Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Produsul scalar: de�nitie, proprietatiSchimbari de repere ortonormate in plan

Aplicatii

Lectia III

Produsul scalar a doi vectori liberi

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Lectia III


Aplicatii

Table of Contents

1 Produsul scalar: de�nitie, proprietati

2 Schimbari de repere ortonormate in plan

3 Aplicatii



Aplicatii

De�nitia produsului scalar

De�nition

Fie vectorii liberi nenuli u, v ∈ V. Produsul scalar al celor doi

vectori se noteaza cu < u, v > (sau (u, v), u · v) si se de�neste prin

< u, v >= |u||v | cosα,

unde α este masura unghiului celor doi vectori, α ∈ [0, π]. Dacaunul dintre vectori este 0, produsul lor scalar este prin de�nitie 0.

Observatie: numele acestui produs de vectori vine din faptul ca

rezultatul este un scalar real.



Aplicatii


De�nition

Fie vectorii liberi nenuli u, v ∈ V. Produsul scalar al celor doi

vectori se noteaza cu < u, v > (sau (u, v), u · v) si se de�neste prin

< u, v >= |u||v | cosα,

unde α este masura unghiului celor doi vectori, α ∈ [0, π]. Dacaunul dintre vectori este 0, produsul lor scalar este prin de�nitie 0.

Observatie: numele acestui produs de vectori vine din faptul ca

rezultatul este un scalar real.



Observatie: unghiul dintre cei doi vectori este unghiul dintre

directiile lor, si nu depinde de punctul in care se aplica vectorii.

Interpretare geometrica

O interpretare geometrica importanta a produsului scalar este

data de proiectia ortogonala a unui vector pe o directie data.

Fie d o dreapta cu directia data de u si v =−→AB. Fie A′ si B ′

intersectiile dintre dreapta d si planele prin A, respectiv B,perpendiculare pe d .

Interpretare geometrica

O interpretare geometrica importanta a produsului scalar este

data de proiectia ortogonala a unui vector pe o directie data.

Fie d o dreapta cu directia data de u si v =−→AB. Fie A′ si B ′

intersectiile dintre dreapta d si planele prin A, respectiv B,perpendiculare pe d .

Proiectia ortogonala

Vectorul−−→A′B ′ = w se numeste proiectia ortogonala a lui v pe

d si se noteaza cu prdv sau pruv .


Observatie: in cazul geometriei plane, cele doua plane ortogonale

pe d sunt inlocuite de drepte ortogonale pe d , prin A, respectiv B .

Marimea algebrica a vectorului pruv se noteaza cu mpruv si se

numeste masura proiectiei.

Mai exact, daca u0 este versorul lui u, adica u0 = u

|u| , atuncipruv = λu, λ ∈ R. Notam λ = mpruv .

Se observa usor pe �gura anterioara ca

mpruv = |v | cosα,

unde α ∈ [0, π] este masura unghiului dintre v si u.









mpruv = |v | cosα,










mpruv = |v | cosα,



Urmarind �gura deduceti ca

pru(v + v ′) = pruv + pruv′, mpru(v + v ′) = mpruv + mpruv

′.

Interpretarea geometrica a produsului scalar este

< u, v >= |u|mpruv = |v |mpr vu.

Proprietatile produsului scalar

Theorem

Produsul scalar a doi vectori liberi are urmatoarele proprietati:

a) < u, v >=< v , u > (simetria);

b) < u, v + w >=< u, v > + < u,w >(aditivitatea);

c) < λu, v >= λ < u, v >(omogenitatea);

d) < u, u >> 0, < u, u >= 0⇔ u = 0 (pozitiva de�nire);

e) < u, v >= 0⇔ u ⊥ v ,∀u, v ∈ V si ∀λ ∈ R.Deci produsul scalar este o aplicatie <,>: V × V → R biliniara,

simetrica, avand forma patratica asociata pozitiv de�nita.

Observatie: doi vectori sunt perpendiculari daca au directiile

perpendiculare.

Baze ortonormate

Daca {O; i , j , k} este un reper ortonormat, si vectorii u, v au

urmatoarele coordonate:

u = x1i + x2j + x3k ,

v = y1i + y2j + y3k ,

atunci produsul lor scalar se calculeaza astfel:

< u, v >= x1y1 + x2y2 + x3y3.

De�nition

Norma vectorului liber u este

‖ u ‖=√< u, u >.

Observatie: se veri�ca imediat ca ‖ u ‖= |u|, ∀u ∈ V.

Baze ortonormate



u = x1i + x2j + x3k ,

v = y1i + y2j + y3k ,


< u, v >= x1y1 + x2y2 + x3y3.

De�nition


‖ u ‖=√< u, u >.


Baze ortonormate



u = x1i + x2j + x3k ,

v = y1i + y2j + y3k ,


< u, v >= x1y1 + x2y2 + x3y3.

De�nition


‖ u ‖=√< u, u >.


Baze ortonormate

Daca u = x1i + x2j + x3k , atunci norma sa se calculeaza prin

‖ u ‖=√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2,

iar unghiul dintre vectorii liberi u = x1i + x2j + x3k si

v = y1i + y2j + y3k prin

cosα =x1y1 + x2y2 + x3y3√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2√

(y1)2 + (y2)2 + (y3)2.

Proprietatile normei

Theorem

Norma unui vector liber este o aplicatie ‖ · ‖: V → [0,∞), cuproprietatile:

1) ‖ v ‖= 0⇔ v = 0;2) ‖ λv ‖= |λ| ‖ v ‖, ∀v ∈ V, ∀λ ∈ R;3) | < u, v > | ≤‖ u ‖‖ v ‖, ∀u, v ∈ V. Egalitatea are loc daca si

numai daca vectorii sunt coliniari (inegalitatea lui Cauchy);

4) ‖ u + v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖, ∀u, v ∈ V. Egalitatea are loc daca si

numai daca vectorii sunt coliniari si de acelasi sens (inegalitatea

triunghiulara).

Cosinusi directori

Theorem

Fie {i , j , k} o baza ortonormata in V si u un vector liber unitar:

‖ u ‖= 1. Daca v face unghiurile α, β, γ respectiv cu vectorii

i , j , k , atunci

u = (cosα)i + (cosβ)j + (cos γ)k .

De�nition

Numerele reale cosα, cosβ, cos γ se numesc cosinii directori ai

directiei vectorului u si satisfac relatia:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

.

Cosinusi directori

Theorem

Fie {i , j , k} o baza ortonormata in V si u un vector liber unitar:

‖ u ‖= 1. Daca v face unghiurile α, β, γ respectiv cu vectorii

i , j , k , atunci

u = (cosα)i + (cosβ)j + (cos γ)k .

De�nition

Numerele reale cosα, cosβ, cos γ se numesc cosinii directori ai

directiei vectorului u si satisfac relatia:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

.


Aplicatii

Schimbari de repere ortonormate in plan

Sa presupunem ca R = {O; i , j} si R′ = {O ′; u, v} sunt douarepere ortonormate intr-un plan π. Deci {i , j} si {u, v} sunt douabaze ortonormate in −→π . Presupunem ca unghiul dintre i si u este α.



Atunci

u = (cosα)i + (sinα)j ,

v = −(sinα)i + (cosα)j , sau v = (sinα)i − (cosα)j ,

iar formula corespunzatoare a transformarii de coordonate este:

x ′= x cosα + y sinα + a, (1)

y ′= −x sinα + y cosα + b,

sau


y ′= x sinα− y cosα + b,

unde am notat cu (x , y) coordonatele in raport cu R, (x ′, y ′)coordonatele in raport cu R′ si am presupus ca O ′ are in raport cu

R coordonatele (a, b).


Atunci

u = (cosα)i + (sinα)j ,

v = −(sinα)i + (cosα)j , sau v = (sinα)i − (cosα)j ,

iar formula corespunzatoare a transformarii de coordonate este:


y ′= −x sinα + y cosα + b,

sau


y ′= x sinα− y cosα + b,

unde am notat cu (x , y) coordonatele in raport cu R, (x ′, y ′)coordonatele in raport cu R′ si am presupus ca O ′ are in raport cu

R coordonatele (a, b).


Aplicatii

Orientarea planului

Pentru a decide care din ecuatiile (1), (2) este cea corecta, trebuie

sa stim cum sunt orientate bazele celor doua repere.

In plan, pentru determinarea sensului unui unghi, suntem obisnuiti

sa folosim sensul acelor ceasornicului si cel trigonometric (invers

acelor de ceas), care sunt, prin conventie, sensul negativ, respectiv

cel pozitiv.

Existenta unghiurilor pozitive si negative determina orientabilitatea

planului, iar alegerea numelor de pozitiv si negativ este numita

orientare.



Aplicatii

Orientarea planului






cel pozitiv.



orientare.



Aplicatii

Orientarea planului






cel pozitiv.



orientare.


Orientarea planului

Prin de�nitie, doua baze ale unui plan vectorial sunt la fel orientate

daca determinantul matricii de trecere de la o baza la alta este

strict pozitiv, si opus orientate daca determinantul anterior este

strict negativ. Doua repere sunt la fel orientate daca bazele lor sunt

la fel orientate.

Relatia �la fel orientate� este o relatie de echivalenta pe multimea

bazelor spatiului liniar al vectorilor liberi, si aceasta multime se

imparte in doua clase de echivalenta, disjuncte, astfel incat doua

baze din aceeasi clasa sunt la fel orientate, iar doua baze din clase

distincte sunt opus orientate.

Orientarea planului

Prin de�nitie, doua baze ale unui plan vectorial sunt la fel orientate

daca determinantul matricii de trecere de la o baza la alta este

strict pozitiv, si opus orientate daca determinantul anterior este

strict negativ. Doua repere sunt la fel orientate daca bazele lor sunt

la fel orientate.

Relatia �la fel orientate� este o relatie de echivalenta pe multimea

bazelor spatiului liniar al vectorilor liberi, si aceasta multime se

imparte in doua clase de echivalenta, disjuncte, astfel incat doua

baze din aceeasi clasa sunt la fel orientate, iar doua baze din clase

distincte sunt opus orientate.

Orientarea planului

Impartirea in cele doua clase se face astfel: se �xeaza o baza

ortonormata oarecare (i , j) si �e o alta baza ortonormata (i′, j′). Se

roteste i′cu un anumit unghi α ∈ [0, π] pana cand acesta ajunge

peste i . Daca rotatia pozitioneaza si vectorul j ′ peste j , atunci�asezam� baza (i

′, j′) in clasa nr. 1. Daca nu, o punem in clasa nr.

2.

A alege una dintre aceste clase drept clasa bazelor orientate pozitiv

inseamna a orienta spatiul liniar V.Deci se obtine formula (1) pentru repere la fel orientate si formula

(2) pentru repere opus orientate.

Orientarea planului






2.




Orientarea planului






2.





Aplicatii

Aplicatii

Example

Formulati si demonstrati teorema cosinusului intr-un triunghi

oarecare, apoi aplicati-o pentru a obtine teorema medianei.

Amintim ca, daca notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului

ABC , opuse varfurilor A, B, respectiv C , atunci teorema

cosinusului a�rma:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

Indicatii: a2 =‖−→BC ‖2=‖

−→BA +

−→AC ‖2=‖

−→BA ‖2 + ‖

−→AC ‖2

+2 <−→BA,−→AC >= b2 + c2 − 2 <

−→AB,−→AC >= b2 + c2 − 2bc cos A.



Aplicatii

Aplicatii

Example






a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.


−→BA +

−→AC ‖2=‖

−→BA ‖2 + ‖

−→AC ‖2

+2 <−→BA,−→AC >= b2 + c2 − 2 <

−→AB,−→AC >= b2 + c2 − 2bc cos A.



Aplicatii

Aplicatii

Example






a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.


−→BA +

−→AC ‖2=‖

−→BA ‖2 + ‖

−→AC ‖2

+2 <−→BA,−→AC >= b2 + c2 − 2 <

−→AB,−→AC >= b2 + c2 − 2bc cos A.


Aplicatii

Notam cu D mijlocul laturii (BC ) si cu ma lungimea medianei

(AD).

Atunci m2a = (1

2‖−→AB +

−→AC ‖)2 ⇒4m2

a =‖−→AB ‖2 + ‖

−→AC ‖2

+ 2 <−→AB,−→AC > . Folosind de�nitia produsului<

−→AB,−→AC > in

care se inlocuieste cos A din teorema cosinusului, se obtine

4m2

a = 2(b2 + c2)− a2.

Aplicatii

Example

Fie B = (i , j , k) o baza ortonormata in V.a) Sa se determine α ∈ R astfel incat vectorii a = αi − 3j + 2k si

b = i + 2j − αk sa �e perpendiculari.

b) Sa se determine unghiul dintre vectorii a = 2i − 4j + 4k si

b = −3i + 2j + 6k .c) Sa se determine vectorul u cu proprietatile

u ⊥ a, u ⊥ b, ‖ u ‖= 14, ]( u, j) > π

2,

unde

a = 3i + 2j + 2k , b = 18i − 22j − 5k .

Aplicatii

Indicatii:

a) α = −6; b) cos(a, b) = 5

21; c) Presupunem ca

u = x i + y j + zk si se determina x, y, z din conditiile

3x + 2y + 2z = 0,

18x − 22y − 5z = 0,

x2 + y2 + z2 = 196,

y < 0.

Aplicatii

Example

In raport cu reperul ortonormat pozitiv {O; i , j}, punctul A are

coordonatele (1, 1). Cu ce unghi trebuie rotite axele de coordonate

astfel incat A sa apartina abscisei noului reper {O; i′, j′}?

Indicatii: presupunem ca noul reper este tot pozitiv. Fie α unghiul

dintre i si i′.

Formula schimbarii de repere:{x ′ = (cosα)x + (sinα)y ,

y ′ = −(sinα)x + (cosα)y .

Punand conditiile y ′ = 0, x = y = 1, se obtine sinα = cosα, deciα = π

4. Noile coordonate ale lui A vor � (2, 0).

Aplicatii

Example

In raport cu reperul ortonormat pozitiv {O; i , j}, punctul A are

coordonatele (1, 1). Cu ce unghi trebuie rotite axele de coordonate

astfel incat A sa apartina abscisei noului reper {O; i′, j′}?

Indicatii: presupunem ca noul reper este tot pozitiv. Fie α unghiul

dintre i si i′.

Formula schimbarii de repere:{x ′ = (cosα)x + (sinα)y ,

y ′ = −(sinα)x + (cosα)y .

Punand conditiile y ′ = 0, x = y = 1, se obtine sinα = cosα, deciα = π

4. Noile coordonate ale lui A vor � (2, 0).

Documents

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi