), se tiene que: Magnitud de v: =

Esto se sigue del teorema de Pitgoras (Figura 7).Notemos que es un escalar.

Ejemplo 1: Calcule las magnitudes de los vectoresa (2, 2), b (2,2), c (-2, 2), d (-3, -3), e(6, -6). Solucin.Figura 7. Teorema de Pitgoras a.=

==2 b.=

()

=4 c.=(

)

=4 d.=

()

==3 e.=

()

==6 Ahora definimos la direccin del vector v=(a, b)como el ngulo (medido en radianes) que forma el vector con la parte positiva del eje x.Por convencin escogemos:

Ejemplo 2: Calcule la direccin de los vectores del Ejemplo 1. Estos cinco vectores estn representados en la Figura 8. a.Aqu v estaen el primer cuadrantey como

b.Aqu =

(

) =

()

(pues v esta en el primer cuadrante) c.Vemos que v est en el segundo cuadrante y, como

(

)

(

)

entonces

d.Aqu v est en el tercer cuadrante y, como

()

, tenemos que (

)

e.Como v est en el cuarto cuadrante y

()

, se tiene que(

)

Vector unitario Existen dos vectores especiales en

que nos permiten representar otros vectores en una forma ms conveniente.Denotaremos el vector (1, 0) con el smbolo de y el vector (0, 1) conelsmbolodej(Figura7).Si( )esotrovectordelplanoentonces,como ( )( ) ( ) Figura 8. Representacinde los vectores del Ejemplo 2 = (, ) = ??? +??? Un vector unitario es un vector de magnitud igual a 1. El vector

es un vector unitario pues: (

)

(

)

=

= 1 Operaciones con vectores Suma devectores(mtodo analtico) Sean (a, b) y (c, d) dos vectores en

, la suma de estos vectores es :( ) ( )() Sean (a, b, c) y (d, e, f) dos vectores en

. La suma de estos vectores es: () ()( ) El proceso de hallar la suma de dos vectores se llama Adicin vectorial. La suma de los vectores (3, -1) y (6, 8) es (9, 7). La suma de los vectores (1, 2, 3) y (5, 7, 9) es (6, 9, 12). Suma devectores(mtodo grfico) Figura 7. Componentes de un vector Lasumadedosvectores consideradoscomoflechasseobtiene,trazandoel paralelogramoformadopory(Figura8);entonces eslaflechadirigidaque corresponde a la diagonal del paralelogramo cuyos lados son. Multiplicacin de vectores Sea (a, b) un vector en

y (a, b, c) un vector en

. Si k es un escalar, entonces: ???( )(??? ???)y, ???()(??? ??? ???) Laoperacindemultiplicarunescalaryunvectorsellamamultiplicacinescalar(Figura 9). En particular, se tiene 3(5, -1)= (15, -3) y, -2(6, 4)= (-12, -8). Figura 8. Adicin y Sustraccin de vectores ELvectorceroenelespaciobidimensionales(0,0)yelvectorceroenelespacio tridimensional es (0, 0, 0). Cualquiera de estos dos vectores se expresa con el smbolo 0. ngulo entre dosvectores Seanydosvectoresdistintosdecero.Elnguloentrey(Figura10)sedefine comoelmenorngulopositivoentrelosrepresentantesdeyquetienenalorigen como sus puntos iniciales.

Figura 9. Multiplicacin escalar Figura 10. ngulo entre dos vectores = Producto escalar o producto punto Sepresentaunaterceraoperacinconvectores,llamadaelproductoescalar.Este producto da como resultado un escalar, y no un vector. El producto escalar de (

) y (

)es:

El producto escalarde (

) y(

) es:

Ejemplo 1:Dados( ), () y (), encontrar: a) b)() c)() Solucin. a)=-6 b)() =(24, -18) c)()= -12 Observequeelresultadodeb)esunacantidadvectorial,mientrasquelosotrosdos resultados son cantidades escalares. Vectores Paralelos Definicin. Dos vectoresydistintos de cero son paralelos si el ngulo entre ellos es cero o bien . Teorema.Sientonces paraalgunaconstantedistintadecerosiyslo siy son paralelos. Vectores Ortogonales Definicin. Se dice que los vectoresydistintos de cero son ortogonales si el ngulo entre ellos es /2. Teorema. Los vectoresydistintos de cero son ortogonales si y slo si = 0. Producto vectorial o producto cruz Sellamaproductovectorialysedefineycalculademaneramsadecuadautilizandolos vectorescannicosoestndar.Elproductovectorialdebesunombreaquedacomo resultado un vector. Al producto vectorial tambin se le suele llamarproducto cruz. Sea

???

???

???y

???

???

???vectoresenelespacio.Elproducto vectorial deyes el vector: (

)??? (

) (

)??? Nota:asegresedeverqueestadefinicinsloaplicaavectorestridimensionales.El producto vectorial no est definido para vectores bidimensionales. Unamaneraadecuadaparacalcularesusardeterminantesconexpansinde cofactores. (Esta forma empleando determinantes 3 x 3 se usa slo para ayudar a recordar lafrmuladelproductovectorial,perotcnicamentenoesundeterminanteporquelas entradas de la matriz correspondiente no son todas nmeros reales.) = |??? ??? ???

|Poneren la fila 2 yen la fila 3 =|??? ??? ???

| ??? |??? ??? ???

| j +|??? ??? ???

| ??? =|

| ??? |

| ???|

| ??? = (

)??? (

)???(

)??? Notar el signo menos delante de la componente j. Ejemplo:Dados ??? ??? ???y??? ??????,hallarcadaunodelossiguientes productos vectoriales: a)b) c) Solucin a)??? ??? ??? b)??? ??? ???c) = 0 Matrices UnamatrizAesunarregloodisposicinrectangulardenmeros.Sielarreglotienem renglones (horizontales) y n columnas (verticales), entonces se llama matrizm x n. se dice que el tamao o dimensin es m por n, o sea m x n. A continuacinse presentan cinco matrices de diferentes tamaos: =

11

12

13

21

22

23

31

32

columnas renglones A=* + 2 x 2 (cuadrada)A= 3 x 2A=*

+ 2 x 3 A=

3 x 3(cuadrada)A=[

] matriz 0 de 1 x 3 Propiedades Sean A, B y C matrices m x n.Sea 0 la matriz cero de m x n.Entonces: A + 0 = A(Identidad Aditiva) A +B = B +A(Ley conmutativa para la suma de matrices) A + (B + C)= (A +B) + C(Ley asociativa para la suma de matrices) (A + B)= A+ B (Ley distributiva para la multiplicacin por escalares) 0(A) = 0*

1A =A *Ntese que el cero a la izquierda es el nmero cero, y el cero a la derecha es la matriz nula) Suma de matrices Sea A = (aij)yB= (bij) dos matrices m x n. la sumaA + Bde las dos matrices es la matriz m x n.

A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

La matriz m x n =0 (o simplemente 0) cuyas componentes son todas cero se llamamatriz cero y merece atencin especial. Obsrvese que: *

+ *

+ = *

+ Sean:A=* +y B=* +entonces A + B= * + Nota:lasumadelasmatricesestdefinidasolamentecuandoambasmatricestienenelmismo tamao. As, por ejemplo, no es posible la suma entre las matrices: *

+

Multiplicacin de una matriz por un escalar Si A= (aij) es una matriz de m x n y si es un escalar, entonces la matriz dada por A de m x n est dada por: A=

Ejemplo : 9*

+ = *

+ Multiplicacin de matrices SeaAunamatrizmxr,yBunamatrizderxn.elproductoABeslamatrizmxncuya componente ij- simaes el producto del regln i- simo de A y la columna j- sima de B. Ejemplo: Obtener el producto de AB donde: A = * + yB = *

+ Solucin: la componente del primer rengln y la primera columna de AB es el producto del primer rengln de A y la primera columna de B.

Dado que: [4(1)]+ [-1(6)]=-2 Se tiene: * +*

+=*

+ La componente del primer rengln y la segunda columna es 34, que es igual al producto del primer rengln de A y la segunda columna de B. * +*

+=* + El producto del primer rengln de A y la segunda columna de B es -3. * +*

+=*

+ Los productos de la segunda fila de A por las tres columnas de B (dados enseguida) da lugar al segundo regln de AB. Finalmente, dado que: (0)( 1) + (5)(6) = 30 (0)(8) + (5)(-2) = -10 (0)(0) + (5)(3) =15 * +*

+=*

+ Matriz Transpuesta A menudo es til cambiar una matriz a manera que los vectores rengln se conviertan en vectores columna, y viceversa. La nueva matriz formada se llama transpuesta de la matriz original. Ejemplo: Sea A = *

+ entonces,

= y (

)

=*

+. Propiedades (

)

= A ( )

=

()

= c (

) Ejercicios I. Encuentre la magnitud ydireccin delvector dado.1.v = (4, 4) 2.v = (-4, 4) 3.v = ( 3 , -2) 4.v = (4, -4) 5.v = (-4, -4) 6.v = (- 3 , -2) 7.v = ( 3 , 1) 8.v = (1,3 ) 9.v = (-2,3 ) 10.v = (-1,3 ) 11.v = (1, - 3 ) 12.v = (3, 2) 13.v = (-1, - 3 ) 14.v = (1, 2) 15.v = (-5, 8) 16.v = (11, -14) II. Encuentreunvectorunitarioquetengalamismadireccinqueel vector dado.1.v = 2i + 3j 2.v = 4i 6j 3.v = i j 4.v = -3i + 4j 5.v = -3i 8j 6.v = ai + aj; a 0. III. Unvectorvtienedireccinopuestaaladelvectorusidireccinde v=direccindeu+. Delossiguientesproblemasencuentreun vectorunitariovquetengadireccinopuestaaladireccindel vector dado u. 1.u = i + j 2.u = 2i 3j 3.u = 4i 6j 4.u = -3i + 4j 5.u = -2i + 3j 6.u = -3i 8j IV. Seau=2i3jyv=-i+2j. Encuentreunvectorunitarioquetenga la mismadireccin que:1.u + v 2.2u 3v 3.3u + 8v V. Sean (

) (

)(

).Resuelve para:1.a + b 2.a + b + c 3.a + c 4.b a 5.c a 6.c b a 7.b c 8.b + c VI. Sean (

) (

)(

).Resuelvepara: 1.3b 2.5a 3.-2c 4.b + 3c 5.2a 5c 6.-3b + 2c 7.-5a + 3b 8.0c 9.2a + 4b + -3c 10.3a 2b + 4c VII. Seana=(3, -1, 4, 2), b=(6, 0, -1, 4)yc=(-1, 3, 1, 5). Resuelve para: 1.a + c 2.b a 3.c a 4.4c 5.-2b 6.7b + 4c 7.2a c 8.4b 7a 9.a + b + c 10.c b + 2a 11.3a 2b 4c 12.3a 2b + 4c 13.c b a | o + + VIII. Calcule el producto escalar de losdos vectores.1.a = (2, 3, -5); b = (3, 0, 4) 2.a = (1, 2, -1, 0); b = (3, -7, 4, -2) 3.a = (7, 4); b = (-1, -4) 4.a = ||.|

\|75; b = ||.|

\| 23 5.a = (8, 3, 1); b = (7, -4, 3) 6.a = (a, b); b = (c, d) 7.a = |||.|

\|zyx; b = |||.|

\|xzy 8.a = (-1, -3, 4, 5); b = (-1, -3, 4, 5) IX. Sean (

) (

)(

).Calcule:1.(2a) (3b) 2.(a + b) c 3.a (b + c) 4.c (a b) 5.(2b) (3c 5a) 6.(a c) (3b 4a) 7.(3b 4a) (4c + 2b a) X. Sedicequedosvectoresaybsonortogonalessiab=0. Determine cuales pares de vectores son ortogonales. 1. ||.|

\|32; ||.|

\|23 2. ||.|

\|32; ||.|

\| 23 3. |||.|

\| 741; |||.|

\|232 4.(1, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 1) 5. |||.|

\|321; |||.|

\|121 6. ||||||.|

\|cba00; ||||||.|

\|000ed XI. Determine el numerootal que (1, -2,3,5) es ortogonal a (-4, o ,6,-1).XII. Determine todos losnmerosoy|tales que los vectores(

) y (

) son ortogonales. XIII. Ejerciciosde aplicaciones.a)Unfabricantedejoyeradediseotienerdenespordosanillos,tresparesde aretes, cinco prendedores y un collar. El fabricante estima que le llevara 1 hora de manodeobrahacerunanillo,1horashacerunpardearetes,horaparaun prendedor y 2 horas para un collar. a.Exprese las rdenes del fabricante como un vector rengln. b.Exprese los requerimientos en horas para los distintos tipos de joyas como un vector columna. c.Utiliceelproductoescalarparacalcularelnmerototaldehorasque requerir para terminar las ordenes. b) UnturistaregresodeunviajeporAmricadelSurcondivisaextranjeradelas siguientes denominaciones: 1000 pesos argentinos, 20 reales del Brasil, 100 pesos colombianos, 5000 pesos chilenos y 50 colones de Costa Rica. En dlares, un peso argentinovala$0.3174,losrealesbrasileos$0.4962,lospesoscolombianos $0.000471, los pesos chilenos $0.00191 y los colones $0.001928. a.Expreselacantidaddecadatipodemonedapormediodeunvector rengln. b.Exprese el valor de cada tipo de moneda en dlares por medio de un vector columna. c.Utiliceelproductoescalarparacalcularcuntosdlaresvalaeldinero extranjero del turista. c) Unacompaapagaunsalarioasusejecutivosylesdaunporcentajedesus acciones como un bono anual. El ao pasado el presidente de la compaa recibi $80000y50acciones,sepagoacadaunodelosvicepresidentes$45000y20 acciones y el tesorero recibi $40000 y 10 acciones. a.Exprese los pagos a los ejecutivos en dinero y acciones como una matriz de 2 x 3. b.Exprese el nmero de ejecutivos de cada nivel como un vector columna. c.Utilice la multiplicacin de matrices para calcular la cantidad total de dinero y el nmero total de acciones que pago la compaa a los ejecutivos el ao pasado. XIV. Encuentre el producto cruz (ux v) para: 1.u = 3i j; v = 2i + 4k 2.u = 7j; v = i k 3.u = 4i j + 7k; v = -7i + j 2k 4.u = -2i + 3j 4k; v = -3i + j 10k 5.u = i 2j; v = 3k 6.u = 3i 7j; v = i + k 7.u = 2i - 3j; v = -9i + 6j 8.u = i - j; v = j + k 9.u = 7k; v = j + 2k 10.u = 2i 7k; v = -3i 4j 11.u = -2i + 3j; v = 7i + 4k 12.u = ai + bj; v = ci + dj 13.u = ai + bk; v = ci + dk 14.u = aj + bk; v = ci + dk 15.u = 2i - 3j + k; v = i + 2j + k 16.u = 3i 4j + 2k; v = 6i 3j + 5k 17.u = i + 2j + k; v = -i + 6j k 18.u = -3i - 2j + k; v = 6i + 4j 2k 19.u = i + 7j 3k; v = -i - 7j + 3k 20.u = i - 7j 3k; v = -i + 7j 3k 21.u = 2i - 3j + 5k; v = 3i - j k 22.u = ai + bj + ck; v = i + j + k 23.u = 10i + 7j 3k; v = -3i + 4j 3k 24.u = 2i + 4j 6k; v = -i - j + 3k 25.u = -i - 2j + 5k; v = -2i + 4j + 8k 26.u = 2i - j + k; v = 4i + 2j + 2k 27.u = 3i - j + 8k; v = i + j 4k 28.u = ai + aj + ak; v = bi + bj + bk 29.u = ai + bj + ck; v = ai + bj ck 30.u = -4i - 3j + 5k; v = -i - 3j 3k XV. Realice los clculos indicados.1. ||.|

\| 2 13 2||.|

\|6 01 4 2. ||.|

\| 4 12 3||.|

\|3 16 5 3. ||.|

\| 1 11 1||.|

\|3 20 1 4. ||.|

\|3 16 5||.|

\| 4 12 3 5. ||.|

\|2 4 01 5 4|||.|

\| 2 1 04 6 51 1 3 6. ||.|

\| 5 3 24 1 7|||.|

\| 3 24 06 1 7. |||.|

\| 3 24 06 1||.|

\| 5 3 24 1 7 8. ||.|

\| 4 0 32 4 1||.|

\|3 21 0 9. ||.|

\| 5 2 16 4 3||.|

\| 21 10. |||.|

\|4 0 15 3 26 4 1|||.|

\| 1 3 26 0 15 3 2 11. |||.|

\| 1 3 26 0 15 3 2|||.|

\|4 0 15 3 26 4 1 12.( ) 2 0 4 1|||||.|

\|3 20 14 26 3 13. ||.|

\|3 0 4 62 1 2 3|||||.|

\|2041 14. |||.|

\| 9 1 56 0 41 2 3|||.|

\|1 0 00 1 00 0 1 15. |||.|

\|1 0 00 1 00 0 1|||.|

\| 9 1 56 0 41 2 3 16. |||.|

\| 5 1 12 3 12 1 5|||.|

\|0 0 10 1 01 0 0 17. |||.|

\|j h gf e dc b a|||.|

\|1 0 00 1 00 0 1, donde a, b, c, d, e, f, g, h, j son nmeros reales XVI. Encuentre la transpuesta de la matriz dada. 1. ||.|

\|5 64 12. ||.|

\|2 10 3 3. ||.|

\|1 25 3 4. |||.|

\|4 12 13 2 5. ||.|

\| 6 5 10 1 2 6. ||.|

\| 5 1 2 41 3 2 1 7. |||.|

\|5 5 14 0 13 2 1 8. |||.|

\|7 5 35 4 23 2 1 9. |||.|

\| 4 5 37 2 23 2 1 10. ||.|

\|1 0 1 00 1 0 1 11. |||||.|

\| 5 16 14 21 2 12. |||.|

\|j h gf e dc b a 13. ||.|

\|0 0 00 0 0 UNIDAD IV. Nmeros Complejos Introduccin Cmo surgieron los nmeros complejos? A finales del siglo XV, el matemtico francs NicolsChuquet al resolver ecuaciones de la forma

,concoeficientesyexponentespositivos,noconsiderlas racesdenmerosnegativosyaadi:talsolucinesimposible.Enlamismapoca, Luca Pacioli afirm que la ecuacin

tiene solucin si

. Leibniz (1646-1716) factoriz la expresin

como: ( ) ( ) ( ) () Yasomobrasuscompaerosalafirmarlosnmerosimaginariossonunaespeciede seres anfibios, a medio camino entre la existencia y la no existencia y recuerdan, en este aspecto, al Espritu Santo de la teologa cristiana, en el mismo siglo el ingls Jhon Wallis (1616-1703),propusolaprimerarepresentacindelosimaginariospuros,ubicndolos sobre la recta perpendicular al eje de los nmeros reales. Abrahamde Moivre(1667-1754)plantealgoritmosyprocesosparacalcularpotenciasy racesdelosnmeroscomplejos;hoytalesprocesosseconocencomoTeoremade Moivre. Leonhard Euler us el smbolopara la unidad imaginaria y establecique ???

; Euler estudiloslogaritmosdelosnmerosnegativosyconcluyqueellossonimaginarios.El matemticofrancsJeanDAlembert(1717-1783),autordelaintroduccindeLa Enciclopedia, el libro de la Revolucin Francesa, demostr que el conjunto de los nmeros complejos es cerrado para las operaciones algebraicas generales. El estudio propiamente de los nmeros complejos, considerados en la forma , cont con los aportes de Caspar Wessel, Jean Robert Argand y Carl Friedrich Gauss, a comienzos delsigloXIX.Sin embargo,fueelmatemticofrancsAugustinLouisCauchy(1789-1857) quiendesarrollpropiamentelateoradelasfuncionesdevariablecompleja,apartir de 1814. ElmatemticoirlandsWilliamHamilton(1805-1865)en1833,introdujoellgebrade pares ordenados de nmeros reales e interpret la accin de un nmero complejo, sobre unrealosobreuncomplejo,comounarotacin,ideaqueyaestabaimplcitaenla representacin de Wessel-Argand-Gauss. En qu se aplican? Losnmeroscomplejos,siendocomosonunaconstruccindelamentedelhombre,no sonlarepresentacindefenmenosrealespropiamentedichos;perosehanconvertido en una ayuda para solucionar problemas de navegacin, electrnica, astronoma, y en la solucindesistemasdinmicos,cuyomodeloesunaecuacindegradomayoroiguala dos, que tenga una solucin imaginaria. Normalmente en el campo de la fsica y la ingeniera nos encontramos con la necesidad de plantearysolucionarecuacionesenterasdesegundogrado,quedescribenfenmenos fsicoscomoelmovimientoarmnico,laresonanciaelctricaylaresonanciadela naturaleza. Algunas tienen solucin en los reales, porque el discriminante es mayor o igual acero,perootrasno.Lasquenotienensolucindentrodelconjuntodelosnmeros reales si la tienen dentro del conjunto de los nmeros complejos, expresada en trminos dedonde ???. Adems,dentrodelamatemtica(enlgebra),cuandosequieredarsolucina ecuacionesdelaforma

,necesitamosextendernuestroconceptodenmero ms all de los nmeros reales. Nmeros complejos Un nmero complejo (nmero imaginario) es un nmero de la forma En dondeyson nmeros reales. La parte real se representa como y la parte imaginaria como . Los nmeros

y

Donde

y

Operaciones con nmeros complejos Los nmeros complejos se pueden sumar y multiplicar usando las reglas normales del lgebra. Ejemplo 1: Sean y. Calcule:a),b) y c)a) ( ) ( )( ) ( ) b)( )

( ) ( )( ) ( )c)( )( )()() () ()() ()()

d)En el inciso c) se us el hecho de que

Plano Complejo Los nmeros complejos se representan en el plano complejo por medio del llamado plano complejo diagrama de Argand. En el ejese representa la parte real de, y en el eje , la parte imaginaria de . En la figura 1 se indican varios nmeros complejos. Conjugado Si, entonces se define el conjugado de , denotado por , como Ejemplo2: Calcule el conjugado de:a), b),c) ,d)a) b) c)

d)

Magnitud y Argumento Obsrvese que la magnitud del segmento de recta que parte del origen al punto es igual a

(figura 2). Luego se define la magnitud o mdulo de, o sea || mediante ||

Y el argumento de , denotado por , se define como el nguloentre la rectay el lado positivo del eje . Como convencin se toma. Ejemplo : Convierta los siguientes nmeros complejos de forma polar a forma cartesiana: ()

()

(

)(

(

)) As

(

)( ()) As

Ejercicios I. En los problemasdel1 al 5 efecte la operacin indicada. 1.( ) ( ) 2.( ) ( ) 3.( )( ) 4.( )( ) 5.( )( ) II. Enlosproblemasdel6al15conviertaelnmerocomplejoasu forma polar. 6. 7.8.9.10. 11.12. 13.14.15. III. Enlosproblemasdel16al25conviertadeformapolaralaforma cartesiana. 16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

IV. Enlosproblemasdel26al34calculeelconjugadodelnmero dado. 26.27.28.29. 30. 31.

32.

33.

34.