Libro Precalculo

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P RE-CLCULO CON AVANCES DE CLCULO

DENNlS G. ZlLL JACQUELlNE M. DEWAR

Cuarta edicin

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Digitalizado

Dennis G. Zill

Jacqueline M. Dewar

Cuarta edicin

PreclculoCon avances de clculo

Cennis G. Zill Layo/a Marymount University Layo/a Marymount University

Revisin tcnica

Salvador Carrillo Moreno Universidad Iberoamericana

Ciudad de Mxico

Antonieta Reyna Martnez Tllez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey

Campus Tatuca

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO

AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

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Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Editora de desarrollo: Ana Laura Delgado Rodrguez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traduccin: Virgilio Gonzlez y Pozo

Diseo de portada: Carbono Consultores

PRECLCULO. CON AVANCES DE CLCULO Cuarta edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

B McGraw-Hill lnteramericana DERECHOS RESERVADOS 2008 respecto a la cuarta edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Jnc.

Edificio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin 1varo Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN-13: 978-970-10-6516-7 ISBN-lO: 970-10-6516-6

Traducido de la cuarta edicin de: PRECALCULUS . WITH CALCULUS PREVIEWS. Copyright MMVII by Iones and Bartlett Publishers, Inc. All ri ghts reserved.

0-7637-3779-8

1234567890 09765432108

Impreso en China Por CTPS Printed in China by CTPS

The McGrawHill Compn/es' ~>?':J.*'':~!.:~

Prefacio v1

Desigualdades, ecuaciones y grficas 3 1.1

1 .2

1 .3 1 .4

1 .5

La recta numrica 3 Valor absoluto 12 El sistema de coordenadas rectangu lares 18 Crcu los y grficas 25 fAv_ANcEDE lgebra y lmites 34 )Calculo

Captulo 1 Ejercicios de repaso 46

~ Funciones 49 2 .1 Funciones y grficas 49 2 .2 Simetra y transformaciones 58 2 .3 Funciones li nea les 67 2 .4 Funciones cuadrticas 75 2 .5 Funciones definidas en intervalos 84 2 .6 Co mbi nacin de fu nciones 92 2 .7 Funciones inversas 99 2 .8 Traduccin de palabras a funciones 107 2 .9 ftv_ANcEDE El problema de la recta tangente Calculo


V

116

vi

l

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

Polinomios y funciones racionales 129 Poli no mios 129 Divisin de polinomios 140 Races y factores de polinomios 145 Races reales de polinomios 152 Funciones racionales 159 Fracciones parciales 172

fc1~~1gE El problema del rea 178 Captulo 3 Ejercicios de repaso 186

.., Funciones trigonomtricas 191

CONTENIDO

4.1 ngulos y su medicin 191 4 .2 Las funciones seno y coseno 198 4.3 Grficas de las funciones seno y coseno 206 4.4 Otras funciones trigonomtricas 216 4.5 Identidades especiales 225 4.6 Ecuaciones trigonomtricas 237 4. 7 Funciones trigonomtricas inversas 243 4.8 Trigonometra del tringulo rectngulo 254 4.9 Leyes de los senos y los cosenos 266 4.10 fc1~~1gE Regreso al concepto de lmite 274

Captu lo 4 Ejercicios de repaso 282

Funciones exponenciales y Logartmicas 289 5.1 Funciones exponencia les 289 5.2 Funciones logartmicas 297 5.3 Modelos exponenciales y logartmicos 306 5.4 fAv_ANCEDE El nmero e 319 JCalculo


~ Secciones cnicas 3 29 6.1

6.2

6.3 6.4

6.5

6.6

6.7

La parbola 329 La elipse 336 La hiprbola 343 Coordenadas polares 352 Grficas de ecuaciones polares 357 Secciones cnicas en coordenadas polares 363 _km~~~gE Ecuaciones paramtricas 369 Captulo 6 Ejercicios de repaso 377

Examen final 380 Respuestas a problemas impares seleccionados RESP-1 ndice analtico I -1 Crditos C -1

Contenido vii

..., Al profesor

En el prefacio a la primera edicin dijimos que:

Un profesor siempre se encuentra con el dilema de tener demasiado ma-terial y muy poco tiempo. En el vasto mercado del preclculo se pueden encontrar textos que abarcan todo, desde temas de lgebra elemental hasta tpicos de lgebra de matrices ... Creemos que hay una gran necesidad de un texto que llegue con rapidez al corazn del asunto, uno que slo presente los temas que tendrn uso directo e inmediato en la mayor parte de los cursos de clculo.

En los aos que siguieron, no hemos cambiado de opinin. Si acaso, pensamos ms que muchos textos de preclculo se quedan cortos en los razonamientos sobre las matemticas especficas necesarias para estudiar clculo. Ya que los textos moder-nos tienden a ser casi de una longitud enciclopdica, el profesor puede moverse entre muchos captulos con un paso muy rpido, o examinar una cantidad razonable de captulos, dejando sin usar gran parte de un libro muy costoso. Este texto representa una modificacin sustancial del trabajo anterior.

D Filosofia

La lista siguiente refleja algo de nuestra filosofa pedaggica en la que se basa esta nueva edicin.

En la revisin, nos apegamos con firmeza a nuestra creencia en un mtodo "sin sentido" para el preclculo. En forma deliberada hemos mantenido la descripcin dentro de una cantidad razonable de temas. Los seis captulos que comprenden este texto se pueden ver con faci lidad en un curso de un periodo. Nuestro estilo es informal, intuitivo y directo; hemos evitado el formato de demostracin de teoremas. Tratamos de hablar en forma directa con el alumno.

Subrayamos lo bsico, en especial el lgebra. A travs de los muchos ejem-plos y los ejercicios, numerosos y variados, damos la oportunidad para que los alumnos practiquen operaciones como factorizacin, desarrollo de una potencia de un binomio, completar el cuadrado, divisiones sinttica y larga, racionalizacin y solucin de desigualdades y ecuaciones en casos similares a aqullos con los que todos se encontrarn en clculo. Siempre subrayamos la importancia de estar familiarizado con las frmulas clave del lgebra, las

Prefacio ix

X

leyes de los exponentes, de los logaritmos, y con las identidades trigonom-tricas fundamentales.

Los temas presentados en este texto son aquellos que creemos que son esen-ciales para tener xito en los cursos de clculo. Por ello no cubrimos temas como matrices, sucesiones, induccin ni probabilidad. De esta forma se pue-de ganar tiempo para que el profesor trabaje con sus estudiantes para reforzar sus conocimientos de lgebra, logaritmos y trigonometra.

Bajamos el ritmo en la introduccin de temas nuevos. Los alumnos pueden quedar abrumados cuando un texto presenta varios tipos de funciones y con-ceptos funcionales relacionados, todo ello en una o dos secciones. Por eso es que nuestro ritmo, en especial en el captulo 2, Funciones y grficas, es ms pausado. Por ejemplo, no introducimos problemas con palabras, sino hasta que se hayan presentado los conceptos esenciales de funcin. De igual ma-nera, se demora el importante tema de las funciones definidas en secciones, y se les asigna su propia seccin.

En todo el texto concebimos que el curso es un puente hacia el clculo. En particular empleamos algo de la terminologa del clculo de modo informal, para que el alumno se familiarice con esos trminos. Por ejemplo, usamos las palabras "funcin continua" para describir grficas de funciones polinomia-les y exponenciales, y "funciones discontinuas" en el contexto de funciones racionales, definidas en intervalos y logartmicas. Cuando se introduce el concepto de lneas secantes para la grfica de una funcin, usamos las pala-bras "cociente de diferencias" para describir sus pendientes.

En clculo tiene importancia extrema poder bosquejar grficas de las funcio-nes y ecuaciones bsicas, en forma rpida y exacta. En consecuencia hemos dado un gran nfasis para pulir la comprensin del alumno acerca de con-ceptos como intersecciones, simetra, transformaciones rgidas y no rgidas, asntotas y comportamiento en los extremos, adems de reconocer el tipo de funcin o ecuacin, todo ello como valiosa ayuda para trazar sus grficas a mano. El uso de tecnologa se limita a problemas de la clase para la que falla el anlisis matemtico. Esos problemas van cerca del final de un conjunto de ejercicios y estn marcados con claridad.

Creemos firmemente que debe usarse una figura para ilustrar un ejemplo, una descripcin o un problema en los ejercicios, siempre que sea posible. Por ello hay numerosas figuras en el texto, unas 1 600.

Como en las ediciones anteriores, nuestro mtodo para la trigonometra es a travs del crculo unitario.

A continuacin mencionamos algunos puntos nuevos en esta edicin.

O Caracteristicas de esta revisin nfasis en el lgebra Muchas veces hemos visto a los alumnos de una clase de clculo hacer operaciones impecables, como la diferenciacin , pero no pueden ter-minar el problema por tener dificultades para simplificar la expresin resultante, o no poder resolver una ecuacin. Entonces, como dijimos arriba, en esta revisin hemos efectuado un esfuerzo concentrado para reforzar la destreza algebraica. Las notas al margen y anotaciones en el texto completan los detalles de las soluciones en los ejemplos y proporcionan informacin adicional al lector.

Traduccin de palabras a funciones Como profesores, sabemos que los proble-mas de tasa relacionada y mximos-mnimos aplicados, o de optimizacin, pueden ser una experiencia desalentadora para algunos estudiantes de clculo. En el caso tpico, la interpretacin correcta de las palabras de tales problemas, para formar una

PREFACIO

ecuacin o una funcin, es el mayor desafo para muchos alumnos. En consecuen-cia, es adecuado resaltar ese material en un curso de preclculo. En la seccin 2.8, Traduccin de palabras a func iones, comenzamos ilustrando cmo traducir una descripcin verbal a una representacin simblica de una funcin. A continuacin presentamos problemas reales tomados de un texto de clculo, para demostrar cmo descifrar el enunciado del problema y traducir esas palabras a una funcin objetiva. Describimos la importancia de trazar imgenes, usando las variables para describir las cantidades pertinentes, identificando una restriccin entre las variables, usando la restriccin para eliminar una variable adicional, y observar que el dominio de la funcin objetivo podr no ser igual que su dominio implcito. Para asegurar que el enfoque se dirij a por completo hacia el pro~eso de moldear una funcin simblica a partir de palabras, hemos optado por no describir cmo se resuelven en realidad esos problemas de optimizacin.

Notas para el saln de clase Unas secciones seleccionadas de este texto terminan con observaciones ll amadas Notas para el saln de clase. Esas observaciones apun-tan en fo rma directa al alumno, y se refieren a una diversidad de asuntos de ste, el libro de tex to, la clase y el clculo, como por ejemplo terminologa alternativa, refuerzo de conceptos importantes, qu material se recomienda o no memori zar, malas interpretaciones, errores comunes, procedimientos de solucin, calculadoras y consejos sobre la importancia del orden y la organi zacin.

Avance de clculo Los captulos de es te texto terminan con una seccin cuyo ttulo es Avance de clculo. Cada una ele esas secciones se dedica a un solo concepto del clculo:

Captulo 1, seccin 1.5: lgebra y lmites Captulo 2, seccin 2.9: El problema de la tangente Captulo 3, secc in 3.7: El problema del rea Captulo 4, seccin 4. 10: Regreso al concepto de lmite Captulo 5, seccin 5.4: El nmero e Captulo 6, seccin 6.7 : Ecuaciones paramtricas

En esas secciones se mantiene el anlisis en un nivel fcilmente al alcance de un estudiante de preclculo. El nfas is no es hacia el clculo; el tema de clculo permite tener un marco y la motivacin para las matemticas que aqu se describen, de pre-clculo. En esas secciones el enfoque se orienta a las manipulaciones algebraicas, logartmicas y trigonomtricas necesarias para terminar con x ito los problemas de clculo relacionados con el tema del Avance de clculo. En consecuencia, es-tas secciones son para ensearse como parte de un curso normal de matemticas de preclculo. En lgebra y lmites examinamos el clculo analtico de un lmite cuando x ~ a, donde a representa un nmero real. El material se presenta de tal manera que el profesor puede elegir: repasar lo importante del lgebra en la simpli -fi cacin de expresiones fraccionarias usando desarrollos binomiales, fac torizando, denominadores comunes y racionalizaciones, o bien dar el paso adicional y calcul ar realmente un lmite. De igual modo analizamos El problema de la tangente para entonces examinar el clcul o de cuatro pasos del lmite del cociente de diferencias f (x + h) - f (x ) cuando h ~ O. Tambin aqu e l nfasis est en los pasos ajenos

h al clculo, pero el profesor puede optar por ampliar su descripcin e incluir el con-cepto de una derivada de una funcin. En las secciones 1.5 y 2.9 no entramos en los aspectos tericos de ex istencia o no ex istencia de lmites. Existen tocios los lmi tes que aparecen en los ejercicios o que se ilustran en los ejemplos. En El problema del rea describimos la geometra y el lgebra que se requieren para usar un proceso al

Prefacio xi

r 1

xii

lmite, para calcular el rea bajo una curva. En Regreso al concepto de lmite exa-minamos la evaluacin de algunos lmites trigonomtricos y el clculo del cociente de diferencias f (x + h) - f (x) cuando fes una funcin seno o coseno. En El n-

h mero e usamos el cociente de diferencias para demostrar al estudiante por qu el nmero e es la base ms natural para la funcin exponencial, en un ambiente de cl-culo. En Ecuaciones paramtricas examinamos este poderoso mtodo para definir una curva en el plano o en el espacio tridimensional.

Examen final Despus de los seis captulos del texto, presentamos una lista de 62 preguntas, llamada Examen final. Esta "prueba" consiste principalmente en pre-guntas para llenar un espacio en blanco o decir si la afirmacin es cierta o falsa. No fue nuestra intencin emular un examen final real de preclculo; ms bien quisimos ofrecer un vehculo para una recapitulacin de todo el curso. Sugerimos que una parte del periodo de clase se dedique a una discusin sobre estas preguntas, para ayudar a los alumnos a prepararse para su examen final real, y su transicin posterior hacia el clculo.

D Materiales de apoyo Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de los mismos, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.

PREFACIO

~ AL estudiante Despus de ensear matemticas durante muchos aos, hemos visto ya casi to-do tipo de estudiante, desde genios en ciernes que inventaron su propio clculo, a alumnos que batallaban para dominar la mecnica ms rudimentaria del asunto. Con frecuencia, la fuente de dificultad en el clculo se puede ubicar en dbiles conoci-mientos de lgebra y en antecedentes inadecuados de trigonometra. El clculo se construye directamente sobre sus conocimientos y destreza anteriores, y hay mucho terreno nuevo por cubrir. En consecuencia hay muy poco tiempo para repasar las matemticas de preclculo en la clase de clculo. As, quienes ensean clculo de-ben suponer que usted puede factorizar, simplificar y resolver ecuaciones, resolver desigualdades, manejar valores absolutos, usar una calculadora, aplicar las leyes de los exponentes, encontrar ecuaciones de rectas, graficar puntos, bosquejar grficas bsicas y aplicar identidades logartmicas y trigonomtricas importantes. La capa-cidad de manejar lgebra y trigonometra, trabajar con exponenciales y log

xiv

~ Reconocimientos La compilacin de un texto de matemticas, por ms que sea de extensin modesta como el presente, es una tarea monumental. Adems de nosotros, muchas personas, tantas que no conocemos a algunas de ellas, dedicaron mucho tiempo y duro trabajo a este proyecto. Nos gustara destacar los siguientes nombres, como reconocimiento especial:

o Tim Anderson, Amy Rose, Anne Spencer, por su reserva aparentemente inagotable de paciencia y cooperacin, as como por a:lguna reconvencin ocasional, pero necesaria,

o George Nichols, por sus bellas presentaciones ele nuestros originales no tan bellos,

o Scott y Caro! Wright, por su cuidadosa revisin de las versiones preliminares ele este texto,

o Cathy Herrera, nuestra asistente de departamento administrativo, quien con un eterno buen humor contribuy en tantsimos detalles a este proyecto de redaccin , desde mecanografiar partes del manuscrito hasta caminar la "mi-lla" extra (a la oficina de correos del campus), y

o a los profesores, alumnos y revisores que nos han proporcionado comentarios y sugerencias a travs de los aos.

A. cada uno le damos un gracias! ele corazn. Aun con toda esta ayuda, la fidelidad de cada letra, palabra, smbolo, ecuacin

y figura es responsabilidad de los autores. Quedaramos muy agradecidos si nos notificara cualquier error, de fondo o "de dedo".

Dennis G. Zill Jacqueline M. Dewar

PREFACIO

Contenido del captulo

1 .1 La recta numrica 1 .2 Valor absoluto 1 .3 El sistema de coordenadas

recta ng u la res 1 .4 Crculos y grficas 1 .5 IA~ANCEDE lgebra y lmites JCalculo

Captulo 1 Ejercicios de repaso

Ismael DayetTexto escrito a mquinaPor Dayet

Desigualdades, ecuac1ones

y grficas

.,, La recta numrica D Introduccin En el clculo usted estudiar cantidades que se describen con nmeros reales. En consecuencia, comenzaremos con un repaso del conjunto de n-meros reales, usando la terminologa y la notacin que encontrar usted en clculo.

Recordar que el conjunto R de nmeros reales est formado por nmeros que son racionales o irracionales. Los nmeros racionales tienen la forma a/b, donde a y b =1= O son enteros. Por ejemplo, -3, - ~, ~ , S y 1 ~7 son nmeros racionales. Los nmeros irracionales son los que no son racionales; es decir, son nmeros que no pueden expresarse como un cociente de enteros. Por ejemplo, v'2 y TT son nmeros irracionales. Todo nmero real tambin se puede escribir como decimal. Un nmero racional se puede expresar como un decimal que termina, como k = 0.125 , o como un decimal que no termina y que se repite, como 1 = 0.333 .. . Los decimales que se repiten: como 0.666 ... y 8.545454 . .. , suelen escribirse en la forma 0.6 y 8.54, respectivamente; la barra indica el dgito o el conjunto de dgitos que se repiten. Un nmero irracional siempre es un decimal que no termina y que no se repite, como v'2 = 1.41421... o TT = 3.14159 ... El esquema siguiente resume la relacin entre los conjuntos principales de nmeros reales.

D La recta numrica El conjunto R de los nmeros reales puede ponerse en correspondencia uno-a-uno con el conjunto de los puntos de una lnea recta. En con-secuencia, podemos imaginar o representar a los nmeros reales como los puntos de una recta horizontal llamada recta numrica o recta de coordenadas. El punto que se escoja para representar al nmero O se llama el origen. La direccin hacia la derecha del O se llama direcciqn positiva en la recta numrica. La direccin hacia la izquierda del O es la direccin negativa. Los nmeros reales que corresponden a puntos a la derecha del O se llaman nmeros positivos, y los nmeros que corres-ponden a puntos a la izquierda del O se llaman nmeros negativos. Como se ve en la FIGURA 1 .1 .1, se considera que el nmero O no es positivo ni negativo . De aqu en adelante no diferenciaremos entre un punto en la recta numrica y el nmero que corresponde a ese punto.

nmeros nmeros -+-negati vos positivos__..

1 -2 {i n

t t t . . .. -------

-2 - 1 o 1 2 3 t

el cero no es positivo ni negativo

FIGURA 1 .1 . 1 La recta real

3

a < b

a b

FIGURA 1.1.2 a es menor que b

4

O Desigualdades La recta numrica es til para demostrar relaciones de orden entre dos nmeros reales a y b. Como se ve en la FIGURA 1.1.2, se dice que el nmero a es menor que el nmero b, y se escribe a < b siempre que el nmero a est a la izquierda del nmero b en la recta numrica. En forma equivalente, como el nmero b est a la derecha de a en la recta numrica, se dice que b es mayor que a y se es-cribe b > a. Por ejemplo, 4 < 9 es lo mismo que 9 > 4. Tambin se usa la notacin a:::::; b si el nmero a es menor que o igual al nmero b. De igual modo, b 2: a quiere decir que bes mayor que o igual a a. Por ejemplo, 2 :::::; 5, ya que 2 < 5. Tambin, 4 ;:::: 4, porque 4 = 4. Para dos nmeros reales a y b cualquiera, exactamente una de las afirmaciones siguientes es cierta:

a < b, a=b o a > b.

A los smbolos < , > , 2: y :::::; se les llama smbolos de desigualdad, y a las expresiones como a < b o b 2: a se les llama desigualdades. La desigualdad a > O quiere decir que el nmero a est a la derecha del nmero O en la recta numrica, por lo que a es positivo. Para indicar que un nmero a es negativo se usa la desigualdad a < O. Como la desigualdad a ;:::: O quiere decir que a es mayor que O (positivo) o igual a O (que no es ni positivo ni negativo), se dice que a es no negativo.

O Solucin de desigualdades Nos interesa resolver diversas clases de des-igualdades que contengan una variable. Si la variable x en una desigualdad como

8x + 4 < 16 + 5x, (1) se sustituye por un nmero real a, y si el resultado es un enunciado correcto, se dice que a es una solucin de la desigualdad. Por ejemplo, - 2 es una solucin de la ecuacin (1), porque si x se sustituye por -2, la desigualdad que resulta es 8( - 2) + 4 < 16 + 5( -2) y se simplifica al enunciado correcto - 12 < 6. La palabra re-solver quiere decir que se debe determinar el conjunto de todas las soluciones de una desigualdad como la (1) . A este conjunto se le llama conjunto solucin de la desigualdad . Se dice que dos desigualdades son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto solucin. La representacin del conjunto solucin en la recta numrica es la grfica de la desigualdad.

Una desigualdad se resuelve determinando una desigualdad equivalente que tenga soluciones obvias. La lista siguiente resume tres operaciones que producen desigualdades equivalentes.

Supngase que a y b son nmeros reales, y que e es un nmero real distinto de cero. Entonces, la desigualdad a < b es equivalente a:

i) a+ e < b +e, ii) ac < be, para

iii) ac > be, para c > O, e > O.

Con frecuencia se olvida la propiedad iii) . En palabras, iii) dice que: Si una desigualdad se multiplica por un nmero negativo, entonces se debe

invertir la direccin de la desigualdad resultante.

Por ejemplo, si se multiplica la desigualdad -2 < 5 por- 3, entonces el smbolo menor que cambia al smbolo mayor que:

- 2( - 3) > 5( - 3) o sea 6 > -15 .

CAPTULO 1 DESIGUALDADES, ECUACIONES Y GRFICAS

Solucin de la desigualdad (1) Resolver 8x + 4 < 16 + Sx.

Solucin La desigualdad se resuelve usando las propiedades de las desigual-dades , obteniendo una secuencia de desigualdades equivalentes.

8x + 4 < 16 + Sx 8x + 4 - 4 < 16 + Sx - 4

8x < 12 + Sx ~ por i)

8x - Sx < 12 + Sx - Sx ~ por i) 3x < 12

(D3x < ( ~ )12 ~ porii) X < 4.

Si se usa la notacin de conjuntos, el conjunto solucin es {x 1 x real y x < 4}.

O Notacin para intervalos El conjunto solucin del ejemplo 1 se grafica en la recta numrica de la FIGURA 1 .1 .3 , como una flecha de color que apunta hacia la izquierda, sobre la recta. En la figura, el parntesis derecho despus del 4 indica que el nmero 4 n.o est incluido en el conjunto solucin. Como el conju nto solucin se extiende indefinidamente hacia la izquierda, hacia la direccin negativa, la des-igualdad x < 4 tambin se puede escribir como -oo < x < 4, donde oo es el smbolo de infinito. En otras palabras, el conj unto solucin de la desigualdad x < 4 es

{xl x real yx < 4} = {xl - oo < x < 4}.

Al usar la notacin de intervalos, este conjunto de nmeros reales se escribe ( -oo, 4) y es un ejemplo de un intervalo no acotado. La tabla 1.1 es un resumen de las diversas desigualdades y sus conjuntos solucin, as como las notaciones de

TABLA 1.1 Desigualdades e intervalos

Notacin de Desigualdad Conjunto solucin intervalo Nombre Grfica a < x < b {x [a < x < b} (a, b) Intervalo abierto (

a

a :s; x:s;b {x [a :s; x :s; b} [a, b] Intervalo cerrado [ a

a < x:s;b {x[a < x :s; b} (a,b] Intervalo semiabierto ( a

a :s; x

-.------1 (-=, 5) ( )

o 2 (2, 5) 5 FIGURA 1 .1.4 Los nmeros en (2, 5) son los nmeros comunes a (2, oo) y a ( -oo, 5)

( 3 1 - 1 o

FIGURA 1 .1 .5 Conjunto solucin en el ejemplo 2

6

intervalo, los nombres y las grficas. En cada uno de los primeros cuatro renglones de la tabla, a los nmeros a y b se les llama extremos del intervalo. Como conjunto, el intervalo abierto

(a,b) = {x la < x < b} no contiene a los extremos, mientras que el intervalo cerrado

[a , b] = {x 1 a ~ x ~ b} incluye ambos extremos. Tambin obsrvese que la grfica del ltimo intervalo de la tabla 1.1, que se extiende en forma indefinida hacia la izquierda y hacia la derecha, es toda la recta numrica. En clculo se usa por lo general la notacin de intervalo ( -oo, oo) para representar al conjunto R de los nmeros reales . .

Corresponde aqu presentar una nota precautoria al usar la tabla 1.1. Los sm-bolos de infinito, - oo ("menos infinito") y oo ("infinito") no representan nmeros reales, y nunca deben manipularse aritmticamente como un nmero. Los smbolos de infinito slo son artificios de notacin: - oo y oo se usan para indicar no acotamien-to en la direccin negativa y en la direccin positiva, respectivamente. As, al usar la notacin de intervalos, los smbolos -oo y oo nunca pueden aparecer junto a un pa-rntesis rectangular o corchete. Por ejemplo, la expresin (2, oo] no tiene sentido.

A veces, a una desigualdad de la forma a < x < b se le llama desigualdad simultnea, porque el nmero x est entre los nmeros a y b. En otras palabras, x > a y al mismo tiempo x < b. Por ejemplo, los nmeros reales que satisfacen 2 < x < 5 representan la interseccin de los intervalos definidos por las desigual-dades 2 < x y x < 5. Recurdese que la interseccin de dos conjuntos A y B se escribe A n B, y es el conjunto de elementos que estn en A y tambin en B; en otras palabras, los elementos que son comunes a ambos conjuntos. Como se ve en la FIGURA 1.1.4 con el traslape de las flechas que se prolongan indefinidamente hacia la derecha y hacia la izquierda, el conjunto solucin de la desigualdad 2 < x < 5 se puede escribir como la interseccin (2, oo) n ( -oo, 5) = (2, 5).

,EJEMPLO 2 Solucin de una desigualdad simultnea Resolver -2 ~ l - 2x < 3.

Solucin Como se describi antes, una forma de proceder es resolver dos desigualdades:

- 2 ~ 1 - 2x y l - 2x < 3 para despus tomar la interseccin de los dos conjuntos solucin. Un mtodo ms rpido es resolver las dos desigualdades en forma simultnea del siguiente modo:

- 2 ~ 1 - 2x < 3 - 1 - 2 ~ - 1 + 1 - 2x < - 1 + 3 r por i)

- 3 ~ - 2x < 2. Se asla la variable x que est en medio de la ltima desigualdad simultnea, mul-tiplicando por -1:

( -1)( - 3) 2: ( -1)( - 2x ) > ( -1)2 r por iii) l> ,"> -1 2- .;\,o '

donde se ve que la multiplicacin por el nmero negativo ha invertido la direccin de las desigualdades. Para expresar esta desigualdad en notacin de intervalos, primero se reescribe de tal manera que el nmero ms a la izquierda en la recta numrica est en el lado izquierdo de la desigualdad: - 1 < x ~ ~ . As, el conjunto solucin de la ltima desigualdad es el intervalo semiabierto ( - 1, n el corchete de la derecha quiere decir que ~ est incluido en el conjunto solucin~ La grfica de este intervalo se ve en la FIGURA 1 .1 .5 .


O Mtodo de la tabla de signos En los ejemplos 1 y 2 se resolvieron desigual-dades lineales, esto es, desigualdades que contenan una sola variablexque se pueden poner en las formas ax + b > O, ax + b :::::: O, etc. En los ejemplos que siguen se ilustra el mtodo de la tabla de signos que se usa en clculo para resolver desigualdades no lineales. Las dos propiedades de los nmeros reales que se mencionan a continuacin son bsicas para construir una tabla de signos para una desigualdad.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE LOS SIGNOS i) El producto de dos nmeros reales es positivo si, y slo si los nme-

ros tienen igual signo, es~o es, ( + )( +) o (- )(- ). ii) El producto de dos nmeros reales es negativo si, y slo si los nme-

ros tienen signo opuesto, esto es, (+)(-)o (- )( + ).

A continuacin se presentan algunos de los pasos bsicos del mtodo de la tabla de signos, que se ilustrar en el ejemplo siguiente. Usar las propiedades de las desigualdades para modificar la desigualdad dada en

una forma en la que todas las variables y las constantes distintas de cero estn en el mismo lado del smbolo de desigualdad, y el nmero O est en el otro lado.

Entonces, si es posible, factorizar la expresin que contenga a las variables y constantes, para obtener factores lineales ax + b.

Marcar la recta numrica en los puntos en los que los factores sean cero. Esos puntos dividen a la recta numrica en intervalos.

En cada uno de estos intervalos, determinar el signo de cada factor, y a continua-cin el signo del producto usando i) y ii) de las propiedades de signos de productos.

EJEMPLO H Solucin de una desigualdad no lineal Resolver x2 2:: -2x + 15.

Solucin Comenzaremos reescribiendo la desigualdad con todos los trminos a la izquierda del smbolo de desigualdad, y O a la derecha. Segn i) de las propie-dades de las desigualdades,

x2 2:: -2x + 15 equivale a x 2 + 2x - 15 2:: O.

Al factorizar, la ltima expresin es lo mismo que (x + 5)(x - 3) 2:: O. A continuacin se indica, en la recta numrica, dnde est cada factor O; en este

caso, x = -5 y x = 3. Como se ve en la FIGURA 1 .1.6, as se divide la recta numrica en tres intervalos ajenos, es decir, que no se intersecan: ( -oo, -5), ( -5, 3) y (3, oo). Tambin obsrvese que como la desigualdad dada requiere que el producto sea no negativo, es decir, "mayor o igual a 0", los nmeros - 5 y 3 son dos soluciones . A continuacin se deben determinar los signos de los fact~resx + 5 y x- 3 en cada uno de los tres intervalos. Estamos buscando los intervalos en Jos que los dos factores sean positivos o negativos, porque entonces su producto ser positivo. Ya que los factores linealesx + 5 y x- 3 no pueden cambiar de signo dentro de esos intervalos, basta con obtener el signo de cada factor slo en un valor de prueba elegido en el interior de cada intervalo. Por ejemplo, en el intervalo ( -oo, - 5), si se usa x = - lO, entonces

Intervalo ( -oo , -5) Signo de x + 5 - f- en .r = - 10, .r + 5 = - 10 + 5 O

Signo de x - 3 - f- en .r = - 10, .r - 3 = - 10 - 3 O

Signo de (x + 5)(x - 3) + f- ( - )( - )es ( +)

1.1 La recta numrica

(-oo, - 5) : (- 5, 3) 1

- 5 o

FIGURA 1.1.6 Tres intervalos ajenos

:(3,oo) 1

3

~ Vase i ) e n Propiedades de l producto de los s ignos.

7

L

Una cosa que 110 se hace es quitar ~ el denominador multip l icando la desigualdad por .r + 2. Vase el pro-blema 68 ele los ej ercic ios 1. 1.

8

Al continuar de esta forma en los dos intervalos restantes, se obtiene la tabla de signos de la FIGURA 1 .1 . 7 . Como se puede ver en el tercer rengln ele esta figura, el producto (x + 5)(x - 3) es no negativo en cualquiera de los intervalos no acotados ( - oo, -5] o [3, oo).

x +S o + + + + + x- 3 o + +

(x +S)(x-3) + + o o + + 11( ] [ )a

- 5 3

FIGURA 1 . 1 . 7 Tabla de signos para el ejemplo 3 1'1 Como el conjunto solucin del ejemplo 3 consiste en dos intervalos que no se

intersecan , es decir, que son ajenos, no se puede expresar como un solo intervalo. Lo mejor que se puede hacer es escribir el conjunto solucin como la unin ele los dos intervalos. Recurdese que la unin ele dos conjuntos A y B se escribe A U B, y es el conjunto ele elementos que estn en A, en B o en ambos. Entonces, el conjunto solucin en el ejemplo 3 se puede escribir ( - oo, - 5] U [3, oo).

Solucin de una desigualdad no Lineal Resolver (x- 4)\x + 8)3 > O.

Solucin Como la desigualdad indicada ya tiene la foi'ma adecuada para apli-car el !Titoclo de la tabla de signos (una expresin factorizada a la izquierda del sm-bolo ele desigualdad y O a la derecha), comenzaremos determinando los nmeros con los que cada factor es O; en este caso son x = 4 y x = - 8. Esos nmeros se colocan en la recta numrica, con lo que se determinan tres intervalos. A continuacin , en cada intervalo se examinan los signos de las. potencias de cada factor lineal. Debido a la potencia par, se ve que (x - 4f nunca es negativo. Sin embargo, debido a la potencia impar, (x + 8)3 tiene el mismo signo que el factor x + 8. Obsrvese que los nmeros x = 4 y x = -8 no son soluciones de la desigualdad, debido al signo "mayor que". Por consiguiente, como se ve en la FIGURA 1 .1 .8 , el conjunto solucin es ( -8, 4) U (4, oo).

(x - 4P + + + + + o + + (x + 8)3 o + + + + +

(x - 4 )2 (x + 8)3 o + + o + + ( X )a - 8 4

FIGURA 1 .1 .8 Tabla de signos para el ejemplo 4

Solucin de una desigualdad no Lineal 6

Resolver x :s 3 - --. X+ 2

11111

Solucin Comenzaremos reescribiendo la desigualdad con todas las variables y las colistantes distintas de cero a la izquierda, y O a la derecha del signo ele eles-igualdad.

6 X - 3 + -- :S 0.

X+ 2 A continuacin se ponen los trminos sobre un denominador cori1n,

(x - 3)(x + 2) + 6 -------- :s O que se simplifica como

X+ 2


x(x - 1) ----::=:; O.

X + 2 (2)

-Ahora los nmeros que hacen que esos tres factores lineales sean cero, en la ltima expresin, son - 2, O y l. En la recta nurprica esos tres nmeros determinan cuatro intervalos. En consecuencia del "menor que o igual a 0", se ve que el O y el 1 son miembros del conjunto solucin. Sin embargo, - 2 est excluido del conjunto solu-cin, porque al sustituir este valor en la expresin fraccionaria se obtiene un cero en el denominador (que hace que la fraccin sea indefinida). Como se puede ver en la tabla de signos de la FIGURA 1.1 .9 , el conjunto solucin es ( -oo, - 2) U [0, 1].

X

x- l x+2 o + +

o + + + + + - - - o + + + + + + + +

x(x- l )/(x + 2) - - indefinido + + o o + +

-2 o FIGURA 1 .1 .9 Tabla de signos para el ejemplo 5

NOTAS PARA EL SALN DE CLASE i) Con frecuencia, la terminologa que se usa en matemticas vara entre

los profesores y entre los libros de texto. Por ejemplo, las desigualda-des con los smbolos < o > se llaman a veces desigualdades estrictas, mientras que las que usan ::s o 2:: se llaman no estrictas. Otro ejemplo, a los enteros positivos 1, 2, 3, ... se les llama con frecuencia nmeros naturales.

ii) Suponga que el conjunto solucin de una desigualdad consiste en nmeros tales que x < - lo x > 3. Una so lucin que se ve con mucha frecuencia en las tareas de casa, acertijos y pruebas es 3 < x < - l. Esto es falta de co mprensin de la nocin de simultaneidad. La afirmacin 3 < x < - 1 quiere decir que x > 3 y que adems, al mismo tiempo, x < - l. Si el lector dibuja esto en la recta numrica ver que es imposible que la misma x satisfaga ambas desigualdades. Lo mejor que se puede hacer para reescribir "x < - 1 o x > 3" es usar la unin de intervalos ( -oo, - 1) U (3, oo).

iii) He aqu otro error frecuente: la notacin a < x > b no tiene sentido. Si, digamos, sucede que x > - 2 y tambin x > 6, entonces s lo los nmeros x > 6 satisfacen las dos condiciones.

iv) En la clase se oye con frecuencia la respuesta "positivo" cuando en realidad el alumno quiere decir "no negativo". Pregunta: x adentro de una raz cuadrada Vx debe ser positivo, verdad? Levanten la mano los que estn de acuerdo. Siempre hay muchas manos que se levantan. La respuesta correcta es: x debe ser no negativo, esto es, x 2:: O. No olvidar que v'o = O.

Ejercicios Las respuestas a problemas impares seleccionados comienzan en la pgina RESP-1 . En los problemas 1 a 6, escriba la afirmacin en forma de una desigualdad.

l. a + 2 es positivo 2. 4y es negativo 3. a + bes no negativo 4. a es menor que - 3 5. 2b + 4 es mayor que o igual a 100 6. e - 1 es menor que o igual a 5

1.1 La recta numrica 9

~-------------------~----~-

10

En los problemas 7 a 14, escriba la desigualdad usando notacin de intervalos, y a continuacin grafique el intervalo.

7. x < O 8. O - 7

En los problemas 1 S a 18, escriba el intervalo en forma de una desigualdad.

15. [ - 7, 9] 17. ( - oo , 2)

16. [ 1, 15) 18. [ - 5, 00 )

En los problemas 19 a 34, resuelva la desigualdad lineal. Escriba el conjunto solu-cin usando la notacin de intervalos. Grafique el conjunto solucin . 19. X+ 3 > - 2 20. 3x - 9 < 6 21. ~X + 4 ::5 10 22. S -~X 2': - 4 23. ~ - x> x 24. - (1 -x ) ? 2x - 1 25. 2 + x 2': 3 (x - 1) 26. - 7x + 3 ::s 4 - x 27. - ~ o

X + 2 X- 3

50. --< 0 X+ 2

52.

54.

56.

58.

X - 2 --::; 1 X+ 3 (1 + x )(1 -x) --'-------'---------'- ::; o

X

X x 2 - 16 > O

4x +S 4 x 2 2':--x +S

59. Si 7 veces un nmero decrece su valor en 6, el resultado es menor que 50. Qu se puede determinar acerca de ese nmero?

60. Los lados de un cuadrado se extienden para formar un rectngulo. Como se ve en la FIGURA 1.1 .1 o, un lado se ex tiende 2 pulgadas, y el otro se ex tiende S pulgadas. Si el rea del rectngulo resultante es menor que 130 pulg2, cules son las longitudes posibles del lado del cuadrado original?


--

t X

L 2

t FIGURA1 .1. 10 Rectngulo para el problema 60

61. Un polgono es una figura cerrada que se forma uniendo segmentos de lnea. Por ejemplo, un tringulo es un polgono de tres lados. En la FIGURA 1 .1 .11 se ve un polgono con ocho lados, que se llama octgono. Una diagonal de un polgono se define como un segmento de recta que une dos vrtices no adya-centes cualquiera. La cantidad d de diagonales de un polgono con n lados es d = Hn - l)n - n. Para qu polgonos la cantidad de diagonales es mayor que 3S?

1

vrti ce \

,, .. ,"~o 11 =8

FIGURA 1 .1 .11 Octgono para el problema 61

62. La cantidad total N de puntos en un arreglo triangular con n filas se determina con la frmula N = 1n ( n + 1). Vase la FIGURA 1 .1.12. Cuntas filas puede tener el arreglo si la cantidad total de puntos debe ser menor que S OSO?

11 = 1 11 =2

11 =3 11 =4

FIGURA 1 .1 .12 Arreglos triangulares de puntos para el problema 62

Aplicaciones diversas 63. Jardn de flores Un lecho de flores rectangular debe tener una longitud doble

que su ancho. Si el rea encerrada debe ser mayor que 98m2, qu puede usted decir acerca del ancho del lecho de flores?

64. Fiebre La relacin entre la temperatura Te en grados Celsius, y TF en grados Fahrenheit, es TF = ~Te + 32. Se considera que una persona tiene fiebre si su temperatura oral es mayor que 98.6 F. En la escala Celsius, qu temperaturas indican que hay fiebre?

65. Resistores en paralelo Un resistor de S ohms y un resistor variable se co-SR

nectan en paralelo. La resistencia combinada es RT = ---.Determine los S+R valores R del resistor variable, para los cuales la resistencia resultante RT ser mayor que 2 ohms.

1.1 La recta numrica

Termmetro oral

11

r

-3 o 3 FIGURA 1.2.1 La distancia es 3 unidades

12

66. Lo que sube ... Con ayuda del clculo es fcil demostrar que la altura x de un proyectil lanzado desde una altura inicial s0, directo hacia arriba y con una velocidad inicial v0 es s = -~gr + v0t + s0, estando ten segundos y g = 32 pies/s2. Si un cohete de juguete se dispara directo hacia arriba, desde el nivel del suelo, entonces s0 = O. Si su velocidad inicial es 72 pies/s, durante qu intervalo el cohete estar a ms de 80 pies arriba del suelo?

Para discusin 67. Describa cmo podra usted determinar el conjunto de nmeros para los que la

expresin es un nmero real.

a)~ b) V4- 10x Ponga en prctica sus ideas.

e) V x (x - S) 1 d) Vx+2 68. En el ejemplo S, explique por qu no se debe multiplicar la ltima ecuacin en

(2) por x + 2.

t~ Valor absoluto D Introduccin Se puede usar la recta numrica para visualizar la distancia. Como se ve en la FIGURA 1.2 .1, la distancia entre el nmero O y el nmero 3 es 3, y la distancia entre - 3 y O tambin es 3. En general, para todo nmero positivo real x, la distancia entre x y O es x. Si x representa un nmero negativo, la distancia entre x y O es - x . El concepto de distancia desde un nmero en la recta numrica, hasta el nmero O se describe con el valor absoluto de ese nmero.

Para todo nmero real x, el valor absoluto de x, representado por 1 x 1. es

lxl = { x, -x,

si x 2': O si x < O. (1)

Tenga cuidado. Es un error frecuente pensar que - x representa una cantidad negativa, slo por la presencia del signo menos. Si un smbolo x representa un n-mero negativo (esto es, x < 0), entonces - x es un nmero positivo. Por ejemplo, si x = -10 < O, entonces lx 1 = -x = -(-10) = 10.

Como se muestra en nuestro primer ejemplo, el smbolo x en ( 1) es un comodn que denota simplemente una variable que puede tomar distintos valores, es decir dentro de los smbolos de valor absoluto, 11. se pueden poner otras cantidades.

EJEMPLO 1 Valor absoluto Escribir 1 x - S 1 sin smbolos de valor absoluto.

Solucin Donde aparezca el smbolo x en (1) , se sustituye por x- S:

{X - S lx- SI = ' -(x -S),

si x - S 2:: O si x - S < O.

Examinemos cada parte de la definicin por separado. En primer lugar la desigual-dad x - S 2': O quiere decir que x 2': S. Por consiguiente,

lx - S 1 = x - S si x 2': S.


--

Compruebe el lector este resultado (esto es, que x - S es no negativo) sustituyendo nmeros como S, 8 y 10. A continuacin, x- S < O quiere decir que x < S. En este caso,

ley de distribucin J, J,

lx-SI = - (x- S) = -x +S si X< S. De nuevo, el lector se debe convencer de que esto es correcto (esto es, - x + S es positivo) sustituyendo algunos nmeros, como 2 y - 3.

Como se ve en la figura 1.2.1, para to'do nmero real x y su negativo - x, la dis-tancia a O es la misma. Esto es, 1 x 1 = 1 - x 1 sta es una propiedad de una lista de ellas, para el valor absoluto, que veremos a continuacin.

i) lal = 1-al ii) 1 a 1 = O si, y slo si a = O

iii) labl = lallbl

iv) ~~~ = :::, b =F O v) 1 a + b 1 :::::; 1 a 1 + 1 b 1 (Desigualdad del tringulo)

Por ejemplo, en virtud de la propiedad iii), se puede escribir la expresin 1- 2x 1 en la forma 1 - 211 x 1 = 21 x 1. O De nuevo La distancia Si se desea determinar la distancia entre dos nmeros cualesquiera en la recta numrica, todo lo que se debe hacer es restar el nmero que est ms hacia la izquierda del nmero que est ms hacia la derecha. Por ejemplo, la distancia entre 1 O y - 2 es

nmero ms hacia la derecha nmero ms hacia la izquierda J, J,

10 - ( - 2) = 12. Como se vio en la introduccin, la distancia entre -3 y O es O - (- 3) = 3. Si

se usa un valor absoluto para definir la distancia, entonces no necesita preocuparse del orden en que se haga la resta.

Si a y b son dos nmeros cualesquiera en la recta num\ica, la distancia entre a y bes

d(a , b) = lb - al. (2)

Usando las propiedades de los valores absolutos, de acuerdo con la propiedad i ii ) J, J,

lb-al= 1( - l)(a - b)l = 1-llla - bl = labl, y as se tiene que d(a, b) = d(b , a). Por ejemplo, la distancia entre Vl y 3 es

d(Vl, 3) = 13 - V21 = 3 - V2 1.2 Valor absoluto 13

d(a , m) = d(m, b) ,---------J.--- ,---------J.---

a 111. b FIGURA 1.2 .2 Punto medio m entre a y b

- 2 J 2 5

FIGURA 1.2 .3 Punto medio en el ejemplo 2

14

porque o sea que 3- Vl > O,

o bien d(3, \12) = i\12 - 31 = - (\12- 3) = 3- V2 porque o sea que \12-3 < O. O Punto medio Supongamos que a y b representan dos nmeros distintos en la recta numrica, tales que a < b. El punto medio m del segmento de recta entre los n-meros a y b se define como el promedio de los dos extremos del intervalo [a, b]; esto es

a+ b Jn =--.

2 (3) Como se ve en la FIGURA 1.2 .2, es fcil de verificar (3) usando (2) para demostrar que d(a, m)= d(m, b).

EJEMPLO 2 Punto medio De acuerdo con (3), el punto medio del segmento de recta que une a los nmeros -2 y 5 es

Vase la FIGURA 1.2 .3 .

( - 2) + 5 2

3 2

O Ecuaciones Ya que i) de las propiedades de los valores absolutos implica que 1 - 61 = 161 = 6, se puede llegar a la conclusin que la ecuacin sencilla 1 x 1 = 6 tiene dos soluciones, x = - 6 o x = 6. En general, si a es un nmero positivo real, entonces

lx l =a si, y slo si x=a o x = -a. (4)

EJEMPLO 3 Ecuacin con valor absoluto Resolvera)l5x- 3l=8 b)l x-4 1=-3.

Solucin a) En (4), el smbolo x es un comodn, es decir, una variable que puede tomar

cualquier cantidad. Al sustituir x por 5x - 3, la ecuacin dada equivale a dos ecuaciones

5x - 3 = 8 o 5x - 3 = - 8. Resolveremos cada una. Con 5x - 3 = 8 se obtiene

5x = 11 que implica que 11

X = - . 5

Con 5x - 3 = -8 se obtiene 5x = -5 que implica que x - l.

Por consiguiente, las soluciones son lf y -l. b) Ya que el valor absoluto de un nmero real siempre es no negativo, no hay

solucin a una ecuacin como 1 x - 41 = - 3.

O Desigualdades Muchas aplicaciones importantes de las desigualdades con-tienen valores absolutos. Acabamos de ver que 1 x 1 representa la distancia, a lo largo de la recta numrica, entre el nmero x y el nmero O. Entonces, la desigualdad 1 x 1


< a, donde a > O, quiere decir que la distancia entre x y O es menor que a. Se puede ver en la FIGURA 1 .2.4al que es el conjunto de nmeros reales x tales que -a < x < a. Por otra parte, 1 x 1 > a significa que la distancia entrex y O es mayor que a. En la FIGU-RA 1 .2.4bl se ven los nmeros que satisfacen a x > a, o x < -a. Estas observaciones grficas sugieren dos propiedades adicionales del valor absoluto.

Sea a un nmero real positivo.

vi) 1 x 1 < a si, y slo si - a < x < a. vii) 1 x 1 > a si, y slo si x > a o x se sustituyen por ::::::: y 2: , respectivamente.

-EJEMPLO 4 Dos desigualdades de valor absoluto a) De acuerdo con la propiedad vi) de los valores absolutos, la desigualdad 1 x 1 < 1

equivale a la desigualdad simultnea -1 < x < l. b) De acuerdo con la propiedad vii) de los valores absolutos, la desigualdad 1 x 12: S

equivale a dos desigualdades: x 2: S o x::::::: -S. 11 EJEMPLO 5 Dos desigualdades de valor absoluto

Resolver a) l3x- 71 < 1 b) l2x- SI :::=::: O. Solucin a) Como en el ejemplo 3, el smbolo x en la desigualdad 1 x 1 < a slo es un pa-

rmetro que sirve para poner all otras cantidades. Si se sustituyex por 3x -7 y a por el nmero 1, la propiedad vi) produce la desigualdad simultnea

-1 < 3x- 7 < 1

que se resuelve en la forma acostumbrada (vase el ejemplo 2, en la seccin 1.1):

- 1 + 7 < 3x - 7 + 7 < 1 + 7 6 < 3x < 8 ( ~ )6 < 0)3x < (!)8

2 < X a son los nmeros x cuya distancia entre x y b es mayor que a.

1.2 Valor absoluto

( lxl < a 1 )

- a O a

a) La distancia entre x y O es menor que a

lxl > a ) 1 (

- a O a

b) La distancia entre x y O es mayor que a

FIGURA 1.2.4 Interpretacin grca de las propiedades vi) y vii)

o ( ) 1

2 3 FIGURA 1 .2 .5 Conjunto solucin para el ejemplo 5

lx - bl

11( 1 1 ] 1 1 [ 1 )1 -6 o 10 22

FIGURA 1.2 . 7 Conjunto solucin para el ejemplo 6

16

EJEMPLO 6 Una desigualdad de valor absoluto Resolver 14 - h 12: 7.

Solucin Si se sustituyen x y a en 1 x 1 2: a, por 4 - h y 7, respectivamente, se ve que, de acuerdo con la propiedad vii), que 1 4 - h 1 2: 7 equivale a las dos desigualdades diferentes que siguen:

4 -1x 2: 7 o 4 - 1x :5- 7. Por separado se resuelve cada una de esas desigualdades. Primero se resuelve,

4- !x 2: 7 - !x 2: 3

X :5 -6. La multiplicac in por - 2 in vierte f- la direcc ion de la des igualdad

En la notacin de intervalos, el conjunto solucin de esta desigualdad es ( - co, - 6]. Despus se resuelve

4 -1x :5 -7 -1x:5- ll

(-2)(-1)x 2: (-2)(-11) X 2: 22.

f- La multiplicacin por -2 invierte la direcc in de la des igualdad

En notacin de intervalos, el conjunto solucin es [22, co). Como los dos intervalos son ajenos, el conjunto solucin es la unin de ellos:

(- co, .-6] U [22, co). Lagrficadeesteconjunto solucin se ve en la FIGURA 1.2.7. Ntese que en la figura 1.2.4a), el nmero O es el punto medio del intervalo

solucin para 1 x 1 < a, y que en la figura 1.2.6 el nmero b es el punto medio del intervalo solucin para la desigualdad 1 x - b 1 < a. Teniendo esto presente se re-suelve el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7 Construccin de una desigualdad Encontrar una desigualdad de la forma 1 x - b 1 < a, para la cual el intervalo abierto (4, 8) sea su conjunto solucin.

4 + 8 Solucin El punto medio del intervalo (4, 8) es m = -2- = 6. La distancia

entre el punto medio m y uno de los extremos del intervalo es d(m, 8) = 18 - 61 = 2. Por consiguiente, la desigualdad que se pide es 1 x - 61 < 2.

MfM E. Las respuestas a problemas impares seleccionados JfC1ClOS comienzan en la pgina RESP-1.

En los problemas 1 a 6 escriba la cantidad dada sin los smbolos de valor absoluto. l. 17T - 41 2. 1 v's - 31 3. 18 - \1631 4. lv's -2.3 1 S. l- 61 - l-21 6. 11 -3 1 - 11011

En los problemas 7 a 12, escriba la expresin sin los smbolos de valor absoluto. 7. lhl ,sihes negativo 8. 1- hl,sihes negativo 9. lx- 6l,si x < 6 10. l2x- ll,si x 2:1

lx- Yl 11. lx- Yl - IY- xl 12. l l ,x =F Y y-x


En los problemas 13 a 16, escriba la expresin 1 x- 21 + 1 x- 5 1 sin los smbolos de valor absoluto, si x est en el intervalo dado.

13. ( -oo, 1) 14. (7, oo ) 15. (3, 4] 16. [2, 5] En los problemas 17 a 20, escriba la expresin 1 x + 1 1 - 1 x - 3 1 sin los smbolos de valor absoluto, si x est en el intervalo dado.

17. [-1,3) 18. (O, 1) 19. (1T, oo ) 20. ( -oo, - 5) En los problemas 21 a 24, determine a) la distancia entre los nmeros dados, y b) el punto medio del segmento de recta entre ellos.

. 3 3 21. 3,7 22. -100,255 23. - 2 2 24. - ~,~ En los problemas 25 a 28, m es el punto medio del segmento de recta que une a a (el extremo izquierdo) con b (el extremo derecho). Use las condiciones dadas para determinar las cantidades indicadas.

25. m = 5, d(a, m) = 3; a y b 27. a=4,d(a,m) = 1r;myb

26. m = -1, d(m, b) = 2; a y b 28. a = 10, d(m, b) = 5; m y b

En los problemas 29 a 34, resuelva la ecuacin dada.

29. l4x - 11 = 2 30. ISv- 41 = 7 31. 1 ~- h l = 1 32. 12- 16tl =o

1 X 1 1~1 = 4 33. --- 2 34. X- 1 x-2 En los problemas 35 a46, resuelva la desigualdad dada. Escriba el conjunto solucin con notacin de intervalos. Grafique el conjunto solucin. 35. 1-Sxl < 4 36. l3x 1 > 18 37. l3+x l > 7 38. lx - 41 :s 9 39. l2x-7l :s l 40. ls - !x 1 < ~ 41. lx + v'21 2: 1 42. l6x + 41 > 4

43. 1 3x-~1~ < 2 44. 12 ~ 5x l 2: 5 45. lx -SI < 0.01 46. lx - ( -2) 1 < 0.001 En los problemas 47 a 50, proceda como en el ejemplo 7 y determine una des-igualdad 1 x- b 1 < a, o 1 x - b 1 > a para la cual el intervalo dado sea su conjunto solucin.

47. ( -3, 11) 48. ( 1, 2) 49. ( -oo, 1) U (9, oo ) 50. ( -oo , - 3) \J (13, oo ) En los problemas 51 y 52 determine una desigualdad cuya solucin sea el conjunto de los nmeros reales x que satisfagan la condicin mencionada. Exprese cada con-junto con notacin de intervalos. 51. Mayor que o igual a 2 unidades desde -3. 52. Menor que ~ unidad desde 3.5.

Aplicaciones diversas 53. Comparacin de edades Las edades de Beto y Mara son A8 y AM, y difieren

cuando mucho por 3 aos. Escriba eso como desigualdad, usando smbolos de valor absoluto.

1.2 Valor abso luto 17

18

54. Supervivencia Su calificacin en el primer examen fue de 72%. La califica-cin intermedia es el promedio de la del primer examen con la del examen de medio curso. Si el rango para obtener una Bes de 80 a 89%, qu calificaciones puede usted obtener en el examen de medio curso para que su calificacin a medio semestre sea B?

55. Peso del caf El peso w del caf en latas que llena una empresa procesadora de alimentos satisface la expresin

lw- 121 ~ 1 O.OS ,

donde w se mide en onzas. Determine el intervalo dentro del cual est w. 56. Peso de las latas La bscula de una tienda est diseada para que su error

mximo sea de 0.2S onza. Si en la bscula se ponen dos latas idnticas de sopa, y su peso combinado es de 33.1S oz, cules son los pesos mximo y mnimo que puede tener una de las latas?

Para discusin 57. Describa cmo resolvera usted las siguientes desigualdades.

a) lx+ S1 ~3 b) IS -xl= ll -3x l x-2

Ejecute sus ideas. 58. La distancia entre el nmero x y S es 1 x - S 1.

a) Con palabras, describa la interpretacin grfica de las desigualdades o < 1 X - SI y o < 1 X - SI < 3.

b) Resuelva cada desigualdad del inciso a) y escriba cada conjunto solucin usando notacin de intervalos .

59. a) Interprete a 1 x - 31 como la distancia entre los nmeros x y 3. Trace, sobre la recta numrica, el conjunto de los nmeros reales que satisfacen 2 < 1 x -31 < S.

b) Ahora resuelva la desigualdad simultnea 2 < 1 x - 3 1 < S resolviendo primero 1 x- 31 < S, y despus 2 < 1 x- 31. Tome la interseccin de los dos conjuntos solucin y comprela con su esquema del inciso a).

60. La siguiente afirmacin podr encontrarla al comenzar un curso de clculo. Exprese la siguiente afirmacin en palabras, Jo mejor que pueda.

Para toda E > O, existe una 8 > O tal que 1 y - L 1 < E cuando O < 1 x -a l < 8. No use Jos smbolos > , < ni 11 . Los smbolos EY 8son las letras griegas psilon y delta, y representan nmeros reales.

El sistema de coordenadas rectangulares D Introduccin Vimos en la seccin 1.1 que cada nmero real se puede asociar con exactamente un punto de la recta numrica, o recta de coordenadas. Ahora exa-minaremos una correspondencia entre los puntos de un plano y pares ordenados de nmeros reales.

D El plano coordenado Un sistema coordenado rectangular se forma con dos rectas numricas perpendiculares que se cruzan en el punto correspondiente al n-mero O en cada lnea. El punto de interseccin se llama origen y se representa por el


smbolo O. Las rectas numricas horizontal y vertical se llaman ejex y eje y, respecti-vamente. Esos dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que se numeran como se indica en la FIGURA 1 .3 .1 a). Como se puede ver en la FIGURA 1 .3 .1 bJ , las escalas en los ejes x y y no necesitan ser iguales. En este texto si no se especifican las marcas de intervalo en los ejes coordenados, como en la figura 1.3.la), se puede suponer que una marca corresponde a una unidad. Un plano que contiene un sistema coordenado rectangular se llama plano xy , o plano coordenado.

y y

Il 4 Segundo Primer cuadrante cuadrante 2

/ Origen X X

o - lOO 100

lTT IV - 2

Tercer Cuarto cuadrante cuadrante

-4

a) Cuatro cuadrantes b) Escalas diferentes en los ejes x y y FIGURA 1.3.1 Plano coordenado

Al sistema de coordenadas rectangulares y al plano coordenado se les llama tambin sistema de coordenadas cartesianas y plano cartesiano, en honor de Ren Descartes ( 1596-1650), famoso matemtico y filsofo francs. D Coordenadas de un punto Sea un punto en el plano coordenado, represen-tado por P. Se asocia un par ordenado de nmeros reales con P trazando una recta vertical desde P al eje x, y una recta horizontal desde P al eje y. Si la recta vertical cruza al eje x en el nmero a, y la recta horizontal cruza al eje y en el nmero b, se asocia el par ordenado de nmeros reales (a, b) con el punto P. Al revs, a cada par ordenado (a, b) de nmeros reales, corresponde un punto P en el plano. Este punto est en la interseccin de la lnea vertical que pasa por a en el eje x, y la lnea ho-rizontal que pasa por b en el eje y. En adelante, a un par ordenado se le llamar un punto y se representar por P(a, b) o bien por (a, b) .1 El nmero a es la abscisa o coordenadax del punto, y el nmero bes la ordenada, o coordenaday del punto, y se dice que P tiene las coordenadas (a, b ). Por ejemplo, las coordenadas del origen son (0, 0). Vase la FIGURA 1 .3 .2 .

En la FIGURA 1 .3 .3 se indican los signos algebraicos de la coordenada x o abscisa y la coordenada y u ordenada de cualquier punto (x, y) en cada uno de los cuatro cuadrantes . Se considera que los puntos en cualquiera de Io's dos ejes no estn en cuadrante alguno. Como un punto en el eje x tiene la forma (x, 0), una ecuacin que describe al eje x es y = O. De igual modo, un punto en el eje y tiene la forma (0, y), por lo que una ecuacin del eje y es x = O. Cuando se ubica un punto en el plano coordenado, que corresponde a un par ordenado de nmeros, y se representa usando un punto lleno, se dice que se grafica el punto.

EJEMPLO 1 Graficacin de puntos ---------------------------

Graficar los puntos A(l, 2), B( -4, 3), C( -~, -2), D(O, 4) y E(3.5, 0). Especificar el cuadrante en el que est cada uno .

1 Es la misma notacin que se usa para representar un intervalo abierto. Debe quedar c laro, por e l contexto de la descripcin , si se est cons iderando un punto (a, b) o un interva lo abierto (a, b).

1.3 El sistema de coordenadas rectangulares

y coordenada y

b .(_ __________ _, P(a, b)

--~--------~--~X / a coordenada x

FIGURA 1.3.2 Punto con coordenadas (a, b)

y

Il

xO y> O y>O

--------+--------x

111 IV

x< O x> O y< O y< O

FIGURA 1.3.3 Signos algebraicos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes

19

r

\

y

B(-4, 3)

D (O, 4)

e A( J, 2)

Solucin Los cinco puntos se graficaron en el plano coordenado de la FIGURA 1 .3.4 . El punto A est en el primer cuadrante (cuadrante I) , B en el segundo cuadrante (cuadrante II) y C est en el tercer cuadrante (cuadrante III). Los puntos D y E estn en los ejes x y y, respectivamente, y no estn en cuadrante alguno.

EJEMPLO 2 Graficacin de puntos --~-4-+-+-+~-r~~~~x ==============----------------~----------------------------E(3.5 , 0)

cc-i, - 2)

FIGURA 1 .3.4 Grfica de los cinco puntos del ejemplo 1

y

o ::; x:o;2 y y = l

Trazar el conjunto de puntos (x, y) en el plano xy cuyas coordenadas satisfacen O::::; x ::::; 2 y tambin que 1 y 1 = l.

Solucin Primero, recurdese que la ecuacin de valor absoluto 1 y 1 = 1 impli-ca que y = - 1 o y = l . Entonces, los puntos que satisfacen las condiciones dadas son aquellos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen al mismo tiempo las siguientes condiciones: cada abscisa es un nmero en el intervalo cerrado [0, 2] y cada ordena-da es ya sea y = - 1 o y = l. Por ejemplo, algunos de los puntos que satisfacen las dos condiciones son (1, 1), d, - 1), (2, - 1). En la FIGURA 1.3.5 se muestra en forma grfica que el conjunto de todos los puntos que satisfacen las dos condiciones son aquellos que estn en los dos segmentos de recta paralelos.

EJEMPLO 3 Regiones definidas por desigualdades Trazar el conjunto de puntos (x, y) en el plano xy cuyas coordenadas satisfacen cada -+---+---1---+--t--+~x una de las condiciones siguientes: a) xy < O b) 1 y 1 :::::: 2.

Q:o; x :o; 2 y y = - 1

FIGURA 1 .3 .5 Conjunto de puntos para el ejemplo 2

20

Solucin a) De acuerdo con ii) de las propiedades de signos de productos, en la seccin

1.1 se ve que un producto de dos nmeros reales x y y es negativo cuando uno de ellos es positivo y el otro es negativo. As, xy < O cuando x > O y y < O, o tambin cuando x < O y y > O. En la figura 1.3.3 se ve que xy < O para todos los puntos (x, y) del segundo y el cuarto cuadrantes. Por consiguiente, se puede representar el conjunto de los puntos para los que xy < O por las regiones sombreadas de la FIGURA 1.3.6. Los ejes coordenados se muestran como lneas interrumpidas, para indicar que los puntos en esos ejes no se incluyen en el conjunto solucin.

b) En la seccin 1.2 vimos que 1 y 1 :::::: 2 quiere decir que y :::::: 2, o bien que y ::::; -2. Como x no tiene restriccin alguna, puede ser cualquier nmero real, por lo que los puntos (x, y) para los cuales

y :::::: 2 y - oo < x < oo o bien y ::::; -2 y - oo < x < oo

)' 1 1 1 1

xy< O 1 1 1 1 --------~-------- -~X 1

1 1 1 xy< O 1 1 1 1

FIGURA 1.3.6 Regin del plano xy que satisface la condicin a) del ejemplo 3

y

y~2y --=

se pueden representar por las dos regiones sombreadas de la FIGURA 1 .3 .7 . Se usan lneas llenas para representar las cotas y = -2 y y = 2, de la regin, para indicar que los puntos en esos lmites estn incluidos en el conjunto sclucin.

y

O Frmula de la distancia Supongamos que P 1(x 1, y1) y Pix2, y2) son dos puntos distintos en el plano xy , que no estn en una recta vertical ni en una recta ho-rizontal. En consecuencia, P 1, P 2 y P 3(x1, Y2) son vrtices de un tringulo rectngulo, como se ve en la FIGURA 1.3.8 . La longitud del lado P3P2 es 1 x2 - x1 1 y la longitud del lado P 1P 3 es 1 y2 - y 1 1. Si representamos con d la longitud P 1P 2, entonces

---r~----------~~x

L rx2 -x1r- l (1)

de acuerdo con el teorema de Pitgoras. Ya que el cuadrado de todo nmero real es igual al cuadrado de su valor absoluto, se pueden reemplazar los signos de valor absoluto en la ecuacin (1) por parntesis. Entonces, la frmula de la distancia se deriva directamente de (1).

La distancia entre dos puntos P 1 (x1, y1) y Pix2, Y2) cualesquiera en el plano xy se determina con

(2)

FIGURA 1.3.8 Distancia entre los puntos P1 y P2

y

Aunque esta ecuacin fue deducida para dos puntos que no estn en una recta 8c3, ?) horizontal o vertical, la ecuacin (2) es vlida tambin en esos casos. Tambin, co-mo (x2 - x 1) 2 = (x 1 - x2) 2, no importa qu punto se use primero en la frmula de la distancia; esto es, d(P 1, P2) = d(P2, P 1).

EJEMPLO 4 Distancia entre dos puntos Calcular la distancia entre los puntos A(8, - 5) y B(3, 7).

Solucin De acuerdo con (2), si A y B son P 1 y P2, respectivamente:

d(A, B) = V(3 - 8)2 + (7- ( -5))2 = v( -5)2 + (12) 2 = Vi69 = 13. A(8, - 5)

La distanciad se ilustra en la FIGURA 1 .3 .9 .

EJEMPLO 5 Tres puntos forman un tringulo FIGURA 1 .3 .9 Distancia entre

dos puntos en el ejemplo 4

Determinar si los puntos ? 1(7,1) , P2( -4, -1) y ? 3(4, 5) son los vrtices de un trin-gulo rectngulo.

Solucin Segn la geometra plana, un tringulo es rectngulo si, y slo si la suma de los cuadrados de las longitudes de dos de sus lados es igual al cuadrado de la longitud del lado restante. Ahora bien, de acuerdo con la frmula de la distancia, ecuacin (2):

d ( P,' p 2) = V ( - 4 - 7) 2 + ( - 1 - 1 ) 2 = V121 + 4 = vTIS,

d ( P 2, P 3) = v ( 4 - ( -4) ) 2 + ( 5 - ( - 1) ) 2 = V64 + 36 = VIOO = 10,

d(P3, P,) = V(7 - 4) 2 + (1 - 5)2 = V9 + 16 = V25 = 5.

1.3 El sistema de coordenadas rectangulares 21

1

y Ya que

P1(7 , 1) se llega a la conclusin de que P 1, P 2 y P 3 son los vrtices de un tringulo rectngulo,

x y el ngulo recto est en P3 . Vase la FIGURA 1 .3.10. Pk4, - l )

FIGURA 1.3.1 O Tringulo del ejemplo 5

D Frmula del punto medio En la seccin 1.2 se explic que el punto medio de un segmento de recta entre dos nmeros a y b en la recta numrica es su prome-dio, (a + b )12. En el plano xy, cada coordenada del punto medio M de un segmento de recta que une a dos puntos P 1 (x 1, y1) y P ix2, Y2) que se ven en la FIGURA 1 . 3 .11 es

D P2Cx2, y2) el promedio de las coordenadas correspondientes a los extremos de los intervalos ~~ (X,X2]y(yt> Y2]. y

Para demostrarlo, se ve en la figura 1.3.11 que los tringulos P1 CM y MDP2 son M(x, y) congruentes, porque los ngulos correspondientes son iguales y d(P 1, M) = d(M,

-+-P__(x_J_Y_) _____ __.,x P2). Por consiguiente, d(P 1, C) = d(M, D), o y- y1 = Y2- y. Al despejar y de la lti-

FIGURA 1 .3 .11 M es el punto medio del segmento de recta que une a P1 con P2

y

A(-2, 5) Punto medio

8(4, J) +-+-+-+-~~~-4~X

FIGURA 1 .3 .12 Punto medio del segmento de recta del ejemplo 6

22

ma ecuacin se obtiene y = YJ + Y2 . De igual modo, d( C, M) = d(D, P 2), y entonces 2 x 1 + x 2

x - x 1 = x2 - x; por lo que x = 2 . Este resultado se resume como sigue.

Las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une a los puntos P1(x 1, y1) y P2(x2, Y2) se determina con

EJEMPLO 6

( x1 + Xz Y1 + Y2 ).

2 ' 2

Punto medio de un segmento de recta

(3)

Calcular las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une A(- 2, 5) con B(4, 1).

Solucin De acuerdo con la frmula del punto medio, ecuacin (3), las coor-denadas del punto medio son

( - 2+4 ~) 2 , 2 o sea ( 1, 3 ) .

Este punto se indica, en color, en la FIGURA 1 .3 .12.

Ejercicios Las respuestas a problemas impares seleccionados comienzan en la pgina RESP-2. En los problemas 1 a 4 grafique los puntos.

2. (1,4), (-3,0), (-4,2), (-1, -1)

l. (2, 3), (4, 5), (0, 2), ( -1, -3) 3. ( -!, -2), (0, 0), ( - 1, j), (3, 3) 4. (0, 0.8) , ( -2, 0), ( 1.2, - 1.2) , ( -2, 2)


En los problemas 5 a 16 determine el cuadrante en el que est el punto si (a , b) est en el cuadrante l.

S. (-a, b) 9. (-b,a)

13. ( - a, -a)

6. (a, - b) 10. ( - b, - a) 14. (-a, a)

7. (-a, -b) 11. (a, a) 15. (b, - a)

8. (b,a) 12. (b, -b) 16. ( -b, b)

17. Grafique los puntos de los problemas 5 a 16, si (a, b) es el punto que se ve en la FIGURA 1 .3 .13.

18. Indique las coordenadas de los puntos que se ven en la FIGURA 1 . 3 .14. 19. Los puntos ( -2, 0), ( -2, 6) y (3, O) son los vrtices de un rectngulo. Deter-

mine el cuarto vrtice. 20. Describa el conjunto de los puntos (x, x) en el plano coordenado. Tambin el

conjunto de los puntos (x, - x).

En los problemas 21 a 26, grafique el conjunto de puntos (x, y) en el plano xy, cuyas coordenadas satisfagan las condiciones indicadas.

21. xy =O 23. lxl :5 1 y IYI :5 2 25. lxl > 4

22. xy > O 24. X :5 2 y y 2:: - 1 26. IYI :5 1

En los problemas 27 a 32, calcule la distancia entre los puntos. 27. A(l,2),B(-3,4) 29. A(2,4),B(-4, - 4) 31. A( -~ , 1), B(~ , -2)

28. A (- 1, 3), B ( 5, O) 30. A(-12, -3),B(-5, - 7) 32. A ( - i' 4)' B ( - L - 1 )

En los problemas 33 a 36, determine si los puntos A, By C son vrtices de un trin-gulo rectngulo. 33. A(8, 1), B( -3, - 1), C( 10, 5) 35. A(2, 8), B(O, -3), C(6, 5)

34. A(-2, -l),B(8,2),C(l, -11) 36. A(4, 0), B(l, 1) , C(2, 3)

37. Determine si los puntos A(O, 0), B(3 , 4) y C(7, 7) son vrtices de un tringulo issceles.

38. Determine todos los puntos del eje y que estn a 5 unidades del punto (4, 4). 39. Se tiene el segmento de recta que une A( -1 , 2) con B(3, 4 ).

a) Encuentre una ecuacin que exprese el hecho que un punto P(x, y) sea equidistante de A y de B.

b) Defina geomtricamente el conjunto de puntos que describe la ecuacin del inciso a).

40. Use la frmula de la distancia para determinar si los puntos A( - 1,-5), B(2, 4) y C( 4, 1 O) estn en una recta.

41. Determine todos los puntos cuya abscisa sea 6, tales que la distancia de cada punto a ( -1, 2) sea V85.

42. Cul de los puntos, (1/\12, 1/\12) o (0.25 , 0.97), est ms cerca del ori-gen?

En los problemas 43 a 48, determine el punto medio del segmento de recta que une los puntos A y B.

43. A(4, 1),B(-2,4) 45. A( - l,O),B(-8,5) 47. A(2a, 3b), B(4a, -6b)

44. A(~ . 1), BG, -3) 46. A(4, -~),B(-~ ,l) 48. A(x,x ),B( - x,x + 2)

1.3 El sistema de coordenadas rectangulares

y

(a , b) b

--+--------r--~x a

FIGURA 1 .3 .13 Punto (a, b) en el problema 17

A

B

D

y

E

F

e

FIGURA 1.3.14 Puntos del problema 18

e

23

24

111

En los problemas 49 a 52, determine el punto B, si M es el punto medio del segmento de recta que une los puntos A y B.

49. A(-2, l),M(t o) 51. A(5,8),M( - 1,-1)

50. A(4,1),M(7, -~ ) 52. A(-10,2),M(5, 1)

53. Calcule la distancia del punto medio del segmento de recta que une a A( -1, 3) con B(3, 5), al punto medio del segmento de recta que une a C(4, 6) con D( -2, -10).

54. Determine todos los puntos del eje x que estn a 3 unidades del punto medio del segmento de recta que une a (5, 2) con (- 5, - 6).

55. El eje x es la perpendicular que pasa por el punto medio (mediatriz) del seg-mento de recta que pasa por A(2, 5) y B(x, y). Calcule x y y.

56. Para el segmento de recta que une los puntos A(O, O) y B(6, 0), determine un punto C(x, y) en el primer cuadrante, tal que A, By C sean vrtices de un trin-gulo equiltero.

57. Determine los puntos P1(xl> y1), P2(x2, Y2) y P3(x3, y3) en el segmento de recta que uneA(3, 6) con B(S, 8), y que dividan al segmento de recta en cuatro partes iguales.

Aplicaciones diversas 58. Camino a Chicago Las ciudades de Kansas City y Chicago no estn unidas

directamente por una carretera interestatal, pero cada una de ellas est conec-tada con las ciudades de St. Louis y Des Moines. Vase la FIGURA 1.3.15. Des Moines est a unas 40 millas al este, y 180 millas al norte de Kansas City. St. Louis est ms o menos a 230 millas al este y 40 millas al sur de Kansas City, y Chicago est aproximadamente a 360 millas al este, y a 200 millas al norte de Kansas City. Suponga que esta parte del Medio Oeste es un plano, y que las carreteras son rectas. Qu ruta de Kansas City a Chicago es ms corta? La que pasa por St. Louis o la que pasa por Des Moines?

y

FIGURA 1.3.15 Mapa para el problema 58

Para discusin 59. Los puntos A(l, 0), B(S, 0), C( 4, 6) y D(8, 6) son los vrtices de un paralelogra-

mo. Indique cmo se puede demostrar que las diagonales del paralelogramo se bisecan entre s. Ponga sus ideas a trabajar.

60. Los puntos A(O, 0) , B(a, 0) y C(a, b) son los vrtices de un tringulo rectngulo. Describa cmo se puede demostrar que el punto medio de la hipotenusa equi-dista de los vrtices. Ponga sus ideas a trabajar.


&, Crculos y grficas O Introduccin Una ecuacin con dos variables, que pueden ser x y y, slo es una afirmacin o declaracin matemtica que asevera que dos cantidades que contienen esas variables son iguales. En los campos de las ciencias fsicas, ingenie-ra y comercio, las ecuaciones son un medio de comunicacin. Por ejemplo, si un fsico desea decir a otro la distancia que recorre una piedra dejada caer desde una gran altura durante cierto tiempo t, escribirs= 16?. Un matemtico vers= 16? y de inmediato lo considerar como cierto tipo de ecuacin. La clasificacin para una ecuacin conlleva informacin acerca de prpiedades que comparten todas las ecuaciones de ese tipo. El resto de este libro se dedica a examinar diversas clases de ecuaciones que contienen dos variables, y a estudiar sus propiedades. A continua-cin presentamos una muestra de las ecuaciones que ver el lector:

x = 1, x2 + y2 = 1' y= x 2, y = Vx, y= Sx 1, y = x 3 - 3x, Y = 2x, y= lnx, (1)

y2 =X 1' x 2 /

1, h 2- y2 = l. y = senx , - - + - = 4 9

Una solucin de una ecuacin con dos variables x y y es un par ordenado de nmeros (a, b) que produce una afirmacin cierta cuando x = a y y = b se sustituyen en la ecuacin. Por ejemplo, ( -2, 4) es una solucin de la ecuacin y= x2, porque

)' = 4 X = -2 J, J,

4 = ( -2) 2 es una afirmacin cierta. Tambin se dice que las coordenadas ( - 2, 4) satisfacen la ecuacin. El conjunto de todas las soluciones de una ecuacin se llama conjunto solucin. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucin. Por ejemplo, veremos (ejemplo 4 de esta seccin) que la ecuacin x2 + / + 10x- 2y + 17 =O es equivalente a (x + 5)2 + (y- 1)2 = 32 .

En la lista de las ecuaciones (1) el lector podr objetar que la primera ecuacin, x = 1, no contiene dos variables . Es asunto de interpretacin! Como no hay una de-pendencia explcita de y en la ecuacin, se puede interpretar que x = 1 es el conjunto

{ (x , y) 1 x = 1, donde y es cualquier nmero real}. Las soluciones de x = 1 son los pares ordenados ( 1, y) donde se tiene la libertad de escoger a y en forma arbitraria, mientras sea un nmero real. Por ejemplo, (1, O) y (1 , 3) son soluciones de la ecuacin x = l. La grfica de ,una ecuacin es la repre-sentacin visual, en el plano coordenado, del conjunto de puntos cuyas coordenadas (a, b) satisfacen la ecuacin. La grfica de x = 1 es la recta vertical que muestra la FIGURA 1.4.1 .

O Circulas Se puede usar la frmula de la distancia que presentamos en la sec-cin 1.3 para definir un conjunto de puntos en el plano coordenado. Uno de esos muy importantes conjuntos se define como sigue.

Un crculo es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano coordenado que estn a determinada distancia fijar, llamada radio de un punto fijo dado e, llamado centro.

1.4 Crculos y grficas

y

( 1' 3)

(1 , 0) ---+--~-+--r-~ x

x= 1

FIGURA 1.4.1 Grfica de la ecuacin x = 1

25

y

FIGURA 1.4.2 Crculo con radio r y centro en (h, k)

y (0, r)

(0, - r ) FIGURA 1.4.3 Crculo con radio r y centro en (0, O)

y

FIGURA 1.4.4 Crculo del ejemplo 3

26

Si las coordenadas del centro son C(h, k) , entonces, de acuerdo con la anterior definicin, un punto P(x, y) est en un crculo de radio r si, y slo si

d(P, C) = r o sea V(x - h)2 + (y - k) 2 = r . Ya que (x - h)2 + (y - k)2 siempre es no negativo, se obtiene una ecuacin equiva-lente si los dos lados se elevan al cuadrado. Llegamos a la conclusin que un crculo de radio r y centro C(h, k) tiene la ecuacin

(2) En la FIGURA 1.4.2 hemos trazado una grfica tpica de una ecuacin con la forma de la ecuacin (2) . La ecuacin (2) se llama forma normal, estndar o cannica de la ecuacin de un crculo. Se ve que los smbolos h y k en (2) representan nmeros reales, y como tales pueden ser positivos, cero o negativos. Cuando h = O y k = O, se ve que la forma normal de la ecuacin de un crculo con centro en el origen es

(3) Vase la FIGURA 1.4.3 . Cuando r = 1 se dice que la (2) es una ecuacin de un crculo unitario. Por ejemplo, x2 + i = 1 es una ecuacin de un crculo unitario con centro en el origen.

!EJEMPLO 1 Centro y radio Determinar el centro y el radio del crculo cuya ecuacin es

(x - 8)2 + (y + 2)2 = 49. (4) Solucin Para obtener la forma normal de la ecuacin, ( 4) se escribe como

sigue:

En esta ltima forma se identifican h = 8, k = - 2 y r = 7. As, el crculo tiene su centro en (8, - 2) y su radio es 7.

!EJEMPLO 2 Ecuacin de un circulo Deducir la ecuacin del crculo cuyo centro es C( - 5, 4), y cuyo radio es V2.

Solucin Al sustituir h = -5, k= 4 y r = V2 en la ecuacin (2), se obtiene (x- (- 5))2 +(y - 4) 2 = ('Vl)2 oseaque (x + 5)2 +(y - 4)2 = 2 .

EJEMPLO 3 Ecuacin de un circulo Deducir la ecuacin del crculo cuyo centro es C(4, 3), y que pasa por P(l , 4).

Solucin Con h = 4 y k = 3, y de acuerdo con la ecuacin (2),

(5) Como el punto P(l, 4) est en el crculo, como se ve en la FIGURA 1.4.4, sus coorde-nadas deben satisfacer la ecuacin (5), esto es,

( 1 - 4 )2 + ( 4 - 3 r = r2 es decir Entonces, la ecuacin que se pide en forma normal es

(x - 4)2 + (y - 3) 2 = 10.


O Completar el cuadrado Si los trminos (x - hi y (y - ki se desarrollan y se agrupan los trminos semejantes, una ecuacin de un crculo en forma normal se puede reescribir como

x2 + y 2 + ax + by + e = O. (6)

Naturalmente, en esta forma no se aprecian el centro y el radio. Para invertir el proceso, en otras palabras, para pasar de (6) a la forma normal (2), se debe com-pletar el cuadrado en x y en y. Recurdese que en lgebra, al sumar (a12i a una expresin como x2 + ax se obtiene x2 + ax + (a/2)2 , que es el cuadrado perfecto (x + al2f Al rearreglar los trminos en (6),

) + (/+by ) =-e, y despus sumar (al2i y (bl2i a los dos lados de la ltima ecuacin,

y se obtiene la forma normal de la ecuacin de un crculo:

( a)2 ( b)2 1 x + 2 + y + 2 = (a2 + b2 - 4e). El lector no debe memorizar esta ltima ecuacin. Le recomendamos mucho que siga el proceso de completar el cuadrado cada vez que se le presente.

EJEMPLO 4 Completar el cuadrado Determine el centro y el radio del crculo cuya ecuacin es

x 2 + / + 1 Ox - 2 y + 17 = O. (7) Solucin Para determinar el centro y el radio, se debe reescribir la ecuacin (7)

en la forma normal (2). Primero, se reordenan los trminos,

(x 2 + !Ox ) + (/- 2y ) = - 17. A continuacin se completa el cuadrado en x y y sumando, respectivamente, ( 1 012i dentro del primer parntesis, y ( - 212i en el segundo. Se debe hacer con cuidado, porque esos nmeros se deben sumar en ambos lados de la ecuacin:

[x 2 + LOx + (-h )2 ] + [/- 2y + (-f)2] = -17 + (-h) 2 + (-;2 )2 (x 2 + lOx + 25) + (y 2 - 2y + 1) = 9

(x + 5) 2 + (y - 1 f = 32 De acuerdo con la ltima ecuacin, se ve que el crculo est centrado en (- 5, 1) y tiene radio 3. Vase la FIGURA 1.4.5 . R

Es posible que una expresin para la que se debe completar el cuadrado tenga un primer coeficiente distinto de l. Por ejemplo,

Nota: J

3x 2 + 3/ - 18x + 6y + 2 = O

es una ecuacin de un crculo. Como en el ejemplo 4, se comienza reordenando la ecuacin:

(3x 2 - 18x ) + (3/ + 6y ) = -2. 1.4 Crculos y grficas

28

Sin emb:rgo, ahora se debe dar un paso adicional antes de tratar de completar el cuadrado; esto es, se deben dividir ambos lados de la ecuacin entre 3, para que los coeficientes de x2 y l sean 1:

) + (/ + 2y ) = - ~ . En este momento ya se pueden sumar los nmeros adecuados en cada conjunto de parntesis y tambin al lado derecho de la igualdad. El lector debe comprobar que la forma normal que resulta es (x - 3 )2 + (y + 1 )2 = ~ . O Semidrculos Si se despeja y de (3), el resulta&es l = ? - x2, o sea y = V r2 - x 2 . Esta ltima expresin equivale a dos ecuaciones, y == Vr2 - x 2, y y = - Vr2 - x 2 . Deigualmanera,sisedespejaxde(3), seobtiene x = w-=7 y x = -w-=7.

Por convencin, el smbolo V representa una cantidad no negativa; entonces, los valores de y definidos por una ecuacin como y = V r2 - x 2 son no negativos. Las grficas de las cuatro ecuaciones indicadas en color son, a su vez, la mitad su-perior, mitad inferior, mitad derecha y mitad izquierda del crculo de la figura 1.4.3. Cada grfica de la FIGURA 1.4.6 se llama semicrculo.

y (0, r)

(-r; 0) (r, 0) ____ ._ ____ -r----~~~x

y= ~r2 - x2

a) Mitad superior

y (0, r)

x=~r2-y2

(0, - r )

e) Mitad derecha FIGURA 1.4.6 Semicrculos

(r, O)

y

y= - ~r2 - x2 ~~~-----+------~--~X (- r , 0)

(- r , O)

(0, - r)

b) Mitad inferior

y (0, r)

(r, O)

x = - ~r2- y2

(0, - r)

d) Mitad izquierda

Un ltimo punto acerca de los crculos: a veces se encuentran problemas en los que se debe trazar el conjunto de puntos, en el plano xy, cuyas coordenadas satis-fagan desigualdades como x2 + l < ?,o x2 + /2.: ?. La ecuacin x2 + l = ? describe al conjunto de puntos (x , y) cuya distancia al origen (0, O) es exactamente r. Por consiguiente, la desigualdad x2 + l < ? describe al conjunto de puntos (x, y) cuya distancia al origen es menor que r. En otras palabras, los puntos (x, y) cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad x2 + / < ? estn en el interior del crculo. En forma parecida, los puntos (x, y) cuyas coordenadas satisfacen x2 + / 2.: ? estn ya sea en el crculo, o en el exterior de l.


O Grficas Es difcil de leer un peridico, o un texto cientfico o comercial, na-vegar por Internet o hasta ver las noticias en TV sin ver representaciones grficas de datos. Hasta parecer imposible ir ms all de la primera pgina de un texto de matemticas sin ver algn tipo de grfica. Hay tantas y diversas cantidades relacio-nadas por medio de ecuaciones, y tantas preguntas acerca del comportamiento de las cantidades relacionadas por la ecuacin que se pueden contestar mediante una grfica, que la destreza de graficar ecuaciones con rapidez y exactitud, como la des-treza para manejar el lgebra con rapidez y exactitud, es muy importante en la lista de conocimientos esenciales para el xito en un curso de clculo. En el resto de esta seccin hablaremos acerca de grficas en general , y en forma ms especfica acerca de dos aspectos importantes de grficas de ecuaciones.

O Intersecciones Puede ser til ubicar los puntos en los que la grfica de una ecuacin cruza a los ejes coordenados, cuando se traza a mano una grfica. Las intersecciones en el eje x de la grfica de una ecuacin son los puntos en los que la grfica cruza al eje x. Ya que todo punto del eje x tiene la ordenada (coordenada y) O, las abscisas (coordenadas x) de esos puntos, si las hay, se pueden determinar a partir. de la ecuacin dada, haciendo que y = O y despejando x. A su vez, las intersecciones en el eje y de la grfica de una ecuacin son los puntos en los que su grfica cruza al eje y . Las ordenadas de esos puntos se pueden determinar igualando x = O en la ecuacin, y despejando a y . Vase la FIGURA 1.4.7 .

y y

--+-------+- X

a) Cinco intersecciones a los ejes

b) Dos intersecciones e) La grfica no tiene al eje y intersecciones con los ejes

FIGURA 1.4. 7 Intersecciones de una grfica con los ejes coordenados

EJEMPLO 5 Intersecciones Determine las intersecciones de las grficas de las ecuaciones con los ejes coorde-nados a) x2 - i = 9 b) y= 2x2 + Sx- 12.

Solucin a) Para determinar las intersecciones al eje x se elige y = O y se despeja x de

la ecuacin resultante, x2 = 9:

x2 - 9 =O, o sea (x + 3)(x - 3) = O y se obtiene x = - 3 y x = 3. Las intersecciones al eje x de la grfica son los puntos (- 3, O) y (3 , 0). Para calcular las intersecciones al eje y se hace que x =O y se resuelve -i = 9, o i = -9. Como no hay nmeros reales cuyo cuadrado sea negativo, la conclusin es que la grfica de la ecuacin no cruza al eje y.

b) Si y = O, se obtiene 2x2 + Sx- 12 = O. Es una ecuacin cuadrtica, y se puede resolver factorizando o mediante la solucin general de una frmula cuadrtica. Con factorizacin se obtiene

(x + 4)(2x- 3) = O

1.4 Crculos y grficas

11

29

y Y = x2

por lo que x = - 4 y x = ~. Las intersecciones al eje x de la grfica son los puntos ( -4, O) y (~ , 0). Ahora, si se hace que x = O en la ecuacin y = 2x2 + 5x - 12, de inmediato se obtiene y = - 12. La interseccin al eje y de la grfica es el punto (0, -12).

EJEMPLO 6 Regreso al ejemplo 4 Regresemos al crculo del ejemplo 4, y determinemos las coordenadas al origen a partir de la ecuacin (7). Al hacer que y = O en x2 + l + 1 Ox- 2y + 17 = O, y usar la frmula cuadrtica para resolver x2 + 10x + 17 = O, se ve que las interseciones al eje x de este crculo son (-5 -2V2, O) y (-5 + 2Yl, 0). Si se hace que x = O, con la frmula cuadrtica se ve que las races de la ecuacin l - 2y + 17 = O son nmeros complejos. Como se ve en la figura 1.4.5, el crculo no cruza al eje y. O Simetria Una grfica tambin puede tener simetra. El lector ya sabr que la grfica de la ecuacin y = x2 se llama parbola. La FIGURA 1.4.8 muestra que la grfica de y = x2 es simtrica con respecto al eje y, porque la parte de la grfica que est en el segundo cuadrante es la imagen especular (de espejo) o la reflexin respecto al eje y de esa parte de la grfica en el primer cuadrante. En general, una grfica es simtrica con respecto al eje y si siempre que (x, y) es un punto de la grfica, ( - x, y) tambin es un punto de la grfica. Ntese, en la figura 1.4.8, que los puntos (1, 1) y (2, 4) estn en la grfica. Como la grfica tiene simetra respecto al eje y, los puntos ( -1, 1) y ( - 2, 4) deben estar tambin en la grfica. Se dice que una grfica es simtrica -+-t---+-~"--t--+--+----+- x con respecto al eje x si siempre. que (x, y) es un punto de la grfica, (x, -y) tambin FIGURA 1.4.8 Grfica con simetra respecto al eje y

30

es un punto de la grfica. Por ltimo, una grfica es simtrica respecto al origen si cuando (x, y) est en la grfica, ( - x, -y) tambin es un punto de la grfica. La FIGURA 1.4.9 ilustra estos tres tipos de simetra.

y

a) Simetra con respecto b) Simetra con respecto al eje y al eje x

FIGURA 1.4.9 Simetras en una grfica

y

'~ --------T-------~ X (-4 ' e) Simetra con respecto

al origen

Observe que la grfica del crculo en la figura 1.4.3 tiene las tres simetras an-teriores.

En la prctica se desea saber si una grfica tiene alguna simetra, antes de tra-zarla. Eso se puede saber aplicando las siguientes pruebas a la ecuacin que define la grfica.

La grfica de una ecuacin es simtrica con respecto a:

i) el eje y si al sustituir x por - x se obtiene una ecuacin equivalente; ii) el ejex si al sustituir y por -y se obtiene una ecuacin equivalente;

iii) el origen si al sustituir x y y por - x y -y se obtiene una ecuacin equivalente.


La ventaja de usar simetras al graficar debera de ser manifiesta. Por ejemplo, si la grfica de una ecuacin es simtrica con respecto al eje x, slo se necesita entonces trazar la grfica para y ;:::: O, porque los puntos de la grfica para y < O se obtienen con imgenes especulares, respecto al eje x, de los puntos en el primero y segundo cuadrantes.

EJEMPLO 7 Prueba de simetria Reemplazandox por-xen la ecuacin y= x2, y usando ( - xi = x2, se ve que

y= (- xi es equivalente a Esto demuestra lo que se aprecia ya en la figura 1.4.8, que la grfica de y = x2 es simtrica con respecto al eje y.

EJEMPLO 8 Intersecciones y simetria Determinar las intersecciones con los ejes y la simetra para la grfica de

X+ / = 10. (8)

Solucin Intersecciones con el eje x: se hace y = O en la ecuacin (8), y de in-mediato se obtiene x = 1 O. La grfica de la ecuacin tiene una sola interseccin con el eje x, ( 1 O, 0). Cuando x = O, se obtiene/ = 1 O, lo que implica~e y = - VT6 o y = VTO. Entonces, hay dos intersecciones con el eje y, (0, -V 1 O) y (0, VT6).

Simetra: Si se sustituye x por - x en la ecuacin (8), se obtiene - x + / = 1 O. Esto no equivale a la ecuacin (8)

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