Loren C. Larson - Problem Solving Through Problems [OCR]

8/18/2019 Loren C. Larson - Problem Solving Through Problems [OCR]

1/342

Problem Books in Mathemat ics

S e r i e s E d i t o r : P . R . H a l m o s

Unsolved Problems in Intuit ive Mathematics, Volume I:

Unsolved Problems in Number Theory

by Richard K. Guy

1981. xviii, 161 pages. 17 illus.

Theorem s and Problem s in Functional A nalysis

by A. A. Kiriliov andA .D. Gvishiani ( t r an s . Harold H . McFa dert)

1982. ix, 347 pages. 6 il lus.

Problems in Analysis

by Bernard Getbaum

1982. vii , 228 pages. 9 il lus.

A Problem Seminar

by Donald J. Newm an

1982. viii, 113 pages.

Problem-Solv ing Through Problems

by Loren C. Larson

1983. xi, 344 pages. 104 illus.


2/342


3/342


4/342

To Elizabeth


5/342


6/342

Preface

The pu rpose o f t h i s book i s t o i so l a t e and d raw a t t en t ion to t he mos t

i m p o r t a n t p r o b l e m - s o l v i n g t e c h n i q u e s t y p i c a l l y e n c o u n t e r e d i n u n d e r g r a d u -

a t e mathemat i cs and to i l l u s t r a t e t he i r u se by in t e res t ing examples and

p rob lems no t eas i ly found in o ther sou rces . Each sec t ion f ea tu res a s ing le

idea , t he pow er an d ver sa t i li t y o f wh ich is de m on s t r a t e d in the ex am ples

and re in fo rced in t he p rob lems . The book se rves as an in t roduc t ion and

gu ide to t he p rob lems l i t e ra tu re ( e .g . , a s found in t he p rob lems sec t ions o f

u n d e r g r a d u a t e m a t h e m a t i c s j o u r n a l s ) a n d a s a n e a s il y a c c e s s e d r e f e r e n c e of

e s s e n t i a l k n o w l e d g e f o r s t u d e n t s a n d t e a c h e r s o f m a t h e m a t i c s .

T h e b o o k is b o t h a n a n t h o l o g y o f p r o b l e m s a n d a m a n u a l o f i n s t r u c t i o n .

I t con ta in s over 700 p ro b le m s , over one- th i rd o f wh ic h a re work ed in de t a i l .

E a c h p r o b l e m i s c h o s e n f o r it s n a t u r a l a p p e a l a n d b e a u t y , b u t p r i m a r i l y f o r

i t s un ique cha l l enge . Each i s i nc luded to p rov ide the con tex t fo r i l l u s t r a t i ng

a g i v e n p r o b l e m - s o l v i n g m e t h o d . T h e a i m t h r o u g h o u t i s t o s h o w h o w a

bas i c se t o f s imp le t echn iques can be app l i ed in d iver se ways to so lve an

e n o r m o u s v a r i e t y o f p r o b l e m s . W h e n e v e r p o s s i b l e , p r o b l e m s w i t h i n s e c t i o n s

a r e c h o s e n t o c u t a c r o s s e x p e c t e d c o u r s e b o u n d a r i e s a n d t o t h e r e b y

s t r eng then the ev idence tha t a s ing le i n tu i t i on i s capab le o f b road app l i ca -

t i o n . E a c h s e c t i o n c o n c l u d e s w i t h " A d d i t i o n a l E x a m p l e s " t h a t p o i n t t o

o t h e r c o n t e x t s w h e r e t h e t e c h n i q u e i s a p p r o p r i a t e .

T h e b o o k i s w r i t t e n a t t h e u p p e r u n d e r g r a d u a t e l e v e l . I t a s s u m e s a

r u d i m e n t a r y k n o w l e d g e o f c o m b i n a t o r i c s , n u m b e r t h e o r y , a l g e b r a , a n a l y s i s ,

an d geo me t ry . M u c h o f t he con ten t is access ib l e t o s tu den t s wi th on ly a

year o f ca l cu lu s , and a s i zab le p ropo r t ion does no t even r equ i re t h i s .

However , mos t o f t he p rob lems a re a t a l eve l s l i gh t ly beyond the u sua l

co n ten t s o f t ex tb ook s . Th us , t he ma te r i a l i s e spec i a l ly app r op r i a t e fo r

s t u d e n t s p r e p a r i n g f o r m a t h e m a t i c a l c o m p e t i t i o n s .


7/342

vii i

T h e m e t h o d s a n d p r o b l e m s f e a t u r e d i n t h is b o o k a r e d r a w n f r o m m y

e x p e r i e n c e of s o l v i n g p r o b l e m s a t t h is l e v e l . E a c h n e w is s u e of

The

American Mathematical Monthly ( a n d o t h e r u n d e r g r a d u a t e j o u r n a l s ) c o n -

t a i n s m a t e r i a l t h a t w o u l d b e j u s t right f o r i n c l u s i o n . B e c a u s e t h e s e i d e a s

c o n t i n u e t o f i n d n e w e x p r e s s i o n , t h e r e a d e r s h o u l d r e g a r d t h i s c o l l e c t i o n a s

a s t a r t e r s e t a n d s h o u l d b e e n c o u r a g e d t o c r e a t e a p e r s o n a l f i le of p r o b l e m s

a n d s o l u t i o n s t o e x t e n d th i s b e g i n n i n g i n b o t h b r e a d t h a n d d e p t h . O b v i -

o u s l y , w e c a n n e v e r h o p e t o d e v e l o p a " s y s t e m " f o r p r o b l e m - s o l v i n g ;

h o w e v e r , t h e a c q u i r i n g o f i d e a s is a v a l u a b l e e x p e r i e n c e a t a ll s t a g e s of

d e v e l o p m e n t .

M a n y o f t h e p r o b l e m s in t h is b o o k a r e o l d a n d p r o p e r r e f e r e n c i n g is v e r y

d i f f i c u l t . I h a v e g i v e n s o u r c e s f o r t h o s e p r o b l e m s t h a t h a v e a p p e a r e d m o r e

r e c e n t l y in t h e l i t e r a t u r e , c i ti n g c o n t e s t s w h e n e v e r p o s s i b l e . I w o u l d a p p r e c i -

a t e r e c e i v i n g e x a c t r e f e r e n c e s f o r t h o s e I h a v e n o t m e n t i o n e d .

I w i s h t o t a k e t h i s o p p o r t u n i t y t o e x p r e s s m y t h a n k s t o c o l l e a g u e s a n d

s t u d e n t s w h o h a v e s h a r e d m a n y h o u r s of e n j o y m e n t w o r k i n g o n t h e s e

p r o b l e m s . I n t h i s r e g a r d I a m p a r t i c u l a r l y g r a t e f u l t o O . E . S t a n a i t i s ,

P r o f e s s o r E m e r i t u s of S t . O l a f C o l l e g e . T h a n k s t o S t . O l a f C o l l e g e a n d t h e

M e l l o n F o u n d a t i o n f o r p r o v i d i n g t w o s u m m e r g r a n t s t o h e l p s u p p o r t t h e

w r i t i n g o f t h is m a n u s c r i p t . F i n a l l y , t h a n k s t o a ll i n d i v i d u a l s w h o c o n t r i b -

u t e d b y p o s i n g p r o b l e m s a n d s h a r i n g s o l u t i o n s . S p e c ia l a c k n o w l e d g e m e n t

g o e s t o M u r r a y s . K l a m k i n w h o f o r o v e r a q u a r t e r of a c e n t u r y h a s s t o o d

a s a g i a n t i n t h e a r e a of p r o b l e m - s o l v i n g a n d f r o m w h o s e p r o b l e m s a n d

s o l u t i o n s I h a v e l e a r n e d a g r e a t d e a l .

M a r c h 2 1 , 1 9 8 3

L O R E N C . L A R S O N


8/342

C o n t e n t s

Chapter 1. Heu ristics 1

1.1. Se arch fo r a Pa t te rn 2

1 .2 . D r a w a F i g u r e 9

1 .3 . F o r m u l a t e a n E q u i v a l e n t P r o b l e m 15

1 .4 . M o d i f y t h e P r o b l e m 2 2

1 .5 . C h o o s e E f f e c t i v e N o t a t i o n 2 5

1 .6 . Exp lo i t Sy m m et ry 30

1 .7 . Div ide i n to Ca ses 36

1 .8 . W o r k B a c k w a r d 4 0

1 .9 . A r g u e b y C o n t r a d i c t i o n 4 5

1 .10 . Pu rsu e Pa r i t y 47

1 .1 1. C o n s i d e r E x t r e m e C a s e s 5 0

1 .12. G ene ra l i ze 54

Chapter 2. Tw o Important Principles: Induction and Pigeo nh ole 58

2 . 1 . I n d u c t i o n : B u i l d o n

P{k)

58

2 . 2 . I n d u c t i o n : S e t U p

P(k

+ 1 ) 6 4

2 . 3 . S t r o n g I n d u c t i o n 6 7

2 . 4 . I n d u c t i o n a n d G e n e r a l i z a t io n 6 9

2 . 5 . R e c u r s i o n 7 4

2 .6 . P ige onh ole Pr inc ip l e 79

Chapter 3. Arithm etic

3 .1 . Grea tes t C om m on Div i sor

3 .2 . M odu lar Ar i thmet i c

8 4

8 4

91


9/342

X Contents

3 .3 - U n i q u e F a c t o r i z a t i o n 1 00

3 . 4 . P o s i t i o n a l N o t a t i o n 1 06

3 .5 . A r i t h m e t i c o f C o m p l e x N u m b e r s 1 14

C h a pter 4 . A l g ebra 1 2 0

4 . 1 . A l g e b r a i c I d e n t i t i e s 1 21

4 . 2 . U n i q u e F a c t o r i z a t i o n o f P o l y n o m i a l s 1 25

4 . 3 . T h e I d e n t i t y T h e o r e m 1 32

4 . 4 . A b s t r a c t A l g e b r a 1 4 4

C h a p t e r 5 . S u m m a t i o n o f S e r i e s 1 5 4

5 . 1. B i n o m i n a l C o e f f i c i e n t s 1 5 4

5 . 2. G e o m e t r i c S e r i e s 1 6 4

5 . 3 . T e l e s c o p i n g S e r i e s 1 7 0

5 . 4 . P o w e r S e r i e s 1 7 6

C ha pter 6 . I n term edi a te R e a l A n a l y s i s 1 9 2

6 .1 . C o n t i n u o u s F u n c t i o n s 1 92

6 .2 . T h e I n t e r m e d i a t e - V a l u e T h e o r e m 1 98

6 . 3 . T h e D e r i v a t i v e 2 0 3

6 .4 . T h e E x t r e m e - V a l u e T h e o r e m 2 0 6

6 . 5 . R o l l e ' s T h e o r e m 2 1 0

6 .6 . T h e M e a n V a l u e T h e o r e m 2 1 6

6 . 7 . L ' H o p i t a l ' s R u l e 2 2 5

6 . 8 . T h e I n t e g r a l 2 2 7

6 .9 . T h e F u n d a m e n t a l T h e o r e m 2 3 4

C h a pter 7 . I nequ a l i t i e s 2 4 1

7 . 1 . B a s i c I n e q u a l i t y P r o p e r t i e s 2 4 1

7 .2 . A r i t h m e t i c - M e a n - G e o m e t r i c - M e a n I n e q u a l i t y 2 4 8

7 .3 . C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y 2 5 4

7 .4 . F u n c t i o n a l C o n s i d e r a t i o n s 2 5 9

7 . 5 . I n e q u a l i t i e s b y S e r i e s 2 6 8

7 . 6. T h e S q u e e z e P r i n c i p l e 2 7 1

C h a p t e r 8 . G e o m e t r y 2 8 0

8 . 1 . C l a s s i c a l P l a n e G e o m e t r y 2 8 0

8 . 2 . A n a l y t i c G e o m e t r y 2 9 1

8 .3 . V e c t o r G e o m e t r y 2 9 9

8 .4 . C o m p l e x N u m b e r s i n G e o m e t r y 3 1 2


10/342

Contents xi

G l o s s a r y o f S y m b o l s a n d D e f i n i t i o n s 3 1 7

S o u r c e s 3 1 9

I n d e x 3 3 1


11/342

Chapter 1. Heuristics

St ra tegy o r t ac t i cs in p rob lem-so lv ing i s ca l l ed

heuristics.

In th i s chap ter we

wi l l be concerned wi th the heu r i s t i cs o f so lv ing mathemat ica l p rob lems .

T h o s e w h o h a v e t h o u g h t a b o u t h e u r i s t i c s h a v e d e s c r i b e d a n u m b e r o f b a s i c

ideas tha t a re typ ica l ly u sefu l . Among these , we sha l l focus on the fo l low-

ing:

(1 ) Search fo r a pa t t e rn .

(2 ) Draw a f igu re .

( 3 ) F o r m u l a t e a n e q u i v a l e n t p r o b l e m .

( 4 ) M o d i f y t h e p r o b l e m .

(5 ) Choose e f fec t ive no ta t ion .

(6 ) Exp lo i t symmet ry .

(7 ) Div ide in to cases .

( 8 ) W o r k b a c k w a r d .

( 9 ) A r g u e b y c o n t r a d i c t i o n .

(10 ) Pu rsue par i ty .

(11 ) Cons ider ex t reme cases .

(12 ) Genera l i ze .

Our in te res t in th i s l i s t o f p rob lem-so lv ing ideas i s no t in the i r descr ip -

t ion bu t in the i r imp lemen ta t ion . By look ing a t examples o f how o thers

have u sed these s imp le bu t powerfu l ideas , we can expec t to improve ou r

p rob lem-so lv ing sk i l l s .

Befo re beg inn ing , a word o f adv ice abou t the p rob lems a t the end o f the

sec t ions : D o no t be over ly conc erne d abo u t u s ing the heu r i s t i c t rea t ed in

tha t s ec t ion . Al though the p rob lems a re chosen to g ive p rac t i ce in the u se

o f the heu r i s t i c , a narro w focu s ma y be p sycho log ica l ly deb i l i t a t in g . ' A

s ing le p rob lem usua l ly admi t s severa l so lu t ions , o f t en emp loy ing qu i t e


12/342

2 t. Heuristics

d i f f e r e n t h e u r i s t ic s . T h e r e f o r e , i t i s b e s t to a p p r o a c h e a c h p r o b l e m w i t h a n

o p e n m i n d r a t h e r t h a n w i t h a p r e c o n c e i v e d n o t i o n a b o u t h o w a p a r t i c u l a r

h e u r i s t i c s h o u l d b e a p p l i e d . I n w o r k i n g o n a p r o b l e m , s o l v i n g i t i s w h a t

m a t t e r s . I t is t h e a c c u m u l a t e d e x p e r i e n c e of a l l t h e i d e a s w o r k i n g t o g e t h e r

t h a t w il l r e s u l t i n a h e i g h t e n e d a w a r e n e s s o f t h e p o s s i b i l i t i e s i n a p r o b l e m .

1.1. Search for a Pattern

V i r t u a l l y a l l p r o b l e m s o l v e r s b e g i n t h e i r a n a l y s i s b y g e t t i n g a f e e l f o r t h e

p r o b l e m , b y c o n v i n c i n g t h e m s e l v e s o f t h e p l a u s i b i l i t y o f t h e r e s u l t . T h i s i s

b e s t d o n e b y e x a m i n i n g t h e m o s t i m m e d i a t e s p e c i a l c a s e s ; w h e n t h i s

e x p l o r a t i o n is u n d e r t a k e n in a s y s t e m a t i c w a y , p a t t e r n s m a y e m e r g e t h a t

w i ll s u g g e s t i d e a s f o r p r o c e e d i n g w i t h t h e p r o b l e m .

1 . 1 . 1 . P r o v e t h a t a s e t o f n ( d i f f e r e n t ) e l e m e n t s h a s e x a c t l y 2 " ( d i f f e r e n t )

s u b s e t s .

W h e n t h e p r o b l e m is s e t i n t h is i m p e r a t i v e f o r m , a b e g i n n e r m a y p a n i c

a n d n o t k n o w h o w t o p r o c e e d . S u p p o s e , h o w e v e r , t h a t th e p r o b l e m w e r e

c a s t a s a q u e r y , s u c h a s

( i) H o w m a n y s u b s e t s c a n b e f o r m e d f r o m a s e t o f n o b j e c t s ?

( ii ) P r o v e o r d i s p r o v e : A s e t w i t h n e l e m e n t s h a s 2" s u b s e t s .

I n e i t h e r o f t h e s e f o r m s t h e r e is a l r e a d y t h e i m p l i c i t s u g g e s t i o n t h a t o n e

s h o u l d b e g i n b y c h e c k i n g o u t a f e w s p e c i a l c a s e s . T h i s i s h o w e a c h p r o b l e m

s h o u l d b e a p p r o a c h e d : r e m a i n s k e p t ic a l of th e r e s u l t u n t i l c o n v i n c e d .

S o l u t i o n 1 . W e b e g i n b y e x a m i n i n g w h a t h a p p e n s w h e n th e se t c o n t a i n s

0 , 1 , 2 , 3 e l e m e n t s ; t h e r e s u l t s a r e s h o w n i n t h e f o l l o w i n g t a b l e :

E l e m e n t s N u m b e r o f

n

o f

S

S u b s e t s o f

S

s u b s e t s o f

S

0 n o n e 0 1

1 x { 0 , { x , } 2

2 x „ x

2

0 , {AT,}, { x

2

} , { J C „ x

2

} 4

3 * „ x

2

, *

3

0 , { * , } , { * , } , { * „ * , } 8

O u r p u r p o s e i n c o n s t r u c t i n g t h i s t a b l e is not only to verify t h e r e s u l t , b u t

a l s o t o l o o k f o r p a t t e r n s t h a t m i g h t s u g g e s t h o w t o p r o c e e d i n t h e g e n e r a l


13/342


3

c a s e . T h u s , w e a i m t o b e a s s y s t e m a t i c a s p o s s i b l e . I n t h i s c a s e , n o t i c e w h e n

n = 3 , we ha ve l i s t e d f i r s t t he subse t s o f { JC

( )

) a n d t h e n , i n t h e s e c o n d

l i n e , e a c h o f t h e s e s u b s e t s a u g m e n t e d b y t h e e l e m e n t x

3

. T h i s i s t h e k e y

i d e a t h a t a l l o w s u s t o p r o c e e d t o h i g h e r v a l u e s o f n. F o r e x a m p l e , w h e n

n = 4 , t h e s u b s e t s o f S = {x

]t

x

2

,x

3

,x

4

} a r e t h e e i g h t s u b s e t s o f {x

]

,x

2

,x

i

}

( s h o w n i n t h e t a b l e ) t o g e t h e r w i t h t h e e i g h t f o r m e d b y a d j o i n i n g

x

4

t o e a c h

o f t h e s e . T h e s e s i x t e e n s u b s e t s c o n s t i t u t e t h e e n t i r e c o l l e c t i o n o f p o s s i b i l i -

t i e s ; t h u s , a s e t w i t h 4 e l e m e n t s h a s 2

4

( = 1 6) s u b s e t s .

A p r o o f b a s e d o n th i s i d e a i s a n e a s y a p p l i c a t i o n o f m a t h e m a t i c a l

i n d u c t i o n ( s e e S e c t i o n 2 . 1 ).

S o l u t i o n 2 . A n o t h e r w a y t o p r e s e n t t h e i d e a o f t h e l a s t s o l u t i o n i s t o a r g u e

a s f o l l o w s . F o r e a c h n , l e t A„ d e n o t e t h e n u m b e r o f ( d i f f e r e n t ) s u b s e t s o f a

s e t w i t h n ( d i f f e r e n t ) e l e m e n t s . L e t S b e a se t w i t h n + 1 e l e m e n t s , a n d

d e s i g n a t e o n e of it s e l e m e n t s b y

x.

T h e r e i s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e

b e t w e e n t h o s e s u b s e t s o f S w h i c h d o n o t c o n t a i n x a n d t h o s e s u b s e t s t h a t

d o c o n t a i n x ( n a m e l y , a s u b s e t T of t h e f o r m e r ty p e c o r r e s p o n d s t o

T

U { * } ) . T h e f o r m e r t y p e s a r e a l l s u b s e t s o f 5 - { x } , a s e t w i t h

n

e l e m e n t s , a n d t h e r e f o r e , i t m u s t b e t h e c a s e t h a t

T h i s r e c u r r e n c e r e l a t io n , t r u e f o r n = 0 , 1 , 2 , 3 c o m b i n e d w i t h t h e f a c t

t h a t A

0

= 1, i m p l i e s t h a t A„~ 2". (A„ = 2A„^, = 2

2

A„_

2

= ••• = 2 ^ 4

0

= 2" .)

S o l u t i o n 3 . A n o t h e r s y s t e m a t i c e n u m e r a t i o n of s u b s e t s c a n b e c a r r i e d o u t

b y c o n s t r u c t i n g a " t r e e " . F o r t h e c a s e n = 3 a n d S =» th e t re e i s a s

s h o w n b e l o w :

E a c h b r a n c h o f t h e t r e e c o r r e s p o n d s t o a d i s t i n c t s u b s e t o f 5 ( t h e b a r o v e r

t h e n a m e o f t h e e l e m e n t m e a n s t h a t i t i s n o t i n c l u d e d i n t h e s e t c o r r e s p o n d -

i n g to t h a t b r a n c h ) . T h e t r e e i s c o n s t r u c t e d i n t h r e e s t a g e s, c o r r e s p o n d i n g t o

t h e t h r e e e l e m e n t s o f S . E a c h e l e m e n t o f S l e a d s t o t w o p o s s i b i l i t i e s : e i t h e r

i t i s i n t h e s u b s e t o r i t i s n o t , a n d t h e s e c h o i c e s a r e r e p r e s e n t e d b y t w o

b r a n c h e s . A s e a c h e l e m e n t i s c o n s i d e r e d , t h e n u m b e r o f b r a n c h e s d o u b l e s .

A

n+ t

=2A„.

Subset

{a. b, c}

U, bj

{a, c}

{b, c}

{b}

{c}

9


14/342

4

t.

H euristics

T h u s , f o r a t h r e e - e l e m e n t s e t, t h e n u m b e r of b r a n c h e s is 2 x 2 x 2 = 8 . F o r

a n n - e l e m e n t s e t t h e n u m b e r o f b r a n c h e s i s

2 X 2 X

• • •

X 2. - 2" ;

n

t h u s , a s e t w i t h n e l e m e n t s h a s

2"

s u b s e t s .

S o l u t i o n 4 .

S u p p o s e w e e n u m e r a t e s u b s e t s a c c o r d i n g t o t h e i r s iz e . F o r

e x a m p l e , w h e n S = {a,b,c,d} , t h e s u b s e t s a r e

N u m b e r of N u m b e r o f

e l e m e n t s s u b s e t s

0 0 i

1 { 0 } , { 6 } . { c ) , { r f } 4

2

{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d},

{

c , d )

6

3

{a,b,c}, {a,b,d}, \a,c,d), {b,c,d}

4

4 {a,b,c,d} 1

T h i s b e g i n n i n g c o u l d p r o m p t t h e f o l l o w i n g a r g u m e n t . L e t

S

b e a s e t w i th

n e l e m e n t s . T h e n

N o . o f s u b s e t s o f S

1

= 2 s u b s e t s o f S w i t h

k

e l e m e n t s )

T h e f i n a l s t e p i n t h i s c h a i n of e q u a l i t i e s f o l l o w s f r o m t h e b i n o m i a l t h e o r e m ,

u p o n s e t t i n g

x

= 1 a n d

y = 1.

S o l u t i o n 5 .

A n o t h e r s y s t e m a t i c b e g i n n i n g i s i l l u s t r a t e d in T a b l e 1

.1 ,

w h i c h

l i s t s t h e s u b s e t s o f

S

= {X,,JC

2

, JC

3

}. T o u n d e r s t a n d t h e p a t t e r n h e r e , n o t i c e

t h e c o r r e s p o n d e n c e o f s u b s c r i p t s i n t h e l e f t m o s t c o l u m n a n d t h e o c c u r r e n c e

Table 1 .1

Subset

Tr ip le

B in a r y n u m b er D ec im a l n u m b e r

0

( 0 , 0 , 0 )

0

0

{*3>

( 0 , 0 , 1 ) 1 1

< *

2

}

(0 ,1 ,0 ) 10

2

( 0 , 1 , 1 )

11 3

{*,)

( 1 , 0 , 0 )

100

4

(1 ,0 ,1 ) 101 5

( 1 , 1 , 0 )

110 6

( 1 . 1 , 1 )

i n 7


15/342


5

o f l ' s i n t h e s e c o n d c o l u m n o f t r i p l e s . S p e c i f i c a l l y , if A i s a su bs e t o f

5 = { x „ x

2

, . . . , x „ l , d e f i n e a , , t o r

i

= 1 , 2 , . . . . n , b y

f l if a , < = A ,

a, = i

' [ O if a,£A.

I t i s c l e a r t h a t w e c a n n o w i d e n t i f y a s u b s e t A o f S w i t h ( o j , a

2

,. . . , a„), a n

n - t u p l e o f O 's a n d l ' s . C o n v e r s e l y , e a c h s u c h n - t u p l e w i l l c o r r e s p o n d t o a

u n i q u e s u b s e t o f S. T h u s , t h e n u m b e r o f s u b s e t s o f 5 i s e q u a l t o t h e

n u m b e r of n - t u p l e s o f O 's a n d l ' s . T h i s l a t t e r s et is o b v i o u s l y i n o n e - t o - o n e

c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e s e t o f n o n n e g a t i v e b i n a r y n u m b e r s le s s t h a n 2 " .

T h u s , e a c h n o n n e g a t i v e i n te g e r l es s t h a n 2" c o r r e s p o n d s t o e x a c t l y o n e

s u b s e t o f S, a n d c o n v e r s e l y . T h e r e f o r e , i t m u s t b e t h e c a s e t h a t S h a s 2"

s u b s e t s .

N o r m a l l y , w e w i ll g i v e o n l y o n e s o l u t i o n t o e a c h e x a m p l e — a s o l u t i o n

w h i c h s e r v e s t o i l l u s t r a t e t h e h e u r i s t i c u n d e r c o n s i d e r a t i o n . I n t h i s f i r s t

e x a m p l e , h o w e v e r , w e s i m p l y w a n t e d t o r e i t e r a t e t h e e a r l i e r c l a i m t h a t a

s i n g l e p r o b l e m c a n u s u a l l y b e w o r k e d i n a v a r i e t y of w a y s . T h e l e s s o n t o b e

l e a r n e d i s t h a t o n e s h o u l d r e m a i n f l e x i b l e i n t h e b e g i n n i n g s t a g e s o f

p r o b l e m e x p l o r a t i o n . If a n a p p r o a c h d o e s n ' t s e e m t o l e a d a n y w h e r e , d o n ' t

d e s p a i r , b u t s e a r c h f o r a n e w i d e a . D o n ' t g e t f i x a t e d o n a s in g l e i d e a u n t i l

y o u ' v e h a d a c h a n c e t o t h i n k b r o a d l y a b o u t a v a r i e t y o f a l t e r n a t i v e

a p p r o a c h e s .

1 . 1 . 2 . L e t S„

0

, 5 „ , i , a n d S „

2

d e n o t e t h e s u m o f e v e r y t h i r d e l e m e n t i n t h e

n t h r o w o f P a s c a l ' s T r i a n g l e , b e g i n n i n g o n t h e l e f t w i t h t h e f i rs t e l e m e n t ,

t h e s e c o n d e l e m e n t , a n d t h e t h i r d e l e m e n t r es p e c t i v e ly . M a k e a c o n j e c t u r e

c o n c e r n i n g t h e v a l u e o f S

1 0 0 J

.

S o l u t i o n . W e b e g i n b y e x a m i n i n g l o w - o r d e r c a se s w i t h t h e h o p e o f f i n d i n g

p a t t e r n s t h a t m i g h t g e n e ra l i z e. I n T a b l e 1 .2 , t h e n o n u n d e r l i n e d t e r m s a r e

t h o s e w h i c h m a k e u p t h e s u m m a n d s o f t h e s i ng l y u n d e r l i n e d a n d

1 2 i 2 I 2 - 1

1 3 1 1 3 2 " 3 3

1 4 6 4 ] 4 5 5 6

+

1 5 1 2 10 5 i 5 11 10 " II

J k £ 1 5 2 0 1 5 £ 1 6 22* 21 21

I 7 21. 35 35 21 7 i 7 4 3 4 3 4 2 "

i ^ i

1

—

1


16/342

6

t.

H euristics

d o u b l y u n d e r l i n e d t e r m s a r e t h o s e o f a n d

S

n2

,

r e s p e c t i v e l y . T h e t h r e e

c o l u m n s o n t h e right s h o w t h a t , i n e a c h c a s e , t w o o f t h e s u m s a r e e q u a l ,

w h e r e a s t h e t h i r d i s e i t h e r o n e l a r g e r ( i n d i c a t e d b y a s u p e r s c r i p t + ) o r o n e

s m a l l e r ( i n d i c a t e d b y a s u p e r s c r i p t — ) . I t a l s o a p p e a r s t h a t t h e u n e q u a l

t e r m i n t h i s s e q u e n c e c h a n g e s w i t h i n a c y c l e o f s ix . T h u s , f r o m t h e p a t t e r n

e s t a b l i s h e d i n t h e f i rs t r o w s , w e e x p e c t t h e a n o m a l y f o r n = 8 t o o c c u r i n

t h e m i d d l e c o l u m n a n d it w il l b e o n e ' ^ ^ t h a n t h e o t h e r t w o .

W e k n o w t h a t S „ # + 5

b J

+ S „

a

= 2 " ( se e 1 .1 .1) . S i nc e 100 = 6 x 16 + 4 ,

w e e x p e c t t h e u n e q u a l t e r m t o o c c u r i n t h e t h i r d c o l u m n (S 10 0.2 ) a n d t o b e

o n e m o r e t h a n t h e o t h e r tw o . T h u s

S

l000

= Sioo.i = ^100,2

-

a n d 5

| 0 0

, +

Sioo,i

+

S |oo. i

+

1

=

2

J 0

° . F r o m t h e s e e q u a t i o n s w e a r e l e d t o c o n j e c t u r e

t h a t '

S

l Q M

= i

-

1

A f o r m a l p r o o f o f t h is c o n j e c t u r e i s a s t r a i g h t f o r w a r d

application of

m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n ( se e C h a p t e r 2 ).

1 . 1 3 .

Lttx

it

x

2

,x

3

,... b e a s e q u e n c e o f n o n z e r o r e a l n u m b e r s s a t i s f y i n g

E s t a b l i s h n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o n x

t

a n d x

2

f o r x„ t o b e a n

i n t e g e r f o r i n f i n i t e l y m a n y v a l u e s o f n .

S o l u t i o n .

T o g e t a f e e l f o r t h e s e q u e n c e , w e w i ll c o m p u t e t h e f i r s t f e w t e r m s ,

e x p r e s s i n g t h e m i n t e r m s o f x, a n d x

2

. W e h a v e ( o m i t t i n g t h e a l g e b r a )

- '

4

3*i - 2X

2

'

x,x

2

W e a r e f o r t u n a t e in t h i s p a r t i c u l a r i n s t a n c e t h a t t h e c o m p u t a t i o n s a r e

m a n a g e a b l e a n d a p a t t e r n e m e r g e s . A n ea s y i n d u c t i o n a r g u m e n t e s t a b l i s h e s

t h a t

- ( n — I ) * , — ( n — 2 ) x

2

'

w h i c h , o n i s o l a t i n g t h e c o e f f i c i e n t o f n, t a k e s t h e f o r m

* I * J

( * i - J t j ) » + ( 2 * 2 - * i ) '


17/342


7

I n t h i s f o r m , w e s e e t h a t i f

x

,

x

2

,

t h e d e n o m i n a t o r w i ll e v e n t u a l l y e x c e e d

t h e n u m e r a t o r i n m a g n i t u d e , s o x

n

t h e n w i ll n o t b e a n i n t e g e r . H o w e v e r , if

JC, = x

2

, a l l t h e t e r m s o f t h e s e q u e n c e a r e e q u a l . T h u s ,

x„

is a n i n t e g e r f o r

i n f i n i t e l y m a n y v a l u e s o f

n

i f and on ly i f

x, = x

2

.

1 . 1 . 4 .

F i n d p o s i t i v e n u m b e r s

n

a n d

a

y

,a

2

a„

su ch th a t a , + • • • +

a„

= 1 0 0 0 a n d t h e p r o d u c t a , a

2

• • • a „ i s a s l a r ge a s po ss ib l e .

S o l u t i o n . W h e n a p r o b l e m i n v o l v e s a p a r a m e t e r w h i c h m a k e s t h e a n a l y s i s

c o m p l i c a t e d , i t is o f t e n h e l p f u l i n t h e d i s c o v e r y s t a g e t o r e p l a c e it t e m p o r a r -

i ly w i t h s o m e t h i n g m o r e m a n a g e a b l e . I n t h i s p r o b l e m , w e m i g h t b e g i n b y

e x a m i n i n g a s e q u e n c e o f s p e c ia l c a s e s o b t a i n e d b y r e p l a c i n g 1 0 0 0 i n t u r n

w i t h 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 I n t h i s w a y w e a r e l e d t o d i s c o v e r t h a t i n a

m a x i m u m p r o d u c t

( i ) n o a , w i l l b e g r e a t e r t h a n 4 ,

( i i ) no o , wi l l equa l I ,

( ii i( a l l a ' s c a n b e t a k e n t o b e 2 o r 3 ( b e c a u s e 4 = 2 x 2 a n d 4 = 2 + 2 ) ,

( i v ) a t m o s t t w o

a-

s w il l e q u a l 2 ( b e c a us e 2 x 2 x 2 < 3 x 3 a n d 2 + 2 + 2

= 3 + 3).

E a c h o f t h e s e i s e a s y t o e s t a b l i s h . T h u s , w h e n t h e p a r a m e t e r i s 1 0 0 0 a s i n

t he p r o b l e m a t h a n d , t h e m a x i m u m p r o d u c t m u s t b e 3

3 3 2

X 2

2

.

1 . 1 3 . L e t S b e a s e t a n d * b e b i n a r y o p e r a t i o n o n

S

s a t i s f y i n g t h e t w o

l a w s

x * x = x f o r a l l x in S,

(x*y)*z e (y*z)*x fo r a l l x,y,z in S.

S h o w t h a t x *y = y * x f o r a l l x, y in S.

S o l u t i o n . T h e s o l u t i o n , w h i c h a p p e a r s s o n e a t l y b e l o w , is a c t u a l l y t h e e n d

r e s u l t o f c o n s i d e r a b l e s c r a t c h w o r k ; t h e p r o c e d u r e c a n o n l y b e d e s c r i b e d a s

a s e a r c h f o r p a t t e r n ( t h e p r i n c i p l e p a t t e r n i s t h e c y c l i c n a t u r e of t h e f a c t o r s

i n t h e s e c o n d c o n d i t i o n ) . W e h a v e , f o r a l l x ,_ y i n S ,

x*y ~{x y)

= [y*(x*y)]*x - [(x*y)*x]*y'« {(y * x) * x) * y - [(x*x)*y]*y

~[(y*y)]*ix*x)=y*x.

P r o b l e m s

D e v e l o p a f e el f o r t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s b y s e a r c h i n g f o r p a t t e r n s . M a k e

a p p r o p r i a t e c o n j e c t u r e s , a n d t h i n k a b o u t h o w t h e p r o o f s m i g h t b e c a r r i e d

o u t .


18/342

18 . Heuristics

1 . 1 . 6 . B e g i n n i ng w i th 2 a n d 7 , t h e s e q u e n c e 7 , 1 , 4 , 7 , 4 , 2 , 8 - , . . . i s c o n -

s tructed by mult ip ly ing success ive pairs of i ts members and adjo in ing the

resul t as the next one or two members of the sequence , depending on

whether the product is a one- or a two-digi t number . Prove tha t the d ig i t 6

a p p e a r s a n infinite num ber of limes in th e sequence.

1 .1 .7 . L e t S, deno te the sequence o f pos i t ive in tege rs 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,

and de f ine the sequence S

n +

, in terms of S„ by ad din g 1 to those in tegers in

S„ which are d iv is ib le by n . Thus, for example , S

2

is 2 , 3 , 4 ,5 , 6 , 7 , . . . , S

3

i s 3 , 3 ,5 ,5 ,7 ,7 D e te rm ine those in tege rs n wi th the p rope r ty tha t the

first n - 1 integers in S„ a re n.

1 .1 .8 . Pro ve tha t a l ist can be m a d e of all th e sub sets of a f ini te set in su ch

a way that

(i) th e em pty set is f irst in th e l ist ,

( i i ) each subset occurs exact ly once , and

(ii i) each subset in the l ist is obtained either by adding one element to the

preceding subset or by dele t ing one e lement of the preceding subset .

1 .1 .9 . De te rm ine the nu m be r of odd b inom ia l coe f f ic ien ts in the expans ion

of (x + 7 ) '

0 0 0

. (See 4.3.5.)

1 . 1 . 1 0 . A we l l -known theorem asse r t s tha t a p r ime p > 2 can be wri t ten as

a sum of two perfec t squares (

p

=

m

2

+ n

2

, with

m

a n d

n

integers) if and

only if p i s one more than a mul t ip le o f 4 . Make a con jec tu re concern ing

which p r im es p > 2 can be wr i t ten in each o f the fo llowing fo rm s , us ing

(not necessarily positive) integers x a n d y: (a) x

2

+ 1 6y

2

, (b ) 4x

2

+ 4 x y +

5y

2

. (See 1.5.10.)

1 .1 .11 . I f is a seq uen ce such th a t for n > I , (2 - a„)a„ = 1 , w ha t

h a p p e n s t o a

n

as n ten ds tow ard inf inity ? (See 7.6.4.)

1 .1 .12 .

Le t 5 be a se t , an d let » be a b ina ry ope ra t io n on S sa t is fy ing the

laws

X

x * ( x * y) = y fo r all x, y in S , '

fo r all x, y in S.

=

V '

J

£ y ° ( y " y)

Show tha t x »y = y * x for a l l x, y in S. s>fr~ / a -'to/1

= X [ y ° ( y

A d d i t i o n a l E x a m p l e s "-

Mos t induc t ion p rob lems a re based on the discovery of a pa t tern . Thus, the

problems in Sect ions 2 .1 , 2 .2 , 2 .3 , 2 .4 offer addi t ional prac t ice in th is

heuristic. Also see 1.7.2, 1.7.7, 1.7.8, 2.5.6, 3.1.1, 3.4.6, 4.3.1, 4.4.1, 4.4.3,

4.4.15, 4.4.16, 4.4.17.


19/342

1.2. Draw a Figure

II

1.2. Draw a Figure

W h e n e v e r p o s s i b l e it is h e l p f u l t o d e s c r i b e a p r o b l e m p i c t o r ia l l y , b y m e a n s

o f a f i g u r e , a d i a g r a m , o r a g r a p h . A d i a g r a m m a t i c r e p r e s e n t a t i o n u s u a l l y

m a k e s it e a s i e r t o a s s i m i l a t e t h e r e l e v a n t d a t a a n d t o n o t i c e r e l a t i o n s h i p s

a n d d e p e n d e n c e s .

1 . 2 . 1 .

A c h o r d o f c o n s t a n t l e n g t h s li d e s a r o u n d i n a s e m i c i r cl e . T h e

m i d p o i n t of t h e c h o r d a n d t h e p r o j e c t i o n s o f i ts e n d s u p o n t h e b a s e f o r m

t h e v e r t i c e s o f a t r i a n g l e . P r o v e t h a t t h e t r i a n g l e is i s o s c e l e s a n d n e v e r

c h a n g e s i t s s h a p e .

S o l u t i o n . L e t AB d e n o t e t h e b a s e o f t h e s e m i c i r c l e , l e t XY b e t h e c h o r d , M

t h e m i d p o i n t o f XY, C a n d D t h e p r o j e c t i o n s o f X a n d Y o n AB ( F i g u r e

1 . 1 ) . L e t t h e p r o j e c t i o n o f

M

o n t o

AB

b e d e n o t e d b y

N.

T h e n

N is

t h e

m i d p o i n t o f

CD

a n d it f o l l o w s t h a t A

CMD

i s i so s c e l e s .

T o s h o w t h a t t h e s h a p e o f t h e t r i a n g l e i s i n d e p e n d e n t of t h e p o s i t i o n o f

t h e c h o r d , i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t Z

MCD

r e m a i n s u n c h a n g e d , o r e q u i v a -

l e n c y , t h a t L XCM i s c o n s t a n t , f o r a l l p o s i t i o n s o f XY. T o s e e t h a t t h i s i s

t h e c a s e , e x t e n d XC t o c u t t h e c o m p l e t e d c i r c le a t Z ( F i g u r e 1 .2 ) . T h e n CM

i s p a r a l l e l t o

ZY

( C a n d

M

a r e t h e m i d p o i n t s o f

XZ

a n d

XY,

r e s p e c t i v e l y ) ,

X

A

A C . N D B

Figure 1.1.

Z

Figure 1.2.


20/342

10 t. Heuristics

Figure 1.3.

a n d c o n s e q u e n t l y LXCM = LXZY. B u t LXZY e q u a l s o n e - h a l f t h e a r c

XY, a n d t h is a r c d e p e n d s o n l y o n t h e l e n g t h o f t h e c h o r d XY. T h i s

c o m p l e t e s t h e p r o o f .

O n e m i g h t a s k : H o w i n t h e w o r l d d i d a n y o n e e v e r t h i n k t o e x t e n d

XC

in

t h i s w a y ? T h i s i s p r e c i s e ly t h e s t e p t h a t m a k e s t h e a r g u m e n t s o p r e t t y , a n d

i t is i n d e e d a v e r y d i f f i c u l t s t e p t o m o t i v a t e . A b o u t a l l t h a t c a n b e s a i d i s

t h a t t h e u s e o f a u x i l i a r y l i n e s a n d a r c s ( o f t e n f o u n d b y r e f l e c t i o n , e x t e n s i o n ,

o r r o t a t i o n ) i s a c o m m o n p r a c t i c e i n g e o m e t r y . J u s t t h e a w a r e n e s s o f t h i s

f a c t w i ll a d d t o t h e p o s s i b l e a p p r o a c h e s i n a g i v e n p r o b l e m .

A n o t h e r i n t e r e s t i n g a p p r o a c h t o th i s p r o b l e m i s t o c o o r d i n a t i z e t h e

p o i n t s a n d t o p r o c e e d a n a l y t i c a l l y . T o s h o w t h a t t h e s h a p e o f t h e t r i a n g l e i s

i n d e p e n d e n t o f t h e p o s i t i o n o f t h e c h o r d , it s u f f i c e s t o s h o w t h a t t h e

h e i g h t - t o - b a s e r a t i o ,

MN /CD

, i s c o n s t a n t .

L e t

O

d e n o t e t h e m i d p o i n t o f

AB,

a n d l et

$

=

L YOB.

I t i s c l e a r t h a t t h e

e n t i r e c o n f i g u r a t i o n is c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y (F i g u re 1 .3 ) .

L e t a - L XOY. U s i n g t h i s n o t a t i o n ,

CD = c o s ® - c o s ( 0 + a ) ,

s i n 9 + s i n ( B + a )

M N ^ i ,

a n d t h e h e i g h t - b a s e r a t i o i s

s in t f + s in (0 + a )

F

W = 2 ( c o s 9 - c o s ( « + , , ) r

I t i s n o t i m m e d i a t e l y c l e a r t h a t t h i s q u a n t i t y is i n d e p e n d e n t o f 0 ; t h i s i s t h e

co n t e n t o f 1 .8 .1 a n d 6 .6 .7 .

1 . 2 . 2 . A p a r t i c l e m o v i n g o n a s t r a i g h t l i n e s t a r t s f r o m r e s t a n d a t t a i n s a

v e l o c i t y t >

0

a f t e r t r a v e r s i n g a d i s t a n c e j

0

. If t h e m o t i o n is s u ch t h a t t h e

a c c e l e r a t i o n w a s n e v e r i n c r e a s in g , f i n d t h e m a x i m u m t i m e f o r t h e t r a n s -

v e r s e .

S o l u t i o n .

F o c u s a t t e n t i o n o n t h e g r a p h o f t h e v e l o c i t y u = o ( / ) ( F i g u r e

1.4).

W e a r e g i v e n t h a t o ( 0 ) = 0 , a n d t h e g r a p h o f v i s n e v e r c o n c a v e u p w a r d

( b e c a u s e t h e a c c e l e r a t i o n , do/dt, i s n e v e r i n c r e a s i n g ) . T h e a r e a u n d e r t h e


21/342

1.2. Draw a Figure

I I

c u r v e is e q u a l t o J

0

( d i s t a n c e t r a v e r s e d = $'f,v(t)dt). F r o m t h i s r e p r e s e n t a -

t i o n , i t i s c l e a r t h a t w e w i l l m a x i m i z e t h e t i m e o f t r a v e r s e w h e n t h e c u r v e

D ( / ) f r o m 0 t o

P

i s a s t r a i g h t l i n e ( F i g u r e 1 .5 ). A t t h e m a x i m u m t i m e /

0

,

| /

0

u

0

= j

0

, o r e q u i v a l e n t l y , i

0

= 2 s

0

/ v

0

.

1 . 2 3 . I f

a

a n d

b

a r e p o s i t iv e i n t e g e r s w i t h n o c o m m o n f a c t o r , s h o w t h a t

S o l u t i o n . W h e n

b

= 1, w e w i l l u n d e r s t a n d t h a t t h e s u m o n t h e l e f t i s 0 s o

t h e r e s u l t h o l d s .

I t i s n o t c l e a r h o w a f i g u r e c o u l d b e u s e f u l i n e s t a b l i s h i n g t h i s p u r e l y

a r i t h m e t i c i d e n ti t y . Y e t , t h e s t a t e m e n t i n v o l v e s t w o i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s ,

a

a n d

b,

a n d

a/b, 2a/b,

3 a /

b ,

. . . a r e t h e v a l u e s o f t h e f u n c t i o n

f ( x ) = a x/b w h e n x = 1 , 2 , 3 , . . . , r e s p e c t i v e l y . I s it p o s s i b l e t o i n t e r p r e t

J a / 6 ] , \ 2 a / b \ , . . . g e o m e t r i c a l l y ?

T o m a k e t h i n g s c o n c r e t e , c o n s i d e r t h e c a s e

a = 5

a n d

b

= 7 . T h e p o i n t s

P

k

= {k,5k/1), k =

1 , 2 , . . . , 6 , e a c h l i e o n th e l in e

y

= 5 x / 7 , a n d

1

5 k / I

] e q u a l s t h e n u m b e r o f l a t t i c e p o i n t s o n t h e v e r t i c a l l i n e t h r o u g h

P

k

w h i c h l i e a b o v e t h e x - a x i s a n d b e l o w P

k

. T h u s , 2 A - i i ^k/1 J e q u a l s t h e


22/342

12

t.

H euristics

A

2

4

3

S

2 3 4 5 6 7

Figure 1 .6 .

8

n u m b e r o f l a t t i c e p o i n t s i n t e r i o r t o A

ABC

( s e e F i g u r e 1 .6 ) . B y s y m m e t r y ,

t h i s n u m b e r i s o n e - h a l f t h e n u m b e r o f l a t t i c e p o i n t s in t h e i n t e r i o r o f

r e c t a n g l e ABCD. T h e r e a r e 4 x 6 = 2 4 l a t t i c e p o i n t s i n A BCD, w h i c h

m e a n s t h a t t r i a n g l e ABC c o n t a i n s 12 i n t e r i o r l a t t i c e p o i n t s .

T h e s a m e a r g u m e n t g o e s t h r o u g h i n t h e g e n e r a l c a s e . T h e c o n d i t i o n t h a t

a a n d b h a v e n o c o m m o n f a c t o r a s s u r e s u s t h a t n o n e o f t h e l a t t i c e p o i n t s i n

t h e i n t e r i o r o f ABCD w i l l f a l l o n t h e l i n e / = ax/b. T h u s ,

= j ( N o . of l a t t i c e p o i n t s i n t h e i n t e r i o r o f ABCD)

1 . 2 . 4 ( T h e h a n d s h a k e p r o b l e m ) . M r . a n d M r s . A d a m s r e c e n t ly a t t e n d e d

a p a r t y a t w h i c h t h e r e w e r e t h r e e o t h e r c o u p l e s . V a r i o u s h a n d s h a k e s t o o k

p l a c e . N o o n e s h o o k h a n d s w i t h h i s / h e r o w n s p o u s e , n o o n e s h o o k h a n d s

w i t h t h e s a m e p e r s o n t w i c e , a n d of c o u r s e , n o o n e s h o o k h i s / h e r o w n h a n d .

A f t e r a ll t h e h a n d s h a k i n g w a s f i n i s h e d , M r . A d a m s a s k e d e a c h p e r s o n ,

i n c l u d i n g h i s w i f e , h o w m a n y h a n d s h e o r s h e h a d s h a k e n . T o h i s s u r p r i s e ,

e a c h g a v e a d i f f e r e n t a n s w e r . H o w m a n y h a n d s d i d M r s . A d a m s s h a k e ?

S o l u t i o n .

A l t h o u g h a d i a g r a m is n o t e s s e n t i a l t o t h e s o l u t i o n , it i s h e l p f u l t o

v i e w t h e d a t a g r a p h i c a l l y i n t h e f o l l o w i n g f a s h i o n . R e p r e s e n t t h e e i g h t

i n d i v i d u a l s b y t h e e i g h t d o t s a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 7 .

N o w t h e a n s w e r s t o M r . A d a m s ' q u e r y m u s t h a v e b e e n t h e n u m b e r s

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . T h e r e f o r e , o n e o f t h e i n d i v i d u a l s , s a y A, h a s s h a k e n h a n d s

w i t h s i x o t h e r s , s a y B,C,D

S

E,F,G. I n d i c a t e t h i s o n t h e g r a p h b y d r a w i n g

l i n e s e g m e n t s f r o m

A

t o t h e s e p o i n t s , a s i n F i g u r e 1 .8 .

F r o m t h i s d i a g r a m , w e s e e t h a t H m u s t b e t h a t p e r s o n w h o h a s s h a k e n

n o o n e ' s h a n d . F u r t h e r m o r e , A a n d H m u s t b e s p o u s e s , b e c a u s e A h a s

( a - 1 ) (6 - 1 )

2


23/342

1.2. Draw a Figure II

Figure 1.9.

B y s u p p o s i t i o n , o n e o f B,C,D,E,F,G, h a s s h a k e n f i v e h a n d s . B y

r e l a b e l i n g if n e c e s s a r y w e m a y a s s u m e t h i s p e r s o n i s 8 . A l s o , w e m a y

a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t t h e f i v e w i t h w h o m B h a s s h a k e n

h a n d s a r e l a b e l e d

A,C,D,E,F.

T h i s i s s h o w n i n F i g u r e 1 .9 . F r o m t h i s

s k e t c h w e e a s i l y s e e t h a t G is t h e o n l y p e r s o n w h o c o u l d h a v e a n s w e r e d

"one",

a n d

B

a n d

G

m u s t b e s p o u s e s .

A g a i n , a s b e f o r e , b y r e l a b e l i n g t h e p o i n t s C , D, E i f n e c e s s a r y , w e m a y

a s s u m e t h a t C s h o o k f o u r h a n d s a n d t h a t t h e y b e l o n g e d t o A,B,D,E. T h e

c o r r e s p o n d i n g d i a g r a m i s g i v e n i n F i g u r e 1 .1 0. U s i n g t h e s a m e r e a s o n i n g a s

a b o v e , F a n d C a r e s p o u s e s , a n d c o n s e q u e n t l y , D a n d E a r e s p o u s e s .

E a c h o f

D

a n d

E

h a s s h a k e n h a n d s w i t h t h r e e o t h e r s . S i n c e M r . A d a m s

d i d n o t r e c e i v e t w o " t h r e e " a n s w e r s , D a n d E m u s t c o r r e s p o n d t o M r . a n d

M r s .

Adam s; that is to

s a y , M r s . A d a m s s h o o k h a n d s w i t h t h r e e o t h e r s .

P r o b l e m s

1 . 2 . 5 . T w o p o l e s , w i t h h e i g h t s a a n d

b,

a r e a d i s t a n c e

d

a p a r t ( a l o n g l e v e l

g r o u n d ) . A g u y w i r e s t r e t c h e s f r o m t h e t o p o f e a c h o f t h e m t o s o m e p o i n t

P

o n t h e g r o u n d b e t w e e n t h e m . W h e r e s h o u l d P b e l o c a t e d to minimize t h e

t o t a l l e n g t h o f t h e w i r e ? ( H i n t : L e t t h e p o l e s b e e r e c t e d a t p o i n t s C a n d

D,

a n d t h e i r t o p s b e l a b e l e d A a n d B, r e s p e c t i v e l y . W e w i s h t o m i n i m i z e

AP + PB. A u g m e n t t h i s d i a g r a m b y r e f l e c t i n g i t i n t h e b a s e l i n e CD.


24/342

14

t. Heuristics

S u p p o s e

B

r e f l e c t s t o

B' (PB = PB).

N o w t h e p r o b l e m i s: W h e r e s h o u l d

P

b e l o c a t e d t o m i n i m i z e

AP + PB" )

1 . 2 . 6 .

L e t

ABC

b e a n a c u t e - a n g l e d t r i a n g l e , a n d l e t

D

b e o n t h e i n t e r i o r o f

t h e s e g m e n t

AB.

L o c a t e p o i n t s

E

o n

AC

a n d

F

o n

CB

s u c h t h a t t h e

i n s c r i b e d t r i a n g l e

DEF

w il l h a v e m i n i m u m p e r i m e t e r . ( H i n t : R e f l e c t

D

i n

l i n e

AC

t o a p o i n t

D'\

r e f l e c t

D

i n

CB

t o a p o i n t

D"

a n d c o n s i d e r t h e l i ne

s e g m e n t D'D".)

1 . 2 . 7 . A r e c t a n g u l a r r o o m m e a s u r e s 3 0 f e e t i n l e n g t h a n d 1 2 f e e t i n h e i g h t ,

a n d t h e e n d s a r e 1 2 f e e t i n w i d t h . A f ly , w i t h a b r o k e n w i n g , r e s t s a t a p o i n t

o n e f o o t d o w n f r o m t h e c e i l i n g a t t h e m i d d l e o f o n e e n d . A s m u d g e o f f o o d

i s l o c a t e d o n e f o o t u p f r o m t h e f l o o r a t t h e m i d d l e of t h e o t h e r e n d . T h e f l y

h a s j u s t e n o u g h e n e r g y t o

walk

4 0 f e e t . S h o w t h a t t h e r e i s a p a t h a l o n g

w h i c h t h e f ly c a n w a l k t h a t w i l l e n a b l e it t o g e t t o t h e f o o d .

1 . 2 . 8 . E q u i l a t e r a l t r i a n g l e s

A BP

a n d

ACQ

a r e c o n s t r u c t e d e x t e r n a l l y o n

t h e s i d e s AB a n d AC o f t r i a n g l e ABC. P r o v e t h a t CP = BQ. ( H i n t : F o r a

n i c e s o l u t i o n , r o t a t e t h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e 6 0 ° a b o u t t h e p o i n t A, in a

d i r e c t i o n w h i c h t a k e s

B

i n t h e d i r e c t i o n of C . W h a t h a p p e n s t o t h e l i n e

s e g m e n t C P ? )

1 . 2 . 9 .

L e t

a

a n d

b

b e g i v e n p o s i t i v e r e a l n u m b e r s w i t h

a < b.

I f tw o

points

a r e s e l e c t e d a t r a n d o m f r o m a s tr a i g h t li n e s e g m e n t o f l e n g t h

b,

w h a t i s t h e

p r o b a b i l i t y t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e m i s a t le a s t a ? ( H i n t : L e t

x

a n d /

d e n o t e t h e r a n d o m l y c h o s e n n u m b e r s f r o m t h e i n t e r v a l [ 0 ,6 ] , a n d c o n s i d e r

t h e s e i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s o n t w o s e p a r a t e a x e s . W h a t a r e a

c o r r e s p o n d s t o | J C

- y\ >

a ? )

1 . 2 . 1 0 . G i v e a g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n t o t h e f o l l o w i n g p r o b l e m . L e t / b e

d i f f e r e n t i a b l e w i th / ' c o n t i n u o u s o n [a, b]. S h o w t h a t if t h e r e i s a n u m b e r c

i n ( a ,

b\

s u c h t h a t

f'(c) =

0 , t h e n w e c a n f i n d a n u m b e r

d

i n

(a, b)

s u c h t h a t

1 J . 1 1 . L e t

a

a n d

b

b e r e a l n u m b e r s ,

a < b.

I n d i c a t e g e o m e t r i c a l l y t h e

p r e c i s e l o c a t i o n o f e a c h o f t h e f o l l o w i n g n u m b e r s : (a + b)/2 (= + {b)\

}a + Lb; } a + i 6 ; [m/(m + n)]a + \n/{m + rt)]b, w h e r e m> 0 a n d

n > 0 . ( T h e l a t t e r n u m b e r c o r r e s p o n d s t o t h e c e n t e r o f g r a v i t y o f a s y s t e m

of

t w o

masses

— o ne , o f m a s s

m,

l o c a t e d a t

a,

a n d t h e o t h e r , of m a s s

n,

l o c a t e d a t

b.)

1 . 2 . 1 2 .

U s e t h e g r a p h o f

y

= s in

x

t o s h o w t h e f o l l o w i n g . G i v e n t r i a n g l e

ABC,

g + C

2 '

( b ) — S _ s i n

B

+ — 2 — s i n C < s in ( —

—

—

B

+ — c l m > 0 , « > 0 .

v

' m + n m + n

V m + n

m

+

n

)


25/342

1.3. Formulate an Equivalent Problem

15

1 . 2 . 1 3 . U s e a d i a g r a m ( a r e c t a n g u l a r a r r a y (a , a , ) ) t o s h o w t h a t

i - 0 y - 0 y = 0/


26/342


27/342

1.3. Form ulate an Equ ivalent Problem 17

a l e n t p r o b l e m i s t o f i n d a l l x ( o t h e r t h a n x = 1) w h i c h s a t i s f y x

5

= 1 . T h e s e

a r e t h e f i v e f i f t h r o o t s o f u n i t y , g i v e n b y

x , = c o s ^ i r + • i s i n $ i r ,

x, = c o s f f f + / ' si n J i :

A s a b y - p r o d u c t o f h a v i n g w o r k e d t h is p r o b l e m t w o d i f f e r e n t w a y s ,

1

s ee t h a t

, ^ . . , - 1 + V 5 . ' / l o " + ~ 2 V 5

r

i n + < s in f i r = + 1 - —

E q u a t i n g r ea l a n d i m a g i n a r y p a r t s y i e l d s

- 1 + V 5 V l O + 2V 5

co s 7 2 ° = J

v

, s in 7 2 ° = - r - ^ — .

4 4

( S i m i l a r f o r m u l a s c a n b e f o u n d f o r x

2

, x

3

, a n d x

4

. )

1 3 J .

P

i s a p o i n t i n s i d e a g i v e n t r i a n g l e

ABC; D, £, F

a r e t h e f ee t o f t h e

p e r p e n d i c u l a r s f r o m P t o t h e l i n e s BC, CA, AB, r e s p e c t i v e l y . F i n d a l l P f o r

w h i c h

B C . C A . A B

PD PE PF

S o l u t i o n . D e n o t e t h e l e n g t h s o f BC, AC, AB b y a,b,c, r e s p e c t i v e l y , a n d

PD, PE, PF b y p, q, r , r e s p e c t i v e l y ( s e e F i g u r e 1 .1 1 ). W e w i s h t o m i n i m i z e

a/p + b/q + c/r.


28/342

18 t. Heuristics

N o t i c e t h a t

A r e a

ABC

= A r e a A

BCP

+ A r e a

A CAP +

A r e a

{\ ABP

\ap

+

{b q

+ j c r

ap +• bq + cr

2

T h u s ,

ap + bq + cr

i s a c o n s t a n t , i n d e p e n d e n t o f t h e p l a c e m e n t o f

P.

T h e r e f o r e , i n s t e a d o f m i n i m i z i n g a f p + b /q + c/r , we wil l minimize

(ap + bq + c r X a f p + b/q + c/r). ( T h i s s t e p w i ll a p p e a r m o r e n a t u r a l

a f t e r a s t u d y of i n e q u a l i t i e s w i t h c o n s t r a i n t s t a k e n u p i n S e c t i o n 7 . 3 . ) W e

h a v e

> a

2

+ b

2

+• c

2

+• lab

+ 2

be

+ 2 a c

= ( a + b + c)

2

.

T h e i n e q u a l i t y i n t h e s e c o n d s t e p fo l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t f o r a n y t w o

p o s i t i v e n u m b e r s

x

a n d

y

w e h a v e

x / y + y / x >

2 , w i t h e q u a l i t y i f a n d

on ly i f

x = y.

A s a r e s u l t o f t h i s f a c t ,

(ap + bq + cr)(a/p + b/q + c/r)

wil l

a t t a i n i t s m i n i m u m v a l u e (a + b + c ) w h e n , a n d o n l y w h e n , p - q - r .

E q u i v a l e n l l y , a / p + b/q + c /r a t t a i n s a m i n i m u m v a l u e w h e n P i s l o c a t e d

a t t h e i n c e n t e r o f t h e t r i a n g l e .

U

. 4 .

P r o v e t h a t i f t n a n d n a r e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d 1 < k < n , t h e n

S o l u t i o n . T h e s t a t e m e n t of t h e p r o b l e m c o n s t i t u t e s o n e of t h e f u n d a m e n t a l

i d e n t i t i e s i n v o l v i n g b i n o m i a l c o e f f i c i e n t s . O n t h e l e f t s i d e i s a s u m o f

p r o d u c t s of b i n o m i a l c o e f f i c i e n t s . O b v i o u s l y , a d i r e c t s u b s t i t u t i o n o f f a c t o -

r i a ls f o r b i n o m i a l c o e f f i c i e n t s p r o v i d e s n o i n s i g h t .

Q u i t e o f t e n , f i n i t e s e r i e s ( e s p e c i a l ly t h o s e w h i c h i n v o l v e b i n o m i a l c o e f f i -

c i e n t s ) c a n b e s u m m e d c o m b i n a t o r i a l l y . T o u n d e r s t a n d w h a t is m e a n t h e r e ,

t r a n s f o r m t h e s e r ie s p r o b l e m i n t o a c o u n t i n g p r o b l e m i n t h e f o l l o w i n g

m a n n e r . L e t S = A U B, w h e r e A i s a se t w i th n e l e m e n t s a n d B is a se t,

d i s j o i n t f r o m

A,

w i t h

m

e l e m e n t s . W e w il l c o u n t , i n t w o d i f f e r e n t w a y s , t h e

n u m b e r o f (d i s t i nc t ) f c -subse ts o f

S.

O n t h e o n e h a n d , t h i s n u m b e r i s ( " J " ) .

O n t h e o t h e r h a n d , t h e n u m b e r o f A > s u b se t s o f S w i t h e x a c t l y / e l e m e n t s

( a p + l

+ +

^

+

£

' 1


29/342


19

f r o m A ( a n d k - i e l e m e n t s f r o m 8) i s ( " X * - / ) - I* f o l l o w s t h a t

+ = N o . of Ar-subsets of S

k

= 2 ( N o . o f ^ - s u b s e t s o f S w i t h i e l e m e n t s f r o m A)

/ = o

( A n o t h e r s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m , b a s e d o n t h e p r o p e r t i e s o f p o l y n o m i a l s ,

i s g i ve n in 4 .3 .2 . )

C o u n t i n g p r o b l e m s c a n o f t e n b e s i m p l if i e d b y " i d e n t i f y i n g " ( b y m e a n s

o f a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e ) t h e e l e m e n t s o f o n e s e t w i t h t h o s e o f

a n o t h e r s e t w h o s e e l e m e n t s c a n m o r e e a s il y b e c o u n t e d . T h e n e x t t h r e e

e x a m p l e s i l l u s t r a t e t h e i d e a .

1 3 . 5 . O n a c i r c l e n p o i n t s a r e s e l e c t e d a n d t h e c h o r d s j o i n i n g t h e m i n p a i r s

a r e d r a w n . A s s u m i n g t h a t n o t h r e e of t h e s e c h o r d s a r e c o n c u r r e n t ( e x c e p t

a t t h e e n d p o m t s ) , h o w m a n y p o i n t s of i n t e r s e c t i o n a r e t h e r e ?

S o l u t i o n .

T h e c a s e s f o r « = 4 , 5 , 6 a r e s h o w n i n F i g u r e 1 . 1 2 . N o t i c e t h a t

e a c h ( i n te r i o r ) i n t e r s e c t i o n p o i n t d e t e r m i n e s , a n d i s d e t e r m i n e d b y , f o u r o f

t h e g i v e n n p o i n t s a l o n g t h e c i r c l e ( t h e s e f o u r p o i n t s w i l l u n i q u e l y p r o d u c e

t w o c h o r d s w h i c h i n t e r s e c t i n t h e i n t e r i o r o f t h e c i r c l e ) . T h u s , t h e n u m b e r

o f i n t e r s e c t i o n p o i n t s i s ( J ) .

1 3 . 6 . G i v e n a p o s i t i v e i n t e g e r n , f i n d t h e n u m b e r o f q u a d r u p l e s o f i n t e g e r s

(a,b,c,d)

s u c h t h a t 0


30/342

2 0

t. Heuristics

a n d t h e s u b s e t s of f o u r o b j e c t s t a k e n f r o m { 0 , 1 , . . . , n + 3 } . S p e c i f i c a l ly ,

l e t (a,b,c,d), 0


31/342


21

1 3 . 1 2 .

G i v e n n o b j e c t s a r r a n g e d i n a r o w . A s u b s e t o f t h e s e o b j e c t s i s

c a l l e d unfriendly if n o t w o o f i t s e l e m e n t s a r e c o n s e c u t i v e . S h o w t h a t t h e

n u m b e r of u n f r i e n d l y s u b s e t s e a c h h a v i n g k e l e m e n t s is ( "

+

' ) . ( H i n t :

A d o p t a n i d e a s i m i l a r t o t h a t u s e d i n 1 . 3 . 6 . )

1 3

. 1 3 .

L e t a ( n ) b e t h e n u m b e r of r e p r e s e n t a t i o n s of t h e p o s i t i v e i n t e g e r

n

a s a s u m of 1 's a n d 2 ' s t a k i n g o r d e r i n t o a c c o u n t . L e t b(n) b e t h e n u m b e r

o f r e p r e s e n t a t i o n s o f

n

a s a s u m o f i n t e g e r s g r e a t e r t h a n 1 , a g a i n t a k i n g

o r d e r i n t o a c c o u n t a n d c o u n t i n g t h e s u m m a n d n . T h e t a b l e b e l o w s h o w s

t h a t a ( 4 ) = 5 a n d

b(6)

= 5:

a - s u m s _ ft -sums

1 + 1 + 2 - 4 + 2

1 + 2 + 1 3 + 3

2 + 1 + 1 2 + 4

2 + 2 2 + 2 + 2

1 + 1 + 1 + 1 6

( a ) S h o w t h a t

a(n)

=

b(n

+ 2 ) f o r e a c h « , b y d e s c r i b i n g a o n e - t o - o n e

c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e a - s u m s a n d 6 - s u m s .

( b ) S h o w t h a t a ( l ) = l , o ( 2 ) - 2 , a n d f o r n > 2 , a ( « ) = a ( n - l ) +

a(n - 2 .

1 3 . 1 4 . B y f i n d i n g t h e a r e a of a t r i a n g l e i n t w o d i f f e r e n t w a y s , p r o v e t h a t if

p i , p

2

. p i a r e t h e a l t i t u d e s o f a tr i a n g l e a n d r i s t h e r a d i u s o f i t s i n s c r i b e d

c i r c le , t h e n \ / p

{

+

1

/ p

2

+

1

/ / > , =

1

/ r .

1 3 . 1 5 . U s e a c o u n t i n g a r g u m e n t t o p r o v e t h a t f o r i n t e g e r s r , n , 0


32/342

2 2

t.

Heuristics

1.4. Modify the Problem

I n t h e c o u r s e of w o r k o n p r o b l e m

A

w e m a y b e l e d t o c o n s i d e r p r o b l e m .

B

.

C h a r a c t e r i s t i c a l l y , t h is c h a n g e i n p r o b l e m s i s a n n o u n c e d b y s u c h p h r a s e s a s

" i t s u f f ic e s t o s h ow t h a t . . . " o r " w e m a y a s s u m e t h a t . . . " o r " w i th o u t

l o s s o f g e n e r a l i t y . . . " . I n t h e l a s t s e c t i o n w e l o o k e d a t e x a m p l e s i n w h i c h

A a n d B w e r e e q u i v a l e n t p r o b l e m s , t h a t is , t h e s o l u t i o n o f e i t h e r o n e o f

t h e m i m p l i e d t h e s o l u t i o n o f t h e o t h e r . I n t h i s s e c t i o n w e l o o k a t c a s e s

w h e r e t h e s o l u t i o n o f t h e m o d i f i e d ( o r a u x i l i a r y ) p r o b l e m , p r o b l e m B,

i m p l i e s t h e s o l u t i o n o f

A,

b u t n o t n e c e s s a r i l y v i c e v e r s a .

1 . 4 . 1 . G i v e n p o s i t iv e n u m b e r s a,b,c,d, p r o v e t h a t

a

3

+ b

3

+

c

3

+

b

3

+ c

3

+ dl

+

c

3

+ d

3

+

a

3

+

d

3

+ a

3

+

b

3

a + 6 + c b + c + d c + d+a d+a+b

> a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

.

S o l u t i o n .

B e c a u s e o f t h e s y m m e t r y i n t h e p r o b l e m , it is sufficient to prove

t h a t f o r a l l p o s i t i v e n u m b e r s x, y, a n d z

x

3

+ y

3

+ zl_ x

2

+y

2

+ z

2

x+y+z 3

Fo r i f t h i s w er e t h e ca s e , t h e l e f t s i d e o f t h e o r i g in a l i n eq u a l i t y i s a t l e a s t

a

2

+ b

2

+ c

2

, b

2

+ c

2

+ dj_ , c

2

+ d

2

+ a

2

, d

2

+ a

2

+ b

2

3 3 3

+

3

= a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

.

N o w , t o p r o v e t h i s l a t t e r i n e q u a l i t y ,

there is no loss of generality

i n

s u p p o s i n g t h a t

x + y + z =

1 . F o r if n o t , s i m p l y d i v i d e e a c h s i d e o f t h e

i n e q u a l i t y b y (x +y + z)

2

, a n d l e t X = x/(x +y + z ) , Y = y/{x + y + z),

a n d Z - z / { x + y + z).

T h u s , t h e o r i g i n a l p r o b l e m r e d u c e s t o t h e f o l l o w i n g modified p r o b l e m :

G i v e n p o s i t i v e n u m b e r s X, Y, Z s u c h t h a t X + Y + Z = 1 , p r o v e t h a t

A "

3

+ y

3

+Z

3

> y

+z2

.

( F o r a p r o o f o f t h i s i n e q u a l i t y , s e e 7 . 3 . 5 . )

1 . 4 . 2 .

L e t

C

b e a n y p o i n t o n t h e l i n e s e g m e n t

AB

b e t w e e n

A

a n d

B,

a n d

l e t s e m i c i r c l e s b e d r a w n o n t h e s a m e s i d e o f AB w i t h AB, AC, a n d CB a s

d i a m e t e r s ( F i g u r e 1 .1 3 ). A l s o l e t

D

b e a p o i n t o n t h e s e m i c i r c l e h a v i n g

d i a m e t e r AB s u c h t h a t CD is p e r p e n d i c u l a r t o AB, a n d l e t E a n d F b e

p o i n t s o n t h e s e m i c i r c l e s h a v i n g d i a m e t e r s AC a n d CB, r e s p e c t i v e l y , s u c h


33/342

1.4. Modify the Problem

2 3

Figure 1.13.

t h a t

EF

i s a s e g m e n t o f t h e ir c o m m o n t a n g e n t . S h o w t h a t

ECFD

is a

r e c t a n g l e .

S o l u t i o n . N o t e th a t it is sufficient to show t h a t , 4 , E, a n d D a r e c o l l i n e a r (the

same argument

w o u l d s h o w t h a t

B, F,

a n d

D

a r e c o l l i ne a r ) . F o r if t h i s w e r e

t h e c a s e . Z A £ C = 9 0 ° ( £ is o n c ir c l e AEC), L CFB = 9 0 ° ,

a n d t h e r e s u l t h o l d s . It t u r n s o u t , h o w e v e r , t h a t w i t h o u t s o m e i n s i g h t , t h e r e

a r e m a n y w a y s o f g o i n g w r o n g w i t h t h i s a p p r o a c h ; i t 's d i f f i c u l t t o a v o i d

a s s u m i n g t h e c o n c l u s i o n .

O n e w a y o f g a i n i n g i n s i g h t i n t o t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e p a r a m e t e r s

i n a p r o b l e m i s t o n o t i c e t h e e f f e c t w h e n o n e o f t h e m i s a l l o w e d t o v a r y

( p r o b l e m m o d i f i c a t i o n ) . I n t h i s p r o b l e m , l et

D

v a r y a l o n g t h e c i r c u m f e r -

e n c e . L e t G a n d H ( F i g u r e 1 . 14 ) d e n o t e t h e i n t e r s e c t i o n s o f t h e s e g m e n t s

AD a n d BD w i t h t h e c i r c l e s w i t h d i a m e t e r s AC a n d C f l ( a n d c e n t e r s O a n d

O

') r e s p e c t i v e l y . T h e n

LAGC = LADB = L CHB

= 9 0 ° , s o t h a t

GDHC

i s a r e ct a n g l e . F u r t h e r m o r e , L OGC = Z.OCG ( A OGC i s i so sc e l e s ) , a n d

L CGH = L GCD b e c a u s e GH a n d CD a r e d i a g o n a l s o f a r e c t a n g l e .

T h e r e f o r e ,

L OGH L OCD.

N o w , a s

D

m o v e s t o m a k e

CD

p e r p e n d i c u -

l a r t o

AB, L OGH

w i l l a l s o m o v e t o 9 0 " , s o t h a t

GH

i s t a n g e n t t o c i r c l e

0,

a n d G c o i n c i d e s w i t h E. A similar argument s h o w s GH i s t a ng e t t o c i r c l e

0 \

s o

H = F.

T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f . ( N o t e t h e p h r a s e " a s i m i l a r


34/342

2 4 t. Heuristics

a r g u m e n t , " a n o t h e r s i m p l i f y i n g t e c h n i q u e , h a s t h e s a m e e f f e c t w h e n p l a c e d

a f t e r a n a r g u m e n t a s " i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t " h a s w h e n p l a c e d b e f o r e t h e

a r g u m e n t . )

N o t e t h a t w e h a v e s o lv e d t h e p r o b l e m b y s o l v i n g a m o r e g e n e r a l

p r o b l e m . T h i s i s a c o m m o n p r o b l e m - s o l v i n g t e c h n i q u e ; w e w i ll s e e m o r e

e x a m p l e s o f i t i n S e c t i o n 1 .1 2 .

1 . 4 . 3 . P r o v e t h a t t h e r e d o n o t e x i s t p o s i t i v e i n t e g e r s x, y, z s u c h t h a t

S o l u t i o n .

S u p p o s e x, y, a n d z a r e p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t x

2

+y

2

+ z

1

=

2

x y z .

S i n c e

x

2

-h y

2

+ z

2

i s ev en ( = 2

x y z ) ,

e i t h e r t w o o f

x, y,

a n d

z

a r e

o d d a n d t h e o t h e r e v e n , o r a l l t h r e e a r e e v e n . S u p p o s e x, y,z a r e e v e n .

T h e n t h e r e a r e p o s i t i v e i n t e g e r s x^,y

v

Z \ s u c h t h a t x = 2x

u

y = 2y

u

z

= 2z,.

F r o m t h e f a c t t h a t

(2x,)

2

+ (2y,f +

( 2 z , )

2

= 2 ( 2 x

1

K 2 ^

1

) ( 2 z , ) i t f o l -

l o w s t h a t

y

l

,z

l

s a t i s f y

x j + yf + z

2

= 2

2

x,y,z,.

A g a i n , f r o m t h i s e q u a -

t ion , if a r e e v e n , a similar argum ent s h o w s t h e r e w i ll b e p o s i t i v e

i n t e g e r s x

2

,y

2

,z

2

s u c h t h a t x\ + y

2

+ z\ = 2

3

x

2

y

2

z

2

.

C o n t i n u e i n t h i s w a y . E v e n t u a l l y w e m u s t a r r i v e a t a n e q u a t i o n o f t h e

f o r m a

2

+ b

2

+ c

2

= 2"abc w he r e n o t a lJ o f a, b, c a r e ev e n ( a n d h e n c e t w o

of

a, b,c

a r e e v e n a n d o n e is o d d ) .

T h u s , w e a r e l e d t o c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g m o d i f i e d p r o b l e m : P r o v e

t h e r e d o n o t e x i s t p o s i t i v e i n t e g e r s

x, y, z

a n d

n,

w i t h

x, y

o d d , s u c h t h a t

( T h i s i s P r o b l e m 1 . 9 .3 . )

1 . 4 . 4 . E v a l u a t e dx.

S o l u t i o n .

T h e u s u a l i n t e g r a t i o n t e c h n i q u e s s t u d i e d i n f i r s t - y e a r c a l c u l u s w i l l

n o t w o r k o n t h i s i n t e g r a l . T o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l w e w i l l t r a n s f o r m t h e

s i n g l e i n t e g r a l i n t o a d o u b l e i n t e g r a l .

L e t I = f™e~* dx. T h e n

x

2

+ y

2

+ z

2

= Ixyz.

x

2

+ y

2

+ z

2

= 2"xyz.

°° L

e

e y l

dxdy

- r r - " ^


35/342

1.5. Choose Effective Notation

2 5

N o w c h a n g e to a n e q u i v a l e n t in t e g r a l b y s w i t c h i n g t o p o l a r c o o r d i n a t e s .

W e t h e n h a v e

I t f o l l o w s t h a t 1 = y f n / 2 .

A m o d i f i e d ( a u x i l i a r y ) p r o b l e m c a n a r i s e i n m a n y w a y s . I t m a y c o m e

a b o u t w i t h a c h a n g e i n n o t a t i o n ( a s i n 1 . 4 . 4 ; s e e S e c t i o n 1 .5 ) o r b e c a u s e of

s y m m e t r y ( a s in 1 . 4 . 1 ; s e e S e c t i o n 1 .6 ). O f t e n it i s t h e r e s u l t o f " w o r k i n g

b a c k w a r d " ( s e e S e c t i o n 1 .8 ) o r a r g u i n g b y c o n t r a d i c t i o n ( a s i n 1 . 4 .3 ; se e

S e c t i o n 1 .9 ). I t i s n o t u n c o m m o n t o c o n s i d e r a m o r e g e n e r a l p r o b l e m a t t h e

o u t s e t ( a s i n 1 .4 .2 ; s e e S e c t i o n 1 .1 2 ). T h u s w e s e e t h a t p r o b l e m m o d i f i c a t i o n

i s a v e r y g e n e r a l h e u r i s t i c . B e c a u s e o f t hi s, w e w il l d e f e r a d d i n g m o r e

e x a m p l e s a n d p r o b l e m s , p u t t i n g t h e m m o r e a p p r o p r i a t e l y i n t h e m o r e

s p e c i a l i z e d s e c t i o n s w h i c h f o l l o w .


O n e o f t h e f i r s t s t e p s i n w o r k i n g a m a t h e m a t i c s p r o b l e m i s t o t r a n s l a t e t h e

p r o b l e m i n t o s y m b o l i c t e r m s . A t t h e o u t s e t , a l l k e y c o n c e p t s s h o u l d b e

i d e n t i f i e d a n d l a b e l e d ; r e d u n d a n c i e s i n n o t a t i o n c a n b e e l i m i n a t e d a s

r e l a t i o n s h i p s a r e d i s c o v e r e d .

1 . 5 . 1 .

O n e m o r n i n g i t s t a r t e d s n o w i n g a t a h e a v y a n d c o n s t a n t r a t e . A

s n o w p l o w s t a r t e d o u t a t 8 : 0 0 A . M . A t 9 : 0 0 A . M . i t h a d g o n e 2 m i l e s . B y

1 0 :0 0 A . M . it h a d g o n e 3 m i l e s . A s s u m i n g t h a t t h e s n o w p l o w r e m o v e s a

c o n s t a n t v o l u m e o f s n o w p e r h o u r , d e t e r m i n e t h e t i m e a t w h i c h i t s t a r t e d

s n o w i n g .

S o l u t i o n . I t i s d i f f i c u l t t o i m a g i n e t h e r e is e n o u g h i n f o r m a t i o n i n t h e

p r o b l e m t o a n s w e r t h e q u e s t i o n . H o w e v e r , if t h e r e is a w a y , w e m u s t

p r o c e e d s y s t e m a t i c a l l y b y f i rs t i d e n t i f y i n g t h o s e q u a n t i t i e s t h a t a r e u n -

k n o w n . W e i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n : L e t

t

d e n o t e t h e t i m e t h a t h a s

e l a p s e d s i n c e it s t a r t e d s n o w i n g , a n d l e t T b e t h e t i m e a t w h i c h t h e p l o w

g o e s o u t ( m e a s u r e d f r o m I ~ 0 ) . L e t x(t) b e t h e d i s t a n c e th e p l o w h a s g o n e


36/342

2 6 I. Hfurjslics

a t t i m e

t

( w e a r e o n l y i n t e r e s t e d i n x ( / ) f o r

t > T).

F i n a l l y , l e t

h(i)

d e n o t e

t h e d e p t h o f t h e s n o w a t t i m e t.

W e a r e n o w r e a d y t o t r a n s l a t e t h e p r o b l e m i n t o s y m b o l i c t e r m s . T h e f a c t

t h a t t h e s n o w i s f a l l i n g a t a c o n s t a n t r a t e m e a n s t h a t t h e d e p t h i s i n c r e a s i n g

a t a c o n s t a n t r a t e ; t h a t i s ,

« c, c c o n s t a n t .

dt

I n t e g r a t i n g e a c h s i d e y i e l d s

h(t) = ct + d, Cyd c o n s t a n t s .

S i nc e A( 0 ) = 0 , w e ge t d = 0 . T h u s h{t) = ct.

T h e f a c t t h a t t h e p l o w r e m o v e s s n o w a t a c o n s t a n t r a t e m e a n s t h a t t h e

s p e e d o f t h e p l o w is i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e d e p t h a t a n y t i m e

t

( f o r

e x a m p l e , twic$ t h e d e p t h corresponds to h a l f th e s p e e d ) . S y m b o l i c a l l y , for

t > T,

dx

=

_k_

dt h(t) '

k

c o n s t a n t

K

— c o n s t a n t .

I n t e g r a t i n g e a c h s i d e y i e l d s

j c ( f ) = K l o g f + C , C c o n s t a n t .

W e a r e g i v e n th r e e c o n d i t i o n s :

x

= 0 w h e n

t = T, x = 2

w h e n

t ~ T +

1,

a n d x = 3 w h e n t = T + 2. W i t h t w o o f t h e s e c o n d i t i o n s w e c a n e v a l u a t e

t h e c o n s t a n t s

K and C,

a n d w i t h t h e t h i r d , w e c a n s o l v e

for T.

I t

turns out

( t h e d e t a i l s a r e n o t o f i n t e r e s t h e r e ) t h a t

T = ~ 0 - 6 1 8 h o u r s » 3 7 m i n u t e s , 5 s e c o n d s .

T h u s , it s t a r t e d s n o w i n g a t 7 : 2 2 : 5 5 A . M .

1 . 5 . 2 .

( a ) I f n i s a p o s i t i v e i n t e g e r s u c h t h a t 2n + 1 i s a p e r f e c t s q u a r e , s h o w t h a t

n + 1 i s t h e s u m o f t w o s u c c e s s i v e p e r f e c t s q u a r e s .

( b ) I f 3 n + 1 i s a p e r f e c t s q u a r e , s h o w t h a t n + 1 i s t h e s u m o f t h r e e p e r f e c t

s q u a r e s .

S o l u t i o n .

B y i n t r o d u c i n g p r o p e r n o t a t i o n , t h i s r e d u c e s t o a s i m p l e a l g e b r a

p r o b l e m . F o r p a r t ( a ) , s u p p o s e t h a t 2n + 1 = s

2

, s a n i n t e g e r . S i n c e s

2

is an

o d d n u m b e r , s o a l s o i s s. L e t t b e a n i n t e g e r s u c h t h a t s = 2 / + 1 . T h e n

2n + 1 = (2t + l )

2

, a n d s o l v i n g f o r n w e f i n d

1 ) ' ~ 1 . 4 f

2

+ 4f , , 3 , , ,


37/342


2 7

A

B C

D

Figure 1.15.

C o n s e q u e n t l y ,

it + 1 = 2 l

2

+ 2 / +

1

=

t

1

+ (t +

I )

2

,

( b ) S u p p o s e

3n +

1

= s

2

, s

a n i n t e g e r . E v i d e n t l y , 5 i s n o t a m u l t i p l e of 3 ,

so s = 3 f ± 1 f o r s o m e i n t e g e r t. T h e n 3 n + 1 » ( 3 ? ± l )

2

, a n d t h e r e f o r e

n + 1 = 3t

2

± 2t + 1 = 2t

2

+ (t ± 1)

2

= i

2

+ t

2

+ (t ± l)

2

.

1 . 5 J . I n t r i a ng l e

ABC, AB = AC, D

is t h e m i d p o i n t of

BC. E

i s t h e f o o t

o f t h e p e r p e n d i c u l a r d r a w n

D

t o

AC,

a n d

F

i s t h e m i d p o i n t o f

DE

( F i g u r e

1 . 1 5 ) . P r o v e t h a t

AF

is p e r p e n d i c u l a r t o

BE.

S o l u t i o n .

W e c a n t r a n s f o r m th e p r o b l e m i n t o a l g e b r a i c t e r m s b y c o o r d i n a -

t i z in g t h e r e l e v a n t p o i n t s a n d b y s h o w i n g t h a t t h e s l o p e s

m

B£

a n d

m

AF

a r e

n e g a t i v e r e c i p r o c a l s .

O n e w a y t o p r o c e e d i s t o t a k e t h e t r i a n g l e a s i t a p p e a r s i n F i g u r e . 1 . 15 :

t a k e D a s t h e o r i g i n ( 0 , 0 ) , A = ( 0 , a ) , B = ( - 6 , 0 ) , a n d C = ( 6 , 0 ) . T h i s i s a

n a t u r a l la b e l i n g o f t h e f i g u r e b e c a u s e i t t a k e s a d v a n t a g e o f t h e b i l a t e r a l

s y m m e t r y o f t h e i s o s c e l e s t r i a n g l e ( s e e t h e e x a m p l e s i n S e c t i o n 1 . 6 ) . H o w -

e v e r , i n t h i s p a r t i c u l a r i n s t a n c e , t h i s n o t a t i o n l e a d s t o s o m e m i n o r c o m p l i c a -

t i o n s w h e n w e l o o k f o r t h e c o o r d i n a t e s o f

E

a n d

F.

A b e t t e r c o o r d i n a t i z a t i o n i s t o t a k e A = ( 0 , 0 ) , B = (4a, 4b), C = (4c , 0 ) ,

a s i n F i g u r e 1 . 1 6. T h e n

a

2

+ b

2

= c

2

,

D = (2a + 2c,2b), E = (2a + 2c,0),

a n d

F

= ( 2 a + 2 c ,

b) .

( A l m o s t n o c o m p u t a t i o n h e r e ; a l l r e l e v a n t p o i n t s a r e

c o o r d i n a t i z e d . ) I t f o l l o w s t h a t

- 3

1

2

± It.

3

3

H e n c e ,

a n d t h e p r o o f i s c o m p l e t e .


38/342

2 8 t. Heuristics

Figure 1.16.

1 . 5 . 4 . L e t

—

1 < 0 ) , a n d t h e r e f o r e ,

A

n

converges to 9

2

Documents

Loren C. Larson - Problem Solving Through Problems [OCR]