Lista de Exercícios 22 - Método de Newton - Gabaritosinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_8139lista_de... · UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus

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Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

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Lista de Exercícios – Método de Newton

1) Suponha que a reta 5 4y x= − é tangente à curva ( )y f x= quando 3x = . Se for usado o método de Newton para localizar um a raiz da

equação ( ) 0f x = com a aproximação inicial 1 3x = , encontre a

segunda aproximação 2x .

A função 5 4y x= − é tangente a ( )f x em 3x = . Então o zero da linha tangente é a 2ª aproximação de ( )f x .

Assim sendo, 2 25 4 0 0,8x x− = ⇒ = .

2) Use o método de Newton com o valor inicial espec ificado 1x para

encontrar 3x , a terceira aproximação da raiz da equação dada. ( Dê sua resposta com quatro casas decimais).

a) 3 2

11 0, 1x x x− − = =

3 2( ) 1f x x x= − −

2( ) 3 2f x x x′ = −

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′

3 2

1 2

13 2

n nn n

n n

x xx x

x x+− −= −

−

1ª aproximação (x2):

( ) ( )( ) ( )

( )3 23 2

1 12 1 22

1 1

1 1 111 1 1 2,0000

3 2 3 1 2 1

x xx x

x x

− −− −= − = − = − − =− ⋅ − ⋅

2 2,0000x = 2ª aproximação (x3):

( ) ( )( ) ( )

3 23 22 2

3 2 222 2

2 2 11 32 2 1,6250

3 2 83 2 2 2

x xx x

x x

− −− −= − = − = − =− ⋅ − ⋅

3 1,6250x =




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b) 512 0, 1x x+ = = −

5( ) 2f x x= +

4( ) 5f x x′ =

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′

5

1 4

25n

n nn

xx x

x++= −

1ª aproximação (x2):

( )( )

551

2 1 441

1 22 1 61 1 1,2000

5 5 55 1

xx x

x

− ++= − = − = − = − = −⋅ −

2 1,2000x = − 2ª aproximação (x3):

( )( )

552

3 2 442

1,2 22 0,488321,2 1,2 1,1529

5 10,3685 1,2

xx x

x

− ++= − = − − = − + = −⋅ −

3) Use o método de Newton para aproximar 7 1000 correto até a oitava

casa decimal.

Encontrar o valor da expressão 7 1000 equivale a determinar a raiz da equação 7 1000 0x − = .

Dessa forma, tomamos 7( ) 1000f x x= −

7( ) 1000f x x= −

6( ) 7f x x′ =

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′

7

1 6

10007

nn n

n

xx x

x+−= −




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Como 7 772 1000 3< < , podemos adotar como primeira aproximação 1 2x = ou 1 3x = . Adotaremos, para este exercício, as duas considerações para a 1ª aproximação, com a finalidade de verificar a rapidez da convergência. 1ª aproximação: 1 2x = e 1 3x =

x1 = 2 x1 = 3 xn xn+1 xn xn+1

2,00000000 3,94642857 3,00000000 2,76739173 3,94642857 3,42046914 2,76739173 2,69008741 3,42046914 3,02103542 2,69008741 2,68275645 3,02103542 2,77737636 2,68275645 2,68269580 2,77737636 2,69184698 2,68269580 2,68269580 2,69184698 2,68278860 - - 2,68278860 2,68269580 - - 2,68269580 2,68269580 - - OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.

Para 1 2x = , 8 9 2,68269580x x≅ = e para 1 3x = ,

5 6 2,68269580x x≅ = . Portanto: 7 1000 2,68269580= está correta até a oitava casa decimal.

Podemos também traçar um gráfico para verificarmos o intervalo em que a raiz se encontra. Pelo gráfico abaixo, nota-se que a raiz (única) encontra-se no intervalo (2,3) .

-1100

-900

-700

-500

-300

-100

100

300

500

700

900

1100

-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

f(x) = x 7 - 1000




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Aplicando um zoom no intervalo (2,3) , verificamos que a raiz encontra-se no intervalo (2,60;2,70) conforme a figura a seguir.

-1100

-900

-700

-500

-300

-100

100

300

500

700

900

1100

2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00

f(x) = x 7 - 1000

Aplicando um zoom no intervalo (2,60;2,70), verificamos que a

raiz encontra-se no intervalo (2,68;2,69) conforme a figura a seguir.

-1100

-900

-700

-500

-300

-100

100

300

500

700

900

1100

2,60 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,70

f(x) = x 7 - 1000

Conclui-se que a aplicação de zooms facilita a identificação da

raiz. Porém, sua precisão fica limitada a poucas casas decimais e se torna trabalhosa. Dessa forma justifica-se o uso do método de Newton para melhores precisões.




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Também é possível verificar por que a convergência para 1 3x = é

mais rápida do que para 1 2x = . Isso se deve ao fato da reta tangente

que determina a 2ª aproximação para 1 3x = encontrar-se mais próxima

da raiz do que a 2ª aproximação para 1 2x = . Trace as retas tangentes e verifique esse fato.

4) Use o método de Newton para aproximar a raiz ind icada da

equação, correta até a sexta casa decimal.

a) A raiz de 4 4 0x x+ − = no intervalo [ ]1,2

4( ) 4f x x x= + −

3( ) 4 1f x x′ = +

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′

4

1 3

44 1

n nn n

n

x xx x

x++ −= −

+

1ª aproximação: 1 1,5x =

x1 = 1,5

xn xn+1 1,500000 1,323276 1,323276 1,285346 1,285346 1,283784 1,283784 1,283782 1,283782 1,283782

OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.

Como 5 6 1,283782x x≅ = , o valor de 5 6 1,283782x x≅ = é a raiz

de 4 4 0x x+ − = correta até a sexta casa decimal.

b) A raiz positiva de 42cos x x=

Comecemos com os gráficos de 2cos x e 4x colocados em um mesmo sistema de eixos ortogonais.




Página 6 de 21

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Pelo gráfico, verificamos que a solução positiva de 42cos x x=

está próxima de 1. Aplicando um zoom no intervalo de ( )0,5;1,5 ,

podemos observar com maior detalhe essa proximidade, sugerindo que serão necessárias poucas iterações para se chegar à raiz da equação.

-3

-2

-1

0

1

2

3

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5

Se 42cos x x= , então 42cos 0x x− = Portanto:

4( ) 2cosf x x x= −

3( ) 2sen 4f x x x′ = − −




Página 7 de 21

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′

4

1 3

2cos2sen 4

n nn n

n n

x xx x

x x+−= −

− −

4

1 3

2cos2sen 4

n nn n

n n

x xx x

x x+−= +

+

1ª aproximação: 1 1x =

x1 = 1

xn xn+1 1,000000 1,014184 1,014184 1,013958 1,013958 1,013958

OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica. Como 3 4 1,013958x x≅ = , o valor de 3 4 1,013958x x≅ = é a raiz

de 42cos 0x x− = correta até a sexta casa decimal.

5) Use o método de Newton para encontrar todas as r aízes da equação corretas até a sexta casa decimal.

a) 3 2xe x= −

Comecemos com os gráficos de xe e 3 2x− colocados em um

mesmo sistema de eixos ortogonais.

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3




Página 8 de 21

Pelo gráfico, verificamos que a solução positiva de 3 2xe x= − está no intervalo ( )0,1 . Aplicando um zoom nesse intervalo, observamos

que a solução encontra-se próxima de 0,6.

0

1

2

3

4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Se 3 2xe x= − , então 2 3 0xe x+ − = Portanto: ( ) 2 3xf x e x= + −

( ) 2xf x e′ = +

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′

1

2 32

n

n

xn

n n x

e xx x

e++ −= −

+


x1 = 0,6

xn xn+1 0,600000 0,594213 0,594213 0,594205 0,594205 0,594205



de 2 3 0xe x+ − = correta até a sexta casa decimal.




Página 9 de 21

b) 23x x+ =

Comecemos com os gráficos de 3x + e 2x colocados em um mesmo sistema de eixos ortogonais.

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

Pelo gráfico, notamos a existência de duas raízes: uma negativa, situada no intervalo ( 2, 1)− − e outra positiva, situada no intervalo (1,2) . Para definirmos a aproximação inicial, aplicamos um zoom nesses intervalos.

-1

0

1

2

3

-2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0




Página 10 de 21

0

1

2

3

4

5

6

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

Pelos gráficos acima dispostos, verificamos a existência de raízes

próximas a 1,2x = − e 1,5x = , respectivamente.

Se 23x x+ = , então 23 0x x+ − = Portanto:

2( ) 3f x x x= + −

1( ) 2

2 3f x x

x′ = −

+

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′

2

1

31

22 3

n nn n

n

n

x xx x

xx

+

+ −= −

−+

1ª aproximação: 1 1,2x = − e 1 1,5x =

x1 = -1,2 x1 = 1,5 xn xn+1 xn xn+1

-1,200000 -1,168729 1,500000 1,449110 -1,168729 -1,164606 1,449110 1,452976 -1,164606 -1,164104 1,452976 1,452593 -1,164104 -1,164043 1,452593 1,452630 -1,164043 -1,164036 1,452630 1,452627 -1,164036 -1,164035 1,452627 1,452627 -1,164035 -1,164035 - - OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.




Página 11 de 21

Como 7 8 1,164035x x≅ = − , o valor de 7 8 1,164035x x≅ = − é a

raiz negativa de 23 0x x+ − = correta até a sexta casa decimal. Como 6 7 1,452627x x≅ = , o valor de 6 7 1,452627x x≅ = é a raiz

positiva de 23 0x x+ − = correta até a sexta casa decimal.

6) (a) Aplique o método de Newton à equação 2 0x a− = para deduzir o seguinte algoritmo para a raiz quadrada (usado pelo s antigos babilônios para computar a ).

1

12n n

n

ax x

x+

= +

2( )f x x a= −

( ) 2f x x′ =

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′ 2

1 2n

n nn

x ax x

x+−= −

2

1 2 2n

n nn n

x ax x

x x+ = − +

1

12 2n n n

n

ax x x

x+ = − +

1

12 2n n

n

ax x

x+ = +

1

12n n

n

ax x

x+

= +

(b) Use a parte (a) para computar 1000 correta até a sexta casa decimal.

Usaremos 1 30x = , pois 230 900= e está próximo de 1000.




Página 12 de 21

x1 = 30 xn xn+1

30,000000 31,666667 31,666667 31,622807 31,622807 31,622777 31,622777 31,622777


Como 4 5 31,622777x x≅ = , o valor de 4 5 31,622777x x≅ = é a

1000 correta até a sexta casa decimal.

7) (a) Use o método de Newton com 1 1x = para encontrar a raiz da

equação 3 1x x− = correta até a sexta casa decimal.

Se 3 1x x− = , então 3 1 0x x− − = Portanto:

3( ) 1f x x x= − −

2( ) 3 1f x x′ = −

1

( )( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −′

3

1 2

13 1n n

n nn

x xx x

x+− −= −

−

1ª aproximação: 1 1x =

x1 = 1

xn xn+1 1,000000 1,500000 1,500000 1,347826 1,347826 1,325200 1,325200 1,324718 1,324718 1,324718



de 3 1 0x x− − = correta até a sexta casa decimal.




Página 13 de 21

(b) Resolva a equação da parte (a) usando como apro ximação inicial 1 0,6x = .


x1 = 0,6

xn xn+1 0,600000 17,900000

17,900000 11,946802 11,946802 7,985520 7,985520 5,356909 5,356909 3,624996 3,624996 2,505589 2,505589 1,820129 1,820129 1,461044 1,461044 1,339323 1,339323 1,324913 1,324913 1,324718 1,324718 1,324718



raiz de 3 1 0x x− − = correta até a sexta casa decimal. (c) Resolva a equação da parte (a) utilizando 1 0,57x = .


x1 = 0,57 xn xn+1

0,570000 -54,165455 -54,165455 -36,114293 -36,114293 -24,082094 -24,082094 -16,063387 -16,063387 -10,721483 -10,721483 -7,165534 -7,165534 -4,801704 -4,801704 -3,233425 -3,233425 -2,193674 -2,193674 -1,496867 -1,496867 -0,997546 -0,997546 -0,496305 -0,496305 -2,894162 -2,894162 -1,967962 -1,967962 -1,341355




Página 14 de 21

-1,341355 -0,870187 -0,870187 -0,249949 -0,249949 -1,192219 -1,192219 -0,731952 -0,731952 0,355213 0,355213 -1,753322 -1,753322 -1,189420 -1,189420 -0,729123 -0,729123 0,377844 0,377844 -1,937872 -1,937872 -1,320350 -1,320350 -0,851919 -0,851919 -0,200959 -0,200959 -1,119386 -1,119386 -0,654291 -0,654291 1,547009 1,547009 1,360050 1,360050 1,325828 1,325828 1,324719 1,324719 1,324718 1,324718 1,324718



raiz de 3 1 0x x− − = correta até a sexta casa decimal. (d) Faça o gráfico de 3( ) 1f x x x= − − e suas retas tangentes em

1 1x = , 1 0,6x = e 1 0,57x = para explicar por que o método de Newton é tão sensível ao valor da aproximação inici al.

( )2

1 (1) 3 1 1 2x m f m′= ⇒ = = ⋅ − ⇒ =

( )31 (1) 1 1 1 (1) 1x f f= ⇒ = − − ⇒ = −

Portanto, a reta tangente passa pelo ponto de coordenadas (1, 1)−

com inclinação igual a 2 .

0 0( )y y m x x− = − 1 2 ( 1)y x+ = ⋅ − 2 2 1y x= − − 2 3y x= −

( )20,6 (0,6) 3 0,6 1 0,08x m f m′= ⇒ = = ⋅ − ⇒ =

( )30,6 (0,6) 0,6 0,6 1 (0,6) 1,384x f f= ⇒ = − − ⇒ = −




Página 15 de 21

Portanto, a reta tangente passa pelo ponto de coordenadas (0,6; 1,384)− com inclinação igual a 0,08 .

0 0( )y y m x x− = − 1,384 0,08 ( 0,6)y x+ = ⋅ − 0,08 0,048 1,384y x= − − 0,08 1,432y x= −

( )20,57 (0,57) 3 0,57 1 0,0253x m f m′= ⇒ = = ⋅ − ⇒ = −

( )30,57 (0,57) 0,57 0,57 1 (0,57) 1,384807x f f= ⇒ = − − ⇒ = −

Portanto, a reta tangente passa pelo ponto de coordenadas

(0,57; 1,384807)− com inclinação igual a 0,0253− .

0 0( )y y m x x− = − 1,384807 0,0253 ( 0,57)y x+ = − ⋅ −

0,0253 0,014421 1,384807y x= − + − 0,0253 1,370386y x= − −

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0




Página 16 de 21

y = 2x - 3

y = -0,0253x - 1,370386

y = 0,08x - 1,432

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

Curva

x1 = 1

x1 = 0,6

x1 = 0,57

Pela figura, vemos que a tangente em 1 1x = resulta em uma

sequência de aproximações que convergem rapidamente ( 5 6x x≅ ). A tangente correspondente a 1 0,6x = está perto da horizontal.

Contudo, está longe da raiz. Porém, a sequência ainda converge, mas um pouco mais lentamente ( 12 13x x≅ ).

Finalmente, a tangente correspondente a 1 0,57x = é muito

próxima da horizontal, sendo 2x mais distante da raiz, e a sequência

necessita de mais iterações para convergir ( 36 37x x≅ ).

8) (a) Use o método de Newton para encontrar os núm eros críticos da função 4 3 2( ) 3 28 6 24f x x x x x= − + + corretos até a terceira casa decimal.

Relembre que os números críticos ocorrem onde a derivada

primeira é igual a zero. Comecemos com o gráfico de 3 212 84 12 24x x x− + + disposto em

um sistema de eixos ortogonais.




Página 17 de 21

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

No gráfico acima, verificamos a existência de raízes nos seguintes intervalos: ( 1,0)− , (0,1) e (6,7) .

4 3 2( ) 3 28 6 24f x x x x x= − + +

3 2( ) 12 84 12 24f x x x x′ = − + +

2( ) 36 168 12f x x x′′ = − +

Portanto: 3 2( ) 12 84 12 24g x x x x= − + + e 2( ) 36 168 12g x x x′ = − +

1

( )( )

nn n

n

g xx x

g x+ = −′

3 2

1 2

12 84 12 2436 168 12

n n nn n

n n

x x xx x

x x+− + += −

− +

1ª aproximação: 1 0,5x = − , 1 0,5x = e 1 6x =

X1 = -0,5 x1 = 0,5 x1 = 6 xn xn+1 xn xn+1 xn xn+1

-0,500 -0,457 0,500 0,667 6,000 7,120 -0,457 -0,455 0,667 0,646 7,120 6,835 -0,455 -0,455 0,646 0,645 6,835 6,810

- - 0,645 0,645 6,810 6,810 OBS: Dados obtidos em planilha eletrônica.




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Portanto, 0,455; 0,645 e 6,810x = − são todos os números críticos corretos até a terceira casa decimal.

(b) Encontre o valor mínimo absoluto correto até du as casas

decimais da função 4 3 2( ) 3 28 6 24f x x x x x= − + + no intervalo de 1 7x− ≤ ≤ .

Inicialmente, calculamos os extremos da função dada, ou seja,

( 1)f − e (7)f . Relembre a Aula 12: Extremos e o Teste da Derivada Primeira (slide 29). Em seguida, calculamos ( 0,455), (0,645) e (6,810)f f f− . ( 1) 13,00f − ≅

(7) 1.939,00f ≅ −

( 0,455) 6,91f − ≅ −

(0,645) 10,98f ≅

(6,810) 1.949,07f ≅ −

Portanto, (6,810) 1.949,07f ≅ − é o mínimo absoluto correto para

duas casas decimais.

9) Use o método de Newton para encontrar o valor mí nimo absoluto da função 2( ) senf x x x= + correto até a quarta casa decimal.

Relembre que os números críticos ocorrem onde a derivada

primeira é igual a zero. Comecemos com o gráfico de 2 cosx x+ disposto em um sistema

de eixos ortogonais.




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-15

-10

-5

0

5

10

15

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

No gráfico acima, verificamos a existência de uma raiz no intervalo ( 2,0)− . Aplicando um zoom no intervalo de ( 2,0)− , verificamos que a raiz encontra-se no intervalo ( 0,5;0)− .

-5

-3

-1

1

3

5

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

2( ) senf x x x= +

( ) 2 cosf x x x′ = +

( ) 2 senf x x′′ = −

Portanto: ( ) 2 cosg x x x= + e ( ) 2 seng x x′ = −




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1

( )( )

nn n

n

g xx x

g x+ = −′

1

2 cos2 sen

n nn n

n

x xx x

x++= −

−

1ª aproximação: 1 0,5x = −

x1 = -0,5

xn xn+1 -0,5000 -0,4506 -0,4506 -0,4502 -0,4502 -0,4502


Como ( ) 2 sen 0f x x′′ = − > (Relembre a Aula 13 – Concavidade e o Teste da Derivada Segunda – slide 21), para todo x (lembre que

1 sen 1x− ≤ ≤ ), ( 0,4502) 0,2325f − ≅ − é o mínimo absoluto.

10) Use o método de Newton para encontrar as coord enadas do ponto de inflexão da curva cos xy e= , 0 x π≤ ≤ , corretas até a sexta casa decimal.

cos xy e=

cos senxy e x′ = − ⋅

( ) ( )cos coscos sen senx xy e x x e x′′ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ − cos 2cos senxy e x x ′′ = − ⋅ −

cos 2sen cosxy e x x ′′ = ⋅ −

Relembre que os pontos de inflexão (PI) ocorrem onde a derivada

segunda é igual a zero. Comecemos com os gráficos de cos xy e= e

cos 2sen cosxy e x x ′′ = ⋅ − dispostos em um sistema de eixos

ortogonais. No intervalo de 0 x π≤ ≤ há somente um valor onde ( ) 0f x′′ = ,

situado no intervalo (0,2) .




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Como cos 0xe ≠ , aplicaremos o Método de Newton com a função 2( ) sen cosg x x x= − .

2( ) sen cosg x x x= −

( ) 2sen cos seng x x x x′ = +

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

-6,0 -4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0

y = ecos x

y" = e cos x (sen2x - cos x)

1

( )( )

nn n

n

g xx x

g x+ = −′

2

1

sen cos2sen cos sen

n nn n

n n n

x xx x

x x x+−= −

+


x1 = 1

xn xn+1 1,000000 0,904173 0,904173 0,904557 0,904557 0,904557


Para 0,904557x = , temos ( )cos0,904557( ) 1,855277f x e= = . Portanto, as coordenadas do PI, corretas até a sexta casa decimal

são ( )0,904557;1,855277 .

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