LEBANESE UNIVERSITY FACULTY OF ENGINEERING · 2017-04-28 · Faculty of Engineering – Lebanese University All the Entrance Exam Sessions are available on LEBANESE UNIVERSITY FACULTY

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LEBANESE UNIVERSITY FACULTY OF ENGINEERING

Entrance Exam 2001 - 2002 Mathematics Duration : 3 hours

July 2001

Remark: The use of a calculator with no programs is allowed. The distribution of grades is over 25

I- (2 points)

Solve the inequation )32ln(5

1ln

x

x

x

II- (5points)

Suppose the complex plane is referred to an orthonormal system ),;( vuO

. Designate by A the

point of affix 1, by B the point of affix i , by (C) the circle of center O and of radius 1 and by

(D) the straight line of equation y = 1.

To every point M of affix z i, we associate the point M´ of affix z´ = iz

iz

1) Determine the set of M of affix z so that z´ = 1.

2) Show that z´ z = 1. Interpret geometrically the result.

3) a- Show that, for every M which does not belong to (D), iz

z

1 is pure imaginary.

b- Prove that the two straight lines (AM´) and (BM) are perpendicular.

c- M being a given point which does not belong to (D), construct geometrically point M´.

d- Precise the position of M´ when M belongs to (D) deprived from B.

III- (5 points)

In the complex plane referred to an orthonormal system ),;( vuO

. Consider the points:

A0 , A1 ,…., An , An+1 ,..., of respective affixes z0 , z1 , …, zn , zn+1 , …, defined by :

z0 = 0 and zn+1 = izi

n 1

1 (n N).

1) Show that, whatever is n, An+1 is the image of An by a direct similitude whose center I,

its ratio k and its angle α are to be determined.

2) a- Prove that, whatever is n, the triangle IAn An+1 is right angled at An+1 .

b- Deduce a construction of An+1 using An and place the A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5

(for drawing the figure and only for this purpose, take as unit of length 4 cm ).




3) Suppose ak = area (IAk Ak+1) and Sn = a0+ a1+ a2+…..+ an

a- Show that the sequence of general term ak is a geometric sequence whose first term and

its common ratio are to be determined.

b- Calculate Sn in terms of n and determine its limit when n tends to +∞ .

IV- (4 points)

We consider 3 urns U1 , U2 and U3 , containing each 6 balls :

U1 contains 2 blue balls and 4 red ones.

U2 contains 3 blue balls and 3 red ones.

U3 contains 5 blue balls and 1 red ball.

1) In this part, consider the urn U1 . We draw from it a ball at random.

This operation is repeated 5 times replacing the ball each time in the urn U1 .

a- What is the probability to obtain 4 blue balls and 1 red ball in the following order :

blue, blue, blue, blue, red ?

b- What is the probability to obtain 4 blue balls 1 red ball in any order ?

c- What is the probability to obtain at least one blue ball ?

2) In this part, we choose at random an urn from the three urns U1 , U2 , U3 , and we draw at

random from it a ball.

a- What is the probability to obtain a blue ball?

b- We know the draw ball is blue; what is the probability that the ball comes from U3 ?

V- (9 points)

A- Consider the function f , defined over ] 0, + ∞ [ , by f (x) = )2(ln1

xx

x

and designate by ( C ) its representative curve in an orthonormal system ),;( jiO

.

1) Show that x

lim f (x) = + ∞ and 0

limx

f (x) = + ∞.

2) Show that f is differentiable over ] 0, + ∞ [ and that f ' (x) = )3(ln1

2 xx

x

3) Let g be the function defined over ] 0, + ∞ [ by g (x) = 3ln xx

a- Study the variation of g .

b- Show that g (x) = 0 has a unique solution α and that 2.20 < α < 2.21.

c- Study the sign of g (x) over ] 0, + ∞ [.




4) a- Study the variation of f.

b- Show that

2)1()(

f . Deduce that - 0.67 65.0)( f

5) a- Study the sign of f (x) and show that f (x) < 0 if and only if x ]1 , e² [ .

b- Calculate f (1) and f ( e² ) and draw (C).

B- Consider the function F defined over ] 0, + ∞ [ by F (x) = x

1

f(t)dt . We call ( ) the

representative curve of F .

1) a- Without calculating F (x), study the variations of F over ] 0, + ∞ [ .

b- What can be said about the tangents to ( ) at its points of abscissas 1 and e² ?

2) a- Prove that 1lnln(t)dt1

xxx

x

b- Prove that F (x) = 3ln2)(ln2

13ln 2 xxxxx

c- Calculate 0

limx

F (x) .

d- Noticing that F (x ) = 3

2ln

2

1

ln

31ln

xx

x

xxx , calculate

x

F(x)lim and F(x)lim

xx

e- Set up a table of variations of F and draw ( ) .

3) Calculate the area S of the domain limited by (C), the axis of abscissas and the two

straight lines of equations x = 1 and x = e² . Give an approximated value of S to the

nearest 10-3 by greater value.




Entrance exam 2001-2002 Solution of Mathematics Duration: 3 hours

July 2001

I- This inequality is defined for:

032

05

1

x

x

x

Which gives -1< x < 5 and x >2

3, that is for

2

3< x < 5.

The inequality: )32ln(5

1ln

x

x

x

gives x

x

5

1> 2x-3

Therefore 05

16122 2

x

xx which is verified for x < 2 or 4< x< 5

The accepted solution is then: 4 < x < 5 or 2

3< x < 2

II- 1) z´=1 gives iz = iz , then z - z = 2i and if z = x + i y we get y = 1, then the set of

points M is the straight line (D) deprived of the point B. y

2) z´ z ´ = 1

iz

iz

iz

iz

2 M

11zzzBut 22 MOsoMO B (D)

And consequently the point M is a point of circle (C) (C) M´ -1 A x

3) a- M does not belong to (D), so Im (z) 1.

1Im(z) a)1)(Im(2

))((

11

2

nd

iz

zi

iziz

iziz

iz

iz

iz

iz

z

Hence iz

z

1 is pure imaginary.

b- iz

z

zz

zz

z

z

BM

AM

MB

MA

1'

that is pure imaginary, so the two straight lines (A M ) and (BM)

are perpendicular.

0




c- M does not belong to (D), then (A M ) and (BM) are perpendicular, so M is on the

perpendicular through A to mathematics solution

(BM) and M is a point of (C), so M is a point of intersection of these two sets other than A.

d- If M is a point of (D) deprived of B then z = x+ i with x 0

1

iix

iixz So M is confounded with A.

III- 1) izi

izi

z nnn

2

1

1

11 , which is the complex form of a similitude.

4

2

2

2

1

i

ei

a

and i

i

i

a

bz

1

1

11

11

So An+1 is the image of An by the direct similitude of center I (1+i), ratio 2

2

and angle 4

.

2) a- ( nnnn IAIAIAIA2

2et)2(

4); 11

, so triangle 1nn AIA is right at An+1

b- 1nn AIA is right isosceles of principal vertex An+1 and

111 )2(2

);(

nnnn AthenAAIA

is the intersection of the semi-circle of diameter [IAn]

and of the perpendicular bisector of [IAn].

z0 =0, z1 = i, z2 = i2

3

2

1 , z3 = i

2

31 , z4 = i

4

5

4

5 , z5 = i

4

5




3) a- 2

114

1

4sin

2

1)( of Area kkkkkk IAIAIAAIAa

112

2

12

1

2

1

4

1

2

2

4

1

kkk aIAIA

Then, ka is the general term of geometric sequence of initial term 2

1

4

1 2

00 IAa

and of common ratio 2

1r

b-

1

1

1

02

11

2

11

2

11

2

1

1

1

n

n

n

nq

qaS

1lim

nn

S

IV-1) a- p (of getting B, B, B, B, R) = 243

2

6

4

6

2

6

2

6

2

6

2

b- To get a red ball from the 5 drawn balls is to get:

(R, B, B, B, B) or (B, R, B, B, B) or (B, B, R, B, B) or (B, B, B, R, B) or (B, B, B, B, R)

Then p (of getting 1R and 4B)= 243

10

243

25

y

A2 A3

A1

A4

A5

A0 x

0 1




c- The event : getting at least one blue ball is the opposite of the event: the 5 balls are red,

then :

p (at least one blue ball)= 243

211

6

41

5

2) a- Designating by B the event : the drawn ball is blue

Ui : the ball comes from Ui

)/()()/()()/()()( 332211 UBpUpUBpUpUBpUpBp

9

5

6

5

3

1

6

3

3

1

6

2

3

1)( Bp

b- 2

1

9

5

18

)(

)()/( 3

3

Bp

BUpBUp

V- A. 1)

)(12lnlim

1lim)(lim x

x

xxf

xxx

)()(2lnlim

1lim)(lim

000x

x

xxf

xxx

2) f is differentiable over ]0 ; [ since it is the product of two differentiable functions

on ]0 ; [

)3(ln111

2ln1

)(22

xxxxx

xx

x

xxxf

3) a- 011

)( x

xg for all [;0] x , then, g is strictly increasing over [;0]

b-

)(lim)(lim0

xgandxgxx

g is continuous and strictly increasing and g(x) varies from to so the equation

g(x) = 0 has one unique solution .

g (2, 20) = ln (2, 20) + 2,20 – 3 - 0,01 < 0

g (2, 21) = ln (2, 21) + 2,21 – 3 0,002 >0

Then 2, 20 < < 2, 21

c- g (x) < 0 for 0 < x < and g (x) > 0 for x >

g (x) = 0 for x =




4) a- )(xf has the same sign as g(x), then the table of variations of f is :

x 0

f´ (x) - 0 +

f (x)

f ( )

b- f ( 03ln a)2(ln1

)

nd

then f (

2)1()23(

1)

,

2,20 < <2,21 then 1,20 < -1 < 1,21

and 1,44 < ( -1)2 < 1,4641

therefore

20,2

4641,1)1(

2,21

1,44then

20,2

11

21,2

1 2

and consequently – 0,67 < f ( ) < -0,65

5) a- f (x) = 0 gives 02ln1

x

x

x so x = 1 or x = 2e

Then the curve (C) cuts the axis x´x at two points of abscissas 1 and 2e and since f ( )< 0

then 0 < 1 < and 2e >

x 0 1 2e

f (x)

+ 0 f ( ) 0 +

Then f (x) > 0 for 0 < x < 1 or x > 2e

f (x) < 0 for 1 < x < 2e then f(x) < 0 if and only if [;1] 2ex

b- f (1) = 0 and f ( 2e ) = 0. (we get )1 2eand




02ln1

lim)(

lim

xx

x

x

x

x

xf

xx

Hence x´x is an asymptotic direction.

y

5

-5 0 5 2e 10 x

B- 1) a- F´(x)= f (x) with F(1) = 0 , then the table of variations of F is:

x 0 1 2e

F´(x)

F(x)

+ 0 0 +

0

b- The tangents at ( ) at the points of abscissas 1 and 2e are parallel to x´x since

F´(1) = F´ ( 2e ) = 0

2) a- Taking u = ln t and v´= 1 , we get :t

u1

and v=t, then,

xx

x

xxxdtttdtt1

1

1

1lnlnln

b-

xx

dttt

ttdtt

t

txF

11

2ln2ln)2(ln

1)(

=

x

tttttt1

2 ln2ln2

12ln




= )3(ln2ln2

12ln 2 xxxxxx

= 3ln22

ln3ln

2

xx

xxx

c-

)(lim0

xFx

d-

)(lim xFx

3)2ln

2

1

ln

31(lnlim

xx

x

xxx

x

x

xF

x

)(lim

e- x = 0 is a vertical asymptote to )( . y´y is an asymptotic direction of )( at

F (1) = 0, F ( 2e ) = 5- 2e -2,389

y

2

0 2 4 6 8 10 12 13 x

3) For [;1] 2ex , )( is below x´ x, then

2

1

22 u390,25)1()()(

2

e

eFeFdxxfS .

Faculté de génie - Université Libanaise

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UNIVERSITE LIBANAISE FACULTE DE GENIE

Concours d’entrée 2001-2002 Composition de Mathematiques Durée: 3 heures

Juillet 2001

Remarque: L’usage d’une calculatrice non programmable est permis.

La répartition des notes est sur 25 points.

I- (2 points)

Résoudre l’inéquation )32ln(5

1ln

x

x

x

II- (5points)

On suppose le plan complexe rapporté au repère orthonormé ),;( vuO

. En désigne par A le point

d’affixe 1, par B le point d’affixe i , par (C) le cercle de center O et de rayon 1 et par (D) la droite

d’équation y = 1.

A tout point M d’affixe z i, on associe le point M´ d’affixe z´ = iz

iz

1) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que z´ = 1.

2) Montrer que z´ z = 1. Interpréter géométriquement le résultat.

3) a- Montrer que, pour tout point M n’appartenant pas à (D), iz

z

1 est un imaginaire pur.

b- Démontrer que les deux droites (AM ´) et (BM) sont perpendiculaires.

c- M étant un point donné n’appartenant pas à (D), construire géométriquement le point M´.

d- Préciser la position de M ´ lorsque M appartient à la droite (D) privée de B.

III- (5 points)

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé ),;( vuO

. On considère la suite des points:

A0 , A1 ,…., An , An+1 ,..., d’affixes respectives z0 , z1 , …, zn , zn+1 , …, définie par :

z0 = 0 et zn+1 = izi

n 1

1 (n entier naturel)

1) Montrer que, quel que soit n, An+1 est l’image de An par une similitude directe dont on

déterminera le center I, le rapport k et l’angle α .

2) a- Montrer que, quel que soit n, le triangle IAn An+1 est rectangle en An+1 .

b- Déduire une construction de An+1 à partir de An et placer les points A0 , A1 , A2 , A3 ,

A4 , A5 (pour faire la figure et uniquement dans ce but, on prend comme unité graphique

4 cm ).




3) On pose ak = aire (IAk Ak+1) et Sn = a0+ a1+ a2+…..+ an

a- Montrer que la suite de terme général ak est une suite géométrique dont on déterminera le

premier terme et la raison.

b- Calculer Sn en fonction de n et déterminer sa limite lorsque n tend vers +∞ .

IV- (4 points)

On dispose de 3 urnes U1 , U2 et U3 , contenant chacune 6 boules :

U1 contient 2 boules bleues et 4 boules rouges.

U2 contient 3 boules bleues et 3 boules rouges.

U3 contient 5 boules bleues et 1 boule rouge.

1) Dans cette partie, on considère l’urne U1 . On en tire, au hasard, une boule. On effectue

cette opération 5 fois en remettant chaque fois la boule tirée dans l’urne U1 .

a- Quelle est la probabilité d’obtenir 4 boules bleues et 1 boule rouge dans l’ordre suivant :

bleue, bleue, bleue, bleue, rouge ?

b- Quelle est la probabilité d’obtenir 4 boules bleues et 1 boule rouge dans n’importe quel

ordre?

c- Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule bleue?

2) Dans cette partie, on choisit au hasard, une des 3 urnes U1 , U2 , U3 , et on tire au hasard

une boule

a- Quelle est la probabilité d’obtenir une boule bleue?

b- On sait que la boule tirée est bleue: quelle est la probabilité qu’elle provienne de U3 ?

V- (9 points)

A- On considère la fonction f , définie sur ] 0, + ∞ [ , par f (x) = )2(ln1

xx

x et l’on désigne

par( C ) sa courbe représentative relativement au repère orthonormé ),;( jiO

.

1) Montrer que x

lim f (x) = + ∞ et 0

limx

f (x) = + ∞.

2) Montrer que f est dérivable sur ] 0, + ∞ [ et que f ' (x) = )3(ln1

2 xx

x

3) Soit g la fonction définie sur ] 0, + ∞ [ par g (x) = 3ln xx

a- Etudier les variations de g .

b- Montrer que g (x) =0 possède une solution unique α et que 2.20 < α < 2.21.

c- Etudier le signe de g (x) sur ] 0, + ∞ [.




4) a- Etudier les variations de f.

b- Montrer que

2)1()(

f . En déduire que - 0.67 65.0)( f

5) a- Etudier le signe de f (x) et montrer que f (x) < 0 si et seulement si x ]1 , e² [ .

b- Calculer f (1) et f ( e² ) et tracer (C).

B- On considère la fonction F définie sur ] 0, + ∞ [ par F (x) = x

1

f(t)dt . On appelle ( ) la

courbe représentative de F .

1) a- Sans calculer F (x), étudier les variations de F sur ] 0, + ∞ [ .

b- Que peut-on dire des tangentes à ( ) en ses points d’abscisses 1 et e² ?

2) a- Démontrer que 1lnln(t)dt1

xxx

x

b- Démontrer que F (x) = 3ln2)(ln2

13ln 2 xxxxx

c- Calculer 0

limx

F (x) .

d- En remarquant que F (x ) = 3

2ln

2

1

ln

31ln

xx

x

xxx , calculer

x

F(x)limet F(x)lim

xx

e- Dresser un tableau de variation de F et tracer ( ) .

3) Calculer l’aire S du domaine limité par (C), l’axe des abscisses et les deux droites

d’équations x = 1 et x = e². Donner une valeur approchée de S à 10-3 près par excès.




Concours d’entrée 2001-2002 Solution de Mathematiques Durée: 3 heures

Juillet 2001

I- Cette inéquation est définie pour :

032

05

1

x

x

x

Ce qui donne -1< x <5 et x >2

3, d’où

2

3< x <5.

L’inéquation : )32ln(5

1ln

x

x

xdonne

x

x

5

1>2x-3

D’où 05

16122 2

x

xxqui est vérifiée pour x < 2 ou 4< x< 5

La solution acceptable est alors : 4 < x <5 ou 2

3< x < 2

II- 1) z´=1 donne iz = iz , d’où z - z = 2i et si z = x + iy on obtient y = 1, donc l’ensemble des

points M est la droite (D) privée de B. y

2) z´ z ´ = 1

iz

iz

iz

iz

2 M

1oud'1zzzOr 22 MOMO B (D)

Et par suite le point M est un point du cercle (C) (C) M´ -1 A x

3) a- M n’appartient pas à (D), donc Im(z) 1.

1Im(z)et )1)(Im(2

))((

11

2

iz

zi

iziz

iziz

iz

iz

iz

iz

z

Donc iz

z

1 est un imaginaire pur.

b- On a iz

z

zz

zz

z

z

BM

AM

BM

MA

1

qui est un imaginaire pur, donc les deux droites (A M ) et (BM)

sont perpendiculaires.

c- M n’appartient pas à (D), donc (A M ) et (BM) sont perpendiculaires donc M se trouve sur la

perpendiculaire menée de A à (BM) et M est un point de (C), donc M est le point

d’intersection autre que A de ces deux ensembles.

d- Si M est un point de (D) privée de B alors z = x+ i avec x 0

0




1

iix

iixz alors M est confondu avec A.

III- 1) On a izi

izi

z nnn

2

1

1

11 , c’est la forme complexe d’une similitude.

On a 4

2

2

2

1

i

ei

a

et i

i

i

a

bz

1

1

11

11

Donc An+1 est l’image de An par la similitude directe de centre I (1+i),

de rapport 2

2et d’angle

4

.

2) a- On a ( nnnn IAIAIAIA2

2et)2(

4); 11

, donc le triangle 1nn AIA est rectangle en An+1

b- 1nn AIA est rectangle isocèle en An+1 et 111 )2(2

);(

nnnn AdoncAAIA

est

l’intersection du demi-cercle de diamètre [IAn] et de la médiatrice de [IAn]. On a z0 =0, z1 = i,

z2 = i2

3

2

1 , z3 = i

2

31 , z4 = i

4

5

4

5 , z5 = i

4

5

3) a- On a 2

114

1

4sin

2

1)( kkkkkk IAIAIAAIAairea

y

A2 A3

A1

A4

A5

A0 x

0 1




112

2

12

1

2

1

4

1

2

2

4

1

kkk aIAIA

Donc ka est le terme général d’une suite géométrique de premier terme 2

1

4

1 2

00 IAa

et de raison 2

1q

b- On a

1

1

1

02

11

2

11

2

11

2

1

1

1

n

n

n

nq

qaS

1lim

nn

S

IV-1) a- On a p (d’avoir B, B, B, B, R)= 243

2

6

4

6

2

6

2

6

2

6

2

b- Avoir une boule rouge parmi cinq boules revient à avoir:

(R, B, B, B, B) ou (B, R, B, B, B) ou (B, B, R, B, B) ou (B, B, B, R, B) ou (B, B, B, B, R)

D’où p (d’avoir 1R et 4B)= 243

10

243

25

c- L’évènement : avoir au moins une boule bleue est le contraire de l’évènement les 5 boules

sont rouges, d’où : p (au moins une )= 243

211

6

41

5

2) a- Considérons les deux évènements :

B : la boule tirée est bleue

Ui : la boule tirée provient de Ui

)/()()/()()/()()( 332211 UBpUpUBpUpUBpUpBp

5

5

6

5

3

1

6

3

3

1

6

2

3

1)( Bp

b- 2

1

9

5

18

)(

)()/( 3

3

Bp

BUpBUp

V- A. 1)

)(12lnlim

1lim)(lim x

x

xxf

xxx




)()(2lnlim

1lim)(lim

000x

x

xxf

xxx

2) f est dérivable sur ]0 ; [comme étant le produit de deux fonctions dérivables

sur ]0 ; [

)3(ln111

2ln1

)(22

xxxxx

xx

x

xxxf

3) a- On a 011

)( x

xg pour tous [;0] x , donc g est strictement croissante dans [;0]

b- On a

)(lim)(lim0

xgetxgxx

g est continue et strictement croissante et g(x) varie de à alors g(x) = 0 admet

une solution unique .

g (2, 20) = ln (2, 20) + 2,20 – 3 - 0,01 < 0

g (2, 21) = ln (2, 21) + 2,21 – 3 0,002 >0

Donc 2,20 < < 2,21

c- g(x) < 0 pour 0 < x < et g(x) > 0 pour x >

g(x) = 0 pour x =

4) a- )(xf a même signe que g(x), d’où le tableau de variations de f :

x 0

f´ (x) - 0 +

f (x)

f ( )

b- On a f ( 03lnet )2(ln1

)

d’où f (

2)1()23(

1)

On a 2,20 < <2,21 d’où 1,20< -1<1,21

et 1,44 < ( -1)2 <1,4641 et puisque 20,2

4641,1)1(

2,21

1,44 alors

20,2

11

21,2

1 2

et par suite – 0,67 < f ( ) < -0,65




5) a- f (x) = 0 donne 02ln1

x

x

x d’où x = 1 ou x = 2e

donc la courbe (C) coupe l’axe x´x en deux points d’abscisses 1 et 2e , puisque f ( ) < 0

alors 0 <1< et 2e >

x 0 1 2e

f (x)

+ 0 f ( ) 0 +

Donc f (x) > 0 pour 0 < x < 1 ou x > 2e

f (x) < 0 pour 1 < x < 2e Donc f(x) < 0 si et seulement si [;1] 2ex

b- On a f(1) = 0 et f ( 2e ) = 0. (On aura )1 2eet

02ln1

lim)(

lim

xx

x

x

x

x

xf

xx

Donc x´x est une direction asymptotique.

y

5

-5 0 5 2e 10 x

B- 1) a- On a F´(x)= f(x) avec F(1) = 0 , d’où le tableau de variations de F :

x 0 1 2e

F´(x)

F(x)

+ 0 0 +

0




b- Les tangentes à ( ) aux points d’abscisses 1 et 2e sont parallèles à x´x car F´(1) F ( 2e ) = 0

2) a- Posons u = ln t et v´= 1 , on a t

u1

et v=t, d’où

xx

x

xxxdtttdtt1

1

1

1lnlnln

b- On a

xx

dttt

ttdtt

t

txF

11

2ln2ln)2(ln

1)(

=

x

tttttt1

2 ln2ln2

12ln

= )3(ln2ln2

12ln 2 xxxxxx

= 3ln22

ln3ln

2

xx

xxx

c- On a

)(lim0

xFx

d- On a )(lim xFx

3)2ln

2

1

ln

31(lnlim

xx

x

xxx

x

x

xF

x

)(lim

e- x = 0 est une asymptote verticale à )( . y´y est une direction asymptotique à )( en

F (1) = 0, F ( 2e ) = 5- 2e -2,389

y

2

0 2 4 6 8 10 12 13 x

3) Pour [;1] 2ex , )( est au-dessous de x´ x, donc

aired'unités390,25)1()()(

2

1

22 e

eFeFdxxfS .

Faculty of Engineering – Lebanese University All the Entrance Exam Sessions are available on www.ulfg.ul.edu.lb


Entrance Exam 2001-2002 Physics Duration: 2 hours

Remark: The use of a calculator with no programs is allowed.

First exercise.

A- Theoretical study

I- A horizontal mechanical oscillator is formed of a solid (S) of masse M = 0.760 kg fixed to a

spring (R) of force constant K = 8.3 N/m and of negligible mass.

(S) can slide without friction on a horizontal axis x'x. When

(S) is in equilibrium, its center of inertia G is situated at the

point O considered as the origin of abscissa. (S) is shifted by

X0 = 3.7 cm in the positive direction, and then released from rest at the instant to = 0. .

At the instant t, G being at a point of abscissa x has the velocity iVV

, (V = xdt

dx ).

The horizontal plane containing x'x is chosen as the reference level for the gravitational potential

energy.

1. Give, at the instant t, the expression of the mechanical energy of this oscillator in terms of x

and x , and deduce the differential equation that describes the motion of G.

2. Determine the values of the characteristic quantities 0 and T0 of this oscillator.

3. Determine the time equation of the motion of G.

II- (S) is attached to two springs identical to (R) each of natural

length 0. The length of the spring at equilibrium is ( > 0). We consider the same preceding

conditions (x0 = 3.7 cm and V0 = 0)

The two springs are always stretched and (S) oscillates

without friction along AB.

1. Calculate, in terms of 0, and x the elongation of each

spring at any instant t and give the expression of the elastic

potential energy of each spring.

2. a) Write the mechanical energy of this new oscillator at any instant t, and then deduce the

differential equation that describes the motion of G.

b) Deduce that the value of the proper pied '

0T of this oscillator is '

0T = To/ 2 .



B- Experimental study:

I- Free oscillations.

We consider the oscillator where (S) is attached to the two springs identical to (R).

An appropriate apparatus allows to record the motion of the center of inertia G of (S) as a

function of time. The recording of the different positions of G gives the adjacent curve.

1. Does the mechanical energy of this oscillator remain conserved

during oscillations? Justify.

2. Measure, using this curve, a characteristic quantity of this

oscillator and compare it to that calculated in the theoretical

study.

II- Forced oscillations.

The oscillator is in its equilibrium position.

The end A is no more fixed; it is connected to an exciter of adjustable frequency.

A is then performing a sinusoidal motion of frequency f. The oscillator [(S), springs, support] is

the resonator which performs oscillations of amplitude Xm depending on f. Give the shape of the

curve representing the variations of Xm as a function of f specifying the value of the frequency at

amplitude resonance.

Second exercise.

A circuit is formed of the components placed in series, a switch(K),

a resistor (R) of resistance R and a capacitor (C) of capacitance C .

This circuit is fed by a low frequency generator delivering across its

terminals a square wave.

u. = U for 0 t T/2;

u = 0 for T/2 t T.

(K) is closed at the instant t0 = 0

1. a) Derive the differential equation that describes the evolution of uC as a function of time t for

0 t T/2.

b) Give the expression of the time constant of this circuit.

c) Give the shape of the curve uC as a function of time supposing that T/2 » and specify the

value of uC at the instant T/2.

2. a) What will happen starting from the instant T/2?

b) Write, then, the differential equation that describes the evolution of uC as a function of time

t for T/2 t T.

c) Give the shape of the curve showing the evolution of uC and that of uR as a function of time

t for T/2 t T.



Third exercise.

Comparison of nuclear reactions:

I. The mass of a particle can be considered equal to 4.0039 u where u is the atomic mass unit.

1. Define the atomic mass unit.

2. When an particle hits a beryllium nucleus Be9

4 , a nucleus is formed and a neutron is

emitted.

a) Write the equation of this nuclear reaction specifying the considered laws of conservation.

b) Identify the obtained nucleus.

II- When a neutron hits a uranium nucleus U235

92 a fission occurs. Among the possible nuclear

reactions, we study the balance of the following fission:

n1

0 + U235

92 Xe139

54 + Sr95

38 + 2 n1

0

Given:

mn = 1.00866 u , mp = 1.00728 u , 1 u = 1.66055.10-27 kg = 931.5 MeV/c2.

Binding energy per nucleon for: U235

92 : EA(U) = 7.7 MeV

Binding energy per nucleon for Xe139

54 : EA(Xe) = 8.4 MeV

Binding energy per nucleon for Sr95

38 : EA(Sr) = 8.7 MeV.

A. 1. Give the expression of the mass of a nucleus in terms of c, the mass mn of a neutron, the

mass mp of a proton and the binding energy EB of this nucleus.

2. Calculate the respective masses m1, m2 and m3 of the nuclei U, Xe and Sr.

3. Verify that this reaction is exoenergetic.

B. Knowing that the natural nuclides Xe132

54 and Sr88

38 are stable, the products of the fission are

radioactive; they are - emitter.

1. These products transform into other radioactive elements. The whole set of these products

constitutes radioactive waste. Among these waste, we find strontium 90Sr of period (half-life)

25 years and the cesium 137Cs of period 100/3 years.

a) Define the radioactive period of a radio-nuclide.

b) If N0 is the number of 90Sr nuclei at the instant t0 = 0 and N that of the remaining 90Sr nuclei

at the instant t1 = 100 years, determine the ratio N'/N0 where N' is the number of the

disintegrated 90Sr nuclei during these 100 years.

2. After many - disintegrations, the products of the fission end to two stable nuclides: the

lanthanum 57La La and the molybdenum 42Mo.



a) Write the total balanced equation of these disintegrations specifying the mass number for

each stable nuclide.

b) Deduce the balanced equation due to the fission of the U235

92 nucleus that leads to the stable

nuclides.

c) During these disintegrations, are there neutrinos or antineutrinos emitted? For what reason

was the neutrino or the antineutrino introduced?



Entrance Exam 2001-2002 Solution of Physics Duration: 2 hours

First exercise:

A-1-a- ME = or = 0.38 x’2 + 4.15 x2

At t = 0 ; v = 0 ; x = 0.037m ME = 0.0057J

Since (S) slides without friction ME is conserved …………… x” + 11x = 0.

b- Similar to x” + 02 x = 0 by comp … 0 = rds/s T0 = 1.9 s.

c- x = 0.037 cos3.3t (x in m)

2-a- at equilibrium = - 0 . … PE1 = ( - 0 + x)2

…...PE2 = ( - 0 - x)2

b- i - ME at any time ………………..

x” + 22x = 0

ii - new differential equal.. y” + ’02 y = 0 ……….. ’0 = 0 T’0 = .

B-I- a- From the graph the amplitude is decreasing then the motion is pseudo-periodic.

b-The period is T = 1.35 sec from the graph

theoretical period is T’0 = = 1.35 sec

T T0’ .

II- In the case of forced oscillations,

the frequency of the resonator is

the same as that of the exciter, but

the amplitude varies with the

frequency.

This amplitude is a maximum

when the frequency of the exciter

is equal to the proper frequency of

the resonator.

The adjacent graph represents the

variation of Xm as a function of f.

The resonance is sharp since we have slight damping. The value of f0 is : f0 = = 0.74 Hz

f (Hz)

f0

Xm (A)



Second Exercice

1- a- u = uC + uR = uC + Ri………………..

u’C + uC = .

For 0 t T/2 u’C + uC = .

b- uC = U (1 - ) where = RC is the time constant.

c- Since >> . Then for t = we get:

0 uC = U.

2- a- Starting from T/2 , we have u = 0 and the condenser is discharging in the resistor and

uC decreases to 0.

b- for t T we have u = 0, we replace in equation , u’C + uC = .

u by 0 we get u’C + uC = 0.

c- The solution is uC = U , its curve is the following :

Since u = uC + uR = 0 uR = - uC , then the curve of

uR is the following :

R

c q

uR uC

u i K

0

U

uC

t

0

U

uC

t

T

0

-U

T t



Third exercise:

1- a- The atomic mass unit is of the mass of nucleus ( 1 u = 1.66 10-27Kg)

b- i – The equation of the reaction is :

The conservation laws give: - Mass number is conserved: A = 12

Atomic number is conserved: Z = 6

ii – Since X is a carbon nucleus.

2- a- i- Einstein’s law implies : = mc2 .

With m = mass of nucleons – mass of nucleus.

m = ZmP + ( A- Z)mn – m

= m = ………………. m = ZmP + Nmn -

ii- Given : mpc2 = 1.00728 931.5 = 938.28132 MeV

and mnc2 = 939.56679 MeV

m1c2 = 92938.28132 + (235 – 92)939.56679 – 7.7 220672 MeV m1 220672

Mev/c2

Similarly m2 = 130522 MeV/c2.

m3 = 89201 MeV/c2.

iii- The difference between the mass of reactants and products is:

m (product) – m (reactant) = m2 + m3 + 2mn – (m1 + mn) = - 9.5 MeV/c2

Since m < 0 the reaction is exoergic.

b- 1- a – The period is the time needed for the activity tp be reduced to ½ its initial value

b – Since the period of Sr is 25 then t = nT , so n = 4 N = = , the number

of disintegrated nuclei is : N’ = N0 – N = N0 ( )

2- a – For Xe :

; Such that A = 139 ; x = 3



Similar for Sr:

; A2 = 95 ; y = 4.

b- The global fission reaction:

c- The particles introduced are antineutrino and are given to maintain energy

conservation in - decay reactions.




Concours d’entrée 2001-2002 Physique Durée : 2 heures

Remarque : l’utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée.

Premier Exercice

A- Etude théorique

I- Un oscillateur mécanique horizontal est constitué par un solide (S) de masse M = 0,760 kg

attaché à un ressort (R) à spires non jointives, de constante de raideur K = 8,3 N/m et de masse

négligeable.

(S) peut glisser sans frottement sur un axe x'x horizontal.

Lorsque (S) est en équilibre, son centre d'inertie G se situe au

point O considéré comme origine des abscisses. (S) est écarté dans le sens positif de X0 = 3,7 cm

de sa position d'équilibre, puis il est abandonné sans vitesse initiale à la date t0 = 0. À une date t,

G animé d’une vitesse iVV

, (V = xdt

dx ), passe par le point d'abscisse x. Le plan horizontal

contenant x'x est choisi comme niveau de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur.

1. Donner, à la date t, l'expression de l'énergie mécanique de cet oscillateur en fonction de x et x

et en déduire l’équation différentielle qui régit le mouvement de G.

2. Déterminer les valeurs des grandeurs caractéristiques 0 et T0 de cet oscillateur.

3. Déterminer l'équation horaire du mouvement de G.

II- (S) est relié par deux ressorts identiques à (R), chacun de longueur à vide 0. La longueur du

ressort, à l'équilibre, est ( > 0). On reprend les mêmes conditions précédentes (x0 = 3.7 cm et

V0 = 0).

Les deux ressorts restent toujours tendus et (S) oscille sans frottement le long de AB.

1. Calculer en fonction de 0, et x, l'allongement de chaque ressort à la date t et donner

l’expression de l’énergie potentielle élastique de chaque ressort.

2.a) Écrire l'énergie mécanique de ce nouvel oscillateur à la

date t et en déduire I' équation différentielle qui régit le

mouvement de G .

b) Déduire que la valeur de la période propre '

0T ; de cet

oscillateur est '

0T = To/ 2 .




B- Étude expérimentale

I- Oscillations libres Nous reprenons l'oscillateur où (S) est relié par les deux ressorts

identiques a (R). Un dispositif approprié permet d'enregistrer le

déplacement du centre d'inertie G de (S) en fonction du temps.

L'enregistrement des différentes positions de G donne la courbe de

la figure ci-contre.

1. a- L'énergie mécanique de cet oscillateur reste-elle conservée au

cours des oscillations? Justifier.

b- Mesurer, à l'aide de la courbe, une grandeur caractéristique de cet oscillateur et comparer-

la avec celle calculée dans l'étude théorique.

II- Oscillations forcées.

L'oscillateur est dans sa position d'équilibre. L'extrémité A n'est plus fixe; elle est reliée à un

excitateur de fréquence f réglable. A est ainsi animée d'un mouvement sinusoïdale de

fréquence f.

L'oscillateur [(S) , ressort, support] est alors le résonateur qui effectue des oscillations

d'amplitude Xm dépendant de f. Donner l'allure de la courbe représentant les variations de Xm en

fonction de f en indiquant la valeur de la fréquence à la résonance d'amplitude.

On réalise un circuit comportant en série un interrupteur (K), un

conducteur ohmique (R) de résistance R et un condensateur (C) de

capacité C.

Ce circuit est alimente par un GBF délivrant entre ses bornes une

tension en créneaux.

u. = U pour 0 t T/2;

u = 0 pour T/2 t T.

(K) es fermé à la date t0 = 0.

1) a- Établir l'équation différentielle qui décrit l'évolution de uc en fonction du temps t

pour 0 t T/2.

b- Donner l'expression de la constante de temps de ce circuit.

c- Donner l'allure de la courbe uC en fonction du temps en supposant T/2 » et préciser

la valeur de uC à la date T/2.




2) a- Que se passe-t-il à partir de la date T/2?

b- Écrire, alors, l'équation différentielle qui décrit l'évolution de uC en fonction du temps t

pour T/2 t T.

c- Donner l'allure de la courbe donnant l'évolution de uC et celle de uR en fonction du

temps t pour T/2 t T.

III- Comparaison de réactions nucléaires.

I- La masse d'une particule peut être considérée égale à 4,0039 u où u est l'unité de masse

atomique.

1. Donner la définition de l'unité de masse atomique.

2. Lorsqu'une particule frappe un noyau de béryllium Be9

4 , un neutron est émis et un noyau se

forme.

a- Ecrire l'équation de cette réaction nucléaire en précisant les lois de conservation respectées.

b- Identifier le noyau obtenu.

II- Lorsqu'un neutron frappe un noyau d'uranium U235

92 il se produit une fission. Parmi les

nombreuses réactions possibles, on étudie le bilan de la fission suivante:

n1

0 + U235

92 Xe139

54 + Sr95

38 + 2 n1

0

On donne:

mn = 1,00866 u , mp = 1,00728 u , 1 u = 1,66055.10-27 kg = 931,5 MeV/c2.

Énergie de liaison par nucléon pour U235

92 : E(U) = 7,7 MeV

Énergie de liaison par nucléon pour Xe139

54 : E(Xe) = 8,4 MeV

Énergie de liaison par nucléon pour Sr95

38 : E(Sr) = 8,7 MeV.

A- 1. Donner l'expression de la masse d'un noyau en fonction de la masse mn d'un neutron, de la

masse mp d'un proton et de l'énergie de liaison E de ce noyau.

2. Calculer les masses respectives m1, m2 et m3 des noyaux U, Xe et Sr.

3. Vérifier que cette réaction est exo-énergétique.

B- Sachant que les nucléides naturels Xe132

54 et Sr88

38 sont stables, les produits de la fission sont

radioactifs; ce sont des émetteurs -.

1. Ces produits se transforment en d'autres produits radioactifs. L'ensemble de ces produits

constitue des déchets radioactifs. Parmi ces déchets, on trouve le strontium 90Sr de période 25

ans et le césium 137Cs de période 100/3 ans.

a- Définir la période radioactive d'un radio nucléide.

b- Si N0 est le nombre des noyaux 90Sr présents à la date t0 = 0 et N le nombre des noyaux 90Sr

restants à la date tl = 100 ans, déterminer le rapport N'/N0 où N' est le nombre des noyaux 90Sr

désintégrés durant ces 100 ans.




2. Après plusieurs désintégrations de type -, les produits de la fission aboutissent à deux

nucléides stables: le lanthane 57La et le molybdène 42Mo.

a- Écrire le bilan global de ces désintégrations, en précisant le nombre de masse pour chaque

nucléide stable.

b- Déduire l'équation bilan de la fission du noyau U235

92 conduisant aux nucléides stables.

c- Au cours de ces désintégrations, y a-t-il une émission de neutrinos ou d'antineutrinos? Pour

quelle raison le neutrino ou l'antineutrino a-t-il été introduit?




Concours d’entrée 2001-2002 Solution de Physique Durée : 2 heures

Premier Exercice

A- Étude théorique

I- 1. Em =Ec +Ep = ½MV2 + ½ kx2 = ½M x 2 + ½ kx2

Or, comme (S) glisse sans frottement, alors l'énergie mécanique est conservée donc Em = cte

M x x + kx x = 0

Or x 0 x + M

kx = 0.

2. L'équation différentielle est de la forme: x + 2

0 x = 0 2

0 = M

k ; 2

0 = 76,0

3,8

0 = 3,305 rd/s.

Et T0 = 0

2

= 1,90 s.

3. L'équation horaire de cet oscillateur n'est autre que la solution de l'équation différentielle ;

elle est donnée par:

x = Xm cos (0t + ), or à t0 = 0, on a: x = x0 =0,037 m et x = 0

avec x = Xm0sin(0t + )

x0 = Xm cos et 0 = Xm0sin sin = 0 = 0 ou

cos > 0 (x0 > 0) = 0 et par suite Xm = x0 = 0,037 m ou 3,7 cm.

Ainsi : x = 3,7cos (3,305t), x en cm.

II- 1. En position d'équilibre, chaque ressort est allongé d'une valeur =-0.

Lorsque G s'écarte de O d'une valeur x (algébrique), le ressort R1 sera allongé de

1 =-0 + x, et le ressort 2 sera allongé de 2 =-0 - x.

Ainsi l'énergie potentielle du ressort R1 est:

Ep1 = ½k (-0 + x)2 ; et celle du ressort R2 est:

Ep2 = ½k (-0 - x)2

2. Em = ½M x 2 + ½k (-0 + x)2 + ½k(-0 - x)2

Em = ½M x 2 + ½k (-0)2 + kx2 = cte

M x x + 2kx x = 0

Or x 0 x + M

k2x = 0.

'

0 = M

k2 ; et '

0T = '

0

2

=

k2

M2 =

2

T0 '

0T 1,34 s.




B- Etude expérimentale I- 1. On voit d'après le graphe que l'amplitude des oscillations diminue, donc le mouvement est

amorti ce qui montre que l'énergie mécanique n'est pas conservée.

2. Si on mesure la période des oscillations on trouve :

"

0T = 3

1,4 = 1,366 s 1,37 s '

0T .

II- Dans le cas des oscillations forcées, la fréquence du résonateur est la

même que celle de l'excitateur, mais l'amplitude des oscillations varie avec

la fréquence.

Cette amplitude varie comme le montre la figure ci-contre.

Cette amplitude devient maximale lorsque

f devient égale à la fréquence propre f0 du résonateur.

F = "

0f 0,73 Hz.

Deuxième exercice

1. a- La loi des tensions donne:

u =uc +uR =uc +Ri

Or i = dt

dq= C

dt

duC et uR = Ri = RCdt

duC .

Ainsi : u = uc + RCdt

duC dt

duC + RC

1uC =

RC

1u.

pour 0 t T/2 on a u = U , donc l'équation différentielle devient :

dt

duC + RC

1uc =

RC

1U.

b- La solution de l'équation différentielle est:

uc = U ( 1-

t

e ) avec = RC est la constante du temps.

c- Comme T/2 » , donc lorsque t = T/2, on aura

t

e = 0 uC = U

d'où l'allure de la courbe uC :

2. a- À partir de T/2 , on a u = 0 et le condensateur se décharge à travers la résistance et la

valeur de uC diminue jusqu'à s'annuler.

b- Pour T/2 t T, on a u = 0 d'où l'équation différentielle:




dt

duC + RC

1uc = 0.

c- La solution de l'équation différentielle est: uc = U

t

e , dont

l'allure est donnée par :

D'autre part, comme u = uC + uR = 0 uR = -uC D'où l'allure de uR:

Troisième exercice

I- 1. L'unité de masse atomique notée u représente le 1/12 de la

masse de l'atome de carbone C12

6 et elle vaut approximativement: 1 u = 1,6610-27 kg.

2. a- L'équation de la réaction est donnée par:

He4

2 + Be9

4 n1

0 + XA

Z

Les lois de conservation donnent:

- Conservation du nombre total de nucléons: 4 + 9 = 1 + A A = 12 ;

- Conservation du nombre total de charge: 2 + 4= 0 + Z Z = 6.

b- Comme X12

6 , alors X n'est autre que l'atome de carbone C12

6 .

II- A- 1. La loi d'Einstein donne: E = mc2 avec masse totale des nucléons sans liaison - masse

du noyau : m = Zmp + (A-Z) mn - mX.

Comme m = 2c

E , alors :

2c

E = Zmp + (A-Z)mn - mX.

mX = Zmp + (A-Z)mn - A 2c

E .

2. m1 = m(U) = 921,00728 + (235-92)1,00866 – (2357,7 MeV/c2)/931,5.

m1 = 234,96557 u

m2 = m(Xe) = 541,00728 + (139-54)1,00866 – (1398,4 MeV/c2)/931,5.

M2 = 138, 8747 u

M3 = m (Sr) = 381, 00728 + (95-38)1, 00866 – (958,7 MeV/c2)/931,5.

M3 = 94, 8829 u.

3. n1

0 + U235

92 Xe139

54 + Sr95

38 + 2 n1

0

La différence des masses des produits et des réactifs est:

m (produits) – m (réactifs) = m2 + m3 + 2mn - (m1 + mn)

= m2 + m3 + mn - m1 = 138,8747 + 94,8829 + 1,00866 - 234,96557

= -0,19931 u ou -185,65 MeV/c2.

Comme cette différence est négative, alors la réaction est exo-énergétique.




B -1.a- La période radioactive ou de demi-vie n'est autre que la durée au bout de laquelle la

masse (le nombre de noyaux ou l’activité) du radio nucléide est divisée par deux par

désintégration de la moitié des noyaux de ce nucléide.

b- Comme la période de 90Sr est T = 25 ans, alors durant 100 ans on a 4 périodes donc le

nombre des noyaux a été divisé par 2 quatre fois, ce qui donne:

N = _N0/24 = _N0/16. Or, le nombre des noyaux désintégrés est:

N' = N0 - N = 15 N0/16 N’/N0 = 15/16 = 0,9375.

2. a- Pour le Xe : Xe139

54 La1A

54 + x e0

1 139 = A1 et x = 3

Xe139

54 La139

54 + 3 e0

1

Pour le Sr : Sr95

38 Mo2A

54 + y e0

1 95 = A2 et y = 4

Sr95

38 Mo95

54 + 4 e0

1

b- L'équation globale de fission devient:

n1

0 + U235

92 Xe139

54 + Sr95

38 + 2 n1

0 La139

54 + 7 e0

1 + Mo95

54 + 2 n1

0 .

c- La particule introduite est l'antineutrino 0

0 ; il est introduit afin d'assurer la conservation

de l'énergie.



Entrance exam 2001-2002 Chemistry Time: 1 hour

July 2001

The use of a non-programmable calculator is allowed

Answer the following two questions

I. Titration of ascorbic acid in a vitamin C tablet

The aim of this study is to determine, by titration, the mass of ascorbic acid, C6H8O6 (which

reacts as a monoacid) in a tablet of vitamin C.

We dissolve one tablet of vitamin C in 100 mL of distilled water. The obtained solution is

tittered by a sodium hydroxide solution having concentration of 0.32 mol.L-1.

The results of the pH measurements are given in the following table, where Vb is the volume of

sodium hydroxide solution.

Vb (mL) 0 1 3 4 5 6 7 8

pH 3,0 3,3 3,8 4,0 4,2 4,4 4,7 5,1

Vb (mL) 8,5 9 9,5 10 11 13 15

pH 5,6 9,6 10,2 10,5 10,8 11,0 11,2

1-Plot on the provided graph paper the curve that represents the variation of pH as function of

Vb , pH = f(Vb). Take the following scale: 1 cm for 1 mL on the abscissa and 1cm for

each pH unit on the ordinate.

2- From the graph, determine the coordinates of equivalence point.

3- Write the equation of the reaction between ascorbic acid and sodium hydroxide.



4- Determine the mass (in milligram) of ascorbic acid contained in one tablet of vitamin C. Is

this result compatible with the indication (500) of the manufacturer « vitamin C 500 »?

Given: M (ascorbic acid) = 176 g.mol-1 (18 points)

II- The complete combustion of 2,9 g of an organic compound (A), of formula CxHyO, gives

2,7g of water and 6,6 g of carbon dioxide.

1- Show that the molecular formula of (A) is C3H6O.

2- Compound (A) gives a white-crystallized solid with sodium bisulfite and a yellow

precipitate with DNPH. Identify the functional group of (A) and write the condensed

structural formulas of possible isomers of (A).

3- Compound (A) gives by heating, with Fehling solution, a red precipitate. Identify (A).

4- The catalytic hydrogenation of (A) gives a compound (B), whether, the mild oxidation of

(A) gives a compound (C). Identify (B) and (C) and write the two equations of the

reactions that lead (B) and (C) from (A).

5- We carry out a mixture of 20mL of (B) and 18.5 g of (C) added to 5mL of concentrated

sulfuric acid. This mixture is kept at 60 ºC temperature during a few days. The

experiment shows that the equilibrium is reached when 2/3 of a limiting reactant react.

a- Write the equation of the reaction that takes place and give the systematic name of

the obtained organic product.

b- Specify the role of sulfuric acid.

c- Calculate the number of moles of the organic components of the mixture at

equilibrium. The density of compound (B) is equal to 0,8 g. mL-1

d- Suggest a way that increases the yield of this reaction.

H =1 ; C = 12 ; O = 16 (22 points)



Entrance exam 2001-2002 Solution of Chemistry Time: 1 hour

July 2001

1-

2- The equivalence point (E) is determined by the parallel tangents method, According to the

graph, the coordinates of point (E) are: abscissa Vb = 8,8 mL and ordinate PH = 7,6

3- The chemical equation: NaOH is a strong base. The pH of the solution, at equivalence, is

slightly basic; ascorbic acid C6H8O6 is a weak acid.

The chemical reaction is complete and it is given by:

C6H8O6 + HO -

676 OHC + H2O

4- Mass of ascorbic acid contained in a tablet; discuss: Ascorbic acid is monoacid; Sodium

hydroxide is a monobase.

- Mass of ascorbic acid: A equivalence, we have : CaVa = CbVb ; na = CaVa is the number of

moles of the acid dissolved, and nb = CbVb is the number of moles of the base.

na = nb = CbVb = 0,32 x 8,8 x10-3 = 2,816 x10-3 mol.

m : The mass of ascorbic acid dissolved is :

m = na .M (acid) = 2,816 x10-3 x 176 = 495.10-3 g.



- Discussion :

The result is compatible with the indication of the manufacturer.

500 mg 495 mg, the 5 mg difference is due to the measurement error.

II- 1) The molecular formula of (A) is C3H6O.

M (CxHyO) = (12 x + y +16) g mol-1, M (CO2) = 44 g mol-1 and M (H2O) = 18 g mol-1

The equation of combustion of compound (A) is written as:

OHy

xCOOy

xOHC yx 22222

1

4

(12x + y +16) g gy

yx 18.2

44

2.9 6.6g 2,7g

According to the law of defined proportions we can write:

7,2

182

6,6

44

9,2

1612

yxyx

hence x = 3 and y = 6

As a result, the molecular formula will be C3H6O

2) - Identification the functional group of (A) and the condensed structural formulas of the

isomers of (A)

- Identification of the functional group of (A) :

Compound (A) + sodium bisulfite white solid



(A) includes the carbonyl group C O

Compound (A) + DNPH yellow precipitate:

(A) contains the carbonyl group C O

- Condensed structural formulas of the isomers of (A): (A) reacts with sodium bisulfite and

with DNPH as well:

(A) can be an aldehyde or ketone. The possible isomers of (A) are:

CH3 – C – CH3 ketone : propanone

O

C2H5 – C –H aldehyde : Propanal

O

3) Identification of (A):

(A) + Fehling’s reagent Heat

red brick precipitate

ketone + Fehling’s reagent No reaction

Aldehyde + Fehling’s reagent a reaction takes place

Thus, (A) is an aldehyde C2H5 – C – H propanal

O

4) Equations of the reactions leading to (B) and (C) starting from (A):

A + H2 heat B

(A) by mild oxidation C

(A) is an aldehyde (question 3)



The hydrogenation of aldehyde leads to a primary alcohol, then (B) is a primary alcohol

C2H5 – CH2OH 1- propanol

C2H5 – C – H + H2 iN C2H5 – CH2OH (B)

O

The mild oxidation of an aldehyde leads to a carboxylic acid.

C2H5 – C – H + 2

1O2

PtorCu C2H5 – C– OH propanoic acid (C)

O O

5) a- Equation of the reaction between 1- propanol (B) and propanoic acid (C) and name of the

organic product (E) :

- Equation of the reaction: OHHCOOCHCCOOHHCOHHC 273525273

The reaction between (B) and (C) is an esterification.

The organic product (E) is propyl propanoate

b- Role of the sulfuric acid:

The concentrated sulfuric acid plays the role of a catalyst by favoring the esterification

reaction. Sulfuric acid allows us to reach equilibrium in less time.

c- Composition in moles of organic compounds at equilibrium:

M ( COOHHC 52 ) = 74 g mol-1, m = 18,5g, molM

mn 25,0

74

5,18



M ( OHHC 73 ) = 60 g mol-1 , ρ= 0,8 Kg.L-1 ; V = 20 mL

M

m and m = ρ x V = 0,8 x 20 = 16g

Hence, the initial number of moles of (B) is : molM

mn

B

BB 266,0

60

16

1

266,0

11

256,0

1

)()(

AlcoholAcid nand

n

The acid is the limiting reactant if the reaction is complete. Equilibrium is reached when

2/3 of the limiting reactant have reacted, n acid having reacted = n ester formed.

n acid having reacted = 0,25 mol166,03

2

n ester formed = mol166,0

n acid remaining = 0,25 - 0,166 = 0,083 mol

n alcohol remaining = 0,266 – 0,166 = 0,1 mol

d) To increase the yield of the reaction we can eliminate water as it is formed.




Concours d’entrée 2001-2002 Chimie Durée : 1 heure

L’usage d’une calculatrice non programmable est autorisé

Traiter les deux questions suivantes

I. Dosage de l’acide ascorbique dans un comprimé de vitamine C

Le but de cette étude est de déterminer, par dosage, la masse d’acide ascorbique, C6H8O6

(agissant comme monoacide), présente dans un comprimé de vitamine C.

Pour cela, on dissout un comprimé dans 100 mL d’eau distillée et l’on dose ces 100 mL de

solution par une solution d’hydroxyde de sodium de concentration 0,32 mol.L-1.

Les résultats des mesures pH-métriques sont donnés dans le tableau suivant, ou Vb est le

volume de la solution d’hydroxyde de sodium versé.

Vb (mL) 0 1 3 4 5 6 7 8

pH 3,0 3,3 3,8 4,0 4,2 4,4 4,7 5,1

Vb (mL) 8,5 9 9,5 10 11 13 15

pH 5,6 9,6 10,2 10,5 10,8 11,0 11,2

1-Tracer, sur un papier millimétré, le graphe qui représente la variation du pH en fonction de

Vb , pH = f(Vb). Prendre les échelles : abscisse 1 cm = 1 mL, ordonnée 1cm = 1 unité pH.

2- Déterminer graphiquement les coordonnées du point de l’équivalence (E)

3- Ecrire l’équation chimique de la réaction de l’acide ascorbique avec l’hydroxyde de sodium

4- Déterminer la masse (en milligramme) d’acide ascorbique contenu dans un comprimé. Ce

résultat est-il compatible avec l’indication (500) du fabricant « vitamine C 500 » ?

Donnée : M (acide ascorbique) = 176 g.mol-1 (18 points)




II- La combustion complète de 2,9g d’un composé organique (A), de formule CxHyO, donne

2,7g d’eau et 6,6g de dioxyde de carbone.

1- Montrer que la formule moléculaire de (A) est C3H6O.

2- Le composé (A) donne un solide cristallin blanc avec le bisulfite de sodium et un

précipité jaune avec la DNPH. Identifier le groupe fonctionnel de (A) et écrire les

formules semi-développées des isomères possibles de (A).

3- Le composé (A) donne à chaud, avec la liqueur de Fehling, un précipité rouge brique.

Identifier (A).

4- L’hydrogénation catalytique de (A) donne un composé (B), d’autre part, l’oxydation

ménagée de (A) donne un composé (C). Identifier (B) et (C) et écrire les deux équations

des deux réactions donnant (B) et (C) à partir de (A).

5- On réalise un mélange de 20mL de (B) et 18,5 g de (C) additionné de 5mL d’acide

sulfurique concentré. Ce mélange est maintenu à une température de 60 ºC pendant

quelques jours. L’expérience montre que l’équilibre est atteint lorsque les 2/3 du réactif

limitant ont réagi.

a- Ecrire l’équation de la réaction qui a eu lieu et donner le nom systématique du

produit organique (E) obtenu.

b- Préciser le rôle de l’acide sulfurique.

c- Calculer, en moles, la composition des constituants organiques de l’équilibre. La

masse volumique du composé (B) est 0,8 g. mL-1

d- Proposer un moyen permettant d’augmenter le rendement de cette réaction.

On donne en g.mol-1 : M(H) =1 ; M(C) = 12 ; M(O) = 16 (22 points)




Concours d’entrée 2001-2002 Solution de Chimie Durée : 1 heure

1-

2- Le point d’équivalence (E) est donné par la méthode des tangentes, d’après le graphique les

coordonnées de (E) sont : abscisse : Vb = 8,8 mL et ordonnée : PH = 7,6

3- Equation chimique : NaOH est une base forte. Le pH de la solution, à l’équivalence, est

légèrement basique ; L’acide ascorbique, C6H8O6 est un acide faible.

La réaction chimique est totale et elle est donnée par :

C6H8O6 + HO-

676 OHC + H2O

4- Masse d’acide ascorbique contenue dans un comprimé ; discuter : L’acide ascorbique est

monoacide, l’hydroxyde de sodium est monobase.

- Masse d’acide ascorbique : A l’équivalence on a : CaVa = CbVb ; na = CaVa est le nombre

de moles d’acides dissoutes. nb = CbVb est le nombre de moles de base.

na = nb = CbVb = 0,32 x 8,8 x10-3 = 2,816 x10-3 mol.

m : masse de l’acide ascorbique dissoute est:

m = na .M (acide) = 2,816 x10-3 x 176 = 495.10-3 g.




- Discussion :

Le résultat est compatible avec l’indication du fabricant.

500 mg 495 mg, la différence 5 mg est due à l’erreur de mesure.

II- 1) Formule moléculaire de (A) est C3H6O.

M (CxHyO) = (12 x + y +16) g mol-1, M (CO2) = 44 g mol-1 et M (H2O) = 18 g mol-1

L’équation de combustion du compose (A) s’écrit :

OHy

xCOOy

xOHC yx 22222

1

4

(12x + y +16)g gy

yx 18.2

44

2.9 6.6g 2,7g

D’après la loi de proportions définies on peut écrire:

7,2

182

6,6

44

9,2

1612

yxyx

d’où x = 3 et y = 6

Par suite la formule moléculaire sera C3H6O

2) - Identification du groupe fonctionnel de (A) et formules semi-développées des isomères

de (A)

- Identification du groupe fonctionnel de (A) :

Composé (A) + bisulfite de sodium solide blanc

(A) renferme le groupement carbonyle C O

Composé (A) + DNPH précipité jaune :

(A) renferme le groupement carbonyle C O




- Formules semi-développées des isomères de (A) : (A) réagit à la fois avec le bisulfite de

sodium et avec le DNPH :

(A) peut être aldéhyde ou cétone. Les isomères possibles de (A) sont :

CH3 – C – CH3 Cétone : propanone

O

C2H5 – C –H aldéhyde : Propanal

O

3) Identification de (A) :

(A) + Liqueur de Fehling chaleur précipité rouge brique

Cétone + Liqueur de Fehling pas de réaction

Aldéhyde + Liqueur de Fehling il y a réaction

Ainsi (A) est un aldéhyde C2H5 – C – H propanal

O

4) Equations des réactions donnant (B) et (C) à partir de (A) :

A + H2 chaleur B

(A) Par oxydation ménagée C

(A) est un aldéhyde (question 3)

L’hydrogénation d’un aldéhyde conduit à un alcool primaire, donc (B) est un alcool primaire

C2H5 – CH2OH le propan -1-ol




C2H5 – C – H + H2 iN C2H5 – CH2OH (B)

O

L’oxydation ménagée d’un aldéhyde conduit à un acide carboxylique.

C2H5 – C – H + 2

1O2

PtouCu C2H5 – C– OH acide propanoïque (C)

O O

5) a- Equation de réaction entre le propan-1-ol (B) et l’acide propanoïque (C) et nom du produit

organique (E) :

- Equation de réaction : OHHCOOCHCCOOHHCOHHC 273525273

La réaction entre (B) et (C) est une estérification.

Le produit organique (E) est le propanate de propyle

b- Rôle de l’acide sulfurique

L’acide sulfurique concentré joue le rôle de catalyseur en favorisant la réaction

d’esterication. L’acide sulfurique permet d’atteindre l’équilibre en moins de temps.

c- Composition en moles des composés organiques à l’équilibre :

M ( COOHHC 52 ) = 74 g mol-1, m = 18,5g, molM

mn 25,0

74

5,18

M ( OHHC 73 ) = 60 g mol-1 , ρ= 0,8 Kg.L-1 ; V = 20 mL

M

m et m = ρ x V = 0,8 x 20 = 16g




Donc, le nombre initial de moles de (B) est : molM

mn

B

BB 266,0

60

16

1

266,0

11

256,0

1

)()(

AlcoolAcide net

n

L’acide est le réactif limitant si la réaction est totale. L’équilibre est atteint lorsque les

2 / 3 du réactif limitant ont réagi n acide ayant réagi = n ester formé.

n acide ayant réagi = 0,25 mol166,03

2

n ester formé = mol166,0

n acide restant = 0,25 - 0,166 = 0,083 mol

n alcool restant = 0,266 – 0,166 = 0,1 mol

d) Pour augmenter le rendement de la réaction on peut éliminer l’eau au fur et à mesure qu’elle

se forme.

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1200-2200مباراة الدخول للسنة الجامعية

المدة : ساعة واحدة لعربية مسابقة في اللغة ا

21/7/2001التاريخ:

العقل السليم في الجسم السليم، وفي هذا االتجاه ظ أن بدون تحف دها ن الكلمات المأثورة التي نرد م

ة، وتبعث فيهم الشجاعة ة جسدي قو ان األصحاء األشداء هم أبناء الرياضة التي تزيدهمبعض الحقيقة . فالشب

المجازفة. والرياضة الجسدية المعتدلة تزيد في مناعة األجسام فتحفظها من بعض األمراض. واإلقدام وحب

هناك حقيقة أخرى، وهي أن عقول المبرزين في األلعاب الرياضية ال تمتاز اجماال عن على أن

ت أن ن ال يعرفون من الكرة غير اسمها، وال يحسنون من الرياضة سوى القفز والركض، فاذا شئعقول م

وثابتا، فال قويا روض ضه كما ت بالرياضة الجسدية، بل عليك أن ترو تكتف يكون عقلك مثل جسمك مرنا

منك والعضالت. االعصاب

علمية. روضه بموضوع تدرسه وتتقصاه.رو ضه بالمطالعة والتفكير، روضه بالمناقشات األدبية وال

من النظريات والحقائق ظ، تفكر في ما تضمنه وأنت متيق فإن خير الرياضيات العقلية كتاب مفيد تطالعه،

والتعاليم.

جلك ضرب الكرة، فما أحسن من المضاء والمرونة في القوتين الجسدية عود عقلك التفكير كما تعود ر

والعقلية، وما أحسن التوازن بينهما.

أمين الريحاني

أسئلة

أوال: في الفهم والتحليل

عالمات( 3الرياضة الجسدية كما جاءت في النص؟ )ما فوائد -1

عالمات( 3) كيف يروض االنسان عقله في نظر الكاتب؟ -2

عالمات( 4 ) ما الرياضة التي تحب أن تمارسها؟ ولماذا؟ -3

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ثانيا: في التعبير الكتابي :

عالج الموضوع التالي:

نحو المطالعة وتدربهم على طرائق اإلفادة منها رغم المنافسة التي يلقاها كثيرا ما توجه المدارس تالمذتها

ما أهم شروط المطالعة المجدية؟ وما هي فوائدها في تنمية كل من الكتاب من وسائل التكنولوجيا الحديثة.

سطرا( 20-15وسع وناقش ) العقل واألخالق؟



Entrance exam 2001-2002 English Duration: 1 h

I. Read the passage carefully then answer the questions that follow. (Write only the answers).

In the organization of industrial life the influence of the factory 1 the

physiological and mental state of the workers has been neglected. Modern industry is based 2

the conception of maximum production at lowest cost, in order that the owner may earn 3 much

money as possible. It has expanded without any idea of the true nature of the human beings 4

run the machines and the effects produced on them. The great cities have 5 built with no regard

for us. The shape and dimensions of the skyscrapers depend entirely 6 the necessity of

obtaining the maximum income per square foot of ground, and of offering the tenants offices and

apartments that please them. This caused the construction of gigantic buildings where large

masses of humans are crowded together. While people enjoy the comfort and luxury of their

dwelling, they don’t realize that they are deprived of the necessities of life. Our cities consist 7

huge edifices and of dark, narrow streets full 8 fumes, dust, and toxic gasses, torn by the noise

of cars, lorries and busses, and thronged by large crowds. Obviously, it has not been planned for

the good of its inhabitants.

A. Answer the following questions. (3 points)

1- In what way is a modern factory similar to a large city?

2- What, according to the author, led to the building of huge skyscrapers?

3- What do those who enjoy living in cities fail to realize?

B. Write the word which best fits each blank space in the passage. (2 points)

1-_____ 2- _____ 3- _____ 4- _____ 5- _____ 6- _____ 7- _____ 8- _____

C. What are the four words the writer uses to mean a place where people live? (2 points)

1- _____ 2- _____ 3- _____ 4- _____

D. Find a word in the text that is similar in meaning to each of the following: (3 points)

1- very huge 2- got larger 3- opposite of wide 4- poisonous 5- people who live in a

place 6- people who rent a house.

E. Rewrite each of the following sentences using the words in brackets. (2 points)

1- Despite her dislike for coffee, she drank it to keep herself warm. (although).

2- You can’t enter if you don’t have a ticket. (unless).

3- My brother likes to swim in the summer. (enjoy).

4- I’m sorry, I’m late. (apologize).

II. Write about the advantages and disadvantages of living in a city. (Around 100 Words)



(8 points)

Entrance exam 2001-2002 Answer of English Duration: 1 h

A. Answer the following questions. (3 points)

1- It has expanded without any idea

2- The necessity of obtaining the maximum income per square foot of ground.

3- They fail to realize that they are deprived of the necessities of life.

B. Write the word which best fits each blank space in the passage. (2 points)

1- on 2- upon 3- as 4- that 5- been 6- on 7- of 8- of

C. What are the four words the writer uses to mean a place where people live? (2 points)

1- apartment 2- dwelling 3- edifice 4- building

D. Find a word in the text that is similar in meaning to each of the following: (3 points)

1- Very huge /gigantic 2- got larger/expanded 3- opposite of wide/narrow

4- poisonous/toxic 5- people who live in a place/inhabitants

6- People who rent a house /tenants

E. Rewrite each of the following sentences using the words in brackets. (2 points)

1-Despite her dislike for coffee, she drank it to keep herself warm. (although)

Although she dislikes/disliked her coffee, she drank it to keep herself warm.

2-You can’t enter if you don’t have a ticket. (Unless)

Unless you have a ticket, you can’t enter.

3- My brother likes to swim in the summer. (enjoy)

My brother enjoys swimming in the summer.

4- I’m sorry, I’m late. (apologize)

I apologize for being late.




Concours d’entrée 2001-2002 Composition de Français Durée: 1 heure

Le 22/7/2001

J’ai commencé ma vie comme je la finirai sans doute : au milieu des livres. Dans le bureau

de mon grand-père, il y en avait partout ; défense était faite de les épousseter (1) sauf une fois

l’an, avant la rentrée d’octobre. Je ne savais pas encore lire que, déjà ; je les révérais(2), ces

pierres levées : droites ou penchées, serrées comme des briques sur les rayons de la bibliothèque,

je sentais que la prospérité de notre famille en dépendait. Elles se ressemblaient toutes, je

m’ébattais dans un minuscule sanctuaire(3), entouré de monuments antiques qui m’avaient vu

naître, qui me verraient mourir et dont la permanence me garantissait un avenir aussi calme que

le passé. Je les touchais en cachette pour honorer mes mains de leur poussière mais je ne savais

trop qu’en faire et j’assistais chaque jour à des cérémonies dont le sens m’échappait : mon grand-

père- si maladroit, d’habitude, que ma mère lui boutonnait ses gants- maniait ces objets culturels

avec adresse. Je l’ai vu mille fois se lever d’un air absent, faire le tour de sa table, traverser la

pièce en deux enjambées, prendre un volume sans hésiter, sans se donner le temps de choisir, le

feuilleter en regagnant son fauteuil, par un mouvement combiné du pouce et de l’index puis, à

peine assis, l’ouvrir d’un coup sec « à la bonne page » » en le faisant craquer comme un soulier.

Jean-Paul Sartre, les Mots.

(1) épousseter : essuyer la poussière

(2) révérais : vénérais, respectais

(3) sanctuaire : édifice consacré aux cérémonies religieuses

I. Questions sur le texte

1- Que suggère la première phrase du texte ? (2pts.)

2- Expliquez la phrase suivante du texte : « Elles se ressemblaient…..le passé » (2pts.)

3- Quelles attitudes successives l’enfant adopte-t-il face aux livres ? Illustrez votre réponse par

des expressions tirées du texte. (4pts.)

4- Relevez du texte une phrase qui contient de l’humour. Justifiez votre réponse. (2pts.)

II. Production écrite (10pts.)

« J’ai commencé ma vie comme je la finirai sans doute : au milieu des livres » écrit Sartre.

D’après vous, peut-on faire la même réflexion au XXIème siècle ? Exposez votre point de vue en

une dizaine de lignes.




Concours d’entrée 2001-2002 correction de Français Durée: 1 heure

Le 22/7/2001

1-La première phrase suggère que l’auteur est décidé de mourir en lisant des ouvrages comme de

la même manière dont il est né.

2-Elles se ressemblaient toutes, je m’ébattais dans un minuscule sanctuaire, entouré de

monuments antiques qui m’avaient vu naître, qui me verraient mourir et dont la permanence me

garantissait un avenir aussi calme que le passé.

Tous les livres avaient une apparence semblable, je me déplaçais dans un petit endroit sacré,

protégé par ces ouvrages ayant la dimension d’immenses constructions témoins de ma naissance

et de ma mort et m’assurant, par leur continuité, un futur aussi serein que celui du temps révolu.

3- a-Stabilité : « J’ai commencé ma vie comme je la finirai sans doute : au milieu des livres. »

b-Peur : « défense ».

c-Respect et reconnaissance : « révérais ».

d-Admiration : « honorer » et « cérémonies ».

4-L’humour se trouve dans la phrase :

« je sentais que la prospérité de notre famille en dépendait. »

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