LEMENT0SREVISTA Dj: MATEMÁTICA

KPARA LA ENSEÑANZA MEDIA l

fAño I Número 1Julio - Agosto 1963

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í'; ■Nuestros propósitos\

Semblanzas: Julio Rey Pastor

Temas de Nuestro tiempo: La revolución en la matemá­

ticapor Marshall H. STONE

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Génesis y desarrollo de un movimiento renovador

Panorama:

Orientación Sugestiones para el curso de geometría intuitiva

por Luis A. SANTALO'

Sistemas de numeración

Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo

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encuentran en nuestra Sección de Libros Técnicos.La revolución en la matemática (Continuación) 1

tAspectos de la reforma en EE. TJU.

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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

390 versátil...un compacto yElectrónico de Procesamiento de DatosSistema

Año I Julio - Agosto 1963 Número 1.Jí'

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Nuestros PropósitosA mi no me lia derrotado nadie... y aunque asi hubiera

sido, la derrota sólo habría conseguido hacerme más fuerte, optimista* más idealista; porque los únicos derrotados en este mundo son los que no creen en nada, los que no conciben un ideal, los que no ven más camino que el de su Casa o negocio, y se desesperan y reniegan de si mismos, de su patria y de su dios, si lo tienen, cada vez que le sale mal algún cálculo financiero o político de la matemática de su egoísmo.

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390...Nos presentamos ante nuestros colegas, los profesores de matemá­

tica de las escuelas medias argentinas, y abrimos estas páginas a su cu­riosidad e interés, convencidos de llenar una necesidad cada vez más apremiante en ese ámbito docente. Lo hacemos al promediar este año lec­tivo de 1963 que, con justicia, se ha puesto bajo la advocación de Joa­quín V. González, el místico visionario cuya fe en la ciencia comparti­mos. Como él, pensamos que la ciencia “enseña el sentido de la verdad y de la justa medida de las cosas” y que como educadores debemos “for­mar por el amor y por la ciencia la fuente inagotable de energías de la Patria31

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En los países de gran desarrollo científico se ha producido un im­portante movimiento que cobró gran impulso en los últimos años, ten­diente a lograr una renovación total de la enseñanza de la matemática en todos los niveles, desde la escuela primaria a la universidad. Pue-

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RESISTENCIA

* 4"c,,lí?r25&Z SEMBLANZASallí es donde se las necesidades actuales.

Esta “revolución en la matemática", de qne habla Sime en otro lunar, na ha trascendido a las escuelas secundarias de muchos países, y el nuestro no puede quedar al margen. Las experiencias que so están di­fundiendo en tal sentido no deben dejarnos indiferentes.

liatones de la más distinta índole —tiempo., distancia, medios- han convergido para impedir que el profesor secunda) io se mantenga actualizado en cuanto se refiere a novedades científicas y didácticas. Por ello, nos proponemos llevar a nuestros colegas toda la información de que seamos capaces y estamos seguros de que sabrán apreciar mies- iros esfuerzos en ese terreno. Además, superando nuestro modesto apor­te personal, contamos con la valiosa colaboración de prestigiosos mate­máticos nacionales y extranjeros, los que han de dar a la revista la cate­goría intelectual que corresponde.

Julio Pastor

1

Sabemos que su nombre encabezará dignamente esta galería de figuras des­tacadas en el campo matemático. Lo perdimos a don Julio Rey Pastor presencia corporal el 21 de febrero de 1962; su huella fecunda hace te su presencia espiritual. Desde 1917, cuan/do tenía apenas veintinueve años y era ya nada más ni nada menos que Rey Pastor, estuvo vinculado a nuestros medios docentes y científicos. En esas cuatro décadas produjo valiosa obra es­crita y dictó cátedra inigualable, pro­moviendo estudios e investigaciones en un terreno casi virgen.

"Maestro en el arte de enseñar, en el de comprender y en el de luchar y es­timar —ha dicho de él Puig Adam—, su producción didáctica es modelo de arquitectura funcional; en ella parece como si las verdades enunciadas y de­mostradas, aún conocidas, adquirieran a través de su exposición, nueva luz, sea por la armónica estructura, sea por la novedad audaz de las demostraciones". Los que nos honramos con haber sido sus alumnos en el Instituto, sabemos bien que ese juicio refleja cabalmente al maestro que era Rey Pastor en el aula, cuando su exposición, siempre matizada por la ironía que le brillaba en los ojos, asombraba igualmente por la claridad científica y la facundia verbal.

Se había doctorado en España en 1909 y perfeccionado posteriormente en Ale­mania; cuando en 1914 publica sus ad­mirados "Fundamentos de Geometría

Esta labor inicial crecerá, no lo dudamos, estimulada por nues­tros lectores, cuya comunicación frecuente comprometemos. Porque so­namos con una revista que sea realmente un símbolo de mutila colabo­ración en pro de una escuela siempre mejorada, espiritual, intelectual y, por qué no, materialmente. Por ello, aquí se podrán plantear dudas, resolver problemas, suscitar entusiasmos. Si en todas las latitudes se dama hoy por una urgente y drástica renovación en los contenidos y métodos de enseñanza, debemos meditar esa exigencia y capacitarnos pa­ra enfrentarla.

como

permanen-

Con estos propósitos iniciamos nuestra tarea que es la de lodos.LOS EDITORES

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Proyectiva Superior", su figura de ma­temático adquiere contornos universales. En 1916 aparece su "Introducción a la Matemática Superior", espléndida mues­tra de su amplia versación y de su no­table capacidad de síntesis elegante y expresiva. Rey Pastor reeditó esta obra en 1951, rehaciéndola casi totalmente; pocas veces hemos tenido entre manos un trabajo suyo que mejor lo mostrara como conocedor y como expositor.

A partir de 1917, cuando en su visita inicial pronunciara memorables diserta-

... Acerquémonos, pues, aprendamos nos, y por eso estimamos, para tratar de alean- zar el ideal común. Cuidémonos de imponer dios uniformes a todos; esto es irrealizable, y por otra parte no es de desear. La uniformidad es la muerte, porque es la puerta cerrada a todo progreso, y además toda sujeción es estéril y odiosa.

a conocer.

me-

<JIENRI POIRCARÉ “Últimos pensamientos”

Esposa - Calpe Arg., B. Aires, 1946

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la realizó E. Tenadas, amigo entrañable, en el primero de los tomos que en su homenaje publicara en 1945, el Instituto de Matemática de la Universidad del Litoral.

Rey Pastor había nacido en Logroño, España, el 14 de agosto de 1888, y aun­que estuvo siempre ligado a su suelo natal, anaigó en nuestra Patria, donde se lo admiró como erudito y se lo apre­ció como hombre. Ocupó por muchos años cátedras universitarias en Buenos Aires y también en La Plata y Cuyo; fue profesor inolvidable del Instituto Supe­rior del Profesorado de la Capital. Su influencia renovadora en la enseñanza de la matemática trascendió del ámbito superior al ciclo medio y perdura a tra­vés de las generaciones de egresados que participaron de sus clases.

TEMAS DE NUESTRO TIEMPOsuceden obras y mas obrasciones, sede su copiosa producción entre nosotros. Podríamos citar tratados ejemplares co­mo Análisis Algebraico, Lecciones de Algebra y Teoría de Funciones, libros de carácter didáctico como sus textos para el bachillerato y su Cálculo Infi­nitesimal, memorias estupendas como la de "Los últimos teoremas de Poincare , apuntes de sus innumerables cursos co­mo el más reciente sobre Teoría de los Conjuntos Abstractos, trabajos sobre epistemología e historia de las ciencias,

contribución a la Historia de la Nación Argentina, en el volumen II, so­bre ciencia y técnica en el Descubrimien­to. Su amplia erudición rivalizaba con su dominio del lenguaje, y muchas de sus páginas son realmente antologicas. Una valoración objetiva y responsable de su labor, aquí y allá, hasta 1944,

La Revolución

Matemáticalaen

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MARSHALL H. STONE (Universidad de Chicago - E.E. U.U.)como su

Estamos en medio de una crisis inte­lectual que tiene profundas implicaciones para la educación en todas partes del mundo. Esta crisis ha surgido junto con el desarrollo de la ciencia y es la con­secuencia directa de la adopción, por el hombre, de modos científicos de pensar y de actuar. No disiparemos sus tensio­nes hasta que aceptemos la ciencia co­mo parte integral y fundamento básico de nuestra cultura, no sólo en el nivel material sino también en las esferas tan­gentes de la vida intelectual y la edu­cación. Tan súbitamente se ha desarro­llado esta crisis y tan lejos se han exten­dido sus efectos, que nos vemos forzados a reconocer en ella los síntomas carac­terísticos de un cambio fundamental en la cultura humana. Aun cuando la ima­ginación es inadecuada para pintar la sociedad transformada que emergerá fi­nalmente de los cambios que comenza­ron recientemente, podemos, no obstante, ver con alguna claridad que en unas pocas generaciones más cada aspecto de la vida del hombre se habrá alterado radicalmente. Ya podemos reconocer cuán profundamente está influyendo la formación progresiva de hábitos científi­cos de pensar y de actuar, en la relación del hombre con su universo. Todo —su relación con el medio físico, su relación con el tiempo y el espacio, sus relaciones consigo mismo y con la sociedad en que vive y, debemos agregarlo, su relación con el dominio espiritual— se está viendo y tratando bajo nuevos aspectos porque el hombre halló en la ciencia un nuevo

instrumento para percibir y entender las condiciones de su existencia.

Los cambios así forjados por la ciencia ya han dejado atrás a la lenta evolución de nuestros sistemas educativos. A me­dida que un mundo nuevo lucha para nacer, nos damos cuenta con bastante inquietud que, de repente, estamos obli­gados a hacer un esfuerzo muy decisivo para llevar la educación al nivel de nuestros tiempos y orientarla, lo mejor que podamos, hacia un futuro muy dife­rente de todo lo que nos era familiar en el pasado. La situación requiere que polvamos a pensar teda nuestra concep­ción de la educación, dispuestos a buscar la verdad acerca de nosotros mismos y del universo en que vivimos y con el fin de incorporarla a lo que enseñamos v a nuestra manera de enseñarlo.

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ENTRE DOS SIGLOSconstrucciones progresivas que nunca pierden de vista lo real, incluso cuando parecen separarse, como en las geome­trías no euclidianas, las multidimensio- nales o los cuaternios. Por lo contrario, lo característico de nuestro tiempo son las construcciones arbitrarias, los postu­lados arbitrarios y las funciones arbitra­rias, suma de arbitrariedades que horro­rizaba a Poincaré. Si él y Hilbert pueden tomarse como figuras máximas repre­sentativas del final de su siglo, hay una diferencia profunda entre ambos. Poin­caré cierra con su genial obra esa cen­turia, señalando rumbos para perfeccio­nar su obra, mientras que Hilbert abre las puertas al nuevo siglo.

La Matemática del presente siglo, esencialmente sistemática y abstracta, queda encuadrada en dos grandes mar­cos: Algebra abstracta y Espacios abs­tractos, es decir, lo discreto, de esencia aritmético-algebraica, y lo continuo, o sea lo geométrico, dualidad que tiene sus lejanas raíces en las mentalidades india y griega. Mirando mucho más cerca, la moderna Algebra (que en gran parte es Aritmética) nació en las mentes abstractas de Galois, Grassmann, Hamil- ton, Cayley, Dedekind, Kronecker ..., mientras que los más importantes espa­cios abstractos fueron codificados por Hilbert y su discípulo Schmidt, con el modelo de la Geometría vectorial tesiana, y con toda amplitud por Fréchet, siguiendo la pauta que para los conjun­tos de puntos trazó Cantor.

La Matemática del siglo XIX va de lo concreto a lo abstracto; hija de la Filo­sofía natural de las dos centurias pre­cedentes, se eleva gradualmente por

DESARROLLO DE LA MATEMATICA EN EL SIGLO XX

Como parte de la tarea de rever y re­visar las ideas fundamentales de nues­tras prácticas educativas, es esencial examinar la tranquila revolución que ha ocurrido en la matemática en nuestro tiempo y apreciar su enorme potenciali-

car-

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I. REY PASTOR "La Matemática Superior"

Ed. Iberoamericana; Bs. Aires, Madrid 1951

(1) Traducción, autorizada por el autor, del articulo publicado en la revista "Liberal Education" EE. UU. Volumen XLVII, Número II, Mayo 1961. páginas 304 - 327.

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fusa y vagamente, está implícita en la expresión de que los pensamientos se originan en el cerebro. El descubrimien­to de que esto es así puede, sin exage­ración, emplearse para señalar uno de los avances intelectuales de mayor sig­nificación en la historia de la humani­dad, comparable, en cuanto concierne a la matemática, sólo con otro gran des­cubrimiento —el reconocimiento por los griegos de que los hechos empíricos de la geometría caen dentro de configura­ciones lógicas, las que pueden ser amal­gamadas de modo que toda ella aparez­ca como una estructura lógica coherente basada en un limitado número de axio- .

No están desconectadas de esta

dad para provocar avances fundamen­tales en todos los campos en que actúan la razón y el pensamiento científico. No es tan importante para el matemático re­cordar aquí que, durante unos dos mile­nios y medio, la matemática ha mante­nido un prominente lugar en la educación —y, adviértaselo, entre las humanida­des—, como delinear clara y llamativa­mente la extraordinaria evolución ocu­rrida en ella durante el siglo XX y en sus conexiones con otras disciplinas, y explicar por qué esto nos impulsa ahora, tan tremendamente, a modernizar nues­tra enseñanza de esta asignatura, y aun a darle un lugar nuevo y más importante en el esquema educativo. Lo que deben captar todos aquellos que se interesen por educación, es que nuestra concep­ción de la naturaleza de la matemática ha sufrido un cambio revolucionario, nues­tro conocimiento técnico de esta discipli­na se ha agrandado vastamente, y nues­tra dependencia de ella para el progreso científico y tecnológico se ha incremen­tado enormemente. En verdad, cada día se hace más y más claro que la mate­mática tiene que ser considerada como la piedra angular de todo el pensamiento científico y, por lo tanto, de la intrinca- damente articulada sociedad tecnológica que estamos activamente empeñados en construir. Podemos prever un momento, en un futuro no muy distante, en que se alcanzará una completa identificación de ciencia, lógica y matemática; lo que ya ha ocurrido en el caso de la física mate­mática, particularmente en la teoría cuán­tica del campo, indica qué ocurrirá en las otras ramas de la ciencia cuando ellas exploren más profundamente las complejas relaciones que tratan de en­tender.

Aunque desde 1900 se han producido varios cambios importantes en nuestra concepción de la matemática o en nues­tros puntos de vista sobre ella, lo que constituye verdaderamente una revolu­ción en las ideas, es el descubrimiento de que la matemática es totalmente in­dependiente del mundo físico. Para ex­presarlo con un poco más de precisión: ahora se comprende que la matemática no tiene necesariamente otras conexiones con el mundo físico fuera de la que,

También advertimos que la tendencia hacia la abstracción debe continuar ine­vitablemente, reforzada por el éxito que ya tiene acreditado. Siguiendo ese rum­bo y dirigiendo cada vez más su aten­ción al discernimiento y estudio de configuraciones abstractas, los matemá­ticos se han vuelto cada vez más cono­cedores de la antítesis fundamental entre el aspecto estructural de la matemática y el aspecto estrictamente instrumental, que tan a menudo parece tener impor­tancia principalísima para las aplicacio­nes y con tanta frecuencia es la principal preocupación de los profesores de la asignatura. Un entendimiento y una apreciación más profundos de esta antí­tesis se ha alcanzado hace poco a través de algunos estudios notables de lógica moderna que han descubierto limitacio­nes inherentes a lo que se puede lograr por la manipulación puramente mecánica del cálculo simbólico. Es totalmente obvio que estas nuevas ideas y progresos, que en suma constituyen una genuino revo­lución en la matemática, plantean difí­ciles problemas prácticos para el educa­dor. Sólo el incorporar a los programas de matemáticas los elementos esencia­les de nuestro nuevo conocimiento, ya es una tarea formidable; pero la nece­sidad de presentar a la matemática como materia abstracta se ha planteado y, la reconciliación de sus aspectos antitéti­cos acrecen en mucho las dificultades vinculadas con la elevación de la ins­trucción matemática hasta el nivel exi­gido por nuestros tiempos. En consecuen­cia, necesitamos examinar con particular detalle los diversos factores que sólo pudieron ser mencionados brevemente en estas observaciones introductorias.

asegurar que la matemática es abstracta —"no sabemos de qué estamos hablan­do"— y que la noción de verdad mate­mática es puramente formal "ni sabemos si lo que decimos es verdad", en cual­quier sentido real. Aunque la descrip­ción de Russell subraya la independen­cia de la matemática, respecto del mun­do de los fenómenos, falla al definir su contenido. Un matemático moderno pre­feriría la caracterización positiva de su disciplina como el estudio de sistemas abstractos generales, cada uno de los cuales es un edificio construido por ele­mentos abstractos especificados, y es­tructurado por la presencia de relaciones arbitrarias, pero inequivocamente espe­cificadas, entre ellas. El estudio de tales sistemas matemáticos significaría para él no sólo el examen de las propiedades intrínsecas de sistemas individuales, sino también la comparación de las estructu­ras de sistemas diferentes. Sostendría que ni esos sistemas ni los medios provistos por la lógica para estudiar sus propieda­des estructurales, tienen ninguna cone­xión directa, inmediata o necesaria con el mundo físico. Al mismo tiempo, reco­nocería que tales sistemas matemáticos pueden ser a menudo muy útiles como modelos de porciones de realidad, dando así las bases para un análisis matemá­tico teórico de relaciones observadas en el mundo de los fenómenos. También re­conocería que esta clase de conexión accidental y hasta cierto punto arbitra­ria entre alguna parte de la realidad y cierto sistema matemático, ha conducido a menudo al descubrimiento de caracte­res abstractos del último, que podrían eventualmente constituirse en el objeto de las demostraciones matemáticas abstractas.

Naturalmente, esta idea de la matemá­tica, que difiere tan radicalmente de la sostenida por los antiguos griegos o por todos los matemáticos anteriores al si­glo XIX, no fue formulada de golpe, sino que se ha desarrollado poco a poco a través de un largo período de tiempo. El descubrimiento del cual surgió nues­tra idea corriente de la matemática como una disciplina totalmente abstracta, es­trictamente lógica y enteramente inde­pendiente, fue el de la geometría plana

mas.profunda penetración moderna en la na­turaleza de la matemática ciertas otras realizaciones del siglo XX. Así, se han podido determinar con bastante precisión las conexiones entre la matemática y la lógica, y definir el alcance de la mate­mática en términos tan generales y tan simples que parecen proporcionar una respuesta casi final a la pregunta "¿qué es la matemática?" Se ha podido ver cómo sus diferentes ramas están unidas

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en un todo imponente y se han podido reforzar los vínculos técnicos que las enlazan dentro del marco de una defini­ción general. Hemos logrado acercarnos a una nueva posición más ventajosa, desde la cual somos capaces de apreciar los notables avances técnicos logrados en los últimos sesenta años, que son me­ramente como el preludio de mayores conquistas en el futuro. Cuando nos detenemos a comparar la matemática de hoy con la de fines de siglo XIX, po­demos asombrarnos al notar cuán rá­pido ha crecido nuestro conocimiento ma­temático en cantidad y en complejidad, pero tampoco dejaremos de observar cuán íntimamente ha estado relacionado este desarrollo con el énfasis sobre la abstracción y con el creciente interés por la percepción y el análisis de configu­raciones matemáticas generales. En rea­lidad, con un examen más detenido, vemos que esta nueva orientación, he­cha posible sólo por el divorcio entre la matemática y. sus aplicaciones, ha sido la verdadera fuente de su tremenda vitalidad y crecimiento en el siglo actual.

LA NATURALEZA ABSTRACTA DE LA MATEMATICA

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El filósofo Bertrand Russell ha descrip- to la naturaleza abstracta de la mate­mática en el epigrama: "La matemática es la disciplina en la cual no sabemos de qué estamos hablando ni si lo que decimos es verdad". Esta es su forma de

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Nos referimos particularmente al tra- miento simbólico de la lógica por Boole, Schroeder y Peano, a la creación de las teorías de los conjuntos y de los núme-

trasfinitos por Cantor, y al análisis lógico del sistema de los números reales por Dedekind y Frege. Así como los grie­gos tuvieron que desarrollar la lógica con el fin de explorar las implicaciones que relacionan los hechos empíricos de la geometría, los matemáticos del siglo XIX tuvieron que profundizar aun más en la lógica para poder tratar la nueva mate­mática de su tiempo con suficiente exacti­tud y precisión. Fueron de ese modo con­ducidos a realizar muchos progresos téc­nicos y ampliaciones dentro de la na­ciente lógica y a comprender el alcance y la naturaleza del concepto de función. En realidad, puede decirse desde un pun­to de vista técnico, que la clase de ciertas tendencias características de la matemá­tica moderna reside en el interés crecien­te por este concepto bajo uno u otro de los muchos nombres que so le atribuyen (v.g. función, operador, transformación, aplicación).

Con una pequeña simplificación más, puede decirse que lo que debía agre­garse a la lógica de las proposiciones y a la teoría de los conjuntos de Aristóteles y los lógicos escolásticos, con el fin de poner la lógica a la altura de las exigen­cias de la nueva matemática, era el aná­lisis de este concepto, tal como fue logra­do por los lógicos y matemáticos ya mencionados. Russell y Whitehead mos­traron primero cómo toda la matemática podría expresarse en términos de la ló­gica formal, ampliada con los conceptos de conjunto y función. En este sentido, la matemática puede considerarse como una parte de la lógica. Por otra parte, la plena realización del sueño de Leibniz, de reducir la lógica a un cálculo simbó­lico, se logró mediante etapas sucesivas asociadas a los nombres de Boole, Peano, Russell, Whitehead y algunos otros inves­tigadores posteriores. Como consecuen­cia, ahora podemos reconocer que la ló­gica formal, considerada como el estu­dio de operaciones con símbolos apropia­dos, debe ubicarse en el álgebra como un capítulo especial; aparece entonces como una parte de la matemática. La

fusión asi alcanzada entre matemática y lógica refuerza la conclusión de que la matemática es una disciplina formal completamente abstracta, v origina inte­resantes cuestiones como la de cuánto puede lograrse por manipulación mecá­nica de sistemas simbólicos y cuánto debe depender de la comprensión directa o intuitiva de sus configuraciones estruc­turales.^ Está claro, por supuesto, que la matemática puede compararse a unjuego ■ ° bien a una variedad infinita de juegos en los cuales las piezas y vimientos no tienen significado intrínseco, y el interes absorbente radica en percibir y utilizar las configuraciones del juego permitidas por las reglas. Cuando la matemática se examina así, las cuestio-

ya consignadas plantean el proble­ma de determinar si es posible o no, re­ducir la realización de uno u otro de esos juegos a un procedimiento automático prescripto, sin dejar lugar para el empleo del juicio y la inspiración. Así, la distin­ción entre los aspectos instrumental y es­tructural de la matemática, adquiere un significado más agudo y una importan­cia mayor en virtud de la identificación de la matemática y la lógica.

no euclidiana por los dos Bolyai, Gauss y Lobachevski, a principios del siglo XIX. Gauss trató rápidamente de decidir en forma experimental si la geometría del espacio requiere un modelo euclidiano o lobachevskiano; pero concluyó que no podía decidir la cuestión sin hacer medi­ciones de mayor exactitud que las que él podía lograr. Así, dos sistemas mate­máticos internamente consistentes, pero mutuamente incompatibles, estaban dis­ponibles para describir la geometría fí­sica. Era imposible imaginar que uno de ellos pudiera tener, en detrimento del otro, alguna conexión necesaria con el mundo físico. Era igualmente imposible, al menos en ese tiempo, elegir entre ellos sobre bases físicas. El subsiguiente des­arrollo de muchas otras clases de geome­tría absrtacta aceleró el surgimiento de la idea moderna que aquí hemos des- cripto. Impulsos posteriores en la misma dirección, provinieron del lado del álge­bra, donde gradualmente se hizo eviden­te que la matemática no debe tratar con un único sistema numérico, sino más bien con una infinidad de tales sistemas, que compartan muchos caracteres comunes, pero que al mismo tiempo tengan sus peculiaridades individuales. Un tercer factor contribuyente fue el desarrollo de nuevas técnicas y conceptos en la lógica, durante la última mitad del siglo XIX y la primera parte del XX, como resultado de lo cual se hizo posible aclarar la rela­ción entre la matemática y la lógica, y justificar la moderna definición de la ma­temática que se ha dado aquí.

ca. álgebras, sistemas ordenados y espacios topológicos. Por otra parte, se han descu­bierto numerosos procesos, algunos muy complejos, para sintetizar nuevos siste­mas a partir de sistemas dados y usarlos para obtener información sobre éstos. Además, muchos de los sistemas familia­res —como por ejemplo los sistemas nu­méricos del análisis— pueden ser carac­terizados por la conjunción de sencillas propiedades algebraicas y topológicas u ordinales. Por eso, en cierto sentido, las partes de la matemática más conocidas son las muy relacionadas con ciertos temas principales muy familiares, y las parte todavía no exploradas pueden ser, muy probablemente, de naturaleza bas­tante distinta de las que examinamos ahora con comodidad.

En conclusión: aun cuando no tenemos derecho para suponer que las investiga­ciones matemáticas del futuro usarán ne­cesariamente técnicas o descubrirán fe­nómenos generalmente semejantes a los conocidos en el momento actual, pode­mos esperar que la nueva matemática, diversificada como se quiera, sea abar­cada en la unidad que establece la defi­nición aquí ofrecida. En realidad, esta definición es tan amplia y admite un grado de abstracción tan grande que difícilmente se puedan hacer retroceder los límites que fija a la matemática. Así, tenemos buenas razones para creer que eventuales modificaciones en nuestra concepción básica de la naturaleza de la matemática deben basarse en nuevos progresos de la lógica, progresos que envuelvan nuevas técnicas y nuevos puntos de vista, los cuales provendrán de nuestra más vasta experiencia como matemáticos.

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LA UNIDAD DE LA MATEMATICA

La caracterización de la matemática como el estudio de sistemas que com­prenden ciertos elementos abstractos y ciertas relaciones establecidas entre ellos, muestra muy claramente su unidad esencial. Sin embargo, no puede sugerir adecuadamente las últimas conexiones estructurales que han sido halladas en­tre sus diferentes ramas, como resultado de modernas investigaciones. Durante los últimos cincuenta o sesenta años se ha hecho mucho para identificar y compa­rar los sistemas matemáticos que tratan el álgebra, la teoría de números, la geo­metría y el análisis. El éxito ha sido sor­prendente en dos aspectos. Por un lado, la posibilidad de analizar en detalle los sistemas matemáticos que conocemos ha sido explotada hasta el punto de que todos ellos se consideran como deriva­dos de tres tipos simples de sistemas:

LA MATEMATICA Y LA LOGICA

Hemos alcanzado, en verdad, el punto en que podemos realmente identificar a la matemática con la lógica. Las razones principales en que se basa esta identifi­cación fueron establecidas con minucioso detalle por Russell y Whitehead en su monumental tratado "Principia Mathema- tica", publicado en 1-911. Esta notable obra puede considerarse como la culmi­nación de una serie de brillantes contri­buciones del siglo XIX al estudio de las conexiones entre la matemática y la lógi-

ABSTRACCION Y APLICACION

Parece ser una mera paradoja que cuando la matemática ha sido llevada casi hasta su más alto grado de abstrac­ción, sus aplicaciones han comenzado a multiplicarse y a proliferar de manera extraordinaria. No hay duda de aue uno de los más llamativos rasgos de la vida intelectual del siglo XX es la penetración

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bable que esta apariencia cambie a medida que puedan desarrollarse técni­cas más poderosas y ampliarse el alcan­ce de las aplicaciones. Por supuesto, sería muy natural predecir que se ten­derá en general, a una reorganización matemática cada vez más intrincada en todas las ramas de la ciencia, aún en aquéllas en que todavía nada pode-

discernir más allá de las primeras

PANORAMAde la matemática en el círculo siempre creciente de las disciplinas científicas, no sólo de las ciencias naturales, sino también de las que se dedican al estudio de la conducta humana. A medida que esta penetración permite comenzar tender situaciones que habían desafiado previamente al tratamiento teórico, tene-

nuestra primera idea clara de cuán lejos v cuán profundamente está destina­da a llegar la influencia de la matemá­tica. Todo un nuevo mundo de pensa­miento y comprensión se abre ante nosotros, del cuál sólo la matemática es la clave. Sin embargo, lejos de ser pa­radójica, esta conjunción de dos corrien­tes aparentemente opuestas en su des­arrollo, puede considerarse justamente como el signo de una verdad esencial acerca de la matemática misma.

Porque sólo en la amplitud con que la matemática se libera de los lazos que en el pasado la sujetaban a aspectos parti­culares de la realidad, es que puede llegar a ser el instrumento extremada­mente flexible y poderoso que necesi­tamos para abrir caminos en áreas que hasta ahora están fuera de nuestro al­cance. Los ejemplos que sustentan este argumento son ya numerosos, y no hay duda de que pueden ser reforzados por muchos otros en la segunda mitad de este siglo. Podemos mencionar el mo­derno desarrollo de una elaborada teoría matemática de la genética, la reciente creación de una teoría de juegos con aplicaciones a la economía y a una va­riedad de otras situaciones caracteriza­das por competiciones, y la aun más reciente formulación de una teoría mate­mática de las comunicaciones con aplica­ciones a la ingeniería y a la lingüística. Comparada con la matemática requerida en las partes más difíciles de la física teórica, como por ejemplo la teoría cuántica del campo, la matemática que se emplea en algunas de las aplicacio­nes más nuevas, puede a menudo pare­cer simple y aún inocente. Es muy pro-

a en-

Génesis y Desarrollo de

un Movimiento Renovadormos

mosformulaciones de unos pocos principios matemáticos rudimentarios. Si fuéramos a pintar un cuadro exacto de lo que está pasando en las matemáticas de nuestro tiempo, no podríamos limitarnos a estas generalidades, pues deberíamos tratar de tener en cuenta los importan- La Unión Matemática Internacional

(IMU), consciente de los graves proble­mas derivados de la necesidad cada mayor de más y mejores matemáticos, creó la Comisión Internacional de Ense­ñanza Matemática (CIEM), entendiendo que sólo una adecuada formación de los jóvenes en el nivel secundario y universitario, que pusiese en evidencia la importancia de la matemática en el mundo actual, conseguiría despertar su entusiasmo hacia el estudio de esta disciplina.

En sus reuniones de octubre de 1952 y principios de 1953, la CIEM encaró un plan de acción para- realizar un estudio preliminar destinado a servir de base para la discusión en el Congreso de Amsterdam, en 1954. Consideró que, pa­ra tener éxito, era necesario que en cada país miembro de la IMU, la comi­sión nacional respectiva designara una subcomisión de enseñanza. Su tarea primera fue abocarse al estudio del te­ma: "El papel del matemático en la vida contemporánea", y satisfacer la encues­ta sobre los programas de matemática para estudiantes entre 16 a 21 años, y los resultados de la enseñanza. Luego del Congreso de Amsterdam, el progra­ma de trabajo se extendió a la conside­ración de la enseñanza para todo el ci­clo secundario.

Así nació la Subcomisión Argentina; su actuación sólo comenzó en 1956; pero, a partir de 1959, con la consideración del programa propuesto para el Congre­so de Estocolmo, su trabajo se regula­rizó. Este programa fue el siguiente:

"Estudio de los distintos tipos de exámenes, especialmente los de admisión a la Univer­sidad"."Estudio de los temas y aplicaciones de "matemática moderna" que pueden incluirse en los programas de la escuela secundaria".

3. "Estudio comparativo de los métodos de en­señanza usados para vincular la aritmética al álgebra".

El segundo tópico desplazó al primero en cuanto a importancia y se pidió a las subcomisiones nacionales que prepa­raran sendos informes sobre él, con el objeto de reunirlos todos en el que se presentaría a dicho Congreso.

Las conferencias internacionales se su­cedieron. Merece destacarse, por su fun­damental importancia y la gravitación que tuvo en todo el trabajo posterior, el Seminario de Royaumont (Francia), reu­nido entre noviembre y diciembre de 1959 con el auspicio de la Organización Europea de Cooperación Económica (OECE). En él se resolvió constituir un grupo de matemáücos y profesores para preparar de inmediato un programa que se sugeriría a los diversos países, po­niendo énfasis en su espíritu y en la forma en que había de ser enseñado. Otras importantes reuniones fueron la 2° Conferencia sobre Educación Matemá­tica de Sudasia, celebrada en Bombay, en enero de 1960; el Seminario de Aar- hus (Dinamarca), a principios de junio de 1960, donde se trató especialmente la enseñanza de la geometría; la Reu­nión de Belgrado, en septiembre de 1960, que preparó el programa de la OECE.

A mediados de 1960 también se co­menzó a encarar la organización de la

l.tes adelantos técnicos logrados en el si­glo XX. En ningún período de la historia se ha visto una actividad matemática tan intensa y fructífera como la que se ha desarrollado en la primera mitad del presente siglo. Además esta actividad está actualmente creciendo en forma muy rápida y seguramente proseguirá haciéndolo.

vez 2.$

En los últimos tres o cuatro años, de acuerdo con la cantidad de las publica­ciones, parece haberse duplicado el nú­mero de matemáticos activos. Aunque esta simple estadística podría tergiver­sarse con facilidad para dar una versión falsa de la situación, hay otra fuerte evidencia de que la matemática está experimentando un crecimiento literal­mente explosivo. Mucho más significati­vo que cualquier otra cosa es la rapidez creciente con que importantes ideas y técnicas nuevas se están introduciendo en la matemática. A pesar de que es tarea difícil hacer algo más que mencio­nar la naturaleza de los tremendos pro­gresos técnicos que se están realizando corrientemente, eso es lo aue ahora nos proponemos acometer, aunque con una inevitable sensación de insuficiencia.

(Continuará)

■

— 10 — — 11 —

V

fue la última visita del Dr. Marshall H. Stone, presidente de la IMU; en las, nu-

-----i reuniones que aquí celebro seconcretó un plan cuyas etapas princi­pales fueron:

"Preparación de un proyecto de programa para su inmediata experimentación en pe­queña escala"."Preparación de libros de texto adecuados para permitir esa experimentación y asegurar el mayor éxito posible"."Examen y revisión de los programas y textos a la luz de los resultados de los cursos dic­tados"."Obtención del apoyo de las autoridades pa­ra implantar progresivamente los nuevos pro­gramas en todas las escuelas secundarias". "Creación de cursos de verano para profe­sores con el objeto de familiarizarlos con las

tendencias en materia de enseñanza

TERCER AÑONúmeros enteros y racionales; núme­

ros reales presentados por sucesiones. Geometría analítica lineal plana. Siste­mas de ecuaciones e inecuaciones linea­les en dos dimensiones. Vectores. Com­binaciones lineales. Matrices.

Trigonometría elemental: manejo de las funciones circulares.

CUARTO AÑONúmeros complejos. Polinomios,

reglas de cálculo, fórmula del binomio. Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado. Funciones elementales. Funciones dadas por gráficos, tablas, etc., y con dominios diversos.

Probabilidad y estadística elementales. Valor medio, dispersión, curva normal. Idea de correlación y error.

QUINTO AÑOGeometría deductiva. Geometría analí­

tica de cónicas. Geometría analítica li­neal del espacio. Teoría de la divisibi­lidad para números y polinomios, facto­res, raíces; determinación de las raíces racionales de polinomios.

Aritmética comercial.

SEXTO AÑO (para los establecimientos donde se curse).Análisis: Límites y continuidad de fun­

ciones. Derivadas; su cálculo. Integrales definidas e indefinidas; su cálculo. Apli­caciones.

Con el objeto de exponer los alcances de este programa, se desarrolló en 1962 un cursillo para profesores, en el Cole­gio Nacional de Buenos Aires. El Dr. Santaló estuvo a cargo del curso de geometría para primer año y los Dres. Cora R. de Sadovsky y Oscar Varsavs- ky, del de álgebra para segundo año. Se comenzó también la redacción de material bibliográfico.

Además, por iniciativa del Instituto Superior del Profesorado, el Dr. Santaló dictó, en julio de 1962, tres conferencias

1? Conferencia Internacional sobre Ense­ñanza de la Matemática. El Ing. José Babini, presidente de Subcomisión Ar­gentina, fue invitado a formar parte del Comité Organizador. La conferencia se realizó en Bogotá, en diciembre de 1961. Los delegados argentinos fueron, además del Ing. Babini, los Dres. Alber­to González Domínguez y Luis A. San­taló. Es de destacar que el Dr. González Domínguez tuvo a su cargo el discurso de apertura y el Dr. Santaló una de las conferencias sobre "La formación de los profesores de matemática".

En agosto de 1962 se realizó el Con­greso de Estocolmo de la IMU en el que, en particular, la CIEM consideró el si­guiente temario, modificación del ante­rior, ya mencionado:

1. "Estudio de los temas y aplicaciones de "matemática moderna" que pueden incluirse en los programas de la escuela secundaria". "Preparación de docentes de matemática para las escuelas primarias y secundarias".

3. "Enseñanza de aritmética y álgebra para alumnos hasta la edad de 14 años".

Paralelamente con el conocimiento de la realización de estas reuniones, la Sub­comisión Argentina trató de despertar interés en el país por los temas que así preocupan a los matemáticos y profeso­res de todo el mundo. Durante 1960 y 1961 se dictaron conferencias en la Fa­cultad de Ciencias de la Universidad de Buenos Aires, con el fin de hacer conocer los esfuerzos hechos en diversos países, tendientes a modernizar la ense­ñanza de la matemática en el nivel se­cundario. También se preparó un infor-

' me general para el Congreso de Bogotá, sobre la enseñanza matemática en nues­tro país.

A principios de 1962 se realizó el pri­mer Curso de Perfeccionamiento para Profesores de Matemática, organizado por el Consejo Nacional de Investigacio­nes Científicas y Técnicas (C'ONICET). Fue una buena oportunidad para divul­gar las tendencias más modernas y en especial lo realizado en el Congreso de * Bogotá, ya que entre los profesores que lo dictaron se encontraban los tres dele­gados argentinos al mismo.

Otro hecho de singular importancia y gravitación en el movimiento argentino

sobre las nuevas tendencias en la ense­ñanza de la geometría.

Al organizarse el segundo Curso de Perfeccionamiento, patrocinado por el CONICET, se contempló la conveniencia e imprescindible necesidad, de conside­rar en él todo el material contenido en el programa. Se realizó este curso en Salta, en enero de 1963; fue dirigido por el Dr. Santaló, con una asistencia de cerca de 70 profesores secundarios.

El programa sintético ya no era sufi­ciente, sobre todo si, como se presumía, 1963 sería el año del comienzo .de su experimentación en algunas clases-piloto. Por ello, el Dr. Santaló desarrolló con detalles y sugestiones el programa de geometría para primer añoO) y el Dr. Varsavsky, los programas restantes, es­pecialmente el de segundo año.

Ha sido significativamente alentador para la Subcomisión Argentina (2) el eco encontrado en el Ministerio de Educación y Justicia de la Nación que a tra­vés de su Dirección General de Ense­ñanza Secundaria, ha hecho llegar esta inquietud a todos los departamentos de Matemática de los establecimientos de dependencia y ha permitido el ensayo experimental en seis cursos de primer año de la Capital Federal y el Gran Buenos Aires.

Hoy, el fruto de la labor de varios años parece consolidarse; la influencia que este movimiento puede tener para una más eficaz enseñanza de la mate­mática en nuestras escuelas secundarias es muy grande, ya que él quiere respon­der a las cada vez más imperiosas ne­cesidades del desarrollo científico y téc­nico que se está produciendo en el mun­do en que vivimos.

merosas

l.

2.

3.

sus4.

5.

1nuevasde la matemálica y con los nuevos progra­mas por aplicarse"."Introducción de cursos modernos en la carrera del profesorado". I6.

Este plan se puso en marcha de in­mediato. El proyecto de programa fue redactado por profesores del Departa­mento de Matemática de la citada Fa­cultad de Ciencias; su texto es el si­guiente:PRIMER AÑO

2.

Geometría intuitiva: Figuras planas, propiedades. Areas. Figuras del espacio, propiedades. Areas. Volúmenes. Seme­janza. Teorema de Pitágoras. Transfor­maciones geométricas planas. Traslacio­nes, rotaciones, simetrías, homotecias.

Elementos de trigonometría en el trián­gulo rectángulo. Tablas. Sistemas de coordenadas ortogonales. Representacio­nes. Introducción de números negativos.SEGUNDO AÑO

Algebra: Deducción; verdades lógi­cas, premisas, conclusiones. Algebra de proposiciones; conjunción y disyunción; conjuntos finitos, subconjuntos, relacio­nes, funciones; relaciones de equivalen­cia; operaciones con conjuntos; estructu­ras algebraicas finitas; operaciones, ta­blas, ejemplos y contraejemplos de mutatividad, asociatividad, etc. Varia­bles, ecuaciones e inecuaciones, opera­ciones inversas. Relaciones de orden.

El número natural; principio de induc­ción completa; operaciones y sus propie­dades. Cambios de base. Enumeraciones; combinatoria.

(1) Véase en este mismo número el artículo del Dr. Luis A. Santaló.

(2) Actualmente presidida por el Ing. José Ba­bini e integrada por los Dres. Alberto González Domínguez, Cora Ratto de Sadovsky, Luis A. Santaló y Oscar Varsavsky y el Ing. Andrés Valeiras.

con-

iJ

— 12 — 13 —

puesto que si pasaran dos, tendríamos un triángulo con dos ángulos

4. Polígonos. Polígonos convexos. Su­ma de ángulos interiores. Cuadriláteros. Trapecios. Paralelogramos.

Insistir sobre la idea de "convexidad". Un conjunto de puntos se dice convexo si el segmento determinado por dos de sus puntos, pertenece íntegramente al conjunto. Aplicarlo a ángulos, polígonos y a cualquier figura del plano y del espacio.

Demostrar las propiedades usuales de las diagonales de los paralelogramos, con sus propiedades recíprocas.

Conviene ir introduciendo el concepto de condición " necesaria y suficiente", equivalente a "si y solamente sí" Ejem­plos: 1. Para que un triángulo sea rec­tángulo es "necesario" que tenga dos ángulos agudos (pero no suficiente). 2. Para que un triángulo sea acután- gulo es "suficiente" que sea equilátero (pero no es necesario). 3. Para que un paralelogramo sea cuadrado es "nece­sario y no suficiente" que tenga las dia­gonales iguales y perpendiculares (se puede también enunciar: un paralelo- gramo es un cuadrado "sí, y solamente sí", sus diagonales son iguales y per­pendiculares).

5. Circunferencia. Medida de ángu­los inscriptos. Polígonos regularas. Lon­gitud de la circunferencia. Longitud del arco correspondiente a un ángulo cen­tral dado.

Para la longitud de la circunferencia se parte del hecho "experimental", que el alumno hará con círculos de cartón o cilindros de madera, de que el cocien­te entre la longitud de la circunferencia y el diámerto es constante e igual, por definición, al número "pi". La idea de longitud de una curva es intuitiva, igual a la longiutd de un hilo que se adapta a la misma. Aprovechar la última parte para repasar problemas de regla de tres, directa e inversa.

6. Areas. Area del rectángulo. Para­lelogramo. Triángulo y trapecio. Figuras equivalentes. Teorema de Pitagoras. Area del círculo.

ORIENTACION Puede partirse del siguiente postula­do: "El área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes de la base y la altura", que se justificará para el caso de base y altura conmensurables.El área del círculo puede darse sin jus­tificación, o bien justificándola a partir del área de los polígonos regulares.

El teorema de Pitágoras se demuestra por equivalencia de los cuadrados cons­truidos sobre la hipotenusa y los catetos. Se indicará cómo puede calcularse la diagonal de un paralelepípedo recto y la altura de una pirámide regular da­das la base y la arista lateral.

Se harán muchos ejercicios de áreas, que servirán para practicar operaciones con decimales y fracciones y también el sistema métrico decimal. lunto con el teorema de Pitágoras se repasará o dará la raíz cuadrada para números no ma­yores de cuatro cifras y se enseñará a utilizar tablas de cuadrados y raíces cuadradas.

Puede ser útil dar las fórmulas que dan valores enteros para los lados de un triángulo rectángulo y hacer cons­truir las tablas correspondientes.

7. Poliedros. Pirámides. Prismas. Los cinco poliedros regulares. Enunciado del teorema de Euler. Areas y volúmenes de poliedros. Cilindros y conos: áreas y volúmenes. Esfera: área y volumen.

Conviene la construcción de poliedros en cartulina, plastilina o jabón. El enun­ciado del teorema de Euler (vértices más caras menos aristas igual a dos) se com­probará con los distintos poliedros dis­ponibles. Conviene observar que para poliedros de distinta conexión que la es­fera (por ejemplo, un anillo poliedral) deja de ser cierto. Los volúmenes pue­den darse sin demostración. Muchos ejercicios numéricos de áreas y volú­menes.

8. Teorema de Tales. Triángulos se­mejantes. Relaciones de equivalencia. Definiciones de seno, coseno y tangente de un ángulo menor de 90°: uso de ta­blas de valores naturales. Figuras seme­jantes: escalas y mapas.

El teorema de Tales se puede demos­trar para segmentos conmensurables de

rectos.

Sugestiones para el curso de

Geometría Intuitiva (primer año)

LUIS A. S ANTALO(Universidad de Buenos Aires)

!trucción de manera única con ciertos da­tos. Bastan los tres casos clásicos.

Las construcciones de la bisectriz de ángulo y de la mediatriz de un seg­

mento se justificarán por la igualdad de triángulos. Trazado de bisectrices, media­nas, alturas y mediatrices de un trián­gulo, observando que pasan por un mis­mo punto, lo que se demostrará para bisectrices y mediatrices.

3. Rectas paralelas. Postulado de Euclides. Rectas paralelas cortadas por una secante. Suma de los ángulos de un triángulo.

Como enunciado del postulado de Eu­clides se toma: "Por un punto exterior a una recta pasa una y una sola paralela a dicha recta".

Aunque no se trata de construir una geometría axiomática, este enunciado es interesante como formación histórica y útil para muchos razonamientos.

Tomar como intuitivo que ángulos co­rrespondientes son iguales. El recíproco, con ayuda del postulado de Euclides, es un ejemplo de "demostración por el ab­surdo".

La suma de los ángulos de un trián­gulo, con ayuda del postulado de Eucli­des, se demuestra de la manera habitual. Hacer muchos ejercicios al respecto. Otro ejemplo de demostración por el absurdo: "Por un punto exterior a una recta pasa una sola perpendicular a la misma",

1. Segmentos y ángulos: Su medida. Clases de ángulos. Rectas perpendicula­res.

unPara la medida de segmentos puede ser conveniente establecer el siguiente postulado: "Fijada una unidad de medi­da, a cada par de puntos de una recta corresponde un número, llamado distan­cia entre ellos, o medida del segmento que ellos determinan.

La unidad para segmentos es el me­tro (repaso del sistema métrico).

Para ángulos, se define el grado sexa­gesimal como la 180 ava parte de un ángulo llano.

La igualdad de segmentos o de ángu­los se define por la igualdad de sus medidas o por superposición.

Se harán ejercicios geométricos de construcción y medición de ángulos da­dos, con el transportador, y ejercicios aritméticos de suma y diferencia de án­gulos; cálculo de complementos y su­plementos. Demostrar que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

2. Triángulos. Construcción y casos de igualdad. Construcción con regla y compás de la bisectriz de un ángulo y de la mediatriz de un segmento. Cons­trucción de las bisectrices. Medianas. Alturas y mediatrices de un triángulo: Círculos inscripto y circunscripto.

Los casos de igualdad de triángulos aparecen al ver que es posible la cons-

— 15 —— 14 —

I

ción de seno, coseno y tangente, entre 0? y 909. Se indica luego el convenio de abscisas y ordenadas negativas. Ejem­plos. (2)

(1) Véase en este mismo número el proyecto de la Subcomisión Argentina de la CIEM.

(2) Si bien el programa de primer año es de geo­metría. debe ser considerado como el elemento de en­lace entre la escuela primaria y los cursos posterio­res : servirá para afirmar los conocimientos adquiridos en la primera y para introducir al estudio del álge­bra. Tiene gran importancia para el éxito de todo el proyecto; por ello se enumeran los fines que se le deben asignar según el trabajo "Programación de la enseñanza de la matemática y de las cien­cias" del profesor Andrés Valeiras, presentado a la "Conferencia de la UN sobre la aplicación de la ciencia y la tecnología en beneficio de las nacio­nes menos

Dichos fines son los siguientes:a) Aprendizaje de los elementos necesarios de

geometría métrica euclidiana.b) Ejercilación numérica intensiva, de modo que

los alumnos dominen las técnicas de cálculo adquiridas en la escuela elemental.

c) Crear el hábito del lenguaje correcto y del uso adecuado del simbolismo lógico matemá­tico.

d) Análisis de las propiedades de las operacio­nes aritméticas mediante ejemplos simples de operaciones geométricas.

e) Introducción al concepto de vector. Suma y resta de vectores y producto por un número.

f) Introducción al concepto de función mediante el estudio de transformaciones y funciones tri­gonométricas.

g) Aprovechando las representaciones gráficas, introducir el estudio de los números negati­vos y las operaciones de suma y resta con ellos.

h) A pesar del carácter intuitivo, acostumbrar al alumno a realizar demostraciones cortas como ejercicios, de modo que insensiblemente sientan la posibilidad de establecer propieda­des a partir de otras conocidas, usando ra­zonamientos lógicos y establezcan su nece­sidad en ciertos casos a través de ejemplos y contra-ejemplos cuidadosamente selecciona­dos. (Notas de los editores).

la manera habitual, o bien por equiva­lencia de triángulos evitando el caso inconmesurable, que ya fue admitido para el área del rectángulo.

La idea de proporcionalidad es muy importante. Repasar ejemplos aritméti­cos; propiedades de las proporciones.

La semejanza de triángulos puede servir para introducir el concepto de "relación de equivalencia", como gene­ralización de la equivalencia para áreas. Ya se disponen de otros casos (con­gruencia, paralelismo) para ejemplificar. Dar ejemplos de relaciones que no sean de equivalencia (perpendicularidad, ma­yor, parentesco).

El seno, el coseno y la tangente se definen para los ángulos de un triángulo rectángulo. Por semejanza se demuestra que dependen sólo del ángulo.

Al dar escalas y mapas conviene ejer­citar con ejemplos concretos (plano de la clase, de la escuela o de una parte de la ciudad). Aplicaciones de la seme­janza a la medición de distancias in­accesibles. Puede, como ejemplo, demos­trarse nuevamente el teorema de Pitágo- ras por semejanza de triángulos.

9. Representaciones gráficas. Absci­sas y ordenadas. Números negativos.

Se representan gráficamente muchas funciones conocidas: longitud de la cir­cunferencia en función del radio, área del círculo en función del radio, área del trapecio en el que varía una base o la altura, hipotenusa al variar un cate­to,... Se hace la gráfica para valores enteros y se hacen prácticas de inter­polación para valores intermedios.

Usar papel cuadriculado. Representa-

Sistemas de Numeración <*)

i

desarrolladas", Ginebra, 1963. !

Desde las épocas más remotas, el hombre tuvo necesidad de contar y para ello cada pueblo adoptó un sistema de numeración. Todo sistema implica un conjunto de cifras, o símbolos numéricos, y de reglas de combinación de los mis­mos. En la evolución de la humanidad, los sistemas aditivos, como el romano, han cedido su lugar a los sistemas po- sicionales, como el decimal.

Un sistema posicional se caracteriza por el doble valor de los símbolos usa­dos: el absoluto o intrínseco de cada cifra, y el posicional o relativo, variable con su ubicación en la expresión de] número que se considere. Este último depende del número elegido como base del sistema, de tal manera que los dis­tintos lugares ocupados por dichos sím­bolos de derecha a izquierda, en la expresión de un número, representan las sucesivas potencias de la base elegida, a partir de la potencia cero.

En otros términos, un número cual­quiera P = a b c... i j k, en el cual abe ... i j k son los valores absolutos de sus cifras en el sistema de base n, representa el polinomio

P=anh l+bnh'a+cnh'3+.. .+in2-}-in+k (l)

expresión que muestra que las cifras deben ser menores que n, lo que hace necesario, para cada sistema, un núme­ro de cifras igual a la base.

Si bien la elección de la base es total­mente arbitraria, razones antropomórfi- cas han conducido a nuestro habitual

sistema decimal (n=10); pero es sabido que también se trabaja, aunque en forma limitada, con el sexagesimal (n=60). El moderno desarrollo de las computadoras automáticas ha puesto de actualidad el sistema binario (n=2), ya preconizado por Leibniz, y últimamente los de base 8 y 16.

El empleo de distintos sistemas de nu­meración conduce a dos importantes problemas:

1) Efectuar operaciones en un sistema dado;

2) Pasar de un sistema a otro.

OPERACIONES EN UN SISTEMA DE BASE n

Para concretar la exposición, adopta­mos como base el número 6. Represen­taremos al 0 y a los cinco primeros nú­meros naturales con los símbolos usua­les del sistema decimal. Nos propone­mos construir las tablas de sumar y mul­tiplicar en este sistema.

La expresión de los 62 primeros núme­ros en este sistema es la siguiente:

HOY

En “High School Malhema lies” de la Universidad de Illinois se lee:

V m V n 3 i 3 j : m.c.cl. (m.n) = mi + nj (*) En esta sección de ELEMENTOS, que hemos denominado Orientación, además de incluir co­laboraciones especiales como la precedente del Dr. Santaló, procuraremos desarrollar temas de apli­cación en la enseñanza.

Nos atendremos especialmente a los requeri­mientos de nuestros lectores; en esta oportunidad hemos creído adecuado ocuparnos del tema del epígrafe, por estimarlo de mucha actualidad.

expresión que puede “traducirse” así: para todo par de números enteros, existe un par de números enteros i y j tales que el máximo común divisor de los

m y n,

primeros es de la forma mi + nj.El libro mencionado es el texto que usan, en muchas escuelas secundarias

teamericanas, los estudiantes de 15 a 17 años.ñor-

— 16 — — 17 —

í"i

Luego, los coeficientes de la expresión polinomica de P, en el sistema de base n, son los restos .de las divisiones de P y sus cocientes sucesivos, por la nueva base n, hasta llegar a un cociente a<n, que será la primera cifra de P nuevo sistema. Resulta así:

P = abc ... ijk

| 10 | 6 | 10 I 6 I 10 1 619 I 31 I 25 I 41 1 31 5120 32 26 42 : 32 5221 33 27 43 33 53

28 44 34 5429 45 35 5530 50 36 | 100

que también se puede determinar em­pleando la conocida disposición para el cálculo del valor numérico de un poli­nomio.

Base! 10 | 6 ' 10 i 6 j 10 | 6i 1 1 7 11 13 21,2 2 8 12 14 22

3 3 9 13 15 234 10 14 16 245 11 15 17 25

10 , 12 20 18 30

;22 ¡ 34¡ 4 5

I 6l en el35

40SISTEMA BINARIO

Las dos cifras necesarias para este sis­tema pueden representarse por 0 y 1. Las tablas de sumar y de multiplicar se reducen a

2324 ! I

truyen en la forma habitual en el sis­tema decimal. Para el sistema de base seis que hemos considerado son las si­guientes:

Las leyes de las operaciones aritmé­ticas son independientes de la base ele­gida; por eso, las tablas de sumar y de multiplicar, necesarias para realizar las cuatro operaciones elementales, se cons-

Como ejemplo, obtendremos la, , expre­sión del numero 165291 (10 en el sistema de base 12. Para ello usaremos las diez cifras decimales

0+ 1 0 1Xy representaremos con

r y s al 10 y al 11, respectivamente. 0 0 1 0 o o1 1 10 1 o 13 4 50 1 25 X0 12 3 4+ Resulta así:

165291 |__123 13774 | 12

10=r

0 0 03 4 5

10 12 14 13 20 23 20 24 32 23 32 41

0 0 00 1 20 2 40 3 100 4 120 5 ' 14

i050 0 12 3 41 2 3 4 52 3 4 5 103 4 5 10 11 1 124™ "5" 10" 11 12 5 10 11 12 13

Por ejemplo, los números 27 (i0 y 35 (10 se expresan respectivamente como 11011(2 y 100011 (2. Su suma y su producto son:

11012112

1147 |__1233 i4 7 95 12134

11011 + 100011

limo

11011 X 100011

11011 11011

11011000 1110110001

que se traducen en el sistema decimal

111110 {2=25+2«+2;i+22+21=62 1110110001 (2=20+2s+27+25+-*+20=945

514 ll=s 754 X 2 = 12Ejemplos: 3 + 4 = 11

Luego: 165291 (10 = 7s7r3 (12

P = (anh'2+bnh 3+cnu~,+... +in+j) n+k

o sea: P = An + k (>*). llamando A al polinomio entre paréntesis.

Como k<n, la expresión (2) indica que A es el coeficiente entero de P por n y k el resto.

Utilizando estas tablas se efectúan las operaciones siguientes: Tratemos, en cambio de expresar en for­

ma decimal el número r032 (12. Em­pleando la expresión polinomica se tiene:

r 0 32 (12 = r. 123 + 0.12- + 3.12 + 2 = 19008 + 36 + 2 = 19046

103 32012051 435425

23223023

Análogamente resulta:

A = (anu*3+bnh’4+cnh’5+... +i) n+j

o sea: A = Bn+j,y como también j < n, resulta B cociente entero de A por n y j el resto.

Prosiguiendo, resultará finalmente

K = an + b.

5324 | 150024 ' 301

20325X

1423 5410

AYER5523

CAMBIO DE BASE En Ars Magna (Niiremberg, 1545) de Girolamo Cardano (1501-1576) se lee:

Este problema consiste en determinar la expresión de un número en un siste­ma cuando se conoce su expresión en otro de base distinta, vale decir, en de­terminar los coeficientes de la expresión polinomica de dicho número con la nue­va base.

Supongamos al número P expresado en un cierto sistema; en otro sistema, de base n, este número tendrá la expresión polinomica 0/ que puede también ex­presarse así:

qdratv aeqtur 4 rebus p: 32

Esquemáticamente:Puede ser “traducido” a nuestro lenguaje matemático actual mediante la muy

simple expresión:P nk A | n

j B | n i C~

x* = 4x + 32

(Tomado de “A source Book in Mathematics” de D. Smilh, Dover, N. Y., 1929). Este ejemplo da idea de las dijicultades que debieron vencer los matemáticos de hace varios siglos por ¡alta de una notación adecuada para plantear y resolver sus1 problemas.

K nb a

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I

dirigida la colGccion. Los artículos Fréchet y Eyraud, agrupados en el pri­mero de los capítulos citados, son muy accesibles y se complementan entre sí’ ademas, los interesantes trabajos de Got y Dubreil incluyen muchas notas histó­ricas. El mismo Fréchet abre el capítulo siguiente con una introducción elemental

especialidad, los espacios abstractos, a partir del espacio tridimensional. Tam­bién en su especialidad, la de las curio­sidades matemáticas, Sainte-Lagüe con­duce al lector en alucinante viaje por la cuarta dimensión. Valiron y Montel bezan con sendos trabajos el capítulo de­dicado al concepto de función; el del primero, referido a funciones analíticas, extenso y documentado; el del segundo, sobre familias de funciones, más conden- sado, pero no menos valioso. El aporte de Denjoy, con que se cierra el capítulo, está consagrado al trasfinito; tiene cado acento filosófico y nos parece un tanto desubicado en este lugar de la obra. La síntesis de Lentin acerca del concepto de "grupo" se lee sin esfuerzo y con provecho. Por su parte, Fortet comenta lúcidamente los puntos de vista sobre los fundamentos del cálculo de probabilida­des, cuyo conocimiento, como acota Le Lionnais, no debería ignorar el hombre culto actual.

de enderezado a imaginar en ese momento (1946) su portentoso futuro. Sin entrar a señalar en detalle los distintos artículos de "La epopeya matemática", no se debe omitir la mención del que Dieudonné de­dica a Hilbert, "encarnación del ideal matemático" de su generación.

Las conexiones del pensamiento mate­mático con las otras actividades y crea­ciones humanas, se encuentran comen­tadas en la última parte. A Boíl y Reinhart se debe un estudio —anticipo de su cono­cido opúsculo—, sobre nociones de lógica moderna, en el que insisten en su discu­tida tesis: la matemática no es más que una prolongación, importante y extensa como se quiera, de la lógica renovada. Impresionan por su densidad conceptual y documentación reconocida los enfoques sobre las relaciones con la física actual debidos a de Broglie, Janet y Kahan; se­duce por el cariño evidente y la frescura expresiva el trabajo del compilador, muestrario profuso de la "belleza de la matemática"; atraen por su amenidad humanizada las inusitadas y autorizadas revelaciones de Le Corbusier; sorprende la inclusión del empalagoso y presun­tuoso artículo de Laberenne. Brunschvicg cierra dignamente esta digna muestra de la fecundidad y laboriosidad de matemá­ticos, pensadores y técnicos franceses mancomunados, cuyo comentario com­pleto requiere, sin duda, mucho más espacio que el que hoy le dedicamos; de cualquier modo, siempre será más pro­ficua su lectura directa.

Bibliografía

a su

enca­do axiomático habría estado plenamente justificado" de no haberse superado aquella postura de los comienzos. En el mismo capítulo, Lautman vuelve a tratar la idea de "estructura", pero desde su punto de vista, recordando la famosa tesis (1936) de G. Birkhoíf y J. von Neumann acerca de la identidad lógico- estructural de la mecánica clásica y el álgebra de Boole, y de la mecánica cuán­tica y la geometría proyectiva.

F. LE LIONNAIS y colaboradores, Las grandes corrientes del pensamiento mate­mático. Ed. Eudeba; Bs. As., 1962. I

!Esta compilación de artículos sobre

temas de matemática, o vinculados con ella —aparecida en Francia en 1-948— consta de tres partes: una dedicada a su descripción ("El templo matemático"), otra a su pasado, presente y futuro ("La epopeya matemática"), y una tercera a su repercusión sobre el espíritu humano, la filosofía, la ciencia natural, el arte, la técnica y la civilización ("Las influen­cias"). Le Lionnais conduce al lector, a través de sus quinientas y tantas pági­nas, con comentarios adecuados, introdu­ciéndolo en cada asunto desarrollado y ubicándolo en la trama de la colección. Los nombres de los colaboradores son toda una garantía de la seriedad y el valor de los trabajos presentados.

En la primera parte. Le Lionnais abor­da el problema de la concepción actual de la matemática y enfrenta las "estrati­ficaciones tradicionales" de las discipli­nas clásicas "más o menos independien­tes", con los "cortes verticales de las estructuras modernas". A Bourbaki, "ma­temático policéfalo", se debe un esclare- cedor artículo que, como bien lo dice el recopilador, "podría servir de manifiesto a su escuela". Su noción de "estructura matemática" está allí caracterizada con toda precisión; también se distingue cla­ramente entre la axiomática primitiva y la actual, mostrando que el conocido "reproche de esterilidad dirigido al méto-

mar-

. . . el álgebra bailó locamente ALDOÜS EÜXLEY

En la segunda parte, los trabajos de Germain y Godeaux se encadenan ajus­tadamente, dando una visión panorámica de la evolución de la matemática, y se proyectan en el lírico aporte de Weil

PROGRAMACION LINEALIlustración de una familia de curvas lomada del■ libro comentado.

Un agricultor dispone de 100 hectáreas de tierra, de 160 hombres-día de de obra y de 1.100 dólares para invertir. Ha decidido dedicarse a dos

un hombre-día xy asegura 40 dólares demanocultivos dijerentes: el primero exige • j mbeneficio por hectárea; el segundo requiere 4 hombres-día y rinde 1ZU dolares, también por hectárea. Además, requieren, respectivamente, inversiones de 10 y 20 dólares por hectárea. Se trata de determinar la superficie que deberá dedicar a cada cultivo para obtener el rendimiento máximo.

(Expuesto por A. W. Tucker en el Seminario de Royaumont).

Ya en el terreno de lo tradicional, los artículos se encuadran en cinco capítu­los: Número, Espacio, Función, Grupo y Probabilidad, clasificación más compren­sible para el lector medio a quien va

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8. Durante este mes de julio se reali­za en Buenos Aires con el auspicio del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, una exposición del "Palais de la Découverte" de París. Concebido como muestra transitoria pa­ra la Exposición Mundial de 1937, se convirtió en permanente a partir de 1938 por decisión del gobierno francés.

La muestra presentada en nuestra ciu­dad comprende aspectos parciales de las secciones de Matemática, Física, Química, Biología y Medicina,

derna, a cargo de la Dra. María Angé­lica Ferrari.

11. El Depto. de Matemática de la Fac. de Ciencias de Buenos Aires ha organizado sendos cursos de Geometría y Algebra, para perfeccionamiento de profesores, a cargo de los Dres. Santaló y Ratto de Sadovsky, respectivamente, que se desarrollarán de agosto a noviem­bre, en el local de la Escuela Normal NT9 4, de ésta.

Noticias

que secomplementan con exhibiciones de tele­visión en colores. 12. En el local de la Escuela Normal

N9 9 se desarrollará, a partir del 7 de agosto, el curso organizado por la Liga del Profesorado Diplomado. Se dictarán "Temas de matemática moderna adap­tados a los posibles programas de ense­ñanza secundaria" y estarán a cargo de la licenciada Srta. L. Iglesias, con la colaboración de la licenciada Srta. E. Quastler.

5. En el Congreso de Estocolmo (1962), el informe sobre la primera cuestión del temario "¿Qué temas y aplicaciones de la matemática moderna pueden incluirse en los programas de las escuelas secun­darias?" fue presentado por el doctor John G. Kemeny del Darhmonth College, EE. UU. Resume los datos de los infor­mes presentados por 21 subcomisiones nacionales de la Comisión Internacional de Enseñanza Matemática.

1. UNESCO ha publicado en la serie "Estudios y documentos de educación" sendos repertorios internacionales de re­vistas pedagógicas (1957), de asociacio­nes de enseñanza (1959) y de editores escolares (1962).

9. El Instituto de Investigaciones y Estudios Pedagógicos de Buenos Aires, repitiendo su experiencia de 1962, ha vuelto a contar con el licenciado H. A. Merklem para el desarrollo de de perfeccionamiento, que este saron sobre Algebra lineal y Geometría Axiomática.

El mismo Instituto ha publicado en edi­ción mimeografiada los apuntes de álge­bra lineal del curso de 1962, cuya lec­tura ha de ser sumamente provechosa para los interesados.

cursos año ver-

2. Ocho profesores secundarios opta­ron a becas para asistir a los Cursos de Verano para Profesores de Ciencias que patrocina la "National Science Foundation" de Estados Unidos de Nor­te América. Dos de los interesados son de Capital Federal y los restantes de Tucumán, La Plata, San Juan, Resisten­cia y dos de Salta. Seis de los candida­tos son profesores de matemática, uno de química y uno de biología.

3. La Unión Panamericana ha beca­do para asistir a uno de los Cursos de Verano patrocinado por la N. S. F. de EE. UU. al ingeniero civil Ernesto Rivkin, profesor de matemática de la Escuela Normal "Juan Bautista Alberdi" de Tu­cumán.

13. Siguiendo la obra desarrollada durante 1961 y 1962, en el Departamento de Matemática de la Universidad del. Sur, se dictarán, para profesores secun­darios, a partir de agosto, los siguientes cursos: Curso pre-universitario de mate­mática, a cargo del Ing. José M. Arango, Historia de la matemática elemental y Coloquios sobre temas de matemática, ambos a cargo del Dr. Eduardo H. del Busto.

6. El nuevo programa de Geometría intuitiva para primer año está siendo experimentado en diversos lugares del país. En la Capital Federal y en el Gran Buenos Aires, se lo hace en una divi­sión de cada uno de los siguientes es­tablecimientos: Escuela Normal N9 4, Escuela Normal de Lomas de Zamora, Colegio Nacional N9 2, "D. F. Sarmien­to", sección Comercial; Colegio Nacio­nal de Adrogué, Escuela Nacional de Comercio de Temperley.

Asimismo, la experimentación también se realiza en el Colegio Nacional de La Plata, Escuela Industrial de Rosario, Es­cuela Industrial de Santa Fe y Escuela Industrial de San Juan, todas ellas de­pendientes de Universidades Nacionales.

10. En la Sección de Matemática y Física del curso de Profesorado de la Escuela Normal de Profesores N9 1, se está dictando un curso de Algebra mo-

■

PENSO ALGUNA VEZ QUE ...4. El doctor Oscar Varsavsky dicta los jueves a las 18 en el Colegio Nacio­nal de Buenos Aires, un curso de Alge­bra para profesores, cuyo fin es precisar los contenidos y orientación a dar a la enseñanza del curso de álgebra de 29 año de los colegios secundarios, según los nuevos programas en experimenta­ción.

. . . el producto del máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de dos números es igual al producto de esos números.

... /o suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados. (Esta propiedad puede genera- ¡•'zarse al espacio).

. . . toda ecuación de segundo grado, a;2 + 2 bx + c = 0, puede resolverse fácilmente transformándola en Xs = m donde X = x + b.

La demostración de estas propiedades puede ser un interesante ejercicio para alumnos secundarios.

7. En el Instituto Superior del Profe­sorado se han dictado desde mayo úl­timo, cursos para graduados sobre "In­troducción a la teoría de los conjuntos" y "Elementos de álgebra abstracta", a cargo de los profesores Srtas. C. Repetto y H. Rabufetti y Sres. R. P. Hernández y A. Rojo.

El primer jueves de cada mes, la reu­nión se dedica a considerar la marcha de la enseñanza de geometría en el pri­mer año de los cursos-piloto.

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sencilla, textos elementales y claros. La revista que... nos anuncian, creo que servirá para esos fines".

Como respuesta a nuestra circular del 19 de junio, anunciadora de la aparición de ELEMENTOS, hemos recibido muchas expresiones de aliento cordial que obli­gan a nuestro agradecimiento y compro­meten nuestro esfuerzo.

En esta sección de la Revista, donde mantendremos esa "comunicación fre­cuente " que reclamamos en el Editorial de este primer número, y en homenaje de nuestros amigos del interior, repro­ducimos hoy algunos párrafos de una simpática esquela que hemos recibido de la Dirección del Colegio La Salle, de Argüello: "Por Córdoba estamos en ayu­nas a ese respecto. Hemos asistido hace unos días a una conferencia donde nos delinearon algunos proyectos de refor­ma. .. Encontramos interesantes las no­vedades y pedimos aclaraciones... Lo principal para empezar es bibliografía

f

Colegio Nacional de Concordia: Remi­timos vuestra nota al Instituto Superior del Profesorado, con sede actual en Avda. de Mayo 1396, Capital Federal. En cuanto a la posibilidad de esos cur­sillos estimamos que por ahora es re­mota. Pretendemos suplir el vacío con ELEMENTOS.

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Escuela Nacional de Comercio de Co­rrientes: Esperamos más datos sobre los cursos de matemática moderna.

Madre Thelma Arroyabe y Prof. Néstor A. Gabasa: Agradecemos mucho vues­tras informaciones. PUBLEX

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Publex S. A. C. e I.DE LA MATEMATICA EGIPCIA

Representantes exclusivosLos antiguos egipcios no conocían las hoy comunes tablas de multiplicar.

Sólo sabían duplicar un número, y el conocimiento intuitivo de la. propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma les permitía calcular el producto de dos números sin tener que emplear la memoria. Por ejemplo, hallar el producto de 17 por 9 procedían, por duplicaciones, de la siguiente

1 2 4 8 16 9 18 36 72 144

La suma 144 + 9 = 153 de la segunda jila correspondiente a la 16 + 1 = 17 de la primera es el producto buscado.

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