Libro Anális Funcional

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IntroducciónalanálisisfuncionalyalageometríadeespaciosdeBanach/H.FetterNathansky,B.GamboadeBuen.

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HelgaFetter

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BertaGamboadeBuen

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Introduccion al AnalisisFuncional y a la Geometrıa de

Espacios de Banach

Helga Fetter Nathansky

Berta Gamboa de Buen

Centro de Investigacion en Matematicas

Introduccion al Analisis Funcional y a la Geometrıa deEspacios de Banach

QA320F488

Fetter Nathansky, HelgaIntroduccion al Analisis Funcional y a la Geometrıa de Espacios

de Banach /Helga Fetter Nathansky y Berta Gamboa de Buen. -Mexico: Centro de Investigacion en Matematicas, 2008.

x, 309 p. ; 23 cm.ISBN 978-968-5733-09-0.MSC: 32A70.1. Analisis Funcional 2. Espacios de BanachI. Gamboa de Buen, Berta

ISBN 978-968-5733-09-0c©D.R. Centro de Investigacion en Matematicas, A.C.

Jalisco s/n, Mineral de Valenciana,36240 Guanajuato, Gto., Mexico

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente, por ningunmedio electronico o de otro tipo, sin autorizacion escrita del editor.

This book may not be reproduced, whole or in part, by any means,without written permission from the publisher.

Cuidado de edicion: Jose Luis Alonzo Velazquez

Diseno de portada: Odalmira Soto Alvarado

Impreso por: S y G Editores. S.A. de C.V.

Cuapinol 52, Santo Domingo de los Reyes,

Coyoacan

04369 - Mexico, D.F.9 7 8 9 6 8 5 7 3 3 0 9 0

01009

Contenido

1 Una Ojeada a la Historia 1

2 Preliminares 72.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Conjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Espacios Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.1 Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Espacios de Hilbert 213.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Definicion y propiedades elementales . . . . . . . . . . . 223.3 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Conjuntos ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1 Los espacios L2 y l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Operadores en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.1 Funcionales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.2 El dual de un espacio de Hilbert . . . . . . . . . . 533.5.3 Operadores entre espacios de Hilbert . . . . . . . 59

3.6 Operadores positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

iii

iv CONTENIDO

4 Espacios normados y de Banach 754.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Definicion y propiedades elementales . . . . . . . . . . . 754.3 Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4 Cocientes y sumas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5 Subespacios de dimension finita . . . . . . . . . . . . . . 914.6 Teoremas de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.7 Teorema de Baire y operadores continuos . . . . . . . . . 1024.8 Dualidad y topologıas debiles . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.8.1 Topologıas debil y debil estrella . . . . . . . . . . 1134.8.2 Espacios duales de subespacios y espacios cociente 1294.8.3 Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.9 Continuidad debil y operadores adjuntos . . . . . . . . . 1364.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5 Espacios Vectoriales Topologicos 1455.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2 Espacios vectoriales topologicos . . . . . . . . . . . . . . 1455.3 Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.4 Subespacios de dimension finita . . . . . . . . . . . . . . 1605.5 Espacios localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . 1645.6 Espacios metrizables y normables . . . . . . . . . . . . . 1775.7 Teoremas de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.8 Puntos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.9 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.10 Espacios cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6 Geometrıa de espacios de Banach 2176.1 Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.1.2 Bases reductoras y acotadamente completas . . . 2416.1.3 Bases incondicionales . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.2 Subespacios complementados . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.3 Los espacios lp y c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6.3.1 Caracterısticas especiales de c0, l1 y l∞ . . . . . . 2766.4 El espacio C [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

CONTENIDO v

6.5 El espacio J de James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2906.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Prefacio a la 3a edicion

En los catorce anos transcurridos desde la aparicion de la primeraedicion, nuestro libro ha sido utilizado, como texto o referencia, enmultiples cursos de analisis funcional, tanto impartidos por nosotrasen el posgrado del CIMAT y en la licenciatura en matematicas de laFacultad de Matematicas de la Universidad de Guanajuato, como pordiversos colegas en otras instituciones, y es un motivo de gran satis-faccion para nosotras el que el libro este ya en su tercera edicion.

Al elaborar esta nueva edicion, hemos aprovechado la oportunidadpara ampliar algunos temas, anadir ejercicios y corregir los errores quehemos detectado. En particular, queremos destacar la inclusion de unaseccion sobre las raıces de operadores positivos, un tema que nos pareceimportante por sus numerosas aplicaciones.

Por otro lado, a la par que deseamos agradecer el interes de losalumnos y profesores de otras universidades que nos han preguntadocomo obtener el libro, y como la editorial original ya no existe, tenemosel placer de reconocer tambien la excelente oportunidad que se nosbrinda de incluir nuestro libro en la coleccion que edita el CIMAT.

Helga Fetter NathanskyBerta Gamboa de Buen

CIMAT, junio 2008.

vii

Introduccion

¿Por que escribir un libro de analisis funcional? ¿Que este no esun tema tan especializado que solo le interesa a tres calenturientos?,nos preguntaban recientemente. Tal vez la respuesta no la deberıamosdar nosotras sino un fısico o un economista, que son algunos de losbeneficiados con esta rama de las matematicas aparte, por supuesto,de los matematicos mismos. Ası, hoy en dıa no podrıamos concebirla mecanica cuantica sin los espacios de Hilbert, la teorıa de distribu-ciones y la economıa sin la teorıa de la dualidad, ni la teorıa de opti-mizacion y mejor aproximacion sin la herramienta de los teoremas deHahn-Banach, Krein-Milman y Alaoglu. Creemos que esto basta paraconvencer al mas esceptico de que hay mucho mas que tres despistadosinteresados en esta area de las matematicas.

Por otra parte hay pocos libros en espanol sobre analisis funcional yhasta donde sabemos ninguno sobre geometrıa de espacios de Banach,nuestro tema favorito.

La eleccion de los temas a tratar no fue facil, pues el campo esmuy vasto; al final, como siempre sucede, el camino seguido dependiode nuestros gustos y preferencias. Dado que no era nuestro propositoescribir una obra enciclopedica, tuvimos que omitir temas tan impor-tantes como la teorıa de operadores o el analisis espectral y en cambioanadimos el capıtulo sobre geometrıa de espacios de Banach, pues unode nuestros objetivos es precisamente el engrosar las filas de sus adep-tos.

ix

x

Al concebir la idea de este libro pensabamos seguir el orden tradi-cional, empezando por los espacios vectoriales topologicos, continuandocon los de Banach, para terminar con los de Hilbert. Pero al escribirlonos convencimos de que es mas natural y didactico ir de lo particular a logeneral. Claro que esto tiene como consecuencia que algunos resultadosse repitan en los diferentes contextos, lo que en nuestra opinion, lejosde ser perjudicial, conduce a una comprension mas profunda del tema.Para hacer mas amena la lectura y ambientar al lector, empezamos pre-sentando un pequeno panorama historico; el resto del contenido vienesuficientemente desglosado en la tabla de materias y no lo comentamosmas aquı.

Pensamos que este texto sera de utilidad para un curso introduc-torio de analisis funcional para estudiantes del ultimo ano de una li-cenciatura en matematicas y cualquiera que quiera iniciarse en el temay tenga familiaridad con la topologıa de conjuntos, el algebra lineal yprincipalmente el analisis matematico; de todas maneras en el segundocapıtulo presentamos un resumen de la mayorıa de los resultados ynociones requeridos para la lectura de esta obra.

Agradecemos especialmente al M. en C. Francisco Sanchez Sanchezquien acudio en nuestra ayuda mas de una vez cuando tenıamos difi-cultades con el TEX. Igualmente importante fue la asistencia que nospresto el Dr. Fausto Ongay ayudandonos a corregir nuestro estilo ha-bitualmente demasiado parco. Finalmente queremos dar las gracias ala estudiante Maite Fernandez por leer el ultimo capıtulo, ayudandonosa espulgarlo.

Este libro fue escrito bajo los auspicios de una catedra patrimonialnivel tres del CONACyT.

Helga Fetter NathanskyBerta Gamboa de Buen

CIMAT, octubre 1994.

Capıtulo 1

Una Ojeada a la Historia

Si el analisis clasico lo podemos ver como el estudio de variables queson “magnitudes” y “numeros”, el analisis funcional consiste en tratarcomo variables a las funciones, estudiando no a las funciones aisladas,sino a las funciones como conjuntos.

Este tema se empezo a tocar en el siglo XVIII, al considerar conjun-tos de soluciones de algunas ecuaciones diferenciales, y durante el sigloXIX cobro tal importancia, que Volterra en 1900 lo declaro el “siglo dela teorıa de las funciones.”

Sin embargo podemos decir que el analisis funcional como entidadpropia nacio en este siglo y su nombre aparecio por vez primera en 1922en el libro de P. Levy “Lecons d’analyse fonctionnelle”.

Pensamos que son tres los antecedentes mas importantes de estarama de las matematicas.

Primero quisieramos enfatizar el impacto que causo el paso de lofinito a lo infinito.

En efecto, varios de los cientıficos mas renombrados del siglo XVIII,como D. Bernoulli y D’Alambert al estudiar ciertos fenomenos fısicoscontinuos, tuvieron la idea de discretizarlos y luego pasar formalmenteal lımite. Esta idea tuvo una influencia decisiva sobre Fourier, quienal trabajar en la teorıa del calor, tuvo que enfrentarse con el problemade resolver un sistema infinito de ecuaciones. Su metodo de solucionconsistio en reducir este sistema a un sistema truncado, que sı podıaresolver, y proponer como solucion del sistema original al lımite de

1

2 1. Una Ojeada a la Historia

las soluciones del sistema truncado. La dificultad fue que Fourier nodisponıa de criterios para asegurar la convergencia de las soluciones yesto dio lugar a la teorıa de la convergencia de funciones trigonometricasque fue una de las mayores preocupaciones de los analistas del siglo XIX,originando resultados tan importantes como el ahora llamado “criteriode Cauchy” para la convergencia de sucesiones.

La segunda motivacion del desarrollo del analisis funcional fue elcalculo de variaciones. Con este nombre se conoce una serie de pro-blemas en los que se trata de maximizar una “funcional”, es decir unafuncion cuyo dominio es un conjunto de funciones llamadas “admisi-bles”. Las funcionales fueron introducidas formalmente por Volterraen 1887 con el nombre de “funciones de lıneas” y Hadamard en 1903las rebautizo con el nombre que conocemos actualmente.

Las ideas basicas del calculo de variaciones fueron desarrolladas fun-damentalmente por Euler y Lagrange, pero Weierstrass y su escuelafueron quienes en el siglo pasado consiguieron fundamentar rigurosa-mente la mayor parte de los resultados del calculo de variaciones, salvoel principio general de la existencia de extremos, dando lugar a la nocionde convergencia uniforme. Trabajando sobre el mismo problema, perobajo el enfoque diferente de dar condiciones sobre el conjunto de fun-ciones con el que se esta trabajando, en lugar de sobre el tipo de conver-gencia, Ascoli y Arzela, entre otros, definieron el concepto de equicon-tinuidad, y podrıamos decir que el teorema de Ascoli-Arzela es uno delos primeros en el analisis funcional.

El tercer ingrediente fundamental en el establecimiento del analisisfuncional es el estudio de las ecuaciones integrales y dentro de este, ellibro “Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralglei-chungen” de David Hilbert (1932), es uno de los puntos culminantes.En esta obra Hilbert, resume sus trabajos comprendidos entre el pe-riodo de 1904 y 1910, cuya base radica en el establecimiento de unaequivalencia entre las ecuaciones integrales y un sistema infinito deecuaciones algebraicas con una infinidad de incognitas. El trabajo deHilbert esta fuertemente relacionado con el de I. Fredholm y los resul-tados de las investigaciones de ambos influyeron decisivamente en el

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analisis funcional, ya que en particular emergieron de ellos los espaciosde Hilbert y la teorıa espectral.

Sin embargo, si hemos de senalar una fecha como el nacimiento delanalisis funcional, elegirıamos el ano 1906.

En este ano Hilbert publico su cuarto artıculo sobre el tema, quesegun Dieudonne [10] “por la profundidad y novedad de sus ideas esun punto crucial en la historia del analisis funcional y de hecho mereceser considerado como el primer trabajo publicado en el area.” En el,Hilbert abandona el marco de las ecuaciones integrales y trata de crearuna teorıa general de formas bilineales y cuadraticas, introduciendola nocion de “sistema ortogonal completo de funciones”, inspirado enla analogıa con los espacios Rn, aunque sin usar aun el lenguajegeometrico que introdujo posteriormente E. Schmidt.

Desde el punto de vista del analisis funcional, su contribucion masimportante es, que al darse cuenta que en l2 no se satisface el teoremade Bolzano Weierstrass, introdujo el concepto actualmente conocidocomo “topologıa debil” que mas adelante condujo a la generalizacionde esta nocion a espacios mas generales y, sobre todo a la teorıa de ladualidad.

En 1906 tambien aparecio la tesis de M. Frechet “Sur quelquespoints du calcul fonctionnel”, que tuvo una influencia notable, tantoen el analisis funcional como en la topologıa, ya que en ella aparecepor primera vez el concepto abstracto de distancia en un conjunto, asıcomo las nociones de compacidad, completitud y separabilidad.

Un contemporaneo de Frechet que puede ser considerado uno delos mayores responsables del desarrollo del analisis funcional, es elmatematico hungaro Friedrich Riesz (1880-1956). En el ano 1907, si-multaneamente con E. Fischer, descubrio una inesperada relacion del2 con ciertos aspectos de la teorıa de la integracion de Lebesgue, aldemostrar que L2 [a, b] y l2 son isomorfos, iniciando ası lo que en elfuturo serıa una fructıfera relacion entre el analisis funcional y la teorıade la probabilidad, relacion que prevalece hasta nuestros dıas.

En el mismo ano, a la par con Frechet, Riesz da la representacion


del espacio dual de L2, y dos anos mas tarde prueba el famoso teo-rema de representacion que ahora lleva su nombre y que caracteriza elespacio dual de C ([a, b]) . Entre otras de sus muchas contribuciones,se cuentan la introduccion de los espacios Lp y lp y la caracterizacionde sus espacios duales, temas sin los cuales hoy en dıa no podrıamosconcebir el analisis funcional.

Debemos mencionar a otro matematico cuyo trabajo dio un gran im-pulso al desarrollo del analisis funcional, el austriaco E. Helly, quien en1921 fue el primero en trabajar con “espacios normados de sucesiones”en lugar de considerar unicamente espacios concretos, lo cual motivoposteriormente a Hahn y a Banach a definir el concepto de normas enespacios vectoriales generales.

Banach fue la figura mas importante en el desarrollo del analisisfuncional de este periodo, lo que nos conduce a otro punto culminanteen la historia que estamos tratando, la aparicion en 1932 de su libro“Theorie des operations lineaires”, donde recopilo sus propios trabajosy todos los resultados sobre espacios normados conocidos en su epoca,varios de los cuales siguen siendo hoy en dıa parte de las herramientasmas poderosas en el area, como por ejemplo el teorema de BanachSteinhaus, el de la grafica cerrada y el de Hahn Banach. Uno de losaspectos mas interesantes de esta obra, es que Banach plantea en ellavarias preguntas que fueron y son una fuente de inspiracion para muchostrabajos importantes en el area.

El desarrollo posterior del analisis funcional pronto rebaso el marcode los espacios de Hilbert y de Banach para abarcar los espacios vecto-riales localmente convexos y los topologicos en general. Un sinnumerode matematicos han contribuido al campo, pero no podemos mencionar-los a todos ellos, pues esto constituirıa material para uno o mas libroscompletos. Solo quisieramos citar a algunos que son los protagonistasdel material que presentamos aquı: H. Minkowski, A. Kolmogoroff, S.Mazur , M. Krein, D. Milman, von Neumann y mas recientemente J.Lindenstrauss, L. Tzafriri y R. James.

Pero la historia aun no se acaba de escribir y prueba de ello es eltrabajo de 1992 de W. Gowers y B. Maurey, en el cual respondieron a

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una pregunta esencial en la teorıa de bases, que llevaba por lo menos30 anos sin respuesta. Esto significo otro avance esencial en el analisisfuncional, mostrandonos que esta rama de las matematicas esta aunmuy viva y que hay todavıa mucho que hacer dentro de ella.


Capıtulo 2

Preliminares

2.1 Introduccion

Como el analisis funcional es el estudio de ciertas estructuras topologico-algebraicas y de los metodos que nos permiten aplicar el conocimientode dichas estructuras a problemas analıticos, entre los requisitos parala lectura de este libro se encuentran cierta familiaridad con el algebralineal y con la topologıa general, ademas de conocimientos basicos dela teorıa de conjuntos.

En este capıtulo recordaremos las nociones y resultados necesariospara el desarrollo ulterior del libro y nos pondremos de acuerdo en lanotacion que usaremos.

2.2 Conjuntos y funciones

2.2.1 Conjuntos

Como es bastante usual, denotaremos por N a los naturales, por Q alos racionales, por R a los reales y por C a los complejos.

Usaremos las palabras conjunto, familia y coleccion como sinonimosy supondremos que el lector conoce sımbolos tales como ⊂, ∩, ∪, ×, ∈,∞, ∅, etc.

El conjunto vacıo ∅ sera considerado como un conjunto finito.

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8 2. Preliminares

Si A y B son conjuntos, el complemento de B con respecto a A,que denotaremos A \ B, es el conjunto {x ∈ A : x /∈ B} .

Si I es un conjunto y {Aα : α ∈ I} es una familia de subconjuntosde un conjunto dado S, entonces definimos la interseccion por⋂

α∈I

Aα = {x ∈ S : x ∈ Aα para toda α ∈ I} ,

la union por ⋃α∈I

Aα = {x ∈ S : x ∈ Aα para alguna α ∈ I}

y el producto (producto cartesiano) por∏α∈I

Aα ={(xα)α∈I : para toda α ∈ I, xα ∈ Aα

}.

Diremos que dos conjuntos A y B son ajenos si A ∩ B = ∅.Al producto de dos conjuntos A,B, lo denotaremos A × B y es

simplemente{(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} .

2.2.2 Funciones

Si A y B son conjuntos, f : A → B denotara una funcion f con dominioA y contradominio B.

Si C ⊂ A y D ⊂ B, la imagen de C bajo f es el conjunto

f(C) = {y ∈ B : existe x ∈ C con f(x) = y}

y la imagen inversa de D bajo f es el conjunto

f−1(D) = {x ∈ A : existe y ∈ D con f(x) = y} .

Si D = {d} escribiremos f−1(d) en vez de f−1({d}).Llamaremos rango de f a la imagen de A bajo f y lo denotaremos

por R (f) .La grafica de f es el subconjunto de A × B,

gra f = {(x, f(x)) ∈ A × B : x ∈ A} .

2.2. Conjuntos y funciones 9

Si A,B y C son conjuntos y f : A → B y g : B → C son funciones,la funcion composicion se denotara g ◦ f y esta dada por

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

para toda x ∈ A.Una funcion f : A → B es invertible si existe g : B → A tal que

para toda x ∈ A y y ∈ B,

g ◦ f (x) = x y f ◦ g (y) = y.

Diremos que una funcion f : A → B es inyectiva si f(a1) = f(a2)implica que a1 = a2, es suprayectiva si para toda y ∈ B existe x ∈ Atal que f(x) = y y es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Si f : A → B es una funcion y C ⊂ A, llamaremos a la funciong : C → B, definida por g(x) = f(x) para toda x ∈ C, la restriccionde f a C y la denotaremos por f |C . Por otro lado diremos que f esuna extension de g.

Una sucesion en un conjunto A sera una funcion s : N → A y engeneral la denotaremos por {an}∞n=1 , donde an = s(n).

Si R es una relacion de equivalencia (reflexiva, simetrica y transitiva)en un conjunto A,denotaremos por a a la clase de equivalencia de a :

b ∈ a si y solo si bRa

y por A/R = {a : a ∈ A} al conjunto de todas las clases de equivalencia,que llamaremos conjunto cociente. La funcion q : A → A/R dada porq(a) = a sera llamada funcion cociente.

2.2.3 Orden

Un orden (parcial) en un conjunto X es una relacion binaria, usual-mente denotada por ≤, reflexiva, transitiva y antisimetrica. A la pareja(X,≤) la llamaremos conjunto ordenado. Escribiremos x ≥ y o y ≤ xindistintamente y x < y o y > x significara x ≤ y pero x = y.

Si (X,≤) es un conjunto ordenado, diremos que un subconjuntoA ⊂ X esta acotado superiormente si existe x ∈ X tal que a ≤ x paratoda a ∈ A , en este caso a x la llamaremos cota superior; diremos que

10 2. Preliminares

A ⊂ X esta acotado inferiormente si existe y ∈ X tal que y ≤ a paratoda a ∈ A y a y la llamaremos cota inferior; finalmente diremos que Aesta acotado si lo esta superior e inferiormente. Si A ⊂ X esta acotadosuperiormente y a0 es una cota superior tal que a0 ≤ x para toda cotasuperior x de A, llamaremos supremo de A a a0 y lo denotaremos porsup A; analogamente inf A denotara al ınfimo de A, es decir a la maximacota inferior de A; es facil ver que cuando el supremo y el ınfimo existenson unicos.

Un elemento x de X es maximal si x ≤ y implica que x = y y esminimal si y ≤ x implica que x = y.

(X,≤) esta totalmente ordenado si para todo par de elementos x, yde X se tiene que x ≤ y o que y ≤ x.

El siguiente resultado, que es equivalente al axioma de eleccion, serautilizado varias veces en el texto.

Lema 2.1 (de Zorn) Todo conjunto ordenado no vacıo en el que todosubconjunto totalmente ordenado posee una cota superior, tiene un ele-mento maximal.

2.3 Algebra lineal

2.3.1 Espacios vectoriales

Denotaremos por K a los reales o a los complejos y a sus elementos losllamaremos escalares.

Un espacio vectorial sobre el campo K es un conjunto X con dosoperaciones, la adicion

+ : X × X → X

dada por(x, y) → x + y

y la multiplicacion por escalares de K ×X en X dada por

(λ, x) → λx,

que satisfacen las siguientes propiedades: Si x, y, z ∈ X y λ, μ ∈K

2.3. Algebra lineal 11

(1) (x + y) + z = x + (y + z) .

(2) x + y = y + x.

(3) Existe un elemento 0 ∈ X tal que x + 0 = x para toda x ∈ X.

(4) Para toda x ∈ X existe z ∈ X, que denotaremos −x, tal quex + z = 0.

(5) λ (x + y) = λx + λy.

(6) (λ + μ) x = λx + μx.

(7) λ (μx) = (λμ) x.

(8) 1x = x.

Se puede demostrar que los elementos postulados en (3) y (4) sonunicos.

Si A,B ⊂ X, x ∈ X y λ ∈K usaremos la siguiente notacion:

x + A = {x + a : a ∈ A} , x − A = {x − a : a ∈ A} ,

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} , λA = {λa : a ∈ A} .

Diremos que C ⊂ X es un conjunto convexo si

tC + (1 − t)C ⊂ C

para toda 0 ≤ t ≤ 1. Es facil ver que si A ⊂ X, el conjunto

convA =

{n∑

i=1

λixi : λi ∈ R, λi ≥ 0,n∑

i=1

λi = 1, xi ∈ A, i = 1, ..., n

}

es un conjunto convexo que contiene a A, al cual llamaremos la envol-vente convexa de A.

Un conjunto Y ⊂ X sera llamado subespacio vectorial de X si conlas operaciones restringidas a Y es un espacio vectorial. Es facil verque esto sucede si y solo si αY + μY ⊂ Y para toda α, μ ∈K.

Si Y es un subespacio de X , la relacion x ∼ y si y solo si x−y ∈ Yes de equivalencia y entonces el conjunto de las clases de equivalencia

12 2. Preliminares

{x : x ∈ X} , donde x = x + Y, junto con las operaciones x + y = ˜x + y

y λx = λx, es a su vez un espacio vectorial sobre K, que llamaremosespacio cociente y denotaremos por X/Y.

Si X y Y son espacios vectoriales sobre K, su suma directa alge-braica, que denotaremos X ⊕a Y, es el espacio vectorial X × Y con lasoperaciones dadas por

(x1,y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

λ (x, y) = (λx, λy)

donde x, x1, x2 ∈ X, y, y1, y2 ∈ Y y λ ∈K.Si Y y Z son subespacios de un espacio vectorial X con Y ∩ Z =

{0} y toda x ∈ X se puede escribir como x = y + z con y ∈ Y yz ∈ Z, entonces escribiremos tambien X = Y ⊕a Z , ya que X se puedeidentificar con la suma directa algebraica de Y y Z mediante la funcion

x → (y, z) .

Bases de Hamel

Sea X un espacio vectorial sobre K. Se dice que {xi ∈ X : i ∈ I} generaa X, si todo elemento y de X se puede representar de la forma

y = λ1xi1 + λ2xi2 + ... + λnxin ,

con λi ∈ K e im ∈ I.Si {yj : j ∈ J} ⊂ X, el conjunto

Y =

{u ∈ X : u =

k∑i=1

λiyjicon λi ∈ K, ji ∈ J, i = 1, ..., k, k ∈ N

}

es un espacio vectorial, al que llamaremos espacio vectorial generadopor {yj : j ∈ J} y denotaremos por sp {yj}j∈J .

Una base (de Hamel) de un espacio vectorial X es un subconjuntoB de X tal que todo elemento y de X tiene una representacion unicade la forma

y = λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn,

con xi ∈ B para i = 1, ..., n y alguna n ∈ N.

2.3. Algebra lineal 13

La existencia de las bases de Hamel esta asegurada por el lemade Zorn y cualesquiera dos bases de un espacio dado tienen la mismacardinalidad, que es la dimension del espacio. Un espacio vectorial tieneentonces dimension n si tiene una base finita de cardinalidad n; diremosque el espacio {0} tiene dimension 0.

Si Y es un subespacio de X, entonces X se puede identificar conla suma directa algebraica Y ⊕a (X/Y ) . Para ver esto, consideramosuna base de Hamel {yi : i ∈ I} de Y y la completamos de manera que{yi : i ∈ I} ∪ {xj : j ∈ J} sea una base de Hamel de X. Si x ∈ X,entonces existe una manera unica de representarla como

x = λ1yi1 + λ2yi2 + ... + λnyin + μ1xj1 + μ2xj2 + ... + μrxjr

con λi, μj ∈K. Sea q : X → X/Y la funcion que a cada elemento de Xle asocia su clase de equivalencia. La identificacion buscada esta dadapor

x ←→ (λ1yi1 + λ2yi2 + ... + λnyin , q (x)) .

2.3.2 Funciones lineales

Si X y Y son dos espacios vectoriales sobre K, una funcion T : X → Yes lineal si para toda x, y ∈ X y α, β ∈K,

T (αx + βy) = αTx + βTy.

Claramente se tiene entonces que T (0) = 0.Si T : X → Y es lineal, llamaremos espacio nulo de T a la imagen

inversa del 0 y lo denotaremos por

ker T = T−1(0).

Si Z ⊂ X y W ⊂ Y son subespacios entonces T−1(W ) es un subespaciode X y TZ es un subespacio de Y, en particular kerT es un subespaciode X y TX es un subespacio de Y.

Si T : X → Y es biyectiva, lineal y con inversa lineal, diremos quees un isomorfismo algebraico y que los espacios vectoriales X y Y sonalgebraicamente isomorfos.

14 2. Preliminares

Si X es un espacio vectorial sobre K, una funcion lineal Π : X → Xes una proyeccion si Π2 = Π. En este caso diremos que Π es unaproyeccion sobre su imagen Y = ΠX, es decir Π : X → Y es suprayec-tiva, y se tiene que Π |Y es IY , la funcion identidad en Y.

Es facil ver que si X⊕a Y es la suma directa de X y Y , las funcionesΠX : X × Y → X y ΠY : X × Y → Y definidas por ΠX(x, y) = x yΠY (x, y) = y, son proyecciones.

Sea {xj : j ∈ J} es una base del espacio vectorial X sobre K. Paracada j ∈ J podemos definir una funcion γj : X → K que llamaremosfuncion coordenada, tal que γj(x) = λ si x se expresa en terminos dela base como

x = λxj + λ1xj1 + ... + λkxjk+ ... + λnxjn

.

Se puede ver que γj es una funcion lineal y claramente para cada x ∈ Xsolo hay un numero finito de j ∈ J tales que γj (x) = 0.

Si X es un espacio vectorial real, una funcion f : X → R

(a) es sublineal si para toda x, y ∈ X y toda λ ≥ 0,

f(x + y) ≤ f(x) + f(y) y f(λx) = λf(x),

(b) es convexa si para toda x, y ∈ X y toda 0 ≤ λ ≤ 1,

f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).

2.4 Espacios Topologicos

Un espacio topologico es un conjunto S con una coleccion τ de subcon-juntos, llamados abiertos, con las siguientes propiedades:

(i) S ∈ τ , ∅ ∈ τ

(ii) Si A,B ∈ τ, entonces A ∩ B ∈ τ

(iii) Si Ai ∈ τ para i ∈ I, entonces⋃

i∈I Ai ∈ τ.

2.4. Espacios Topologicos 15

Si τ satisface dichas condiciones es una topologıa en S y (S, τ) esun espacio topologico, que denotaremos simplemente por S cuando nosea necesario aclarar cual es la topologıa.

Un conjunto F ⊂ S es cerrado si y solo si su complemento es unconjunto abierto, la cerradura E de un conjunto E ⊂ S es la interseccionde todos los conjuntos cerrados que contienen a E y por lo tanto unconjunto es cerrado si y solo si es igual a su cerradura.

El interior intE de E es la union de todos los conjuntos abiertoscontenidos en E y entonces un conjunto es abierto si y solo si es iguala su interior.

U es una vecindad de un punto x ∈ S si es un conjunto abierto talque x ∈ U.

Un punto x ∈ S es un punto de acumulacion de B ⊂ S si y solo sitoda vecindad de x contiene puntos de B distintos de x.

La frontera de B, denotada por ∂B, es el conjunto de los puntostales que son puntos de acumulacion tanto de B como de S \ B, esdecir

∂B = B ∩ S \ B.

Un conjunto K ⊂ S es compacto si toda cubierta abierta de Ktiene una subcubierta finita. Equivalentemente, K es compacto si ysolo si tiene la propiedad de la interseccion finita, es decir siempre que{Cα}α∈A es una familia de conjuntos cerrados en K tal que para todan ∈N y para toda α1, α2, ..., αn

n⋂i=1

Cαi = ∅,

entonces ⋂α∈A

Cα = ∅.

Un conjunto A ⊂ S es denso en S si A = S.Un espacio topologico S es separable si contiene un subconjunto

denso numerable.Un espacio topologico S es de Hausdorff si y solo si para cualesquiera

x, y ∈ S, x = y, x y y tienen vecindades ajenas.Un subconjunto τ ′ ⊂ τ es una base de la topologıa τ si todo abierto

es una union de elementos de τ ′.

16 2. Preliminares

Un subconjunto β ⊂ τ es subbase de τ si el conjunto de las inter-secciones finitas de los elementos de β es base de τ.

Una coleccion V de vecindades de un punto x ∈ S es una base localde x si toda vecindad de x contiene un elemento de V .

Un espacio topologico de Hausdorff es localmente compacto si todopunto tiene una vecindad cuya cerradura es compacta.

Sean (S1, τ1) y (S2, τ2) dos espacios topologicos.Una funcion f : S1 → S2 es

(a) continua si para todo A ∈ τ2, f−1(A) ∈ τ1,

(b) abierta si f(B) ∈ τ2 para todo B ∈ τ1.

Si f : S1 → S2 es biyectiva y bicontinua (continua y con inversacontinua) diremos que f es un homeomorfismo y que los espacios (S1, τ1)y (S2, τ2) son homeomorfos.

Los espacios homeomorfos son entonces aquellos que tienen la mismaestructura topologica, por ejemplo si uno es localmente compacto el otrotambien lo es.

Si E ⊂ S, la topologıa inducida por τ en E, σ, es la coleccion{E ∩ A : A ∈ τ} ; claramente σ es una topologıa en E y diremos que(E, σ) es un subespacio topologico de (S, τ) .

Sea {(Sα, τα)}a∈A una familia de espacios topologicos y seaπα : Πα∈ASa → Sα la proyeccion dada por

πax = xα

para x = {xα}α∈A. Definimos en Πα∈ASa la topologıa con menos abier-tos que hace continuas a todas las proyecciones para α ∈ A. Dichatopologıa, llamada topologıa producto, esta dada como sigue:

U ∈ Πα∈Aτa si U es la union arbitraria de conjuntos que son inter-secciones finitas de conjuntos de la forma π−1

α Uα con Uα ∈ τα.Al espacio topologico (Πα∈ASa, Πα∈Aτa) se le llama espacio pro-

ducto.Si (S, τ) es un espacio topologico y R una relacion de equivalencia

en S, S/R denota al conjunto de las clases de equivalencia en S yq : S → S/R es la funcion cociente que manda cada elemento a suclase de equivalencia, entonces la topologıa cociente es la topologıa con


mas abiertos tal que la funcion q sea continua. Se puede ver que estatopologıa esta dada por la coleccion

τq ={A ⊂ S/R : q−1(A) ∈ τ

}.

El espacio topologico (S/R, τq) se llama el espacio cociente, y resultaque la funcion q es una funcion continua.

El siguiente teorema es de suma importancia en topologıa:

Teorema 2.2 (de Tychonoff) El producto arbitrario de conjuntoscompactos es un conjunto compacto.

2.4.1 Espacios metricos

Sea S un conjunto, una metrica en S es una funcion d : S × S →R+

tal que, dadas x, y, z ∈ S,(a) d(x, y) = 0 si y solo si x = y(b) d(x, y) = d(y, x)(c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)A la pareja (S, d) se le llama espacio metrico.Una sucesion {xn}∞n=1 ⊂ S se llama sucesion de Cauchy, si dada

ε > 0, existe N ∈N, tal que si n,m > N, d (xn, xm) < ε.Un espacio metrico S se llama completo, si toda sucesion de Cauchy

en S converge.Para toda x ∈ S y r ∈R, r > 0, la bola abierta con centro en x y

radio r se define como

Br(x) = {y ∈ S : d(x, y) < r} .

Si (S, d) es un espacio metrico, tambien es un espacio topologicocon la topologıa que tiene como base a la coleccion de bolas abiertas

{Br(x) : x ∈ S, r ∈ R, r > 0} .

Dicha topologıa se llama la topologıa inducida en S por la metrica d.Una espacio topologico (S, τ) es metrizable, si existe una metrica d

tal que τ es la topologıa inducida en S por d.

18 2. Preliminares

2.4.2 Convergencia

Diremos que D es un conjunto dirigido si tiene un orden (parcial), ≤,tal que dados α, β ∈ D existe γ ∈ D con α ≤ γ y β≤ γ. Un ejemplo deconjunto dirigido es la coleccion P (S) de subconjuntos de un conjuntoS con E ≤ F si y solo si E ⊂ F.

Una red en un conjunto S es una funcion σ : D → S, donde D esun conjunto dirigido; en general la denotaremos por {xα}α∈D , dondepara cada α ∈ D, xα = σ(α). Claramente toda sucesion en S es unared en S.

Una red {yβ}β∈B es una subred de una red {xα}α∈D si y solo siexiste una funcion ϕ : B → D tal que:

(a) yβ = xϕ(β) para toda β ∈ B

(b) para toda α ∈ D existe βα ∈ B tal que si β ∈ B y β ≥ βα

entonces ϕ(β) ≥ α.

Sea (S, τ) un espacio topologico.

Diremos que una red {xα}α∈D en S converge a y ∈ S si para todavecindad U de y existe α0 ∈ D tal que xα ∈ U para todo α ≥ α0. Eneste caso escribiremos limα∈D xα = y o xα → y.

Si S es un espacio vectorial topologico (ver Capıtulo 5), diremos queuna red {xα}α∈D en S es de Cauchy si para toda vecindad U de ceroexiste α0 ∈ D tal que xα − xβ ∈ U para todo α, β ≥ α0.

Varios de los aspectos topologicos de S se pueden describir en ter-minos de convergencia de redes, por ejemplo:

s es un punto de acumulacion de C ⊂ S si y solo si existe una reden C \ {s} que converge a s.

s pertenece a la cerradura de C ⊂ S si y solo si existe una red enC que converge a s.

Un espacio topologico es de Hausdorff si y solo si toda red en elespacio converge a lo mas a un punto.

Un espacio topologico S es compacto si y solo si toda red en S tieneun punto de acumulacion, o equivalentemente, S es compacto si y solosi toda red en S tiene una subred que converge a algun punto de S.


Como toda sucesion es una red, en particular el resultado anteriornos dice que toda sucesion en un compacto tiene una subred conver-gente. ¡Cuidado! esto no significa que tenga una subsucesion con-vergente, pues una subred de una sucesion no tiene porque ser unasubsucesion. Se recomienda al lector que construya un ejemplo.

Por esta razon la siguiente definicion no es equivalente a la de com-pacto. Un espacio topologico S es secuencialmente compacto si y solosi toda sucesion en S tiene una subsucesion convergente a algun puntode S.

Como las sucesiones son mas simples de manejar que las redes, esimportante saber cuando una topologıa puede ser descrita en terminosde sucesiones solamente. Este es el caso para las topologıas metrizables,es decir en los espacios metricos es suficiente tratar con sucesiones; porejemplo: un conjunto en un espacio metrico es compacto si y solo si essecuencialmente compacto.

20 2. Preliminares

Capıtulo 3

Espacios de Hilbert

3.1 Introduccion

Los espacios de Hilbert tienen su origen en los trabajos de David Hilbert(1862-1943) sobre la equivalencia de ecuaciones integrales y sistemasinfinitos de ecuaciones algebraicas con una infinidad de incognitas. Estaobra, motivada por los trabajos de I. Fredholm, aparecio en el libroGrundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungenen 1912. En ella para obtener la equivalencia, Hilbert usa el espaciode funciones de cuadrado integrable L2 y el espacio de las sucesionesde cuadrado sumable l2. Sin embargo Hilbert nunca considero a dichosespacios bajo su aspecto geometrico; esto lo hizo por primera vez en elcaso de l2 Erhard Schmidt en 1908. Por otra parte F. Riesz y E. Fischeren 1907 habıan probado que L2 esta en correspondencia uno a uno conalgun espacio l2. Estos fueron los primeros dos ejemplos de espacios deHilbert, como los conocemos actualmente.

Posteriormente los espacios de Hilbert fueron usados en la teorıa dela mecanica cuantica y para dar una presentacion rigurosa de esta ramade la fısica, J. von Neumann en 1927 presento una axiomatizacion delos espacios de Hilbert separables.

21

22 3. Espacios de Hilbert

3.2 Definicion y propiedades elementales

Definicion 3.1 Un espacio vectorial complejo H se llama espacio pre-hilbertiano o espacio con producto interior o espacio con producto es-calar, si existe una funcion (·, ·) : H × H → C tal que si λ ∈ C yx, y, z ∈ H,

(i) (x, y) = (y, x) donde la barra indica conjugacion en C.

(ii) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 si y solo si x = 0.

(iii) (λx, y) = λ(x, y).

(iv) (x + y, z) = (x, z) + (y, z).

Una funcion (·, ·) : H × H → C que satisface de (i) a (iv) se llamaproducto interior en H.

Las propiedades (iii) y (iv) tambien pueden formularse como sigue:si z ∈ H fija, entonces la funcion x → (x, z) es una funcion lineal.

Teorema 3.2 En un espacio prehilbertiano H para todo x, y, z ∈ H yλ ∈ C,

(1) (x, λy) = λ(x, y).

(2) (0, z) = 0 = (z, 0).

(3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z).

(4) (x, y − z) = (x, y) − (x, z), (x − y, z) = (x, z) − (y, z).

(5) Si (x, z) = (y, z) para toda z ∈ H, entonces x = y.

3.2. Definicion y propiedades elementales 23

Demostracion:(1) Se sigue de la definicion 3.1 (i) y (iii) pues

(x, λy) = (λy, x) = λ(x, y) = λ(x, y).

(2) Se obtiene tomando x = y = 0 en la definicion 3.1 (iv) y luegoaplicando (1).(3) Se sigue de (i) y (iv) de la definicion 3.1, pues

(x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z).

(4) Usando (3) y (1) obtenemos

(x, y − z) = (x, y + (−z)) = (x, y) + (x, (−z)) = (x, y) − (x, z).

La otra igualdad se deduce de manera similar.(5) Si (x, z) = (y, z) para toda z ∈ H, entonces por (4)

(x − y, z) = 0

para toda z ∈ H. En particular tomando z = x − y obtenemos

(x − y, x − y) = 0

y esto por (ii) de la definicion 3.1 implica que x = y.

Observacion: Los espacios prehilbertianos reales se definen de ma-nera semejante a los espacios complejos, con la unica diferencia de queel campo que se considera en este caso es el de los numeros reales enlugar de C.

Ejemplos

Todos los espacios definidos a continuacion son prehilbertianos:

1. Sea H1 = Cn. Si x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) conxi, yi ∈ C para i = 1, ..., n, definimos (x, y) =

∑ni=1 xiyi.


2. Sea

H2 = {{an}∞n=1 ⊂ R : existe N ∈ N tal que an = 0 si n > N}

Si a, b ∈ H2, a = {an}∞n=1, b = {bn}∞n=1, (a, b) =∑∞

n=1 anbn.

3. Sea H3 = {f : [a, b] → C donde f es una funcion continua}.Si f, g ∈ H3, (f, g) =

∫ ba f(x)g(x)dx.

4. Sea H4 ={f ∈ C∞

0 (Ω) : Ω es un conjunto abierto en R3}.

Aquı C∞0 (Ω) representa al conjunto de las funciones infinitamente

diferenciables de soporte compacto en Ω con valores complejos.

Si f, g ∈ H4, definimos

(f, g) =∫Ω

(fg +

∂f

∂x1

∂g

∂x1

+∂f

∂x2

∂g

∂x2

+∂f

∂x3

∂g

∂x3

)dx1dx2dx3

Los espacios prehilbertianos, gracias a su estructura resultan serespacios normados, donde esto quiere decir lo siguiente:

Definicion 3.3 Un espacio vectorial V sobre un campo K (donde K esya sea R oC) es un espacio normado si existe una funcion ‖·‖ : V →R,llamada norma, tal que para todo v, w ∈ V y c ∈ K se satisfacen:

1. ‖v‖ ≥ 0 y ‖v‖ = 0 si y solo si v = 0.

2. ‖cv‖ = |c| ‖v‖ .

3. ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖ .

Veremos que en un espacio prehilbertiano se puede definir una normausando las propiedades del producto interior.

Definicion 3.4 Sea H un espacio prehilbertiano. Definimos la funcion‖·‖ : H → R como

‖ x ‖= (x, x)12

para toda x ∈ H.


Para ver que la funcion ‖·‖ efectivamente define una norma en H,necesitamos la siguiente desigualdad que es una herramienta muy utilen el manejo de los espacios de Hilbert.

Teorema 3.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) En un espacioprehilbertiano se tiene que

|(x, y)| ≤ ‖x‖ ‖y‖

para todo x, y ∈ H.

Demostracion: Si (x, y) = 0, la conclusion es directa. Si (x, y) = 0,entonces para toda λ ∈C

0 ≤ ‖x−λy‖2 = (x−λy, x−λy) = (x, x)−λ(y, x)−λ(x, y)+λλ(y, y).

Sea λ0 =| (x, y) |(y, x)

=| (y, x) |(y, x)

. Claramente | λ0 |= 1 y si en la

desigualdad anterior tomamos λ = λ0r, donde r ∈ R, obtenemos

0 ≤ ‖x‖2−r | (x, y) | −r | (y, x) | +r2‖y‖2 = ‖x‖2−2r | (x, y) | +r2‖y‖2.

Si llamamos a la expresion de la derecha f(r), esta alcanza su

mınimo cuando r =| (x, y) |‖y‖2

y entonces

0 ≤ ‖x‖2 − 2| (x, y) |2‖y‖2

+| (x, y) |2‖y‖2

= ‖x‖2 − | (x, y) |2‖y‖2

,

y de aquı | (x, y) |≤ ‖x‖ ‖y‖.

Teorema 3.6 La funcion ‖ · ‖ : H →R es una norma en H.

Demostracion: Sea x ∈ H. Claramente por (ii) de la definicion 3.1,‖x‖ ≥ 0, y ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

Ademas si λ ∈ C, por (i) y (iii) de la definicion 3.1,

‖λx‖2 = (λx, λx) = |λ|2 ‖x‖2


y de aquı ‖λx‖ =| λ | ‖x‖.Por ultimo, usando el teorema 3.5,

‖x + y‖2 = (x + y, x + y) = ‖x‖2 + (y, x) + (x, y) + ‖y‖2 ≤

≤ ‖x‖2 + 2‖x‖ ‖y‖ + ‖y‖2 = (‖x‖ + ‖y‖)2 ,

o sea que‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖;

es decir ‖ · ‖ satisface la desigualdad del triangulo.

Ejemplos

Sean H1, H2, H3 y H4 como antes.

1. En H1 tenemos que ‖x‖ = (∑n

i=1 | xi |2)12 y la desigualdad de

Cauchy-Schwarz nos dice que∣∣∣∣∣n∑

i=1

xiyi

∣∣∣∣∣ ≤(

n∑i=1

| xi |2) 1

2(

n∑i=1

| yi |2) 1

2

.

2. En H2, ‖a‖ = (∑∞

n=1 a2n)

12 y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en

este caso nos da:∣∣∣∣∣∞∑

n=1

anbn

∣∣∣∣∣ ≤(

∞∑n=1

a2n

) 12(

∞∑n=1

b2n

) 12

.

3. En H3, ‖f‖ =(∫ b

a |f(x)|2 dx) 1

2 y obtenemos que∣∣∣∣∣∫ b

af(x)g(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤(∫ b

a|f(x)|2 dx

) 12(∫ b

a|g(x)|2 dx

) 12

.

4. En H4, ‖f‖ =(∫

Ω

(|f(x)|2 + |∇f |2

)dx1dx2dx3

) 12 donde ∇f

representa al laplaciano de f. En este caso la desigualdad deCauchy-Schwarz nos dice que∣∣∣∣∣

∫Ω

(fg +

∂f

∂x1

∂g

∂x1

+∂f

∂x2

∂g

∂x2

+∂f

∂x3

∂g

∂x3

)dx1dx2dx3

∣∣∣∣∣ ≤


(∫Ω

(|f(x)|2 + |∇f |2

)dx1dx2dx3

) 12(∫

Ω

(|g(x)|2 + |∇g|2

)dx1dx2dx3

) 12

.

Finalmente estamos listos para dar la definicion de un espacio deHilbert.

Definicion 3.7 Sea H un espacio vectorial con producto interior y sea‖ ‖ la norma inducida por este producto. Si H es completo respecto a‖ ‖, es decir, si toda sucesion de Cauchy en H converge a un elementode H, entonces H se llama un espacio de Hilbert.

Como todo espacio normado es metrico, los espacios de Hilberttienen una topologıa inducida por esta metrica. De las definiciones an-teriores resulta entonces que todo subespacio de un espacio de Hilbert esun espacio prehilbertiano y si el subespacio ademas es cerrado respectoa la norma, sera a su vez un espacio de Hilbert.

Ejemplos

Sean H1, H2, H3 y H4 como antes.

1. H1 es un espacio de Hilbert. Esto es claro a partir de la completi-tud de C.

2. H2 no es un espacio de Hilbert, ya que no es completo. Paraver esto observemos primero que si a ∈ H2, a = {a1, a2, ...} y{a(n)

}∞n=1

⊂ H2 converge a a donde a(n) ={a(n)

m

}∞m=1

, entonces

para cada m

∣∣∣am − a(n)m

∣∣∣ ≤⎛⎝ ∞∑

j=1

∣∣∣aj − a(n)j

∣∣∣2⎞⎠ 1

2

= ‖a − a(n)‖

y esto implica que limn→∞ a(n)m = am.

Sea ahora la sucesion{a(n)

}∞n=1

⊂ H2 donde a(n) ={a(n)

m

}∞m=1

y


a(n)m =

⎧⎨⎩1

msi 1 ≤ m ≤ n

0 si n < m

Entonces si n < k, ‖a(n) − a(k)‖ =(∑k

m=n+1 (1/m)2)1/2

y con-

secuentemente{a(n)

}∞n=1

es una sucesion de Cauchy. Por otro

lado es claro que para cada m lim n→∞a(n)m =

1

m, pero la sucesion

{1/n}∞n=1 no pertenece a H2.

La completacion de este espacio es el espacio de Hilbert l2 de lassucesiones reales {an}∞n=1 tales que

∑∞n=1 a2

n < ∞.

3. H3 no es un espacio de Hilbert ya que no es completo. (Verejercicio 1).

4. Se puede ver que H4 tampoco es un espacio completo. La com-pletacion de este espacio se suele llamar espacio de Sobolev ydenotarse por H1

0 (Ω).

La siguiente propiedad de la norma en un espacio de Hilbert, sededuce de inmediato de las propiedades del producto escalar y se puedeinterpretar geometricamente como que en un paralelogramo la suma delos cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados delos lados.

Teorema 3.8 (Ley del paralelogramo) En un espacio con productointerior H, para toda x, y ∈ H se satisface

‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.

El inverso de este teorema tambien es cierto, es decir, si en unespacio normado la norma satisface la ley del paralelogramo, entoncesla norma esta inducida por un producto interior, y, si el espacio ademases completo, es un espacio de Hilbert. ( Ejercicio 3).

Dada la definicion de norma en un espacio de Hilbert, resultan sercontinuas las funciones dadas por el producto escalar y la norma.

3.3. Ortogonalidad 29

Teorema 3.9 Sea y un elemento fijo en un espacio de Hilbert H. En-tonces las funciones

x → (x, y), x → (y, x), x → ‖x‖

son funciones continuas en H.

Demostracion: Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, si x, z ∈ Hobtenemos

|(x, y) − (z, y)| = |(x − z, y)| ≤ ‖x − z‖‖y‖y

|(y, x) − (y, z)| ≤ ‖x − z‖‖y‖

lo cual prueba que tanto x → (x, y) como x → (y, x) son de hechouniformemente continuas. Ahora, usando la desigualdad del triangulo,se tiene que

|‖x‖ − ‖z‖| ≤ ‖x − z‖y esto demuestra que la funcion x → ‖x‖ tambien es uniformementecontinua.

3.3 Ortogonalidad

La estructura de producto interior en un espacio de Hilbert nos permiteintroducir una generalizacion del concepto de ortogonalidad conocidoen Rn.

Aunque varios de los resultados a continuacion son validos paraespacios prehilbertianos, de aquı en adelante trabajaremos solo conespacios de Hilbert.

El teorema que sigue es una de las piedras fundamentales que dis-tinguen a los espacios de Hilbert de otros espacios de Banach.

Teorema 3.10 Todo subconjunto E no vacıo, convexo y cerrado de unespacio de Hilbert H contiene un elemento unico de norma mınima, esdecir existe un elemento x0 ∈ E unico tal que ‖x0‖ ≤ ‖x‖ para todax ∈ E.


Demostracion: Sea δ = inf {‖x‖ : x ∈ E} y sean x, y ∈ E. Aplicandola ley del paralelogramo a 1

2x y 1

2y obtenemos

1

4‖x − y‖2 +

∥∥∥∥x + y

2

∥∥∥∥2 =1

2‖x‖2 +

1

2‖y‖2 .

Como E es convexo,x + y

2∈ E. Por lo tanto

‖x − y‖2 = 2 ‖x‖2 +2 ‖y‖2 − 4∥∥∥∥x + y

2

∥∥∥∥2 ≤ 2 ‖x‖2 +2 ‖y‖2 − 4δ2. (3.1)

Por la definicion de δ existe una sucesion {yn}∞n=1 ⊂ E tal quelimn→∞ ‖yn‖ = δ. Tomando x = yn, y = ym en (3.1), obtenemos

‖yn − ym‖2 ≤ 2 ‖yn‖2 + 2 ‖ym‖2 − 4δ2,

y pasando al lımite cuando n → ∞ y m → ∞, tenemos que el ladoderecho de esta desigualdad tiende a cero y consecuentemente {yn}∞n=1

es una sucesion de Cauchy. Como E es cerrado, existe x0 ∈ E tal quelimn→∞ yn = x0 y aplicando el teorema 3.9,

δ = limn→∞

‖yn‖ = ‖x0‖ .

Si y ∈ E es tal que ‖y‖ = δ, por (3.1) tenemos

‖x0 − y‖2 ≤ 0,

es decir x0 = y y el teorema queda probado.

Definicion 3.11 Sea H un espacio de Hilbert. Decimos que dos vec-tores x y y son ortogonales si

(x, y) = 0.

A veces escribimos esto como x ⊥ y, y como (x, y) = 0 implica(y, x) = 0, la relacion ⊥ resulta ser simetrica. Si x ⊥ y, la ley delparalelogramo se reduce a

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.


Definicion 3.12 Sea H un espacio de Hilbert, sea x ∈ H y sea M unsubconjunto de H. Definimos

x⊥ = {y ∈ H : (x, y) = 0},

M⊥ = {y ∈ H : (x, y) = 0 para toda x ∈ M} .

En caso de que M es un subespacio de H, a M⊥ se le llama elespacio ortogonal a M.

Teorema 3.13 Sea H un espacio de Hilbert, sea x ∈ H, y sea M unsubconjunto de H. Entonces x⊥ y M⊥ son subespacios cerrados de H.

Demostracion: Sean y, z ∈ x⊥, λ ∈C. Entonces

(x, y + λz) = (x, y) + λ(x, z) = 0

y consecuentemente y + λz ∈ x⊥, es decir x⊥ es un subespacio deH. Sea {yn}∞n=1 ⊂ x⊥ una sucesion convergente y sea y = limn→∞ yn.Entonces, como la funcion y → (x, y) es continua (ver teorema 3.9),0 = limn→∞(x, yn) = (x, y) y por lo tanto y ∈ x⊥, lo cual demuestraque x⊥ es un espacio cerrado de H.

Ahora bien, claramente si M es un subconjunto de H,M⊥ =

⋂x∈M x⊥ y consecuentemente es un subespacio cerrado de H.

Veremos que si M es un subespacio cualquiera de H, y si M indicala cerradura de M, entonces H se puede descomponer como sigue:

H = M ⊕ M⊥,

o sea todo elemento x ∈ H se puede expresar de manera unica como

x = x1 + x2

con x1 ∈ M y x2 ∈ M⊥.Esta propiedad de hecho caracteriza a los espacios de Hilbert: si un

espacio normado completo X, tambien llamado espacio de Banach, es


tal que para todo subespacio cerrado M existe un subespacio cerradoN con

X = M ⊕ N,

entonces X es isomorfo a un espacio de Hilbert. Este resultado, cuyademostracion es muy complicada, se debe a J. Lindenstrauss y L.Tzafriri y se puede encontrar en M. Day [7].

Teorema 3.14 Sea M un subespacio cerrado de H. Entonces existenproyecciones P de H sobre M y Q de H sobre M⊥ tales que para todax ∈ H,

x = Px + Qx,

‖x‖2 = ‖Px‖2 + ‖Qx‖2 ,

‖x − Px‖ = inf {‖x − y‖ : y ∈ M} .

Ademas six = x1 + x2

con x1 ∈ M y x2 ∈ M⊥, entonces x1 = Px y x2 = Qx.

P y Q se llaman las proyecciones ortogonales de H sobre M ysobre M⊥ respectivamente. Es claro de lo anterior que estas funcionesson continuas.

Demostracion: Sea x ∈ H, entonces x + M = {x + y : y ∈ M} esun subconjunto cerrado, convexo de H. Aplicando el teorema 3.10, seaz = Qx el unico elemento de norma mınima en este conjunto y defi-namos

Px = x − Qx = x − z.

Como Qx ∈ x + M , es claro que

Px ∈ M

y por definicion

‖z‖ = ‖Qx‖ = ‖x − Px‖ = inf {‖x − y‖ : y ∈ M} .


Sea y ∈ M con ‖y‖ = 1 y α ∈C. Entonces

z − αy = x − (Px + αy) ∈ x + M

y por esto

(z, z) = ‖z‖2 ≤ ‖z − αy‖2 = (z − αy, z − αy).

Por lo tanto0 ≤ −α(y, z) − α(z, y) + |α|2 .

Si tomamos ahora α = (z, y) obtenemos

0 ≤ − |(z, y)|2 − |(z, y)|2 + |(z, y)|2 = − |(z, y)|2 .

En consecuencia(z, y) = 0.

Sea ahora y cualquier elemento de M diferente de cero. Entonces

0 =

(z,

y

‖y‖

)=

1

‖y‖ (z, y)

y por lo tanto (z, y) = 0 y

Qx = z ∈ M⊥.

Como Px ⊥ Qx, es claro que

‖x‖2 = ‖Px‖2 + ‖Qx‖2.

Supongamos ahora que x = x1 + x2 con x1 ∈ M y x2 ∈ M⊥. Entonces

Px − x1 = x2 − Qx,

pero Px−x1 ∈ M y x2−Qx ∈ M⊥ y como M ∩M⊥ = {0}, obtenemosque x1 = Px y x2 = Qx.

Por lo anterior, si x ∈ M, tenemos x = Px, y si x ∈ M⊥, x = Qx.Esto implica que P va de H sobre M y Q de H sobre M⊥.

Probaremos ahora que P y Q son transformaciones lineales. Seanx y y ∈ H, α y β ∈C; entonces

x = Px+Qx, y = Py+Qy y αx+βy = P (αx+βy)+Q(αx+βy).


De aquı

αx + βy = αPx + αQx + βPy + βQy = P (αx + βy) + Q(αx + βy)

y por ende

P (αx + βy) − αPx − βPy = αQx + βQy − Q(αx + βy).

Como el lado izquierdo de la ultima igualdad pertenece a M y el derechoa M⊥, tenemos el resultado deseado.

Corolario 3.15 Si M es un subespacio cerrado propio de un espaciode Hilbert, entonces existe y ∈ H, y = 0, tal que y ∈ M⊥.

3.4 Conjuntos ortonormales

En un espacio vectorial V de dimension finita n, siempre existe unconjunto de n vectores linealmente independientes llamado base (deHamel), tal que todo vector v ∈ V se puede expresar como una com-binacion lineal de los n vectores de la base. Aunque en un espacio deHilbert cualquiera siempre existe una base de Hamel, esta en generalno tiene que ver con la estructura del espacio de Hilbert. Debido a ello,definiremos un nuevo concepto de base para los espacios de Hilbert H,de manera tal que todo elemento de H sera una combinacion linealnumerable de los elementos de dicha base y que nos permitira expresartanto la norma de un elemento de H como el producto escalar de doselementos de H, en funcion de los elementos de la base.

Definicion 3.16 Sea H un espacio de Hilbert. Una familia {φα}α∈A

contenida en H se llama un conjunto ortonormal si para toda α, β ∈ A

(φα, φβ) = 0 para α = β y (φα, φα) = 1.

Si {φa}α∈A es una familia ortonormal, a cada x ∈ H le podemosasociar la funcion

x : A → C

dada por x(α) = (x, φα). Los numeros x(α) se suelen llamar los coefi-cientes de Fourier de x respecto al conjunto {φα}α∈A .

3.4. Conjuntos ortonormales 35

Por la linealidad del producto interior en la primera variable, esclaro que si x, y ∈ H, entonces

(x + y)(α) = x(α) + y(α)

y si ademas λ ∈C, entonces

λx(α) = λx(α).

Teorema 3.17 Si {φ1, φ2, ..., φk} es un conjunto ortonormal en un es-pacio de Hilbert H y si x =

∑kn=1 cnφn con cn ∈C para n = 1, 2, ..., k,

entonces

‖x‖2 =k∑

n=1

|cn|2 .

Demostracion: Por definicion

‖x‖2 = (x, x) =

(k∑

n=1

cnφn,k∑

n=1

cnφn

)=

k∑n,m=1

cncm (φn, φm) =k∑

n=1

|cn|2 .

Corolario 3.18 Todo conjunto ortonormal {φα}α∈A es linealmente in-dependiente.

Demostracion: Si∑k

i=1 ciφαi= 0, entonces por el teorema anterior∑k

i=1 |ci|2 = 0 y por lo tanto ci = 0 para toda 1 ≤ i ≤ k.

Ahora nos ocuparemos del problema siguiente: Dado un vectorx ∈ H y un conjunto ortonormal {φ1, φ2, ..., φk} ⊂ H, ¿existira unacombinacion lineal de los vectores ortonormales de manera que apro-xime a x de manera optima? Con esto lo que nos preguntamos es siexiste un unico elemento x0 =

∑ki=1 ciφi ∈ M donde

M =

{k∑

i=1

ciφi : ci ∈ C

},

tal que ‖x0 − x‖ ≤∥∥∥∑k

i=1 diφi − x∥∥∥ para cualesquiera d1, d2,..., dk ∈C.

La respuesta a esto es afirmativa y para probarlo necesitamos primeroel siguiente lema:


Lema 3.19 Sea V un subespacio cerrado de H; si z /∈ V, entonces

W = sp {z + V } = {x ∈ H : x = λz + v para alguna λ ∈ C y v ∈ V }es un subespacio cerrado de H.

Demostracion: Es claro que W es un subespacio de H y que podemossuponer que ‖z‖ = 1. Para ver que W es cerrado, sea {xn}∞n=1 ⊂ Wuna sucesion de Cauchy y sea x su lımite en H. Entonces para cadan, existen vn ∈ V y λn ∈ C tales que xn = λnz + vn. Como V esun espacio cerrado y z /∈ V , existe 1 > d > 0 tal que ‖z − v‖ ≥ dpara toda v ∈ V. Sea ε > 0 y sea N tal que si n,m > N, entonces

‖xn − xm‖ <ε

2d. Resulta que

ε

2>

ε

2d > ‖xn − xm‖ = ‖(λn − λm) z − (vn − vm)‖ ≥ |λn − λm| d,

de manera que si n,m > N

|λn − λm| <ε

2

y esto demuestra que {λn}∞n=1 es una sucesion de Cauchy en C cuyolımite llamaremos λ.

Ademas se tiene que si n,m > N,

ε

2> ‖xn − xm‖ ≥ ‖vn − vm‖ − |λn − λm| ‖z‖ > ‖vn − vm‖ −

ε

2

y esto nos dice que {vn}∞n=1 tambien es una sucesion de Cauchy. Si vindica el lımite de esta sucesion en V, se deduce que

‖λz + v − xn‖ = ‖(λ − λn)z + (v − vn)‖ ≤ |λ − λm| + ‖v − vn‖de donde limn→∞ xn = λz + v ∈ W .

Corolario 3.20 Sea {φ1, φ2, ..., φk} una familia ortonormal de vectoresen un espacio de Hilbert H. Entonces el espacio

M =

{k∑

i=1

ciφi : ci ∈ C

}

es un subespacio cerrado de H.


Demostracion: Probaremos este resultado por induccion sobre elnumero de vectores k. Para k = 0, es obvio que el espacio {0} es

cerrado. Supongamos que el espacio V ={∑k−1

i=1 ciφi : ci ∈ C}

es ce-rrado. Entonces por el teorema anterior tomando z = φk obtenemos elresultado deseado.

Volviendo a nuestra pregunta anterior, como M es un espacio ce-rrado, el teorema 3.14 nos dice que si x ∈ H, existe un unico elementox0 ∈ M tal que para toda z ∈ M ,

‖x − x0‖ ≤ ‖x − z‖y tal que x − x0 ∈ M⊥. Esto ultimo implica que x0 es solucion delsistema de ecuaciones siguiente:

(x − x0, φi) = 0, i = 1, 2, ..., k.

Como x0 =∑k

i=1 ciφi, resulta del sistema de ecuaciones anterior queci = (x0, φi) = (x, φi) y por lo tanto se puede expresar como

x0 =k∑

i=1

(x, φi) φi.

Ademas, como x − x0 ⊥ x0,

‖x − x0‖2 = (x − x0, x − x0) = (x − x0, x) =

= ‖x‖2 −∑ki=1 (x, φi) (φi, x) = ‖x‖2 −∑k

i=1 |(x, φi)|2 .

Resumiendo obtenemos el siguiente teorema que nos garantiza la exis-tencia de la mejor aproximacion de x en el espacio generado por {φi}k

i=1 .

Teorema 3.21 Sea {φ1, φ2,..., φk} un conjunto ortonormal de vectoresen H y sea x ∈ H. Entonces para cualesquiera λ1,λ2, ..., λk ∈C∥∥∥∥∥x −

k∑i=1

(x, φi) φi

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥x −

k∑i=1

λiφi

∥∥∥∥∥y la igualdad se da si y solo λi = (x, φi) para i = 1, 2, ..., k. Ademas

‖x‖2 =

∥∥∥∥∥x −k∑

i=1

(x, φi) φi

∥∥∥∥∥2

+k∑

i=1

|(x, φi)|2 .


Se vera que las bases ortonormales en un espacio de Hilbert noson numerables a menos que el espacio sea separable, es por esto quenecesitamos la siguiente definicion:

Definicion 3.22 Sea A un conjunto no vacıo y {yα}α∈A ⊂ C. En-tonces diremos que la suma

∑α∈A yα es convergente, si existe M < ∞

tal quesup

J

∑α∈J

|yα| = M,

donde el supremo se toma sobre todos los subconjuntos J finitos de A.

Si dicho supremo existe, es claro que solo puede haber un conjuntonumerable B de ındices para los cuales yα es distinto de cero y entonces∑

α∈A yα denota a la suma∑

α∈B yα.Despues de esta definicion, el corolario siguiente es consecuencia

inmediata del teorema 3.21.

Corolario 3.23 (Desigualdad de Bessel) Sea {φα}α∈A un conjuntoortonormal en un espacio de Hilbert H; si x ∈ H y si x(α) = (x, φα),entonces ∑

α∈A

|x(α)|2 ≤ ‖x‖2 .

Recordemos que un conjunto ortonormal es maximo si no esta con-tenido propiamente en otro conjunto ortonormal. Los dos siguientes re-sultados demuestran que los conceptos de base en un espacio de Hilberty de conjunto ortonormal maximo son equivalentes.

Teorema 3.24 Sea {φa}α∈A un conjunto ortonormal en un espacio deHilbert H. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) {φa}α∈A es un conjunto ortonormal maximo.

(ii) El conjunto S de todas las combinaciones lineales finitas de las φα

es denso en H.

(iii) Para toda x ∈ H, ‖x‖2 =∑

α∈A |x(α)|2 .


(iv) Para toda x, y ∈ H, (x, y) =∑

α∈A x(α)y(α).

Demostracion: (i) implica (ii). Sea S la cerradura del espacio vec-torial S generado por las combinaciones lineales finitas de las φa con

α ∈ A. Si S = H, entonces por el corolario 3.15 existe un vector ζ ∈ S⊥

distinto de 0, que podemos suponer tiene norma 1, lo cual contradicela maximalidad de {φa}α∈A .(ii) implica (iii). Sea x ∈ H y ε > 0. Por la densidad de S en H, existenα1, α2, ..., αk ∈ A y λ1, λ2, ..., λk ∈ C tales que∥∥∥∥∥x −

k∑i=1

λiφαi

∥∥∥∥∥ ≤ ε.

Pero entonces por el teorema 3.21∥∥∥∥∥x −k∑

i=1

x (αi) φαi

∥∥∥∥∥ ≤ ε

y esto a su vez quiere decir que

0 ≤ ‖x‖2 −k∑

i=1

|(x, φαi)|2 ≤ ε.

Como la desigualdad anterior se satisface para toda ε, usando el coro-lario 3.23, obtenemos el resultado deseado.(iii) implica (iv). Sean x y y ∈ H. Entonces por el ejercicio 2

(x, y) =1

4

[‖x + y‖2 − ‖x − y‖2 + i ‖x + iy‖2 − i ‖x − iy‖2

]y por (iii) resulta que

(x, y) =1

4

[∑α∈A

(|x(α) + y(α)|2 − |x(α) − y(α)|2

)+

+i∑

α∈A

(|x(α) + iy(α)|2 − |x(α) − iy(α)|2

)]y de aquı es facil deducir el resultado.(iv) implica (i). Supongamos que {φα}α∈A no es un conjunto ortonormalmaximo, pero que para cada x, y ∈ H, se cumple (iv). Sea u ∈ H un


vector unitario ortogonal a φa para toda α ∈ A. Usando (iv) parax = y = u, como u(α) = 0 para toda α ∈ A, obtenemos

1 = ‖u‖2 = (u, u) =∑α∈A

u(α)u(α) = 0,

y esto es una contradiccion.

De lo anterior se puede concluir que si {φα}α∈A es un conjuntoortonormal maximo, todo elemento x ∈ H se puede expresar como unacombinacion lineal infinita de los vectores de dicho conjunto.

Lema 3.25 Si {φα}α∈A es un conjunto ortonormal maximo en un es-pacio de Hilbert H, entonces para toda x ∈ H

x =∑α∈A

x(α)φα,

es decir, dado ε > 0 existe J ⊂ A finito tal que si I es finito y J ⊂ I,entonces ∥∥∥∥∥x −

∑α∈I

x(α)φα

∥∥∥∥∥ < ε.

Viceversa, si {φa}a∈A ⊂ H es un conjunto ortonormal tal que paratoda x ∈ H

x =∑α∈A

x(α)φα,

entonces {φa}a∈A es un conjunto ortonormal maximo en H.

Demostracion: Sean x ∈ H y ε > 0. Por (ii) del teorema anteriorexisten J ⊂ A finito y {λα}α∈J ⊂C tales que∥∥∥∥∥x −

∑α∈J

λαφα

∥∥∥∥∥ < ε.

Pero por el teorema 3.21, resulta que∥∥∥∥∥x −∑α∈J

x(α)φα

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥x −

∑α∈J

λαφα

∥∥∥∥∥ < ε.


Por otro lado, si J ⊂ I es claro que∑

α∈J x(α)φα =∑

α∈I μαφα donde

μα =

{x(α) si α ∈ J0 si no

Usando nuevamente el teorema 3.21 llegamos a que∥∥∥∥∥x −∑α∈I

x(α)φα

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥x −

∑α∈I

μαφα

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥x −∑α∈J

x(α)φα

∥∥∥∥∥ < ε,

lo cual prueba la primera afirmacion.Si ahora {φa}a∈A ⊂ H es un conjunto ortonormal tal que para toda

x ∈ H

x =∑α∈A

x(α)φα,

esto significa que las combinaciones lineales finitas de las φα son densasen H y aplicando el teorema 3.24 obtenemos la segunda conclusion.

Es claro que si x =∑

α∈A cαφα, entonces cα = x(α), ya que

(x, φα) =∑γ∈A

cγ (φγ, φα) = cα.

Las consideraciones anteriores, nos motivan a dar la siguiente defi-nicion:

Definicion 3.26 Un conjunto ortonormal {φa}a∈A en un espacio deHilbert H se llama una base ortonormal de H, si todo elemento x ∈ Hse puede expresar como

x =∑α∈A

x(α)φα.

A continuacion veremos que en todo espacio de Hilbert siempre e-xiste una base ortonormal, es mas, si Φ⊂ H es un conjunto ortonormal,siempre podemos completarlo para obtener una base ortonormal de H.


Teorema 3.27 Sea H un espacio de Hilbert y sea Φ⊂ H un conjuntoortonormal. Entonces existe un conjunto ortonormal maximo en H quecontiene a Φ.

Demostracion: Sea P la clase de los conjuntos ortonormales en Hque contienen a Φ. Es claro que P = ∅, pues Φ ∈ P. Equipamos a Pcon el orden de la inclusion de conjuntos: si {Ψa}α∈A y {φβ}β∈B sonelementos de P , entonces

{Ψa}α∈A ≺ {φβ}β∈B si {Ψa}α∈A ⊂ {φβ}β∈B .

Si C es una cadena de elementos de P , es decir un subconjunto total-mente ordenado de P , entonces claramente

S =⋃{

φa : φa ∈ {φβ}β∈B para algun elemento {φβ}β∈B ∈ C}

es una cota superior de C. En efecto, Φ ⊂ S y si φa y φβ son elementosde S, entonces existen A1 y A2 elementos de C tales que φa ∈ A1 yφβ ∈ A2 . Por ser C una cadena, podemos suponer que A1 ⊂ A2

y entonces φα y φβ ∈ A2 . Como este es un conjunto ortonormal,(φα, φβ) = 0. Por la misma razon es claro que ‖φα‖ = ‖φβ‖ = 1.

Por lo tanto podemos aplicar el lema de Zorn y concluir que exis-te un elemento maximal en P , es decir existe un conjunto ortonormal{Ψa}α∈A que contiene a Φ, tal que si {φβ}β∈B es un conjunto ortonormalen H y {Ψa}α∈A ⊂ {φβ}β∈B, entonces {φβ}β∈B = {Ψa}α∈A. Veremosque {Ψa}α∈A es un conjunto ortonormal maximo. Si no lo fuera, exis-

tirıa un elemento x0 ∈[{Ψa}α∈A

]⊥y podemos suponer que ‖x0‖ = 1.

Pero entonces {Ψa}α∈A ∪ {x0} serıa un conjunto ortonormal que con-tiene propiamente a {Ψa}α∈A y que pertenece a P , contradiciendo lamaximalidad de este conjunto.

Corolario 3.28 Todo espacio de Hilbert contiene una base ortonormal.

Demostracion: La prueba es inmediata del lema 3.25 y el teorema3.27.

Corolario 3.29 Sea H un espacio de Hilbert separable de dimensioninfinita. Entonces existe en H un subconjunto ortonormal maximo nu-merable; es mas, todo conjunto ortonormal infinito en H es numerable.

Recıprocamente, si H tiene una base ortonormal numerable, en-tonces es separable.


Demostracion: Sea {φa}a∈A un conjunto ortonormal cualquiera enH. Entonces, si φa y φβ pertenecen a {φa}a∈A ,

‖φa − φβ‖2 = (φa − φβ, φa − φβ) = ‖φa‖2 + ‖φβ‖2 = 2.

Esto quiere decir que las bolas con radio√

2/3 y centro en φa paraα ∈ A, son ajenas entre sı, si α = β. Como H es separable, esto significaque hay solo una cantidad numerable de dichas bolas.

Si {φi}∞i=1 es un conjunto ortonormal maximo, a partir del teorema3.24 es facil ver que el conjunto de las combinaciones lineales finitas delas φi con coeficientes de la forma u+ iv con u, v racionales es denso enH, lo cual termina la demostracion.

Veremos ahora que siempre que tenemos una sucesion de vectoreslinealmente independientes en un espacio de Hilbert H, podemos cons-truir a partir de esta una sucesion ortonormal de vectores que generaal mismo espacio que la sucesion original.

Teorema 3.30 (Ortogonalizacion de Gram-Schmidt) Sea {xn}∞n=1

una sucesion de vectores linealmente independientes en un espacio deHilbert H. Entonces existe una sucesion ortonormal {yn}∞n=1 tal quepara cada n, el espacio generado por x1, ..., xn es el mismo que el gene-rado por y1, ..., yn.

Demostracion: Definimos los vectores yn inductivamente: sea

y1 =x1

‖x1‖.

El vector y2 que buscamos tiene que ser una combinacion lineal de x1, x2

y ademas tiene que ser ortogonal al vector y1. Vemos que si

y2 =x2 − (x2, y1) y1

‖x2 − (x2, y1) y1‖,

usando el hecho que (y1, y1) = 1, obtenemos que

(y2, y1) =(x2, y1) − (x2, y1)

‖x2− (x2, y1) y1‖= 0.


Como ademas y2 tiene norma 1, el vector y2 nos sirve para nuestrospropositos.

Supongamos que el conjunto ortonormal {y1, y2, ..., yn−1} ha sidodefinido de manera que el espacio generado por los vectores y1, y2, ..., yn−1

es el mismo que el generado por x1, x2, ..., xn−1. Sea

yn =xn − (xn, y1) y1 − (xn, y2) y2 − ... − (xn, yn−1) yn−1

‖xn − (xn, y1) y1 − (xn, y2) y2 − ... − (xn, yn−1) yn−1‖.

Claramente yn es un vector unitario que por la hipotesis de inducciones combinacion lineal de x1, ..., xn. Ademas si 1 ≤ i, j ≤ n−1, tomandoen cuenta que (yj, yj) = 1 y que si i = j, (yi, yj) = 0,

(yn, yj) =(xn, yj) − (xn, yj)

‖xn − (xn, y1) y1 − (xn, y2) y2 − ... (xn, yn−1) yn−1‖= 0

y esto termina el proceso de induccion.

3.4.1 Los espacios L2 y l2

Para ilustrar lo que se discutio en las secciones anteriores, hablaremosbrevemente de los espacios L2 y l2. Estos espacios tienen interes especialen la teorıa de los espacios de Hilbert, pues fueron los primeros que sereconocieron como tales, y como veremos, en esencia todos los espaciosde Hilbert son de este tipo.

Empezaremos por dar la definicion de los espacios l2(A).

Definicion 3.31 Sea A = ∅ un conjunto cualquiera. El espacio l2(A)es el conjunto

l2(A) =

{{xα}α∈A : xα ∈ C y

∑α∈A

|xα|2 < ∞}

con la norma ∥∥∥{xα}α∈A

∥∥∥ =

(∑α∈A

|xα|2) 1

2

,

donde la suma se interpreta en el sentido de la definicion 3.22.


Si {xα}α∈A , {yα}α∈A ∈ l2(A) y c ∈C definimos la suma

{xα}α∈A + {yα}α∈A = {xα + yα}α∈A ,

y la multiplicacion

c {xα}α∈A = {cxα}α∈A .

Si A = N, escribiremos simplemente l2 en lugar de l2 (N) .

Teorema 3.32 Sea A = ∅. Entonces l2(A) es un espacio de Hilbertcuyo producto escalar esta dado por:

(x, y) =∑α∈A

xayα

para cualesquiera dos elementos x = {xα}α∈A y y = {yα}α∈A en l2(A).

Demostracion: Es claro que si x = {xα}α∈A ∈ l2(A) y c ∈C, entoncescx ∈ l2 (A) . Sean ahora x = {xα}α∈A y y = {yα}α∈A dos elementos del2(A) y J un subconjunto finito de A de cardinalidad m. Aplicando ladesigualdad del triangulo en Cm,

(∑α∈J |xα + yα|2

) 12 ≤

(∑α∈J |xα|2

) 12 +

(∑α∈J |yα|2

) 12 ≤

≤(∑

α∈A |xα|2) 1

2 +(∑

α∈A |yα|2) 1

2 < ∞.

Con esto hemos probado que l2(A) es un espacio vectorial, ya que esclaro que posee las demas propiedades de espacio vectorial.

Veremos que (·, ·) define un producto interior en l2(A) que inducela norma definida arriba. Sean x, y ∈ l2(A) y J un subconjunto finitode A con cardinalidad m; aplicando el teorema de Cauchy Schwarz aCm obtenemos

|∑α∈J xαyα| ≤(∑

α∈J |xα|2) 1

2(∑

α∈J |yα|2) 1

2 ≤

≤(∑

α∈A |xα|2) 1

2(∑

α∈A |yα|2) 1

2 = ‖x‖ ‖y‖ < ∞,


de manera que (·, ·) esta bien definido. Es ahora un simple ejerciciocomprobar que satisface los postulados de producto interior y una vezhecho esto, es trivial que este producto interior define la norma dada.

Probaremos que el espacio es completo: Sea{x(n)

}∞n=1

una sucesion

de Cauchy en l2(A), donde para cada n ∈ N

x(n) ={y(n)

α

}α∈A

con y(n)α ∈C. Entonces, dada ε > 0, existe N ∈ N tal que si m,n > N ,∥∥∥x(n) − x(m)

∥∥∥2 =∑α∈A

∣∣∣y(n)α − y(m)

α

∣∣∣2 < ε2. (3.2)

Pero esto significa que para cada α ∈ A y m,n > N,∣∣∣y(n)α − y(m)

α

∣∣∣2 < ε2.

Por lo tanto{y(n)

α

}∞n=1

es una sucesion de Cauchy en C que consecuente-

mente tiene un lımite yα. Sea x = {yα}α∈A ; si J es un subconjunto finitode A y n > N, de (3.2) deducimos que

(∑α∈J |yα|2

) 12 ≤

(∑α∈J

∣∣∣yα − y(n)α

∣∣∣2) 12

+(∑

α∈J

∣∣∣y(n)α

∣∣∣2) 12 ≤

≤ ε +∥∥∥y(n)

∥∥∥ ,

y por lo tanto x ∈ l2 (A) . Aplicando (3.2) nuevamente, obtenemos quepara n > N, ∥∥∥x − x(n)

∥∥∥ ≤ ε,

y esto significa que x(n) → x, de donde l2 (A) es un espacio completo.

El teorema siguiente nos dice que todos los espacios de Hilbert sepueden identificar con l2(A) para algun conjunto A.

Teorema 3.33 Sea H un espacio de Hilbert no trivial. Entonces e-xiste un conjunto A tal que H es isomorfo a l2(A); es decir, existeuna transformacion lineal de H sobre l2(A) que preserva el productointerior.


Demostracion: Por el teorema 3.27 existe en H un conjunto ortonor-mal maximo {φα}α∈A , y aplicando el lema 3.25 se puede escribir paratoda x ∈ H

x =∑α∈A

x (α) φα.

Del teorema 3.24, se tiene que

‖x‖2 =∑α∈A

|x (α)|2 .

Si identificamos a toda x ∈ H con la sucesion {x (α)}αeA ∈ l2(A), estonos da un isomorfismo entre H y l2(A) y por el teorema 3.24 (iv), setiene que bajo esta identificacion se conserva el producto interior. Esclaro que si {xα}α∈A ∈ l2(A), entonces el isomorfismo inverso esta dadopor

{xα}α∈A → x =∑α∈A

xαφα.

Se deja como ejercicio al lector comprobar la convergencia de∑

α∈A xαφα

en H.

Corolario 3.34 Si H es un espacio de Hilbert separable de dimensioninfinita, entonces H es isomorfo a l2.

Demostracion: Como H es separable, por el corolario 3.29 existe unconjunto ortonormal maximo numerable {φn}∞n=1 en H. El isomorfismoentre H y l2 es el dado en el teorema anterior, a saber si para n ∈N yx ∈ H, xn = (x, φn), entonces

x ↔ {xn}∞n=1 .

Definiremos a continuacion otra clase de espacios de Hilbert queaparecen frecuentemente en las aplicaciones, los espacios L2. Para estosupondremos que el lector esta familiarizado con teorıa de la medida;en caso contrario puede saltarse lo que sigue de esta subseccion.

Definicion 3.35 Sea (X,A, μ) un espacio de medida, donde X es unconjunto cualquiera, A es una sigma-algebra de subconjuntos de X y μ


es una medida en A. Entonces si F denota al conjunto de funcionesmedibles f : X →C, definimos para cada f ∈ F

f = {g ∈ F : f (x) = g (x) μ − casi dondequiera}

y

L2 (X,μ,A) ={f : f ∈ F y

∫X|f |2 dμ < ∞

}con las operaciones dadas para cada f, g ∈ F y para cada c ∈C por:

f + g = f + g y cf = cf .

Es facil ver que ∼ define una relacion de equivalencia en F .

Teorema 3.36 El espacio L2 (X,μ,A) es un espacio de Hilbert con elproducto interior dado como sigue: Si f , g ∈ L2 (X,μ,A)(

f , g)

=∫

Xfgdμ

donde f y g son dos representantes cualesquiera de las clases de equi-valencia f y g respectivamente.

Demostracion: El que este espacio es efectivamente un espacio vec-torial se obtiene de la desigualdad de Holder:∣∣∣∣∫

Xfgdμ

∣∣∣∣ ≤ (∫X|f |2 dμ

) 12(∫

X|g|2 dμ

) 12

.

A partir de ahı es inmediato ver que (·, ·) define un producto interior,y que la norma entonces esta dada por

∥∥∥f∥∥∥ =(∫

X|f |2 dμ

) 12

.

Lo mas complicado en esta demostracion es comprobar que L2 (X,μ,A)

es completo. Sea{fn

}una sucesion de Cauchy en L2 (X,μ,A) . En-

tonces existe una subsucesion{fni

}tal que para i = 1, 2, ...

∥∥∥fni− fni+1

∥∥∥ <1

2i. (3.3)


Sean fni∈ fni

,

gm =m∑

i=1

∣∣∣fni− fni+1

∣∣∣ y g =∞∑i=1

∣∣∣fni− fni+1

∣∣∣ .De la desigualdad del triangulo obtenemos que ‖gm‖ ≤ 1 y aplicandoel lema de Fatou se tiene que∫

X|g|2 dμ =

∫X

lim infm |gm|2 dμ ≤ lim infm

∫X|gm|2 dμ ≤ 1,

es decir ‖g‖ ≤ 1. Esto a su vez significa que g (x) < ∞ para casi todax ∈ X, de manera que la serie

fn1(x) +∞∑i=1

(fni+1

(x) − fni(x))

(3.4)

converge absolutamente para casi toda x ∈ X. Sea f (x) la funciondefinida por la serie (3.4) en los puntos que esta existe y f (x) = 0 enel conjunto de medida cero restante. Como

fn1 +m−1∑i=1

(fni+1

− fni

)= fnm

,

de los razonamientos anteriores concluimos que

limm→∞

fnm(x) = f (x) para casi toda x ∈ X.

Veremos ahora que f es el lımite de la sucesion{fn

}en L2 (X,μ,A) .

Sea ε > 0. Entonces existe N ∈ N tal que si m,n > N,∥∥∥fm − fn

∥∥∥ < ε.

Usando nuevamente el lema de Fatou obtenemos para m > N∫X|f − fm|2 dμ ≤ lim infi

∫X|fni

− fm|2 dμ ≤ ε2. (3.5)

Por lo tanto ˜f − fm ∈ L2 (X,μ,A) y como f =( ˜f − fm

)+ fm, tambien

f ∈ L2 (X,μ,A) y de (3.5) vemos que∥∥∥ ˜f − fm

∥∥∥ → 0 en L2 (X,μ,A) ,lo cual demuestra que este espacio es completo.


Uno de los casos particulares mas interesantes, que aparece en variasaplicaciones, es aquel en el cual X = [−π, π] , A es la sigma-algebra de

Borel en X y μ =1

2πλ , donde λ es la medida de Lebesgue. En este caso

vamos a demostrar la existencia de un conjunto ortonormal maximonumerable en L2 ([−π, π] ,A, μ) , lo cual implica que este espacio esseparable y consecuentemente es isomorfo a l2.

Teorema 3.37 El conjunto de funciones {un}∞n=−∞ definidas para todat ∈ [−π, π] y n entero por

un (t) = e−int,

es un conjunto ortonormal maximo en L2 ([−π, π] ,A, μ) .

Demostracion:

(un, um) =1

2π

π∫−π

e−i(n−m)tdt =

=

{1 si m = n12π

in−m

e−i(n−m)t |πt=−π si m = n=

{1 si m = n0 si m = n

de manera que {un}∞n=−∞ es un conjunto ortonormal. Veremos ahoraque si T es el conjunto de todas las funciones dadas por

g (t) =n∑

k=−n

ckeikt

para t ∈ [−π, π] y {ck}nk=−n ⊂C, entonces T es un conjunto denso en

L2 ([−π, π] ,A, μ) y usando el teorema 3.24, se concluye que {un}∞n=−∞

es un conjunto ortonormal maximo.Primeramente es claro que si g ∈ T , entonces g pertenece al con-

junto de las funciones continuas en [−π, π] denotado por C ([−π, π]) .Sea ahora f ∈ L2 ([−π, π] ,A, μ) y ε > 0. Se sabe que las fun-

ciones continuas son densas en L2 y por lo tanto existe una funcionh ∈ C ([−π, π]) tal que

‖f − h‖2 < ε/3,

3.5. Operadores en espacios de Hilbert 51

donde ‖·‖2 denota la norma en L2 ([−π, π] ,A, μ) . Por otro lado, cam-biando los valores de h en un intervalo pequeno de la forma [π − δ, π]si hace falta, podemos encontrar una funcion j ∈ C ([−π, π]) con

j (−π) = j (π) y ‖j − h‖2 ≤ ε/3.

Usando ahora el teorema de Stone Weierstrass para el caso complejo,sabemos que, como T es un algebra autoadjunta que separa puntos yno se anula en ningun punto de [−π, π) y tal que para toda g ∈ T setiene g (−π) = g (π) , entonces T es denso en

C ([−π, π]) ∩ {g : [−π, π] → C tales que g (−π) = g (π)} .

Por lo tanto existe una funcion ψ ∈ T tal que

‖ψ − j‖2 ≤ ε/3.

Combinando las tres ultimas desigualdades, se tiene que

‖f − ψ‖2 ≤ ε,

lo cual prueba la densidad de T en L2 ([−π, π] ,A, μ) .

3.5 Operadores en espacios de Hilbert

3.5.1 Funcionales lineales

Algo que hace muy especiales a los espacios de Hilbert H, es el hecho deque todas las funciones lineales continuas de H en K se pueden repre-sentar siempre como el producto interior por un elemento que perteneceal espacio que es el inverso del teorema 3.9 en donde se observo quela funcional lineal x → (x, y) es continua. Esta propiedad simplificaenormemente el manejo de dichas funciones, lo cual hace a los espaciosde Hilbert especialmente utiles para las aplicaciones.

Definicion 3.38 Una funcional lineal en un espacio de Hilbert H esuna funcion lineal L : H → K.


Teorema 3.39 (de representacion de Riesz) Si L es una funcionallineal continua en un espacio de Hilbert H, entonces existe un unico e-lemento y ∈ H tal que para toda x ∈ H, Lx = (x, y).

Demostracion: Si Lx = 0 para toda x ∈ H, sea y = 0. Si no, seaM = {x ∈ H : Lx = 0} . Como L es lineal, M es un subespacio de Hy como ademas L es continua, M = L−1(0) es un conjunto cerrado.Por hipotesis M = H y entonces por el corolario 3.15 existe z = 0, quepodemos suponer tiene norma 1, tal que z ∈ M⊥. Para cada x ∈ H sea

u = (Lx)z − (Lz)x.

Entonces Lu = (Lx)(Lz) − (Lz)(Lx) = 0 y u pertenece a M. Porconsiguiente (u, z) = 0 y usando la definicion de u obtenemos

0 = (Lx)(z, z) − (Lz)(x, z) = Lx − (Lz)(x, z),

o equivalentemente

Lx = Lz(x, z) =(x, Lzz

).

Sea y = Lzz. Entonces y satisface la conclusion y por el teorema 3.2(5) y es unico con esta propiedad.

Corolario 3.40 Sea L una funcional lineal continua en un espacio deHilbert H no identicamente cero y sea

M = ker (L) = {x ∈ H : Lx = 0} .

Entonces ker (L)⊥ tiene dimension uno.

Demostracion: Sea y como en el teorema 3.39. Si z1 ∈ M⊥, por lademostracion del teorema anterior, y1 = Lz1z1 es tal que Lx = (x, y1)y consecuentemente por la unicidad de y

Lz1z1 = y1 = y,

es decir M⊥ = sp {y1} .

Otra consecuencia del teorema 3.39 es que toda funcional linealcontinua en un espacio de Hilbert alcanza su maximo en la bola unitaria.Esto es sorprendente ya que, como veremos mas adelante en el capıtulo4, la bola en general no es compacta.


Corolario 3.41 Si L : H → K es una funcional lineal continua, existeh0 ∈ H con ‖h0‖ = 1 tal que

|Lh0| = sup {|Lx| : x ∈ H, ‖x‖ = 1} .

Demostracion: Por el teorema 3.39 existe y ∈ H tal que para toda

x ∈ H, Lx = (x, y) . Sea h0 =y

‖y‖ . Por la desigualdad de Cauchy-

Schwarz, si ‖x‖ ≤ 1,

|Lx| = |(x, y)| ≤ ‖y‖ .

Pero Lh0 = ‖y‖ , que es lo que deseabamos probar.

3.5.2 El dual de un espacio de Hilbert

Definicion 3.42 El espacio dual H∗ de un espacio de Hilbert H sobreel campo K, donde K es ya sea C o R, es el espacio de las funcionaleslineales continuas con dominio H .

Es facil ver que H∗ es un espacio vectorial sobre K, usando el pro-ducto por un escalar y la suma usuales de funciones.

La proposicion siguiente describe una caracterizacion equivalente delos operadores lineales continuos entre dos espacios normados, que esmuy conveniente y en este capıtulo nos servira para describir el espaciodual de un espacio de Hilbert.

Proposicion 3.43 Sean (X, ‖·‖X) , y (Y, ‖·‖Y ) dos espacios normadosy sea L : X → Y una funcion lineal. Entonces L es continua si y solosi existe c ∈R, tal que para toda x ∈ X

‖Lx‖Y ≤ c ‖x‖X .

Se dice entonces que L es un operador acotado.

Demostracion: Supongamos primero que L es una funcion lineal con-tinua. En particular L es continua en 0 y por lo tanto existe δ > 0 talque si ‖x‖X < δ, entonces

‖Lx‖Y < 1.


Sean x ∈ X y ε > 0 cualesquiera. Entonces

∥∥∥∥∥ δx

(‖x‖X + ε)

∥∥∥∥∥X

< δ y por

lo tanto ∥∥∥∥∥L δx

(‖x‖X + ε)

∥∥∥∥∥Y

< 1,

o equivalentemente,

‖Lx‖Y <1

δ|(‖x‖X + ε)| .

Como esto es cierto para toda ε > 0, resulta que si c =1

δ, entonces

para cualquier x ∈ X‖Lx‖Y ≤ c ‖x‖X .

Al reves, supongamos que existe c tal que se satisface la desigualdadanterior para toda x ∈ X. Claramente si c = 0, L ≡ 0. Si c = 0 y ε > 0,

entonces, si δ =ε

cy ‖x‖X < δ, tenemos que ‖Lx‖Y < ε. Sea x1 ∈ X; si

x2 ∈ X y ‖x1 − x2‖X < δ, resulta que

‖L (x1 − x2)‖Y < ε,

lo cual significa que L es continua.

Lo anterior nos permite definir una norma en el espacio dual de H:

Lema 3.44 La funcion ‖·‖ : H∗ →R definida en el dual H∗ de unespacio de Hilbert H mediante

‖L‖ = sup

{∣∣∣∣∣L h

‖h‖

∣∣∣∣∣ : h ∈ H

}

para cada L ∈ H∗, es una norma en H∗.

Demostracion: Por la proposicion anterior, ‖L‖ esta bien definida.Se le deja al lector verificar que ‖·‖ efectivamente define una norma enH∗.

Acabamos de ver que H∗ es un espacio normado, pero, aun mas,esta norma resulta estar dada por un producto interior.


Proposicion 3.45 Sea H un espacio de Hilbert y H∗ su dual. En-tonces H∗ es un espacio de Hilbert y existe una isometrıa lineal con-jugada entre H y H∗. Esto significa que existe una funcion

F : H → H∗

tal que F es biyectiva, F (h1 + ch2) = Fh1+cFh2 para toda h1, h2 ∈ H,c ∈C y ‖Fh‖ = ‖h‖ para toda h ∈ H.

Demostracion: Si y ∈ H, denotemos por Ly a la funcional lineal dadapor

Lyx = (x, y)

para toda x ∈ H, que por el teorema 3.9 sabemos que es continua.Tenemos que

|Lyx| ≤ ‖x‖ ‖y‖para toda x ∈ H y por lo tanto ‖Ly‖ ≤ ‖y‖ . Por otro lado

Ly

(y

‖y‖

)= ‖y‖

y de esto obtenemos que

‖Ly‖ = ‖y‖ . (3.6)

Al reves, si L ∈ H∗, sabemos por el teorema 3.39 que existe y ∈ Htal que

Lx = (x, y)

para toda x ∈ H, es decir L = Ly. La asociacion y → Ly resulta serentonces una isometrıa lineal conjugada, pues si y, z ∈ H y c ∈C,entonces

Ly+cz(x) = (x, y + cz) = (Ly + cLz) (x) (3.7)

para toda x ∈ H.Ahora bien, es facil probar que H∗ resulta ser un espacio de Hilbert

si consideramos el producto interior: (·, ·)1 definido mediante

(Lx, Ly)1 = (y, x)

para x, y ∈ H, y esto termina la prueba.


Corolario 3.46 Sea H un espacio de Hilbert. Entonces H∗∗, el espaciodual de H∗, es isometricamente isomorfo a H, es decir existe unoperador lineal biyectivo entre H y H∗∗ tal que preserva la norma.

Demostracion: Usaremos el hecho que toda h∗ ∈ H∗ es de la formaLy para alguna y ∈ H. Sea H∗∗ el doble dual de H. Si para una x fijaen H, la funcional h∗∗

x en H∗∗ esta definida por

h∗∗x (Ly) = (x, y)

para toda y ∈ H, entonces, usando (3.7) obtenemos que h∗∗x es lineal y

pertenece a H∗∗ ya que como ‖Ly‖ = ‖y‖,

‖h∗∗x ‖ = sup

‖Ly‖=1|(x, y)| = sup

‖y‖=1|(y, x)| = ‖Lx‖ = ‖x‖ . (3.8)

Por otro lado, si h∗∗ ∈ H∗∗, por el teorema 3.39 y por la proposicionanterior, existe x ∈ H tal que

h∗∗ (Ly) = (Ly, Lx) = (x, y) = Lyx

para toda y ∈ H. Entonces h∗∗ = h∗∗x y por (3.8) ‖h∗∗‖ = ‖x‖ y la

asociacion x → h∗∗x nos da la isometrıa lineal buscada.

Para los espacios de Hilbert es muy facil probar el teorema de Hahn-Banach, que nos permite extender funcionales lineales definidas sobresubespacios cerrados a todo el espacio, conservando la norma. Esteteorema se vera mas adelante para espacios de Banach, donde la pruebaes no trivial, pues depende del lema de Zorn.

Teorema 3.47 (de Hahn-Banach) Sean M un subespacio cerradode un espacio de Hilbert H y L : M → K una funcional lineal continua.Entonces existe L : H → K, extension de L, tal que

∥∥∥L∥∥∥ = ‖L‖ .

Demostracion: Por el teorema 3.39 existe y ∈ M tal que Lx = (x, y)para toda x ∈ M. Definimos L mediante Lx = (x, y) para toda x ∈ H.Entonces por (3.6) de la proposicion 3.45

‖L‖ = ‖y‖ =∥∥∥L∥∥∥ .


Aplicando resultados anteriores, veremos que los operadores sesqui-lineales de H × H en C, de manera parecida a los lineales, tambien sepueden expresar en terminos de cierto producto interior.

Definicion 3.48 Una funcion f : H × H →C se llama sesquilineal siel operador fy : H →C dado por fy(x) = f(x, y) para cada x, y ∈ Hes lineal y el operador fx : H →C dado por fx(y) = f(x, y) para cadax, y ∈ H es lineal conjugado, es decir fx(ay) = afx(y) para toda a ∈Cy para toda y ∈ H.

Diremos que f es acotada si sup {|f(x, y)| : ‖x‖ = ‖y‖ = 1} < ∞.

Teorema 3.49 Sean f : H × H →C sesquilineal y acotada y

K = sup {|f(x, y)| : ‖x‖ = ‖y‖ = 1} .

Entonces existe un unico operador lineal S : H → H acotado tal que

f(x, y) = (x, Sy) para todo x, y ∈ H.

Ademas ‖S‖ = sup {‖Sx‖ : ‖x‖ = 1} = K.

Demostracion: Como |f(x, y)| ≤ K ‖x‖ ‖y‖ para cada x, y ∈ H, eloperador lineal fy : H →C es acotado con norma menor o igual aK ‖y‖ . Por lo tanto, usando el teorema 3.39, sabemos que para caday ∈ H existe un unico elemento Sy tal que

f(x, y) = fy(x) = (x, Sy) para toda x ∈ H.

Pero para cada x ∈ H fija, para todo a ∈C y para y1, y2 ∈ H

(x, S (y1 + ay2)) = f (x, y1 + ay2) = f (x, y1) + af (x, y2) =

= (x, Sy1) + a (x, Sy2) = (x, Sy1) + (x, aSy2) =

= (x, Sy1 + aSy2) ,

de donde concluimos que S es lineal; como ademas

‖Sy‖ = ‖fy‖ ≤ K ‖y‖


para toda y ∈ H, resulta que ‖S‖ ≤ K y esto implica que S es unoperador lineal acotado. Por otro lado tambien se satisface que

|f(x, y)| = |(x, Sy)| ≤ ‖x‖ ‖Sy‖ ≤ ‖x‖ ‖S‖ ‖y‖ ,

y de aquı se deduce que K ≤ ‖S‖ y consecuentemente K = ‖S‖ .

Corolario 3.50 Si f : H×H →C satisface las condiciones del teorema3.49 y si existe K = 0 tal que

|f(x, x)| ≥ K ‖x‖2 ,

entonces, si S es el operador del teorema anterior, S es invertible y‖S−1‖ ≤ 1/K; ademas

(x, y) = f(x, S−1y

).

Demostracion: Veremos que S es biyectivo; en efecto tenemos quepara toda x ∈ H

‖x‖ ‖Sx‖ ≥ |(x, Sx)| = |f(x, x)| ≥ K ‖x‖2

y de aquı

‖Sx‖ ≥ K ‖x‖ . (3.9)

Esto implica que S es inyectivo. Ademas el rango de S es cerrado,ya que si {xn} es tal que Sxn → y para alguna y ∈ H, entonces por(3.9)

‖Sxn − Sxm‖ ≥ K ‖xn − xm‖ ,

la sucesion {xn} es de Cauchy y por lo tanto tiene un lımite x0. Dela continuidad del operador S, se deduce que y = Sx0. Supongamosahora que SH = H. Como SH es un subespacio cerrado de H, por elcorolario 3.15 existe z = 0 tal que z ∈ (SH)⊥ . Pero esto nos dice que

0 = (z, Sz) = f(z, z) ≥ K ‖z‖2


lo cual es una contradiccion. Consecuentemente SH = H, S es inver-tible y

(x, y) =(x, SS−1y

)= f(x, S−1y).

Si x ∈ H, de (3.9) aplicado al elemento S−1x, obtenemos

‖x‖ ≥ K∥∥∥S−1x

∥∥∥y en consecuencia ‖S−1‖ ≤ 1/K.

3.5.3 Operadores entre espacios de Hilbert

En esta subseccion estudiaremos algunas clases especiales de operadoresen espacios de Hilbert. En primer termino veremos que todo operadorde un espacio de Hilbert H en sı mismo, tiene asociado otro operador,tambien de H en H, llamado operador adjunto. La relacion entre unoperador y su adjunto es de gran importancia; un ejemplo de ello es suutilidad en la solucion de ecuaciones diferenciales parciales.

En lo que sigue B (H) denotara al espacio normado completo delos operadores lineales continuos de H en H equipado con la norma

‖T‖ = sup {‖Tx‖ : x ∈ H, ‖x‖ ≤ 1} .

(Ver ejercicio 14).

Teorema 3.51 Sean T, S ∈ B (H) y α ∈C. Entonces existen T ∗, S∗

pertenecientes a B (H) tales que:

(1) (Tx, y) = (x, T ∗y) para toda x, y ∈ H.

(2) ‖T‖ = ‖T ∗‖ .

(3) (T + S)∗ = T ∗ + S∗.

(4) (αT )∗ = αT ∗.

(5) (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗.

(6) T ∗∗ = T.


T ∗ se llama el operador adjunto de T.

Demostracion: Sea T ∈ B (H) . Entonces para cada x, y ∈ H, se tieneque (T (·) , y) : H → C es lineal, (Tx, ·) : H → C es lineal conjugada y

sup {|(Tx, y)| : ‖x‖ = ‖y‖ = 1} ≤ ‖T‖ .

Como para x ∈ H con Tx = 0∣∣∣∣∣(Tx,

Tx

‖Tx‖

)∣∣∣∣∣ = ‖Tx‖

y ‖T‖ = sup‖x‖=1 ‖Tx‖ , resulta que

sup {|(Tx, y)| : ‖x‖ = ‖y‖ = 1} = ‖T‖ .

Usando el teorema 3.49 existe entonces un unico operador en B (H)que denotaremos por T ∗ que satisface (1) y (2). Sea S ∈ B (H) . Comopara x, y ∈ H

((S + T ) x, y) = (Sx, y) + (Tx, y) = (x, S∗y) + (x, T ∗y) =

= (x, (S∗ + T ∗) y) ,

aplicando el teorema 3.2 (5) obtenemos que (S + T )∗ = S∗ + T ∗.Ahora bien, para toda x, y ∈ H

(αTx, y) = α (Tx, y) = α (x, T ∗y) = (x, αT ∗y) ,

y aplicando nuevamente el teorema 3.2 (5), obtenemos (4).Como para x, y ∈ H,

(STx, y) = (Tx, S∗y) = (x, T ∗S∗y) ,

obtenemos (5), y de

(Tx, y) = (x, T ∗y) = (T ∗y, x) = (y, T ∗∗x) = (T ∗∗x, y)

para x, y ∈ H, aplicando nuevamente el teorema 3.2 (5), obtenemos(6).


Ademas, de

‖Tx‖2 = (Tx, Tx) = (x, T ∗Tx) ≤ ‖T ∗ ◦ T‖ ‖x‖2

tenemos que ‖T‖2 ≤ ‖T ∗ ◦ T‖2 . Por otro lado, de (2) se deduce que

‖T ∗ ◦ T‖ ≤ ‖T ∗‖ ‖T‖ = ‖T‖2 ,

de manera que para toda T ∈ B (H) se cumple

‖T ∗ ◦ T‖ = ‖T‖2 .

Observemos que si al operador adjunto T ∗ lo vemos como un ope-rador τ ∗ : H∗ → H∗, es decir si para y∗ ∈ H∗

τ ∗y∗ = LT ∗y,

donde y ∈ H es tal que y∗ = Ly, entonces tenemos para x ∈ H

τ ∗y∗(x) = LT ∗y (x) = (x, T ∗y) = (Tx, y) = Ly (Tx) = y∗ (Tx) .

Esto implica que τ ∗ es el operador adjunto de T en el sentido de ope-radores en espacios de Banach que se vera mas adelante.

Sean ahora T ∈ B(H) y ker(T ) el espacio nulo de T definido en elcorolario 3.40 como

ker T = {x ∈ H : Tx = 0}

y sea R(T ) el rango de T dado por

R (T ) = {y ∈ H : existe x ∈ H tal que Tx = y} .

Tenemos entonces las siguientes relaciones entre los rangos y losespacios nulos de T y T ∗ :

Teorema 3.52 Si T ∈ B(H), entonces

ker(T ∗) = R (T )⊥ y ker(T ) = R (T ∗)⊥.


Demostracion: Sea y ∈ H. Entonces

T ∗y = 0 ⇔ (x, T ∗y) = 0 para toda x ∈ H ⇔

⇔ (Tx, y) = 0 para toda x ∈ H

y esto demuestra la primera afirmacion.Por otro lado

Tx = 0 ⇔ (Tx, y) = 0 para toda y ∈ H ⇔

⇔ (x, T ∗y) = 0 para toda y ∈ H

y esto demuestra la segunda. Observamos que esta tambien se puedeobtener a partir de la primera, aplicandosela al operador T ∗, teniendoen mente que T ∗∗ = T.

Los operadores lineales que se comportan bien respecto a sus adjun-tos tienen varias aplicaciones en la practica. Definiremos a continuacionalgunos de estos operadores.

Definicion 3.53 Sea T ∈ B(H). Entonces T se llama

i) autoadjunto o hermitiano si T ∗ = T,

ii) normal si T ∗ ◦ T = T ◦ T ∗,

iii) unitario si T ∗ ◦ T = I = T ◦ T ∗ donde I es el operador identidaden H.

Los operadores autoadjuntos tienen especial relevancia en la meca-nica cuantica, en la cual las llamadas “observables” son precisamenteoperadores de esta ındole. Una de las razones fundamentales por lasque se usan estos operadores, es que tienen la virtud de que sus valorespropios son reales.

Es facil ver que la suma de dos operadores autoadjuntos es un o-perador autoadjunto, ası como el producto de un numero real por unoperador autoadjunto.

La demostracion del lema siguiente es inmediata a partir de ladefinicion de operador autoadjunto y del teorema 3.51.


Lema 3.54 El producto de dos operadores autoadjuntos S y T es au-toadjunto si y solo si

S ◦ T = T ◦ S.

Del lema y la discusion anteriores se concluye que si p es un poli-nomio con coeficientes reales, entonces p (T ) es un operador autoad-junto para cada operador autoadjunto T.

El siguiente teorema sobre operadores autoadjuntos se usa frecuente-mente, sobre todo en el caso en el que los operadores son proyeccionesortogonales.

Teorema 3.55 Sean S, T ∈ B(H) con S autoadjunto. Entonces

S ◦ T = 0 si y solo si R(S) ⊥ R(T ).

Demostracion: Para toda x, y ∈ H,

(Sx, Ty) = (x, S∗Ty) = (x, STy) .

Si T es cualquier operador entonces existen dos operadores autoad-juntos unicos T1 y T2 tales que

T = T1 + iT2.

Estos operadores que se podrıan llamar la parte real e imaginaria de Testan dados por

T1 =1

2(T + T ∗) y T2 =

1

2i(T − T ∗) .

SiT = T1 + iT2 = S1 + iS2 (3.10)

con S1 y S2 operadores autoadjuntos, entonces

T1 − iT2 = T ∗1 − iT ∗

2 = S∗1 − iS∗

2 = S1 − iS2. (3.11)

Sumando y restando (3.10) y (3.11) obtenemos que T1 = S1 y T2 = S2.El hecho de que en general la parte real y la parte imaginaria de

un operador no conmutan, complica considerablemente su estudio; estodio lugar a la definicion de los operadores normales.


Lema 3.56 Si T = T1 + iT2 donde T1 y T2, la parte real e imaginariade T, son operadores autoadjuntos, entonces T es un operador normalsi y solo si T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1.

Demostracion: Como T ∗ = T ∗1 − iT ∗

2 ,

T ∗ ◦ T = T ∗1 ◦ T1 + T ∗

2 ◦ T2 + i (T ∗1 ◦ T2 − T ∗

2 ◦ T1) == T1 ◦ T1 + T2 ◦ T2 + i (T1 ◦ T2 − T2 ◦ T1)

yT ◦ T ∗ = T1 ◦ T ∗

1 + T2 ◦ T ∗2 + i (T2 ◦ T ∗

1 − T1 ◦ T ∗2 ) =

= T1 ◦ T1 + T2 ◦ T2 + i (T2 ◦ T1 − T1 ◦ T2) ,

entonces T ∗ ◦ T = T ◦ T ∗ si y solo si T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1.

El siguiente teorema da otras propiedades de los operadores nor-males cuya prueba se deja como ejercicio al lector.

Teorema 3.57 Sea T ∈ B(H). Entonces

a) T es normal si y solo si ‖Tx‖ = ‖T ∗x‖ para toda x ∈ H.

b) Si T es normal, entonces ker(T ) = ker(T ∗) = R(T )⊥.

c) Si T es normal y para alguna x ∈ H y para alguna α ∈C , Tx = αx,entonces T ∗x = αx.

Veremos que los operadores lineales unitarios son precisamente a-quellos que son suprayectivos y preservan el producto interior, y poresto se les conoce como automorfismos de un espacio de Hilbert; sepueden caracterizar de varias maneras:

Teorema 3.58 Sea T ∈ B(H). Entonces son equivalentes las siguien-tes tres afirmaciones:

a) T es unitario

b) R(T ) = H y (Tx, Ty) = (x, y) para toda x, y ∈ H.

c) R(T ) = H y ‖Tx‖ = ‖x‖ para toda x ∈ H.


Demostracion: a)⇒b) Supongamos que T es un operador acotado yunitario en H. Entonces, como T es invertible, R(T ) = H y ademaspara toda x, y ∈ H, tenemos que

(Tx, Ty) = (x, T ∗Ty) = (x, y) . (3.12)

b)⇒c) Supongamos ahora que R(T ) = H y (Tx, Ty) = (x, y) paratoda x, y ∈ H; en particular tomando y = x, obtenemos c).

c)⇒a) Si R(T ) = H y ‖Tx‖ = ‖x‖ para toda x ∈ H, entonces

(x, x) = (Tx, Tx) = (x, T ∗Tx) (3.13)

y si denotamos por S al operador T ∗ ◦ T − I, esto nos dice que

(x, Sx) = 0 (3.14)

para toda x ∈ H. Sean x, y ∈ H; aplicando (3.14) al elemento x + yobtenemos

0 = (x + y, S (x + y)) = (x, Sx) + (x, Sy) + (y, Sx) + (y, Sy) =

= (x, Sy) + (y, Sx) .(3.15)

Si ahora tomamos iy en lugar de y en (3.15) resulta:

0 = −i (x, Sy) + i (y, Sx)

o sea que

0 = − (x, Sy) + (y, Sx) . (3.16)

Restando (3.15) y (3.16) deducimos que (x, Sy) = 0 para toda x, y ∈ Hy por lo tanto, si tomamos x = Sy, tenemos que Sy = 0 para today ∈ H.

En el caso real, como (y, Sx) = (Sx, y) , de (3.15) obtenemos paratoda x, y ∈ H

0 = (x, Sy) + (y, Sx) = (x, Sy) + (Sx, y) = (x, (S + S∗) y) ,

de donde S +S∗ = 0 y S = −S∗. Como S = S∗, deducimos que S = 0.


Por lo tanto en ambos casos

T ∗Ty = y (3.17)

para toda y ∈ H. Como R(T ) = H, para toda y ∈ H existe u ∈ H talque y = Tu. Aplicando (3.17)

TT ∗y = T (T ∗Tu) = Tu = y.

Esto concluye la prueba.

Observemos que para que T sea un operador unitario no basta unasola de las dos condiciones T ◦ T ∗ = I o T ∗ ◦ T = I. Por ejemplo sidefinimos T : l2 → l2 por T ({xn}∞n=1) = {xn−1}∞n=1 , donde x0 = 0, esclaro que ‖Tx‖ = ‖x‖ , T ∗ esta dado por T ∗ ({xn}∞n=1) = {xn+1}∞n=1

y T ∗T = I. Sin embargo T no es un operador unitario ya que no essuprayectivo.

La razon por la cual no es suficiente una sola de las dos condicionesanteriores es la siguiente: en el caso de espacios de Hilbert de dimensioninfinita para que un operador T perteneciente a B (H) tenga un ope-rador inverso tambien en B (H) , es necesario que T sea suprayectivo einyectivo, mientras que en el caso de espacios de dimension finita, tantola suprayectividad como la inyectividad solas son suficientes.

3.6 Operadores positivos

En esta seccion hablaremos de los operadores positivos en espaciosde Hilbert. Estos operadores tienen una propiedad analoga a la delos numeros reales positvos, es decir existe un operador positivo cuyocuadrado es el operador original.

En lo que resta del capıtulo H denotara un espacio de Hilbert com-plejo.

Definicion 3.59 Un operador T ∈ B (H) se llama positivo si para todax ∈ H, (Tx, x) ≥ 0; en este caso escribimos T ≥ 0. Si S, T ∈ B (H)diremos que S ≤ T si T − S ≥ 0.

El lema siguiente se deja como ejercicio al lector.

3.6. Operadores positivos 67

Lema 3.60 Sea T : H → H lineal. Entonces para toda x, y ∈ H

(Tx, y) = 14[(T (x + y) , x + y) − (T (x − y) , x − y)] +

+14[i (T (x + iy) , x + iy) − i (T (x − iy) , x − iy)] .

(3.18)

El siguiente teorema y su corolario describen algunas propiedadesimportantes de los operadores positivos.

Teorema 3.61 Sea T ∈ B (H) positivo; entonces

a) T es autoadjunto.

b) |(Tx, y)|2 ≤ (Tx, x) (Ty, y) para toda x, y ∈ H.

c) ‖Tx‖2 ≤ ‖T‖ (Tx, x) .

d) ‖T‖ = sup‖x‖=1 |(Tx, x)| .Demostracion: Sea x ∈ H. Entonces 0 ≤ (Tx, x) = (x, Tx) =(T ∗x, x) y usando (3.14), (3.15) y (3.16), obtenemos que T = T ∗, loque prueba a).

b) Se prueba de manera semejante a la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

c) Por b), ‖Tx‖4 = (Tx, Tx)2 ≤ (Tx, x) (T 2x, Tx) ≤ (Tx, x) ‖T‖ ‖Tx‖2 .d) Si x ∈ H con ‖x‖ = 1, claramente

|(Tx, x)| ≤ ‖Tx‖ ‖x‖ = ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ .

Ademas por b) Tx = 0 (ver ejercicio 19). Sean α = ‖Tx‖ 12 , y =

Tx

αy

β = sup‖z‖=1 |(Tz, z)| . Por (3.18) y como ‖Tx‖2 es real,

‖Tx‖2 = (Tαx, y) = 14[(T (αx + y) , αx + y) − (T (αx − y) , αx − y)] ≤

≤ β4

[‖αx + y‖2 + ‖αx − y‖2

]= β

2

[‖αx‖2 + ‖y‖2

]=

= β2

[|α|2 + ‖Tx‖

]= β ‖Tx‖ .

Consecuentemente ‖Tx‖ ≤ β y entonces ‖T‖ = sup‖z‖=1 |(Tz, z)| .


Corolario 3.62 Si S, T ∈ B (H) y 0 ≤ S ≤ T, entonces ‖S‖ ≤ ‖T‖ .

El hecho de que el producto de dos operadores positivos que con-mutan entre sı es tambien positivo, es parte crucial en la prueba dela existencia de la raız cuadrada de un operador positivo. Aunque elenunciado es muy simple, su demostracion requiere de la proposicionsiguiente que involucra series de operadores positivos.

Proposicion 3.63 Sea T ∈ B (H) positivo, entonces existe una sucesion{Tn} de operadores que son polinomios en T con coeficientes reales, talque para toda x ∈ H

Tx =∞∑

n=1

T 2nx.

Demostracion: Podemos suponer que T = 0. Sean S1 =T

‖T‖ y

Sn+1 = Sn − S2n para n = 1, 2, ...; entonces por induccion sobre n y

m es claro que SnSm = SmSn y que Sn es un polinomio en T concoeficientes reales. Veremos ahora, nuevamente por induccion, que

0 ≤ Sn ≤ I, (3.19)

donde I es la identidad. Para n = 1 por c) del teorema anterior laafirmacion es inmediata. Supongamos que (3.19) es cierto para n = m.Como por hipotesis de induccion I − Sm y Sm son autoadjuntos y(

S2m (I − Sm) x, x

)= ((I − Sm) Smx, Smx) ≥ 0

y (Sm (I − Sm)2 x, x

)= (Sm (I − Sm) x, (I − Sm) x) ≥ 0

se sigue que S2m (I − Sm) ≥ 0 y Sm (I − Sm)2 ≥ 0 y consecuentemente

Sm+1 = S2m (I − Sm) + Sm (I − Sm)2 ≥ 0

yI − Sm+1 = I − Sm + S2

m ≥ 0

lo cual prueba (3.19).

3.6. Operadores positivos 69

De∑n

m=1 S2m = S1 − Sn+1 ≤ S1, se sigue que

n∑m=1

(Smx, Smx) ≤ (S1x, x)

y por lo tanto ‖Smx‖ →n→∞

0. Entonces∑n

m=1 S2mx →

n→∞S1x. Tomando

Tn =√‖T‖Sn, obtenemos la proposicion.

Corolario 3.64 Si T y S son operadores positivos y ST = TS, en-tonces ST es positivo.

Demostracion: Sea Tn como en el teorema anterior. Entonces clara-mente TnS = STn y

(STx, x) =∞∑

n=1

(ST 2

nx, x)

=∞∑

n=1

(STnx, Tnx) ≥ 0.

El siguiente teorema es la segunda herramienta esencial en la pruebade la existencia de raıces de operadores positivos.

Teorema 3.65 Sean {Tn} , B en B (H) tales que 0 ≤ Tn ≤ Tn+1 ≤ Bpara toda n ∈ N. Entonces existe T ∈ B (H) positivo tal que para todax ∈ H, limn Tnx = Tx.

Demostracion: Sea x ∈ H; como

0 ≤ (Tnx, x) ≤ (Tn+1x, x) ≤ (Bx, x) ,

existe limn (Tnx, x) . De (3.18) se sigue que para toda y ∈ H existelimn (Tnx, y) = f (x, y) . Es facil ver que f : H ×H → C es sesquilinealy por el corolario 3.62, para x, y ∈ SH

|(Tnx, y)| ≤ ‖Tn‖ ≤ ‖B‖ .

Usando el teorema 3.49 existe T ∈ B (H) con ‖T‖ ≤ ‖B‖ tal que paratoda x, y ∈ H, limn (Tnx, y) = (Tx, y) . Claramente T es positivo y porc) del teorema 3.61

‖Tx − Tnx‖2 ≤ ‖T − Tn‖ |(Tx, x) − (Tnx, x)| ≤

≤ 2 ‖B‖ |(Tx, x) − (Tnx, x)| →n→∞

0.


Teorema 3.66 Sea T ∈ B (H) positivo. Entonces existe un unico ope-rador positivo S tal que S2 = T. Ademas S conmuta con cualquier ope-rador lineal acotado que conmuta con T. A S se le llama raız cuadradade T.

Demostracion: Supongamos primero que T ≤ I. Sean T0 = 0 y paran ≥ 0,

Tn+1 = Tn +1

2

(T − T 2

n

). (3.20)

Por induccion es facil ver que para n = 1, 2, ... Tn es autoadjunto yconmuta con todo operador que conmuta con T. Tenemos que

I − Tn+1 = I − Tn + 12T 2

n − 12T =

= 12(I − Tn)2 + 1

2(I − T ) ;

(3.21)

de aquı se obtiene que

Tn+1 − Tn = 12

[(I − Tn−1)

2 − (I − Tn)2]

=

= 12[(I − Tn−1) + (I − Tn)] [Tn − Tn−1] .

(3.22)

De (3.21) se sigue que Tn ≤ I para todo n y del corolario 3.64, (3.22)y por induccion, que Tn ≤ Tn+1.

Por el teorema 3.65 existe S positivo tal que para toda x ∈ H,limn Tnx = Sx. De (3.20) resulta que

Sx = Sx +1

2

(Tx − S2x

),

es decir S2 = T. Ademas, como Tn conmuta con todo operador queconmuta con T, S tambien lo hace.

En el caso general sea ε > 0 tal que ε2 ‖T‖ < 1. Entonces ε2T ≤ I(ver ejercicio 19) y consecuentemente existe S1 ∈ B (H) positivo quesatisface S2

1 = ε2T. Sea S = 1εS1.

Supongamos ahora que L ∈ B (H) positivo satisface L2 = T. En-tonces LT = LL2 = L2L = TL, por lo tanto LT = TL y en conse-cuencia LS = SL.

3.7. Ejercicios 71

Sean x ∈ H y y = (S − L) x. Entonces

(Sy, y) + (Ly, y) = ((S + L) y, y) = ((S + L) (S − L) x, y) =

= ((S2 − L2) x, y) = 0.

Como (Sy, y) ≥ 0 y (Ly, y) ≥ 0, se sigue que (Sy, y) = 0 = (Ly, y). Seaahora C ∈ B (H) positivo tal que C2 = S; entonces

‖Cy‖2 =(C2y, y

)= (Sy, y) = 0

y por lo tanto Cy = 0 y Sy = C (Cy) = 0. Analogamente Ly = 0. Porlo tanto

‖Sx − Lx‖2 =((S − L)2 x, x

)= ((S − L) y, x) = 0

y de ahı S = L.

3.7 Ejercicios

1. Demuestre que el espacio H3 definido en los ejemplos no es unespacio completo.

2. Demuestre que si H es un espacio de Hilbert complejo con unproducto interior (·, ·) y x, y ∈ H, entonces

(x, y) =1

4

[‖x + y‖2 − ‖x − y‖2 + i ‖x + iy‖2 − i ‖x − iy‖2

].

3. Sea H un espacio normado completo en el cual la norma satisfacela ley del paralelogramo. Demuestre que H es un espacio deHilbert.

4. Sea A un conjunto infinito y {yα}α∈A ⊂C tal que∑

α∈A yα esconvergente. Demuestre que el conjunto de ındices para los cualesyα es distinto de cero es a lo mas numerable.

5. Demuestre que si yα ≥ 0 para α ∈ A, entonces∑

α∈A yα = y si ysolo si dado ε > 0 existe J ⊂ A finito tal que si I ⊂ A es finito yJ ⊂ I, se tiene que |∑α∈I yα − y| < ε.


6. Sean H un espacio de Hilbert, {xn}∞n=1 , {yn}∞n=1 sucesiones en Hy x ∈ H.

(a) Si xn →n→∞

0 y {yn}∞n=1 esta acotada, entonces (xn, yn) →n→∞

0.

(b) Si ‖xn‖ →n→∞

‖x‖ y (xn, x) →n→∞

(x, x) , entonces xn →n→∞

x.

7. Sean H un espacio de Hilbert y {xn}∞n=1 una sucesion en H.

(a) Si {xn}∞n=1 es una sucesion ortogonal tal que∑∞

n=1 ‖xn‖2 < ∞,entonces {yn}∞n=1 , donde yn =

∑ni=1 xi, es una sucesion de Cauchy.

(b) De un ejemplo de una sucesion {xn}∞n=1 con∑∞

n=1 ‖xn‖2 < ∞tal que si yn =

∑ni=1 xi, {yn}∞n=1 no es una sucesion de Cauchy.

8. Supongamos que {ψn}∞n=1 es una sucesion ortonormal en un espa-cio de Hilbert H y que x ∈ H es tal que ‖x‖2 =

∑∞n=1 |(x, ψn)|2 .

Entonces x =∑∞

n=1 (x, ψn) ψn.

9. Si M es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert, demuestre

que(M⊥

)⊥= M.

10. Sea M un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. De-muestre que el cociente H/M es un espacio de Hilbert si lo equi-pamos con la norma

‖x‖ = inf {‖x + h‖ : h ∈ M} .

11. Demuestre el teorema 3.57.

12. Sean H un espacio de Hilbert y {φn}∞n=0 una base ortonormal

en H. Si para n = 0, 1, 2, ... an = φ2n, bn = φ2n +1

n + 1φ2n+1 y

X es la cerradura del espacio vectorial sp {an}∞n=0 generado por{an}∞n=0 y Y es la cerradura de sp {bn}∞n=0 , entonces

(a) X ∩ Y = {0} .

(b) X + Y es denso en H pero no es un conjunto cerrado.

13. Demuestre que la funcion ‖·‖ definida en el lema 3.44 es unanorma en H∗.

3.7. Ejercicios 73

14. Demuestre que B(H) es un espacio normado completo.

15. Sean S, T ∈ B (H) . Pruebe que si S∗ ◦ S + T ∗ ◦ T = 0, entoncesS = T = 0.

16. Sea {φn}∞n=1 una base ortonormal en H y sea {λn}∞n=1 ⊂C unasucesion acotada con M = sup {|λn| : n = 1, 2, ...}. Demuestreque existe un operador lineal T unico tal que Tφn = λnφn paran = 1, 2, .... Ademas T es tal que ‖T‖ = M y T ∗ ◦ T = T ◦ T ∗.

17. Si S y T son operadores unitarios en un espacio de Hilbert,tambien lo es S ◦ T.

18. Si S y T son operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert,entonces S ◦ T es autoadjunto si y solo si S ◦ T = T ◦ S.

19. Sean H un espacio de Hilbert complejo y T ∈ B (H) positivo.Demuestre que

(a) Si S es positivo S + T es positivo

(b) T ∗ ◦ T ≥ 0 para toda T ∈ B (H) .

(c) Si T es positivo y S ∈ B (H), entonces S∗ ◦ T ◦ S ≥ 0.

(d) Tx = 0 si y solo si (Tx, x) = 0.

(e) Sea ε > 0 tal que ε ‖T‖ < 1, entonces εT ≤ I.

20. Considere el espacio real L2 ((−∞,∞) ,A, μ) donde A es la sigma-algebra de Borel en R y μ es la medida definida por

μA =∫

Ae−t2dt

para cada A ∈ A. Empezando por el conjunto de funciones {fn}donde fn (t) = tn, use el metodo de ortogonalizacion de GramSchmidt para encontrar una sucesion ortogonal. Si multiplicamosel enesimo termino de la sucesion obtenida por aquel escalar parael cual el coeficiente de tn sea 2n, obtenemos el conjunto de poli-nomios de Hermite .


Capıtulo 4

Espacios normados y deBanach

4.1 Introduccion

En 1910 y 1913 Riesz, al estudiar las ecuaciones integrales y el pro-blema de momentos, introdujo los espacios Lp y lp, con 1 < p < ∞.Demostro que son espacios normados completos reflexivos tales que noson isomorfos a su dual, si p = 2. Posteriormente, Banach dio lasdefiniciones abstractas de espacio vectorial y de norma y por eso losespacios normados completos llevan su nombre.

4.2 Definicion y propiedades elementales

Todos los espacios con que trataremos aquı seran espacios vectorialessobre el campo K, que denotara a los reales o a los complejos indistin-tamente.

Definicion 4.1 Una seminorma en un espacio vectorial E sobre K esuna funcion ρ : E → R tal que para todo x, y ∈ E y α ∈ K:

(i) ρ (x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y)

(ii) ρ (αx) = |α| ρ(x)

75

76 4. Espacios normados y de Banach

El siguiente lema nos da algunas propiedades de las seminormas queseran de utilidad posteriormente:

Lema 4.2 Si ρ es una seminorma en un espacio vectorial X sobre K,entonces dados x, y ∈ X tenemos:

(a) ρ(0) = 0

(b) |ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y)

(c) ρ(x) ≥ 0

(d) {x ∈ X : ρ(x) = 0} es un subespacio de X

Demostracion:(a) Se obtiene directamente de ρ(αx) = |α| ρ(x) tomando α = 0.(b) Como ρ es subaditiva tenemos que

ρ(x) = ρ(x − y + y) ≤ ρ(x − y) + ρ(y),

de donde ρ(x) − ρ(y) ≤ ρ(x − y). Intercambiando x con y y como de(ii) de la definicion 4.1 se tiene que ρ(x − y) = ρ(y − x), obtenemos elresultado.(c) Es consecuencia de (b) con y = 0.(d) Supongamos que x, y ∈ X son tales que ρ(x) = ρ(y) = 0 y seanα, β ∈ K. De (i), (ii) de la definicion 4.1 y (c) tenemos que

0 ≤ ρ(αx + βy) ≤ |α| ρ(x) + |β| ρ(y) = 0,

lo que prueba (d).

Notemos que toda norma es una seminorma y que una seminormaque ademas satisface ρ (x) = 0 si y solo si x = 0, es una norma.

Definicion 4.3 Un espacio normado es un espacio vectorial X con unanorma ‖·‖ . Un espacio de Banach es un espacio normado completo.

Y es un subespacio de un espacio normado X si es un subespaciovectorial y la norma en Y es la restriccion de la norma en X a Y.


Es claro que los subespacios cerrados de espacios de Banach sontambien espacios de Banach.

Recordemos que en un espacio normado (X, ‖·‖) , la topologıa tienecomo base al conjunto de las bolas abiertas con centro en x y radio ε :

Bε(x) = {y ∈ X : ‖x − y‖ < ε} .

Es facil probar que tanto las bolas abiertas como las cerradas son con-juntos convexos. Ademas es claro que x + Bε(0) = Bε(x) y como con-secuencia obtenemos que si A, V ⊂ X con V abierto, entonces

A + V = {a + v : a ∈ A, v ∈ V } =⋃

a∈A

(a + V ) (4.1)

es abierto.El siguiente resultado dio pie a que se generalizara la nocion de

espacio normado a la de espacio vectorial topologico.

Proposicion 4.4 Sea X un espacio normado; entonces

(a) La funcion suma de X × X en X dada por f (x, y) = x + y escontinua.

(b) La funcion producto por un escalar de K×X en X, dada porg (α, x) = αx, es continua.

Demostracion:(a) Sean x, y ∈ X; como para toda z1, z2 ∈ X,

‖z1 + z2 − (x + y)‖ ≤ ‖z1 − x‖ + ‖z2 − y‖ ,

obtenemos la continuidad de la suma.(b) La continuidad del producto es consecuencia de la desigualdad si-guiente:

‖αz − βx‖ ≤ |α| ‖z − x‖ + |α − β| ‖x‖ .

De la continuidad de las operaciones en un espacio normado, obte-nemos las siguientes relaciones entre cerraduras e interiores de sumasde conjuntos, que nos dan informacion sobre la topologıa del espacio.


Lema 4.5 Sean X un espacio normado y A,B ⊂ X. Entonces

A + B ⊂ A + B

eintA + intB ⊂ int (A + B) .

Demostracion: Si a ∈ A, b ∈ B y r > 0, existen x ∈ Br/2(a) ∩ A yy ∈ Br/2(b) ∩ B. Como Br/2(a) + Br/2(b) ⊂ Br(a + b), obtenemos quex + y ∈ Br(a + b)∩ (A + B) y entonces a + b ∈ A + B y esto prueba laprimera afirmacion.

Como intA ⊂ A, intB ⊂ B, tenemos que intA + intB ⊂ A + B, ypor (4.1) intA + intB es abierto; esto prueba la segunda afirmacion.

Ejemplos

1. Sea X un espacio topologico no vacıo, entonces

C(X) =

{f : X → K : f es continua y sup

t∈X|f(t)| < ∞

}

es un espacio vectorial y la expresion ‖f‖ = supt∈X

|f(t)| define una

norma.

2. Sea c0 el espacio vectorial de las sucesiones de escalaresx = (xn)∞n=1 que convergen a 0, con las operaciones coordenada acoordenada, equipado con la norma ‖x‖ = sup

i∈N|xi| .

3. Sea l∞ el espacio vectorial de las sucesiones acotadas x = (xn)∞n=1

con xn ∈K para n = 1, 2, ..., con la norma ‖x‖∞ = supi∈N

|xi| .

4. Dado 1 ≤ p < ∞, lp se define como el espacio vectorial de lassucesiones x = (xn)∞n=1 ⊂ K tales que

∑∞n=1 |xn|p < ∞, con

las operaciones coordenada a coordenada, dotado con la norma‖x‖ = (

∑∞n=1 |xn|p)1/p

.

No es difıcil probar que en los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene un espacionormado completo y esto se deja como ejercicio para el lector.


El caso de lp para 1 ≤ p < ∞ es mas complicado pues se requierenvarias desigualdades para poder demostrar que es un espacio normado.Las desigualdades de Holder y Minkowski son cruciales para el estudiotanto de los espacios lp como de los espacios Lp. Aquı presentaremossu version para lp y las aplicaremos para probar la desigualdad deltriangulo en dicho espacio.

Lema 4.6 Si α > 0 y β > 0 son tales que α + β = 1 entonces paratoda x > 0 y y > 0 se tiene que:

xαyβ ≤ αx + βy.

Demostracion: Como 0 < α < 1, la funcion f : (0,∞) → R dada porf(t) = tα es concava, pues f ′′(t) = α (α − 1) tα−2 < 0. Por lo tanto lagrafica de f esta por debajo de la tangente que pasa por el punto (1, 1),cuya ecuacion es y = αt+(1 − α) , es decir tα ≤ αt+1−α = αt+β. Si

hacemos t =x

yentonces

xα

yα≤ α

x

y+ β

y multiplicando por y obtenemos la desigualdad deseada.

Proposicion 4.7 (Desigualdad de Holder) Si 1 < p, q < ∞ son

tales que1

p+

1

q= 1, entonces para cualesquiera sucesiones finitas de

escalares (xi)ni=1 y (yi)

ni=1 tenemos que

n∑i=1

|xiyi| ≤(

n∑i=1

|xi|p)1/p ( n∑

i=1

|yi|q)1/q

.

Notemos que el caso p = q = 2 da la desigualdad de Cauchy-Schwarzque probamos en el capıtulo 3.Demostracion: Si

∑ni=1 |xi|p = 0 o

∑ni=1 |yi|q = 0 el resultado es obvio.

Supongamos entonces que∑n

i=1 |xi|p > 0 y que∑n

i=1 |yi|q > 0 y sean

α =1

p, β =

1

q, ui =

|xi|p∑ni=1 |xi|p

y vi =|yi|q∑n

i=1 |yi|q.


Entonces∑n

i=1 ui =∑n

i=1 vi = 1 y con ayuda del lema 4.6 obtenemosque

n∑i=1

|xi| |yi|(∑n

i=1 |xi|p)1/p(∑n

i=1 |yi|q)1/q=

n∑i=1

uαi vβ

i ≤n∑

i=1

(αui + βvi) =

= αn∑

i=1

ui + βn∑

i=1

vi = α + β = 1,

de donde se sigue claramente la proposicion.

Proposicion 4.8 (Desigualdad de Minkowski) Si 1 ≤ p < ∞,para cualesquiera sucesiones de escalares x = (xi)

∞i=1 , y = (yi)

∞i=1 ∈ lp

tenemos (∞∑i=1

|xi + yi|p)1/p

≤(

∞∑i=1

|xi|p)1/p

+

(∞∑i=1

|yi|p)1/p

.

Demostracion: Si x + y = 0 o si p = 1 la desigualdad es clara. Su-pongamos entonces que p > 1, x + y = 0 y n ∈ N. En este casotenemos

n∑i=1

|xi + yi|p =n∑

i=1

|xi + yi|p−1 |xi + yi| ≤

≤n∑

i=1

|xi + yi|p−1 (|xi| + |yi|) .

(4.2)

Por otro lado si q es tal que1

p+

1

q= 1 entonces (p − 1) q = p, y usando

la desigualdad de Holder se sigue que

n∑i=1

|xi + yi|p−1 |xi| ≤(

n∑i=1

|xi + yi|(p−1)q

)1/q ( n∑i=1

|xi|p)1/p

=

(4.3)

=

(n∑

i=1

|xi + yi|p)1/q ( n∑

i=1

|xi|p)1/p

.


Analogamente obtenemos la desigualdad

n∑i=1

|xi + yi|p−1 |yi| ≤(

n∑i=1

|xi + yi|p)1/q ( n∑

i=1

|yi|p)1/p

. (4.4)

Sumando (4.3) y (4.4), de (4.2) se tiene

n∑i=1

|xi + yi|p ≤(

n∑i=1

|xi + yi|p)1/q

⎛⎝( n∑i=1

|xi|p)1/p

+

(n∑

i=1

|yi|p)1/p

⎞⎠ ,

de donde, dividiendo por (∑n

i=1 |xi + yi|p)1/q, se llega a(

n∑i=1

|xi + yi|p)1/p

≤(

n∑i=1

|xi|p)1/p

+

(n∑

i=1

|yi|p)1/p

.

Ahora bien, como x, y ∈ lp , entonces(n∑

i=1

|xi + yi|p)1/p

≤(

∞∑i=1

|xi|p)1/p

+

(∞∑i=1

|yi|p)1/p

y como esto es cierto para toda n ∈ N, obtenemos la desigualdaddeseada.

La desigualdad de Minkowski nos da la desigualdad del triangulopara el espacio lp. La demostracion de que este espacio es completo essimilar a la del caso p = 2 que hicimos en el capıtulo de espacios deHilbert y se deja como ejercicio al lector.

Dado un espacio vectorial X se pueden definir distintas normassobre el. Si dos de ellas inducen la misma topologıa sobre X, los espa-cios normados que se obtienen tienen la misma estructura algebraica ytopologica y en ese sentido son el mismo.

Definicion 4.9 Dos normas ‖·‖1 y ‖·‖2 en un espacio vectorial X sonequivalentes si inducen la misma topologıa en X.

Probaremos una caracterizacion muy util de la equivalencia entrenormas, que requiere del siguiente lema.


Lema 4.10 Si ρ y σ son seminormas en un espacio vectorial X, en-tonces son equivalentes:

(a) ρ(x) ≤ σ(x) para toda x ∈ X.

(b) {x ∈ X : σ(x) < 1} ⊂ {x ∈ X : ρ(x) < 1} , es decir, ρ(x) < 1 siem-pre que σ(x) < 1.

(c) {x ∈ X : σ(x) ≤ 1} ⊂ {x ∈ X : ρ(x) ≤ 1} , es decir, ρ(x) ≤ 1 siem-pre que σ(x) ≤ 1.

(d) {x ∈ X : σ(x) < 1} ⊂ {x ∈ X : ρ(x) ≤ 1} , es decir, ρ(x) ≤ 1 siem-pre que σ(x) < 1.

Demostracion: Claramente (a) implica las otras tres condiciones y(b) implica (d) . Veremos que, tanto (c) como (d) , implican (a) . Su-pongamos que se cumple (c) o (d) y sea x ∈ X y ε > 0; entonces

σ(

xσ(x)+ε

)< 1, por lo tanto ρ

(x

σ(x)+ε

)≤ 1 y por ende ρ(x) ≤ σ(x) + ε.

Como la ultima desigualdad es cierta para toda ε > 0, obtenemos elresultado deseado.

Proposicion 4.11 Sea X un espacio vectorial, dos normas ‖·‖1 y ‖·‖2

en X son equivalentes si y solo si existe M > 0 tal que para toda x ∈ X,

1

M‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ M ‖x‖1 . (4.5)

Demostracion: Supongamos que se satisface la desigualdad (4.5).Sean y ∈ X y ε > 0 entonces{

x ∈ X : ‖x − y‖1 <ε

M

}⊂ {x ∈ X : ‖x − y‖2 < ε}

y {x ∈ X : ‖x − y‖2 <

ε

M

}⊂ {x ∈ X : ‖x − y‖1 < ε} ,

lo que prueba que las topologıas inducidas son la misma.Supongamos que ‖·‖1 y ‖·‖2 son equivalentes. Como

{x ∈ X : ‖x‖1 < 1}


es una vecindad abierta de cero para la topologıa inducida por la norma‖·‖2 , existe ε > 0 tal que

{x ∈ X : ‖x‖2 < ε} ⊂ {x ∈ X : ‖x‖1 < 1} .

Aplicando el lema 4.10 a σ(x) =‖x‖2

εy ρ(x) = ‖x‖1 , deducimos que

‖x‖1 ≤1

ε‖x‖2 .

Analogamente encontramos r > 0 tal que

‖x‖2 ≤1

r‖x‖1 .

Entonces obtenemos el resultado deseado con M = max(

1

ε,1

r

).

El siguiente ejemplo nos muestra que en un mismo espacio vectorialpodemos tener tanto dos normas equivalentes, como dos normas noequivalentes entre sı.

Ejemplo

Sea l∞ con la norma ‖·‖∞ el espacio del ejemplo 3.

(i) ‖|x|‖1 = ‖x‖∞ + |x1| define una norma en el espacio de las suce-siones escalares acotadas y es facil ver que es equivalente a lanorma ‖·‖∞ .

(ii) |‖x‖|2 = supi

|xi|i

define otra norma en el espacio de las sucesiones

escalares acotadas. Claramente |‖x‖|2 ≤ ‖x‖∞ , pero no son nor-mas equivalentes, pues si en = (0, ..., 0, 1︸︷︷︸,

n

0, ...), ‖nen‖∞ = n, pero

|‖nen‖|2 = 1 para toda n.

Se deja al lector demostrar que ‖|·|‖1 y |‖·‖|2 son efectivamentenormas y que el espacio con la norma ‖|·|‖1 es completo pero con lanorma |‖·‖|2 no lo es.


4.3 Operadores lineales

Como las funciones entre espacios vectoriales que preservan la estruc-tura vectorial son las llamadas lineales, estamos particularmente intere-sados en ellas, pero ademas los espacios que estamos estudiando tienenuna topologıa. Esto nos motiva para encontrar condiciones para quelas funciones lineales sean continuas.

Si X y Y son espacios normados, cuando no haya peligro de con-fusion denotaremos la norma en ambos espacios por ‖·‖ , y cuando nece-sitemos especificar, escribiremos ‖·‖X y ‖·‖Y .

Definicion 4.12 Sean X y Y dos espacios normados sobre K; un o-perador lineal es una funcion lineal T : X → Y .A los operadores de X → K les llamaremos funcionales.Un operador lineal T : X → Y es una isometrıa, si para toda x ∈ X,‖Tx‖ = ‖x‖ .

Si un operador lineal T : X → Y es biyectivo y ademas es unhomeomorfismo, entonces diremos que es un isomorfismo de espaciosnormados. Si T ademas es una isometrıa, diremos que X y Y sonisometricamente isomorfos.

Observemos que los espacios isometricamente isomorfos son aquellosque tienen la misma estructura topologica, algebraica y metrica, mien-tras que de los espacios isomorfos solo podemos asegurar que tienen lamisma estructura topologica y algebraica.

El siguiente teorema nos da varias condiciones equivalentes para lacontinuidad de un operador. Aunque la equivalencia entre (a) y (d) estaenunciada y demostrada en el capıtulo anterior en la proposicion 3.43,la incluimos nuevamente dada su importancia. De hecho, a los opera-dores lineales continuos entre espacios normados se les llama tambienoperadores lineales acotados, ya que si T satisface (d) , es inmediatoque la imagen bajo T de conjuntos acotados es acotada. No hay queconfundir esta definicion con la definicion usual de funcion acotada, esdecir aquella cuyo rango es acotado; en este sentido el unico operadorlineal acotado es el identicamente cero pues el rango de todo operadorlineal es un subespacio del contradominio.

4.3. Operadores lineales 85

Teorema 4.13 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y unoperador lineal entonces son equivalentes:

(a) T es continuo.

(b) T es continuo en 0.

(c) T es continuo en algun punto de X.

(d) Existe una constante C > 0 tal que ‖Tx‖ ≤ C ‖x‖ para toda x ∈ X.

La demostracion se deja como ejercicio.

Igual que en el caso de operadores entre espacios de Hilbert la e-quivalencia entre (a) y (d) permite definir la norma de operadores con-tinuos. En efecto, si T : X → Y es un operador lineal continuo, por(d) , existe C tal que ‖Tx‖ ≤ C ‖x‖ . Definimos entonces la norma deun operador como sigue:

Definicion 4.14 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y unoperador lineal continuo. Definimos la norma de un operador T por

‖T‖ = inf {C : ‖Tx‖ ≤ C ‖x‖ , x ∈ X}

o, equivalentemente,‖T‖ = sup

‖x‖≤1

‖Tx‖ . (4.6)

Denotaremos por B(X,Y ), al espacio de los operadores lineales con-tinuos de X en Y con la norma anterior. Cuando X = Y denotaremosa B(X,X) simplemente por B(X).

Si Y = K, el espacio B(X, K) se denota por X∗ y es conocido comoel espacio dual de X.

Cuando el operador es una funcional, ademas de las anteriores, hayotras condiciones equivalentes a la continuidad.

Proposicion 4.15 Sea f : X →K una funcional lineal en un espacionormado X. Si existe x ∈ X con f(x) = 0 entonces son equivalentes:


(i) f es continua.

(ii) El espacio nulo de f, ker f, es cerrado.

(iii) ker f no es denso en X.

Demostracion:(i) ⇒ (ii) Supongamos que f es continua. Como {0} es un conjuntocerrado en K, ker f = f−1(0) es un conjunto cerrado en X.(ii) ⇒ (iii) Es una consecuencia directa de que ker f = X.(iii) ⇒ (i) Supongamos que ker f no es denso en X. Entonces existenx ∈ X y r > 0 tales que

Br(x) ∩ ker f = ∅. (4.7)

Veremos que existe C > 0 tal que |f(y)| < C para toda y ∈ Br(x).Si no fuera ese el caso, dado n ∈ N existirıa yn ∈ Br(x) con

|f (yn)| ≥ n + |f (x)| .Como Br (x) = x + Br (0) , esto implica que existe zn ∈ Br (0) talque yn = x + zn y |f (zn)| ≥ n. Sea w ∈K con |w| < n. Entonces|w| < |f (zn)| y existe α ∈K con |α| ≤ 1 tal que w = αf (zn) . Por lotanto w = f (αzn) y de aquı se concluye que Bn (0) ⊂ f (Br (0)) . Comoesto se cumple para cada n, tenemos que f (Br (0)) = K y tambien

f (Br (x)) = K,

lo cual contradice a (4.7).

Finalmente, dado ε > 0, si δ =rε

2Cobtenemos que |f(x) − f(y)| < ε

para toda y ∈ Bδ(x), es decir, f es continua en x. El teorema 4.13 (c)nos da la continuidad de f.

La proposicion anterior no necesariamente es cierta para operadoresentre espacios de Banach. Sea f : c0 →R lineal discontinua (ver ejercicio7) y sea T : c0 → c0 definido como sigue: para x = (x1, x2, ....) ∈ c0,T (x1, x2, ....) = (f (x) , x1, x2, ...). El facil ver que T es un operadorlineal con ker T cerrado y que no es continuo.

X∗ siempre es un espacio de Banach aunque X no sea completo, yesto es consecuencia de la siguiente proposicion.

4.4. Cocientes y sumas directas 87

Proposicion 4.16 Sean X un espacio normado y Y un espacio deBanach. Entonces B(X,Y ) es un espacio de Banach.

Demostracion: Se deja como ejercicio probar que (4.6) define efecti-vamente una norma. Probaremos que B(X,Y ) es completo respecto aella. Sea {fn}∞n=1 una sucesion de Cauchy en B(X,Y ); entonces dadaε > 0, existe N tal que si n,m ≥ N tenemos ‖fn − fm‖ < ε, es decir,para toda x ∈ X,

|fn(x) − fm(x)| < ε ‖x‖ . (4.8)

Entonces para toda x ∈ X, {fn(x)}∞n=1 es una sucesion de Cauchy enY y por lo tanto converge a algun punto en Y , que denotaremos porf(x). Claramente f ası definida es una funcional lineal. Veremos quef ∈ B(X,Y ) y que fn converge a f. Como fm(x) → f(x) para todax, de (4.8) obtenemos |fn(x) − f(x)| ≤ ε ‖x‖ para toda n ≥ N y paratoda x ∈ X, de donde |f(x)| ≤ (ε + ‖fN‖) ‖x‖ para toda x ∈ X y‖fn − f‖ ≤ ε para toda n ≥ N, lo que termina la demostracion.

4.4 Cocientes y sumas directas

En el capıtulo de preliminares vimos la definicion de espacio cocientepara espacios vectoriales; si X es un espacio vectorial y Y un subespaciode X, recordemos que la funcion cociente q : X → X/Y es una funcionlineal que manda a x ∈ X a su clase de equivalencia en X/Y , es deciren x = x + Y. Cuando los espacios son normados se puede dar unaseminorma en el espacio cociente, que es una norma siempre y cuandoY sea un subespacio cerrado.

Definicion 4.17 Sean X un espacio normado y Y un subespacio ce-rrado de X. Definimos la norma cociente en X/Y por

‖x‖ = inf {‖x + y‖ : y ∈ Y } (4.9)

si x = x + Y. Al espacio X/Y con la norma cociente lo llamaremosespacio cociente.

Veremos a continuacion que (4.9) define efectivamente una normaen X/Y.


Teorema 4.18 Sean X un espacio normado y Y un subespacio cerradode X . Entonces:

(a) La expresion (4.9) define una norma en X/Y.

(b) ‖q‖ ≤ 1 y por lo tanto q es continua.

(c) Si X es un espacio de Banach, tambien lo es X/Y.

(d) U es abierto en X/Y si y solo si q−1 (U) es abierto en X.

(e) Si V es abierto en X entonces q(V ) es abierto en X/Y.

Demostracion:(a) Se deja como ejercicio probar que (4.9) define una seminorma. Paracompletar la demostracion, supongamos que ‖x‖ = 0, donde x = x+Y.

Entonces para toda n ∈ N existe yn ∈ Y tal que ‖x − yn‖ <1

n, es decir

{yn}∞n=1 converge a x y como Y es cerrado, x ∈ Y, o sea x = 0.(b) Como ‖q(x)‖ = inf {‖x + y‖ : y ∈ Y } ≤ ‖x‖ para toda x ∈ X,obtenemos que ‖q‖ ≤ 1 y q es continua.(c) Sea {xn}∞n=1 una sucesion de Cauchy en X/Y. Se puede extraer unasubsucesion {xnk

}∞k=1 de ella tal que

∥∥∥xnk− ˜xnk+1

∥∥∥ =∥∥∥ ˜xnk

− xnk+1

∥∥∥ <1

2k.

Construiremos una sucesion de Cauchy en X de la siguiente manera:Sea y1 = 0; por la definicion de norma cociente existe y2 ∈ Y tal que

‖xn1 − xn2 + y2‖ ≤∥∥∥ ˜xn1 − xn2

∥∥∥+1

2< 1.

Podemos elegir y ∈ Y tal que

‖xn2 − xn3 + y‖ ≤∥∥∥ ˜xn2 − xn3

∥∥∥+1

22

y entonces si y3 = y2 − y obtenemos

‖(xn2 + y2) − (xn3 + y3)‖ ≤∥∥∥ ˜xn2 − xn3

∥∥∥+1

22<

1

2.

4.4. Cocientes y sumas directas 89

Continuando de esa manera construimos una sucesion {yn}∞n=1 ⊂ Y talque ∥∥∥(xnk

+ yk) −(xnk+1

+ yk+1

)∥∥∥ ≤ ∥∥∥ ˜xnk− xnk+1

∥∥∥+1

2k<

1

2k−1.

Entonces {xnk+ yk}∞k=1 es una sucesion de Cauchy en X, y como X

es completo, converge a algun punto x0 ∈ X. Por otra parte, por (b),xnk

= q(xnk+ yk) converge a q(x0) = x0. Como {xn}∞n=1 es de Cauchy,

tenemos que converge al mismo lımite que su subsucesion y por endeX/Y es completo.(d) Sea U abierto en X/Y. Como por (b) q es continua, q−1(U) esabierto en X. Supongamos ahora que A ⊂ X/Y , que q−1(A) es abiertoen X y que x0 ∈ q−1 (A) . Entonces existe ε > 0 tal que si ‖x − x0‖ < ε,q (x) ∈ A. Sea x = q (x) ∈ X/Y tal que ‖q (x0) − q (x)‖ < ε. Por ladefinicion de la norma en X/Y , existe y ∈ Y tal que ‖x0 − x + y‖ < ε.Por lo tanto x = q (x) = q (x − y) ∈ A y A es abierto.(e) Si V es abierto en X, entonces de (4.1) obtenemos que

q−1 (q(V )) = V + Y ⊂ X

es abierto y por (d), q(V ) es abierto.

El concepto “dual” al de espacio cociente de X y Y es el de la sumadirecta de X y Y (ver ejercicio 25):

Si X y Y son espacios normados y X ⊕a Y denota su suma directaalgebraica, hay varias maneras de definir una norma en X ⊕a Y queinduzca la topologıa producto. Por ejemplo podemos definir las normas

‖(x, y)‖ = (‖x‖p + ‖y‖p)1/p

, para 1 ≤ p < ∞,

o‖(x, y)‖ = max (‖x‖ , ‖y‖) .

Se puede probar que en este caso ambas normas inducen la topologıaproducto y consecuentemente son equivalentes (ejercicio 8).

Definicion 4.19 Sean X y Y espacio normados. X ⊕ Y es el espacioX ⊕a Y dotado con cualquier norma que induzca la topologıa productoy lo llamaremos suma directa de X y Y.


Se puede ver que si X y Y son subspacios cerrados de un espacionormado Z tales que X∩Y = {0} y Z = X +Y entonces Z es isomorfoa X

⊕Y (ejercicio 9).

El concepto de suma directa se puede generalizar a un mayor numerode espacios:

Definicion 4.20 Sea {(Xi, ‖·‖i)}∞i=1 una sucesion de espacios norma-dos y dotemos al producto cartesiano

∏∞i=1 Xi con las operaciones coor-

denada a coordenada. Si ji denota la inclusion de Xi en∏∞

i=1 Xi dadapor

ji(xi) =

⎛⎜⎝0, ..., 0︸︷︷︸i−1

, xi, 0, ...

⎞⎟⎠ ,

y 1 ≤ p < ∞; definimos la p suma directa como

(X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)p =

⎧⎨⎩x ∈∞∏i=1

Xi : ‖x‖ =

(∞∑i=1

‖xi‖pi

)1/p

< ∞⎫⎬⎭

y para p = ∞, como

(X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)∞ =

{x = (xi)

∞i=1 ∈

∞∏i=1

Xi : ‖x‖ = supi

‖xi‖i < ∞}

.

Si X = (X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)p definimos las proyecciones Pi : X → jiXi porPi(x) = ji (xi) para toda i = 1, 2, ...

Si X es una p suma directa, (X, ‖·‖) siempre es un espacio normadoy veremos condiciones necesarias y suficientes para que ademas sea deBanach.

Teorema 4.21 Si {(Xi, ‖·‖i)} ∞i=1 es una sucesion de espacios norma-

dos y X = (X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)p , 1 ≤ p ≤ ∞, entonces:

(a) (X, ‖·‖) es un espacio normado y para toda i = 1, 2, ... la proyeccionPi : X → jiXi es abierta lineal continua con ‖Pi‖ = 1.

(b) X es un espacio de Banach si y solo si Xi lo es para toda i = 1, 2, ...

4.5. Subespacios de dimension finita 91

Demostracion:(a) Se deja al lector verificar que X es normado y que Pi es lineal.Sea x = (xi)

∞i=1 ∈ X; entonces ‖Pi(x)‖ = ‖xi‖i ≤ ‖x‖ y por lo tanto

‖Pi‖ ≤ 1. Por otra parte, si xi ∈ Xi con ‖xi‖i = 1, entonces ‖ji(xi)‖ = 1y ‖Pi(jixi)‖ = 1, lo que prueba que ‖Pi‖ = 1 y que Pi es continua.Veremos ahora que Pi es abierta con respecto a la topologıa inducidaen jiXi por la topologıa de X. Sean ε > 0 y x = (xi)

∞i=1 ∈ X; entonces

si 1 ≤ p < ∞,

Pi

({y ∈ X :

∞∑i=1

‖xi − yi‖pi < εp

})= {ji(yi) ∈ jiXi : ‖xi − yi‖i < ε} =

= {ji(yi) ∈ jiXi : ‖ji (xi) − ji (yi)‖i < ε}y como los conjuntos {y ∈ X :

∑∞i=1 ‖xi − yi‖p

i < εp} forman una basede la topologıa de X, tenemos que Pi es abierta.

El caso p = ∞ es analogo.(b) Se deja como ejercicio.

4.5 Subespacios de dimension finita

Veremos que para cada n ∈ N todos los espacios normados sobre K dedimension n son isomorfos, es decir desde los puntos de vista topologicoy algebraico todos son el mismo.

Teorema 4.22 Si X es un espacio vectorial de dimension n, entoncescualesquiera dos normas en X son equivalentes.

Demostracion: Sea |‖·‖| cualquier norma en X y sea {ξi}ni=1 una base

de Hamel para X.Sea {ei}n

i=1 la base canonica en Kn, es decir ei es el vector que tieneun 1 en el i-esimo lugar y cero en el resto. Si para x =

∑ni=1 aiei en Kn

definimos

|‖x‖|n =

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

n∑i=1

aiξi

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣ ,

es claro que |‖·‖|n define una norma en Kn, y debido a ello es suficienteprobar el teorema para X = Kn.


Consideremos entonces a Kn con la norma usual ‖·‖ y sea |‖·‖|cualquier otra norma en Kn.

Veremos por induccion sobre m ≤ n que existe Mm ∈R tal que si1 ≤ j1 < ... < jm ≤ n y x ∈ Kn, x =

∑mi=1 aieji

entonces

1

Mm

‖x‖ ≤ |‖x‖| ≤ Mm ‖x‖ . (4.10)

Para m = 1 esto es inmediato, tomando como

M1 = max{Ci,

1

Ci

, i = 1, 2, ..., n : |‖ei‖| = Ci

}.

Sea

J = {χ = (j1, ..., jm+1) : ji ∈ N y 1 ≤ j1 < j2 < ... < jm+1 ≤ n}Supongamos que es cierto (4.10) para m < n. Esto implica que paracualquier (j1, j2, .., jm) , el espacio generado por {eji

}mi=1 es cerrado en

la norma |‖·‖| , porque es cerrado en la norma ‖·‖ .

Sea ahora Y (χ) ={∑m+1

i=1 aieji: ai ∈ K

}⊂ (Kn, |‖·‖|). Considere-

mos para r = 1, ...,m + 1 las funcionales P(χ)jr

: Y (χ) → K dadas por

P(χ)jr

m+1∑i=1

aieji= ar.

Es claro que ker P(χ)jr

es el subespacio de Y (χ) generado por {eji}i=r ,

que, como ya mencionamos es cerrado. Aplicando la proposicion 4.15,esto implica que P

(χ)jr

es continua para r = 1, 2, ...,m + 1. Entonces, six =

∑m+1i=1 aieji

,

‖x‖ =

∥∥∥∥∥m+1∑i=1

(P

(χ)ji

x)eji

∥∥∥∥∥ ≤m+1∑i=1

∥∥∥P (χ)ji

∥∥∥ |‖x‖| ≤ K1 |‖x‖|

donde K1 = max{∑m+1

i=1

∥∥∥P (χ)ji

∥∥∥ : χ = (j1, ..., jm+1) ∈ J}

. Este numeroexiste, ya que J es un conjunto finito. Por otro lado tenemos

|‖x‖| ≤m+1∑i=1

|ai| |‖eji‖| ≤

(m+1∑i=1

|ai|2) 1

2(

m+1∑i=1

|‖eji‖|2) 1

2

≤


≤(

m+1∑i=1

|ai|2) 1

2(

n∑i=1

|‖ei‖|2) 1

2

= K2 ‖x‖ ,

donde K2 =(∑n

i=1 |‖ei‖|2) 1

2 , de manera que si Mm+1 = max {K1, K2}1

Mm+1

‖x‖ ≤ |‖x‖| ≤ Mm+1 ‖x‖

y esto prueba el teorema.

Corolario 4.23 Sea (X, ‖·‖X) un espacio normado de dimension n ysea {ξi}n

i=1 una base de Hamel de X. Entonces, si {ei}ni=1 es la base

canonica de Kn, el operador T : X →Kn dado por

Tn∑

i=1

aiξi =n∑

i=1

aiei

es un isomorfismo.

Otra consecuencia del teorema 4.22 es que todo operador linealde un espacio normado de dimension finita en un espacio normadocualquiera es continuo.

Corolario 4.24 Sean X y Y espacios normados con X de dimensionfinita. Si T : X → Y es un operador lineal entonces es continuo.

Demostracion: Supongamos que dimX = n y sea {ξi}ni=1 una base de

Hamel de X; como todas las normas en X son equivalentes es suficienteprobar que T es continuo si equipamos a X con la norma definida parax =

∑nk=1 akξk ∈ X por ‖x‖∞ = max1≤k≤n |ak| . Entonces

‖Tx‖ =

∥∥∥∥∥n∑

k=1

akTξk

∥∥∥∥∥ ≤n∑

k=1

|ak| ‖Tξk‖ ≤ C ‖x‖∞ ,

donde C =∑n

k=1 ‖Tξk‖ , y por lo tanto T es continuo.

El teorema 4.22 tambien nos permite probar que los subespacios dedimension finita son cerrados. Recordemos que si Y ⊂ X, entonces spYes el subespacio lineal generado por Y y denotemos por [Y ] la cerradurade spY.


Proposicion 4.25 Si Y es un subespacio de dimension finita de unespacio normado X entonces es cerrado.

Demostracion: Supongamos que Y es un subespacio propio de X.Sean x0 ∈ X, x0 /∈ Y y Z = sp (Y + x0). Definimos la siguiente normaen Z : para toda y ∈ Y y toda λ ∈ K,

‖y + λx0‖1 = ‖y‖ + |λ| .

Como Z es de dimension finita, todas sus normas son equivalentes yexiste M > 0 tal que, para toda y ∈ Y y toda λ ∈ K,

1

M‖y + λx0‖ ≤ ‖y‖ + |λ| ≤ M ‖y + λx0‖ .

Por lo tanto, tomando λ = −1, obtenemos que

‖y − x0‖ ≥ 1

M(‖y‖ + 1) ≥ 1

M

para toda y ∈ Y . Es decir infy∈Y

‖y − x0‖ ≥ 1

M> 0 ; entonces, si r <

1

M,

Br (x0) ⊂ X \ Y y de ahı concluimos que Y es cerrado.

Del corolario 4.23 es inmediato que la bola unitaria cerrada en unespacio de dimension finita es compacta, ya que esto es cierto en Kn.Veremos ahora que esa propiedad caracteriza a los espacios normadosde dimension finita.

De aquı en adelante

BX = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1}

ySX = {x ∈ X : ‖x‖ = 1}

denotaran a la bola cerrada unitaria y a la esfera unitaria en X respec-tivamente.

Teorema 4.26 Sea X un espacio normado. Si la bola BX es compacta,entonces X tiene dimension finita.


Demostracion: Supongamos que BX es compacta. Como

BX ⊂⋃

x∈BX

B 12(x),

existen x1, ..., xm ∈ BX tales que BX ⊂ ⋃mi=1 B 1

2(xi). Sea Y el espacio

vectorial generado por x1, ..., xm. Entonces la dimension de Y es menoro igual a m y, por la proposicion 4.25, Y es un subespacio cerrado deX. Ademas BX ⊂ Y + B 1

2(0), lo que implica

B 12(0) ⊂ 1

2BX ⊂ 1

2Y +

1

2B 1

2(0) = Y + B 1

4(0),

y por lo tanto

BX ⊂ Y + B 12(0) ⊂ Y + Y + B 1

4(0) = Y + B 1

4(0).

Continuando de esa manera obtenemos que

BX ⊂∞⋂

n=1

(Y + B 1

22n−1

(0))

= Y = Y,

de donde kBX ⊂ Y para toda k = 1, 2, ... y entonces X = Y . Estodemuestra que X tiene dimension menor o igual que m.

A continuacion estudiaremos los subespacios de X cuya codimensiones 1, es decir los subespacios Y para los que existe z ∈ X\Y tal quepara toda x ∈ X existen y ∈ Y y λ ∈ K unicos tales que x = y + λz.En este caso escribiremos X = Y

⊕a Z donde Z = [z]

La siguiente proposicion establece una correspondencia entre lossubespacios de codimension 1 de un espacio vectorial y sus funcionalesno nulas.

Proposicion 4.27 Sea E un espacio vectorial sobre K. Y es un sub-espacio de codimension 1 de E si y solo si existe una funcion linealf : E → K , f = 0, con ker f = Y .

Demostracion: Sea f : E → K lineal con f = 0, y x0 ∈ E conf(x0) = 0. Sea F el subespacio vectorial de E generado por x0 y sea


Y = ker f. Probaremos que E = F ⊕a Y. Claramente Y ∩ F = {0} ydado x ∈ E, tenemos que

x =f(x)

f(x0)x0 +

(x − f(x)

f(x0)x0

)

y es evidente que el primer termino pertenece a F y el segundo a Y.

Recıprocamente, si Y es un subespacio de E de codimension 1, seaF un subespacio de dimension 1 de E tal que E = Y ⊕a F . Como Ftiene dimension 1 existe x0 que lo genera y entonces todo elemento enE se puede representar de la forma y + λx0 con y ∈ Y . Por lo tanto,si definimos f : E → K por f(y + λx0) = λ , claramente f es lineal yobtenemos que ker f = Y.

Es claro, apelando a la proposicion 4.15, que si E es un espacionormado y Y es cerrado, entonces la funcion f es continua.

Lema 4.28 Sean Y y W subespacios de un espacio vectorial X. Si Yes de codimension 1 en X y si Y ⊂ W, entonces W = Y o W = X.

Demostracion: Supongamos que X = Y ⊕a sp {x0} con x0 ∈ X y queW = Y. Sea w ∈ W\Y. Entonces

w = y1 + μx0

para alguna y1 ∈ Y, μ ∈ K, μ = 0.

Tambien si x ∈ X, x = y + λx0 con y ∈ Y y λ ∈ K. Consecuente-mente

x = y − λ

μy1 +

λ

μ(y1 + μx0) = y − λ

μy1 +

λ

μw,

es decir X = Y ⊕a sp {w} ⊂ W ⊂ X.

Lema 4.29 Sean Y y W dos subespacios de codimension 1 de un es-pacio vectorial X. Entonces Y = W o si no, Y ∩ W tiene codimension2 en X.

4.6. Teoremas de Hahn-Banach 97

Demostracion: Supongamos que Y = W. Entonces por el lema ante-rior ni Y esta contenido en W ni W en Y. Sean w0 ∈ W\Y y y0 ∈ Y \W.Como en la demostracion del lema anterior obtenemos

X = Y ⊕a sp {w0} = W ⊕a sp {y0} .

Si x ∈ X, existen λ, μ ∈ K, y ∈ Y y w ∈ W tales que

x = y + λw0 = w + μy0.

Por lo tanto y − μy0 = w− λw0 ∈ Y ∩W y x = (y − μy0) + μy0 + λw0,es decir

X = (Y ∩ W ) ⊕a sp {y0} ⊕a sp {w0} .

La generalizacion de este lema se deja como ejercicio (11).

Corolario 4.30 Sean X un espacio normado y Y ⊂ X un subespaciode codimension 1, entonces Y es cerrado o es denso en X.

Demostracion: Como las operaciones de suma y multiplicacion porun escalar son continuas, es facil ver que Y es un subespacio de X ypor lo tanto es igual a Y o a X.

Lema 4.31 Sean X un espacio normado sobre K y Y un subespaciocerrado de X de codimension 1. Entonces X/Y es isomorfo a K.

Demostracion: Supongamos que X = Y ⊕a sp {z0} y que q es lafuncion cociente de X sobre X/Y. Definimos f : X/Y → K mediantef (q (x)) = λ si x = y + λz0, que claramente es un isomorfismo alge-braico. Por el teorema 4.22, X/Y es isomorfo a K.

4.6 Teoremas de Hahn-Banach

Si E es un espacio vectorial sobre K, F un subespacio vectorial deE y g : F → K es una funcion lineal, siempre podemos definir unafuncion lineal G : E → K tal que G(x) = g(x) para todo x ∈ F. Estose puede hacer tomando una base de Hamel en F, extendiendola a una


base de Hamel de E y definiendo G como cero en los elementos dela base de Hamel de E que no estan en F . Cuando E es un espacionormado de dimension infinita y g es lineal y continua, no es trivialque se pueda obtener una extension G que tambien sea continua. O.Hahn y S. Banach probaron independientemente en 1927 y 1929 queexisten extensiones continuas. Hay en la actualidad varias versiones deeste resultado fundamental en las matematicas, todas ellas conocidascomo teorema de Hahn-Banach.

Recordemos que si f es una funcion definida en A, A ⊂ B y g es unafuncion definida en B, entonces g es una extension de f si g(a) = f(a)para toda a ∈ A.

El primer teorema que veremos nos permite extender funcionales li-neales acotadas por una funcion sublineal en espacios vectoriales realesde manera que continuen siendo acotadas; mas adelante probaremosque tambien es cierto en el caso complejo.

Teorema 4.32 (Hahn-Banach real) Sean E un espacio vectorial so-bre R, ρ : E → R una funcion sublineal, F un subespacio de E yf : F → R una funcion lineal tal que f(x) ≤ ρ(x) para toda x ∈ F.Entonces existe una extension lineal f : E → R de f con f(x) ≤ ρ(x)para toda x ∈ E.

Demostracion: Sea x0 ∈ E\F. Primero probaremos que podemosextender f a F ⊕asp {x0}, tal que la extension g satisface g (x) ≤ ρ (x) .

Sean y, z ∈ F ; entonces tenemos

f(y) + f(z) = f(y + z) ≤ ρ(y + z) = ρ ((y + x0) + (z − x0)) ≤

≤ ρ(y + x0) + ρ(z − x0);

de donde f(z) − ρ(z − x0) ≤ ρ(y + x0) − f(y) y por ende

sup {f(z) − ρ(z − x0) : z ∈ F} ≤ inf {ρ(y + x0) − f(y) : y ∈ F} .

Sea k ∈ R tal que

sup {f(z) − ρ(z − x0) : z ∈ F} ≤ k ≤

≤ inf {ρ(y + x0) − f(y) : y ∈ F} .(4.11)


Definimos g : F ⊕a sp {x0} → R por

g(y + λx0) = f(y) + λk

para toda λ ∈ R y toda y ∈ F. Claramente g es una extension linealde f ; veremos que g(x) ≤ ρ(x) para toda x ∈ F ⊕a sp {x0} .

Es facil ver que f(y) + λk ≤ ρ(y + λx0) para toda λ ∈ R y y ∈ F, siy solo si k ≤ ρ(y + x0) − f(y) para toda y ∈ F y f(z) − ρ(z − x0) ≤ kpara toda z ∈ F ; entonces de (4.11) obtenemos el resultado deseado.

Ademas, de lo anterior obtenemos que la extension es unica si y solosi

sup {f(z) − ρ(z − x0) : z ∈ F} = inf {ρ(y + x0) − f(y) : y ∈ F} .

Para demostrar que f se puede extender a todo E, usaremos ellema de Zorn; sea G la coleccion de todas las parejas ordenadas (M, g)donde M es un subespacio de E que contiene a F y g es una extensionde f a M con g(x) ≤ ρ(x) para toda x ∈ M. G es no vacıo por laprimera parte de la demostracion. Definimos sobre G un orden par-cial dado por (M, g) ≤ (M ′, g′) si M ⊂ M ′ y g′ es una extension deg. Claramente todo conjunto totalmente ordenado {(Ma, ga) : a ∈ A}en G esta acotado superiormente por (M, g) donde M =

⋃a∈A Ma y

g(x) = ga(x) si x ∈ Ma. Entonces, por el lema de Zorn, existe un ele-mento maximal en G que denotaremos por (N, h) .

Si N = E existe x0 ∈ E\N y por la primera parte de la demostracion

existe h extension de h tal que(N ⊕a sp {x0} , h

)es un elemento es-

trictamente mayor que (N, h) . Por lo tanto N = E y h es la extensionrequerida de f.

Nos avocaremos ahora a demostrar la forma compleja del teoremade Hahn-Banach. Para ello usaremos que todo espacio vectorial com-plejo es tambien un espacio vectorial real.

Definicion 4.33 Sea E un espacio vectorial sobre C. Diremos quef : E → R es r-lineal si

f(λx + y) = λf(x) + f (y)

para toda λ ∈ R y para toda x, y ∈ E.


Temporalmente usaremos el termino c-lineal para las funciones li-neales f : E → C, con objeto de distinguirlas de las funciones r-lineales.

Si f : E →C es una funcional c-lineal entonces u : E → R, dadapor u(x) = Ref(x), es r-lineal y

f(x) = u(x) − iu(ix) para toda x ∈ E, (4.12)

pues para todo z ∈ C, z = Re(z)− iRe(iz). La funcion u es llamada laparte real de f.

Recıprocamente, si u : E → R es r-lineal en un espacio vectorialcomplejo E, entonces es facil probar que la ecuacion (4.12) nos defineuna funcion c-lineal en E cuya parte real es u.

Teorema 4.34 (Hahn-Banach complejo) Sean E un espacio vec-torial sobre C, ρ una seminorma en E, F un subespacio vectorial de Ey f : F → C una funcion c-lineal tal que |f(x)| ≤ ρ(x) para toda x ∈ F.

Entonces existe una extension c-lineal f : E → C con∣∣∣f(x)

∣∣∣ ≤ ρ(x)para toda x ∈ E.

Demostracion: Sea u : F → R la parte real de f. Claramente u ≤ ρen F y por el teorema 4.32 tiene una extension r-lineal u : E → R talque para x ∈ E

u (x) ≤ ρ (x) . (4.13)

Como mencionamos anteriormente, f : E → K dada por

f(x) = u(x) − iu(ix)

es una funcional c-lineal. Ademas, si x ∈ F,

f(x) = u(x) − iu(ix) = u(x) − iu(ix) = f(x).

Finalmente, como ρ es una seminorma, si x ∈ E y f(x) = reiθ conr ≥ 0, obtenemos∣∣∣f(x)

∣∣∣ = r = f(xe−iθ) = u(xe−iθ) ≤ ρ(xe−iθ) = ρ(x).

La forma en la que generalmente se conoce y se usa el teorema deHahn-Banach en el caso de espacios normados es la siguiente:


Teorema 4.35 (a) Sean X un espacio normado sobre K, Y un subes-pacio de X y f : Y → K una funcion lineal continua. Entonces existeuna extension f : X → K lineal y continua de f , tal que

∥∥∥f∥∥∥ = ‖f‖ .

(b) Sea X un espacio normado sobre K. Para toda x ∈ X, conx = 0, existe una funcion lineal y continua f : X → K tal quef(x) = ‖x‖ y ‖f‖ = 1.

Demostracion: (a) Sea ρ : X → R la seminorma definida por

ρ(x) = ‖f‖ ‖x‖ .

Como para toda y ∈ Y, |f(y)| ≤ ‖f‖ ‖y‖ , resulta que f ≤ ρ en Y y porlos teoremas anteriores existe una extension f de f a X tal que paratoda x ∈ X,

∣∣∣f(x)∣∣∣ ≤ ‖f‖ ‖x‖ . Por lo tanto∥∥∥f∥∥∥ ≤ ‖f‖ .

Por otra parte, como f(y) = f(y) para toda y ∈ Y, tenemos que

‖f‖ ≤∥∥∥f∥∥∥ y entonces ‖f‖ =

∥∥∥f∥∥∥ .

(b) Se obtiene aplicando (a) a la funcion g : [x] → K dada porg(λx) = λ ‖x‖ .

Sea X un espacio normado. En la proposicion 4.16 probamos queX∗ es un espacio de Banach con la norma dada por

‖x∗‖ = sup‖x‖≤1

|x∗(x)| . (4.14)

para toda x∗ ∈ X∗.Como una aplicacion del teorema 4.35, obtenemos una forma dual,

semejante a (4.14), para la norma en X.

Corolario 4.36 Sean X un espacio normado y x ∈ X. Entonces

‖x‖ = sup‖x∗‖≤1

|x∗(x)| . (4.15)

Demostracion: Si x = 0 el resultado es claro. Supongamos pues quex = 0.

Ya que para toda x∗ ∈ X∗, |x∗(x)| ≤ ‖x∗‖ ‖x‖ , se tiene que

‖x‖ ≥ sup‖x∗‖≤1

|x∗(x)| .

Por otra parte, por el teorema 4.35 existe x∗ ∈ X∗ con ‖x∗‖ = 1 talque x∗(x) = ‖x‖ , y esto nos da la igualdad.


4.7 Teorema de Baire y operadores con-

tinuos

La nocion topologica de categorıa fue introducida por Baire como con-trapartida al concepto de “casi en todas partes” en teorıa de la mediday ha probado ser una de las herramientas basicas del analisis.

Empezaremos la seccion dando las definiciones de conjuntos de laprimera y segunda categorıa en espacios topologicos.

Definicion 4.37 Sea Ω un espacio topologico. Un conjunto A ⊂ Ωes denso en ninguna parte (o magro) si su cerradura A tiene interiorvacıo. Un conjunto es de la primera categorıa (o raro) en Ω si es unaunion numerable de conjuntos densos en ninguna parte. Un conjuntoes de la segunda categorıa en Ω si no es de la primera categorıa.

Ω es un espacio de Baire si toda interseccion numerable de abiertosdensos en Ω es un conjunto denso en Ω.

Ejemplos:

Son conjuntos densos en ninguna parte:

1. Cualquier conjunto finito en Rn.

2. Cualquier subespacio cerrado propio de un espacio normado (Lema4.40).

3. El conjunto de Cantor en [0, 1] .

La siguiente proposicion, cuya demostracion es bastante inmediata,lista algunas propiedades que seran de gran utilidad posteriormente:

Proposicion 4.38 Sean Ω un espacio topologico y A,B ⊂ Ω. En-tonces:

(a) Un conjunto A es denso en ninguna parte en Ω si y solo si int (Ω \ A)es denso en Ω.

(b) Si A es cerrado con interior vacıo, entonces es de la primera ca-tegorıa en Ω.

4.7. Teorema de Baire y operadores continuos 103

(c) Si A ⊂ B y B es de la primera categorıa en Ω, entonces A tambienlo es.

(d) Cualquier union numerable de conjuntos de la primera categorıaes de la primera categorıa.

(e) Si h : Ω → Ω es un homeomorfismo, entonces h(A) es de la mismacategorıa en Ω, que A.

(f) Si Ω es un espacio de Baire tal que Ω =⋃∞

n=1 An, entonces existen tal que intAn = ∅.

(g) Ω es un espacio de Baire si y solo si para todo A ⊂ Ω de la primeracategorıa, Ω \ A es denso en Ω.

Demostracion: Probaremos aquı unicamente el inciso (f) que es lapropiedad que mas utilizaremos en el texto, el resto se deja como ejer-cicio.

Supongamos que Ω =⋃∞

n=1 An es un espacio de Baire. Como⋂∞n=1

(Ω\An

)= ∅, existe n tal que Ω\An no es denso en Ω y por lo

tanto intAn = ∅.

Es facil comprobar que si Ω = Q con la norma usual, entonces Ω noes un espacio de Baire. Sin embargo el siguiente teorema nos muestraque la clase de espacios topologicos de Baire abarca a varios de losespacios conocidos:

Teorema 4.39 (de Baire) Si Ω es un espacio metrico completo o unespacio topologico de Hausdorff localmente compacto, entonces es unespacio de Baire.

Demostracion: Supongamos que Ω es un espacio metrico completo,{Ui}∞i=1 una sucesion de conjuntos abiertos densos en Ω y V un abiertono vacıo en Ω. Entonces existe una bola abierta Br de radio r > 0, talque Br ⊂ V. Para demostrar el teorema veremos que (

⋂∞i=1 Ui)

⋂Br = ∅.

Como U1 es denso y abierto existen ω1 ∈ U1⋂

Br y 0 < r1 <r

2tales que

la bola abierta con centro en ω1 y radio r1 satisface Br1(ω1) ⊂ Br⋂

U1.


Como U2 es denso y abierto, existen ω2 ∈ Br1(ω1)⋂

U2 y 0 < r2 <r

4tales que

Br2(ω2) ⊂ Br1(ω1)⋂

U2 ⊂ Br

⋂U1

⋂U2.

Continuando de esa manera construimos una sucesion {ωn}∞n=1 en Ω y

una sucesion de reales {rn}∞n=1 tales que 0 < rn <r

2ny

Brn(ωn) ⊂ Brn−1(ωn−1)

⋂Un ⊂ Br

⋂U1

⋂U2

⋂· · ·

⋂Un.

La sucesion {ωn}∞n=1 es una sucesion de Cauchy en Ω y como Ω escompleto existe

ω ∈∞⋂i=1

(Bri

(ωi))⊂(

∞⋂i=1

Ui

)⋂Br

tal que limi→∞ ωi = ω.Si Ω es localmente compacto y de Hausdorff, en vez de bolas abiertas

se pueden tomar conjuntos abiertos Vn no vacıos con Vn compacto,V1 ⊂ V y Vn+1 ⊂ Vn

⋂Un. Entonces por la propiedad de la interseccion

finita existe ω ∈ ⋂∞n=1 Vn ⊂ V

⋂(⋂∞

n=1 Un).

Como primera aplicacion del teorema de Baire veremos un resultadosobre la cardinalidad de las bases de Hamel de espacios de Banach. Paraello demostraremos que el unico subespacio con interior no vacıo de unespacio normado es el total.

Lema 4.40 Sean X un espacio normado y Y un subespacio de X coninterior no vacıo, entonces Y = X.

Demostracion: Sean x ∈ int Y y r > 0 tales que Br(x) ⊂ Y. Como Yes un espacio vectorial, Br(0) = −x + Br(x) ⊂ Y y entonces tambienλBr(0) ⊂ Y para toda λ ∈ K. Por lo tanto Y = X.

Proposicion 4.41 La cardinalidad de una base de Hamel de un espa-cio de Banach es finita o no numerable.

Demostracion: Sean X un espacio de Banach y {yi}i∈I una base deHamel de X. Supongamos que I es infinito y numerable; podemos su-poner que I = N. Sea Yn = sp {yi}n

i=1 = [yi]ni=1 , pues Yn es cerrado por


tener dimension finita. Como {yi}i∈I es una base de Hamel, tenemosque X =

⋃∞n=1 Yn y ya que por el teorema de Baire sabemos que X

es un espacio de Baire, existe n ∈ N tal que int Yn = ∅. Por lo tanto,por el lema 4.40, Yn = X y X tiene dimension finita, lo que contradicenuestra suposicion.

Aunque el teorema de Baire por sı mismo es muy relevante, su mayorimportancia dentro del analisis funcional radica en que es crucial en laprueba de los teoremas del acotamiento uniforme, de la grafica cerraday de la funcion abierta.

Primero probaremos el principio del acotamiento uniforme; la impli-cacion (ii)⇒(i) tambien se conoce como teorema de Banach-Steinhaus.

Teorema 4.42 (Principio del acotamiento uniforme) Sean X unespacio de Banach, Y un espacio normado y G una familia de opera-dores acotados de X en Y, entonces son equivalentes:

(i) sup {‖T‖ : T ∈ G} < ∞.

(ii) sup {‖Tx‖ : T ∈ G} < ∞ para toda x ∈ X.

(iii) sup {|f(Tx)| : T ∈ G} < ∞ para toda x ∈ X y para toda f ∈ Y ∗.

Demostracion: Es obvio que (i)⇒(ii)⇒(iii). Probaremos que (ii)⇒(i)y (iii)⇒(ii).(ii)⇒(i) Supongamos

sup {‖Tx‖ : T ∈ G} < ∞ para toda x ∈ X.

Sea An =

{x ∈ X : sup

T∈G‖Tx‖ ≤ n

}. Entonces An es cerrado para toda

n ∈ N, X =⋃

n∈N An, y como X es un espacio de Baire, existe k ∈ Ntal que intAk = ∅. Por lo tanto existen x0 ∈ Ak y δ > 0 tales que‖x − x0‖ < δ implica que

supT∈G

‖Tx‖ ≤ k. (4.16)


En particular si ‖x‖ < δ y T ∈ G, ‖Tx0 + Tx‖ ≤ k y

‖Tx‖ ≤ k + ‖Tx0‖ = M.

Finalmente, de ahı obtenemos que supT∈G

‖Tx‖ ≤ M

δ‖x‖ para toda x ∈ X,

es decir supT∈G

‖T‖ ≤ M

δ.

(iii)⇒(ii) Supongamos

sup {|f(Tx)| : T ∈ G} < ∞ para toda x ∈ X y para toda f ∈ Y ∗.

Fijemos x ∈ X y sea

An =

{f ∈ Y ∗ : sup

T∈G|f(Tx)| ≤ n

}.

Es facil ver que An es cerrado y que Y ∗ =⋃

n∈N An. Como Y ∗ esun espacio de Banach y consiguientemente un espacio de Baire, existek ∈ N tal que intAk = ∅. Por lo tanto existen f0 ∈ Ak y δ > 0 talesque ‖f − f0‖ < δ implica que

supT∈G

|f(Tx)| ≤ k. (4.17)

Como antes, y usando el corolario 4.36, obtenemos que existe M talque

supT∈G

‖Tx‖ = supT∈G

sup‖f‖≤1

|f(Tx)| ≤ M

δ.

Corolario 4.43 Si X y Y son como en el teorema anterior y no sesatisface (i), entonces

A = {x ∈ X : sup {‖Tx‖ : T ∈ G} < ∞}es de la primera categorıa.

Demostracion: Supongamos que A es de la segunda categorıa. Si

An =

{x ∈ X : sup

T∈G‖Tx‖ ≤ n

}, entonces como en (ii) ⇒ (i) , se ve

que existe k con intAk = ∅. Como claramente A es un subespacio deX, por el lema 4.40, A = X, lo cual es una contradiccion.


Teorema 4.44 (Banach-Steinhaus para sucesiones) Sean X y Yespacios de Banach y {Tn}∞n=1 una sucesion en B(X,Y ) tal que paratoda x ∈ X limn→∞ Tnx = yx ∈ Y existe. Si T : X → Y esta dado porTx = yx, entonces T ∈ B(X,Y ) y ‖T‖ ≤ sup

n‖Tn‖ < ∞.

Demostracion: T es claramente lineal y por el teorema 4.42 tenemosque existe M < ∞ tal que sup

n‖Tn‖ = M. Sea x ∈ X con ‖x‖ ≤ 1;

entonces

‖Tx‖ ≤ ‖Tx − Tnx‖ + ‖Tnx‖ ≤ ‖Tx − Tnx‖ + M

y, pasando al lımite cuando n → ∞, obtenemos que ‖Tx‖ ≤ M paratoda x ∈ X con ‖x‖ ≤ 1, es decir ‖T‖ ≤ M.

El teorema de Banach-Steinhaus para sucesiones no es valido engeneral si sustituimos sucesiones por redes como muestra el siguienteejemplo.

Ejemplo Sean X un espacio de Banach e IX : X → X el operadoridentidad. Para todo entero n sea

Tn =

{n−1IX si n ≥ 1nIX si n ≤ 0

Entonces {Tn : n es un entero} es una red tal que Tnx converge a ceropara cada x, pero ‖Tn‖ = |n| si n < 0 y por lo tanto supn ‖Tn‖ = ∞.

El teorema de la funcion abierta es otro de los mas profundos resul-tados sobre operadores en espacios de Banach.

Teorema 4.45 (de la funcion abierta) Sean X y Y espacios de Ba-nach y T : X → Y un operador lineal, continuo y suprayectivo. En-tonces T es abierto, es decir T (U) es un conjunto abierto en Y paratodo conjunto abierto U ⊂ X.


Demostracion: Es suficiente probar que 0 ∈ int T (Br(0)) para todar > 0 (ver ejercicio 10). Como T es suprayectivo, para cualquier r > 0,tenemos que

Y =∞⋃

k=1

T(Bkr/4(0)

)=

∞⋃k=1

kT(Br/4(0)

).

Entonces, por el teorema de Baire, existe k ≥ 1 tal que

int kT(Br/4(0)

) = ∅

y por lo tanto existe y ∈ int T(Br/4(0)

).

Por otra parte, usando el lema 4.5, obtenemos

intT(Br/4(0)

)− intT

(Br/4(0)

)⊂

⊂ int(T(Br/4(0)

)− T

(Br/4(0)

))⊂ intT

(Br/2(0)

),

(4.18)

es decir0 ∈ intT

(Br/2(0)

). (4.19)

Probaremos ahora que

T(Br/2(0)

)⊂ T (Br(0)) , (4.20)

y entonces por (4.19) obtenemos que 0 ∈ int T (Br(0)).

Para ello, sea y1 ∈ T(Br/2(0)

); como (4.18) es valido para toda r,

tambien se satisface que 0 ∈ intT (B2−2r(0)) y entonces y1−T (B2−2r (0))contiene una vecindad de y1. Por lo tanto(

y1 − T (B2−2r(0)))∩ T

(Br/2(0)

) = ∅.

Sea x1 ∈ Br/2(0) tal que Tx1 ∈ y1−T (B2−2r(0)) y sea y2 ∈ T (B2−2r(0))con Tx1 = y1 − y2. Procediendo inductivamente, obtenemos sucesiones{xn}∞n=1 ⊂ X y {yn}∞n=1 ⊂ Y tales que

xn ∈ B2−nr(0), yn ∈ T (B2−nr(0)) y Txn = yn − yn+1.


Entonces ‖xn‖ < 2−nr, de donde∑∞

n=1 ‖xn‖ < r y por lo tanto existex ∈ X con x =

∑∞n=1 xn y ‖x‖ < r. Ademas, ‖yn‖ ≤ ‖T‖ 2−nr y por

ende yn → 0. Finalmente de

n∑k=1

Txk =n∑

k=1

(yk − yk+1) = y1 − yn+1,

obtenemos que y1 =∑∞

k=1 Txk = Tx ∈ T (Br(0)) , lo que prueba(4.20).

La siguiente consecuencia del teorema de la funcion abierta es in-mediata y se usa frecuentemente para demostrar que un operador esinvertible.

Teorema 4.46 (de la funcion inversa) Si X y Y son espacios deBanach y T : X → Y es un operador biyectivo y acotado, entonces Tes un isomorfismo, es decir, T−1 es acotado y por lo tanto∥∥∥T−1

∥∥∥−1 ‖x‖ ≤ ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖ .

Es facil ver que cuando T es un operador continuo, su grafica escerrada. Para espacios de Banach y funciones lineales el recıprocotambien es cierto, es decir, si la grafica de T es cerrada entonces Tes continuo.

Definicion 4.47 Sean X y Y espacios normados. La grafica de unafuncion T : X → Y es el conjunto

gra T = {(x, Tx) ∈ X × Y : x ∈ X} .

Teorema 4.48 (de la grafica cerrada) Sean X, Y espacios de Ba-nach y T : X → Y una funcion lineal cuya grafica es cerrada en X×Y.Entonces T es continua.

Demostracion: No es difıcil ver que la norma

‖(x, y)‖ = ‖x‖ + ‖y‖


induce la topologıa producto en X×Y (ver ejercicio 8). Entonces por elteorema 4.21, X × Y es un espacio de Banach. Claramente gra T = Ges un subespacio lineal de X × Y y como es cerrado, G es un espaciode Banach. Sea P : G → X, dada por P (x, Tx) = x, entonces

‖P (x, Tx)‖ = ‖x‖ ≤ ‖(x, Tx)‖

y consecuentemente P es continua. Ademas es facil ver que P es unafuncion lineal biyectiva. Usando ahora el teorema 4.46, P−1 : X → Gresulta ser continua . Por otra parte se demuestra de manera analogaque la funcion R : G → Y definida por R(x, Tx) = Tx es tambiencontinua. Como T = R ◦ P−1, tenemos que es continua.

El siguiente resultado nos da una caracterizacion de los operadorescon grafica cerrada:

Proposicion 4.49 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y . Sonequivalentes:

(i) La grafica G de T es cerrada.

(ii) Si {xn}∞n=1 es una sucesion en X tal que existen los lımitesx = lim

n→∞xn y y = lim

n→∞Txn , entonces Tx = y.

Demostracion:

(i) ⇒ (ii) Supongamos que G es un conjunto cerrado. Sea {xn}∞n=1 unasucesion en X tal que existen x = lim

n→∞xn y y = lim

n→∞Txn. Como

‖x − xn‖ + ‖y − Txn‖ = ‖(x, y) − (xn, Txn)‖ , (4.21)

obtenemos que (x, y) = limn→∞

(xn, Txn) . Por lo tanto (x, y) ∈ G y

x = Ty.

(ii) ⇒ (i) Sea (x, y) ∈ G. Como X × Y es normado, existe unasucesion {xn}∞n=1 ⊂ X, tal que (x, y) = lim

n→∞(xn, Txn) . Usando (4.21),

x = limn→∞

xn y y = limn→∞

Txn . Por lo tanto y = Tx y (x, y) ∈ G.

4.8. Dualidad y topologıas debiles 111

4.8 Dualidad y topologıas debiles

Sea X un espacio normado. Hemos visto que X∗ siempre es un espaciode Banach (proposicion 4.16), y entonces podemos hablar de su espaciodual o bidual de X, que denotaremos por X∗∗ y tambien es un espaciode Banach. Tenemos la siguiente relacion entre X y su bidual X∗∗.

Teorema 4.50 Sea X un espacio normado. Entonces X es isometricoa un subespacio de X∗∗ vıa la funcion j : X → X∗∗ dada por

〈j(x), x∗〉 = x∗(x),

para toda x ∈ X y x∗ ∈ X∗. Esta funcion es llamada la inyeccioncanonica de X en X∗∗.

Demostracion: Claramente j(x) es lineal y

|〈j(x), x∗〉| ≤ ‖x‖ ‖x∗‖ ,

de manera que ‖j(x)‖ ≤ ‖x‖ y j(x) ∈ X∗∗. Ademas por el corolario4.36,

‖x‖ = sup‖x∗‖≤1

|x∗(x)| = sup‖x∗‖≤1

|〈j(x), x∗〉| = ‖j(x)‖ .

Notemos que cuando X es un espacio completo, j(X) es un subes-pacio cerrado de X∗∗.

Definicion 4.51 Un espacio normado X es reflexivo si j(X) = X∗∗,donde j : X → X∗∗ es la inyeccion canonica definida arriba.

Notemos que si un espacio es reflexivo, es isometricamente isomorfoa su doble dual y entonces es un espacio de Banach. La definicionestipula que la isometrıa debe de ser la inyeccion canonica, sin embargoX puede ser isometricamente isomorfo a X∗∗ mediante una isometrıadistinta. Durante mucho tiempo se penso que un espacio de Banachisometricamente isomorfo a su doble dual deberıa ser reflexivo, pero en1950, R.C. James construyo un espacio que es un contraejemplo a estaconjetura. Estudiaremos el espacio de James con cierto detalle en elcapıtulo 6.


Ejemplo

Todo espacio de Hilbert es reflexivo. Esto es consecuencia del corolario3.46.

El ejemplo anterior implica que l2 es reflexivo. Veremos que tambienes cierto para lp con 1 < p < ∞.

Proposicion 4.52 El dual del espacio lp con 1 < p < ∞ es el espacio

lq donde q es tal que1

p+

1

q= 1 y lp es reflexivo.

Demostracion: Para n = 1, 2, ... sea en = (0, ..., 0, 1︸︷︷︸,n

0, ...) ∈ lp.

Toda y = (bn)∞n=1 ∈ lq, define un elemento ϕy : lp → C, de la siguientemanera: para toda x = (an)∞n=1 ∈ lp,

ϕy(x) =∞∑

n=1

anbn.

Que ϕy esta bien definida, se sigue de la desigualdad de Holder:

∞∑n=1

|anbn| ≤(

∞∑n=1

|bn|q)1/q ( ∞∑

n=1

|an|p)1/p

≤ ‖y‖q ‖x‖p .

Por lo tanto |ϕy(x)| ≤ ‖y‖q ‖x‖p , de donde

‖ϕy‖ ≤ ‖y‖q . (4.22)

Ademas es claro que ϕy(en) = bn.Probaremos que la funcion Φ : lq → (lp)∗ , dada por Φ(y) = ϕy, es

un isomorfismo isometrico. Claramente Φ es inyectiva. Dada f ∈ (lp)∗

sea bn = f(en); veremos que la sucesion y = (bn)∞n=1 pertenece a lq.Para ello, sean m ∈ N y z(m) =

∑mn=1 eiθn |bn|q−1 en donde θn es tal que

eiθnbn = |bn| , entonces

m∑n=1

|bn|q = f(z(m)) ≤ ‖f‖∥∥∥z(m)

∥∥∥p

= ‖f‖(

m∑n=1

|bn|p(q−1)

)1/p

,


y usando que p(q − 1) = q y que 1 − 1

p=

1

q, obtenemos

(m∑

n=1

|bn|q)1/q

≤ ‖f‖

para toda m. Esto prueba que y = (bn)∞n=1 ∈ lq y que

‖y‖q ≤ ‖f‖ . (4.23)

Por otra parte, si x = (an)∞n=1 ∈ lp, sea x(m) =∑m

n=1 anen; entoncesclaramente,

∥∥∥x − x(m)∥∥∥

p=

⎛⎝ ∞∑n=m+1

|an|p⎞⎠1/p

→m→∞

0. (4.24)

Como f es continua, f(x(m)) =∑m

n=1 anbn →m→∞

f (x) y se sigue que

f(x) =∑∞

n=1 anbn, es decir, Φ(y) = f . Ademas por (4.22) y (4.23)‖f‖ = ‖y‖q , lo que concluye la prueba de que el espacio dual de lp eslq.

La demostracion de que lp es reflexivo es analoga a la del corolario3.46 y se deja como ejercicio al lector.

De manera semejante se puede probar que el dual de c0 es l1 y queel dual de l1 es l∞.

La demostracion de estas afirmaciones se deja como ejercicio.

4.8.1 Topologıas debil y debil estrella

En el teorema 4.26 vimos que los unicos espacios normados cuya bolacerrada unitaria es compacta, son los de dimension finita. Esto expre-sado en terminos de la convergencia de sucesiones, quiere decir quepara que toda sucesion acotada en un espacio normado tenga unasubsucesion convergente, el espacio tiene que ser de dimension finita.Historicamente la necesidad de extraer subsucesiones convergentes desucesiones acotadas, condujo a la busqueda de topologıas mas debiles,con mas compactos y que siguieran respetando la estructura de espacio


vectorial. Las dos topologıas mas importantes que surgieron de estainvestigacion, son las ahora conocidas como topologıa debil y topologıadebil estrella, la primera en el espacio mismo y la segunda en su espaciodual.

Definicion 4.53 Sean X un espacio normado y X∗ su dual. La to-pologıa debil en X , denotada por σ (X,X∗) o simplemente por w, esla topologıa que tiene como base local de x0 ∈ X a los conjuntos de laforma

V (x0,x∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε) =

k⋂i=1

{x ∈ X : |〈x∗i , x − x0〉| < ε} , (4.25)

con x∗1, x

∗2, ..., x

∗k ∈ X∗ y ε > 0, donde 〈x∗, x〉 significa lo mismo que

x∗(x).

Entonces un conjunto U ⊂ X es debilmente abierto, o w abierto, siy solo si para toda x0 ∈ U existen x∗

1, x∗2, ..., x

∗k ∈ X∗ y ε > 0 tales que

V (x0,x∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε) ⊂ U.

Cuando x0 = 0 denotaremos la vecindad (4.25) simplemente por

V (x∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε).

Es facil probar que:

V (x0,x∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε) = x0 + V (x∗

1, x∗2, ..., x

∗k, ε), (4.26)

V (λx0,x∗1, x

∗2, ..., x

∗k, λε) = λV (x0,x

∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε) si λ > 0 (4.27)

y que la topologıa debil es de Hausdorff (ejercicio 17).Lo anterior muestra que las vecindades debiles son las traslaciones

de las vecindades debiles del 0. Al principio de este capıtulo, en laproposicion 4.4, probamos que las operaciones de espacio vectorial sonnorma continuas; se deja como ejercicio demostrar que de las propieda-des (4.26) y (4.27) se deduce que las operaciones de espacio vectorialson w continuas.


Notemos que las vecindades debiles son bastante grandes en espaciosde dimension infinita, de hecho las vecindades basicas de 0 son tales que

V (x∗1, x

∗2, ..., x

∗n, ε) ⊃

n⋂i=1

ker x∗i (4.28)

y como siempre que x ∈ ker x∗, tambien λx ∈ ker x∗, claramente⋂ni=1 ker x∗

i es un conjunto no acotado en la norma ya que⋂n

i=1 ker x∗i es

un subespacio de X distinto de {0} (ver el ejercicio 11 y la proposicion4.27). Por lo tanto las vecindades debiles no estan contenidas enninguna bola abierta y la topologıa debil tiene menos abiertos que lade la norma (de ahı su nombre); pero a pesar de ello resulta que loselementos de X∗ son tambien w continuos.

Proposicion 4.54 Si X es un espacio normado, entonces x∗ ∈ X∗ siy solo si x∗ : (X, σ (X,X∗)) → K es continua.

Demostracion: Es inmediata de la definicion de la topologıa σ(X,X∗).

Si g es una funcional lineal continua cualquiera,

U = {x ∈ X : |g(x)| < 1} ,

x∗1, x

∗2, ..., x

∗k ∈ X∗ y ε > 0 son tales que V (x∗

1, x∗2, ..., x

∗k, ε) ⊂ U, entonces

por (4.28) para toda λ > 0

k⋂i=1

ker x∗i ⊂ V (x∗

1, x∗2, ..., x

∗k, λε) ⊂ λU = {x : |g(x)| < λ} .

Por lo tanto,k⋂

i=1

ker x∗i ⊂ ker g.

Pero curiosamente, si⋂k

i=1 ker x∗i ⊂ ker g, resulta que g es una combi-

nacion lineal de x∗1, x

∗2, ..., x

∗k.

Lema 4.55 Sean X un espacio vectorial sobre K y f1, f2, ..., fn y gfuncionales lineales en X. Si

K = {x ∈ X : f1(x) = f2(x) = · · · = fn(x) = 0}son equivalentes:


(i) Existen λ1, λ2, ..., λn ∈ K tales que g = λ1f1 + · · · + λnfn.

(ii) Existe C < ∞ tal que |g(x)| ≤ C max1≤i≤n

|fi(x)| para toda x ∈ X.

(iii) g(x) = 0 para toda x ∈ K.

Demostracion:(i)⇒(ii) Supongamos que existen λ1, λ2, ..., λn ∈ Ktales que g = λ1f1 + · · · + λnfn. Entonces C =

∑ ni=1 |λi| satisface

(ii).(ii)⇒(iii) Es obvio.(iii)⇒(i) Supongamos que g(x) = 0 para toda x ∈ K. DefinamosΦ : X → Kn por Φ(x) = (f1(x), ..., fn(x)) . Sea E = ΦX, que clara-mente es un subespacio vectorial de Kn; definamos la funcion linealψ : E → K por ψ(f1(x), ..., fn(x)) = g(x). ψ esta bien definida, yaque si Φ(x) = Φ(y) , por (iii), obtenemos que g(x) = g(y). Sea Ψuna extension lineal de ψ a Kn, que siempre existe. Como Kn esun espacio de Hilbert, por el teorema 3.39 existen λ1, ..., λn ∈ K talesque Ψ (a1, ..., an) =

∑ni=1 λiai y como g = Ψ ◦ Φ obtenemos que

g(x) = Ψ (Φ(x)) =∑n

i=1 λifi(x).

Corolario 4.56 Sea X un espacio normado. Si x∗, x∗1, x

∗2, ..., x

∗k ∈ X∗

y ε, δ > 0 son tales que V (x∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε) ⊂ V (x∗, δ) entonces x∗ es

combinacion lineal de x∗1, x

∗2, ..., x

∗k.

Demostracion: Veremos que⋂k

i=1 ker x∗i ⊂ ker x∗ : Claramente si

x ∈ ⋂ki=1 ker x∗

i , tambien nx ∈ ⋂ki=1 ker x∗

i para toda n ∈ N. Por lo

tanto |x∗ (nx)| < δ, o equivalentemente, |x∗ (x)| <δ

npara toda n ∈ N,

lo cual prueba nuestra afirmacion. El lema 4.55 nos da ahora el resul-tado deseado.

Sea X un espacio normado; entonces X∗ se puede ver tanto como elespacio dual de X, como tambien como el espacio cuyo dual es X∗∗. Porlo tanto, ademas de las topologıas de la norma y la debil σ (X∗, X∗∗),se puede definir otra importante topologıa en X∗:

Definicion 4.57 Sean X un espacio normado y X∗ su dual. La topo-logıa debil estrella en X∗, denotada por σ (X∗, X) o simplemente por


w∗, es la topologıa que tiene como base local de x∗0 ∈ X∗ a los conjuntos

de la forma

V (x∗0,x1, x2, ..., xk, ε) =

k⋂i=1

{x∗ ∈ X∗ : |〈x∗0 − x∗, xi〉| < ε} , (4.29)

con x1, x2, ..., xk ∈ X y ε > 0.

La topologıa debil estrella es tambien de Hausdorff (ejercicio 17) ylas vecindades w∗ tienen propiedades analogas a las propiedades (4.26) y(4.27). Entonces las operaciones de espacio vectorial en X∗ son tambienw∗ continuas.

Proposicion 4.58 Sea X un espacio normado. Las funcionales w∗

continuas son aquellos elementos de X∗∗ de la forma j (x) para algunax ∈ X, es decir son los elementos de X vistos como funcionales en X∗.

Demostracion: Es claro que toda funcional de la forma j (x) es w∗

continua. Supongamos que f : X∗ → K es w∗ continua. Entoncesdado ε > 0 existen δ > 0 y x1, ..., xk ∈ X tales que si |〈j (xi) , x∗〉| =|x∗ (xi)| < δ para i = 1, ..., k, se tiene que |f (x∗)| < ε. Como en lademostracion del corolario 4.56 se obtiene que

⋂ki=1 ker j (xi) ⊂ ker f.

Por el lema 4.55 existen λ1, ..., λk ∈ K tales que

f =k∑

i=1

λij (xi) = j

(k∑

i=1

λixi

).

Observemos que cuando X es reflexivo, coinciden las topologıasdebil y debil estrella. De hecho esto caracteriza a los espacios refle-xivos, lo que se vera mas adelante en el teorema 4.76. Como es claroque σ(X∗, X) ⊂ σ(X∗, X∗∗), cuando X no es reflexivo la topologıa debilestrella es mas debil aun que la debil.

Como ya hemos dicho la topologıa de un espacio tambien se puededefinir a traves de la convergencia de redes. ¿Como sera la convergenciaen las topologıas w y w∗?

Definicion 4.59 Sean X (X∗) un espacio normado y {xα}α∈A unared en X (X∗). Decimos que {xα}α∈A es w (w∗)−Cauchy si para todaw (w∗) vecindad de 0, V, existe β ∈ A tal que si α1, α2 ∈ A y α1 ≥ β,α2 ≥ β, entonces xα1− xα2 ∈ V.


Sean X un espacio normado y {xα}α∈A una red en X. Como lasvecindades de la forma

V (x0, x∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε)

para x∗1, x

∗2, ..., x

∗k ∈ X∗ y ε > 0 son una base local de la topologıa

debil, tenemos que xα converge debilmente a x0, y lo denotaremospor xα →

wx0, si y solo si 〈x∗, xα〉 converge a 〈x∗, x0〉 en K para toda

x∗ ∈ X∗. Ademas una red {xα}α∈A en X es w Cauchy si y solo si lared {〈x∗, xα〉}α∈A ⊂ K es de Cauchy para toda x∗ ∈ X∗.

Observemos ademas que 〈x∗, xα〉 → 〈x∗, x0〉 para toda x∗ ∈ X∗ si ysolo si 〈x∗, xα〉 → 〈x∗, x0〉 para toda x∗ ∈ BX∗ , pues si x∗ ∈ X∗, x∗ = 0entonces

1

‖x∗‖ 〈x∗, xα〉 =

⟨x∗

‖x∗‖ , xα

⟩→⟨

x∗

‖x∗‖ , x0

⟩=

1

‖x∗‖ 〈x∗, x0〉 .

Sea ahora {x∗α}α∈A una red en X∗. De manera similar al caso ante-

rior, obtenemos que, x∗α →

w∗x∗

0 si y solo si

〈x∗α, x〉 = 〈jx, x∗

α〉 → 〈jx, x∗0〉 = 〈x∗

0, x〉para toda x ∈ X. Por esto ultimo, a la convergencia w∗ se le llamatambien convergencia puntual en X.

Notemos que la diferencia entre las topologıas debil y debil estrelladesde el punto de vista de la convergencia, radica en que en la primerapara asegurar la convergencia de {x∗

α}α∈A a x∗0 se tiene que satisfacer

〈x∗∗, x∗α〉 → 〈x∗∗, x∗

0〉 (4.30)

para toda x∗∗ ∈ X∗∗, mientras que en la segunda basta que se satisfaga4.30 para las funcionales en j(X).

Recordemos que una topologıa en un conjunto E es metrizable siexiste una metrica en E que induce dicha topologıa, y que las topologıasinducidas por metricas satisfacen el primer axioma de numerabilidad,es decir, todo punto en E tiene una base local numerable. Veremosque los unicos espacios normados cuya topologıa debil (debil estrellaen caso de espacios duales) es metrizable, son los de dimension finita;esto nos da una diferencia sustancial entre las topologıas debiles y dela norma, ya que todo espacio normado es metrico.


Proposicion 4.60 Sea X un espacio de Banach.

(a) Si la topologıa w en X es metrizable entonces X tiene dimensionfinita.

(b) Si la topologıa w∗ en X∗ es metrizable entonces X∗ y consecuente-mente X tienen dimension finita.

Demostracion: Solo probaremos (a) pues la demostracion de (b) esanaloga. Como σ(X,X∗) es metrizable sea {Un}n∈N una base local de0. Para cada n ∈ N existen y∗

n,1, ..., y∗n,k(n) ∈ X∗ y un racional εn > 0

tales que V (y∗n,1, y

∗n,2, ..., y

∗n,k(n), εn) ⊂ Un. Sea

{x∗i }i∈N =

∞⋃n=1

{y∗

n,1, y∗n,2, ..., y

∗n,k(n)

}.

Entonces para toda vecindad debil W de 0, existen n1 < n2 < ... < nk

y ε ∈ Q con V (x∗n1

, x∗n2

, ..., x∗nk

, ε) ⊂ W y por lo tanto

V (x∗1, x

∗2, ..., x

∗nk

, ε) ⊂ W.

Sea x∗ ∈ X∗; como V (x∗, 1) es una vecindad debil de cero, existennk y ε ∈ Q con V (x∗

1, x∗2, ..., x

∗nk

, ε) ⊂ V (x∗, 1). Del corolario 4.56,concluimos que x∗ es combinacion lineal de x∗

1, x∗2, ..., x

∗nk

.Sea Fm = sp {x∗

i }mi=1 , entonces cada Fm es un conjunto cerrado por

ser un subespacio de dimension finita de X∗, y lo anterior prueba queX∗ =

⋃m∈N Fm. Por el teorema de Baire, existe Fm con interior no

vacıo y entonces por el lema 4.40, X∗ = Fm que tiene dimension menoro igual que m; pero si X∗ tiene dimension finita X tambien la tiene.

Sea X un espacio normado y X∗ su espacio dual. Cuando hagamoscualquier afirmacion referente a la topologıa sin mencionar de cual setrata, nos referiremos a la topologıa inducida por la norma. Por ejemplo,si decimos A es cerrado nos referimos a cerrado con respecto a la normay para decir que A es cerrado en la topologıa debil diremos que A es wcerrado o A es σ(X,X∗) cerrado. Como antes, A denota la cerradurade A en la norma; a la cerradura debil la denotaremos por A

wy a la

cerradura debil estrella por Aw∗

.


Ejemplo

Sea X un espacio normado y sea A = {x ∈ X : ‖x‖ ≥ 1} . EntoncesA = A, pero como las bolas abiertas no son w abiertas, se sigue queX\A no es w abierto y por lo tanto A

w = A.

En general, como muestra el ejemplo, la cerradura debil y la ce-rradura de un conjunto son diferentes. Sin embargo si un conjuntoes convexo, ambas cerraduras coinciden. Esto lo probaremos en uncontexto mas general en la proposicion 5.65 en el capıtulo 5, pues en sudemostracion se requiere una forma geometrica del teorema de Hahn-Banach en espacios vectoriales topologicos que se estudiara en dichocapıtulo.

Proposicion 4.61 Sea X un espacio normado. Si A ⊂ X es convexo,entonces A = A

w. En consecuencia un subconjunto convexo de X es

cerrado si y solo si es debilmente cerrado.

El resultado anterior nos permite construir sucesiones convergentesa 0 a partir de sucesiones debilmente convergentes a 0.

Corolario 4.62 Sea {xn}∞n=1 una sucesion en un espacio normado X.Si xn →

w0 entonces existe una sucesion {yn}∞n=1 de combinaciones con-

vexas de las xn, tal que ‖yn‖ → 0.

Demostracion: Aplıquese la proposicion anterior a A = conv {xn}∞n=1 .

Probaremos a continuacion que aunque las topologıas de la norma ydebil son distintas, los conjuntos acotados coinciden con los debilmenteacotados, que definiremos a continuacion:

Definicion 4.63 Sea X un espacio normado o un espacio dual de unespacio normado y sea A ⊂ X. Se dice que A es debilmente acotado(debilmente estrella acotado), si para toda vecindad debil (debil estrella)V de 0 existe λ > 0 tal que λA ⊂ V.

Lema 4.64 Sean X un espacio normado y A ⊂ X. Entonces las si-guientes afirmaciones son equivalentes:


(i) A es debilmente acotado.

(ii) supx∈A

|〈x∗, x〉| < ∞ para toda x∗ ∈ X∗.

(iii) A es acotado.

Demostracion: (i)⇒(ii) Supongamos que A es debilmente acotado yque x∗ ∈ X∗. Sea λ > 0 tal que

λA ⊂ V (x∗, 1) = {x ∈ X : |〈x∗, x〉| < 1} .

Entonces si x ∈ A, |〈x∗, λx〉| < 1 y por lo tanto supx∈A

|〈x∗, x〉| ≤ 1

λ.

(ii)⇒(i) Supongamos que para x∗ ∈ X∗, supx∈A

|〈x∗, x〉| = Mx∗ . Sea V una

vecindad de 0 y V (x∗1, ..., x

∗n, ε) ⊂ V. Sea λ =

ε

max1≤i≤n Mx∗i

; entonces

λA ⊂ V (x∗1, ..., x

∗n, ε) .

(ii)⇔(iii) Como X∗ es un espacio de Banach, podemos aplicar el princi-pio del acotamiento uniforme a la familia de operadores {j(x) : x ∈ A},donde j es la inyeccion canonica de X en X∗∗. Entonces

supx∈A

‖x‖ = supx∈A

‖j (x)‖ < ∞

si y solo sisupx∈A

|〈j (x) , x∗〉| = supx∈A

|〈x∗, x〉| < ∞

para toda x∗ ∈ X∗.

Hasta aquı hemos estudiado los conjuntos w acotados y los conjun-tos w cerrados y convexos, ¿que pasara con los conjuntos w compactos?Supongamos que K es un subconjunto w compacto de un espacio nor-mado X. Entonces K es w cerrado y por ende norma cerrado. Por otraparte, como toda x∗ ∈ X∗ es w continua, x∗(K) es compacto, y porlo tanto acotado, en K. Consecuentemente por (ii) y (iii) del lemaanterior, K es w acotado y tambien norma acotado. Hemos probadoentonces que todo conjunto w compacto es norma cerrado y norma aco-tado. Presentaremos un ejemplo que prueba que el recıproco es falso.


Ejemplo

Sean {en}∞n=1 la sucesion de vectores unitarios en c0 y {e∗n}∞n=1 lasucesion de vectores unitarios en l1. Entonces {e∗n}∞n=1 es biortogonal a{en}∞n=1 , es decir

e∗n(em) =

{0 si n = m1 si n = m

Para n ∈ N, sea sn = e1 + e2 + ... + en. El conjunto {sn}∞n=1 es unconjunto acotado, pues ‖sn‖ = 1 para cada n ∈ N. Veremos que es wcerrado pero que no es w compacto.

Sea x0 =∑∞

n=1 anen ∈ c0\ {sn}∞n=1 , entonces se satisface uno de lostres casos siguientes:

1. x0 = 0.

2. Existe i0 tal que ai0 = 0, 1.

3. Existe i0 tal que ai0 = 0 y ai0+1 = 1.

En el primer caso sea

V = {x ∈ c0 : |e∗1 (x)| < 1} ,

en el segundo sea

V ={x ∈ c0 :

∣∣∣e∗i0 (x0 − x)∣∣∣ < min {|ai0 | , |1 − ai0 |}

}y en el tercero sea

V ={x ∈ c0 :

∣∣∣(e∗i0 − e∗i0+1

)(x0 − x)

∣∣∣ < 1}

.

Es claro que en cualquiera de los casos la vecindad V de x0 esta con-tenida en c0\ {sn}∞n=1, de modo que {sn}∞n=1 es w cerrado.

Pero si

Vn ={x ∈ c0 :

∣∣∣(e∗n − e∗n+1

)(sn − x)

∣∣∣ < 1}

,

entonces Vn es una vecindad debil de sn y {Vn}∞n=1 es una cubierta de{sn}∞n=1 . Sin embargo sm /∈ Vn si m = n, y por lo tanto no puede teneruna subcubierta finita.


Tornemos ahora nuestra atencion hacia la topologıa debil estrella.El primer resultado que veremos es una de las propiedades mas impor-tantes de dicha topologıa y prueba que, contrariamente a lo que sucedecon la topologıa debil, los conjuntos norma cerrados y norma acotadosen X∗ siempre son w∗ compactos.

Teorema 4.65 (Banach-Alaoglu) Para todo espacio normado X, labola BX∗ es w∗ compacta y en consecuencia todo subconjunto w∗ cerradoy acotado de X∗ es w∗ compacto.

Demostracion: Dado x∗ ∈ BX∗ , para toda x ∈ BX se tiene que

|〈x∗, x〉| ≤ ‖x∗‖ ‖x‖ ≤ 1.

Por lo tanto para cada x∗ ∈ BX∗ , x∗ (BX) ⊂ D, donde

D = {λ ∈ K : |λ| ≤ 1} .

Sea D = Πx∈BXD = DBX con la topologıa producto. Como D es com-

pacto, del teorema de Tychonoff se sigue que D es compacto. DefinimosF : BX∗ → D mediante

F (x∗) (x) = 〈x∗, x〉

para cada x ∈ BX . Con esto lo que queremos decir, es que F (x∗)es aquel elemento de D cuya coordenada x es precisamente 〈x∗, x〉 .Consideremos en BX∗ la restriccion de la topologıa w∗. Probaremosque F es un homeomorfismo sobre su imagen y que la imagen de BX∗

es cerrada en D, y como este conjunto es compacto, tendremos el re-sultado deseado. Primero veremos que F es inyectiva: supongamosque F (x∗

1) = F (x∗2) ; esto quiere decir que 〈x∗

1, x〉 = 〈x∗2, x〉 para toda

x ∈ BX , lo cual implica que x∗1 = x∗

2.

Sean x∗0 ∈ BX∗ y V =

⋂ni=1 {x∗ ∈ BX∗ : |〈x∗

0, xi〉 − 〈x∗, xi〉| < ε} unavecindad w∗ de x∗

0 en BX∗ . Como

|〈x∗0, xi〉 − 〈x∗, xi〉| = |〈F (x∗

0) , xi〉 − 〈F (x∗) , xi〉| ,


es claro que

F (V ) =n⋂

i=1

{F (x∗) : x∗ ∈ BX∗ y |〈F (x∗0) , xi〉 − 〈F (x∗) , xi〉| < ε}

(4.31)y este conjunto es abierto en F (BX∗) ∩ D. De aquı se sigue que F esun homeomorfismo.

Probaremos ahora que F (BX∗) es un conjunto cerrado en D y porende compacto: Sea f0 ∈ F (BX∗) ⊂ D; entonces

|f0 (x)| ≤ 1 para toda x ∈ BX . (4.32)

Sean f0 : X → K y F : BX∗ → X∗ dados por f0 (0) = 0 y si x = 0

f0 (x) = ‖x‖ f0

(x

‖x‖

)y F (x∗) (x) = 〈x∗, x〉 para x ∈ X.

f0 es lineal pues si x1, x2 ∈ X, λ1, λ2 ∈ K y ε > 0, por 4.31 existex∗ ∈ BX∗ tal que se satisfacen las siguientes tres desigualdades:Si x1 = 0,

∣∣∣⟨F (x∗) , x1

⟩− f0 (x1)

∣∣∣ = ‖x1‖∣∣∣∣∣⟨

F (x∗) ,x1

‖x1‖

⟩− f0

(x1

‖x1‖

)∣∣∣∣∣ < ε,

si x2 = 0,

∣∣∣⟨F (x∗) , x2

⟩− f0 (x2)

∣∣∣ = ‖x2‖∣∣∣∣∣⟨

F (x∗) ,x2

‖x2‖

⟩− f0

(x2

‖x2‖

)∣∣∣∣∣ < ε,

y si λ1x1 + λ2x2 = 0,∣∣∣⟨F (x∗) , λ1x1 + λ2x2

⟩− f0 (λ1x1 + λ2x2)

∣∣∣ =‖λ1x1 + λ2x2‖

∣∣∣⟨F (x∗) , λ1x1+λ2x2

‖λ1x1+λ2x2‖

⟩− f0

(λ1x1+λ2x2

‖λ1x1+λ2x2‖

)∣∣∣ < ε.

Por lo tanto∣∣∣f0 (λ1x1 + λ2x2) − λ1f0 (x1) − λ2f0 (x2)∣∣∣ ≤

≤∣∣∣⟨f0 − F (x∗) , λ1x1 + λ2x2

⟩∣∣∣+ ∣∣∣λ1

⟨F (x∗) − f0, x1

⟩∣∣∣++∣∣∣λ2

⟨F (x∗) − f0, x2

⟩∣∣∣ < (1 + |λ1| + |λ2|) ε.


Si x1 = 0 o x2 = 0 o λ1x1 + λ2x2 = 0 las desigualdades anteriores sonobvias. Ya que ε es arbitraria, f0 es lineal. De manera semejante seprueba que para x ∈ BX , f0 (x) = ‖x‖ f0

(x

‖x‖

). Por (4.32)

∥∥∥f0

∥∥∥ ≤ 1 yfinalmente

f0 = F(f0

),

es decir F (BX∗) es cerrado y por lo tanto compacto. Como F es unhomeomorfismo esto prueba que BX∗ es w∗ compacta.

Uno de los resultados principales sobre la topologıa w∗ es el teoremade Goldstine que, al igual que la proposicion 4.61 y por las mismasrazones, sera demostrado hasta el capıtulo 5.

Teorema 4.66 (de Goldstine) Para todo espacio normado X, jBX

es σ(X∗∗, X∗) densa en BX∗∗ y en consecuencia jX es σ(X∗∗, X∗) densoen X∗∗.

En la proposicion 4.60 vimos que las topologıas debiles en espaciosnormados de dimension infinita nunca son metrizables. Sin embargo,si X es separable, la restriccion de la topologıa debil estrella a conjun-tos acotados sı es metrizable, es mas estos conjuntos son debil estrellaseparables.

Teorema 4.67 Sea X un espacio normado. Entonces son equiva-lentes:

(i) Toda bola cerrada en X∗ es σ(X∗, X) metrizable.

(ii) BX∗ es σ(X∗, X) metrizable.

(iii) X es separable.

Ademas cualquiera de las condiciones anteriores implica

(iv) BX∗ es w∗ separable.

Demostracion:(i)⇒(ii) Es obvio.(ii)⇒(iii) Supongamos que BX∗ es σ(X∗, X) es metrizable. Entoncestiene una base local de 0 numerable, {Un}∞n=1 . Como en la demostracion


de la proposicion 4.60, sea A = {yn}∞n=1 una sucesion tal que para todaw∗ vecindad de 0, U, existen k y ε ∈ Q con V (y1, ..., yk, ε) ⊂ U . En-tonces, si x∗ ∈ BX∗ es tal que x∗(yn) = 0 para toda yn ∈ A, obtenemosque x∗ ∈ ⋂∞

n=1 Un = {0} . Por lo tanto el espacio lineal generado por Aes denso en X y por ende X es separable (ver ejercicios 18 y 19).(iii)⇒(i) Supongamos que X es separable y sea {xn}∞n=1 una sucesiondensa en BX . Sean x∗, y∗ ∈ X∗. Si 〈x∗, xn〉 = 〈y∗, xn〉 para toda n, dela densidad de {xn}∞n=1 en BX obtenemos que x∗ = y∗, lo cual significaque si x∗ = y∗, existe N tal que

〈x∗, xN〉 = 〈y∗, xN〉 .

Sea mBX∗ una bola cerrada en X∗, m > 0. Como |〈x∗, xn〉| ≤ m paratoda x∗ ∈ mBX∗ ,

d(x∗, y∗) =∞∑

n=1

1

2n|〈x∗ − y∗, xn〉|

define una metrica en mBX∗ que induce la topologıa w∗ en mBX∗ (verejercicio 24).(iii)⇒(iv) Supongamos que X es un espacio normado real y {xn}∞n=1 esuna sucesion densa en X. Veremos que la coleccion de vecindades

W (xn, I) = {x∗ ∈ BX∗ : 〈x∗, xn〉 ∈ I} (4.33)

con n ∈ N e I ⊂ R cualquier intervalo abierto con extremos racionales,es una subbase de la topologıa σ (X∗, X) . En efecto, dados x∗

0 ∈ BX∗ ,

x ∈ X y ε > 0, sean a, b > 0 con max (a, b) <ε

2, tales que

x∗0 (x) − a, x∗

0 (x) + b ∈ Q.

Sea I = (x∗0 (x) − a, x∗

0 (x) + b) y sea n ∈ N tal que

‖x − xn‖ < min (a, b) .

Entonces se comprueba facilmente que

x∗0 ∈ W (xn, I) ⊂ V (x∗

0, x, ε) = {x∗ ∈ BX∗ : |〈x∗ − x∗0, x〉| < ε} .


Como la coleccion de vecindades de la forma V (x∗0, x, ε) es una sub-

base de la topologıa σ (X∗, X) en BX∗ , hemos probado el resultadoanunciado. Por lo tanto, las intersecciones finitas de los conjuntos dela forma (4.33) son una base numerable de la topologıa σ (X∗, X) enBX∗ . Finalmente, eligiendo un elemento de cada una de esas vecindades,obtenemos una sucesion σ (X∗, X) densa en BX∗ .

Si X es complejo reemplazamos el intervalo I en (4.33) por I × iJ,donde I y J son intervalos reales con extremos racionales y el resto dela prueba es analogo.

Recordemos que un espacio topologico K es secuencialmente com-pacto si toda sucesion en K tiene una subsucesion convergente a unpunto en K. Como en espacios metricos coinciden las nociones de com-pacidad y compacidad secuencial, obtenemos del teorema anterior ydel teorema de Banach-Alaoglu el siguiente corolario conocido comoteorema de seleccion de Helly:

Corolario 4.68 Si X es un espacio normado separable, entonces todasucesion acotada en X∗ tiene una subsucesion w∗ convergente.

La condicion de separabilidad en el corolario anterior no se puedeomitir como lo demuestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Sea l∞ el espacio definido al principio de este capıtulo. Entonces l∞

es un espacio normado no separable, ya que el conjunto de sucesionesde la forma Θ ={θn}∞n=1 , donde θn = 1 o θn = 0 para n = 1, 2, ..., esno numerable y si Θ1 = Θ2, entonces ‖Θ1 − Θ2‖∞ = 1. Del teoremade Banach-Alaoglu, obtenemos que la bola unitaria B(l∞)∗ es debil es-trella compacta, y del teorema 4.67 obtenemos que no es debil estrellametrizable. Veremos que tampoco es debil estrella secuencialmentecompacta. Sea fn ∈ (l∞)∗ la enesima funcional coordenada, es decirfn(x) = xn. Entonces |fn(x)| ≤ ‖x‖∞ para toda x ∈ l∞ y si {ei }∞i=1 esla sucesion de vectores unitarios en l∞, ‖en‖∞ = 1 y |fn(en)| = 1; por

lo tanto ‖fn‖ = 1 para toda n. Si{fnj

}∞j=1

es cualquier subsucesion,

sea x = (xn)n ∈ l∞ dado por xn2j= 1 y xn = 0 si n = n2j, j ∈ N.


Entonces fn2j(x) = 1 y fn2j−1

(x) = 0, y{fnj

}∞j=1

no es debil estrella

convergente.

Cuando X es reflexivo, como las topologıas w y w∗ coinciden enX∗∗ = X, del teorema de Banach-Alaoglu tenemos que BX es w com-pacta, de donde se deduce el siguiente corolario:

Corolario 4.69 Si X es un espacio de Banach reflexivo y separable,entonces toda sucesion acotada tiene una subsucesion w convergente.

El resultado anterior es cierto aun sin la hipotesis de separabilidad,es decir: si X es un espacio de Banach reflexivo entonces toda sucesionacotada tiene una subsucesion w convergente. Esto es consecuenciadel teorema de Eberlein-Smulian que asegura que un subconjunto deun espacio de Banach es w compacto si y solo si es w secuencialmentecompacto. El lector interesado puede encontrar una prueba de esteresultado en [9].

En el capıtulo 3 definimos el espacio E⊥ para espacios de Hilbert.Estos espacios tienen su analogo en espacios normados y son esencialesen el estudio de los duales de subespacios y espacios cociente. Ademasnos serviran para probar que todo espacio con dual separable es a suvez separable.

Definicion 4.70 Sean X un espacio normado, E un subconjunto deX y F un subconjunto de X∗. Sus aniquiladores E⊥ y F⊥ se definencomo

E⊥ = {x∗ ∈ X∗ : 〈x∗, x〉 = 0 para toda x ∈ E} ,

F⊥ = {x ∈ X : 〈x∗, x〉 = 0 para toda x∗ ∈ F} .

Es claro que E⊥ y F⊥ son espacios vectoriales. Ademas, como F⊥

es la interseccion de los espacios nulos de las funcionales x∗ con x∗ ∈ F,tenemos que es un subespacio cerrado de X. Por otro lado si {x∗

n}n

⊂ E⊥ y converge a x∗ ∈ X∗, es claro que x∗ ∈ E⊥ y por lo tanto E⊥

es cerrado en X∗.Notemos que aunque la definicion anterior es aparentemente dife-

rente a la dada para espacios de Hilbert, en virtud del teorema 3.39ambas definiciones coinciden.


Proposicion 4.71 Sea X un espacio normado. Si X∗ es separable,entonces X es separable.

Demostracion: Sea {x∗n}n una sucesion densa en X∗. Por definicion

de la norma de x∗n, para cada n existe xn ∈ SX con |x∗

n (xn)| ≥ 34‖x∗

n‖ .Sea ahora x∗ = 0 en X∗ y n tal que ‖x∗ − x∗

n‖ < 14‖x∗‖ . Entonces

‖x∗n‖ ≥ ‖x∗‖ − ‖x∗ − x∗

n‖ ≥ 34‖x∗‖ y

|x∗ (xn)| ≥ |x∗n (xn)| − |(x∗ − x∗

n) (xn)|≥ |x∗

n (xn)| − ‖x∗ − x∗n‖

> 34‖x∗

n‖ − 14‖x∗‖

> 34‖x∗

n‖ − 13‖x∗

n‖ > 0.

Entonces ({xn}n)⊥ = {0} . Como para un conjunto A ⊂ X, [A] =(A⊥)⊥

(ejercicio 21), tenemos que [{xn}n] =(({xn}n)⊥

)⊥

= {0}⊥ =

X. Por el ejercicio 19 [A] es separable si A es numerable y esto terminala prueba.

El recıproco de la proposicion anterior es falso ya que por ejemploel espacio l1 es separable y su dual l∞ no lo es.

4.8.2 Espacios duales de subespacios y espacios co-ciente

Sea Y un subespacio de un espacio normado X. Mostraremos, echandomano del aniquilador de Y, que el dual de Y es un espacio cociente deX∗ y el dual de X/Y es un subespacio de X∗.

Por el teorema 4.18 tenemos que si Y es un subespacio cerradode X, entonces el cociente X/Y es tambien un espacio normado. Seaq : X → X/Y la funcion cociente dada por q(x) = x donde x = x + Y.Entonces, si f ∈ (X/Y )∗ , tenemos que f ◦ q ∈ X∗. Ademas, si y ∈ Y,claramente f ◦ q(y) = 0, por lo que f ◦ q ∈ Y ⊥. Esto nos permite definiruna funcion Φ : (X/Y )∗ → Y ⊥ mediante Φ (f) = f ◦ q; veremos que Φestablece una identificacion entre dichos espacios .

Teorema 4.72 Sean X un espacio normado y Y un subespacio cerradode X. Entonces la funcion Φ : (X/Y )∗ → Y ⊥ definida arriba es un


isomorfismo isometrico, que tambien es un homeomorfismo con respectoa las topologıas σ ((X/Y )∗ , X/Y ) y σ (X∗, X) restringida a Y ⊥.

Demostracion: Claramente Φ es lineal y si 0 = Φ (f) = f ◦ q, comoq es suprayectiva, f = 0 y entonces Φ es inyectiva. Si g ∈ Y ⊥ seaf : X/Y → K dada por f(x) = g(x); f esta bien definida puesg(y) = 0 si y ∈ Y y se verifica facilmente que es lineal. Sea ε > 0; porel teorema 4.18 el conjunto A = {x : |f(x)| < ε} sera abierto en X/Ysiempre y cuando q−1(A) sea abierto en X. Pero

q−1(A) = {x ∈ X : |g(x)| < ε}es abierto al ser g continua. Por lo tanto f es continua y Φ es suprayec-tiva pues Φ(f) = g.

Veremos que Φ es una isometrıa. Por el teorema 4.18 tenemos que‖Φ(f)‖ = ‖f ◦ q‖ ≤ ‖f‖ . Para ver la otra desigualdad, recordemos quela norma en X/Y esta dada por

‖x‖ = infy∈Y

‖x + y‖ . (4.34)

Por la definicion de ‖f‖ , dada ε > 0 existe xε ∈ X tal que

‖xε‖ ≤ 1 y |f(xε)| > ‖f‖ − ε.

Ademas, por (4.34), existe yε ∈ Y con ‖xε + yε‖ < 1 + ε y entonces

(1 + ε) ‖f ◦ q‖ ≥ |f ◦ q(xε + yε)| = |f(xε)| > ‖f‖ − ε.

Como la desigualdad es cierta para toda ε > 0 obtenemos el resultadodeseado.

Para ver que Φ es un homeomorfismo respecto a las topologıasσ ((X/Y )∗ , X/Y ) y σ (X∗, X) restringida a Y ⊥, sea x ∈ X/Y y x ∈ Xtal que q (x) = x. Entonces por lo anterior

Φ ({f ∈ (X/Y )∗ : |f (x)| < ε}) ={g ∈ Y ⊥ : |g (x)| < ε

}.

Por lo tanto Φ es un homeomorfismo.

Para estudiar el dual de un subespacio Y de X, se requiere el si-guiente lema:


Lema 4.73 Sean A y B espacios vectoriales y ϕ : A → B una funcionlineal suprayectiva, entonces la funcion φ : A/ ker ϕ → B, dada porφ(a) = ϕ(a) para a = a + ker ϕ es biyectiva.

Demostracion: Claramente φ sigue siendo suprayectiva. Suponga-mos que φ(a) = 0 entonces ϕ(a) = 0, es decir a ∈ ker ϕ y por ende φes inyectiva.

Si x∗ ∈ X∗ entonces la restriccion x∗ |Y pertenece claramente a Y ∗.Por otra parte, si y∗ ∈ Y ∗, por el teorema de Hahn Banach existe unaextension de y∗ a X. Entonces la funcion lineal ψ: X∗ → Y ∗ dada por

ψ(x∗) = x∗ |Y (4.35)

es suprayectiva. Sea x∗ ∈ X∗ tal que ψ(x∗) = 0; entonces x∗(y) = 0 paratoda y ∈ Y, es decir x∗ ∈ Y ⊥. Como tambien Y ⊥ ⊂ ker ψ tenemos queker ψ = Y ⊥, lo cual nos permite definir un isomorfismo entre X∗/Y ⊥ yY ∗.

Teorema 4.74 Sea Y un subespacio de un espacio normado X y seaΨ : X∗/Y ⊥ → Y ∗ la biyeccion lineal dada por

Ψ(x∗)

= ψ (x∗)

si x∗ = x∗ + Y ⊥, donde ψ esta dado en (4.35). Entonces Ψ es unisomorfismo isometrico. Ademas Ψ es un homeomorfismo de X∗/Y ⊥

con la topologıa cociente τ inducida por σ(X∗, X), en (Y ∗, σ(Y ∗, Y )) .

Demostracion: Claramente Ψ es lineal y es una biyeccion por el lemaanterior.

Sea y∗ ∈ Y ∗. Entonces por el teorema de Hahn Banach, existex∗ ∈ X∗ con x∗ |Y = y∗ y ‖x∗‖ = ‖y∗‖ . De donde∥∥∥Ψ (x∗

)∥∥∥ = ‖y∗‖ = ‖x∗‖ ≥∥∥∥x∗

∥∥∥ .

Por otra parte, si z∗ ∈ Y ⊥,∥∥∥Ψ (x∗)∥∥∥ = ‖x∗ |Y ‖ = ‖(x∗ + z∗) |Y ‖ ≤ ‖x∗ + z∗‖ .


Como esto se satisface para toda z∗ ∈ Y ⊥, usando la definicion de lanorma cociente, tenemos que

‖y∗‖ =∥∥∥Ψ (x∗

)∥∥∥ ≤ ∥∥∥x∗∥∥∥ .

Por lo tanto Ψ es una isometrıa.Para ver que es un homeomorfismo consideremos la funcion cociente

Q : X∗ → X∗/Y ⊥. De la definicion de Ψ deducimos que ψ = Ψ ◦ Q .Sean ε > 0 , y1, ..., yk ∈ Y, y

U = {y∗ ∈ Y ∗ : |〈y∗, yi〉| < ε para i = 1, ..., k} .

Entonces como 〈ψ (x∗) , yi〉 = 〈x∗, yi〉 ,

Ψ−1(U) ={x∗ : |〈x∗, yi〉| < ε para i = 1, ..., k

}.

Por definicion de la topologıa cociente, Ψ−1 (U) es τ abierto si y solo siQ−1 (Ψ−1(U)) es σ(X∗, X) abierto en X∗. Pero

Q−1(Ψ−1(U)

)= ψ−1(U) = {x∗ ∈ X∗ : |〈x∗, yi〉| < ε para i = 1, ..., k}

que claramente es w∗ abierto.Para terminar la demostracion de que Ψ es un homeomorfismo, falta

ver que si U es un τ abierto entonces Ψ(U) es σ(Y ∗, Y ) abierto en Y ∗.Pero U es un τ abierto si y solo si existe un conjunto V, σ(X∗, X)

abierto en X∗, tal que Q(V ) = U. Basta considerar abiertos de la formaU = Q (V ) con V = {x∗ ∈ X∗ : |〈x∗, x〉| < ε} con ε > 0 y x ∈ X, puesestos ultimos forman una subbase local de 0.

Primero veremos que si x /∈ Y entonces U = Q(V ) = X∗/Y ⊥. Enefecto, si x /∈ Y y x∗

0 ∈ X∗/Y ⊥, sea g : Y ⊕ [x] → K dada por

g(y + λx) = x∗0(y) + λ

ε

2

y sea x∗1 ∈ X∗ una extension de g. Entonces x∗

1 − x∗0 ∈ Y ⊥, de donde

x∗0 = Q(x∗

1).

Ademas 〈x∗1, x〉 = g (x) =

ε

2< ε, por lo que x∗

1 ∈ V. Por lo tanto

Q(V ) = X∗/Y ⊥ y como Ψ es suprayectiva, Ψ (U) =Ψ(X∗/Y ⊥

)= Y ∗

que es un conjunto w∗ abierto.


Supongamos ahora que x ∈ Y , x∗ ∈ X∗. Si y∗ = Ψ(x∗), entonces

〈y∗, x〉 =⟨Ψ(x∗), x⟩

= 〈x∗ |Y , x〉 = 〈x∗, x〉 ,

lo cual implica que |〈x∗, x〉| < ε si y solo si |〈y∗, x〉| < ε. Concluimosque Ψ(U) = Ψ ◦ Q(V ) = {y∗ ∈ Y ∗ : |〈y∗, x〉| < ε} es w∗ abierto.

Como corolario obtenemos que la topologıa debil en los subespaciosde X es la que uno esperarıa:

Corolario 4.75 Si Y es un subespacio de un espacio normado X, en-tonces σ(Y, Y ∗) es la topologıa inducida por σ(X,X∗) en Y.

Demostracion: Si Ψ : X∗/Y ⊥ → Y ∗ es el isomorfismo dado en el

teorema anterior, entonces para toda x∗ ∈ X∗, se tiene que si Ψ(x∗)

=y∗,

{y ∈ Y : |〈y∗, y〉| < ε} ={y ∈ Y :

∣∣∣⟨Ψ (x∗), y⟩∣∣∣ < ε

}=

{x ∈ X : |〈x∗, x〉| < ε} ∩ Y.

4.8.3 Reflexividad

En esta subseccion daremos varias caracterizaciones de la reflexividadde espacios de Banach.

De aquı en adelante, cuando haga falta, identificaremos a BX consu imagen j (BX) en X∗∗, llamandola de la misma forma. Esto se puedegracias al teorema 4.50. Como ademas

{x∗∗ ∈ X∗∗ : |〈x∗∗, x∗〉| < ε} ∩ j (X) =

= {j (x) ∈ X∗∗ : |〈j (x) , x∗〉| < ε} = j {x ∈ X : |〈x∗, x〉| < ε} ,

diremos que la topologıa σ (X,X∗) es la restriccion de la topologıaσ (X∗∗, X∗) a X o que σ (X,X∗) es la topologıa inducida en X porσ (X∗∗, X∗) .


Teorema 4.76 Sea X un espacio de Banach, entonces son equiva-lentes:

(i) X es reflexivo.

(ii) BX es σ(X,X∗) compacta.

(iii) σ(X∗, X) = σ(X∗, X∗∗).

(iv) X∗ es reflexivo.

Demostracion:(i)⇒(ii) Supongamos que X es reflexivo. Por el teo-rema de Banach-Alaoglu, BX∗∗ es σ(X∗∗, X∗) compacta, entonces comoX = X∗∗, BX es σ(X,X∗) compacta.(ii)⇒(i) Supongamos que BX es σ(X,X∗) compacta. Como un con-junto compacto en la topologıa restringida tambien lo es en la topologıaoriginal, obtenemos que BX es σ(X∗∗, X∗) cerrada en X∗∗. Por otraparte, por el teorema 4.66, BX es σ(X∗∗, X∗) densa en BX∗∗ ; por lotanto concluimos que BX = BX∗∗ y X es reflexivo.(iii)⇒(iv) Supongamos que σ(X∗, X) = σ(X∗, X∗∗). Del teorema deBanach-Alaoglu sabemos que BX∗ es σ(X∗, X) compacta y entonces esσ(X∗, X∗∗) compacta. Aplicando (ii) ⇒(i) a X∗, obtenemos que X∗ esreflexivo.(iv)⇒(i) Supongamos que X∗ es reflexivo. Entonces X∗ = X∗∗∗. ComoBX es norma cerrada en X∗∗, por la proposicion 4.61 BX esσ(X∗∗, X∗∗∗) cerrada en X y de aquı obtenemos que BX es σ(X∗∗, X∗)cerrada en X∗∗. Igual que en la prueba de (ii)⇒(i) concluimos que Xes reflexivo.(i)⇒(iii) Es inmediato.

Como es deseable, la reflexividad se hereda a subespacios.

Corolario 4.77 Si Y es un subespacio cerrado de un espacio de Ba-nach reflexivo X, entonces Y es reflexivo.

Demostracion: Usando el teorema 4.76 tenemos que BX es σ(X,X∗)compacta, y como BY = BX ∩ Y, del corolario 4.75 obtenemos el resul-tado deseado.


Si X es un espacio de Banach, diremos que una funcional x∗ ∈ X∗

alcanza su norma si existe x0 ∈ BX tal que x∗(x0) = ‖x∗‖.

E. Bishop y R.R. Phelps probaron en 1961 que el conjunto defuncionales que alcanzan su norma es denso en X∗, sin embargo lademostracion esta fuera del alcance de este texto. El lector interesadopuede hallarla en [8]. En el caso en que el espacio es reflexivo, la con-clusion es mas fuerte y la prueba es mas facil.

Corolario 4.78 Sea X un espacio de Banach reflexivo. Toda funcionalcontinua en X alcanza su norma.

Demostracion: Sea x∗ ∈ X∗, como X es reflexivo, por el teorema 4.76BX es w compacta. Por otro lado, x∗ restringida a BX es w continuay entonces existe x0 ∈ BX tal que

|x∗(x0)| = sup‖x‖≤1

|x∗(x)| .

Reemplazando, si hace falta, x0 por −x0 en el caso real o por eiθx0 enel caso complejo, obtenemos el resultado deseado.

R.C. James probo en 1957, el recıproco del corolario anterior, esdecir, demostro que si un espacio de Banach es tal que toda funcionalcontinua en el alcanza su norma entonces es reflexivo. La demostracionde este resultado es muy tecnica y larga, y se puede encontrar porejemplo en [17].

Ejemplo

Construiremos una funcional en c0 que no alcanza su norma. Recor-

demos que c∗0 = l1 y sea y = (yn)∞n=1 dado por yn =1

2n. Entonces

y ∈ l1, ‖y‖ = 1 y para toda x = (xn)∞n=1 ∈ Bc0 como existe n0 tal

que |xn0 | < 1, tenemos que y(x) =∑∞

n=1

1

2nxn < 1. Por lo tanto y no

alcanza su norma.


4.9 Continuidad debil y operadores ad-

juntos

Las funcionales lineales continuas son debilmente continuas. ¿Quepasara con la continuidad debil de operadores entre espacios norma-dos de dimension infinita? Antes que nada aclararemos que queremosdecir con continuidad debil de operadores.

Definicion 4.79 Sean X y Y espacios normados. Un operadorT : X → Y es debilmente continuo, si es continuo con respecto a lastopologıas σ(X,X∗) y σ(Y, Y ∗). Un operador S : X∗ → Y ∗ es debilmenteestrella continuo, si es continuo con respecto a las topologıas σ(X∗, X∗∗)y σ(Y ∗, Y ∗∗).

Veremos que igual que en el caso de las funcionales, los operadoresson continuos si y solo si son debilmente continuos.

Proposicion 4.80 Sean X y Y espacios normados y T : X → Ylineal. T es norma continuo si y solo si es debilmente continuo.

Demostracion: Supongamos que T es norma continuo. Sean x ∈ X,ε > 0 y y∗

1, ...y∗k ∈ Y ∗. Entonces si x∗

i = y∗i ◦ T, se tiene que x∗

i ∈ X∗

para toda i = 1, ..., k y

T (V (x, x∗1, ..., x

∗k, ε)) ⊂ V (Tx, y∗

1, ..., y∗k, ε).

Es decir T es w continuo.Supongamos ahora que T es w continuo; entonces de la proposicion

4.54 se sigue que para toda y∗ ∈ Y ∗, y∗ ◦ T es w continua. Aplicandola proposicion nuevamente, y∗ ◦ T ∈ X∗. Ahora bien, si x ∈ BX , paratoda y∗ ∈ Y ∗

|y∗(Tx)| = |(y∗ ◦ T )x| ≤ ‖y∗ ◦ T‖ ,

y por el lema 4.64 T (BX) es norma acotado. Esto prueba que T esnorma continuo.

En el capıtulo de espacios de Hilbert definimos el adjunto de un ope-rador. En esta seccion veremos que a cada operador T ∈ B(X,Y ) entre

4.9. Continuidad debil y operadores adjuntos 137

espacios normados tambien se le puede asociar un operadorT ∗ ∈ B(Y ∗, X∗), llamado el adjunto o transpuesto de T, y estudiare-mos la relacion entre los operadores y sus adjuntos.

Teorema 4.81 Si X y Y son espacios normados, entonces para cadaT ∈ B(X,Y ) existe un unico T ∗ ∈ B(Y ∗, X∗) tal que para toda x ∈ Xy para toda y∗ ∈ Y ∗

〈y∗, Tx〉 = 〈T ∗y∗, x〉 (4.36)

y‖T ∗‖ = ‖T‖ . (4.37)

Demostracion: Dado T ∈ B(X,Y ), definimos T ∗ : Y ∗ → X∗ porT ∗y∗ = y∗ ◦ T. Claramente T ∗y∗ ∈ X∗ y si x ∈ X tenemos que

〈T ∗y∗, x〉 = 〈y∗ ◦ T, x〉 = 〈y∗, Tx〉 ,

es decir, se cumple (4.36). Ademas, si y∗1, y∗

2 ∈ Y ∗, α1, α2 ∈ K y x ∈ X,

〈T ∗(α1y∗1 + α2y

∗2), x〉 = 〈α1y

∗1 + α2y

∗2, Tx〉 = α1 〈y∗

1, Tx〉 + α2 〈y∗2, Tx〉

= α1 〈T ∗y∗1, x〉 + α2 〈T ∗y∗

2, x〉 ,

de donde T ∗ es lineal. Por otra parte, usando el corolario 4.36, obtene-mos

‖T ∗‖ = sup {‖T ∗y∗‖ : ‖y∗‖ ≤ 1} = sup {|〈T ∗y∗, x〉| : ‖y∗‖ ≤ 1, ‖x‖ ≤ 1}

= sup {|〈y∗, Tx〉| : ‖y∗‖ ≤ 1, ‖x‖ ≤ 1} = ‖T‖ .

La unicidad de T ∗ es consecuencia de (4.36).

Ejemplo

Si IX denota la identidad en X, I∗X = IX∗ .

Antes de continuar, comparemos la definicion del adjunto de un o-perador en un espacio de Hilbert H dada en la seccion 3.5, con (4.36).Como la funcion que identifica a H con su dual H∗ no es lineal sino


lineal conjugada, la definicion dada por (4.36) aplicada a espacios deHilbert no es la misma que la dada en la seccion 3.5. Por lo tanto, noes de extranar que haya algunas diferencias entre las propiedades delos adjuntos de operadores en espacios de Hilbert y los adjuntos de losoperadores en espacios de Banach. Por ejemplo tenemos el siguienteresultado, cuya demostracion se deja al lector.

Proposicion 4.82 Sean X, Y espacios normados, T, S ∈ B(X,Y ) yα, β ∈ K entonces (αT + βS)∗ = αT ∗ + βS∗.

Notemos que la diferencia entre esta proposicion y el resultado co-rrespondiente para espacios de Hilbert (teorema 3.51), es que en elcaso de espacios de Banach la operacion de tomar adjuntos no sacaconjugados.

Si T ∈ B(X,Y ), igual que en el caso de espacios de Hilbert, R(T ) yker(T ) denotaran el rango y el espacio nulo de T, respectivamente . Elanalogo al teorema 3.52 tambien se cumple en espacios de Banach ycomo la demostracion es similar, se deja como ejercicio.

Teorema 4.83 Si X y Y son espacios de Banach y T ∈ B(X,Y ) ,entonces

ker(T ∗) = R(T )⊥ y ker(T ) = R(T ∗)⊥.

Si T ∈ B(X,Y ) , su adjunto T ∗ ∈ B(Y ∗, X∗) y entonces existe eladjunto de T ∗ , denotado por T ∗∗, que pertenece a B(X∗∗, Y ∗∗).

Proposicion 4.84 Si X , Y y Z son espacios de Banach, T ∈ B(X,Y )y S ∈ B(Y, Z) entonces

(a) T ∗∗ |X= T, es decir T ∗∗ (jX (x)) = jY (Tx) , donde jX es la in-yeccion canonica de X en X∗∗ y jY la de Y en Y ∗∗.

(b) (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗.

(c) T es invertible si y solo si T ∗ es invertible y (T−1)∗

= (T ∗)−1 .

4.9. Continuidad debil y operadores adjuntos 139

Demostracion:(a) Para toda x ∈ X y toda y∗ ∈ Y ∗,

〈T ∗∗(jXx), y∗〉 = 〈jXx, T ∗y∗〉 = 〈T ∗y∗, x〉 = 〈y∗, Tx〉 = 〈jY (Tx) , y∗〉 .

(b) Dadas x ∈ X y z∗ ∈ Z∗, tenemos

〈(S ◦ T )∗ z∗, x〉 = 〈z∗, (S ◦ T )x〉 = 〈S∗z∗, Tx〉 = 〈(T ∗ ◦ S∗) z∗, x〉 .

(c) Supongamos que T es invertible. Usando (b), obtenemos que

T ∗ ◦ (T−1)∗

= (T−1 ◦ T )∗

= I∗X = IX∗

y(T−1)

∗ ◦ T ∗ = (T ◦ T−1)∗

= IY ∗ .

Por lo tanto T ∗ es invertible y (T−1)∗

= (T ∗)−1 . Supongamos ahoraque T ∗ es invertible. Veremos ahora que existe C tal que para x ∈ X,

‖Tx‖ ≥ C ‖x‖ . (4.38)

Si no fuera cierto, existirıa una sucesion {xn}∞n=1 ⊂ X tal que ‖xn‖ = 1

y tal que ‖Txn‖ <1

n2para n = 1, 2, ... Pero entonces

‖nxn‖ = n y ‖Tnxn‖ <1

n.

Por otro lado, como T ∗ es suprayectiva, si x∗ ∈ X∗ existe y∗ ∈ Y ∗ talque T ∗y∗ = x∗ y por lo tanto

〈x∗, nxn〉 = 〈T ∗y∗, nxn〉 = 〈y∗, Tnxn〉 <‖y∗‖n

,

lo cual implica que {nxn}∞n=1 es w convergente a 0 y de aquı se de-duce que {nxn}∞n=1 es norma acotada (ver ejercicio 26), lo cual es unacontradiccion.

De (4.38) obtenemos que T es inyectiva y que R(T ) es un conjuntocerrado. En efecto, si {Txn}∞n=1 es una sucesion en R(T ) que convergea y ∈ Y, entonces como

‖xn − xm‖ ≤ 1

C‖Txn − Txm‖ ,


{xn}∞n=1 es una sucesion de Cauchy en X que converge a alguna x ∈ Xy claramente Tx = y. Por otra parte, usando el teorema 4.83, comoT ∗ es invertible, {0} = ker(T ∗) = R(T )⊥, de donde R(T ) es denso enY (ejercicio 20) y por lo tanto T es suprayectiva. Finalmente, usandoel teorema 4.46 concluimos que T es invertible.

Los operadores norma continuos entre espacios duales, aunque sonw continuos, no tienen porque ser w∗ continuos, sin embargo si sonadjuntos de algun operador, sı lo son.

Ejemplo

Sea T : l1 → R dado por

Tx =∞∑i=1

xi

para x = (xi)∞i=1 ∈ l1. Claramente T es norma continuo y por la

proposicion 4.80 es w continuo. Sin embargo, si vemos a l1 como elespacio dual de c0, y {ei}∞i=1 ⊂ l1 es la sucesion de elementos que tienenun 1 en la i-esima coordenada y 0 en las demas, entonces ei →

w∗0 pero

Tei = 1 para i ∈ N. Consecuentemente T no es w∗ continuo.

Proposicion 4.85 Si X y Y son espacios de Banach y T ∈ B(X,Y )entonces T ∗ es w∗ continuo.

Demostracion: Sean y∗ ∈ Y ∗, ε > 0, x1, ...xk ∈ X, y yi = Txi paratoda i = 1, ..., k. Entonces 〈T ∗y∗, xi〉 = 〈y∗, yi〉 para toda i = 1, ..., k ypor lo tanto

T ∗ (V (y∗, y1, ..., yk, ε)) ⊂ V (T ∗y∗, x1, ..., xk, ε),

es decir T ∗ es w∗ continuo.

4.10 Ejercicios

1. Demuestre que los espacios c0, lp para 1 ≤ p ≤ ∞ y C(X), dondeX es un espacio topologico, son espacios de Banach.

4.10. Ejercicios 141

2. Sean p, q, r ∈ (1,∞) .

a) Pruebe la desigualdad generalizada de Holder: si 1p+ 1

q= 1

r,

entonces para toda (xi)ni=1 , (yi)

ni=1 ⊂ C

(n∑

i=1

|xiyi|r)1/r

≤(

n∑i=1

|xi|p)1/p ( n∑

i=1

|yi|q)1/q

.

b) Pruebe que si p > q ≥ 1, entonces para toda (xi)ni=1 ⊂ C

(n∑

i=1

|xi|q)1/q

≤ np−q

pq

(n∑

i=1

|xi|p)1/p

.

3. Sea X un espacio normado. Entonces X es completo si y solo siBX = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1} es completo y esto a su vez se verificasi y solo si SX = {x ∈ X : ‖x‖ = 1} es completo.

4. Sean X,Y, Z espacios normados y T : X → Y y S : Y → Zoperadores lineales. Pruebe que ‖S ◦ T‖ ≤ ‖T‖ ‖S‖ .

5. Sea T un operador acotado entre espacios normados. Pruebeque las dos definiciones de la norma de un operador dadas en ladefinicion 4.14 son equivalentes.

6. Sean X un espacio normado, Y un subespacio cerrado propio yX/Y el espacio cociente. Pruebe que la funcion cociente q : X →X/Y tiene norma 1.

7. Si X es un espacio normado sobre K de dimension infinita, pruebeque existen funcionales lineales f : X → K que no son continuas.(Sugerencia: Use una base de Hamel).

8. Sean X y Y espacios normados, pruebe que las normas en X ⊕Ydadas por

‖(x, y)‖ = (‖x‖p + ‖y‖p)1/p

para 1 ≤ p < ∞ y ‖(x, y)‖ = max (‖x‖ , ‖y‖) inducen la topologıaproducto y por lo tanto son equivalentes.


9. Sean X y Y subspacios cerrados de un espacio normado Z talesque X ∩ Y = {0} y Z = X + Y . Prueba que Z es isomorfo aX⊕

Y

10. Sean X y Y espacios normados y T : X → Y lineal. Pruebe queT es abierta si y solo si 0 ∈ int T (Br(0)) para toda bola abiertaBr(0).

11. Sean X1, ..., Xn subespacios de codimension 1 en un espacio vec-torial X. Entonces

⋂ni=1 Xi es un subespacio de codimension finita

en X, de hecho su codimension es a lo mas n.

12. Pruebe que si X es un espacio normado y X∗ tiene dimensionfinita, entonces X tambien tiene dimension finita.

13. Sea Ω un espacio topologico. Entonces A ⊂ Ω es de la primeracategorıa si y solo si Ω \A es una interseccion numerable de con-juntos con interior denso en Ω.

14. Si Ω es un espacio topologico de Baire y A ⊂ Ω es de la primeracategorıa, entonces Ω \A es de la segunda categorıa. Prueba quela hipotesis que Ω sea de Baire es necesaria.

15. Si Ω es un espacio topologico de Baire y {Un}∞n=1 es una sucesionde conjuntos abiertos densos en Ω, entonces

⋂∞n=1 Un es de la se-

gunda categorıa en Ω.

16. Pruebe que el dual de c0 es l1 y que el dual de l1 es l∞.

17. Pruebe que las topologıas w en un espacio normado X y w∗ enX∗ son de Hausdorff.

18. Sea X un espacio normado y sea A ⊂ X tal que si x∗(x) = 0 paratoda x ∈ A, se tiene que x∗ = 0. Entonces [A] = X.

19. Sean X un espacio normado y A ⊂ X un conjunto numerable,entonces [A] es un subespacio separable de X.

20. Sean X un espacio normado y A un subconjunto en X. Pruebeque si A⊥ = {0} , entonces [A] = X.


21. Sean X un espacio normado y A un subconjunto de X. Pruebeque [A] =

(A⊥)⊥

22. Pruebe que todo subconjunto de un espacio de Banach separablees separable.

23. Sea Y un subespacio cerrado de un espacio normado X. Si X esseparable, el espacio cociente X/Y tambien es separable.

24. Sea X un espacio normado separable y {xn}∞n=1 un conjunto densoen BX . Pruebe que

d (x∗, y∗) =∞∑

n=1

1

2n|〈x∗ − y∗, xn〉|

define una metrica en BX∗ que induce la topologıa w∗. (Sugeren-cia: Use el hecho de que BX∗ es w∗ compacta).

25. (a) Sean X y Y espacios de Banach y T : X → Y un operadorlineal acotado y suprayectivo. Si T : X/ ker T → Y esta dado porT (x) = T (x) para x = x + ker T, entonces T es un isomorfismo y∥∥∥T∥∥∥ = ‖T‖.(b) Si X y Y son subespacios de Z y Z = X ⊕ Y, entonces Z/Yes isomorfo a X.

26. Si X es un espacio normado, toda sucesion w Cauchy en X esnorma acotada.

27. Si X es un espacio de Banach, toda sucesion w∗ Cauchy en X∗ esnorma acotada.

28. Si X es un espacio de Banach entonces A ⊂ X∗ es debil estrellaacotado si y solo si es acotado.

29. Si {en}∞n=1 es la sucesion de vectores unitarios en l2 y

A = {em + men : 1 ≤ m < n < ∞} ,

pruebe que 0 ∈ Aw, pero ninguna sucesion en A es w convergente

a 0.


Definicion 4.86 Sean X y Y espacios de Banach. T ∈ B(X,Y ) escompacto si T (BX) es un conjunto compacto en Y. El subconjunto deB(X,Y ) formado por los operadores compactos se denota por K(X,Y ).

30. Pruebe que T ∈ B(X,Y ) es compacto si y solo si toda sucesion{xn}∞n=1 ⊂ BX contiene una subsucesion {xnk

}∞k=1 tal que {Txnk}∞k=1

converge en Y.

31. K(X,Y ) es un subespacio vectorial cerrado de B(X,Y ).

32. Si T ∈ B(X,Y ) y S ∈ K(X,Y ), entonces T ◦S y S◦T ∈ K(X,Y ).

33. Dados y ∈ Y y f ∈ Y ∗ sea T ∈ B(X,Y ) definido por T (x) =f (x) y. Entonces T ∈ K(X,Y ).

34. Si T ∈ B(X,Y ) es tal que dim T (X) < ∞, es decir T tiene rangofinito, entonces T ∈ K(X,Y ).

35. Sean X un espacio de Banach y {xn}∞n=1 ⊂ X. Si xn →w

x,

entonces ‖x‖ ≤ lim infn ‖xn‖ .

36. Sea X el espacio de las sucesiones reales x = (xn)n tales que∑∞n=1 |xn| < ∞ con la norma ‖x‖p = (

∑∞n=1 |xn|p)

1p . Pruebe que

si p > 1, entonces ‖x‖p no es equivalente a la norma ‖x‖1 =∑∞n=1 |xn| en X, aunque ‖x‖p ≤ ‖x‖1 y que el espacio

(X, ‖·‖p

)no es completo.

37. Sean X y Y espacios de Banach con X reflexivo y T : X → Ylineal, acotado y compacto, entonces existe x ∈ BX tal que ‖T‖ =‖Tx‖.

38. Sea c el espacio vectorial de las sucesiones convergentes en K.Demuestre que c∗ es isometrico a l1.

Capıtulo 5

Espacios VectorialesTopologicos

5.1 Introduccion

Una de las propiedades importantes de la topologıa inducida por lanorma es que la suma y el producto por un escalar resultan ser fun-ciones continuas, caracterıstica que comparten las topologıas debil ydebil estrella. La abstraccion de esta propiedad da pie a la definicionde espacio vectorial topologico, objeto de estudio de este capıtulo.

5.2 Espacios vectoriales topologicos

Como en los capıtulos anteriores, trabajaremos con espacios vectorialessobre el campo K, donde K denotara a los reales o a los complejosindistintamente.

Definicion 5.1 Un espacio vectorial topologico (X, τ) es un espaciovectorial X sobre K junto con una topologıa τ en X tal que:

La funcion dada por

(x, y) → x + y

es continua de X × X → X y la funcion dada por

(λ, x) → λx

145

146 5. Espacios Vectoriales Topologicos

es continua de K×X → X, donde en X × X y K×X se toman lastopologıas producto respectivas.

Se suele decir que X es un espacio vectorial topologico, sin men-cionar explıcitamente la topologıa τ.

Evidentemente todo subespacio vectorial de un espacio vectorialtopologico es a su vez un espacio vectorial topologico si se considera enel la topologıa inducida.

Dada la continuidad de las operaciones en un espacio vectorialtopologico, es suficiente conocer una base local de 0, pues una baselocal de cualquier otro punto es la traslacion de la base local de 0 aese punto. En otras palabras, igual que en los espacios normados, latopologıa es invariante bajo traslaciones y ademas tambien es invariantebajo producto por escalares.

Proposicion 5.2 Sea X un espacio vectorial topologico sobre K. En-tonces

(i) Si y ∈ X, el operador Ty : X → X dado por Ty(x) = y + x, es unhomeomorfismo de X sobre X.

(ii) Si λ ∈ K, λ = 0, el operador Sλ : X → X dado por Sλ(x) = λx,es un homeomorfismo de X sobre X.

Demostracion:(i) La continuidad de la suma implica que Ty es continuo para today ∈ X y como T−1

y = T−y, obtenemos que Ty es un homeomorfismo deX sobre X.(ii) Sλ es continuo para toda λ ya que el producto por escalares es unaoperacion continua. Ademas si λ = 0, S−1

λ = Sλ−1 y por lo tanto Sλ esun homeomorfismo de X sobre X.

De la proposicion anterior obtenemos que si U ⊂ X es abierto(respectivamente cerrado), entonces x + U y λU son abiertos (respec-tivamente cerrados) para toda x ∈ X y para toda λ ∈ K. Ademas, siU ⊂ X es abierto y A ⊂ X es cualquier conjunto, A+U =

⋃x∈A (x + U)

es abierto.En cambio si F ⊂ X es cerrado, A+F no tiene porque ser cerrado,

ni aun en el caso en que A tambien sea cerrado.

5.2. Espacios vectoriales topologicos 147

Ejemplo

Sean

A ={(

x, e−x2)∈ R2 : x ∈ [0,∞)

}y

F ={(

x, e−x2)∈ R2 : x ∈ (−∞, 0]

}.

Entonces (0, 0) ∈ A + F pero (0, 0) /∈ A + F.

Sin embargo, cuando A es un conjunto compacto, entonces sı setiene que A + F es cerrado y mas aun, si F tambien es compacto, lasuma de ambos es un conjunto compacto.

Proposicion 5.3 Sea X un espacio vectorial topologico.

(a) Si A,B ⊂ X son conjuntos compactos, entonces A+B es compacto.

(b) Sean A,B ⊂ X con A cerrado y B compacto. Entonces A + B esun conjunto cerrado.

Demostracion:

(a) Sea ϕ : X ×X → X dada por ϕ(x, y) = x + y. ϕ es continua por ladefinicion de espacio vectorial topologico y entonces A + B = ϕ(A,B)es un conjunto compacto por ser la imagen continua de un conjuntocompacto.

(b) Sea {xα}a∈D una red en A+B convergente a x; entonces xα = yα+zα

con yα ∈ A y zα ∈ B. Como B es compacto, {zα}a∈D tiene una subredconvergente, digamos zβ → z ∈ B. Por la continuidad de la suma y elproducto por escalares, yβ = xβ − zβ → x − z = y y y ∈ A pues A escerrado. Entonces x ∈ A + B, de donde A + B es un conjunto cerrado.

Sabemos que es suficiente conocer una base local de 0 para conocer latopologıa de un espacio vectorial topologico. Veremos que existen baseslocales cuyos elementos son conjuntos “bonitos”, los cuales definiremosa continuacion:


Definicion 5.4 Sea E un espacio vectorial. Sea A ⊂ E.A es un conjunto simetrico si A = −A.A es un conjunto balanceado si λA ⊂ A para toda λ ∈ K con | λ |≤ 1.A es un conjunto absorbente si para toda x ∈ E existe λ ∈ K, conλ > 0, tal que λx ∈ A.Un conjunto U ⊂ E absorbe a B ⊂ E si existe λ ∈ K, con λ > 0, talque λB ⊂ U.

Claramente los conjuntos absorbentes o balanceados contienen a 0y un conjunto balanceado es simetrico. Notemos tambien que las bolasen espacios normados y las vecindades debiles y debiles estrella sonconjuntos balanceados y absorbentes.

Proposicion 5.5 Si (X, τ) es un espacio vectorial topologico y U esuna vecindad de 0, existe W ∈ τ vecindad de 0 balanceada tal queW + W ⊂ U ; en particular W ⊂ U.

Demostracion: Por la continuidad del producto por escalares, paratoda vecindad U de 0, existen ε > 0 y V ∈ τ, una vecindad de 0, talesque | λ |< ε implica que λV ⊂ U . Entonces W0 =

⋃{λ:|λ|<ε} λV ∈ τ

es una vecindad balanceada de 0 con W0 ⊂ U . Ahora bien, como lasuma es continua y 0 + 0 = 0, existen U1, U2 ∈ τ vecindades de 0tales que U1 + U2 ⊂ U. Sean entonces W1 ⊂ U1 y W2 ⊂ U2 vecindadesbalanceadas de 0. Si W = W1 ∩ W2, entonces claramente W ∈ τ esbalanceada y W + W ⊂ U.

Teorema 5.6 Si (X, τ) es un espacio vectorial topologico, existe unabase local de vecindades de 0, que denotaremos por V, tal que:

(i) Toda U ∈ V es balanceada y absorbente.

(ii) Si U, V ∈ V, entonces existe W ∈ V con W ⊂ U ∩ V.

(iii) Si U ∈ V y u ∈ U, existe V ∈ V tal que V ⊂ u + U.

(iv) Si U ∈ V, existe V ∈ V tal que V + V ⊂ U.

(v) Si U ∈ V, entonces 1nU ∈ V para toda n ∈ N.


Recıprocamente, si X es un espacio vectorial y V es una familiano vacıa de subconjuntos de X que satisfacen las propiedades del (i) al(v) anteriores, existe una topologıa τ tal que X es un espacio vectorialtopologico y tal que V es una base local de vecindades de 0.

Demostracion: (i) Veremos que toda vecindad W de 0 es absorbente.Dada x ∈ X, definimos ψx : K → X por ψx(λ) = λx que es continuapor la continuidad del producto por escalares; por lo tanto existe ε > 0tal que si | λ |< ε, tenemos que ψx(λ) ∈ W y por ende existe μ > 0 talque μx ∈ W.

SeaV = {U : U es una vecindad balanceada de 0}

y sea A una vecindad de 0 cualquiera. Por la proposicion anterior, existeuna vecindad W de 0 balanceada con W ⊂ A. Como es claro que lainterseccion de dos conjuntos balanceados es nuevamente balanceado,con esto hemos probado que V efectivamente es una base local de 0cuyos miembros son balanceados y absorbentes.(ii) La cumple cualquier base local.(iii) Sean U ∈ V y u ∈ U. Por ser U simetrica, u + U es una vecindadde 0, y entonces por lo anterior existe V ∈ V tal que V ⊂ u + U.(iv) Se sigue de la proposicion anterior.(v) Es inmediato.

Recıprocamente, sea X un espacio vectorial con una coleccion deconjuntos V que satisfaga (i)-(v). Como toda U ∈ V es simetrica,resulta que 0 ∈ U.

SeaB = {x + U : x ∈ X, U ∈ V} .

Supongamos que (x + U) ∩ (y + V ) = ∅ y que z ∈ (x + U) ∩ (y + V ) .Entonces (x − z) ∈ U y (y − z) ∈ V. Por (iii) existen W1,W2 ∈ V talesque

W1 ⊂ (x − z) + U y W2 ⊂ (y − z) + V

y por (ii) existe W ∈ V con W ⊂ W1 ∩ W2. Por lo tanto

z + W ⊂ (x + U) ∩ (y + V ) .

Es decir B es base de una topologıa τ en X y de (ii) y (iii) es inmediatoque V es una base local de 0 de τ.


Comprobaremos ahora que las operaciones de espacio vectorial soncontinuas. Sean x, y ∈ X, U ∈ V y sea V ∈ V tal que V + V ⊂ U. Estose puede por (iv). Entonces

(x + V ) + (y + V ) ⊂ x + y + U,

lo que demuestra la continuidad de la suma.Sean x ∈ X, λ ∈ K y U ∈ V. Tomamos V ∈ V con V + V ⊂ U ,

ε > 0 tal que εx ∈ V , A = {γ ∈ K : |λ − γ| < ε } y n ∈ N con 1n

< 1|λ|+ε

.

Entonces por (v) y (i), si γ ∈ A

γ(x + 1

nV)

= γx + γnV = λx + (γ − λ) x + γ

nV ⊂

⊂ λx + V + V ⊂ λx + U.

Esto prueba la continuidad del producto por escalares.

Aparte de las propiedades anteriores, en un espacio vectorial topo-logico la topologıa tiene otra caracterıstica notable:

Proposicion 5.7 Sean (X, τ) un espacio vectorial topologico y U ∈ τ,vecindad de 0. Entonces existe V ∈ τ , vecindad balanceada de 0, tal queV ⊂ U.

Demostracion: Sea U ∈ τ vecindad de 0. Entonces existe V ∈ τ,vecindad balanceada de 0, tal que V + V ⊂ U. Veremos que V ⊂ U.Para ello sea y ∈ V ; entonces (y + V ) ∩ V = ∅. Sea z ∈ (y + V ) ∩ V.Resulta que z ∈ V y existe v ∈ V tal que z = y + v, lo cual implica quey ∈ V + V ⊂ U, que es lo que querıamos demostrar.

Ejemplos

1. Los espacios normados y los espacios que se obtienen de los espa-cios normados, al dotarlos de la topologıa debil o de la topologıadebil estrella, son espacios vectoriales topologicos.

2. Sea K[x] el anillo de polinomios sobre K, es decir el conjunto defunciones de la forma p(x) =

∑ni=0 αix

i donde αi ∈ K, n ∈ N. Es


facil ver que K[x] es un espacio vectorial. Ademas si 0 < r ≤ 1,y

Vε =

{p ∈ K [x] :

n∑i=0

|αi|r < ε

},

entonces {Vε : ε > 0} es una base local de cero para una topologıade espacio vectorial topologico, cuyos elementos son balanceados.

3. Dado 0 < p < 1, sea lp el espacio vectorial de sucesionesx = (xn)∞n=1 ⊂ K (con las operaciones coordenada a coordenada)y tales que

∞∑n=1

|xn|p < ∞.

La coleccion de conjuntos de la forma

Vn =

{x ∈ lp :

∞∑n=1

|xn|p <1

n

}

es una base local de 0 para una topologıa de espacio vectorialtopologico.

Los espacios lp tienen un comportamiento muy distinto para0 < p < 1 y para p ≥ 1. En el capıtulo anterior vimos que si p ≥ 1,lp es un espacio de Banach, sin embargo mas adelante veremos que enel caso 0 < p < 1 ni siquiera es normable.

No es difıcil ver que los espacios normados y los que se obtienen deellos al dotarlos con las topologıas debil o debil estrella son de Hausdorff.Por eso algunos autores piden entre las hipotesis de espacio vectorialtopologico que la topologıa sea de Hausdorff. Nosotras preferimos pediresta condicion por separado.

Notemos que por la proposicion 5.2 para ver que un espacio vectorialtopologico es de Hausdorff es suficiente probar que para x = 0 existenvecindades ajenas U y V con x ∈ U y 0 ∈ V.

Proposicion 5.8 Sea X un espacio vectorial topologico. Entonces lassiguientes afirmaciones son equivalentes:


(i) X es de Hausdorff.

(ii) {0} es cerrado.

(iii) Todos los puntos de X son cerrados.

(iv) {0} =⋂ {V : V es una vecindad de 0} .

Demostracion:(i)⇒(ii) Supongamos que X es de Hausdorff. Entonces todo puntox ∈ X, x = 0 tiene una vecindad U con 0 /∈ U, de donde X \ {0} esabierto y entonces {0} es cerrado.(ii)⇒(iii) Supongamos que {0} es cerrado. Sea x ∈ X y Txy = x + ypara toda y ∈ X. De la proposicion 5.2, Tx es un homeomorfismo ycomo x = Tx(0), se sigue (iii).(iii)⇒(iv) Sea x ∈ X, x = 0 y supongamos que {x} es cerrado. En-tonces x /∈ ⋂{V : V es una vecindad de 0} ya que X\ {x} es unavecindad de 0.(iv)⇒(i) Si {0} =

⋂ {V : V es una vecindad de 0} y x ∈ X, x = 0,sea V una vecindad de 0 tal que x /∈ V. Por el teorema 5.6 existeuna vecindad U de 0, simetrica y tal que U + U ⊂ V. Veremos queU ∩ (x + U) = ∅. Para ello supongamos que y ∈ U ∩ (x + U); entoncesexiste z ∈ U con y = x + z, de donde x = y − z ∈ U − U ⊂ V. Estacontradiccion demuestra el resultado deseado.

Cualquier espacio vectorial topologico satisface la siguiente propiedadde separacion:

Proposicion 5.9 Sean X un espacio vectorial topologico y C y F sub-conjuntos de X, con C compacto, F cerrado y C ∩ F = ∅. Entoncesexiste U vecindad de 0 tal que

(C + U) ∩ (F + U) = ∅.

Demostracion: Si C = ∅ entonces C + U = ∅, lo que prueba elresultado para cualquier U.

Sean C = ∅ y x ∈ C. Como F es cerrado, por el teorema 5.6, existeuna vecindad simetrica de cero Ux tal que

x + Ux + Ux + Ux ⊂ X − F,


es decir(x + Ux + Ux + Ux) ∩ F = ∅,

y como Ux = −Ux, obtenemos

(x + Ux + Ux) ∩ (F + Ux) = ∅.

Dado que C es compacto, existe un numero finito de puntos x1, x2, ..., xk

en C tales que

C ⊂k⋃

i=1

(xi + Uxi) .

Sea U =⋂k

i=1 Uxi, entonces

C + U ⊂k⋃

i=1

(xi + Uxi) + U ⊂

k⋃i=1

(xi + Uxi+ Uxi

)

y finalmente (C + U) ∩ (F + U) = ∅.

A continuacion veremos algunas propiedades de la cerradura y elinterior de conjuntos en un espacio vectorial topologico.

Teorema 5.10 Si X es un espacio vectorial topologico, tenemos que:

(a) Si A ⊂ X y A denota la cerradura de A, entonces

A =⋂

{A + V : V es una vecindad de 0} .

(b) Si A,B ⊂ X entonces A + B ⊂ A + B.

(c) Si Y es un subespacio vectorial de X, tambien lo es Y .

(d) Si B ⊂ X es balanceado, B es balanceado; si 0 ∈ intB entonces elinterior de B, tambien es balanceado.

Demostracion:(a) x ∈ A si y solo si para toda V vecindad de 0, (x + V )∩A = ∅ y estoa su vez se satisface si y solo si x ∈ A − V para toda V. Como existe


una base local V de 0 tal que V ∈ V si y solo si −V ∈ V, tenemos elresultado.(b) Sean a ∈ A y b ∈ B y sea V una vecindad de a+b. Por la continuidadde la suma existen V1 y V2, vecindades de a y b respectivamente, talesque V1 +V2 ⊂ V. Como a ∈ A y b ∈ B existen x ∈ A∩V1 y y ∈ B ∩V2;de donde

x + y ∈ (A + B) ∩ V

y por ende a + b ∈ A + B.(c) Sean Y un subespacio de X y α, β ∈ K. Por la proposicion 5.2,obtenemos que αY = αY Por lo tanto de (b) tenemos que

αY + βY = αY + βY ⊂ αY + βY ⊂ Y .

(d) La prueba de que la cerradura de B es balanceada es como la de (c).Supongamos que 0 ∈ intB y sea α ∈ K tal que 0 <| α |≤ 1, entoncespor la proposicion 5.2, int(αB) = α intB y como B es balanceado

α intB ⊂ αB ⊂ B.

Ademas, como α intB es abierto, obtenemos que

α intB ⊂ intB.

Como 0 ∈ intB, si α = 0, tambien se tiene que α intB ⊂ intB.

En 1932 aparecio la nocion de conjunto acotado en espacios nor-mados. Banach noto que dos normas ‖·‖1 y ‖·‖2 en el mismo espacio

vectorial X con la propiedad que los conjuntos{‖x‖1

‖x‖2: x ∈ X, x = 0

}y{‖x‖2

‖x‖1: x ∈ X, x = 0

}esten acotados, definen la misma topologıa y

que por tanto si se define un conjunto acotado en un espacio normadocomo aquel contenido en alguna bola, esta nocion es independiente dela norma elegida. Sin embargo, en espacios metricos, dos distanciaspueden originar la misma topologıa, pero producir conjuntos acotadosdiferentes si se usa la definicion anterior. Afortunadamente, fue posibleencontrar una definicion de conjuntos acotados en espacios vectorialestopologicos generales, que solo depende de la topologıa, y que coincidecon la previa para el caso de espacios normados.


Definicion 5.11 Sea X un espacio vectorial topologico sobre K. Unsubconjunto A de X es acotado si para toda vecindad V de 0, existeλ ∈ K tal que A ⊂ λV.

Es facil ver que en la definicion anterior basta considerar λ > 0 : SiA ⊂ X es un conjunto acotado, V una vecindad de 0, U una vecindadbalanceada contenida en V y μ ∈ K es tal que A ⊂ μU, entonces

A ⊂ μU = |μ|U ⊂ |μ|V.

La proposicion siguiente nos da algunas propiedades de los conjuntosacotados:

Proposicion 5.12 Sean X un espacio vectorial topologico, A,B ⊂ Xy λ ∈ K. Entonces

(i) A es un conjunto acotado si y solo si toda vecindad de 0 absorbe aA.

(ii) Si A es un conjunto acotado entonces A, λA y todo subconjuntode A son conjuntos acotados.

(iii) Si A y B son conjuntos acotados entonces A∪B y A+B tambienlo son.

Demostracion:(i) Se sigue directamente de la definicion de conjunto acotado.(ii) Sea V una vecindad de 0. Por la proposicion 5.7 existe U, vecindadde 0, con U ⊂ V. Sea μ ∈ K tal que A ⊂ μU entonces A ⊂ μU ⊂ μVy λA ⊂ λμV. Es evidente que los subconjuntos de A son acotados.(iii) Sea V una vecindad de 0. Por el teorema 5.6 existe U, vecindadbalanceada de 0, tal que U + U ⊂ V ; sean λ, μ ∈ K con A ⊂ λU yB ⊂ μU . Como U es balanceada, si | λ |≤ |μ| tenemos que λU ⊂ μUy entonces

A ∪ B ⊂ μU ⊂ μV.

AdemasA + B ⊂ μU + μU ⊂ μV,


lo que finaliza la prueba.

Tambien hay un criterio en terminos de sucesiones para que unconjunto sea acotado:

Proposicion 5.13 Un subconjunto A de un espacio vectorial topolo-gico X es acotado si y solo si para toda sucesion {λn}∞n=1 ⊂ K queconverge a 0 y para toda sucesion {xn}∞n=1 ⊂ A, {λnxn}∞n=1 converge a0 en X.

Demostracion: Sean A un conjunto acotado y V una vecindad ba-lanceada de 0 en X. Entonces existe μ ∈ K, μ = 0, tal que μA ⊂ V. Si{xn}∞n=1 ⊂ A, {λn}∞n=1 ⊂ K y λn →

n→∞0, entonces existe n0 ∈ N tal que

| λn |≤| μ | si n ≥ n0, de donde obtenemos que λnxn ∈ V para todan ≥ n.

Recıprocamente, supongamos que A no es acotado. Entonces existeV, vecindad de 0, tal que para n = 1, 2, ..., A no esta contenido en nV .

Sea xn ∈ A \ nV ; entonces para toda n,1

nxn /∈ V, es decir la sucesion{

1

nxn

}∞

n=1no converge a 0. Sin embargo

{1

n

}∞

n=1converge a 0 en K,

y ası obtenemos el resultado deseado.

Mostraremos a continuacion algunas otras propiedades interesantesy utiles de los espacios vectoriales topologicos.

Teorema 5.14 Sean X un espacio vectorial topologico.

(i) Si V es una vecindad de 0 y ri ∈ K y |ri| →i→∞

∞, entonces

X =∞⋃

n=1

rnV.

(ii) Todo subconjunto compacto K de X es acotado.

(iii) Si si ∈ K, si = 0, si →i→∞

0 y V es una vecindad acotada de 0, en-

toncesV = {snV : n ∈ N} es una base local de 0 para X.


Demostracion:(i) Sea x ∈ X, y sea U una vecindad absorbente y balanceada de 0 conU ⊂ V ; entonces existe λ ∈ K tal que x ∈ λU. Si n es suficientementegrande para que | λ |≤ |rn| ,

λU ⊂ |rn|U = rnU ⊂ rnV.

(ii) Sean K ⊂ X compacto y U una vecindad balanceada de 0. Por(i) K ⊂ ⋃∞

n=1 nU. Como K es compacto, existen n1, ..., nr ∈ N tales queK ⊂ ⋃r

i=1 niU y por lo tanto, si m = max1≤i≤r

ni, obtenemos que K ⊂ mU.

(iii) Sea U una vecindad balanceada de 0 en X. Como V es acotada,existe λ ∈ K tal que V ⊂ μU para toda μ ∈ K con | μ |>| λ |.Entonces si n es tal que | λsn |< 1, tenemos que V ⊂ 1

|sn|U =

1

sn

U, es

decir snV ⊂ U. Esto prueba que V es una base local de 0.

5.3 Operadores lineales

En esta seccion nos dedicaremos al estudio de las funciones linealescontinuas entre espacios vectoriales topologicos que, a semejanza delcaso de espacios normados, llamaremos operadores lineales.

Un isomorfismo, igual que antes, sera un operador lineal biyectivoy bicontinuo, y una funcional lineal una funcion lineal continua entreun espacio vectorial topologico sobre K y K.

La demostracion del siguiente lema es trivial.

Lema 5.15 Sean X,Y espacios vectoriales y T : X → Y una funcionlineal.

(i) Si A ⊂ X es convexo, balanceado o un subespacio de X, entoncesT (A) es convexo, balanceado o un subespacio de Y, respectiva-mente.

(ii) Si B ⊂ Y es convexo, balanceado o un subespacio de Y , entoncesT−1(B) es convexo, balanceado o un subespacio de X, respectiva-mente.


Como la topologıa de un espacio vectorial topologico esta entera-mente determinada por su comportamiento en el cero, igual que en elcaso de espacios normados, es verdad que para que un operador en-tre espacios vectoriales topologicos sea continuo, es suficiente que seacontinuo en algun punto. Enunciamos el resultado sin demostracion,siendo esta analoga a la del teorema 4.13.

Teorema 5.16 Sean X y Y espacios vectoriales topologicos sobre K.Si T : X → Y es una funcion lineal continua en algun punto x ∈ X,entonces es continua en X.

Cuando el operador es una funcional se tiene un resultado analogoa la proposicion 4.15.

Proposicion 5.17 Sea T : X →K una funcional lineal en un espaciovectorial topologico X. Si existe x ∈ X con Tx = 0, entonces sonequivalentes:

(i) T es continua.

(ii) El espacio nulo de T, denotado por ker T, es cerrado.

(iii) ker T no es denso en X.

(iv) Existe alguna vecindad V de 0 en X tal que TV es un conjuntoacotado.

Demostracion: Las pruebas de (i)⇒(ii) y (ii)⇒(iii) son analogas alas de la proposicion 4.15.(iii)⇒(iv) Supongamos que kerT no es denso en X. Entonces existeun abierto en X que no intersecta a kerT ; es decir, existen x y unavecindad V balanceada de 0 en X tales que

(x + V ) ∩ ker T = ∅.

Si TV ⊂ K no fuera un conjunto acotado, dado λ ∈ K existirıaμ ∈ TV ⊂ K con |λ| ≤ |μ| . Pero como V es balanceada, TV tambienlo es y debido a ello tendrıamos que λ ∈ TV y que TV = K. Por lo


tanto existirıa y ∈ V con Ty = −Tx y por ende x + y ∈ ker T, lo cuales una contradiccion.(iv)⇒(i) Sean V una vecindad de 0 en X y M ∈ R tales que | Tx |< M

para toda x ∈ V. Dada ε >0, si W =ε

MV, entonces | Tx |< ε para

toda x ∈ W ; es decir T es continua en 0 y aplicando el teorema 5.16obtenemos que T es continua.

Finalizaremos esta seccion con el principio del acotamiento uniformepara espacios vectoriales topologicos. Aunque la demostracion se basaen la misma idea que la del teorema 4.42 para espacios normados, es unpoco mas complicada y la damos para que el lector pueda compararlacon la otra.

Teorema 5.18 (Principio del acotamiento uniforme) Sean X yY espacios vectoriales topologicos, X de Hausdorff, K ⊂ X convexoy compacto y G una familia de operadores continuos de X en Y. En-tonces son equivalentes:

(i) Para toda x ∈ K, G(x) = {Tx ∈ Y : T ∈ G} es un conjunto acotadoen Y.

(ii) Existe un conjunto acotado A ⊂ Y tal que para toda T ∈ G,

TK ⊂ A.

Demostracion: Claramente (ii)⇒(i).(i)⇒(ii) Supongamos que se cumple (i). Sean A =

⋃x∈K G(x) y V una

vecindad de 0 en Y . Sea U una vecindad balanceada de 0 en Y tal queU + U ⊂ V. Si

B =⋂

T∈G

T−1(U) (5.1)

entonces B es cerrado en X. Ademas por (i), para todo x ∈ K existen ∈N tal que G(x) ⊂ nU, de donde x ∈ nB y

K =∞⋃

n=1

(K ∩ nB).


Del teorema de Baire concluimos que existe n ∈ N tal que el interiorrelativo a K de K ∩ nB es no vacıo. Sean entonces x0 en el interiorrelativo de K ∩ nB y W una vecindad balanceada de 0 en X con

K ∩ (x0 + W ) ⊂ nB. (5.2)

Como K es compacto, por el teorema 5.14, existe r > 1 tal que

K ⊂ x0 + rW. (5.3)

Para cualquier punto x ∈ K, como K es convexo, tenemos que

z = (1 − 1

r)x0 +

1

rx ∈ K.

Ademas z − x0 =1

r(x − x0) y como de (5.3) x − x0 ∈ rW , obtenemos

que z − x0 ∈ W y entonces, por (5.2), z ∈ nB.

Finalmente, como por (5.1), T (nB) ⊂ nU para toda T ∈ G y comox = rz − (r − 1)x0 y U es balanceada, deducimos que

Tx ∈ rnU − (r − 1)nU ⊂ rn(U + U) ⊂ rnV.

Por lo tanto A ⊂ rnV y esto significa que A esta acotado.

5.4 Subespacios de dimension finita

Sabemos que en los espacios de dimension finita todas las normasson equivalentes y veremos que de hecho en estos espacios todas lastopologıas de Hausdorff de espacio vectorial topologico son equiva-lentes. Para demostrarlo usaremos el concepto de espacio localmentecompacto. Recordemos que un espacio de Hausdorff es localmente com-pacto si todo punto tiene una vecindad cuya cerradura es compacta.

Lema 5.19 Si (X, τ) es un espacio vectorial topologico de Hausdorffy Y un subespacio localmente compacto con la topologıa inducida, en-tonces Y es cerrado en X.


Demostracion: Como Y es localmente compacto, 0 tiene una vecin-dad relativa con cerradura compacta; es decir existen una vecindad Ude 0 en X y un compacto K en Y tales que U ∩Y ⊂ K. Por el teorema5.6 y la proposicion 5.7 existe una vecindad balanceada V de 0 en Xtal que V +V ⊂ U.

Probaremos que para toda x ∈ X el conjunto Y ∩(x + V

)es com-

pacto. Para ello sean y, y0 ∈ Y ∩(x + V

)entonces

y − y0 = (y − x) + (x − y0) ∈ V + V ⊂ U.

Ademas como Y es un subespacio, tenemos que y − y0 ∈ Y, de dondey − y0 ∈ Y ∩ U ⊂ K. Por lo tanto

Y ∩(x + V

)⊂ y0 + K

y como Y ∩(x + V

)es cerrado en Y, obtenemos que es compacto.

Sea ahora x ∈ Y . Denotamos por B al conjunto

{W ∈ τ : 0 ∈ W ⊂ V }y a cada elemento W ∈ B le asociamos el conjunto

KW = Y ∩(x + W

).

Como W ⊂ V y x ∈ Y , KW es un conjunto compacto no vacıo. Ademascomo

⋂ni=1 Wi ⊂ ⋂n

i=1 Wi, se tiene que⋂n

i=1 KWi⊃ K∩n

i=1Wiy obtene-

mos que {KW : W ∈ B} es una coleccion de conjuntos compactos conla propiedad de la interseccion finita, y entonces existe z ∈ ⋂W∈B KW .Es decir z ∈ Y y z ∈ x + W para toda W ∈ B, de donde, como X esde Hausdorff, por las proposiciones 5.8 y 5.7, obtenemos que z = x. Enconclusion Y = Y, que es lo que deseabamos probar.

Para cada n ∈ N, Kn con la topologıa euclidiana es un espaciovectorial topologico de Hausdorff. Si X es un espacio vectorial topo-logico de Hausdorff sobre K de dimension n cualquiera, entonces todabase de Hamel de X induce de manera obvia un isomorfismo algebraicode X en Kn. Veremos que dicho isomorfismo algebraico es tambien unhomeomorfismo.


Teorema 5.20 Sean X un espacio vectorial topologico de Hausdorffy Y un subespacio de X de dimension n, entonces Y es cerrado enX y todo isomorfismo algebraico de Kn sobre Y es un isomorfismo deespacio vectorial topologico.

Demostracion: Haremos la demostracion por induccion sobre la di-mension n del espacio Y.

Supongamos que n = 1 y sea T : K → Y un isomorfismo algebraico;si y = T1 entonces Tλ = λy y la continuidad de las operaciones de es-pacio vectorial implica que T es continuo. Por otra parte T−1 : Y → Kes una funcional lineal con espacio nulo {0} , que es cerrado y entonces,por la proposicion 5.17, es continua. Como K es localmente compacto,Y tambien lo es y del lema anterior obtenemos que es cerrado en X.

Supongamos ahora que n > 1 y que se tiene el resultado para n−1.Sean T : Kn → Y un isomorfismo algebraico y {e1, ..., en} la basecanonica de Kn. Si definimos yk = Tek para k = 1, ..., n, por la linea-lidad de T, tenemos que

T (λ1, ..., λn) = λ1y1 + ... + λnyn,

por lo que la continuidad de T se sigue nuevamente de la continuidad delas operaciones de espacio vectorial. Ademas, como T es un isomorfismoalgebraico, {y1, ..., yn} es una base de Hamel de Y y entonces existenfunciones lineales γi : Y → K, i = 1, ..., n, tales que para cada y ∈ Ytenemos

y = γ1(y)y1 + ... + γn(y)yn.

Como Y tiene dimension n, de la proposicion 4.27 sabemos que el es-pacio nulo de γi tiene dimension n − 1. Entonces por la hipotesis deinduccion ker γi es cerrado y por la proposicion 5.17 γi es continua.Ademas, es facil ver que

T−1(x) = (γ1(x), ..., γn(x)) ,

de donde T−1 es continua. Por otra parte, como Y es homeomorfo aKn y por consiguiente es localmente compacto, del lema 5.19 concluimosque Y es cerrado. Con esto hemos demostrado el resultado para n, loque finaliza la prueba.


Corolario 5.21 Todo espacio vectorial topologico de Hausdorff de di-mension n es isomorfo a Kn.

Una consecuencia profunda del teorema 5.20 es la siguiente:

Corolario 5.22 Sean X y Y espacios vectoriales topologicos con Xde Hausdorff y de dimension finita. Si T : X → Y es lineal, entonceses continua.

Demostracion: Supongamos que dimX = n y sea Φ : Kn → X unisomorfismo, que por el teorema anterior es continuo. Como en dichoteorema, existen y1, ..., yn ∈ Y tales que la composicion T ◦Φ : Kn → Yes de la forma

(T ◦ Φ) (λ1, ..., λn) = λ1y1 + ... + λnyn

que es una funcion continua por la continuidad de las operaciones enY. Por lo tanto T = (T ◦ Φ) ◦ Φ−1 es continua.

Otra propiedad de espacios normados que conservan los espaciosvectoriales topologicos de Hausdorff, es que los unicos que son local-mente compactos son los que tienen dimension finita. La demostraciones analoga a la del teorema 4.26 tomando una vecindad con cerraduracompacta V en lugar de la bola unitaria y usando los teoremas 5.10 y5.14.

Teorema 5.23 Todo espacio vectorial topologico de Hausdorff local-mente compacto, tiene dimension finita.

Dedicaremos el resto de la seccion a dos resultados sobre subespaciosde codimension 1 en espacios vectoriales topologicos.

Lema 5.24 Sean X un espacio vectorial topologico y H ⊂ X un sub-espacio de codimension 1 de X. Entonces H es cerrado o es denso enX.

Demostracion: Se sigue directamente del lema 4.28.


Corolario 5.25 Sean X un espacio vectorial topologico y H ⊂ X unsubespacio de codimension 1. Entonces H es cerrado si y solo si existeuna funcion lineal continua f : X → K, tal que ker f = H.

Demostracion: Es consecuencia de las proposiciones 5.17 y 4.27.

5.5 Espacios localmente convexos

Dentro de los espacios vectoriales topologicos son de particular in-teres aquellos que tienen bases locales de vecindades convexas puessu topologıa esta dada por una familia de seminormas que los hace masmanejables.

Sea E un espacio vectorial. Recordemos que C ⊂ E es un conjuntoconvexo si para todo x, y ∈ C y toda 0 ≤ λ ≤ 1 se tiene que

λx + (1 − λ)y ∈ C

y que la envolvente convexa de un conjunto A ⊂ E se define como

convA =

{k∑

i=1

λixi : xi ∈ A, 0 ≤ λi, i = 1, ..., k,k∑

i=1

λi = 1, k ∈ N

}.

A continuacion probaremos algunas propiedades de los conjuntos con-vexos.

Proposicion 5.26 Sean X un espacio vectorial topologico y C unsubconjunto convexo de X.

(a) Si x ∈ intC, y ∈ C y 0 < λ < 1, entonces λx + (1 − λ)y ∈ intC.

(b) intC y C son convexos.

(c) Si intC = ∅, entonces intC = C y int(C)

= intC.

Demostracion:(a) Sean x ∈ intC, y ∈ C y 0 < λ < 1. Por la proposicion 5.2 lastraslaciones son homeomorfismos y ademas son lineales; consecuente-mente podemos suponer que λx+(1−λ)y = 0 y entonces y = αx, donde

5.5. Espacios localmente convexos 165

α =−λ

1 − λ. Como intC es una vecindad de x y la funcion Sαx = αx

es un homeomorfismo, resulta que Sα (intC) es una vecindad de αx.Entonces y ∈ Sα (intC) y como y ∈ C tenemos

C ∩ Sα(intC) = ∅

y por ende existe z ∈ intC con αz ∈ C. Como λ=−α

1 − α,

λz + (1 − λ)αz =−α

1 − αz +

α

1 − αz = 0.

Ahora bien, la funcion F : X → X dada por F (v) = λv+(1−λ)αzes un homeomorfismo y por lo anterior F (z) = 0. Por consiguienteV = {λv + (1 − λ)αz : v ∈ intC} es una vecindad de 0. Ademas comoC es convexo y αz ∈ C, resulta que V ⊂ C y entonces 0 ∈ intC.(b) Sea C convexo; como λC = λC, el teorema 5.10 implica que

λC + (1 − λ) C = λC + (1 − λ) C ⊂ λC + (1 − λ) C = C

y por ende C es convexo.Como intC ⊂ C, para toda 0 < λ < 1 tenemos que

λintC + (1 − λ)intC ⊂ C

y como los dos conjuntos de la izquierda son abiertos, su suma tambienlo es y entonces

λintC + (1 − λ)intC ⊂ intC,

por lo que intC es convexo.(c) Supongamos que intC = ∅.

Como obviamente intC ⊂ C, para demostrar que intC = C, solohay que probar la otra contencion. Para ello sea y ∈ C; entonces por(a) si x ∈ intC, tenemos λx + (1 − λ)y ∈ intC y haciendo tender λ a0, obtenemos que y ∈ intC.

Para ver que int(C)

= intC, basta con probar int(C)⊂ intC,

pues la otra contencion es evidente. Supongamos 0 ∈ int(C). Entonces

existe una vecindad V de 0 balanceada con V ⊂ C = intC y por lotanto existe y ∈ V ∩ intC. Como V es balanceada −y ∈ V y por (a) el


segmento que une y con −y esta contenido en intC, es decir 0 ∈ intC.Haciendo una traslacion, obtenemos finalmente int

(C)⊂ intC.

Una consecuencia particular de la siguiente proposicion es que laenvolvente convexa de conjuntos finitos en espacios vectoriales topolo-gicos siempre es compacta.

Proposicion 5.27 Si X es un espacio vectorial topologico y K1, ..., Kn

son conjuntos convexos y compactos en X, entonces conv (⋃n

i=1 Ki) esun conjunto compacto.

Demostracion: Sea A = {(a1, ..., an) ∈ Rn : ai ≥ 0 y∑n

i=1 ai = 1} .Notemos que A×Πn

i=1Ki es compacto por ser un producto de conjuntoscompactos, y definamos φ : A× Πn

i=1Ki → X por

φ (a1, ..., an, x1, ..., xn) =n∑

i=1

aixi.

φ es continua y ademas como Ki es convexo para i = 1, ..., n,

φ (A× Πni=1Ki) = conv

(n⋃

i=1

Ki

).

Entonces conv (⋃n

i=1 Ki) es la imagen continua de un compacto y porende es un conjunto compacto.

En general si K ⊂ X es un conjunto compacto mas no convexo,no siempre se tiene que convK tambien sea compacto, aunque aquı nodaremos un contraejemplo por ser muy complicado. Sin embargo, loque sı es cierto siempre es que convK es compacto siempre y cuandoX sea localmente convexo y completo (ejercicio 10).

Lema 5.28 Sean C1, ..., Cn subconjuntos convexos no vacıos de un es-pacio vectorial X. Entonces

conv

(n⋃

i=1

Ci

)=

⎧⎨⎩n∑

j=1

tjxj :n∑

j=1

tj = 1, ti ≥ 0, xi ∈ Ci, i = 1, ..., n

⎫⎬⎭ .


Demostracion: Basta probar que si x ∈ conv(

n⋃i=1

Ci

), entonces x

se puede expresar como∑n

j=1 tjxj donde∑n

j=1 tj = 1, ti ≥ 0, xi ∈Ci, i = 1, ..., n. Sea x ∈ conv

(n⋃

i=1Ci

), entonces existen s1, ..., sm reales

positivos con∑m

j=1 sj = 1 y y1, ..., ym pertenecientes an⋃

i=1Ci tales que

x =∑m

j=1 sjyj. Para r = 1, ..., n sean

Ir =

{1 ≤ j ≤ m : yj ∈ Cr, yj /∈

r−1⋃i=1

Ci

},

tr =∑

j∈Irsj si Ir = ∅ y xr =

∑j∈Ir

t−1r sjyj si Ir = ∅. Como Cr es

convexo entonces xr ∈ Cr para toda r = 1, ...,m con Ir = ∅. Es claroque

∑{r:Ir =∅} tr = 1 y que x =

∑{r:Ir =∅} trxr. Esto prueba el lema.

Tornaremos ahora nuestra atencion al tema medular de esta seccion,los espacios localmente convexos.

Definicion 5.29 Un espacio vectorial topologico X es localmente con-vexo si tiene una base local de 0 compuesta por conjuntos convexos.

Proposicion 5.30 Sea X un espacio vectorial topologico. Toda vecin-dad convexa de 0 contiene una vecindad convexa y balanceada de 0.

Demostracion: Sea U una vecindad convexa de 0 en X. Definimos

A =⋂

{α:|α|=1}

αU

que claramente es un conjunto convexo. Por otra parte por el teorema5.6 existe una vecindad balanceada V ⊂ U. Entonces si |α| = 1, 1

αV = V

y consecuentemente V ⊂ αU, de donde V ⊂ A e intA es una vecindadde 0. Por otra parte intA ⊂ U y como A es convexo, por la proposicion5.26, intA tambien lo es. Veremos que A es balanceado, y entonces,por el teorema 5.10, intA sera balanceado. Para ello sea γ ∈K con|γ| ≤ 1 y sean r ∈ R, β ∈ K con 0 ≤ r ≤ 1, | β |= 1 tales que γ = rβ.Entonces

γA = rβA =⋂

{α:|α|=1}

rβαU =⋂

{α:|α|=1}

rαU ⊂⋂

{α:|α|=1}

αU = A,


pues αU es un conjunto convexo que contiene al 0 y consecuentementepara toda u ∈ U

rαu = rαu + (1 − r) α0 ∈ αU.

Como toda vecindad de 0 es absorbente, una consecuencia inmediatade la proposicion anterior es:

Corolario 5.31 Sea X un espacio vectorial topologico. Entonces X eslocalmente convexo si y solo si tiene una base local de 0 formada porvecindades absorbentes, balanceadas y convexas.

Ejemplos

1. Los espacios del ejemplo 1 de la seccion 5.2 son localmente con-vexos.

2. El espacio del ejemplo 2 de la seccion 5.2 es localmente convexosi r = 1 y no es localmente convexo si 0 < r < 1.

3. El espacio definido en el ejemplo 3 de la seccion 5.2 no es local-mente convexo

Se deja como ejercicio verificar las afirmaciones de los ejemplos an-teriores.

Veremos que en los espacios vectoriales topologicos existe una es-trecha relacion entre las seminormas y las vecindades convexas ya quea cada conjunto convexo, balanceado y absorbente A en un espaciovectorial E se le puede asociar una seminorma en E :

Definicion 5.32 Sean E un espacio vectorial sobre K y A ⊂ E con-vexo y absorbente. La funcional subaditiva de Minkowski μA de A sedefine por

μA(x) = inf{λ > 0 :

1

λx ∈ A

}para toda x ∈ E .


Notemos que como A es absorbente, μA(x) < ∞ para toda x ∈ E,y veremos que si A es balanceado, entonces μA es una seminorma.

Teorema 5.33 Sean E un espacio vectorial sobre K y A ⊂ E convexoy absorbente. Sean x, y ∈ E y λ > 0:

(a) Si λ > μA (x) , entonces1

λx ∈ A.

(b) μA(x + y) ≤ μA(x) + μA(y).

(c) μA(λx) = λμA(x).

(d) Si A es balanceado, entonces μA es una seminorma.

(e) Si B = {x ∈ E : μA(x) < 1} y C = {x ∈ E : μA(x) ≤ 1} , entoncesB ⊂ A ⊂ C y μB = μA = μC .

Demostracion:(a) Si λ> μA (x) , por definicion de μA existe λ >μ ≥ μA (x) tal que1

μx ∈ A. Como A es absorbente, 0 ∈ A y como A es convexo,

1

λx =

μ

λ

(1

μ

)x +

(1 − μ

λ

)0 ∈ A.

(b) Supongamos que μA(x) < γ, μA(y) < λ y que υ = γ + λ. Entonces

por (a),1

γx,

1

λy ∈ A y como A es convexo obtenemos que

1

υ(x + y) =

γ

υ

(1

γx

)+

λ

υ

(1

λy)∈ A,

lo que implica que μA(x + y) ≤ υ. Pasando al ınfimo sobre γ y λobtenemos (b).(c) Sea λ > 0; entonces

μA (λx) = inf{γ > 0 : 1

γλx ∈ A

}=

= λ inf{γ > 0 : 1

γx ∈ A

}= λμA(x).


(d) Supongamos que A es balanceado y sea λ ∈ K. Entonces tenemos

que1

γλx ∈ A si y solo si

1

γ|λ|x ∈ A y por (c) y (b) obtenemos (d).

(e) Primero veremos que B es convexo y absorbente. Si 0 < λ < 1 yx, y ∈ B, entonces

μA (λx + (1 − λ)y) ≤ λμA(x) + (1 − λ)μA(y) < 1

y por lo tanto B es convexo. Sea ahora x ∈ E; si λ > μA(x) por (c)

se tiene μA

(1

λx)

< 1, de donde B es absorbente. Analogamente, C

es convexo y absorbente y tiene sentido hablar de sus funcionales deMinkowski.

Ahora bien, si x ∈ E es tal que μA(x) < 1, por (a) obtenemos quex ∈ A. Por otro lado, si x ∈ A, entonces μA (x) ≤ 1. Por lo tantoB ⊂ A ⊂ C, de donde para toda x ∈ E

μC(x) ≤ μA(x) ≤ μB(x).

Supongamos ahora que μC(x) < γ < μA (x) . Entonces por (a),1

γx ∈ C

y de la definicion de C se sigue que μA(1

γx) ≤ 1. Esto implica que

μA (x) ≤ γ < μA (x) , lo cual es una contradiccion. Por lo tanto

μA (x) ≤ μC (x) .

Similarmente, si suponemos que μA (x) < λ < μB (x) , entonces

μA(1

λx) < 1 y por la definicion de B,

1

λx ∈ B, es decir

μB(x) ≤ λ < μB (x)

lo cual es una contradiccion. De aquı

μB (x) ≤ μA (x)

y finalmente obtenemos

μC(x) = μA(x) = μB(x),


que es lo que deseabamos probar.

El siguiente lema es en cierto modo el recıproco del inciso (d) delteorema 5.33 y de hecho es el recıproco si el conjunto A de dicho incisoes abierto.

Lema 5.34 Toda seminorma ρ en un espacio vectorial E es la fun-cional subaditiva de Minkowski de un conjunto absorbente, convexo ybalanceado. Mas precisamente, ρ = μB, donde

B = {x ∈ E : ρ(x) < 1} .

Demostracion: La prueba de que B es convexo y absorbente es comoen el inciso (e) del teorema 5.33. Si ahora λ ∈ K con |λ| ≤ 1 yx ∈ B, entonces ρ(λx) = |λ| ρ (x) < 1, es decir B es balanceado. Sea

x ∈ E. Si λ > ρ(x), entonces ρ(

1

λx)

< 1, de donde μB(x) ≤ λ. Por

lo tanto μB(x) ≤ ρ(x). Por otra parte, si 0 < λ ≤ ρ(x), tenemos que

1 ≤ ρ(

1

λx)

, de donde1

λx no pertenece a B. Por ende μB(x) ≥ λ y

entonces ρ(x) ≤ μB(x), lo que completa la prueba.

Lema 5.35 Sean X un espacio vectorial topologico, A un conjuntoconvexo absorbente y μA su funcional subaditiva de Minkowski. En-tonces

(a) Si A es abierto, A = {x ∈ X : μA(x) < 1} .

(b) Si A es cerrado, A = {x ∈ X : μA(x) ≤ 1} .

Demostracion:(a) Si B = {x ∈ X : μA(x) < 1} , del teorema 5.33 tenemos que B ⊂ A.Supongamos que A es abierto y sea x ∈ A. Por la continuidad de lafuncion f (λ) = λx, existe λ > 1 tal que λx ∈ A. De ahı obtenemos

que μA(x) ≤ 1

λ< 1 y A ⊂ B. Consecuentemente A = B.

(b) Si C = {x ∈ X : μA(x) ≤ 1} el teorema 5.33 nos dice que A ⊂ C.Ahora bien, sea A cerrado y supongamos que x /∈ A, nuevamente la


continuidad del producto nos da λ < 1 tal que λx /∈ A, de donde

μA(x) ≥ 1

λ> 1 y C ⊂ A. Por lo tanto A = C.

El resultado fundamental de esta seccion se resume en los dos teo-remas siguientes:

Proposicion 5.36 Sean X un espacio localmente convexo y V unabase local de 0 compuesta por vecindades abiertas, convexas y balan-ceadas. Entonces la familia de las funcionales de Minkowski asociadasa los elementos de V,

P = {μU : U ∈ V} ,

es una familia de seminormas continuas y toda U ∈ V es de la forma{x ∈ X : μU (x) < 1} . Ademas, si X es de Hausdorff, P separa pun-tos de X, es decir dado x = 0 existe ρ ∈ P tal que ρ(x) = 0.

Demostracion: Sea U ∈ V. Como U es convexa, balanceada y ab-sorbente, por el teorema 5.33 obtenemos que μU es una seminorma.Sea γ > 0; por el lema 4.2, tenemos que si x − y ∈ γU, entonces

|μU(x) − μU(y)| ≤ μU(x − y) ≤ γ,

lo que prueba la continuidad de μU . Ademas como U es abierto, por ellema 5.35, U = {x ∈ X : μU(x) < 1} .

Supongamos ahora que X es de Hausdorff. Entonces si x ∈ X,x = 0 existe V ∈ V tal que x /∈ V . Por lo tanto μV (x) ≥ 1 y la familiaP separa puntos de X.

A diferencia de los espacios normados, donde el conjunto de bolasabiertas con centro en 0 es una base local de 0, si P es una familia deseminormas en un espacio vectorial E, las vecindades de la forma

V(ρ,

1

n

)={x ∈ E : ρ(x) <

1

n

}en general no constituyen una base local de 0 de una topologıa deespacio vectorial topologico Hausdorff.


Ejemplo

Sean X = R2 y P = {ρ1, ρ2} , donde ρi(x1, x2) = |xi| es claramenteuna seminorma. Se comprueba facilmente que P separa puntos de X

y que la bola unitaria en X no contiene ningun conjunto V(ρi,

1

n

).

Entonces, como todas las topologıas Hausdorff de espacio vectorial son

equivalentes en R2,{V(ρi,

1

n

): i = 1, 2

}∞

n=1no puede ser base local

de 0 para una de estas topologıas.

En cambio si B es la coleccion de todas las intersecciones finitas de

los conjuntos V(ρ,

1

n

)con ρ ∈ P y n ∈ N, B sı es una base local de 0

de una topologıa de espacio vectorial topologico.

Teorema 5.37 Sea P una familia de seminormas en un espacio vec-torial X. Entonces B es una base local de 0 para una topologıa τ deespacio vectorial topologico en X cuyos elementos son convexos y ba-lanceados y tal que toda ρ ∈ P es continua. Ademas, si P separa puntosde X la topologıa τ es de Hausdorff.

Diremos que τ es la topologıa generada por P .

Demostracion: Veremos que B satisface las condiciones del teorema5.6.(i) Por el lema 5.34 los elementos de B son convexos, balanceados yabsorbentes.(ii) Por definicion de B si U , V ∈ B, entonces U ∩ V ∈ B.

(iii) Sean v ∈ ⋂ri=1 V

(ρi,

1

ni

)y m ∈ N tal que

1

m< min

1≤i≤r

(1

ni

− ρi (v))

.

Entonces si z ∈ ⋂ri=1 V

(ρi,

1

m

), ρi (z − v) ≤ ρi (z) + ρi (v) <

1

ni

para

i = 1, ..., r. Por lo tanto⋂r

i=1 V(ρi,

1

m

)⊂ v +

⋂ri=1 V

(ρi,

1

ni

).

(iv) Es claro que⋂r

i=1 V(ρi,

1

2ni

)+⋂r

i=1 V(ρi,

1

2ni

)⊂ ⋂r

i=1 V(ρi,

1

ni

).


(v) Si U ∈ B y n ∈ N, es evidente que 1nU ∈ B.

Entonces por el teorema 5.6 existe una topologıa τ de espacio vec-torial topologico tal que B es una base local de vecindades de 0.

Sean ahora ρ ∈ P, x ∈ X y y ∈ x + V(ρ,

1

n

). Como

|ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y) <1

n,

ρ es continua en x.Finalmente, si P separa puntos, dado x ∈ X, x = 0, sea ρ ∈ P con

ρ(x) > 0. Entonces si n ∈ N es tal que1

n< ρ(x), x /∈ V

(ρ,

1

n

)y por

la proposicion 5.8, X es de Hausdorff.

Segun la proposicion 5.36 a partir de una base local V de unatopologıa τ de espacio vectorial localmente convexo podemos obteneruna familia de seminormas P y segun el teorema 5.37 P genera unatopologıa τ ′. ¿Seran iguales τ y τ ′? La respuesta es sı. Como toda

ρ ∈ P es τ continua obtenemos que V(ρ,

1

n

)∈ τ y por lo tanto τ ′ ⊂ τ .

Por otra parte si U ∈ τ y ρ = μU entonces U = V (ρ, 1) ∈ τ ′, de dondeτ ⊂ τ ′.

Ejemplos

1. En el espacio vectorial real

C (R) = {f : R → R : f es continua}

definimos para n = 1, 2, ... ρn(f) = supx∈[−n,n]

|f(x)| . Se deja como

ejercicio comprobar que P = {ρn}∞n=1 es una familia de seminor-mas, y entonces, por los resultados anteriores genera una topologıalocalmente convexa.

2. Si X es un espacio normado, la topologıa debil en X esta generadapor la familia de seminormas {ρx∗(x) = |〈x∗, x〉| : x∗ ∈ X∗} y latopologıa debil estrella en X∗ esta generada por la familia deseminormas {ρx(x

∗) = |〈x∗, x〉| : x ∈ X} .


Como en general es mas facil manejar seminormas que topologıasen abstracto, veremos como se traducen algunas de las propiedadestopologicas a condiciones sobre seminormas.

Lema 5.38 Sea P una familia de seminormas en un espacio vectorialX sobre K y sea τ la topologıa localmente convexa generada por P .Entonces

(a) Un subconjunto A de X es τ acotado si y solo si para toda ρ ∈ P,ρ (A) es un conjunto acotado en K.

(b) Una red {xa}a∈D en X converge a x ∈ X con respecto a la topologıaτ si y solo si ρ(xa − x) converge a 0 en R para toda ρ ∈ P.

(c) Si Y es un espacio vectorial topologico sobre K, entonces sif : Y → X es lineal, es continua con respecto a τ si y solo siρ ◦ f : Y → R es continua para toda ρ ∈ P.

Demostracion:(a) Sean A un subconjunto τ acotado de X y ρ ∈ P. Como V (ρ, 1) esuna vecindad de 0, existe λ > 0 tal que A ⊂ λV (ρ, 1); es decir ρ(x) < λpara toda x ∈ A. Por lo tanto, ρ (A) es acotado para toda ρ ∈ P.

Recıprocamente, si toda ρ ∈ P esta acotada en A y U es una vecin-

dad de 0, sean ρ1, ..., ρk ∈ P y n1, ..., nk ∈ N con⋂k

i=1 V(ρi,

1

ni

)⊂ U

y m1, ...,mk ∈ R tales que ρi(x) < mi para toda x ∈ A y para todai = 1, ..., k. Entonces si γ =max (n1m1, ..., nkmk) , tenemos que

A ⊂k⋂

i=1

γV(ρi,

1

ni

)⊂ γU

y A esta acotado.(b) Supongamos que xa → x con respecto a la topologıa τ. Sean ρ ∈ Py n ∈ N; entonces V

(ρ,

1

n

)∈ τ y por lo tanto existe a0 ∈ D tal que

xa − x ∈ V(ρ,

1

n

)para toda a ≥ a0, es decir ρ(xa − x) <

1

ny por

consiguiente ρ(xa − x) → 0 en R.


Recıprocamente, supongamos que ρ(xa − x) → 0 en R para todaρ ∈ P y sea U ∈ τ. Entonces existen ρ1, ..., ρk ∈ P y n1, ..., nk ∈ N con⋂k

i=1 V(ρi,

1

ni

)⊂ U. Sea a0 ∈ D tal que si a ≥ a0, ρi(xa − x) <

1

nipara toda i = 1, ..., k. Claramente obtenemos que xa −x ∈ U si a ≥ a0.(c) Sea f : Y → X. Supongamos que f es continua. Como por elteorema 5.37 si ρ ∈ P, ρ es continua, obtenemos que ρ ◦ f es continuapara toda ρ.

Recıprocamente, supongamos que ρ ◦ f es continua en 0 para toda

ρ ∈ P. Como{[

0, 1n

): n ∈ N

}es una base local del 0 en R+, V

(ρ,

1

n

)es abierto en X para toda ρ y n ∈ N y

(ρ ◦ f)−1([

0,1

n

))= f−1

(V(ρ,

1

n

)),

se obtiene que f es continua en 0 y por consiguiente, por el teorema5.16, es continua.

Proposicion 5.39 Sean X y Y espacios localmente convexos sobre Kcuyas topologıas τX y τY estan generadas por las familias P y S deseminormas respectivamente.

(i) Si T : X → Y es lineal y para toda σ ∈ S existen ρ ∈ P y unaconstante M > 0, tales que σ (Tx) ≤ Mρ(x) para toda x ∈ X,entonces T es continua.

(ii) Por otro lado, si la familia{V(ρ,

1

n

): ρ ∈ P

}∞

n=1es una base

local de 0 para τX y si T : X → Y es lineal y continua, se tieneque para toda σ ∈ S existen ρ ∈ P y una constante M > 0, talesque σ (Tx) ≤ Mρ(x) para toda x ∈ X.

Demostracion: (i) Sean σ1, ..., σk ∈ S y supongamos que M1, ...,Mk

y ρ1, ..., ρk son tales que σi (Tx) ≤ Miρi (x). Entonces

T

(k⋂

i=1

V(ρi,

1

niMi

))⊂

k⋂i=1

V(σi,

1

ni

),

De aquı obtenemos que T es continua en 0 y, por el teorema 5.16, T escontinua.

5.6. Espacios metrizables y normables 177

(ii) Sea σ ∈ S. Por la continuidad de T y como{V(ρ,

1

n

): ρ ∈ P

}∞

n=1es una base local de 0, existen ρ ∈ P y M ∈ N tales que

T(V(ρ,

1

M

))⊂ V (σ, 1) .

Esto quiere decir que si ρ(x) <1

M, entonces σ (Tx) < 1. Por lo tanto

para toda λ > 0

σ (Tx) = σ

(T

(x

M(ρ(x) + λ)M(ρ(x) + λ)

))=

= M(ρ(x) + λ)σ

(T

(x

M(ρ(x) + λ)

))≤ M(ρ(x) + λ)

y como esto es cierto para toda λ > 0, obtenemos el resultado deseado.

5.6 Espacios metrizables y normables

Mientras mas estructura tenga un espacio vectorial topologico maspodemos conocer acerca de el. En esta seccion daremos condicionespara que los espacios vectoriales topologicos sean metrizables o norma-bles. En particular veremos que cuando la topologıa de X esta generadapor una sucesion {ρi}∞i=1 de seminormas que separa puntos, X siemprees metrizable mediante una metrica invariante.

Recordemos que una metrica d en un espacio vectorial X se llamainvariante si d(x + z, y + z) = d(x, y) para toda x, y, z ∈ X.

Lema 5.40 Sea d una metrica invariante en un espacio vectorial X.

(a) Para toda x ∈ X y n ∈ N

d (nx, 0) ≤ nd (x, 0) .

(b) Si {xn}∞n=1 ⊂ X es tal que xn → 0, entonces existe {λn}∞n=1 ⊂ Rtal que λn → ∞ y λnxn → 0.


Demostracion:(a) Es consecuencia de que la metrica es invariante:

d (nx, 0) ≤n∑

i=1

d (ix, (i − 1)x) = nd (x, 0) .

(b) Como d (xn, 0) → 0, dado k existe nk tal que d (xn, 0) <1

k2si

n ≥ nk. Podemos elegir las nk tales que nk < nk+1 para toda k = 1, 2, ...Sea

λn =

{1 si n < n1

k si nk ≤ n < nk+1

Entonces λn → ∞, y por (a), si nk ≤ n < nk+1,

d (λnxn, 0) = d (kxn, 0) ≤ kd (xn, 0) <1

k,

de donde obtenemos que λnxn → 0 cuando n → ∞.

Proposicion 5.41 Sea X un espacio vectorial topologico cuya topologıaτ esta dada por una sucesion de seminormas P = {ρi}∞i=1 , que separapuntos de X. Entonces d : X × X → R+ definida de la siguientemanera:

d(x, y) =∞∑i=1

2−iρi(x − y)

1 + ρi(x − y)

es una metrica invariante compatible con τ, es decir la topologıa gene-rada por la metrica d es precisamente τ.

Demostracion: Se comprueba facilmente que d es una metrica inva-riante (ejercicio 11). Como claramente

{y ∈ X : d (x, y) < r} = x + {u : d (u, 0) < r} ,

basta ver que cada bola Br (0) = {u : d (u, 0) < r} es τ abierta y vi-

ceversa, que cada V(ρi,

1

n

)es un conjunto abierto en la topologıa

inducida por d.En efecto, si 0 < r < 2, existe N tal que

∞∑i=N+1

2−iρi(x)

1 + ρi(x)≤

∞∑i=N+1

2−i <r

2


para toda x ∈ X. Como para 0 < a < 1

ρ (x)

1 + ρ (x)< a si y solo si ρ (x) <

a

1 − a, (5.4)

obtenemosN⋂

i=1

V(ρi,

r

2 − r

)⊂ Br (0) .

Al reves, usando (5.4), si n, k ∈ N, resulta que

B2−k(n+1)−1 (0) ⊂ V(ρk,

1

n

),

lo cual prueba nuestra afirmacion.

En un espacio vectorial con una metrica invariante, las bolas notienen que ser convexas.

Ejemplo

En el espacio C(R) = {f : R → R : f es continua} con la topologıainducida por las seminormas ρn(f) = sup

x∈[−n,n]|f(x)| , la metrica definida

por la proposicion anterior es

d(f, g) =∞∑

n=1

2−nρn(f − g)

1 + ρn(f − g).

Se deja como ejercicio comprobar que las funciones

f(x) = max(0, 1 − |x|),

g(x) = 100f(x − 2),

h =f + g

2,

satisfacen: d(f, 0) =1

2, d(g, 0) =

50

101y d(h, 0) =

1

6+

50

102>

1

2lo

que prueba que las bolas de radio1

2no son convexas. Sin embargo el

siguiente teorema nos garantiza para este ejemplo la existencia de otrametrica compatible tal que sus bolas sı son convexas.


Teorema 5.42 Un espacio vectorial topologico de Hausdorff (X, τ) esmetrizable si y solo tiene una base local V de 0 numerable. En este casoexiste una metrica invariante d en X tal que:

(a) La coleccion de bolas abiertas es base de τ.

(b) Br(0) es balanceada para toda r ∈ R+.

(c) Si X es localmente convexo, entonces se puede elegir d tal queademas las bolas sean convexas.

Demostracion: Si X es un espacio vectorial metrico,{B 1

n(0) : n ∈ N

}es una base local de 0 numerable.

Viceversa, supongamos que V = {Un : n ∈ N} es una base local de0 numerable. Por el teorema 5.6 podemos suponer que los elementosde V son balanceados y que

Un+1 + Un+1 ⊂ Un. (5.5)

Para todo conjunto finito I ⊂ N definimos el numero real

rI =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∑

n∈I

1

2nsi I = ∅

0 si I = ∅

y el abierto,

U (rI) =

⎧⎪⎨⎪⎩∑

n∈I Un si I = ∅

∅ si I = ∅que obviamente es balanceado. Sean I y J dos subconjuntos finitos deN tales que rI +rJ < 1. Sea N = max {n ∈ N : n ∈ I ∪ J}; probaremosusando induccion sobre N que

U (rI) + U (rJ) ⊂ U (rI + rJ) , (5.6)

lo cual nos permitira definir una metrica en X compatible con τ.Si N = 1, la afirmacion se sigue de inmediato pues alguno de los

dos rI o rJ vale 0. Supongamos que se satisface (5.6) para N ≤ M − 1.


Sean rI y rJ tales que rI + rJ < 1 y M = max {n ∈ N : n ∈ I ∪ J} .

Si M ∈ I pero M /∈ J, entonces rI = r′ +1

2M

U (rI) = U (r′) + U(

1

2M

).

Por hipotesis de induccion

U (r′) + U (rJ) ⊂ U (r′ + rJ)

y por lo tanto

U (rI) + U (rJ) ⊂ U (r′ + rJ) + U(

1

2M

)= U (rI + rJ) .

Si M /∈ I pero M ∈ J, la demostracion es semejante. Finalmente, si

M ∈ I ∩ J, entonces rI = r′ +1

2My rJ = r” +

1

2M, y por la hipotesis

de induccionU (r′) + U (r”) ⊂ U (r′ + r”) (5.7)

y por (5.7) y (5.5)

U (rI) + U (rJ) = U (r′) + U (r”) + U(

1

2M

)+ U

(1

2M

)⊂

⊂ U (r′ + r”) + U(

1

2M−1

)⊂ U

(r′ + r” +

1

2M−1

)= U (rI + rJ)

donde la ultima contencion se obtuvo usando nuevamente la hipotesisde induccion.

Definimos f : X → R+ por

f(x) =

{inf {rI : x ∈ U (rI) , I finito} si existe I con x ∈ U (rI)1 en los demas casos

(5.8)Entonces claramente f(X) ⊂ [0, 1]. Definimos ahora d : X × X → R+

pord(x, y) = f(x − y). (5.9)

Para probar que d es una metrica invariante veremos primero que

f(x + y) ≤ f(x) + f(y) . (5.10)


Si f(x)+ f(y) ≥ 1, (5.10) es consecuencia de la definicion de f. Supon-gamos entonces que f(x) + f(y) < 1 y sea ε > 0 tal que

f(x) + f(y) + 2ε < 1.

Por (5.8) existen I, J ⊂ N finitos tales que x ∈ U (rI) , y ∈ U (rJ) ,rI < f(x) + ε y rJ < f(y) + ε. Como rI + rJ < 1 se cumple (5.6),entonces x + y ∈ U (rI + rJ) y por lo tanto

f(x + y) ≤ rI + rJ < f(x) + f(y) + 2ε,

lo que prueba (5.10).Como toda U (rI) es balanceada, tenemos que f(x) = f(−x). Clara-

mente f(0) = 0 y si x = 0, como X es de Hausdorff, existe n ∈ N tal

que x /∈ Un y entonces f(x) ≥ 1

2n> 0.

Las propiedades que hemos demostrado que tiene f implican direc-tamente que d es una metrica invariante en X.

Como las bolas abiertas con centro en el origen son de la formaBδ(0) = {x ∈ X : f(x) < δ}, tenemos que

Bδ(0) =⋃

rI<δ

U (rI) (5.11)

lo que, junto con la invariabilidad de la metrica, prueba (a) y (b).Finalmente, si la topologıa es localmente convexa se puede elegir las

Un de manera que sean convexas, por lo tanto las U (rI) son convexas.Pero por (5.6), si rI < rJ ,

U (rI) ⊂ U (rI) + U (rJ − rI) ⊂ U (rJ)

y por lo tanto⋃

rI<δ U (rI) es convexa y hemos probado (c).

Si en un espacio vectorial topologico existe una vecindad V de 0

acotada, del teorema 5.14 tenemos que{

1

nV : n ∈ N

}es una base

local numerable de 0 formada por vecindades acotadas. Entonces si Xes de Hausdorff, por el teorema anterior:

Corolario 5.43 Si en un espacio vectorial topologico de Hausdorff exis-te una vecindad de 0 acotada, entonces es metrizable.


Aun mas, si ademas la vecindad acotada anterior es convexa, elespacio es normable, es decir existe una norma que genera la topologıadel espacio.

Teorema 5.44 Sea (X, τ) un espacio vectorial topologico de Haus-dorff. Entonces X es normable, si y solo si tiene una vecindad convexay τ acotada de 0.

Demostracion: Supongamos que ‖·‖ es una norma compatible con latopologıa τ de X. Entonces es facil ver que el conjunto

B1 = {x ∈ X : ‖x‖ < 1}

es convexo. Ademas es acotado por el lema 5.38 y finalmente, como ‖·‖es compatible con τ, es una vecindad de 0.

Recıprocamente, supongamos que U es una vecindad convexa y aco-tada de 0. Por la proposicion 5.30, existe una vecindad convexa ybalanceada V ⊂ U que claramente es acotada tambien. Veremos quela funcional de Minkowski de V, μV , es una norma compatible con latopologıa.

Por el teorema 5.33, μV es una seminorma y por el teorema 5.14(iii) la coleccion de conjuntos rV con r > 0 es una base local de 0para τ. Como X es de Hausdorff, si x = 0 existe r > 0 con x /∈ rV, esdecir μV (x) ≥ r y μV es una norma. Finalmente, de la definicion de lafuncional de Minkowski y el lema 5.35, obtenemos que para toda r > 0

{x ∈ X : μV (x) < r} = rV,

y por ende la topologıa inducida por la norma μV coincide con τ.

Ejemplo

Sea lp, 0 < p < 1, el espacio definido en el ejemplo 3 de la seccion 5.2.Veremos que lp es un espacio metrico con la metrica invariante definidapor

d(x, y) =∞∑

n=1

|xn − yn|p .


La desigualdad del triangulo para d es inmediata si demostramos quepara toda a, b ≥ 0 se tiene

(a + b)p ≤ ap + bp. (5.12)

Pero esto lo deduciremos a partir de la desigualdad del triangulo parael espacio K2 con la norma dada por

‖(u, v)‖ =(|u|1/p + |v|1/p

)p,

que efectivamente es una norma pues1

p> 1 (ver proposicion 4.8).

Entonces para (u1, v1) , (u2, v2) ∈ K2

(|u1 + u2|1/p + |v1 + v2|1/p

)p ≤(|u1|1/p + |v1|1/p

)p+(|u2|1/p + |v2|1/p

)p.

Tomando u1 = ap, v1 = 0, u2 = 0, y v2 = bp llegamos al resultadodeseado.

Sin embargo lp no es normable, pues los abiertos convexos no sonacotados. En efecto, sea V un abierto convexo. Haciendo una traslacionsi es necesario, podemos suponer que 0 ∈ V y entonces existe ε > 0 talque Bε = {x : d(x, 0) < ε} ⊂ V. Sea k > 0; como p < 1, existe n ∈ Ntal que np−1k < ε. Para i = 1, ..., n sea

zi = k1/pn(p−1)/pei

donde ei es el elemento de lp que tiene un uno en la i-esima coordenaday cero en todas las demas. Entonces d(zi, 0) = np−1k < ε y por lotanto zi ∈ V para i = 1, ..., n. Como V es convexo obtenemos que

x =1

n(z1 + ... + zn) ∈ V. Ademas

d(x, 0) =1

npd(z1 + ... + zn, 0) =

1

npnnp−1k = k.

Es decir, para toda k > 0, encontramos x ∈ V con d(x, 0) = k y por lotanto V no esta acotada.

Sabemos que para los operadores entre espacios normados son equi-valentes la continuidad y el ser acotados. Esta propiedad se conserva


para operadores entre espacios vectoriales topologicos metrizables, siconvenimos que un operador lineal T : X → Y entre espacios vectorialestopologicos es acotado, si para todo conjunto acotado A en X, T (A)es un conjunto acotado en Y.

Teorema 5.45 Sean X y Y espacios vectoriales topologicos sobre K,y T : X → Y un operador lineal.

Si X es metrizable son equivalentes:

(a) T es continuo.

(b) T es acotado.

(c) Si {xn}∞n=1 ⊂ X es tal que xn → 0, entonces {Txn}∞n=1 es acotado.

(d) Si {xn}∞n=1 ⊂ X es tal que xn → 0, entonces Txn → 0.

Si X no es metrizable, entonces (a) ⇒ (b) ⇒ (c) y (a) ⇒ (d) .

Demostracion:(a)⇒(b) Sean A un subconjunto acotado de X y U una vecindad de 0en Y. Como T es continua T−1 (U) = V es una vecindad de 0 en X yentonces existe λ > 0 tal que A ⊂ λV ; por lo tanto

T (A) ⊂ λT (V ) ⊂ λU,

es decir T (A) es acotado.(b)⇒(c) Se sigue directamente pues las sucesiones convergentes sonconjuntos acotados.(a)⇒(d) Es inmediato.

Supongamos ahora que X es metrizable. Por el teorema 5.42,podemos suponer que la topologıa esta dada por una metrica invari-ante.(c)⇒(d) Sea {xn}∞n=1 ⊂ X tal que xn → 0. Por el lema 5.40 existe{λn}∞n=1 ⊂ R con λn → ∞ tal que λnxn → 0 y por ende {T (λnxn)}∞n=1

es acotado en Y. La proposicion 5.13 nos dice entonces que

Txn = λ−1n T (λnxn) → 0.


(d)⇒(a) Supongamos que T no es continua. Entonces existe una vecin-dad U de 0 en Y tal que T−1 (U) no contiene ninguna vecindad de 0 enX. Como X es metrizable, tiene una base local de 0 numerable {Vn}tal que Vn+1 ⊂ Vn para toda n ∈ N. Si xn ∈ Vn\ T−1 (U) , entoncesclaramente xn → 0 y Txn /∈ U y por lo tanto Txn no converge a 0, locual contradice (d).

5.7 Teoremas de Hahn-Banach

Entre las innumerables aplicaciones de los teoremas de Hahn-Banachestudiados en el capıtulo anterior, se encuentran los teoremas de sepa-racion en espacios vectoriales topologicos, tambien conocidos como losteoremas de Hahn-Banach en su forma geometrica.

La primera consecuencia del teorema de Hahn-Banach es que en losespacios vectoriales de Hausdorff localmente convexos hay suficientesfuncionales lineales para separar los puntos del espacio, es decir dadoun punto x0 ∈ X hay al menos una funcional lineal continua tal quef(x0) = 0.

Teorema 5.46 Sea X un espacio vectorial topologico sobre K. En-tonces:

(a) Si ρ es una seminorma en X continua, para toda x0 ∈ X existeuna funcion lineal continua f : X → K tal que f(x0) = ρ(x0).

(b) Si X es un espacio de Hausdorff localmente convexo, para todax0 ∈ X con x0 = 0 existe f : X → K lineal y continua tal quef(x0) = 0.

Demostracion:(a) Sean F = [x0] y h : F → K definida por h(λx0) = λρ(x0). Clara-mente h satisface las hipotesis del teorema 4.32 en el caso real y 4.34en el caso complejo y entonces tiene una extension f : X → K con|f | ≤ ρ en X. Sea ε > 0; como ρ es continua existe V vecindad de 0 enX con ρ(V ) ⊂ (−ε, ε) . En consecuencia |f | (V ) ⊂ (−ε, ε) , de donde fes continua en 0 y por el teorema 5.16 f es continua.


(b) Se obtiene de (a) y de que, como X es un espacio localmente convexoy de Hausdorff, existe una vecindad balanceada y convexa V de 0 talque x0 /∈ V . Entonces por el teorema 5.33 la funcional subaditiva deMinkowski de V, μV , es una seminorma con μV (x0) = 0.

La parte (b) del teorema no se satisface para espacios vectorialestopologicos en general como muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Sea Rp [0, 1] , 0 < p < 1, el espacio vectorial de todas las funcionesLebesgue medibles f : [0, 1] → R, tales que

ρ(f) =∫ 1

0|f(t)|p dt < ∞. (5.13)

Diremos que dos funciones f, g ∈ Rp [0, 1] son equivalentes si

ρ(f − g) = 0

y Lp [0, 1] se define como el espacio de las clases de equivalencia defunciones en Rp [0, 1] . Usando la desigualdad (5.12) no es difıcil probarque d definida por

d(f, g) = ρ(f − g)

es una metrica invariante en Lp [0, 1] y entonces las bolas

Bε = {f ∈ Lp [0, 1] : ρ(f) < ε}

forman una base local de cero.Veremos que los unicos abiertos y convexos en Lp [0, 1] son el vacıo

y el total.Sea V = ∅, abierto y convexo. Podemos suponer, haciendo una

traslacion si es necesario, que 0 ∈ V. Entonces existe ε > 0 tal queBε ⊂ V. Sea f ∈ Lp [0, 1] ; como p < 1, existe n ∈ N tal quenp−1ρ(f) < ε y por la continuidad de la integral definida, existenx0 < x1 < ... < xn tales que para i = 1, ..., n∫ xi

xi−1

|f(t)|p dt =ρ(f)

n.


Si definimos

gi(t) =

{nf(t) si xi−1 < t ≤ xi

0 en los demas casos,

entonces ρ(gi) = np−1ρ(f) < ε y por lo tanto gi ∈ Bε ⊂ V para todai = 1, ..., n. Como V es convexo, obtenemos que

f =1

n(g1 + ... + gn) ∈ V

y hemos demostrado que Lp [0, 1] = V.

Supongamos ahora que F : Lp [0, 1] → R es lineal y continua y seaε > 0. Entonces F−1 ((−ε, ε)) es un conjunto abierto convexo no vacıo enLp [0, 1] , es decir es igual a Lp [0, 1] . Por lo tanto F (Lp [0, 1]) ⊂ (−ε, ε)para toda ε > 0 y por ende F = 0. Es decir la unica funcional lineal ycontinua en Lp [0, 1] es la funcion identicamente 0.

Los teoremas geometricos de Hahn-Banach requieren la nocion dehiperplano que damos a continuacion:

Definicion 5.47 M es un hiperplano en un espacio vectorial X si e-xisten un subespacio Y de codimension uno en X y un elemento x ∈ Xtales que M = x + Y.

Como por la proposicion 4.27 Y es un subespacio de codimensionuno en un espacio vectorial X sobre K si y solo si existe una funcionlineal f : X → K tal que Y = ker f, tenemos que H es un hiperplanoen X si y solo si existen una funcion lineal f : X → K y λ ∈ K talesque

H = {x ∈ X : f(x) = λ} .

Observemos que si 0 ∈ H, entonces λ = 0.

Proposicion 5.48 Sean X un espacio vectorial topologico real,x0 ∈ X y A ⊂ X un conjunto abierto y convexo no vacıo tal quex0 /∈ A. Entonces existe un hiperplano H cerrado de X tal que x0 ∈ H yH ∩ A = ∅.


Demostracion: Haciendo una traslacion si es necesario, podemos su-poner que 0 ∈ A. Sea ρ = μA la funcional subaditiva de Minkowski deA. Por el teorema 5.33, ρ es una funcion sublineal no negativa tal queρ (λa) = λρ (a) si λ > 0. Ademas por el lema 5.35

A = {x ∈ X : ρ(x) < 1}

y como x0 /∈ A

ρ (x0) ≥ 1. (5.14)

Sean Y = [x0] y f : Y → R definida para λ ∈ R por

f(λx0) = λρ (x0) .

Entonces si λ ≥ 0, f (λx0) = ρ (λx0) y si λ < 0, usando (5.14), obtene-mos

f (λx0) = λρ (x0) ≤ λ < 0 ≤ ρ (λx0) .

Consecuentemente para toda y ∈ Y, f (y) ≤ ρ (y) y aplicando el teo-rema 4.32 existe una extension lineal de f, f : X → R con f ≤ ρ.Sea

H ={x ∈ X : f(x) = ρ (x0)

}.

Entonces H es un hiperplano que contiene a x0 y es ajeno al conjuntoabierto A, pues ρ(a) < 1 para toda a ∈ A. Por lo tanto, del lema 5.24,se obtiene que H es cerrado porque no es denso en X.

Teorema 5.49 (Hahn-Banach geometrico real) Sean X un espa-cio vectorial topologico sobre R y A y B subconjuntos convexos novacıos de X con A ∩ B = ∅. Entonces

(a) Si A es abierto, existe un hiperplano cerrado H que separa a Ay B, es decir existen f : X →R lineal y continua y α ∈ R, talesque para toda a ∈ A y b ∈ B

f (a) < α ≤ f (b)

y H = {x ∈ X : f (x) = α} .


(b) Si A y B ambos son abiertos, la separacion es estricta, es decirexisten f : X → R lineal y continua y α ∈ R, tales que para todaa ∈ A y b ∈ B

f(a) < α < f(b).

(c) Si X es localmente convexo, A es compacto y B es cerrado, Ay B se pueden separar fuertemente, es decir existen f lineal ycontinua f : X → R y α, β ∈ R, tales que para toda a ∈ A yb ∈ B

f(a) < α < β < f(b).

Demostracion: (a) Como B − A = {b − a : a ∈ A y b ∈ B} es unconjunto abierto, convexo y no contiene a 0, por la proposicion 5.48existe un hiperplano cerrado H tal que 0 ∈ H y H ∩ (B − A) = ∅.Entonces existe f : X → R funcion lineal y continua tal que

H = {x : f(x) = 0} .

Por lo tanto f(b − a) = 0 para toda a ∈ A y toda b ∈ B. Supongamosque existen c1 y c2 ∈ B − A tales que f(c1) > 0 y f(c2) < 0 y sea

λ =−f(c2)

f(c1) − f(c2).

Entonces f (λc1 + (1 − λ)c2) = 0 y como B − A es convexo,

λc1 + (1 − λ)c2 ∈ B − A,

lo cual contradice el hecho de que H ∩ (B − A) = ∅. Por lo tantopodemos suponer que f(b−a) > 0, o equivalentemente, que f(b) > f(a)para toda a ∈ A y b ∈ B. Como A es un conjunto abierto y convexoy toda funcional lineal es abierta (ejercicio 5), f(A) es un intervaloabierto en R. Entonces si a ∈ A, f(a) < sup {f(x) : x ∈ A} = α, esdecir, para toda a ∈ A, b ∈ B,

f (a) < α ≤ f (b) .

(b) Supongamos ahora que A y B son ambos abiertos. Entonces f(B)tambien es un intervalo abierto en R y por ende si α es como en (a),

f(a) < α < f(b)


para toda a ∈ A y b ∈ B.(c) Supongamos que X es localmente convexo, A es compacto y Bes cerrado. Por la proposicion 5.9 existe una vecindad U de 0, talque (A + U) ∩ (B + U) = ∅. Como X es localmente convexo, podemossuponer que U es convexa. Entonces A + U y B + U son conjuntosabiertos y convexos y aplicando la parte (b), sabemos que existe flineal y continua tal que f (A + U) y f (B + U) son intervalos abiertosajenos. Como ademas f (A) es compacto, f (A) es un intervalo cerradoy acotado contenido en f (A + U) y de ahı tenemos el resultado deseado.

Enunciaremos ahora el teorema anterior en el caso de que X es unespacio vectorial complejo.

Corolario 5.50 (Hahn-Banach geometrico complejo) Sean X unespacio vectorial topologico sobre C y A y B subconjuntos convexos novacıos de X con A ∩ B = ∅. Entonces

(a) Si A es abierto, existen F : X → C lineal y continua y α ∈ R,tales que para toda a ∈ A y b ∈ B

ReF (a) < α ≤ ReF (b) .

(b) Si A y B son abiertos, existen F : X → C lineal y continua yα ∈ R, tales que para toda a ∈ A y b ∈ B

ReF (a) < α < ReF (b).

(c) Si X es localmente convexo, si A es compacto y B es cerrado,existen F lineal y continua F : X → C y α, β ∈ R, tales que paratoda a ∈ A y b ∈ B

ReF (a) < α < β < ReF (b).

Demostracion: Como X es en particular un espacio vectorial real, sitomamos F tal que F (x) = f (x) − if (ix) , donde f es la funcion queexiste para el caso real, F es la funcion buscada.

Como consecuencia de los resultados previos, obtenemos la siguientecaracterizacion de conjuntos cerrados y convexos en espacios localmenteconvexos que sera muy util posteriormente.


Definicion 5.51 Sean X un espacio vectorial sobre K y sea f = 0,f : X → R una funcion continua, r-lineal (ver definicion 4.33). Siλ ∈ R y H es el hiperplano

H = {x ∈ X : f(x) = λ} ,

los conjuntos

{x ∈ X : f(x) ≤ λ} y {x ∈ X : f(x) ≥ λ}son llamados los semiespacios cerrados determinados por H.

Corolario 5.52 Sea X un espacio vectorial topologico sobre K. SiA ⊂ X es un conjunto convexo y cerrado, entonces es la interseccionde todos los semiespacios cerrados que lo contienen.

Demostracion: Sea A un conjunto convexo y cerrado. Si C es lainterseccion de todos los semiespacios cerrados que contienen a A, en-tonces A ⊂ C. Por otro lado, si x0 /∈ A, por el teorema 5.49 o elcorolario 5.50, existen f : X → R r-lineal y continua y α ∈ R talesque f (x0) < α ≤ f (a) para toda a ∈ A y entonces x0 no perteneceal semiespacio {x ∈ X : f(x) ≥ α} que contiene a A, es decir x0 /∈ C ypor lo tanto A = C.

La siguiente formulacion del teorema de Hahn-Banach es una delas mas usadas en las aplicaciones.

Teorema 5.53 Sean X un espacio localmente convexo sobre K, Y unsubespacio vectorial de X y f : Y → K una funcion lineal continua.Entonces existe f : X → K, extension de f lineal y continua

Demostracion: Claramente podemos suponer que f no es identica-mente igual a cero. Sean x0 ∈ Y con f (x0) = 1 y

M0 = {x ∈ Y : f (x) = 0} .

Como f es continua, M0 es cerrado en Y y entonces existe U abiertoen Y con x0 ∈ U y U ∩ M0 = ∅. Sea V un conjunto abierto en X conU = V ∩ Y. Entonces x0 ∈ V y

V ∩ M0 = V ∩ (Y ∩ M0) = U ∩ M0 = ∅,


de donde x0 no pertenece a la cerradura de M0 en X, que denotaremospor M.

Aplicando a A = {x0} y B = M la parte (c) del teorema 5.49en el caso real y (c) del corolario 5.50 en el caso complejo, obtenemosg : X → K lineal y continua tal que g (x0) /∈ g (M) . Por lo tanto g (M)es un subespacio propio de K y de ahı g (M) = {0} y g (x0) = 0.

Sea f : X → K dada por f (x) =g (x)

g (x0). Entonces f (x0) = 1 y

f (M) = {0} . Si x ∈ Y, como f (x0) = 1, tenemos que x−f (x) x0 ∈ M0,de donde

f (x) − f (x) = f (x) − f (x) f (x0) = f (x − f (x) x0) = 0,

es decir f (x) = f (x) para toda x ∈ Y.

Recordemos que un subconjunto A de un espacio topologico Ees denso en E si su cerradura A = E y que un subconjunto F de unespacio vectorial topologico X es total si spF, el espacio lineal generadopor F, es denso en X.

Del teorema anterior obtenemos la siguiente caracterizacion de sub-conjuntos totales de espacios localmente convexos.

Corolario 5.54 Sea X un espacio localmente convexo y sea A un sub-conjunto de X. A es total si y solo si para toda funcional lineal continuaf : X → K se tiene que:

f(a) = 0 para toda a ∈ A implica f(x) = 0 para toda x ∈ X.

Demostracion: Si A es total y f(A) = {0} , de la linealidad y lacontinuidad de f se deduce que f(X) = {0} .

Recıprocamente, sea E la cerradura del espacio lineal generado porA y supongamos que A no es total, es decir que existe x0 ∈ X\E. ComoE es cerrado y [x0] es de dimension finita, es facil ver que la funcionf : E + [x0] → K, definida por f(x) = 0 para x ∈ E y f(x0) = 1es continua. Por el teorema 5.53 existe entonces f : X → K extensioncontinua de f. Claramente f se anula en A pero es distinta de la funcioncero.


5.8 Puntos extremos

El resultado principal de esta seccion es el teorema de Krein-Milmanque caracteriza a los conjuntos compactos convexos en espacios deHausdorff localmente convexos en funcion de sus puntos extremos.

Definicion 5.55 Sean E un espacio vectorial sobre K y C ⊂ E unconjunto convexo. x ∈ C es un punto extremo de C si la igualdad

x =x1 + x2

2con x1, x2 ∈ C, implica que x = x1 = x2.

El conjunto de los puntos extremos de C se denota por E(C).

Otros autores definen punto extremo como aquel para el cual laigualdad

x = λx1 + (1 − λ)x2

con x1, x2 ∈ C y 0 < λ < 1 implica que x = x1 = x2.Es facil ver que esta definicion es equivalente a la anterior, usando

el hecho de que si 1 > λ ≥ 1

2, x = λx1 + (1−λ)x2, si y solo x =

x1 + y

2con y = (2λ − 1)x1 + 2(1 − λ)x2.

Ejemplos

1. Si E = R2 y C ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1

}, entonces

E(C) ={(x, y) ∈ C : x2 + y2 = 1

}.

2. Si E = R2 y C ={(x, y) ∈ R2 : x ≤ 0

}, entonces E(C) = ∅.

3. Si E = R2 y C ={(x, y) ∈ R2 : x < 0

}∪ {(0, 0)} , entonces

E(C) = {(0, 0)} .

4. Si E es un espacio normado, entonces E(BE) ⊂ {x ∈ E : ‖x‖ = 1}pero puede ser que E(BE) = ∅ como veremos en el siguiente ejem-plo.

5. Si E = c0, entonces E(Bco) = ∅.

5.8. Puntos extremos 195

En efecto, si x = {xn}∞n=1 ∈ Bc0 , entonces limn→∞

xn = 0 y exis-

te N tal que |xn| <1

2para toda n ≥ N. Definamos y = {yn}∞n=1 ,

z = {zn}∞n=1 ∈ c0 como⎧⎨⎩ yi = zi = xi si i ≤ N

yi = xi +1

2i, zi = xi −

1

2isi i > N ;

entonces es facil ver que x =y + z

2, x = y, z y que y, z ∈ Bc0 .

6. Sean K un conjunto compacto y

C(K) = {f : K → R : f es continua}con la norma ‖f‖ = sup

x∈K|f(x)| . Entonces C(K) es un espacio de

Banach (ejercicio1) y

E(BC(K)) = {f ∈ C(K) : |f(x)| = 1 para toda x ∈ K} .

En efecto, sea f ∈ C(K). Si f es tal que |f(x)| = 1 para toda x ∈ K

y f =g + h

2, con g, h ∈ BC(K), como |g(x)| ≤ 1 y |h(x)| ≤ 1 para toda

x ∈ K, tenemos que f = g = h. Supongamos ahora que f ∈ BC(K) yexiste x0 ∈ K tal que |f(x0)| < 1. Sean

g(x) = f(x) +1 − |f(x)|

2y h(x) = f(x) +

|f(x)| − 1

2,

es facil comprobar que g, h ∈ BC(K), que f =g + h

2y que g y h no son

iguales a f. Por lo tanto f no es extremo.

7. Si E = R3 y

C ={(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − 1 = 2z (y − 1) , 0 ≤ z ≤ 1

}∪

∪{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − 1 = 2z (1 − y) , −1 ≤ z < 0

}entonces

E(C) = {(0, 1, 1), (0, 1,−1)}∪{(x, y, 0) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, y = 1

}Se sugiere al lector dibujar los conjuntos C y E(C), para com-prender mejor el ejemplo.


Como vimos en el ejemplo 5, no cualquier conjunto convexo y aco-tado en un espacio de Hausdorff localmente convexo tiene puntos ex-tremos. Sin embargo si el conjunto es compacto, siempre tiene puntosextremos.

Teorema 5.56 (Krein-Milman) Sea X un espacio vectorial topolo-gico de Hausdorff localmente convexo. Entonces si K es un conjuntoconvexo compacto en X, K es la cerradura de la envolvente convexa delconjunto de sus puntos extremos.

Demostracion: Observemos primero que el ejemplo 7 muestra queen general el conjunto de puntos extremos de un conjunto compacto yconvexo no es convexo ni cerrado.

Sea F la familia de todos los subconjuntos no vacıos cerrados F deK con la siguiente propiedad:

Si x, y ∈ K y se tiene quex + y

2∈ F, entonces x ∈ F y y ∈ F.

La familia F es no vacıa pues K ∈ F . Ademas:

(a) Si Fi ∈ F , para toda i ∈ I y⋂

i∈I Fi = ∅, entonces⋂

i∈I Fi ∈ F .

(b) Sean F ∈ F y x∗ una funcional lineal continua en X. Si

Fx∗ =

{x ∈ F : Rex∗(x) = sup

z∈FRex∗ (z) = μ

},

entonces Fx∗ ∈ F .

La prueba de (a) es inmediata. Para demostrar (b), observamos primero

que claramente Fx∗ = ∅. Si x, y ∈ K y z =x + y

2∈ Fx∗ , como z ∈ F

y F pertenece a F , esto implica que x, y ∈ F y consecuentementeRex∗ (x) ≤ μ y Rex∗ (y) ≤ μ. Por lo tanto, como x∗ es lineal,

μ = Rex∗ (z) =Rex∗ (x) + Rex∗ (y)

2≤ μ

y de aquı se deduce que Rex∗ (x) = Rex∗ (y) = μ y x, y ∈ Fx∗ .Sea ahora F0 fijo en F y sea F∗ la familia de todos los elementos

de F que son subconjuntos de F0. Como F0 ∈ F∗, dicha familia no es


vacıa. Si ordenamos a F∗ parcialmente por la inclusion de conjuntos ysi {Fi}i∈I ⊂ F∗ es una coleccion anidada de conjuntos compactos conla propiedad de la interseccion finita,

⋂i∈I Fi = ∅ y por (a) pertenece a

F∗. Por lo tanto⋂

i∈I Fi es una cota inferior de {Fi}i∈I y entonces porel lema de Zorn, F∗ tiene un elemento minimal F, lo cual quiere decirque ningun subconjunto propio de F pertenece a F .

Veremos que F consta de un solo punto: Si F contuviera dos pun-tos distintos x y y, por el corolario 5.50 existirıa una funcional linealcontinua x∗ en X tal que

Rex∗(x) = Rex∗(y).

Pero de (b) sabemos que entonces Fx∗ serıa un subconjunto propio de Fperteneciente a F , lo cual es una contradiccion. Por lo tanto F = {x0}y como F ∈ F , x0 es un punto extremo. De lo anterior se sigue quetodo conjunto F0 ∈ F contiene un punto extremo de K. Por lo tantosi H es la envolvente convexa de los puntos extremos de K,

F0 ∩ H = ∅. (5.15)

Como K es compacto y convexo, H ⊂ K. Si suponemos que existex0 ∈ K \H, por el corolario 5.50 existe una funcional lineal continuax∗ en X tal que

Rex∗ (x) < Rex∗ (x0) (5.16)

para toda x ∈ H. Pero por (b) resulta que Kx∗ ∈ F , y a la vez, por(5.16) H ∩ Kx∗ = ∅, lo cual contradice (5.15) y prueba que H = K.

Corolario 5.57 Sea X un espacio vectorial topologico de Hausdorfflocalmente convexo. Entonces si K es un conjunto convexo compacto enX y x∗ es una funcional lineal continua en X, existe un punto extremox0 de K tal que

Rex∗ (x0) = supz∈K

Rex∗ (z) .

Demostracion: Esto se obtiene directamente del hecho probado enel transcurso de la demostracion del teorema anterior, que afirma quetodo conjunto perteneciente a F contiene un punto extremo, aplicadoal conjunto Kx∗ .


En particular las bolas en los duales de espacios normados quedandeterminadas por sus puntos extremos:

Corolario 5.58 Si X es un espacio normado entonces BX∗ es laσ(X∗, X) cerradura de conv E(BX∗).

Demostracion: Por el teorema de Banach-Alaoglu, BX∗ es σ(X∗, X)compacta, entonces el teorema de Krein-Milman nos da el resultado.

Corolario 5.59 El espacio c0 no es el espacio dual de ningun espacionormado.

Demostracion: En el ejemplo 5 al principio de esta seccion vimos queBc0 no tiene puntos extremos. Por lo tanto por el corolario anterior, c0

no es el dual de ningun espacio normado.

Una consecuencia interesante del teorema de Krein-Milman paracompactos convexos K en Rn, es que cada x ∈ K se puede expresarcomo una combinacion convexa de n + 1 puntos extremos. Este resul-tado fue probado por C. Caratheodory y se obtiene usando la siguienteproposicion. La prueba del teorema de Caratheodory se puede hallaren R. Holmes [16].

Proposicion 5.60 Sea A ⊂ Rn, si x ∈ conv(A) entonces x se puedeescribir como combinacion convexa de n + 1 puntos en A.

Demostracion: Probaremos que si x =∑r+1

i=1 λixi con xi ∈ A, λi > 0,∑r+1i=1 λi = 1 y r > n, entonces x es una combinacion convexa de r de

esos vectores. El resultado se sigue entonces por induccion.Como r > n, los vectores xi − xr+1, i = 1, ..., r son linealmente

dependientes y entonces existen numeros reales αi, no todos nulos, talesque

r∑i=1

αi (xi − xr+1) = 0 .

Sea βi = αi para i = 1, 2, ..., r y βr+1 = −∑ri=1 αi. Entonces

r+1∑i=1

βixi = 0 yr+1∑i=1

βi = 0.


Sean m tal que

∣∣∣∣∣βm

λm

∣∣∣∣∣ = max1≤i≤r+1

∣∣∣∣∣βi

λi

∣∣∣∣∣ y γi = λi −βiλm

βm

. Entonces γi ≥ 0,∑r+1i=1 γi =

∑r+1i=1 λi = 1, γm = 0 y

x =r+1∑

i=1,i=m

γixi

que es lo que deseabamos probar.

La siguiente proposicion se conoce tambien como el teorema deKrein-Milman extendido, y de hecho es equivalente a este.

Proposicion 5.61 Si X es un espacio localmente convexo de Haus-dorff, K es un subconjunto compacto convexo de X y F ⊂ K, entoncesE(K) ⊂ F si y solo si K = conv(F ), donde

convF =⋂

{C ⊂ X : F ⊂ C y C es convexo y cerrado} .

Demostracion: Supongamos que E(K) ⊂ F . Usando el teorema deKrein-Milman y como conv(E(K)) = conv(E(K)) (ejercicio 8) se tieneque

K = convE(K) ⊂ conv(F ) ⊂ K.

Consecuentemente, como es claro que conv(F ) = conv(F ), obtenemosque K = conv(F ).

Recıprocamente, si K = conv(F ), entonces K = conv(F ) y podemospor lo tanto suponer que F es un conjunto cerrado. Si x ∈ E(K) \ F,por la proposicion 5.9, existe una vecindad convexa V de 0, tal que(x + V ) ∩ (F + V ) = ∅; por lo tanto x /∈ F + V . Por otra parte, comoF es compacto, existen y1, ..., yk ∈ F tales que

F ⊂k⋃

i=1

(yi + V ) .

Sea Ki = conv (F ∩ (yi + V )) , entonces si 1 ≤ i ≤ k,

Ki ⊂ conv(F ) = K


y por lo tanto es compacto y convexo. Ademas F ⊂k⋃

i=1Ki. De lo

anterior y por la proposicion 5.27 tenemos que

K = conv(F ) = conv(K1 ∪ · · · ∪ Kk) = conv(K1 ∪ · · · ∪ Kk)

y por ende, por el lema 5.28, como x ∈ K, existen xi ∈ Ki y αi ≥ 0,∑ki=1 αi = 1 tales que x =

∑ki=1 αixi. Ahora bien, como x es un punto

extremo, existe i tal que x = xi ∈ Ki (ver ejercicio 18); ademas esfacil ver que Ki ⊂ yi + V ⊂ F + V , es decir x ∈ F + V , que es unacontradiccion.

5.9 Dualidad

Si X es un espacio vectorial topologico, definimos su dual X∗, de lamisma manera que para espacios normados, es decir X∗ es el espaciovectorial de todas las funcionales lineales y continuas en X. Cuando Xes un espacio normado, X∗ es tambien un espacio normado de mane-ra natural. ¿Que pasa con el dual de un espacio vectorial topologico?¿Tendra una topologıa de espacio vectorial topologico relacionada conla de X? La respuesta nos la proporcionan las topologıas debiles, objetocentral de esta seccion.

Si X es un espacio vectorial topologico denotaremos por X ′ a sudual algebraico, es decir al espacio vectorial de todas las funcionaleslineales en X no necesariamente continuas. Entonces X∗ es un subes-pacio vectorial de X ′.

Definiremos en X varias topologıas a partir de los distintos subespa-cios de X ′, en particular la topologıa debil, que se define de la mismamanera que para el caso de espacios normados.

Definicion 5.62 Sean X un espacio vectorial y Y un subespacio deX ′. La topologıa σ(X,Y ) en X es la topologıa que tiene como base localde 0 ∈ X a la coleccion de conjuntos de la forma:

V (f1, ..., fk, ε) =k⋂

i=1

{x ∈ X : |fi(x)| < ε} , (5.17)

donde f1, ..., fk ∈ Y y ε > 0.

5.9. Dualidad 201

Por otro lado se define la topologıa σ (Y,X) en Y como aquella quetiene como base local de 0 ∈ Y a la coleccion de conjuntos de la forma:

V (x1, ..., xk, ε) =k⋂

i=1

{f ∈ Y : |f(xi)| < ε} ,

donde x1, ..., xk ∈ X y ε > 0.

Si X es topologico y Y = X∗, σ(X,X∗) se llama la topologıadebil en X y se denota tambien por w. La topologıa σ(X∗, X) en X∗,generada por los elementos de X, es llamada topologıa debil estrellay tambien se denota por w∗.

Es claro que si τ es la topologıa en X, σ(X,X∗) ⊂ τ.Probaremos ahora que las topologıas definidas arriba efectivamente

son de espacio localmente convexo.

Definicion 5.63 Sean X un espacio vectorial y Y un subespacio deX ′. Diremos que Y separa puntos de X, si para toda x ∈ X, x = 0,existe f ∈ Y con f (x) = 0.

Teorema 5.64 Si X es un espacio vectorial y Y es un subespacio vec-torial de X ′, entonces X con la topologıa σ(X,Y ) es un espacio vecto-rial topologico localmente convexo, cuyo dual es Y. Si ademas Y separapuntos de X, (X, σ(X,Y )) es un espacio de Hausdorff.

Semejantemente, (Y, σ (Y,X)) es un espacio vectorial localmenteconvexo, que siempre resulta ser de Hausdorff y cuyo dual es X, enel sentido de que si F : Y →K es una funcional lineal continua existex ∈ X tal que F (f) = f (x) para toda f ∈ Y, y viceversa, si x ∈ X, Fdefinida mediante F (f) = f (x) es continua.

Demostracion: Sean f1, ..., fn ∈ Y, ε > 0 y V = V (f1, ..., fk, ε) lavecindad definida en (5.17); es facil ver que V es convexa, balanceaday absorbente, que

λV = V (f1, ..., fk, |λ| ε)y que

1

2V +

1

2V = V.


Tambien es claro que si g1, g2, ..., gm ∈ Y y ε1 > 0, entonces

V (f1, ..., fk, g1,...,gm, min (ε, ε1)) ⊂ V (f1, ..., fk, ε) ∩ V (g1, ..., gm, ε1) .

Sea ahora x0 ∈ V (f1, ..., fk, ε) y sea ε1 = ε−max1≤i≤k |fi (x0)| . Entonces

V (f1, ..., fk, ε1) ⊂ x0 + V (f1, ..., fk, ε) ,

ya que si |fi (x)| < ε1 para toda i ∈ {1, 2, ..., k} ,

|fi (x − x0)| < ε − max1≤i≤k

|fi (x0)| + |fi (x0)| < ε

y por lo tanto x− x0 ∈ V (f1, ..., fk, ε) . Podemos aplicar el teorema 5.6y ası obtenemos que σ(X,Y ) es una topologıa de espacio vectorial topo-logico, y como ademas V (f1, ..., fk, ε) es convexa, el espacio es tambienlocalmente convexo.

Probaremos ahora que el espacio dual de (X, σ (X,Y )) es Y. Sif ∈ Y , entonces por definicion es continua. Recıprocamente, si g esuna funcional lineal continua en (X, σ(X,Y )) , existe una vecindadV = V (f1, ..., fk, ε) tal que |g(x)| < 1 para toda x ∈ V . Sea

K = {x ∈ X : f1 (x) = ... = fk (x) = 0} .

Si x ∈ K, |g(x)| < 1, pero x ∈ K implica que nx ∈ K para toda n ∈ Ny entonces

|g (nx)| < 1

para toda n ∈ N, es decir g (x) = 0. Por el lema 4.55, g es una combi-nacion lineal de f1, ... , fn ∈ Y y por ende g ∈ Y.

Supongamos ahora que Y separa puntos de X y sea x ∈ X conx = 0. Entonces existe f ∈ Y con f(x) > 0 y si V = V (f, ε), donde

ε =f(x)

2, claramente x /∈ V. Por lo tanto

{0} =⋂

{V : V es una vecindad de 0}

y usando la proposicion 5.8, (X, σ(X,Y )) es de Hausdorff.

5.9. Dualidad 203

La prueba de que (Y, σ (Y,X)) es un espacio vectorial topologicolocalmente convexo es analoga a la anterior. La demostracion de que(Y, σ (Y,X))∗ = X tambien es igual a la anterior, si observamos que

V (x1, ..., xk, ε) =k⋂

i=1{f ∈ Y : |f (xi)| < ε }

=k⋂

i=1{f ∈ Y : |Fxi

(f)| < ε} ,

donde Fxi: Y →K es la funcional lineal dada por F (f) = f (xi) . Para

demostrar que el espacio (Y, σ (Y,X)) es de Hausdorff , observamos quesi f = 0, entonces siempre existe x ∈ X tal que f (x) = 0 y procedemosigual que en el otro caso.

Notemos que el teorema 5.64 nos dice que el dual de (X, σ (X,X∗))es X∗ y el de (X∗, σ(X∗, X)) es X.

Seguiremos denotando por A a la cerradura de A en la topologıaoriginal y por A

wa la cerradura debil de A. En el capıtulo anterior

ya nos habıamos planteado la pregunta de cuando ambas cerradurascoinciden. A este respecto probaremos la proposicion 4.61 que enun-ciamos en el capıtulo anterior, en el contexto mas general de espacioslocalmente convexos.

Proposicion 5.65 Sea (X, τ) un espacio localmente convexo. SiA ⊂ X es convexo, entonces A = A

w. En consecuencia un subconjunto

convexo de X es cerrado si y solo si es debilmente cerrado.

Demostracion: Como la cerradura de un conjunto A es la interseccionde todos los conjuntos cerrados que contienen a A y σ(X,X∗) ⊂ τ,tenemos que A ⊂ A

w. Para ver la otra inclusion, sea x /∈ A. Por el

corolario 5.50 existen x∗ ∈ X∗ y α y β reales tales que

Rex∗(a) < α < β < Rex∗(x)

para toda a ∈ A.


Si C = {y ∈ X : Rex∗(y) ≤ α} , entonces A ⊂ C. Como x∗ esdebilmente continua, C es debilmente cerrado. Por lo tanto A

w ⊂ C ycomo x /∈ C, esto implica que x /∈ A

w, y consecuentemente A

w ⊂ A.

Si X es un espacio normado, entonces

{f ∈ X∗ : |f (x)| ≤ 1 para toda x ∈ BX}

es la bola unitaria de X∗. Esta construccion se puede generalizar alcontexto en el que X es un espacio vectorial, considerando en vez de BX

un subconjunto A cualquiera de X y en vez de X∗ un subespacio Y deX ′, dando lugar al concepto de la polar de un conjunto A. Esta nocionha probado ser de gran utilidad en la definicion de nuevas topologıaslocalmente convexas.

Definicion 5.66 Sean X un espacio vectorial sobre Ky Y un subes-pacio de X ′. Si A ⊂ X la polar de A respecto a Y se define por

Ao = {f ∈ Y : |〈f, x〉| ≤ 1 para toda x ∈ A} .

Si B ⊂ Y, la prepolar de B se define por

oB = {x ∈ X : |〈f, x〉| ≤ 1 para toda f ∈ B} .

En general quedara claro del contexto de cual subespacio Y de X ′

estamos hablando y por eso escribiremos Ao y oB independientementede que Y se trate.

Ejemplo

Si A es un subespacio vectorial de X y Y = X ′, entonces Ao = A⊥ ysi B es un subespacio de Y, oB = B⊥.

El siguiente resultado resume las propiedades basicas de las polaresy de las prepolares.

Proposicion 5.67 Sean X un espacio vectorial sobre K, Y un subes-pacio de X ′, A ⊂ X y B ⊂ Y. Entonces

5.9. Dualidad 205

(a) Ao =⋂ {{x}o : x ∈ A} .

(a’) oB =⋂ {o {x} : x ∈ B} .

(b) Ao es un conjunto convexo y balanceado.

(b’) oB es un conjunto convexo y balanceado.

(c) A ⊂ o (Ao) , que denotaremos por oAo.

(c’) B ⊂ ( oB)o , que denotaremos por oBo.

(d) Si A ⊂ A1 ⊂ X, entonces Ao1 ⊂ Ao.

(d’) Si B ⊂ B1 ⊂ Y, entonces oB1 ⊂ oB.

(e) Ao = (oAo)o .

(e’) oB = o (oBo) .

(f) Si Aα ⊂ X , entonces (⋃

α Aα)o =⋂

α Aoα.

(f’) Si Bα ⊂ Y, entonces o (⋃

α Bα) =⋂

αoBα.

(g) Si λ = 0, entonces (λA)o =1

λAo.

(g’) Si λ = 0, entonces o (λB) =1

λ(oB) .

(h) Ao es σ (Y,X) cerrado.

(h’) oB es σ (X,Y ) cerrado.

Demostracion: Solo demostraremos los incisos concernientes a laspolares; las afirmaciones sobre las prepolares se prueban analogamente.(a) y (a’) se siguen directo de las definiciones.(b) Por (a) es suficiente probar la afirmacion cuando A = {x} . En estecaso

Ao = {f ∈ Y : |f (x)| ≤ 1}y este conjunto es evidentemente convexo y balanceado.(c) Si x ∈ A y f ∈ Ao, entonces |〈f, x〉| ≤ 1 y por lo tanto x ∈ o (Ao) .


(d) Si g ∈ Ao1, entonces |〈g, x〉| ≤ 1 para toda x ∈ A1. Como A ⊂ A1,

|〈g, x〉| ≤ 1 para toda x ∈ A y entonces g ∈ Ao.

(e) De (c’) tenemos que Ao ⊂ (o (Ao))o y por (c) y (d) obtenemos que(o (Ao))o ⊂ Ao, lo cual prueba el resultado.

(f) y (f’). Las pruebas son directas de las definiciones.

(g) Sea λ = 0 entonces f ∈ (λA)o si y solo si |〈f, λx〉| ≤ 1 para toda

x ∈ A, si y solo si |〈λf, x〉| ≤ 1 para toda x ∈ A, si y solo si f ∈ 1

λAo.

(h) Por (a) es suficiente probar la afirmacion para A = {x} con x ∈ X.En este caso Ao = {f ∈ Y : |f (x)| ≤ 1} que es obviamente σ (Y,X)cerrado.

Al tomar la prepolar de la polar de un conjunto A ⊂ X, obtenemosnuevamente un conjunto en X. Sabemos por (c) que A ⊂ oAo, ¿perohabra una relacion mas estrecha entre estos dos conjuntos?

Definicion 5.68 Sea X un espacio vectorial y A ⊂ X. La envolventeconvexa y balanceada de A es la interseccion de todos los conjuntosbalanceados y convexos que contienen a A.

Teorema 5.69 (de la bipolar) Sean X un espacio vectorial, Y unsubespacio de X ′ y consideremos en X la topologıa σ(X,Y ). Si A ⊂ X,entonces oAo es la cerradura de la envolvente convexa y balanceada deA.

Similarmente, si en Y consideramos la topologıa σ(Y,X) y B ⊂ Y,entonces oBo es la cerradura de la envolvente convexa y balanceada deB.

Demostracion: Si denotamos por C a la cerradura de la envolventeconvexa y balanceada de A, de la proposicion 5.67 (b’) y (h’), obtene-mos que oAo es un conjunto cerrado, convexo y balanceado y por lotanto C ⊂ oAo. Para probar la otra inclusion, supongamos que x0 /∈ C.Entonces por el corolario 5.50, existen f ∈ Y y α ∈ R tales que paratoda x ∈ C

Re 〈f, x〉 < α < Re 〈f, x0〉 .

5.9. Dualidad 207

En particular, como 0 ∈ C, 0 = Re 〈f, 0〉 < α. Por lo tanto si f1 =1

αf,

tenemos que para toda x ∈ C

Re 〈f1, x〉 < 1 < Re 〈f1, x0〉 . (5.18)

Como C es balanceado, si x ∈ A, 〈f1, x〉 = 0 y eiθ es tal que

1 =eiθ 〈f1, x〉|〈f1, x〉|

=

⟨f1, e

iθx⟩

|〈f1, eiθx〉| ,

entonces eiθx ∈ C y por (5.18),

|〈f1, x〉| =∣∣∣⟨f1, e

iθx⟩∣∣∣ = Re

⟨f1, e

iθx⟩

< 1.

Por lo tanto f1 ∈ Ao y por ende, de la segunda desigualdad en (5.18),se sigue que x0 /∈ oAo. Hemos probado ası que oAo ⊂ C.

Corolario 5.70 Si X es un espacio localmente convexo, Y = X∗ yA ⊂ X entonces oAo es la cerradura en la topologıa original de laenvolvente convexa y balanceada de A.

Demostracion: Se sigue inmediatamente de la proposicion 5.65.

El teorema de Goldstine, que enunciamos en el capıtulo 4 es otraconsecuencia del teorema 5.69.

Teorema 5.71 (de Goldstine) Para todo espacio normado X, j(BX)es σ(X∗∗, X∗) densa en BX∗∗ , donde j : X → X∗∗denota la inyeccioncanonica.

Demostracion: Es facil ver que (oj(BX))o = BX∗∗ . Entonces, comoj(BX) es convexa y balanceada, el resultado deseado es consecuenciade la segunda parte del teorema 5.69 tomando Y = X∗.

El siguiente resultado es la version del teorema de Banach-Alaoglupara espacios vectoriales topologicos. La demostracion que dimos parael caso de espacios normados se puede generalizar a este contexto y sela dejamos al lector (ver por ejemplo [27]).


Teorema 5.72 (Banach-Alaoglu) Sean X un espacio vectorial to-pologico y V ⊂ X una vecindad de 0. Entonces V o ⊂ X∗ es σ(X∗, X)compacta.

Sabemos que los unicos espacios normados tales que la topologıadebil (o la topologıa debil estrella) es metrizable, son los de dimensionfinita; veremos cual es la situacion para espacios vectoriales topologicosen general.

Proposicion 5.73 Sea X un espacio vectorial topologico cuyo dual X∗

separe puntos de X.

(a) (X, σ(X,X∗)) es metrizable si y solo si X∗ tiene una base de Hamelfinita o numerable.

(b) (X∗, σ(X∗, X)) es metrizable si y solo si X tiene una base deHamel finita o numerable.

Demostracion: Como las dos pruebas son semejantes solo haremos lade (b).(b) Si X∗ es σ(X∗, X) metrizable, tiene una base local de 0 numerable

{Un}∞n=1 y dada n existen An ={xn

1 , ..., xnk(n)

}⊂ X y rn ∈ Q tales que

{x∗ ∈ X∗ : |〈x∗, xni 〉| < rn para toda i = 1, ..., k (n)} ⊂ Un.

Sea A =⋃∞

n=1 An, entonces A es una sucesion en X, que denotaremospor {yn}∞n=1 , tal que para toda σ(X∗, X) vecindad del cero, U, existenn(U) y rU ∈ Q tales que V (y1, ..., yn(U), rU) ⊂ U. En particular, paratoda x ∈ X existen n(x) y rx tales que

V (y1, ..., yn(x), rx) ⊂ V (x, 1).

Por lo tanto para toda ε > 0,

V (y1, ..., yn(x), εrx) ⊂ V (x, ε). (5.19)

Sea j : X → (X∗)′ la inyeccion lineal dada por 〈jx, x∗〉 = 〈x∗, x〉 donde(X∗)′ es el dual algebraico de X∗. De 5.19 obtenemos que

n(x)⋂i=1

ker jyi ⊂ ker jx

5.9. Dualidad 209

y aplicando el lema 4.55 que jx es combinacion lineal de jy1, ..., jyn(x)

y por ende que x es combinacion lineal de y1, ..., yn(x). En consecuencia⋃x∈X

{y1, y2, ..., yn(x)

}⊂ A

contiene una base de Hamel de X, que puede ser finita o numerable.Recıprocamente, si {xn}n∈I , donde I es finito o numerable, es una

base de Hamel de X, veremos que las vecindades V (x1, ...xn, r), conr ∈ Q, n ∈ I, forman una base local de 0 numerable. Supongamos queV (u1, ..., um, r ) es una vecindad de 0 y que para i = 1, ...,m

ui =n∑

j=1

α(i)j xj.

Es facil ver que si r′ ∈Q es tal que r′ <r

max1≤i≤m

∑nj=1

∣∣∣α(i)j

∣∣∣ , entonces

V (x1, ..., xn, r′) ⊂ V (u1, ..., um, r ) .

Aplicando ahora el teorema 5.42, se obtiene que (X∗, σ(X∗, X)) esmetrizable.

El siguiente resultado es la version del teorema 4.67 para espaciosvectoriales topologicos; la demostracion es semejante a la del caso nor-mado.

Teorema 5.74 Sea X un espacio vectorial topologico separable. SiK ⊂ X∗ es σ(X∗, X) compacto entonces K es σ(X∗, X) metrizable.

De este teorema se deduce el siguiente corolario.

Corolario 5.75 Sean X un espacio vectorial topologico separable y Vuna vecindad de 0. Toda sucesion en V o ⊂ X∗ tiene una subsucesionσ(X∗, X) convergente.

Demostracion: Por el teorema de Banach Alaoglu, V o es σ (X∗, X)compacto y por lo tanto, por el teorema anterior, es metrizable. Pero


es bien sabido que los compactos metrizables son secuencialmente com-pactos, lo cual prueba la afirmacion.

Finalizaremos esta seccion con la demostracion de que en cualquierespacio localmente convexo de Hausdorff coinciden los conjuntos aco-tados y los conjuntos debilmente acotados, para lo cual nos servira elsiguiente lema:

Lema 5.76 Sean X un espacio vectorial, Y un subespacio de X ′ yA ⊂ X, entonces son equivalentes:

(i) A es σ(X,Y ) acotado.

(ii) supx∈A

|〈f, x〉| < ∞ para toda f ∈ Y.

Demostracion: Recordemos que A es acotado si y solo si para todavecindad V de cero existe λ > 0 tal que λA ⊂ V.(i)⇒(ii) Supongamos que A es σ(X,Y ) acotado y sea f ∈ Y. En-tonces existe λ > 0 tal que λA ⊂ {x ∈ X : |〈f, x〉| < 1} y por lo tanto

supx∈A

|〈f, x〉| ≤ 1

λ< ∞.

(ii)⇒(i) Supongamos que supx∈A

|〈f, x〉| < ∞ para toda f ∈ Y. Dada

U = {x ∈ X : |〈fi, x〉| < ε, fi ∈ Y, i = 1, ..., k} ,

sea λ = max1≤i≤k

(supx∈A

|〈fi, x〉|)

. Entoncesε

2λA ⊂ U.

Proposicion 5.77 Sea (X, τ) un espacio vectorial localmente convexode Hausdorff. A ⊂ X es τ acotado si y solo si es σ(X,X∗) acotado.

Demostracion: Como toda vecindad debil de 0 es una vecindad enla topologıa τ , es claro que los conjuntos τ acotados son w acotados.Supongamos entonces que A ⊂ X es w acotado y sea U una τ vecindadde 0. Por las proposiciones 5.30 y 5.7 existe V una τ vecindad de 0 con-vexa y balanceada con V ⊂ U. De la proposicion 5.67 y el teorema 5.72obtenemos que V o es un subconjunto de X∗ convexo y w∗ compacto.Por otra parte, por el corolario 5.70,

V = oV o = {x ∈ X : |〈x∗, x〉| ≤ 1 para toda x∗ ∈ V o} . (5.20)

5.10. Espacios cociente 211

Ahora bien, como A es w acotado, sabemos por el lema anterior quepara toda x∗ ∈ X∗, y en particular para toda x∗ ∈ V o, existe Mx∗ < ∞tal que

supx∈A

|〈x∗, x〉| ≤ Mx∗ .

Como (X∗, σ (X∗, X)) es de Hausdorff (teorema 5.64), usando el princi-pio de acotamiento uniforme (teorema 5.18) con K = V o y G = j (A) ,donde j es la inyeccion canonica, existe M < ∞ con

supx∈A

|〈x∗, x〉| ≤ M para toda x∗ ∈ V o. (5.21)

Entonces de (5.20) y (5.21) obtenemos que para toda x ∈ A,

1

Mx ∈ V ⊂ U

y por ende A ⊂ MU. Esto prueba que A es un conjunto τ acotado.

5.10 Espacios cociente

En el capıtulo anterior definimos el cociente de espacios de Banach, quedotado con la norma cociente es a su vez un espacio de Banach, y dimosuna caracterizacion de su espacio dual. En esta seccion generalizaremosestas nociones para espacios vectoriales topologicos.

Recordemos que la funcion cociente q : X → X/Y es la funcionlineal que manda a x ∈ X a su clase de equivalencia en X/Y .

Definicion 5.78 Sean (X, τ) un espacio vectorial topologico y Y unsubespacio de X. El espacio cociente de X y Y es el espacio vectorialX/Y con la topologıa cociente τq dada por

τq ={A ⊂ X/Y : q−1 (A) ∈ τ

}.

Se puede ver que el espacio cociente ası definido es un espacio vec-torial topologico, lo cual se deja como ejercicio al lector (ejercicio 4).

El siguiente resultado nos da una descripcion de las bases locales deespacios cociente.


Lema 5.79 Sea Y un subespacio de un espacio vectorial topologico(X, τ) . Si τq es la topologıa cociente en X/Y entonces:

(a) q : X → X/Y es una funcion continua y abierta.

(b) Si V es una base local de 0 para τ, entonces {q (U) : U ∈ V} es unabase local de 0 para τq, formada por conjuntos convexos cuandolos elementos de V lo son. Esto implica que si X es localmenteconvexo, entonces X/Y tambien es localmente convexo.

Demostracion:

(a) La continuidad se deduce directamente de la definicion de τq. Seaahora U ∈ τ ; como q−1 (q(U)) = U + Y y U + Y es tambien un abiertoen τ , obtenemos que q(U) ∈ τq y entonces q es abierta.

(b) Es consecuencia directa de que q es una funcion abierta y lineal.

El que un espacio cociente X/Y sea de Hausdorff, depende exclusi-vamente de Y y no de X:

Proposicion 5.80 Sea Y un subespacio de un espacio vectorial topo-logico X. El espacio cociente X/Y es de Hausdorff si y solo si Y escerrado.

Demostracion: Si X/Y es Hausdorff entonces el 0 de este espacio escerrado y por lo tanto q−1(0) = Y es cerrado.

Recıprocamente, supongamos que Y es cerrado y sea x = x+Y = 0en X/Y. Entonces x /∈ Y y X \ Y es una vecindad de x en X. Como qes una funcion abierta, q(X \ Y ) es una vecindad de x que no contienea cero. Por la proposicion 5.7 existe una vecindad cerrada de x que nocontiene a cero y por la proposicion 5.8 (iv), obtenemos que X/Y esde Hausdorff.

Los espacios de codimension n se definen de manera semejante a losde codimension 1; a saber, un subespacio Y de un espacio vectorial Xtiene codimension n, si existe un subespacio F de X de dimension ntal que X = Y

⊕a F.

5.10. Espacios cociente 213

Corolario 5.81 Sean X un espacio vectorial topologico y H un sub-espacio cerrado de codimension n de X. Entonces X/H es isomorfo aKn.

Demostracion: Veremos primero que X/H tiene dimension n. SeaF un subespacio de X de dimension n tal que X = H

⊕a F y sea

{fi}ni=1 una base de F. Es facil ver que

{fi

}n

i=1resulta ser base de X/H.

Como H es cerrado, X/H es de Hausdorff y aplicando el corolario 5.21llegamos al resultado deseado.

Los espacios cociente de espacios metrizables y normables heredanestas propiedades siempre y cuando Y sea un subespacio cerrado.

Proposicion 5.82 Sea Y un subespacio cerrado de un espacio vectorialtopologico X. Entonces

(a) Si (X, τ) es metrizable, (X/Y, τq) tambien es metrizable.

(b) Si (X, τ) es normable, (X/Y, τq) tambien es normable.

Demostracion:(a) Por (b) del lema 5.79 tenemos que si X tiene una base local nu-merable, X/Y tambien tiene una base local numerable y entonces elresultado se sigue del teorema 5.42.(b) Sea q : X → X/Y la funcion cociente. Por el teorema 5.44, X tieneuna vecindad de 0 convexa y acotada U ; por el lema 5.79 y el teorema5.45 q(U) es una vecindad convexa y acotada de 0 en X/Y y entonces,otra vez por el teorema 5.44, es normable.

Para finalizar, mencionaremos que los espacios duales de espacioscociente y subespacios de espacios vectoriales topologicos, se carac-terizan de la misma manera que aquellos de espacios normados. Lasdemostraciones son analogas.

Teorema 5.83 Sean X un espacio vectorial topologico y Y un subespa-cio de X. Entonces existe una biyeccion lineal Φ : (X/Y )∗ → Y ⊥ quees un homeomorfismo con respecto a las topologıas σ ((X/Y )∗ , X/Y ) yσ (X∗, X) restringida a Y ⊥.


Teorema 5.84 Sean X un espacio localmente convexo y Y un subespa-cio de X. Entonces existe una biyeccion lineal Ψ : X∗/Y ⊥ → Y ∗ quees un homeomorfismo con respecto a la topologıa cociente en X∗/Y ⊥

inducida por σ (X∗, X) y la topologıa σ (Y ∗, Y ) en Y ∗.

5.11 Ejercicios

1. Sea f una funcional lineal distinta de cero en un espacio vectorialtopologico de Hausdorff X. f es continua si y solo si la imagenbajo f de algun subconjunto abierto no vacıo es un subconjuntopropio de K.

2. Si (X, τX) y (Y, τY ) son dos espacios vectoriales topologicos ydotamos al espacio X ⊕a Y con la topologıa producto τX × τY ,este resulta ser un espacio vectorial topologico, denotado X ⊕ Y .

3. Sean X, Y y Z espacios vectoriales topologicos tales queX = Y ⊕a Z. Demuestre que X = Y ⊕ Z si y solo si las proyec-ciones ΠY y ΠZ son continuas.

4. El cociente de espacios vectoriales topologicos con la topologıacociente es un espacio vectorial topologico.

5. Si X es un espacio vectorial topologico, entonces toda funcionallineal distinta de cero es abierta.

6. Si Y y Z son subespacios cerrados de un espacio vectorial topo-logico de Hausdorff X con Y ∩ Z = {0} y Y de dimension finita,entonces Y ⊕ Z es un subespacio cerrado de X.

7. Si E es un espacio vectorial sobre K y A ⊂ E, entonces

convA =⋂

{C ⊂ E : A ⊂ C y C es convexo} .

8. Si E es un espacio vectorial topologico y A ⊂ E, entonces

convA = convA.


9. Si E es un espacio vectorial topologico y A ⊂ E, entonces A esconvexo y balanceado si y solo si para toda x, y ∈ A y λ, μ ∈ Kcon |λ| + |μ| ≤ 1 se tiene que λx + μy ∈ A.

10. Pruebe que si K es un conjunto compacto en un espacio vectorialtopologico locamente convexo de Hausdorff y completo, entoncesconvK = convK es un conjunto compacto.

11. Si P = {ρi : i = 1, 2, ...} es una sucesion de seminormas en unespacio vectorial X que separa puntos de X, entonces d : X×X →R+ definida de la siguiente manera:

d(x, y) =∞∑i=1

2−iρi(x − y)

1 + ρi(x − y)

es una metrica invariante.

12. Sean A y B = ∅ subconjuntos convexos de un espacio vecto-rial topologico real tales que intA = ∅ y B ∩ intA = ∅. En-tonces existe un hiperplano cerrado que los separa, es decir existenf : X → R lineal y continua y α ∈ R tales que para toda a ∈ intAy b ∈ B, f(a) < α ≤ f (b) .

13. Si X es un espacio vectorial y Y es un conjunto de funcionaleslineales en X, pruebe que la mınima topologıa σ(X,Y ) que hacecontinuos a los elementos de Y y la topologıa generada por lafamilia de seminormas {|f | : f ∈ Y } son iguales.

14. Si X es un espacio vectorial localmente convexo complejo, latopologıa debil en X es la misma que la topologıa debil al con-siderar a X como espacio vectorial real. Es decir

σ(X,X∗) = σ(X,X∗R),

donde X∗R

denota al espacio de todas las funcionales r-linealescontinuas.

15. Si X es localmente convexo, muestre que X es separable si y solosi es debilmente separable.


16. (Teorema de Helly) Sean X un espacio normado sobre K,M > 0, x∗

1, ..., x∗n ∈ X∗ y α1, ..., αn ∈ K. Pruebe que son equiva-

lentes:

(i) Para toda ε > 0, existe xε ∈ X, tal que ‖xε‖ ≤ M + ε yx∗

i (xε) = αi para i = 1, ..., n.

(ii) Para cualesquiera a1, ..., an ∈ K, |∑ni=1 aiαi| ≤ M ‖∑n

i=1 aix∗i ‖ .

(Sugerencia: para probar la implicacion (ii)⇒(i), demuestre pri-mero que se puede suponer que los vectores x∗

1, ..., x∗n ∈ X∗ son

linealmente independientes; a continuacion pruebe que la funcionT : X → Kn dada por T (x) = (x∗

1(x), ..., x∗n(x)) es lineal, suprayec-

tiva y continua y deduzca del teorema de la funcion abierta que0 ∈ intT (Kε), donde Kε = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ M + ε} . Finalmente,use el teorema de Hahn-Banach para probar que existe x ∈ Kε

que satisface (i)).

17. Sea X un espacio normado debilmente completo, entonces X tienedimension finita. (Sugerencia: Use el ejercicio anterior y el ejer-cicio 7 del capıtulo 4).

18. Sean X un espacio vectorial sobre K y C ⊂ X un conjunto con-vexo. Entonces x ∈ C es un punto extremo de C si y solo si laigualdad x =

∑ki=1 αixi con αi ≥ 0,

∑ki=1 αi = 1, xi ∈ C implica

que x = xi para alguna i ∈ {1, ..., k} .

Capıtulo 6

Geometrıa de espacios deBanach

6.1 Bases de Schauder

En el estudio de los espacios vectoriales es muy importante el conceptode bases de Hamel; sin embargo este concepto esta ligado unicamentea la estructura vectorial del espacio y en el caso de los espacios deBanach tenemos una estructura mas rica. Para explicar lo que queremosdecir, supongamos que {xi}i∈A es una base de Hamel en un espacio deBanach real X y x ∈ X; entonces x =

∑i∈A aixi donde {ai}i∈A ⊂ R y

ai = 0 excepto para un conjunto finito de ındices. Si existe una sucesion{zn}∞n=1 con

zn =∑i∈A

a(n)i xi

donde a(n)i ∈ R vale cero excepto para un conjunto finito de i ∈ A

y limn→∞ zn = x, en general no es cierto que la sucesion{a

(n)i

}∞n=1

converge a ai lo cual serıa deseable. Por ejemplo, si X es el espaciode Banach l∞ definido en el capıtulo 4 y denotamos por {fn}∞n=1 a la

217

218 6. Geometrıa de espacios de Banach

sucesion:

f1 = (1, 1, ..., 1, ...)

f2 =(1,

1

2,1

2, ...,

1

2, ...)

f3 =(0,

1

2,1

4,1

4, ...

1

4, ...)

..............................................

fn =(0, 0, ..., 0

n−2,

1

2n−2,

1

2n−1, ...,

1

2n−1, ...)

................................................

no es difıcil ver que {fn}∞n=1 es un conjunto linealmente independiente,que la sucesion {yn}∞n=1 definida mediante

yn = f1 −n+1∑i=2

fi

converge a 0 en l∞, y que sin embargo la i-esima coordenada de yn

converge a −1 para i ≥ 2.Es natural entonces pensar en una nocion de base que este rela-

cionada con la norma particular que este espacio posee. Algo semejantese hizo ya en el capıtulo de espacios de Hilbert donde las bases que sonacordes con su estructura resultan ser las bases ortonormales.

6.1.1 Generalidades

Las bases en espacios de Banach que vamos a definir a continuacion,se llaman bases de Schauder, aunque en el resto de este capıtulo seranllamadas bases a secas, pues seran las unicas que manejaremos. Esimportante notar, que a diferencia de las bases de Hamel, no es ciertoque todo espacio de Banach tenga una base de Schauder, lo cual veremosmas adelante.

Definicion 6.1 Una sucesion {xn}∞n=1 en un espacio de Banach X sellama una base de Schauder de X si para toda x ∈ X existe una

6.1. Bases de Schauder 219

sucesion unica de escalares {an}∞n=1 ⊂ K, donde K es ya sea R o C,tal que

limn→∞

∥∥∥∥∥x −n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ = 0.

Una sucesion {xn}∞n=1 en X que es una base de Schauder de lacerradura del espacio vectorial generado por {xn}∞n=1, se llama unasucesion basica.

Si {xn}∞n=1 es una sucesion basica y existe M ∈ R tal que para todan ∈ N

1

M≤ ‖xn‖ ≤ M,

entonces la sucesion se llama seminormalizada; si ‖xn‖ = 1 para todan ∈ N, entonces la sucesion se llama normalizada.

Esta definicion nos permite identificar a todo espacio de Banach conbase con un espacio de sucesiones, haciendo corresponder ax =

∑∞i=1 aixi la sucesion {an}∞n=1 ⊂ K; si la base ademas es semi-

normalizada, la sucesion converge a cero.

Lema 6.2 Si {xn}∞n=1 es una sucesion basica seminormalizada en unespacio de Banach X, y x =

∑∞n=1 anxn ∈ X, entonces limn→∞ an = 0.

Demostracion: Sea x =∑∞

n=1 anxn ∈ X y supongamos que

1

M< ‖xn‖ < M.

Entonces {‖∑mi=1 aixi‖}∞m=1 es una sucesion de Cauchy, es decir dada

ε > 0, existe N tal que si m ≥ n > N,∥∥∥∥∥m∑

i=n

aixi

∥∥∥∥∥ < ε.

En particular si n = m > N, |an| ‖xn‖ < ε y de aquı, si n > N,

|an| < Mε,

de lo cual se sigue que limn→∞ an = 0.

Hay otras maneras equivalentes para definir una base, pero parapoder hacerlo, primero necesitamos el lema siguiente:


Lema 6.3 Sea {xn}∞n=1 una sucesion en un espacio de Banach X talque xn = 0 para toda n y sea

Y =

{{an}∞n=1 ⊂ K :

∞∑n=1

anxn es convergente

}.

Entonces Y equipado con la norma∣∣∣∥∥∥{an}n∈N

∥∥∥∣∣∣ = supN

∥∥∥∑Nn=1 anxn

∥∥∥es un espacio de Banach.

Demostracion: Si y = {an}∞n=1 ∈ Y, por la definicion de este espacio,dada ε > 0 existe L ∈ N tal que si m,n > L,∥∥∥∥∥

m∑i=n

aixi

∥∥∥∥∥ < ε,

de manera que si N > L,∥∥∥∥∥N∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

L∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥+ ε.

Consecuentemente |‖·‖| esta bien definida. Es claro que Y es un espaciovectorial y que |‖·‖| define una norma en Y. Sea ahora {ym}∞m=1 unasucesion de Cauchy en (Y, |‖·‖|) donde

ym ={a(m)

n

}∞n=1

.

Entonces dado ε > 0, existe M ∈ N tal que si r,m > M,

supN

∥∥∥∥∥N∑

n=1

(a(r)

n − a(m)n

)xn

∥∥∥∥∥ < ε.

En particular se tiene que para cada n,∣∣∣a(r)

n − a(m)n

∣∣∣ <2ε

‖xn‖siempre

que r,m > M, y por consiguiente{a(m)

n

}∞m=1

es una sucesion de Cauchy

que converge a un lımite que llamaremos an.Sea y = {an}∞n=1. Entonces si m > M y M1 > M es tal que para

p, k > M1 tenemos∥∥∥∑k

n=p+1 a(m)n xn

∥∥∥ < ε,∥∥∥∑kn=p+1 anxn

∥∥∥ ≤ ∥∥∥∑kn=1

(an − a(m)

n

)xn

∥∥∥+

+∥∥∥∑k

n=p+1 a(m)n xn

∥∥∥+∥∥∥∑p

n=1

(an − a(m)

n

)xn

∥∥∥ ≤ 3ε,


de manera que y pertenece a Y. Es ahora trivial verificar quey = limm ym y con esto hemos probado que Y con la norma dada esun espacio completo.

Corolario 6.4 Sean (X, ‖·‖) un espacio de Banach con base {xn}∞n=1

y x =∑∞

n=1 anxn ∈ X. Sea |‖·‖| la norma definida en el lema anteriorcomo

|‖x‖| = supN

∥∥∥∥∥N∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ .

Entonces existe M tal que

‖x‖ ≤ |‖x‖| ≤ M ‖x‖ .

Demostracion: Es inmediato que ‖x‖ ≤ |‖x‖| . Si definimos ahoraT : (X, |‖·‖|) → (X, ‖·‖) como Tx = x para toda x ∈ X, entonces T esun operador biyectivo y continuo y aplicando el teorema de la funcioninversa, esto implica que T−1 es tambien un operador continuo, es decirexiste M ∈R tal que

|‖x‖| =∣∣∣∥∥∥T−1x

∥∥∥∣∣∣ ≤ M ‖x‖ ,

y esto concluye la prueba. Como |‖x‖| ≥ ‖x‖ , es claro que M ≥ 1.

Antes de enunciar el siguiente resultado es conveniente recordar elconcepto de proyeccion en un espacio de Banach:

Definicion 6.5 Sea X un espacio de Banach. Diremos que un opera-dor P : X → X es una proyeccion acotada si P es un operador acotadotal que P ◦ P = P.

Observemos que si P = 0 y x ∈ X, ‖Px‖ = ‖PPx‖ ≤ ‖P‖ ‖Px‖ ,es decir

‖P‖ ≥ 1. (6.1)

Lema 6.6 Sean X un espacio de Banach y P : X → X una proyeccionacotada; entonces PX es un subespacio cerrado de X.


Demostracion: Sea {xn}∞n=1 ⊂ X tal que Pxn −→n→∞

x ∈ X. Como P

es continuaPxn = PPxn −→

n→∞Px.

Por lo tanto x = Px y PX es cerrado.

El concepto de base de Schauder esta ıntimamente ligado con el decierta sucesion de proyecciones como vamos a constatar en la proposicion6.7 y en el corolario 6.13.

Proposicion 6.7 Sea X un espacio de Banach con una base {xn}∞n=1 .Entonces los operadores Pn dados para cada n por

Pn

∞∑i=1

aixi =n∑

i=1

aixi

para toda x =∑∞

i=1 aixi ∈ X, son unas proyecciones acotadas y

supn ‖Pn‖ < ∞.

Al numero sup n ‖Pn‖ se le llama la constante de base de {xn}∞n=1 ya las proyecciones Pn se les llama las proyecciones asociadas a labase. Ademas, si x =

∑∞i=1 aixi, entonces

x = limn→∞

Pnx.

Analogamente se define la constante de base para un espacio dedimension finita.

Por la observacion (6.1), resulta que la constante de base siemprees mayor o igual a 1; si la constante de base vale 1, la base se llamamonotona.

Demostracion: Es claro a partir de la definicion que Pn ◦ Pn = Pn,es decir para cada n, Pn es una proyeccion. Sean |‖·‖| y M como en elcorolario 6.4. Entonces∥∥∥∥∥Pn

∞∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

∞∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣ ≤ M

∥∥∥∥∥∞∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ,


o sea que ‖Pn‖ ≤ M. Si x =∑∞

i=1 aixi, por definicion x = limn→∞

∑ni=1 aixi,

lo cual prueba la ultima afirmacion.

Observacion: Si {xn}∞n=1 es una sucesion basica en X, entonces esuna base del espacio [xn]∞n=1 y al hablar de las proyecciones asociadas aesta sucesion nos referiremos a las proyecciones Pn : [xn]∞n=1 → [xn]∞n=1

dadas igual que arriba por Pn∑∞

i=1 aixi =∑n

i=1 aixi, y la constante debase de {xn}∞n=1 se define como sup n ‖Pn‖ .

Ya probamos en el lema 6.2 que si tenemos una sucesion basicaseminormalizada, entonces los coeficientes de cualquier elemento x ex-presado en terminos de esta base tienden a cero. Esto desde luegoimplica que la sucesion de coeficientes esta acotada. El lema 6.8, nospermite dar dicha cota en funcion de la constante de base :

Lema 6.8 Sea {xn}∞n=1 una sucesion basica en un espacio de Banachcon constante de base K. Entonces si x =

∑∞n=1 anxn ∈ [xn]∞n=1 ,

|an| ‖xn‖ ≤ 2K ‖x‖ .

Si {xn}∞n=1 ademas es seminormalizada y para cada n

1

M≤ ‖xn‖ ≤ M,

entoncessup

n|an| ≤ 2KM ‖x‖ .

Demostracion: Sea x =∑∞

n=1 anxn. Entonces para cada n ≥ 1, siconvenimos que

∑0i=1 aixi = 0,

|an| ‖xn‖ ≤∥∥∥∑n

i=1 aixi −∑n−1i=1 aixi

∥∥∥ ≤ ‖∑ni=1 aixi‖ +

∥∥∥∑n−1i=1 aixi

∥∥∥ =

= ‖Pnx‖ + ‖Pn−1x‖ ≤ 2K ‖x‖

y esto prueba la primera parte del lema; la segunda es inmediata.


El lema anterior se puede interpretar de la manera siguiente: si{xn}∞n=1 es una sucesion basica en X y si para cada n definimosfn : [xi]

∞i=1 → K mediante

fn

∞∑i=1

aixi = an,

o equivalentemente mediante

fn (xi) =

{1 si i = n0 si i = n

entonces fn es una funcional acotada con

‖fn‖ ≤ 2K

‖xn‖.

A las funcionales fn : [xn]∞n=1 →R se les denota por x∗n, n = 1, 2, ..., y

se les llama funcionales coeficiente o funcionales biortogonalesasociadas a la sucesion {xn}∞n=1 .

De lo anterior es claro que si {xn}∞n=1 es una base en X y x ∈ X,entonces podemos escribir

x =∞∑

n=1

x∗n (x) xn. (6.2)

A partir de la continuidad de las funcionales coeficiente es inmediatala demostracion del comentario que hicimos al principio de este capıtulorespecto a espacios con base de Schauder.

Lema 6.9 Si X es un espacio de Banach con base {xn}∞n=1 y si {zm}∞m=1

es una sucesion en X tal que limm→∞ zm = x ∈ X, entonces

limm→∞

x∗n (zm) = x∗

n (x) .

El hecho de que una sucesion {xn}∞n=1 sea una base o no, quedadeterminado por su comportamiento en los subespacios [xi]

ni=1 como

muestra el teorema siguiente:


Teorema 6.10 Sea {xn}∞n=1 una sucesion en un espacio de BanachX. Entonces {xn}∞n=1 es una base de X si y solo si se satisfacen lassiguientes tres condiciones:

1. xn = 0 para toda n ∈ N.

2. Existe M ≥ 1 tal que para toda sucesion {ai}mi=1 ⊂ K, si n < m,∥∥∥∥∥

n∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ M

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ .

3. El espacio vectorial cerrado generado por {xn}∞n=1 es X.

Demostracion: Supongamos primero que {xn}∞n=1 es una base. En-tonces, como cada elemento se puede expresar de manera unica enterminos de los elementos de la base, es claro que xn = 0 para cada ny que [xi]

∞i=1 = X. Por otro lado, si {ai}m

i=1 es una sucesion contenidaen K, n < m, M la constante de base de {xn}∞n=1 y {Pn}∞n=1 la sucesionde las proyecciones asociadas a la base descritas en la proposicion 6.7,entonces ∥∥∥∥∥

n∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥Pn

m∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ M

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ .

Recıprocamente, si {xn}∞n=1 es tal que se satisfacen 1., 2. y 3., seay =

∑rn=1 anxn ∈ sp {xn}∞n=1 = Y . Es facil ver, usando 1. y 2., que la

expresion de y es unica. Si para cada m ∈ N definimos Qm : Y → Ycomo

Qmy =∑n≤m

anxn,

entonces por la condicion 2.

‖Qmy‖ ≤ M ‖y‖ . (6.3)

Por lo tanto Qm es continua y, como por 3. Y es denso en X, Qm sepuede extender de manera continua a todo X; continuaremos llamandoQm a esta extension.

Tambien por 3., para cada x ∈ X existe una sucesion {zk}∞k=1 talque

zk =Nk∑n=1

a(k)n xn


con{a(k)

n

}Nk

n=1⊂ K y tal que lim

k→∞zk = x. Por lo tanto lim

k→∞Qmzk = Qmx

para cada m y si convenimos que Q0 ≡ 0, entonces

limk→∞

(Qm − Qm−1) zk = (Qm − Qm−1) x ∈ [xm] ,

lo cual por la condicion 1. significa que

limk→∞

a(k)m = am (6.4)

existe para cada m. Probaremos ahora que

x =∞∑

n=1

anxn.

De (6.3) obtenemos

‖Qm (x − zk)‖ ≤ M ‖x − zk‖ . (6.5)

Sean ε > 0 y k0 tales que para k ≥ k0

‖x − zk‖ <ε

2M. (6.6)

Ademas por la definicion de zk0 , si m ≥ Nk0 , entonces

zk0 = Qmzk0 . (6.7)

De (6.5), (6.6) y (6.7) resulta que si m ≥ Nk0 ,

‖x − Qmx‖ ≤ ‖x − zk0‖ + ‖zk0 − Qmzk0‖ + ‖Qmzk0 − Qmx‖ < ε,

que es lo que querıamos demostrar.Es claro que la representacion de x es unica, pues si

∞∑n=1

anxn = 0,

entonces de 2. tenemos

|an| ‖xn‖ =∥∥∥∑n

i=1 aixi −∑n−1i=1 aixi

∥∥∥ ≤ ‖∑ni=1 aixi‖ +

∥∥∥∑n−1i=1 aixi

∥∥∥ ≤≤ 2M ‖∑∞

i=1 aixi‖ = 0

y esto por 1. implica que an = 0 para cada n.


Corolario 6.11 Sea {xn}∞n=1 una sucesion basica en un espacio de Ba-nach X. Entonces toda subsucesion {xkn

}∞n=1 de {xn}∞n=1 es tambien unasucesion basica.

A partir de una sucesion basica dada se pueden construir otras suce-siones basicas llamadas bases bloque.

Corolario 6.12 Sean X un espacio de Banach y {xn}∞n=1 una sucesionbasica en X con constante de base K. Sean 0 = m1 < m2 < ...,{an}∞n=1 ⊂ K y uj = 0 dada por

uj =mj+1∑

i=mj+1

aixi.

Entonces la sucesion {uj}∞j=1 es una sucesion basica llamada base

bloque de {xn}∞n=1 , cuya constante de base es menor o igual a K.

Demostracion: Se sigue de inmediato del teorema 6.10.

Ejemplos

Los ejemplos mas faciles de espacios de Banach con base son los espacioslp para 1 ≤ p < ∞ y el espacio c0, que se definieron en el capıtulo 4.En estos espacios es trivial verificar que la sucesion {en}∞n=1 de vectores

unitarios, donde en =(0, ..., 0, 1,

n0, ...

), es una base monotona. A dicha

sucesion se le suele llamar la base canonica del espacio en cuestion.Denotemos por X ya sea al espacio lp con 1 < p < ∞ o al espacio c0.

Sea {e∗n}∞n=1 ⊂ X∗ la sucesion de funcionales biortogonales asociadas a{en}∞n=1. Como

e∗n (em) =

{1 si m = n0 si m = n

por la proposicion 4.52, e∗n se puede identificar con el elemento(0, ...0, 1

n, 0, ....

)∈ lq,

donde1

p+

1

q= 1 si X = lp y q = 1 si X = c0. Por lo tanto {e∗n}∞n=1

resulta ser la base canonica de lq.


Mas adelante estudiaremos otros espacios con base, como por ejem-plo el espacio C [0, 1] de las funciones continuas en el intervalo [0, 1] yel espacio de James.

Anteriormente vimos que si {xn}∞n=1 es una base en X y {Pn}∞n=1 esla sucesion de proyecciones asociadas a la base definidas en la proposi-cion 6.7, entonces supn ‖Pn‖ < ∞. Mostraremos a continuacion que elinverso de esta afirmacion tambien es cierto.

Corolario 6.13 Sea {xn}∞n=1 una sucesion de vectores linealmente in-dependientes en un espacio de Banach X. Si definimos la proyeccionPn : sp {xi}∞i=1 → X mediante

Pn

m∑i=1

aixi =

{ ∑mi=1 aixi si m ≤ n∑ni=1 aixi si n < m

y se satisface quesup

n‖Pn‖ = M < ∞,

entonces {xn}∞n=1 es una sucesion basica.

Demostracion: Sea m > n. Entonces∥∥∥∥∥n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥Pn

m∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ M

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥y por el teorema 6.10 esto demuestra el corolario.

Otra caracterizacion, tal vez menos conocida, de una base se debea M. M. Grinblyum:

Teorema 6.14 Una sucesion {xn}∞n=1 en un espacio de Banach X esuna base si y solo si

1. xn = 0 para toda n,

2. existe una constante 0 < K ≤ 1 tal que para toda n

inf {‖x − y‖ : x ∈ Sn, y ∈ Xn} = dist (Sn, Xn) ≥ K,

donde Sn = {x ∈ [xi]ni=1 : ‖x‖ = 1} y Xn = [xi]

∞i=n+1 ,


3. [xn]∞n=1 = X.

Demostracion: Supongamos primero que {xn}∞n=1 es una base de X.Entonces es claro del teorema 6.10 que se satisfacen 1. y 3.

Si para cada n, Pn es la proyeccion asociada a la base, entoncesI − Pn tambien es una proyeccion continua, y por lo tanto, usando ellema 6.6, (I − Pn) X es un subespacio cerrado de X. Como

sp {xi}∞n+1 ⊂ (I − Pn) X,

entonces Xn ⊂ (I − Pn) X y como PnX = [xi]ni=1 , tenemos que Sn es

la esfera unitaria de PnX. Ademas sabemos que 1 ≤ supn ‖Pn‖ < ∞,de donde existe K = (supn ‖Pn‖)−1 . Por lo tanto

dist (Sn, Xn) = inf {‖x − y‖ : x ∈ PnX, ‖x‖ = 1, y ∈ Xn} ≥

≥ inf {‖x − y‖ : x ∈ PnX, ‖x‖ = 1, y ∈ (I − Pn) X} ≥

≥ K inf {‖Pn (x − y)‖ : x ∈ PnX, ‖x‖ = 1, y ∈ (I − Pn) X} =

= K inf {‖x‖ : x ∈ PnX, ‖x‖ = 1} = K.

Viceversa, si {xn}∞n=1 es tal que satisface 1., 2. y 3., veremos que secumplen 1., 2. y 3. del teorema 6.10 y que por lo tanto es una base.Como 1. y 3. son las mismas condiciones en ambos teoremas, basta verque con las hipotesis de este teorema, se satisface 2. del teorema 6.10.

Sea {ai}∞i=1 ⊂ K y sean n,m dos naturales con n < m. Si suponemosque dist (Sn, Xn) ≥ K > 0 y

∑ni=1 aixi = 0, entonces

‖∑mi=1 aixi‖ =

=

∥∥∥∥∥ 1

‖∑ni=1 aixi‖

∑ni=1 aixi +

1

‖∑ni=1 aixi‖

∑mi=n+1 aixi

∥∥∥∥∥ ‖∑ni=1 aixi‖ ≥

≥ K ‖∑ni=1 aixi‖ .

Si por otro lado∑n

i=1 aixi = 0, se tiene∥∥∥∥∥m∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≥∥∥∥∥∥

n∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ = 0.


Por lo tanto, si tomamos M = K−1, se satisface 2. del teorema 6.10 ypor consiguiente {xn}∞n=1 es una base.

Ahora quisieramos saber cuando un espacio de Banach tiene unabase. Notemos primero que si un espacio X tiene base, entonces esseparable, ya que si {xn}∞n=1 es una base es claro que las expresiones dela forma

∑∞n=1 anxn ∈ X con Re an, Iman ∈Q, son densas en X. Como

l∞ no es separable (ver seccion 4.8), esto en particular nos muestra queeste espacio no tiene base.

Se podrıa preguntar uno ahora si todo espacio de Banach separabletiene una base. Los espacios mas conocidos como c0, lp y Lp para1 ≤ p < ∞ todos tienen base. Sin embargo P. Enflo [11] en 1974 proboque para cada p = 2, Lp ([0, 1] , λ) donde λ es la medida de Lebesgue,tiene un subespacio separable que no tiene base. Mas recientementeR. Szankowski [30] demostro que B (H) , el espacio de operadores li-neales continuos en un espacio de Hilbert, tambien tiene subespaciosseparables que no tienen base. Lo que sı es cierto es que todo espaciode Banach de dimension infinita contiene un subespacio que tiene unabase o equivalentemente contiene una sucesion basica. Para probar estohace falta el lema siguiente:

Lema 6.15 Sea {x1, x2, ..., xn} una sucesion finita de vectores lineal-mente independientes con constante de base M en un espacio de BanachX de dimension infinita. Entonces dada ε > 0 existe xn+1 ∈ X tal quexn+1 /∈ [xi]

ni=1 y tal que la sucesion {x1,..., xn, xn+1} tiene constante de

base menor o igual que M (1 + ε) .

Demostracion: Sea Xn = [xi]ni=1 y sea ε′ =

ε

1 + ε. Como Xn es de

dimension finita, Sn = {x ∈ X : ‖x‖ = 1} en este espacio es compactoy por ende existen z1, z2, ..., zN ∈ Sn tales que

Sn ⊂N⋃

i=1

B (zi, ε′) ,

donde B (z, ε′) representa a la bola abierta con centro en z y radioε′. Para i = 1, 2, ..., N sea Ti ∈ X∗ tal que ‖Ti‖ = 1 y Tizi = 1; laexistencia de estas Ti la garantiza el teorema de Hahn-Banach. Comola codimension del espacio nulo de cada Ti es uno (proposicion 4.27) y


la dimension de X es infinita, existe xn+1 ∈N⋂

i=1ker Ti tal que xn+1 = 0

y ‖xn+1‖ = 1. Por otro lado, siempre que z ∈ B (zi, ε′) se tiene que

1 − |Tiz| ≤ |Tizi − Tiz| ≤ ε′

y consecuentemente

|Tiz| ≥ 1 − ε′ =1

1 + ε. (6.8)

De aquı, como Ti (xn+1) = 0, deducimos que xn+1 /∈ Sn.Veremos ahora que la constante de base de {x1,..., xn, xn+1} es a lo

mas M (1 + ε) . Para esto verificaremos primero que si a1, a2, ..., an+1

pertenecen a K, entonces∥∥∥∥∥n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ (1 + ε)

∥∥∥∥∥n+1∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ . (6.9)

Podemos suponer que ‖∑ni=1 aixi‖ = 1, ya que si (6.9) es cierto en este

caso, se cumple que∥∥∥∥∥n∑

i=1

ai

‖∑ni=1 aixi‖

xi

∥∥∥∥∥ ≤ (1 + ε)

∥∥∥∥∥n∑

i=1

ai

‖∑ni=1 aixi‖

xi +an+1

‖∑ni=1 aixi‖

xn+1

∥∥∥∥∥ .

Sea i0 ≤ N tal que ∥∥∥∥∥zi0 −n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ < ε′.

Por (6.8) ∥∥∥∥∥n+1∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≥ 1

1 + ε

y obtenemos (6.9).Sean ahora r y m con r < m ≤ n + 1. Si m < n + 1,∥∥∥∥∥

r∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ M

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥y si m = n + 1,∥∥∥∥∥

r∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ M

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ M (1 + ε)

∥∥∥∥∥n+1∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ,

que es lo que querıamos probar.


Corolario 6.16 Todo espacio de Banach de dimension infinita con-tiene una sucesion basica.

Demostracion: Esto se concluye usando induccion y aplicando el teo-rema 6.10 y el lema 6.15. Empezamos eligiendo una sucesion {εn}∞n=1

tal que εn > 0 para n = 1, 2, ... y

M =∞∏i=1

(1 + εi) < ∞,

(por ejemplo εn = e1

n2 − 1). A continuacion tomamos un elementox1 ∈ X, x1 = 0; claramente {x1} tiene constante de base igual a 1.Por el metodo descrito en el lema anterior, encontramos x2 linealmenteindependiente de x1, de manera que la constante de base de {x1, x2}es menor o igual a 1 + ε1. Suponiendo que ya tenemos a {x1, x2, ..., xn}con constante de base menor o igual a

∏n−1i=1 (1 + εi) , aplicando nue-

vamente el lema anterior obtenemos xn+1 linealmente independientede x1, x2, ..., xn tal que la constante de base de {x1, x2, ..., xn, xn+1} esmenor o igual a

∏ni=1 (1 + εi) . Ası encontramos una sucesion {xn}∞n=1

que satisface ∥∥∥∥∥m∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ M

∥∥∥∥∥r∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥siempre que m < r, y esto por el teorema 6.10 implica que {xn}∞n=1 esuna sucesion basica.

Una vez que ya se sabe que un espacio de Banach tiene una base, esnatural preguntarse si esta es unica salvo equivalencias en el siguientesentido:

Definicion 6.17 Sean X y Y espacios de Banach Dos sucesiones basi-cas {xn}∞n=1 ⊂ X y {yn}∞n=1 ⊂ Y son equivalentes si

∑∞n=1 anxn converge

en X si y solo si∑∞

n=1 anyn converge en Y .

Lema 6.18 Dos sucesiones basicas {xn}∞n=1 y {yn}∞n=1 son equivalentessi y solo si existe K tal que para toda m ∈N y toda {ai}m

i=1 ⊂ K


1

K

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aiyi

∥∥∥∥∥Y

≤∥∥∥∥∥

m∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥X

≤ K

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aiyi

∥∥∥∥∥Y

. (6.10)

Demostracion: Si dicha K existe, es trivial que las sucesiones sonequivalentes. Supongamos al reves que {xn}∞n=1 y {yn}∞n=1 son equiva-lentes. Definimos T : [xi]

∞i=1 → [yi]

∞i=1 mediante

T∞∑

n=1

anxn =∞∑

n=1

anyn

para cada∑∞

n=1 anxn ∈ [xi]∞i=1 . Veremos que la grafica de T es cerrada.

Supongamos que

(i)∑∞

n=1 anxn,∑∞

n=1 a(m)n xn ∈ [xi]

∞i=1 ,

(ii)∑∞

n=1 a(m)n yn,

∑∞n=1 bnyn ∈ [yi]

∞i=1 ,

(iii)∑∞

n=1 a(m)n xn −→

m→∞

∑∞n=1 anxn y

∑∞n=1 a(m)

n yn −→m→∞

∑∞n=1 bnyn.

Entonces por el lema 6.9, limm→∞ a(m)j = aj y limm→∞ a

(m)j = bj lo

cual significa que aj = bj para cada j.Podemos pues aplicar el teorema de la grafica cerrada, concluyendo

que T es un operador continuo. De la misma manera se obtiene queT−1 es un operador continuo y esto nos da el resultado deseado.

Ejemplo

Ya mencionamos que la sucesion de vectores unitarios {en}∞n=1, donde

en ={0, 0, 0, ... 1

n, 0, 0, ...

}

es una base en c0. Sin embargo si tomamos la base sumante {ξn}∞n=1

dada por ξn =∑n

i=1 ei, esta no es equivalente a la base canonica.Primero comprobaremos que efectivamente es base:

(i) Como e1 = ξ1 y ei = ξi−ξi−1 para i > 1, es claro que [ξi]∞i=1 = c0.


(ii) Sea n > m. Entonces

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aiξi

∥∥∥∥∥ = supr≤m

∣∣∣∣∣m∑

i=r

ai

∣∣∣∣∣ = supr≤m

∣∣∣∣∣∣n∑

i=r

ai −n∑

i=m+1

ai

∣∣∣∣∣∣ ≤ 2

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aiξi

∥∥∥∥∥y por el teorema 6.10 se obtiene que {ξn}∞n=1 es base. Esta base no esequivalente a {en}∞n=1, ya que por ejemplo∥∥∥∥∥

m∑n=1

en

∥∥∥∥∥ = 1, pero

∥∥∥∥∥m∑

n=1

ξn

∥∥∥∥∥ = m,

de manera que no se puede satisfacer (6.10) del lema anterior.

La situacion del ejemplo anterior es general, ya que se puede pro-bar que en un espacio de Banach cualquiera de dimension infinita quetiene una base, siempre hay una infinidad de bases normalizadas noequivalentes entre sı. [26]

Por otro lado las bases de Schauder tienen cierta propiedad de es-tabilidad, en el sentido de que si tomamos vectores cercanos a los dela base, nuevamente obtenemos una base, equivalente a la primera. Lademostracion de este hecho requiere del siguiente lema:

Lema 6.19 Sean X un espacio de Banach, Y un subespacio cerradode X y T : Y → X un operador acotado tal que ‖T‖ < 1. Entonces, siIY denota a la identidad en Y, IY − T es invertible y

∥∥∥(IY − T )−1∥∥∥ ≤ 1

1 − ‖T‖ . (6.11)

Ademas, si Y = X, IX − T es un isomorfismo de X en X.

Demostracion: Sea y ∈ Y con y = 0, entonces

1 − ‖(IY − T ) y‖‖y‖ ≤

∥∥∥∥∥T y

‖y‖

∥∥∥∥∥ ≤ ‖T‖ .

Consiguientemente ‖IY − T‖ ‖y‖ ≥ ‖(IY − T ) y‖ ≥ (1 − ‖T‖) ‖y‖ , loque demuestra (6.11).


Supongamos ahora que Y = X ysea Sn =∑n

k=0 T k, donde paran > 1, T n = T n−1 ◦ T y T 0 = IX . Como ‖T n‖ ≤ ‖T‖n , para todan > m,

‖Sn − Sm‖ ≤n∑

k=m+1

‖T‖k .

Por lo tanto, ya que ‖T‖ < 1, Sn es una sucesion de Cauchy en elespacio de Banach B(X), y la sucesion converge a un operador acotado

S. Ahora bien, como∥∥∥T k

∥∥∥ → 0 entonces T k → 0 y al pasar al lımiteen la expresion:

(IX − T ) Sn =n∑

k=0

T k −n+1∑k=1

T k = IX − T n+1 = Sn (IX − T ) ,

obtenemos que (IX − T ) S = IX = S (IX − T ) , lo cual implica queIX − T es invertible y suprayectiva.

Teorema 6.20 Sea X un espacio de Banach y {xn}∞n=1 una sucesionbasica seminormalizada con constante de base K tal que paran = 1, 2, ...

1

M≤ ‖xn‖ ≤ M.

(i) Sea {yn}∞n=1 una sucesion de elementos en X tal que

∞∑n=1

‖xn − yn‖ <1

2KM. (6.12)

Entonces {yn}∞n=1 es una sucesion basica equivalente a {xn}∞n=1 . Esmas, si {xn}∞n=1 es una base de X, tambien {yn}∞n=1 lo es.

(ii) Supongamos que existe una proyeccion acotada sobre [xn]∞n=1

P : X → [xn]∞n=1 .

Si {yn}∞n=1 es una sucesion en X tal que

∞∑n=1

‖xn − yn‖ <1

8KM ‖P‖ , (6.13)

entonces existe una proyeccion Q : X → [yn]∞n=1 .


Demostracion: Sea {x∗n}∞n=1 la sucesion de las funcionales biortogo-

nales asociadas a {xn}∞n=1 y sea T : [xn]∞n=1 → X dado para cadax ∈ [xn]∞n=1 por

Tx =∞∑

n=1

x∗n (x) yn.

T esta bien definida ya que, por el lema 6.8

supn

|x∗n (x)| ≤ 2KM ‖x‖

y entonces

‖∑rn=m x∗

n (x) yn‖ ≤ ‖∑rn=m x∗

n (x) (yn − xn)‖ + ‖∑rn=m x∗

n (x) xn‖ ≤

≤ ∑rn=m |x∗

n (x)| ‖yn − xn‖ + ‖∑rn=m x∗

n (x) xn‖ ≤

≤ 2KM ‖x‖∑rn=m ‖yn − xn‖ + ‖∑r

n=m x∗n (x) xn‖ .

Como por hipotesis tanto ‖∑∞n=1 x∗

n (x) xn‖ como∑∞

n=1 ‖yn − xn‖ con-vergen, {‖∑r

n=1 x∗n (x) yn‖}∞r=1 es una sucesion de Cauchy que por lo

tanto converge. Observemos que T [xn]∞n=1 ⊂ [yn]∞n=1 y que

‖x − Tx‖ ≤∞∑

n=1

|x∗n (x)| ‖xn − yn‖ ≤ 2KM ‖x‖

∞∑n=1

‖xn − yn‖ . (6.14)

Consecuentemente de (6.12),∥∥∥I[xn]∞n=1

− T∥∥∥ < 1 y por el lema anterior

existe T−1 : T ([xn]∞n=1) → [xn]∞n=1 y es continuo. Ademas

‖T‖ < 1 +∥∥∥I[xn]∞n=1

∥∥∥ = 2. (6.15)

Tenemos entonces∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anxn

∥∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥T−1∥∥∥ ∥∥∥∥∥

∞∑n=1

anyn

∥∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥T−1∥∥∥ ‖T‖

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anxn

∥∥∥∥∥ , (6.16)

lo cual prueba que {xn}∞n=1 y {yn}∞n=1 son equivalentes. De aquı esinmediato que como {xn}∞n=1 satisface 1. y 2. del teorema 6.10, {yn}∞n=1

tambien los satisface y es por lo tanto una sucesion basica. Ademas laecuacion (6.16) tambien prueba que T [xn]∞n=1 = [yn]∞n=1, y entonces si


{xn}∞n=1 es una base, {yn}∞n=1 tambien lo es ya que en este caso el lemaanterior implica que T es suprayectivo. Con esto queda demostrado(i) .

Supongamos ahora que P : X → [xn]∞n=1 es una proyeccion y que secumple (6.13). Si y ∈ Y = [yn]∞n=1 ⊂ X,

y =∞∑

n=1

anyn = T∞∑

n=1

anxn = TP∞∑

n=1

anxn.

Si x =∑∞

n=1 anxn, usando el hecho de que supn |an| ≤ 2KM ‖x‖ yusando (6.15), obtenemos que

‖TPy − y‖ = ‖TP∑∞

n=1 an (yn − xn)‖ ≤

≤ ‖T‖ ‖P‖∑∞n=1 |an| ‖yn − xn‖ ≤

≤ 2KM ‖T‖ ‖P‖ ‖x‖∑∞n=1 ‖yn − xn‖ ≤ 1

2‖x‖ .

(6.17)

Por otro lado, de (6.14) y (6.13) y como la norma de una proyeccion esmayor o igual a 1, resulta

‖x − Tx‖ ≤ 1

4‖x‖ (6.18)

y de aquı

‖x‖ ≤ 4

3‖Tx‖ =

4

3‖y‖ . (6.19)

Juntando (6.17) y (6.19), deducimos

‖TPy − y‖ ≤ 2

3‖y‖ .

Entonces si S = TP |Y e IY denota la identidad en Y, ‖S − IY ‖ < 1y por lo tanto, como TP (X) ⊂ Y, usando nuevamente el lema 6.19, setiene que S : Y → Y tiene inverso.

Si consideramos ahora Q = S−1TP, Q es un operador con dominioX y con rango Y tal que para x ∈ X,

Q2x = S−1TPS−1TPx = S−1TPx,


lo cual demuestra que Q es una proyeccion de X sobre Y.

Como una aplicacion del resultado anterior probaremos el siguienteteorema que es muy usado en el estudio de los subespacios comple-mentados de un espacio de Banach y en particular es una herramientapoderosa para investigar si un espacio es primario.

Teorema 6.21 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1 y ε > 0.Entonces si F es un subespacio cerrado de X de dimension infinita,existe una base bloque normalizada {uj}∞j=1 en X y existe un subespacio

de dimension infinita G de F que tiene una base normalizada {yn}∞n=1 ,tal que

∞∑j=1

‖yj − uj‖ < ε.

Demostracion: Sea K la constante de base de {xn}∞n=1 . Primero ve-remos que para cada n ∈ N existe en F un elemento y = 0 de laforma

y =∞∑

j=n

ajxj. (6.20)

Supongamos que esto es falso. Entonces existe n ∈ N tal que para today ∈ F, y = 0 se tiene que Pny = 0, donde Pn : X → [xj]

nj=1 es la

proyeccion asociada a la base {xn}∞n=1 definida en la proposicion 6.7.Por lo tanto Pn |F es inyectiva, o sea que F es isomorfo a un subespaciode [xj]

nj=1 contradiciendo el hecho de que F tiene dimension infinita.

Sean 0 < ε < 1, m1 = 0 y y1 ∈ F con ‖y1‖ = 1, y1 =∑∞

n=1 a(1)n xn.

Como esta serie es convergente, existe m2 > m1 tal que∥∥∥∥∥∥∞∑

n=m2+1

a(1)n xn

∥∥∥∥∥∥ <ε

23K.

Por (6.20) podemos hallar en F un elemento y2 tal que ‖y2‖ = 1 y y2

es de la forma

y2 =∞∑

n=m2+1

a(2)n xn.


Sea m3 tal que ∥∥∥∥∥∥∞∑

n=m3+1

a(2)n xn

∥∥∥∥∥∥ <ε

24K.

De esta manera construimos inductivamente una sucesion {yj}∞j=1 ⊂ F

con ‖yj‖ = 1, y una sucesion {mj}∞j=1 ⊂ N tales que 0 < m1 < m2 < ...,

yj =∞∑

n=mj+1

a(j)n xn y

∥∥∥∥∥∥∞∑

n=mj+1+1

a(j)n xn

∥∥∥∥∥∥ <ε

2j+2K. (6.21)

Definamos para j = 1, 2, ... vj =∑mj+1

n=mj+1 a(j)n xn ; como ‖yj‖ = 1, por

(6.21) vj = 0. Sea

uj =vj

‖vj‖.

Entonces por (6.21)

|1 − ‖vj‖| ≤ ‖yj − vj‖ <ε

2j+2Ky

‖yj − uj‖ ≤ ‖yj − vj‖ + ‖vj − uj‖ = ‖yj − vj‖ +

∥∥∥∥∥vj −vj

‖vj‖

∥∥∥∥∥ =

= ‖yj − vj‖ + |1 − ‖vj‖| <ε

2j+1K.

Por lo tanto∞∑

j=1

‖yj − uj‖ <ε

2K.

Como {uj}∞j=1 es una base bloque de {xn}∞n=1 , por el corolario 6.12 esuna sucesion basica con constante de base ≤ K. Usando el teorema6.20 tenemos que {yn}∞n=1 es una sucesion basica equivalente a {uj}∞j=1

y tomando G = [yn]∞n=1 termina la demostracion del teorema.

Otra aplicacion del teorema 6.20 cuya demostracion es parecida ala del teorema anterior, y sin embargo esta enfocada en otra direccion,nos la da el lema siguiente. Este resultado es de especial interes paranosotros, pues va a ser la clave en la prueba de que los espacios lp noson isomorfos entre sı.


Lema 6.22 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1 . Si {yn}∞n=1

es una sucesion seminormalizada debilmente convergente a 0 en X,entonces {yn}∞n=1 tiene una subsucesion equivalente a una base bloquede {xn}∞n=1 .

Demostracion: Supongamos que para n = 1, 2, ...

1

M≤ ‖yn‖ ≤ M.

Sea K la constante de base de {xn}∞n=1 y sea {εn}∞n=1 ⊂ R con εn > 0para n = 1, 2, .. y

∞∑n=1

εn <1

2KM.

Sean n1 = 1, m1 = 0 y m2 tales que∥∥∥∥∥∥y1 −m2∑j=1

x∗j (y1) xj

∥∥∥∥∥∥ < ε1.

Como yn converge debilmente a 0, existe n2 > n1 tal que parai = 1, 2, ...,m2,

|x∗i (yn2)| <

ε2

2∑m2

j=1 ‖xj‖. (6.22)

Ademas existe m3 > m2 con∥∥∥∥∥∥yn2 −m3∑j=1

x∗j (yn2) xj

∥∥∥∥∥∥ <ε2

2. (6.23)

De (6.22) y (6.23) obtenemos∥∥∥∥∥∥yn2 −m3∑

j=m2+1

x∗j (yn2) xj

∥∥∥∥∥∥ < ε2.

Procediendo inductivamente construimos dos sucesiones crecientes{ni}∞i=1 y {mi}∞i=1 tales que∥∥∥∥∥∥yni

−mi+1∑

j=mi+1

x∗j (yni

) xj

∥∥∥∥∥∥ < εi. (6.24)


Si ui =∑mi+1

j=mi+1 x∗j (yni

) xj, entonces por las hipotesis y (6.24) ,

M − 1

2KM≤ M − εi ≤ ‖ui‖ ≤ M + εi ≤ M +

1

2KM

y∞∑i=1

‖yni− ui‖ ≤

∞∑i=1

εi <1

2KM.

Como por el corolario 6.12 {ui}∞i=1 es una sucesion basica con constantede base menor o igual que K, podemos aplicar el teorema 6.20, paraobtener que {yni

}∞i=1 es equivalente a {ui}∞i=1 .

6.1.2 Bases reductoras y acotadamente completas

La existencia de una base de Schauder en un espacio de Banach por sısola no nos da mucha informacion acerca de la estructura del espacio;sin embargo si la base posee ciertas propiedades adicionales, podemosconocer mas a fondo el espacio, por ejemplo podemos saber si es refle-xivo o si contiene como subespacio a alguno de los espacios lp o c0.

Nos planteamos primero la siguiente pregunta ¿Sera cierto que si{xn}∞n=1 es una base, entonces la sucesion {x∗

n}∞n=1 en el espacio dualde las funcionales biortogonales asociadas es tambien una base? Larespuesta evidentemente es no, pues para que {x∗

n}∞n=1 fuera una baseen X∗, este espacio deberıa ser separable y esto no siempre es cierto.Si tomamos por ejemplo el espacio l1 con la base canonica, su dual l∞

no es separable (ver capıtulo 4). Sin embargo {x∗n}∞n=1 siempre es una

sucesion basica en X∗.

Lema 6.23 Sea {xn}∞n=1 una base en un espacio de Banach X conconstante de base K. Entonces la sucesion de funcionales biortogonales{x∗

n}∞n=1 ⊂ X∗, es una sucesion basica con constante de base menor oigual a K y las proyecciones asociadas a esta sucesion son P ∗

n |[x∗i ]

∞

i=1

,

n = 1, 2, ..., donde P ∗n es el operador adjunto a la proyeccion Pn.

Ademas, si {xn}∞n=1 es monotona, es decir si K = 1, se tiene quepara x∗ ∈ X∗,

‖x∗‖ = limn→∞

‖P ∗nx∗‖ = sup

n‖P ∗

nx∗‖ .


Demostracion: Del lema 6.8 sabemos que x∗n es una funcional acotada.

Sean Pn : X → X, n = 1, 2, ... las proyecciones asociadas a la base.Entonces por el teorema 4.81 los operadores adjuntos P ∗

n : X∗ → X∗

son acotados y ‖P ∗n‖ = ‖Pn‖ . Por lo tanto

supn

‖P ∗n‖ = sup

n‖Pn‖ = K. (6.25)

Ademas si x∗ ∈ X∗ y x =∑∞

n=1 anxn ∈ X,

〈P ∗nx∗, x〉 = 〈x∗, Pnx〉 =

∑ni=1 aix

∗ (xi) =

= 〈∑ni=1 x∗ (xi) x∗

i ,∑∞

i=1 aixi〉 = 〈∑ni=1 x∗ (xi) x∗

i , x〉

lo cual significa que

P ∗nx∗ =

n∑i=1

x∗ (xi) x∗i , (6.26)

es decir,P ∗

n (X∗) ⊂ [x∗i ]

∞i=1 . (6.27)

En particular, si∑∞

i=1 bix∗i ∈ [x∗

n]∞n=1 , de (6.26) se deduce que

P ∗n

∞∑i=1

bix∗i =

n∑i=1

bix∗i ,

y de aquı, de (6.27) y de (6.25) se concluye que

supn

∥∥∥∥P ∗n |[x∗

i ]∞

i=1

∥∥∥∥ ≤ K. (6.28)

Del corolario 6.13 se sigue ahora que {x∗n}∞n=1 es una sucesion basica

cuya constante de base es menor o igual a K.Supongamos ahora que K = 1. Sean ε > 0 y x =

∑∞n=1 anxn ∈ X

con ‖x‖ = 1 tales que |x∗ (x)| > (1 − ε) ‖x∗‖ . Como x∗ es continua,x∗ (x) =

∑∞n=1 anx

∗ (xn) y existe N tal que si n > N,∣∣∣∣∣∞∑

i=n

aix∗ (xi)

∣∣∣∣∣ < ε ‖x∗‖ . (6.29)

Consecuentemente


(1 − ε) ‖x∗‖ < |x∗ (x)| ≤ |(P ∗nx∗) (x)| +

∣∣∣∑∞i=n+1 aix

∗ (xi)∣∣∣ ≤

≤ ‖P ∗nx∗‖ + ε ‖x∗‖ .

(6.30)

De (6.30) y como K = 1, se tiene que para n > N

(1 − 2ε) ‖x∗‖ < ‖P ∗nx∗‖ ≤ ‖x∗‖ .

Por lo tanto ‖x∗‖ = limn→∞ ‖P ∗nx∗‖ , pero por ser {xn}∞n=1 monotona,

‖P ∗nx∗‖ ≤

∥∥∥P ∗n+1x

∗∥∥∥ y esto implica que ‖x∗‖ = supn ‖P ∗

nx∗‖ , lo cualtermina la prueba del lema.

Aun si X es un espacio con base {xn}∞n=1 y X∗ es separable, lasucesion {x∗

n}∞n=1 no tiene porque ser una base de X∗.

Ejemplo

Consideremos el espacio c0 con la base sumante {ξn}∞n=1 , definido en elejemplo anterior al lema 6.19, cuyo dual es el espacio l1 que es separable.Es facil ver que ξ∗n = e∗n − e∗n+1, donde {e∗n}∞n=1 es la sucesion de fun-cionales biortogonales asociadas a la base canonica de c0. Como vimosen el ejemplo posterior al teorema 6.10, {e∗n}∞n=1 es la base canonica de

l1. Por lo tanto ξ∗n es el elemento(0, ..., 0, 1

n,−1, 0, ...

)∈ l1 y su norma

es 2.Veremos que e∗1 /∈ [ξ∗n]∞n=1 .Supongamos que e∗1 =

∑∞i=1 aiξ

∗i . Entonces 1 = e∗1 (e1) = a1 y si

n > 1

0 = e∗1 (en) = an − an−1,

de donde an = 1 para n = 1, 2, ...; pero por el lema 6.2, la sucesion{an}∞n=1 deberıa converger a 0.

Hemos demostrado ası que {ξ∗n}∞n=1 no es base de l1.

El teorema siguiente nos da una condicion necesaria y suficientepara que la sucesion basica {x∗

n}∞n=1 sea una base para X∗.


Teorema 6.24 Sea X un espacio de Banach con una base {xn}∞n=1.Entonces la sucesion de funcionales biortogonales {x∗

n}∞n=1 es una basede X∗ si y solo si para cada x∗ ∈ X∗

limn→∞

∥∥∥x∗ |[xi]∞i=n

∥∥∥ = 0. (6.31)

Si una base satisface la condicion (6.31), se le llama base reduc-tora.

Demostracion: Si {x∗n}∞n=1 es una base de X∗, entonces para cada

x∗ ∈ X∗,

limn→∞

‖x∗ − P ∗nx∗‖ = 0. (6.32)

Sea y ∈ [xi]∞i=n . Entonces, como Pn−1y = 0,

|〈x∗, y〉| = |〈x∗, y〉 − 〈x∗, Pn−1y〉| =

=∣∣∣〈x∗, y〉 −

⟨P ∗

n−1x∗, y⟩∣∣∣ ≤ ∥∥∥x∗ − P ∗

n−1x∗∥∥∥ ‖y‖ .

Esto implica que ∥∥∥x∗ |[xi]∞i=n

∥∥∥ ≤ ∥∥∥x∗ − P ∗n−1x

∗∥∥∥

y de (6.32) se obtiene

limn→∞

∥∥∥x∗ |[xi]∞i=n

∥∥∥ = 0.

Viceversa, si {xn}∞n=1 es tal que se satisface (6.31) y x∗ ∈ X∗, en-tonces para toda x ∈ X con ‖x‖ = 1,

|〈x∗ − P ∗nx∗, x〉| = |〈x∗, (I − Pn) x〉| =

∣∣∣⟨x∗ |[xi]∞i=n+1

, (I − Pn) x⟩∣∣∣ ≤

≤∥∥∥x∗ |[xi]

∞i=n+1

∥∥∥ ‖I − Pn‖ ≤∥∥∥x∗ |[xi]

∞i=n+1

∥∥∥ (1 + K) ,

donde K es la constante de base de {xn}∞n=1 . Concluimos ası quelimn ‖x∗ − P ∗

nx∗‖ = 0.


Ejemplos

El ejemplo posterior al teorema 6.10 muestra que las bases canonicasen c0 y en lp, 1 < p < ∞, son reductoras.

Se puede uno plantear ahora la pregunta al reves, ¿cuando unabase {xn}∞n=1 en un espacio de Banach X es la sucesion de funcionalesbiortogonales asociadas a una base? Desde luego para que esto seaposible se necesita que X sea el espacio dual de algun espacio de Banach.

Teorema 6.25 Si X es un espacio de Banach con una base {xn}∞n=1

tal que:

(*) siempre que {an}∞n=1 ⊂ K es tal que supn ‖∑n

i=1 aixi‖ < ∞, laserie

∑∞n=1 anxn tambien converge,

entonces X es isomorfo al dual del espacio [x∗n]∞n=1 ⊂ X∗.

A una base que cumple la propiedad (*) se le llama base acotada-mente completa.

Demostracion: Sean Y = [x∗n]∞n=1 y J : X → Y ∗ dada por

〈J (x) , y〉 = y (x) (6.33)

para toda y ∈ Y, x ∈ X. Es decir J (x) = j (x) |Y , donde j es lainyeccion canonica de X en X∗∗. En consecuencia ‖J‖ ≤ ‖j‖ = 1. Porotro lado sean x =

∑∞i=1 aixi ∈ X, n ∈ Ny z∗ ∈ X∗ con ‖z∗‖ = 1 y

z∗ (∑n

i=1 aixi) = ‖∑ni=1 aixi‖ . Por (6.26) sabemos que P ∗

nz∗ ∈ Y y que∥∥∥∥∥n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ =

⟨P ∗

nz∗,n∑

i=1

aixi

⟩=

⟨J

n∑i=1

aixi, P∗nz∗

⟩≤∥∥∥∥∥J

n∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥K,

donde K es la constante de base de {xn}∞n=1 ; consecuentemente ‖x‖ ≤K ‖Jx‖ y

1

K‖x‖ ≤ ‖Jx‖ ≤ ‖x‖ . (6.34)

Por lo tanto J es inyectiva y probaremos que es sobre Y ∗.


Observemos que

〈J (xi) , x∗n〉 = x∗

n (xi) =

{1 si n = i0 si n = i

Es decir {J (xn)}∞n=1 es la sucesion de funcionales biortogonales asociadaa {x∗

n}∞n=1 en Y ∗.Sea y∗ ∈ Y ∗. Si {Qn}∞n=1 denota a la sucesion de proyecciones aso-

ciadas a {x∗n}∞n=1 en Y, entonces si Q∗

n : Y ∗ → Y ∗ es la proyeccionadjunta de Qn, se tiene por (6.28) y debido a que la constante de basede {x∗

n}∞n=1 es menor o igual a K que ‖Qn‖ = ‖Q∗n‖ ≤ K. Por lo tanto

para toda y ∈ Y con y =∑∞

i=1 〈J (xi) , y〉 x∗i ,

〈Q∗ny

∗, y〉 = 〈y∗, Qny〉 =n∑

i=1

〈J (xi) , y〉 y∗ (x∗i ) =

⟨n∑

i=1

y∗ (x∗i ) J (xi) , y

⟩,

es decir

Q∗ny∗ =

n∑i=1

y∗ (x∗i ) J (xi)

y ‖∑ni=1 J (xi) y∗ (x∗

i )‖ ≤ ‖Q∗n‖ ‖y∗‖ ≤ K ‖y∗‖ . De esto y (6.34) se tiene∥∥∥∥∥

n∑i=1

y∗ (x∗i ) xi

∥∥∥∥∥ ≤ K2 ‖y∗‖ .

Como la base es acotadamente completa, x =∑∞

i=1 y∗ (x∗i ) xi ∈ X y

claramente Jx = J (∑∞

i=1 y∗ (x∗i ) xi) = y∗. Con esto probamos que J es

suprayectiva y que X es isomorfo a Y ∗.

Observacion : La propiedad de que la base {xn}∞n=1 es acotadamentecompleta solo se uso en el ultimo parrafo, de manera que siempre queX tiene una base {xn}∞n=1 , es cierto que X es isomorfo a un subespaciodel dual de [x∗

n]∞n=1 .

Faltarıa ver si la condicion anterior tambien es necesaria en el sen-tido siguiente: ¿sera cierto que si Y es un espacio de Banach tal queX = Y ∗ tiene una base, entonces X tiene una base acotadamentecompleta? La respuesta a esto es afirmativa, pero no daremos lademostracion aquı. El lector interesado la puede hallar en [20].


Ejemplos

La base canonica en c0 no es acotadamente completa, ya que por ejem-plo

supn

∥∥∥∥∥m∑

i=1

ei

∥∥∥∥∥ = 1,

pero esta serie no converge en c0, pues la sucesion {1, 1, 1, ...} no perte-nece al espacio. Sin embargo es facil ver que la base canonica de lp para1 ≤ p < ∞ sı es acotadamente completa.

Veremos ahora que es lo que pasa si una base de X es simulta-neamente reductora y acotadamente completa; en este caso el espacioresultara ser reflexivo, es mas, si un espacio con base es reflexivo, en-tonces la base tiene que ser reductora y acotadamente completa. Unprimer paso en esta direccion es el siguiente teorema, que nos permiterepresentar al doble dual de un espacio con base reductora como unespacio de sucesiones.

Teorema 6.26 Sea {xn}∞n=1 una base reductora en un espacio de Ba-nach X. Entonces el espacio X∗∗ es isomorfo al espacio X de suce-siones {an}∞n=1 ⊂ K tales que

supn

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ < ∞

con la norma

‖{an}∞n=1‖X = supn

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ .

La identificacion esta dada por

x∗∗ ↔ {x∗∗ (x∗1) , x∗∗ (x∗

2) ...} = x.

Si ademas {xn}∞n=1 es monotona, entonces ‖x∗∗‖ = ‖x‖X .

Demostracion: Podemos suponer que la constante de base de {xn}∞n=1

es 1, ya que la norma en X dada por |‖x‖| = sup n ‖∑ni=1 aixi‖ para

x =∑∞

n=1 anxn ∈ X, es equivalente a la norma ‖·‖ y con respecto a ellala base es claramente monotona (ver el corolario 6.4).


Sea {Pn}∞n=1 la sucesion de las proyecciones asociadas a {xn}∞n=1 .Entonces por ser {xn}∞n=1 base reductora, {x∗

n}∞n=1 es una base de X∗.Sea j la inyeccion canonica; recordemos que j es una isometrıa y que{j (xn)}∞n=1 es la sucesion de funcionales biortogonales asociada a labase {x∗

n}∞n=1 (ver teorema 6.25).Por el lema 6.23 la base {x∗

n}∞n=1 es monotona y para cada x∗∗ ∈ X∗∗,

P ∗∗n x∗∗ =

n∑i=1

x∗∗ (x∗i ) j (xi)

ysup

n‖P ∗∗

n x∗∗‖ = ‖x∗∗‖ .

Esto quiere decir que si T : X∗∗ → (X , ‖·‖X ) esta dado por

Tx∗∗ = {x∗∗ (x∗1) , x∗∗ (x∗

2) , ...} = x,

T es una isometrıa. Falta ver que T es suprayectiva. Supongamos que{an}∞n=1 ⊂ K es tal que supn ‖

∑ni=1 aixi‖ < ∞. Entonces la sucesion

{∑ni=1 aij (xi)}∞n=1 esta acotada en X∗∗. Consideremos en X∗∗ la topo-

logıa σ (X∗∗, X∗) o topologıa debil estrella (w∗). Como se comento en laseccion 4.8, en esta topologıa y∗∗

n →w∗

x∗∗ si y solo si para toda x∗ ∈ X∗

limn→∞

y∗∗n (x∗) = x∗∗ (x∗) . (6.35)

Por el teorema de Banach-Alaoglu, la sucesion {∑ni=1 aij (xi)}∞n=1 esta

contenida en un conjunto σ (X∗∗, X∗) compacto y por lo tanto tiene unsubsucesion w∗ convergente. Supongamos que x∗∗ ∈ X∗∗ es tal que

mn∑i=1

aij (xi) →w∗

x∗∗.

Entonces de (6.35) para toda x∗ ∈ X∗

limn→∞

mn∑i=1

aix∗ (xi) = lim

n→∞

⟨mn∑i=1

aij (xi) , x∗

⟩= x∗∗ (x∗) .

En particular si x∗ = x∗n para alguna n, obtenemos que

x∗∗ (x∗n) = an,


lo cual implica que Tx∗∗ = {an}∞n=1 y termina la demostracion delteorema.

Como ya vimos que T es inyectiva, lo anterior tambien implicaque toda subsucesion w∗ convergente de {∑n

i=1 aij (xi)}∞n=1 converge almismo lımite y en particular {∑n

i=1 aij (xi)}∞n=1 converge en la topologıaσ (X∗∗, X∗) .

Combinando los conceptos de base acotadamente completa y reduc-tora obtenemos finalmente la siguiente caracterizacion de los espaciosreflexivos con base.

Teorema 6.27 Sea X un espacio de Banach con base {xn}∞n=1 . En-tonces X es reflexivo si y solo si la base es a la vez reductora y aco-tadamente completa.

Demostracion: Supongamos primero que X es reflexivo. Si {xn}∞n=1

no es reductora, existe x∗ ∈ X∗ tal que∥∥∥x∗ |[xi]

∞i=n

∥∥∥ no tiende a cero.

Como{∥∥∥x∗ |[xi]

∞i=n

∥∥∥}n

es decreciente existen ε > 0 y para n = 1, 2, ...

yn ∈ [xi]∞i=n tales que

a) ‖yn‖ = 1

b) x∗ (yn) > ε para n = 1, 2, ....

Por el corolario 4.69 podemos suponer sin perdida de generalidadque {yn}∞n=1 es debilmente convergente; sea y =

∑∞n=1 x∗

n (y) xn sulımite. Entonces limn→∞ x∗

m (yn) = x∗m (y) para cada m.

Pero x∗m (yn) = 0 si n > m, de modo que x∗

m (y) = 0 para cada m, yesto implica que y = 0, lo cual contradice b), probando ası que {xn}∞n=1

es reductora.Estamos ahora en la situacion del teorema 6.26, por lo tanto, si

{an}∞n=1 ⊂ K es tal que

supn

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ < ∞,

entonces existe x∗∗ ∈ X∗∗ con x∗∗ (x∗i ) = ai para cada i. Sea j la

inyeccion canonica de X en X∗∗. Como X es reflexivo, {j (xn)}∞n=1 es


base de X∗∗, de donde x∗∗ se puede expresar como x∗∗ =∑∞

n=1 bnj (xn)y claramente an = bn para toda n. Por ende

∑∞n=1 anxn converge en X

y {xn}∞n=1 es acotadamente completa.Viceversa, supongamos que {xn}∞n=1 es una base reductora y aco-

tadamente completa de X. Para ver que X es reflexivo hay que probarque si x∗∗ ∈ X∗∗, existe x ∈ X tal que j (x) = x∗∗. Sea pues x∗∗ ∈ X∗∗;entonces por el teorema 6.26,

supn

∥∥∥∥∥n∑

i=1

x∗∗ (x∗i ) xi

∥∥∥∥∥ < ∞,

y por ser {xn}∞n=1 acotadamente completa,∑∞

n=1 x∗∗ (x∗n) xn ∈ X. Por

lo tanto

y∗∗ =∞∑

n=1

x∗∗ (x∗n) j (xn) ∈ X∗∗,

y como y∗∗ (x∗n) = x∗∗ (x∗

n) para cada n, y {x∗n}∞n=1 es base de X∗,

y∗∗ = x∗∗, o sea que

x∗∗ = j

(∞∑

n=1

x∗∗ (x∗n) xn

),

lo que completa la prueba.

Ejemplos

Como ya sabemos que los espacios lp con 1 < p < ∞ son reflexivos, elteorema anterior nos dice que la base canonica y cualquier otra base enestos espacios es a la vez reductora y acotadamente completa.

6.1.3 Bases incondicionales

Existe otro tipo de bases que permiten conocer mas a fondo a los espa-cios que las poseen, las bases incondicionales. Este concepto esta muyligado al de series incondicionalmente convergentes en un espacio deBanach, que detallaremos a continuacion.

Definicion 6.28 Sea {xn}∞n=1 una sucesion en un espacio de Banach.Diremos que la serie

∑∞n=1 xn converge incondicionalmente, si para

cualquier permutacion π de N,∑∞

n=1 xπ(n) converge.


Proposicion 6.29 Sea {xn}∞n=1 una sucesion en un espacio de BanachX. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) La serie∑∞

n=1 xn es incondicionalmente convergente.

(ii) Para toda ε > 0 existe un entero N tal que ‖∑i∈σ xi‖ < ε paratodo conjunto finito σ ⊂ N con min {i ∈ σ} > N.

(iii) La serie∑∞

i=1 xniconverge para cualquier sucesion de naturales

n1 < n2 < ...

(iv) La serie∑∞

n=1 θnxn converge para cualquier sucesion {θn}∞n=1 conθn = ±1 para n = 1, 2, ...

Demostracion: Veremos que (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (ii) ⇒ (i) .(i) ⇒ (ii) Supongamos que (ii) es falso. Entonces existen ε > 0

y σ1 ⊂N finito tal que

∥∥∥∥∥∥∑i∈σ1

xi

∥∥∥∥∥∥ ≥ ε y tambien para toda n existe un

conjunto finito σn ⊂N tal que para n = 2, ...

max {i ∈ σn} < min {i ∈ σn+1} = pn+1 y

∥∥∥∥∥∥∑i∈σn

xi

∥∥∥∥∥∥ ≥ ε. (6.36)

Si rn + 1 denota la cardinalidad de σn, como

pn + rn ≤ max {i ∈ σn} < pn+1,

existe una permutacion π de N tal que para n = 1, 2, ...

π−1 (σn) = {pn, pn + 1, ..., pn + rn} .

Pero entonces obviamente la sucesion{∑n

k=1 xπ(k)

}∞n=1

no es de Cauchy.

(ii) ⇒ (iii) Esto es trivial, pues (ii) implica que {∑mi=1 xni

}∞m=1 esuna sucesion de Cauchy.

(iii) ⇒ (iv) Supongamos que∑∞

i=1 xniconverge para cualquier

sucesion de naturales n1 < n2 < ... y sea {θn}∞n con θn = ±1 paran = 1, 2, .... Sea

{ni : i = 1, 2, ...} = {n ∈ N : θn = 1}


con n1 < n2 < ... y sea

{mi : i = 1, 2, ...} = {n ∈ N : θn = −1} .

con m1 < m2 < ...Entonces dado ε > 0, existe N tal que si i > j > N∥∥∥∥∥∥

i∑k=j

xnk

∥∥∥∥∥∥ <ε

2y

∥∥∥∥∥∥i∑

k=j

xmk

∥∥∥∥∥∥ <ε

2.

Por lo tanto si m > n > max (nN ,mN)∥∥∥∥∥m∑

k=n

θkxk

∥∥∥∥∥ < ε,

es decir, {∑nk=1 θkxk}∞n=1 es una sucesion de Cauchy que por lo tanto

converge.(iv) ⇒ (ii) Supongamos que se satisface (iv) pero (ii) no. Sea

{σn}∞n=1 como en (6.36). Sea

θi =

{1 si i ∈ σn para alguna n−1 si no

Como tanto∑∞

i=1 xi como∑∞

i=1 θixi convergen,

2∑

i∈∪nσn

xi =∞∑i=1

xi +∞∑i=1

θixi

deberıa de converger, pero esto contradice (6.36).(ii) ⇒ (i) Sean π : N→ N una permutacion de los naturales y ε > 0.

Sea N tal que si σ es un subconjunto finito de N y min {i ∈ σ} > N,se tiene que ‖∑i∈σ xi‖ < ε. Sea M = max {i : π (i) ≤ N}. Entonces sim > n > M, ∥∥∥∥∥

m∑i=n

xπ(i)

∥∥∥∥∥ < ε,

lo cual significa que{∑n

i=1 xπ(i)

}∞n=1

es una sucesion de Cauchy y con-secuentemente converge.


Corolario 6.30 Si∑∞

n=1 xn es una serie incondicionalmente conver-gente en un espacio de Banach X, entonces existe x ∈ X tal que paratoda permutacion π de N,

∞∑n=1

xπ(n) = x.

Demostracion: Sean π una permutacion de los naturales y ε > 0. SeaN tal que se satisfaga (ii) de la proposicion 6.29 y sea

M = max {i : π (i) ≤ N} .

Entonces si n > M∥∥∥∥∥n∑

i=1

(xi − xπ(i)

)∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥n∑

i=N+1

xi −∑

{i≤M :π(i)>N}

xπ(i)

∥∥∥∥∥∥ ≤ 2ε,

y esto prueba lo que querıamos demostrar.

Despues de estos preambulos daremos la definicion de base incondi-cional.

Definicion 6.31 Una base {xn}∞n=1 en un espacio de Banach X sellama base incondicional, si para toda x ∈ X su expansion

∑∞n=1 anxn

en terminos de la base, converge incondicionalmente.

De la proposicion 6.29 se deducen las siguientes definiciones equiva-lentes de base incondicional.

Teorema 6.32 Sea {xn}∞n=1 una sucesion basica en un espacio de Ba-nach. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) {xn}∞n=1 es una sucesion basica incondicional.

(ii) Para todo subconjunto σ de N la convergencia de∑∞

n=1 anxn im-plica la convergencia de

∑i∈σ aixi.

(iii) Si∑∞

n=1 anxn converge, entonces∑∞

n=1 θnanxn converge para todasucesion {θn}∞n=1 , donde θn = ±1 para n = 1, 2, ...


(iv) Si |bn| ≤ |an| para toda n, la convergencia de∑∞

n=1 anxn implicala convergencia de

∑∞n=1 bnxn.

Demostracion: La equivalencia de (i) , (ii) y (iii) se sigue de inme-diato de la proposicion 6.29. Es claro que (iv) implica (iii) . Veremosque (i) implica (iv) . Si π es una permutacion de N y

∑∞n=1 anxn ∈ X,

tambien∑∞

n=1 aπ(n)xπ(n)∈ X, de manera de que si x∗ ∈ X∗, se satis-

facen tanto |∑∞n=1 anx

∗ (xn)| < ∞ como∣∣∣∑∞

n=1 aπ(n)x∗(xπ(n)

)∣∣∣ < ∞.

Consecuentemente la serie∑∞

n=1 anx∗ (xn) ⊂K es incondicionalmente

convergente, y, como en R y en C la convergencia incondicional deseries es equivalente a la convergencia absoluta, tenemos que

A =∞∑

n=1

|anx∗ (xn)| < ∞.

Sea ahora {bn}∞n=1 tal que |bn| ≤ |an| . Entonces para todo subcon-junto finito σ de N,∣∣∣∣∣x∗

(∑n∈σ

bnxn

)∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=1

|bnx∗ (xn)| ≤ A,

lo cual, por el principio de acotamiento uniforme aplicado a la familia

G =

{j

(∑n∈σ

bnxn

): |bn| ≤ |an| para n ∈ N y σ es finito

},

donde j es la inyeccion canonica de [xn]∞n=1 en ([xn]∞n=1)∗∗

, implica que

B = sup

{∥∥∥∥∥∑n∈σ

bnxn

∥∥∥∥∥ : |bn| ≤ |an| para n ∈ N y σ es finito

}< ∞.

(6.37)Si para

∑∞n=1 anxn ∈ X definimos∣∣∣∣∣

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anxn

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣1

= B, (6.38)

entonces es facil ver que ([xn]∞n=1 , |‖·‖|1) es un espacio normado com-pleto y ‖∑∞

n=1 anxn‖ ≤ |‖∑∞n=1 anxn‖|1 .


Por lo tanto si T : ([xn]∞n=1 , |‖·‖|1) → ([xn]∞n=1 , ‖·‖) esta dada por

T∞∑

n=1

anxn =∞∑

n=1

anxn,

claramente T es biyectiva y continua y, aplicando el teorema de lafuncion inversa, resulta que existe C ∈ R tal que para cada x ∈ X,

‖x‖ ≤ |‖x‖|1 ≤ C ‖x‖ . (6.39)

Por lo anterior, si ε > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ m > N,∥∥∥∥∥n∑

r=m

brxr

∥∥∥∥∥ ≤∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

n∑r=m

arxr

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣1

< ε,

es decir {∑mr=1 brxr}n

m=1 es una sucesion de Cauchy en X y por endeconvergente.

Corolario 6.33 Sean X un espacio de Banach con base incondicional{xn}∞n=1 y σ un subconjunto finito de los naturales. Dada x =

∑∞n=1 anxn

definimos Pσx =∑

n∈σ anxn. Entonces Pσ es una proyeccion y

sup {‖Pσ‖ : σ ⊂ N, σ finito } < ∞.

Demostracion: Se sigue de inmediato de (6.37).

Corolario 6.34 Sea X un espacio de Banach con base incondicional{xn}∞n=1 . Si para cada sucesion θ = {θn}∞n=1 , donde para n = 1, 2, ...θn = ±1, definimos Mθ : X → X mediante

Mθ

∞∑n=1

anxn =∞∑

n=1

θnanxn,

entonces Mθ es un operador acotado y supθ ‖Mθ‖ < ∞. Al numeroK = supθ ‖Mθ‖ se le llama la constante de incondicionalidad de{xn}∞n=1 . Ademas si definimos en X∣∣∣∣∣

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anxn

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣0

= supθ

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

θnanxn

∥∥∥∥∥ ,


|‖·‖|0 es una norma equivalente a la norma ‖·‖ en X tal que∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anxn

∥∥∥∥∥ ≤∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

∞∑n=1

anxn

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣0

≤ K

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anxn

∥∥∥∥∥ , (6.40)

y con esta nueva norma la constante de incondicionalidad de {xn}∞n=1

es 1.

Demostracion: Se obtiene aplicando nuevamente la desigualdad (6.37)y el teorema de la funcion inversa como en la demostracion de (6.39).

Intuitivamente es claro que una base seminormalizada {xn}∞n=1 de-

berıa de ser equivalente a la base normalizada

{xn

‖xn‖

}∞

n=1

. Aunque

esto es cierto, la prueba es bastante engorrosa. Sin embargo, cuando labase es incondicional la demostracion es muy sencilla como se muestraa continuacion.

Lema 6.35 Si {xn}∞n=1 es una base incondicional seminormalizada en

un espacio de Banach X, entonces

{xn

‖xn‖

}∞

n=1

es una base equivalente

a {xn}∞n=1 .

Demostracion: Es claro que

{xn

‖xn‖

}∞

n=1

es tambien una base incondi-

cional de X, ya que si∑∞

n=1 anxn ∈ X,

∞∑n=1

anxn =∞∑

n=1

an ‖xn‖xn

‖xn‖.

Supongamos que si n ∈ N,1

M≤ ‖xn‖ ≤ M y que

∑∞n=1 anxn ∈ X.

Entonces∑∞

n=1 Manxn ∈ X, y como

∣∣∣∣∣ an

‖xn‖

∣∣∣∣∣ ≤ M |an| y {xn}∞n=1 es

incondicional,∞∑

n=1

anxn

‖xn‖∈ X.


Viceversa, si∞∑

n=1

anxn

‖xn‖∈ X, entonces

∞∑n=1

Manxn

‖xn‖∈ X y como

|an ‖xn‖| ≤ M |an| y

{xn

‖xn‖

}∞

n=1

es incondicional,

∞∑n=1

anxn =∞∑

n=1

an ‖xn‖xn

‖xn‖∈ X.

Ejemplos

Los ejemplos mas sencillos de bases incondicionales son las bases cano-nicas {ei}∞i=1 de los espacios lp, 1 ≤ p < ∞ y de c0.

Sin embargo la base sumante {ξn}∞n=1 en c0 donde ξn =∑n

i=1 ei, no

es incondicional, pues por ejemplo ‖∑ni=1 ξi‖ = n y

∥∥∥∑ni=1 (−1)i ξi

∥∥∥ = 1de manera que para toda K ∈ R, K > 0, si n ≥ K

K = K

∥∥∥∥∥n∑

i=1

(−1)i ξi

∥∥∥∥∥ ≤ n =

∥∥∥∥∥n∑

i=1

ξi

∥∥∥∥∥ ≤ supθi=±1

∥∥∥∥∥n∑

i=1

θiξi

∥∥∥∥∥ ,

lo cual contradice (6.40) del corolario 6.34.

Los espacios de Banach, como ya mencionamos, todos contienenuna sucesion basica y una pregunta abierta hasta hace poco tiempo essi tambien contienen una sucesion basica incondicional. Sin embargo,en 1993 W.T. Gowers y B. Maurey en [14] construyeron un espacio deBanach que no contiene ninguna sucesion basica incondicional.

James [19] demostro que para averiguar si una base incondicional enun espacio de Banach X es reductora o acotadamente completa bastasaber si X contiene a l1 o a c0.

Teorema 6.36 Sea X un espacio de Banach con una base incondi-cional {xn}∞n=1 . Entonces {xn}∞n=1 es reductora si y solo si X no tieneningun subespacio cerrado isomorfo a l1, es decir si y solo si no existeningun operador lineal acotado biyectivo entre un subespacio cerrado deX y l1.


Demostracion: Podemos suponer sin perdida de generalidad que lanorma en X es la norma |‖·‖|1 definida en (6.38) del teorema 6.32.

Si l1 es isomorfo a un subespacio cerrado F de X, entonces porel teorema 4.74, F ∗ se puede identificar con X∗/F⊥. Como F ∗ no esseparable, X∗ tampoco lo es y por lo tanto las funcionales biortogonales{x∗

n}∞n=1asociadas a {xn}∞n=1 no pueden ser base de X∗, es decir {xn}∞n=1

no es reductora.Viceversa, supongamos que {xn}∞n=1 no es reductora.

Como{∣∣∣∥∥∥x∗

∣∣∣[xi]∞i=n

∥∥∥∣∣∣1

}n

es decreciente, existen ε > 0 y x∗ ∈ X∗, que

podemos suponer tiene norma 1, tal que∣∣∣∥∥∥x∗∣∣∣[xi]

∞i=k

∥∥∥∣∣∣1

> ε > 0. (6.41)

Veremos que esto implica que existen una sucesion creciente {nk}∞k=1

y una sucesion {yk}∞k=1 con yk ∈ [xi]nk+1−1i=nk

, |‖yk‖|1 = 1 y tal que x∗ (yk)

es real y x∗ (yk) ≥ε

2.

Pero entonces si {ai}mi=1 ⊂ R,

m∑i=1

|ai| ≥∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑i=1

aiyi

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣1

=

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑i=1

|ai| yi

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣1

≥ x∗

(m∑

i=1

|ai| yi

)≥ ε

2

m∑i=1

|ai| ,

es decir el subespacio [yi]∞i=1 de X es isomorfo a l1 mediante el isomor-

fismo T (yi) = ei, donde {ei}∞i=1 es la base canonica de l1.Procedemos ahora a construir la sucesion anunciada:De (6.41) se obtiene una sucesion {zk}∞k=1 tal que

zk =∞∑

i=k

a(k)i xi, |‖zk‖|1 = 1, | x∗ (zk)| > ε. (6.42)

Construimos las sucesiones {yk}∞k=1 ⊂ X y {nk}∞k=1 ⊂ N como sigue:Sea n1 = 1; como la serie para z1 es convergente existe n2 > n1 tal que∣∣∣∣∣∣

∥∥∥∥∥∥∞∑

i=n2

a(1)i xi

∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣∣1

<ε

2.

Sea

y1 =eiθ1

∑n2−1

i=n1a

(1)i xi∣∣∣∥∥∥∑n2−1

i=n1a

(1)i xi

∥∥∥∣∣∣1

,


donde θ1 es tal que x∗ (y1) ≥ 0.Supongamos que ya construimos θ1, θ2, ..., θk ∈ [0, 2π) , y1, ..., yk ∈X

y n1 < n2 < ... < nk+1 tales que para j = 1, ..., k

(i)∣∣∣∣∥∥∥∥∑∞

i=nj+1a

(nj)i xi

∥∥∥∥∣∣∣∣1

<ε

2,

(ii) yj =eiθj

∑nj+1−1

i=nja

(nj)i xi∣∣∣∣∥∥∥∥∑nj+1−1

i=nja

(nj)i xi

∥∥∥∥∣∣∣∣1

donde θj es tal que x∗ (yj) ≥ 0.

Como la serie para znk+1es convergente, existe nk+2 > nk+1 tal que∣∣∣∣∣∣

∥∥∥∥∥∥∞∑

i=nk+2

a(nk+1)i xi

∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣∣1

<ε

2.

Sea

yk+1 =eiθk+1

∑nk+2−1

i=nk+1a

(nk+1)i xi∣∣∣∣∥∥∥∥∑nk+2−1

i=nk+1a

(nk+1)i xi

∥∥∥∥∣∣∣∣1

,

donde θk+1 es tal que x∗ (yk+1) ≥ 0.

Como∣∣∣∥∥∥znj

∥∥∥∣∣∣1

= 1, se tiene que 0 <

∣∣∣∣∥∥∥∥∑nj+1−1

i=nja

(nj)i xi

∥∥∥∥∣∣∣∣1≤ 1 para

toda j natural.Ya que yk ∈ [xi]

nk+1−1i=nk

, |‖yk‖|1 = 1, usando (6.42), (i) y (ii) obte-nemos

x∗ (yk) =1∣∣∣∥∥∥∑nk+1−1

i=nka

(nk)i xi

∥∥∥∣∣∣1

∣∣∣x∗(∑∞

i=nka

(nk)i xi −∑∞

i=nk+1a

(nk)i xi

)∣∣∣ ≥

≥ 1∣∣∣∥∥∥∑nk+1−1i=nk

a(nk)i xi

∥∥∥∣∣∣1

(ε −

∣∣∣x∗(∑∞

i=nk+1a

(nk)i xi

)∣∣∣) ≥ ε − ε

2=

ε

2.

Con esto terminamos la prueba del teorema.

Tenemos tambien el correspondiente teorema dual para bases aco-tadamente completas y c0 :


Teorema 6.37 Sea X un espacio de Banach con base incondicional{xn}∞n=1 . Entonces, si X no contiene un subespacio cerrado isomorfo ac0, {xn}∞n=1 es acotadamente completa

El inverso de este teorema tambien es verdadero, pero para probarlose necesitan varios resultados que no estan al alcance de este libro. Ellector interesado puede consultar la referencia [23].

Demostracion: Nuevamente supondremos sin perdida de generalidadque X esta dotado con la norma |‖·‖|1 .

Supongamos que la base {xn}∞n=1 no es acotadamente completa.Entonces existe una sucesion {ai}∞i=1 ⊂ K tal que

supm

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

m∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣1

< ∞

pero∑∞

i=1 aixi no converge. Podemos suponer sin perder generalidadque |‖∑m

i=1 aixi‖|1 < 1 para toda m.Entonces si A ⊂ N es un conjunto finito, por definicion de la norma

|‖·‖|1 ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∑

i∈A

aixi

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣1

< 1. (6.43)

Como la serie∑∞

n=1 anxn no converge, no es de Cauchy y podemosencontrar una ε > 0 y dos sucesiones de naturales {nk}∞k=1 y {mk}∞k=1

tales que nk < mk < nk+1 y∣∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∥

mk∑i=nk

aixi

∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣∣1

> ε. (6.44)

Sea yk =∑mk

i=nkaixi; de (6.43) obtenemos que si

A =r⋃

k=1

{i ∈ N : nk ≤ i ≤ mk} ,

entonces ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

r∑k=1

yk

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣1

=

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∑

i∈A

aixi

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣1

< 1. (6.45)

6.2. Subespacios complementados 261

Si {bk}rk=1 ⊂K, usando nuevamente la definicion de |‖·‖|1 , (6.44) y

(6.45), se tiene que

ε supk |bk| < supk |bk| |‖yk‖|1 = supk |‖bkyk‖|1 ≤

≤ |‖∑rk=1 bkyk‖|1 = |‖∑r

k=1 |bk| yk‖|1 ≤

≤ supk |bk| |‖∑rk=1 yk‖|1 < supk |bk| .

Entonces si definimos T : [yk]∞k=1 → c0 mediante Tyk = ek, donde

{ek}∞k=1 es la base canonica de c0, T es un isomorfismo y esto terminala prueba del teorema.

Los dos teoremas anteriores tienen como consecuencia el siguienteresultado, debido tambien a James, que caracteriza a los espacios re-flexivos con base incondicional.

Teorema 6.38 Sea X un espacio de Banach con base incondicional{xn}∞n=1 . Entonces X es reflexivo si y solo si no contiene ningun sub-espacio cerrado isomorfo a l1 ni a c0.

Demostracion: Si X contuviese a c0 o a l1, no podrıa ser reflexivoya que ninguno de estos dos espacios lo es, y subespacios cerrados deespacios reflexivos tambien son reflexivos (corolario 4.77).

Si X no contiene ni a l1 ni a c0, por los dos teoremas anteriores{xn}∞n=1 resulta ser tanto reductora como acotadamente completa, ypor el teorema 6.27 X es reflexivo.

6.2 Subespacios complementados

Como ya vimos, las proyecciones ortogonales juegan un papel muy im-portante en el estudio de los espacios de Hilbert. En el caso de losespacios de Banach se generaliza este concepto de proyeccion, conser-vando algunas de las propiedades que dichos operadores tienen en losespacios de Hilbert. Si H es un espacio de Hilbert y P es una proyeccionortogonal, I−P tambien lo es y todo elemento h ∈ H se escribe de ma-nera unica como h = h1 + h2 con h1 ∈ PH y h2 ∈ (I − P ) H. Veremosque este resultado sigue siendo valido para espacios de Banach.


Para empezar recordaremos la nocion de suma directa F ⊕ G dedos subespacios de un espacio de Banach (X, ‖·‖) . Decimos que X esla suma directa de F y G, si F y G son dos subespacios cerrados de Xtales que

1. F ∩ G = {0} .

2. F + G = X.

De aquı se deduce que si x ∈ X, x se puede escribir de manera unicacomo x = y + z con y ∈ F y z ∈ G. Frecuentemente se dota a F ⊕ Gcon una norma del tipo ‖y + z‖p = (‖y‖p + ‖z‖p)

1/ppara 1 ≤ p < ∞ y

en este caso se escribe la suma como F ⊕p G que resulta ser un espaciode Banach. Ya se menciono en el capıtulo de espacios de Banach quetodas las normas con 1 ≤ p < ∞ son equivalentes en R2. Ademas, sidefinimos el operador T : F ⊕1G → F ⊕G ⊂ X como T (y ⊕ z) = y+z,entonces T es evidentemente biyectiva y

‖T (y ⊕ z)‖ = ‖y + z‖ ≤ ‖y‖ + ‖z‖ = ‖y ⊕ z‖1 ,

es decir ‖T‖ ≤ 1. Aplicando el teorema de la funcion inversa, vemosque T−1 tambien es un operador acotado, o sea que existe C tal que

‖y‖ + ‖z‖ ≤ C ‖y + z‖ . (6.46)

Esto prueba que ‖·‖1 y por ende ‖·‖p , para 1 ≤ p < ∞, es equivalentea ‖·‖ en F ⊕ G.

Un concepto muy ligado al de proyeccion es el de subespacio com-plementado en un espacio de Banach:

Definicion 6.39 Sea X un espacio de Banach. Un subespacio cerradoF de X se llama complementado, si existe una proyeccion P de X sobreF.

Lema 6.40 Si un subespacio F de un espacio de Banach X es comple-mentado y P : X → F es una proyeccion de X sobre F, entonces I −Ptambien es una proyeccion y todo elemento x ∈ X se puede escribir demanera unica como x = x1 + x2 con x1 ∈ F y x2 ∈ (I − P ) X = G,es decir X = F ⊕ G. Viceversa, si X = F ⊕ G, entonces F y G sonsubespacios complementados de X.


Demostracion: Si P : X → F es una proyeccion de X sobre F,entonces

(I − P ) ◦ (I − P ) = (I − P ) − (I − P ) ◦ P = I − P − P + P = I − P,

o sea que I − P es una proyeccion. Si x ∈ X, es claro que

x = Px + (I − P ) x.

Supongamos que x = x1 + x2 con x1 ∈ F y x2 ∈ G. Entonces existenz1,z2 ∈ X tales que x1 = Pz1 y x2 = (I − P ) z2 y de ahı

Px = PPz1 + P (I − P ) z2 = Pz1 = x1.

De manera semejante obtenemos que x2 = (I − P ) x, lo que prueba queX = F ⊕ G.

Recıprocamente, si X = F ⊕ G y definimos P : X → X mediante

Px = x1 si x = x1 + x2 con x1 ∈ F y x2 ∈ G,

es claro que P ◦ P = P. Ademas, usando (6.46) tenemos que

‖Px‖ = ‖x1‖ ≤ ‖x1‖ + ‖x2‖ ≤ C ‖x1 + x2‖ = C ‖x‖ ,

lo cual demuestra que P es una proyeccion acotada y por lo tanto Fes un espacio complementado; como G = (I − P ) X, G tambien escomplementado.

Se le ocurre a uno preguntar si existe algun espacio de Banach talque todos sus subespacios cerrados son complementados. La respuestaa esto es sı, pues si X es un espacio de Hilbert posee esta propiedad( teorema 3.14 ) . Pero, ¿habra espacios que no son de Hilbert con estapropiedad? Aunque esta cuestion es mucho mas complicada, J. Lin-denstrauss y L. Tzafriri en 1971 probaron que los espacios de Hilbertson los unicos espacios tales que todo subespacio cerrado es comple-mentado. Sin embargo en todo espacio de Banach es cierto que todosubespacio de codimension finita es complementado. Esto lo probamosa continuacion para espacios de codimension 1 y dejamos al lector elcaso general.


Proposicion 6.41 Sean X un espacio de Banach, H un subespaciode codimension 1 cerrado y ε > 0. Entonces existe una proyeccionP : X → X con PX = H tal que ‖P‖ < 2+ ε y ‖I − P‖ < 1+ ε, dondeI : X → X es el operador identidad.

Demostracion: Por el corolario 5.25 y la proposicion 4.27 existe

T : X →K lineal continua tal que ker T = H. TomandoT

‖T‖ en lugar

de T, podemos suponer que ‖T‖ = 1. Por lo tanto existe x0 ∈ X con‖x0‖ = 1 tal que

‖Tx0‖ >1

1 + ε.

Sea P : X → X la funcion dada por Px = x − Tx

Tx0

x0. Entonces

(I − P ) x =Tx

Tx0

x0.

Claramente, si x ∈ H, como Tx = 0, tenemos que Px = x. Ademas

TPx = Tx − Tx

Tx0

Tx0 = 0.

Por lo tanto P es una proyeccion sobre H. Como

‖(I − P ) x‖ =‖Tx‖‖Tx0‖

‖x0‖ =‖Tx‖‖Tx0‖

< (1 + ε) ‖T‖ ‖x‖ ,

resulta que ‖I − P‖ < 1 + ε y ‖P‖ < 2 + ε.

De la proposicion anterior se obtiene el interesante resultado quetodos los hiperplanos en un espacio de Banach son uniformemente iso-morfos entre sı.

Teorema 6.42 Sean X un espacio de Banach y H1, H2 subespacios decodimension 1 cerrados de X. Entonces, dado ε > 0 existe un isomor-fismo T : H1 → H2 suprayectivo tal que ‖T‖ < 3 + ε y ‖T−1‖ < 3 + ε.

Demostracion: Sean K = H1⋂

H2; veremos que K es de codimension1 en Hi, i = 1, 2. Por el lema 4.29 K es de codimension 2 en X. Su-pongamos que X = K

⊕sp {x, y} ; debido a que X = H1, o x /∈ H1 o


y /∈ H1. Sea ahora P : X → X una proyeccion sobre H1 y supongamosque (I − P ) X = sp {z}, (I − P ) x = αz, (I − P ) y = βz y β = 0.Entonces si h ∈ H1, existen k ∈ K y μ, ν ∈ R tales que

h = k + μx + νy = k + μPx + vPy + μαz + vβz.

Por lo tanto μα+νβ = 0, ν = −μαβ

, h = k +μ(x − α

βy)

y x− αβy ∈ H1.

Consecuentemente H1 = K⊕

sp{x − α

βy}

. Analogamente se ve que Kes de codimension 1 en H2.

Sean Pi : Hi → Hi las proyecciones sobre K dadas en la proposicion

6.41 tales que ‖Pi‖ < 2 +ε

2, ‖I − Pi‖ < 1 +

ε

2, i = 1, 2. Sea hi ∈ Hi

con ‖hi‖ = 1 tal que hi ∈ (I − Pi) Hi. Entonces para i = 1, 2, Hi =K⊕

[hi] .Si k ∈ K y λ ∈ K,definimos T : H1 → H2 mediante

T (k + λh1) = k + λh2.

Claramente T es lineal y biyectiva; ademas

‖T (k + λh1)‖ = ‖k + λh2‖ ≤ ‖k‖ + ‖λh2‖ = ‖k‖ + ‖λh1‖ =

= ‖P1 (k + λh1)‖ + ‖(I − P1) (k + λh1)‖ < (3 + ε) ‖k + λh1‖ .

Consecuentemente ‖T‖ < 3 + ε y como T−1 (k + λh2) = k + λh1, porlos mismos argumentos obtenemos que ‖T−1‖ < 3 + ε.

Basado en los ejemplos conocidos Banach se pregunto si todo espaciode Banach es isomorfo a sus hiperplanos. Si embargo en 1994 W. T.Gowers en [13] exhibio un espacio de Banach que no es isomorfo a sushiperplanos.

En el capıtulo de espacios de Banach demostramos que si F es unsubespacio cerrado de un espacio de Banach X, entonces el espacio dualde F se puede identificar con el cociente X∗/F⊥. Cuando el espacio F escomplementado y X = F ⊕ G, resulta que sucede lo que nos gustarıaque sucediera, es decir X∗ se puede identificar con F ∗ ⊕ G∗ lo cualimplica que F ∗ se puede ver como un subespacio de X∗.

Lema 6.43 Sea X un espacio de Banach y supongamos que F y G sonsubespacios cerrados de X tales que X = F ⊕G. Entonces X∗ se puedeidentificar isomorfamente con F ∗ ⊕ G∗.


Demostracion: Sea P : X → F una proyeccion de X sobre F. Vere-mos que el operador adjunto P ∗ : F ∗ → X∗ es un isomorfismo entre F ∗

y un subespacio cerrado de X∗. Por el teorema 4.83

ker P ∗ = R (P )⊥ = {0} ,

de modo que P ∗ es inyectiva. Llamemos Y a P ∗F ∗; probaremos que Yes un subespacio cerrado y complementado de X∗.

Para esto consideremos la inclusion i : F → X, dada para f ∈ Fpor if = f. Entonces el operador (iP )∗ : X∗ → X∗ es una proyeccionacotada sobre Y ya que si x ∈ X, x∗ ∈ X∗,

〈(iP )∗ ◦ (iP )∗ x∗, x〉 = 〈(iP )∗ x∗, iPx〉 = 〈(iP )∗ x∗, Px〉 =

= 〈x∗, iPPx〉 = 〈x∗, iPx〉 = 〈(iP )∗ x∗, x〉

y por lo tanto (iP )∗ es una proyeccion. Como iP es acotado, (iP )∗ estambien un operador acotado.

Ademas si f ∗ ∈ F ∗, por el teorema de Hahn Banach existe x∗ ∈ X∗

tal que x∗ |F = f∗. Entonces para toda f ∈ F

〈i∗x∗, f〉 = 〈x∗, if〉 = 〈f∗, f〉 ,

es decir, i∗ : X∗ → F ∗ es suprayectiva. Por lo tanto

(iP )∗ X∗ = P ∗i∗X∗ = P ∗F ∗ = Y.

En resumen hemos demostrado que Y = (iP )∗ X∗, pero como (iP )∗

es una proyeccion, esto por el lema 6.6 implica que Y es cerrado.Como P ∗ es un operador biyectivo de F ∗ sobre Y , aplicando el

teorema de la funcion inversa obtenemos que F ∗ es isomorfo a Y.Tenemos finalmente que

X∗ = (iP )∗ X∗ ⊕ (I − iP )∗ X∗

y Y = (iP )∗ X∗ es isomorfo a F ∗. Usando el mismo proceso para G∗,es claro que este espacio es isomorfo a (I − iP )∗ X∗; lo cual finaliza laprueba.


Como mencionamos antes, los espacios de Hilbert H son los unicosespacios de Banach tales que todo subespacio cerrado es complemen-tado y veremos que tambien tienen la propiedad de que si H = F ⊕G,ya sea F o G es isomorfo a H. Sin embargo existen otros espacios X quecomparten esta propiedad; es mas, existen espacios X, entre ellos los es-pacios de Hilbert separables, tales que cada vez que X = F ⊕G, y tantoF como G tienen dimension infinita, entonces ambos son isomorfos aX.

Definicion 6.44 Sea X un espacio de Banach de dimension infinita.

(i) Si todo subespacio cerrado complementado de dimension infinitade X es isomorfo a X, entonces se dice que X es un espacioprimo.

(ii) Si cada vez que X = F ⊕ G, entonces ya sea F o G es isomorfoa X, se dice que X es primario.

Ejemplos

Veremos mas adelante que los espacios c0 y lp son primos si 1 ≤ p < ∞.Si H es un espacio de Hilbert, entonces H es primario. En efecto,

supongamos que H = H1 ⊕ H2. Entonces claramente H1 y H2 con lanorma heredada de H son espacios de Hilbert ya que son cerrados. Si{φα}α∈A es una base ortonormal de H1 y {ψβ}β∈B es una base orto-normal de H2, entonces{φα}α∈A ∪{ψβ}β∈B es una base ortonormal de

H y por el teorema 3.33, H es isomorfo a l2 (A ∪ B) , H1 es isomorfo al2 (A) y H2 es isomorfo a l2 (B) .

No es muy difıcil ver que l2 (A) es isomorfo a l2 (B) si y solo si lacardinalidad de A es igual a la cardinalidad de B. Pero se sabe que siA ∪ B es un conjunto infinito y A ∩ B = ∅,

card (A ∪ B) = card (A) + card (B) (6.47)

y que si C es un conjunto infinito y tanto card (A) < card (C) comocard (B) < card (C) , entonces

card (A) + card (B) < card (C) . (6.48)


De (6.47) y (6.48) se obtiene que ya sea card (A) = card (A ∪ B) obien card (B) = card (A ∪ B) . En el primer caso se tiene que H1 esisomorfo a H y en el segundo que H2 es isomorfo a H. La misma pruebademuestra que si H es separable, entonces es primo.

Los resultados sobre cardinalidad se pueden encontrar en [15].

Para probar que un espacio es primario frecuentemente se usa unatecnica conocida como metodo de descomposicion de Pelczynski,que se refiere a la aritmetica entre espacios que son suma directa deuna infinidad de sumandos.

En lo que sigue, si F y G son espacios de Banach isomorfos, es-cribiremos F ≈ G y si F y G son isometricos, F ≡ G.

Debido a que en el caso finito las normas que se obtienen tomandodiferentes valores de p ≥ 1 son equivalentes, frecuentemente escribire-mos

X1 ⊕ X2 ⊕ ... ⊕ Xm

en lugar de(X1 ⊕ X2 ⊕ ... ⊕ Xm)p

sin especificar de cual p estamos hablando.

Lema 6.45 Sea 1 ≤ p < ∞. Entonces

(a) Si (F, ‖·‖F ) y (G, ‖·‖G) son espacios de Banach tales que F ≈ G,entonces

(F ⊕ F ⊕ ....)p ≈ (G ⊕ G ⊕ ...)p .

(b)(lp ⊕ lp ⊕ ...)p ≡ lp.

(c) Si (F, ‖·‖F ) y (G, ‖·‖G) son espacios de Banach, entonces((F ⊕ G)p ⊕ (F ⊕ G)p ⊕ ...

)p≡

≡((F ⊕ F ⊕ ...)p ⊕ (G ⊕ G ⊕ ...)p

)p

y de ahı se puede deducir que((F ⊕ G)p ⊕ (F ⊕ G)p ⊕ ...

)p≈ (F ⊕ F ⊕ ...)p ⊕ (G ⊕ G ⊕ ...)p .


(d) Para todo espacio de Banach F(F ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p

)p≡ (F ⊕ F ⊕ ...)p

y de esto se puede deducir que

F ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p ≈ (F ⊕ F ⊕ ...)p

Demostracion: (a) Sea T : F → G un isomorfismo. Si x = {xn}∞n=1 ,entonces S : (F ⊕ F ⊕ ....)p → (G ⊕ G ⊕ ...)p dado por Sx = {Txn}∞n=1

es un isomorfismo ya que claramente S es biyectivo y

‖Sx‖ =

(∞∑

n=1

‖Txn‖pG

) 1p

≤(

∞∑n=1

‖T‖p ‖xn‖pF

) 1p

= ‖T‖ ‖x‖ .

Por lo tanto ‖S‖ ≤ ‖T‖ . Usando el mismo argumento para T−1 tenemosel resultado deseado.

(b) Sea {en}∞n=1 la base canonica de lp.Consideremos en (lp ⊕ lp ⊕ ...)p los elementos de la forma

fij =

⎧⎪⎨⎪⎩0, ..., 0︸︷︷︸j−1

, ei, 0, 0...

⎫⎪⎬⎪⎭ .

No es difıcil ver que {fij}∞i,j=1 es una base para X = (lp ⊕ lp ⊕ ...)p .

Como {fij}∞i,j=1 es un conjunto numerable, existe una funcion biyec-

tiva T : {fij}∞i,j=1 →{en}∞n=1 (por ejemplo Tfij = e (i+j−2)(i+j−1)2

+j). Si ex-

tendemos T linealmente a X y aij ∈ K para i = 1, ..., n y j = 1, ...,m,

∥∥∥T ∑ni=1

∑mj=1 aijfij

∥∥∥ =(∑n

i=1

∑mj=1 |aij|p

) 1p =

(∑mj=1 ‖

∑ni=1 aijei‖p

) 1p =

=∥∥∥∑n

i=1

∑mj=1 aijfij

∥∥∥ .

Esto termina la prueba, pues evidentemente T es una isometrıa suprayec-tiva entre X y lp.

(c) Sea T :((F ⊕ G)p ⊕ (F ⊕ G)p ...

)p→ (F ⊕ F...)p ⊕ (G ⊕ G...)p

dado por T {{xn, yn}}∞n=1 = {{xn}∞n=1 , {yn}∞n=1} .


Entonces T es lineal y biyectiva; ademas

‖T {{xn, yn}}∞n=1‖ = ‖{xn}∞n=1 , {yn}∞n=1‖ =

(‖{xn}∞n=1‖p+ ‖{yn}∞n=1‖p

)1p =

= (∑∞

i=1 ‖xi‖pF + ‖yi‖p

G)1p = (

∑∞i=1 ‖{xi, yi}‖p)

1p = ‖{{xn, yn}}∞n=1‖ .

Es decir, T es una isometrıa. De aquı la otra conclusion se sigue deinmediato.

(d) Sea ahora T :(F ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p

)p→ (F ⊕ F ⊕ ...)p dado por

T {x, {xn}∞n=1} = {x, x1, x2, ...}

para x, xn ∈ F, n = 1, 2, ... Entonces claramente T es biyectiva y

‖T {x, {xn}∞n=1}‖ = (‖x‖pF +

∑∞n=1 ‖xn‖p

F )1p =

(‖x‖pF + ‖{xn}∞n=1‖p

)1p = ‖{x, {xn}∞n=1}‖ .

Por lo tanto T es una isometrıa. La otra afirmacion es obvia a partirde aquı.

6.3 Los espacios lp y c0

En esta seccion discutiremos propiedades adicionales de los espacios lp

que fueron definidos en el capıtulo 4 y que ya nos han servido parailustrar varios de los temas que se han estudiado hasta el momento.Estos espacios se conocen desde tiempo antes que se hiciera un analisissistematico de los espacios de Banach. Sus propiedades han sido estu-diadas a fondo y son muy bien conocidas. Por ello al estudiar otros es-pacios de Banach, uno trata de compararlos con estos espacios y es sor-prendente el hecho que todo espacio de Banach separable es isometricoa un subespacio cerrado de l∞ y tambien a un espacio cociente de l1.

6.3. Los espacios lp y c0 271

Recordemos una vez mas que lp, 1 ≤ p < ∞, es el espacio desucesiones escalares x = {an}∞n=1 tales que

‖x‖p =

(∞∑

n=1

|an|p) 1

p

< ∞,

l∞ es el espacio de sucesiones escalares x = {an}∞n=1 tales que

‖x‖∞ = supn

|an| < ∞

y c0 es el espacio de sucesiones escalares x = {an}∞n=1 cuyo lımite escero, con la norma

‖x‖c0= sup

n|an| .

Sabemos que la base canonica {en}∞n=1 en lp con 1 ≤ p < ∞ y enc0 es una base monotona e incondicional que para 1 < p < ∞ estanto acotadamente completa como reductora y que es acotadamentecompleta para l1 y reductora para c0. Por otra parte, como l∞ no esseparable no tiene una base de Schauder.

Probamos en la seccion 4.8 que para 1 ≤ p < ∞, (lp)∗ = lq donde q

es tal que1

p+

1

q= 1, que (c0)

∗ = l1 y que consecuentemente lp es un

espacio reflexivo si 1 < p < ∞ y c0 y l1 no son reflexivos.

Los siguientes resultados estan encaminados a demostrar que losespacios lp y c0 son primos.

Probaremos los resultados unicamente para lp, 1 ≤ p < ∞. Parac0 la prueba es la misma, excepto que cambia la notacion. Tambienl∞ es primo pero la demostracion es bastante mas complicada y no lapresentaremos aquı.

Proposicion 6.46 Consideremos el espacio lp para 1 ≤ p < ∞ y sea{uj}∞j=1 una sucesion de vectores de norma 1 en lp con

uj =mj+1∑

i=mj+1

a(j)i ei

y 0 = m1 < m2 < .... Entonces


(i) {uj}∞j=1 es una sucesion basica equivalente a {en}∞n=1 y [uj]∞j=1 es

un espacio isometrico a lp.

(ii) Existe una proyeccion de norma 1 de lp sobre [uj]∞j=1 .

Demostracion: (i) Por hipotesis∑mj+1

i=mj+1

∣∣∣a(j)i

∣∣∣p = 1 para cada j. Por

lo tanto para toda k ∈ N y para {bj}kj=1 ⊂ K tenemos que∥∥∥∑k

j=1 bjuj

∥∥∥ =∥∥∥∑k

j=1 bj∑mj+1

i=mj+1 a(j)i ei

∥∥∥ =

=(∑k

j=1 |bj|p∑mj+1

i=mj+1

∣∣∣a(j)i

∣∣∣p) 1p

=(∑k

j=1 |bj|p) 1

p .

(6.49)

(ii) Sea u∗j ∈ [e∗i ]

mj+1

i=mj+1 ⊂ (lp)∗ = lq tal que∥∥∥u∗

j

∥∥∥ = u∗j (uj) = 1.

Claramente u∗j (uk) = 0 si k = j y el operador P : lp → [uj]

∞j=1 definido

por

Px =∞∑

j=1

u∗j (x) uj

es una proyeccion ya que Puj = uj y

PPx =∞∑

j=1

u∗j

(∞∑i=1

u∗i (x) ui

)uj =

∞∑j=1

u∗j (x) uj = Px.

Ademas si x =∑∞

i=1 biei ∈ lp, y u∗j =

∑mj+1

i=mj+1 c(j)i e∗i , usando la des-

igualdad de Holder y como 1 =∥∥∥u∗

j

∥∥∥q=∑mj+1

i=mj+1

∣∣∣c(j)i

∣∣∣q , para cada jtenemos que

∣∣∣u∗j (x)

∣∣∣p =

∣∣∣∣∣∣mj+1∑

i=mj+1

bic(j)i

∣∣∣∣∣∣p

≤mj+1∑

i=mj+1

|bi|p⎛⎝ mj+1∑

i=mj+1

∣∣∣c(j)i

∣∣∣q⎞⎠

p

q

=mj+1∑

i=mj+1

|bi|p .

Por lo tanto, usando (6.49) obtenemos

‖Px‖p =

∥∥∥∥∥∥∞∑

j=1

u∗j (x) uj

∥∥∥∥∥∥p

=∞∑

j=1

∣∣∣u∗j (x)

∣∣∣p ≤ ∞∑j=1

mj+1∑i=mj+1

|bi|p = ‖x‖p ,

lo cual demuestra que P tiene norma 1.


Observemos que si {ekn}∞n=1 es una subsucesion de {en}∞n=1 , entonces

tomando un = eknen la proposicion anterior, obtenemos que {ekn

}∞n=1

y {en}∞n=1 son equivalentes.

M. Zippin demostro que la parte (i) de la proposicion anterior dehecho caracteriza a los espacios lp con 1 ≤ p < ∞ o a c0. Es decir,si un espacio de Banach X tiene una base normalizada {xn}∞n=1 quees equivalente a todas sus bases bloque normalizadas, entonces X esisomorfo a lp para alguna 1 ≤ p < ∞ o a c0. La prueba de este resultadose puede encontrar en [23].

Teorema 6.47 Sea Y un subespacio cerrado de dimension infinita delp, 1 ≤ p < ∞. Entonces Y contiene un subespacio cerrado Z isomorfoa lp y tal que Z es complementado en lp.

Demostracion: Esto se sigue de inmediato del teorema 6.21 tomando

ε =1

8, de la proposicion 6.46 y del teorema 6.20.

Teorema 6.48 Para 1 ≤ p < ∞, lp es un espacio primo.

Demostracion: Supongamos que

lp = E ⊕ F

donde E es un espacio de dimension infinita. Entonces por el teorema6.47, E contiene un subespacio X1 isomorfo a lp y complementado enlp. Por lo tanto X1 tambien es complementado en E y podemos escribir

E = X1 ⊕ Y, donde X1 ≈ lp.

Usando el lema 6.45, y tomando en cuenta que la suma directa deespacios de Banach es asociativa y conmutativa, obtenemos

lp = E ⊕ F = (X1 ⊕ Y ) ⊕ F ≈ (lp ⊕ Y ) ⊕ F ≈ lp ⊕ (Y ⊕ F ) ≈≈ (lp ⊕ lp ⊕ ...)p ⊕ (Y ⊕ F ) ≈

≈ ((E ⊕ F ) ⊕ (E ⊕ F ) ⊕ ...)p ⊕ (Y ⊕ F ) ≈≈ (E ⊕ E ⊕ ...)p ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p ⊕ (Y ⊕ F ) ≈

≈ (E ⊕ E ⊕ ...)p ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p ⊕ Y ≈≈ ((E ⊕ F ) ⊕ (E ⊕ F ) ⊕ ...)p ⊕ Y ≈ (lp ⊕ lp ⊕ ...)p ⊕ Y ≈

≈ lp ⊕ Y ≈ X1 ⊕ Y = E


y esto termina la prueba del teorema.

Si 1 < p < ∞, es facil ver que lp no es isomorfo ni a c0, ni a l1, ni al∞, ya que c∗∗0 = l∞ = (l1)

∗y este espacio no es separable, mientras que

lp, (lp)∗ y (lp)∗∗ sı lo son. Hasta estos momentos parecerıa que todoslos espacios lp para 1 < p < ∞ podrıan ser iguales, aunque siemprepensamos en ellos como espacios diferentes y efectivamente lo son. Sinembargo, la demostracion de este hecho no es nada trivial y requierede una buena parte de las herramientas que hemos desarrollado hastaahora.

Teorema 6.49 Si 1 < r < p < ∞, entonces lp no es isomorfo a lr.

Demostracion: Denotemos por{e(p)

n

}∞n=1

a la base canonica de lp y

supongamos que T : lp → lr es un isomorfismo.Sea x∗ ∈ (lp)∗. Como la base canonica es reductora,

x∗ =∞∑

n=1

an

(e(p)

n

)∗

y claramente an = x∗(e(p)

n

). Consecuentemente, ya que

∥∥∥(e(p)n

)∗∥∥∥ = 1,aplicando el lema 6.2 obtenemos que

x∗(e(p)

n

)−→n→∞

0

y por lo tanto{e(p)

n

}∞n=1

tiende debilmente a cero. La proposicion 4.80

nos dice que T es debilmente continuo y por ende{Te(p)

n

}∞n=1

tambien

converge debilmente a cero. Del lema 6.22 obtenemos una subsucesion{Te(p)

ni

}∞i=1

de{Te(p)

n

}∞n=1

y una base bloque {yi}∞i=1 de{e(r)

n

}∞n=1

talesque {

Te(p)ni

}∞i=1

es equivalente a {yi}∞i=1 . (6.50)

Ademas como T es un isomorfismo{Te(p)

ni

}∞i=1

es equivalente a{e(p)

ni

}∞i=1

. (6.51)


Por otra parte, como{e(p)

n

}∞n=1

es incondicional y de la proposicion 6.46{e(p)

n

}∞n=1

es equivalente a{e(p)

ni

}∞i=1

. (6.52)

Tambien{Te(p)

ni

}∞i=1

y {yi}∞i=1 son incondicionales y podemos aplicar el

lema 6.35 obteniendo que

{yi}∞i=1 es equivalente a

{yi

‖yi‖

}∞

i=1

. (6.53)

Como

{yi

‖yi‖

}∞

i=1

tambien es una base bloque de{e(r)

n

}∞n=1

, por la

proposicion 6.46{yi

‖yi‖

}∞

i=1

es equivalente a{e(r)

n

}∞n=1

. (6.54)

Finalmente, de (6.52), (6.51), (6.50), (6.53) y (6.54) resulta que{e(p)

n

}∞n=1

es equivalente a{e(r)

n

}∞n=1

.

Pero lo anterior es falso, ya que por ejemplo∞∑

n=1

1

n2/(p+r)e(p)

n ∈ lp pero

∞∑n=1

1

n2/(p+r)e(r)

n no converge en lr, pues2r

p + r< 1 <

2p

p + ry esto finaliza

la prueba.

Habiendo probado que lp no es isomorfo a lq si p = q, ya no es muydifıcil probar un resultado aun mas fuerte:

Corolario 6.50 Si 1 ≤ p, q < ∞ y p = q, ningun subespacio cerradode dimension infinita de lp es isomorfo a algun subespacio cerrado delq.

Demostracion: Supongamos que la afirmacion es falsa. Sea entoncesF un subespacio cerrado de dimension infinita de lp isomorfo a un sub-espacio G de lq mediante un isomorfismo T. Por el teorema 6.47 existeun subespacio H cerrado de G que es isomorfo a lq vıa un isomorfismo

S : lq → H.


Entonces T−1H es un subespacio cerrado de lp, y nuevamente por el teo-rema 6.47 existen Z isomorfo a lp contenido en T−1H y una proyeccionP de lp sobre Z. Es claro que P |T−1H es una proyeccion de T−1H sobreZ y que

S−1TP |T−1H T−1S

es una proyeccion de lq sobre S−1TZ. Como lq es primo, esto implicaque S−1TZ y por ende TZ, Z y lp, son isomorfos a lq, lo cual es unacontradiccion.

6.3.1 Caracterısticas especiales de c0, l1 y l∞

Los espacios que nos ocupan en esta subseccion son esencialmente di-ferentes de los espacios lp con 1 < p < ∞, ya que no son reflexivos.Veremos que tienen ciertas propiedades muy particulares que los carac-terizan y que no tienen equivalente en los demas espacios lp.

S. Banach y S. Mazur demostraron que el espacio l∞ es un espaciouniversal en la clase de los espacios de Banach separables:

Teorema 6.51 Todo espacio de Banach separable es isometrico a unsubespacio de l∞.

Demostracion: Sea X un espacio de Banach separable. Entoncespor el teorema de Banach Alaoglu y por el teorema 4.67, BX∗ , la bolaunitaria en X∗ es σ (X∗, X) compacta y separable. Ademas, como Xes isometrico a un subespacio de X∗∗ vıa la inyeccion canonica, y

‖x∗∗‖ = sup {|x∗∗ (x∗)| : x∗ ∈ BX∗} ,

resulta que X es isometrico a un subespacio de C (BX∗) , el espacio defunciones continuas reales con dominio BX∗ con la norma

‖f‖ = sup {|f (x∗)| : x∗ ∈ BX∗}

si f ∈ C (BX∗) . Demostraremos que todo espacio de Banach de la formaC (K) donde K es compacto y separable, es isometrico a un subespaciode l∞, con lo cual terminaremos la prueba del teorema.


Sea {xn}∞n=1 una sucesion densa en K. A cada f ∈ C (K) le asocia-mos la sucesion {f (xn)}∞n=1 . Claramente

‖{f (xn)}∞n=1‖∞ ≤ ‖f‖ .

Sea ε> 0 y supongamos que x ∈ K es tal que

|f (x)| > ‖f‖ − ε

2.

Como f es continua en K y {xn}∞n=1 es un conjunto denso en K, existen0 tal que

|f (x) − f (xn0)| <ε

2y por consiguiente

|f (xn0)| > ‖f‖ − ε.

Esto significa que

‖{f (xn)}∞n=1‖∞ = supn

|f (xn)| = sup {|f (x)| : x ∈ K} = ‖f‖

y por lo tanto C (K) es isometrico al subespacio de l∞ que consta delas sucesiones {f (xn)}∞n=1 con f ∈ C (K) .

Hemos podido comprobar a lo largo del libro la enorme utilidad de“la propiedad de extension” dada por el teorema de Hahn Banach paraoperadores lineales cuyo dominio es un espacio de Banach y que tomanvalores en K. Si pudieramos probar que se pueden extender operadorescuyo rango esta contenido en algun espacio distinto, no tendrıamosque anadir nada para convencernos de la importancia de este hecho.El siguiente resultado, debido a R.S. Phillips dice que l∞ tiene dichapropiedad, o dicho de otro modo, prueba que l∞ es “inyectivo”:

Teorema 6.52 Sea Y un subespacio cerrado de un espacio de BanachX y supongamos que

T : Y → l∞

es un operador lineal acotado. Entonces se puede extender T a X,obteniendo un operador

S : X → l∞

con la misma norma que T.


Demostracion: Sea y ∈ Y. Entonces Ty es una sucesion en l∞ quedenotaremos por {(Ty)n}∞n=1

. Sea y∗n : Y → K la funcional dada por

y∗n (y) = (Ty)n .

Tenemos que

|y∗n (y)| = |(Ty)n| ≤ ‖Ty‖∞ ≤ ‖T‖ ‖y‖ .

Por lo tanto ‖y∗n‖ ≤ ‖T‖ y y∗

n ∈ Y ∗. Podemos aplicar entonces elteorema de Hahn Banach y obtenemos una extension x∗

n : X → K dey∗

n de modo que ‖x∗n‖ = ‖y∗

n‖ . Definamos S : X → l∞ mediante

Sx = {x∗n (x)}∞n=1 .

Claramente Sy = Ty si y ∈ Y y

|Sx| = supn

|x∗nx| ≤ sup

n‖x∗

n‖ ‖x‖ = supn

‖y∗n‖ ‖x‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖ ,

de donde ‖S‖ ≤ ‖T‖ . Como por otro lado es trivial que ‖S‖ ≥ ‖T‖ ,S es precisamente la extension buscada.

El resultado anterior tiene como consecuencia que l∞ es comple-mentado en todo espacio de Banach que lo contenga.

Corolario 6.53 Supongamos que l∞ es un subespacio cerrado de unespacio de Banach X. Entonces existe una proyeccion de norma 1 deX sobre l∞.

Demostracion: Sea I : l∞ → l∞ el operador identidad. Entonces porel teorema anterior podemos extender I a un operador P : X → l∞ demanera que ‖P‖ = 1. Es claro que P es una proyeccion.

El espacio c0 tiene tambien la propiedad de extension de Hahn Ba-nach, pero solo podemos garantizar la extension de operadores cuyodominio sea un espacio de Banach separable. Para la prueba este re-sultado, necesitamos primero el equivalente al corolario anterior parac0, que se debe a A. Sobczyk.


Teorema 6.54 Supongamos que c0 es un subespacio cerrado de un es-pacio de Banach separable X. Entonces existe una proyeccion acotadade X sobre c0.

Demostracion: Sea {e∗n}∞n=1 ⊂ l1 la sucesion de funcionales biorto-gonales asociadas a la base {en}∞n=1 de c0 y sea x∗

n la extension de e∗n aX, cuya existencia esta garantizada por el teorema de Hahn Banach.

SeaBX∗ la bola unitaria en X∗ y sea

F = {x∗ ∈ BX∗ : x∗ (c0) = {0}} .

Si{x∗

nk

}∞k=1

es una subsucesion de {x∗n}∞n=1 tal que

x∗nk

→w∗

x∗, (6.55)

entonces x∗ ∈ F. Esto se debe a que para cada m, si nk > m, se tiene quex∗

nk(em) = 0 y consecuentemente x∗ (em) = 0. Ademas, como ‖x∗

n‖ = 1para cada n, resulta que ‖x∗‖ ≤ 1.

Ya que X es separable, por el teorema 4.67 la topologıa w∗ en BX∗

es metrizable y si {xn}∞n=1 es un subconjunto denso de X

d (x∗, y∗) =∞∑

n=1

2−n |(x∗ − y∗) (xn)| ,

define una metrica compatible.Como en un espacio metrico toda sucesion acotada tiene una sub-

sucesion de Cauchy y como BX∗ es w∗ compacta, (6.55) nos dice quetoda subsucesion de {x∗

n}∞n=1 tiene a su vez una subsucesion que es w∗

convergente a un elemento de F. Equivalentemente, si

dn = inf {d (x∗n, y

∗) : y∗ ∈ F} ,

toda subsucesion de {dn}∞n=1 tiene a su vez una subsucesion que con-verge a 0, es decir limn→∞ dn = 0.

Para cada n sea z∗n ∈ F tal que d (x∗

n, z∗n) < dn +

1

n. Como

dn ≤ d (x∗n, z

∗n) obtenemos

limn→∞

d (x∗n, z

∗n) = 0


o, equivalentemente

x∗n − z∗n →

w∗0. (6.56)

Definamos P : X → c0 mediante

Px = {(x∗n − z∗n) x}∞n=1 .

Por (6.56) el rango de P efectivamente esta contenido en c0. Ademas,como x∗

n |c0= e∗n y z∗n ∈ F, es claro que Px = x si x ∈ c0. Finalmente

‖Px‖ = supn

|(x∗n − z∗n) x| ≤ ‖x∗

n − z∗n‖ ‖x‖ ≤ 2 ‖x‖ ,

es decir ‖P‖ ≤ 2.

Corolario 6.55 Sea Y un subespacio cerrado de un espacio de Banachseparable X y supongamos que T : Y → c0 es un operador lineal aco-tado. Entonces existe una extension S : X → c0 de T , tal que S es unoperador acotado.

Demostracion: Vemos a T como un operador de Y en l∞ y, usando elteorema 6.52, lo extendemos a un operador acotado R : X → l∞. ComoX es separable, tambien lo es el espacio vectorial cerrado Z generadopor R (X) ∪ c0 y del teorema 6.54 obtenemos una proyeccion acotadade Z sobre c0. Finalmente tomamos S = PR.

Ahora nos ocuparemos de las propiedades de l1. La primera es unresultado clasico, tambien debido a Banach y Mazur, que es en ciertamanera el dual del teorema 6.51.

Teorema 6.56 (Banach-Mazur) Todo espacio de Banach separableX es isomorfo a un espacio cociente de l1, es decir existe un operadorlineal acotado suprayectivo Q : l1 → X.

Demostracion: Sea {en}∞n=1 la base canonica de l1, sea {xn}∞n=1 unasucesion densa en BX y definamos Q : l1 → X mediante

Qen = xn.


Q esta bien definido pues claramente si y ∈ l1, y =∑∞

n=1 anen, se tieneque ∥∥∥∥∥

r∑n=k

anxn

∥∥∥∥∥ ≤r∑

n=k

|an|

y por lo tanto

‖Qy‖ ≤ ‖y‖ .

Si x ∈ BX , sea xn1 tal que

‖x − xn1‖ ≤ 1

2 · 2 .

Ahora sea n2 > n1 tal que

‖2 (x − xn1) − xn2‖ ≤ 1

2 · 22, es decir

∥∥∥∥x − xn1 −1

2xn2

∥∥∥∥ ≤ 1

24.

Continuamos inductivamente, hallando nk > nk−1 > ... > n1 tales que∥∥∥2k−1 (x − xn1) − 2k−2xn2 − ... − xnk

∥∥∥ ≤ 1

2 · 2k,

o equivalentemente∥∥∥∥x − 21−kxnk− 22−kxnk−1

− ... − 1

2xn2 − xn1

∥∥∥∥ ≤ 1

22k.

Entonces si y =∑∞

k=1

1

2k−1enk

, obtenemos que y ∈ l1 y Qy = x o sea Q

es suprayectivo.

Este teorema nos permite probar la “proyectividad” de l1 que esuna caracterizacion de este espacio.

Teorema 6.57 Sea X espacio de Banach y supongamos que existe unoperador lineal acotado suprayectivo T : X → l1. Entonces X contieneun subespacio complementado isomorfo a l1.

Es mas, si Y es un espacio de Banach separable de dimension in-finita tal que cada vez que T : X → Y es acotado y suprayectivo, Xcontiene un subespacio complementado isomorfo a Y, entonces Y esisomorfo a l1.


Demostracion: Sea T : X → l1 acotado y suprayectivo y sea {en}∞n=1

la base canonica de l1.Probaremos que existe una sucesion acotada {xn}∞n=1 ⊂ X tal que

Txn = en.Consideremos el operador

T : X/ ker T → l1

dado por T (x) = Tx si x = x + ker T, x ∈ X. Entonces T es unoperador biyectivo y acotado si en X/ ker T consideramos la normacociente

|‖x‖| = inf {‖x + y‖ : y ∈ ker T} .

Claramente∥∥∥T∥∥∥ ≤ ‖T‖ . Aplicando el teorema de la funcion inversa,(

T)−1

tambien es un operador continuo cuya norma denotaremos porK y por lo tanto ∣∣∣∣∥∥∥∥(T)−1

en

∥∥∥∥∣∣∣∣ ≤ K.

Debido a la definicion de la norma en X/ ker T, existe xn ∈(T)−1

en

con‖xn‖ ≤ K + 1.

Sea el operador S : l1 → X dado por Sen = xn. Es claro que si{am}k

m=1 ⊂ K,∥∥∥∥∥Sk∑

m=1

amem

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥k∑

m=1

amxm

∥∥∥∥∥ ≤ (K + 1)k∑

m=1

|am| = (K + 1)

∥∥∥∥∥m∑

k=1

amem

∥∥∥∥∥1

y S es acotado. Por consiguiente ST : X → X es continuo, Txn = en,TS : l1 → l1 es la identidad y

STST = S (TS) T = ST,

y por ende ST es una proyeccion cuyo rango es el espacio [xn]∞n=1 . Perosi {an}∞n=1 ⊂K,

∞∑n=1

|an| =

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anen

∥∥∥∥∥1

=

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anTxn

∥∥∥∥∥1

≤


≤ ‖T‖∥∥∥∥∥

∞∑n=1

anxn

∥∥∥∥∥ = ‖T‖∥∥∥∥∥

∞∑n=1

anSen

∥∥∥∥∥ ≤≤ ‖T‖ ‖S‖

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anen

∥∥∥∥∥1

= ‖T‖ ‖S‖∞∑

n=1

|an| ,

lo cual implica que [xn]∞n=1 es isomorfo a l1.Sea ahora Y un espacio de dimension infinita separable, tal que

cada vez que existe un operador suprayectivo T : X → Y, entoncesY es isomorfo a un subespacio complementado de X. Por el teoremade Banach-Mazur existe un operador suprayectivo Q : l1 → Y y con-secuentemente Y es isomorfo a un subespacio complementado de l1.Como l1 es primo, (ver teorema 6.48) esto implica que

Y ≈ l1.

En general la convergencia debil y la convergencia en la norma nocoinciden, sin embargo en el caso de l1, I. Schur probo que una sucesiones debilmente convergente si y solo si es norma convergente. Por estarazon, actualmente a los espacios de Banach con esta propiedad se lesconoce como espacios de Schur.

Teorema 6.58 (Schur) En l1 coinciden la convergencia debil y laconvergencia en la norma de sucesiones.

Demostracion: Claramente convergencia en la norma implica conver-gencia debil. Supongamos ahora que la sucesion

xn ={x(n)

m

}∞m=1

∈ l1

converge debilmente. Sin perdida de generalidad podemos suponer quesu lımite es 0.

Esto significa que para toda sucesion c = {cn}∞n=1 ∈ (l1)∗

= l∞

〈c, xn〉 =∞∑

m=1

cmx(n)m −→

n→∞0. (6.57)


En particular tomando ek ={0, 0, ..., 0, 1

k, 0, ...

}∈ l∞, resulta que

x(n)k −→

n→∞0 para cada k ∈ N. (6.58)

Supongamos que el teorema es falso. Entonces existe ε > 0 tal que

limn→∞

sup ‖xn‖1 > ε.

Sean ahora n1 y r1 tales que

‖xn1‖ =∞∑

m=1

∣∣∣x(n1)m

∣∣∣ > ε

y

∞∑m=r1

∣∣∣x(n1)m

∣∣∣ < ε

8.

Si ya elegimos n1 < n2 < ... < nk y r1 < r2 < ... < rk, escogemos nk+1

y rk+1 como sigue: Por (6.58) existe N tal que si n > N y m = 1, ..., rk,∣∣∣x(n)m

∣∣∣ < ε

8rk

. (6.59)

Sea nk+1 > max {nk, N} tal que∥∥∥xnk+1

∥∥∥1

> ε. (6.60)

De (6.59) deducimos que

rk∑m=1

∣∣∣x(nk+1)m

∣∣∣ < ε

8. (6.61)

Sea rk+1 > rk tal que

∞∑m=r

k+1

∣∣∣x(nk+1)m

∣∣∣ < ε

8. (6.62)

De (6.60), (6.61) y (6.62) obtenemos

rk+1∑m=rk+1

∣∣∣x(nk+1)m

∣∣∣ > ε − ε

4>

ε

2. (6.63)

6.4. El espacio C [0, 1] 285

Definimos c = {cm}∞m=1 ∈ l∞ como sigue: Sea r0 = 0 y supongamosque rk < m ≤ rk+1. Sea

cm =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 si x(nk+1)m = 0

x(nk+1)m∣∣∣x(nk+1)m

∣∣∣ si x(nk+1)m = 0,

donde la barra indica conjugacion compleja. De lo anterior deducimosque |cm| ≤ 1 para m = 1, 2, ... y que∣∣∣∣∣∣

rk∑m=rk−1+1

cmx(nk)m

∣∣∣∣∣∣ =rk∑

m=rk−1+1

∣∣∣x(nk)m

∣∣∣y de (6.57),

∞∑m=1

cmx(nk)m −→

k→∞0.

Pero de (6.63),∣∣∣∣∣∞∑

m=1

cmx(nk)m

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

rk∑m=rk−1+1

cmx(nk)m +

rk−1∑m=1

cmx(nk)m +

∞∑m=rk+1

cmx(nk)m

∣∣∣∣∣∣ ≥≥∣∣∣∣∣∣

rk∑m=rk−1+1

cmx(nk)m

∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣rk−1∑m=1

cmx(nk)m

∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣

∞∑m=rk+1

cmx(nk)m

∣∣∣∣∣∣ ≥≥

rk∑m=rk−1+1

∣∣∣x(nk)m

∣∣∣− rk−1∑m=1

∣∣∣x(nk)m

∣∣∣− ∞∑m=rk+1

∣∣∣x(nk)m

∣∣∣ ≥ ε

2− 2ε

8≥ ε

4,

lo cual es una contradiccion.

6.4 El espacio C [0, 1]

En esta seccion nos ocuparemos de otro espacio que aparece frecuente-mente en las aplicaciones, el espacio de las funciones continuas (realeso complejas) en el intervalo [0, 1] con la norma :

‖f‖ = sup {|f (x)| : x ∈ [0, 1]} ,


denotado por C [0, 1] .Afortunadamente este espacio tiene una base de Schauder.

Teorema 6.59 La sucesion {φn}∞n=1 definida a continuacion, llama-da sistema de Schauder es una base monotona para C [0, 1] :

Si n = 0, 1, 2, ... y k = 1, 2, ..., 2n

φ0 (t) ≡ 1

φ1 (t) = t

φ2n+k (t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2n+1

(t − 2k − 2

2n+1

)si t ∈

[2k − 2

2n+1,2k − 1

2n+1

]

2n+1

(2k

2n+1− t

)si t ∈

[2k − 1

2n+1,

2k

2n+1

]0 en el resto

Demostracion: Veremos que si f ∈ C [0, 1] entonces la serie

f (0) φ0 +∞∑

n=1

anφn,

dondea1 = f (1) − f (0)

y para n = 0, 1, 2, ... y k = 1, ..., 2n

a2n+k =1

2

(f

(2k − 1

2n+1

)− f

(2k − 2

2n+1

)− f

(2k

2n+1

)+ f

(2k − 1

2n+1

)),

(6.64)converge uniformemente a f en [0, 1] .

En el intervalo [0, 1] ordenamos a los racionales diadicos, es decir a

los de la formam

2n, como sigue: s0 = 0, s1 = 1 y para m = 2n + k con

1 ≤ k ≤ 2n, sm =2k − 1

2n+1. Denotemos por ρ0 a la funcion definida en

[0, 1] mediante ρ0 (t) = f (0) y por ρm a la funcion poligonal dada por

6.4. El espacio C [0, 1] 287

ρm (si) = f (si) para i = 1, 2, ...,m y lineal entre dos si consecutivascon i ≤ m. Es evidente que ρm converge uniformemente a f en [0, 1]cuando m tiende a ∞. Por consiguiente la serie

ρ0 (t) +∞∑

m=1

(ρm (t) − ρm−1 (t))

converge uniformemente a f (t) en [0, 1] .

Sea m = 2n + k. Como2k − 2

2n+1< sm <

2k

2n+1, no es muy difıcil ver

que ρm (t) = ρm−1 (t) siempre y cuando t /∈(

2k − 2

2n+1,

2k

2n+1

)y que

ρm (t) − ρm−1 (t) = amφm (t) .

Esto prueba la convergencia uniforme en [0, 1] a f de la serie

f (0) φ0 +∞∑

n=1

anφn,

de manera que el espacio cerrado generado por la sucesion {φn}∞n=0 estodo el espacio C [0, 1] .

Por otro lado, si {an}∞n=0 ⊂ K, la funcion a0φ0 +∑m

n=1 anφn coincidecon a0φ0 +

∑m−1n=1 anφn para toda t ∈ [0, 1] que no se encuentra en el

intervalo

(2k − 2

2n+1,

2k

2n+1

)y su grafica es una poligonal cuyos vertices

estan en los puntos con abscisa si para i = 1, 2, ...,m. Por lo tanto∥∥∥∥∥a0φ0 +m−1∑n=1

anφn

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥a0φ0 +

m∑n=1

anφn

∥∥∥∥∥ ,

lo cual prueba que {φn}∞n=0 es una base para C [0, 1] que ademas esmonotona.

Probamos anteriormente que todo espacio de Banach separable esisomorfo a un subespacio de l∞, pero l∞ no es separable. S. Banachy S. Mazur probaron que todo espacio de Banach separable tambienes isomorfo a un subespacio de C [0, 1]. Para la demostracion de esteteorema necesitamos el siguiente lema auxiliar:


Lema 6.60 Todo conjunto compacto metrizable es imagen continua delconjunto de Cantor C.

Demostracion: Recordemos que el conjunto de Cantor C se construyepor etapas; despues de la etapa n quedan 2n intervalos cerrados de lon-

gitud1

3n, a los que se les quita en la siguiente etapa el “tercio de en-

medio”. Al final C es la interseccion de todos estos intervalos cerrados.Notemos que dada una sucesion {nk}∞k=1 estrictamente creciente de

naturales, todo punto x de C determina una sucesion unica de naturales{mk}∞k=1 con mk ≤ 2nk como sigue:

Nos fijamos en la etapa nk y numeramos en forma consecutiva los

2nk intervalos de longitud1

3nkque quedan. Entonces mk es el numero

del intervalo al que pertenece x. Al reves es claro que una sucesion{mk}∞k=1 de naturales con mk ≤ 2nk determina de manera unica unpunto x ∈ C.

Sea ahora K un conjunto compacto metrizable cualquiera y sea duna metrica que defina la topologıa de K. Cubrimos a K con un numero

2n1 de bolas cerradas de radio1

2y las numeramos. La interseccion de

cada una de estas bolas con K la cubrimos a su vez con 2n2 bolas

cerradas de radio1

4numerando cada una de ellas de 1 en adelante, y

ası continuamos inductivamente.Construimos ahora una funcion de C sobre K como sigue: Sea

{nk}∞k=1 la sucesion definida arriba determinada por la numeracion delas bolas que cubren a K. Para x ∈ C sea {mk}∞k=1 la sucesion que sedescribio anteriormente. Le asociamos a x el punto en K que se obtienede la manera siguiente:

De las 2n1 bolas de radio1

2que cubren a K, nos fijamos en la de

numero m1; acto seguido de las 2n2 bolas que a su vez cubren a labola anterior, nos fijamos en la de numero m2 y ası sucesivamente.Finalmente tomamos la interseccion de todas las bolas que elegimos, yesta determina un unico punto y en K por ser la interseccion de unasucesion de bolas cerradas de radio decreciente a 0. Sea f (x) = y.

Dada y ∈ K sea {mk}∞k=1 tal que y pertenece a la bola mk de radio1

2nk; entonces y = f (x) donde la x es el punto de C determinado por la

sucesion {mk}∞k=1 . Esto prueba que f es suprayectiva.

6.4. El espacio C [0, 1] 289

Veremos ahora que f es continua. Sea y0 ∈ K y consideremos unavecindad V abierta de y0. Entonces V contiene para alguna k0 una bola

cerrada de radio1

2k0. Sea x0 ∈ f−1 (y0) . Por construccion de f, es claro

que para toda x perteneciente al mismo intervalo que x0 en la etapank0 , f (x) pertenece a V.

Teorema 6.61 Todo espacio de Banach separable es isometricamenteisomorfo a un subespacio cerrado de C [0, 1] .

Demostracion: Sea X un espacio de Banach separable. Entoncespor el teorema 4.67 la bola unitaria BX∗ en X∗, considerada con latopologıa σ (X∗, X ) , es metrizable y por el teorema de Banach Alaoglues compacta.

Sea f : C → (BX∗ , σ (X∗, X)) la funcion suprayectiva continua queexiste por el lema anterior y extendamos f linealmente a una funcioncontinua y suprayectiva

F : [0, 1] → (BX∗ , σ (X∗, X)) .

Para x ∈ X definimos gx ∈ C [0, 1] tal que para t ∈ [0, 1]

gx (t) = 〈F (t) , x〉 .

gx efectivamente es continua ya que si tn −→n→∞

t0 en [0, 1] , como F es

continua en la topologıa σ (X∗, X) , para cada x ∈ X

gx (tn) = 〈F (tn) , x〉 → 〈F (t0) , x〉 = gx (t0) .

Veremos ahora que ‖x‖ = ‖gx‖C[0,1] . Por definicion

‖gx‖C[0,1] = supt∈[0,1]

|gx (t)| . (6.65)

Usando el teorema de Hahn Banach, sabemos que existe T ∈ BX∗ con‖x‖ = Tx. Como f es suprayectiva existe t0 ∈ C tal que T = f (t0) .Por lo tanto

|gx (t0)| = |〈F (t0) , x〉| = |〈f (t0) , x〉| = |Tx| = ‖x‖ . (6.66)


Por otro lado para toda t ∈ [0, 1]

|gx (t)| = |〈F (t) , x〉| ≤ ‖F (t)‖ ‖x‖

y por (6.65) resulta que

‖gx‖C[0,1] ≤ ‖x‖ . (6.67)

Finalmente de (6.66) y (6.67) se sigue que

‖gx‖C[0,1] = ‖x‖ .

Consecuentemente la correspondencia x → gx es una isometrıa entre Xy un subespacio de C [0, 1] .

6.5 El espacio J de James

En esta seccion hablaremos de un espacio que no es tan conocido comolos espacios lp y C [0, 1] , el espacio J de James. Este espacio aparecioen un trabajo de R.C. James en 1950 como un contraejemplo a unapregunta de S. Banach. Desde ese entonces para aca, el espacio haprobado ser una de las fuentes mas ricas de contraejemplos para variosde los problemas que han ocupado a los expertos en espacios de Ba-nach. Como varios de estos temas son muy especializados, no podremostratarlos aquı, pero sı hablaremos de la propiedad esencial de J, vere-mos que es un espacio isometrico a su doble dual, que sin embargo noes igual a su doble dual y que de hecho tiene codimension 1 en el.

Definicion 6.62 El espacio de James J es el espacio de las sucesionesreales x = (a1, a2,...) tales que limn→∞ an = 0 y tales que

‖x‖ = sup

(1

2

(n∑

i=1

(api+1

− api

)2+(apn+1 − ap1

)2)) 1

2

< ∞, (6.68)

donde el supremo se toma sobre todos los posibles valores de n y sobretodas las posibilidades de sucesiones finitas p1 < p2 < ... < pn+1 denumeros naturales.

6.5. El espacio J de James 291

Dejaremos al lector como ejercicio comprobar que la definicion quedimos de ‖·‖ efectivamente corresponde a una norma y que el espacioes completo respecto a esta norma.

Teorema 6.63 La sucesion {en}∞n=1 , donde en ={0, 0, ..., 0, 1

n0, ...

},

es una base monotona normalizada y reductora en J.

Demostracion: De la definicion de la norma en J, ‖en‖ = 1 paran = 1, 2, ... y cualquier suma de las que se usan para la definicion de‖∑m

i=1 aiei‖ tambien interviene en la de∥∥∥∑m+1

i=1 aiei

∥∥∥ , de donde

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aiei

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥

m+1∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥y por lo tanto {en}∞n=1 es una base monotona.

Supongamos ahora que {en}∞n=1 no es reductora. Entonces existex∗ ∈ X∗ tal que

limn→∞

‖x∗‖n = 0,

donde ‖x∗‖n es la norma de x∗ |[ei]∞i=n

, es decir de x∗ restringida alsubespacio [ei]

∞i=n . Por lo tanto existen ε > 0 y una sucesion {nk}∞k=1

de naturales con nk < nk+1 para k = 1, 2, ... tales que

‖x∗‖nk> ε.

Esto implica la existencia de una sucesion {zk}∞k=1 ⊂ J con ‖zk‖ = 1, y

zk =∞∑

i=nk

〈e∗i , zk〉 ei

tal que

x∗ (zk) > ε,

donde {e∗n}∞n=1 es la sucesion de funcionales biortogonales asociadas a{en}∞n=1 . Construiremos a partir de {zk}∞k=1 una sucesion {yk}∞k=1 demanera que

∑∞k=1 yk/k converja en J pero x∗ (

∑∞k=1 yk/k) no converja

y esto nos proporcionara la contradiccion deseada.


Sea m1 = n1. Como∑n

i=n1〈e∗i , z1〉 ei −→

n→∞z1, existe nr > m1 tal que

x∗

⎛⎝nr−1∑i=m1

〈e∗i , z1〉 ei

⎞⎠ > ε.

Si m2 = nr y y1 =

∑m2−1i=m1

〈e∗i , z1〉 ei∥∥∥∑m2−1i=m1

〈e∗i , z1〉 ei

∥∥∥ , de∥∥∥∑m2−1

i=m1〈e∗i , z1〉 ei

∥∥∥ ≤ 1,

‖y1‖ = 1 y x∗ (y1) > ε.

Supongamos que hemos construido m1 < m2 < ... < mk+1 y y1, ..., yk

tales que {mi}k+1i=1 ⊂ {ni}∞i=1 y

yk =mk+1−1∑i=mk

〈e∗i , yk〉 ei, ‖yk‖ = 1 y x∗ (yk) > ε.

Si mk+1 = nj, como∑n

i=nj〈e∗i , zj〉 ei −→

n→∞zj, existe n′

j > nj tal que

x∗

⎛⎜⎝n′j−1∑

i=nj

〈e∗i , zj〉 ei

⎞⎟⎠ > ε.

Sean mk+2 = n′j y yk+1 =

∑mk+2−1i=mk+1

〈e∗i , zj〉 ei∥∥∥∑mk+2−1i=mk+1

〈e∗i , zj〉 ei

∥∥∥ . Es claro que ‖yk+1‖ = 1

y x∗ (yk+1) > ε.Veremos que

∑∞k=1 yk/k converge en J. En efecto, al calcular una

suma para aproximar la norma de este elemento, cada termino es deuno de los tres tipos siguientes:

1. Puede ser de la forma

1

2

(a

k− b

k

)2

donde a = e∗j (yk) y b = e∗r (yk) para alguna k, j y r, en cuyo caso

este sumando es uno de los sumandos que aproxima ‖yk‖2 /k2.


2. Puede ser del tipo

1

2

(a

k− b

k + m

)2

donde a = e∗j (yk) para alguna k y j, y b = e∗r (yk+m) para algunam y r. En este caso

1

2

(a

k− b

k + m

)2

≤ a2

k2+

b2

(k + m)2

y puede haber a lo mas un termino de este estilo para cada k.

3. El ultimo termino puede ser de la forma

1

2

(a

k− b

k − m

)2

≤ a2

k2+

b2

(k − m)2

donde a = e∗j (yk) para alguna k y j, y b = e∗r (yk−m) para algunam ≥ 0 y para alguna r.

De esto se deduce que∥∥∥∥∥∞∑

k=1

yk

k

∥∥∥∥∥2

≤ 5∞∑

k=1

‖yk‖2

k2= 5

∞∑k=1

1

k2< ∞.

Pero

x∗

(n∑

k=1

yk

k

)> ε

n∑k=1

1

k,

de manera que x∗ (∑∞

k=1 yk/k) no converge. Con esto finalizamos laprueba de que {en}∞n=1 es reductora, lo cual implica que {e∗n}∞n=1 es unabase de J∗.

El teorema siguiente es el teorema principal de esta seccion pues esel que nos da la propiedad de que J es isometrico a su doble dual, masno “igual” a su doble dual pues tiene codimension 1 en J∗∗. Esto a finde cuentas no es tan extrano, pues se debe a que la isometrıa canonicaque identifica a un espacio de Banach con un subespacio de su dobledual es muy particular. Sin embargo el espacio de James fue el primer


espacio conocido con esta propiedad. Desde que se publico el trabajode James, se han construido otros espacios isometricos a sus doblesduales mas no iguales a ellos. De hecho para cada k existe un espacioisometrico a su doble dual pero con codimension k en el; estos espaciosse llaman cuasirreflexivos de orden k. Aquı unicamente daremos lademostracion de que J es cuasirreflexivo de orden 1.

Teorema 6.64 El espacio J es isometrico a J∗∗ y es cuasirreflexivode orden 1, es decir el espacio j (J) , donde j es la inyeccion canonicade J en J∗∗, tiene codimension 1.

Demostracion: Como {en}∞n=1 es una base reductora y monotona,por el teorema 6.26 sabemos que J∗∗ es isometrico al espacio X de lassucesiones reales x=(a1, a2, ...) tales que

‖x‖ = supm

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aiei

∥∥∥∥∥ < ∞

mediante la identificacion T : J∗∗ → X dada por

Tx∗∗ = (x∗∗ (e∗1) , x∗∗ (e∗2) , ...) . (6.69)

Veremos que para toda x ∈ X existe limn→∞ an. Si esto no es cierto,existen x ∈ X, x=(a1, a2, ...) , ε > 0 y una subsucesion {amn

}∞n=1 de

{ai}∞i=1 de tal modo que∣∣∣amn+1 − amn

∣∣∣ > ε para n = 1, 2, ... Sea

M = ‖x‖ y sea L ∈ N tal que Lε2 > 2M2. Entonces

2M2 ≥ 2

∥∥∥∥∥L∑

i=1

aiei

∥∥∥∥∥2

≥L∑

n=1

(amn+1 − amn

)2> Lε2 > 2M2,

lo cual es una contradiccion.Definamos S : X → J como sigue:Si x = (a1, a2, ...) ∈ X y λ = limn→∞ an,

Sx = −λe1 +∞∑i=2

(ai−1 − λ) ei.

Es claro que S es inyectiva, y dada la definicion de las normas en X yJ, es facil ver que es una isometrıa, que es suprayectiva, y consecuente-mente

T−1 ◦ S−1 : J → J∗∗


es una isometrıa.Procedemos a continuacion a la prueba de que j (J) tiene codi-

mension 1 en J∗∗.Si x =

∑∞n=1 anen pertenece a J y si definimos U : J → X mediante

Ux = (a1, a2, ...) ,

U esta bien definida dado que supm ‖∑mi=1 aiei‖ ≤ ‖x‖ < ∞. Ademas

T−1U = j.

En efecto, si x∗∗ = T−1(a1, a2, ...), entonces para cada n ∈ N,x∗∗ (e∗n) = an. Como {en}∞n=1 es una base reductora, {e∗n}∞n=1 es basede J∗ y si x∗ ∈ J∗, x∗ =

∑∞n=1 bne

∗n ∈ J∗ y

(T−1Ux

)(x∗) = x∗∗ (x∗) =

∞∑n=1

bnx∗∗ (e∗n) =

∞∑n=1

bnan =

= x∗ (x) = 〈j (x) , x∗〉 .

Es evidente que si x = (a1, a2, ...) ∈ X y si limn→∞ an = 0, en-tonces, como ‖x‖ = supm ‖∑m

i=1 aiei‖ < ∞, por la definicion 6.62,x =

∑∞n=1 anen pertenece a J, es decir x =Ux.

Sea x∗∗ ∈ X∗∗ con limn→∞ x∗∗ (e∗n) = λ. Podemos escribir

x∗∗ = (x∗∗ − λξ) + λξ

donde ξ es la funcional dada por ξ(e∗n) = 1 para n = 1, 2, ... Por loanterior, T (x∗∗ − λξ) = Ux para alguna x ∈ J y por lo tanto

x∗∗ − λξ = j(x).

Por otra parte, si

0 = y∗∗ + μξ

donde y∗∗ = j (x) y x =∑∞

n=1 anen ∈ J, entonces

0 = STy∗∗ + μSTξ = −μe1 +∞∑

n=2

an−1en


y de aquı se deduce que μ = an = 0 para n = 1, 2, .... De todo estoconcluimos que

J∗∗ = j (J) ⊕ [ξ] ,

donde [ξ] es el espacio generado por la funcional ξ.

Los resultados anteriores nos permiten demostrar que la base cano-nica en J no es incondicional.

Lema 6.65 J no contiene ni a c0 ni a l1 y por esto la base {en}∞n=1 noes incondicional. Es mas, J no tiene ninguna base incondicional.

Demostracion: Como J es isomorfo a J∗∗, y como tanto J como J∗

tienen base de Schauder, esto implica que los tres espacios son sepa-rables. Pero ni c∗∗0 ni (l1)

∗son separables y por ello no pueden ser

subespacios de J.

Como J no es reflexivo y no contiene ni a c0 ni a l1, concluimosdel teorema 6.38 que ni {en}∞n=1 ni ninguna otra base de J pueden serincondicionales.

6.6 Ejercicios

1. Demuestre que una sucesion basica normalizada {xn}∞n=1 es equi-valente a la base canonica de c0 si y solo si existe una constan-te K tal que para toda m ∈ N y para cualesquiera escalaresa1, a2, ..., am ∥∥∥∥∥

m∑i=1

aixi

∥∥∥∥∥ ≤ K sup1≤i≤m

|ai| .

2. Demuestre que una sucesion normalizada {xn}∞n=1 es equivalentea la base canonica de l1 si y solo si existe una constante K talque para toda m ∈ N y para cualesquiera escalares a1, a2, ..., am

m∑i=1

|ai| ≤ K

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aixi

∥∥∥∥∥ .

6.6. Ejercicios 297

3. Pruebe que si {xn}∞n=1 es una base reductora de un espacio deBanach X, entonces {x∗

n}∞n=1 , la sucesion de funcionales biorto-gonales asociada a dicha base, es una base acotadamente completade X∗.

4. Suponga que {xn}∞n=1 es una base acotadamente completa y que{x∗

n}∞n=1 es la sucesion de funcionales biortogonales asociada adicha base. Entonces {x∗

n}∞n=1 es base reductora de [x∗n]∞n=1 .

5. Suponga que {xn}∞n=1 es una base acotadamente completa de unespacio de Banach X. Sea {x∗

n}∞n=1 la sucesion de funcionales bior-togonales asociada a dicha base y sea [x∗

n]∞n=1 el espacio lineal ce-rrado generado por {x∗

n}∞n=1 . Demuestre que para cadax∗∗ ∈ X∗∗ la serie

∞∑n=1

x∗∗ (x∗n) xn

converge en X. [Sugerencia: mediante un argumento de diagona-lizacion puede hallarse una sucesion {yn}∞n=1 ⊂ X tal que paracada k ∈ N, se satisface que limn→∞ x∗

k (yn) = x∗∗ (x∗k) . A partir

de esto se puede ver que los elementos de la forma∑m

n=1 x∗∗ (x∗n) xn

son lımite de sucesiones de vectores del tipo∑m

n=1 x∗n (yi) xn que

pertenecen a BX . ]

6. Sea {xn}∞n=1 una base acotadamente completa en un espacio deBanach X. Si P : X∗∗ → j (X) , donde j es la inyeccion canonicade X en X∗∗, esta dado por

Px∗∗ =∞∑

n=1

x∗∗ (x∗n) j (xn) ,

entonces I − P es una proyeccion sobre el espacio

{x∗∗ ∈ X∗∗ : x∗∗ (x∗) = 0 para toda x∗ ∈ [x∗n]∞n=1} .

7. Sea {xn}∞n=1 una base acotadamente completa en un espacio deBanach X. Entonces X es isomorfo a ([x∗

n]∞n=1)∗.

8. Sea X un espacio de Banach tal que X∗ tiene una base {x∗n}∞n=1 .

Si {yn}∞n=1 ⊂ X es una sucesion acotada y existe y ∈ X tal quepara toda m ∈ N x∗

m (yn) −→n→∞

x∗m (y) , entonces yn →

wy.


9. Sean X un espacio de Banach y F y G subespacios tales queX = F ⊕ G. Entonces G es isomorfo a X/F y por lo tanto G∗ esisomorfo a F⊥.

10. Sea π una permutacion de los naturales y sea {θn}∞n=1 ⊂ R unasucesion fija con θn = ±1 para n = 1, 2, .... Si x = {an}∞n=1 ∈ lp

sea Ux ={θnaπ(n)

}∞n=1

. Demuestre que U es una isometrıa de lp

sobre sı mismo.

11. Sean 1 ≤ p < ∞, p = 2, a = {an}∞n=1 y b = {bn}∞n=1 elementosde lp. Demuestre que si para cualesquiera α y β

‖αa + βb‖p = |α|p ‖a‖p + |β|p ‖b‖p , (6.70)

entonces an · bn = 0 para toda n ∈ N.

(Sugerencia: Considere el caso p = 1, despues tome p > 2 y derivedos veces la ecuacion (6.70) con respecto a α o β. Finalmenteobtenga el caso 1 ≤ p < 2 por dualidad).

12. Sea T : lp → lp, 1 ≤ p < ∞, una isometrıa suprayectiva. De-muestre que si a = {an}∞n=1 y b = {bn}∞n=1 son elementos de lp

con an · bn = 0 para n = 1, 2, ..., entonces (Ta)n · (Tb)n = 0 paran = 1, 2, ...

13. ¿Cuales son los puntos extremos de la bola unitaria de l∞?

14. Sean {en}∞n=1 la base canonica de c0 y A la cerradura de la envol-vente convexa de 0 y {en/ (n + 1)}∞n=1 . Demuestre que A es unconjunto convexo y compacto, pero no es igual a la envolventeconvexa de sus puntos extremos.

15. Demuestre que (6.68) efectivamente define una norma en J y queel espacio con esta norma es completo.

16. Sea {en}∞n=1 la base canonica en J. Demuestre que si

sn = e1 + e2 + ... + en

{sn}∞n=1 tambien es una base en J. Dicha base se llama la basesumante.

6.6. Ejercicios 299

17. Sea {sn}∞n=1 la base de J definida en el ejercicio anterior. De-muestre que es acotadamente completa.

18. Sea {en}∞n=1 la base canonica en lp. Demuestre que la sucesion

{fij}∞i,j=1 ⊂ (lp ⊕ lp ⊕ ...)p definida por fij =

⎧⎪⎨⎪⎩0, ...0, ei︸︷︷︸j

, 0, ...

⎫⎪⎬⎪⎭ es

una base incondicional del espacio (lp ⊕ lp ⊕ ...)p .

19. Sean X un espacio de Banach y Y un subespacio de dimensionfinita de X. Pruebe que Y es complementado en X. (Sugerencia:tome una base {yi} de Y, extienda las funcionales biortogonalesasociadas a {yi} a todo X y use dichas extensiones para definiruna proyeccion de X sobre Y ).

20. Pruebe que todo subespacio de codimension finita de un espaciode Banach es complementado.


Bibliografıa

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301

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Indice

Aaniquilador, 128automorfismo, 64

BBaire, teorema de, 103Banach, S., 98, 276, 287Banach-Alaoglu, teorema de, 123,

208Banach-Mazur, teorema de, 280Banach-Steinhaus para sucesiones,

teorema de, 107Banach-Steinhaus, teorema de, 105base canonica, 227base de Hamel, 12, 34, 104, 217base de Schauder, 218, 225, 228

acotadamente completa, 245bloque, 227, 238incondicional, 253, 257, 260monotona, 222reductora, 244, 247

base local, 16, 148base ortonormal, 41–42base sumante, 233, 243, 298Bishop, E., 135

CCantor, conjunto de, 288Caratheodory, C., 198

Cauchy-Schwarz, desigualdad de, 25codimension 1, 95coeficiente de Fourier, 34conjunto

absorbente, 148acotado, 155–156balanceado, 148cociente, 9convexo, 11debilmente acotado, 120de la primera categorıa, 102de la segunda categorıa, 102denso en ninguna parte, 102dirigido, 18simetrico, 148total, 193totalmente ordenado, 10

conjunto ortonormal , 34maximo, 38, 42

constante de base, 222constante de incondicionalidad, 255convergencia incondicional, 250

Eelemento

maximal, 10minimal, 10

Enflo, P., 230envolvente convexa, 11, 164

304

Indice 305

envolvente convexa y balanceada,206

espaciometrico, 17metrico completo, 17metrizable, 17, 180normable, 183normado, 24

espacio cocientenormado, 87topologico, 17vectorial, 12vectorial topologico, 211

espacio de Baire, 102espacio de Banach, 76

cuasirreflexivo, 294primario, 267primo, 267reflexivo, 111, 134, 249, 261

espacio de Hausdorff, 15, 212espacio de Hilbert, 27espacio de James, 290espacio de Sobolev, 28espacio dual, 53, 85, 200espacio dual algebraico, 200espacio nulo, 13espacio ortogonal, 31espacio prehilbertiano, 22espacio producto, 16espacio topologico, 14

localmente compacto, 16, 160secuencialmente compacto, 19separable, 15

espacio vectorial , 10generado, 12

espacio vectorial topologico, 145localmente convexo, 167

FFischer, E., 21Fredholm, I., 21funcion

abierta, 16c-lineal, 100cociente, 9continua, 16convexa, 14extension de, 9invertible, 9lineal, 13r-lineal, 99restriccion de, 9sublineal, 14

funcion sesquilineal, 57acotada, 57

funcional lineal, 51, 84funcional subaditiva de Minkowski,

168, 172funcionales

biortogonales, 224, 241coeficiente, 224

GGoldstine, teorema de, 125, 207Gowers, W.T., 257, 265grafica, 8, 109Grinblyum, M.M., 228

HHahn, O., 98Hahn-Banach, teorema de , 192

caso complejo, 100caso real, 98geometrico complejo, 191geometrico real, 189

306 Indice

para espacios de Hilbert, 56para espacios normados, 101

Helly, teorema de, 216Helly, teorema de seleccion de, 127Hilbert, D., 21hiperplano, 188, 264Holder, desigualdad de, 48, 79Holder, desigualdad generalizada de

, 141homeomorfismo, 16

Iinterseccion finita propiedad de, 15inyeccion canonica, 111isometrıa, 55, 84isomorfismo

algebraico, 13, 162de espacios normados, 84isometrico, 56, 84de espacio vectorial topologico,

162de espacios vectoriales, 157

JJames, R.C., 135, 257, 261, 290

KKrein-Milman, teorema de, 196Krein-Milman, teorema extendido

de, 199

Lley del paralelogramo, 28Lindenstrauss, J., 32, 263

Mmetodo de descomposicion de Pel-

czynski, 268

metrica, 17invariante, 177

Maurey, B., 257Mazur, S., 276, 287Minkowski, desigualdad de, 80

NNeumann, J. von, 21norma, 24

cociente, 87de un operador, 85

normas equivalentes, 81

Ooperador lineal , 157, 84

acotado, 53, 84, 185adjunto (espacios de Hilbert),

60adjunto (espacios normados), 137autoadjunto, 62compacto, 144conjugado, 57debilmente continuo, 136hermitiano, 62normal, 62, 64positivo, 66raız cuadrada de, 70rango finito, 144unitario, 62, 64

ortogonal, 30ortogonalizacion de Gram-Schmidt,

43

PPhelps, R.R., 135Phillips, R.S., 277polar, 204

Indice 307

polinomios de Hermite, 73prepolar, 204principio del acotamiento uniforme,

105, 159producto interior, 22, 27–28proyeccion, 14

acotada, 221asociada a una base, 222ortogonal, 32

punto extremo, 194

Rred, 18

convergente, 18de Cauchy, 18

Riesz, F., 21

SSchmidt, E., 21Schur, I., 283Schur, teorema de, 283semiespacio cerrado, 192seminorma, 75separa puntos, 201sistema de Schauder, 286Sobczyk, A., 278subespacio

vectorial, 11complementado, 262

subred, 18sucesion basica, 219, 232

incondicional, 253normalizada, 219seminormalizada, 219

sucesiones basicas equivalentes, 232suma directa

algebraica, 12

de espacios normados, 89, 262Szankowski, R., 230

Tteorema

de la bipolar, 206de la funcion abierta, 107de la funcion inversa, 109de la grafica cerrada, 109

topologıaw, 114w∗, 117base de , 15cociente, 16, 211debil, 114, 201debil estrella, 116, 201generada por seminormas, 173inducida en un subconjunto, 16inducida por una metrica, 17metrizable, 118producto, 16subbase de, 16

Tychonoff, teorema de, 17Tzafriri, L., 32, 263

Vvecindad, 15

ZZippin, M., 273Zorn, lema de, 10

SimbologıaC, 7N, 7Q, 7R, 7A \ B, 8⋂

α∈I Aα, 8⋃α∈I Aα, 8∏α∈I Aα, 8

A × B, 8R (f), 8, 61gra f , 8, 109g ◦ f , 9f |C , 9a, 9X/Y , 9, 12, 87K, 10x + A, 11x − A, 11A + B, 11λA, 11convA, 11, 164X ⊕a Y , 12sp {yj}j∈J , 12ker T , 13, 61E, 15intE, 15∂B, 15Br(x), 17(·, ·), 22H1, 23H2, 24

H3, 24H4, 24‖·‖, 24⊥, 30x⊥, 31M⊥ (espacios de Hilbert), 31X ⊕ Y , 31x, 34∑

α∈A yα, 38l2(A), 44l2, 45(X,A, μ), 47L2 (X,μ,A), 48X∗, 53, 85, 200B (H), 59‖T‖, 59, 85T ∗ (espacios de Hilbert), 59C(X), 78c0, 78, 271l∞, 78, 271lp, 1 ≤ p < ∞ , 78, 271B(X,Y ), 85, 87X ⊕ Y , 89, 262(X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)p, 90, 268(X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)∞, 90[Y ], 93BX , 94SX , 94X∗∗, 111j, 111σ (X,X∗), 114

308

Simbologıa 309

〈x∗, x〉, 114V (x0,x

∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε), 114

V (x∗1, x

∗2, ..., x

∗k, ε), 114

σ (X∗, X), 116V (x∗

0,x1, x2, ..., xk, ε), 117xα →

wx0, 118

x∗α →

w∗x∗

0, 118

Aw, 119, 203

Aw∗

, 119E⊥ (espacios de Banach), 128F⊥ (espacios de Banach), 128T ∗ (espacios normados), 137IX , 137c, 144lp, 0 < p < 1, 151μA, 168Lp [0, 1], 0 < p < 1, 187convF , 199X ′, 200σ(X,Y ), 200Ao, 204oB, 204|‖·‖|, 220|‖·‖|1, 254Pσ, 255Mθ, 255|‖·‖|0, 255F ≈ G, 268F ≡ G, 268C [0, 1], 286J , 290

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Libro Anális Funcional