MAKE SOME NOISE … von Perlin Noise zu Wavelet Noise Von Christian Ritter Seminar Computergrafik SS 2006 Institut für Informatik Johannes Gutenberg Universität

MAKE SOME NOISE … von Perlin Noise zu Wavelet Noise

Von Christian Ritter

Seminar Computergrafik SS 2006Institut für InformatikJohannes Gutenberg Universität Mainz

2006-07-07 Christian Ritter, Johannes Gutenberg Universität Mainz 2 / 53

Agenda

• Grundlagen• Motivation• Perlin Noise• Wavelet Noise• Einsatzmöglichkeiten


Grundlagen …


Grundlagen

Fourier-Transformation• Signale können in Elementarschwingungen

zerlegt werden (Sinus- und Kosinusfunktionen)


Grundlagen

Nyquist-Limit- „Ein analoges Signal muss mit mehr als der doppelten

Signalfrequenz abgetastet werden, um aus dem digitalen Abbild des Signals das analoge Ausgangssignal rekonstruieren zu können“ (Internetquelle)

- Sonst entsteht Aliasing


Motivation …


Motivation

Was fehlt?


Motivation

Ausgangssituation• Viele Strukturen (Wasser, Holz, …)

– Fraktale (lat. fractus: gebrochen): Muster mit einem hohen Grad an Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit

– An zwei Punkten ähnlich, aber nicht gleich– Texturen geringer Auflösung: Wiederholung erkennbar

Realistisch nur durch Texturen hoher Auflösung darstellbar- früher: begrenzte Speicher- Heute möglich, aber in vielen Fällen unnötig (z.B. 3D

Nebelvolumen)


Motivation

WunschDie optimale NOISE-Funktion soll …• Fraktal sein• Stetig differenzierbar (am Besten c-

differenzierbar)• Leicht beschreibbar• Schnell • Reproduzierbar• Erweiterbar auf weitere Dimensionen


Perlin Noise …


Perlin Noise

Geschichte• Benannt nach ihrem Erfinder Ken Perlin

– „Department of Computer Sience“ New York University– 1981 Walt Disney „Tron“– 1983 erste Version einer 3D Noise Funktion– 1984 Erste Shader-Sprache– 1997 Academy Award for Technical Achievment

http://mrl.nyu.edu/~perlin/tron


Perlin Noise

Das Ziel im Blick• Fourieranalyse: komplexes Signal als Summe

gewichteter Kosinusfunktionen verschiedener Frequenz

• Analog: NOISE als Summe gewichteter NOISE-Bänder verschiedener Frequenz


Perlin Noise

Berechnung eines Noise-Bandes• Gitter aus Zufallszahlen [0,1] erzeugen• Zwischen Zufallszahlen interpolieren


Perlin Noise

Zufallszahlen erzeugen• Pseudo-Zufallsgenerator

– Weist einer ganzen Zahl einen Zufallswert [0,1] zu– Reproduzierbar

• Beispiele:– Multiplikationen in endlichen Körper Z/PZ


Perlin Noise

Interpolation• Erweiterung des Definitionsbereiches auf reelle

Zahlen

• Methode– Lineare Interpolation– S-Kurve Interpolation– Kosinus Interpolation– Kubische Interpolation


Perlin Noise

Lineare Interpolation• Zwischen den benachbarten

Punkten durch eine Gerade interpoliert

• Nachteil: nicht stetig differenzierbar


Perlin Noise

Kosinus Interpolation• Zum Interpolieren wird die

Kosinuskurve verwendet• stetig differenzierbar• langsam


Perlin Noise

S - Kurve• „Beschleunigung“ und

„Verzögerung“ bei Start und Ende

• weichere Übergänge• Stetig differenzierbar• Sehr ähnlich der

Kosinusinterpolation und dieser vorzuziehen


Perlin Noise

Kubische Interpolation• Berücksichtigt 4 Punkte• 2 mal stetig differenzierbar• rechenaufwändig


Perlin Noise

Perlins Ansatz• Wert an jedem Gitterpunkt ist 0• Zufallswert bestimmt den Anstieg an diesem

Punkt

• Vorteil: Frequenzen der Fourieranalyse sind begrenzt auf den Bereich 2^(k+1) bis 2^k


Perlin Noise

Zusammenfassung• Komplexes Rauschen

durch Addition mehrere NOISE-Bänder verschiedener Gewichtung

• Sehr variable, sehr intuitiv, aber oft zu granular in der Beschreibung (jedes Band muss beschrieben werden)


Perlin Noise

Persistenz• Verdopplung der Frequenz von Band zu Band (1

Oktave)• Beschreibung der Amplitudenänderung durch

einen konstanten Faktor genannt Persistenz

Persistenz: 1 / 1.41

Persistenz: 1 / 4


Perlin Noise

Rauschen in mehreren Dimensionen• Leicht erweiterbar auf mehrere Dimensionen

Zufallszahlen abhängig von allen Dimensionen Interpolation entlang aller Achsen

• Man verwendet oft 3D-Noise zum Texturieren von 2D-Oberflächen


Perlin Noise

Probleme / Aliasing

• Abtastfrequenz liegt unter der Nyquistgrenze

• Da Frequenzen begrenzt Bänder können abgeschnitten werden Geometrie erscheint früher als die Textur


Perlin Noise

Probleme / Aliasing

• Überblenden


Perlin Noise

Probleme / Bandbegrenzung• 2D Perlin Noise

• 2D Schnitt durch ein 3D Perlin Noise Volumen


Wavelet Noise …


Wavelet Noise

Einleitung I• „Wavelet Noise“ (SIGGRAPH August 2005)

• Robert L. Cook Academy Award of Merit (Oscar) „for significant

advancements to the field of motion picture rendering as exemplified in Pixar's RenderMan“Vizevorstand der Softwareentwicklung bei Pixar Animation Studios

• Tony DeRose


Wavelet Noise

Einleitung II• Wavelet („kleine Welle“ – frz. Ondelette)• Kein Rauschen kann Aliasing unter allen

Umständen verhindern

Ziel• Verhinderung von Aliasing im Idealfall

Aufbau• wie Perlin: Summe gewichteter Rauschbänder


Wavelet Noise

Funktionsweise eines Renderers

• Szene S(x) • Filterkern K(x)


Wavelet Noise

Ziel• Bei zu kleiner Skalierung keinen Einfluss auf das Bild


Wavelet Noise

Der Idealfall I• Farbe des Oberflächenpunktes wird dominiert durch M(x)


Wavelet Noise

Der Idealfall II

• Beitrag der Rauschfunktion verschwindet, wenn Aliasing auftreten würde

• j,l ganze Zahlen

• Annahme: j=-1 für darstellbares Rauschen, j>=0 sonst


Wavelet Noise

Erzeugung eines Bandes• R(x) erzeugen

• Downsampling zu R-(x)

• Upsampling zu R-+(x)

• N(x) = R(x) – R-+(x)


Wavelet Noise

Upsampling I• Basisfunktion Phi(x)

• Funktionen als Linearkombination von um i verschobene Phi(x-i) gebildet werden

• Alle möglichen Funktionen F(x) erzeugen einen Vektorraum S0


Wavelet Noise

Upsampling II• Erzeuge Vektorraum S1 durch

Linearkombination aller Phi(2x-i)

• Verfeinerbar: Für alle Funktionen F in S0 lassen sich Koeffizienten finden, so dass …

• Die Koeffizienten lassen sich berechnen durch …

Für quadratische B-Splines umfasst diese Summe nur 4 Summanden!


Wavelet Noise

Upsampling III• Die neue Koeffizientensequenz ist doppelt so

lang, wie die Koeffizienten von F UPSAMPLING

• Verfeinerbare Basisfunktionen stellen sicher, dass alle Funktionen in S0 lassen sich in S1 darstellen S0 eine echte Teilmenge von S1 ist

Beispiele für verfeinerbare Basisfunktionen- Uniform B-Spline jeden Grades


Wavelet Noise

Downsampling I• nicht jede Funktion in S1 ist auch in S0 enthalten,

d.h. egal welche Koeffizienten ich in S0 wähle es liegt ein Detailverlust vor

• Trennung in einen darstellbaren und einen nicht darstellbaren Teil

• G-(x) wird durch die „kleinste Quadrate-Methode“ bestimmt


Wavelet Noise

Downsampling II• Beste Annäherung von D(x) in S0: alle Koeffizienten = 0

D(x) und alle ganzzahligen Verschiebungen orthogonal zu allen Funktionen in S0 sind

• Alle Detailfunktionen erzeugen einen Vektorraum: Wavelet-Raum W0


Wavelet Noise

Downsampling III• Die Koeffizienten für G-(x) können mit Hilfe der

Wavelet Analysis (insbesondere des sog. Analysis Koeffizienten) berechnet werden

• Für quadratische B-Splines ist die Summe unendlich lang; fällt aber schnell ab !

• Die Koeffizientensequenz für G ist doppelt so lang, wie die Koeffizientensequenz für G- Downsampling


Wavelet Noise

Die BasisfunktionAls Basisfunktion werden quadratische B-Splines

verwendet- Ähnlich zu den meisten verwendeten Filterkernen- Geringer Grad, lokaler Einfluss schnell und

einfach- Erzeugt differenzierbares Rauschen


Wavelet Noise

Erzeugung eines Bandes V• R(x) erzeugen

• Downsampling zu R-(x)

• Upsampling zu R-+(x)

• N(x) = R(x) – R-+(x)


Wavelet Noise

Ergebnis• Das Rauschband ist so

konstruiert, dass es für alle Skalierungen 2^j für j>=0 keinen Beitrag mehr liefert

• Die Basisfunktion ist so gewählt, dass sie den meisten Filterkernen ähnlich ist


Wavelet Noise

Der Nicht-Ideale Fall• j (Skalierung 2^j) und l (Verschiebung) sind ja

nicht unbedingt ganze Zahlen

• Numerische Untersuchungen des Beitrags C(j, 0.5) zeigen: starker abfall bei steigendem j

• In den meisten realistischen Szenarien arbeitet die Methode gut


Wavelet Noise

Ergebnis• 2D Wavelet Noise

• 2D Schnitt durch ein 3D Wavelet Noise Volumen

War wohl nichts!


Wavelet Noise

Projektion• Bisher: Abtastung des 3D-Volumen• Jetzt: das Integral über alle gewichteten Werte

der Rauschfunktion entlang einer Geraden orthogonal zur Schnittebene


Wavelet Noise

Ergebnis• 2D Wavelet Noise

• 3D Wavelet Noise projiziert auf 2D


Wavelet Noise

Ergebnis


Einsatzmöglichkeiten …


Einsatzmöglichkeiten

• Prozedurale Texturen– Holz, Wolken, Feuer, …

• Modellierung– Landschaften, Lindemeyer-Systeme

• Animationen– Partikelsysteme, natürliches Verhalten von Haaren, etc


Voilà tout.

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