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LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONALPOSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN
UNAMAUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA1
Basado en el Libro ‘‘Mathematical Modeling in Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
2
3
John Wiley 2012
LECCIÓN 2
4
MODELOS NEOCLÁSICOS
DE LA
CIENCIA Y LA INGENIERÍA
5
A.CONSIDERACIONES GENERALES
ALCANCES DE ESTA PARTE DEL CURSO
En esta parte del curso se formulan y discuten algunos de los modelos macroscópicos más importantes de Ciencia, Ingeniería, Tecnología e Industria. Estudiaremos: transporte de solutos por fluidos libres y por fluidos en medios porosos; flujo (de fluidos) en mediosporosos; y algunos procesos multifásicos de la producción petrolera (Recuperación Mejorada)
6
PROCESOS MONOFÁSICOS Y MULTIFÁSICOS
Tanto en los procesos de transporte de
solutos como en el flujo de fluidos en
medios porosos se considerará una sola fase.
En los procesos de la producción petrolera
que se considerarán varias fases; es decir,
esos procesos son multifásicos 7
ALCANCES DE LA TERCERA PARTE DEL CURSO
En la Parte Tercera se tratarán los temas
de la Mecánica Clásica de los Medios
Continuos: Mecánica de Sólidos y la
Mecánica de Fluidos, utilizando la
formulación axiomática
8
A.¿CÓMO SE APLICA EL
MODELO GENERAL?
9
10
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
, 1,..., y 1,...,
gt
N M
v
11
OBTENCIÓN DEL ‘MODELO MATEMÁTICO BÁSICO’
• Identificar la familia de propiedades extensivas • También, la propiedad intensiva
correspondiente • Para cada una de ellas, identificar la fase
asociada • Aplicar las condiciones de balance para obtener
las ecuaciones diferenciales (en este curso no se considerarán modelos discontinuos);
• Esto es suficiente para obtener el ‘modelo matemático básico’ del sistema
CÓMO SE OBTIENEN LAS PROPIEDADES INTENSIVAS
12
1
1 1
2 2
lim
FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVAS:
,...,
SUS EXPRESIO
NES SON :
,
N
B t
B t
E E
E t x t d x, = 1,...,N
d x
V B
EE
ξ αV B =0
N NE
13
B.PROCESOS DE UNA FASE Y
UNA PROPIEDAD EXTENSIVA
En los procesos de transporte de solutos y
en el flujo de fluidos en medios porosos
sólo hay una fase y una propiedad
extensiva, lo que corresponde a N=M=1
en el modelo general
14
15
Se obtiene del modelo general :
, 1,..., Haciendo las asig
g Nt
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO : CASO DE UNA FASE Y UNA COMPONENTE
v
11
naciones siguientes : 1 , 1 , 1 , , , Note que se omiten = 1 y 1 porque son innecesarias.
N
gt
v v
v
LA PROPIEDAD EXTENSIVA
En los modelos del transporte desolutos la única propiedad extensivaes la masa del soluto. En el caso delflujo de fluidos a través de mediosporosos la única propiedad extensivaes la masa del fluido.
16
17
B1. TRANSPORTE DE SOLUTOS
OBJETIVO DE LOS MODELOS DE TRANSPORTE
El propósito general de los modelosde transporte es predecir ladistribución en el espacio de laconcentración del soluto y suevolución al transcurrir el tiempo
18
19
TRANSPORTE DE SOLUTOS:Modelo Matemático Básico
El modelo matemático básico del transporte es : Una hipótesis fundamental es que el soluto está completamente disuelto y, así, el fluido junto con el soluto constituyen una sol
gt
v
a fase; por lo mismo las partículas del soluto se mueven con la velocidad del fluido. Luego:
Aquí es la velocidad de las partículas del fluidov
PROPIEDADES EXTENSIVAS
Para el transporte de solutos la familia de
propiedades extensivas está formada por
sólo una propiedad extensiva.
la masa del soluto : MS
20
PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A MS
21
LA EXPRESIÓN DE ES:
,S
S B t
S
M
M t x t d x,
masa del solutoMvolumen del espacio físico
DOS FORMAS DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS
En el transporte de solutos consideraremos dos casos: ●Transporte por ‘fluidos libres’; es decir, cuando el fluido ocupa todo el espacio físico, que es el caso del transporte de contaminantes por la atmósfera; y ● Transporte por ‘fluidos en un medio poroso’; es decir, cuando el fluido está restringido a moverse en los huecos (‘los poros’) de un material sólido y poroso
22
TRANSPORTE POR FLUIDOS LIBRESLA PROPIEDAD INTENSIVA
23
En el caso de fluidos libres, el volumen del espacio físico es igual al volumen del fluido por lo que la propiedad intensiva es :
masa del soluto masa del solutov. del espacio físico volumen del fluid
=
y el modelo matemático básico es
co
c concentración
c c gt
v
24
TRANSPORTE POR FLUIDOS EN MEDIOS POROSOSLA PROPIEDAD INTENSIVA
25
En el transporte de solutos por fluidos en medios porosos, se supone frecuentemente que el medio está (es decir, el volumen del fluido es igual al de los poros). En este caso :
saturado
masa del solu
to volumen de los poros masa del solutovolumen del espacio volumen del espacio volumen del fluido
cvolumen de los poros mas y cvolumen del espacio
Donde es la y es la . El es
a del solutovolumen del fluido
porosidad c concentración
c c gt
modelo matemático básico
v
26
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE Y DE
g
27
Para la aplicación del modelo de transporte se supone que la distribución de la velocidad de la partículas del fluido . es un dato
x t
v
28
DIFUSIÓN MOLECULAR
Las partículas de un fluido están en agitación constante efectuando movimineots microscópicos llamados movimientos Brownianos. Debido a ello en cualquier cuerpo (mac
roscópico) entran y salen partículas microscópicas. La masa de soluto que entra y la que sale debido a los movimentos Brownianos no son iguales, lo que motiva un flujo de masa del soluto, que puede ser positivo o negativo. A este fenómeno se le llama La ocurre tanto en fluidos libres como cuando ellos se encuentran en un medio poroso
difusión molecular. difusión molecular
29
DIFUSIÓN MECÁNICA
Los huecos de un medio poroso tienen una distribución aleatoria lo que induce movimientos también aleatorios de los fluidos contenidos en él. Como en el caso de los movimientos Brownianos, tales movimientos provocan también un flujo difusivo. A este fenómeno se le conoce como
, o . La ocurre sólo cuando los fluidos se
e
difusión dispersión mecánica difusiónmecánica ncuentran en un medio poroso y no tiene lugar
cuando ellos están libres.
30
REACCIONES QUÍMICAS Y DECAIMIENTO RADIOACTIVO
Los solutos son sustancias químicas que están disueltas en el fluido que las contiene, el cual en su movimiento las transporta. En este
proceso frecuentemente ocurren diversos fenómenos químicos que alteran su masa y esto ocasiona que 0. Lo mismo sucede en el decaimientode una sustancia radioactiva
g
31
B2. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
OBJETIVO DE LOS MODELOS DEL FLUJO DE FLUIDOS
El propósito general de los modelosde flujo de fluidos es predecir elmovimiento del fluido y la evoluciónde algunas otras propiedades que leson concomitantes, tales como suvelocidad y su presión
32
33
FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
Modelo Matemático Básico
Como ya se dijo, el matemático básico del flujo de un fluido en un medio poroso, consta de una fase y una propiedad extensiva; por lo mismo :
Aquí es la velocidad de las par
gt
v
v tículas del fluido
HIPÓTESIS
34
La matriz está saturada
La matriz está en reposo
La matriz es elástica
•El fluido es compresible
•No hay difusión 0
•La velocidad satisface la Ley de Darcy
FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOSPROPIEDAD INTENSIVA
35
Como en el modelo para el flujo de fluidos en medios porososque vamos a presentar se supone que la matriz porosa está (es decir, que el volumen del fluido es igual al de los poros), se tiene :
saturada
masa del fluido volumen de los poros masa del fluidovolumen del espacio volumen del espacio volumen del fluido
volumen de los porosvolumen del
Donde es la y es la El es
masa del fluido y espacio volumen del fluido
porosidad densidad del fluido
gt
modelo matemático básico
v
36
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE
g
37
CONSERVACIÓN DE MASA
Cuando hay conservación de masa del fluido ,Una de las aplicaciones principales del modelo de flujo como se presenta en este curso, es en el estudio del agu
g x t = 0
a subterránea. Para su aprovechamiento, se perforan pozos y por ellos se extrae el agua subterránea. En la práctica, hay dos formas de modelarlos: individualmente o en forma colectiva. Cuando se les m
odela individualmente, debido a la conservación de masa del agua se toma
, g x t = 0
38
DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DEL BOMBEO
En estudios regionales en que el comportamiento de la zona de estudio está influido por la extracción (o inyección, en
algunos casos) de una multitud de pozos, el volumen extraídose distribuye de manera continua en toda el área, o en todo el volumen cuando el modelo es tridimensional, ocupada por los pozos.
LA VELOCIDAD DE DARCY
39
La velocidad de Darcy se define por :
Así :
0
U
Ut
v
INCOMPRESIBILIDAD COMO HIPÓTESIS ADICIONAL
40
La incompresibilidad del fluido implica
constante
En cuyo caso :
Equivale a :
0
0
t
Ut
v
LEY DE DARCY
41
Para medios isotrópicos la Ley de Darcy es :
Para medios anisotrópicos la Ley de Darcy es :
ˆ
ˆ
kU p g z
kU p g z
42
C.PROCESOS MULTIFÁSICOS
43
LOS PROCESOS DE LA
PRODUCCIÓN DEL
PETRÓLEO
44
¿CÓMO ES UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?
Está constituido de un material sólido y poroso (la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos que se separan en tres fases: agua, aceite y gas. Inicialmente en la fase agua sólo hay H2O, pero tanto en la fase de aceite como en la fase de gas
hay muchos hidrocarburos de distinta composición. En algunas técnicas EOR ocurren
más de tres fases
45
¿CÓMO SE REALIZA LA EXPLOTACIÓN?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: Se extrae a través de pozos utilizando su presión original
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Se inyecta agua para desplazar al petróleo
• RECUPERACIÓN MEJORADA: Se inyecta vapor, surfactantes, otros aditivos químicos, calor, y se hace combustión in situ
46
¿QUÉ PROCESOS HAY QUE MODELAR?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: El movimiento de una o dos fases
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Al caer la presión parte del petróleo pasa a ser gas y se tienen tres fases (agua, aceite y gas)
• TERCIARIA: El movimiento del vapor y los aditivos químicos, los cambios de composición química de las fases. El transporte y difusión del calor. La combustión in situ del petróleo
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¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN DE ESTOS PROCESOS?
• Cómo se debe desarrollar y producir el yacimiento para aumentar su rendimiento
• Cual es la estrategia de producción mejorada más adecuada y cómo debe implementarse
• Cuando el comportamiento observado se desvía del esperado, cómo corregirlo
• Cuál será su vida útil y su rendimiento total
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MODELOS
• De una fase • De dos fases• De petróleo negro • Composicional • Térmicos • Con interacción química • En medios fracturados
49
DESARROLLO DE UN MODELO
• Modelo conceptual • Modelo matemático • Modelo numérico • Modelo computacional • Validación
50
II.3.B
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA
DE LOS MODELOS DE LA
RECUPERACIÓN MEJORADA
51
, 1,...,
El sistema de "ecuaciones diferenciales" de
balance
g Nt
v
52
II.3.C.
MODELO DEL PETRÓLEO NEGRO
(BLACK-OIL MODEL)
53
CARACTERÍSTICAS GENERALES
1. 2.
3.
1. 2. 3. 4.
AguaFASES Aceite
Gas
PROPIEDADES EXTENSIVAS
Masa del agua en la fase aguaMasa del aceite no volátil en la fase aceiteMasa del gas (disuelto) en la fase aceiteMasa
del gas en la fase gas
54
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
11 11 1
22 22 2
32 33 3
43 44 4
gt
gt
gt
gt
v
v
v
v
55
FENOMENOLOGÍA
56
FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS
1
2
2
3
1 1
2 2
3 3
4 4
& 1 1
& 2 2
& 3 2
& 4 3
1
w w w wB t
o Oo o OoB t
o Go o GoB t
g g g gB t
w o g
E t S dx S
E t S dx S
E t S dx S
E t S dx S
S S S
57
LOS CAMPOS DE FLUJO
0
0
0
0
w
Oo
Go
g
Ninguna de las componentes está sujeta a
difusión :
58
LAS FUENTES
1
2
3
4
0
weOoe Go g
g GoGo Gog e
g gGo e
g gg g
g gg g g
g g g
59
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO
1 y 0
w ww ww w e
o Ooo Ooo Oo e
o Go Goo Goo Go g e
gg g g gg g Go e
Go gw o g g Go
S S gt
S S gt
S S g gt
SS g g
t
S S S g g
v
v
v
v
60
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO EN OTRA FORMA
w ww w
w w e
o Ooo Ooo Oo e
g g o Go g og g o Go
g Goe e
S S gt
S S gt
S SS S
t g g
v
v
v v
61
INCORPORACIÓN DE MÁS
FENOMENOLOGÍA AL MODELO DE
PETRÓLEO NEGRO
62
DENSIDAD DEL GAS DISUELTOEcuación de Estado
,GsGo s Oo
Os
Razón de masa del gas disuelto :
R p T
63
GRÁFICA DE RS
RS
p
64
VELOCIDAD DE LAS FASES
,
,
ll l
ll l l l
l
rl l
rl
Velocidad de Darcy
u S l w,o,g
Ley de Darcy (flujo multifásico) k
u p z
kk k effective permeability l w,ok absolute permeability k relative permeability
v
,g
65
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO FORMA 2
ww www e
Ooo OooOo e
Gsg g o s Oo
Os
g GoGsg og s Oo e e
Os
S u gt
S u gt
S S R
t
u R u g g
66
LOS FACTORES DE VOLUMEN
, 1
,
,
Gs Oso s
Os o
Gsg o Oo Go
g
Wsw
w
B p T R
B p T
B p T
67
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO FORMA 3
wWs Wsww e
w w
OoOs Osoo e
o o
Gs so Gsg o
g o
g GoGs so Gsg o e e
g o
S u gt B B
S u gt B B
RS St B B
Ru u g gB B
