MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BILANGANBULAT DAN BILANGAN RASIONAL

Sarta Meliana1∗, Mashadi2, Sri Gemawati2

1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika2 Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas RiauKampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

∗sarta meliana@yahoo.co.id

ABSTRACT

This article discusses the derivative of an integer and a rational number, and alsofind the solution for the differential equation of an integer and a rational numberfor some cases that use Leibniz rule and factorization in prime powers.

Keywords: Leibniz rule, prime number, factorization in prime powers.

ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang turunan bilangan bulat dan bilangan rasional sertamenentukan solusi persamaan differensial bilangan bulat dan bilangan rasional un-tuk kasus-kasus tertentu dengan menggunakan aturan Leibniz dan faktorisasi primadari bilangan bulat.

Kata kunci: aturan Leibniz, bilangan prima, faktorisasi prima.

1. PENDAHULUAN

Turunan dari bilangan bulat didefinisikan sebagai pemetaan dari setiap bilanganprima ke 1 dan memenuhi aturan Leibniz. Sifat dasar dari pemetaan inilah yangdikembangkan sehingga dapat digunakan pada kasus bilangan rasional dan sebarangbilangan real [8]. Persamaan differensial adalah setiap persamaan yang di dalam-nya terdapat turunan atau differensial, dan suatu fungsi dari variabel bebas yangmemenuhi persamaan diferensial itu disebut solusi dari persamaan differensial terse-but [3]. Solusi dari persamaan differensial bilangan juga dapat ditemukan, sebagaicontoh, dapat dicari solusi dari persamaan differensial n′ = 5 dengan n adalahbilangan bulat.

Artikel ini membahas tentang bagaimana menyatakan turunan bilangan bulatdan bilangan rasional serta menyelesaikan persamaan differensial bilangan bulat danbilangan rasional pada kasus tertentu. Artikel ini merupakan tinjauan sebagian dariartikel yang ditulis oleh Ufnarovski dan Ahlander yang berjudul How to Differentiatea Number [8].

Repository FMIPA 1

2. BILANGAN BULAT

Teori pendukung yang berkaitan dengan pembahasan mengenai turunan pada bi-langan bulat dan rasional serta persamaan differensialnya dibahas pada bagian ini.

2.1 Postulat Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat didefinisikan dengan Z := {0,±1,±2,±3, · · · }dan memenuhi postulat berikut ini [4, h. 49].

1. Himpunan bilangan bulat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian.

2. Penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat bersifat assosiatif dan komu-tatif.

3. Himpunan Z memuat elemen 0 yang merupakan identitas untuk penjumlahandan elemen 1 yang merupakan identitas untuk perkalian.

4. Hukum distributif a · (b+ c) = a · b+ a · c berlaku untuk setiap a, b, c ∈ Z.

2.2 Induksi Matematika

Prinsip induksi matematika merupakan salah satu metode yang dapat digunakan un-tuk pembuktian dalam bidang kalkulus maupun aljabar. Prinsip induksi matematikadiberikan dalam teorema berikut [6, h. 18].

Teorema 1 Misalkan P (n) dengan n ∈ Z merupakan pernyataan yang memenuhikondisi berikut.

1. P (n0) benar untuk suatu bilangan bulat n0.

2. Jika P (k) benar untuk sebarang bilangan bulat k ≥ n0, maka P (k + 1) jugabenar.

Selanjutnya, P (n) benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ n0.

Bukti. Lihat [6, h. 18]. �

2.3 Faktor Prima dan Faktor Persekutuan Terbesar

Definisi 2 [4, h. 59] Misalkan a dan b bilangan bulat. Bilangan bulat a dikatakanmembagi b jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.

Definisi 3 [4, h. 66] Bilangan bulat p merupakan bilangan bulat prima jika p > 1dan pembagi dari p hanyalah 1 dan p.

Repository FMIPA 2

Bilangan bulat positif yang lebih besar daripada 1 yang bukan prima disebutbilangan komposit. Setiap bilangan komposit yang dapat difaktorkan ke dalam bi-langan prima disebut faktorisasi prima [6, h. 175].

Teorema 4 Setiap bilangan bulat n ≥ 2 merupakan bilangan prima atau dapatdinyatakan sebagai perkalian dari bilangan prima, dan faktorisasi prima ini berben-tuk tunggal.

Bukti. Lihat [6, h. 174-175]. �

Berdasarkan Teorema 4, faktorisasi prima dapat dikembangkan untuk bilanganrasional karena bilangan rasional adalah bilangan yang berbentuk a

bdengan a, b ∈ Z

dan b ̸= 0. Himpunan dari bilangan rasional dinotasikan dengan Q [2, h. 25].Faktorisasi prima dapat dikembangkan untuk bilangan rasional dengan cara berikut.Pertama, faktorisasi prima dari bilangan bulat dituliskan sebagai pa11 pa22 · · · pakk danpb11 p

b22 · · · pbkk , dengan ai, bi ∈ Z+ ∪ {0} dan pi menotasikan bilangan prima ke-i.

Selanjutnya, pandang bilangan rasional r = absedemikian sehingga a = pa11 pa22 · · · pakk

dan b = pb11 pb22 · · · pbkk . Kemudian, faktorisasi prima dari bilangan rasional r = a

b

didefinisikan sebagai berikut:

r =a

b= pa1−b1

1 pa2−b22 · · · pak−bk

k = pc11 pc22 · · · pckk ,

dengan pi adalah bilangan prima ke-i dan ci ∈ Z.

Definisi 5 [4, h. 63] Bilangan bulat d adalah faktor persekutuan terbesar daria dan b jika kondisi berikut terpenuhi.

1. d merupakan bilangan bulat positif.

2. d | a dan d | b.

3. c | a dan c | b mengimplikasikan c | d.

3. MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BILANGANBULAT DAN BILANGAN RASIONAL

Rumus turunan dari sebuah perkalian dan pembagian dari dua fungsi pada kalkulusditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, yang disebut aturan Leibniz [7, h. 210].Aturan Leibniz yaitu jika dua buah fungsi f dan g dapat diturunkan, maka

(fg)′ = fg′ + f ′g, (1)

dan jika g ̸= 0, maka (f

g

)′

=gf ′ − fg′

g2. (2)

Repository FMIPA 3

Sifat aturan Leibniz pada persamaan (1) dan persamaan (2) inilah yang digunakandalam mendefinisikan fungsi turunan pada bilangan.

3.1. Turunan Bilangan Bulat Positif

Fungsi turunan bilangan dikemukakan pada saat kompetisi olimpiade matematikaPutnam Prize dan didefinisikan dalam Definisi 6 [5, h. 469].

Definisi 6 Misalkan n′ menyatakan fungsi turunan bilangan bulat positif n. Fungsin′ : Z+ ∪ {0} → Z+ ∪ {0} didefinisikan dengan aturan:

1′ = 0′ = 0,

p′ = 1 untuk setiap p bilangan prima,

(ab)′ = ab′ + a′b untuk setiap a dan b bilangan bulat positif (aturan Leibniz).

Contoh 7 15′ = (3 · 5)′ = 3′ · 5 + 3 · 5′ = 1 · 5 + 3 · 1 = 8.

Aturan Leibniz pada Definisi 6 dapat diperluas untuk k suku [1, h. 117], sepertiyang dinyatakan dalam lema berikut.

Lema 8 Misalkan m = u1u2 · · ·uk, dengan u1, u2, . . . , uk adalah bilangan bulat posi-tif dan m′ adalah fungsi turunan bilangan yang memenuhi Definisi 6, maka untuksetiap k bilangan bulat positif berlaku

(u1u2 · · ·uk)′

u1u2 · · ·uk

=(u1)

′

u1

+(u2)

′

u2

+ · · ·+ (uk)′

uk

. (3)

Bukti. Induksi matematika digunakan untuk menunjukkan bahwa persamaan (3)benar untuk setiap k bilangan bulat positif. Pertama-tama, persamaan (3) ditun-jukkan benar untuk k = 2. Berdasarkan aturan Leibniz pada Definisi 6, maka

(u1u2)′ = u′

1u2 + u1u′2, (4)

dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (4) dengan 1u1u2

diperoleh

(u1u2)′

u1u2

=u′1

u1

+u′2

u2

.

Selanjutnya, asumsikan persamaan (3) benar untuk k = j, yaitu

(u1u2 · · ·uj)′

u1u2 · · · uj

=(u1)

′

u1

+(u2)

′

u2

+ · · ·+ (uj)′

uj

.

Persamaan (3) akan ditunjukkan benar untuk k = j + 1. Misalkan b = u.uj+1,dengan u = u1u2 · · ·uj. Berdasarkan Definisi 6 diperoleh

(u · uj+1)′ = u′ · uj+1 + u · (uj+1)

′, (5)

Repository FMIPA 4

kalikan kedua ruas persamaan (5) dengan 1u.uj+1

sehingga diperoleh

(u1u2 · · ·ujuj+1)′

u1u2 · · · ujuj+1

=(u1)

′

u1

+(u2)

′

u2

+ · · ·+ (uj)′

uj

+(uj+1)

′

uj+1

.

Jadi, persamaan (3) benar untuk setiap k bilangan bulat positif. �

Rumus eksplisit untuk turunan bilangan diperoleh dengan menggunakanDefinisi 6 dan Lema 8, seperti dinyatakan dalam teorema berikut [8, h. 2].

Teorema 9 Jika n =∏k

i=1 pnii adalah faktorisasi dalam pangkat prima, maka

n′ = nk∑

i=1

ni

pi.

Bukti. Misalkan pα = pp · · · p, dengan p adalah bilangan prima. BerdasarkanDefinisi 6 dan Lema 8 diperoleh

(pα)′

pα=

α

p. (6)

Sekarang, misalkan n =∏k

i=1 pnii = pn1

1 pn22 · · · pnk

k , dengan pi adalah bilangan primadan ni bilangan bulat positif untuk 1 ≤ i ≤ k. Berdasarkan persamaan (3),

n′

n=

(pn11 )′

pn11

+(pn2

2 )′

pn22

+ · · ·+ (pnkk )′

pnkk

,

dengan menggunakan persamaan (6) diperoleh

n′ = nk∑

i=k

ni

pi.�

Contoh 10 (60)′ = (22.3.5)′ = 60(22+ 1

3+ 1

5

)= 92.

Aturan perkalian (ab)′ = a′b + ab′ untuk a dan b bilangan bulat positif padaturunan bilangan berlaku secara umum. Namun, kelinieran (a + b)′ = a′ + b′ padaturunan bilangan tidak terpenuhi secara umum. Untuk beberapa a, b ∈ Z+ diper-oleh bahwa (a + b)′ ̸= a′ + b′, sebagai contoh, (7 + 10)′ ̸= 7′ + 10′. Namun, adabeberapa a, b ∈ Z+ yang memenuhi (a + b)′ = a′ + b′. Secara umum dinyatakandalam teorema berikut [8, h. 2-3].

Teorema 11 Jika ada a dan b bilangan bulat positif yang memenuhi (a+b)′ = a′+b′,maka

(ka+ kb)′ = (ka)′ + (kb)′ untuk setiap k bilangan bulat positif.

Repository FMIPA 5

Hal yang sama terpenuhi untuk ketaksamaan:Jika (a+ b)′ ≥ a′ + b′ maka (ka+ kb)′ ≥ (ka)′ + (kb)′.Jika (a+ b)′ ≤ a′ + b′ maka (ka+ kb)′ ≤ (ka)′ + (kb)′.

Bukti. Definisi 6 dan postulat bilangan bulat digunakan untuk membuktikan Teo-rema 11.�

Akibat 12 Untuk k ∈ Z+, berlaku

(3k)′ = k′ + (2k)′ ; (2k)′ ≥ 2k′ ; (5k)′ ≤ (2k)′ + (3k)′ ; (5k)′ = (2k)′ + 3(k)′.

Bukti. Akibat 12 dibuktikan dengan menggunakan Teorema 11 dan fakta bahwa3′ = 1′ + 2′ ; 2′ = (1 + 1)′ ≥ 1′ + 1′ ; 5′ = (2 + 3)′ ≤ 2′ + 3′ ; 5′ = 2′ + 3.1′. �

Teorema 13 [8, h. 3] Jika n′ ≥ n maka (kn)′ > kn untuk setiap bilangan bu-lat positif k > 1.

Bukti. Misalkan k, n ∈ Z+ dan misalkan n′ ≥ n, dengan k > 1. BerdasarkanDefinisi 6,

(kn)′ = k′n+ kn′ > kn′ ≥ kn.�Teorema berikut ini menunjukkan bahwa untuk setiap n > 4 yang dapat dibagi

oleh 4 memenuhi kondisi n′ > n dan turunan bilangan ke-k akan menuju tak hinggabila k semakin besar menuju tak hingga, yaitu limk→∞ n(k) = ∞ [8, h. 4].

Teorema 14 Jika n = pp · m untuk suatu bilangan prima p dan bilangan bulatpositif m > 1, maka n′ = pp(m+m′) dan limk→∞ n(k) = ∞.

Bukti. Berdasarkan aturan Leibniz dan Teorema 9, maka

n′ = (pp ·m)′ = (pp)′m+ ppm′ = pp(m+m′) > n.

Selanjutnya, induksi matematika akan digunakan untuk menunjukkan bahwa n(k)

merupakan barisan naik yang tidak terbatas. �

Teorema 15 Misalkan pk adalah pangkat tertinggi dari bilangan prima p yangmembagi bilangan asli n. Jika 0 < k < p, maka pk−1 adalah pangkat tertinggi darip yang membagi n′. Khususnya, semua bilangan n, n′, n′′, . . . , n(k) berbeda.

Bukti. Berdasarkan Teorema 9,

n′ = (pkm)′ = (pk)′m+ pkm′ = p(k−1)km+ pkm′ = p(k−1)(km+ pm′).

Oleh karena (km + pm′) tidak habis dibagi oleh p, maka p(k−1) adalah pangkattertinggi dari p yang membagi n′. �

Repository FMIPA 6

Akibat 16 Bilangan bulat positif n bebas kuadrat jika dan hanyajika gcd(n, n′) = 1.

Bukti. =⇒ Misalkan n bebas kuadrat, yaitu n = p1p2 · · · pk, dengan p1, p2, . . . , pkmerupakan bilangan prima berbeda. Berdasarkan Teorema 9,

n′ = p2p3 · · · pk + p1p3 · · · pk + · · ·+ p1p2 · · · pk−1.

Oleh karena sebarang bilangan prima p1, p2, . . . , pk tidak habis membagi n′ makagcd(n, n′) = 1.⇐= Andaikan n tidak bebas kuadrat. Jika p2 | n, maka berdasarkan Teorema 15,p | n′, artinya gcd(n, n′) > 1. Jadi, n mestilah bebas kuadrat. �

3.2 Persamaan Differensial Bilangan Bulat Positif

Penyelesaian persamaan differensial dalam bilangan bulat positif telah dibahas se-belumnya oleh Ufnarovski dan Ahlander dalam [8] yang dipaparkan dalam Teorema(17), Teorema (18), Teorema (19), Teorema (20), Akibat (21), dan Teorema (22)sebagai berikut.

Teorema 17 Persamaan n′ = n terpenuhi jika dan hanya jika n = pp, denganp adalah sebarang bilangan prima. Khususnya, persamaan n′ = n mempunyai takhingga banyaknya solusi dalam bilangan bulat positif.

Bukti.=⇒ Misalkan n = pα11 pα2

2 · · · pαkk , dengan p1, p2, . . . , pk sebarang bilangan

prima berbeda dan α1, α2, . . . , αk ∈ Z+ dan misalkan n′ = n. Berdasarkan Teo-rema 9 dan oleh karena n′ = n, maka[

α1

p1+

α2

p2+ · · ·+ αk

pk

]= 1, (7)

kemudian dengan mengalikan persamaan (7) dengan p1p2 · · · pk−1 diperoleh

p2 · · · pk−1α1 + p1p3 · · · pk−1α2 + · · ·+ p1p2 · · · pk−1αk

pk= p1p2 · · · pk−1.

Dengan menggunakan postulat bilangan bulat diperoleh bahwa n yang memenuhipersamaan n′ = n adalah n = pα1

1 = pp11 atau n = pp.⇐= Misalkan p sebarang bilangan prima dan n = pp =

∏pi=1 p

nii , dengan

n1 = n2 = · · · = np = 1 dan p1 = p2 = · · · = pp = p. Berdasarkan Teorema 9,

n′ = np

p= n.

Dengan demikian, bila n = pp maka n′ = n.Oleh karena ada tak terhingga banyaknya bilangan prima, maka persamaan n′ = nmempunyai tak hingga banyaknya solusi dalam bilangan bulat positif. �

Repository FMIPA 7

Teorema 18 Persamaan differensial n′ = 0 hanya mempunyai satu solusi bi-langan bulat positif n = 1.

Bukti. Teorema 18 akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan n ̸= 1.Kasus 1. Misalkan n = p, dengan p sebarang bilangan prima. BerdasarkanDefinisi 6, diperoleh n′ = 1. Hal ini kontradiksi dengan n′ = 0. Jadi, n bukanbilangan prima.Kasus 2. Misalkan n =

∏ki=1 p

qii , dengan pi sebarang bilangan prima dan αi sebarang

bilangan bulat positif. Berdasarkan Teorema 9,

n′ = nk∑

i=1

ni

pi̸= 0.

Hal ini kontradiksi dengan n′ = 0. Jadi, n bukan faktorisasi dari bilangan prima.Dengan demikian, n yang memenuhi agar n′ = 0 adalah n = 1. �

Teorema 19 Persamaan differensial n′ = 1 dalam bilangan asli hanya mem-punyai solusi bilangan prima.

Bukti. Andaikan n bilangan komposit. Menurut aturan Leibniz dan Teorema9, turunan n′ dapat ditulis sebagai jumlah dari beberapa bilangan bulat positif,artinya, n′ > 1. Jadi, n tidak mungkin bilangan komposit. Dengan demikian,persamaan differensial n′ = 1 hanya mempunyai solusi dalam bilangan prima. �

Semua persamaan n′ = a lainnya, dengan a bilangan bulat positif, mempunyaisolusi terbatas, seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 20 Untuk sebarang bilangan bulat positif n,

n′ ≤ n log2 n

2.

Jika n bukan bilangan prima, maka

n′ ≥ 2√n.

Secara umum, jika n merupakan hasil kali dari k faktor yang lebih besar daripada1, maka

n′ ≥ knk−1k .

Bukti. Misalkan n =∏k

i=1 pnii , dengan pi sebarang bilangan prima dan ni sebarang

bilangan bulat positif. Oleh karena p ≥ 2 ≥ 0, maka pm ≥ 2m dengan m ∈ Z+.Dengan demikian,

n =k∏

i=1

pnii = pn1

1 pn22 · · · pnk

k ≥ 2n12n2 · · · 2nk = 2n1+n2+···+nk =k∏

i=1

2ni .

Repository FMIPA 8

Oleh karena n ≥ 2∑k

i=1 ni , maka log n ≥ log 2∑k

i=1 ni =∑k

i=1 ni log 2. Jadi,

k∑i=1

ni ≤log n

log 2= log2 n.

Berdasarkan Teorema 9 dan oleh karena

k∑i=1

ni

pi=

n1

p1+

n2

p2+ · · ·+ nk

pk≤ n1

2+

n2

2+ · · ·+ nk

2=

k∑i=1

ni

2,

maka diperoleh

n′ = n

k∑i=1

ni

pi≤ n

k∑i=1

ni

2≤ n log2 n

2.

Misalkan n = n1n2 · · ·nk. Berdasarkan Teorema 9 dan pertidaksamaan dari rata-rata Aritmatika-Geometri,

n′ = n

[1

n1

+1

n2

+ · · ·+ 1

nk

]≥ nk

[1

n1

1

n2

· · · 1

nk

] 1k

= nk

[1

n

] 1k

= knk−1k .�

Akibat 21 Jika persamaan differensial n′ = a mempunyai sebarang solusi dalambilangan asli, maka persamaan differensial n′ = a hanya mempunyai solusi terbatasjika a > 1.

Bukti. Misalkan persamaan differensial n′ = a mempunyai sebarang solusi dalambilangan asli, dengan a > 1. Berdasarkan Teorema 20, a ≥ 2

√n atau n ≤ a2

4.

Dengan demikian, n terbatas oleh a2

4. �

Teorema 22 Misalkan a = p + 2 dengan p bilangan prima, maka 2p adalah so-lusi untuk persamaan n′ = a.

Bukti. Misalkan a = p + 2 dengan p bilangan prima. Berdasarkan Definisi 6diperoleh

(2p)′ = 2′p+ 2p′ = 1 · p+ 2 · 1 = p+ 2.

Dengan demikian, terbukti bahwa 2p adalah solusi untuk n′ = a. �

3.3 Turunan Bilangan Bulat Negatif

Turunan untuk bilangan bulat negatif hampir sama dengan turunanuntuk bilangan bulat positif dengan menggunakan aturan (−a)′ = −a′ seperti yangdinyatakan dalam teorema berikut [8, h. 10].

Teorema 23 Turunan didefinisikan secara tunggal terhadap bilangan bulat denganaturan

(−a)′ = −a′.

Repository FMIPA 9

Bukti. Oleh karena (−1)2 = 1, maka diperoleh((−1)2

)′= (−1)′ (−1) + (−1)′(−1) = 2(−1)(−1)′ = 0.

Dengan demikian, (−1)′ = 0. Kemudian,

(−a)′ = ((−1) · a)′ = (−1)′a+ (−1)a′ = 0 · a+ (−1) · a′ = −a′.�

3.4 Turunan Bilangan Rasional

Sifat turunan pada bilangan rasional telah dibahas sebelumnya oleh Ufnarovski danAhlander dalam [8] yang diberikan dalam Teorema (24) dan Teorema (25) berikut.

Teorema 24 Misalkan terdapat a, b ∈ Z+ sedemikian sehingga ab∈ Q+. Maka,(a

b

)′=

a′b− ab′

b2.

Bukti. Misalkan a, b ∈ Z+. Kita nyatakan a′ sebagai(b · a

b

)′. Kemudian, berdasarkan

Definisi 6 diperoleh

a′ =(b.a

b

)′= b

(ab

)′+(ab

)b′(a

b

)′=

a′b− ab′

b2.�

Rumus eksplisit untuk bilangan rasional dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 25 Turunan dari bilangan rasional r dengan faktorisasi primanya adalahpc11 p

c22 · · · pckk diberikan oleh

r′ = r

k∑i=1

cipi.

Bukti. Misalkan a = pa11 pa22 · · · pakk dan b = pb11 pb22 · · · pbkk , dengan pi untuk 1 ≤ i ≤ k

menotasikan sebarang bilangan prima, dan ai, bi ∈ Z+ ∪ {0}. Misalkan r = ab∈ Q+.

Dengan demikian,

r =a

b= pa1−b1

1 pa2−b22 · · · pak−bk

k = pc11 pc22 · · · pckk ,

dengan ci = ai − bi ∈ Z. Berdasarkan Teorema 9 dan Teorema 18 diperoleh

r′ =a

b

(k∑

i=1

ai − bipi

)= r

k∑i=1

cipi.�

Turunan untuk bilangan rasional negatif dapat diproses dengan menggunakan Teo-rema 24 dan Teorema 25 dan menggunakan aturan (−r)′ = −r′.

Repository FMIPA 10

3.5 Solusi Rasional dari Persamaan r′ = 0

Teorema 26 [8, h. 12] Persamaan differensial r′ = 0 jika dan hanya jikar = pa1p11 pa2p22 · · · pakpkk dengan r ∈ Q dan ai ∈ Z, sedemikian sehingga

∑ki=1 ai = 0.

Bukti =⇒ Misalkan r =∏k

i=1 pαii ∈ Q dan r′ = 0. Berdasarkan Teorema 25

dan oleh karena r′ = 0, makak∑

i=1

αi

pi= 0,

dengan demikian

k∑i=1

αi

pi=

α1

p1+

α2

p2+ · · ·+ αk

pk= 0

k∑i=1

αi

∏kj=1 pj

pi= 0.

Oleh karena∏k

j=1 pj

pitidak dapat dibagi dengan pi maka αi dapat dibagi dengan pi.

Misalkan αi

pi= ai ∈ Z. Dengan demikian, r =

∏ki=1 p

aipii adalah solusi dari r′ = 0.

⇐= Misalkan r =∏k

i=1 paipii ∈ Q. Berdasarkan Teorema 25

r′ =k∏

i=1

paipii

k∑i=1

aipipi

=k∏

i=1

paipii

k∑i=1

ai.

Oleh karena∑k

i=1 ai = 0 maka r′ = 0. �

4. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dikemukakan, maka dapat diambil kesim-pulan bahwa aturan Leibniz yang dikenal di dalam Kalkulus berlaku pada turunanbilangan. Aturan Leibniz inilah yang dikembangkan sehingga memperoleh rumuseksplisit untuk turunan bilangan bulat positif. Turunan bilangan dapat dikem-bangkan untuk bilangan bulat negatif dengan menggunakan aturan (−a)′ = −a′

dengan a sebarang bilangan bulat positif. Turunan bilangan dapat dikembangkanlagi untuk sebarang bilangan rasional setelah mengetahui formula dari turunan bi-langan bulat.

Solusi persamaan differensial bilangan bulat dapat diketahui dengan pasti hanyauntuk beberapa kasus khusus, seperti pada persamaan differensial n′ = n, n′ = 1,n′ = 0, dan n′ = p + 2. Sementara, solusi persamaan differensial untuk bilanganrasional dapat ditemukan hanya untuk kasus persamaan r′ = 0 dengan r sebarangbilangan rasional.

Repository FMIPA 11

DAFTAR PUSTAKA

[1] Barbeau, E. J. 1961. Remarks on an Arithmetic Derivative. Canadian Mathe-matical Bulletin. 4:117-122.

[2] Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. 2011. Introduction to Real Analysis, fourthedition. John Wiley & Sons, Inc., New York.

[3] Degeng, I. W. 2007. Kalkulus Lanjut: Persamaan Differensial dan Aplikasinya.Graha Ilmu, Yogyakarta.

[4] Gilbert, J. & L. Gilbert. 1992. Elements of Modern Algebra, third edition. PWS-KENT Publishing Company, Boston.

[5] Gleason, A. M., R. E. Greenwood, & L. M. Kelly. 1980. The William LowelPutnam Mathematical Competition: Problem and Solution 1938-1964. Mathe-matical Association of America, Washington DC.

[6] Koshy, T. 2007. Elementary Number Theory with Application, second edition.Elsevier Academic Press, United States of America.

[7] Stewart, J. 2009. Kalkulus Edisi Kelima: Buku 1. Terj. dari Calculus, fifthedition, oleh Sungkono, C. Penerbit Salemba Teknika, Jakarta.

[8] Ufnarovski, V. & B. Ahlander. 2003. How to Differentiate a Number. Journalof Integer Sequences. 6:1-13.

Repository FMIPA 12