Dos estados/JHT 1 / 15

Termodinamica estadıstica: Sistema de dos

estados

Jesus Hernandez Trujillo

Facultad de Quımica, UNAM

Introduccion

Introduccion

Funciones hiperbolicas

Modelo

Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 2 / 15

� En este documento, se revisa una aplicacion mas del colectivo

canonico, un modelo de dos estados energeticos disponibles.

� Se trata de una aproximacion sencilla que es util para estudiar

sistemas donde hay dos estados relevantes.

� Una aplicacion inmediata consiste en la descripcion de sistemas

magneticos con dos estados accesibles. Es necesario aclarar que

el modelo de Ising es una alternativa que mejor describe materiales

magneticos pero que no revisaremos en este curso.

%

Funciones hiperbolicas

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Funciones hiperbolicas

Modelo

Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 3 / 15

Primeramente, es conveniente definir las llamadas funciones

hiperbolicas y presentar algunas de sus propiedades.

senhx =ex − e−x

2coshx =

ex + e−x

2

tanhx =senhx

coshx=

ex − e−x

ex + e−x

senhx

1

2ex

−1

2e−x

coshx

1

2ex1

2e−x

tanhx

+1

−1

%

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Funciones hiperbolicas

Modelo

Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 4 / 15

� Derivadas.

d senhxdx

= coshxd cosh x

dx=senhx

d tanhxdx

= sech 2xd sechx

dx= − sechx tanhx

d cothxdx

= −csch2x

donde sech x = 1/ coshx y cschx = 1/ sinhx.

� Serie de Taylor de tanhx.

tanhx = x −x3

3+

2x5

15+ . . .

%

Modelo

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Funciones hiperbolicas

Modelo

Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 5 / 15

Hay que considerar un sistema de dos estados sin degeneracion:

E1 = −ε y E2 = ε

E

0

ε

−ε

La funcion de particion es

Q = e−ε/kT + eε/kT = 2 coshε

kT

Las probabilidades de ocupacion de los estados son:

P1 =a1

A=

eε/kT

Q, P2 =

a2

A=

e−ε/kT

Q

Por lo tanto:

P2

P1

=a2

a1

= e−∆ε/kT , ∆ε = 2ε

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Funciones hiperbolicas

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Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 6 / 15

Casos lımite:

limT→0

a2

a1

= limT→0

e−∆ε/kT = 0

limT→∞

a2

a1

= 1

Contra lo esperado macroscopicamente

pues a altas temperaturas se espera

mayor ocupacion del estado superior.a2/a1

T

1

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Funciones hiperbolicas

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Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 7 / 15

Ejercicios:

1. Obten la expresion de la energıa promedio.

Resultado:

〈E〉 = −ε tanhε

kT

〈E〉 T

−ε

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Funciones hiperbolicas

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Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 8 / 15

2. Obten Cv.

Resultado:

Cv =ε2

kT 2sech 2

ε

kT

Cv

T

Anomalıa de Schottky

Ejemplo:

sales paramageticas

a baja T

Paramagnetismo

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Funciones hiperbolicas

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Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 9 / 15

Sistema:Una sustancia que contiene N0 atomos magneticos por

unidad de volumen que se coloca en un campo magnetico

externo H .

� Cada atomo tiene espın 1/2 (estados posibles: ↑, ↓).

� El momento magnetico, µ, se alınea de manera paralela o

antiparalela a H :

� Energıa por atomo:

ε↑ =−µH pues µ↑ = µε↓ = µH pues µ↓ =−µ

� Las probabilidades:

P↑ =eβµH

Q, P↓ =

e−βµH

Q

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Funciones hiperbolicas

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Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 10 / 15

� La energıa promedio:

〈ε〉 = −µH tanh(βµH)

� Ejercicio: Obten el momento magnetico promedio.

Resultado:

〈µH〉 = +µ tanh(βµH)

〈µH〉 Nota que µ depende de H

1/T

µ

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Funciones hiperbolicas

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Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 11 / 15

� La magnetizacion (el momento magnetico promedio):

M = N0 〈µH〉

M0

1/T

N0µ

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Funciones hiperbolicas

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Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 12 / 15

Casos:

T baja: Dado que

limx→∞

tanhx = 1, x ≡ βµH,

entonces

〈µH〉 = µ = µ↑

M0 = N0µ, indep. de H

T alta: x es pequeno.

Ejercicio: Utiliza la expansion

tanhx = x −x3

3+

2x5

15− . . .

a primer orden para obtener 〈µH〉 a T alta.

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Funciones hiperbolicas

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Paramagnetismo

Ejemplos:

Dos estados/JHT 13 / 15

A primer orden:

〈µH〉 =µ2H

kT

Por lo tanto:

M =N0µ

2

kTH = χH

Se introdujo la susceptibilidad magnetica:

χ =N0µ

2

k

1

T

Se obtuvo la ley de Curie:

χ ∼1

T

Ejemplos:

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Funciones hiperbolicas

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Ejemplos:

Dos estados/JHT 14 / 15

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Ejemplos:

Dos estados/JHT 15 / 15