LPV control of High Performance Aircrafts

7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts

1/19

P a r a m e t e r V a r y i n g C o n t r o l o f a H i g h P e r f o r m a n c e

A i r c r a f t

J e a n - M a r c B i a n n i c a n d P i e r r e A p k a r i a n

D e p a r t e m e n t d ' A u t o m a t i q u e

C e n t r e d ' E t u d e s e t d e R e c h e r c h e s d e T o u l o u s e ( C E R T )

T o u l o u s e , F R A N C E

W i l l i a m L . G a r r a r d

D e p a r t m e n t o f A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g a n d M e c h a n i c s

U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a

M i n n e a p o l i s , M i n n e s o t a U S A

J a n u a r y 2 , 1 9 9 6

A b s t r a c t

T h e d y n a m i c r e s p o n s e c h a r a c t e r i s t i c s o f m o d e r n a i r c r a f t v a r y s u b s t a n t i a l l y w i t h

i g h t c o n d i t i o n s . T h e s e c h a n g e s r e q u i r e s c h e d u l i n g o f t h e i g h t c o n t r o l s y s t e m w i t h

v a r i a b l e s s u c h a s d y n a m i c p r e s s u r e a n d M a c h n u m b e r . T h i s s c h e d u l i n g c a n b e a c c o m -

p l i s h e d e a s i l y f o r s i m p l e c o n t r o l l e r s b u t i s m u c h m o r e d i c u l t f o r c o m p l e x c o n t r o l l e r s

w h i c h r e s u l t f r o m t h e u s e o f m o s t m o d e r n c o n t r o l d e s i g n t e c h n i q u e s . O n t h e o t h e r h a n d

t h e s e c o m p l e x c o n t r o l l e r s c a n y i e l d s i g n i c a n t p e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n t s w h e n c o m -

p a r e d w i t h s i m p l e c o n t r o l l e r s . R e c e n t l y L i n e a r P a r a m e t e r V a r y i n g ( L P V ) t e c h n i q u e s

h a v e b e e n d e v e l o p e d w h i c h p r o v i d e a n a t u r a l m e t h o d f o r s c h e d u l i n g f o r H i n f b a s e d

c o n t r o l l e r s . I n t h i s p a p e r L P V t e c h n i q u e s a r e c o m b i n e d w i t h m u s y n t h e s i s m e t h o d s t o

d e v e l o p a s e l f - s c h e d u l e d l o n g i t u d i n a l c o n t r o l l e r f o r a h i g h p e r f o r m a n c e a i r c r a f t . T h e

a b i l i t y o f t h i s c o n t r o l l e r t o a c h i e v e s p e c i e d h a n d l i n g q u a l i t i e s o v e r a w i d e r a n g e o f

i g h t c o n d i t i o n s i s d e m o n s t r a t e d b y n o n - l i n e a r s i m u l a t i o n s .

K e y w o r d s : L i n e a r P a r a m e t e r - V a r y i n g S y s t e m s , G a i n - S c h e d u l i n g , H

1

C o n t r o l , S y n t h e s i s ,

L M I T e c h n i q u e s , A i r c r a f t C o n t r o l .

T h i s w o r k h a s b e e n s u p p o r t e d b y D . R . E . T . ( D i r e c t i o n d e l a R e c h e r c h e e t d e s E t u d e s T e c h n i q u e s )

6 9


2/19

1 I n t r o d u c t i o n

M o d e r n h i g h p e r f o r m a n c e a i r c r a f t o p e r a t e o v e r a w i d e r a n g e o f i g h t c o n d i t i o n s . T h i s

r e s u l t s i n d y n a m i c r e s p o n s e c h a r a c t e r i s t i c s w h i c h v a r y s u b s t a n t i a l l y d u r i n g a t y p i c a l m i s s i o n .

T r a d i t i o n a l l y , i g h t c o n t r o l s y s t e m s w e r e d e s i g n e d u s i n g m a t h e m a t i c a l m o d e l s o f t h e a i r c r a f t

l i n e a r i z e d a t v a r i o u s i g h t c o n d i t i o n s . R e l a t i v e l y s i m p l e x e d s t r u c t u r e c o n t r o l l a w s w e r e

f o r m u l a t e d a n d g a i n s s e l e c t e d f o r e a c h i g h t c o n d i t i o n u s i n g c l a s s i c a l , s i n g l e - i n p u t , s i n g l e -

o u t p u t m e t h o d s . S i n c e t h e s t r u c t u r e o f t h e s e c o n t r o l l a w s w e r e s i m p l e , o n l y a f e w g a i n s

n e e d e d t o b e s c h e d u l e d a n d t h e r e f o r e g a i n s c h e d u l i n g w a s f a i r l y e a s y . A s a i r c r a f t h a v e b e c o m e

m o r e c o m p l e x w i t h a v a r i e t y o f c o n t r o l e e c t o r s a n d s e n s o r s , c o u p l i n g b e t w e e n m o d e s , a n d a s

p e r f o r m a n c e c a p a b i l i t i e s a n d r e q u i r e m e n t s h a v e i n c r e a s e d , t r a d i t i o n a l m e t h o d s f o r c o n t r o l l e r

d e s i g n o f t e n h a v e n o t y i e l d e d a c c e p t a b l e p e r f o r m a n c e . T h u s t h e u s e o f v a r i o u s m o d e r n

m u l t i - i n p u t , m u l t i - o u t p u t t e c h n i q u e s f o r i g h t c o n t r o l l e r d e s i g n h a s b e e n e x t e n s i v e l y s t u d i e d

. T h e s e t e c h n i q u e s u s e l i n e a r i z e d m o d e l s o f t h e a i r c r a f t d y n a m i c s b u t r e s u l t i n c o n t r o l l e r s

w h i c h a r e m u c h m o r e c o m p l e x a n d w h i c h u s e m a n y m o r e g a i n s t h a n t h o s e d e s i g n e d u s i n g

c l a s s i c a l m e t h o d s . C o n s e q u e n t l y , i t i s m u c h m o r e d i c u l t t o s c h e d u l e c o n t r o l l e r s d e s i g n e d

u s i n g m o d e r n t e c h n i q u e s , a n d t h i s h a s b e e n a m a j o r i m p e d i m e n t i n t h e u s e o f t h e s e t h e o r i e s

i n t h e d e s i g n o f i g h t c o n t r o l s y s t e m s .

R e c e n t l y , a n u m b e r o f i n v e s t i g a t o r s h a v e p r o p o s e d t h e u s e o f d y n a m i c i n v e r s i o n t o g e t h e r

w i t h s y n t h e s i s m e t h o d s f o r t h e d e s i g n o f a i r c r a f t i g h t c o n t r o l s y s t e m s 1 , 2 , 3 , 4 ] . D y n a m i c

i n v e r s i o n a v o i d s t h e s c h e d u l i n g p r o b l e m b y u s i n g f e e d b a c k t o c a n c e l t h e d y n a m i c s o f t h e

a i r c r a f t . D e s i r e d d y n a m i c s a r e t h e n s u b s t i t u t e d f o r t h e c a n c e l e d d y n a m i c s . S o m e p r o m i s i n g

p r e l i m i n a r y r e s u l t s h a v e b e e n o b t a i n e d u s i n g d y n a m i c i n v e r s i o n b u t t h e r e a r e s o m e i m p o r t a n t

i m p l e m e n t a t i o n i s s u e s w h i c h m a y i n h i b i t t h e u s e o f t h i s m e t h o d i n p r a c t i c e .

I n t h i s p a p e r w e d e s c r i b e t h e a p p l i c a t i o n s o f a n e x t e n d e d H

1

t e c h n i q u e f o r t h e d e s i g n o f

a s e l f - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r f o r t h e l o n g i t u d i n a l c o n t r o l o f a h i g h p e r f o r m a n c e a i r c r a f t . T h i s

t e c h n i q u e c a n h a n d l e b a s e d o n L i n e a r P a r a m e t e r V a r y i n g ( L P V ) s y s t e m s w h i c h r e s u l t s i n a

c o n t r o l l e r w h i c h i s s c h e d u l e d w i t h d y n a m i c p r e s s u r e . T h e c l o s e d - l o o p L P V c o n t r o l s t r u c t u r e

c a n b e r e p r e s e n t e d a s s h o w n i n F i g u r e 1 :

K G-

yw u

LPV plant

() ()

LPV controller

F i g u r e 1 : L P V C o n t r o l o f a L P V S y s t e m

S u c h a c o n t r o l s t r u c t u r e i n c o r p o r a t e s t h e p a r a m e t e r m e a s u r e m e n t s i n r e a l - t i m e w h i c h a l -

l o w s a m o r e e c i e n t c o n t r o l o f u n d e s i r a b l e m o d e s . I n s h o r t , t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e p r o d u c e s

a u t o m a t i c a l l y g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r s w h i c h s i m u l t a n e o u s l y e n s u r e :

g l o b a l s t a b i l i t y o v e r t h e o p e r a t i n g d o m a i n .

L T I r o b u s t n e s s p r o p e r t i e s .

7 0


3/19

T h i s l a s t p o i n t i s a f u n d a m e n t a l d i e r e n c e b e t w e e n t h e s e t e c h n i q u e s a n d a d a p t a t i v e c o n t r o l

m e t h o d o l o g i e s 5 , 6 ] w h i c h o f t e n f a i l t o i n t e g r a t e b o t h r o b u s t c o n t r o l a n d g a i n s c h e d u l i n g . I t

i s a l s o t h e k e y i d e a m o t i v a t i n g s e v e r a l L P V c o n t r o l t e c h n i q u e s 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 ] .

I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e L P V c o n t r o l p r o b l e m , a s f o r m u l a t e d i n F i g u r e 1 , i s c o n v e x a n d

t h e r e f o r e c a n b e e c i e n t l y s o l v e d u s i n g L M I - L A B 1 6 ] M o r e r e c e n t l y , t h e t e c h n i q u e h a s b e e n

e x t e n d e d 1 7 , 1 8 ] t o i n c l u d e b o u n d e d p a r a m e t e r - v a r i a t i o n r a t e s .

T h e m e t h o d d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r e x t e n d s t h e r e s u l t s o f 1 1 ] t o t h e c a s e w h e r e t h e L P V

s y s t e m i s u n c e r t a i n . T h i s p r o b l e m i s o f g r e a t p r a c t i c a l i n t e r e s t , b u t a s a n y r o b u s t c o n t r o l

p r o b l e m , i t i s n o t c o n v e x . O u r a p p r o a c h i s i t e r a t i v e a n d p a r a l l e l s t h e - s y n t h e s i s s c h e m e .

A l t h o u g h t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t a g l o b a l s o l u t i o n c a n b e g i v e n , t h e m e t h o d w o r k s w e l l

i n m a n y p r a c t i c a l c a s e s .

T h e r e m a i n d e r o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 i s a b r i e f r e v i e w o f t h e H

1

s y n t h e s i s t e c h n i q u e f o r L P V s y s t e m s . M o r e s p e c i c a l l y , t h e a l g o r i t h m w h i c h i s u s e d i n t h i s

a p p l i c a t i o n a n d c o n n e c t i o n s w i t h - t e c h n i q u e s a r e o u t l i n e d . S e c t i o n 3 p r e s e n t s t h e a i r c r a f t

n o n l i n e a r m o d e l , f o r w h i c h a n L P V r e p r e s e n t a t i o n i s d e r i v e d , a n d a b r i e f o p e n - l o o p a n a l y s i s

o f t h e a i r c r a f t a t s e v e r a l i g h t c o n d i t i o n s . I n S e c t i o n 4 , h a n d l i n g q u a l i t y s p e c i c a t i o n s a r e

d e t a i l e d a n d t h e p r o b l e m i s f o r m u l a t e d . F i n a l l y , i n S e c t i o n 5 , v a r i o u s - p l o t s a r e s h o w n t o

i l l u s t r a t e t h e r o b u s t n e s s o f t h e r e s u l t i n g c o n t r o l l e r , a n d n o n l i n e a r p a r a m e t e r - v a r y i n g s i m u -

l a t i o n r e s u l t s a r e p r e s e n t e d .

2 G a i n - S c h e d u l i n g C o n t r o l o f L F T S y s t e m s

T h i s s e c t i o n b r i e y o u t l i n e s t h e m a i n r e s u l t s f o r g a i n - s c h e d u l i n g c o n t r o l o f L F T s y s t e m s .

T h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o r e f e r e n c e 1 1 ] f o r d e t a i l s a n d p r o o f s . T h e g e n e r a l i n t e r c o n n e c t i o n

s t r u c t u r e f o r t h e d e s i g n o f g a i n - s c h e d u l e d H

1

c o n t r o l l e r s i s d e p i c t e d i n F i g u r e 2 . T h e p l a n t

i s d e s c r i b e d b y t h e u p p e r L F T

F

u

P ( s ) ;

0

0

; ( 2 1 )

w h e r e u a n d y d e n o t e c o n t r o l i n p u t s a n d m e a s u r e d o u t p u t s , r e s p e c t i v e l y .

T h e p a r a m e t e r d e p e n d e n c e o f t h e p l a n t i s d e n e d a s f o l l o w s .

: = ( t ) d e n o t e s t h e s c h e d u l e d t i m e - v a r y i n g p a r a m e t e r w i t h t h e f o l l o w i n g d i a g o n a l

s t r u c t u r e

( t ) 2 f b l o c k d i a g (

1

I

r

1

; : : : ;

L

I

r

L

) g ( 2 2 )

: = ( t ) d e s i g n a t e s a n u n c e r t a i n t i m e - v a r y i n g p a r a m e t e r w i t h t h e f o l l o w i n g s t r u c t u r e

( t ) 2

n

b l o c k d i a g (

1

; : : : ;

N

) : 2 R

q q

i = 1 ; : : : ; N

o

( 2 3 )

N o t e t h a t , i n c o n t r a s t t o ( t ) , t h e s c h e d u l e d p a r a m e t e r ( t ) i s m e a s u r e d i n r e a l t i m e

a n d i s e x p l o i t e d f o r t h e i m p r o v e m e n t o f b o t h t h e p e r f o r m a n c e a n d t h e r o b u s t n e s s o f t h e

7 1


4/19

c l o s e d - l o o p s y s t e m . > F r o m n o w o n , w e a s s u m e t h a t t h e s c h e d u l e d p a r a m e t e r ( t ) h a s b e e n

n o r m a l i z e d s u c h t h a t f o r a l l t 0 ,

( t )

T

( t ) 1 ; ( 2 4 )

a n d t h a t t h e u n c e r t a i n t y ( t ) s a t i s e s t h e f o l l o w i n g b o u n d

( t )

T

( t )

1

2

( 2 5 )

f o r s o m e p o s i t i v e s c a l a r

K(s)

P(s) wz

y u

z w

wz

0

0

F i g u r e 2 : L F T I n t e r c o n n e c t i o n

W i t h t h i s i n m i n d , t h e g a i n - s c h e d u l e d H

1

c o n t r o l p r o b l e m a m o u n t s t o s e e k i n g a n L F T

c o n t r o l l e r

F

l

( P ( s ) ; ) ;

h a v i n g t h e s a m e L F T d e p e n d e n c e a s t h e p l a n t i n , s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m o f

F i g u r e 2 i s r o b u s t l y s t a b l e , i . e . , i s s t a b l e f o r a l l a d m i s s i b l e t r a j e c t o r i e s o f ( t ) a n d ( t )

N o t e t h a t , a s i s s t a n d a r d i n r o b u s t c o n t r o l t h e o r y , t h e u n c e r t a i n b l o c k s

i

c a n b e i n t e r -

p r e t e d a s p e r f o r m a n c e b l o c k s w h e n e v e r t h e y a r e a s s o c i a t e d w i t h p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s .

A c e n t r a l t o o l l e a d i n g t o s u c i e n t s o l v a b i l i t y c o n d i t i o n s f o r t h i s p r o b l e m i s t h e s c a l e d

B o u n d e d R e a l L e m m a 1 1 ] . I t m e r e l y c o n s i s t s i n r e p l a c i n g t h e s m a l l g a i n c o n d i t i o n b y a

m o r e r e n e d v e r s i o n t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e p a r t i c u l a r s t r u c t u r e s o f a n d . T h e s e t s o f

s i m i l a r i t y s c a l i n g s a s s o c i a t e d w i t h t h e s t r u c t u r e s o f a n d a r e d e n e d a s

L

= f L > 0 : L = L ; f o r a l l a d m i s s i b l e g R

r r

w i t h r =

L

X

i = 1

r

i

( 2 6 )

7 2


5/19

P

= f P > 0 : P = P ; f o r a l l a d m i s s i b l e g R

q q

w i t h q =

N

X

i = 1

q

i

( 2 7 )

S i n c e t h e s y n t h e s i s t e c h n i q u e d i s c u s s e d h e r e i s s t a t e - s p a c e b a s e d , w e n e e d t o i n t r o d u c e a

r e a l i z a t i o n o f t h e p l a n t P ( s )

P ( s ) =

0

B

@

D

D

1

D

2

D

1

D

1 1

D

1 2

D

2

D

2 1

D

2 2

1

C

A

+

0

B

@

C

C

1

C

2

1

C

A

( s I ? A )

? 1

( B

B

1

B

2

) ; ( 2 8 )

w h e r e t h e p a r t i t i o n i n g i s c o n f o r m a b l e t o t h e i n p u t s w

, w a n d u , a n d t h e o u t p u t s z

, z a n d

y , s e e F i g u r e 2 . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , t h e p r o b l e m d i m e n s i o n s a r e d e t e r m i n e d b y

A 2 R

n n

; D

2 R

r r

; D

1 1

2 R

q q

; D

2 2

2 R

p

2

m

2

;

a n d i t i s a l s o a s s u m e d t h a t

( A ; B

2

; C

2

) i s s t a b i l i z a b l e a n d d e t e c t a b l e

D

2 2

= 0

B y a n i m m e d i a t e a p p l i c a t i o n o f t h e r e s u l t s i n 1 1 ] , s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e s o l v a b i l i t y

o f t h e g a i n - s c h e d u l e d H

1

c o n t r o l p r o b l e m a r e e a s i l y i n f e r r e d . T h e y e x p r e s s i n t e r m s o f m a t r i x

i n e q u a l i t y f e a s i b i l i t y c o n d i t i o n s w i t h a n a d d i t i o n a l a l g e b r a i c c o n d i t i o n w h i c h i s r e p e a t e d h e r e

f o r c o m p l e t e n e s s . W i t h t h e n o t a t i o n s a n d a s s u m p t i o n s a b o v e i n p l a c e , t h e g a i n - s c h e d u l e d

H

1

c o n t r o l p r o b l e m i s s o l v a b l e w h e n e v e r t h e r e e x i s t p a i r s o f s y m m e t r i c m a t r i c e s ( R ; S ) i n

R

n n

, ( L

3

; J

3

) i n L

a n d ( P ; Q ) i n P

s u c h t h a t

N

T

R

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

A R + R A

T

R C

T

R C

T

1

B

J

3

B

1

Q

C

R ? J

3

0 D

J

3

D

1

Q

C

1

R 0 ? Q D

1

J

3

D

1 1

Q

J

3

B

T

J

3

D

T

J

3

D

T

1

? J

3

0

Q B

T

1

Q D

T

1

Q D

T

1 1

0 ? Q

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

N

R


6/19

R I

I S

0 ; ( 2 1 1 )

J

3

I

I L

3

0 ; ( 2 1 2 )

a n d P , Q f u r t h e r s a t i s f y

P Q = I ; ( 2 1 3 )

a n d N

R

, N

S

a r e a n y b a s i s o f t h e n u l l s p a c e s o f

( B

T

2

D

T

2

D

T

1 2

0 ) ; ( C

2

D

2

D

2 1

0 ) ; ( 2 1 4 )

r e s p e c t i v e l y .

N o t e t h a t d u e t o t h e a l g e b r a i c c o n s t r a i n t ( 2 . 1 3 ) , t h e s o l v a b i l i t y c o n d i t i o n s d o n o t c o n s t i -

t u t e a c o n v e x p r o b l e m . I n t h e s p e c i a l c a s e , h o w e v e r , w h e r e t h e u n c e r t a i n t y s t r u c t u r e ( 2 . 3 )

r e d u c e s t o a s i n g l e b l o c k , t h e r e i s n o l o s s o f g e n e r a l i t y i n t a k i n g P : = I , Q : = I a n d t h e

p r o b l e m ( 2 . 9 ) - ( 2 . 1 2 ) i s a n L M I f e a s i b i l i t y p r o b l e m .

G i v e n a n L F T g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r , t h e c o m p u t a t i o n o f P a n d Q c a n b e p e r f o r m e d

b y a p p l y i n g S m a l l G a i n t h e o r y w i t h a d e q u a t e s c a l i n g s t o t h e i n t e r c o n n e c t i o n d i a g r a m o f

F i g u r e 2 . S i m i l a r l y t o s y n t h e s i s , t h i s s u g g e s t t h e f o l l o w i n g s c h e m e t o f u r t h e r e n h a n c e t h e

l e v e l .

i n i t i a l i z e P a n d Q t o i d e n t i t y .

w i t h x e d P a n d Q , m i n i m i z e s u b j e c t t o t h e L M I c o n s t a i n t ( 2 . 9 ) - ( 2 . 1 2 ) , a n d d e d u c e

a g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r , s e e 1 1 ] .

w i t h a x e d g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r , c o m p u t e m i n i m i z i n g P a n d Q v i a a S m a l l G a i n

t e s t .

s t o p , w h e n n o f u r t h e r i m p r o v e m e n t i s o b s e r v e d .

N o t e t h a t s u c h a s c h e m e i s n o t g u a r a n t e e d t o n d a g l o b a l o p t i m u m , b u t h a s p r o v e d u s e f u l

i n m a n y a p p l i c a t i o n s .

I m p o r t a n t r e m a r k I n t h e i n t e r e s t i n g c a s e w h e r e t h e u n c e r t a i n t y b l o c k i s p a r t l y t i m e -

i n v a r i a n t , t h e p r e v i o u s a l g o r i t h m c a n b e f u r t h e r i m p r o v e d u s i n g d y n a m i c s c a l i n g s . I t c o n s i s t s

i n r e p l a c i n g P a n d Q b y b l o c k d i a g ( P ; D

L

( s ) ) a n d b l o c k d i a g ( Q ; D

R

( s ) r e s p e c t i v e l y . A n e w

a l g o r i t h m c a n t h u s b e d e r i v e d :

i n i t i a l i z e P , Q , D

L

( s ) a n d D

R

( s ) t o i d e n t i t y .

w i t h x e d P , Q , D

L

( s ) , a n d D

R

( s ) c o m p u t e t h e s t a t e - s p a c e e l e m e n t s o f t h e s c a l e d

o p e n - l o o p s y t e m , m i n i m i z e s u b j e c t t o t h e L M I c o n s t r a i n t ( 2 . 9 ) - ( 2 . 1 2 ) , a n d d e d u c e a

g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r .

7 4


7/19

w i t h a x e d g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r , b u i l d t h e c l o s e d - l o o p p a r a m e t e r - d e p e n d e n t s y s -

t e m a n d c o m p u t e m i n i m i z i n g P , Q , D

L

w

a n d D

R

w

o n a n i t e s e t o f f r e q u e n c i e s . T h e

d y n a m i c s c a l i n g D

L

( s ) a n d D

R

( s ) a r e t h e n o b t a i n e d b y i n t e r p o l a t i o n .

s t o p , w h e n n o f u r t h e r i m p r o v e m e n t i s o b s e r v e d .

T h e o r e t i c a l l y , t h e s c a l i n g c o m p u t a t i o n c a n n o t b e a c h i e v e d u s i n g t h e t o o l b o x 1 9 ] . H o w -

e v e r , i n p r a c t i c a l c a s e s i t g i v e s s a t i s f y i n g r e s u l t s w h e n t h e s c a l i n g s h a v e n o c o n s t a n t p a r t .

I n t h e g e n e r a l c a s e , t h e p r o b l e m c a n b e s o l v e d s i n c e i t c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a c o n v e x

o p t i m i z a t i o n p r o g r a m 2 0 ] .

3 T h e A i r c r a f t M o d e l

3 . 1 E q u a t i o n s o f M o t i o n a n d L P V M o d e l

T h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d t o t h e l o n g i t u d i n a l c o n t r o l o f a h i g h

p e r f o r m a n c e a i r c r a f t . O n l y l o n g i t u d i n a l m o t i o n s a r e c o n s i d e r e d a n d t h e u s u a l e q u a t i o n s o f

m o t i o n o f t h e a i r p l a n e i n t h e l o n g i t u d i n a l a x i s . S l i d e s l i p a n g l e , r o l l a n d y a w a n g u l a r v e l o c i t i e s

a r e a s s u m e d t o b e z e r o . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s :

_ = ?

g

V

c o s +

L

m V

+

F

m V

s i n ( 3 . 1 5 )

_ = q ? _ ( 3 . 1 6 )

_q = M

c

J

y

( 3 . 1 7 )

_

V = ? g s i n ?

D

m

+

F

m

( 3 . 1 8 )

_

H = V s i n ( 3 . 1 9 )

w h e r e , , q , V a n d H d e n o t e s t h e v e r t i c a l i g h t p a t h a n g l e , t h e a n g l e o f a t t a c k , p i t c h

r a t e , a i r p l a n e v e l o c i t y a n d a l t i t u d e r e s p e c t i v e l y . E x p r e s s i o n s o f a e r o d y n a m i c d r a g ( D ) , l i f t

( L ) a n d p i t c h m o m e n t ( M ) a r e e x p r e s s e d a s :

L =

1

2

S V

2

C

L

( )

+ q

c

2 V

C

L

q

( )

+

e

C

L

e

( )

( 3 . 2 0 )

D =

1

2

S V

2

C

D

( )

+ q

c

2 V

C

D

q

( )

+

e

C

D

e

( )

( 3 . 2 1 )

M =

1

2

S V

2

C

M

( )

+ q

c

2 V

C

M

q

( )

+

e

C

M

e

( )

( 3 . 2 2 )

7 5


8/19

S , m , c , J

y

a r e c o n s t a n t s d e n o t i n g r e s p e c t i v e l y t h e a i r p l a n e w i n g r e f e r e n c e a r e a , m a s s ,

r e f e r e n c e m e a n a e r o d y n a m i c c h o r d , a n d p i t c h m o m e n t o f i n e r t i a .

C

L

( )

, C

L

q

( )

, . . . a r e p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o f w h i c h i n t e r p o l a t e r e a l d a t a o v e r a w i d e

r a n g e o f a n g l e s o f a t t a c k ( s e e 2 4 ] f o r m o r e d e t a i l s )

e

a n d F a r e c o n t r o l i n p u t s : s y m m e t r i c e l e v a t o r p o s i t i o n a n d t h r u s t .

i s t h e a i r d e n s i t y w h i c h v a r i e s a s a f u n c t i o n o f t h e a l t i t u d e .

I t c a n b e o b s e r v e d t h a t t h e a i r p l a n e m o t i o n i s d e s c r i b e d b y a n o n l i n e a r p a r a m e t e r v a r y i n g

s y s t e m o f t h e f o r m :

_

X = f ( X ; ; F ) + g ( X ; ) u ( 3 . 2 3 )

w i t h : X = q V H

T

, u =

e

F

T

a n d = V H

T

I n o r d e r t o a p p l y t h e L P V t e c h n i q u e ( s e e S e c t i o n 2 ) t h i s m o d e l h a s b e e n l i n e a r i z e d f o r

d i e r e n t i g h t c o n d i t i o n s w h i c h h a v e b e e n s e l e c t e d t h r o u g h o u t t h e e n v e l o p e . T h u s , s e v -

e r a l e q u i l i b r i u m p o i n t s

n

0

i

=

0

i

;

0

i

= 0 ; q

0

i

= 0 ; V

0

i

= V

i

T

; u

0

i

=

e

i

0

; F

0

i

T

o

a r e

c o m p u t e d a n d c o r r e s p o n d i n g 4

t h

o r d e r l i n e a r s y s t e m s a r e d e d u c e d :

_

~

i

= A

H V

~

i

+ B

H V

~u

i

;

~

i

= ?

i

0

; ~u

i

= u ? u

i

0

( 3 . 2 4 )

N o t e h e r e , t h a t H h a s b e e n r e m o v e d f r o m t h e s t a t e v e c t o r , s i n c e i t o n l y a p p e a r s a s a

p a r a m e t e r . T h e e q u a t i o n 3 . 1 9 i s m a i n l y u s e d f o r s i m u l a t i o n p u r p o s e s . F u r t h e r m o r e , a s t h i s

p a p e r f o c u s e s o n m a n u a l i g h t c o n t r o l d e s i g n , t h e m o d e l s a r e t r u n c a t e d s o a s t o k e e p o n l y

s h o r t p e r i o d d y n a m i c s . I t s h o u l d a l s o b e r e m a r k e d t h a t t h e t h r u s t i n p u t c a n b e r e m o v e d

s i n c e i t h a s n o i m m e d i a t e e e c t o n t h e s h o r t p e r i o d d y n a m i c s . T h u s , a f a m i l y o f s i n g l e - i n p u t

2

n d

o r d e r s y s t e m s i s o b t a i n e d , w h e r e t h e s t a t e s a r e ~ a n d ~ q :

_

~

_

~q

=

Z

(

i

) 1

M

(

i

) M

q

(

i

)

~

~q

+

Z

e

(

i

)

M

e

(

i

)

~

e

( 3 . 2 5 )

I n a l a s t s t e p , t h e e v o l u t i o n o f Z

, M

, M

q

, Z

e

a n d M

e

v e r s u s i g h t c o n d i t i o n (

i

) i s

s t u d i e d . T h e c o e c i e n t s m a i n l y d e p e n d o n t h e d y n a m i c p r e s s u r e q :

q =

1

2

( H ) V

2

( 3 2 6 )

T h e s e l e c t e d i g h t c o n d i t i o n s ( H 2 5 0 0 0 f t 3 5 0 0 0 f t ] a n d V 2 3 0 0 f t = s e c 9 0 0 f t = s e c )

m a k e t h e d y n a m i c p r e s s u r e v a r y f r o m 4 7 p s f u p t o 9 9 8 p s f . T h e v a r i a t i o n s o f s t a t e - s p a c e

c o e c i e n t s v e r s u s q a r e s h o w n o n F i g u r e 3 ( s o l i d l i n e s ) . U n c e r t a i n t i e s o n t h e s e c o e c i e n t s

a r e a l s o p r e s e n t e d ( d o t t e d l i n e s ) . L i n e a r m e a n - s q u a r e i n t e r p o l a t i o n s ( d a s h e d l i n e ) r e m a i n i n

a n e i g h b o r h o o d o f t h e p a r a m e t e r s , w h i c h n e v e r g r o w l a r g e r t h a n t h e u n c e r t a i n t y d o m a i n f o r

a n y q ( s e e T a b l e 1 ) .

7 6


9/19

0 500 10002.5

2

1.5

1

0.5

0

Z_alpha

0 500 10004

3

2

1

0

M_alpha

0 500 10000.8

0.6

0.4

0.2

0

M_q

0 500 10000.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

M_de

F i g u r e 3 : S t a b i l i t y D e r i v a t i v e s v s q

I t f o l l o w s t h a t t h e f a m i l y o f m o d e l s 3 . 2 5 c a n b e f a i r l y w e l l r e p r e s e n t e d b y t h e L P V s y s t e m :

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

_

~

_

~q

=

Z

m

1

M

m

M

q

m

~

~q

+ w

q

+

Z

e

m

M

e

m

~

e

z

q

= C

q

~

~q

+ D

q

e

~

e

w

q

= q

S

z

q

( 3 2 7 )

w h e r e q h a s b e e n r e s c a l e d t o q

S

w h i c h b e l o n g s t o t h e i n t e r v a l ? 1 1 ] . T h u s q = 4 7 5 6 5 q

S

+

5 2 3 0 5 . T h e r e s u l t i n g a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s a r e a s f o l l o w s :

Z

= 1 2 1 ? 0 9 2 5 q

S

( 3 . 2 8 )

M

= ? 2 ? 1 3 q

S

( 3 . 2 9 )

M

q

= ? 0 3 4 ? 0 2 2 q

S

( 3 . 3 0 )

M

e

= ? 0 2 0 ? 0 2 0 q

S

( 3 . 3 1 )

Z

e

= 0 ( 3 . 3 2 )

7 7


10/19

T h e c o e c i e n t s Z

m

, M

m

a n d M

q

m

a r e t h o s e o b t a i n e d w h e n q

S

= 0 . M a t r i c e s C

q

a n d D

q

e

a r e c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o t h e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n s o f F i g u r e 3 a n d a r e

C

q

=

0 9 2 5 0

? 1 3 ? 0 2 2

( 3 3 3 )

a n d

D

q

e

=

0

? 0 2

( 3 3 4 )

3 . 2 O p e n - L o o p A n a l y s i s

I n t h i s p a r a g r a p h , a s h o r t o p e n - l o o p a n a l y s i s o f t h e f a m i l y o f l i n e a r s y s t e m s 3 . 2 5 i s p r e s e n t e d .

A s e x p e c t e d , t h e a i r c r a f t b e h a v i o r s i g n i c a n t l y d e p e n d s o n t h e i g h t c o n d i t i o n . F o r l o w

d y n a m i c p r e s s u r e , t h e s y s t e m h a s v e r y l o w b a n d w i d t h a n d i s p o o r l y d a m p e d . F o r h i g h

d y n a m i c p r e s s u r e , t h e b a n d w i d t h i s h i g h e r b u t d a m p i n g r e m a i n s p o o r ( s e e F i g u r e 4 ) .

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 02

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

ImaginaryAxis

Damping > 0.7

F i g u r e 4 : S y s t e m p o l e s v s q

M o r e o v e r i t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e o n t r o l e c i e n c y i s a l s o h i g h l y d e p e n d e n t o n

t h e p a r a m e t e r q . T h i s i s i l l u s t r a t e d b y F i g u r e 5 w h i c h p r e s e n t s t r a n s f e r f u n c t i o n s f r o m t h e

c o n t r o l i n p u t

e

t o t h e a n g l e o f a t t a c k f o r l o w , m e d i u m a n d h i g h v a l u e s o f q ( s o l i d , d a s h e d

a n d d o t t e d l i n e s r e s p e c t i v e l y ) .

7 8


11/19

103

102

101

100

101

102

103

108

107

106

105

104

103

102

101

100

Frequency (rad/sec)

Magnitude

F i g u r e 5 : T r a n s f e r f u n c t i o n s v s q

4 S p e c i c a t i o n s a n d P r o b l e m S e t u p

I n m a n y c a s e s i t i s d e s i r a b l e t h a t t h e a n g l e o f a t t a c k o f a n a i r c r a f t b e p r o p o r t i o n a l t o p i l o t

s t i c k i n p u t s . T h i s i s c a l l e d a n a n g l e o f a t t a c k c o m m a n d s y s t e m a n d i t i s d e s i r a b l e f o r t h e

r e s p o n s e o f t h e a n g l e o f a t t a c k t o a l o n g i t u d i n a l s t i c k i n p u t a p p r o x i m a t e t h a t o f a s e c o n d

o r d e r t r a n s f e r f u n c t i o n w i t h n o n u m e r a t o r d y n a m i c s . T h e l o n g i t u d i n a l c o n t r o l l e r d e s i g n e d

i n t h i s s t u d y w i l l b e r e q u i r e d t o s t a b i l i z e t h e s h o r t p e r i o d a i r c r a f t a t a l l i g h t c o n d i t i o n s a n d

t o f o l l o w t h e p a r a m e t e r v a r y i n g , s e c o n d - o r d e r r e f e r e n c e m o d e l g i v e n b e l o w ,

_x

r e f

=

0 1

? ! ( q )

2

? 2 ! ( q )

x

r e f

+

0

! ( q )

2

r

( 4 . 3 5 )

i d e a l

= ( 1 0 ) x

r e f

( 4 . 3 6 )

E x p e r i m e n t s i n d i c a t e t h a t p i l o t s l i k e h i g h e r b a n d w i d t h a t h i g h e r s p e e d s ( s m a l l e r t r i m a n g l e s

o f a t t a c k ) a n d l o w e r b a n d w i d t h a t l o w e r s p e e d s ( h i g h e r t r i m a n g l e s o f a t t a c k ) . A d a m p i n g

f a c t o r o f = 0 . 7 a p p e a r s a d e q u a t e f o r m o s t i g h t c o n d i t i o n s 2 5 ] . V a l u e s o f n a t u r a l f r e q u e n c y

7 9


12/19

r a n g e f r o m 2 r a d / s e c a t t h e l o w e s t d y n a m i c p r e s s u r e t o 4 r a d / s e c a t h i g h d y n a m i c p r e s s u r e .

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

_x

r e f

=

0 1

? 1 0 ? 4 6

x

r e f

+

0

1

w

q

+

0

1 0

r

z

q

= ( 6 1 8 ) x

r e f

+ 6

r

w

q

= q

S

z

q

( 4 3 7 )

R o b u s t n e s s s p e c i c a t i o n s s h o u l d a l s o b e i n c l u d e d i n t h e d e s i g n s c h e m e . T y p i c a l l y , i t

w o u l d b e d e s i r e d t o a c c o u n t f o r a c t u a t o r u n c e r t a i n t i e s , n o i s e m e a s u r e m e n t s , a n d p a r a m e t r i c

u n c e r t a i n t i e s . H o w e v e r , t h i s w o u l d i m p l y m a n y w e i g h t i n g f u n c t i o n s a n d c o m p u t a t i o n o f

h i g h o r d e r s c a l i n g s . F o r s i m p l i c i t y a n d n u m e r i c a l t r a c t a b i l i t y , a s i n g l e i n p u t u n c e r t a i n t y

r o b u s t n e s s s i g n a l h a s b e e n i n t r o d u c e d . Y e t , a c o m p l e t e r o b u s t n e s s a n a l y s i s i s p r e s e n t e d i n

n e x t s e c t i o n .

I n o r d e r t o a c h i e v e a h i g h q u a l i t y m o d e l f o l l o w i n g , a t w o f e e d b a c k - l o o p c o n t r o l s t r u c t u r e

h a s b e e n a d o p t e d ( s e e F i g u r e 6 ) .

q,

rWp

W

z

w

zp+

-

+

+

+

-

1-

2-

-

K (q )-

G(q )

K (q )

Ref(q )

S

S

S

S

F i g u r e 6 : W e i g h t e d S t a n d a r d P l a n t

T h e n , r e p l a c i n g G ( q ) a n d R e f ( q ) b y t h e e q u a t i o n s 3 . 2 7 a n d 4 . 3 7 , a n L P V s y n t h e s i s

p l a n t i s e a s i l y d e r i v e d . T h e m i x e d \ L P V - " t e c h n i q u e ( s e e S e c t i o n 2 ) h a s t h e n b e e n a p p l i e d

t o t h e w e i g h t e d p l a n t . T h e w e i g h t s W

p

a n d W

a r e u s e d t o a d d r e s s t h e u s u a l p e r f o r -

m a n c e / r o b u s t n e s s t r a d e o . T h e r e f o r e , a l o w p a s s l t e r i s c h o s e n f o r W

p

a n d a h i g h p a s s l t e r

f o r W

( s e e F i g u r e 7 ) . T h e d i e r e n t p a r a m e t e r s ( b a n d w i t h , c u t - o f r e q u e n c y , s t a t i c g a i n s ,

e t c . ) h a v e b e e n a d j u s t e d a f t e r s e v e r a l i t e r a t i o n s .

8 0


13/19

101

100

101

102

103

104

103

102

101

100

101

Frequency

Magnitude

Wrob

Wperf

F i g u r e 7 : W e i g h t i n g F u n c t i o n s

A s s h o w n o n F i g u r e 8 , t h e i n i t i a l b o u n d o n t h e L

2

- i n d u c e d n o r m o f t h e p l a n t i s 1 9 1

T h e n , d y n a m i c s c a l i n g s D

p e r f

( s ) a n d D

r o b

( s ) a r e c o m p u t e d f o r t h e p e r f o r m a n c e a n d i n p u t

u n c e r t a i n t y s i g n a l s r e s p e c t i v e l y ( s e e F i g u r e 9 ) . A n e w L P V c o n t r o l l e r o f t h e 8 t h o r d e r i s

t h u s o b t a i n e d f o r w h i c h t h e b o u n d i s l e s s t h a n o n e ( F i g u r e 8 ) .

101

100

101

102

103

104

100

Frequency (rad/sec)

Mag

nitude

Hinf Norm

Scaled Hinf Norm

F i g u r e 8 : I n i t i a l a n d S c a l e d L

2

- i n d u c e d n o r m b o u n d s

8 1


14/19

101

100

101

102

103

104

101

100

101

102

Frequency (rad/sec)

Magnitude

Dperf

Drob

F i g u r e 9 : S c a l i n g F u n c t i o n s

5 N u m e r i c a l R e s u l t s a n d S i m u l a t i o n s

5 . 1 R o b u s t n e s s A n a l y s i s

A s m e n t i o n n e d a b o v e , r o b u s t n e s s s p e c i c a t i o n s h a v e n o t a l l b e e n c o n s i d e r e d i n t h e s y n t h e s i s

d e s i g n . Y e t , t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m b e h a v i o r s h o u l d n o t b e a e c t e d o v e r m u c h b y a c t u a t o r

u n c e r t a i n t i e s , n o i s e m e a s u r e m e n t s a n d p a r a m m e t r i c u n c e r t a i n t i e s . I n t h i s p a r a g r a p h a

a n a l y s i s o n t h e p e r t u r b e d s y s t e m o f F i g u r e 1 0 i s p e r f o r m e d .

G(q )-

S

qu

W

W

Wu

q q

u

A,B

F i g u r e 1 0 : R o b u s t n e s s s p e c i c a t i o n s

W e i g h t s W

( s ) , W

q

( s ) a n d W

u

( s ) a r e u s e d t o s p e c i f y t h e p e r t u r b a t i o n s b o u n d s v e r s u s

f r e q u e n c y ( s e e F i g u r e 1 1 ) . P a r a m e t r i c u n c e r t a i n t i e s (

A B

) t h e o r e t i c a l l y d e p e n d o n q . F o r

s i m p l i c i t y , t h e w o r s e c a s e , a s g i v e n i n T a b l e 1 , h a s b e e n r e t a i n e d :

8 2


15/19

Z M M q Z eM

e

2% 4% 20% 20% 4%

T a b l e 1 : P a r a m m e t r i c U n c e r t a i n t i e s

102

101

100

101

102

103

104

106

105

104

103

102

101

100

101

102

Frequency

Magnitude

W_alpha

W_q

W_u

F i g u r e 1 1 : I n p u t / O u p u t p e r t u r b a t i o n w e i g h t s

T h e s t r u c t u r e d s i n g u l a r v a l u e ( s s v ) p l o t s p r e s e n t e d b e l o w ( s e e F i g u r e 1 2 ) c o r r e s p o n d t o

t h e p e r t u r b a t i o n s a n d u n c e r t a i n t i e s p r e v i o u s l y d e s c r i b e d . T h e p e r f o r m a n c e s i g n a l ( s h a p e d b y

W

p

( s ) ) h a s b e e n l e f t f o r t h e a n a l y s i s . T h u s , a s t h e s s v r e m a i n b o u n d e d b y o n e , p e r f o r m a n c e

r o b u s t n e s s i s a c h i e v e d f o r e a c h v a l u e q . F i g u r e 1 2 g i v e s o n l y t w o p l o t s f o r c l a r i t y . I t m u s t

b e n o t i c e d h e r e , t h a t a p a r a m e t e r v a r y i n g a n a l y s i s ( u s i n g c o n s t a n t s c a l i n g s f o r t h e b l o c k

a s s o c i a t e d w i t h q ) w o u l d g i v e a m o r e p r e c i s e i n f o r m a t i o n a b o u t p e r f o r m a n c e r o b u s t n e s s .

H o w e v e r , t h i s a n a l y s i s , w h i c h c a n n o t b e p e r f o r m e d w i t h t h e c u r r e n t - t o o l b o x , r e q u i r e s t h e

i m p l e m e n t a t i o n o f a v e r y t i m e c o n s u m i n g L M I - b a s e d a l g o r i t h m . M o r e o v e r , d y n a m i c p r e s s u r e

v a r i a t i o n s a r e r a t h e r s l o w . T h u s a \ f r o z e n - p a r a m e t e r " a n a l y s i s , a s s h o w n i n F i g u r e 1 2 g i v e s

a g o o d i n s i g h t .

8 3


16/19

103

102

101

100

101

102

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequency

Magnitude

Low q

High q

F i g u r e 1 2 : s s v p l o t s

5 . 2 N o n l i n e a r S i m u l a t i o n s

T h i s l a s t p a r a g r a p h p r e s e n t n o n l i n e a r s i m u l a t i o n s . T h e y h a v e b e e n p e r f o r m e d u s i n g e q u a -

t i o n s o f p a r a g r a p h 3 . 1 a n d t h e s t a n d a r d a t m o s p h e r e m o d e l . A c t u a t o r a n d s e n s o r m o d e l s ,

w h i c h c a n b e f o u n d i n 2 6 ] , h a v e a l s o b e e n i m p l e m e n t e d .

I n F i g u r e 1 3 , u n i t s t e p i n p u t s r e s p o n s e s ( s o l i d l i n e s ) a r e p l o t t e d f o r d i e r e n t i g h t c o n -

d i t i o n s w h i c h c o r r e s p o n d t o l o w ( 4 7 p s f ) , m e d i u m ( 6 0 0 p s f ) a n d h i g h ( 9 9 8 p s f ) v a l u e s o f t h e

d y n a m i c p r e s s u r e . T h e r e f e r e n c e c o m m a n d s t o b e f o l l o w e d a p p e a r a s d a s h e d l i n e s . T h e g u r e

c l e a r l y i l l u s t r a t e s t h e r e f e r e n c e m o d e l v a r i a t i o n s w i t h q a n d t h e h i g h q u a l i t y o f t h e t r a c k i n g

a c h i e v e d i n e a c h c a s e . T h e e l e v a t o r c o m m a n d s f o r t h e t h r e e i g h t c o n d i t i o n s a r e s h o w n i n

t h e l a s t s u b p l o t o f t h e g u r e . P o s i t i o n ( ? 2 4

1 0 5

] ) a n d r a t e ( ? 6 0

= s e c + 6 0

= s e c ] ) l i m i t s

a r e r e s p e c t e d . D u r i n g t h e s e s h o r t s i m u l a t i o n s , t h e d y n a m i c p r e s s u r e d o e s n o t s i g n i c a n t l y

v a r y a n d t h e c o n t r o l l e r r e m a i n s a l m o s t c o n s t a n t i n e a c h c a s e .

F i g u r e 1 4 s h o w s a n o n l i n e a r p a r a m e t e r - v a r y i n g s i m u l a t i o n . I n t h i s c a s e , a n a n g l e o f

a t t a c k s t e p o f m a g n i t u d e 4 d e g r e e s i s a p p l i e d f o r 2 s e c o n d s . A s t h e t h r u s t i s l e f t c o n s t a n t ,

t h e s p e e d a n d t h e d y n a m i c p r e s s u r e d e c r e a s e ( s e e t h e c o r r e s p o n d i n g s u b p l o t ) . T h e c o n t r o l l e r

i s t h u s s c h e d u l e d i n r e a l - t i m e . A t t i m e t = 3 s e c , a n e w s t e p i s a p p l i e d t o m a k e t h e a n g l e o f

a t t a c k g o b a c k t o i t s i n i t i a l t r i m v a l u e . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t a c o n s t a n t c o n t r o l l e r

( w h i c h i s o b t a i n e d b y f r e e z i n g t h e p r e s s u r e a t i t s i n i t i a l v a l u e ) w o u l d n o t g i v e a s a t i s f a c t o r y

r e s p o n s e i n t h e s e c o n d p a r t o f t h e s i m u l a t i o n .

8 4


17/19

0 1 2 3 42

1.5

1

0.5

0

0.5

time (sec)

elevator(deg)

__ low

med

.. high

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time (sec)

alpha(deg)

high pressure

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time (sec)

alpha(deg)

low pressure

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time (sec)

alpha(deg)

med pressure

F i g u r e 1 3 : N o n l i n e a r s t e p r e s p o n s e s

0 2 4 60

1

2

3

4

5

time (sec)

alpha(deg)

0 2 4 62

0

2

4

6

8

time (sec)

q(deg/sec)

0 2 4 6740

760

780

800

820

840

time (sec)

pressure

(psf)

0 2 4 61.5

1

0.5

0

0.5

time (sec)

elevator

(deg)

F i g u r e 1 4 : N o n l i n e a r p a r a m e t e r v a r y i n g s i m u l a t i o n s

6 C o n c l u s i o n

A n L P V / t e c h n i q u e h a s b e e n p r e s e n t e d a n d a p p l i e d t o t h e d e s i g n o f l o n g i t u d i n a l i g h t

c o n t r o l s y s t e m f o r a h i g h p e r f o r m a n c e a i r c r a f t . N o n l i n e a r s i m u l a t i o n s s h o w t h a t t h e m e t h o d

y i e l d s g o o d d y n a m i c r e s p o n s e f o r t h e e x a m p l e c o n s i d e r e d . T h e c o n t r o l l e r i s o f r e l a t i v e l y l o w

8 5


18/19

o r d e r a n d i s s e l f s c h e d u l e d w i t h r e s p e c t t o i g h t c o n d i t i o n s ( i n t h i s c a s e d y n a m i c p r e s s u r e ) .

T h e r e s u l t s a p p e a r t o b e s u c i e n t l y p r o m i s i n g t o w a r r a n t f u r t h e r s t u d y o f t h i s m e t h o d f o r

a p p l i c a t i o n s t o i g h t c o n t r o l d e s i g n s .

R e f e r e n c e s

1 ] S . A . S n e l l , D . F . E n n s , a n d W . L . G a r r a r d , \ N o n l i n e a r i n v e r s i o n i g h t c o n t r o l f o r a

s u p e r m a n e u v e r a b l e a i r c r a f t " , i n p r o c e e d i n g s o f A I A A G u i d . N a v a n d C o n t r . C o n f . , p p .

8 0 8 { 8 2 5 , W a s h i n g t o n , D C , A u g u s t 1 9 9 0 .

2 ] J . R e i n e r , G . J . B a l a s , a n d W . L . G a r r a r d , \ D e s i g n o f a i g h t c o n t r o l s y s t e m f o r a h i g h l y

m a n e u v e r a b l e a i r c r a f t u s i n g s y n t h e s i s " , i n p r o c e e d i n g s o f A I A A G u i d . N a v a n d C o n t r .

C o n f . , p p . 7 1 0 { 7 1 9 , M o n t e r e y , C A , A u g u s t 1 9 9 3 .

3 ] R . J . A d a m s , J . M . B u n g t o n , A . G . S p a r k s , a n d S . B a n d a , R o b u s t m u l t i v a r i a b l e i g h t

c o n t r o l , A d v a n c e s i n i n d u s t r i a l c o n t r o l . S p r i n g e r - V e r l a g , L o n d o n , 1 9 9 4 .

4 ] S . H o u g u i , G . J . B a l a s , a n d W . L . G a r r a r d , \ D e s i g n o f a r o b u s t d y n a m i c i n v e r s i o n

l a t e r a l / d i r e c t i o n a l i g h t c o n t r o l l e r " , i n p r o c e e d i n g s o f A I A A G u i d . N a v . a n d C o n t r .

C o n f . , A u g u s t 1 9 9 5 .

5 ] J . K r a u s e , M . J a c k s o n , J . C l o u t i e r , J . E v e r s , a n d R . W i l s o n , \ A n a d a p t i v e a u t o p i l o t

f o r a e x i b l e a i r - t o - a i r m i s s i l e " , i n p r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f . o n D e c i s i o n C o n t r . , p p .

3 0 0 2 { 3 0 0 7 , B r i g h t o n , U K , 1 9 9 1 .

6 ] P . B e n d o t t i a n d M . S a a d , \ A s k i d - t o - t u r n m i s s i l e a u t o p i l o t d e s i g n : T h e g e n e r a l i z e d

p r e d i c t i v e a d a p t i v e c o n t r o l a p p r o a c h " , I n t . J . A d a p t i v e C o n t r . a n d S i g . P r o c e s s , v o l . 7 ,

p p . 1 3 { 3 1 , 1 9 9 3 .

7 ] G . J . B a l a s a n d A . P a c k a r d , \ D e s i g n o f r o b u s t t i m e - v a r y i n g c o n t r o l l e r s f o r m i s s i l e a u -

t o p i l o t " , i n p r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f e r e n c e , p p . 1 0 4 { 1 1 0 , D a y t o n , O H , 1 9 9 2 .

8 ] J . F . S h a m m a a n d J - R . C l o u t i e r , \ A l i n e a r p a r a m e t e r - v a r y i n g a p p r o a c h t o g a i n -

s c h e d u l e d m i s s i l e a u t o p i l o t d e s i g n " , i n p r o c e e d i n g s o f A C C , p p . 1 3 1 7 { 1 3 2 1 , J u n e 1 9 9 2 .

9 ] W . M . L u a n d J . C . D o y l e , \ H 1 c o n t r o l o f L F T s y s t e m s : a n L M I a p p r o a c h " , i n

p r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f . o n D e c i s i o n C o n t r . , p p . 1 9 9 7 { 2 0 0 1 , T u c s o n , A R , 1 9 9 2 .

1 0 ] A . P a c k a r d , \ G a i n s c h e d u l i n g v i a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n f o r m a t i o n s " , S y s t . C o n t r . L e t t . ,

v o l . , o c t o b e r 1 9 9 3 .

1 1 ] P . A p k a r i a n a n d P . G a h i n e t , \ A c o n v e x c h a r a c t e r i z a t i o n o f g a i n - s c h e d u l e d H 1 C o n -

t r o l l e r s " , I E E E T r a n s A u t o m a t . C o n t r . , v o l . 4 0 , p p . 8 5 3 { 8 6 4 , M a y 1 9 9 5 .

1 2 ] P . A p k a r i a n , J - M . B i a n n i c , a n d P . G a h i n e t , \ S e l f - s c h e d u l e d H 1 c o n t r o l o f m i s s i l e v i a

l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s " , J o u r n a l o f G u i d . C o n t r . a n d D y n . , v o l . 1 8 , p p . 5 3 2 { 5 3 8 ,

M a y - J u n e 1 9 9 5 .

8 6


19/19

1 3 ] G . B e c k e r , A . P a c k a r d , D . P h i l b r i c k , a n d G . B a l a s , \ C o n t r o l o f p a r a m e t r i c a l l y -

d e p e n d e n t l i n e a r s y s t e m s : A s i n g l e q u a d r a t i c L y a p u n o v a p p r o a c h " , i n p r o c e e d i n g s o f

A C C , S a n F r a n c i s c o , C A , 1 9 9 3 .

1 4 ] J . M . B i a n n i c , P . A p k a r i a n , a n d L . L e l e t t y , \ A q u a d r a t i c H 1 p e r f o r m a n c e a p p r o a c h t o

g a i n s c h e d u l i n g o f a m i s s i l e a u t o p i l o t " , i n p r o c e e d i n g s o f t h e W o r k s h o p o n V a r . S t r u c t .

a n d L y a p . T e c h . , B e n e v e n t o , I T , s e p t 1 9 9 4 .

1 5 ] J . M . B i a n n i c a n d P . A p k a r i a n , \ A c o n v e x c h a r a c t e r i z a t i o n o f s e l f - s c h e d u l e d H

2

c o n -

t r o l l e r s " , i n p r o c e e d i n g s o f I F A C C o n f e r e n c e o n S y s t e m S t r u c t u r e a n d C o n t r o l , N a n t e s ,

F r . , J u l y 1 9 9 5 .

1 6 ] P . G a h i n e t , A . N e m i r o w s k i i , A . J . L a u b , a n d M . C h i l a l i , \ L M I c o n t r o l t o o l b o x " , M a t h -

w o r k s , N a t i c k , M A , v o l . , 1 9 9 4 .

1 7 ] F . W u , X . H . Y a n g , A . P a c k a r d , a n d G . B e c k e r , \ I n d u c e d L

2

n o r m c o n t r o l f o r L P V

s y s t e m w i t h b o u n d e d p a r a m e t e r v a r i a t i o n r a t e s " , i n p r o c e e d i n g s o f A C C , v o l . 3 , p p .

2 3 7 9 { 2 3 8 3 , S e a t t l e , W A , J u n e 1 9 9 5 .

1 8 ] G . B e c k e r , \ p a r a m e t e r - d e p e n d e n t c o n t r o l o f a n u n d e r - a c t u a t e d m e c h a n i c a l s y s t e m " , i n

S u b m i t t e d t o t h e 3 4 t h C D C , 1 9 9 5 .

1 9 ] G . J . B a l a s , J . C . D o y l e , K . G l o v e r , A . P a c k a r d , a n d R . S m i t h , - A n a l y s i s a n d s y n t h e s i s

t o o l b o x : U s e r ' s G u i d e , T h e M a t h W o r k s , I n c . , a p r i l 1 9 9 1 .

2 0 ] R . L i n d , G . J . B a l a s , a n d A . P a c k a r d , \ R o b u s t n e s s a n a l y s i s w i t h l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t

a n d t i m e - v a r y i n g r e a l u n c e r t a i n t y " , i n p r o c e e d i n g s o f A I A A C o n f e r e n c e , p p . 1 3 2 { 1 4 0 ,

B a l t i m o r e , U S A , J u l y 1 9 9 5 .

8 7

Documents

LPV control of High Performance Aircrafts