1 Intro présentation de l'ép2 Cas sans recirculation pb bien posé3 Phénomène de séparation4 Pistes pour étudier des cas avec recirculation

g Introduction

Dérivation de l'équation de Prandtl 4904Point de départ système de Navier Stokes avecfaible viscosité au voisinage d'un obstacleIci cas stationnaire 2d Ile plansuIe.MuJxVpe EDuIe _0s.d divorce 0

îdy ox C o D y 0

f conditions en x O x LComportement au voisinage de g 0quand c o

Idée Loin du bord ne solutiondu système d'Euler

F Et Jp 0 ds QL RtE E E div'Ê 0E

Mais condition en y 0 pourEeXue Elypas de condition nn uglyCoudre limite de taille SE prèsde g 0

pour raccorder la condition de non glissement

Elye à

Ely 0_

pour offreà x g e uifx.fr Ruknoù v vérifie le mylène de Prandtl

aidan Way UP dy UP 4,02nd dy v OI

ïlineyou

données KYLE

Ry Équation scalaire non locale tenue detransport vP GannN É q parabolique si on oublie le

terme de transport

E Caractère bien posé de CPcomportement qualitatif

D Réponses très différentes suivant pneugarde un signe constant par ex alsopas de recirculation on change de

signe recirculation

2 Cas sans recirculation

On s'intéresse au cas où n 0 dans Y 0

On s'attend à ce quel'ép soit bienposée dans le sens des x A

éq d'évolution en x

Théorème leinik 1962Soit u G 82f Rt x 0On suppose que

4 70 n Y 0

a la 0condition de compatibilité en Co co

Alors il existe not o t.gr P muni de lacondition entrante Epn no admette une

unique sol dans Co xD x o to

De plus si 11 Eco net tdx

OK tant qu'il n'y a pasde recirculationIntervalle maximal d'existence six etalors soit hyn si 07 0

soit 37 so by ulna 1 1 0

Remarque la monotonie en Y et préservée parl'eegSiu et 9 on peut écarter le 2e scénario

Éléments de preuve Changement de variablesde von MisesOn pose w x

4 L x y nouvellefonctioninconnue

4 f u nouvelle variableverticaleD Ce changé de variables s'écroule s'ily a recirculation

Alors2x u 2 dans 3 Leur

2 2am v 2µW

dyn 2 fyt dyw 2 vw.ir 2yw àdew

2µm à 2Îw à TwainDonc

wynn vdywu tyyuzfdaw vdyw v.tw Fr 2dm

Dansles nouvelles variables l'équation devient

2xw Fv2Iw 2 ddfEth0_IMLwia

o _w9wue o o ljzzwCmM_uEln.cD

M_egparaholiqueNLCveg.desmilieux poreux

Possède un principe du maximumConstruction de nu Irons solutionsestimations À priori sur wet ses dérivéesExistence locale et unicité de solo's

sur sous solse

def4 avec ff4 EE C 4 448

pour 4ftCa Cs bien choisis BEJI 2

si 10 yo le second membre fait grossirdu

ni loupent construire des sous sol globales

Ë n dyn Cn o4 0

xK tx3 Phénomène de séparationOn s'intéresse maintenant au cas mo oparexemple die

D mo L

Heuristique Vue en coupe

Ë Ëa su u JE u

néo ne qn a net se ne

c Zone deZOOM recirculationFormation d'un

tourbillon

0 7 Transition vers la4907 0 turbulence

Plusieurs questionsa Quel est le comportement de la solutionquand n s 9

b Comment construire des solutions dans laZone de recirculation

c Peut on passer continûment d'une zoneà l'autre

b etc sont des problèmes ouverts

Quelques pistes pour b dans la dernièrepartieComportement des solutions à l'approche du

pointde séparationGoldstein 48 Stewarton 58 calcul explicitede solutions approchées dans des variablesautosimilaireargument heuristique de Landau 59

Prédiction dyn x 0 ceci a 2

Théorème CD Masmondi 483 _Cette prédictionest correcte pour une grande classe de données

n

Hypothèsesn régulière J doué o 0

J'co 0 6 yens Eu y l E O

G E no O E co

UMP va

u.at d y tu o t

trot Cod

Sido assezpetit dépendant de co neet on a le résultat

Idées de preuvesConstruction d'une bonne solution approchée1 bonne petit reste

stableUtilisation d'outils de modulation desvariables

Estimations d'énergie utilisant la structuredetransport 1diffusion de l'ép

PP du max formulation en w 4

Aujourd'huiconstructionde la sol approchéeIdée pourles estimations d'énergie

Contrudiond'unesolapprodéeparlaméthodedémmmodulation de variables

mm

points clésa Observation l'ép de Prandtl stationnaireet invariante parle du scaling

4u vs ap f 2 ulna µ gb On effectue un changement de variables

dans lequel le facteur d'échelle dépend de lasolution elle même ici petit paramètre D a quNouvelle variable verticale

3 4dla

Nouvelle fonction inconnue

U Cs 3 d E u x G d xd 5x s à définir

On insère ce changementde variables dans l'épl'équation nn U devient

He U Us Uzffus tofu WU te

invarian cepar scaling

Choixdes paramètres on prends ttDXDJ D

b est défini par b 2 dads 2x notes s x Iblesbest une inconnue du problèmeLecomportement asymptotique de bolide celuides du Æà b G ouf abstbko

Par définition de U d on a

43 0 9 JUIZ 1Si b 0 G admet une solution exacteétat fondamental pour Schrodinger donné

par vols 3 tSib 0 On darde une solution approchée sousla forme vapp va biz betty t

On insère dans l'équation

Xzztz XC U.at Izu a

Izz T f34 Est E TÉ CH33734 f3 33 t 5t 32

Tz Üb zTg bg VoTz 2gVo Ts

b f 2Votre U Ts f 25glot Mbsb tbs

fbst fb93st lbstb.BYbsb b 5

La bonne solution approchée estcelle dont le resteest le plus petit possible

On choisit de tuer le terme en 56 ie defaire comme si bstb 0

Autrement dit on prend T tel quedesz Tz fg x2 55Àprésent si on poseUMP Va b Tz b Tz

on sait queUMP x bebe 39

près de 3 0

HU UMM Il 7 lbs tbhDonc pour contrôler bstb il suffit de contrôlerl'erreur U UMPOn écrit une ép sur V on fait des estimations

Plus précisément on construit une énergienorme Sobolev à poids top

Els Hull 7 lbs b12E vérifie une inégalité du typed

t ECD E plsavec f74 propriété de l'ép dissipation

d'énergie

npls Ecs 51 choix de la sol approchéeGronwall

Ecs s E

Ecs sat E EGO sont C

Ecs c g 4 7

lbstb4 sc g 2

bu EH

4 Au delà de la séparation2 questions distinctes

d Passage de la singularité de Goldsteinf artefact de l'ép de Prandtl

2 Construction de flots avec une roue derecirculation loin du pointde séparationD Modèle triple deck

2 Travail en cours avec F Marbach et 5 Rax

Idée on connaît semi explicitement une famillede flots qui reculent flotsde Falkner Shan

Y a

u 0 u o

UCO

1 710 X x

1 Peut on construire desflots qui ne circulentau voisinage de ceux ci en perturbant lesdonnées au bord dans les zones bleues

usa ép parabolique classiqueneo rétrograde

Ligne a 0 inconnue du pb

DifficultésNon localitéPb àfrontière libre D Linéarisation

Modèle jouet pour se concentrer sur les difficultésliées à la géométrie

MI aux un 1 ds x xD D

Théorème Soit à une solution régulière de Mqui recinaleSoit ça Ss E 8 Eo to vérifiant certainesconditions de compatibilitéAlors si Il Soit USD1 sontassez petites II sol fortede CTM tg

pq ILE Sioù E lui 4 C Dina 4 70

L 4 C Di qq.tk coSchéma de preuveConstruction de solutions par un schéma

itératif n lin à comtwmIdxWntptwnwni

dyywntiEOWntl1z.ESi

www.EOAhaque étapeest linéaire

Estimations de régularité sur les nConstructionde sol's poules ép hyperboliques