LOGIKA

� h�etk�oznapi jelent�ese: a rendszeress�eg, k�ovetkezetess�egszinonim�aja

{ Ez logikus besz�ed volt.

{ Nincs benne logika.

{ M�as logika szerint gondolkodik.

� tudom�anyszak elnevez�ese, melynekfeladata

a helyes k�ovetkeztet�es

{ fogalm�anak szabatos meghat�aroz�asa,

{ t�orv�enyeinek felt�ar�asa.

K�ovetkeztet�es

gondolati elj�ar�as

adott ismeretek =) �uj ismeret

# nyelvi #megnyilv�anul�as

kijelent}o mondatok kijelent}o mondatpremissz�ak konkl�uzi�o

Helyes a k�ovetkeztet�es (k�oznapi �ertelemben!), haa premissz�ak igaz volta eset�en a konkl�uzi�o is igaz.

P�elda.(premissza:) Imr�enek t�ud}ogyullad�asa van.(konkl�uzi�o:) Imr�enek antibiotikumot kell szednie.

A logika nem tartalmaz egyetlen m�as szaktudom�anytsem, ��gy nem ismerheti ezek eredm�enyeit!!

p�otpremissza:Ha valakinek t�ud}ogyullad�asa van, antibiotikumotkell szednie.

P�elda.(1. premissza:) Erika S�andornak a feles�ege.(2. premissza:) Katalin S�andornak az �edesanyja.(konkl�uzi�o:) Katalin Erik�anak az any�osa.

A logika nem vizsg�alja a (magyar) nyelv szavainakjelent�es�et!!

p�otpremissza:Ha x y-nak a feles�ege, �es z y-nak az �edesanyja,akkor z x-nek az any�osa.

Egy k�ovetkeztet�es logikai vizsg�alata sor�an mit haszn�alunkfel a mondatokb�ol?

� logikai szavakat:

nem : neg�aci�o�es ^ konjunkci�o

vagy _ diszjunkci�oha : : : akkor � implik�aci�ominden 8 univerz�alis kvantorvan 9 egzisztenci�alis kvantor

� a mondatr�eszek, szavak jelent�ese k�oz�omb�os, helyett�uk

{ termek

{ atomi formul�ak

+

LOGIKAI NYELV

Mi�ert van sz�uks�ege a logik�anak saj�at nyelvre?

� a logika nem tartozhat egyetlen nemzeti nyelvhezsem;

� a term�eszetes nyelvek nyelvtani rendszerei k�ul�onb�oz}oek�es bonyolultak;

� a logika saj�at nyelv�eben minden (abc, nyelv-tani szab�alyok, kateg�ori�ak) a logika feladat�anakell�at�as�at szolg�alhatja.

Logikai nyelvszintaktika ! szemantika

�All��t�as: olyan kijelent}o mondat, melyr}ol m�odunkban�all egy�ertelm}uen eld�onteni, hogy igaz vagy hamis.

P�elda.�all��t�as nem �all��t�as

5 < 3 x < 3XV. Lajos par�ok�at viselt. A most uralkod�o

francia kir�alypar�ok�at visel.

P�eter hazudik. Most �epp hazudok.A F�old a Nap k�or�ul kering. Nincs �elet a F�old�on k��v�ul.

Klasszikus szemantika: (Arisztotel�esz)

� az ellentmond�astalans�ag elve: Egyetlen �all��t�assem lehet igaz is �es hamis is.

� a kiz�art harmadik elve: Nincs olyan �all��t�as, amelysem nem igaz, sem nem hamis.

modern logika - szimbolikus logika - mat. logika

Logikai szavak

A neg�aci�o:

Alfr�ed di�ak.Alfr�ed nem di�ak.DE:A javaslatot az ellenz�ek buktatta meg.A javaslatot nem az ellenz�ek buktatta meg.Nem igaz, hogy a javaslatot az ellenz�ek buktattameg.

A konjunkci�o:

Am�alia �es Bella kert�eszek."Lement a nap. De csillagok nem j�ottenek." (Pet}o�)Juli is, Mari is t�ancol.Kev�esre vitte, noha becs�uletesen dolgozott.DE:Am�alia �es Bella testv�erek.

A diszjunkci�o:

Esik az es}o, vagy f�uj a sz�el.Vagy busszal j�ott, vagy taxival.

Az implik�aci�o:

Ha megtanulom a leck�et, akkor �ot�osre felelek.Csak akkor felelek �ot�osre, ha megtanulom aleck�et.

Gyakran az egyszer}u �all��t�asok szerkezet�et is felkell t�arnunk.

Dezs}o post�as.Am�alia �es Bella testv�erek.Az Erzs�ebet h��d �osszek�oti Bud�at Pesttel.

predik�atum + objektumnevek

Az univerz�alis kvantor:

Am�alia mindegyik testv�ere l�any.

Az egzisztenci�alis kvantor:

Am�ali�anak van testv�ere.

Az els}orend}u logikai nyelv

�Alland�o szimb�olumok

� logikai jelek: : ^ _ � 8 9

� elv�alaszt�o jelek: ( ) ;

De�ni�aland�o szimb�olumok (n�egy halmazba sorolva)

=< Srt;Cnst; Fn; Pr >

� Srt, elemei a t��pusok. Minden � 2 Srt t��pushoztartoznak v�altoz�ok: x�

1; x�

2; : : :

� Cnst konstansok halmaza. Minden c 2 Cnst

valamely � 2 Srt t��pushoz tartozik.

� Fn f�uggv�enyszimb�olumok halmaza. Mindenf 2 Fn f�uggv�enyszimb�olumot a

(�1; �2; : : : ; �k ! �)

�un. alakja jellemez. (k � 1)

� Pr 6= ; predik�atumszimb�olumok halmaza.Minden P 2 Pr predik�atumszimb�olumhoz egy

(�1; �2; : : : ; �k)

alakot rendel�unk. (k � 0)

P�eld�ak logikai nyelvekre

1. A Geom nyelvSrt = fpt (pontt��pus); et (egyenest��pus); st (s��kt��pus)gpt t��pus�u v�altoz�ok: A;B; C; : : :et t��pus�u v�altoz�ok: e; f; g; : : :st t��pus�u v�altoz�ok: a, b, c,: : :Cnst = ;Fn = ;Pr = fP (pt;pt); Q(pt;et); R(pt;st)gMegjegyz�es: a geometri�aban a P;Q;R szimb�olumokhelyett rendre az =; 2; 2 jeleket szok�as ink�abbhaszn�alni.

2. Az Ar nyelvSrt = fszt (sz�amt��pus)gszt t��pus�u v�altoz�ok: x; y; z; : : :Cnst = fnullagFn = ff (szt!szt); g(szt;szt!szt); h(szt;szt!szt)gPr = fP (szt;szt)gMegjegyz�es: az aritmetik�aban a g �es h szimb�olumokhelyett a + �es � jeleket, P helyett pedig az =jelet szok�as haszn�alni.

3. nulladrend}u nyelvek =< ;; ;; ;; P r >,ahol minden P 2 Pr alakja (),azaz P propoz��cion�alis bet}u.

logikai kifejez�esek

� t��pus�u termek

� c, ha c� 2 Cnst;

� x, ha x� v�altoz�o;

� f(t1; t2; : : : ; tk), ha f(�1; �2; : : : ; �k ! �) 2 Fn

�es t�11 ; t�22 ; : : : ; t

�k

k termek;

� minden term

{ vagy a nyelv konstansa, vagy v�altoz�oja,

{ vagy az indukci�os l�ep�es v�eges sokszori alkal-maz�as�aval bel}ol�uk nyerhet}o.

formul�ak

� P (t1; t2; : : : ; tk) atomi formula,ha P (�1;�2;:::;�k) 2 Pr �es t�11 ; t

�22 ; : : : ; t

�k

k termek;

� (A ^B); (A _B); (A � B) �es :A;ha A �es B formul�ak;

� 8xA �es 9xA;ha A formula �es x tetsz}oleges v�altoz�o;

� minden formula

{ vagy atomi formula,

{ vagy az indukci�os l�ep�esek v�eges sokszori alkal-maz�as�aval atomi formul�akb�ol megkaphat�o.

P�eld�ak logikai kifejez�esekre

1. A Geom nyelv kifejez�esei:

� termek: A; f; b

� atomi formul�ak:a geometri�aban szok�asosan

P (A;B) (A = B)Q(B; e) (B 2 e)R(A; a) (A 2 a)

� formula:

9A(Q(A; e)^Q(A; f)) 9A((A 2 e)^(A 2 f))

2. Az Ar nyelv kifejez�esei:

� termek:az arimetik�aban szok�asosan

nulla; x; f(nulla)g(x; f(nulla)) (x+ f(nulla))h(f(f(x)); x) (f(f(x)) � x)

� atomi formula:

P (g(x; f(nulla)); nulla) ((x+f(nulla)) = nulla)

� formula:

9uP (g(x; u); y) 9u((x+ u) = y)

k�ozvetlen r�eszterm

� v�altoz�onak �es konstansnak nincs k�ozvetlen r�esztermje;

� az f(t1; t2; : : : ; tk) term k�ozvetlen r�esztermjei at1; t2; : : : ; tk termek.

Jel�ol�es:

4 Q

^ _ � 8 9

k�ozvetlen r�eszformula

� atomi formul�anak nincs k�ozvetlen r�eszformul�aja;

� a :A k�ozvetlen r�eszformul�aja az A formula;

� az (A4B) formula k�ozvetlen r�eszformul�ai az A�es a B formul�ak;

� a QxA formula k�ozvetlen r�eszformul�aja az A

formula.

r�eszkifejez�es

� maga a kifejez�es;

� a k�ozvetlen r�eszkifejez�esek;

� r�eszkifejez�esek r�eszkifejez�esei.

funkcion�alis �osszetetts�eg (jele: ~l(t))

� ha t = c 2 Cnst; vagy t = x, akkor ~l(t)*) 0;

� ~l(f(t1; t2; : : : ; tk))*)Pki=1

~l(ti) + 1:

logikai �osszetetts�eg (jele: l(A))

� ha A atom, l(A)*) 0;

� l(:A) *) l(A) + 1;

� l(A4B)*) l(A) + l(B) + 1;

� l(QxA) *) l(A) + 1:

A formul�ak le��r�asakor szok�asos r�ovid��t�esek:

� formula-kombin�aci�ok helyett speci�alis jel�ol�esek;P�elda.

(A � B)*) ((A � B) ^ (B � A))

� k�uls}o z�ar�ojelek elhagy�asa;

� logikai jelek priorit�asa cs�okken}o sorrendben:

89:_^�

� azonos priorit�as eset�en a jobbra �all�o az er}osebb;

� jobbr�ol �all�o pont jel�oli a z�ar�ojelen bel�uli leg-gyeng�ebb logikai jelet.

Qx A

" "kvantoros el}otag a kvantor hat�ask�ore

Egy v�altoz�o valamely el}ofordul�asa a formul�abank�ot�ott:

� Egy atomi formula egyetlen v�altoz�oja sem k�ot�ott.

� A :A-ban x egy adott el}ofordul�asa k�ot�ott, haA-ban x-nek ez az el}ofordul�asa k�ot�ott.

� Az A4B-ben x egy adott el}ofordul�asa k�ot�ott,ha ez az el}ofordul�as vagy A-ban van, �es ottk�ot�ott, vagy B-ben van, �es ott k�ot�ott.

� A QxA-ban x minden el}ofordul�asa k�ot�ott, �es azx-t}ol k�ul�onb�oz}o y egy adott el}ofordul�asa k�ot�ott,ha ez az el}ofordul�as A-ban k�ot�ott.

Egy v�altoz�o valamely el}ofordul�asa a formul�abanszabad, ha nem k�ot�ott.Ha egy v�altoz�onak egy formul�aban van szabad el}o-fordul�asa, akkor ez a v�altoz�o a formula param�etere.Jel�ol�esek:Fv(A): az A formula param�etereinek a halmaza.A(x1; x2; : : : ; xn): formula, melyben legfeljebb azx1; x2; : : : ; xn v�altoz�ok lehetnek param�eterek.

A k�ot�ott v�altoz�ok �atnevez�ese

A QxA-ban x-nek a Q kvantor �altal k�ot�ott mindenel}ofordul�as�at az x-szel azonos t��pus�u y v�altoz�oracser�elve kapunk egy QyAx

yformul�at.

Milyen formul�at eredm�enyez ez az �atalak��t�as?

Az Ar nyelven a term�eszetes sz�amok halmaz�abana

9x(u+ x = v); 9y(u+ y = v); 9z(u+ z = v)

formul�ak mindegyike a (u � v) rel�aci�ot fejezi ki.

Vigy�azat!!

A9u(u+ u = v)

formula viszont v p�aross�ag�at �all��tja.

A jelent�esv�altoz�as oka a v�altoz�o�utk�oz�es.P�elda:

8x(P (x; z) � 9yR(x; y))

Az x y-ra �atnevez�es�evel a

8y(P (y; z) � 9yR(y; y))

formul�at kapjuk!!

A k�ot�ott v�altoz�ok szab�alyosan v�egrehajtott

�atnevez�ese

Ha a QxA formul�aban

� az y nem param�eter, �es

� az x v�altoz�o egyetlenQ �altal k�ot�ott el}ofordul�asasem tartozik egyetlen y-t k�ot}o kvantor hat�ask�or�ebesem,

akkor a QxA-b�ol a QyAx

yformul�at az x k�ot�ott

v�altoz�o szab�alyosan v�egrehajtott �atnevez�es�evelkaptuk.

Az A �es A0 kongruens formul�ak, ha egym�ast�olcsak k�ot�ott v�altoz�ok szab�alyosan v�egrehajtott�atnevez�es�eben k�ul�onb�oznek.Jel�ol�ese: A � A0

A kongruencia egy nyelv formul�ai halmaz�abanre ex��v, szimmetrikus �es tranzit��v rel�aci�o.Oszt�alyoz�ast gener�al: az egy kongruenciaoszt�alybatartoz�o formul�ak k�oz�ott a logik�aban nem tesz�unkk�ul�onbs�eget.

Hogyan d�onthetj�uk el, hogy k�et formula kongruens-e?

� a formula �osszetetts�ege szerinti indukci�oval:

{ Egy atomi formula egyetlen m�as formul�avalsem kongruens, csak �onmag�aval.

{ :A � :A0, ha A � A0.

{ A4B � A04B0, ha A � A0 �es B � B0.

{ QxA � QyA0,ha minden z-re, mely k�ul�onb�ozikQxA �esQyA0

(k�ot�ott �es szabad) v�altoz�oit�ol, Ax

z� A0

y

z.

� a formula v�az�aval

{ rajzoljuk be a formul�aban a k�ot�esi viszonyokat;

{ hagyjuk el az �osszek�ot�ott v�altoz�okat.

K�et formula pontosan akkor lesz egym�assalkongruens, ha megegyez}o a v�azuk.

Egy formula v�altoz�o-tiszta, ha benne

� a k�ot�ott v�altoz�ok nevei k�ul�onb�oznek a szabadv�altoz�ok neveit}ol;

� b�armely k�et kvantor k�ul�onb�oz}o nev}u v�altoz�okatk�ot meg.

Lemma.

Legyen A egy formula �es S v�altoz�oknak egy v�egeshalmaza. Ekkor konstru�alhat�o olyan v�altoz�o-tisztaA0 formula, hogy

� A � A0 , �es

� A0 egyetlen k�ot�ott v�altoz�oj�anak neve sem elemeS-nek.

A szabad v�altoz�ok helyettes��t�ese termekkel

Az Ar nyelvben a term�eszetes sz�amok halmaz�abanszeretn�enk kifejezni az (x � z � z) rel�aci�ot. Ha az(x � y)-t kifejez}o

9u(x+ u = y)

formul�aban y hely�ere z�z-t helyettes��t�unk, a k��v�ant

9u(x+ u = z � z)

formula megkaphat�o.

Vigy�azat!

Ha az (x � z �u) rel�aci�ot akarjuk kifejezni hasonl�om�odon elj�arva, nem a k��v�ant formul�at, hanem az

9u(x+ u = z � u)

kapjuk.A probl�ema oka a v�altoz�o�utk�oz�es.Megold�as:Nevezz�uk �at a k�ot�ott v�altoz�ot p�eld�aul w-re, �es csakut�ana hajtsuk v�egre a termhelyettes��t�est:

9w(x+ w = z � u)

A form�alis helyettes��t�es

Egy x v�altoz�onak �es egy vele megegyez}o t��pus�u t

termnek a p�aros�at bindingnek nevezz�uk.Jel�ol�ese: x=t.A form�alis helyettes��t�es bindingek egy

� = fx1=t1; x2=t2; : : : ; xk=tkg

halmaza, ahol xi 6= xj; ha i 6= j

(i; j = 1; 2; : : : ; k; k � 0):

A helyettes��t�est megadhatjuk m�eg

� t�abl�azattal:

� =

0BB@ x1 x2 : : : xkt1 t2 : : : tk

1CCA ;

� amit egy sorba is ��rhatunk:

� = (x1; x2; : : : ; xkjjt1; t2; : : : ; tk):

A helyettes��t�es

� �ertelmez�esi tartom�anya: dom � = fx1; x2; : : : ; xkg

� �ert�ekk�eszlete: rng � = ft1; t2; : : : ; tkg

Egy kifejez�esbe val�o form�alis helyettes��t�es

eredm�enye

LegyenK logikai kifejez�es, � = fx1=t1; x2=t2; : : : ; xk=tkgform�alis helyettes��t�es. Az xi v�altoz�ok �osszes K-beliszabad el}ofordul�as�at helyettes��ts�uk egyidej}uleg K-ban a ti termekkel. Az ��gy kapott kifejez�es a � K-ba val�o form�alis helyettes��t�es�enek eredm�enye.Jel�ol�ese:

K�; vagy Kx1;:::;xkt1;:::;tk

Egy kifejez�esbe val�o form�alis helyettes��t�es eredm�eny�enekmeghat�aroz�asa:

� x� =

8>><>>:x ha x 62 dom ��(x) ha x 2 dom �

� f(t1; t2; : : : ; tk)� = f(t1�; t2�; : : : ; tk�)

� P (t1; t2; : : : ; tk)� = P (t1�; t2�; : : : ; tk�)

� (:A)� = :(A�)

� (A4B)� = A�4B�

� (QxA)� = Qx(A(�� x)),ahol �� x azt a helyettes��t�est jel�oli, melyredom (�� x) = (dom �) n fxg; �es(�� x)(z) = �(z) minden z 2 dom (�� x)-re.

Egy kifejez�es sz�am�ara megengedett

helyettes��t�es

�megengedett aK kifejez�es sz�am�ara, ha egyetlenxi 2 dom �-nak egyetlenK-beli szabad el}ofordul�asasem esik a �(xi) term valamely v�altoz�oja szerintikvantor hat�ask�or�ebe.

P�elda.A 9u(x+ u = y) formula sz�am�arafy=z � zg megengedett, de fy=z � ug nem.

Annak meghat�aroz�asa, hogy egy � helyettes��t�esmegengedett-e egy kifejez�es sz�am�ara:

� Termek �es atomi formul�ak sz�am�ara minden �megengedett.

� :A sz�am�ara � megengedett, ha megengedett Asz�am�ara.

� A4B sz�am�ara � megengedett, ha megengedettmind A, mind B sz�am�ara.

� QxA sz�am�ara � megengedett, ha

{ �� x megengedett A sz�am�ara, �es

{ egyetlen z 2 Fv(QxA) \ dom � eset�en semszerepel x a �(z) termben.

A szab�alyos helyettes��t�es

Legyen K egy kifejez�es, �es � egy helyettes��t�es.Keress�unkK-val kongruens olyanK 0 kifejez�est, melysz�am�ara a � helyettes��t�es megengedett. Ekkor aK 0� kifejez�es a � szab�alyos helyettes��t�es�enek

eredm�enye K-ba.Jel�ol�ese: [K�].

A szab�alyos helyettes��t�es eredm�eny�enek meghat�aroz�asa:

� Ha K term vagy atomi formula,akkor [K�] = K�.

� [(:A)�] = :[A�]

� [(A4B)�] = [A�]4[B�]

� { Ha egyetlen z 2 Fv(QxA) \ dom � eset�ensem szerepel x a �(z) termben, akkor[(QxA)�] = Qx[A(�� x)].

{ Ha van olyan z 2 Fv(QxA) \ dom �, hogyx param�eter �(z)-ben, akkor v�alasszunk egy�uj v�altoz�ot, p�eld�aul u-t, mely nem szerepelsem QxA-ban, sem �-ban, �es[(QxA)�] = Qu[(Ax

u)(�� x)].

A logikai nyelv klasszikus szemantik�aja

Az =< Srt;Cnst; Fn; Pr > els}orend}u logikainyelv I interpret�aci�oja (modellje, algebrai strukt�ur�aja)egy olyan

I =< dSrt;

dCnst;

dFn;

dPr >

f�uggv�enyn�egyes, melyben

� dom dSrt = Srt; �es d

Srt : � 7! D�, ahol a D�

objektumtartom�any a � t��pus�u objektumoknem�ures halmaza;

� dom dCnst = Cnst; �es a d

Cnst : c 7! ~c f�uggv�enyolyan, hogy ha a c � t��pus�u konstans, akkor~c 2 D�;

� dom dFn = Fn; �es az d

Fn : f 7! ~f f�uggv�enyminden f (�1;�2;:::;�k!�) f�uggv�enyszimb�olumhoz olyan~f f�uggv�enyt rendel, melybendom ~f = D�1

�D�2� : : :�D�k

, �es rng ~f = D�,azaz~f : D�1

�D�2� : : :�D�k

! D�;

� dom dPr = Pr; �es a d

Pr : P 7! ~P f�uggv�enyolyan, hogy a P (�1;�2;:::;�k) (k � 1) predik�atumszimb�olumeset�en,~P : D�1

�D�2� : : :�D�k

! f0; 1g,ha pedig P propoz��cion�alis bet}u,akkor ~P vagy 0, vagy 1.

Legyen az nyelv I interpret�aci�oj�aban

D *)[

�2Srt

D� n f~cjd

Cnst(c) = ~c; c 2 Cnstg:

B}ov��ts�uk ki a nyelvet az objektumtartom�anyok ob-jektumait jel�ol}o �uj konstansokkal:

(D) =< Srt;Cnst(D); Fn; Pr >;

ahol

Cnst(D)*) Cnst[faja az a 2 D-hoz rendelt �uj szimb�olumg:

Az (D) nyelv z�art logika kifejez�eseit I-beli �er-t�ekelhet}o kifejez�eseinek nevezz�uk.

Az (D) nyelv � form�alis helyettes��t�es�et I-beli�ert�ekel}o helyettes��t�es�enek nevezz�uk, haFv(rng �) = ;:

Egy � �ert�ekel}o helyettes��t�es minden K kifejez�essz�am�ara megengedett.

Ha a � �ert�ekel}o helyettes��t�es �es aK kifejez�es olyanok,hogy Fv(K) � dom �; akkor K� �ert�ekelhet}o kife-jez�ese -nak, �es �-�atK I-beli �ert�ekel�es�enek nevez-z�uk.

P�elda.1. Az Ar nyelv term�eszetes interpret�aci�ojadSrt(szt) = Nd

Cnst(nulla) = 0dFn(f) = ~f; ahol ~f : N ! N ; �es

~f(n) = n+ 1; ( ha n 2 N )dFn(g) = ~g; ahol ~g : N �N ! N ; �es

~g(n;m) = n+m; ( ha n;m 2 N )dFn(h) = ~h; ahol ~h : N �N ! N ; �es

~h(n;m) = n �m; ( ha n;m 2 N )dPr(P ) = ~P ; ahol ~P : N �N ! f0; 1g;�es (ha n;m 2 N );

~P (n;m) =

8>><>>:1 ha n = m

0 egy�ebk�ent

2. A Subset nyelvSrt = frh (egy alaphalmaz r�eszhalmazai) grh t��pus�u v�altoz�ok: x; y; z : : :Cnst = ; Fn = ; Pr = fP (rh;rh)gA Subset nyelv egy interpret�aci�ojadSrt(rh) = f a fpiros, k�ek, z�oldg alaphalmaz r�eszhalmazai gdPr(P ) = ~P ; ahol, ha S;Z az alaphalmaz k�et r�eszhalmaza

~P (S;Z) =

8>><>>:1 ha S � Z

0 egy�ebk�ent

Legyen I egy interpret�aci�oja.

� Az � t��pus�u, �ert�ekelhet}o term�enek �ert�eke I-ben egy D�-beli objektum. Jel�ol�ese: jtjI

{ Ha dCnst(c) = ~c, akkor jcjI *) ~c.

{ Ha a 2 Cnst(D) az a 2 D� objektumhozrendelt �uj a szimb�olum, akkor jajI *) a.

{ Ha f(t1; t2; : : : ; tk) �ert�ekelhet}o term, ahol at1; t2; : : : ; tk termek �ert�ekei I-ben rendrejt1jI; jt2jI; : : : ; jtkjI, �es ~f = d

Fn(f), akkor

jf(t1; t2; : : : ; tk)jI *) ~f(jt1jI; jt2jI; : : : ; jtkjI).

� Az �ert�ekelhet}o formul�aj�anak �ert�eke I-benvagy 0, vagy 1. Jel�ol�ese: jjCjjI

{ Ha P (t1; t2; : : : ; tk) �ert�ekelhet}o atomi formula,ahol a t1; t2; : : : ; tk termek �ert�ekei I-ben rend-re jt1jI; jt2jI; : : : ; jtkjI, �es ~P = d

Pr(P ), akkor

jjP (t1; t2; : : : ; tk)jjI *) ~P (jt1jI; jt2jI; : : : ; jtkjI).

{ Ha :A �ert�ekelhet}o formula, ahol az A for-mula �ert�eke jjAjjI, akkor

jj:AjjI *) 1� jjAjjI:

{ Ha A4B �ert�ekelhet}o formula, ahol az A �esB formul�ak �ert�ekei rendre jjAjjI; jjBjjI, akkor

jjA ^BjjI *) minfjjAjjI; jjBjjIgjjA _BjjI *) maxfjjAjjI; jjBjjIgjjA � BjjI *) maxf1� jjAjjI; jjBjjIg

{ Ha 8xA �ert�ekelhet}o formula, ahol x � t��pus�uv�altoz�o, akkor

jj8xAjjI *)

8>><>>:1; ha minden a 2 D� eset�en jjA

x

ajjI = 1;

0 egy�ebk�ent.

{ Ha 9xA �ert�ekelhet}o formula, ahol x � t��pus�uv�altoz�o, akkor

jj9xAjjI *)

8>><>>:1; ha van olyan a 2 D� hogy jjA

x

ajjI = 1;

0 egy�ebk�ent.

Legyen I egy interpret�aci�oja �es A �ert�ekelhet}oformula. Az A formulaigaz I-ben (jel�ol�ese: I j= A), amikor jjAjjI = 1,egy�ebk�ent hamis I-ben.

P�elda.

1. Az Ar nyelv term�eszetes interpret�aci�oj�aban

jnullaj = 0

jf(nulla)j = ~f(jnullaj) = 1

j(f(1) + 3)j = ~g (jf(1)j; j3j) = ~g ~f(j1j); 3

!=

= ~g ~f(1); 3

!= ~g(2; 3) = 5

jj ((f(nulla) � 3) = (f (f(nulla)) + 1)) jj =~P (jf(nulla) � 3j; jf (f(nulla)) + 1j) =~P ~h (jf(nulla)j; j3j) ; ~g (jf (f(nulla)) j; j1j)

!=

~P ~h(1; 3); ~g

~f(jf(nulla)j); 1

!!= ~P

3; ~g( ~f(1); 1)

!=

~P (3; ~g(2; 1)) = ~P (3; 3) = 1

jj9u ((3 + u) = 4) jj = 1;mert az 1 2 N olyan, hogyjj ((3 + u) = 4)u

1jj = jj (3 + 1 = 4) jj = ~P (j3 + 1j; j4j) =

~P (~g(j3j; j1j) ; 4) = ~P (~g(3; 1); 4) = ~P (4; 4) = 1

2. A Subset nyelv el}obbi interpret�aci�oj�aban

jjP (fpiros,z�oldg; fpiros,k�ekg)jj =~P (jfpiros,z�oldgj; jfpiros,k�ekgj) =~P (fpiros,z�oldg; fpiros,k�ekg) = 0

jj8yP (y; fpiros,k�ek,z�oldg)jj = 1;mert minden S r�eszhalmazrajjP (S; fpiros,k�ek,z�oldg)jj = ~P (jSj; jfpiros,k�ek,z�oldgj) =~P (S; fpiros,k�ek,z�oldg) = 1

jj8yP (y; fpiros,k�ekg)jj = 0;mert p�eld�aul az fz�oldg r�eszhalmazrajjP (fz�oldg; fpiros,k�ekg)jj = ~P (jfz�oldgj; jfpiros,k�ekgj) =~P (fz�oldg; fpiros,k�ekg) = 0

3. A Subset nyelv egy olyan interpret�aci�oj�aban, aholdSrt(rh) = ffpiros, k�ek, z�old, s�argag r�eszhalmazai g

jj8yP (y; fpiros,k�ek,z�oldg)jj = 0;mert p�eld�aul a fs�argag r�eszhalmazrajjP (fs�argag; fpiros,k�ek,z�oldg)jj =~P (jfs�argagj; jfpiros,k�ek,z�oldgj) =~P (fs�argag; fpiros,k�ek,z�oldg) = 0

Lemma.

Legyen I az nyelv egy interpret�aci�oja �es r egyolyan term, melyben legfeljebb egy param�eter, a �t��pus�u x szerepel. Legyen a t � t��pus�u �ert�ekelhet}oterm �ert�eke jtjI. Ekkor

jrfx=tgjI = jrfx=jtjIgjI;

azaz egy �ert�ekelhet}o term �ert�eke csak r�esztermjei�ert�ekeit}ol f�ugg.

Lemma.

Legyen I az nyelv egy interpret�aci�oja �es A egyolyan formula, melyben legfeljebb egy param�eter, a� t��pus�u x szerepel. Legyen a t � t��pus�u �ert�ekelhet}oterm �ert�eke jtjI. Ekkor

I j= [Afx=tg] akkor �es csak akkor, ha I j= Afx=jtjIg:

Logikai t�orv�eny, logikai ellentmond�as

Az nyelv egy A formul�aja logikai t�orv�eny, ha b�armely I interpret�aci�oj�aban �es A b�armely I-beli� �ert�ekel�ese eset�en I j= A�. Jel�ol�ese: j= A.

Az nyelv egyA formul�aja logikai ellentmond�as,ha b�armely I interpret�aci�oj�aban �es A b�armely I-beli � �ert�ekel�ese eset�en A� hamis. Jel�ol�ese: =j A.

Lemma.

=j A akkor �es csak akkor, ha j= :A.

Az nyelv egy A formul�aja kiel�eg��thet}o, ha van-nak olyan I interpret�aci�oja �es � �ert�ekel�ese, amely-re I j= A�.

Lemma.

Az A formula pontosan akkor kiel�eg��thet}o, ha nemigaz, hogy j= :A.

Az A �es B formul�ak logikailag ekvivalensek, haj= A � B: Jel�ol�ese: A � B.

A Boole-kombin�aci�o

Legyenek A1; A2; : : : ; An; n � 1 az nyelv for-mul�ai. A1; A2; : : : ; An Boole-kombin�aci�oja

� Ai b�armelyik 1 � i � n-re;

� :B, ha B A1; A2; : : : ; An Boole-kombin�aci�oja;

� B4C, ha ha B �es C is A1; A2; : : : ; An Boole-kombin�aci�oi.

P�elda.8xP (x) _ 9yQ(x; y)

a 8xP (x) �es a 9yQ(x; y) Boole-kombin�aci�oja.

A Quine-t�abl�azat

Legyen B az A1; A2; : : : ; An Boole-kombin�aci�oja.K�esz��ts�uk el a k�ovetkez}o, 2n k�ul�onb�oz}o sort tartal-maz�o t�abl�azatot:

A1 A2 : : : : : : An�2 An�1 An B

0 0 : : : : : : 0 0 00 0 : : : : : : 0 0 10 0 : : : : : : 0 1 00 0 : : : : : : 0 1 1... ... : : : : : : ... ... ...1 1 : : : : : : 1 1 1

Megjegyz�es:

� A sorok azA1; A2; : : : ; An formul�ak �osszes k�ul�on-b�oz}o lehets�eges �ert�ekeit tartalmazz�ak, f�uggetlen�ulatt�ol, hogy van-e olyan interpret�aci�o �es k�oz�os�ert�ekel�es, melyre ilyen �ert�ekek ad�odn�anak.

� Olyan interpret�aci�o �es k�oz�os �ert�ekel�es viszontnincs, ahol a formul�ak �ert�ekei rendre ne lenn�enekmegtal�alhat�ok valamely sorban.

T�olts�uk ki a B alatti f}ooszlopot: minden sorbansz�amoljuk ki B �ert�ek�et a kombin�al�ot�enyez}ok sor-beli �ert�ekeinek f�uggv�eny�eben.

A Boole-kombin�aci�o propoz��cion�alis tautol�ogia,ha a Quine-t�abl�aja f}ooszlop�aban csupa 1 �ert�ek van.

Lemma.

Ha egy Boole-kombin�aci�o propoz��cion�alis tautol�ogia,akkor logikai t�orv�eny.

Lemma.

Ha a Boole-kombin�al�o t�enyez}ok propoz��cion�alis bet}uk,�es a Boole-kombin�aci�o logikai t�orv�eny, akkor propoz��-cion�alis tautol�ogia.

P�elda.

1. Vizsg�aljuk az (A � B) � :(A ^ :B) formul�at,mint az A �es B formul�ak Boole-kombin�aci�oj�at.

(A � B) � : (A ^ : B)

0 0 0 00 1 0 11 0 1 01 1 1 1

(A � B) � : (A ^ : B)

0 1 0 1 1 0 0 1 00 1 1 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 1 1 1 01 1 1 1 1 1 0 0 1

A Boole-kombin�aci�o propoz��cion�alis tautol�ogia,teh�at a formula logikai t�orv�eny.

2. D�onts�uk el, hogy A^:A logikai ellentmond�as-e?

: (A ^ : A)0 01 1

: (A ^ : A)1 0 0 1 01 1 0 0 1

:(A^:A) propoz��cion�alis tautol�ogia, azaz logikait�orv�eny, teh�at A ^ :A logikai ellentmond�as.

3. Vizsg�aljuk a 9x(A(x)^B(x)) � 9xA(x)^9xB(x)formul�at, mint a 9x(A(x) ^B(x));9xA(x) �es a9xB(x) formul�ak Boole-kombin�aci�oj�at.

9x(A(x) ^B(x)) � 9xA(x) ^ 9xB(x)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

9x(A(x) ^B(x)) � 9xA(x) ^ 9xB(x)0 1 0 0 00 1 0 0 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 0 11 0 1 0 01 1 1 1 1

A Boole-kombin�aci�o nem propoz��cion�alis tau-tol�ogia, pedig logikai t�orv�eny.

4. L�assuk be, hogy

j= 9x(A(x) ^B(x)) � 9xA(x) ^ 9xB(x):

Bizony��t�as:Tekints�unk egy tetsz}oleges I interpret�aci�ot �es ��ert�ekel�est. Vizsg�alnunk kell ajj (9x(A(x) ^B(x)) � 9xA(x) ^ 9xB(x))�jjI =jj (9x(A(x) ^B(x)))� � (9xA(x))�^(9xB(x))�jjI =jj (9x(A(x)(�� x) ^B(x)(�� x)) �9x(A(x)(�� x)) ^ 9x(B(x)(�� x))jjI =jj9x(A0(x) ^B0(x)) � 9xA0(x) ^ 9xB0(x)jjI�ert�eket.

� Ha jj9x(A0(x) ^B0(x))jjI = 0;akkor az implik�aci�o �ert�eke 1;

� Ha jj9x(A0(x) ^B0(x))jjI = 1;akkor van olyan a 2 D�x

; hogyjj (A0(x) ^B0(x))x

ajjI =

jjA0(x)xa^B0(x)x

ajjI = 1:

Ekkor viszontjjA0(x)x

ajjI = 1 �es jjB0(x)x

ajjI = 1; azaz

jj9xA0(x)jjI = 1 �es jj9xB0(x)jjI = 1; ��gyjj9xA0(x) ^ 9xB0(x)jjI = 1:Mivel az implik�aci�o ut�otagja 1 �ert�ek}u, azimplik�aci�o �ert�eke most is 1.

5. L�assuk be, hogy

6j= 9xA(x) ^ 9xB(x) � 9x(A(x) ^B(x)):

Bizony��t�as:

Tekints�unk egy olyan I interpret�aci�ot, melybendSrt(�x) = f;; fpirosggdPr(P ) = ~P ; ahol, ha S;Z 2 f;; fpirosgg

~P (S;Z) =

8>><>>:1 ha S � Z

0 egy�ebk�ent

A(x) *) 8uP (x; u)B(x)*) 8uP (u; x)

Ebben az interpret�aci�obanjj9xA(x)jjI = 1 �es jj9xB(x)jjI = 1; mert p�eld�auljjA(;)jjI = 1 �es jjB(fpirosg)jjI = 1:Ugyanakkor jj9x(A(x) ^B(x))jjI = 0; mertjjA(;) ^B(;)jjI = 0 �esjjA(fpirosg) ^B(fpirosg)jjI = 0:

6. A 9xA(x)^9xB(x) � 9x(A(x)^B(x)) formulakiel�eg��thet}o.

Bizony��t�as:

Legyen most az interpret�aci�onk az el}oz}oh�oz ha-sonl�o, csakA(x) *)

8u (P (u; x) � (8zP (u; z) _ (P (u; x) ^ P (x; u)))) :Ebben az interpret�aci�obanjj9xA(x)jjI = 1; mert jjA(fpirosg)jjI = 1, �esjj9x(A(x) ^B(x))jjI = 1; mertjjA(fpirosg) ^B(fpirosg)jjI = 1:

N�eh�any fontos logikai t�orv�eny

asszociativit�as

A ^ (B ^ C) � (A ^B) ^ C

A _ (B _ C) � (A _B) _ C

kommutativit�as

A ^B � B ^A

A _B � B _A

disztributivit�as

A ^ (B _ C) � (A ^B) _ (A ^ C)

A _ (B ^ C) � (A _B) ^ (A _ C)

idempotenciaA ^A � A

A _A � A

elimin�aci�oA ^ (B _A) � A

A _ (B ^A) � A

De Morgan t�orv�enyei

:(A ^B) � :A _ :B

:(A _B) � :A ^ :B

neg�aci�o az implik�aci�oban

:(A � B) � A ^ :BA � :A � :A:A � A � A

j= :(A � :A)

logikai jelek k�oz�otti �osszef�ugg�esek

A ^B � :(:A _ :B)A ^B � :(A � :B)A _B � :(:A ^ :B)A _B � :A � B

A � B � :(A ^ :B)A � B � :A _B

kontrapoz��ci�o

A � B � :B � :A

k�etszeres tagad�as

::A � A

implik�aci�os el}otagok felcser�el�ese

A � (B � C) � B � (A � C)

implik�aci�o konjunkt��v el}otaggal

A ^B � C � A � (B � C)

kisz�am��t�asi t�orv�enyek (>*) C_:C; ?*) C^:C)

A ^ > � A A ^ ? � ?A _ > � > A _ ? � A

A � > � > A � ? � :A> � A � A ? � A � >

az azonoss�ag t�orv�enye

j= A � A

b}ov��t�es el}otaggal

j= A � (B � A)

az implik�aci�o �ondisztributivit�asa

A � (B � C) � (A � B) � (A � C)

esetelemz�es

A _B � C � (A � C) ^ (B � C)

tranzitivit�as

j= (A � B) ^ (B � C) � (A � C)

reductio ad absurdum

j= (A � B) ^ (A � :B) � :A

az ellentmond�asb�ol b�armi k�ovetkezik

j= A � (:A � B)

a kiz�art harmadik t�orv�enye

j= A _ :A

az ellentmond�as t�orv�enye

j= :(A ^ :A)

Pierce-t�orv�eny

j= ((A � B) � A) � A

�kt��v kvantorokHa x 62 Fv(A) , akkor

8xA � A 9xA � A

az egyforma kvantorok helycser�eje

8x8yA(x; y) � 8y8xA(x; y)

9x9yA(x; y) � 9y9xA(x; y)

kvantor-csere implik�aci�oban

j= 8xA(x) � 9xA(x)

j= 9y8xA(x; y) � 8x9yA(x; y)

De Morgan kvantoros t�orv�enyei

:9xA(x) � 8x:A(x)

:8xA(x) � 9x:A(x)

kvantor-felcser�el�es

9xA(x) � :8x:A(x)

8xA(x) � :9x:A(x)

kvantorok egyoldali kiemel�eseHa x 62 Fv(A) , akkor

A ^ 8xB(x) � 8x(A ^B(x))

A ^ 9xB(x) � 9x(A ^B(x))

A _ 8xB(x) � 8x(A _B(x))

A _ 9xB(x) � 9x(A _B(x))

A � 8xB(x) � 8x(A � B(x))

A � 9xB(x) � 9x(A � B(x))

8xB(x) � A � 9x(B(x) � A)

9xB(x) � A � 8x(B(x) � A)

kvantorok k�etoldali kiemel�ese

8xA(x) ^ 8xB(x) � 8x(A(x) ^B(x))

9xA(x) _ 9xB(x) � 9x(A(x) _B(x))

j= 8xA(x) _ 8xB(x) � 8x(A(x) _B(x))

j= 9x(A(x) ^B(x)) � 9xA(x) ^ 9xB(x)

kongruens formul�ak ekvivalenci�aja

Ha A � B; akkor A � B:

helyettes��t�eskor fell�ep}o kvantorok

j= 8xA � [Ax

t]

j= [Ax

t] � 9xA

kvantorhat�ask�or-�atjel�ol�esHa y 62 Fv(A) , akkor

8xA � 8y[Ax

y]

9xA � 9y[Ax

y]

kvantor-redukci�oHa x �es y azonos t��pus�u v�altoz�ok, akkor

j= 8x8yA � 8x[Ay

x]

j= 9x[Ay

x] � 9x9yA

helyettes��t�es ekvivalens formul�akba

Ha A � B; akkor [Ax

t] � [Bx

t]

A logikai k�ovetkezm�eny

Legyenek A1; A2; : : : ; An (n � 1) �es B az nyelvtetsz}oleges formul�ai.AB formula logikai (szemantikai) k�ovetkezm�enyeaz A1; A2; : : : ; An formul�aknak, ha minden olyanI interpret�aci�oj�aban �es az A1; A2; : : : ; An �es B for-mul�ak tetsz}oleges olyan I-beli � �ert�ekel�ese eset�en,amikor

I j= A1�; I j= A2�; : : : ; I j= An�;

akkorI j= B�:

Jel�ol�ese: A1; A2; : : : ; An j= B:

Lemma.

(a) A1; A2; : : : ; An j= B akkor �es csak akkor, haj= A1 ^A2 ^ : : : ^An � B.

(b) A1; A2; : : : ; An j= B akkor �es csak akkor, ha=j A1 ^ A2 ^ : : : ^An ^ :B.

Lemma.

A � B pontosan akkor, ha A j= B �es B j= A.

P�elda.Bizony��tsuk be, hogy helyesen k�ovetkeztett�unk:P1 N�eh�any republik�anus kedvel minden demokrat�at.P2 Nincs olyan republik�anus, aki szeretn�e a szocialist�akat.K Teh�at egyik demokrata sem szocialista.

K�esz��ts�unk alkalmas logikai nyelvet. Legyenekx; y; z; : : : embereket jel�ol}o v�altoz�ok;R(x) jelentse, hogy x republik�anus;D(x) jelentse, hogy x demokrata;S(x) jelentse, hogy x szocialista;K(x; y) jelentse, hogy x kedveli y-t.

Ezen e nyelven formaliz�alva az �all��t�asokat:P1 9x(R(x) ^ 8y(D(y) � K(x; y)))P2 :9x(R(x) ^ 9z(S(z) ^K(x; z)))K :9y(D(y) ^ S(y))

R�ogz��ts�unk tetsz}olegesen egy olyan I interpret�aci�ot,melyben jjP1jjI = 1 �es jjP2jjI = 1:

Ekkor jjP1jjI = 1 miatt van olyan a 2 D; hogyjj(R(x) ^ 8y(D(y) � K(x; y)))x

ajjI = 1; azaz

jjR(a)jjI = 1 �es minden b 2 D-rejj(D(y) � K(a; y))yb jjI = 1:

jjP2jjI = 1 miatt viszont minden b 2 D-re, ��gy�eppen a-ra isjj(R(x) ^ 9z(S(z) ^ K(x; z)))x

ajjI = 0; azaz mivel

jjR(a)jjI = 1; ez�ert jj9z(S(z) ^K(a; z)))jjI = 0:Ez azt jelenti, hogy minden b 2 D-rejj(S(z) ^K(a; z)))z

bjjI = 0: Ez a konjunkci�o

� vagy az�ert 0, mert b olyan, hogy jjS(b)jjI = 0;de ekkor jj(D(y) ^ S(y))yb jjI = 0;

� vagy az�ert, mert b olyan, hogy jjK(a; b)jjI = 0:Ilyen b-re viszont, miveljj(D(y) � K(a; y))yb jjI = 1;jjD(b)jjI = 0; teh�at ilyenkor isjj(D(y) ^ S(y))yb jjI = 0:

Azaz minden b 2 D-re jj(D(y)^S(y))yb jjI = 0; teh�atjj9y(D(y) ^ S(y))jjI = 0; azazjj:9y(D(y) ^ S(y))jjI = 1:

A logikai kalkulus

Fel lehet �ep��teni a logik�at szemantikai fogalmakrahivatkoz�as n�elk�ul is:

szintaktika szemantika

logikai nyelv interpret�aci�oformula logikai �ert�eklevezethet}os�eg k�ovetkezm�eny

A levezethet}os�eg fogalm�at kalkulus megad�as�avalde�ni�alhatjuk. Egy kalkulus megad�asakor felsoroljukaz

� alaps�em�ait �es a

� levezet�esi szab�alyait.

Ekkor de�ni�alhat�o a � = fA1; A2; : : : ; Ang (n � 0)formulahalmazb�ol val�o levezethet}os�eg fogalma:

� ha B alapformula, vagy B 2 �; akkor levezet-het}o �-b�ol; jel�ol�ese: � ` B

� ha �-b�ol levezet}o B1; B2; : : : ; akkor a levezet�esiszab�alyok megmondj�ak, hogy mely tov�abbi for-mul�ak lesznek m�eg levezethet}ok.

Egy kalkulus helyes, ha � ` B; akkor � j= B:

Egy kalkulus teljes, ha � j= B; akkor � ` B:Egy kalkulus adekv�at, ha helyes is, teljes is.

Egy logikai rendszer megalkot�asakor

� el}osz�or egy szemantikai rendszert de�ni�alunk,

� majd megk��s�erl�unk ehhez legal�abb helyes, de halehet, adekv�at logikai kalkulust szerkeszteni.

A predik�atumkalkulus

Alaps�em�ak:

1. A � (B � A)

2. (A � (B � C)) � ((A � B) � (A � C))

3. A � (B � A ^B)

4. A ^B � A

5. A ^B � B

6. (A � C) � ((B � C) � (A _B � C))

7. A � A _B

8. B � A _B

9. (A � B) � ((A � :B) � :A)

10. ::A � A

11. 8xA(x) � A(x)xt

12. 8x(C � A(x)) � (C � 8xA(x)); x 62 Fv(C)

13. A(x)xt� 9xA(x)

14. 8x(A(x) � C) � (9xA(x) � C); x 62 Fv(C)

Levezet�esi szab�alyok:

modus ponensA A � B

B

�altal�anos��t�asi szab�alyA

8xA

A s�em�akban �es szab�alyokban az

� A;B;C formul�akkal;

� x v�altoz�oval;

� t x-szel azonos t��pus�u termmel

helyettes��thet}o be. Az alaps�em�akb�ol ��gy alapfor-

mul�akat kapunk.

Lemma.A predik�atumkalkulus minden alapformul�aja logikait�orv�eny.

Lemma.A;A � B j= B

Lemma.Ha � j= A(x) �es x 62 Fv(�); akkor � j= 8xA(x):

A levezethet}os�eg

A predik�atumkalkulusban a formula-fa �es ma-

gass�ag�anak indukt��v de�n��ci�oja:

� mindenA formula 1 magass�ag�u formula-fa, mely-ben A als�o formula, �es nincs n�ala feljebb lev}oformula;

� ha D1 m1 �es D2 m2 magass�ag�u olyan formula-f�ak, melyben az als�o formul�ak A �es A � B

alak�uak, akkor a

D1 D2

B

alakzat is formula-fa, melyben B als�o formula,melyn�el D1 �es D2 minden formul�aja feljebb van,�es a formula-fa magass�aga max fm1;m2g+ 1;

� ha D m magass�ag�u olyan formula-fa, amelybenaz als�o formula A, akkor a

D

8xA

alakzat is formula-fa, melyben 8xA als�o for-mula, melyn�el D minden formul�aja feljebb van,�es a formula-fa magass�aga m+ 1.

A formulaf�aban azon formul�ak, melyekn�el nincs fel-jebb lev}o:

� alapformul�ak,

� hipot�ezisek, vagy ny��lt premissz�ak.

P�elda.

Q(x) � P

8x(Q(x) � P ) 8x(Q(x) � P ) � (9xQ(x) � P )9xQ(x) � P

3 magass�ag�u formulafa

als�o formula: 9xQ(x) � P

alapformula: 8x(Q(x) � P ) � (9xQ(x) � P )hipot�ezis: Q(x) � P

Levezet�es-fa egy formula-fa, melyben ha A-b�ol az�altal�anos��t�as szab�aly�aval akarjuk a 8xA-t nyerni,akkor x nem param�eter egyetlen a 8xA-n�al feljebblev}o hipot�ezisben sem.

A � v�eges formulahalmazb�ol a B formula levezet-het}o, ha k�esz��thet}o olyan levezet�es-fa, melyben B

als�o formula, �es a hipot�esisek mind elemei �-nak.Jel�ol�ese: � ` B (szekvencia)

T�etel.A predik�atumkalkulus adekv�at logikai kalkulus.

A term�eszetes levezet�es

Az azonoss�ag t�orv�enye

�; A ` A

Strukt�ur�alis szab�alyok

b}ov��t�es sz}uk��t�es

� ` A

�; B ` A

�; B;B;� ` A

�; B;� ` A

felcser�el�es v�ag�as

�; B;C;� ` A

�; C;B;� ` A

� ` A �; A ` B

�;� ` B

Logikai szab�alyok

BEVEZET�ES ELT�AVOL�IT�AS

implik�aci�o�; A ` B

� ` A � B

� ` A � ` A � B

� ` B

konjunkci�o� ` A � ` B

� ` A ^B

�; A;B ` C

�; A ^B ` C

diszjunkci�o� ` A

� ` A _B

�; A ` C �; B ` C

�; A _B ` C

� ` B

� ` A _B

neg�aci�o�; A ` B �; A ` :B

� ` :A

� ` ::A

� ` A

ekvivalencia�; A ` B �; B ` A

� ` A � B

� ` A � ` A � B

� ` B

� ` B � ` A � B

� ` A

BEVEZET�ES ELT�AVOL�IT�AS

univerz�alis kvantor� ` A(x)

� ` 8xA(x)(x 62 Fv(�))

� ` 8xA(x)

� ` A(x)xt

egzisztenci�alis kvantor� ` A(x)x

t

� ` 9xA(x)

�; A(x) ` B

�;9xA(x) ` B(x 62 Fv(�))

Dedukci�o-t�etel.Ha �; A ` B; akkor � ` A � B:

Tov�abbi szab�alyok

Ha A � B; akkor ` A � B:

� ` A

[��] ` [A�]

Kvantoros formul�ak prenex alakja

Egy Q1x1Q2x2 : : : QnxnA (n � 0) alak�u formul�at,ahol a A kvantormentes formula, prenex alak�u

formul�anak nevez�unk.

Lemma.Az nyelv tetsz}oleges formul�aj�ahoz konstru�alhat�ovele logikailag ekvivalens prenex alak�u formula.

A konstrukci�o l�ep�esei:

1. v�altoz�o-tiszta alakra hozzuk a formul�at;

2. alkalmazzuk De Morgan kvantoros �es az egy-oldali kvantorkiemel�esre vonatkoz�o logikai t�orv�e-nyeket.

P�elda.8xP (x) � :9xQ(x)

# v�altoz�o-tiszta alakra hoz�as

8xP (x) � :9yQ(y)

# egyoldali kvantorkiemel�es

8xP (x) � 8y:Q(y)

9x(P (x) � 8y:Q(y))

9x8y(P (x) � :Q(y))

Kvantormentes formul�ak norm�alform�ai

� Egy atomi formul�at vagy neg�altj�at liter�alnakfogjuk nevezni.

� Legyenek L1; L2; : : : ; Ln (n � 1) liter�alok.L1 ^ L2 ^ : : : ^ Ln elemi konjunkci�o

L1 _ L2 _ : : : _ Ln elemi diszjunkci�o

� Legyenek D1; D2; : : : ; Dm elemi diszjunkci�ok,K1;K2; : : : ;Km elemi konjunkci�ok (m � 1).D1 ^D2 ^ : : : ^Dm konjunkt��v-,K1_K2_ : : :_Km diszjunkt��v norm�alforma.

Lemma.Az nyelv minden kvantormentes formul�aj�ahozkonstru�alhat�o vele logikailag ekvivalens konjunkt��v�es diszjunkt��v norm�alforma.A konstrukci�o l�ep�esei:

1. a logikai jelek k�oz�otti �osszef�ugg�esek alapj�an azimplik�aci�okat elt�avol��tjuk;

2. De Morgan t�orv�enyeivel el�erj�uk, hogy neg�aci�ocsak atomokra vonatkozzon;

3. a disztributivit�ast felhaszn�alva el�erj�uk, hogy akonjunkci�ok �es diszjunkci�ok megfelel}o sorrend-ben k�ovess�ek egym�ast;

4. esetleg egyszer}us��t�unk.

P�elda.(A � B) _ :(:B � A _ :C)

# implik�aci�o-elt�avol��t�as

(:A _B) _ (:B ^ :(A _ :C))

# neg�aci�o atomokra vonatkozik

(:A _B) _ (:B ^ :A ^ C)

# konjunkci�ok diszjunkci�oja

(:A _B _ :B) ^ (:A _B _ :A) ^ (:A _B _ C)

# egyszer}us��t�es

(:A _B) ^ (:A _B _ C)

# egyszer}us��t�es

:A _B

1 Irodalomjegyz�ek

1. Drag�alin Albert, Buz�asi Szvetl�ana, Bevezet�es amatematikai logik�aba, Egyetemi jegyzet (KLTE),4. kiad�as, Kossuth Egyetemi Kiad�o, Debrecen,1996.

2. P�asztorn�e Varga Katalin, Logikai alapoz�as al-

kalmaz�asokhoz, Egyetemi jegyzet, ELTE, Bu-dapest, 1992.

3. Szendrei �Agnes, Diszkr�et matematika, Polygon,Szeged, 1994.

4. Urb�an J�anos, Matematikai logika (P�eldat�ar), 2.kiad�as, M}uszaki K�onyvkiad�o, Budapest, 1987.