T ecnicas de C alculopara Sistemas de Ecuaciones,Programaci on Lineal y Programaci onEnteraC odigosenFORTRANy CconAplicacionesdeSistemas deEnerga ElectricaJos e Luis de la Fuente O ConnorProfesor TitularUniversidad Polit ecnica de MadridEscuela T ecnica Superior de Ingenieros IndustrialesA mi familia.VIndi ce GeneralIndi ce General VIIIndi ce de Fi guras XXIIIIndi ce de Tabl as XXVPrefaci o XXIXI Si stemas de ecuaci ones 1Cap tul o 1. METODOS DIRECTOS DE SOLUCI ON DE SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES 31.1 Planteamiento del problema a resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Eliminaci on de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Pivotaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 N umero de operaciones aritmeticas del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Metodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Descomposicion o factorizaci on LU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.1 Metodos directos para la obtenci on de factorizaciones LU . . . . . . . . . . . . 291.4.1.1 Metodo de Crout. Versi onLU1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.1.2 Metodo de Crout. Versi onL1U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.1.3 Metodo de Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5 Factorizaci on de matrices simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5.1 Factorizaci onLDLT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.2 Factorizaci on de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5.3 Matrices simetricas semidenidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.5.3.1 Pivotaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.5.4 Matrices simetricas indenidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.5.4.1 El metodo de Parlett y Reid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.4.2 El metodo de Aasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.5.4.3 Factorizaci on de pivotaci on diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.5.4.3.1 El metodo de Bunch y Kaufman . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.6 Condicionamiento de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.7 Mnimos cuadrados lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.7.1 Fundamentos te oricos del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.7.1.1 Descomposicion en valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.7.1.2 Sistemas incompatibles. Ecuaciones normales. . . . . . . . . . . . . . 791.7.1.3 Sistemas indeterminados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81VIIVIIIIndice General1.7.2 Resoluci on numerica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.7.2.1 Metodo de Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.7.2.2 Factorizaci onQR o triangularizaci on ortogonal. Transfor-maciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.7.2.2.1 Transformaciones de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . 901.7.2.2.1.1 Resoluci onnumericade Ax=b, Amn,m > n y rango completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.7.2.2.1.2 Resoluci onnumericade Ax=b, Amn,n > m y rango completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.7.2.2.1.3 Resoluci onnumericade Ax=b, Amn,m > n om < n y rango incompleto. . . . . . . . . 981.7.2.2.2 Transformaciones de Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051.7.2.2.3 Transformaciones r apidas de Givens . . . . . . . . . . . . . . 1101.7.3 Descomposicion numerica en valores singulares. Metodo de Golub-Reinsch1151.8 El problema generalizado de mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281.9 Mnimos cuadrados lineales con restricciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311.9.1 Resoluci on numerica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1321.9.1.1 Metodo de eliminaci on directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1321.9.1.2 Metododelabasedelsubespacion ucleodelamatrizderestricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.9.1.3 Metodo de la ponderaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Cap tul o 2. METODOS ITERATIVOS DE SOLUCI ON DE SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES 1432.1 Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.2 Metodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.3 Convergencia de los metodos de Jacobi y Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.3.1 Matrices generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.3.2 Matriz de diagonal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.3.3 Matriz simetrica denida positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1592.4 Metodos de relajaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.4.1 Convergencia del metodo SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662.4.2 Metodo SSOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682.5 Metodos de minimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692.5.1 Direcciones de descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.5.1.1 Relajaci on en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.5.1.2 Relajaci on SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1722.5.1.3 M axima pendiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.5.2 Direcciones de descenso conjugadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1772.5.2.1 Determinaci on de direcciones conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792.5.2.2 Determinaci ondedireccionesconjugadas. Metododelosgradientes conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792.5.2.2.1 Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822.5.2.2.2 Interpretaci on geometrica del metodo de los gra-dientes conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Indice General IX2.5.2.2.3 Implementaci onpr acticadel metododelosgra-dientes conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882.5.2.2.4 Metodo de los gradientes conjugados con precon-dicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902.6 Comparaci on numerica de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1932.7 Mnimos cuadrados y metodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1942.7.1 Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1942.7.2 Metodo de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1942.7.3 Metodo de relajaci on SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952.7.4 Metodo de los gradientes conjugados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Cap tul o 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE MATRIZ DE COEFICIENTESDISPERSA 2013.1 Almacenamiento en ordenador de matrices dispersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.1.1 Almacenamiento por coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.1.2 Almacenamiento por las o columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.1.3 Almacenamiento por perl o envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043.1.4 Almacenamiento por listas encadenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.2 Operaciones algebraicas elementales con matrices dispersas . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.2.1 Producto interior de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.2.2 Multiplicaci on de matrices por vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103.2.2.1 Multiplicaci on de una matriz por un vector . . . . . . . . . . . . . . . 2103.2.2.2 Multiplicaci on de un vector por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 2103.2.3 Suma de matrices dispersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.2.3.1 Suma o resta simb olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.2.3.2 Suma o resta numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.2.4 Multiplicaci on de matrices dispersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153.2.4.1 Multiplicaci onATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.3 Soluci on de grandes sistemas lineales de matriz dispersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2193.3.1 Ordenaci on de las ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2193.3.2 Proceso de soluci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253.4 Matrices dispersas simetricas y eliminacion de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.4.1 Nociones b asicas sobre teora de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273.4.2 Interpretaci on grafo-te orica de la eliminaci on de Gauss de matricesdispersas de estructura simetrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.4.3 El algoritmo de grado mnimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2343.4.4 Reducci on del ancho de banda de una matriz dispersa simetrica. Elalgoritmo de Cuthill-McKee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2383.4.4.1 Seleccion del nudo inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403.4.5 Reducci ondelaenvolventedeunamatrizdispersasimetrica. Elalgoritmo inverso de Cuthill-McKee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.4.6 Metodo de la diseccion anidada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423.4.7 Metodo de la diseccion en un sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453.5 Matrices dispersas no simetricas y eliminacion de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2463.5.1 Nociones b asicas sobre grafos dirigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248XIndice General3.5.2 Interpretaci on grafo-te orica de la eliminaci on de Gauss de matricesdispersas no simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2503.5.3 Obtenci on de un transversal completo. Algoritmo de Hall . . . . . . . . . . . . 2513.5.4 Permutaciones simetricas hacia una estructura triangular en bloques . . . 2543.5.4.1 Algoritmo de Sargent y Westerberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2563.5.4.2 Algoritmo de Tarjan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2573.5.5 Pivotaci on en matrices dispersas y eliminacion de Gauss . . . . . . . . . . . . 2613.5.6 Metodo de los frentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2633.6 Problemas de mnimos cuadrados dispersos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2663.6.1 El metodo de las ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2673.6.1.1 Dispersidad parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2683.6.2 Metodos basados en transformaciones ortogonales. Metodo de George-Heath. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2703.6.2.1 Ordenaci on de las . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.6.3 Otros metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Cap tul o 4. SOLUCI ON DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 2794.1 Velocidad o rapidez de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.2 Problemas de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2844.2.1 Metodo de la biseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2844.2.2 Metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2864.2.3 Convergencia del metodo de Newton para una variable . . . . . . . . . . . . . . 2914.2.4 Variantes del metodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2934.2.4.1 Metodo de Newton por diferencias nitas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.2.4.2 Metodo de Newton modicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2994.2.5 Metodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004.2.6 Metodo de la falsa posici on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3024.2.7 Metodo de M uller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3024.3 Sistemas de ecuaciones no lineales. Metodo de Newton-Raphson. . . . . . . . . . . . 3064.3.1 Convergencia del metodo de Newton para sistemas de ecuaciones nolineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3104.3.2 Modicaciones del metodo de Newton para sistemas de ecuacionesno lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3124.3.2.1 El metodo de Newton-Raphson por diferencias nitas parasistemas de ecuaciones no lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134.3.2.2 Newton modicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3164.3.2.3 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3164.3.2.4 Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3184.3.2.5 Relajaci on SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3184.4 Metodos cuasi Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3204.4.1 Metodo de Broyden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.4.1.1 Convergencia del metodo de Broyden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3264.4.1.2 Implementaci on pr actica del metodo de Broyden. . . . . . . . . . . 3294.5 Metodos globalmente convergentes para sistemas de ecuaciones no lineales . . . . 3314.6 Mnimos cuadrados no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335Indice General XI4.6.1 Referencias teoricas del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3424.6.2 Resolucion numerica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3444.6.2.1 Metodo de Gauss-Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3464.6.2.1.1 Convergencia del metodo de Gauss-Newton . . . . . . . . 3494.6.2.2 Metodos de Gauss-Newton globalmente convergentes . . . . . . . . 3514.6.2.3 Metodos deregiondeconanza. MetododeLevenberg-Marquardt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3524.6.2.4 Metodos tipo Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359II Programaci on l i neal 363Cap tul o 5. PROGRAMACI ON LINEAL. FORMULACI ON 3655.1 Conceptos y deniciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3665.2 Ejemplos de problemas de programaci on lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Cap tul o 6. TEORIA BASICA DE LA PROGRAMACI ON LINEAL 3796.1 Consideraciones geometricas sobre la programaci on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 3796.1.1 Representacion geometrica del programa lineal en el subespacio de bienes 3826.1.1.1 Factibilidad y condiciones de igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3846.1.1.2 Factibilidad y condiciones de desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . 3866.1.1.3Optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3866.2 Politopos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3896.3 Puntos extremos y soluciones b asicas factibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.3.1 Teorema de la representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3976.3.2 Teorema fundamental de la programaci on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Cap tul o 7. El METODO SIMPLEX 4117.1 Mejora de una soluci on b asica factible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127.2 Finalizaci on. Soluci on optima, soluci onnoacotadaysoluciones optimasalternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4177.3 El algoritmo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4187.3.1 Degeneracion y ciclado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4287.3.1.1 La regla lexicogr aca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4297.3.1.2 La regla de Bland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4297.4 Soluci on b asica factible inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4297.4.1 Variables articiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4317.4.2 Metodo de penalizaci on o de la gran M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.5 Implementaciones pr acticas del metodo simplex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.5.1 El metodo simplex en forma de tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4427.5.2 Forma producto de la inversa de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444XIIIndice General7.5.3 Factorizaci onLUde la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4477.6 El metodo simplex para variables acotadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4507.7 Complejidad computacional del metodo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Cap tul o 8. DUALIDAD Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD 4658.1 Dualidad y condiciones de optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4668.1.1 Condiciones de punto optimo de Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . 4758.2 Interpretaci on econ omica de la dualidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4768.3 El algoritmo dual del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4798.3.1 El algoritmo dual del simplex para variables acotadas . . . . . . . . . . . . . . . 4828.4 El metodo primaldual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4868.5 An alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494Cap tul o 9. PROGRAMAS LINEALES DE ESTRUCTURA ESPECIAL 4999.1 Problemas de ujos en redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4999.1.1 Conceptos b asicos de teora de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5009.1.2 Problemas tpicos de ujos en redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5029.1.3 El metodo simplex para problemas de ujos en redes . . . . . . . . . . . . . . . 5059.1.3.1 Implementaci on pr actica del metodo simplex. . . . . . . . . . . . . . 5129.1.3.1.1 Paso 1. Asignaci on de precios. Comprobaci on decondiciones de optimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5129.1.3.1.2 Paso 2. Determinaci on de la columna de pivotaci on. . 5159.1.3.1.3 Paso3. Determinaci ondelaladepivotaci on.An alisis de ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5159.1.3.1.4 Paso 4. Pivotaci on. Actualizaci on de las estructu-ras de datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5169.1.3.1.4.1 Actualizaci on des() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5179.1.3.1.4.2 Actualizaci on dep() yd() . . . . . . . . . . . . . . . . 5209.1.3.2 Soluci on b asica factible inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5279.2 El principio de descomposici on de Dantzig-Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5279.2.1 Implementacion pr actica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5359.2.2 Problemas con estructura en escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5459.3 El problema del corte de materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551Cap tul o 10. METODOS DE PUNTOS INTERIORES 55710.1Ideas b asicas de los metodos de puntos interiores para programaci on lineal . . . . 55810.2El metodo del escalado proyectivo de Karmarkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56110.2.1 Transformaci on proyectiva en el simplex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56210.2.2 Complejidad computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57010.3Variantes y extensiones del metodo de Karmarkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57110.4El metodo primal de escalado afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571Indice General XIII10.4.1 Transformaci on afn del octante positivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57210.4.2 Soluci on de partida del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58010.4.2.1 El metodo de la gran M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58010.4.2.2 El metodo en dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58010.4.3 Reglas de parada del metodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58110.4.3.1 Factibilidad del programa primal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58110.4.3.2 Factibilidad del programa dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58110.4.3.3 Complementariedad de holguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58210.4.4 Complejidad computacional del metodo primal de escalado afn . . . . . . . 58210.4.4.1 Metodo del empuje potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58210.4.4.2 Metodo de funci on barrera logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58510.5El metodo dual de escalado afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58710.5.1 Ideas b asicas del metodo dual de escalado afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58810.5.2 Soluci on de partida del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59310.5.2.1 El metodo de la gran M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59310.5.2.2 Metodo de la condici on articial o del lmite superior . . . . . . . . 59310.5.3 Reglas de parada del metodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59410.5.4 Mejora de la complejidad computacional del metodo dual de escala-do afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59410.5.4.1 Metodo de funci on barrera logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59410.6El metodo primal-dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59510.6.1 Direcci on y amplitud de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59810.6.1.1 Amplitud de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60010.6.2 Ajuste del par ametro de penalizaci on y reglas de parada del metodo. . . 60010.6.2.1 Reglas de parada del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60110.6.3 Soluci on de partida del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60410.6.4 Complejidad computacional del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608III Programaci on entera 611Cap tul o 11. PROGRAMACI ON LINEAL EN VARIABLES ENTERAS 61311.1Formulaci on y ejemplos de programas lineales en variables enteras . . . . . . . . . . . 61511.1.1 Problemas de estructura especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62011.1.2 Modelizaci on con variables binarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62211.2Resolucion gr aca de programas enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62311.3Propiedades de la regi on factible de los programas enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . 62411.4Algunas relajaciones de la formulaci on de programas enteros. . . . . . . . . . . . . . . 62511.4.1 Relajaci on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62611.4.1.1 Generaci on de desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62711.4.2 Relajaci on lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63211.4.3 Descomposicion y separaci on de costes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63311.4.4 Descomposicion de Benders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635XIVIndice GeneralCap tul o 12. ALGORITMOS GENERALES DE RELAJ ACI ON 63912.1El algoritmo de los planos cortantes de Gomory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63912.1.1 Extensi on a programas enteros mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64512.2Algoritmos de ramicaci on y acotamiento o branch and bound . . . . . . . . . . . . . 64512.2.1 Algoritmos de ramicaci on y acotamiento con relajaci on lineal . . . . . . . . 64812.2.1.1 Criterios de poda o rechazo de ramas del arbol enumerativo . . 64912.2.1.2 Divisi on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65012.2.1.3 Seleccion del nudo a estudiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65212.2.1.4 Seleccion de la variable de ramicaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65412.2.1.4.1 Selecci on basada en penalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . 654Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664IV Ap endi ces 669Ap endi ce A. REPASO DE MATEMATICAS: DEFINICIONES, NOTACIONES Y RELA-CIONES BASICAS 671A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671A.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672A.3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673A.3.1 Espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675A.3.2 Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677A.3.3 Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678A.4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680A.4.1 Normas de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681A.4.2 Matrices ortogonales, matrices de permutaci on y matrices de proyeccion 683A.5 Autovalores, valores singulares y formas cuadr aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685A.5.1 Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685A.5.2 Valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686A.5.3 Formas cuadr aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687A.6 Topologa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691A.7 Teorema de la proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692A.8 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693A.8.1 Condiciones necesarias y sucientes de primer y segundo orden queha de cumplir un punto mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695A.9 Conjuntos convexos. Existencia de los hiperplanos separador y soporte. . . . . . . 696Ap endi ce B. ERRORES DE REDONDEO Y ARITMETICA DE PRECISI ON FINITA 699B.1 Sistema de numeracion en un ordenador de c alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699B.2 Precision de un ordenador. Errores de redondeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703B.3 Aritmetica en un ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706B.3.1 Soluci on de una ecuaci on cuadr atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708B.3.2 M as errores. Una suma de innitos sumandos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710Indice General XVAp endi ce C. REDES EL ECTRICAS: FLUJ OS POR SUS ELEMENTOS Y POTENCIASINYECTADAS EN SUS NUDOS 711C.1 Lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711C.1.1 Potencias inyectadas en los nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712C.1.2 Flujos de potencia entre los nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714C.2 Transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716C.2.1 Esquema equivalente con el regulador del transformador en el primario. 716C.2.2 Esquema equivalente con el regulador del transformador en el secundario717C.2.3 Potencias inyectadas en los nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719C.2.4 Flujos de potencia entre los nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721Ap endi ce D. CASUISTICA DE PROGRAMACI ON LINEAL 723D.1 Gesti on nanciera a corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723D.1.1 Modelo del problema a optimizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725D.1.2 An alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732D.1.2.1 Cambio en las condiciones de la adquisici on del pasivo nocrediticio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737D.1.3 Soluci on factible inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741D.1.3.1 An alisis de los valores duales de las condiciones . . . . . . . . . . . . 743D.2 Gesti on operativa de una renera de crudo de petr oleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744D.2.1 Producci on de vapor de agua y electricidad en una renera de petr oleo 745D.2.2 Modelo del problema a optimizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751D.2.3 Formulaci on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754D.2.4 An alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764Ap endi ce E. El PROGRAMA BBMI 765E.1 Datos del problema. Formato MPS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765E.1.1 Clave NAME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766E.1.2 Secci on ROWS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767E.1.3 Secci on COLUMNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768E.1.3.1 Clave INT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768E.1.4 Secci on RHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769E.1.5 Secci on RANGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769E.1.6 Secci on BOUNDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771E.2 Par ametros y especicaciones de la resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772E.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773E.3.1 Programas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773E.3.2 Programas enteros puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779E.3.3 Programas enteros mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783E.4 Listado de BBMI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791XVIIndice GeneralAp endi ce F. EL PROGRAMA CCNET 813F.1 Ejecuci on del programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814F.2 Datos del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814F.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816F.4 Listado de CCNET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819Ap endi ce G. VERSIONES EN C y FORTRAN 90 DE LOS PROGRAMAS DEL TEXTOEN FORTRAN 77 831G.1 C odigos en C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832G.1.1 C odigos del captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832G.1.2 C odigos del captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840G.1.3 C odigos del captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842G.1.4 C odigos del captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847G.1.5 C odigos del apendice B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856G.1.6 C odigos del apendice H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856G.2 C odigos en Fortran 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858G.2.1 C odigos del captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858G.2.2 C odigos del captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866G.2.3 C odigos del captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868G.2.4 C odigos del captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868Ap endi ce H. ESTIMACI ON DEL NUMERO DE CONDICI ON DE MATRICES CUADRA-DAS 879H.1 El estimador de Cline, Moler, Stewart y Wilkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880H.2 El algoritmo de Hager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889Ap endi ce I. SOFTWARE DISPONIBLE EN INTERNET 891I.1 Software de pago. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892I.2 Software de dominio p ublico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893Ap endi ce J . EL SOFTWARE DEL LIBRO 895Bi bl i ograf a 897Indi ce de materi as 913Indi ce de Fi guras1.1 Casosposiblesdesistemasdeecuacioneslineales Ax=bdependiendodeltama no y rango de la matrizA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Descripcion geometrica en dos dimensiones de la resolucion de un sistema deecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 RepresentaciongeometricaenelsubespacioIm(A)dedosdimensionesdelaresolucion de un sistema de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Permutaciones elementales en una matriz triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Ilustraci on del proceso del algoritmo de Doolittle para la factorizaci on LUporcolumnas de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.6 Partesyacalculadasyporcalculardelafactorizaci ondeCholeskyforlas(etapai) y por columnas (etapaj) de una matrizA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.7 Ilustraci ondel buenymal condicionamientodedossistemasdeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.8 Ejemplo de problema de mnimos cuadrados: ajuste de una funci on a una nubede puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.9 Ilustraci on en dos dimensiones de una transformaci on lineal de la esfera unidad . . 761.10 Descripcion geometrica del problema minx2 Ax b2,A 32. . . . . . . . . . . 801.11 Interpretaci on geometrica en 3del problemax = minx3 {x2: Ax = b} . . . . 821.12 Descripcion geometrica del proceso de ortonormalizaci on de Gram-Schmidt . . . . . . 841.13 Representacion de la aplicaci on aa de la transformaci on de Householder de-nida porw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.14 Resultado de aplicar a x la transformaci on de Householder que dene el vector(x y)/x y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.15 Factorizaci on de una matriz 6 4 por transformaciones de Householder . . . . . . . . 921.16 Representacion de como obtener las dos transformaciones de Householder po-sibles de un vectora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.17 Resultado de la factorizaci on de una matriz mn de rango r por transforma-ciones de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.18 Segundoprocesodetransformacionesortogonalespararesolverunproblemageneral de mnimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.19 Segundoprocesodetransformacionesortogonalespararesolverunproblemageneral de mnimos cuadrados (continuaci on) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.20 Ejemplo de una transformaci on de Givens en el espacio eucldeo tridimensional . . . 106XVIIXVIIIIndice de Figuras1.21 Proceso de bidiagonalizaci on de una matriz 6 4 mediante transformacionesde Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.1 Movimiento a lo largo de un vector direcci on de descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.2 Minimizaci on en la variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1722.3 Relajaci on SOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.4 Proceso deconvergenciadelmetodo dela m axima pendienteaplicado a unafunci on cuadr atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752.5 Interpretaci on geometrica del metodo de los gradientes conjugados . . . . . . . . . . . . 1873.1 Estructura simb olica (simetrica) de una matriz 14 14 antes de proceder a sufactorizaci on mediante eliminaci on de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.2 Estructurasimb olicadelamatrizdelagura3.1despuesdeprocederasufactorizaci on mediante eliminaci on de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.3 Estructurasimb olicadelamatrizdelagura3.1despuesdeprocederalareordenaci on de sus las y columnas mediante el algoritmo de grado mnimoy a su posterior factorizaci on mediante eliminaci on de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.4 Matriz 3535, de estructura simb olica simetrica, antes y despues de reordenarsus las y columnas con el algoritmo de Cuthill-McKee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233.5 Matriz triangular inferior en bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233.6 Matriz1616, deestructurasimb olicanosimetrica, antesdereordenarsuslas y columnas para reducirla a una de estructura triangular inferior en bloques. 2243.7 Matriz de la gura 3.6 despues de reordenar sus las y columnas para reducirlaa una de estructura triangular inferior en bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2243.8 Patr on de elementos distintos de cero de una matriz simetrica 480 480 y elde su factorL una vez efectuada la factorizaci onLLT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273.9 Patr ondeelementosdistintosdecero deuna matrizsimetrica 480 480 or-denadamedianteel algoritmodegradomnimoyel desufactorLunavezefectuada la factorizaci onLLT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2283.10 Patr ondeelementosdistintosdecero deuna matrizsimetrica 480 480 or-denadamedianteelalgoritmodeCuthill-McKeeyeldesufactorLunavezefectuada la factorizaci onLLT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2283.11 Matriz 11 11 de estructura simb olica simetrica y su grafo numerado asociado . . . 2293.12 Grafo no dirigido de 20 nudos, su estructura de nivelesy su correspondientearbol cociente con numeraci on mon otona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.13Arbol maximal del grafo de la gura 3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323.14 Tres primeras etapas de la eliminacion de Gauss de una matriz simetrica 11 11ysuscorrespondientesgrafosdeeliminaci on.Loselementosderellenoseindican mediante el smbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2333.15 Resultado de la eliminaci on simb olica de Gauss en la matriz de la gura 3.11mediante grafos de eliminaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2343.16 Grafo asociado a una matriz 77 sobre el que se ilustra el algoritmo de gradomnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2363.17 Matriz 7 7 y su grafo asociado con la numeraci on resultado del algoritmo degrado mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2363.18 Grafo donde la renumeraci on que resultara de aplicarle el algoritmo de gradomnimo no es la optima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Indice de Figuras XIX3.19 Grafo de 10 nudos antes y despues de aplicarle el algoritmo de Cuthill-McKee,comenzando la numeraci on ena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.20 Grafo de 10 nudos de la gura 3.19 una vez aplicado el algoritmo de Cuthill-McKee, comenzando la numeracion ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403.21 Grafode10nudos delagura3.19al queseleaplicael algoritmodelatabla 3.6 para determinar que nudo ha de ser el de partida para el algoritmode Cuthill-McKee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.22 Ejemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423.23 Ejemplo de la adaptaci on del algoritmo de Cuthill-McKee al grafo de la gura 3.222433.24 Resultado de la aplicaci on del algoritmo inverso de Cuthill-McKee al grafo dela gura 3.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2433.25 Resultado del algoritmo inverso de Cuthill-McKee aplicado el grafo de la gura 3.192433.26 Metodo de la diseccion anidada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2443.27 Metodo de la diseccion en un sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453.28 Matriz no simetrica y su digrafo asociado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2493.29 Primeraetapadelaeliminaci ondeGauss ysucorrespondientedigrafodeeliminaci ondelamatrizdelagura3.28. El elementoderellenoseindicamediante el smbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2503.30 Resultado nal de la eliminaci on de Gauss simb olica de la matriz de la gura 3.28 2513.31 Algoritmo de Hall para la b usqueda de un transversal completo en una matriz12 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2533.32 Digrafo con dos componentes fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543.33 Digrafo de una matriz triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2563.34 Digrafo sobre el que se aplica el algoritmo de Sargent y Westerberg . . . . . . . . . . . . 2573.35 Digrafo en el que el algoritmo de Sargent y Westerberg presenta dicultades . . . . . 2573.36 Ejemplo de digrafo con dos componentes fuertes no triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2593.37 Digrafo de la gura 3.36 una vez renumerado con el algoritmo de Tarjan . . . . . . . . 2603.38 Etapak = 3 de la eliminaci on de Gauss de una matriz de orden 7. . . . . . . . . . . . . 2623.39 Pieza mecanica mallada para su an alisis por elementos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . 2633.40 MatrizA despues de ensamblados los primeros seis elementos de la gura 3.39. . . 2643.41 Malla 2 4 y primeras tres las de la matriz a que da lugar el metodo de los frentes 2663.42 Matriz A de un problema no de elementos nitos en el proceso de tratamientopor el metodo de los frentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2663.43 Procesamiento simbolico de la la 9 de una matrizA 98por el algoritmode George y Heath. Los smbolos designan los elementos de R8 involucradosen la eliminaci on deaT9 ; los que se crean en esa eliminacion . . . . . . . . . . . . . . . . 2714.1 Sistema electrico de generacion y transporte de 3 nudos, 3 lneas y 2 generadores. 2824.2 Decisiones posibles en la primera iteraci on del metodo de la biseccion. . . . . . . . . . 2854.3 Proceso de obtenci on de la soluci on dexsen(x) 1 = 0 con el metodo de labiseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2874.4 Telas de ara na deg(x) = (sen(x))1/3yg(x) = sen(x)/x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2884.5 Aproximaci on lineal def(x) enx = x1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2894.6 Obtenci on de la soluci on dex3sen(x) = 0 con el metodo de Newton . . . . . . . . . 2904.7 Metodo de Newton aplicado af(x) = arctan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2944.8 Metodo de Newton con mecanismo de salvaguarda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.9 Metodo de Newton modicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299XXIndice de Figuras4.10 Metodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.11 Metodo Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3034.12 Ejemplo donde los metodos de la secante y regula falsi convergen muy lentamente 3034.13 Primera aproximaci on parab olica del metodo de Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044.14 Metodo de Broyden en una variedad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3274.15 Criterio de Armijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.16 Red electrica IEEE de 30 Nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3374.17 Conjunto tpico de medidas para la estimaci on del estado de un sistema electrico. 3384.18 Geometra del ajuste de una funci on no lineal con un par ametro a dos puntos . . . . 3455.1 Region factible del problema de programaci on lineal del ejemplo 5.1 . . . . . . . . . . . 3675.2 Representacion gr aca del problema del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3706.1 Resolucion geometrica del problema de programaci on lineal del ejemplo 6.1 . . . . . . 3806.2 Soluci on optima unica nita: (a) regi on factible acotada; (b) regi on factible noacotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3816.3 Soluciones optimas alternativas: (a) regi on factible acotada; (b) regi on factibleno acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3816.4 (a) Soluci on optima no acotada. (b) Regi on factible vaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3826.5 Conjuntos convexo y no convexo; cono convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3836.6 Interpretaci on geometrica de la factibilidad de un programa lineal: (a) regi onfactible no vaca; (b) regi on factible vaca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3856.7 Regiones factibles del ejemplo 6.2: (a) no vaca; (b) vaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3866.8 Programa lineal con condiciones de desigualdad: (a) regi on factible no vaca;(b) regi on factible vaca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3876.9 Descripcion geometrica del ejemplo 6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3886.10 Geometra del ejemplo 6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3886.11 Representacion del hiperplano x1 + 4x2 = 11, y los semiespacios que dene . . . . 3906.12 Soluciones b asicas/soluciones basicas factibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3936.13 Soluciones b asicas factibles degeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3966.14 Direcciones en el politopo del ejemplo 6.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3996.15 Puntos y direcciones extremos de un politopoP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3996.16 Representacion de un punto de un politopo (poliedro) como combinaci on con-vexa de puntos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4016.17 Representacion del politopo del ejemplo 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4036.18 Direcciones extremas y optimo: (a) soluci on optima no acotada; (b) optimo acotado4057.1 Soluci on b asica degenerada y direccion no factible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4147.2 Proceso de mejora de una soluci on b asica factible del problema del ejemplo 7.1 . . . 4157.3 Representacion del proceso seguido hasta la soluci on en el problema del ejemplo 7.24247.4 Problema con soluci on no acotada del ejemplo 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4257.5 El algoritmo simplex resolviendo un problema con soluciones optimas alternativas 4277.6 Trayectoria seguida en la resoluci on del ejemplo 7.8 empleando las fases I y IIdel metodo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.7 B usqueda de la soluci on del problema de Klee y Minty paran = 2 yn = 3. . . . . . 4608.1 Geometra de las condiciones de optimo del ejemplo 8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468Indice de Figuras XXI8.2 Descripcion geometrica de la existencia de un hiperplano separador . . . . . . . . . . . . 4738.3 El sistema (I) del lema de Farkas no tiene soluci on. La tiene (II). . . . . . . . . . . . . . 4748.4 El sistema (II) del lema de Farkas no tiene soluci on. La tiene (I). . . . . . . . . . . . . . 4749.1 Grafo dirigido, o digrafo, de 4 nudos y 6 arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5009.2 Algunas estructuras b asicas de un grafo dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5019.3 Flujo m aximo en una red y su formulaci on como problema de coste mnimo. . . . . 5049.4 El problema de la asignaci on en forma de grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5059.5 Determinaci on del arbol maximal de una red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5079.6Arbol maximal del ejemplo 9.2 con nudo cticio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5099.7 Digrafo o grafo correspondiente a los datos de la tabla 9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5139.8Arbol maximal sobre el que se ilustra el proceso de adaptaci on del vectors()una vez efectuada una iteraci on del metodo simplex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5189.9Arbol maximal resultante del de la gura 9.8 una vez introducido el arco (3,20)en la base. Sale el (8,9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5199.10Arbolmaximaldelejemplodelatabla9.3unavezintroducidoelarco(7,9)en la base y retirado el (1,8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.11 Grafo correspondiente al problema del ejemplo 9.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5229.12Arbol maximal de la iteraci on 1 del ejemplo 9.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5239.13 Iteracion 1 Paso 2: determinaci on del camino para encontrar la la de pivotaci on. 5249.14Arbol maximal de la iteraci on 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5259.15 Iteraci on 2 Paso 2: determinaci on del camino para encontrar la la de pivotaci on. 5259.16Arbol maximal de la iteraci on 3 del ejemplo 9.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5269.17 (a) Grafo de la gura 9.1 aumentado en el nudo articial 5 para obtener unasoluci on factible inicial. (b)Arbol maximal inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5289.18 Estructura diagonal por bloques de la matriz del problema 9.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 5299.19 PolitoposX1 yX2 que dene el problema 9.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5399.20 Evoluci on del valor de la funci on objetivo del problema del ejemplo 9.5 y delde su lmite inferior calculado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5459.21 Estructura en escalera de una matriz de condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5459.22 Digrafo del ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55310.1 Itinerarioshacia el optimo porelinteriory exteriordelpoliedro quedenenlas condiciones de un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55910.2 M axima esfera (circunferencia en este caso) que se puede centrar ena dentrode la regi on factiblex 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56010.3 M aximas elipses que se pueden inscribir ena y enb

en la regi on factiblex 0 . . 56110.4 Esferas deradiomnimoym aximoquepuedencircunscribir unsimplexeinscribirse en el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56210.5 Transformaci on proyectiva del ejemplo 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56410.6 a. Regi on factible original; b. Despues de la primera transformaci on proyectiva x se convierte ene/n; c. Despues de la segunda transformaci on . . . . . . . . . . . . . . . 56510.7 Region factible del problema del ejemplo 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56810.8 Descripcion geometrica de la transformaci on afn en dos dimensiones . . . . . . . . . . . 57310.9 Obtenci on de la direcci on en el subespacio n ucleo deAk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57410.10 Representacion de la idea en la que se basa el metodo de empuje potencial . . . . . . 583XXIIIndice de Figuras10.11 Funci on barrera logartmica del problema: minimizarf(x) = 3 x/2 sujeta ax 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58611.1 Funci on objetivo c oncava del problema de la localizaci on de almacenes . . . . . . . . . 61811.2 Funci on de costes de un grupo de una central termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61911.3 Bucles en el problema del representante de comercio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62011.4 Region factible del problema del ejemplo 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62411.5 Generaci on de desigualdades por redondeo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62811.6 Region factible del problema del ejemplo 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62911.7 Ilustraci on del ejemplo 11.4 sobre desigualdades disyuntivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63111.8 Funciones del ejemplo 11.5 para generar desigualdades v alidas . . . . . . . . . . . . . . . . 63212.1 Resolucion del problema del ejemplo 12.1 mediante el algoritmo de los planoscortantes de Gomory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64412.2 Divisi on recursiva de una regi on factible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64612.3 Divisi on recursiva de una regi on factible de un problema en variables 0 o 1 . . . . . . 64712.4 Divisi onrecursivadelaregi onfactibledel problemaenvariables0 o1delejemplo 12.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64812.5 Divisi on, por dicotoma de la variablexj, en un arbol enumerativo . . . . . . . . . . . . 65012.6 Dicotoma debida a la existencia de cotas superiores generalizadas . . . . . . . . . . . . . 65112.7 Divisi ondel arbol enumerativoentantasramascomovaloresenterospuedetomar la variablexj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65112.8 Seleccion de los nudos de un arbol enumerativo de acuerdo con la regla LIFO . . . . 65312.9Arbol enumerativo del problema del ejemplo 12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66112.10 Region factible y arbol enumerativo del problema del ejemplo 12.4 . . . . . . . . . . . . 665A.1 Representacion gr aca de la regla del tri angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675A.2 Gr aca de una de las funciones de una sucesi on de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677A.3 Efecto de una aplicaci on lineal sobre la bola unidad para diferentes normas . . . . . . 684A.4 Representacion en dos dimensiones de una transformaci on lineal de la esfera unidad687B.1 ConjuntoFden umerosrealesrepresentablesenunordenadorcon=2,t = 3,L = 1 yU= 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700C.1 Esquema en de una lnea entre dos nudosi yj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712C.2 Transformador entre los nudosi yj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716C.3 Esquema en del transformador entrei yjcon el regulador conectado ai . . . . . . 718C.4 Transformador entrei yj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718C.5 Esquema en del transformador entrei yjcon el regulador conectado aj . . . . . 719D.1 Proceso productivo simplicado de una renera de crudo de petr oleo. . . . . . . . . . 744D.2 Esquema productivo de vapor de agua de una renera de crudo de petr oleo . . . . . 746D.3 Esquema productivo de las turbinas de vapor de la renera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747D.4 Fluidos que se consumen y producen en la unidad de producci on n umero 11 yesquema de ujos energeticos en la renera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750E.1 Estructura de elementos distintos de cero de un programa entero mixto paraprueba de Bbmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784Indice de Figuras XXIIIJ.1 Representaciondeladisposici ondel softwaredel libroqueseincluyeenelCD-ROM que se adjunta al mismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896Indi ce de Tabl as1.1 Algoritmoparalaresoluci ondeAx =bmedianteeliminaci ondeGaussconpivotaci on parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Algoritmo para la factorizaci onLU1 de una matrizAnnpor el metodo de Crout . 301.3 AlgoritmodeCroutconpivotaci onparcialparalafactorizaci onLU1deunamatrizAnn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4 Algoritmo para la factorizaci onL1Ude una matrizAnnpor el metodo de Crout . 361.5 Algoritmoparalafactorizaci onL1UdeunamatrizAnnporel metododeDoolittle. Los coecientes de los factores se generan por columnas . . . . . . . . . . . . . 371.6 Algoritmo para la factorizaci onLDLTde una matrizAnnsimetrica . . . . . . . . . . 411.7 Algoritmo para la factorizaci on GTG de Cholesky por las de una matriz Annsimetrica denida positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.8 Algoritmo para la factorizaci on GTG de Cholesky por columnas de una matrizAnnsimetrica denida positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.9 Variante del algoritmo de Cholesky de la tabla 1.7 para matrices Annsimetricassemidenidas positivas. Sin pivotaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.10 Algoritmo para la factorizaci on GTGde Cholesky de una matriz Annsimetricasemidenida positiva con pivotaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.11 Algoritmo de Aasen sin pivotaci on para la factorizaci onLTLTde una matrizAnnsimetrica indenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.12 Algoritmo de Aasen con pivotaci on para la factorizaci on LTLTde una matrizAnnsimetrica indenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.13 Operaciones de la pivotaci on en el metodo de Bunch y Kaufman. . . . . . . . . . . . . . 621.14 Algoritmo para la factorizaci onUBUTde una matrizAnnsimetrica inde-nida por el metodo de Bunch y Kaufman con pivotaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.15 Algoritmo cl asico de Gram-Schmidt para la ortonormalizaci on de los vectorescolumna de una matrizAmn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.16 Algoritmo modicado de Gram-Schmidt para la ortonormalizaci on de los vec-tores columna de una matrizAmn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.17 Algoritmo modicado de Gram-Schmidt para la ortonormalizaci on de los vec-tores columna de una matrizAmn. Version por las . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.18 Algoritmo para la resoluci on de minxn Ax b2por transformaciones deHouseholder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.19 Algoritmo para la resoluci on de minxn Axb2 mediante transformacionesde Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108XXVXXVIIndice de Tablas1.20 C alculo de los elementos de las lasi yjde las matricesD yPen las trans-formaciones r apidas de Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121.21 Algoritmoparalaresoluci onde minxn Ax b2por transformacionesr apidas de Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.22 Algoritmo de Golub-Kahan: etapa k del procedimiento de Golub-Reinsch paraobtener los valores singulares de una matriz bidiagonalBnn. . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.23 Algoritmo de Golub-Reinsch para la obtenci on de los valores singulares de unamatrizA mn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221.24 N umero de operaciones necesarias para efectuar las distintas variantes de unadescomposicion en valores singulares de una matrizA mn. . . . . . . . . . . . . . . . 1271.25 N umero de operaciones necesarias para resolver el problema de mnimos cua-drados minxn Ax b2 por distintos metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.1 Algoritmo de Jacobi para la resoluci on deAx = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.2 Algoritmo de Gauss-Seidel para la resoluci on deAx = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.3 Algoritmo de relajaci on SOR para la resoluci on deAx = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652.4 Algoritmo de la m axima pendiente para resolverAx = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762.5 Algoritmo de los gradientes conjugados para resolverAx = b . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882.6 Proceso de convergencia de la resolucion de un sistema de ecuaciones linealesmediante el metodo de los gradientes conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902.7 Algoritmo de los gradientes conjugados con precondicionamiento para resolverAx = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.8 Resultados obtenidos por diversos metodos iterativos para resolver un proble-ma lineal mal condicionado de 50 ecuaciones con 50 inc ognitas . . . . . . . . . . . . . . . 1932.9 Algoritmo de los gradientes conjugados para resolverAT(b Ax) . . . . . . . . . . . . . 1963.1 Algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones linealesAx = b, siendoA dispersa 2213.2 N umero de operaciones a realizar con diversas variantes de la matriz de la gu-ra 3.1 para, utilizando eliminaci on de Gauss, resolver un sistema de ecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2223.3 Algoritmo de grado mnimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2353.4 Ejemplo de aplicaci on del algoritmo de grado mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2373.5 Algoritmo de Cuthill-McKee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2383.6 Algoritmo para determinar un nudo pseudoperiferico en un grafo (para obtenerel nudo de partida del algoritmo de Cuthill-McKee) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.7 Pasos y camino trazado para renumerar el digrafo de la gura 3.33. . . . . . . . . . . . 2563.8 Pila correspondiente al digrafo de la gura 3.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2583.9 Pila correspondiente al digrafo de la gura 3.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2593.10 Algoritmo de Tarjan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2603.11 Algoritmo para resolver mnimos cuadrados con matrices dispersas mediantelas ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2693.12 Algoritmo de ortogonalizaci on dispersa de George y Heath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.1 Convergencia de diversas sucesiones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2834.2 Convergencia del metodo de la biseccion aplicado axsen(x) 1 = 0. . . . . . . . . . . 2864.3 Convergencia del metodo de Newton modicado aplicado ax3sen(x) = 0 . . . . . 3004.4 Algoritmo de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . 307Indice de Tablas XXVII4.5 Proceso de convergencia del problema del ejemplo 4.3 mediante el metodo deNewton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3104.6 Proceso de convergencia del problema del ejemplo 4.3 mediante el metodo deNewton-Raphson por diferencias nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3164.7 Proceso de convergencia del problema del ejemplo 4.3 mediante el metodo deNewton, variante Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3184.8 Proceso de convergencia del problema del ejemplo 4.3 mediante el metodo deNewton, variante SOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3204.9 Algoritmo cuasi Newton con la f ormula de Broyden para la soluci on de sistemasde ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3234.10 Procesodeconvergenciaalasoluci ondel problemadel ejemplo4.5conelmetodo cuasi Newton basado en la f ormula de Broyden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3264.11 AlgoritmodeNewtonparasistemasdeecuacionesnolinealesconelcriteriode salvaguarda de Armijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3334.12 Proceso de convergencia a la soluci on del sistema de ecuaciones no lineales delejemplo 4.6 con el metodo de Newton y el criterio de Armijo. . . . . . . . . . . . . . . . . 3364.13 Par ametros del problema de la gura 4.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3404.14 AlgoritmodeGauss-Newtonpara resolverproblemasnolinealesdemnimoscuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3464.15 Metodo de Gauss-Newton. Proceso de convergencia a la solucion del problemadel ejemplo 4.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3494.16 Algoritmo de Levenberg-Marquart para resolver problemas no lineales de mnimoscuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3534.17 Datos del problema no lineal de mnimos cuadrados del ejemplo 4.9 . . . . . . . . . . . . 3544.18 MetododeLevenberg-Marquardt. Procesodeconvergenciaalasoluci ondelproblema del ejemplo 4.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3575.1 Par ametrosdel problemadelaplanicaci ondelageneraci ondeenergadeuna empresa electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.1 Bases y soluciones basicas del poliedro del ejemplo 6.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3947.1 El algoritmo simplex revisado (comienza a partir de una soluci on factible) . . . . . . . 4207.2 El metodo simplex en sus dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4327.3 Algoritmo simplex revisado en la forma producto de la inversa de la base . . . . . . . 4467.4 Algoritmo simplex revisado para variables acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4548.1 Combinaciones posibles primal-dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4718.2 Algoritmo dual del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818.3 Algoritmo dual del simplex para variables acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4838.4 Algoritmo primaldual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4899.1 Algoritmo para la obtenci on de un arbol maximal de un grafo dirigido . . . . . . . . . 5079.2 Algoritmo para la triangularizaci on de una base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5109.3 Estructura de datos del grafo de la gura 9.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5139.4 Algoritmoparalaobtenci ondelosmultiplicadoressimplexenel algoritmosimplex para ujos en redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514XXVIIIIndice de Tablas9.5 Algoritmo para la actualizaci on del vectors() en el metodo simplex especia-lizado para optimizaci on de ujos en redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5209.6 Estructura de datos del arbol de la gura 9.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5229.7 Algoritmo de descomposicion de Dantzig-Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5389.8 Resultado del problema del ejemplo 9.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55110.1 Algoritmo de Karmarkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56710.2 Algoritmo primal de escalado afn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57810.3 Algoritmo dual de escalado afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59110.4 Proceso de convergencia del algoritmo dual de escalado afn aplicado al ejemplo 10.559210.5 Algoritmo primal-dual de puntos interiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60210.6 Procesodeconvergenciadelalgoritmoprimal-dualdepuntosinterioresapli-cado al ejemplo 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60412.1 Algoritmo general para programas enteros basado en relajaciones sucesivas . . . . . . 64012.2 El algoritmo de los planos cortantes de Gomory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64312.3 El algoritmo de ramicaci on y acotamiento o branch and bound . . . . . . . . . . . . . . . 649A.1 Forma de la bola unidad para diferentes normas en 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676B.1 Par ametros de la aritmetica de precision nita de diversas m aquinas . . . . . . . . . . . 701D.1 Costes unitarios de la compra o venta de valores o productos nancieros . . . . . . . . 725D.2 Balanceequilibradoapartirdel cual seobtieneunasoluci onfactibleinicialdel problema de la gesti on nanciera a corto plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742D.3 Producci on/consumohorariodeagua, vapordeaguaycondensadosdelasdiversas unidades de producci on de la renera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748D.4 Requisitos horarios de energa electrica y combustibles en las distintas unidadesde producci on, y consumos de vapor y potencias de las turbinas . . . . . . . . . . . . . . 749D.5 Entalpas en kcal/kg de los diversos uidos de vapor de agua de la renera . . . . . 752D.6 Soluciones optimas de los diversos modelos del problema de la renera . . . . . . . . . 762E.1 Especicaciones numericas de un problema de dieta alimenticia como el intro-ducido en el captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775F.1 Segundos de c.p.u. invertidos en una estaci on de trabajo HP APOLLO 9000 730para resolver diversos problemas de optimizaci on en redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817H.1 Algoritmoparalaestimaci ondeln umerodecondici on1(T)deunamatriztriangular superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881H.2 El algoritmo de Hager para estimar el n umero de condici on 1 de una matrizA. . . 887Prefaci oElcontenidodeestelibrotienequeverfundamentalmenteconlatecnologahoyendadis-ponible de lo que en sentido amplio se conoce como an alisis numerico o calculo numerico. Porprecisar un poco m as, se reere a aquellas tecnicas y procedimientos de computo que abordanlos problemas de resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, programas lineales (tam-bien denominados problemas de programaci on lineal) y programas enteros (programas linealesdondealgunasotodaslasvariablesest anrestringidasatomarvaloresenteros). Constituyela tercera edicion impresa de un esfuerzo tendente a estudiar los problemas mencionados concierta profundidad y a transmitir a los lectores las experiencias que de ello se han derivado enlos ultimos tiempos. El precedente m as cercano es el publicado en 1993 en esta misma editorialbajo el ttulo Tecnologas Computacionales para Sistemas de Ecuaciones, Optimizaci on Linealy Entera, que merecio el honor de ser designado Premio Jose Morillo y Farfan por la FundacionF2I2del Ministerio de Industria y Energa y la Universidad Politecnica de Madrid.Aun cuando los ejemplos y la casustica que se abordan en el libro con m as enfasis son losque se suscitan en la modelizacion, simulaci on y optimizaci on de sistemas de energa electricadegeneracion, transporteydistribuci on, losmetodos, tecnicasyalgoritmosqueseestudiansonuniversalmenteaplicables. Si seutilizancomobancodepruebas los problemas quesemencionan, es porque la experiencia profesional no academica del autor se ha desarrollado fun-damentalmente en el sector energetico-electrico (primero en Hidroelectrica Espa nola, despuesen Iberdrola), donde surgen con asiduidad.El librotieneuncar acteresencialmentepractico. Antesdeabordarunprocedimientooalgoritmo de c alculo para resolver un problema, se estudian con rigor los fundamentos te oricosdeloquesevaaproponer, el porqueesventajosohacerlodeunauotramaneraycu alesson los resultados que cabe esperar de las operaciones que hay que llevar a cabo. En la granmayora de los casos,a todo lo expuesto le acompa na un programa de ordenador, codicadoenFortran77 o 90 y C,elcual seincluyeenunCD-ROMqueseadjuntaallibro,conelndequeel lectorpuedaconstatarlautilidaddeloexpuestoyaplicarloaalg unproblemaconcreto si es el caso. Cuando la complejidad del algoritmo no aconseja listar su codicaci onporserexcesivamentelarga,seindicancualessonlasmejoreslibrerasdesoftwaredondesepueden recabar versiones adecuadas o aquellas direcciones de Internet donde se distribuyenprogramas similares.Los algoritmos que se listan en las tablas correspondientes utilizan como vehculo de expre-sion un lenguajemuysimilar al del software Matlab.Este,ya ensu versi on5.0, constituyesindudaunodelosinstrumentosm asusadosyreferenciadosparaensayar, dise naroinclu-so codicar profesionalmente procedimientos numericos y algoritmos. Una recomendacion queosamoshacerallectorinteresadoenlosasuntosquetrataestelibroesqueestudieen ellosXXIXXXX Prefaciofundamentos te oricos de los procedimientos que le interesen y su funcionamiento, y que si en elfuturo necesita de su concurso para cualesquiera sean las oportunidades, utilice el software queseincluyeenellibrooacudaaMatlab,puesaquencontrar atratadosdeformacompactamuchas de las posibilidades que hoy en da se ofrecen numericamente para resolver problemascomolosqueabordael libro. UnaalternativaaceptableaMatlabesMathematica. Encualquiera de los casos, si de lo que se trata es construir un programa que resuelva de formarobusta unproblema decaractersticasprofesionales,lo mejorsiempreesdise narsuesquele-to trozo a trozo, con herramientas como las que propone el libro, o proporcionan Matlab oMathematica, y luego codicar de forma optima lo que se sabe que funciona en un lenguajecomo Fortran 90 o C, ahorr andose el tratamiento de casustica no necesaria.El librosehaescritoconlaintenci ondedirigirseapersonas quedeseenponer al dasus conocimientos sobretecnicas decalculoenordenador pararesolver los problemas quehabitualmente surgen de la modelizaci on matematica de sistemas fsicos, tecnicos, economicos osociales: concretamente cuando se obtienen de ellos sistemas de ecuaciones lineales y no lineales,depeque noygrantama no,problemasdeprogramaci onlinealyproblemasdeprogramaci onenteraomixtos lineales-enteros, tambiendecualquier dimensi on. Tambienestadirigidoaalumnosdecursosavanzadosdeingeniera, licenciatura, oinclusodoctorado, comolibrodetexto. En la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid este libro se utilizacomo texto ocial de la asignatura Matematicas de la Especialidad Electricidad-Electrotecnia,en cuarto curso de la carrera.C omoestudiarellibrocomotextoLaprimeraparte, Sistemasdeecuaciones, puedeconstituirgranpartedel programadeuncursocuatrimestral sobretecnicasdecalculonumericopararesolversistemasdeecuacioneslineales y no lineales. Adem as de los tradicionales y m as novedosos procedimientos para llegara la soluci on numerica de sistemas en los que la matriz de coecientes, o la matriz Jacobianacorrespondiente, se guarda y estudia en su totalidad, en esta primera parte tambien se estu-dian los algoritmos necesarios para resolver sistemas de matrices dispersas. En este sentido seabordan todos los problemas anejos que esto representa: la reordenaci on de las ecuaciones, lasoperaciones elementales con matrices dispersas, etc.La segunda y tercera partes del libro, enfocadas dentro de lo que se conoce como tecnicasde optimizaci on y dedicadas a la programaci on lineal y a la programaci on entera, pueden con-formarel programaid oneodeuncursocuatrimestral sobretecnicasbasicasyavanzadasdemetodosyalgoritmosdeoptimizaci onlineal (programaci onlineal yentera). Loincluidoenestas partes del libro son los procedimientos mas modernos y ables para resolver programaslineales y enteros, cualesquiera sean sus dimensiones. Ademas de todas las variantes mas utili-zadas del metodo simplex, se estudian en profundidad los algoritmos de puntos interiores m asextendidos: el primal y el dual de escalado afn y los primal-dual. Estos ultimos permiten, conuna sustancial ventaja respecto del simplex, resolver problemas de programaci on lineal de muygrandes dimensiones en tiempos polin omicos.AgradecimientosEl producto nal que representa este libro ha sido posible gracias al apoyo consciente o incons-ciente de varias instituciones y particulares. La experiencia profesional de m as de 20 a nos enIberdrola, que duda cabe, es el hilo conductor que ha permitido plasmar en muchos apartadosPrefacio XXXIde el conocimientos, tecnicas y formacion. Mi aportaci on docente a la Universidad PolitecnicadeMadrid, m asconcretamentealaEscuelaTecnicaSuperiordeIngenierosIndustriales, miautentica segunda casa, durante m as de 10 a nos, me ha enriquecido cientcamente muy nota-blemente a la vez que permitido conocer a un gran n umero de excelentes profesores de los quehe aprendido mucho. Tambien deseo agradecer a la Editorial Reverte la oportunidad que mebrind o en su momento para poder publicar esta obra en su prestigiosa empresa.Nada de lo que se puede leer en estas paginas hubiese sido posible sin la existencia de losmodernosprocesadoresdetextocientcosLATEXyTEX,aligualquelafacilidadqueenlos ultimosa noshasupuestopoderaccederalosmismosyaotrosmuchosrecursosatravesdeInternet. Lacomunidadcientco-tecnologicaestadeenhorabuenaconlaampliadifusi onque esta esta experimentando en todos los ambitos de la sociedad.Jose Luis de la Fuente OConnorMadrid, Junio de 1997.Primera parteSistemas de ecuaciones1Captulo 1METODOS DIRECTOS DESOLUCI ON DE SISTEMAS DEECUACIONES LINEALESABORDAMOSENESTEcaptulounodelosproblemasb asicosdel algebralinealnumerica y de muchos procesos de la ingeniera y de la ciencia: la soluci on de sistemasdeecuacioneslineales. Muchosalgoritmosmetodosoprocedimientosnumericosesencialmenteorientadosasuimplementacionenunordenadorquebuscandarsolucion numerica a un determinado modelo matematico resultado de la representaci on formaldel comportamiento de los elementos o procesos que denen o integran un proyecto, fen omeno oactividad, deben resolver sistemas de ecuaciones lineales de mayor o menor tama no. Ejemplossimples los constituyen la determinaci on de las tensiones en unos nudos de una red electrica decorriente continua mediante las leyes de Kirchho, o la evaluaci on de las tensiones mecanicasen las vigas que denen una estructura reticulada.La resolucion de un sistema de ecuaciones lineales aparece tambien con muchafrecuenciacomounsubproblemadeunproblemam ascomplicadodean alisisnumerico; tal ocurreporejemplo cuando se resuelve iterativamente un sistema de ecuaciones no lineales por el metododeNewton-Raphson, dondeencadaetapadeeseprocesoiterativoserequiereresolver unsistema de ecuaciones lineales, o en procesos de optimizacion tanto lineales como no lineales.Los sistemas de ecuaciones presentan con frecuencia una estructura muy especial que puedeser objeto de tratamiento particular. Por ejemplo, los problemas de interpolaci on polinomial,queconducendemaneranaturalasistemasdeecuacionesconunamatrizdecoecientesdeVandermonde, o los problemas derivados de la modelizaci on de series temporales, que conducena sistemas de ecuaciones en los que la matriz de coecientes son del tipo de las denominadas deToeplitz. Algunos problemas lineales de ajuste de par ametros por mnimos cuadrados tambienconducen a sistemas de ecuaciones lineales con matrices simetricas denidas positivas, etc.34 Captulo 1. Metodos directos de solucion de sistemas de ecuaciones linealesLa resoluci on de un sistema de ecuaciones lineales desde el punto de vista teorico no tieneningunadicultadconceptual; llevarloalapr actica, s. Estoesdebidoaquelossistemasaresolversonfrecuentementedeuntama noconsiderabley,esencialmente,alhechodequeenel entorno fsico en que se resuelven la aritmetica1opera con precisi on nita, lo que introduceerrores de redondeo en todas las operaciones efectuadas, amen de que cualquier singularidadpuede acarrear, si no se preve, consecuencias no deseadas.En lo que sigue nos dedicamos a estudiar los metodos directos para dar soluci on numerica