LINEAR CONTROL SYSTEMS

LINEAR CONTROLLINEAR CONTROL SYSTEMS SYSTEMS

Ali Karimpour

Associate Professor

Ferdowsi University of Mashhad

Lecture 7

Dr. Ali Karimpour Feb 2013

2

Lecture 7

Topics to be covered include: Controllability and observability.

Definition of controllability and observability. Controllability and observability of different modes.

Canonical forms. Controllable, observable and Jordan canonical forms. Controllability and observability in Jordan forms.

Transfer function of controllable and observable systems.

Controllability and observability from block diagram.

Lecture 7


3

Controllabilityکنترل پذیری

Definition 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is said to be controllable if

for any initial state x0 and any final state x1, there exists an input that transfers

x0 to x1 in a finite time. Otherwise (I) or (A,b) is said to be uncontrollable

، ورودی ای x1 برای هرو x0 را کنترل پذیر گویند اگر برای هر (A,b) یا زوج (I): معادالت 1تعریف

یا زوج (I)معادالت برساند. در غیر اینصورت x1 را در زمان محدود به x0وجود داشته باشد که

(A,b)را کنترل ناپذیر گویند

، ورودی ای x1 برای هرو x0 برای هر گویند اگر کنترل پذیر را (A,b) یا زوج (I): معادالت 1تعریف

یا زوج (I)معادالت برساند. در غیر اینصورت x1 بهزمان محدودرا در x0وجود داشته باشد که

(A,b)ناپذیر گویند را کنترل

)(Iducxy

buAxx

Lecture 7


4

Controllability testتست کنترل پذیری

Theorem 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is controllable if and only if

است اگر و فقط اگرکنترل پذیر (A,b) یا زوج (I): معادالت 1قضیه

)(Iducxy

buAxx

S= | b Ab A2b ….. An-1b | ≠ 0

Lecture 7


5

Example 1 : Check the controllability of following system : کنترل پذیری سیستم زیر را 1مثال

بررسی کنید

xy

uxx

]011[

1

0

0

6116

100

010

2561

610

100

][ 2bAAbbS

1

2561

610

100

S

This kind of system is controllable so it is called controllable canonical form.

فرم این نوع سیستم همواره کنترل پذیر است لذا به آن . گویندکانونی کنترل پذیر

Lecture 7


6

Observabilityرویت پذیری

Definition 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is said to be observable if

for any unknown initial state x0 , there exists a finite time t1 > 0 such that the

knowledge of the input u and the output y over [0,t1] suffices to determine

Uniquely the initial state x0. Other wise, the equation is unobservable.

x0 برای هر شرط اولیه گویند اگر رویت پذیر را (A,c) یا زوج (I): معادالت 2تعریف [t1,0] در بازه y و خروجی u، وجود داشته باشد که اطالعات ورودی t1>0زمان محدود

کافی باشد در غیر اینصورت سیستم را رویت ناپذیر گویند. x0 منحصر بفردبرای محاسبه

)(Iducxy

buAxx

Lecture 7


7

Observability testتست رویت پذیری

Theorem 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is observable if and only if

و فقط اگر است اگررویت پذیر (A,c) یا زوج (I): معادالت 2قضیه

0

.

.

1

2

ncA

cA

cA

c

V

)(Iducxy

buAxx

Lecture 7


8

Example 2 : Check the observability of following system : رویت پذیری سیستم زیر را 2مثال

بررسی کنید

xy

uxx

]011[

1

0

0

6116

100

010

5116

110

011

2cA

cA

c

V

0)60(1)115(1

5116

110

011

VSo the system is not

observable.

پس سیستم رویت پذیر نیست

Lecture 7


9

Controllability test for each mode(system with distinct eigenvalues)

تست کنترل پذیری برای هر مود )سیستمهای دارای مودهای مجزا(

ducxy

buAxx

Eigenvalues of A

Aمقادیر ویژه

1

2 3

n.

.

bAIi |

For the controllability of a mode it is sufficient that the following matrix has full row rank

i

Lecture 7


10

Observability test for each mode (system with distinct eigenvalues)

تست رویت پذیری برای هر مود )سیستمهای دارای مودهای مجزا(

ducxy

buAxx

Eigenvalues of A

Aمقادیر ویژه

1

2 3

n.

.

c

AIi

For the observability of a mode it is sufficient that the following matrix has full column rank

i

Lecture 7


11

Example 3: Check the observability and controllability of each mode

: کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را 3مثال بررسی کنید.

xy

trxx

]11[

)(0

1

10

12.

0

00

21SS It is not completely controllable

2,1)2)(1(10

12A-sI 21

sss

s

000

111

:1 ofility Controllab 1

lecontrollabnot is1 1

010

110

:2 ofility Controllab 2

rank row fullnot

rank row full lecontrollab is2 2

Lecture 7


12

Example 3 : Check the observability and controllability of each mode (continue)

xy

trxx

]11[

)(0

1

10

12.

: کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را 3مثال بررسی کنید )ادامه(.

0 02

11

VV

2,1)2)(1(10

12A-sI 21

sss

s

It is completely observable

observableboth are2,1 So 11

Lecture 7


13

Poles of transfer functionقطبهای تابع انتقال

xy

uxx

]011[

1

0

0

6116

100

010

31 22

13

Eigenvalues of AAمقادیر ویژه

31 p

22 p

Poles of systemقطبهای سیستم

What happened to -1 ?

)3)(2(

1)(

sssG

13

observablenot and

lecontrollabnot isIt -3

or observablenot isIt -2

or lecontrollabnot isIt - 1

Lecture 7


14

Similarity transformation propertiesخواص تبدیالت همانندی

ddcPc

PbbPAPA

ˆˆ

ˆˆ

1

1ducxy

buAxx

Pxw

ation transformSimilarity

udwcy

ubwAw

ˆˆ

ˆˆ

1- It can lead to a simpler system. - امکان ساده سازی سیستم1

2- It doesn’t change the eigenvalues. - عدم تغییر مقادیر ویژه2

3- It doesn’t change controllability. - عدم تغییر کنترل پذیری3

4- It doesn’t change observability. - عدم تغییر رویت پذیری4

Lecture 7


15

Effect of similarity transformation on eigenvalues of system

تاثیر تبدیالت همانندی بر مقادیر ویژه

ddcPc

PbbPAPA

Pxw

ˆˆ

ˆˆ

1

1

ducxy

buAxx

udwcy

ubwAw

ˆˆ

ˆˆ

Similarity transformation doesn’t change the eigenvalues. تبدیل همانندی مقادیر ویژه راتغییر نمی دهد

0 AsI 0ˆ AsI

AsI ˆ 11 PAPsPP 1)( PAsIP 1 PAsIP

AsI

Lecture 7


16

Effect of similarity transformation on controllability

تاثیر تبدیالت همانندی بر کنترل پذیری

ddcPc

PbbPAPA

ˆˆ

ˆˆ

1

1

ducxy

buAxx

udwcy

ubwAw

ˆˆ

ˆˆ

Similarity transformation doesn’t change the controllability. تبدیل همانندی کنترل پذیری راتغییر نمی دهد

bAbAAbbS n 12 ...

bAbAbAbS n ˆˆ...ˆˆˆˆˆˆ

12

PbPPAPbPPAPbPAPPb n 11121 ... bAbAbAbS n ˆˆ...ˆˆˆˆˆˆ 12

bPAbPAPAbPb n 12 ... bAbAAbbP n 12 ...

Matrix

ility Controllab

PS

SPPSS ˆ

Lecture 7


17

Effect of similarity transformation on observability

تاثیر تبدیالت همانندی بر رویت پذیری

ddcPc

PbbPAPA

ˆˆ

ˆˆ

1

1

ducxy

buAxx

udwcy

ubwAw

ˆˆ

ˆˆ

Similarity transformation doesn’t change the observability. تبدیل همانندی رویت پذیری راتغییر نمی دهد

1

.

.

ncA

cA

c

VMatrix

ity Observabil

1ˆˆ

.

.

ˆˆ

ˆ

ˆ

nAc

Ac

c

V

With the same proof as pervious slide

Lecture 7


18

Important canonical formsفرمهای کانونی مهم

1- Controllable canonical form. - فرم کانونی کنترل پذیر 1

2- Observable canonical form. - فرم کانونی رویت پذیر 2

3- Jordan canonical form. - فرم کانونی جردن 3

Lecture 7


19

Controllable canonical formفرم کانونی کنترل پذیر

xy

uxx

]...[

1

0

.

0

0

...

1...000

...........

0...100

0...010

...1

...10

...........

...000

1...000

S 0 S

xy

uxx

]021[

1

0

0

7148

100

010

8147

12)(

23

sss

ssG

Lecture 7


20

Observable canonical formفرم کانونی رویت پذیر

xy

uxx

]1...000[

.

1000

...........

...010

...001

...000

...1

...........

1...00

10...00

V 0 V

xy

uxx

]100[

0

2

1

710

1401

800

8147

12)(

23

sss

ssG

Lecture 7


21

Jordan canonical form for systems with distinct eigenvalues

فرم کانونی جردن برای سیستم با مقادیر ویژه مجزا

xccccy

u

b

b

b

xx

n

nn

]...[

.

.

...000

...........

...........

0...00

0...00

321

2

1

2

1

xy

uxx

]33.05.017.0[

1

3

7

100

020

004

Checking the controllability and observability is very simple

All modes are controllable and observable

تمام مودها کنترل پذیرو رویت پذیر است

4

)7)(17.0()(

s

sg2

)3()5.0(

s 1

)1()33.0(

s

Lecture 7


22

Extended Jordan canonical form فرم کانونی جردن تعمیم یافته

xcccy

u

b

b

b

xx

r

rr

]...[

.

...000

...........

0...00

0...00

0...01

21

2

1

2

1

1

iff econrollabl are and 11 0 1 b

iff econrollabl is 2 0 2 b

0 rbiff econrollabl is r

.

...

iff observable are and 11 0 1 c

iff observable is 2 0 2 c

0 rciff observable is r

.

...

Lecture 7


23

Transforms to controllable canonical form

uxx

1

1

10

11

تبدیل به فرم کانونی کنترل پذیر

01

10ˆ 1PAPA

1

0ˆ Pbb

11

01S

01SSystem is

controllable

qA

qP 1]10[ Sq q is last row

of S-1

01

11P

uww

1

0

01

10 Controllable

canonical form

Lecture 7


24

Transforms to observable canonical form

xy

uxx

]10[

1

1

12

21

تبدیل به فرم کانونی رویت پذیر

1

3ˆ Pbb

12

10V System is

observable 1 AqqP

1

01Vqq is last column of V-1

10

12P

wy

uww

]10[

1

3

21

50

Observable

canonical form

21

50ˆ 1PAPA

0ˆ

10ˆ 1

dd

cPc

Lecture 7


25


تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر

nnbeALet

ducxy

buAxx

dbAsIcsG 1)()(

Suppose the system is controllable and observableفرض کنید سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر باشد

There is no pole zero cancellation in transfer functionحذف صفر و قطب در تابع انتقال نداریم

The degree of transfer function is n است.nدرجه تابع انتقال برابر

Lecture 7


26


تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر

nnbeALet

ducxy

buAxx

dbAsIcsG 1)()(

Suppose the system is not controllable or is not observableنيستفرض کنید سیستم کنترل پذیر یا رویت پذیر

There is pole zero cancellation in transfer functionداریمحذف صفر و قطب در تابع انتقال

The degree of transfer function is less than n است.nکمتر از درجه تابع انتقال

Lecture 7


27

Example 4: Transfer function of controllable and observable systems.

: تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر 4مثال

xy

uxx

]111[

0

1

1

100

021

321

xy

uxx

]201[

1

1

0

300

010

011

3

2)(

ssG

375

132)(

23

2

sss

sssG

System is controllable

and observable

System is not both controllable and

observable but 3 is controllable and

observableBut we can not know much more information about the system by this method

اما نمی توان اطالعات بیشتری از این روش بدست آورد.

Lecture 7


28

Controllability and observability from block diagram and state diagram

کنترل پذیری و رویت پذیری از طریق بلوک دیاگرام و دیاگرام حالت

1- Find the numbers of s-1in the block diagram or state diagram. را در بلوک دیاگرام و یا دیاگرام حالت s-1- ابتدا تعداد 1

بدست آورید

2 - Find the transfer function by Mason’s rule- تابع انتقال را با توجه به قانون گین میسون بدست 2

آورید

3 – If the numbers of s-1in the block diagram or state diagram is equal to degree of transfer function then the system is controllable and observable. 3 اگر تعداد -s-1 در بلوک دیاگرام و یا معادالت حالت با

کنترل پذیر و آنگاه سیستم برابر با شددرجه تابع انتقال است.رویت پذیر

Lecture 7


29

Example 5: Check the controllability and observability of following function.

: کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید.5مثال

SD

TF

45

1

)(

)()(

2

sssr

scsG

Mason’s rule

The numbers of s-1in the state diagram is 2 and the degree of transfer function is also 2 so the system is controllable and observable.

بوده و درجه تابع انتقال 2 در دیاگرام حالت برابر s-1تعداد است.کنترل پذیر و رویت پذیر است لذا سیستم 2نیز

Lecture 7


30

Exercise

2-a)Find the eigenvalues of following system.b) Find the pole of transfer function.c) Are the eigenvalues controllable and observable?

xy

uxx

]021[

0

1

0

141

230

312

3- Check the controllability and observability of every mode in the following system.

xy

uxx

]122[

4

3

6

661

221

463

1- Find the modes of following system.uxx

0

1

0

141

230

312

Lecture 7


31

Exercise (Cont.)

4- Check the controllability and observability of every mode in the following system and compare it with exercise 4.(Note that the system in this exercise and exercise 4 are similar that shown in example 2

wy

uww

]011[

1

0

2

400

010

002

5- Examine the controllability and observability of each mode of the following system.

)()(]101[)()(

1

0

1

)(

400

320

001

)( trtXtctrtXtX

Answer: All modes are controllable. -1 and -4 are observable but -2 is not observable.

Lecture 7


32

Exercises (Cont.)

7- Check the controllability and observability of every mode in the following system by direct inspection (without calculation). wy

uww

]011[

1

0

2

400

010

002

S-1

-2

11 -3

S-1 -21

S-1

-1 31

r(s) c(s)8- Check the controllability and observability of the following system

6- Consider the following system.a) Find the controllable canonical form. b) Find the observable canonical form.

xy

uxx

]122[

4

3

6

661

221

463

Lecture 7


33

9- Check the controllability and observability of the following system by transfer function method.

10- Check the controllability and observability of every mode in exercise 5.

2

1

s

s

13

+

+

+

+

11- The eigenvalues of a system are -3,4,-5 and the poles of its transfer function are -3 and -5.(Midterm spring 2008)

a) What is your idea about the observability of each eigenvalue.b) What is your idea about the controllability of each eigenvalue.

Exercises (Cont.)

Lecture 7


34

Exercises (Cont.)

12- Find a state space realization for following system such that it is neither observable nor controllable.(Final 1391)

1

2)(

s

ssg

Documents

LINEAR CONTROL SYSTEMS