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Introduccion Diferencias Finitas Ejemplos Oscilador Armonico DF Schrodinger VF Schrodinger FEM Schrodinger Conclusiones
Metodos Numericos para Solucion de EcuacionesDiferenciales Parciales Elpticas
Abel Palafox Gonzalez, Jose Luis Alonzo Velazquez
11 de diciembre de 2012

1 Introduccion
2 Diferencias Finitas
3 Ejemplos
4 Oscilador Armonico
5 DF Schrodinger
6 VF Schrodinger
7 FEM Schrodinger
8 Conclusiones

Que es una EDP Elptica?
Una Ecuacion Diferencial Parcial Elptica, es una ecuacion de laforma:
Auxx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + F = 0
en la cual la matriz Z =
[A BB C
]es definida positiva.

Aplicaciones
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Elpticas aparecen en:
Distribucion Estable de Temperatura
Dinamica de Partculas
Elastostatica

Motivacion del Proyecto
Problemas al resolver EDP Elpticas
Alta dimensionalidad
Dificultad para calcular la solucion exacta
Alternativa
Usar metodos numericos eficientes

Observacion
En la practica es comun utilizar:
Diferencias Finitas
Elemento Finito
Volumen Finito

Tabla comparativa de los metodos [curso de Simulacion dePartculas del Doctor Moreles]
DF VF MEF
Dominio Rectangular Irregular
Implementacion XX X X 1/2 X X X XPrecision X XX XXX
Solidez Teorica X XX XXX

Metodo de Diferencias Finitas
Caractersticas
Encuentran la solucion aproximando la segunda derivada de lamisma
Aproximar la segunda derivada de una funcion de claseC 2(R), tiene un error del orden de O(h2)
Ademas
Se tienen resultados acerca del orden en la aproximacion de lassoluciones.

Estimaciones de Regularidad
Se puede demostrar [Strikwerda2004] que:
u2s+2 Cs(f 2s + u020)
para s entero no negativo, Cs constante y la norma 2s definidacomo:
u2s =
s1+s2ss1x s2y u2.
y
u2 =
|u(x)|2dx

En pocas palabras...
Si una solucion existe en L2, i.e. si u0 es finito y la funcion ftiene todas las derivadas de orden s en L2(R2), entonces la funcionu tiene s + 2 derivadas en L2(R2).

Principio del Maximo
En EDP Elpticas de Segundo Orden, la segunda derivadaproporciona informacion de los extremos de la solucion.
Esto es...
Si una funcion de una variable tiene segunda derivada positiva enun intervalo cerrado, entonces esa funcion debe alcanzar su valormaximo en los lmites del intervalo. Por otro lado, si la segundaderivada es negativa, el mnimo ocurre en las fronteras.

Equivalentemente
Si la ecuacion elptica Auxx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = 0se mantiene en un dominio , con A, C positivas y F no positiva,entonces la solucion u(x , y) no puede tener un maximo local en elinterior de .
Las estimaciones de Regularidad, as como el Principio del Maximose preservan bajo un esquema de Diferencias Finitas, esto garantizala aproximacion de la solucion. [Strikwerda2004]

Ecuacion de Poisson
La Ecuacion de Poisson:u = f ,
donde = 2
x21+ . . .+
2
x2n, describe el estado estable de
distribucion de temperatura de un objeto ocupando el dominio Rn.

Esquema de Diferencias Finitas
Aproximamos la segunda derivada por:
2
x2u(x) u(x + h) 2u(x) + u(x h)
h2
f (x) u(x + h) 2u(x) + u(x h)h2
u(x) u(x + h) + u(x h) h2f (x)
2
Observar
Se puede escribir en la forma Au = h2f con A tridiagonal detamano n 2 n 2.Se puede utilizar un metodo como Gauss-Seidel que norequiere construir la matriz.

Ejemplo en 1D
= [, ],
2
x2u(x) = 5 sin(7x),
u = 10 en:
Solucion Analtica
u(x) = 535
sin(7x) + 10

Resultado 1D
3 2 1 0 1 2 39.0
9.5
10.0
10.5
11.0
(a) Iteraciones de DF (b) Aproximacion vs Solucion exacta
Error relativo: 9,99300779445e 07 en 6759 iteraciones deGauss-Seidel.
video1D.mpgMedia File (video/mpeg)

Ejemplo en 2D
Ecuacion de Laplace:u = 0
en el cuadrado = [, ] [, ]. En este caso, tomamoscondiciones de frontera: u = 10 en los lados superior e inferior yu = 0 en los lados izquierdo y derecho de .
Esquema de Diferencias Finitas
f (x , y)h2 u(x + h, y) + u(x h, y) + u(x , y + h)+ u(x , y h) 4u(x , y)

Resultado 2D
(a) Iteraciones de DF (b) Resultado FEM
Error relativo: 9,99435221045e 07 en 6530 iteraciones deGauss-Seidel.
video2D.mpgMedia File (video/mpeg)

Oscilador Armonico
El oscilador armonico se puede emplear para estudiar sistemas querealicen pequenas oscilaciones en torno a una posicion deequilibrio. En particular, el oscilador armonico cuantico se puedeemplear para estudiar las oscilaciones de los atomos de unamolecula diatomica, como la de hidrogeno, H2.La ecuacion asociada al oscilador armonico que estudiaremos eneste reporte es: (
12
+|x |2
2
) = E

Ecuacion correspondiente 1D,2D y 3D(1
2
d2
dx2+
x2
2
) = E(
12
d2
dx2 1
2
d2
dy2+
x2 + y2
2
) = E(
12
d2
dx2 1
2
d2
dy2 1
2
d2
dz2+
x2 + y2 + z2
2
) = E

Calcularemos la energa minima del sistema llevandolo a unproblema de valores propios y resolveremos dicho problemamediante tres metodos de discretizacion que son:
Diferencias Finitas.
Volumen Finito.
Metodo del Elemento Finito.
Todos los metodos tendran una malla que dependera de ladimension del sistema, pero cada coordenada correra en elintervalo [a, b] = [5,5, 5,5], tendremos el valor de la funcion en lafrontera es decir en los extremos de dicho intervalo, supondremosque la solucion es = u, con lo cual nuestras ecuaciones quedaranen funcion de u.

Calcularemos la energa minima del sistema llevandolo a unproblema de valores propios y resolveremos dicho problemamediante tres metodos de discretizacion que son:
Diferencias Finitas.
Volumen Finito.
Metodo del Elemento Finito.
Todos los metodos tendran una malla que dependera de ladimension del sistema, pero cada coordenada correra en elintervalo [a, b] = [5,5, 5,5], tendremos el valor de la funcion en lafrontera es decir en los e

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