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MECANICA DE FLUIDOS I
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INDICE
INTRODUCCION Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 5
Los Fluidos. 5
Hidromecnica. 6Densidad. 7
Densidad Relativa. 9
Viscosidad: Ley de la Viscosidad de Newton. !
Viscosidad "inemtica. 7
#$dulo de %lasticidad Volum&trica '
(resi$n !#edida de la )resi$n *+
ESTATICA DE LOS FLUIDOS 42
Fuer,a -o re -u)er/icie (lana. +9
Fuer,a -o re -u)er/icie "urva. 5+
%l (rinci)io de 0r1u2medes. 5'
CINEMATICA DE LOS FLUIDOS 63
%l "am)o de Velocidades. 6*
%l "am)o de las 0celeraciones. 65
%l "am)o Rotacional. 7
"lasi/icaci$n de los Flu3os. 7+
Descri)ci$n del #ovimiento. 79
L2nea de "orriente. '4
"am)o (otencial solenoidal y 0rm$nico. '+
#ovimiento (lano de los Fluidos. '7
%cuaciones de "auc y Riemann. 97
Red de "orriente. 9'
8asto o "audal %cuaci$n de "ontinuidad. 49
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 2
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DINMICA DE LOS FLUIDOS
(rinci)io de la "antidad de #ovimiento. 9
Dinmica de los Fluidos (er/ectos. !'
%cuaci$n de ernoulli. *
Dinmica de los Fluidos Reales. *'
"oe/iciente de "oriolis. +4
"oe/iciente de oussines1. +*
%cuaci$n de la %ner;2a. om as y
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INTRODUCCIN
%n la /ormaci$n del =n;eniero adems de las matemticas instrumento im)rescindi le
de tra a3o y de la F2sica ase de la in;enier2a an de intervenir las si;uientes disci)linas
/undamentales: #ecnica de los cuer)os r2;idos mecnica de los cuer)os de/orma les oresistencia de materiales termodinmica transmisi$n de calor y mecnica de /luidos.
La e>)losi$n de la in/ormaci$n de oy en d2a en el mundo de la ciencia y de t&cnica
ace necesario 1ue toda a1uella in/ormaci$n 1ue se sume a las e>istentes &stas de en reunir
ciertos re1uisitos de unidad y s2ntesis 1ue en el )resente se a tratado de cum)lir? y van
)rinci)almente orientados )ara mis alumnos de la %scuela (ro/esional de =n;enier2a "ivil de la
Facultad de =n;enier2a "ivil de -istemas y de 0r1uitectura de la @niversidad Nacional (edroRui, 8allo de la ciudad de Lam aye1ue.
La )resente se)arata contiene )arte del curso de #ecnica de los Fluidos = 1ue dicto
en mi @niversidad )roducto de mi e>)eriencia docente en el dictado del mismo y 1ue incluye
as)ectos como: )ro)iedades esttica cinemtica y dinmica de de los /luidos.
(or u icarnos estrat&;icamente en medio de ;randes )royectos de naturale,a
idrulica tales como el (royecto Almos y el
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CONTENIDO
Lo F!"#$o
D%'#(#)' $% F!"#$o *-on su stancias Ccual1uier materia 1ue tiene la )ro)iedad Cca)acidad
de /luir? es decir de desli,arse a lo lar;o de un conducto a3ustndose o ada)tndose a su
/orma.
)ansi les y no )osee una
su)er/icie li re.D#&%1%'(#+ %' 1% !, "#$o .+ % *
L UIDO GAS
POR SU VOL7MEN . Volumen )ro)io
. No )oseen volumen)ro)io? susce)ti le devariaci$n acomodndoseal reci)iente 1ue loscontiene
POR SUCOMPRESI8ILIDAD
!. -on )rcticamenteincom)resi le. l21uido)er/ecto Cincom)resi le
!. -on com)resi les 8as)er/ecto Cin/initamentecom)resi les
D%'#(#)' M%(9'#(+ $% F!"#$o *%s la )arte de la /2sica 1ue se ocu)a de estudiar el e1uili rio
y movimiento de los /luidos as2 como de las a)licaciones y mecanismos de in;enier2a.
La mecnica de los /luidos se su divide en dos cam)os )rinci)ales:
- L+ % 9 #(+ $% !o &!"#$o o :#$1o 9 #(+;1ue se ocu)a de estudiar los /luidos en re)oso
- L+ $#'9/#(+ $% !o &!"#$o ; 1ue se ocu)a de estudiar los /luidos en movimiento.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 5
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L+ $%! %'!+(% /o!%("!+1 .
S)!#$o , #(o; es ca)a, de resistir una acci$n de/ormante )ermanente mientras 1ue el /luido
es inca)a, de ello.
S)!#$o %1&%( oCin/inita ri;ide, del enlace molecular y &!"#$o %1&%( o Cin/inita li ertad del
enlace molecular .
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E
. -$lido -$lido : #asa? volumen? /orma ;eom&trica!. L21uido Fluidos : #asa? volumen*. 8as #asa.
6
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No e>istiendo en la naturale,a ma;nitudes in/initas es decir a /alta de la in/inita ri;ide, o de la
in/inita li ertad del enlace molecular el s$lido )er/ecto y el /luido )er/ecto son entes de ra,$n
)uras a stracciones.
?@- D%' #$+$ B * %s la masa contenido en la unidad de volumen.
#asa: %s la sustancias de la materia.
#: %s el s2m olo de la ma;nitud de la masa.
: %s el s2m olo del volumen de la masa #
E("+(#)' $% $#/%' #o'% *
-istema a soluto : [ ] 3= ML dimensiones
-istema ;ravitacional : [ ] 42 = L FT dimensiones.
U'#$+$% *
#. .- : [ ] 3mkgm=
-istema 0 soluto
".8.- : [ ] 3cm grm=
#. .- : [ ] 42
mS kgf =
-istema 8ravitacional
".8.- : [ ]4
2
cmS grf =
-istema =nternacional [ ] 3mkgm=
Donde: G;m ilo;ramo masa.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 7
= M
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G;/ ilo;ramo /uer,a.
;rm ;ramo masa.
;r/ ;ramo /uer,a
2@- P% o E %(,(o * %s el )eso de la unidad de volumen.
= W
w m; ; = = =
; =
E("+(#)' $% $#/%' #o'% *
-istema a soluto : [ ] 22 = T ML dimensiones
-istema ;ravitacional : [ ] 3= FL dimensiones
U'#$+$% *
#. .- : [ ] 22 smkgm=
-istema 0 soluto
".8.- : [ ] 22 scm grm=
#. .- : [ ] 3mkgf = o [ ] 3m
Newton= -istema 8ravitacional
".8.- : [ ] 3cm grf = o [ ] 3cm
Dinas=
-istema =nternacional [ ] sm
kgm2=
(ara relacionar las unidades de medida entre los sistemas a solutos y ;ravitacionales se usa
la se;unda ley de Newton del movimiento:MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 8
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a M F .=-=-mN-
=La @nidad derivada )ara la /uer,a es elnewton CN de/inido como la /uer,a 1uea)licada so re G;m le )roduce unaaceleraci$n de mJs ! . G;m m y s? son@nidades /undamentales.
!
mG;/ G;m> 9.'s=
!
G;m>mG;/ 9.' 9.' Ns
= =!G;/ >sG;m
9.' m=
La unidad derivada de masa es elKG;m 1ue ad1uiere la aceleraci$n;ravitacional cuando se le a)licauna /uer,a de G;/. ;/ m y s? sonunidades /undamentales.
3@-D%' #$+$ R%!+ # +@- B1 * es otra /orma de cuanti/icar la densidad de un li1uido re/iri&ndola a
la corres)ondencia al a;ua. %s decir es la relaci$n entre la densidad del /luido y la densidad del
a;ua a una )resi$n y tem)eratura es)eci/ica. C+M" y atm$s/era .
!
/luidor
H 4
= "arece de dimensiones.
4@-P% o E %(,(o 1%!+ # o 1 ; o G1+ %$+$ E %(,(+@-* 0nlo;amente a la densidad
relativa? el (eso es)ec2/ico relativo es la relaci$n entre el )eso es)ec2/ico del /luido y el )eso
es)ec2/ico del a;ua a una )resi$n y tem)eratura es)ec2/ica.
O H
FLUIDOr E G
2
..
== "arece de dimensiones
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O H
FLUIDO
O H
FLUIDOr r
22
===
5@-Vo!"/%' E %(#(o )( s * %l volumen es)ec2/ico se de/ine de distinta manera en el
sistema a soluto y en el sistema ;ravitacional.
5@?@- S# %/+ A o!" o S# %/+ I' %1'+(#o'+!* %l volumen es)ec2/ico es el volumen
ocu)ado )or la unidad de masa Cun Gilo;ramo masa de la sustancia.
M s=
11
== M s
1= s
%l volumen es)ec2/ico es el reci)roco de la densidad.
E("+(#)' $% $#/%' #o'% *
[ ] 13 = M L s
U'#$+$% *
S# %/+ + o!" o M S S# %/+ I' %1'+(#o'+!@
kgmm
s
31=
%3m. %l"" s del a;ua destilada a la )resi$n atmos/&rica y +M" es
a)ro>imadamente i;ual akgm
m 3310 . %s interesante o servar 1ue la densidad del aire a la
)resi$n atmos/&rica y +M" es a)ro>imadamente .* 3mkgm y su
kgm
m s
3.11 3= .
%s decir G;m de aire a la )resi$n atmos/&rica ocu)a a)ro>imadamente '44 veces mas
es)acio 1ue K G;.m de a;ua.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 10
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5@2@- S# %/+ T=('#(o o G1+ # +(#o'+!* %l volumen es)ec2/ico es el volumen ocu)ado )or la
unidad de )eso Cun Gilo;ramo )eso de la sustancia.
W s=
11 ==
W s
1= s
%l volumen es)ec2/ico es el rec2)roco del )eso es)ec2/ico.
%l volumen es)ec2/ico como todas las ma;nitudes es)ec2/icas se an de re/erir en el sistemaa soluto C)resados enunidades di/erentes C
kgmm 3 en el sistema a soluto y
kgpm 3 en el sistema ;ravitacional .
0simismo el valor num&rico de K en el sistema
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!. La viscosidad de un /luido determina la cantidad de resistencia o)uestas a las /uer,as
cortantes. La viscosidad se de e )rimordialmente a las interacciones Cacci$n reci)roca
1ue se e3ercen entre las mol&culas del /luido.
*.
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(or trin;ulos seme3antes:!y!"
y
!"
y!y = =
0
0
00
C!
)1()2( !y!"
A y
A F =
0
0
!y!"
A F
=
!y!"
= C=
Donde:
viscosidad a soluta o dinmica
-e;En Newton el % &"%1>o +'.%'(#+! 1ue se )roduce entre dos lminas se)aradas una
distancia Kdy 1ue se des)la,an con velocidades Cv y Cv S dv es!y!"
0 ora:
0nalicemos el movimiento de un /lu3o so re una /rontera s$lida /i3a donde las )art2culas se
mueven en l2neas rectas )aralelas C/luido viscoso: laminar como consecuencia anterior
su)ondremos 1ue el /lu3o se )roducen en /orma de (+ + o !+/#'+ de es)esor di/erencial
cuyas velocidades var2an con la distancia KQ normal a dic a /rontera.
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Recordemos la de/inici$n C* de la Viscosidad: KL+ V# (o #$+$ % "'+ /%$#$+ $% "
1% # %'(#+ + !+ 1+ #$%> $% $%&o1/+(#)'; ("+'$o % o/% %' + "' % &"%1>o +'.%'(#+!
"% %H !#(+ " &!"#$%> @
(ara las mismas i)$tesis anteriores es decir tratndose de un /lu3o ien ordenado en 1ue las
)art2culas del /luido se mueven en l2neas rectas y )aralelas C/lu3o )aralelo :&!"Jo !+/#'+1 se
trata )ues de un /lu3o de ca)as o lminas.
%n tales condiciones Newton en el aOo 6'6 demostr$:
t
C %l es/uer,o cortante es )ro)orcional a la ra)ide, de de/ormaci$n.
0dems sa emos 1ue: y s = C! ?
Donde: # s y T en radianes y )ara n;ulos )e1ueOos: # s = C*
)2()3( : y # = ? Lue;o y #= C+
)1()4( : > v
yt y =
vy
y"
=
!y!"
=
De acuerdo con esta ecuaci$n el es/uer,o tan;encial en cual1uier )unto de un /luido )uede
$% + +1%(%1en los si;uientes casos:
a -i se des)recia la acci$n de la viscosidad C/luido no viscoso
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-i la distri uci$n de velocidades es uni/orme Cv cte y )or tanto dvJdy 4? sucede cuando el
/lu3o es tur ulento y el e/ecto viscoso es des)recia le.
c %n un l21uido en re)oso donde la velocidad en cada )unto Cy como consecuencia dvJdy
vale cero.
6@2@- E("+(#)' $% D#/%' #o'% *
-istema 0 soluto : [ ] 11 = T ML dimensiones.
-istema 8ravitacional : [ ] T FL 2= dimensiones.
6@3@- U'#$+$% *
#. .-: [ ] sm $gm
= -istema 0 soluto
".8.-: [ ] = = grm %poisecm s
#. .-: [ ] 21
m s $gf =
-istema 8ravitacional
".8.-: [ ] 21
cm
s grf =
-istema =nternacional. [ ] sm
$gm=
Co'(!" #o'% A$#(#o'+!% : La viscosidad de un l21uido ocurre )or la co esi$n de
mol&culas. %sta co esi$n y )or tanto la viscosidad disminuyen cuando la tem)eratura aumenta.
La viscosidad de un ;as es el resultado del movimiento aleatorio de las mol&culas e>iste )oca
co esi$n entre ellas. -in em ar;o las mol&culas interactEan c ocando unas con otras durantes
sus movimientos r)idos. La )ro)iedad de la viscosidad resulta de estos c o1ues. %ste
movimiento aleatorio aumenta con la tem)eratura de manera 1ue la viscosidad aumenta con la
tem)eratura.
Nuevamente se nota 1ue la )resi$n tiene solo un e/ecto )e1ueOo so re la viscosidad y )or lo
;eneral &sta no se toma en cuenta.
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F)1/"!+ E/ ,1#(+ +1+ C+!("!+1 !+ V# (o #$+$ A o!" + $%! A."+ $%! A#1%@
L+ # (o #$+$ +1+ %! +."+@- %st dada )or la /$rmula de (oiseuille C 799 '69
investi;ador Franc&s Cm&dico .
[ ] 20002.00337.010178.0
t t ++= -istema 0 soluto
Donde: [ ] poise= y & t o=
[ ] 20002.00337.010001814.0
t t ++= -istema 8ravitacional
Donde:
[ ]2m
s $gf = y & t o=
%3em)lo: si t !4 o".
poise poises 01.0010145.0 = =
centipoise1=
..1 pc=
200010348.0 m s $gf =
- L+ # (o #$+$ +1+ %! +#1%@-
)00000034.00275.01(10715.1 24 t t # +=
poise= y & t o=
%stas /$rmulas /uncionan )ara cual1uier valor de la tem)eratura.
K@- V# (o #$+$ C#'%/9 #(+@-
=
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(ara los clculos )rcticos es ms conveniente relacionar la viscosidad dinmica del /luido y su
densidad.
E("+(#)' $% D#/%' #o'% *
12 = T L Dimensiones.
-e a)recia 1ue la venta3a de usar esta nueva )ro)iedad es evidente ya 1ue sus dimensiones
son UL!< esto es inde)endiente de los conce)tos de masa y /uer,a.
U'#$+$% :
-istema #. .-: s
m 2=
-istema ".8.-: -toGes
cm ! ==
%1uivalente Etil: .='m
%Stoke ( (((% s
%n la /i;. se muestra los valores de K y K )ara el caso del a;ua y el aire en /unci$n de la
tem)eratura y la )resi$n atmos/&rica al nivel del mar.
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@- # )$"!o $% E!+ #(#$+$ Vo!"/= 1#(+ E : %>)resa la com)resi ilidad de un /luido es la
relaci$n entre el incremento de )resi$n CW( y la disminuci$n unitaria de volumen C1
.
%s una medida del cam io de volumen Cy )or lo tanto de su densidad cuando se somete a
diversas )resiones.
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1
= p E
12 p p >
%n ;eneral cuando un volumen de un l21uido de densidad K y )resi$n K) se somete a
com)resi$n )or e/ecto de una /uer,a KF como se muestra en la Fi;. la masa total de /luido
),( = m )ermanecer constante es decir 1ue: ( ) ( )= = + =! m ! ! ! (
De donde resulta: =! !
0l multi)licar am as muestras > d) Cdi/erencial de )resi$n se o tiene:
!p!
!p!
=
!
!p!
!p =
!
!p! !p
E +==
%l si;no ne;ativo de la ecuaci$n indica una disminuci$n en el volumen al aumentar la )resi$n
K)
26
)( 10*1.2 cm $gf
E A&E)OS =
26
)( 10*0105.0. cm $gf
E AI)E a =
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24
2 10*1.2210002 cm $gf
cm $gf
E O H ==
28
28 10*1.210*1.2
2 cm $gf
cm $gf
E O H ==
- %l aire es !4444 veces ms com)resi le 1ue el a;ua.
- %l a;ua es 44 veces ms com)resi le 1ue el acero.
E("+(#)' $% $#/%' #o'% *
-istema 0 soluto: [ ] 21 = T ML E Dimensiones
-istema 0 soluto: [ ] 2= FL E Dimensiones
U'#$+$% *
#. .-: [ ] 2 sm $gm
E =-istema 8ravitacional
".8.-: [ ] 2 scm grm
E =
#. .-: [ ] 2m $gf E =
-istema 8ravitacional
".8.-: [ ] 2cm grf
E =
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@-P1% #)'*
= !* p!A
A
F p N =
La )resi$n no es una /uer,a sino el cociente de una /uer,a so re una su)er/icie.
Donde:
N F %s una /uer,a normal a la su)er/icie K0
* (resi$n media so re la su)er/icie K0
P1o #%$+$% $% !+ P1% #)'P1#/%1+ P1o #%$+$*La )resi$n en un )unto de un /luido en 1% o o es i;ual en todas
direcciones C)rinci)ios de (ascal . %s decir una diminuta )laca Cin/initesimal sumer;ida en un
/luido e>)erimentar2a el mismo em)u3e de )arte del /luido sea cual /uere la orientaci$n de la
)laca.
D%/o 1+(#)'*
a "onsid&rese un )e1ueOo )risma trian;ular de l21uido en re)oso a3o la acci$n del /luido
1ue lo rodea.
Los valores medios de la )resi$n o )resiones medias so re las tres su)er/icies son ) ) !
y ) *.
%n la direcci$n KB las /uer,as son i;uales y o)uestas y se anulan entre ellas.
-umando las /uer,as en la direcci$n K> e Ky se o tiene:
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 21
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= 0 F# 032 = sen * *
0)()( 32 = sen!s!+ p!y!+ p
= 0 Fy 0cos31 = !w * *
*) Cd>d,D ) Cdsd,Dcos C d>dyd,D 4! =
coscos !s!#!s
!# = =
%1uivalencias
!ssen!y!s
!y sen = =
Las ecuaciones anteriores se reducen a:
0)()( 32 = !y!+ p!y!+ p $ 32 p p =
*) ) C dy 4! =
"uando el )risma tiende a (o' 1+%1 % o 1% "' "' o; Kdy tiende a cero en el l2mite y la
)resi$n media se vuelve uni/orme en la su)er/icie 1ue tiende a cero y 1ueda de/inida la )resi$n
en un )unto. (or tanto al )oner dy 4 en la ecuaci$n C! se o tiene 31 p p = y de a1u2:
321 p p p == .
P1% #)' $% "' &!"#$o* -e transmite con i;ual intensidad en todas las direcciones y actEa
normalmente a cual1uier su)er/icie )lana en el mismo )lano ori,ontal.
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 22
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D%/o 1+(#)'* Ksi se a)lica una )resi$n a un /luido incom)resi le Cun li1uido la )resi$n se
transmite sin disminuci$n a trav&s de todo el /luido .
%sto se demuestra utili,ando la otella de (ascal? 1ue sicamente consiste en una otella de
/orma es/&rica a la cual se le a a)licado varios a;u3eros.
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D%/o 1+(#)'
(or el )rinci)io de (ascal
21 p p =
2
2
1
1
A F
A F =
)(1
212 A
A F F =
F)1/"!+ $% D% !+>+/#%' o
Demostraci$n:
o,-men== 21
)(2
1122211 A
Aeee Ae A = =
D#&%1%'(#+ %' 1% F"%1>+ P1% #)'@-Los s$lidos transmiten s$lo /uer,a los l21uidos transmiten
la )resi$n.
S%."'$+ P1o #%$+$@-
KLa )resi$n en todos los )untos situados en un mismo )lano ori,ontal en el seno de un /luido
en re)oso es la misma .
D%/o 1+(#)'
a "onsideremos un cilindro de /luido ori,ontal de lon;itud Kl y de secci$n circular in/initesimal
Kd0
Lo valores medios de las )resiones o )resiones medias so re las su)er/icies C! son K) y
K)! .
De la %cuaci$n de e1uili rio se;En el e3e del cilindro se deduce.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 24
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02211 = !A p!A p ? 21 !A!A =
21 p p =
Ni la ;ravedad ni las )resiones so re la su)er/icie lateral del cilindro tienen com)onente al;uno
en la direcci$n del e3e del cilindro. "omo la orientaci$n del e3e del cilindro es ar itraria 1uedademostrada la se;unda )ro)iedad.
T%1(%1+ P1o #%$+$@-
K%n un /luido en re)oso la /uer,a de contacto 1ue e3erce en el interior de un /luido una )arte del
/luido so re la otra conti;ua al mismo tiene la direcci$n normal a la su)er/icie de contacto.
"omo esta /uer,a normal es la )resi$n en el interior de un /luido en re)oso no e>iste mas
/uer,a 1ue la de ida a la )resi$n .
D%/o 1+(#)'*
a) "onsideremos un volumen cual1uiera de /luido como en la /i;ura.
b) Dividamos el volumen en dos )artes C0 y C )or una su)er/icie KT cuales1uiera.
A'9!# # * -i la /uer,a 1ue e3erce K so re K0 tuviera la direcci$n se descom)ondr2a en dos
/uer,as ! y *.
%l /luido no )uede so)ortar la /uer,a tan;encial * sin )onerse en movimiento? )ero )or i)$tesis
el /luido est en re)oso lue;o la /uer,a no )uede tener la direcci$n y tiene 1ue tener la
direcci$n ! o sea la direcci$n de la normal.
%ste mismo ar;umento es valedero )ara la /uer,a 1ue el /luido en re)oso e3erce so re el
contorno s$lido en el cual est contenido.
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C"+1 + P1o #%$+$
La /uer,a de la )resi$n en un /luido en re)oso se diri;e siem)re acia el interior del /luido es
decir es una com)resi$n 3ams una tracci$n.
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#. .-: [ ] 2mkgf
p =8R0V=)resa con /recuencia la )resi$n en altura e1uivalente de columna de unl21uido determinado: )or e3em)lo en metros de columna de a;ua en mil2metros de columna
de mercurio etc. Dimensionalmente la )resi$n no es una lon;itud sino una /uer,a )artido )or
una su)er/icie. (or eso en el -istema =nternacional C-= las alturas como "'#$+$% $%
1% #)' an sido a olidas aun1ue no ay di/icultad en se;uir utili,ndose (o/o +! "1+
% "# +!%' % . "omo e>ce)ci$n )uede se;uirse utili,ando como unidad de )resi$n el mm. de
columna de mercurio 1ue reci e el nom re de K
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26.1)( = g,icerinar ? Lue;o 31000*26.1 mkgm
g,icerina =
Lue;o 31260 mkgm
g,icerina = C-:=
0)licando CX * !G; m) !64 9.' 4.*mm s=
2*2.3708
seg m
kgm p =
!
G;m(am se;=
*a p 2.3708=
Co' &1%("%'(#+ % 1% %' + %! (+ o +! + +1 $% "'+ (o!"/'+ $%! !, "#$o H + o 1+ $% "'
!, "#$o $# #' o @
0)licando la ecuaci$n CX se tiene:
y y # # g. g. p ==
)( = #
y
# y ..
-i el l21uido Ky es a;ua se tiene: #
O H
#O H ..
22
= $ # #r O H .. =2
"aso )articular )ara trans/ormar a alturas e1uivalentes de columnas de a;ua.
EJ/*
"onvertir 754
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H; H;) ; =
* !
G; m) *644 9.' 4.75mH;m se;
=
!G;) 4446! m se;= !G;m
(a m se;=
*a p 062,100=
P1% #)' A /o &=1#(+ C(am
-e;En las normas D=N * + CFe . 977 1ue denomina a la )resi$n atmos/&rica ( am Cdel
lat2n Kam iens
K-o re la su)er/icie li re de un l21uido reina la )resi$n del aire o ;as 1ue so re ella e>iste. %sta
)resi$n )uede ad1uirir un valor cual1uiera en un reci)iente cerrado? )ero si el reci)iente est
a ierto so re la su)er/icie li re del l21uido reina la )resi$n atmos/&rica K) am de ido al )eso
de la columna de aire 1ue ;ravita so re el /luido .
La )resi$n atmos/&rica var2a con la tem)eratura y la altitud.
P1% #)' + /o &=1#(+ % 9'$+1* %s la )resi$n al nivel medio del mar y a la tem)eratura de
5Y"? e1uivale a la atm$s/era real 1ue se encuentra en muc as )artes del mundo.
.lg7.14
.lg92.29
)..(1.760
.33.10
)......(033227.1
2
2
2
p-,/ *
Hg p- *
ra-naatmosfeam/ * mm *
m *
EEUU cmkg
*
st am/
st am/
st am/
Hg st am/
O H st am/
st am/
====
=
=!
am st
am !st
am !st
am st
am st
am st
6 !am st
( ! 6.!l )ie .( **.'7)ieH A.( +46.79)ul;H A.
( 4 *!5(a.( 4 .*!5G(a.( .4 *!5 ars.( .4 *!5> 4 dinas cm
===
====
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%n la t&cnica se utili,a muc o la atm$s/era t&cnica.
k*am N
/ar tecnicaatmosfera 1001011 25 ===
211 m N
*a =
%l Gilo)ascal es tam i&n usado como unidad de )resi$n
P1% #)' A /o &=1#(+ Lo(+! T%/ o1+!*- %s la )resi$n atmos/&rica reinante en un lu;ar y
tiem)o determinado
(or lo tanto ay tres atm$s/eras:
. 0tm$s/era %stndar .4**!!7 G;Jcm ! .4 *96 ar
!. 0tm$s/era )resan tem)eraturas a solutas medidas a )artir del cero a soluto.
%n el sistema in;l&s de unidades los ;rados Faren eit e>)resan tem)eraturas relativas
C)resan
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tem)eraturas a solutas. %l cero a soluto de tem)eraturas es el mismo en todos los sistemas
de unidades. Lo mismo sucede con el cero a soluto de )resiones.
18032
100
= F & oo
932
5
= F & oo
E (+!+ %! #'@- -e sa e 1ue la tem)eratura no tiene l2mite su)erior? )ero si un in/erior.
#&todos modernos de la /2sica de a3ar la tem)eratura de un cuer)o? m>imo a la vecindad de
!7*Y"? )ero no se a conse;uido lle;ar asta ella ni a3ar ms.
La tem)eratura de !7*Y" se denomina cero a soluto y un ;ran /2sico del si;lo \=\ llamado
elvin )ro)uso una construcci$n de una escala termom&trica cuyo cero /uese el cero a soluto
y cuyos intervalos de un ;rado /ueran i;uales a las de las escalas "elsius o "ent2;rados.
4 !7*Y S 4"
L+ 1% #o'% + o!" + se miden con relaci$n al cero a soluto Cvac2o total o 44] de
vac2o y las )resiones relativas con relaci$n a la atm$s/era.
La mayor2a de los man$metros Cdis)ositivos )ara medir )resiones estn construidos de
manera 1ue miden 1% #o'% 1%!+ # + o e>cedentes con relaci$n a la A /) &%1+ !o(+!. (araMECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 31
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allar la )resi$n a soluta con e>actitud a r 1ue sumar a la )resi$n le2da en el man$metro la
)resi$n atmos/&rica local medida e>actamente con un ar$metro. #uc as veces no se necesita
;ran )recisi$n y entonces se suma a la lectura del man$metro C)resi$n relativa la 0tm$s/era
imada:
1+= r a/s * * ar^^^.C_
ar atm$s/era t&cnica
Las ecuaciones CX y C_ )ueden estudiarse ;r/icamente en la /i;ura si;uiente.
Finalmente los vac2os se miden con muc a /recuencia en tanto )or ciento de la )resi$n
atmos/&rica local. %s decir el cero a soluto es 44] de vac2o y la )resi$n atmos/&rica local al
cero )or ciento.
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To11#(%!!#; Fue el )rimero en medir la )resi$n atmos/&rica su e>)erimento consisti$ en:
a "onsi;ui$ un tu o de vidrio a ierto )or uno de los e>tremos al cual llen$ com)letamente de
mercurio. Fi;. 0
"onsi;ui$ un reci)iente tam i&n al cual introdu3o el mismo l21uido mercurio. Fi;.
c tremo li re del tu o volte$ dic o tu o y lo sumer;i$ en el reci)iente antes
mencionado )ara inmediatamente desta)arlo.
d %l mercurio descendi$ )or el tu o y se detuvo a una altura de 76 cm. %ncima del nivel del
mercurio del reci)iente. Fi;. "..
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M%$#$+ $% !+ P1% #)'
La medida la transmisi$n y el re;istro de )resiones es muy /recuente tanto en la oratorios
como en la industria.
Los medidores de )resi$n o man$metros necesariamente son variad2simos y 1ue en losla oratorios y la =ndustria se an de medir )resiones desde un vac2o a soluto del 44 )or 44
asta 4 444 ar y aEn mayores con ;rado de )recisi$n muy diverso y en medios
Ctem)eraturas elevadas atm$s/eras e>)losivas etc. muy diversos.
Los a)aratos 1ue sirven )ara medir las )resiones se denominan man$metros. Los man$metros
)ueden clasi/icarse se;En los si;uientes criterios:
. "lasi/icaci$n: se;En la naturale,a de la )resi$n medida:
a. =nstrumentos 1ue miden la )resi$n atmos/&rica: ar$metros
. =nstrumentos 1ue miden la )resi$n relativa: man$metros.
c. =nstrumentos 1ue miden la )resi$n a soluta: man$metros de )resi$n a soluta.
d. =nstrumentos )ara medir di/erencias de )resiones: man$metros di/erenciales.
e. =nstrumentos )ara medir )resiones muy )e1ueOas: microman$metros.
!. "lasi/icaci$n se;En el )rinci)io de /uncionamiento.
0. M%(9'#(o el )rinci)io de /uncionamiento de estos consiste en e1uili rar la /uer,a
ori;inada )or la )resi$n 1ue se 1uiere medir con otra /uer,a a sa er con el )eso de una
columna de l21uido con un resorte en los man$metros clsicos o con la /uer,a e3ercida so re
la otra cara de un &m olo en los man$metros de &m olo. %sta Eltima /uer,a se mide
mecnicamente.
. E!=( 1#(o en este ti)o de man$metros la )resi$n ori;ina una de/ormaci$n elstica 1ue
se mide el&ctricamente.
%l ;rado de e>actitud de cada man$metro de)ende del ti)o de la calidad de construcci$n de
su instalaci$n y )or su)uesto de su adecuada lectura.
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A. 8+1)/% 1o
-on =nstrumentos 1ue sirven )ara medir la )resi$n atmos/&rica. Los )rinci)ales son: ar$metro
de mercurio de cu eta y ar$metro de mercurio en K@ .
ar$metro de #ercurio de "u eta.%n la /i;ura re)resentada encima del mercurio reina el vac2o ) 4 se a tenido en cuenta de
eliminar el aire al sumer;ir el tu o. @na escala ;raduada m$vil no di u3ada en la /i;ura cuyo
cero se ace coincidir antes de acer la lectura con el nivel del mercurio en la cu eta )ermite
leer Kl 1ue es la )resi$n atmos/erita ) am en
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%n este ar$metro la cu eta 1ueda eliminada.
(or ra,onamiento similar y evaluando el dia;rama del cuer)o li re de la columna de mercurio
entre las secciones K4 y K y teniendo en consideraci$n 1ue ( o 4 )ues corres)onde al vac2o
total? y adems de la se;unda )ro)iedad de la )resi$n Kla )resi$n en todos los )untos situados
en un mismo )lano ori,ontal en el seno de un /luido en re)oso es la misma ? es decir: ( ( !
( am
Lue;o: ( am ` H;
8 . P#%>)/% 1o
-on tu os trans)arentes de cristal o )lstico recto o con un codo de dimetro 1ue no de e ser
in/erior a 5 mm )ara evitar los e/ectos de ca)ilaridad de idos a la tensi$n su)er/icial. %ste tu o
se conecta al )unto 1ue se 1uiere medir la )resi$n )racticando cuidadosamente en la )ared
del reci)iente o tu er2a un ori/icio 1ue se llama ori/icio )ie,om&trico.
Los tu os )ie,om&tricos constituyen el )rocedimiento ms econ$mico y al mismo tiem)o de
;ran )recisi$n )ara medir )resiones relativamente )e1ueOas. #idiendo la altura de ascensi$n
del l21uido en el tu o )ie,om&trico nos dar la )resi$n re1uerida.
( 0 `
Donde ` es el )eso es)ec2/ico del /luido en la tu er2a 1ue es mismo 1ue asciende en el tu o
)ie,om&trico o sim)lemente )ie,$metro.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 36
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C. M+')/% 1o
-e utili,an )ara medir )resiones relativas tanto )ositivas como ne;ativas. (articularmente se
utili,an cuando el /luido es )oco viscoso )ues en este caso trata de ;anar ;randes alturas
utili,ndose el mercurio como l21uido manom&trico.
%l l21uido manom&trico se esco;er a)ro)iadamente de acuerdo a las )resiones a medir.
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( ( 0 S , C!
=;ualando C y C! :
( 0 ` l ` ,
Ha;amos
-l
= ?
,-C( 0 =
#an$metro en K@ ? con De)resi$n o (resi$n Relativa Ne;ativa
%s a1uel 1ue es conectado a de)$sito o tu er2a en vac2o )or lo tanto las )resiones a
re;istrar son menores 1ue la atmos/&rica.
A 3etivo determinar la )resi$n en K0 .
-e sa e 1ue la )resi$n en K! es i;ual a la )resi$n en K*
( ! ( *
Del dia;rama del cuer)o li re en e1uili rio de altura K,S )uesto 1ue se est tra a3ando con
)resiones relativas
Lue;o
( * 4 C
%ntonces:
( ! ( 0 S ` , S ` l C!
=;ualando C y C! :
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( 0 C` l ` ,
Ha;amos
-l
=
%ntonces:
,-C( 0 + =
R%.!+ P19( #(+*
"onsiste en dividir el /luido en secciones corres)ondientes a los cam ios de densidad. %n la
)rctica se escri e inmediatamente una sola ecuaci$n )artiendo del )unto inicial C0 y en
nuestro caso sumndole o restndole los t&rminos corres)ondientes a las columnas de l21uido
asta lle;ar al )unto /inal C ? es una suma y resta de )resiones? al considerar )ositivas las
)resiones de secciones 1ue se encuentran )or de a3o de la secci$n inmediata de re/erencia y
ne;ativas las )resiones 1ue se encuentren )or encima de la secci$n inmediata de re/erencia?
e3em)lo:
Dl
0 (,( = + +
(ero
( D 4
%ntonces:
,-C( 0 + =
Resultado 1ue es el mismo o tenido )or el )rocedimiento anal2tico o ;eneral.
#an$metro Di/erencial
#ide la di/erencia de )resiones entre dos )untos. La sensi ilidad del man$metro es tanto
mayor cuanto la di/erencia C m ` sea menor. -iendo ` m el )eso es)ec2/ico del l21uido
manom&trico.
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A 3etivo determinar la di/erencia de )resiones entre K0 y K .
-e sa e 1ue la )resi$n en K es i;ual a la )resi$n en K! y tam i&n a la (resi$n en K*
( ( ! ( * C
Del dia;rama del cuer)o li re en e1uili rio de la columna de altura K,
( 0 ( S ` , C!
Reem)la,ando C en C!
Resulta:
( 0 ( * S ` , C*
Del dia;rama del cuer)o li re en e1uili rio de la columna de altura K
( * ( + S `l
C+(ero ( + ( 5 C5
-ustituyendo C5 en C+ resulta:
( * ( 5 S ` l C6
0dems del dia;rama del cuer)o li re de la columna de altura K S, :
( ( 5 S C S, C7
Restando C* C7 y sim)li/icando
Resulta:
( 0 ( ( * ( 5 ` C'
C6 en C' :
( 0 ( C` l `MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 40
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D@-V+(")/% 1o
-irve )ara medir )resiones de l21uidos o ;ases em)leando un l21uido manom&trico no misci le.
0)licando los mismos )rinci)ios 1ue en los man$metros al vacu$metro de l21uido de la /i;ura
se o tiene la )resi$n a soluta de la secci$n K5 :
( 5 ` C- ,
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ESTTICA DE LOS FLUIDOS
La esttica de los /luidos estudia las condiciones de e1uili rio de los /luidos en re)oso y
cuando se trata s$lo de l21uidos se denomina idrosttica. Desde el )unto de vista de
in;enier2a civil es ms im)ortante el estudio de los l21uidos en re)oso 1ue de los ;ases )or lo
cual a1u2 se ar mayor inca)i& en los l21uidos y en )articular en el a;ua.
-i todas las )art2culas de un elemento /luido visto como un medio continuo estn en re)oso o
movi&ndose con la misma velocidad se dice 1ue el /luido es un medio esttico? )or lo 1ue el
conce)to de )ro)iedades de un /luido esttico )ueden a)licarse a situaciones en las cuales se
estn moviendo los elementos del /luido con tal de 1ue no aya movimiento relativo entre
elementos /initos. "omo no ay movimiento relativo entre las )lacas adyacentes tam)oco
e>istirn /uer,as cortantes )or lo 1ue la viscosidad en este caso de3a de ser im)ortante y las
Enicas /uer,as 1ue actEan so re las su)er/icies de los /luidos son las de )resi$n. La esttica se
refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partcula fluida o
un cuerpo.
-e distin;uen dos ti)os de /uer,as 1ue )ueden actuar so re los cuer)os ya sea en re)oso o
en movimiento:L+ &"%1>+ /9 #(+ !+ &"%1>+ " %1(#+!% @L+ &"%1>+ /9 #(+ incluyen todas las /uer,as e>teriores 1ue actEan so re el material en
cuesti$n sin contacto directo e3em)lo la ;ravedad.
L+ &"%1>+ " %1(#+!% incluyen todas las /uer,as e3ercidas so re su contorno )or su
)ro>imidad )or contacto directo? es )or esto una acci$n de contorno o su)er/icial e3em)lo las
/uer,as de )resi$n de /ricci$n etc.
%n mecnica de /luidos se usan las /uer,as relativas con las masas o reas as2:
amF
maF == == $ ;mF
m;F 88 ==
) 0F
)0FN
(N( == $ ==
se cancelan )or lo 1ue resulta a)lica le solo la ecuaci$n de e1uili rio en la
direcci$n Ky :
( ) =+= ;dyd>d,d>d,d)))d>d,FQ-im)li/icando y ordenando resulta:
;dyd) = $ ;dyd) =
%n ;eneral la ecuaci$n de la esttica de los /luidos no se )uede inte;rar a menos 1ue se
es)eci/i1ue la naturale,a de K . %n la determinaci$n de la )resi$n se trata entonces )or
se)arado los ;ases y a los l21uidos.
(ero como remarcamos al inicio del estudio del )resente tema como in;enieros civiles nos
interesa /undamentalmente el estudio de los l21uidos es)ecialmente el a;ua )or lo 1ue solo
a ordaremos el caso de /luidos l21uidos? )or lo 1ue siendo as2 inte;raremos )ara los )untos (
y ( ! en el interior y en la su)er/icie li re res)ectivamente del /luido en re)oso:MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 43
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=== !!y
y
))
))dy;d)
( )!! yy;)) =
Donde de la /i;ura su)erior e>trema derec a: 0m! )) =
Lue;o:
))) 0m +==
Donde: )) = (resi$n a soluta
0m) (resi$n atmos/&rica
6 (resi$n manom&trica o relativa
La e>)resi$n es conocida como !+ E("+(#)' F"'$+/%' +! $% !+ E 9 #(+ $% !o F!"#$oL, "#$o o I'(o/ 1% # !% en re)oso a soluto @
-i se tra a3a con )resiones relativas la e>)resi$n se trans/orma en:
6) = Q
"uyo dia;rama de variaci$n de la )resi$n de la ecuaci$n Q es:
E("+(#)' F"'$+/%' +! $% !+
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-ea K) la )resi$n 1ue actEa so re cada una de las caras del triedro ms )r$>imo al ori;en de
coordenadas. -o re las caras del triedro o)uesto las )resiones sern res)ectivamente:
d>>)
)+ ? dy
y)
)+ ? d,
,)
)+
Ha i&ndose des)reciado in/init&simas de orden su)erior al )rimero.
-ea F La Resultante de las /uer,as e>teriores o Fuer,a terna )or unidad de masa
1ue su)onemos a)licada en el centro de ;ravedad de la masa Kdm del elemento di/erencial
orto&drico de volumen d>dyd,d = .
%s decir : GB 3Qi\F ++=
Donde:
F Fuer,a )or unidad de masa de ida a la inercia 1ue se ori;ina )or la aceleraci$n e>terna al
/luido? es una /uer,a msica. \ Q y B son sus com)onentes. terna ( )a .
"omo el elemento di/erencial de /luido se encuentra en e1uili rio se veri/ica en cada e3e
coordenado: = iF
Co'$#(#)' $% % "#!# 1#o %' %! %J% *
=++ d>dyd,Qd>d,dy
y))C)d>d,
-im)li/icando: Qy)
=
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 45
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De i;ual manera reali,ando el e1uili rio en los e3es K> y K, resulta:
\>) =
B,
) =
Donde: i\i>) =
3Q 3
y)
=
y GBG,) =
Las e>)resiones son conocidas como las E("+(#o'% % 9 #(+ $% E"!%1@
-umando miem ro a miem ro las %cuaciones estticas de %uler tendremos:
GB 3Qi\G,)
3y)
i>) ++=
+
+
%l )rimer miem ro de la ecuaci$n corres)onde al desarrollo de ) :
DGB 3Qi\C) ++=
0dems reem)la,ando en la e>)resi$n anterior resulta:
F) =
La e>)resi$n es conocida como la E("+(#)' F"'$+/%' +! V%( o1#+! $% !+ )resi$n se;En la direcci$n Kdr :
Donde: Gd, 3dyid>dr ++=
dr Fdr ) =
%l desarrollo de la e>)resi$n anterior resulta:
Bd,Qdy\d>d,,)
dyy)
d>>) ++=
+
+
%l desarrollo del )rimer miem ro de la ecuaci$n corres)onde a Kd) lue;o esta )uede ser
escrita como:
Bd,Qdy\d>Cd) ++=
La e>)resi$n es conocida como la E("+(#)' F"'$+/%' +! A'+!, #(+ $% !+
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0)licando la ecuaci$n /undamental anal2tica de la idrosttica
Donde:
=\ =Q y ;B =
Reem)la,ando en la %cuaci$n tendremos:
d,;d,d) ==
d,d) =
d,d) =
=+ d,
d)
%n el caso de los l21uidos ` "te? lue;o tendremos:
=+ d,d)
=nte;rando )ara los )untos ( y ( ! en el interior y en la su)er/icie li re res)ectivamente del
/luido en re)oso:
=+ )
,
,
!
d,d)
=+
D,,C) !
-a iendo 1ue: ,, ! = y reem)la,ando y acomodando la e>)resi$n anterior:
) = $ ) = Q
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La e>)resi$n Q ; es conocida como la E("+(#)' F"'$+/%' +! $% !+ E 9 #(+ $% !o F!"#$o
L, "#$o o I'(o/ 1% # !% %' R% o o A o!" o )ara el caso de )resiones relativas.
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F"%1>+
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C* en C! : A0 sen F G = ^^^^. C+ ? )ero GG . sen0 =
)......(.......... A. F G=
%s decir:
KL+ &"%1>+ :#$1o 9 #(+ o 1% "'+ " %1(#% !+'+ "/%1.#$+; % #."+! + !+ 1% #)'1%!+ # + +! (%' 1o $% .1+ %$+$; /"! # !#(+$+ o1 %! 91%+.
D% %1/#'+(#)' $%! C%' 1o $% P1% #o'%
- La l2nea de acci$n de la /uer,a resultante KF corta a la su)er/icie en un )unto 1ue se llama
centro de )resiones 1ue no coincide en ;eneral con el centro de ;ravedad Cs$lo en las
su)er/icies ori,ontales coinciden )or1ue Q; Q)
- (ara determinar las coordenadas del centro de )resiones C\) Q) ? se utili,a el teorema de
los momentos C
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%n C6 : )7.(..................... A y
I 0
G
# p =
(ero es muy usual tra a3ar con los momentos de inercia res)ecto a los e3es centroidales
)aralelos a los e3es K> e Ky .
(ara ello a)licamos el teorema de -teiner
R% %( o +! %J% # *
)8.(....................2G # # A0 I I +=
C' en C7 :
A0
A0 I 0
G
G #
p
2+=
A0 A0
A0 I
0 G
G
G
# p
2
+=
GG
# p 0 A0
I 0 +=
)......( A0
I 0 0
G
#G p += Donde: 0> A0
I
G
#
E $%(#1*
%l centro de )resiones est de a3o del centro de ;ravedad e>ce)to en las su)er/icies
ori,ontales 1ue coinciden )( G p 0 0 =
@2* C9!("!o $%
0 ora a)licamos el teorema de los momentos res)ecto al e3e Q:
= >dF# R ? (ero )R \F# =
= D9CdF>\F )
C y C+ en C9 :
= )()( !A ysen # 1 A0 sen pG
)10( A0
#y!A 1
G p =
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Donde: = #y I #y!A
(roducto de inercia de la su)er/icie K0 res)ecto a los e3es K> e Ky .
en C 4 : )11( A0
I 1 G
#y p = .
0)licando -teiner res)ecto a los e3es centroidales # e y se tiene:
)12( A0 1 I I GG #y #y +=
C ! en C : A0
A0 1 #y I 1
G
GG p
+=
A0 A0 1
A0 #y I 1
G
GG
G p +=
GG
p 1 A0 #y I
1 +=
)( A0
#y I 1 1
GG p +=
%l valor #y I )uede ser )ositivo o ne;ativo de modo 1ue el K") )uede encontrarse a uno u otro
lado de de 8. asta 1ue la su)er/icie )lana inclinada ten;a un e3e de simetr2a )ara 1ue = #y I
en cuyo caso:
G p 1 1 =
"omentario: (or lo ;eneral las situaciones de inter&s se relacionan con su)er/icies )lanas 1ue
tienen uno o dos e3es de simetr2a de modo 1ue s$lo se trata de determinar el valor de KQ) .
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=VF
Co/ o'%' % $% !+ F"%1>+
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)ueden determinar con /acilidad las com)onentes ori,ontal y vertical de la Resultante )ara
lue;o com inarlas vectorialmente.
"onsid&rense las /uer,as 1ue o ran so re el )risma de l21uido ilustrado en la /i;.C0 limitado
)or la su)er/icie li re a o )or la su)er/icie vertical )lana o y )or la su)er/icie curva a . %l
)eso de este volumen es una /uer,a Kw vertical acia a a3o y actuando de derec a a
i,1uierda so re o est la /uer,a ori,ontal v8 0( = en donde K0v es el rea de la
su)er/icie )lana vertical ima;inaria uno de cuyos ordes es o . %stas /uer,as se mantienen en
e1uili rio )or /uer,as i;uales y o)uestas de reacci$n de la su)er/icie curva a . -e deduce en
consecuencia 1ue la com)onente ori,ontal de la Resultante total de las )resiones so re una
su)er/icie curva es i;ual y est a)licada en el mismo )unto 1ue la /uer,a 1ue actEa so re lasu)er/icie )lana vertical /ormada al )royectar en direcci$n ori,ontal la su)er/icie curva. (or
otra )arte la com)onente vertical de dic a Resultante total so re la su)er/icie curva es i;ual al
)eso del l21uido 1ue se encuentra encima de &sta y est a)licada en el centro de la ;ravedad
del volumen l21uido. @n ra,onamiento seme3ante demostrar 1ue cuando el l21uido se
encuentra de a3o de la su)er/icie curva la com)onente vertical es i;ual al )eso del volumen
ima;inario del l21uido 1ue se encontrar2a encima de la su)er/icie y est a)licada acia arri a
)asando )or su centro de ;ravedad.
(or e3em)lo la com)onente vertical de la Resultante total de )resiones e3ercida so re la
com)onente radial o de a anico de la /i;. C es i;ual al )eso del volumen re)resentado )or
LN# y actEa acia arri a )asando )or K8 como se indica.
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%3m . La /i;ura 1ue se muestra ilustra una secci$n de un de)$sito de a;ua de 6 mts. de
lon;itud. La )ared a c del de)$sito est articulado en Kc y es so)ortado en Ka )or un tirante.
%l se;mento c de la )ared es un cuadrante de circun/erencia de .!4 m de radio.
a Determinar la /uer,a K< 1ue e3erce el tirante
Determinar la Resultante total de )resiones 1ue o ra so re la com)uerta
c Determinar la Fuer,a Resultante so re la articulaci$n c des)reciando el )eso de la
)ared.
So!"(#)'*
a Determinar la /uer,a K< 1ue e3erce el tirante
;+*!4Dm!4.>44.6DCm64.4DCm
;444C 0( !*8 == =
;+*!4( =
La )osici$n de K( est a mm # 40.0)20.131
( = arri a de K"
$ m. * 80.0=
;67'5m;
444m!4.Cm6+r
m6I( *!
!
v == ==
$g * " 6785=
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K(v esta a)licada en el centro de ;ravedad del cuadrante del circulo el cual se encuentra a:
m5.4*
m!4.C+*
r + == a la i,1uierda de Koc
m # p 51.0=
(ara calcular K< se alla tomado momentos res)ecto a la articulaci$n Kc como si;ue:
= m+4.4C(m5.4CI
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== H R(
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)unto de a)licaci$n de dic o em)u3e coincide con el "entroide del volumen sumer;ido C=;ual al
del volumen desalo3ado y se conoce con el nom re de K(%' 1o $% &!o +(#)' o $% (+1%'+.
"entro de /lotaci$n o de carena: es el centro de ;ravedad de la )arte sumer;ida del cuer)o y
es el )unto donde est a)licado el em)u3e.
D%/o 1+(#)'*
-ea el caso de un cuer)o s$lido cual1uiera /lotando en un l21uido e>iste un estado de e1uili rio
de ido a 1ue el l21uido e3erce so re el cuer)o una )resi$n ascendente de i;ual ma;nitud 1ue el
)eso )ro)io del cuer)o 1ue se )uede calcular a )artir de los resultados anteriores.
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P+1(#+!/%' % S"/%1.#$o
= " F en el volumen de control.!E !F !F = 12
HaHa d0)d0)Cd% +=HaHHa d0)d0d0)d% +=
Hd0d% = = 0 H6d0%
La inte;ral es i;ual al volumen C s de la)arte del cuer)o en /lotaci$n 1ue seencuentra de a3o de la su)er/icie li re dell21uido? esto es:
s% =
To +!/%' % S"/%1.#$o
= " F en el volumen de control
12 !F !F !E =HH! d0d0d% =
Cd0d% !H =Hd0d% =
H 0d06% =
s% =
s Volumen del l21uido desalo3ado Cvolumen del cuer)o sumer;ido
(eso es)ec2/ico del l21uido.
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R%!+(#)' %' 1% %! E/ "J% %! P% o $%! ("%1 o "/%1.#$o
-ea I %l )eso total del cuer)o
% %m)u3e del /luido so re el cuer)o
. -i % b I el cuer)o tiende a ir acia el /ondo
!. -i % I el e1uili rio del cuer)o es esta le Cel cuer)o se mantiene sumer;ido en la
)osici$n en 1ue se le de3e KFlotaci$n en %1uili rio .
*. -i % I el cuer)o tiende a ir acia la su)er/icie.
Co'$#(#o'% $% E "#!# 1#o $% !o C"%1 o %' F!o +(#)'
%l e1uili rio de un cuer)o /lotante se clasi/ica en tres ti)os:
?@- E + !%@-@na /uer,a actuante )or e3em)lo el em)u3e del olea3e o del viento ori;ina una
inclinaci$n lateral )ero cuando a1uella cesa el cuer)o vuelve a su )osici$n ori;inal. %ste
ti)o de e1uili rio lo tienen los cuer)os de centro de ;ravedad a3o.
2@- I'% + !%@-La /uer,a actuante ori;ina el volteo rusco del cuer)o C,o,o ra el cul des)u&s
recu)era una )osici$n ms o menos esta le. %ste e1uili rio lo tienen a1uellos cuer)os cuyo
centro de ;ravedad es alto.
3@- I'$#&%1%' %@-La /uer,a actuante ori;ina un movimiento de rotaci$n continua del cuer)o?
cuya velocidad es directamente )ro)orcional a la ma;nitud de la /uer,a y cuya duraci$n es
la misma 1ue la de dic a /uer,a. %ste ti)o de e1uili rio lo )oseen cuer)os cuya distri uci$n
de la masa es uni/orme C)or e3em)lo la es/era con )osici$n de /lotaci$n indi/erente? el
cilindro cuya )osici$n de /lotaci$n es indi/erente con su e3e lon;itudinal en la direcci$n
ori,ontal .
Las condiciones de e1uili rio de un cuer)o /lotante se e>)lican con claridad utili,ando como
e3em)lo un arco Ccomo el mostrado en la /i;. a cuya su)er/icie de /lotaci$n muestra una /orma
sim&trica con un e3e lon;itudinal y otro transversal. La rotaci$n alrededor del )rimer e3e se
conoce como 8+!+'(%o; y del se;undo C+ %(%o.
%n La )osici$n de e1uili rio C-in /uer,as ocasionales so re el arco actEa el )eso KI e3ercido
en el centro de ;ravedad K8 adems del em)u3e ascendente del l21uido K% 1ue actEa en el
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centro de /lotaci$n o de carena 8 . 0m as /uer,as son i;uales colineales y de sentido
contrario.
0l )roducirse una /uer,a ocasional el arco se inclina un n;ulo T y )asa a ocu)ar la )osici$n
mostrada en la /i;. C ? el )unto K8 )asa a ora a la )osici$n K8 .
(or e/ecto de las cuOas som readas una 1ue se sumer;e y otra 1ue emer;e )or encima de la
l2nea de /lotaci$n se ori;ina un movimiento )roducido )or las /uer,as F y F! .
%l em)u3e ascendente total K% en su nueva )osici$n K8 es la resultante de K% en su
)osici$n ori;inal y las /uer,as F F ! )or e/ecto de las cuOas.
%l momento de la Fuer,a Resultante con res)ecto a K8 ser i;ual a la suma al;e raica de los
momentos de sus com)onentes y considerando 1ue KT es )e1ueOo )or lo tanto KI )asa )or
K8 .
mFn% =
%
mFn
=
C9!("!o $% F m @
cuOadF d C=
(ara un elemento de volumen C ! de la cuOa
y!A! c-2a = donde g # y tan= .
!A #! c-2a tan=
)2(tan !A #! c-2a =
C! C : d0;tan>dF =
d# > tan; d0 >=
d0>;tand# ! =
d0>;tan# 0
! =
,=;tan# =
,=;tanmF# ==
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 61
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%=;tan
n , = ? s% =
s
,
s
, =;tan=;tann=
=
Lue;o:
,= #omento de =nercia del rea de la secci$n del arco a nivel de la su)er/icie de /lotaci$n
a/ con res)ecto al e3e lon;itudinal KB del mismo 1ue )asa )or KA .
E! +1 $% &"%1>+ E W )roducen un momento M? X W : %' 1ue tratar de volver al arco a
su )osici$n ori;inal o de voltearlo mas asta acerlo ,o,o rar.
(ara )redecir el com)ortamiento del arco es im)ortante conocer la )osici$n del )unto K M de
intersecci$n de K% en K8 con el e3e Ky del arco inclinado? )unto 1ue se denomina
/% +(%' 1o !+ +! "1+ /% +(=' 1#(+ se indica con K: . 0 medida 1ue K: aumenta es mas
esta le la /lotaci$n del cuer)o es decir ms r)idamente tratar de reco rar su )osici$n
ori;inal.
E! % "#!# 1#o % % + !% si el )unto KM 1ueda arri a del )unto K8 C: 0 y es inesta le si KM
1ueda de a3o de K8 ? )or tanto la esta ilidad del arco e>i;e 1ue sea 4 esto es:
>=
= 4
s
,4 sen
=;tansen
n siendo KT )e1ueOo senT tan;T
4
nsen
< s,
4=clusivamente )or la ma;nitud 1ue ad1uiere la cantidad /2sica a la
cual corres)onde? e3em)los: )resi$n densidad y tem)eratura.
C+/ o V%( o1#+!* %n un cam)o vectorial adems de la ma;nitud se necesita de/inir una
direcci$n y un sentido )ara la cantidad /2sica a la cual corres)onde esto es tres valores
escalares de/inen la cantidad /2sica? e3em)los: la velocidad la aceleraci$n y la rotaci$n.
C+/ o %' o1#+!* (ara de/inir un cam)o tensorial se re1uieren nueve o ms com)onentesescalares? e3em)los: es/uer,o de/ormaci$n unitaria y momento de inercia.
. C+/ o %( o1#+! $% %!o(#$+$% .
%l anlisis del movimiento de una )art2cula del /luido 1ue recorre una l2nea usualmente curva
1ue se llama trayectoria se )uede acer de dos maneras distintas:
a (or el conocimiento del vector de )osici$n Cr de la )art2cula como una /unci$n vectorial
del tiem)o Ct .
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r >i y 3 ,G= + + r rCt=
-i es /unci$n del tiem)o entonces sus com)onentes son tam i&n /unciones del tiem)o? es
decir:
)( t # # = ? )( t y y = ? )( t + + = . (or el conocimiento de la curva 1ue recorre la )art2cula y la /unci$n camino recorrido tiem)o.
%n este caso la )osici$n de la )art2cula se determina )or la lon;itud del camino recorrido
si;uiendo la curva Ca )artir de un )unto de ori;en 0 como una /unci$n escalar del tiem)o?
esto es: ( )s s t=
D%'#(#)' $% V%!o(#$+$@-%l Vector velocidad de una )art2cula /luida se de/ine como !+
1+ #$%> /+.'# "$ $% !+ %!o(#$+$ %/ o1+! $%! (+/ #o %' " o #(#)'@
.
dr V Cdt
=u
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Donde dr re)resenta el vector di/erencial de arco so re la curva " 1ue recorre la )art2cula en
el tiem)o dt.
La velocidad es entonces un cam)o vectorial dentro de un /lu3o y al des)la,arse la )art2cula
se;En la curva " es un vector tan;ente en cada )unto a la misma 1ue en ;eneral de)ende de
la )osici$n de la )art2cula y del tiem)o.
V VCr5tD..........C!D=
V VC> y , t .........C*=
d> dy d,V i 3 Gdt dt dt
= + +
Haciendo: # !t !# = ? y !t
!y = y + !t !+ =
Lue;o > y ,V V i V 3 V G= + + EH 1% #)' %( o1#+! $% !+ %!o(#$+$.
Donde:
> >d>V V C> y , tdt
= =
y y dyV V C> y , t dt= =
, ,d,V V C> y , tdt
= =
#$dulo de la Velocidad:
! ! !> y ,V V CV CV CV= = + +
2@- C+/ o %( o1#+! $% +(%!%1+(#o'% @-%s un cam)o vectorial 1ue se deriva del cam)o develocidades.
D%'#(#)' $% +(%!%1+(#)'@-%l vector aceleraci$n de una )art2cula en un )unto se de/ine como
la variaci$n tem)oral de la velocidad en ese )unto? esto es:
!
!
dv d r adt dt
= =
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 65
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%n cuanto a su direcci$n la aceleraci$n no tiene una orientaci$n coincidente con la trayectoria
de la )art2cula? siendo la aceleraci$n tam i&n una /unci$n de la )osici$n y tiem)o.
a aC> y , t=
y> ,dVdV dV dVa i 3 Gdt dt dt dt
= = + +
Haciendo: >> adtdV = ? y y a!t
! = y + + a!t ! =
Resulta:
> y ,a a i a 3 a G= + + EH 1% #)' %( o1#+! $% !+ +(%!%1+(#)'
0 veces es conveniente e>)resar la aceleraci$n a en /unci$n de sus com)onentes normal ytan;encial.
t na a a= +!
t ndV Va e edt R
=
M)$"!o $% +(%!%1+(#)'*
La aceleraci$n deriva del cam)o de velocidades donde: ( )=V V x,y,z,t
a aCv t=
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 66
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> y ,a aCv v v t=
dy d, dt> y , t
= + + +
dt
dV V d> V dy V d, V dtdt > dt y dt , dt t dt
= + + +
> y ,
dV V V V Va V V Vdt > y , t
= = + + +
Ardenando:
> y ,V V V Va V V Vt > y ,
= + + +
> y ,Va C V V V Vt > y ,
= + + + ^^^^..C
-a emos 1ue: i 3 G> y , = + +
Q adems * > y ,V V i V 3 V G= + +
Lue;o * > y ,.V V V V> y , = + + ^^^^^C!
C! C : Va C .V Vt
= +
^^^^^.C*
Donde la %>)resi$n C* re)resenta el "am)o Vectorial de 0celeraciones en /unci$n del
)roducto escalar C .V $%'o/#'+$o $# %1.%'(#+ $% V .
Vt
+(%!%1+(#)' !o(+! Cde)ende del tiem)o
C .VDV +(%!%1+(#)' (o' %( # + Cde)ende de la )osici$n
"omentario: -i el &!"Jo % %1/+'%' %:V
4t = yMECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 67
8/12/2019 Loaiza Rivas Hidraulica General
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a C .V V=
%s decir el cam)o de aceleraciones se reduce solo a la com)onente convectiva.
D% +11o!!%/o +:o1+ !+ (o/ o'%' % (o' %( # + )ara re)resentarla en t&rmino del
)roducto vectorial C >V conocido como rotacional de )( rot .
C .V V C V> Vy V, CV>i Vy 3 V,G> y , = + + + +
0)li1uemos la )ro)iedad distri utiva de la multi)licaci$n.
C .V V C V> Vy V, V>i C V> Vy V, Vy 3> y , > y , = + + + + +
C V> Vy V, V,G> y , + + +
Ha;amos:
C=D C V> Vy V,DV> i> y ,
= + +
C==C V> Vy V, Vy 3> y , + +
C=== C V> Vy V, V, G> y , + +
Vy V,DV> i> y , = + +
> y ,CV V V DV> i> y ,
= + +
> > >> y ,V V V
CV V V D i> y ,
= + +
-umando y restando y ,V V
Vy V,> >
+
? a la e>)resi$n anterior resulta:
i+ #
+ y #
y+ #
+ y #
y# +
+ # y
y# #
# )(
+
+
+
+
=
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 68
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= + + + + X Y Z X Y X Z V V V V V V V I (Vx Vy Vz i Vy Vz i
x x x y x z x
^^^ CX .
Del )rimer t&rmino de CX ? o servamos*
>V>
V>>V>
V>!!>V>
!
!
==
tremos: ##
# #
#
=
221 ^^^^^..C_
0nlo;amente * #y
y #
y
=
221 ^^^^^..C_
#+
+ #+
=
221 ^^^^^ C_
C_ CX
! ! !V> Vy V, V> Vy V> V,= C i VyC V,C i! > ! > ! > y > , >
= + + + +
Factor comEn: #
21
! ! ! V> Vy V> V,= CV> Vy V, i VyC V,C i! > y > , >
= + + + +
! V> Vy V> V,= V i VyC V,C i! > y > , >
= + +
^^^^^.Cf
0dems conocemos 1ue:
+ y# + y #
k 3i
= cuyo desarrollo es:
VyV iC V, 3C V, V> GC Vy V>y , > , > y = +
0 ora el desarrollo de: C V V :
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+ y#
# y
y #
# +
+ #
y +
+ y
k 3i
)()()()(
=
i C V, V> V, C Vy V> Vy> , > y
3 C V, Vy V, C Vy V> V>y , > y
G C V, Vy Vy C V, V> V>y , > ,
= + +
C V V i V,C V> V, VyC V> Vy C
, > y > = +
u u
C` CT :!V= i C V V i
! > = +
u u
0nlo;amente:
!V== 3 C VD V 3
! y
= +
u u u
!V=== G C V V G! ,
= + u u u
( ).V V = == === = + +
0celeraci$n convectivaC ca :
c c > c y c ,a a a a= + +
!ca C .V V CV C >V >V!
= = + ?
(or lo tanto !+ +(%!%1+(#)' o +! tCa de la )art2cula ser:
!t
V a CV D C VD V
t != + +
u u u u
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3@- E! (+/ o 1o +(#o'+!@
%s un cam)o vectorial 1ue se deriva del cam)o de velocidades y 1ue evalEa la rotaci$n local
de una )art2cula y se de/ine matemticamente )or el )roducto vectorial de )or V .
Rotacional de V >V=
rot V >V=
+ y# + y #
k 3i
rot
=
"uyo desarrollo es:
B Q B \ Q \V V V V V Vrot V C i C 3 C Gy , > , > y
= +
"omo deriva del cam)o de velocidades tam i&n es /unci$n tanto del )unto como de tiem)o y
es una medida de la rotaci$n o vorticidad de la )art2cula dentro del /lu3o )or esta ra,$n se le
conoce tam i&n como (+/ o o1 #(o o .
S#.'#(+$o &, #(o $%! %( o1 1o +(#o'+!*
"omo el cuer)o r2;ido adems de la traslaci$n una )art2cula )uede e>)erimentar una
rotaci$n intentemos una re)resentaci$n /2sica del vector rotacional.
G%'%1+!#$+$% +1+ !+ #' %1 1% +(#)' &, #(+*
a "onsideremos la rotaci$n )ura de una )art2cula C)rescindimos de la traslaci$n de la
)art2cula
0l encontrarse la )art2cula en rotaci$n )ura a trav&s del movimiento de ;iro alrededor
de un e3e instantneo 1ue )asa )or el centro de ;ravedad de la )art2cula K( 4 Ccuya
direcci$n lo da el vector unitario Ce normal al )lano /ormado )or dos l2neas orto;onales
contenidas en la )art2cula.
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c (ara )oder entender la rotaci$n consideramos 1ue el )unto K( o a tenido una
traslaci$n )ura al )unto K( des)la,ndose un in/init&simo 4Cr r dr = en un instante dt?
ad1uiriendo una velocidad tan;encial dr Vdt
= .
D% (1# (#)' $% !+ 1o +(#)' "1+@-
. De/inida la )osici$n del )unto K( coincidente con el e>tremo de una de las l2neas
orto;onales esta la tomamos como )osici$n inicial de la rotaci$n )ura C)rescindiendo de la
traslaci$n de la )art2cula .
!. %n un instante Kdt el )unto K( a rotado a una )osici$n K( a i&ndose des)la,ado un
d con un radio de ;iro dr .
*. 0l )roducirse la rotaci$n la velocidad an;ular gg vale:
dtd =
Variaci$n del n;ulo de rotaci$n KT con el tiem)o Kt . %l vector velocidad an;ular ser:
= + + # y + i 3 k
La velocidad tan;encial g V g)uede de/inirse como: V dr =
Donde:
dr d>i dy3 d,G= + +
= =
u u
# y +
i 3 k
! r !# !y !+
y , > , > yV dr iC d, dy 3C d, d> GC dy d>= = +
!y!+ # + y =
!#!+ y + # =
!#!y + y # =
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"alculamos el rotacional de V : V es decir:
)()()( !#w!y!#!+ ! !+ + y #
k 3i
rot
y # + # y + y
=
> y > , > y > ,rotV V C dy d> C d, d> i C dy d> C d, dy 3y , > , = = + +
u u
k !y!+ y
!#!+ # + y + #
+
+ )()(
[ ] [ ]> > y y , ,rotV V i 3 G = = + + +
> y ,rotV V C! i ! 3 ! G= = + +
> y ,rotV V !C i 3 G rotV != = + + =
Po1 !o +' o %! #.'#(+$o &, #(o $%! %( o1 1o +(#o'+! %' "' /o #/#%' o $% 1o +(#)'
+!1%$%$o1 $% "' %J% % #."+! +! $o !% $%! %( o1 %!o(#$+$ +'."!+1*
rotV V != =
De la e>)resi$n C_
!Va CV C V Vt !
= + +
u u u u
La aceleraci$n en un )unto est /ormada )or las com)onentes:
)(21 2 "orres)onde al movimiento de traslaci$n )ura.
rot # "orres)ondiente al movimiento de rotaci$n llamada
aceleraci$n de K"oriolis .
y
t
0celeraci$n local.
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C!+ #(+(#)' $% !o F!"Jo
%>isten di/erentes criterios )ara clasi/icar un /lu3o. %ste )uede ser: )ermanente o no
)ermanente? uni/orme o no uni/orme? laminar o tur ulento? su)ercr2tico cr2tico o su cr2tico?
tridimensional idimensional o unidimensional? rotacional o irrotacional incom)resi le o
com)resi le etc. aun1ue no los Enicos si son los /lu3os ms im)ortantes 1ue clasi/ica la
in;enier2a.
%s de inter&s )articular de la in;enier2a las conducciones )or tu er2a y )or canal.
F!"Jo %1/+'%' % 'o %1/+'%' %
%sta clasi/icaci$n o edece a la utili,aci$n del tiem)o como varia le. %l /lu3o es )ermanente si
las caracter2sticas idrulicas del /lu3o en una secci$n Cvelocidad )resi$n densidad etc. nocam ian con res)ecto al tiem)o? o ien si las variaciones en ella son muy )e1ueOas con
res)ecto a sus valores medios y &stos no var2an con el tiem)o.
#atemticamente se )uede re)resentar:
0; 0; 0 ; . = = =
" petc
t t t
Flu3o )ermanente.
-i las caracter2sticas idrulicas cam ian con res)ecto al tiem)o tendremos un /lu3o no)ermanente matemticamente se re)resenta:
0; 0; 0
" pt t t
? etc. Flu3o no )ermanente.
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F!"Jo U'#&o1/% 'o "'#&o1/%
%sta clasi/icaci$n o edece a la utili,aci$n del es)acio como varia le. %l /lu3o es uni/orme si las
varia les idrulicas del /lu3o en una lon;itud de su desarrollo Cvelocidad )resi$n densidad
etc. no cam ian con res)ecto al es)acio.
#atemticamente se )uede re)resentar:
0 ; 0 ; 0 = = =
" p L L L
-i las caracter2sticas idrulicas cam ian con res)ecto al es)acio tendremos un /lu3o no
uni/orme o varia le. #atemticamente se re)resenta.
0 ; 0 ; 0
" p
L L L
"onsid&rese un /lu3o )ermanente en dos situaciones distintas: una con tu er2a de dimetro
constante y la otra con tu er2a de dimetro decreciente.
F!"Jo U'#$#/%' #'+!; 8#$#/%' #o'+! T1#$#/%' #o'+!@
%strictamente a lando el /lu3o es siem)re 1#$#/%' #o'+! es decir cuando sus caracter2sticas
idrulicas o varia les idrulicas cam ian en el es)acio o sea 1ue los ;radientes del /lu3o
e>isten en las tres direcciones.
%l /lu3o % #$#/%' #o'+! cuando sus caracter2sticas son id&nticas so re una /amilia de )lanos
)aralelos no a iendo com)onentes en direcci$n )er)endicular a dic o )lano o ien ellas
)ermanecen constantes? es decir 1ue el /lu3o tiene ;radiente de velocidad o de )resi$n Co tiene
am os en dos direcciones e>clusivamente.
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%l /lu3o es "'#$#/%' #o'+! "uando sus caracter2sticas var2an como /unciones del tiem)o y de
una coordenada curvil2nea en el es)acio usualmente la distancia medida a lo lar;o del e3e de la
conducci$n.
%l /lu3o de un /luido real no )uede ser com)letamente unidimensional de ido al e/ecto de la
viscosidad ya 1ue la velocidad en una /rontera s$lida es i;ual a cero )ero en otro )unto es
distinto de cero? sin em ar;o a3o la consideraci$n de valores medios de las caracter2sticas en
cada secci$n se )uede considerar unidimensional. %sta i)$tesis es la ms im)ortante en
idrulica )or las sim)li/icaciones 1ue trae consi;o.
%n resumen un /lu3o es siem)re tridimensional. -in em ar;o cuando en el /lu3o )revalece una
direcci$n es considerada unidimensional como ocurre con las tu er2as y los canales. %n el
caso de los canales ay circunstancias en las cuales no se )uede )rescindir de una se;unda
dimensi$n )ara descri ir al /lu3o de iendo acerse el estudio del /lu3o )lano o idimensional.
L+/#'+1 T"1 "!%' o
"lasi/icaci$n de los /lu3os de acuerdo al )redominio de las /uer,as viscosas y de las /uer,as de
inercia.
F!"Jo L+/#'+1@-Flu3o caracter2stico de velocidades a3as de trayectorias ordenado rectil2neas
y )aralelas.
F!"Jo "1 "!%' o* Flu3o caracter2stico de velocidades ordinarias Caltas de trayectoria errticas
o desordenadas. %>isten )e1ueOas com)onentes de velocidad en direcciones transversales a
la del movimiento ;eneral las cuales no son constantes si no 1ue /luctEan con el tiem)o? de
acuerdo con una ley aleatoria aEn cuando el /lu3o en ;eneral sea )ermanente.
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Las com)onentes transversales de la velocidad en cada )unto ori;inan un /%>(!+$o #' %' o
$% !+ +1 ,("!+ 1ue consume )arte de la ener;2a del movimiento )or e/ecto de la /ricci$n
interna y 1ue tam i&n en cierto modo es resultado de los e/ectos viscosos del /luido.
%>iste un )armetro
1ue es /unci$n
D y cuyo valor
)ermite di/erenciar el
/lu3o es decir si es
laminar o tur ulento denominado NEmero de Reynolds C .
F!"Jo Ro +(#o'+! % I11o +(#o'+!@-
@n /lu3o es rotacional; si en su seno el cam)o rot ad1uiere valores distintos de cero )ara
cual1uier instante y es =rrotacional )or el contrario si en su seno del cam)o de /lu3o el vector
rotacional de es i;ual a cero )ara cual1uier )unto e instante.
-i se e>ce)tEa la )resencia de sin;ularidades vorticosas en el caso ;eneral el movimiento de
un /luido ideal se )uede su)oner =rrotacional. Los e/ectos de la viscosidad de /luido constituyen
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 77
No e>iste me,cla macrosc$)ica o
intercam io transversal entre
)art2culas.
%>iste me,clado intenso de las
)art2culas.
3 2
22 2 2
2
2 2
2 2
2 2
( )
= = = =
= =
=
= = = =
== =
= =
I
I
I
T
I
m F ma a L LT
L F L L
T F L
! F A L L L
!y L
F - L F L L F L
D D
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la causa )rinci)al de dic as sin;ularidades Cvorticosas . -in em ar;o el /lu3o =rrotacional ocurre
con astante /recuencia en los )ro lemas de la )rctica.
-i ien el t&rmino rotaci$n im)lica un ;iro de )art2culas esto no si;ni/ica 1ue es rotacional todo
movimiento e/ectuado de acuerdo a una trayectoria curva o ien 1ue todo movimiento rectil2neo
es =rrotacional.
"iertos escurrimientos se )ueden considerar macrosc$)icamente como irrotacionales. %n otros
casos a )esar de e>istir trayectorias curvas la distri uci$n de velocidades )uede ser de /orma
tal 1ue las l2neas medianas o las dia;onales de una )art2cula de /orma rectan;ular no
modi/ican su orientaci$n durante el movimiento el /lu3o es o viamente =rrotacional@%sto se
re)resenta es1uemticamente en las /i;uras si;uientes en las cuales el vector rot ser2a
normal al )lano del )a)el.
%l movimiento a a3as velocidades de un /luido viscoso es ;eneralmente rotacional.
Flu3o Lineal =rrotacional Flu3o Lineal Rotacional
Flu3o "urvil2neo =rrotacional Flu3o "urvil2neo RotacionalC%s1uema =deal C%s1uema Real
D% (1# (#)' $%! Mo #/#%' o
%l movimiento de un /luido 1ueda descrito cuando se est en condiciones de conocer:MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 78
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%l cam io de )osici$n de una )art2cula
La variaci$n de la velocidad en un )unto.
Hay dos /ormas clsicas de descri ir el movimiento de un /luido:
M= o$o $% E"!%1* y ,V V C> y , t i V C> y , t 3 V C> y , t G= + +
Las varia les de)endientes son: V > Vy y V,
Las varia les inde)endientes son: > y , t.
M= o$o $% L+.1+'.%*"onsiste en ele;ir una )art2cula y determinar las varia les cinemtica
de esa )art2cula en cada instante si;uiendo su recorrido. =denti/icada una )art2cula )or su
)osici$n inicial or C>o yo , o en el instante t t o en otro instante cual1uiera Kt la misma
)art2cula se encuentra en la )osici$n rC> y , . %ntonces la )osici$n de la )art2cula se tiene
conocida en cual1uier instante si el vector de )osici$n r se determina como /unci$n del tiem)o
Kt y la )osici$n inicialor ? o sea:
0( , )r r r t =
0
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )r ai / 3 ck r # a / c t i y a / c t 3 + a / c t k
= + += + +
Las varia les de)endientes son: > y ,.
Las varia les inde)endientes son: a c t.
De los dos m&todos se )re/iere el )rimero )or 1u& su mane3o anal2tico es ms sim)le. %s el
1ue normalmente se em)lea en los li ros de mecnica de /luidos.
L,'%+ $% (o11#%' %; 1+ %( o1#+ " o $% (o11#%' %MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 79
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-e su)one 1ue en un instante Kt 4 se conoce el cam)o de velocidad de un /lu3o.
L,'%+ $% Co11#%' %. se de/ine l2nea de corriente toda l2nea tra,ada idealmente en el seno
l21uido de modo 1ue la tan;ente en cada uno de sus )untos )ro)orcione la direcci$n del vector
velocidad corres)ondiente. No e>iste )osi ilidad de 1ue dos l2neas de corriente ten;an un
)unto comEn )ues ello si;ni/icar2a 1ue en el )unto de intersecci$n e>istieran dos vectores
distintos.
( ) Lc t =
-i el /lu3o es no )ermanente )ara otro instante Kt la con/i;uraci$n de las l2neas de corriente es
otra. -i el /lu3o es )ermanente la con/i;uraci$n de dos l2neas de corriente es la misma en
cual1uier momento.
L2nea de corriente )ara un instante Kt
E("+(#o'% $% !+ !,'%+ $% (o11#%' %
%n la l2nea de corriente de la /i;ura )ara un instante Kt donde el )unto K est in/initamente
)r$>imo a K! de manera 1ue se )uede considerar 1ue1 2= =
.
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 80
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"omo V y dr son vectores )aralelos Ctienden a ser colineales lue;o:
4V dr =
? = g V dr ! dr sen u
Donde u Vector unitario )er)endicular al )lano K4 K y K!
"omo son )aralelos 4 4= = V dr
4 = =u
x y z
i " # V dr V V V
dx dy dz
( ) ( ) ( ) 4 + =y z x z x y i V dz V dy " V dz V dx # V dy V dx
=y z V dz V dy
..............C=y z V V dy dz
...............C!= x z V V dx dz
...............C*= y x V V dx dy
-istema de tres ecuaciones di/erenciales o tenida de C C! y C* :
= =y x z V V V
dx dy dz
La Eltima e>)resi$n constituye la ecuaci$n anal2tica de la l2nea de corriente )ara un instante Kt .
Donde recordamos 1ue: ( ) x y z V V y V x y z t =
MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 81
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T1+ %( o1#+* -e de/ine trayectoria la curva 1ue marca el camino 1ue si;ue una )art2cula
con el transcurrir del tiem)o.
dr V dt =
u
...........Cdr Vdt =
( )............ != + +
= + + u u
x y z
dr dxi dy " dz#
V V i V " V #
Lue;o C! C
( )+ + = + + x y z dxi dy " dz# V i V " V # dt
.............C*= = x x
dx dx V dt dt
V
.............C+= =y y
dy dy V dt dt
V
.............C5= =z z dz
dz V dt dt V MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 82
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"om)arando C* C+ C5 y acomodando:
y> ,VV V
d> dy d,= =
La e>)resi$n anterior constituye la ecuaci$n analtica de la trayectoria.
( )= x y z V V y V x y z t
K-i el /lu3o es no )ermanente la l2nea de corriente y trayectoria son l2neas distintas )ero si el
/lu3o es )ermanente si;ni/ica lo mismo .
La ra,$n est en 1ue el /lu3o )ermanente el cam)o de velocidad no cam ia con el tiem)o.
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C+/ o o %'(#+!; o!%'o#$+! A1/)'#(o
C+/ o Po %'(#+! : %s un cam)o vectorial en el 1ue e>iste una /unci$n escalar
Cdenominada /unci$n )otencial o )otencia tal 1ue:
F = Donde:
' cam)o )otencial vectorial
/unci$n escalar o /unci$n )otencial de '
"alculemos el ?rot ' donde ' =
i " #
' x y z
x y z
=
u
u u
! ! ! ! ! ! = + + + +
u i " #
y z z y x z z x x y x y
( ) ( ) ( )4 4 4= +i " #
4 ='
Lo 1ue demuestra 1ue si el cam)o de ' es )otencial es =rrotacional? lo cual 3usti/ica 1ue se
)ueda decir indistintamente campo potencial o campo Irrotacional .
(ara el caso )articular del cam)o vectorial de velocidades
V =
V = %s un cam)o )otencial de velocidades
/unci$n )otencial de velocidades
Veri/icndose tam i&n: 4V =
Lo 1ue 3usti/ica 1ue elcampo potencial de !elocidades es un campo Irrotacional .
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(or de/inici$n de y son orto;onales
C+/ o So!%'o#$+! : %s un cam)o vectorial en el 1ue e>iste una /unci$n vectorial
Cdenominada /unci$n solenoidal tal 1ue:
=' (
Donde:
' "am)o solenoidal
/unci$n solenoidal vectorial de '
"alculemos la diver;encia de F : [[ =' donde: ' =
( ) ( )[[ = = ='
= +
u uu uy y z z x x ) ) ) ) ) ) i " #
y z x z x y
( ) [[ =
= + +
u ug y y z z x x
) ) ) ) ) ) i " # i " #
x y z y z x z x y
( ) ! !! ! ! ! = + + u u uug y y z z x x ) ) ) ) ) )
x z x y y x y z z y z x
-umando t&rminos o tenemos:
( ) 4 =
F 4 =
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KLo 1ue demuestra 1ue si el cam)o de ' es solenoidal se veri/icar 1ue su diver;encia es
nula .
0dems se cum)le 1ue es normal a ' ? )ara 1ue el )roducto escalar sea cero ( )94 =
P+1+ %! (+ o +1 #("!+1 $%! (+/ o $% %!o(#$+$% *
V =
V %s un cam)o solenoidal de velocidades
%s una /unci$n solenoidal vectorial de V
Veri/icndose tam i&n: 4 =V
K"ondici$n de /lu3o incom)resi le Cl21uidos . C+/ o A1/)'#(o o L+ !+(%+'o : %s un cam)o vectorial 1ue sucede )ara /lu3os
incompresi%les y 1ue adems es Irrotacional
(or ser incompresi%le ? el cam)o cum)le:
4 =V C "ondici$n de cam)o solenoidal
(or ser Irrotacional ? el cam)o cum)le:
4 =V y = V V C! condici$n de cam)o )otencial
C! C ( ) 4 =V V
( ) 4 =V V ! 4 = %cuaci$n de La)lace o La)laceano
K%n resumen un cam)o es arm$nico cuando cum)le la ecuaci$n de La)lace donde K reci eel nom re de /unci$n arm$nica .
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Familia de l2neas de corriente
De la ecuaci$n anal2tica de las l2neas de corriente C/lu3o idimensional :
= y x V V
dx dy
D%'#(#)'* La /unci$n corriente es una /unci$n escalar 1ue de/ine a una /amilia de l2neas de
corriente. %sta /unci$n tiene un valor constante di/erente )ara cada l2nea de corriente.
( ) . = x y +te
Las l2neas de corriente sirven )ara la re)resentaci$n ;r/ica de los /lu3os llamados
idimensionales 1ue )ueden re)resentarse /cilmente en un )lano )or1ue la velocidad notiene com)onente normal al )lano del di u3o y la confi uraci$n de corriente en todos los )lanos
)aralelos al del di u3o es id&ntica.
(or cada )unto de la corriente )asa una l2nea de corriente. (or tanto si se tra,aran todas las
l2neas de corriente no se distin;uir2a nin;una y se tra,aran demasiadas el di u3o ser2a con/uso.
(or eso se tra,an solo unas cuantas? )ero de manera 1ue entre cada dos l2neas consecutivas
circula el mismo caudal - .%n el )unto K( so re una l2nea de corriente los tres vectores indicados en la /i;ura son
normales entre s2 de modo 1ue se cum)le:
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= V #
i "
x y
= +
u
4 4
i " #
V x y az =
u
C =
V i " ay x
(ero: C= + x y V V i V i %
"om)arando Ca y C
>
y
Vy
V>
= =
"om)onentes de V en coordenadas cartesianas relacionada con la Funci$n "orriente.
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%ncoordenadas polares en /orma anlo;a:
r V r
Vr
=
=
K"om)onentes de V en coordenadas )olares relacionada con la Funci$n "orriente.
De la ecuaci$n anal2tica de las l2neas de corriente )ara un /lu3o )lano:
= y x V V dx dy
Desarrollando: 4= = x y x y V dy V dx V dy V dx
-ustituyendo:
= =
x
y
V y
V x
en la e>)resi$n anterior resulta: 4 + =dy dx
ay x
4= d
=nte;rando resulta:
.= +te
KLo 1ue con/irma 1ue la /unci$n corriente Kh tiene un valor constante di/erente )ara cada l2nea
de corriente .
0dems sa emos 1ue V y son orto;onales es decir:
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-iendo: = + = +
u u x y V V i V " y i " x y
Donde se conoce 1ue: x V y =
y V x
=
Lue;o: y x V i V " = +
0dems si son orto;onales 4 =V y V
( ) ( ) x y y x V V i V " V i V " = + +
= + x y y x V V V V V 4 = V
"onclusiones *
"onocido uno de las /un