Makalah Regresi Robust (Tiar Indarto G152144051)

8/17/2019 Makalah Regresi Robust (Tiar Indarto G152144051)

1/25

i

MAKALAH

ANALISIS REGRESI TERAPAN

TIAR INDARTO G152144051

PROGRAM STUDI STATISTIKA TERAPAN

SEKOLAH PASCA SARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2016


2/25

ii

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ii

A.

PENDAHULUAN 11. LATAR BELAKANG 1

2. TUJUAN 2

B. TINJAUAN PUSTAKA 2

1. REGRESI LINEAR BERGANDA 2

2. OLS UNTUK REGRESI LINEAR BERGANDA 3

3. UJI ASUMSI MODEL REGRESI LINEAR 3

a. UJI NORMALITAS 3

b. UJI MULTIKOLINEARITAS 3

c. UJI HOMOSKEDASITAS9 3

d. UJI AUTOKORELASI 3

4. PENCILAN (OUTLIER) 4

a. STANDARDIZED RESIDUAL 4

b. DELETED (STUDENTIZED RESIDUAL) 4

c. DFITS 5

5.

REGRESI ROBUST 5

a. Estimasi M 5

b. Estimasi Least Trimmed Square (LTS) 9

c. Estimasi S 9

d. Estimasi MM 10

e. Estimasi LMS 10

f. Estimasi W 11

g. Estimasi L 11

h. Estimasi R 11

C. PEMBAHASAN 12

1. PENERAPAN ESTIMASI M 12

a. Estimasi M (Huber) 12

b. Estimasi M (Tukey Bisquare) 18

2. PENERAPAN ESTIMASI LTS 20

D. DAFTAR PUSTAKA 23


3/25

1

A. PENDAHULUAN

1. LATAR BELAKANG

Analisis terhadap hubungan antara dua variabel atau lebih menggunakan sebuah persamaan

matematik (model regresi) adalah analisis regresi. Dalam model regresi terdapat dua variabel

yakni variabel Y (variabel tak bebas/dependent /respon/akibat) dan variabel X (variabel

bebas/independent /penjelas/sebab). Dalam analisis regresi dapat dibagi menjadi regresi linear

sederhana, regresi linear berganda dan regresi non linear. Terdapat beranekaragam metode yang

dapat digunakan untuk melihat hubungan antara Y dengan X seperti metode kuadrat terkecil

(ordinary least square), metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method), metode

bootstrap, metode kuadrat terkecil terboboti (weighted least square method ), dan lain – lain

(Bambang, 2009). Metode yang familiar digunakan adalah metode kuadrat terkecil/ordinary Least

Square (OLS), karena mudah penggunaanya. Ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam OLS

agar hasil estimasinya bersifat BLUE (best linear unbiased estimator ), yaitu : (1) sisaan menyebar

normal dengan 0 dan , (2) sisaan memiliki ragam yang homogeny(homoskedasitas), (3) sisaan menyebar bebas yakni ( , ) ( , ) 0 (serialindependent ). Namun OLS memiliki kekurangan yakni sensitive terhadap pencilan/outlier. karena

apabila terdapat outlier maka akan terjadi penyimpangan pendugaan OLS atau terjadi bias

estimasi. Sehingga model regresi dapat memberikan gambaran hubungan yang jauh dari keadaan

sebenarnya. Untuk mengatasi hal tersebut dibutuhkan suatu penduga robust (kekar) yang

mempunyai kemampuan mendeteksi pencilan sekaligus menyesuaikan dugaan parameter regresi,

sehingga memberikan hasil yang resistant (stabil).

Regresi robust menjadi alternatif solusi dalam mengatasi hal tersebut. Regresi kekar terhadap

outlier tersebut diperkenalkan Andrews (1972). Regresi robust yang baik adalah yang sebanding

dengan OLS tanpa outlier. Suatu estimator semakin robust terhadap outlier ketika memiliki

efisiensi dan breakdown point yang tinggi. Kemungkinan tertinggi breakdown point untuk sebuah

estimator adalah 50%. Ada 8 prosedur estimasi parameter dalam regresi robust, antara lain:a. Estimasi M

b. Estimasi Least Trimmed Square (LTS)

c. Estimasi S

d.

Estimasi MM

e. Estimasi LMS

f. Estimasi W

g.

Estimasi L

h.

Estimasi R


4/25

2

Masalah yang akan dibahas dalam tulisan makalah ini adalah pengujian ketidakpenuhan asumsi

klasik, cara pendeteksian outlier dan pendugaan model pada data penjualan rokok tahun 2012 di

yogyakarta dengan menggunakan metode regresi robust hingga didapat persamaan model

terbaiknya.

2. TUJUAN

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk menggunakan regresi robust estimasi M IRLS

dengan fungsi pembobot Huber dan Bisquare Tukey dan regresi robust estimasi LTS pada data

yang terdapat outlier .

B. TINJAUAN PUSTAKA

1.

REGRESI LINEAR BERGANDA

Menurut Montgomery and Peck (1992), secara umum peubah tak bebas y kemungkinan

berhubungan dengan k peubah bebas. Model ini : = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + … + β k x ik + ε i (1) adalah peubah tak bebas pada pengamatan ke-i , x i1 , x i2 , …, x ik adalah nilai peubah bebas padapengamatan ke-i dan parameter ke-k , β0 , β1 , … , βk adalah parameter regresi, dan εi adalah error

pengamatan ke-i .

2. OLS UNTUK REGRESI LINEAR BERGANDA

Dalam kasus k -peubah bebas, penaksir metode kuadrat terkecil diperoleh dengan

meminimumkan :∑ = = ∑ = ∑ = )2 (2) di mana ∑ = adalah jumlah kuadrat sisaan. Dalam notasi skalar, metode kuadrat terkeciltercapai dalam menduga β0 , β1 , … , βk sehingga ∑ = sekecil mungkin. Ini dicapai denganmenurunkan persamaan (2) secara parsial terhadap

0 ,

1 , … ,

k dan menyamakan hasil yang

diperoleh dengan nol.

Berdasarkan Montgomery and Peck (1992), dalam notasi matriks, metode kuadrat terkecil sama

dengan meminimumkan .Dengan persamaan : (3) Oleh karena itu,

2 (4)


5/25

3

adalah matrik 1 x 1, atau suatu skalar. Transposenya adalah skalar.Pendugaan metode kuadrat terkecil harus memenuhi :

∑ 2 2 (5) Bila disederhanakan menjadi :2 2 0 2 2 (6) Untuk menyelesaikan persamaan (6) kalikan keduannya dengan invers dari . jadi pendugaankuadrat terkecil dari adalah − (7) 3. UJI ASUMSI MODEL REGRESI LINEAR

a. UJI NORMALITAS

Pada regresi linier klasik diasumsikan bahwa tiap εi didistribusikan normal dengan lambang :~0,. Uji statistik yang dapat digunakan untuk menguji normalitas residual adalah ujistatistik Kolmogorov-Smirnov (K-S).

b. UJI MULTIKOLINIERITAS

Menurut Montgomery and Peck (1992), untuk mendeteksi ada atau tidaknya multikolinieritas di

dalam model regresi, dapat dilihat pada nilai VIF (variance inflation factors).

VIF j =− (8)

dengan adalah nilai koefisien determinasi yang diperoleh dari meregresikan peubah bebas x j dengan peubah bebas lainnya. Nilai VIF > 10 menunjukkan multikolinieritas yang kuat.

c. UJI HOMOSKEDASITAS

Untuk menguji ada tidaknya kesamaan variansi residual dari satu pengamatan ke pengamatan

yang lain. Uji ini dapat menggunakan Scatter plot. Sumbu X adalah nilai-nilai prediksi ZPRED =

Regression Standartdized Predicted Value. Jika garfik yang diperoleh menunjukkan adanya pola

tertentu dari titik-titik yang ada, dikatakan terjadinya heteroskedastisitas. Akan tetapi, jika tidak

membentuk pola tertentu, dikatakan tidak terjadi heteroskedastisitas.

d. UJI AUTOKORELASI

Menurut Gujarati (1997), dengan menggunakan lambing : E( , εj) = 0 ; i ≠ j. Secara sederhanadapat dikatakan model klasik mengasumsikan bahwa error yang berhubungan dengan

pengamatan tidak dipengaruhi oleh error yang berhubungan dengan pengamatan lain yang


6/25

4

manapun. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendeteksi masalah autokorelasi adalah

dengan uji Durbin Watson.

Dengan terpenuhi semua asumsi regresi linier di atas, model yang dihasilkan dianggap baik untuk

melihat pengaruh peubah-peubah bebas terhadap peubah-peubah tak bebas. Selanjutya, model

dapat digunakan sebagai penduga.

4. PENCILAN (OUTLIER)

Menurut Montgomery and Peck (1992), pencilan adalah suatu pengamatan yang ekstrim. Residual

yang nilai mutlaknya jauh lebih besar daripada yang lain dan bisa jadi terletak tiga atau empat

simpangan baku dari rata-ratanya adalah yang menyebabkan data sebagai pencilan. Pencilan

adalah titik-titik data yang tidak setipe dengan titik data yang lainnya.

Menurut Draper and Smith (1992), adakalanya pencilan memberikan informasi yang tidak bisa

diberikan oleh titik data lainnya. Berdasarkan Montgomery and Peck (1992), sebagai kaidah

umum, pencilan baru ditolak jika setelah ditelusuri ternyata merupakan akibat dari kesalahan-

kesalahan seperti memasukkan ukuran atau anlisis yang salah, ketidaktepatan pencatatan data,

dan terjadi kerusakan alat pengukuran. Bila ternyata bukan akibat dari kesalahan-kesalahan

semacam itu, penyelidikan yang seksama harus dilakukan. Menghapus data tersebut untuk

“memperbaiki persamaan yang cocok” dapat berbahaya, tindakan tersebut dapat menimbulkan

kesalahan ketelitian dalam mengestimasi atau memprediksi. Ryan (1997) mengelompokkan

pencilan dalam berbagai tipe :

a. Pencilan-x, yakni pengamatan yang hanya menyimpang pada sumbu x saja. Pengamatan ini

disebut juga sebagai titik leverage.

b.

Pencilan-y, yakni pengamatan yang menyimpang hanya karena arah peubah tak bebasnya.

c.

Pencilan-x,y, yaitu pengamatan yang menyimpang pada keduanya yakni pada peubah x dan

peubah y.

Untuk mendeteksi adanya pencilan dapat dilakukan dengan beberapa metode sebagai berikut:

a. Standardized residual

Standardized residual merupakan nilai residual yang distandarkan. Nilai ini digunakan untuk

mendeteksi pencilan. Jika | ri | > 2 atau | r i | > 3, maka data pada pengamatan ke-i merupakan

pencilan y.

b. Deleted (Studentized Residual )

Deleted Studentized Residual merupakan nilai-nilai standardized residual dimana observasi ke-i

dihilangkan. Nilai ini digunakan untuk mendeteksi ada atau tidaknya pencilan. Data dikatakan

pencilan jika ti > ( α, n-p) dengan p adalah banyak parameter.


7/25

5

c. DFITS

DFITS yaitu mengukur pengaruh suatu pengamatan terhadap nilai dengan respon ketika suatu

pengamatan tidak disertakan dalam analisis. Nilai ini digunakan untuk mendeteksi pengaruh

pengamatan ke-i terhadap nilai ̂ dirinya sendiri. Jika nilai | DFITS | > 2 √ dengan p menyatakan jumlah parameter dalam model bersangkutan maka hal ini merupakan pengamatan berpengaruh. 5. REGRESI ROBUST

Menurut Chen (2002), regresi robust adalah sebuah alat yang penting untuk menganalisis data

yang terkontaminasi pencilan. Tujuan utama regresi robust adalah untuk memberikan hasil

yang stabil karena kehadiran pencilan.

a.

Estimasi M

Berikut adalah diagram alur pembentukan model estimasi M :

Mulai

Mencari estimasi baru dengan weighted least

square.

Estimasi parameter b dengan OLS

Menghitung fungsi pembobot melalui (,− )

Paramater

(−)

Pengujian

signifikansi

parameter

Tidak terpenuhi

r e v i s i

Model estimasi M

selesai

ya

ya

Tidak konvergen


8/25

6

Estimasi M diperkenalkan oleh Huber pada tahun 1973 dan ini merupakan pendekatan yang

paling sederhana baik secara teori maupun perhitungan. Diketahui: ⋯ (9)iii

x y ' (10)

Untuk observasi ke-i dari n observasi, model yang sesuai adalah, ⋯ (11)iii eb x y

' (12)

Estimator M umumnya dengan meminimumkan fungsi objektifnya adalah,∑ ∑ == (13)Dimana fungsi ρ memberikan kontribusi untuk setiap residual dari untuk fungsi objektifnya.

Misalkan ′ dengan merupakan turunan dari ρ. Untuk meminimumkan fungsi objektif,maka fungsi objektif akan diturunkan terhadap dan hasilnya persamaan, sebagai berikut :∑ 0= (14) merupakan fungsi influence yang digunakan dalam memperoleh bobot (weight ). Denganfungsi pembobot ∗∗ dimana ∗ merupakan residual yang distandarkan, makapersamaannya menjadi :

∑ 0= (15)

Apabila dinotasikan dalam matrik : , bentuk matrik tersebut dinamakanleast square dengan penimbang (weighted least square) yang akan meminimalkan∑ = . Weighted least square dapat digunakan untuk mendapatkan estimasi M,estimasi parameternya menjadi : − (16)Penimbang tergantung pada residual, residual tergantung pada koefisiean yang diestimasi,

dan koefisien yang diestimasi tergantung pada penimbang. Untuk menyelesaikan masalah

tersebut dilakukan proses iterasi yang disebut sebagai Iteratively Reweighted Least-Square

(IRLS). Langkah – langkahnya sebagai berikut :

1) Pilih estimasi b(0) , seperti estimasi least-squares.

2) Pada setiap iterasi , hitung residuals ei l-1 dan asosiasikan penimbang w i (l-1) =w[ei (l-1) ] dari iterasi sebelumnya.

3)

Penyelesaian untuk estimasi penimbang baru.

[ ′−

]−

′−

(17)


9/25

7

dengan 1lw merupakan matrik diagonal dengan elemen diagonalnya adalah 1, liw .

Sehingga estimasi parameter pada iterasi pertama ( l = 1 ) menggunakan ei,0 dan 0,iw .

4)

Langkah 2 dan 3 diulangi sampai koefisien yang diestimasi konvergen.

Tiga bentuk estimasi M diantaranya estimasi least square, Huber dan Tukey bisquare

(biweight ). Bentuk fungsi objektif , fungsi influence dan fungsi pembobot untuk ketiga jenis

estimasi M sebagai berikut :

Metode Least Square Huber Tukey Bisquare

Fungsi

objektif

2** )()( i LS ee

r euntuk r er

r euntuk e

e

ii

ii

H ||,2/||

||,2/)(

)(*2*

*2*

*

r euntuk r

r euntuk e

i

ir

ek i

*2

*

32

6*

B

6/

11)(

*2

Fungsi

influence

**

)( i LS ee

r euntuk r r euntuk r

r euntuk e

e

i

i

ii

*

*

**

*

H

r euntuk

r euntuk ee

i

ir

e

ii

*

*22

*

*

B 0

1*

Fungsi

Pembobot 1)( * ew LS

r euntuk er

r euntuk ew

ii

i

**

*

*

H/

1

r euntuk

r euntuk ew

i

ir

ei

*

*22

*B

0

1*

Tabel 1 Fungsi objektif, fungsi influence, dan fungsi pembobot pada estimasi M (Sumber : Fox (2002),

Mongomery (1992))

Nilai r pada fungsi objektif, influence dan pembobot adalah tunning constant. Kuzmic et.al

(2004) menyebutkan estimasi M Huber efektif digunakan pada α = 5% dengan r=1,345,

sedangkan estimasi M Tukey Bisquare dengan r=4,685. Kelly (2008) menyatakan

permasalahan dalam estimasi regresi robust adalah perlu dilakukan pemilihan tunning

constant agar estimasi yang diperoleh lebih spesifik dan memimimumkan jumlah kuadrat

residual. Apabila menurunkan tunning constant akan menaikan pembobot terhadap residual

yang besar, sedangkan menaikkan tunning constant akan menurunkan pembobot terhadap

residual yang besar. Semakin besar r maka estimasi robust akan mendekati least square.

Setelah estimasi telah didapatkan, maka langkah selanjutnya adalah melakukan pengujian

parameter dalam model regresi bertujuan untuk mengetahui apakah parameter tersebut

telah menunjukkan hubungan yang nyata antara variabel prediktor dan variabel respon.

Disamping itu juga untuk mengetahui kelayakan parameter dalam menerangkan model.

Terdapat dua tahap pengujian yaitu uji serentak dan uji parsial (individu).

1)

Uji Serentak

Uji serentak merupakan pengujian secara bersama semua parameter dalam model regresi.

Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut :

H0 : 0 = 1 = ... = j = 0


10/25

8

H1 : paling tidak ada satu j 0, j = 0, 1, ... k

Statistik uji yang digunakan untuk OLS adalah

Fhitung = MSE

MSR =

)1/()ˆ(

)/()ˆ(

1

2

1

2

k n y y

k y y

n

i

ii

n

i

i

Sedangkan untuk Weighted least squares (WLS)

Fhitung(weighted) =

weighted

weighted

MSE

MSR

=

)1/()ˆ(

)/()ˆ(

1

2

1

2

k n y yw

k y yw

n

i

iii

n

i

ii

(18)

Ket : MSR : Mean Square Regression

MSE : Mean Square Error

Pengambilan keputusan adalah apabila Fhitung F (k, n-k-1) dengan k adalah parameter maka H0

ditolak pada tingkat signifikansi , artinya paling sedikit ada satu j yang tidak sama dengan

nol. Pengambilan keputusan juga dapat melalui P-value dimana H0 ditolak jika P-value < α.

2)

Uji Parsial

Uji parsial merupakan pengujian secara individu parameter dalam model regresi yang

bertujuan untuk mengetahui parameter model regresi telah signifikan atau tidak. Hipotesis

yang digunakan adalah sebagai berikut :

H0 : j = 0

H1 : j 0, j = 0, 1, 2, ..., k

Statistik uji yang digunakan untuk metode OLS adalah

)( j

j

hitungbS bt (19)

Dengan

MSE X X bS T

j

12 )()( (20)

Sedangkan untuk metode Weighted least squares (WLS)

)( )(

)(

)(

weighted j

weighted j

weighted hitungbS

bt (21)

dengan )( )(2

weighted jbS merupakan diagonal matrik kovarian.


11/25

9

Pengambilan keputusannya yaitu apabila |thitung| t(1-/2, n-k-1) dengan k adalah parameter

maka H0 ditolak pada tingkat signifikansi , artinya ada pengaruh xi terhadap model.

Pengambilan keputusan juga dapat melalui P-value, dimana H0 ditolak jika P-value < α.

b. Estimasi Least Trimmed Square (LTS)

Langkah – langkah yang dilakukan dalam mengestimasi parameter regresi robust dengan

estimasi LTS, sebagai berikut :

1)

Menghitung kuadrat residual () urutkan dari yan terkecil sampai terbesar danmenghitung h dimana ℎ ++ .

2) Menghitung ∑ = . 3)

Melakukan estimasi parameter dari ℎ pengamatan. 4) Menentukan kuadrat residual

dari

ℎ pengamatan.

5)

Menghitung . 6) Melakukan iterasi dari langkah 4 s.d. 5 sampai mendapatkan fungsi objektif (h) yang

terkecil dan konvergen ke nol.

7)

Kemudian lakukan uji hipotesis untuk mengetahui apakah variabel bebas mempunyai

pengaruh yang signifikan terhadapa variabel tak bebas.

c. Estimasi S

Langkah – langkah yang dilakukan dalam mengestimasi parameter regresi robust dengan

metode estimasi S, sebagai berikut :

1) Menghitung nilai residual yakni ̂ 2) Menghitung standar deviasi sisaan

̂ | |0.6745 ,1 1 = , >1

Dengan

0.199

3) untuk mendapatkan nilai 4)

Menghitung nilai pembobot 1 1.54722 , || ≤1.5470 , || ≥1.547 5) Menghitung nilai koefisien parameter penduga ′1 ′ 6)

Dari koefisien parameter penduga yang didapat kembali ulangi langkah 1 s.d. 4 sampai

didapatkan kekonvergenan.


12/25

10

7)

Kemudian lakukan uji hipotesis untuk mengetahui apakah variabel bebas mempunyai


d. Estimasi MM

Estimasi MM merupakan gabungan dari estimasi S dan estimasi M. Prosedur estimasi ini

adalah dengan mengestimasi parameter regresi menggunakan estimasi S yang

meminimumkan skala sisaan dari estimasi M dan dilajutkan dengan estimasi M. langkah-

langkahnya sebagai berikut :

1)

Menghitung nilai sisaan ̂ dari estimasi S2)

Menghitung nilai ̂ 3) Menghitung nilai 4)

Menghitung pembobot

1 4.6850, || ≤4.685, || ≥4.685

5)

Menghitung parameter estimasi MM dengan metode WLS dengan pembobot 6)

Mengulangi langkah 2 s.d. 4 sampai diperoleh nilai estimasi MM yang konvergen.7) Kemudian lakukan uji hipotesis untuk mengetahui apakah variabel bebas mempunyai


e.

Estimasi LMS

LMS (Least Median of Square) didefenisikan sebagai vector-p, argmin Dimana, < < ⋯ < adalah error (residual) kuadrat yang diurutkan, ( ), 1,…,,

h didefenisikan sebagai interval dari

1 ≤ ℎ ≤ ++. Nilai breakdown untuk

estimasi LMS juga bernilai − . Namun, estimasi LTS mempunyai beberapa keunggulandibandingkan dengan estimasi LMS. Fungsi objektifnya “lebih halus”, membuat LTS lebih stabil

(kecuali sensitive untuk efek local) daripada estimasi LMS. Efisensi statistiknya lebih baik

karena estimasi LTS normal secara asymptotic dimana estimasi LMS memiliki tingkat

konvergensi yang lebih rendah.


13/25

11

f. Estimasi W

Estimasi W mewakili bentuk alternative dari estimasi M. Masing-masing estimasi W

mempunyai karakteristik fungsi penimbang W(.) menggambarkan pentingnya tiap sample

dalam kontribusinya pada estimasi T , yang dihubungkan pada estimasi M yang bersesuaian

mengikuti . Parameter optimal diperoleh dengan menyelesaikan, ∑ = 0 Yang sama seperti persamaan untuk masalah regresi Weighted Least Square. W-Estimator

menawarkan prosedur penghitungan iterative M-Estimator yang sederhana dan

menyenangkan, dimana persamaan W-Estimator dalam iterasi sekarang diselesaikan dengan

perbaikan nilai penimbang, , pada iterasi sebelumya. Prosedur untuk memperoleh hasilmerujuk pada Iterative Reweighted Least-Square (IRLS atau RLS). Seperti pada kasus estimator

M dan W, IRLS bergantung pada skala prefix dan akurat untuk defenisi penimbangnya. Skala

estimasi yang paling umum digunakan adalah 1,483 x MAD.

g. Estimasi L

Estimasi L didasarkan pada order statistic (statistic terurut), sebagai contoh andaikan kita ingin

mengestimasi parameter lokasi suatu distribusi dari sample acak , , … , . Order statisticsampel ini adalah ≤ ≤ ⋯ ≤ . Median sample merupakan estimasi L, karena itumerupakan suatu ukuran lokasi order statistic.

h.

Estimasi R

Sebagai tambahan terhadap estimator M, ada pendekatan lain untuk regresi robust. Estimasi

R adalah prosedur yang didasarkan pada ranking (urutan). Untuk menggambarkan prosedur

yang umum, ganti satu factor pada fungsi sasaran kuadrat terkecil ∑ = dengan rankingnya. Demikian jika adalah ranking dari , lalu kita inginmeminimalkan ∑ = . Lebih umumnya, kita dapat mengganti ranking (yang manainteger 1,2,…,n) dengan fungsi skor a(i)=1,2,…,n, sehingga fungsi sasarannya menjadi :

min = Jika kita menetapkan fungsi skor sama dengan ranking (ranks), a(i)=i , hasilnya disebut skor

Wilcoxon. Kemungkinan lain adalah menggunakan skor median, dimana a(i)=-1 jika < + dan a(i)=1 jika > + .


14/25

12

C. PEMBAHASAN

1. PENERAPAN ESTIMASI M

a. Estimasi M (Huber)

Data pengamatan penjualan rokok tahun 2012 di yogyakarta:

No Sales (y) jml outlet

(X1)

iklan radio

(X2)

iklan out

(X3)

iklan koran

(X4)

1 215.36 7 13.23 27.9 20.98

2 295.15 5 13.44 32.28 22.41

3 254.26 10 15.26 29.49 22.98

4 452.62 5 18.45 39.17 23.21

5 150.5 8 19.58 34.25 23.25

6 320.14 8 12.03 33.63 23.45

7 254.25 6 13.87 29.38 24.86

8 235.26 9 15.69 29.19 24.889 302.21 9 16.35 32.82 25

10 120.35 8 12.88 33.44 25.12

11 222.32 8 18.97 29.14 25.87

12 265.99 11 12.05 32.09 25.89

13 300.12 7 12.23 32.33 26.23

14 265.21 5 15.87 30.22 26.23

15 110.6 6 13.67 35.42 26.25

16 323.45 9 18.29 33.72 28.94

17 362.02 8 15.26 35.84 29.8

18 423 5 13.56 37.12 32.2619 400.23 9 18.78 36.1 32.79

20 412.6 6 13.02 36.85 33.45

21 423.22 7 16.59 37.44 33.98

22 400.25 9 14.23 36.15 34.55

23 366.25 9 15.26 35.92 34.76

24 435.23 8 15.78 38.2 35.99

25 430.22 10 13.33 37.91 36.21

26 352.16 9 12.89 34.79 36.25

27 365.21 8 12.45 35.91 36.87

28 415.25 8 19.25 36.96 36.9929 451.29 8 14.32 38.98 40.12

30 512.33 8 13.45 39.33 44.98


15/25

13

Dilakukan uji asumsi terlebih dahulu, yakni :

Pertama, uji normalitas :

150100500-50-100-150-200-250

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

RESI1

P e r c e n t

Mean -1.65793E-13

StDev 62.06

N 30

KS 0.222

P -Valu e


16/25

14

Output minitab :

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

o.

p.

q.

r.

s.

t.

u. Dengan menggunakan minitab didapatkan model regresinya adalah :

v. Y = - 296 - 5.27 X1 + 2.15 X2 + 11.1 X3 + 8.38 X4

w. Model tersebut merupakan hasil metode OLS.

x.

y.

z.

aa.

bb.

Didapatkan model : Y = - 296 - 5.27 X1 + 2.15 X2 + 11.1 X3 + 8.38 X4

The regression equation is

Y = - 296 - 5.27 X1 + 2.15 X2 + 11.1 X3 + 8.38 X4

Predictor Coef SE Coef T P

Constant -296.0 175.3 -1.69 0.104

X1 -5.272 8.390 -0.63 0.535

X2 2.149 5.398 0.40 0.694

X3 11.127 5.882 1.89 0.070

X4 8.380 3.215 2.61 0.015

S = 66.8377 R-Sq = 64.0% R-Sq(adj) = 58.2%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 4 198473 49618 11.11 0.000

Residual Error 25 111682 4467Total 29 310155

Source DF Seq SS

X1 1 22

X2 1 268

X3 1 167831

X4 1 30352

Unusual Observations

Obs X1 Y Fit SE Fit Residual St Resid

4 5.0 452.6 347.6 46.6 105.0 2.19R

5 8.0 150.5 279.8 31.8 -129.3 -2.20R10 8.0 120.3 272.1 21.8 -151.7 -2.40R

15 6.0 110.6 315.8 23.3 -205.2 -3.28R

R denotes an observation with a large standardized residual.


17/25

15

Kemudian dilakukan pengujian dengan nilai standarized residual , dan DFITS. Hasilnya sebagai

berikut :

Berdasarkan nilai standarized residual dan DFITS bahwa observasi ke 4, 5, 10, dan 15

terindikasi sebagai outlier.

No. Y X1 X2 X3 X4 RESI1 SRES1 Ket DFIT1 Ket

1 215.36 7 13.23 27.9 20.98 33.60611 0.558925 bukan 0.267548 bukan

2 295.15 5 13.44 32.28 22.41 41.68024 0.688291 bukan 0.318063 bukan

3 254.26 10 15.26 29.49 22.98 49.50712 0.81805 bukan 0.380858 bukan

4 452.62 5 18.45 39.17 23.21 105.0144 2.192299 outlier 2.325677 outlier

5 150.5 8 19.58 34.25 23.25 -129.308 -2.19936 outlier -1.29745 outlier

6 320.14 8 12.03 33.63 23.45 61.77952 1.025108 bukan 0.492108 bukan

7 254.25 6 13.87 29.38 24.86 16.8644 0.28069 bukan 0.134248 bukan

8 235.26 9 15.69 29.19 24.88 11.72612 0.189704 bukan 0.07651 bukan

9 302.21 9 16.35 32.82 25 35.86113 0.564972 bukan 0.183758 bukan

10 120.35 8 12.88 33.44 25.12 -151.718 -2.40083 outlier -0.92369 outlier

11 222.32 8 18.97 29.14 25.87 -21.275 -0.3742 bukan -0.22725 bukan

12 265.99 11 12.05 32.09 25.89 20.09009 0.358121 bukan 0.227852 bukan

13 300.12 7 12.23 32.33 26.23 27.22495 0.429757 bukan 0.142166 bukan

14 265.21 5 15.87 30.22 26.23 -2.57364 -0.04508 bukan -0.02689 bukan

15 110.6 6 13.67 35.42 26.25 -205.212 -3.27562 outlier -1.57932 outlier

16 323.45 9 18.29 33.72 28.94 9.898683 0.158066 bukan 0.057791 bukan

17 362.02 8 15.26 35.84 29.8 18.91155 0.29062 bukan 0.066872 bukan

18 423 5 13.56 37.12 32.26 32.86992 0.540145 bukan 0.241811 bukan

19 400.23 9 18.78 36.1 32.79 26.87856 0.436059 bukan 0.179808 bukan

20 412.6 6 13.02 36.85 33.45 21.934 0.350028 bukan 0.12756 bukan

21 423.22 7 16.59 37.44 33.98 19.14765 0.29964 bukan 0.090166 bukan

22 400.25 9 14.23 36.15 34.55 21.37045 0.331832 bukan 0.090473 bukan

23 366.25 9 15.26 35.92 34.76 -14.0437 - 0.2178 bukan -0.05829 bukan

24 435.23 8 15.78 38.2 35.99 12.86916 0.201158 bukan 0.05966 bukan

25 430.22 10 13.33 37.91 36.21 25.05154 0.411587 bukan 0.183596 bukan26 352.16 9 12.89 34.79 36.25 -22.954 -0.36657 bukan -0.1344 bukan

27 365.21 8 12.45 35.91 36.87 -31.8887 -0.50844 bukan -0.18443 bukan

28 415.25 8 19.25 36.96 36.99 -9.15084 -0.15439 bukan -0.07887 bukan

29 451.29 8 14.32 38.98 40.12 -11.2238 -0.18023 bukan -0.06887 bukan

30 512.33 8 13.45 39.33 44.98 7.062236 0.122821 bukan 0.071332 bukan


18/25

16

Untuk penentuan nilai bobotnya menggunakan fungsi influence dan fungsi pembobot Huber, sebagai berikut :

No. SRES1 |SRES1| PSI(e*)1 W(e*)1 SRES2 |SRES2| PSI(e*)2 W(e*)2 SRES3 |SRES3| PSI(e*)3 W(e*)3 SRES4 |SRES4| PSI(e*)4 W(e*)4 SRES5 |SRES5| PSI(e*)5 W(e*)5 SRES6 |SRES6| PSI(e*)6 W(e*)6 SRES7 |SRES7| PSI(e*)7 W(e*)7 SRES8 |SRES8| PSI(e*)8 W(e*)8

1 0.558925 0.558925 0.558925 1 0.484098 0.484098 0.484098 1 0.508731 0.508731 0.508731 1 0.504845 0.504845 0.504845 1 0.505125 0.505125 0.505125 1 0.505387 0.505387 0.505387 1 0.505154 0.505154 0.505154 1 0.5053 0.5053 0.5053 1

2 0.688291 0.688291 0.688291 1 0.51496 0.51496 0.51496 1 0.463391 0.463391 0.463391 1 0.468679 0.468679 0.468679 1 0.468194 0.468194 0.468194 1 0.467788 0.467788 0.467788 1 0.468065 0.468065 0.468065 1 0.467909 0.467909 0.467909 1

3 0.81805 0.81805 0.81805 1 0.899105 0.899105 0.899105 1 0.884795 0.884795 0.884795 1 0.89634 0.89634 0.89634 1 0.890208 0.890208 0.890208 1 0.893449 0.893449 0.893449 1 0.891791 0.891791 0.891791 1 0.89264 0.89264 0.89264 1

4 2.192299 2.192299 1.345 0.613511 1.639048 1.639048 1.345 0.820598 1.746154 1.746154 1.345 0.770264 1.717176 1.717176 1.345 0.783263 1.725827 1.725827 1.345 0.779336 1.722521 1.722521 1.345 0.780832 1.724016 1.724016 1.345 0.780155 1.72325 1.72325 1.345 0.780502

5 -2.19936 2.199362 -1.345 0.611541 -2.41171 2.411706 -1.345 0.557697 -2.35867 2.358673 -1.345 0.570236 -2.38243 2.382426 -1.345 0.56455 -2.37229 2.37229 -1.345 0.566963 -2.37693 2.376928 -1.345 0.565856 -2.37484 2.374845 -1.345 0.566353 -2.3758 2.375797 -1.345 0.566126

6 1.025108 1.025108 1.025108 1 0.875204 0.875204 0.875204 1 0.814381 0.814381 0.814381 1 0.827852 0.827852 0.827852 1 0.822621 0.822621 0.822621 1 0.824799 0.824799 0.824799 1 0.823716 0.823716 0.823716 1 0.824268 0.824268 0.824268 1

7 0.28069 0.28069 0.28069 1 0.222582 0.222582 0.222582 1 0.260127 0.260127 0.260127 1 0.250557 0.250557 0.250557 1 0.253793 0.253793 0.253793 1 0.252546 0.252546 0.252546 1 0.253094 0.253094 0.253094 1 0.252837 0.252837 0.252837 1

8 0.189704 0.189704 0.189704 1 0.172999 0.172999 0.172999 1 0.190385 0.190385 0.190385 1 0.19147 0.19147 0.19147 1 0.18926 0.18926 0.18926 1 0.190773 0.190773 0.190773 1 0.189938 0.189938 0.189938 1 0.190374 0.190374 0.190374 1

9 0.564972 0.564972 0.564972 1 0.530654 0.530654 0.530654 1 0.466529 0.466529 0.466529 1 0.48344 0.48344 0.48344 1 0.476893 0.476893 0.476893 1 0.479655 0.479655 0.479655 1 0.478352 0.478352 0.478352 1 0.478986 0.478986 0.478986 1

10 -2.40083 2.400834 -1.345 0.560222 -2.61656 2.616557 -1.345 0.514034 -2.50247 2.502466 -1.345 0.53747 -2.57163 2.571626 -1.345 0.523015 -2.53385 2.53385 -1.345 0.530813 -2.55398 2.553979 -1.345 0.526629 -2.5434 2.543404 -1.345 0.528819 -2.54893 2.548933 -1.345 0.527672

11 -0.3742 0.374201 -0.3742 1 -0.40607 0.406075 -0.40607 1 -0.40282 0.402816 -0.40282 1 -0.40151 0.401506 -0.40151 1 -0.40282 0.402821 -0.40282 1 -0.40208 0.402084 -0.40208 1 -0.40243 0.402432 -0.40243 1 -0.40228 0.40228 -0.40228 1

12 0.358121 0.358121 0.358121 1 0.116924 0.116924 0.116924 1 0.121526 0.121526 0.121526 1 0.127039 0.127039 0.127039 1 0.121259 0.121259 0.121259 1 0.124775 0.124775 0.124775 1 0.122805 0.122805 0.122805 1 0.12385 0.12385 0.12385 1

13 0.429757 0.429757 0.429757 1 0.276113 0.276113 0.276113 1 0.282612 0.282612 0.282612 1 0.279701 0.279701 0.279701 1 0.280216 0.280216 0.280216 1 0.280121 0.280121 0.280121 1 0.280088 0.280088 0.280088 1 0.280128 0.280128 0.280128 1

14 -0.04508 0.045081 -0.04508 1 -0.12166 0.121662 -0.12166 1 -0.10069 0.100691 -0.10069 1 -0.11011 0.110107 -0.11011 1 -0.10575 0.105749 -0.10575 1 -0.10791 0.107911 -0.10791 1 -0.10682 0.106818 -0.10682 1 -0.10738 0.107379 -0.10738 1

15 -3.27562 3.275624 -1.345 0.410609 -2.95081 2.950813 -1.345 0.455807 -3.13131 3.131312 -1.345 0.429532 -3.04593 3.045932 -1.345 0.441572 -3.08839 3.088387 -1.345 0.435502 -3.067 3.066997 -1.345 0.43854 -3.07789 3.077894 -1.345 0.436987 -3.07233 3.072328 -1.345 0.43777916 0.158066 0.158066 0.158066 1 0.164222 0.164222 0.164222 1 0.110527 0.110527 0.110527 1 0.1247 0.1247 0.1247 1 0.119433 0.119433 0.119433 1 0.121574 0.121574 0.121574 1 0.120609 0.120609 0.120609 1 0.12106 0.12106 0.12106 1

17 0.29062 0.29062 0.29062 1 0.170904 0.170904 0.170904 1 0.117981 0.117981 0.117981 1 0.128131 0.128131 0.128131 1 0.124711 0.124711 0.124711 1 0.125911 0.125911 0.125911 1 0.125375 0.125375 0.125375 1 0.125625 0.125625 0.125625 1

18 0.540145 0.540145 0.540145 1 0.473021 0.473021 0.473021 1 0.438018 0.438018 0.438018 1 0.438526 0.438526 0.438526 1 0.440666 0.440666 0.440666 1 0.438968 0.438968 0.438968 1 0.439916 0.439916 0.439916 1 0.43942 0.43942 0.43942 1

19 0.436059 0.436059 0.436059 1 0.589289 0.589289 0.589289 1 0.522315 0.522315 0.522315 1 0.54003 0.54003 0.54003 1 0.534411 0.534411 0.534411 1 0.536486 0.536486 0.536486 1 0.535629 0.535629 0.535629 1 0.536014 0.536014 0.536014 1

20 0.350028 0.350028 0.350028 1 0.259393 0.259393 0.259393 1 0.251646 0.251646 0.251646 1 0.248272 0.248272 0.248272 1 0.25068 0.25068 0.25068 1 0.249256 0.249256 0.249256 1 0.249983 0.249983 0.249983 1 0.249617 0.249617 0.249617 1

21 0.29964 0.29964 0.29964 1 0.314006 0.314006 0.314006 1 0.262923 0.262923 0.262923 1 0.271302 0.271302 0.271302 1 0.269864 0.269864 0.269864 1 0.269885 0.269885 0.269885 1 0.270017 0.270017 0.270017 1 0.269914 0.269914 0.269914 1

22 0.331832 0.331832 0.331832 1 0.347546 0.347546 0.347546 1 0.349146 0.349146 0.349146 1 0.350988 0.350988 0.350988 1 0.349731 0.349731 0.349731 1 0.350476 0.350476 0.350476 1 0.350073 0.350073 0.350073 1 0.350287 0.350287 0.350287 1

23 -0.2178 0.217799 -0.2178 1 -0.32887 0.328869 -0.32887 1 -0.32503 0.325033 -0.32503 1 -0.32555 0.32555 -0.32555 1 -0.32626 0.326257 -0.32626 1 -0.32575 0.325755 -0.32575 1 -0.32605 0.326053 -0.32605 1 -0.3259 0.325898 -0.3259 1

24 0.201158 0.201158 0.201158 1 0.189205 0.189205 0.189205 1 0.153896 0.153896 0.153896 1 0.160237 0.160237 0.160237 1 0.158712 0.158712 0.158712 1 0.159044 0.159044 0.159044 1 0.158958 0.158958 0.158958 1 0.158981 0.158981 0.158981 1

25 0.411587 0.411587 0.411587 1 0.388645 0.388645 0.388645 1 0.380951 0.380951 0.380951 1 0.385869 0.385869 0.385869 1 0.382974 0.382974 0.382974 1 0.384547 0.384547 0.384547 1 0.383705 0.383705 0.383705 1 0.384149 0.384149 0.384149 1

26 -0.36657 0.366565 -0.36657 1 -0.50588 0.505879 -0.50588 1 -0.43459 0.43459 -0.43459 1 -0.44915 0.44915 -0.44915 1 -0.4459 0.445901 -0.4459 1 -0.4466 0.446595 -0.4466 1 -0.44645 0.446453 -0.44645 1 -0.44648 0.446477 -0.44648 1

27 -0.50844 0.508437 -0.50844 1 -0.73786 0.73786 -0.73786 1 -0.67511 0.675108 -0.67511 1 -0.69141 0.691414 -0.69141 1 -0.68689 0.68689 -0.68689 1 -0.68839 0.688395 -0.68839 1 -0.68783 0.68783 -0.68783 1 -0.68807 0.688074 -0.68807 1

28 -0.15439 0.154389 -0.15439 1 -0.05084 0.050845 -0.05084 1 -0.08488 0.084878 -0.08488 1 -0.07782 0.077816 -0.07782 1 -0.07916 0.079162 -0.07916 1 -0.07902 0.07902 -0.07902 1 -0.07893 0.078934 -0.07893 1 -0.07903 0.079025 -0.07903 1

29 -0.18023 0.180229 -0.18023 1 -0.25214 0.252137 -0.25214 1 -0.2376 0.237601 -0.2376 1 -0.24319 0.243195 -0.24319 1 -0.24102 0.241025 -0.24102 1 -0.242 0.242003 -0.242 1 -0.24155 0.241545 -0.24155 1 -0.24177 0.24177 -0.24177 1

30 0.122821 0.122821 0.122821 1 0.305892 0.305892 0.305892 1 0.380055 0.380055 0.380055 1 0.364461 0.364461 0.364461 1 0.370391 0.370391 0.370391 1 0.368074 0.368074 0.368074 1 0.369149 0.369149 0.369149 1 0.36864 0.36864 0.36864 1


19/25

17

Dengan menggunakan minitab, maka di dapatkan model regresi untuk tiap iterasi sebagai

berikut :

Iterasi ke Model regresi

1 Y = - 288 - 5.10 X1 + 0.42 X2 + 13.4 X3 + 6.55 X4

2 Y = - 312 - 5.03 X1 + 0.89 X2 + 14.4 X3 + 6.00 X4

3 Y = - 307 - 5.14 X1 + 0.78 X2 + 14.2 X3 + 6.10 X4

4 Y = - 308 - 5.06 X1 + 0.81 X2 + 14.3 X3 + 6.07 X4

5 Y = - 308 - 5.10 X1 + 0.80 X2 + 14.3 X3 + 6.08 X4

6 Y = - 308 - 5.08 X1 + 0.80 X2 + 14.3 X3 + 6.08 X4

7 Y = - 308 - 5.09 X1 + 0.80 X2 + 14.3 X3 + 6.08 X4

8 Y = - 308 - 5.09 X1 + 0.80 X2 + 14.3 X3 + 6.08 X4

Sehingga model regresi robust untuk estimasi M adalah :

Y = - 308 - 5.09 X1 + 0.80 X2 + 14.3 X3 + 6.08 X4

Kemudian dilakukan uji secara serentak (apakah keragaman Y dapat dijeaskan oleh model

regresi X terhadap Y signifikan secara statistik?) dan uji individu (apakah peubah X i

berpengaruh terhadap peubah Y apabila peubah lainnya tetap?). hasil output minitab sebagai

berikut :

Weighted analysis using weights in W(e*)8


Y = - 308 - 5.09 X1 + 0.80 X2 + 14.3 X3 + 6.08 X4


Constant -307.8 136.1 -2.26 0.033

X1 -5.088 6.394 -0.80 0.434

X2 0.802 4.239 0.19 0.851

X3 14.260 4.687 3.04 0.005

X4 6.077 2.586 2.35 0.027

S = 50.3678 R-Sq = 74.0% R-Sq(adj) = 69.8%


Source DF SS MS F P

Regression 4 180198 45049 17.76 0.000

Residual Error 25 63423 2537

Total 29 243621

Source DF Seq SS

X1 1 74

X2 1 82

X3 1 166034

X4 1 14008



5 8.0 150.50 296.88 26.14 -146.38 -2.38R

10 8.0 120.35 291.32 17.28 -170.97 -2.55R

15 6.0 110.60 337.23 19.07 -226.63 -3.08R



20/25

18

Untuk uji serentak didapatkan p-value sebesar 0.000 yang lebih kecil dari alpha sebesar 0.05,

sehingga secara statistik keragaman Y dapat dijeaskan oleh model regresi X terhadap Y

signifikan. Untuk uji individu didapatkan peubah X1 dan X2 tidak signifikan, namun ini masihlebih baik dari model regresi non robust dimana ada empat peubah yang tidak signifikan yakni

constant, peubah X1, X2, dan X3.

b. Estimasi M (Tukey Bisquare)

Dengan menggunakan minitab didapatkan model regresinya adalah :

Y = - 296 - 5.27 X1 + 2.15 X2 + 11.1 X3 + 8.38 X4

Model tersebut merupakan hasil metode OLS.

Dengan menggunakan minitab, maka di dapatkan model regresi untuk tiap iterasi sebagai

berikut :

Iterasi ke Model regresi

1 Y = - 290 - 5.77 X1 + 0.09 X2 + 14.1 X3 + 6.19 X4

2 Y = - 317 - 4.58 X1 + 0.99 X2 + 14.5 X3 + 5.85 X4

3 Y = - 303 - 6.12 X1 + 0.29 X2 + 14.8 X3 + 5.83 X4

4 Y = - 316 - 4.33 X1 + 1.00 X2 + 14.4 X3 + 5.87 X4

5 Y = - 302 - 6.34 X1 + 0.28 X2 + 14.8 X3 + 5.85 X4

6 Y = - 317 - 4.04 X1 + 1.08 X2 + 14.3 X3 + 5.91 X4

7 Y = - 301 - 6.59 X1 + 0.25 X2 + 14.8 X3 + 5.89 X4

8 Y = - 318 - 3.71 X1 + 1.19 X2 + 14.2 X3 + 5.97 X4

9 Y = - 299 - 6.85 X1 + 0.21 X2 + 14.8 X3 + 5.94 X4

10 Y = - 320 - 3.38 X1 + 1.31 X2 + 14.0 X3 + 6.04 X4

11 Y = - 297 - 7.07 X1 + 0.17 X2 + 14.7 X3 + 6.00 X4

12 Y = - 321 - 3.09 X1 + 1.43 X2 + 13.9 X3 + 6.10 X4

13 Y = - 295 - 7.24 X1 + 0.14 X2 + 14.7 X3 + 6.06 X4

14 Y = - 321 - 2.89 X1 + 1.51 X2 + 13.8 X3 + 6.15 X4

15 Y = - 293 - 7.35 X1 + 0.13 X2 + 14.6 X3 + 6.11 X4

16 Y = - 322 - 2.76 X1 + 1.57 X2 + 13.7 X3 + 6.19 X4


21/25

19

17 Y = - 293 - 7.42 X1 + 0.12 X2 + 14.6 X3 + 6.14 X4

18 Y = - 322 - 2.69 X1 + 1.60 X2 + 13.6 X3 + 6.21 X4

19 Y = - 292 - 7.45 X1 + 0.11 X2 + 14.6 X3 + 6.15 X4

20 Y = - 322 - 2.65 X1 + 1.62 X2 + 13.6 X3 + 6.22 X4

21 Y = - 292 - 7.47 X1 + 0.11 X2 + 14.6 X3 + 6.16 X4

22 Y = - 322 - 2.63 X1 + 1.62 X2 + 13.6 X3 + 6.23 X4

23 Y = - 292 - 7.48 X1 + 0.11 X2 + 14.6 X3 + 6.16 X4

24 Y = - 322 - 2.62 X1 + 1.63 X2 + 13.6 X3 + 6.23 X4

25Y = - 292 - 7.48 X1 + 0.11 X2 + 14.6 X3 + 6.17 X4

26 Y = - 322 - 2.62 X1 + 1.63 X2 + 13.6 X3 + 6.23 X4

27 Y = - 292 - 7.49 X1 + 0.11 X2 + 14.6 X3 + 6.17 X4

Dalam kasus ini, ternyata model regresi robust dengan tukey bisquare konvergen ke dua

model yakni :

Y = - 322 - 2.62 X1 + 1.63 X2 + 13.6 X3 + 6.23 X4

R-square R-square adj Uji F Uji T

70.4% 65.7% signifikan X1 dan X2 tidak signifikan

Dan

Y = - 292 - 7.49 X1 + 0.11 X2 + 14.6 X3 + 6.17 X4

R-square R-square adj Uji F Uji T

77.3% 73.6% signifikan X1 dan X2 tidak signifikan

Sehingga model terpilih adalah Y = - 292 - 7.49 X1 + 0.11 X2 + 14.6 X3 + 6.17 X4


22/25

20

2. PENERAPAN ESTIMASI LTS

Langkah awal untuk menentukan h dimana ℎ ++ dan ∑ = digunakanmodel hasil dari OLS. Didapatkan

5798.007 dan h = 18 yang artinya 18 data baru

(telah diurutkan secara ascending berdasarkan yang akan digunakan untuk estimasiLTS iterasi ke 1, hasil output minitabnya sebagai berikut :

Dengan 577,9835.nilai h baru untuk iterasi ke 2 adalah 12 yang artinya 12 data baru yang akan digunakan,

hasil output minitab sebagai berikut :

Dengan 183.79.


Y = - 365 - 5.34 X1 + 0.28 X2 + 18.3 X3 + 3.92 X4


Constant -364.95 51.16 -7.13 0.000

X1 -5.342 2.276 -2.35 0.035

X2 0.275 1.493 0.18 0.857

X3 18.315 2.239 8.18 0.000

X4 3.921 1.361 2.88 0.013

S = 13.5080 R-Sq = 98.0% R-Sq(adj) = 97.4%

Analysis of VarianceSource DF SS MS F P

Regression 4 117648 29412 161.19 0.000


Total 17 120020

Source DF Seq SS

X1 1 250

X2 1 2156

X3 1 113729

X4 1 1514



2 8.0 512.33 492.72 9.57 19.61 2.06R



Y = - 308 - 5.07 X1 - 1.55 X2 + 15.8 X3 + 5.69 X4


Constant -307.54 38.89 -7.91 0.000

X1 -5.069 1.351 -3.75 0.007

X2 -1.547 1.114 -1.39 0.207

X3 15.831 2.167 7.30 0.000

X4 5.689 1.676 3.39 0.012

S = 7.56569 R-Sq = 99.5% R-Sq(adj) = 99.2%


Source DF SS MS F P

Regression 4 78567 19642 343.15 0.000


Total 11 78967

Source DF Seq SS

X1 1 0

X2 1 114

X3 1 77793

X4 1 659


23/25

21

nilai h baru untuk iterasi ke 3 adalah 9 yang artinya 9 data baru yang akan digunakan,


Dengan 37.5484.nilai h baru untuk iterasi ke 4 adalah 8 yang artinya 8 data baru yang akan digunakan,


Dengan 126.7744.


Y = - 345 - 5.39 X1 - 1.49 X2 + 16.9 X3 + 5.67 X4

Predictor Coef SE Coef T PConstant -344.89 30.14 -11.44 0.000

X1 -5.3908 0.8230 -6.55 0.003

X2 -1.4929 0.7848 -1.90 0.130

X3 16.889 1.411 11.97 0.000

X4 5.675 1.042 5.45 0.006

S = 4.03036 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.8%


Source DF SS MS F P

Regression 4 57117 14279 879.07 0.000


Total 8 57182

Source DF Seq SS

X1 1 26

X2 1 766

X3 1 55843

X4 1 482


Y = - 321 - 5.17 X1 - 2.00 X2 + 15.7 X3 + 6.39 X4


Constant -321.32 21.06 -15.26 0.001

X1 -5.1693 0.5277 -9.80 0.002

X2 -2.0034 0.5330 -3.76 0.033

X3 15.7200 0.9969 15.77 0.001

X4 6.3890 0.7129 8.96 0.003

S = 2.55122 R-Sq = 100.0% R-Sq(adj) = 99.9%


Source DF SS MS F P

Regression 4 52540 13135 2018.07 0.000


Total 7 52560

Source DF Seq SS

X1 1 54

X2 1 1208

X3 1 50755

X4 1 523


24/25

22

nilai h baru untuk iterasi ke 5 adalah 7 yang artinya 7 data baru yang akan digunakan,


Dengan 20.2058.Iterasi berhenti sampai iterasi ke 5 karena nilai h pada itreasi ke 6 sama dengan iterasi

ke 5 yakni 7.


Y1 = - 334 - 5.56 X11 - 1.45 X21 + 16.6 X31 + 5.57 X41

Predictor Coef SE Coef T PConstant -333.999 9.930 -33.63 0.001

X11 -5.5644 0.2569 -21.66 0.002

X21 -1.4483 0.2802 -5.17 0.035

X31 16.6446 0.5079 32.77 0.001

X41 5.5721 0.3862 14.43 0.005

S = 1.12714 R-Sq = 100.0% R-Sq(adj) = 100.0%


Source DF SS MS F P

Regression 4 45404 11351 8934.59 0.000


Total 6 45406

Source DF Seq SS

X11 1 958

X21 1 222

X31 1 43959

X41 1 264


25/25

D. DAFTAR PUSTAKA

Bambang J. 2009. Ekonometrika: Pemodelan dan Pendugaan. Bogor (ID): IPB Pr.

Chen C. 2002. Robust Regression and Outlier Detection with the Robustreg Procedure. Paper

265-27, Statistics and Data Analysis, SUGI 27, North Carolina: SAS Institute Inc.

Draper NR, Smith. 1992. Analisis Regresi Terapan. Diterjemahkan oleh Bambang Sumantri.

Jakarta (ID): Gramedia.

Montgomery DC, Peck EA. 1992. Introduction to Linear Regression Analysis. New York (NY):

John Wiley and Sons.

Musarifah, Raupong, Nasrah S. Perbandingan Metode Robust Least Trimmed Square Dengan

Metode Scale Dalam Mengestimasi Parameter Regresi Linear Berganda Untuk Data

Yang Mengandung Pencilan. [Internet]. Makassar (ID). [diunduh 2016 jam 14:28 WIB].

Tersedia pada:

http://repository.unhas.ac.id/bitstream/handle/123456789/13647/JURNAL.pdf?sequence=1

Paper Robust.

Rokhdana DB. Regresi Robust Dengan M-Estimation.

Ryan TP. 1997. Modern Regression Methods. Canada: John Wiley & Sons Inc.

Yuliana S, Hasih P, Sri SH. 2013. Optimasi Model Regresi Robust Untuk Memprediksi Produksi

Kedelai di Inodonesia. [Internet]. Yogyakarta (ID). [diunduh 2016 jam 17:45 WIB].

Tersedia pada: https://core.ac.uk/download/files/335/18454387.pdf

Yuliana. 2014. Penerapan Model Regresi Linear Robust Dengan Estimasi M Pada Data Nilai

Kalkulus II Mahasiswa Universitas Widya Dharma Klaten. Magistra No. 90 Th. XXVI

[Internet]. Hlm 87 – 97; [diunduh 2016 jam 09:46 WIB]. Tersedia pada:

http://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENER

APAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20

M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS

%20WIDYA%20DHARMA%20KLATEN
http://repository.unhas.ac.id/bitstream/handle/123456789/13647/JURNAL.pdf?sequence=1http://repository.unhas.ac.id/bitstream/handle/123456789/13647/JURNAL.pdf?sequence=1https://core.ac.uk/download/files/335/18454387.pdfhttp://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENERAPAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS%20WIDYA%20DHARMA%20KLATENhttp://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENERAPAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS%20WIDYA%20DHARMA%20KLATENhttp://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENERAPAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS%20WIDYA%20DHARMA%20KLATENhttp://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENERAPAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS%20WIDYA%20DHARMA%20KLATENhttp://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENERAPAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS%20WIDYA%20DHARMA%20KLATENhttp://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENERAPAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS%20WIDYA%20DHARMA%20KLATENhttp://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENERAPAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS%20WIDYA%20DHARMA%20KLATENhttp://download.portalgaruda.org/article.php?article=298460&val=6820&title=PENERAPAN%20MODEL%20REGRESI%20LINEAR%20ROBUST%20DENGAN%20ESTIMASI%20M%20PADA%20DATA%20NILAI%20KALKULUS%20II%20MAHASISWA%20UNIVERSITAS%20WIDYA%20DHARMA%20KLATENhttps://core.ac.uk/download/files/335/18454387.pdfhttp://repository.unhas.ac.id/bitstream/handle/123456789/13647/JURNAL.pdf?sequence=1http://repository.unhas.ac.id/bitstream/handle/123456789/13647/JURNAL.pdf?sequence=1

Documents

Makalah Regresi Robust (Tiar Indarto G152144051)