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LES CONSTANTES DES EQUATIONS FONCTIONNELLES DES FONCTIONS L
Par P. Deli~ne__
International Summer School on Modular Functions, Antwerp 1972
Del-2
-502-
Contents
- Introduction
§i. Repr@sentations virtuelles d'un groupe fini
§2. Groupes de Well
§3. Rappels sur les fonctions L
§4. Existence des constantes locales
§5. Formulaire
- §6. R~duction modulo ~ des constantes locales
- §7. Fonction L modulaires
- §8. ReprEsentations %-adiques des groupes de Well locaux non archim@diens- Structures de Hodge et groupes de Well locaux
archim6diens.
- §9. Syst~mes compatibles de representations ~-adiques
- §lO.La th@orie de Grothendieck
- §ll.Appendice. Le ca!cul de E modulo les racines de l'unit@
Bibliographie
3
7
21
26
35
48
54
58
66
7 4
8 1
93
96
INTRODUCTION
- 5 0 3 - Del-3
Les r~sultats essentiels de cet article sont les suivants .
(A) On donne une d@monstration simple du th@or~me de Langlands [9] (d~j~ prouv@ au
signe pros par Dwork [6] ) qui permet d'~crire la constante des @quations fonction-
nelles des fonctions L d'Artin (ou de Weil [19] ) comme produit de constantes lo-
cales.
Le th~or~me ~ d~montrer est local~ et la d~monstration de Langlands
avait l'~l~gance d'@tre purement locale. Pour l'essentiel, il s'agit de d@montrer
une identit~ (multiplicative) entre sommes de Gauss un peu g@n~ralis~es chaque fois
qu'on a une relation ~-lin@airc entre caract~res de groupes de Galois locaux induits
par des caract~res de repr@sentations de dimension un de sous-groupes. Langlands cons-
truisait un ensemble g@n@rateur de telles relations, et ramenait les identit@s ~ d@-
montrer ~ des identit~s entre sommes de Gauss qu'il d~montrait en s'appuyant sur le
th~orgme de Stickelberger.
La d@monstration pr~sent@e iciest tr~s proche de la d~monstration
[5] de l'identit~ de Hasse-Davenport(cf. aussi Weil [18] ). Elle utilise un argument
global (4.12), et le fait que les constantes locales ~ d@finir sont de nature essen-
tiellement triviale ~ l'infini, dans le cas non ramifi~, et dans certains cas tr~s
ramifies (4.14).
(B) Soient K un corps de fonctions et P : Gal (~/K) 4 GL(n,~) une repr@senta-
tion ~-adique du groupe de Galois de K, presque partout non ramifi@e. Grothendieck a
-s montr@ que le produit eul~rien @tendu aux places de K (avec p remplac@ par une
ind~termin@e t)
Z (P,t) = ~ det (l-Fvt deg(v) , (~) P(Jv))-i E ~%[[t]] v
-504-
Del-4
est une fraction rationnelle, et qu'une ~quation fonctionnelle relie
V
Z(P,t) :
z(P,t)
v Z(P,pt -I) = e Z(P,t)
(la constante e est un mon~me a tb). Cette th~orie est r6sum~e au §i0. Le r~sul-
tat (A) sugg6re une formule pour exprimer la constante e comme produit de constan-
tes locales. Nous montrons que cette formule est vraie lorsque P appartient A un
syst6me compatible infini de repr6sentations %-adiques (9.3 et 9.9) . D'aprgs Weil
[16] et Jacquet-Langlands [8 ] , cette formule, appliqu@e au syst~me compatible de
repr6sentations ~-adiques d6fini par une courbe elliptique sur K , permet d'associer
une forme modulaire pour GL(2,K) A toute courbe elliptique sur K
Ii serait tr~s int6ressant de savoir si la formule obtenue reste va-
lable pour une quelconque repr6sentation ~-adique.
Voici le contenu des divers §§, et leur interd6pendance.
Le d~but du § 1 rassemble quelques r6sultats sur ]es repr@sentations
induites des groupes finis qui nous seront utiles.
La fin du § (l.ll-fin) ne sert pas darts le reste de l'article. Pour
Gun groupe r~soluble, on y d~crit un ensemble R de relations lin~aires (sur ~ )
entre les caract~res de G induits par des caractgres de dimension un de sous-groupeS,
et on montre que toute telle relation est combinaison lin~aire d'~l~ments de R. Le
r~sultat, et sa d~monstration, sont contenus implicitement dans [9] .
Les §§2 et 3 servent essentiellement A fixer les notations. Au §2,
on rappelle la structure du groupe de Galois d'un corps local [i0] , on d~finit les
"groupes de Weil" (variante des groupes de Galois) et on donne quelques ~nonc~s de
la th6orie du corps d6 classe. Le lecteur prendra garde que, dans tout cet article,
-505-
Del-5
l'isomorphisme de la th6orie du corps de classe local transforme uniformisante en
inverse de la substitution de Frobenius (la raison est donn@e en 3.6). Le §3 est un
rappel de la thAse de Tate, et de Artin [i] .
Le 44 contient la d@monstration du r@sultat annonc6 en (A) ci-dessus ;
le formulaire du 45 donne une liste de propri~t@s fondamentales des constantes loca-
les construites au 44, et quelques identit~s entre sommes de Gauss qui en r@sultent.
Les §§6,7 et 8 (qui ne d~pend que du §2) sont pr61iminaires A la d6-
monstration de [B), denn6e au §9. Dans les %nonc6s des 443 et 4 , nous avions @t~
tr~s attentifs A n'utiliser que des formules "rationnelles", ne contenant ni passage
la limite ni racine carr6e (fGt-ce d'un entier positif) Nous en r@coltons le fruit
aux §§6 et 7. Au §6, pour K un corps local non archim6dien et V une repr6sentation mo-
dulaire de W(K/K) sur un corps A de caract~ristique ~ # p, nous d@finissons (par
transport de structure pour ~ = 0 et par r~duction mod ~ pour ~ # O) une constante
locale ¢ (V, ~, dx) E A ~
Au §7, pour K global de caract~ristique p
tion modulaire de W(K/K), nous prouvons par r~duction mod
nelle pour la fonction L E A(t) correspondante.
et V une repr@senta-
une 6quation fonction-
Au 48, nous donnons des classes d'isomorphie de repr6sentations
~-adiquesdu groupe de Well d'un corps local une description purement alg6brique, in-
d~pendante de la topologie de ~£ Ceci sert ~ d~finir la compatibilit6 de repre-
sentation % et ~'-adique. La notion introduite est plus fine que celle de Serre
Fi2] .
Le 49 donne la d@monstration de (B) (9.3 et 9.9). L'id6e est que pour
d6montrer une identit6, il suffit de la d@montrer mod £ pour une infinit6 de £
Nous donnons aussi, pour les corps de fonctions, une r6ponse partielle A une question
de Serre en montrant (9.8) que deux repr6sentations ~ et £~-adiques, dormant lieu
-506-
Del-6
au m~me polyn6me caract~ristique de Frobenius (suppos~ dans @[t])en presque routes
les places, v~rifient une compatibilit~ aux places r~siduelles.
Le §iO rgsume la th@orie de Grothendieck des fonctions L (cf [7]
et SGA 5), qui nous a servi de fa~on cruciale au §9. En iO.Ii, je tente d'expliquer
le sel de sa m~thode. Les r~sultats farfelus Io.~ r@sultent aussitOt de ce qui pr@-
c~de. J'ignore leur signification.
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§i,- REPRESENTATIONS VIRTUELLES D'UN GROUPE FINI
Del-7
i.i Soit K un corps (commutatif). Le cas le plus important pour nous
sera celui 05 K est alg6briquement clos de caract4ristique 0, par exemple K = E .
Soit G un groupe . On notera RK(G) le groupe de Grothendieck de la cat@gorie des
K[G] - modules de dimension finie sur K . II s'identifie au ~-module fibre de base
l'ensemble des classes d'isomorphie de representations lin6aires K-irr4ductiblesde G
sur K . C'est un anneau commutatif ~ unit4 (pour le produit tensoriel sur K) et
m~me un %-anneau au sens de Grothendieck. Ses 41~ments sont les repr4sentations
virtuelles de G sur K .
Pour d6finir un homomorphisme f de RK(G) daus un groupe commuta-
tif X , il suffit :
a) de d4finir f(v), pour V une repr4sentation de G sur K ;
b) de v4rifier que pour toute suite exacte de repr4sentations
0 > V ~ -- > V > V" > 0 ,
on a f(V) = f(V') + f(V").
Appliquant cette r~gle, on d6finit la dimension d~une representation
virtuelle
dim : R K (G)
et son d4terminant
> 2Z ,
det : R K (G) > Hom (G,K~).
Si H est un sous-groupe d'indice fini de G , on d~finit l'induction
G RK(H ) • RK(G ) Ind H: i
comme correspondant h l'extension des scalaires V; > K[G] ®K[}I] V
foncteur exact ; il passe donc aux repr4sentations virtuelles). Pour f : G
on d4finit la restriction
Res H : RK(H ) > RK(G ) G
(c'est un
H,
Del-8
-508-
comme restriction des scalaires de K[H] g K[G~ . Pour f su~ectif, on parle parfois
plut~t d'inflation.
Pour tout groupe G , on note G ab le plus grand quotient abdlien
de G . Un K-quasi-caract&re X de G est un homomorphisme X : G -------> K ~ ; on
l'identifie au K-quasi-caract~re de G ab par lequel il se factorise, et on note [~]
la representation de dimension 1 correspondante.
Pour G fini, nous emploierons indiff~remment les mots "caractSre" et "quasi-caract~re".
"Caract~re" ne signifiera jamais "caract6re d'une repr6sentation de dimension > i".
Proposition 1.2 - ~oient G un groupe, H un sous-groupe d'indice fini et t :
G ab > H ab le transfert. Pour P une reprgsentation virtuelle de dimension O
H et x E G ab , on a
det(Ind~(~))(x) ~ det(p) (t(x))
de
On montrera (~ peine) plus g~ndralement que, si C est le d~terminant
de la representation de permutation de G sur G/H
e : G ....... ~, ~G/H ........ > +- i
on a, pour ~ de dimension quelconque,
det(Ind~(~)) (x) = e dim 0 det(p) t(x))
C'est assez ~vident en termes topologiques. Soient B G le classi-
fiant de G et B H celui de H , vu comme rev&tement ~ [G : H] feuillets de BG:
f : B H ' ~ B G . Les representations de G s'identifient aux syst~mes locaux de
G foncteur f Le transfert K-vectoriels de dimension finie sur BG, et Ind H au
HI(B G) > HI(B H) est transpose aux morphismes trace fT : HI(BG ,X) ~ HI(BH ,X) ,
(X groupe ab~lien). Pour X = K ~ , f! correspond ~ la norme : si ~ E HI(BG,K ~) est
la classe d'un systgme local de rang 1 de K-vectoriels L, f[(~) est la classe de
N(L), syst&me local sur B G qui localement sur B G est le produit tensoriel des
images r~ciproques de L par ~:H ] sections disjointes.
-509-
Del-9
dimV Posons det V = A V (pour V un syst~me local) et soit ~_
le syst6me local det f~KK . La proposition 1.2 r@sulte de l'existence d'un iso-
morphisme canonique, pour V syst~me local sur B H
det f{~V = C~ dim V ® N(det V )
La construction de cet isomorphisme est locale sur B G ; elle se ram6ne ~ la
Construction 1.3 - Pour (Vi)i 6 I une famille finie de
d , et C = det(KI), on a canoniquement
K-vectoriels de dimension
det (el V.)l ~-- e~j ® ~ det (V.)l '
La fl~che est, pour i I ...i la suite des ~l~ments de I , n
(eil,l A ... A eil,d ) A .... A (ein,l A .... A ein,d ) ~ >
®d
(ilA...Ai n) ® (eil,iA~.. Ae i d ) ® ,.. ® (e i IA..,A e i ,d )
Parenth6se 1.4. PlutSt qu'un classifiant B G , on eut plus intrins6quement
pu prendre dans le raisonnement pr6c@dent le topos classifiant B G de
Grothendieck (SGA 4 IV 2.4 pg, 315 (pour E = (Ens)).
Supposons G fini, Nous dirons que K est assez zros s'il contient toutes
les racines de l'unit6 d'ordre divisant le ppcm des ordres des @l@ments de G .
Un groupe H sera dit p-61@mentaire s'il est produit d'un p-groupe par un groupe
cyclique, @16mentaire s'il est p-61@mentaire pour un nombre premier p convenable.
Nous aurons besoin de la variante suivante du th6or6me de Brauer sur les carac-
t~res induits ~u'on obtient en omettant partout "de dimension 0").
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Del-lO
Proposition 1.5. S i K est assez gros, toute representation virtuelle de
G dimension 0 de G est somme de representations virtuelles IndH(X), avee
x virtuel de dimension O~ H EIEmentaire et x combinaison linEaire de
representations de dimension 1 de H .
D'apr&s le thEor&me de Brauer applique g la representation triviale 1G
de G , il existe une d~composition
G I G = ~ IndH(Z H) (H EIEmentaire).
H
Pour y representation virtuelle de dimension 0 de G, on a alors
= d G Ind,(Rest(y). y ~ y. In H(ZH) = E m ZH) '
avec dim (Res~(y).z H) = O. Ceci nous ram~ne & supposer G @iEmentaire.
Par lin~arit@, on peut supposer y de la forme p - dim(p).l G , avec p
irrEductible, donc (puisque G est nilpotent) induite par un caract~re
X d'un sous-groupe H de G contenant le centre Z . On a alors
= d G d G p-dim(p).l G In H(X-I H) + (In H(IH) - [G:H]I G)
Le premier terme est du type voulu, et le second est l'inflation d'une reprEsen-
tation virtuelle de dimension O de G/Z. On conclut par une recurrence sur l'ordre
de G (noter que IG/Z I < IGI si G ¢ [e}).
Scholie 1.6. Un homomorphisme f : RK(G) ....... > X est connu quand on connait sa
valeur en 1 G et en les IndH(X-IH) , G pour H EIEmentaire et X un caract~re de
1.7. Soit A un anneau de valuation discr&te d'inEgale caractEristique p de
corps des fractions K et de corps rEsiduel k = A/m. Rappelons la d~finition
de l'homomorphisme de decomposition ([ii] III 2.2)
d : RKCG) - > Rk(G) :
pour V une representation de G sur K et E un rEseau G-invariant,
-511-
Del-ll
d([V]) = [E ®A k]
Proposition 1.8.
d4composition d
On suppose K assez gros. Le noyau de l'homomorphisme de
est alors engendr4 par les
IndH([X'] - IX"I) ,
pour H un sous-~roupe 414mentaire et X', X" ~ H°m(H, K~) eongrus mod m .
L'homomorphisme d'anneaux d commutant ~ l'induction, le raisonnement de 1.5
nous ram~ne au cas o~ G est ~l~mentaire, donc produit d'un p-groupe P par
un groupe H d'ordre premier ~ p. Les corps K et k ~tant assez gros, on a
RK(G) = RK(P) ® RK(H), et de m~me pour R k . Pour un groupe d'ordre premier
p, d est bijectif° On a donc
Ker(RK(G) > Rk(G)) = Ker(RK(P) > Rk(P)) ® RK(H)
Appliquant le th~or~me de Brauer ~ H, on voit qu'il suffit de prouver 1.8
pour un p-groupe. Ce cas est trivial, car tout caract6re X E Hom(P,K~)
d'un p-groupe est congru ~ 1 mod m.
1.9.
groupes finis et on abr~ge RK(G) en R(G). Pour G commutatif, on note
le groupe des caract~res de G .
Soit R+(G) le ~-module fibre de base l'ensemble des classes de
G-conjugaison de couples(H,x) : H sous-groupe de G et X caract~re de
On d~finit dans R+(G) une multiplication par la r~gle
(1.9.1) (A,~).(B,~) = ~ (A x N B y , (~XlAXNBY).(~YlAXNBY))
(x,y)EG~(G/A×G/B)
Dans la fin de ce num~ro, on suppose que K = ¢, on ne consid~re que des
G~
H .
((x,y) parcourt des repr~sentants des orbites de G dans G/A × G/B,
A x = xAx -1 et x est le caracter~ ~(x-lax) de AX). Pour cette mul-
tiplication, R+(G) est un anneau commutatif d'unit~ (G,I), et on
-512-
Del-12
d6finit un homomorphisme d'anneaux
: R+(G) > R(G) par (H, X) I > Ind'(X) (1.9.2) b
Cet homomorphisme est surjeetif d'apr~s le th~or~me de Brauer. Pour X un
caraet~re de G, la multiplication par (G, X) se note .X et s'appelle
torsion par X :
( 1 . 9 . 3 ) (H,~) . X = (H,~ . (x tH))
Pour G' c G, on d~finit l'induotion
(1.9.4) Ind : R+(G') > R+(G) : (H, X) ~ > (H, X)
Pour u : G > G' un morphisme, on d~finit la restriction
: R+(G ~) > R+(G) : (H,x) ~ > E (u-l(sHs-l),xSo (1.9.5) Res u)
sEu(G)\ G'/H
(s parcourt un ensemble de repr~sentants des doubles classes). On dispose
de diagrammes commutatifs (pour le second, of. [II] p. 75)
R+(G') Ind > R+(G) R+(G') Res > R+(G)
R(G') Ind > R(G) R(G') Res ) R(G)
et on a la formule, pour R ~ R÷(G),
G G (I.9.6) R'(H,x) = IndH(ReSH(R)- X )
On parle d'inflation lorsque u est surjectif :
: R+(G')~ > R+(G) : (H,x) J > (u-IH, Xou) (1.9.7) Infl
-513-
Del-13
Notation 1.9.8~ Pour toute fonction additive de repr4sentation F, on note de
m~me la fonction qu'elle d~finit sur R(G), et le compos4 Fob. Ainsi,
dim(v) = dim(b(v)) ....
Variantes I.i0.
(i) On note R~(G) le sous-groupe de R+(G) engendr4 par les (H,x) - (H,I).
Pour (H,x) pareourant la base canonique de R+(G), g l'exception des (H,I),
414merits formant une base de R~(G). On v4rifie que R?(G) est un id4al de ces
R (G). Soit R°(G) c R(G) l'ensemble des repr4sentations virtuelles de dimension +
0 de G . D'apr~s 1.5, l'application naturelle, induite par (1.9.2), de
R~(G) dans R°(G) est surjective.
(ii) Pour G un groupe topologique (fini ou non), on note R+(G) et <(G)
les groupes analogues aux pr4c4dents obtenus en se limitant aux sous-groupes ferm4s 1
d'indice fini et aux quasi-caract~res continus. Les fonctorialit4s 1.9 se g4n4ra-
lisent, mutatis mutandis.
La fin de ce § ne servira plus par la suite. Nous y exposons des r6sultats
tir~s de Langlands [9].
Lemme I.iI. S upposons ~ue G = H.C, avec C commutatif distingue, et soit X
un caract~re de H . Pour tout ~ E C ~, soit G c G le fixateur de ~ (G a$it
sum C ~ par con~ugaison). S i xIHNC = ~IHnC, on note [X,~} le caract~re de
G = (H n G ). C qui prolonge xIHNG e t ~ . On a, pour ~ parc ourant un
ensemble de repr~sentants des classes de G-conjugaison de caractgres de C tels
que XI~C = ~IH~C,
G IndH(k) = ~ Ind~
xlnnc = ~IHnc
E C~/G
( h, ~] )
La v~rification est laiss~e au lecteur.
Del-14
-51J~-
1.12. Un ~l~ment R de Ker(R+(G) > R(G)) sera dit de type I, II ou III
s'il existe un quotient A d'un sous-groupe B de G tel que R s'obtienne
A partir d'un ~l~ment S de l'un des types respectifs suivants de
Ker(R+(A) > R(A)) par inflation de A ~ B, torsion par un caract~re de B
et induction de B ~ G . On d~signe par % un hombre premier.
I A -~ m /% S = (e, [i]) - ~ (A, X) xEA ~
II A est une extension centrale de (~ /~)2par un groupe ab~lien Z ,
Hi(i=l,2) l'image r~ciproque darts A des premiers et second facteurs ~ /~ ,et
Xi un caract&re de H i . On suppose que kllZ = k21Z, et que ce csract~re de Z
est non trivial s~r un commutateur.
z C > H 1
H2C ..... > A
La relation S est
S = (HI,X1) - (H2,x2)
III A est un produit semi-direct H.C~ X est un caract~re de H et le sous-
groupe distingu4 C est minimal parmi les sous-groupes commutatifs dis tingu4s
non triviaux de A. Pour tout caract~re ~ de C , A est le fixateur de
et [X,~] est le caract~re de A qui prolonge xIHNA et ~ . S exprime
la relation suivante, oN ~ parcourt un ensemble de repr4sentants des orbites
de A agissant dans C W par conjugaison
A d A IndH(X) = Z In A ([k,~])
~EC~/A
Ces relations sont des cas particuliers de I.ii (pour I, H = {e}, C = A ;
pour II, H = HI, C = H 2 ; pour III~ H et C sont H et C).
-515- Del-15
Toute relation d~duite par induction, inflation ou torsion d'une relation
de type I (resp. II, III) est encore du m~me type.
Th~or~me 1.13. (Langlands [9] § 18). S~ G
b : R+(G) > R(G) est en$endr~ (comme
de type I et II .
est nilpotent, le noyau de
-module) par les relations
Leone 1.13.1. S i G est commutatif, Ker(b) est engendr~ par les relations
de type I .
II faut montrer que pour tout sous-groupe
la relation
H de G et tout X E H ~ ,
G (1) IndH(X) = ~ [~]
E G~
I H = X
est cons4quence (= combinaison lin6aire) de relations de type
sont les suivantes : pour H' C H" C G avec [H":H'] premier, et
de H' (toujours induit par un caract6re de G),
G Ind,, (X) = E IndH,~ (~)
• 1 H '=X
que (i) en r6sulte se voit en prenant une suite de Jordan-H~Ider de
La v6rification du lemme suivant est laiss6e au lecteur.
I . Celles-ci
X un caract~re
G/H.
Lemme 1.13.2. Soient C un sous-groupe commutatif distinsu~ de G, T u n
ensemble de repr6sentants de C~/G, ~ E T, et G le fixateur de ~ . Soit
(H i ) une famille de sous-groupes de G contenant C, e t Xi un caract6re de
avec xilC E T . Si la relation
E n i Ind,. (Xi) = O 1
est vraie dans R(G), la relation
H i ,
Del-16
-51F)
est vraie dans R(G ).
G E n . Ind ~ (Xi)
xilC=~ l H i
Soit Z le centre de G et prouvons 1.13 par r6currence sur l'ordre de
G/Z . D'apr~s 1.13.1, on peut supposer G non commutatif. Soit donc C un
sous-groupe commutatif distingu6 contenant Z , tel que [C:Z] = Z soit premier,
et d'image centrale dans G/Z .
Soit une relation
(i) E n i Ind~ (Xi) i
= 0
Elle est consequence de relations induites par les relations
H.Z
(a i) IndHl (X i) = ~ [)<~] 1
X i IHi=ki
et d'une relation (2) analogue A (I), avec H. ~ Z . I
Les relations (a.) sont combinaisons lin6aires de relations de type I ; i
on peut le d@duire de 1.13.1 appliqu@ ~ HiZ/Ker(xi).
La relation (2) est cons@quence de relations induites par des relations i.iI
pour HC, H, C, X (avec H D Z)
HC (b) IndiC(x) = Z Ind ([X,~])
xLHac = ~IHnc (~c)
E C*/H
et d'une relation (3) analogue ~ (i), avec cette fois H. ~ C. Appliquons i
1.13.2 ~ (3), pour l'exprimer comme somme de relations induites par des relations
G
(4) ~ n i IndH~/ (Xi) l I
= O
avec H i ~ C et ]<ilC = ~.
-517-
Del-17
L'image de C dans G /Ker(~) est centrale (car ~ , invariant par G ,
est injeetif sur C/Ker(~)). L'hypoth~se de r@currence s'applique done
G , et les relations (4) sont du type voulu. Prouvons que les relations (b)
le sont. Si HC # G, cela r@sulte de l'hypoth~se de r~currence, appliqu~e g HC.
Si HC = G, H est distingu@, car il contient Z et que C est central mod Z.
Soit A l'intersection des noyaux des conjugu@s de X • La relation (b) est
l'inflation d'une relation analogue pour G/A. Si l'hypoth~se de r~currence
s'applique ~ G/A, on a gagn@. Sinon, on se retrouve dans la m@me situation
qu'avant, avec A = [e,}, et on conclut par le
Lemme 1.13.3. Avec les notations pr~c~dentes, s i A = [e}, la relation (b)
est de la forme II.
Le groupe H est conmmtatif, car des caract~res s~parent ses ~l~ments.
Le groupe Z est cyclique, car un seul caract~re s~pare ses ~l~ments.
Pour c E C et h E H, posons u(e,h) = ch c-lh -I . C'est un ~l~ment
de Z, car C est central mod Z. II d~pend biadditivement de c et h ,
et d~finit ~ : C/Z ® H/Z > Z • Soit c engendrant C/Z. Puisque Z
est le centre et que G # Z, ~(c~ ) : H/Z > Z est injec.tif, d'image
cyclique tu~e par ~ et non triviale. D~s lors, IC/Z I = IH/ZI = %, et G
est extension eentrale de C/Z X H/Z par Z . Le caract~re X est distinct
d'au moins un de ses conjugu~s (sinon H serait central) ; il est donc non
trivial sur un commutateur, et on est dans la situation II.
Th~orgme 1.14. (Langlands [9]). S_! G est r~soluble, le noyau de
b : R+(G)' > R(G) est engendr~ pa F les relations de type I, II at IIl.
Lemme 1.14.1. S i G est r6soluble, le sous ~-module N(G) de R+(G) engendr@
par le@ relations de type I, II e_!t III est un id6al.
-518-
Del-18
Prouvons 1.14 et 1.14.1 par une r4currence simultan4e sur l'ordre de
(A) 1.14 pour les sous-~roupe9 propres de G implique 1.14.1 pour G .
G •
Soient R E R+(G) de type I, II ou III, H un sous-groupe et X un
caract~re de G. Prouvons que R.(H,x) E N = N(G). Si H = G, cela r4sulte de ce que
N est stable par torsion par un caract~re de G . Si H # G, on a (1.9.6)
G G G R-(H,x) = IndH(ReSH(R). X) , avec ReSH(R) E Ker(R+(H) > R(H)).
Vu l'hypoth~se, Rest(R) E N(H) et R.(H, X) qui se d4duit de Rest(R) par
torsion et induction est dans N(G).
(B) 1.14.1 pour
1.14 PONE G .
G e__!t 1.14 pgur les groupes d'ordre plus petit imDliquent
Soit Z le centre de G . D'aprgs 1 13, on peut supposer (et on suppose)
que G n'est pas nilpotent. Distinguons deux cas.
(BI) Z # [e}
D'apr~s le th4or~me de Brauer dans G/Z, il existe des sous-groupes nilpotents
H i D Z de G et des caract~res Xi de Hi/Z tels que
G/Z
IG/Z = ~ n.l IndH./Z (Xi) i
L'hypoth~se de r4currence s'applique A G/Z , de sorte que
S = (G,I) E ni(Hi, Xi) E N(G)
Soit R E Ker(b). On a (1.9,6)
R = R.S + ~ n i Ind,. (Res~.(R) Xi) i I
P u i s q u e S E N(G), on a R.S E N(G), On c o n c l u t en n o t a n t que , d ' a p r g s 1 . 1 3
G ou l ' h y p o t h & s e , R e s H . ( R ) E N(H i )
1
(B2) Z = [e}
-519-
Del-19
Soit C un sous-groupe commutatif distingu~ non trivial minimal et,
pour ~ E C ~, soit G son fixateur. Proc~dons comme dans la d~monstration de
1.13. On trouve que toute relation R E Ker(b) est combinaison lin~aire de relations
(a) induites par des relations i.ii pour HC, H, C, X (H c G, X caract~re
de H, H ~ C) et de relations induites par des relations exprimant une identit~
G
(b) ~ n i IndH~ (7/) = O i
avec H i ~ C et xilC = ~ (~ caract~re de C). Puisque Z = [e},
IG /Ker(~) I < IGI et l'hypoth&se de r4currence s'applique & ces derni~res.
Consid4rons une relation (a). Si HC # G, on applique l'hypoth&se de r4currence.
Si HC = G, H N C est distingu4 car distingu4 dans H et dans C . Par
minimalit6 de C, H n c = [e} : la relation est du type III.
Remarque 1.15, Ii est vraisemblablement possible d'extraire de [9] la
description d'un syst~me g~n~rateur de Ker(R~(G) > R°(G)), pour des
groupes convenables G . Je n'ai pas eu le courage de m'y essayer.
-5?0-
Del-2O
§ 2. GROUPES DE WEIL.
2.1. Racines de 1'unit4.
Soit K un corps s~parablement clos d'exposant caract4ristique p,
Pour tout entier n , on note ~ /n(1)(~)~ ou simplement ~ /n(1)~le groupe
des racines n i~mes de l'unit4 de K Pour nlm, on dispose d'une application de m
transition ~ /m(1) > ~ /n(1) : x ~ > x n ; on pose
Pour
A
(I) = lim ~ /n(1)
n
un nombre p r e m i e r , on pose de m~me
2Z
Les applications 6videntes
~(i) = tim ~ /~k(1)
(1) > ~ ~(]) induisent un isomorphisme
(1) "~ > H ~ £ (1 )
A
Pour tout ~ -module V, on pose V(1) = V ~ ~ (1). Pour V un ~ k-module,
on a V(1) "~ > V ®~ Z~ (i). Pour le ~ -module ~/~ , ~/~ (i) est canoniquement
i somorphe au g roupe de r a c i n e s de l ' u n i t 4 de ~ : pour _B..n E ~ e t x E 2Z ( 1 ) , m
- - n - -
d'image x dans ZZ /m (i), 1'image de --® x dans ~/~ (I) est identifi4e ~ x n m
Pour % # p, 2Z%(1) e s t l i b r e de r ang 1 s u r ;~£ . Pour i E 7z , on
no t e ~ ( i ) sa p u i s s a n c e t e n s o r i e l l e i i~me ( p o u r i ~ O, ~ ( i ) e s t l e dua t
de ~ £ ( - i ) ) . Pour t o u t ~ - m o d u l e V, on pose e n c o r e V( i ) = V ®-- 2~ ( i ) .
2.2. Notations.
2.2.1. Soit K un corps local. On note II II la valeur absolue normalis~e de K :
si dx est une mesure de Haar,
d ( a x ) = llall dx
i.e
-521- Del-21
Pour s E C , on note ~s le quasi-caract~re x~--+IIxll s de K ~ dans @~.
Si K est non archim~dien ( ~ ~ ou ¢), on note @ l'anneau de la
valuation v de K , ~ une uniformisante, k le corps r~siduel ~/(~),
d p la earact~ristique de k , et on pose d = [k:~p], q = p = ~ k. On a
donc llxll = q-V(X)
2.2.2. Supposons K non archim~dien. On d~signe par
de K et on note ~ la elSture int~grale de @ dans K ,
de @ (une cloture alg~brique de k), et v la valuation de
, qui prolonge eelle de K .
On dispose d'une filtration en trois crans du groupe de Galois
GaI(K/K) ~ I ~ P
une clSture s~parable
le corps r~siduel
, ~ valeurs dans
GaI(K/K),
de quotients successifs
GaI(K/K)/I ~ Gal(~/k) ~
I/P ~ ~ (i) (~)
P : un pro-p-groupe
On l'obtient comme suit (pour les d~monstrations, on renvoie ~ [i0]).
a) Par transport de structure, GaI(K/K) agit sur @ et ~ , Le groupe
d'inertie I est le noyau de la fl~che de r~duction
Le quotient Gal(~/k)
v' : GaI(~/K) > Gal(~/k)
est canoniquement isomorphe ~ ~ , de g~n~rateur topologique
la substitution de Frobenius ~ : x l > x q
b) Le groupe d'inertie sauvage P est l'unique pro-p-groupe de Sylow de I .
A
Le morphisme ~quivariant t : I > ~ (I)(~), de noyau P, est caract~ris~ par
la congruence (modulo l'id~al maximal de ~)
o(x) ~ t(o).v(×) (o E I, x E~)
x
Del-22
oB
Pour ~ # p
- 5 2 2 -
t(o).v(x) E ~/Z (I) (~) -~-~ ~
premier, on note t~ l'application compos~e
t~ : I > ~ (I) (~) > m~(1) (~)
2.2.3. Soit k un corps fini g q ~l~ments de cl~ture alg~brique
On note W(~/k) le sous-groupe de Gal(~/k) ~ ~ engendr~ par
: x ~ > x q . On a canoniquement
W(~/k) ~ ~ (engendr~ par ~)
-i Le Frobenius g~om~trique F E W(~/k) est par d~finition q0
2.2.4, Soient K, K comme en 2.2.2.Le grouped e Weil W(~/K), ou groupe de
Weil absolu de K , est le sous-groupe de GaI(K/K) form~ des O tels que
v'(~) soit une puissance entigre du Frobenius ~ . On le munit de la topologie
induisant la topologie naturelle de I, et pour laquelle I est ouvert
O >I
0 ~ f
> ~(Z/K)
[ > Gal(K/K)
> w(~/k) ) o
> G a l ( ~ / k ) ~ ) 0 V t"
2Z
Le groupe GaI(K/K) est le compl~t~ de W(K/K) pour la topologie des
sous-groupes ouverts d'indice fini ; pour L une extension finie de K dans ~ ,
le sous-groupe correspondant de W(K/K) s'identifie g W(~/L). On appellera
parfois Frobenius g~om~triques les ~l~ments de GaI(~/K) ou W(K/K) d'image F.
- 5 2 3 - Del-23
2.2.5. Supposons K archim~dien, de cloture alg~brique ~ . On d~finit
W(~/K) cormne l'extension suivante de GaI(~/K) par K~ .
I) K ~--- ~ : W(K/K) est engendr~ par ~ et un ~l~ment F , avec
F 2 = -I et F z F -I = ~ pour z E K~
2) K --~ ¢ : W(~/K) = ~ .
2.3. La th~orie du corps de classe local fournit un isomorphisme entre
W(K/K) ab et ~ .
Supposons K non archim~dien. Pour une raison expliqu~e en 3.6, nous
normaliserons alors cet isomorphisme (= choisirons lui ou son inverse)
de telle sorte que les Frobenius g~om~triques correspondent aux uniformisantes.
p C > I ~ > W(~/K) > W(~/k) =
i+(~) C > ~ C > K~ ~ v >
Une representation de W(~/K) est non ramifi~e (resp. mod~r~ment ramifi~e)
si elle est triviale sur I (resp. sur P). De m~me, un quasi-caractgre X
de ~ est non ramifi~ (resp. mod~r~ment ramifi~) s'il est trivial sur ~
(resp. i+(~)). Pour % premier ~ p, l'action de GaI(~/K) sur ~ %(1)
est non ramifi~e, d~crite par le quasi-caract~re ~i = llXll de K~ .
Pour K complexe, l'isomorphisme de la th~orie du corps de classe local
est celui ~vident sur 2.2.5 ; pour K r~el, c'est celui qui rend vrai 2.3.1,
2.3.2 ci-dessous.
Soit L c~ une extension finie de K, de sorte que W(~/L) cW(~/K).
Les diagrammes suivants (oN N est la norme et t le transfert) sont
commutatifs ([IO] XIII § 4)
0ei-24
-524-
(2.3.1)
W(~/L) > W (~/L) ab
W (K/L) > W(~/K) ab
N
L*
NL/K
K~e
(2.3.2)
W(~/K) ab
W(~/L) ab
m~
L*
2.4. Soient K un corps de fonctions d'une variable sur IF et k son corps P
des constantes (fermeture alg6brique de • dans K). Soient ~ une clSture P
s~parable de K , ~ la cl~ture alg~brique de k dans ~ et Gal°(~/K) le
noyau de l'applica~ion de restriction de GaI(~/K) dans Gal(~/k). Le
groupe de Weil global (absolu) W(~/K) est, en analogie avec 2.2.4, d@fini
par le diagrarmne
> GaI°(K/K) > W([/K) ...... > W([/k) > 0
P > Gal°(~/K) ........... > GaI(~/K) --> Gal(~/k) > 0 f
Soient v une place de K et supposons choisie une place de K au-dessus
de v . On dispose alors d'un diagra~m~e commutatif
-525- Del-25
o > i > w(~ /K ) v v v
F 0 > GaI°(K/K) > W([/K)
> W([Ikv) >~
> wG/k) > o
Zg
[kv:k]
2Z
La th~orie du corps de classe global
W([/K) ab
rendant commutatifs les diagrammes
W(K /K )ab ......... v v
K~ v
fournit un isomorphisme
- - A~/K~ (groupe des classes d'id~les)
> w([/K)
> /~ / K~
2.5. Pour la d~finition dss groupes de Weil globaux dans le cas des corps de
nombres on renvoie g Weil [19] ou ~ [2] XIV. Nous ne nous en servirons
qu'incidemment.
- 5 2 6 -
Del-26
§ 3. RAPPELS SUR LES FONCTIONS L .
3.1. Soit K un corps local et reprenons les notations 2.2.1. On d4signera
par dx une mesure de Haar sur K, par d~x une mesure de Haar sur K ~
et par ~ un caract~re additif non trivial de K .
3.2. Pour X un quasi-caract6re (= homomorphisme continu) X : KI~
on d6finit comme suit L(X) E ¢ U {=}.
(3.2.1) K -~ ~ . On pose F~ (s) = -s/2 F ( _~s 2
de K dans @ et N = 0 ou 1 ,
i(~-~ ~s ) = F~ (s)
(3.2.2) K -~ ¢
de K dans ¢ et N m O,
L(z-N.~ s) = F¢(s)
(3.2.3) K non archim4dien. On pose
>¢~ ,
, et, pour x le plongement
3.3.
On pose ~¢(s) = 2.(2~) -s ~(s), et, pour z un plongement
L(X) = 1 (X ramifi4) ,
L(X) = I (X non ramifi~)
I-X(~)
et dx ~tant donn~s, on pose, pour f une fonction C ~ A support
compact sur K
f ( y ) = f ( x ) t)(xy) dx
On d 4 f i n i t e ( X , ~ , d x ) E ¢~ p a r l ' ~ q u a t i o n f o n c t i o n n e l l e l o c a l e de T a t e
( i n d 4 p e n d a n t e de f )
~ (x) X- l(x) d~x
(3.3.I) = s(X,~,dx) f f(x) X(x) d~x
L~IX -I ) L(X)
~527- Del-27
(on prend la m~me mesure de Haar d*x
membres sont d~finis par prolongement analytique en X
X.~ s (s E ¢). Dans ces familles, C est de la forme
On a
(3.3.2) e(X,~,a dx)
(3.3.3) c(X,~(ax),dx) =
dans les deux membres). Les deux
dans les familles
A . e Bs
= a.e(X,~,dx) ,
×(a).ILal1-1 ~(×,~,~)
3.4. Pour K non archim~dien, nous poserons :
plus petit entier
X ramifi~
La constante locale
suivantes.
(3.4.1) K-~-~ ~
n(~) = le plus petit entier n tel que @I~ -n @ = I ;
a(X) = le conducteur de X (0 si X est non ramifi~, le
m tel que XI(I+(~) m) = 1 si X est ramifi~) ;
sw(X) = 0 pour X non ou mod~rement ramifi~, a(x)-I pour
y = un ~l~ment de K ~ de valuation n(~) + sw(x)+l.
e est donn~e par (3.3.2), (3.3.3) et les formules
Soient x le plongement de K
et dx la mesure de Lebesgue,
dans ¢ et N = 0 ou I. Pour ~ = exp(2~ ix)
c(x-N.~s,~,dx ) = i N
(3.4.2) K ~-~ C Soient z un plongement de K dans ¢ et N ~ 0 . Pour
= exp(2~i Tr¢/R (z)) et dx = dz A d~ = 2 da db (pour z = a + bi),
c(z -N ~s~ ~, dx) = i N
-528-
Del-28
3.4.3. K non archim6d£en.
Si X est non ramifi6, que f@ dx = 1 et que n(9) = I,
(3.4.3.1) ¢(X, 9,dx) = 1
Pour X ramifi$, on a
] k-l(x) = v(fx (3.4.3.2) c(X,~,dx) = ~(X) dx dfn E K ~ n ) --n
k-l(x) ~(x) dx
= r x- l(x) ~(x) dx ¢
On verra qu'il est naturel d'unifier ces deux formules de la fa~on suivante :
si on d6finit ¢o(X,~,dx) par les formules
(3.4.3.3)
o n a
(3.4.3.4)
g(X,~, dx) : go(X,@, dx) (X ramifi6), et
s(X,@,dx) = eo(X,~,dx)-(-X (~))-I (X non ramifi~),
eo(k'~'dx) =(-l@~jy x-l(x) ~(x) dx
De (3.4.3.3) et (3.4.3.4), on d~duit que pour w non ramifi~,
(3.4.3.5)
, (~ n(~)+sw(X)+l) ¢O(XW , ~ dx) =
C (X~, ~, dx) = ~(~n(~)+a(x)).
(X , ~ , dx) o
¢ (X , ~ , d x )
3.5. Supposons K non archim4dien, et reprenons les notations 2.2.1. Soit V
un espace vectoriel de dimension finie sur uncorps E de caract4ristique 0 ,
ou sur ¢ . Les repr4sentations p : W(K/K) > GL(V) seront toujours suppos4es
continues : un sous-groupe ouvert de I agit trivialement. Pour V l'espace
d'une repr4sentation et V I le sous-espace des invariants sous l'inertie, on pose
(3.5.1) Z(V;t) = det(l - Ft d, V I) -I ,
- 5 2 9 - Del-29
(3.5.2) L(V) = Z(V;I) (e E U {=})
t Notons w : W(~/K) > E((t)) ~ le caractgre non ramifi~ tel que
~ t ( F ) = t d ( e n u n s e n s g v i d e n t , o n a ~ s = ( p - S ) ) . On a
(3.5.3) Z(V,t) = L(V ®~t)
3.6. C'est pour que (3.2.3) et (3.5.2) soient compatibles que nous avons
normalis~s l'isomorphisme du corps de classe local de telle sorte que les
Frobenius g~om~triques correspondent aux uniformisantes. Tant (3.2.3) que (3.5.2)
sont tr~s naturels : 3.2.3 s'impose du point de vue analytique (cf. 3.3.1), et
3. 5.2 suit la tradition des g~om~tres:c'est le Frobenius g~om~trique qui tend
agir sur la cohomologie des vari~t~s alg~briques avec pour valeurs propres
des entiers alg~briques.
3.7. Les representations (continues) complexes irr~ductibles de W(~/K) sont,
pour K complexe, les quasi-caract~res. Pour K r~el, elles sont, outre les
quasi-caract~res de K ~, les representations induites par les quasi-caract~res
X de K~ tels que X ~ X o o , pour o la conjugaison complexe de
Pour toute representation complexe V, exprim~e, dans le groupe de Grothendieck
des representations de W(K/K) comme somme de representations simples, on d~finit
L(V) cormne suit
I) K -- ~ et V = ~ [Xi] + Z
L(V) = ~ LK(Xi) i
K ~ C et V = ~ [Xi] :
L(V) = ~ L(Xi) i
2)
I ndW~ ( )(j )
~. L~ (Xj)
J
Del-30
- 5 3 0 -
Proposition 3.8. Soient K un corps local et K une cl~ture al$4brique de K .
(i) Pour toute suite exacte 0 > V' > V > V" > 0 de repr~.§entations
complexes de W(K/K), on a
(3.8.1) L(V) = L(V') L(V")
(ii) Soient L une extension finie s4parable de K dans K et V L une
repr4sentation complexe de W(K/L). Soit V K la repr4sentation induite de
W(~/K). On a
(3,8.2) L(V K) = L(VL)
Prouvons (ii) pour
de K et L, on a
I K V K =
(isomorphisme de
HOmW(~/L) (W(~/k),
(fonctions covariantes de W(~/k) dans V L ,
par translation ; cf. le diagramme commutatif
F¢(s) = F~ (s). Fm (s+l) ,
Ind([~s]) = [~s ] + [x-l.~s+l]
K non archim4dien. Notant k et ~ les corps r4siduels
I K ~W(~/K) _ ,W(~/k) IL
In~w(~/L) (V L) = ±now(~/%) (V L )
W(~/k)-repr4sentations), les deux membres s'identifiant
V L )
W(K/L) agissant sur W(~/k)
correspondant
L'assertion (i) est triviale. Dans le cas archim4dien, l'assertion (ii)
r4sulte de la formule de duplication
-531- Del-31
w(i/L), I l l > w(~l~)
W(~IK) > w(~l~) )
Ceci ram&he (3.8.2) au lemme bien connu suivant.
Lemme 3.9. Soient F un endomorphisme de V, nun entier et F n l'endomor-
phisme de V n = V @ cn tel que Fn(V ® e.)z = v ® ei+ I (0 ~ i < n-l) __et
Fn(V ® en_ I) = F(v) ® eo . On a
det(l - F t) = det(l-F t n) n
Par le principe de prolongement des identit~s alg~briques, on peut supposer F
diagonal, darts une base convenable de V ; on se ram~ne dgs lors aussitSt au
cas oN dim(V) = I, et o~ F est la multiplication par un hombre an(a # 0). Dans
la base fi = a-l(v ® e.)z ' on a alors Fn(f.)l = a fi+l (i E ~ /n). Les
vecteurs propres de F n sont les ~ x(i)f i (X caract~re de ~ /n), et
det(l-F t) = ~ (i- ~t) = 1 - ant n n ~n=l
3.10. Soit K un corps global (/A-corps, au sens de [15]). Pour toute place
v de K , on notera K le corps local compl~t~ de K en v . Les objets v
d~finis plus haut pour tout corps local seront, pour Kv, notes avec un indice
On note /A l'anneau des addles de K , II II la valeur absolue (v~rifiant
d(ax) = liall dx pour une mesure de Haar dx sur /A), et U s le quasi-caract~re
II II s x de /A ~ . Notant x la composante de x ~ /A dans K on a donc
v v
Iixll -- ]7 llXvllv v
On d~signera par dx l'unique mesure de Haar sur A telle que
V .
Del-32
(mesure de Tamagaw~, par d¢~x
non trivial de ~/K, de composantes locales
sur A , on pose
-532-
/A/K dx = i
une mesure de Haar sur A ~, et par ~ un caract~re
~v " Pour f C = g support compact
f(y) = f(x) ~(xy) dx
3.11. L'~quation fonctionnelle globale de Tate [14] s'~crit, pour X un
quasi-caract~re de /AC~/K ~ et X' = ~i ~-I
(3.11.1) /~(x) X'(x)dx ~ =j f(x),~(x)d~x
(int~grales d~finies par prolongement analytique dans les familles X.~s).
P o s o n s
(3.11.2) L(X) = -~- L(Xv) v
(d~fini par prolongement analytique), et, pour dx = ® dx v
(3.11.3) e(X) = ~ ¢(Xv' ~v' dXv ) v
Le produit 3.11.3 est ind~pendant du choix de ~ et de celui de la
d~composition de dx , cormne on d~duit de (3.3.2) et (3.3.3). Si, pour presque
tout v , Jr% dXv = I, presque tous ses facteurs sont ~gaux ~ 1 o
Les formules (3.3.1) et (3.11.1) fournissent l'~quation fonctionnelle
globale des fonctions L de Hecke
(3.11.4) L(X) = ~(X) L(X')
- 5 3 3 -
Del-33
3.12. Les r~sultats ~nonc~s ci-dessous sont d~montr~s dans [i] et [19] .
Soient K un corps global, K une clSture alg@brique de K et V
une representation complexe de GaI(K/K)). (Toujours suppos@e continue
l'action de GaI(K/K) se factorise par un groupe de Galois fini GaI(K'/K)
Pour chaque place v de K, soit encore v une place de ~ au-dessus, et V v
la repr@sentation d@duite de V par restriction au sous-groupe W(~v/K v) du
groupe de d@composition Gal(~ /K ). v v
(A) Pour X un quasi-caract~re de $~/K*, de composantes locales Xv ,
le produit infini
L(V,x) = ~ L(V v ® ~v ) v
peut ~tre d~fini par prolongement analytique en X : dans les familles
X.~ s , il converge pour Re(s) grand, et se prolonge en une fonction
m~romorphe de s.
(B) Notons V~ le dual de V . On a
L(V,x) = e(V,x) L(V~,W 1X -1) .
avec ¢(V, X) E ¢~ de la forme A. e Bs pour X variant dans les familles X.~ s .
(C) Soit L une extension finie de K dans ~_, NL/K la norme, V L une GaI(K/K)
reprgsentation de GaI(~/L), et V K = Ind GaI(K/L) (V L) . Pour X un
quasi-caract~re deA~/K*~ , on a
e(VK,~) = e(V L, X ° NL/K) •
(A) et (B) se d~montrent par r~duction au cas o~ dim V = I,
via le th~or~me de Brauer. (C) r~sulte de (B) et de ce que,
L(VK,X) = L(V L, X o NL/K)
(cons6quence de 2.10).
-534-
Del-34
On a aussi, de m~me,
(D) ~(V' + V" , X) = £(V',x). e(V",$1) ,
ce qui permet de d~finir e(V,x) pour V seulement une representation virtuelle.
-538-
Del-35
§ 4. EXISTENCE DES CONSTANTES LOCALES
Th6or&me 4.1. Ii existe une et une se.ule fonction ¢ , v@rifiant les conditions
(I) ~ (4) ci-dessous, qui associe un nombre ¢(V,~,dx) E ¢~ & chaque classe
d'isomorphie de sextuples (K, K, ~, dx, V, p) fori~@s d'un corps local K ,
d'une cl~ture alg6brique [ de K, d'un caract~re additif non trivial
: K > ¢~, d'une mesure de Haar dx su___~r K , d...'un espace vectoriel v
de dimension finie sur ¢ et d'une ~epr@sentation p : W(~/K) > GL(V).
(i) Pour toute suite exacte de representations
0 > V' > V > V" > 0 ,
on a ¢(V,~,dx) = c(V',~,dx) ¢(V",~,dx).
Cette condition montr@.. ~ue e(V,~,dx) ne d@pend que de la classe de V
dans le groupe de Grothendieck des representations de W(~/K) £..t permet de
donner un sens & ¢(V,~,dx) pour V seulement une representation virtuelle.
(2) ¢(V,~,a dx) = a dimv ¢(V,~,dx)
En particulier, pour V virtuel de dimension 0, ¢(V,~,dx) est
ind~pendant de dx. On le note ¢(V,~).
(3) Si L e s..t une extension [email protected] finie de K dans ~ et que V K es..t
la r epr@sentation virtuelle de W(~/K) induite par une representation virtuelle
de dimension z~ro V L d__~e W(K/L), on a
(4) Si dim V = I, p
¢(V K, ~) = ¢(VL, ~ o TrL/K)
~tant d~fini par un quasi-caraet~re X de K ~ , on a
¢(V,~,dx) = ~(X,~, dx)
- 5 3 6 -
D e l - 3 6
4.2. Soit v = E nij(Hi,xi j) E R ° (W(K/K)) (I.i0). On suppose les H i deux i,j +
deux non conjugu6s. Soit K i l'extension de K d6finie par Hi, et notons
encore Xi le quasi-caract6re de K9 d6fini par Xi . Pour un choix quelconque i
de mesures de Haar sur les K i , et ~ un caract6re additif de K, on pose
(4.2.1) ~(v,~) = K ¢(ki,j , ~ o TrK./K , dxi) i,j i
Ii r6sulte de (3.3.2) que ¢ est ind6pendant du choix des dx i .
Lemme 4.3. Avec la notation 1.9.8, pour v 6 R~(W([/K)), ~ on a
c(v, ~(ax)) = det(v)(a) e(v, ~)
II suffit de le v6rifier pour v de la forme (H, X) - (H,I), H
correspondant ~ une extension L de K dans K . Soit v la repr6sentation O
virtuelle IX] - [I] de W(~/L). La formule (3.3.3) fournit
8(v, ~(ax)) = det(Vo)(a) e(v,~)
On sait ([I0] XII § 4) que l'inclusion de K ~ dans L ~ s'identifie au
transfert W(K/K) ab >W(K/L) ab . Puisque b(v) = Ind(vo) , 4.3 r~sulte
de 1.2.
Lemme 4.4. Le th~or~me est vrai dans le cas archim~dien
Pour K ---~ ¢, on d~finit c par les formules (I) et (4), et (2) est
automatique. Pour K ---~ ~ , on v~rifie sur 2.9 que l'application
b : R~(W(K/K) > R°(W(~/K))
est surjective, de noyau engendr~ par les K s - X t , pour
x s = (~< ®s ) - W~] - [×-%~+i]
Pour V une representation virtuelle et v E R~ (W(~/K)) tel que
b(v) = V - dim(V).[l], on pose
-537- Del-37
(4.4.1) ¢(V,~,dx) = e(v,~). ~(l,~,dx) dim V
V~rifions que le second membre est ind~pendant du choix de v, i.e. que pour
v v~rifiant b(v) = O, on a ¢(v,~) = 1 . D'apr~s 4.3, il suffit le v~rifier
pour ~(x) = exp(2~ ix). Pour ce choix de ~ , l'assertion r~sulte de la
d~termination ci-dessus de Ker(b) et du fait que le second membre de (3.4.1),
(3.4.2) soit ind~pendant de s .
II est clair que e d~fini par (4.4.1) v~rifie (i) ~ (4).
On se restreint maintenant au cas non archim~dien.
4.5. Soit K un corps local non archim~dien,
K et K ~ ~ l'extension non ramifi~e maximale de K . Soit nr
groupe distingu~ ouvert du groupe d'inertie I = Gal(~/Knr) et
correspondante de K . Pour g E I/J, on pose nr
une cl~ture s~parable de
J un sous-
L ifextension
~i/j(~) = inf (VL(O(x)-x) I x entier dans L)
et on d~finit des fonctions ai/J et swi/J par les formules
(4.5.1) al/j(~) = -;i/j(O) pour O # e
pour o # e SWl/j(O) = l-~i/j(o)
E al/j(o) = E swl/j(o) = o
D'apr~s Artin (voir [i0] VI § 2 Th. i),
AI/J de I/J, la repr4sentatiQn d'Artin. D'apr~s loc. cit. prop. 2, swi/J est
de m~me le caract~re d'une repr4sentation Swi/J , la repr4sentation de Swan.
Ces representations ne sont d~finies qu'~ isomorphisme pr~s. AI/J est somme
de SwI/J et de la repr4sentation d'augmentation de I/J . Pour I D J D K,
on a (loc. cit. prop. ~)
J/K (4.5.2) (AI/K) ~ AI/J et donc
al/J est le caract~re d'une representation
D e l -38 - 5 3 8 -
(SWI/K)J/K ~ Swi/J
Si d est la valuation du discriminant 6L/K , i.e, la valuation de la diff,- n=
rente ~L/K ([i0] III§ 3 prop. 6) et que r d~signe une representation
r~guli~re, on a
(4.5.3)
Soit
caract~re
formules
(loc. cit.prop. 4)
AI/K [ J/K
V une representation de
. On d~finit les conducteurs d'Artin et de Swan de
= d. rj/K + Aj/K
W(K/K), triviale sur J ~ I, et de
V par les
(4.5.4) a(V) = dim Homi/J (AI/j,V) = sw(V) + dim V - V 1
i
sw(V) = dim Homi/j(Swi/j,V) - ~ SWl/j(o) ~(g)
i / J
D'apr~s 4.5.2, ces conducteurs sont ind~pendants du choix de
Pour V de dimension i, d~fini par un quasi-caract~re
(4.5.5) a(V) = conducteur a(X) de X
J .
X, on a (loc. cit. prop. 5)
Les notations pr~c~dentes sont donc compatibles avec celles introduites en 3.4.
Avec la notation 1.9.8, on a
Ler~ae 4.5. Pour v E R~(W(~/K))et X un quasi-caract~Fe non ramifi~ de K~ , on a
¢(v.x, ~) = X(~) a(v) ¢(v,¢)
Ii suffit de le verifier pour v de la forme (H,k) - (H,~), H d~finissant
une extension L de K et X,~ ~tant deux quasi-caract~res de L#. Soit d la valuation de
la diff~rente de l'extension L/K, f le degr~ de l'extension r~siduelle,
I CW(K/K) et J CW(K/L) les groupes d'inertie et K ~ J assez petit.
Calculons a(v) . La formule d'adjonction pour les representations induites,
(4.5.3) et (4.5.5) fournissent, pour tout quasi-caract~re V de H (i.e. de L ~)
- 5 3 9 - Del-39
(4.5,1) W HOml/K(Al/K, indj(vlj)) a((H,~)) = dim Homl/K(AI/K, IndH(~)) = f dim I
= f dim Homj/K(Aj/K + d rj/K, [VIJ]))
= f a (v) + fd d'o~
a(v) = f(a(~) - a(~))
Pour M un quasi-caraetgre de L~, X~ un quasi-caract~re non ramifi~ de L ~, et
n = n (4 ° TrL/K) comme en 3.4, on a d'aprgs (3.4.3.1) ou (3.4.3.2),
d ~o~
c(~.XI , ~ o Tr, dx)
e(~ ~ ~ o Tr, dx)
= XI(~ a(V)+n)
o (a(k) - a(u) e(v- X, 4) e (v,~) -I = X NL/K )
= X(f(a(~) - a(~)))
ce qui est la formule annone~e.
Terminolo$ie 4.6. Soient K 1 une extension galoisienne (finie ou non) de K,
de groupe de Galois G , ~ un quasi-caract~re de K ~ et ~ un caract~re
additif non trivial de K . On dira qu'il existe une ~, ~ - th4orie des
constantes pour KI/K s'il existe c$ du type suivant
(0) Pour H un sous-groupe ouvert de G, d4finissant une extension finie
L de K , V une repr4sentation de H, et dx une mesure de Haar sur L ,
e ~(V, dx) 6 ¢~ est d~fini.
(I) Pour une suite exacte de repr4sentations O > V' > V > V" > O ,
(V" Ea,~(V , dx) = a ~(V', dx) 8 ,~ , dx)
C~ garde donc une sens pour les representations virtuelles.
Del-40
-540-
(2) On a
s~(V, a dx)= adimV~,~(V,dx)
En particulier, pour V
on le note C ,@(V).
(3) Pour H I c H 2 C G,
virtuelle de dimension
virtuel de dimension O, c~
d~iinissant L I ~ L 2 ,
0 de HI, on a
H 2 ~(IndHl (V)) = c~(V)
(4) Pour V de dimension i, d~fini par
est inddpendant de dx ;
et V une representation
un caract~re X de L ~ ,
(V dx) = E(X.~ONL/K ~ o TrL/K, dx)
Lemme 4.7. Soient KI/K e__~t ~ comme plus haut, e__~t ~ un caract6re additif
non trivial de K . II existe au plus une ~,~- th6orie des constantes pour
KI/K . Pour qu'il en exist@ une, il faut et suffit ~ue pour tout
v E Ker(R~(G) > R(G)), on ait
¢(v ~, ~) = 1
Soient H C G, L et V comme plus haut. D'apr~s 1.5, il existe
v E R~(H) d'image V - dim (V). [i] dans R(H). On a n~cessairement
(4.7.1) e~(V,dx) = ~(v.(~oNL/K), ~ o TrL/K). e(~oNL/K, ~ o TrL/K, dx) dim V
d'o~ l'unicit4. L'hypoth~se assure que E ,~ , d4fini par cette formule,
est ind4pendant du choix de v ; on v4rifie ais4ment les axiomes (0) ~ (4).
-541-
Dei-41
Lemme 4.8. (i) Soit $ un quasi rcaractgr @ non ramifi~ de K ~ (resp.
~' = ~ (ax) un caract~re additif non trivial). Pour qu'il existe une ~,~-th~orie
des constantes pour KI/K, il faut et il suffit qu'il en existe une ~.~,~-th~orie
(resp. une ~,~'-th~orie). Pour H, L e__tt V comme plus haut, ~L = ~ o TrL/K ,
~L = ~ ° NL/K et 0 L = ~ o NL/K , on a alors
a(V~ L) ÷ dim(V)n(~e) (4.8.1) C ~,~(V,dx) = ~e(~ )
(4.8.2) ~,(V,dx) = ilaliL dim(V) • det(V ~L ) (a).
e~(V, dx)
c~(V, dx)
La premiere assertion r~sulte du crit~re 4.7 et de 4.5 (resp. de 4.3). Ii
suffit de prouver (4.8.1) (4.8.2) pour K = L. De plus, on peut supposer
que soit V E R°(GaI(KI/K)), soit V = [i]. Dans le premier cas, on applique
4.5 et 4.3. Dans le second, on utilise (4.7.1) et la d~finition 3.4.3.
On dira qu'il existe une ~-th~orie des constantes pour KI/K si pour tout
(pour un) ~, il existe une ~,~-th~orie des constantes pour KI/K. Pour
K 1 ~ L ~ K, il existe alors une ~ o NL/K-th~orie des constantes pour KI/L.
R~duetion 4.9. Le th~or~me 4.1 est impliqu~ par l'assertion suivante
(~) Pour tout corps loca! non archim~dien K et toute extension galoisienne
finie KI/K, i l existe un quasi-earact~re non ramifi~ ~ de K~, et une
~-th~orie des constantes pour KI/K.
D'apr~s 4.8, l'assertion (~) implique que, pour ~ une cloture s~parable
de K et ~ un quasi-caract~re non ramifi~ quelconque de K~, il existe une
~-th~orie des constantes pour ~/K . La discussion ci-dessous nous permettra
de passer du groupe de Galois au groupe de Weil.
Del-42
~542-
4.10. Toute representation V de W(K/K) est triviale sur un sous-groupe
d'indice fini convenable J de l'inertie I . Soit F un Frobenius g~om@trique.
Puisque I/J est fini, une puissance convenable F n de F agit trivialement
sur I/J par conjugaison, done est centrale dans W(~/K)/J. On dira que V
a un type si une puissance F m de F n n'a qu'une valeur propre a . Le type
de V est alors l'~l~ment de la limite inductive
m
lim 4 [Xn' ~n,m } (Xn = ¢~' ~n,m (x) = x n )
nlm
d~fini par a E X = ¢~ . Toute representation irr~ductible a un type. m
Les r e p r g s e n t a t i o n s de W(~/K) de type donn~ T formant une c a t g g o r i e
ab~lienne ~ , et la cat~gorie de toutes les representations de W(~/K) %
est somme de ces sous-cat~gories. Si R (W(~/K)) est le groupe de Grothendieck T
de ~ , on a done T
(4.10.1) R(W(~/K)) = O R (K/K) T
T
Les representations semi-simples de type 1 sont exactement les representations
(continues) de GaI(~/K). Si XT est un quasi-caractgre de type T (il existe des quasi-
caraet~res, m~me non ramifies, de tousles types), la torsion par X~ d~finit
donc un isomorphisme
(4.10.2) ® X~ : R(GaI(~/K)) ~ > RT(W(~/K))
Soient L une extension s~parable finie de K dans ~ , et f le
degr~ de l'extension r~siduelle. Si une representation V de W(~/L) est
de type O , la representation induite de W(~/K) est de type O f . On dit
f que V est de K-type T si ~ = T . L'ensemble des representations de K-type
donn~ est donc stable par induction.
Variante 4.10.3. Les arguments precedents s'appliquent g tout groupe extension
de ~ par un groupe fini, et aux limites projectives de tells extensions. Le
- 5 4 3 -
Del-~
cas des groupes de Weil globaux noussera utile plus tard.
4.11. Admettons (~). Pour tout type T , soit XT un caract&re non ramifi~
de type T . Puisqu'il existe une X~ -th~orie des constantes, on peut d~finir
e sur RT(W(~/K)) par la formule
g(V, ~, dx) = ¢XT ' (V ® ~r I dx)
II r~sulte de l'unicit~ 4.7. que cet ¢ est ind~pendant du choix de XT
On dgfinit ensuite g sur R(W(K/K)) par additivit6 (4.10.1). D'aprgs
4.7, s'il existe une th~orie 4.1, elle est donn~e par cet g .
On a fait ce qu'il fallait pour que g v~rifie (i), (2), (4) et (3) lorsque V L
a un type. II reste g vgrifier (3) pour V L de la forme [k o NL/K]-[~ o NL/K] ,
avec k et ~ deux quasi-caract~res non ramifi~ de K ~ , de types donngs.
On a, par (3.4.3.1), (3.3.2), (3.3.3)
g([~ o NL/K]-[~ONL/K], ~OTrL/K) = (X~-IIoNL/K (~(~°TrL/K))
D'apr~s 4.8, on a d'autre part
c(Ind([XONL/K]_[~ONL/K]) ' ~) = (~ -I)(~(Ind(~oNL/K)) + [L:K]n(~))
Soient d la valuation de la diff~rente de L/K, e l'indice de ramification
et f le degr~ de l'extension r~siduelle. La formule (4.5.1) fournit
a(Ind(~oNL/K)) = fd
de sorte que la formule ~ d~montrer se r~duit
f.n(~oTrL/K) = f d + [L:K] n(~) , soit
n(~oTre/K) = d + e.n (~) ,
qui est essentiellement la d~finition de la diff~rente ([i0] III § 3).
Le point clef de la d~monstration de (~) est le lemme suivant.
De!-44
-544 -
Lemme 4.12. Soit K'/K une extension galoisienne de corps globaux. Pour chaque
place w de K, on choisit une place de K' au-dessus, et on la note encore w .
Soient ~ un quasi-caract~re du groupe des classes d'id&les de K, e t v une
place de K £u[ ne se d~compose pas dans K'. S i, pour toute place finie
w # v de K, il existe une ~w-th~orie des constantes pour Kw/K w , alors,
il existe une ~v-th~orie des constantes ~our K'/K ..... vv
Soient ~ un caract~re non trivial de ~K/K, et ~v sa v-composante. Nous
allons construire une C~v, ~v-th~orie des constantes pour K$/K v
On a GaI(K'/K) = GaI(K'/K ). Un sous-groupe H de GaI(K'/K ) d~finit v v v v
donc, outre une extension L de K , une extension L de K de compl~t~ L v v v
Soit dx la mesure de Tamagawa sur /A L ~AL/L de volume I), et posons
dx = ® dx , avec dx choisi & l'avance. Toute representation V de H w v v
w d~finit une representation V de GaI(K'/L) et, par restriction, des representations
\~7 des groupes de d~composition GaI(E/Kw). Une constante globale e(V,&) a
~t~ d~finie en 3.12. Soit w une place de L, et notons encore w la place de
K image. Pour w infinie, on dispose (4.4) de constantes locales
C(Vw.(&ONL/K)w,(~OTrL/K)w, dx w) • Pour w finie autre que v, on dispose aussi
,' (V w dx ) Notant les unes et les autres par hypoth~se de constantes OD ~w ' w "
6~(V w, 4, dXw), on pose
6 (Vv,dX v) ~v~v
e(v,~) =
~- c (Vw,~,dx ~) w~v
ne d~pend pas du choix de la d~composition dx = ~ dx On v~rifie que C~"~vv w
et v~rifie les axiomes (O) ~ (4). Le point clef est 3.12(C).
Lemme 4.13. Soit K'/K une extension galoisienne de corps locaux. II existe une
extension galoisienne de corps globaux IK'/I K, et une place v de 1K qui ne
se d~compose pas dans I K', telle que K sridentifie au compl~t~ de 1K e__nn v
--et K' ~ une sous-extension de IK'v /IKv "
-545-
Del-45
C'est trivial : on prend d'abord IK'/I K avec iK'v ~ K' ~ K = iKv , puis on
remplace 1K par l'extension d4finie par un groupe de d4composition en v .
Lemme 4.14. Soient K u n corps global, S un ensemble fini de places finies
d_~e K e_!t m : S > N . II existe un caract~re ~ du grouPe des classes
d'id~les tel que, pour w E S, le eonducteur de ~w soit ~ m(w), et que pour
toute place finie hors de S, C~ w soit non ramifi~.
Si K est un corps de nombres~ on peut en effet librement specifier
-~ ~ , car ee sous-groupe compact de ~ ne rencontre ~ qu'en {I}. w fini w
Si K est un corps de fonctions~ de corps de constantes k, on a
sur
-~-0 ~ N K~ = k~ , w w
et on remarque qu'il existe des caract~res de
grand, qui soient triviaux sur k ~.
G ~ , de conducteur arbitrairement w
D'apr~s 4.12, 4.13 et 4.14, l'assertion 4.9 (~) et donc 4.1 r~sultent des
deux lermnes suivants, o~ K'/K est une extension galoisienne finie de corps locaux
non archim~dien, de groupe de Galois G et ~ un quasi-caract~re de K~.
Lemme 4.15. Si C~ et K'/K
constantes pour K'/K
sont non ramifies, il existe une ~-th~orie des
Choisissons pour ~ un caract~re de
dx)dim(V ) de prendre e~(V,dx) = (
@L
K tel que n(~) = 0 . Ii suffit alors
Lemme 4.16. Pour K'/K donn~, il existe m tel que, si le conducteur
est ~ m, il existe une ~-th~orie des constantes pour K'/K.
m de
Soit ~ de conducteur m et n = [m+l] . La fonction ~(l+a) est alors
2 additive en a pour v(a) ~ m-n. Si ~ est un caract6re additif non trivial
de K, il existe donc y, de valuation -(m + n (~)) et bien d6fini modulo
-546-
Del-46
(-(n+x(~)) ), tel que
~(l+a) : ~(y a) pour v(a) ~ n.
Pour ~ un quasi-caract~re de K ~ , de conducteur ~ m-n, on a alors
(4. ZQI) ¢(X ~, ~, dx) = ~ I x-l(x)~-l(x)~(x)dx. U e O~/(l+(~n)) -m-n(~,)U
Pour ~-m-n(~)U non contenu dans y(l+(~m-n)), l'int6grale partielle correspondante
est nulle : c'est l'int6grale d'un caract6re additif non trivial. Puisque X est
constant de valeur X(Y) sur y(l+(~m-n)), on a donc
e(X~, ~, dx) = k-l(y) e(~, ~, dx)
Nous allons montrer que, pour m assez grand, on obtient une ~,~-th~orie
des constantes pour K'/K en posant, pour H c G d~finissant une extension L
de K et V une representation de H
e~,~(V,dx) = det(v)-l(y), e(~ONL/K ' ~OTrL/K, dx)dim V
Les axiomes (0) (i) (2) sont triviaux. L'axiome (3) r~sulte de ce que
l'inclusion de K ~ dans L ~ s'identifie au transfert W(K/K) ab > W(~/L) ab
([I0] XIII § 4) et de 1.2. Reste l'axiome (4).
Soit H C G correspondant g L/K, et e l'indice de ramification.
Rappelons que pour u E ~L et n = le plus petit entier tel que n e e 2v(u),
(4.16.2) NL/K(I+u) = 1 + TrL/K(U) (mod TT n)
On le v~rifie en ~crivant la norme de (l+u) comme le produit de ses conjugu~s.
Nous noterons 0(I) tout nombre born~ en terme de
D'apr~s 4.18.2, si ~ est de conducteur m ,
em- 0(i). De plus, pour --v(a)e ~[m~l] + 0(1)'-
~°NL/K
K'/K seulement.
est de conducteur
-547- Del-47
~ONL/K (l+a) = ~(l+Tr(a)) = ~ (y Tra) = ~oTrL/K(Ya)
Pour tout caract~re X de H , de conducteur 0(I), on peut refaire le
raisonnement fait plus haut ; on obtient la formule voulue
~(~ONL/K ,~orrL/K,dX) = x-l(y). C(~ONL/K, ~OTrL/K, dx)
Del-48
-548-
§ 5. FORMULAIRE.
5. Formulaire.
(5.1) Outre la eonstante locale e(V,@,dx) d4finie par 4.1, nous consid~rerons
aussi, dans le cas non archim4dien, la constante c d4finie par o
E(V,9,dx) = Eo(V,~,dx). det(-F,VI) -I
Les constantes e et e ont les propri4t4s suivantes. o
(5.2) £ et £ sont additifs en V, doric gardent un sens pour V virtuel. o
(5.3) £ et ~o sont ind~pendant de dx pour V virtuel de dimension O .
On les note c(V,~) et eo(V,~). Plus pr4cis~ment,
dim V E(V,~,a dx) = a E (V,~, dx)
et de m~me pour
(5.4)
o
£(V,~(ax), dx) = det(V)(a) !fall -dim V ~(V,~,dx)
et de m~me pour
(5.5) Pour K
on a
(5.5.1)
et
E o
non archim@dien et X un quasi-caract~re non ramifi4 de K ~,
£(Vx,~,dx) = X(a(V)+dim(V).n(~)). E(V,~,dx)
Co(VX,~,dx ) = x(~dim(V)+sw(V)+dim(V)-n(~ ))) Eo(V,@,dx)
En particulier, si on pose
et de m~me pour
(5.5.2)
E ( V , ~ , d x , s ) = E(V ~ S ' ~' dx) ,
~o~ on a
e(V,~,dx,s) = £(V,~,dx).q -(a(V)÷dim(V)'n(~))'s
-549-
Dei-49
Pour W
(5.5.3)
-(sw(V)+ dim(V)(n(~)+l)).s eo(V,~,dx,s) = eo(V,~,dx), q
une repr4sentation non ramifi4e, on a de mame
c(V ® W,~,dx) = det W(~ a(V)+dim(V)'n(~)) c(V,~,dx)dim W
eo(V ® W,~,dx)= det W(~ sw(V)+dim(V)'<n(~)+l)) eo(V,~,dx) dim W
(5.6) Pour L/K une extension s~parable finie, V L une repr4sentation virtuelle
de dimension O de W(~/L) et V K la repr4sentation induite de W(K/K), on a
(5.6.1) e(VK, ~) = ~(VL,~O TrL/K) ,
et de m~me pour C . En d'autres termes, il existe o
k(L/K, ~, dXL, dXK) £ ~
tel que, pour V L de dimension quelconque,
(5.6.2) e(VK,~,dXK)=k(L/K,~,dXL,dXK)dim(VL ). e(VL,~OTrL/K,dX L)
La m~me formule vaut pour o
Dans Langlands [9], c'est (5.6.2) qui fournit le cadre de la th6orie.
De plus, il prend syst4matiquement pour dx la mesure de Haar autoduale pour
, et il l'omet de la notation. Les cons tantes sont de plus normalis4es pour
~tre de valeur absolue complexe I. Tout ceci lui impose une autre formule
(5.4).
5.7. Soient V ~ le dual de V et dx ~ la mesure de Haar duale de
relativement ~ ~ . On a
(5.7.1) ¢(V,~,dx). C(V~.wI, ~(-x), dx') = 1
En partieulier, si K est non archim~dien et que V
dx
est unitaire, de sOrte
Del-50
-550-
que V ~ = V , on a -dim(V)
(5.7.2) le(V,,,dx) 12 (dx' 1 a (V)+dim(V) . n(l$) =\dxl " q
-i 5.8. E apparait dans l'@quation fonctionnelle locale de Tate ; posant X' = ~i)~ :
(5.8.1) /f(x)~i'(x)d~ex = ~(X,~,dx) ff(x) X(x) d~x (Tare) .
L(X') L(X)
Pour K non archim~dien, y 6 K~ de valuation l+sw(x)+n(~), on a (3.4.3.4)
(5.8.2) fy x-l(x) $(x) dx ¢o (X'{'dx) = -i~.
5.9. Pour K non archim~dien, si X est non ramifi~ on a
¢(X,~,dx ) = X(n(~)) qn(~) f~dx En particulier, si n(~) = O et que ~@ dx = i
on a
e(X,$,dx) = I
l 5.10. Prenons K non archim4dien, a(X) ~ 1 , n(~) = -i et ~ dx = i.
J( ~) Soient Xk et ~k les caract~res de k ~ et k d4finis par X et ~ . On a
(5.10.1) eo(X,),dx) = - T(Xk,~ k) ,
o~ ? est la somme de @auss
(5.10.2) ?(Xk,$k ) = - E X-~(x) Sk(X) ,
x(k ~
~gale A 1 pour Xk trivial. En particulier,
(5.10.3) ¢o([X]-[l ],)) = T(Xk, ~ k )
-551-
Del-51
5.11. Soit K un corps global. Pour V une repr6sentation du groupe de Weil
global de K, ~ un caract6re additif de non trivial de AK/K et dx = ® dx v v
de Tamagawa sur ~K' on pose
la mesure
(5.11.1) L(V) = ~ L(V ) v
v
(5.11.2) ¢(V) = ~ ~(Vv' ~v' dXv) v
L'4quation fonetionnelle globale s'4crit
(5.11.3) L(V) = e(V) L(V ~W I)
D4monstrations : 5.2, 5.3, 5.6
5.4 et 5.5 r4sultent de 4.8.
et 5.8 sont 4.1 (I) et (2), (3), (4) (et 3.3) -
II suffit de prouver (5.7.1) pour V d~fini par un caract~re ; la formule
r~sulte alors de (5.8.1) et de la formule d'inversion de Fourrier. (5.7.2)
r~sulte de (5.7.1) et de (5.3) (5.4).
5.9 r~sulte de (3.4.3.1) et (5.10) de (5.8.2).
Enfin, 5.11 r~sulte de ce qui precede et de (3.11.4) par des arguments
connus [I], [19].
La restriction de 4.1 au cas des extensions et des caract~res mod4rement
ramifi4s 4quivaut aux identit~s suivantes sur les sommes de Gauss (5.10.2).
On y d4signe par k un corps fini ~ q 414ments et par ~ un caract~re
additif non trivial de k .
5.12. (Hasse-Davenport). Soient k' une extension de k de degr~ n et X
un caractgre de k ~. On a
T(XoNk,/k, ~°Trk,/k) = ~(X,~) n
Del-52
- 5 5 2 -
5.13. Soient X un caract~re de k ~ et n un entier premier ~ q. Soit X
un ensemble de repr~sentamts des classes d'isomorphie de couples (k',x')
form, s d'une extension k' de k et d'un caract~re X' de k '~ tel que
(a) X'(x) = XONk,/k(X n) et
(b) X' n'est pas de la forme X"°Nk,/k,, pour k" inter- f,
m~diaire entre k et k' , i.e. X 'q # X' pour 0 < f' < [k':k].
Posons
T(X,~ n) = Xn(X,~). ~ T(X',~oTrk,/k)
(k',X')6x
Alors,
(5.13.1) kn(X,~) est ind~pendant de X
Cette identit~ se d~visseen les deux suivantes.
5.14. (Langlands [9] 7.8). Soient £ un nombre premier ~ q, f l'ordre
de q dans (~ /~)~, k' une extension de k de degr~ f, T un ensemble
de repr~sentants des orbites de Gal(k'/k) dans les earact~res (non triviaux)
d'ordre ~ de k ~ et X un caract~re de k ~ . On a
T(X~ ~ ~) "~- T(~,~oTrk,/k )
~6T
= T(X'~) K ~(X°Nk'/k'~' ~°Trk'/k)
~ET
5.15 (Langlands [9] 7.9). Soient £ un nombre premier divisant q-l, T l~en -
semble des caract~res d'ordre £ de k~ , X un caract~re de k~ qui n'est
pas une puissance £i~me k' une extension de degr~ ~ de k et X' un
caract~re de k '~ tel que X'(x ~) = XoNk,/k(X). On a
T(X'~) K T(~,~) = T(X',~OTrk,/k)
~6T
-553-
Del-53
5.16. D~monstrations. Si K'/K
corps locaux non archim~dien et
on a encore n(~OTrK,/K) = -i, de sorte que 5.10 s'applique tant ~ K qu'~
Soit V une representation mod~r6ment ramifi~e W(~/K). On peut toujours
l'~crire con~e somme de repr6sentations induites par des caract~res moderns Xi
d'extensions non ramifi~es K~/K. i
est une extension mod~r~ment ramifi~e de
un caract~re additif de K tel que n(~) -i,
m v "
V = dim(V).[l] + E Ind([~i]-[l]) + E (Ind([l])-[Ki:K][l]) i i
Soient kl le corps r~siduel de K~ et ~. le caract~re de k ~ d~fini par l i
Pour dx une mesure de Haar sur K telle que I dx = I, on trouve )( ~)
(5.16.1) eo(V,*,dx) = (-I) dim V ~ T(X~, ~kOTrk~/ki ) i
La formule (5.12) s'obtient en prenant une extension non ramifi~e K'/K ,
et en ~crivant que, pour X un caract~re (ici mod~r~ment ramifi~) de K ~, on a
X i •
Ind(XoNK,/K - [i]) = ~ [~]-[~] ,
o~ ~ parcourt les caract~res non ramifies d'ordre divisant [K':K]. Cette
formule (5.12) assure que le second membre de (5.16.1) ne d~pend que de V .
Les identit~s 5.13 s'obtiennent en prenant une extension totalement ramifi~e
de degr~ n K'/K, et en conjugant 5.6.1 et (5.16.1) pour V induite par un
caract~re mod~r6 X de K'
(5.14) et (5.15) sont le cas particulier de (5.13.1) o~ n est un
hombre premier % .Dans 5.14 (resp. 5.15), on suppose que le caract~re X
de K '~ est (resp. n'est pas) une puissance ~i~me
-554-
Del-54
§ 6. REDUCTION MODULO ~ DES CONSTANTES LOCALES.
Soient K un corps local non archim~dien, ~ une clSture s~parable de K
et reprenons les notations 2.2. Soit A un anneau commutatif dans lequel p
soit inversible. On simplifierait l'expos~, sans perte de g~n~ralit~, en
supposant qne A est local, voire un corps~ Pour x E K, llxll a par hypoth~se
un sens dans A .
6.1. Une mesure de Haar ~ sur K, ~ valeurs dans un ~ [I/p]-module M est
une fonction simplement additive de parties compactes ouvertes de K, ~ valeurs
dans M, et invariante par translation. La fonction additive d~finie par
est l'unique mesure de Haar ~ valeurs dans ~ [l/p] telle que ~o(G) = I, et
toute mesure de Haar ~ valeurs dans M est de la forme m.~o (m = ~o(@) E M) .
On peut int~grer une fonction localement constante ~ support compact
valeurs dans A contre une mesure de Haar ~ valeurs dans A .
6.2. Soient O : W(K/K) ......... > GLA(V) une representation du groupe de Weil sur
un A-module libre (ou projectif) V, et J un sous-groupe distingu~ ouvert de
sur lequel p soit trivial. Pour tout hombre premier % # p, on sait que la
representation de Swan Swi/J peut se r~aliser comme un ~[I/J]-module
projectif. Si A est une ~ ~-alg~bre, HomI/j(SwI/j,V) est donc un A-module
projectif. Si A est de plus local, il est libre ; son rang est le conducteur
de Swan de V . Plus g~n~ralement, on v~rifie qu'on peut toujours d~finir le
conducteur de Swan de V comme une fonction localement constante ~ valeurs
enti~res sur Spec(A). Ce conducteur est invariant par extension de l'anneau
des scalaires A .
- 5 5 5 - Del-55
6.3. Si ~ est une racine (pn)i~me de l'unit~ darts A , l'ordre de ~ est
une fonction localement constante sur Spec(A) : deux q u e l c o n q u e s des polyn~mes
-1 c y c l o t o m i q u e s ~ . (X) e n g e n d r e n t l ' i d g a l t r i v i a l de A[X] ( p u i s q u e p E A),
1 P
de s o r t e que A e s t p r o d u i t s d ' a n n e a u x A. (1 ~ i ~ n ) , l a i gme coordonn4e 1
i de ~ v ~ r i f i a n t ~ i ( ~ ) = O . Sur S p e c ( A i ) , ~ e s t d ' o r d r e p
P
Si ~ e s t un c a r a c t ~ r e a d d i t i f ( c o n t i n u ) de K ~ v a l e u r s dans A ~ , i l
e s t ~ v a l e u r s dans l e s r a c i n e s ( p n ) i g m e s de l ' u n i t 4 . Ceci pe rme t de d 4 f i n i r n (~ )
comme une f o n c t i o n l o c a l e m e n t c o n s t a n t e s u r Spec(A) ; en un i d g a l p r e m i e r ~ ,
n (~ ) e s t + ~ s i ~ e s t t r i v i a l mod X , e t l e p l u s g r and e n t i e r n t e l que
~1~ -n ~ s o i t t r i v i a l mod k (ou dans le l o c a l i s 4 Ak, c ' e s t p a r e i l ) . Par
abus de l a n g a g e , on d i t que n (~ ) e s t non t r i v i a l s i n (~) n ' e s t n u l l e p a r t + ~.
6.4. Pour ~ un caract~re additif non trivial de K g valeurs dans A ,
X E Hom(K~,A~), et dx une mesure de Haar ~ valeurs dans A , on peut maintenant
d~finir
go(X,~, dx) E A~
par la formule (3.4.3.4) (plus pr~cis~ment, si Spec(A) n'est pas connexe, on
commence par 4crire A = ~A i , avec n(~) et Sw(X) constant sur Spec(Ai). i
On d~finit alors la i gme projection de go par (3.4.3.4)).
Th~or~me 6.5. Ii existe une et une seule fonctions go du type suivant
(a) Pour K un corps local non archim4dien, ~ une clSture s~parabl@ de K,
A u__nn corps de caract~risti~ue # p, V une representation de W(~/K) da~>
un vectoriel de dimension finie sur A , @ un caract~re additif non trivial
valeurs dans A et dx une mesure de Haar (non nulle) ~ valeurs dans A , on a
go(V, ~,dx) ~ A ~
(b) C o est invariant par extension du corps A
Del-56
(c) Soit A
-556-
un anneau de valuation discrete de caract~ristique r~siduelle # p,
son corps des fractions et s =A/m son corps r~siduel. Pour V une repr~sen
tation de W(K/K) dans un A-module fibre de rang fini, et pour @ e t dx
valeurs dans A, on a ~o(V , ~, dx) E A ~ , e t
eo(Vs, ~, dx) = Co(V , 4, dx) mod
(d) Les conditions (i) ~ (3) de 4.1 sont v~rifi~es
(e) Pour dim V = i, c o est donne par 6.4.
m .
Par descente galoisienne, il suffit de traiter le cas o~ A eat un corps
s~parablement clos. Si A est de caract~ristique 0, l'~nonc~, ~tant purement
alg~brique, r~sulte du cas A = ¢ trait~ en 4.1. Supposons donc A de caract~-
ristique ~ # O.
Soient G un quotient fini de GaI(~/K) et A un anneau de valuation
discrete d'in~gale caract~ristique de corps r~siduel A/m = A . On suppose
relev~ en un caract~re additif ~ valeurs dans A ~ , dx en une mesure de Haar
valeurs dans A, et que le corps des fractions ~ de A est assez gros (1.4)
relativement g G .
Pour tout caraetgre X d'une sous-groupe de G ~ valeurs dans ~, en
fait dans A ~ , la constante c ° correspondante est clairement dans A . D'apr~s
5.7.1, elle est m~me dans A ~ . On en d~duit que, pour toute representation V
de G sur ~ , on a Co(V , ~, dx) E A ~ •
On sait que l'homomorphisme de d~composition d : R (G) .... > RA(G) est
surjectif (les representations virtuelles se rel~vent). Pour V E RA(G), et
V E R (G) tel que d(v) = V, on pose
¢o (v, 4, dx) = r6duction mod m de Co(V , ~, dx)
-557-
Del-57
D'apr~s 1.8, pour l~gitimer cette d~finition, il suffit de v~rifier que
(~) Pour H ~ G d~finissant une extension L de K, ~L = ~ ° TrL/K '
et X', X" deux caract~res de H ~ valeurs dans ~ , si X' est X" sont
congrus mod m, on a
G , , ) ~o(IndH([X I-IX ], ~L ) ~ i mod m
Les conducteurs de Swan de X' et X" sont tous deux 4gaux au conducteur
de Swan de X' mod m. Pour y ~ I+Sw(x')+n(~L) = , on a donc
e =o fy-l@~ x'-l(x) ~L(X) dx /f-l@~ x"-l(x) ~L(X) dx
Num~rateur et d~nominateurs sont des unit~s, et sont clairement congrus
On a donc e = I. o
Pour V une repr4sentation de GaI(K/K), on obtient ainsi une fonction
ayant les propri4t4s annonc4es. Ses propri4t4s formelles sont les m~mes que
celles explicit~es dans le formulaire 5.1 dans le cas A = ¢ . Pour passer
de GaI(~/K) ~ W(K/K) on peut donc reprendre l'argument utilis4 en 4.9,
mod m .
o
l'aide de la deuxi~me formule (5.5.1).
Remarque 6.6. Dans tout ce num~ro, il a ~t~ essentiel de travailler avec e o
plutSt qu'avec e . D'abord pour avoir ~ utiliser le conducteur de Swan (invariant
par r~duction mod ~) plutSt que le conducteur d'Artin, ensuite pour n'avoir pas
distinguer, dans la d~finition de Go(X, 4, dx), entre les cas non ramifi~ et
mod~r~ment ramifi~. La signification de ~ apparaltra plus clairement au o
num~ro suivant.
- 5 5 8 -
Del-58
§ 7. FONCTIONS L MOD~AIRES
7.1. Soit X une courbe projective non singuli6res sur ~ On suppose P
X irr6ductible, on note K son corps de fonctions rationnelles et on
identifie points ferm~s de X et places de K . On ne suppose pas X g~om~-
triquement irr~ductible, i.e. ~ alg~briquement ferm~ dans K . P
7.2. Soit A un anneau noeth6rien. On sait ce qu'est un faisceau constructible
de A-modules sur Xet (SGA 4 IX 2.3 ). Pour tout x E X, et pour k(~)
une extension sgparablement close de k(x), un tel faisceau G a une fibre
G~x en x , qui est un A-module de type fini. Ce dernier ne d6pend que de la
cloture s6parable de k(x) dans k(~), et Gal(k(x)/k(x)) agit sur ~xx
par transport de structure~ De plus, pour v une place de K (point ferm6
de X), et iv une cloture alg£brique de Kv, on dispose d'une fl6che de
sp6cialisation
s p v : ok7 ~ > G[ V
I Cette fl6che est 6quivariante ; son image est donc contenue dans G~ v
V
On dit que G est Don ramifi~ en v si SPv est un isomorphisme° Un faisceau
constructible est presque partout non ramifi6.
Une fois choisies une cloture s6parable K de K et une place de
au-dessus de chaque place de K, on peut r6ciproquement d6finir un faisceau
constructible de A-modules comme suit.
(a) On ae donne les fibres G~K et Gk-~-v) (respectivement des A-GaI(K/K) -
ou A-Gal(k(v)/k(v))-modules, de type fini sur A).
(b) On se donne les fl~ches de sp6cialisation (6quivariantes pour l'action des
groupes de ddcomposition)
spv : Gk(v ) >~
Pour que (a) (b) d6finissent un faisceau, il suffit que les
presque tous des isomorphismes.
SPv soient
-559-
Del-59
7.3. II nous sera commode de modifier la d4finition pr4c4dente en rempla§ant
les groupes de Galois par des groupes de Well. Soit Y un sch4ma sur P
Soient ~p une cl~ture alg~brique de ~p et ~ = Y ®~ Fp . Un faisceau de
P Weil (resp. un faisceau de Weil de A-modules constructible ) G sur Y est
un faisceau (resp. un faisceau de A-modules constrcutible) ~ sur ~et ' plus
une action de Frobenius sur G , au-dessus de son action sur ~ .
~Remarque (inutile) :
topos Y wet
Spec(%)et
sur
Les faisceaux de Weil en ensembles sur Y forment un
• On peut le d4crire comme un 2-produit fibr4 de topos : identifiant
au topos classifiant
Ywet =
BZg , on a
Y4t XB~ BZg
Nous appellerons simplement faisceaux les faisceaux de Weil ; les faisceaux
Yet seront appel4s faisceaux 4tales.
7.4. Un faisceau 7.3. de A-modules constructible peut se d4crire en termes
g a l o i s i e n comme e n 7 . 2 , e n r a m p l a ~ a n t p a r t o u t G a l ( K / K ) , G a l ( K /K ) e t v v
Gal(~ /k ) par W(K/K), W(K /K ) et W(~ /k ) = Zg v v v v v v
7.5. Soit K un corps local non archim~dien. On d~finit un faisceau de Weil v
sur Spec(@ v) en paraphrasant 7.3. Soit < une cloture s~parable de K v
Ii revient au m~me de se donner un faisceau (de Weil) de A-modules constructible
G sur Spec(~ v) ou de se donner
a) la fibre ~KK , un A-W(</k )-module de type fini sur A • v ~
v b) la fibre G~ , un A-W(</kv)-module , de type fini sur A ;
v c) la fl~che de sp~cialisation~ W(Kv/Kv)-4quivariante :
sp : % >% v v
Soient v une place de K et X v = SpeC(~v). Par restriction, tout
f a i s c e a u ( d e W e l l ) de A - m o d u l e s c o n s t r u c t i b l e s u r X e n d 4 f i n i t u n s u r X v
-560-
Del-80
Un faisceau est plat si ses fibres sont des A-modules plats.
7.6. Soit K v un corps local non archim~dien. On pose deg(v) = [kv:lFp]
t et on note ~ l e q u a s i - c a r a c t ~ r e non r a m i f i ~ de W(~ /K ) , 5 v a l e u r s d a n s
v v
A(t), tel que wt(F ) = t deg(v) v
Soit G un faisceau constructible plat sur Spec((gv). On pose
(7.6.1) Z(G v, t) = det(l-Fvtdeg(v),G ~ )-i = det(l_Fv ' G~ ® t)-I
v v
Pour p inversible dans A, on d~finit un conducteur
(7.6.2) a(G) = sw(G~ ) + dim(G~K )-dim(G~ ) v v v
(un entier si A est local, une fonction localement constante sur Spec(A)
en g~n~ral).
Supposons que A soit un corps de caract~ristique # p. Soient ~ un
caract~re additif non trivial de K ~ valeurs dans A ~ , et dx une mesure v
de Haar ~ valeurs dans A, comme en 6.5. On pose
(7.6.3) e(Gv,~,dx,t) = Co(% ® t, ~, dx). det(-Fv tdeg(v), G~v ) -i
est un monOme. D'apr6s (5.5.2), son degr6 en t est a(G).deg(v).
Remarque 7.7. Soit M une repr6sentation de W(~ /K ). En termes galoisiens, ou v v
d6finit des faisceaux j !M e t j .M s u r Spec(C9 v) p a r l e s f l ~ c h e s de s p g c i a -
lisation
j! M : 0 >M
I J. M : M v
Les quantit6s ~ et 6 des § pr6c6dents s o
relative respectivement A j~M et j!M . Au contraire de j. , le foncteur j!
commute A la r6duction mod ~ . Ceci peut expliquer pourquoi, au § 6, nous n'avons
consid6r~ que ~o
~M
'identifient ~ la quantit~ (7.6.3)
-561-
Del-61
7.8. Soit G un faisceau constructible de
place v de K, G induit un faisceau G v
A-modules plats sur X. Pour chaque
sur Spec(@ ). On pose v
(7.8.1) Z(G,t) = ]~Z(Gv, t) C A[[t]] v
7.9. Supposons que A soit un corps de caract~ristique # p. Ii existe sur
l ' a n n e a u d e s a d d l e s d e K u n e u n i q u e m e s u r e de H a a r & v a l e u r s d a n s ~ [ l / p ]
telle que fA/K dx = i. On peut @crire dx = ® dXv (dXv = mesure de Haar v
sur K v , & valeurs dans ~ [1/p] ; pour presque tout v , f~ dXv = i). v
Les dx d~finissent des mesures de Haar & valeurs dans A . v
S'il existe un caract~re non trivial ~ de A/K, & valeurs dans A ~ , on
pose
(7.9.1) c(G,t) = ~ ¢(Gv, ~v,dXv, t) v
Presque tousles termes du produit sont ~gaux ~ I, et le produit ne d@pend
pas du choix de ~ ni de la d@composition choisie de dx .
i&me Soit A' d@duit de A par adjonction d'une racine primitive p de i.
Ii existe ~ ~ valeurs dans A '~ . La constante globale correspondante, @tant
ind@pendante de @ , est invariante par GaI(A'/A), doric dans A . Ceci permet
de d@finir c m@me s'il n'existe pas de caractgre ~ .
7.10. Notons i l'inclusion de Spec(K) dans X . Si V est une repr@sentation
de W(~/K), on note !~ V le faisceau sur X de fibre en ~ @gale ~ V, et
I pour lequel les SPv sont : SPv: V v£ > V .
Th@or~me 7.11. Soit A un corps de caract@ristique ~ # p. Soient G u__~n
faisceau constructible de A-vectoriels, et V la fibre de G en
(i) Z(G,t) est une fraction rationnelle en t .
(ii) Pour t > = , Z(G,t) est asymptotique g e(G,t). En d'autres termes,
Z(G,t)/c(G,t) est une s@rie formelle en t -I de terme constant i.
(iii) Z(i~V,t) = ~(i~V,t) Z(i~V~,pt -I) .
-562-
Del-62
Soit S un ensemble fini de places contenant toutes les places o~ la repre-
sentation V est ramifi~e. Soit j IPinclusion de X-S dans X, et soit
j~V le faisceau sur X, de fibre g~n~rale V, non ramifi~ en dehors de S, et
de fibre nulle en v E S. On v~rifie aussitOt que (i) (ii) ~quivalent
(i') Z(jTV, t) est fonction rationnelle de t ,
(ii') Pour t > = , Z(j! V,t) ~ G(jyV, t).
Supposons que ~ ~ O. Pour toute representation W de W(K/K), non ramifi~e
en dehors de S (identifi~e gun faisceau localement constant sur X-S), posons
R°j~ = j~W = i~W , RIj~w = le faisceau nul en dehors de S, de fibre en v E S
~gale ~ HI(Iv,W), et
(7.11.1) Z(Rj~W, t) = Z o, (R j~ W,t) Z(RIj~w~t) -I
......... > ~ ~(i) Pour toute representation W Soit P' le noyau de t~ : I v .
de I v sur A , on a canoniquement
p1 (7.11.2) Hi(I ,W) = Hi(l /P',W )
v v
Pour toute representation W
(7.11.3) H°(~ ~(I),
de ~ ~(I), on a canoniquement
m ~(i) W) = W (invariants)
HI(~ ~(i), W) = W~ ~(I) (-i) (coinvariants tordu).
Hl(~ ~(I), W) = O (i ~ 2)
Puisque la dualit~ ~change invariants et coinvariants, on a (cf. 2.3).
Lenmle 7.11.4. Pour ~ # O, H°(Iv,W) e t HI(Iv , ~i w~) sont canoni~uement
en dualitY.
Nous n'utiliserons pas que cette dualit~ peut s'interpr~ter comme un
cup-prodult ~ valeurs dans HI(Iv,A(1)) = Hom(Iv, A(1))--~--~ A , engendr~ par
t~ mod ~ .
- 5 6 3 -
Del-63
Pour ~ = O, dans le courant de cette d~monstration, nous poserons
HI(Iv 'W) = dfn H°(Iv ' ~i W~)~ '
et d~finirons Z(Rj~W,t) par (7.11.1). Cette d6finition est justifi~e par
7.11.5 et 7.11.6 ci-dessous. Pour W une representation de W(~ /K ), nous v v
poserons encore
Zv(Rj~W,t) = det(l-Ft deg(v),H°(Iv,W))-l.det(l-Ft deg(v),H l(Iv,W))
Soient A un anneau de valuation'discrete d'in~gale caract~ristique ~ # p
et W un A-module libre sur lequel W(K /K ) agit. Soient ~ le corps des v v
fractions de A, s = A/m le corps r~siduel.
Lemme 7.11,5. Zv(Rj~W s,t) = Zv(RJ~,t) mod m.
La d~monstration ci-dessous perdra son myst~re au § iO.
Soient P' = Ker(t% : I > ~ ~(i)), ~ un g~n~rateur de ~ ~(i),
F un Frobenius g~om~trique et K le complexe concentr~ en degr~s O et 1
K : W P' ....... O-i > W P'
q-i L'endomorphisme E o i de W P' est inversible: il suffit de le voir apr~s
i=l ~n r~duction modulo l'id~al maximal de A . Aprgs r~duction, puisqu'un O est
i l'identit~, (7 est unipotent et q est l'unique valeur propre de E
Soit F = (Fo,F I) l'endomorphisme de K de composantes F ° = F et
q-i oi)_ 1 F 1 = F o ( Z . La quantit~
1
Z = det(l_Fotdeg(v), W P') -I det(l- Fltdeg(V),w P')
est de formation compatible g l'extension des scalaires ~ ~ ou s . Apr~s
extension des scalaires ~ ~ (resp s), on a
Z = det(l-~t deg(v), Ho(K)) -I det(l-~t deg(v), HI(K)). On conclut en notant que
Del-64
-564-
(Hi(K), Hi(F)) ~ (Hi(Iv,W) F) ?] - -
(Hi(Ks) , Hi(~)) ~ (Hi(Iv,Ws), F)
et
Variante 7.11.6. Supposons A complet et soit W un A-module sur lequel
W(K /K ) agit continQment pour la topologie Z-adique (et non plus, comme v v
auparavant, pour la topologie discrete). On pose encore
et on d4finit
Le H 1
(7.11.6.1)
p~ Hi(Iv W?]) = (W?] )2Z Z(1)
Zv(Rj~W , t) comme auparavant.
(-i)
d4fini plus haut peut s'interpr4ter cormme un
HI(Iv,W?]) = Sire HI(lv,W/~ n) ®A~
(coinvariants tordu).
H 1 continu :
La formule de r4duction 7.11.5 reste valable (avec la m~me d4monstration).
Lemme 7.11.7. La formule (iii) 4quivaut A
(7.11.8) Z(j!V,t) = g(j!V,t). Z(Rj~V, pt -I)
7.11.7 r4sulte de l'identit4 locale
v v ( t-l)deg(v)' HI det(l-F tdeg(v),H°(Iv,V))-I = det(-Fvtdeg(v),H°(Iv,V))-l.det(l-F p (Iv,VW))-
Si on remplace V par la repr4sentation V ®w t de W(~ /K ) sur A((t)), vv
cetce formule se simplifie en
det(l-Fvl,H°(Iv,V)) = det(-Fv,H°(Iv,V)).det(l-Fv,Hl(Iv,0Ul®V~))
qui r4sulte de la dualit4 locale 7.11.4.
Prouvons 7.11. Si A = ¢, le produit infini Z(j~V,t) converge pour Itl
assez petit, et
L(V,s) = Z(j!V,q -s)
-565-
Del-65
Z est donc une fonction m~romorphe de t ; l'~quation fonctionnelle montre
qu'elle est ~ croissance mod~r~e pour t > ~ ,donc une fonction rationnelle
de t . L'~quation fonctionnelle de la fonction L fournit (iii).
Les ~nonc~s (i) et (iii) sont purement a lg~briques. Etant vrais pour
A = C (ainsi que (i') et (7.11.8)), ils restent vrais pour A de caract~ristique 0.
Supposons maintenant A de caract~ristique ~ # O.
Soit J un sous-groupe ouvert distingu~ de W(K/K), contenant I pour v
v E S . Si une representation V de W(K/K)/J sur A se rel~ve en caract~ristique
O, les assertions (i') et (7.11.8) pour V s'obtiennent par r~duction mod
(compte tenu, pour (7.11.8), de 7.11.5). Les quantit~s Z(j!V,t), Z(Rj~V,t)
et c(j~V,t) d~pendent additivement de V (une extension donne un produit).
Pour obtenir (i) et (7.11.8) en g~n~ral il suffit donc de savoir que, apr~s
extension des scalaires toute representation de W(K/K)/J se rel~ve virtuellement
en caract~ristique O. La m~thode de 4.10 (cf. 4.10.3) ram~ne cette question au
cas des groupes finis, i.e. au th~or~me de Brauer.
L'~nonc~ (ii') r~sulte de (7,11.8) et ce que, pour t = O, Z = i.
Proposition 7.12. Si A est un corps de caract~risti~ue pet G un faisceau
constructible de A-vectoriels, Z(G,t) est encore une fraction rationnelle en t.
Dans la d~monstration de 7.11 (i) nous n'avons en effet pas fait usage de
l'hypoth~se ~ # p.
De1-66
- 5 6 6 -
§ 8. REPRESENTATIONS ~-ADIQUES DES GROUPES DE WElL LOCAUX NON ARCHIMEDIENS.
STRUCTURES DE HODGE ET GROUPES DE WElL LOCAUX ARCHIMEDIENS.
8.1. Soit K un corps local non archim~dien. Nous utiliserons les notations
2.1 et 2.2.
Soient ~ un nombre premier # p et EX une extension finie de @~
(on pourrait prendre pour E~ , plus g~n~ralement, un corps valu~ extension
de ~). Une repr6sentation X-adique V de W(~/K) est une representation
continue pour la topologie k-adique ~ : W(~/K) > GL(V) de W(~/K) sur
un E~-vectoriel de dimension finie.
Le r~sultat suivant est d~montr6 darts [13].
Th~or~me 8.2. (Grothendieck). Soit (V,p) une representation
W(K/K). Ii existe N E End(V)(~l), nilpotent, tel que pour
d'indice fini de I, on ait
~-adi~ue de
dans un sous-groupe
o n a
~(~) = exp(N.t~(O))
Ce N E End(V)(-l) est unique, donc invariant par Galois : pour
= v'(w) p(w) N ~(w) -I q N
w ~ W(~/K),
Nous allons utiliser 8.2 pour d~crire les representations X-adiques de
W(~/K) en termes ind~pendants de la topologie de EX . Ce sera fait deux fois :
8.3 est plus intrins~que, et 8.4, qui nous suffit, plus ~l~mentaire.
8.3.1. A isomorphisme unique pros, il existe un et un seul groupe alg~brique
sur ~ , isomorphe ~ ~a ' et muni d'un is omorphisme ~(I) N > G(~) .
On le note ~ (I). a
-567-
Del-67
8.3.2. Soit J ~ I un sous-groupe invariant ouvert de W(~/K), et
J' = J n Ker(t~). Le quotient W(~/K)/J' est extension du groupe diseret
W(~/K)/J par J/J' ; appliquant ~ eette extension t~ : J/J' > ~ ~ > ~a(1),
on obtient une extension W~ de W(K/K)/J) par ~a(1) (voir Serre [12] II 1.3).
0 " > J/J' > W(K/K)/J' > W(~/K)/J > 0
l l > W(K/K)/J ) 0 0 > @a(1) ~ > Wj ....
forment un syst~me projeetif, et 8.2 signifie que toute 8.3.3. Les Wj
representation ~-adique de W(K/K) se faetorise par une representation
i.e par une representation du schema en groupes alg~brique d'un Wj , .
W~(~/K) = lim Wj
J
8.3.4. Soient Ij ~ l'image r@ciproque de I/J~W(K/K)/J et I ~ = ~lim Ij~ .
.T
Associons ~ o E I/J, image de ~ E I/J, l'61~ment ~(~) $(-t~($)) de Wj .
Cette section d~finit des scindages
~ (I) X I/J Ij = a et
I ~ = ~ (i) × I a
0 0 0 On a un diagramme
0 > I > W(K/K) > 2Z
t t II 0 .......... > I X @ (i) >W~(K/K) ) 2Z
a
t T 0 > ia(1) : ~::::;Gail )
0 0
>0
>0
Del-68
-568-
8.3.5.
W(~/K)
W~(~/K)
Soit IW~ le produit semi-direct de W(~/K) par G (i), sur lequel a
-i v'(w) agit par w x w = q .x. II existe des isomorphismes ~ entre
et 'W ~ qui rendent com~utatif
I × ~ (i) > W~(~/K) > W(~/K) a
II I0 11 I × ~ (I) > 'W~(~/K) > W(K/K)
a
et on v~rifie facilement que deux quelconques sont conjugu~s par un ~l~ment
de ~a(1) (~) (l'ind~termination est dans le choix d'un rel~vement d'un
Frobenius F E W(~/K), et on utilise que q-i # 0 ; voir 8.4.3 ci-dessous).
8.3.6. Soit 'W le schema en groupes sur ~, produit semi-direct de
v'(w) W(~/K) par ~a ' sur lequel W(~/K) agit par w x w -I = q .x. Chaque
isomorphisme ~a N > ~a(l ) (i.e. ~--~ ~(i)) d~finit un isomorphisme
'W N > ,W % d'oN une classe de tels automorphismes modulo ~ agissant
sur 'W ~ via son action sur ~ (i). a
On v~rifie (voir 8.4.3) ci-dessous) que ce groupe d'automorphismes agit
trivialement sur l'ensemble des classes d'isomorphismes de representations
de 'W ~ . Au total, on a obtenu que
(8.3.7). Les classes d'isomorphie de representations ~-adiques de W(K/K)
sont en correspondance bijective naturelle avec les classes d'isomorphie de
repr6sentations sur Ek du schema en groupes sur ~ 'W .
D~finition 8.4.1. So.it E un corps de caract~ristique O. Une representation de
de 'W(K/k) su___r_r E £#t un couple ~ = (p',N') consistant en
(a) une representation de dimension finie p' : W(K/K) > GL(V) de
W(K/K) sur E
(b) un endomorphisme nilpotent N de V, tel que
(8.4.1.1) p'(w)N p'(w) -I = qV'(W)N
-569-
8.4.2. Choisissons un Frobenius g6om6trique F E W(K/K) et un isomorphisme
T : ~(I) " ~ 9~ . On associe comme suit une repr£sentation (p',N') de
'W(K/K) sur E k ~ une repr6sentation k-adique (V,p) de W(K/K) :
(a) Pour O E I, on pose (N 6tant d~fini par 8.2)
~'(F n 6) = p(FnO), exp (-t%(o).N)
(b) N' C End(V) correspond ~ N, via T .
Del-
Lemme 8.4.3. La classe d'isomorphie de
choix de F et T .
(p',N') ne d~pend ~ue de O , non des
Changeons F en F p , pour obtenir (p",N'). On a
Changer T en aT
pour toute repr~sentatiDn
(p',N') ~ (p',a N').
Soient I' = Ker(~') et
4~ Aut(I/l')). Pour
de E , soit V ~ le plus grand sous-espace de
valeurs propres de Fn I V~ soient dans ~ .
~"(Fn~) = exp(n t~(p)) p'(Fno) = A p'(Fn~) A -I pour
A = exp((l-q-l) -I t~(p))
change (p',N') en (p',aN'). Nous montrerons que
(p',N') de 'W(K/K) sur un corps E, et tout a E E,
que
n tel que F n sont central dans W/I' (par exemple,
une classe de conjugaison dans une clSture alg~brique
V, stable par F n , tel que les
On v~rifie que
(a) V ~ est stable sous -n
(b) N V ~ C V q
O'(W(~/K)), et V = ~ V ~
Si A est la transformation lin~aire, laissant stable les
AIV ~ = k(~), avec ~(q-n ) = a k(~), on a donc
V ~ et telle
A(p',N') A -I = (p', a N')
De 8.4.3 on d~duit aussitSt la conclusion 8.3.7.
-570-
Del-70
8.5. Soit (p',N') une repr4sentation de 'W(~/K) sur E . Soit u la
composante unipotente de p'(F) : p'(F) = p'(F) ss . u. Puisque N ~ E E d(V)
est vecteur propre de ~'(F), uet N' eommutent. Puisqu'une puissance de F
est centrale dans Im(p') , une puissance de u, donc u centralise Im(p').
Si w I, w 2 E W(~/K)-I, ~'(w I) et p'(w 2) ont une puissance commune. On en
d~duit que u n est la composante unipotente de ~'(FnO) (~ ~ I), et, pour
n # O , aussi celle de
qui en est le conjugu4 par
(8.5.1)
p'(F n ~). exp (a N)
exp((l-q-n)-l.a.N). Posons
T SS = pl U -n p (F n ~) (FnO)
I SS ~) D4finition 8.6. (i) (p , N est la F-semi-simplifi~e de (p',N')
(ii) On dit que (p',N') est F-semi-simple si ~' = O 'ss, _i'e_" si pour un
(resp. pour tout) w 6 W(~/K)-I et un (resp. tout) a C E,
p'(w) exp (aN)
est semi-simple.
Pour une representation k-adique, on d~finit encore sa F-semi-simplifi~e
par (8.5.1), et la F-semi-simplicit~ comme en (ii).
8.7. Le formalisme 8.3 ou 8.4 permet de comparer des representations k-adiques
pour diff~rents corps EX . Pourae faire, introduisons la terminologie classique
suivante
Soit F une extension de E, et ~ une repr4sentation de 'W(K/K) sur
On dit qne ~ est d~finie sur E si, pour toute (pour une) extension alg~bri-
quement close ~ de F, ~_ est isomorphe ~ ses eonjugu~s sous Aut(~/E). F
Soient F 1 et F 2 deux extensions de E, et ~i une repr4sentation de
'W(~/K) sur F i . On dit que ~I et
sur E et que, pour ~ ~ FI, F 2 ~ E
F .
~2 sont compatibles si elles sont d~finies
une extension alg~briquement close commune
-571-
Del-71
de F 1 et F2 ' ~IF et ~2F sont isomorphes.
D4finition 8.8. Soient E un corps de nombre, k I e t k 2 deux places finies
ne divisant pas p de E e__!t Pl ' P2 des repr4sentations k I - e__~t k2-adiques
de W(K/K). On dit ~ue Pl e--it P2 sont compatibles si les repr4sentations
correspondantes de 'W(K/K) le sont (8.7).
On laisse au lecteur la v4rification du plaisant exercice suivant.
Proposition 8.9. Supposons (Vl,Pl) e t (V2,P2) F-semi-@imples. Soit W l'unique
filtration finie croissante de V i telle ~ue N W k CW k-2 et que N induise
un isomorphisme
N j Gr~ (V i) - > GrwJ(V i)
Pour que ~i e--it 02 sont compatibles, il faut et il suffit que les caractgres
des repr4sentations de W(K/K) sur les Gr~(V I) e_.!t Gr~(V 2) soient ~ valeurs
dans F et respectivement 4gaux.
Exemple 8.10 (on fait E = ~). Soit
representations de W(~/K) c GaI(~/K)
F-semi-simples et compatibles.
A une vari4t~ ab41ienne sur K . Les
sur les V~(A) = T~(A) ® ~ sont
Variante 8.11. Soit G un groupe alg4brique lin4aire sur E de caract~ristique O.
Une representation de 'W dans G (sur E) est un coup]e
(~',N') : p' : W(~/K) > G(E) (trivial sur un sous-groupe ouvert) et
N' E Lie(G), (8.4.1.1) ~tant v~rifi4. Pour E = E k , les formules (8.4.2)
associent une repr4sentation de 'W dans G A toute representation continue
pour la topologie k-adique p : W---> G{Ek). Sa classe d'isomorphie g~om~trique
(apr~s extension des scalaires A F~) ne d~pend pas des choix arbitraires
faits: la premiere partie de la d~monstration 8.4.3 s'applique encore, il reste
montrer que (p',N')~----(p',a N'). Pour ce, on note que le sous-groupe alg4brique
-572-
Del-VP
H de G qui centralise Im(p') et envoie N' sur un multiple contient un
m p'(Fm), donc un 414ment g tel que adg(N') = q N . Le caract~re X : H > ~m
de H donnant l'action sur N' ne peut donc qu'~tre surjectif.
Si G est d4fini sur un corps de nombres E, on d4finit la compatibilit~
de repr4sentation )~-adiques W(~/K) > G(E k) comme en 8.7, 8.8.
Le sorite 8.5, 8.6 se g4n4ralise tel quel.
8.12. Facteur locaux : Soit (p',N') une representation de 'W(~/K)
E-vectoriel V . Par abus de notation, on pose
V I : Ker(N,)P '(I)
c'est une representation de W(~/k). On d~finit un conducteur, un facteur
local et des constantes locales par les formules
(8.12.1) a(V) = sw(V,p') + dim V - dim V I
(8.12.2) Z(V,t) : det(l-Ft d, VI) -I
sur un
(8.12.3)
(8.12.4)
Pour
¢o(V,t) = Co(P',t)
~(V,t) = Co(~',t). det(-Ft, VI) -I
(p'N') d4finis par une repr4sentation k-adique p sur V, on a
V I = V p ( I )
Z(V,t) = det(l-Ft, V p(I))
Co(V,t) = c o (semi-simplifi~e de V,t)
Le cas archim~dien : Dans le cas non archim~dien, ce que fournit la g~om~trie
(la cohomologie ~-adique) sont des representation ~-adiques, i.e. des repr~sen-
tations de 'W(K/K), non des representations de W(K/K).
-5'7 3- Del-73
Dans le cas archim~dien, de m@me, la g4om4trie fournit non des representations
de W(~/K), mais des structures de Hodge. Voici la r&gle & utiliser pour passer
des structures de Hodge aux repr4sentations.
(A) K complexe. La g~om4trie fournit des vectoriels
bigraduation de Hodge
V = ~ V pq
V sur K, munis d'une
n (par exemple, pour X une vari~t4 alg~brique sur K, H (X,K) est muni d'une
telle d~composition). On en d~duit une representation (semi-simple) p de
W(~/K) = K ~ sur V en posant
p(z).v pq = z -p E -q v pq (v pq E V pq)
(B) K r4el La g~om~trie fournit des vectoriels V sur ~ , munis d'une
bigraduation de Hodge V = • V pq et d'une involution F telle que
F (V pq) = V qp . Par exemple, pour X une vari4t4 alg~brique sur K,
GaI(K/K) = ~ /2 agit sur X(~) et Hn(X(K),K) est muni d'une telle structure .
On en d~duit une repr4sentation (semi-simple) ~ de W(K/K) sur V en
posant
p(z)°v pq = z -p E -q v pq (z E K~ CW(~/K), v pq E V pq) et
p(F).v pq = iP+q F (v pq)
Ces formules different de celles de [3] 1.12 (d4figur~ en outre par une
faute "d'impression" p. 21 ~2)~ parce qu'aux places finies j'utilisais dans
loc. cit. l'inverse de l'isomorphisme de la th4orie du corps de classe local
utilis~ ici.
Aux places finies, H2(~I, ~£) ~-- ~(I) correspond au quasi-caract~re
~I " De m~me, H2 (p i(~),~), structure de Hodge de type (-I,-i), avec
F = -i si K = ~ , correspond au quasi-earact~re ml de W(~/K) o
Del-74
-574-
§ 9. SYSTEMES COI~ATIBLES DE REPRESENTATIONS ~-ADIQUES.
Pour simplifier l'exposE, nous ne consid4rerons dans ce § que des repr4-
sentations de groupes de Galois (plut~t que des representations de groupes
de Weil). Comme en 7.1, on note X une courbe projective et lisse sur ~ , P
irrEductible sur ~p, de corps de fonctions K .
9.1. Soit E k un corps local extension finie de @~ , avec ~ # p. Soit W
une representation l-adique de GaI([/K), i.e. une representation continue pour
la topologie de E l et presque partout non ramifi4e de GaI([/K) dans un
vectoriel de dimension finie sur E l . Le groupe de Galois Etant compact, il
existe dans W un rEseau invariant W ° (un r4seau
de W tel que E l W ° = W). Les facteurs locaux
tdeg(v) Zv(W,t) = det(l-F v
est un sous-@k-module libre
I W v)-i
sont donc dans ~k lit]I, ainsi que leur produit Z(W,t). Soit GaI°(K/K) le
noyau de l'application de GaI(~/K) dans Gal(~p /~p ). D'apr~s un thEor~me
de GROTHENDIECK, Z(W,t) est une fraction rationnelle, est m@me un polyn~me si
O --
wGal (K/K) = W = 0
GaI°(K/K)
et vErifie une Equation fonctionnelle
(9.1.1) = eGr(W,t ) Z(W~I,t -I) ,
o~ £Gr ~ deg(v).a(i~W v) (8.12.1). V
Le lecteur trouvera au § I0 un rEsumE de la thEorie de Grothendieck.
z~w,t)
est un mon~me de degr4
9.2. Soient E
divisant pas p
tout X £L. On d4signe encore par X l'id4al premier de @ d4fini
par k Supposons donn~, pour chaque k 6 • , une representation
k-adique kV de GaI(~/K) . On suppose que~ pour route place v de
les repr4sentations k-adiques kVv de W(~v/K V) soient compatibles, au sens
strict (8.8). II nous suffirait en fait de savoir que leurs F-semi-simplifi4es
(8.6) sont compatibles (cf. aussi 9.8). La fraction rationnelle Z(kV, t) £ @(t)
-575- Del-75
un corps de nombre, ]L un ensemble infini de places finies ne
de E et @ ~ E l'anneau des 616ments de E >~-entiers pour
= ]]- e(kV v, ~v,dXv, t) E @(t) v
(comme d'habitude, les ~v sont les composantes
et ® dx est une mesure de Tamagawa). v
Z(V,t) et e(V,t).
et la "constante" (ua mon6me)
e(xv, t)
sont done ind6pendantes de
d'un caractAre non trivial de ~/K
On note ces fonction et eonstante
K,
Th~or~me 9.3. Sous les hypotheses pr~c4dentes,
(9.3.1) Z(V,t) = c(V,t) Z(V~,pt -I)
-[1- Puisque ~ est infini, l'application ~ ......... >If @/k est injective :
il suffit de prouver 9.3.1 aprgs r4duction mod k pour tout k E L . Nous
allons pour cela mettre 9,3.1 sous une forme compatible ~ la r~duction mod k,
et justifiable, mod k , de (7.ii.8).
Soient S un ensemble fini de places de K, contenant toutes les places o3
V se ramifie et j l'inclusion de X-S dans X . Pour toute representation
k-adique W, non ramifi~e en dehors de S, nous poserons
Z (Rj~W, t)
e(j!W,t)
tdeg (v) Wv )-I Z(jTW,t) = ~ det(l-F v v~s
Iv)-I?v~E S det(l-Fvtdeg(V),Wvl t deg(v) W v (-i)) -I det(l_Fv v v
]]- e(W ~,dx, t). ]]-C (W ,~,dx, t) v~S v' vES o v
- 5 7 6 -
Del-76
Un calcul facile, d~j~ fait en 7.11.7, montre que (9.3.1) ~quivaut
(9.3.2) Z(j!W,t) = e(j!W,t) Z(Rj~ W,t)
On conclut par 7.11.6 et 7.11.8.
Stabilit~ 9.4. Soient F une extension de E et LF l'image r~ciproque de
Un syst~me compatible de representations ~-adiques (~ E ~) d~finit
par extension des scalaires un systgme compatible de representations ~-adiques
(~ E ~F ). Si X est un caract~re du groupe des classes d'id~les, ~ valeurs
dans les racines de l'unit~ de F, les xV. X forment encore un systgme
compatible, justiciable de 9.3.
~L
Corollaire 9.5. Soit X un caract~re du groupe des classes d'id~les, ~ valeurs
dans les racines de l'unit~ d'une extension finie de E (cf. 9.4). Soient
S(X) (resp. S(V)) l'ensemble des places de K o~ X (resp. V) se ramifie.
Supposons que S(V) @ S(X) = ~ . On a
e((V-dimV[l])~X]-Ll]),t) = par d4finition
e(Vx, t) e (V,t) -I ~()i,t) -dim(V) e([l],t) dim(V) =
a(y~) 71- ~V (~-(Vv))~v ~ den V (~ )
yES(V) v E S(X) v v
C'est un corollaire de 5.5.3.
Exemple 9.6. (pour E = ~ , ~ = les hombres premier autres que p). Si F
courbe elliptique sur K, les HI(F,~) forment un syst~me compatible est une
de repr~sentatio~-adiques. Si l'invariant modulaire j n'est pas constant,
pour tout caract~re X comme en 9.5, les fractions rationnelles Z(Fx, t)
correspondantes sont des polynSmes, et v4rifient 9°5.
-577-
Del-77
9.7. On renvoie ~ Weil [16] pour la relation que 9.5 implique, lorsque
dim(V) = 2 , entre Z(V,t) et "formes modulaires" sur GL(2,A)/GL(2,K).
Le cas le plus int~ressant est fourni par 9.6.
On obtient des r~sultats plus precis en invoquant Jacquet-Langlands. Soit
par exemple E une courbe elliptique sur K, d'invariant modulaire non constant.
D'apr~s le dictionnaire de Langlands (voir [4] § 3 ), pour chaque place v
K, la representation de GaI(</K v) ~W(~v/Kv ) sur HI(E,~), d~finit une
representation admissible irr~ductible TT v de GL2(Kv). Les representations
HI(E,~), pour ~ variable, ~tant compatibles, ~v peut ~tre d~fini sur
et est ind~pendant de ~ . Nous consid~rerons la representation complexe
de
correspondante. La representation ~v est de dimension infinie, de poids 2
(i.e. le centre K S de GL(2,K v) agit par ~2 ), eta presque toujours un
veeteur GL(2,(gv)-invariant. D'apr~s 9.3, 9.6 et [8] 11.5 le produit tensoriel
restreint ~(E) = ® ~ figure comme facteur direct dans la representation v
v admissible L ° (GL(2,/A)/ (GL(2,K)) de GL(2,/A) dans l'espace des fonctions
~2 localement constantes sur GL(2/A)/GL(2,K), se transformant sous l'action du
centre par le quasi-caract~re ~2 ' ~ support compact modulo le centre et
cuspidales.
_ _ des representations Th~orgme 9.8. Soient %, ~ des places de E et kV, V
~- e_~t ~-adiques de GaI(K/K). Soit S un ensemble fini de places de K e t
supposons que, pour v ~ S, lessemi-simplifi~es de ~V v et V soient .............. ~ v
compatibles. Alors, pour toute place v, les semi-simplifi~es de %V v et V v
sont compatibles.
S est prls assez grand pour contenir toutes les places ramifi~es Si
pour kV v ou Jv' l'hypothgse se r~duiL
(~) Pour v ~ S, les polyn8mes caract~ristiques de F v agissant dans ~V v
et V sont darts E[t] et ~gaux. ~v
Le th6or~me 9.8 est done une r~ponse partielle~ dans le cas le moins
int~ressant des corps de fonctions, ~ la question 1 de Serre [12] 1 12.
Del-78
- 5 7 8 -
On prendra garde aux points suivants.
(a) La conclusion porte seulement sur les semi-simplifi6es des representations
locales, non sur leur F-semi-simplifi6e. En d'autres termes, avec les notations
de 8.4.2, on consid6re seulement la semi simplifi6e de p' , et non N .
(b) Pour X = Z , xV ~ V , le th6orAme affirme que les semi-simplifi6es
des representations locales xV v de W(Kv/Kv ) sont d6finies sur E , i.e.
ont un caractAre A valeurs dans E .
On peut supposer, et on suppose que S contient toutes les places o~
agit via un groupe infini. Pour v 6 S, il nty a d~s lors plus ~ distinguer
entre semi-simplifi6e de ~V v et F-semi-simplifi6e.
I v
Appliquons le th6or~me de Grothendieck rappel~ en 9.1
Z(xV, t) = eGr(kV,t) Z(xV{~ wl,t -I) ;
cette identit~ se r4crit
Zv(kV, t). v~S
Zv(kVe ~l,t-l) -I v~S
= ~Gr
~Zv(lV~l,t-l) yES
-~Zv(kV~l,t) vES
o~ le premier membre est darts E(T) et le m~me pour ~V et V . Le second
membre est donc dans E(T), ind~pendant de X . D~composant le second membre
en le produit d'un mon~me et drune fraction rationnelle valant 1 en t = O, on
trouve par le calcul local de 7,11,7 que
Iv) tdeg(v) (det(l-F t deg(v) )V / det(l-F ~Viv(-l))
v C S v ~ v '
V . Les facteurs de ce produit sont additifs en ~V v est le m~me pour xV et
(une extension donne un produit ; cela r~sulte de (7.11.6.1)), donc les m~meS
pour xV v et s~ semi-simplifi~e V ss v . Pour celle-ci, invariants de I v et
coinvariants de I sont pareils, et on trouve que v
-579- Del-79
(9.8.1) ~ (det(l - Fvtdeg(v)~ kvSSlv)/det(l-Fv(Pt) deg(v),ivSSiv))
vES
est le m~me pour kV et V .
Soit v o E S, et tordons xV et V par un caract~re k du groupe des
classes d'id~les non ramifi4 en v et tr~s ramifi~ en les v E S autres que v O O
(X est ~ valeurs dans une extension de E ; pour l'existence, cf. 4.14).
Les hypotheses faites sur (kV, V) sont stables par torsion. Pour X convenable,
apr~s torsion, les facteurs de 9.8.1 relatifs aux v # v deviennent i. O
Celui relatif ~ v ° subit une modification trivia]e, qui se lit sur X(Fv).
(vss) Iv). Appliquant l'invariance de (9.8.1) Posons xPv(T) = det (I-F v T, k V
(kVX, u'VX)' on trouve que, pour chaque v E S, on a, dans E(T),
(9.8.2) kPv(T)/kPv(qT) ~Pv(T)/~Pv(q T)
La transformation qui ~ une fraction rationnelle R valant 1 en O
associe R (T) = R(T)/R(q T) est injective : pour les diviseurs, on a q
N
div (R) = lim div( ]TRq(q T)) (limite simple). ~J
De 9.8.2, on d~duit donc que kPv(T) E E[T] et que
(9.8.3) kPv(T) = Pv(T)
Les hypotheses faites sur kV et V sont respect4es par passage de K
une extension finie K' (remplacer S par son image r4ciproque). Toute
extension finie locale K~/K v ~tant induite par une extension globale
car GaI(</K v) est un sous-groupe ferm~ de GaI(K/K)), on trouve que 9.8.3
vaut aussi pour les representations de W(</K$) d~finies par xV et V .
Prenant pour K' les diverses extensions telles que les semi-simplifi4es de v
ces representations soient non ramifi4e, on trouve que, pour tout F E W(</Kv),
F ~ I v , on a
det(l-Fvt, xV) = det(l-Fvt, ~V)
Del-80
-580-
En dehors de I v ~ les caract~res des repr4sentations kV et V
coYncident donc.
nent
Les m~mes arguments, o~ on ne retient de 9.8.3 que l'4galit4 des degr4s, don-
que pour tout sous-groupe ouvert J de I v et tout caract~re k de J ,
ss vSS.x)J ) dim((iV .X) J) = dim((
D'apr~s le th4or~me de Brauer, ceci implique que
ont m~me caract~re. Les caract~res de iV et V
W(K /K ), et ceci ach[ve la d4monstration v v
kvSS llv et jSSll v
coTncident donc sur tout
Proposition 9.9. Soit (kv)xcL un syst#me infini de repr4sentations k-adiques.
On suppos 9 que pour toute (ou presque toute : 9.8) place v d__ee K, les semi-
simplifi4es des iV v sont compatibles. Alors, pour chaque k ,
(9.9.1) Z(kV, t) = ¢(iV,t) Z (kV ~ , pt -I)
Posons
zSS(iv,t ) = ~ det(l-Fv tdeg(v), (kV$ s) Iv) -I
v
e (iV,t) = ~ v ss ss ¢( k , ~ , dx, t)
v
Un calcul local montre que (9.9.1) ~quivaut
(9.9.2) zSS(iv,t) = cSS(kv,t) zSS(iv~,pt-l)
(le quotient des facteurs locaux en v des deux membres de (9.9.1) ou (9.9.2) est
additif en kVv, et ces quotients coYncident dans le cas semi-simple).
L'identit~ ~ prouver (9.9.2) est ind6pendante de ~ . On la prouve mod k
pour chaque k , et on conclut comme en 9.3.
-581- Del-81
§ I0. LA THEORIE DE GROTHENDIECK
IO.I. Soient X une courbe projective non singuli~re sur le corps fini ~ , P
~p une el~ture alg~brique de ~p, ~ d~duit de X par extension des scalaires
de ~ ~ ~ , ~ un nombre premier premier ~ pet A un anneau noeth~rien tug P P
par une puissance de ~ .
Soit G un faisceau (de Weil : 7.3, 7.4) constructible de A-modules
plats. Notons encore G le faisceau ~tale sur ~ qui s'en d~duit•
10.2. Les groupes de cohomologie ~tale Hi(X,G) sont des A-modules de type finis.
N'~tant pas projectifs, ils ne nous seront d'aucun usage. Nous devrons utiliser
un objet plus fin RI~(X,G) EOb Dparf(A) qui leur donne naissance. Rappelons
que Dparf(A) peut se d~finir comme la cat~gorie des complexes finis de
A-modules projectifs de type fini, les morphismes ~tant les morphismes de complexes
pris ~ homotopie pr~s. RF(~,G) est un complexe fini de A-modules projectifs
de type fini, concentr~ en degr~s O,I et 2 si on veut, bien d~fini ~ homotopie
pr~s~ et dont les groupes de cohomologie sont les Hi(~,G).
Par "transport de structure", la substitution de Frobenius ~ E Gal(~ /~ ) P P
agit sur RI~(X,G) ; c'est un endomorphisme du complexe Rr(X~G), bien d~termin~
homotopie pros, et induisant sur la cohomologie l'automorphisme de Frobenius.
10.3. Pour K
de K , on pose
un complexe fini de A-modules projectifs et u un endomorphisme
Si u et v sont des endomorphismes homotopes, on a
det(l-ut,K) = det(l-vt,K) ,
de sorte que det(l-ut,K) est bien d~fini pour
Prenant l'oppos~ du coefficient de t
de det(l-ut,K), on d~finit la trace
K COb Dparf(A) et u E End(K).
dans le d~veloppement en s~rie formelle
• i
(10.3.1) det(l-ut,K) = ~ det(l-ut,K1) (-I) E A(t) i
-582-
Del-82
(10.3.2) Tr(u, K) = Z(-I) i Tr(u, K i)
Si u est une auto-~quivalence d'homotopie (i.e~ induit un automorphisme sur la
cohomologie), on peut trouver (K',u') isomorphe dans Dparf(A) ~ (K,u), avec
u' un automorphisme du complexe K . On pose alors
(10.3.3) det(u,K) = ~ det(u,Ki) (-l)i ,
-I et cette quantit~ ne d~pend pas des choix arbitraires faits. Si u est un
inverse homotopique de u, on a
(10.3.4) der(l-ut, K) = det(-ut, K) det(l-u-lt -I, K)
Si D(K) est le dual de K (complexe de composantes les
v et u un eontragr~dient de u, on a aussi
-i (10.3.5) det(l-ut, K) = det(-ut, K) det(l -ut , D(K)).
Une esquisse de la d~monstration du th~or~me suivant est donn~e en 10.8.
D(K) i = Hom(K-i A)),
Th~or~me 10.4. (Grothendieck). On a
(10.4.1) Z(G,t) = det(l-Ft, ~P(~,G)) -I
Dans les applications, les hypotheses faites sur G sont trop restrictives.
Ii y a lieu de prendre cormne "coefficients" un ~l~ment de Dparf(X,A) , i.e.
un complexe fini G ~ de faisceaux (de Weil) de A-modules sur X, qui localement
pour la topologie ~tale sur ~ soit homotope ~ un complexe fini de faisceaux
constructibles de A-modules plats. Utilisant 10.3, on peut, pour x un point ferm~
de X , d~finir
Zx(G~,t ) = det(l_Fx tdeg(x), G~) -I
On pose
- 5 8 3 - Del-83
x
On d~finit encore ~(~,G~), de groupes de cohomologie les groupes d'hypercohomo-
logie de X ~ valeurs dans G ~ , et on a
(10.4.2) Z(G~,t) = det(l-Ft, RI~(~, G~)) -I
10.5.
(A(1)
D(G ~) = RHomA(G~ , A(1) [2]) E Dparf(X,A)
de i ~me faisceau de cohomologie de (2~+i) i~me hyperext local de G ~
A(1). La dualit~ de Poincar~ prend la forme
(10.5.1) RI~(X,D(G~)) = D(RF(X,G~))
Appliquant 10.3.5, on obtient l'~quation fonctionnelle
(10.5.2) Z(G,t) = det(-Ft, RI~(G,t)) -I Z(D(G), t -1)
Tout G ~ E Dparf(X,A) a un "dual ~ valeur dans le complexe dualisant
plac@ en degr~-2)"
avec
10.6. Soient j : U ~ > X un ouvert de X (compl~ment d'un ensemble fini
S de points ferm~s) et G ~ E Dparf(U,A). On note j! le foncteur d~riv~ du foncteur
exact "prolongement par O" et Rj~ le foncteur d~riv~ du foncteur image directe
par j .
J! : Dparf(U,A) ........ > Dparf(X,A)
Rj~ : Dparf(U,A) > Dpar f(X,A)
Le th~or~me de dualit~ locale (prouv~ notamment en dimension un) donne
(10.6.1) D(j !G~) = Rj,~(D(G~) )
Pour G un faisceau localement constant de A-modules projectifs sur U ,
v V de dual G , on a D(G) = G(1) [2] et (10.5.2) prend la forme
Del-8~
_5~_
(10.6.2) Z(j!G,t) = det(-Ft, RF(j!G) )-I Z(Rj~(~)(1), t -I)
10.7. Nous allons expliciter cette formule. Les fonctions Z des deux membres
sont produits de facteurs locaux. Pour le membre de gauche, le facteur local
en x point ferm~ de X est
gx(J!G,t) = det(l-Fxtdeg(x), G'ix )-I si x~S
i si x ES
Pour le membre de droite, c'est
V Zx(Rj{~G(1) , t)
v =<det(l-Fx tdeg(x), G~x(1)) -Iw si x ~ S
det(l-Fx tdeg(x), RI'(Ix,GK(1)))-I si x ~ S
Y Cette derni6re formule se lit ainsi : GK(1) d4finit une representation
de W(L/Kx), ~ laquelle on applique le foncteur d6riv6 du foncteur "invariants
sous I" . On obtient ainsi un complexe de A-modules projectifs, sur lequel Frobenius
agit, et on effectue la construction 10.3. Explicitons :
(a) le foncteur "invariants sous I" est compos~ du foncteur
"invariants sous P' = Ker(t~)" : I-modules > I/P'-modules et du
foncteur "invariants sous ~ ~(I)" , Le premier foncteur est exact et transforme
A-module projectif en A-module projectif ; pour tout I-module V, on a
RF(I, V) = RF(m Z(1), V P')
Pour tout ~ ~(I) module W, on peut calculer RF(~%(1), W) en prenant
une r~solution de W par des modules coinduits ~(~ ~(1),M) = module des
fonctions localement constantes de ~ ~(i) dans M, sur lequel ~ ~(I) agit
par f(x) I ~ > f(~x). Pour o un g~n4rateur de ~(I), on a une suite exacte
o ~ >w >~(zg~(1),w) ~ > Z(~(1), w) > o
-585-
Del-85
flAches m l > (i I > im) et f; ?- (i I > f(gi) - u(f(i))). Passant
aux invariants, on identifie RF(Zg ~(i), W) au complexe
(10,7.1) W > W
Quant on change ~ en ~; (~ ~ 2Z~), l'unique diagramme commutatif
a(z~ ~(1),w) ~ > ~(Tz ~(1),w) > o
a(m ~(1),w) ................ o > a(zz Z(1),w) >o
fournit par passage aux invariants
i-~ W~" >W
i-~ ~ W ...... >W
o~, pour n entier convergeant dans ZZ
(10.7.3) l-g ~ n-I i __ w = lim E ~w
1 - a 0
vers ~ ,
On conclut que Rr(ZZ~(1),W) se repr6sente comme 6tant n'importe lequel
des complexes (10.7.1), ces complexes, pour O variable , 6tant identifi6s
par les isomorphismes (10.7.2).
Quand on part d'un W(K/K)-module
structure" sur
V , Frobenius agit par "transport de
~(I, V) = [ V P' i - O > V P']
Quel que soit le Frobenius g~om~trique F et O engendrant ~ ~(i), F d~finit
Del-86
-586-
I-(~ [V P' .... > vPi
[vP'.. l-Oq > V P' ]
qui, via (10.7.2), s'identifie g l'automorphisme du complexe
- [V P' I - O > V.j ~- de composantes (F, I-~ o F) , o0 l-~q
est d4fini comme en (IO.7.3). On a donc
I-~ 1 - (oq) I/q
l-Oq 1 - O q
o~
de
det(l-Ft, RI~(I,V)) = det(l-Ft, vP~. det(l---
F d~signe un quelconque Frobenius g@om~trique et
~ ( I ) .
La formule 10.6.2 se r~crit
i - (7 ° F t , vP') - I
I - ~q
un quelconque g4n4rateur
(10.7.4)
T[ det(l-Fx tdeg(x), G~x) x~S
= det(-Ft, R_T~(j ! G) ) -i
det (l-Fx t-deg(x) 'xG-(1))-I
x£S
IT det(l-F t -deg(x) ~(I)) -I. det(l i - ~ Ft-deg(x) k(1)) x ~S x ' i _ ~q x
10.8. Par passage ~ la limite projective, les r~sultats precedents se g~n~ralisent
aux faisceaux ~-adiques (ou ~-adiques), et on obtient les ~nonc~s de 9.1. La
raison (cf. 10.5.2) de la formule simple (9.1.1) est le r~sultat local que, pour
- 5 8 7 - Del-87
G localement constant sur U # j " X, on a
jw D(G) = D(jwG)
Toutefois, la formule obtenue pour la "constante" (d~terminant de - Ft
agissant sur la cohomologie) n'est pas tr~s explicite, et on n'en a pas de
th~orie locale.
Remarque 10.9. Soient X une courbe projective non singuli~re sur un corps
alg4briquement clos ~ et V un faisceau localement constant de A-modules
libres sur Xet . Pour simplifier, on suppose X connexe de genre g ~ I et A local.
Voici deux m4thodes pour attacher ~ V un A-module libre de rang i •
(a) Ecrivons RI~(X,V) comme un complexe fini K de A-modules libres.
Alors, det(R~(X,V)) = ® det (Ki) (-l)i [oR det = puissance ext4rieure
i maxima le ] ne d4pend , ~. i s o m o r p h i s m e c a n o n i q u e p r g s , que de R_r'(X,V). On n o t e
h(V) son dual.
(b) Soit K = ~ n. P. un diviseur eanonique (@(K) ~ [ll_), et i 1 x
NK(V) = ®i det(Vp1)" ~ni " L'ensemble des diviseurs canoniques positifs forme
un espace p r o j e c t i f , e t l e s NK(V) f o r m e n t un sys t~me l o c a l n ~ c e s s a i r e m e n t
trivial sur cet espace projectif. Les
canoniquement isomorphes, et on pose
NK(V) pour K variable sont donc
< ~i v > = NK(V)
Si (X,V) est d4fini sur k c [ , i.e. est donn6 comme provenant par
extension des scalaires de (Xo,V o) sur Spee(k), le groupe de Galois
Gal(~/k) agit sur h(V) et < ~I,v > par des caract~res Xk(V) et XI~(V)
(A valeurs dans A~).
Ces constructions se g4n4ralisent au cas k-adique.
Proposition 10.9.1. Supposons v4rifi4e l'une des conditions suivantes
(a) A = ~k et V se trivialise sur un rev@tement fini de X ;
(b) V est de rang 1 .
Del-88
-588-
Alors, ~ih(V) = XQ(V). ~(l-g)dim(V) '
o~ ~n est le caraet~re donnant l'action de Galois sur Z~ j~(n).
Un argument standard, utilisant Cebotarev, nous ram&ne au cas o~ k est
un corps fini et oN ~ est sa cloture alg~brique. Ii s'agit de montrer que
Xh et ~ ~(l-g)dimV prennent la m~me valeur sur le Frobenius. Dans le cas
(a), le groupe de Weil W(~ /K ) de X agit contin~ment, pour la topologie o o o
discrete, sur (Vo) ~ , de sorte qu'on peut appliquer 9.3. o
Comparons (9,3) ~ (10.7.4) (pour S = @). Ce sont des ~quations
fonctionnelles reliant les m~mes fonctions Z . Exprimant qu'elles ont la
m~me constante, on trouve (10.9.1) (il peut ~tre plus cormaode de ne faire ce
calcul que pour V virtuel de dimension O, et de v~rifier (10.9.1) directement
pour V = %g ~).
Dans le cas (b), on proc~de de m~me en utilisant 10.12.1 ci-dessous.
Ii serait tr~s int~ressant de pr~ciser (10.9.1) en d~finissant un
isomorphisme canonique entre h(V)et < ~I,v> ((l-g)dim(V)), et de g~n~raliser
(10.9.1) au cas ramifi~.
Remarque IO.IO. Le th~or~me 10.4 est sans doute encore valable pour A un
anneau noeth~rien de caract~ristique p, i.e. tel que pA = 0 . La formule de traces
requise devrait r~sulter de la formule des traces en cohomologie coh~rente
(Woodshole trace formula). La d~monstration n'a toutefois pas ~t~ r~dig~e.
I0,ii. D~monstration de 10.4.
Dans [7], 10.4 n'est d~montr~ que pour des faisceaux ~-adiques, car la
m~thode de d~monstration, basle sur la formule des traces de Lefschetz sur
pour les puissances de l'endomorphisme de Frobenius, requ~rait que l'on divise par
un entier arbitraire pour passer de Lefschetz ~ (I0.4.1) (passage par la d~riv~e
logarithmique de Z).
Pour obtenir 10.4 tel quel, il faut utiliser SGA 4 XVII 5.5, la formule des
traces de Lefschetz sur les symn(x), et d~velopperen s~rie les deux membres
-589-
Del-89
de I0.4.1, le second se d~veloppant comme
det(l-Ft, RI'(X,G)) -I = ~ Tr(F,symn(RI'(X,G)) t n ,
n
i~me (Sym n est le foncteur d~riv4 du foncteur (non additif) puissance sym4trique n
Par ailleurs, la m4thode de d4monstration de [7], par fibrations par courbes
successives, ram~ne la formule des traces ~ d4montrer au cas des courbes :
).
Formule des Traces i0.ii.I. Soient X une courbe pro~ectiye et lisse sur Fq ,
U un ouvert de X et G un faisceau (de Weil) localement constant de A-modules
projectifs. On a
E Tr(F x, G ) = Tr(F,RF(~, j,G)) xEU(~ ) x
q
Dans cette formule, les Frobenius sont relatifs ~ ~q , et ~ = X ®~ ~q q
On peut supposer que ~ est le sous-corps des constantes du corps des fonctions q
K de X, sans quoi les deux membres sont 0 .
La m~thode de d~monstration expos~e par Grothendieck dans le s~minaire oral
SGA 5 consiste ~ se ramener ~ la formule de Lefschetz sur le nombre de points
fixes d'endomorphismes de courbes compl~tes (d~j~ prouv~ dans [17]), en ~tudiant
la cohomologie de rev~tements de ~ comme representations du groupe du rev~tement.
Soit ~ une cloture alg~brique de K , contenant le corps des fonctions
de ~ . Le faisceau G d~finit une representation de W(~/K) sur le A-module
projectif G~ . L'intersection J de GaI°(K/K) et du noyau de cette represen-
tation d~finit un rev~tement ~tale connexe f : ~' >~ de ~ sur lequel
G devient trivial. Posons H = W(~/K)/J : H est une extension de ~ par le
groupe H ° du rev~tement U'/U, et ~KK est une representation de H .
Soit j' l'inclusion de ~' dans une courbe projective non singuli~re
~'. La cohomologie ~-adique ~ support propre de ~' est une representation de
Des arguments standards permettent de faire mieux, et de d~finir
Del-90
-590-
£) ", R.T'c(U", m = mr ' ( g ' , J v Z~ ,e) Dparf(~ £[Iio]), sur lequel
semi-lin~aire relativement ~ son action sur ~ ~[Ho]
~tant l'action 6vidente). On a canoniquement
et l'action de
H agit (de fa~on
H c H o
(10.11.2
H o
P,.I"('~, j !G) = [~ ' ( 'X ' , j 1 7z 2) ®TZ G~ ] , %
isomorphisme compatible ~ l'action de Frobenius sur les deux membres.
Ecrivons Rr(~', j!~ #) comme un complexe fini de ~ #[Ho]-modules
projectifs, sum lequel Frobenius agit. Les composantes de ce complexe
apparaissent cormne des ~[H+]-modules, pour H + le sous-monoide de H
extension de ~ c ~ par H ° . On leur applique le lemme suivant.
Lemme 10.11.3. Soient H + un produit semi-direct de ~ par un groupe fini
H o, M u__~n ~ £[H+]-module, projectif de rang fini en tant ~ue ~ £[Ho]-module,
A une ~#-alg~bre et V u n A[H+]-module, projectif de rang fini comme
A-module. Soient ~M e_~t XV les caract~res de M e t V
(i) il existe une fonction ~ sur H, ~ valeurs dans ~ ~ , telle que, pour
h E H e t Ho(h) = centralisateur de h dans Ho, on ait
XM(h) = Tr(h,M) = I Ho(h) l ' X 4~(h) dfn
(ii) pour F E H/H O ,
H
Tr(F, (M ®gg V) o) = z ~(h) %(h)
h - - > F , mod
Ho-cOnjugaison
Appliquant Lefschetz, on calcule ~ pour RF(~',jl ~ #) (virtuellement la
difference de P~(~',~ £) et d'une quantit6 61~mentaire) et 10.11.2, 10.11.3
fournissent la formule voulue.
- 5 9 1 -
Del-91
10.12. Le cas ab~lien, et une application farfelue.
Soit X : W(K/K) > A e un quasi-caract~re ~ valeurs dans A~ ,
non ramifi~ en dehors d'un ensemble fini S de places de K . Soit j l'inclusion
de U = X - S dans X, et jT[X ] le faisceau de rang un sur U d~fini par X
et prolong~ par 0 . Posons
g(jt[x],t) = ]~ Co(kv.~ t, *v,dXv ). T~e(x~t,*v,dX v) • yES v~S
~t est comme en 7.6 ; g est d~fini en 6.4 ; g , pour un caract~re non o
ramifi~, est d~fini par 3.4.3.3.
Proposition 10.12.1. On a
det(-Ft, RF(j![X])) = ¢(j![x],t)
Cette proposition precise 10.7.4.
Soit H le quotient de W(~/K) par Ker(X). Ii suffit de traiter le cas
universel oN A = ~ /%n[H]. Ce cas se rel~ve en caract~ristique O, et 10.12.1
s'obtient par r~duction.
10.13. Prenons par exemple pour A les nombres duaux sur ~ /~n :
A = ~/~n[e] (e 2 = 0), pour ~ un homomorphisme continu du groupe des classes
d'id~les /A~/~ ~ dans le groupe additif ~ / n , et posons
X = i +C~.g
La ramification de ~ est automatiquement mod~r~e. Soit S un ensemble
fini de places en dehors desquelles ~ est non ramifi~. Appliquant 10.4 pour
X et pour le caract~re trivial, et faisant le rapport, on trouve
(10.13.1) la s~rie formelle
Del-92
- 5 9 2 -
L~(~,t) = ~ ~v(~v ) t deg(v) = ~ t n . E @v(17v) v~ S n
l_tdeg(v) deg(v) In
est dans ~ /~n(t).
Pour toute place v de K, choisissons une uniformisante v
i~me I' Adjoignons ~ ~ /zn une racine primitive p de unit4, et soit ~ un
i~mes caractgre additif non trivial de A/K, ~ valeur dans les racines p de
l'unit4. Prenons le quotient de (10.7.4) pour X et de (10.7.4) pour le
caract~re trivial, et utilisons (10.12.1). Apr~s simplifications, on obtient
l'identit4 suivante. Dans le premier membre, les deux premieres sommes (infinies)
sont sormn4es par (iO.13.1). Les sommes portent toutes sur toutes les places de K .
-deg(v) ~- C~v(-l) i (10.13.2) >--?v(~v) t deg(v) +>-~v(~v) qv t +
l_tdeg(v) . -deg(v) I t deg(v) i -qv ~
5- )-Z Z %(x) , , l+n. = n ~vk~v v .x) x £k e
v
On v4rifie de fagon 414mentaire que la validit4 de (10.13.2) ne d4pend
pad du choix des uniformisantes ~v (se rappeler que, pour x E k~v' on a
(q-l) ~(x)=O). Dans le premier membre, les ~ (-i) sont d'ordre 2, donc v
nuls si Z # 2.
-593- Del-93
ii. Appendice. Le calcul de e modulo les racines de l'unit4.
Cet appendice est une variation sur un th~me de Lakkis et Dwork, Mon
attention a 4t4 attir~e sur leurs r4sultats par J.P. Serre,
Nous noterons a N b la relation suivante entre nombres complexes in-
versibles:
1/2 a ~ b : a/b est produit d'une racine de l'unit4 par une puissance de q
Soit K un corps local non archim4dien et reprenons les notations de
I n12 2.2.1, 2.2.2 et 3.1. La mesure de Haar dx sera suppos~e telle que dx = q ,
avec n entier. Soient V une repr4sentation complexe (d'un quotient fini) de
GaI(K/K) , et V P les invariants sous l'inertie sauvage. C'est une sous-repr~sen-
tation de V
Th~or~me ii.i On a c(V, 4, dx) ~ c(V P, 4, dx)
Lemme 11.2 Modulo l'~quivalence N , e(V, 4, dx) est ind~pendant d£ 4 e t dx
R~sulte aussitSt de 5.3 et 5.4.
Ce lenm~e nous permettra d'abr4ger e(V, ~, dx)
Lemme 11.3 Si le caract~re de V est r~el~ i.e. si V
alors C(V) N I
On peut supposer que | dx = 1 J
5.7.1, 5.4 et 5.5,
en e(V)
est isomorphe ~ V ~ ,
de
et que n(4) = 0 . On applique alors
Soient L une extension finie de K dans K , W une repr4sentation
GaI(K/L) et Ind(W) la representation induite de GaI(K/K)
Lemme Ii.4 On a eL(W) ~ eK(Ind(W))
Soit W' la repr4sentation triviale de mame dimension que W . Pour
Del-94
*L = ~IK ° TrL/K
- 5 9 4 -
, on a (5.6.1)
C(W-W', ~L ) = £(Ind(W) - Ind(W'), ~K )
et on conclut en appliquant 11.3 ~ W' et ~ ind(W')
11.5. Soient L et W comme ci-dessus, PL
PL L et regardons W comme une representation de
On a
le groupe d'inertie sauvage de
H = P. GaI(KfL). triviale sur P .
Ind(W) P = ind~al(w PL)
D'apr~s 11.4, le th4orgme pour W ~quivaut donc au th4or~me pour Ind(W) ; par
Brauer, ceci nous ram~ne au cas o~ V est de dimension un, d4fini par un caractgre
d'ordre fini X de K ~ . Si ~ est mod4r4, [Xf = IX] , et 11.1 est trivial.
Si X est sauvagement ramifi~, IX] P = 0 et II.I r~sulte du lemme suivant.
Lermne 11.6 Pour X sauvagement ramifi~, e(X, ~, dx) ~ i
[m+l~ Soient m le conducteur de X , n = . 2 " et y l'414ment de K e
de valuation -m-n(~) , bien d4fini modulo (-n-n(@)) , tel que (cf 4.16)
X(l+a) = ~(a y) pour v(a) e n
D6composons X en X= XI )<2 , avec 7.1 d'ordre premier ~ pet
d'ordre une puissance de p Comme en 4.16, on prouve que
( 1 1 . 6 . 1 ) s(x, ~, dx) = x - l ( x ) ~(~)dx = -fl(x) ~(x) dx (l+(~-n))
!
= I X 2 (x) ~(x) dx ~(y) -I
y(l+(nm-%) J
Si m est pair (m=2n) , la fonction int~gr~e est constante et 11.6 clair. Pour
m impair (m=2n-l) , voici deux fa~ons de proc~der.
(a) ~i-l(x) ~(x) est un caract~re quadratique non d~g~n~r~ sur
-595- Del-95
y(l+(~m-n))/(l+(~n)) ; d'aprgs Weil, la somme de ses valeurs est ~ 1
(b) D'apr~s (11.6.1), il suffit de prouver que e(~, ~, dx) ~ I . Le carr4
de ce nombre~ multipli4 par une puissance convenable de q , appartient ~ un corps
N de racines p -igmes de l'unit~, et est de valuation i en toutes les places de ce
unique place divisant p • C'est donc une racine de corps, sauf peut-~tre en I'
l'unit4.
~( dx I Corollaire 11.7 Prenons ~ e_!t dx tels que n(~) = -i et que ~)
Alors, c(V, @~ dx) est un entier al$~brique.
D~eomposant V en V P + W , on voit qu'il suffit de traiter les deux
cas suivants.
(a) V est mod~r~ment ramifi~e. Dans ce cas, V est une somme de representations
induites de repr4sentations de dimension un de sous-groupes, et c est~ au signe
pros, un produit de sommes de Gauss (of 5.10).
(b) V P = 0 Darts ee cas, c ~ 1 et il suffit de prouver que la valeur absolue
complexe lel est une puissance positive de q . Ceci r~sulte de 5.7.2 (o~
dx'/dx = q ).
Del-96 - 5 9 6 -
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