DUMITRU BUNEAG

DANA PICIU

LECII de ALGEBR

Editura UNIVERSITARIA CRAIOVA 20021

2

Refereni tiinifici: Prof.univ.dr.Constantin Nstsescu,Universitatea Bucuresti Membru corespondent al Academiei Romne Prof.univ.dr. Constantin Ni,Universitatea Bucureti 2002 EUC CRAIOVA All rights reserved. No part of this publication may be reproduce, stored in a retrieval system, or transmitted, in any forms or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or other wise, without the prior written permission of the publisher.

Tehnoredactare computerizat : Dana Piciu, Livia Popescu Copert: Ctlin Buneag

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale Dumitru Buneag (coordonator),

Lecii de Algebra527 p.; 21 cm. Craiova Editura Universitaria 2002 Bibliogr. 512.54,55,56,58,553,516.62,64

ISBN 973 8043 109 8

Bun de tipar: 20.02.2002 Tipografia Universitii din Craiova, Strada, Al. Cuza, nr.13 Craiova, Romnia

Published in Romania by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 3

ISBN: 973 8043 109 8

4

CUPRINSpag. CAPITOLUL 1: NOIUNI PRELIMINARII . . . . . . . . . .

....1 1. Mulimi. Operaii cu mulimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Relaii binare pe o mulime. Relaii de echivalen . . . . . . . . . . 7 4. Nucleul i conucleul unei perechi de funcii. . . . . . . . . . . . . 32 5. Mulimi ordonate. Semilatici. Latici.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6. Latici.distributive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7. Complement i pseudocomplement ntr-o latice. Algebre Boole. Algebre Boole generalizate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8. Produsul direct (suma direct) a unei familii de mulimi . . . . . 56 9. Numere cardinale. Operaii cu numere cardinale. Ordonarea numerelor cardinale.. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 60 10. Mulimi numrabile. Mulimi finite i mulimi infinite. . . . . . 66 CAPITOLUL 2: GRUPURI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Relaii funcionale. Noiunea de funcie. Clase de funcii . . . . . 14

. . . .71 1. Operaii algebrice. Monoizi. Morfisme de monoizi. Produse directe finite de monoizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2. Grup. Calcule ntr-un grup. Subgrup. Subgrup generat de o mulime. Grup ciclic. Ordinul unui element ntr-un grup. . . . . . . . .835

3. Centralizatorul unui element ntr-un grup. Centrul unui grup. Teorema lui Lagrange. Indicele unui subgrup ntr-un grup. Ecuaia claselor. . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................86

4. Subgrupuri normale. Factorizarea unui grup printr-un subgrup normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

5. Morfisme de grupuri. Compunerea morfismelor de grupuri. Monomorfisme, epimorfisme, izomorfisme de grupuri. Nucleul i conucleul unei perechi de morfisme de grupuri. . . . . . . . . . . . . . .946. Teorema lui Malev. Grupul (, +). Subgrupurile lui (, +). Clasele de resturi modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7. Teoremele de izomorfism pentru grupuri. . . . . . . . . . . . . . . 108 8.Produse finite de grupuri. Teorema chinezeasc a resturilor. Numrul tipurilor de grupuri abeliene finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9. Teorema lui Cauchy pentru grupuri finite. Grupul diedral D n de grad n. Structura grupurilor finite cu 2p elemente (p prim , p3) . . . . 118 10.Grupuri de permutri. Teorema lui Cayley. Grupurile S n i An. .122 11. Teoremele lui Sylow. Aplicaii: caracterizarea grupurilor cu pq elemente ( p i q numere prime distincte ) i 12 elemente. . . . . . . 132 CAPITOLUL 3: INELE I CORPURI. . . . . . . . . . . . . . . . 139 1. Inel. Exemple. Reguli de calcul ntr-un inel. Divizori ai lui zero. Domenii de integritate. Caracteristica unui inel. . . . . . . . . . . . . 139 2. Subinele i ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 3. Morfisme de inele. Izomorfisme de inele. Transportul subinelelor i idealelor prin morfisme de inele. Produse directe de inele. . . . . . . 1526

4. Factorizarea unui inel printr-un ideal bilateral. Teoremele de izomorfism pentru inele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5. Corp. Subcorp. Subcorp prim . Morfisme de corpuri. Caracteristica unui corp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7. Construcia corpului al numerelor reale . . . . . . . . . . . . . .169 8. Construcia corpului al numerelor complexe . . . . . . . . . . .186 10. Ideale prime . Ideale maximale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9. Construcia corpului H al cuternionilor. . . . . . . . . . . . . . . 189 6. Inele de fracii. Construcia corpului al numerelor raionale. .165

11. Divizibilitatea n inele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 CAPITOLUL 4: INELE DE POLINOAME. . . . . . . . . . . . . 206

1. Inelul polinoamelor ntr-o nedeterminat . . . . . . . . . . . . . . .206 3. Polinoame simetrice. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 4. Rdcini ale polinoamelor cu coeficieni ntr-un corp. Teorema fundamental a algebrei. Polinoame ireductibile. Rezolvarea ecuaiilor algebrice de grad 3 i 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 CAPITOLUL 5: ELEMENTE DE TEORIA CATEGORIILOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 1. Definiia unei categorii. Exemple. Subcategorie. Duala unei categorii. Produs de categorii. Principiul dualizrii . . . . . . . . . . .240 2.Morfisme i obiecte remarcabile ntr-o categorie. Nucleul i conucleul unui cuplu de morfisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 3. Functori. Exemple. Functori remarcabili. Morfisme functoriale. Categorii echivalente. Duala lui Ens.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4. Functori reprezentabili . Functori adjunci. . . . . . . . . . . . . .264 5. Reflefunctori .Subcategorii reflexive. . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2. Inelul polinoamelor n mai multe nedeterminate . . . . . . . . . 213

7.Limita inductiv (proiectiv) a unui sistem inductiv (proiectiv). .2877

6. Produse i sume directe ale unei familii de obiecte . . . . . . . . 279

8. Sume i produse fibrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 9. Obiecte injective (proiective). Anvelope injective (proiective)..297 10. Categorii abeliene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 CAPITOLUL 6: MODULE I SPAII VECTORIALE. . . . . . 314 1. Modul. Submodul. Calcule ntr-un modul. Operaii cu submodule. Submodul generat de o mulime. Laticea submodulelor unui modul. Sistem de generatori. Elemente liniar independente (dependente). Module libere. Spaii vectoriale. Submodul maximal. Modul simplu. Factorizarea unui modul printr-un submodul. Modul factor. . . . . . 314 2. Morfisme de module. Endomorfisme. Operaii cu morfisme de module. Imaginea, nucleul, coimaginea i conucleul unui morfism de module. Categoriile Mods(A) i Modd(A). Monomorfisme, epimorfisme, izomorfisme de module. Nucleul i conucleul unei perechi de morfisme. Teorema fundamental de izomorfism pentru module. Consecine. iruri exacte de A-module. Functorii hM i hM de la Mods(A) la Ab. Bimodule. Dualul i bidualul unui modul. . . . . . .327 3. Produse i sume directe n Mods(A). Sume directe de submodule. Produse i sume directe de morfisme de A-module. Sume i produse fibrate n Mods(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 4. Limite inductive i proiective n Mods(A). Limite inductive i proiective de morfisme de A-module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 5. Submodule eseniale i superflue. Submodule complement. Submodule nchise. Module injective. Grupuri divizibile. Anvelope injective. Module proiective. Anvelope proiective. Generatori, cogeneratori pentru Mods(A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 6. Produs tensorial de module. Produs tensorial de morfisme. Functorii SM i TN; transportul irurilor exacte scurte prin aceti functori. Comutativitatea produsului tensorial. Permutarea produsului tensorial cu sumele directe. Produs tensorial de module libere. Asociativitatea produsului tensorial. Proprietatea de adjuncie. Module plate. . . . . 396 7. Module libere de rang finit. Matricea de trecere de la o baz la alta. Formula de schimbare a coordonatelor unui element la schimbarea8

bazelor. Lema substituiei. Matricea ataat unei aplicaii liniare ntre module libere de rang finit; formula de schimbare a acesteia la schimbarea bazelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 CAPITOLUL 7: DETERMINANI. SISTEME DE ECUAII LINIARE.

.......................

. . . . . . . . . .4261. Definiia unui determinant de ordin n. Proprietile determinanilor. Dezvoltarea unui determinant dup elementele unei linii. Regula lui Laplace. Formula Binet-Cauchy. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 426

2. Matrice inversabil. Inversa unei matrice. Rangul unui sistem de vectori. Rangul unei matrice. Rangul unei aplicaii liniare ntre spaii vectoriale de dimensiuni finite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sisteme de ecuaii liniare cu coeficieni ntr-un corp comutativ. Sisteme omogene. Vectori i valori proprii ai unui operator liniar. Teorema Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455 CAPITOLUL 8: ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIAR..470 1. Punerea unei probleme de programare liniar. Soluii posibile. Soluii de baz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 2. Tabelul simplex asociat unei soluii de baz. Algoritmul simplex. Regula lexicografic de evitare a ciclajului. . . . . . . . . . . . . . . . . .473 3. Metode de determinare a soluiilor de baz. Metoda matriceal. Metoda celor dou faze. Exemple de aplicare a algoritmului simplex. Exemple de probleme de programare liniar. Exemplu de evitare a ciclajului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4799 . . 445

CAPITOLUL 9: FORME BILINIARE I PTRATICE . . . . . .495

1.Forme biliniare. Definiii. Exemple. Matricea ataat unei forme biliniare. Rangul unei forme biliniare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

2. Forme ptratice.Polara unei forme ptratice.Matricea ataat unei forme ptratice.Forma canonic a unei forme ptratice ;metodele GaussLagrange i Jacobi .Legea ineriei a lui Sylvester . . . . .. . . . . . . . 497

BIBLIOGRAFIE . . . . . . . . . . . . .507

.....................

INDEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

10

CONTENTSpag Chapter1: PRELIMINARIES.

.................

. . . .15

1. Sets. Operations on sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Binary operations on a set. Equivalence relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Functional relations. Notion of function. Classes of functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer) for a couple of functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5. Ordered sets. Semilattices. Lattices. . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6. Distributive lattices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7. Complement and pseudocomplement in a lattice. Boolean algebras. Generalized Boolean algebras. . . . . . . . . . . . . 64 8. Direct products (coproducts) for a family of sets. . . . . . . . . .71 9. Cardinal numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.Countable sets. Finite and infinite sets. . . . . . . . . . . . . . . .81 Chapter 2: GROUPS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1. Algebraic operations. Monoids. Morphisms of monoids. Direct product of monoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 2. Group. Calculus in a group. Subgroup. Subgroup generated by a set. Cyclic groups. The Order of an element. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 3. The centralizer of an element in a group. The center of a group. The theorem of Lagrange. The index of a subgroup in a group. The class equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Normal subgroups.11

Factorization of a group by a normal subgroup . . . . . . . . . . . . .105 5. Morphisms of groups. Composition of morphisms. Monomorphisms, epimorphisms, isomorphisms of groups. The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer) for a couple of morphisms. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 6. The theorem of Mal`cev. The group of integers (,+). The subgroups of (,+). Complete set of residues modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7. The isomorphism theorems for groups . . . . . . . . . . . . . . 123 8. Finite direct products of groups. The Chinese remainder theorem. The number of abelian finite groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9. The Cauchy theorem for finite groups. The Dihedral group D n of degree n. The structure for finite groups of 2p order (p prime, p 3) . . . . . 133 10. The groups of permutations. The theorem of Cayley. The groups S n and A n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 11. The Sylow theorems. Applications: the groups of pq order (p,q primers, p q) and of order 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Chapter 3: RINGS AND FIELDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 1. Rings. Examples. Calculus in a ring. Zero divisors. Integral domains. The characteristic of a ring. . . . 154 2. Subrings and ideals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 3. Morphisms of rings. Isomorphisms of rings. The transport of subrings and ideals by a morphism of rings. Direct products of rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 4. The factorization of a ring by a bilateral ideal. The isomorphism theorems for rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5. Field Subfield. Prime Subfield. Morphisms of fields. The characteristic of a field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6. Rings of fractions. Construction of the rationals field . . . . 17912

7. Construction of the reals field . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8. Construction of the complex numbers field . . . . . . . . . . .200 9. Construction of the quaternions field H. . . . . . . . . . . . . . 203 10.Prime and maximal ideals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.Divisibility in rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Chapter 4: POLYNOMIAL RINGS. . . . . . . . . . . . . . . 220 1. Polynominals ring in one indeterminate. . . . . . . . . . . . . . . 220 2. Polynominals ring in several indeterminates. . . . . . . . . . . . 227 3. Symetrical polynominals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232 4. Roots of polynominals with coefficients in a field. The fundamental theorem of algebra. Irreducible polynominals. .240 Chapter 5: ELEMENTS OF CATEGORIES THEORY. . . . . . 253 1. Category. Exampels. Subcategory. Dual category. Duality principle. Product of categories. . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 2. Special morphisms and objects in a category. The kernel (equalizer) and cokernel (coequalizer) for a couple of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 3. Functors. Examples. Remarkable functors. Morphism functors. Equivalence of Categories. The dual category of Ens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26613

The solving of the algebraic equations of a 3 and 4 degree. . . . . .

4. Representable functors. Adjoint functors. . . . . . . . . . . . . . .277 5. Reflectors. Reflective subcategories. . . . . . . . . . . . . . . . . .290 6. Products and coproducts of a fammily of objects. . . . . . . . . .292 7. Limits and colimits for a partially ordered system. . . . . . . . . 300 8. Fibred sum (poshout) and fibred product (pullback) of two objects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 9. Injective (projective) objects. Injective (projective) envelopes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 10.Abelian Categories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

14

CAPITOLUL 1: NOIUNI PRELIMINARII1 Mulimi. Operaii cu mulimin cadrul acestei lucrri vom privi mulimile n sensul n care ele au fost privite de ctre GEORG CANTOR - primul matematician care a iniiat studiul lor sistematic (punct de vedere cunoscut n matematic sub numele de teoria naiv a mulimilor). Despre paradoxurile ce le implic acest punct de vedere i felul n care ele pot fi eliminate, rugm cititorul s consulte lucrrile [16] i [30]. Definiia 1.1. Dac A i B sunt dou mulimi, vom spune c A este inclus n B (sau c A este submulime a lui B) dac elementele lui A sunt i elemente ale lui B; n acest caz vom scrie AB iar n caz contrar AB. Avem deci : AB pentru orice xA xB AB exist xA a.. xB. Vom spune despre mulimile A i B c sunt egale dac oricare ar fi x, xA xB. Deci, A=BAB i BA. Vom spune c A este inclus strict n B i vom scrie AB dac AB i AB. Se accept existena unei mulimi ce nu conine nici un element c pentru orice mulime A, A (deoarece n caz contrar ar trebui s existe x a.. xA absurd.!). O mulime diferit de mulimea vid se zice nevid. Pentru o mulime T, vom nota prin P(T) mulimea submulimilor sale (evident , TP(T) ). Urmtorul rezultat este imediat :15

care se noteaz prin i poart numele de mulimea vid. Se observ

Dac T este o mulime oarecare iar A, B, CP(T), atunci : (i) AA (ii) Dac AB i BA, atunci A=B (iii) Dac AB i BC, atunci AC. n cadrul acestei lucrri vom utiliza deseori noiunea de familie de elemente a unei mulimi indexat de o mulime nevid de indici I (prin aceasta nelegnd o funcie definit pe mulimea I cu valori n mulimea respectiv). Astfel, vom scrie de exemplu (xi)iI pentru a desemna o familie de elemente ale unei mulimi sau (Ai) iI pentru a desemna o familie de mulimi indexat de mulimea I. Pentru o mulime T i A, BP(T) definim : AB={xT | xA i xB} AB={xT | xA sau xB} A\B={xT | xA i xB} AB=(A\B)(B\A). Dac AB=, mulimile A i B se zic disjuncte. Operaiile , , \ i poart numele de intersecie, reuniune, diferen i diferen simetric. n particular, T\A se noteaz prin T (A) (sau (A) dac nu este pericol de confuzie) i poart numele de complementara lui A n T. n mod evident, pentru A, BP(T) avem: A\B=AT (B) AB=(AB)\(AB)=(AT (B))(T (A)B) T ()=T, T(T)= AT (A)=T, AT (A)= iar T (T (A))=A. xAB xA sau xB

De asemenea, pentru xT avem: xAB xA i xB16

xA\B xA sau xB

xAB (xA i xB) sau (xA i xB) xT (A) xA. Din cele de mai nainte deducem imediat c dac A, BP(T), atunci: T (AB)=T(A)T (B) i T (AB)=T (A)T (B). Aceste ultime dou egaliti sunt cunoscute sub numele de relaiile lui De Morgan. Pentru o familie nevid (Ai )iI de submulimi ale lui T definim: I Ai ={xT | xAi pentru orice iI} iiI iI

U Ai ={xT | exist iI

a.. xAi }.

Astfel, relaiile lui De Morgan sunt adevrate ntr-un context mai general: atunci: Dac (Ai)iI

este o familie de submulimi ale mulimii T,

CT I Ai = U CT ( Ai ) i CT U Ai = I CT ( Ai ) . iI iI iI iIUrmtorul rezultat este imediat: Propoziia 1.2. Dac T o mulime iar A, B, CP(T), atunci: (i) A(BC)=(AB)C i A(BC)=(AB)C (ii) AB=BA i AB=BA (iii) AT=A i A=A (iv) AA=A i AA=A. Observaia 1.3. 1. Din (i) deducem c operaiile i sunt asociative, din (ii) deducem c ambele sunt comutative, din (iii) deducem c T i sunt elementele neutre pentru i respectiv pentru , iar din (iv) deducem c i sunt operaii idempotente pe P(T). 2. Prin dubl incluziune se probeaz imdiat c pentru oricare A,

B, CP(T) avem:17

A(BC)=(AB)(AC)

i

A(BC)=(AB)(AC) , adic operaiile de intersecie i reuniune sunt distributive una fa de cealalt. Propoziia 1.4. Dac A, B, CP(T), atunci: (i) A(BC)=(AB)C (ii) AB=BA (iii) A=A iar A A= (iv) A(BC)=(AB)(AC). Demonstraie. (i). Prin dubl incluziune se arat imediat c: A(BC)=(AB)C=[AT(B)T(C)][T(A)BT(C)] [T(A)T(B)C](ABC). (ii), (iii) sunt evidente. (iv). Se probeaz fie prin dubl incluziune, fie innd cont de distributivitatea interseciei fa de reuniune. Definiia 1.5. Fiind date dou obiecte x i y se numete pereche ordonat a obiectelor x i y mulimea notat (x, y) i definit astfel: (x, y)={ {x}, {x, y} }. Se verific acum imediat c dac x i y sunt dou obiecte a.. xy, atunci (x, y)(y, x) iar dac (x, y) i (u, v) sunt dou perechi =(y, x) x=y. ordonate, atunci (x, y)=(u, v) x=u i y=v ; n particular, (x, y)=

Definiia 1.6. Dac A i B sunt dou mulimi, mulimea notat AB={ (a, b) | aA i bB } se va numi produsul cartezian al mulimilor A i B. n mod evident: AB A i B18

AA i BB ABAB. Dac A, B, C sunt trei mulimi vom defini produsul lor cartezian prin egalitatea : ABC=(AB)C. Elementul ((a, b), c) din ABC l vom nota mai simplu prin (a, b, c). Mai general, dac A1, A2, ..., An (n3) sunt mulimi punem A1 A2 ...An =(( ...((A1A2)A3) ...)An) . Dac A este o mulime finit, vom nota prin |A| numrul de elemente ale lui A. n mod evident, dac A i B sunt submulimi finite ale unei mulimi M atunci i AB este submulime finit a lui M iar |AB|=|A|+|B|-|AB|. Vom prezenta n continuare un rezultat mai general cunoscut sub numele de principiul includerii i excluderii: Propoziia 1.7. Fie M o mulime finit iar M1, M2, ..., Mn submulimi ale lui M. Atunci :

AB=BA A=B

AB= A= sau B=

UMii =1

n

=

1 i n

Mi

-

1 i < j n

Mi M j

+

1 i < j < k n

Mi M j Mk

-

.

- .... + (- 1)n -1 M 1 ... M n

Demonstraie. Facem inducie matematic dup n. Pentru n=1 egalitatea din enun se reduce la |M1|=|M1|, ceea ce este evident. Pentru n=2 trebuie demonstrat egalitatea : care de asemenea este adevrat, deoarece elementele din M1M2 apar att la M1 ct i la M2. Presupunem egalitatea din enun adevrat pentru oricare m submulimi ale lui M cu m