Le modèle de croissance à taux d’épargne exogène

Introduction Presentation Resolution

Macroeconomie 1 (1/6)

Le modele de croissance a taux d’epargne exogene(Solow-Swan)

Olivier Loisel

ensae

Septembre − Decembre 2021

Olivier Loisel, Ensae Macroeconomie 1 (1/6) : le modele de Solow-Swan Sept.-Dec. 2021 1 / 55


La croissance a long terme

“Croissance” : croissance du Produit Interieur Brut (PIB) par tete.

La croissance est un phenomene relativement recent :

Annee 1500 1820 1992Population mondiale (millions) 425 1068 5441PIB mondial par tete ($ de 1990) 565 651 5145

Source : Maddison (1995).

Le taux de croissance annuel moyen a l’echelle mondiale est de

0,04% entre 1500 et 1820,1,21% entre 1820 et 1992.



Dispersion des PIBs par tete entre pays

Source : Barro et Sala-i-Martin (1996).



Dispersion des taux de croissance entre pays




Questions

Principales questions abordees dans les parties 1 et 2 du cours :

a quoi est due cette croissance a long terme ?

a quoi est due cette dispersion des PIBs par tete et des taux decroissance entre les pays ?

quelle politique economique permettrait de maximiser ou d’optimiser lacroissance de long terme ?

Questions qui peuvent etre jugees plus importantes, pour le bien-etre deshommes, que les questions de fluctuations macroeconomiques de courtterme (Lucas, 2003).



Les theories de la croissance

“Theorie de la croissance exogene (resp. endogene)” ≡ theorie danslaquelle le taux de croissance a long terme est egal (resp. n’est pas egal) aun taux de progres technique exogene.

Theories de la croissance exogene :

le modele a taux d’epargne exogene (etudie au chapitre 1),le modele a taux d’epargne endogene (etudie au chapitre 2).

Theories de la croissance endogene :

le modele avec apprentissage par la pratique (etudie au chapitre 3),le modele avec variete des biens (etudie au chapitre 4),le modele schumpeterien (pas etudie dans ce cours).

Joseph A. Schumpeter : economiste autrichien, ne en 1883 a Triesch, morten 1950 a Salisbury, professeur a l’Universite de Harvard de 1927 a 1950.



Modele de Solow-Swan

Le modele avec taux d’epargne exogene, elabore independamment par Solow(1956) et Swan (1956), est appele “modele de Solow-Swan”.

Robert M. Solow : economiste americain, ne en 1924 a New York,professeur au MIT depuis 1950, laureat du prix de la Banque de Suede ensciences economiques en memoire d’Alfred Nobel en 1987 “for hiscontributions to the theory of economic growth”.

Trevor W. Swan : economiste australien, ne en 1918 a Sydney, mort en1989, professeur a l’Universite Nationale d’Australie de 1950 a 1983.

Ce modele n’est pas micro-fonde, contrairement aux modeles etudies dans lasuite du cours, mais il fait neanmoins l’objet du chapitre 1 car

il demeure une reference tres utile pour comprendre la croissance,il permet d’introduire des concepts utilises dans les autres modeles.



Plan du chapitre

1 Introduction

2 Presentation

3 Resolution

4 Implications positives

5 Implications normatives

6 Conclusion



Presentation du modele

1 Introduction

2 Presentation

Apercu generalVariablesFonction de productionDynamique du capital

3 Resolution



6 Conclusion



Apercu general du modele

Capital (stock) et travail (flux) sont utilises pour produire des biens (flux).

Les biens produits (flux) sont utilises pour la consommation (flux) etl’investissement en nouveau capital (flux).

Le taux d’epargne (quantite de biens non consommee, ou epargnee, ouinvestie / quantite totale de biens produits) est exogene.

Le capital (stock) evolue dans le temps en fonction de l’investissement(flux) et de la depreciation du capital (flux).



Variables exogenes

Ni flux ni stock :

temps continu, indice par t,taux d’epargne s, tel que 0 < s < 1.

Flux :

travail = 1 par tete.

Stocks :

capital initial K0 > 0,population Lt = L0e

nt , ou L0 > 0 et n ≥ 0,parametre de productivite At = A0e

gt , ou A0 > 0 et g ≥ 0.



Variables endogenes

Flux :

production Yt ,consommation Ct .

Stock :

capital Kt (sauf en t = 0).

Resoudre le modele ≡ obtenir chaque variable endogene en fonction desseules variables exogenes.



Fonction de production I

Fonction de production F : Yt = F (Kt ,AtLt) (progres techniqueaugmentant l’efficacite du travail ou “neutre au sens de Harrod”).

Roy F. Harrod : economiste anglais, ne en 1900 a Londres, mort en 1978 aHolt, professeur a l’Universite d’Oxford de 1923 a 1967.

Notant Fj la derivee premiere de F et Fj,j sa derivee seconde par rapport a

son j ieme argument pour j ∈ {1, 2}, on fait les hypotheses suivantes sur F :

1 F : R+2 → R+, (x , y) 7→ F (x , y) ; ∀(x , y) ∈ R+2, F (x , 0) = F (0, y) = 0.

2 F est strictement croissante en chacun de ses arguments :∀(x , y) ∈ R+2, F1(x , y) > 0 et F2(x , y) > 0 (les productivites marginalesdu capital et du travail efficace sont strictement positives).



Fonction de production II

3 F est strictement concave en chacun de ses arguments : ∀(x , y) ∈ R+2,F1,1(x , y) < 0 et F2,2(x , y) < 0 (les productivites marginales du capital etdu travail efficace sont strictement decroissantes).

4 F est homogene de degre 1 (ou “a rendements d’echelle constants”) :∀(x , y ,λ) ∈ R+3, F (λx ,λy) = λF (x , y).

5 F satisfait les conditions d’Inada (1963) :

∀y ∈ R+, limx→0+

F1(x , y) = +∞ et limx→+∞

F1(x , y) = 0,

∀x ∈ R+, limy→0+

F2(x , y) = +∞ et limy→+∞

F2(x , y) = 0.

Exemple de fonction satisfaisant ces hypotheses : fonction deCobb-Douglas F (x , y) = xαy1−α avec 0 < α < 1.



Reecriture de la fonction de production

En notant κt ≡ KtAtLt

le stock de capital par unite de travail efficace, onobtient

Yt

AtLt=

1

AtLtF (Kt ,AtLt) = F (κt , 1) ≡ f (κt)

ou f a les proprietes suivantes :

1 f : R+ → R+, z 7→ f (z), avec f (0) = 0,

2 f est strictement croissante : ∀z ∈ R+, f ′(z) > 0,

3 f est strictement concave : ∀z ∈ R+, f ′′(z) < 0,

4 f satisfait les conditions d’Inada (1963) : limz→0+

f ′(z) = +∞ et

limz→+∞

f ′(z) = 0.



Forme de la fonction de production f

0 κt = Kt/(AtLt)

Yt/(AtLt)

0



Autres fonctions de production

La partie 1 des TDs considere d’autres fonctions de production, qui nesatisfont pas necessairement les memes conditions :

Yt = K αt H

βt (AtLt)1−α−β, ou Ht represente le capital humain,

Yt = K αt (AtLt)βR

1−α−βt , ou Rt represente une ressource naturelle en

quantite fixe (comme la terre),

Yt = min(AKt ,BLt), dite fonction de Leontief ou a proportions fixes,

avec α > 0, β > 0, α + β < 1, A > 0 et B > 0.

Wassily W. Leontief : economiste russo-americain, ne en 1905 a Munich,mort en 1999 a New York, professeur a l’Universite de Harvard de 1932 a1975, laureat du prix de la Banque de Suede en sciences economiques enmemoire d’Alfred Nobel en 1973 “for the development of the input-outputmethod and for its application to important economic problems”.



Hypotheses sur la dynamique du capital

1 Entre t et t + dt, une fraction exogene et constante s de la production Ytdtest epargnee et investie dans du nouveau capital, avec 0 < s < 1.

2 Entre t et t + dt, une fraction exogene et constante δdt du stock de capitalKt disparaıt a cause de la depreciation du capital, avec δ > 0.

↪→ La dynamique du stock de capital est donc decrite par l’equation

·K t = sYt − δKt .



Resolution

1 Introduction

2 Presentation

3 Resolution

Equation differentielleEtat regulierConvergence vers l’etat regulierResolution dans le cas Cobb-Douglas



6 Conclusion



Equation differentielle

En divisant·K t = sYt − δKt par AtLt et en utilisant

·K t

AtLt=

·K t

Ktκt =

·κtκt

+

·At

At+

·LtLt

κt =·κt + (g + n) κt ,

on obtient l’equation differentielle

·κt = sf (κt)− (n+ g + δ) κt

a resoudre pour un κ0 donne.



Etat regulier I

Etat regulier (ou stationnaire, ou encore de croissance equilibree) ≡situation dans laquelle κ0 est tel que toutes les quantites sont non nulles etcroissent a taux constants.

En divisant·κt = sf (κt)− (n+ g + δ) κt par κt , on obtient que

·κtκt

est constant dans le temps ⇒ f (κt)

κtest constant dans le temps.

La fonction f est strictement concave, donc telle que tout arc est au-dessusde sa corde : en particulier, ∀y ∈ R+∗, ∀λ ∈]0, 1[,

f (λy) = f [(1− λ)0+ λy ] > (1− λ)f (0) + λf (y) = λf (y).



Etat regulier II

En ecrivant λ = xy avec 0 < x < y , on obtient alors : ∀(x , y) ∈ R+∗2, si

x < y alorsf (x)x > f (y )

y .

On en deduit que la fonction z 7→ f (z)z est strictement decroissante et donc

bijective, de sorte que

f (κt)

κtest constant dans le temps ⇒ κt est constant dans le temps.

Par consequent, a l’etat regulier, κt est constant dans le temps et egal al’unique valeur κ∗ > 0 telle que

sf (κ∗)− (n+ g + δ) κ∗ = 0.



Etat regulier III

κ*0

Dilution plus dépréciation

= (n+g+δ)κt

Epargne = sf(κt)

0

κt



Etat regulier IV

En derivant sf (κ∗)− (n+ g + δ) κ∗ = 0 par rapport a s, n, g ou δ, et enutilisant sf ′(κ∗) < n+ g + δ, on obtient que κ∗ est

croissant en s,decroissant en n, g , δ,

comme l’illustre le graphique precedent.

Dans le cas ou F (x , y) = xαy1−α avec 0 < α < 1 (≡ “cas Cobb-Douglas”),on a f (z) = zα et donc

κ∗ =

(s

n+ g + δ

) 11−α

.



Convergence vers l’etat regulier

Representation graphique de·κt = sf (κt)− (n+ g + δ) κt :

κ*0


= (n+g+δ)κt

Epargne = sf(κt)

0

κt

κ0

κt converge donc vers κ∗.



Interpretation de la convergence vers l’etat regulier I

(En italique : par unite de travail efficace.)

productivite marginale du capital F1(Kt ,AtLt) decroıtde +∞ (lorsque Kt → 0) a 0 (lorsque Kt → +∞)

⇓productivite marginale du capital f ′ (κt) decroıtde +∞ (lorsque κt → 0) a 0 (lorsque κt → +∞)

⇓

productivite moyenne du capitalf (κt )

κtdecroıt

de +∞ (lorsque κt → 0) a 0 (lorsque κt → +∞)

⇓...



Interpretation de la convergence vers l’etat regulier II

⇓

ratioepargne sf (κt )

dilution plus depreciation (n+g+δ)κtdecroıt

de +∞ (lorsque κt → 0) a 0 (lorsque κt → +∞)

⇓

epargne sf (κt) ⋛ dilution plus depreciation (n+ g + δ) κt

lorsque κt ⋚ κ∗

⇓·κt ⋛ 0 lorsque κt ⋚ κ∗

La convergence de κt vers κ∗ est donc due a la decroissance de laproductivite du capital.



Resolution dans le cas Cobb-Douglas I

Dans le cas ou F (x , y) = xαy1−α avec 0 < α < 1, l’equation differentielledevient ·

κt = sκαt − (n+ g + δ) κt .

En notant ut ≡ κ1−αt , on obtient

·ut = (1− α) κ−α

t·κt et l’equation

differentielle peut donc se reecrire

·ut

s − (n+ g + δ) ut= 1− α.



Resolution dans le cas Cobb-Douglas II

En integrant cette derniere equation, on obtient

−1

n+ g + δln

[s − (n+ g + δ) uts − (n+ g + δ) u0

]= (1− α) t

puis

ut =s − [s − (n+ g + δ) u0] e

−(n+g+δ)(1−α)t

n+ g + δ.

En utilisant κt = u1

1−αt et l’expression de κ∗, on obtient alors

κt ={(κ∗)1−α −

[(κ∗)1−α − κ1−α

0

]e−(n+g+δ)(1−α)t

} 11−α

,

qui dit que κ1−αt converge exponentiellement, au taux (n+ g + δ) (1− α),

vers sa valeur a l’etat regulier (κ∗)1−α.



Resolution dans le cas Cobb-Douglas III

Notons yt ≡ YtLt

la production par unite de travail, qui correspond au PIBpar tete.

En utilisant yt = Atκαt , on obtient

yt ={(κ∗)1−α −

[(κ∗)1−α − κ1−α

0

]e−(n+g+δ)(1−α)t

} α1−α

A0egt .


Implications positives Implications normatives Conclusion

Implications positives

1 Introduction

2 Presentation

3 Resolution


Croissance a long termeEffet de la hausse ou baisse permanente d’un parametreConvergence conditionnelle, pas absolue


6 Conclusion



Croissance a long terme

Notons Gt ≡·y tyt

le taux de croissance de la production par tete.

On a yt = At f (κt), donc Gt =·AtAt

+ f ′(κt )·κt

f (κt )= g + f ′(κt )

·κt

f (κt ).

Puisque limt→+∞

f ′(κt )·κt

f (κt )= 0, on obtient

limt→+∞

Gt = g ,

c’est-a-dire que le taux de croissance de long terme est egal au taux deprogres technique.



Les deux sources de croissance

Notons kt ≡ KtLt

le stock de capital par tete.

On a yt = F (kt ,At), donc les deux sources potentielles de croissance de laproduction par tete yt sont

l’accroissement du stock de capital par tete kt ,le progres technique, c’est-a-dire l’accroissement de la productivite At .

A court terme, la croissance peut etre due a ces deux facteurs.

A long terme, elle ne peut etre due qu’au second facteur : sans progrestechnique (g = 0), kt → A0κ∗ lorsque t → +∞, et il n’y a donc pas decroissance a long terme.



Sentier de long terme de ln(yt)

Notons y∗t ≡ At f (κ∗) la valeur de yt a l’etat regulier.

Le sentier de ln(yt) = ln(A0) + ln[f (κt)] + gt admet pour asymptote,lorsque t → +∞, celui de ln(y∗t ) = ln(A0)+ ln[f (κ∗)] + gt, au sens ou

limt→+∞

[ln(yt)− ln(y∗t )] = 0.

Donc le sentier de long terme de ln(yt) est une droite qui a

une ordonnee a l’origine qui depend positivement de A0, s,une ordonnee a l’origine qui depend negativement de n, g , δ,une pente qui depend positivement de g .



Representation graphique dans le cas Cobb-Douglas

0 t

ln(yt)

0

ln(A0) + α.ln(κ*)

ln(A0) + α.ln(κ0)

Pente g



Effet d’une variation discontinue d’un parametre

Suite a une variation discontinue de s, n, δ ou g ,

kt reste une fonction continue du temps car c’est un stock,

At reste une fonction continue du temps car c’est un stock (si g = g0pour t < T et g = g1 pour t ≥ T , alors At = A0e

g0t pour t ≤ T etAt = AT e

g1(t−T ) pour t ≥ T ),

yt reste une fonction continue du temps car yt = F (kt ,At).

Notons ct ≡ CtLt

la consommation par tete.

On a ct = (1− s)yt , donc

suite a une variation discontinue de n, δ ou g , ct reste continue,suite a une variation discontinue de s, ct varie de maniere discontinue.



Effet d’une hausse permanente de s

t

ln(yt)

s

t

(L’economie est supposee etre initialement a l’etat regulier.)



Effet d’une baisse permanente de n ou δ

t

ln(yt)

n ou d

t

(L’economie est supposee etre initialement a l’etat regulier. La vitesse de convergence

de ln(yt ) vers son nouveau sentier de long terme est plus faible que sur le slide 37.)



Effet d’une hausse permanente de g

t

ln(yt)

g

t

ou

t

ln(yt)

(L’economie est supposee etre initialement a l’etat regulier. La vitesse de convergence

de ln(yt ) vers son nouveau sentier de long terme est plus elevee que sur le slide 37.)



Convergence conditionnelle, pas absolue

Convergence conditionnelle des niveaux de production par tete (enlogarithme) entre les pays : convergence a long terme des ln(yt) entre lespays ayant des y0 differents mais les memes parametres

de technologie A0, g , f (.),d’evolution du capital et du travail s, n, δ,

car ces pays ont le meme sentier de long terme de ln(yt).

Pas de convergence absolue : pas de convergence a long terme des ln(yt)entre les pays ayant des parametres A0, g , f (.), s, n, δ differents.

En effet, un pays croıt d’autant plus vite qu’il est eloigne de son propresentier de long terme, et non pas d’autant plus vite qu’il est pauvre.



Exemple de divergence absolue

t

ln(yt)



Dans les donnees, pas de signe de convergence absolue...

Pas de convergence des PIBs par tete au sein d’un groupe heterogene de pays




...mais des signes de convergence conditionnelle

Convergence des PIBs par tete au sein d’un sous-groupe homogene de pays (ceux

de l’OCDE)




Tests de convergence conditionnelle

La litterature empirique testant la convergence conditionnelle estimegeneralement, sur donnees de panel, une equation de la forme

1

Tln

(yi ,t+T

yi ,t

)= β0 + β1 ln (yi ,t) + β2Xi ,t + ui ,t ,

ou Xi ,t est un vecteur de variables de controle incluant si , ni , δi (ensupposant que les pays disposent de la meme technologie).

L’hypothese de convergence conditionnelle correspond alors a β1 < 0 et, leplus souvent, n’est pas rejetee par les donnees.



Implications normatives

1 Introduction

2 Presentation

3 Resolution



Regle d’or de l’accumulation du capitalLorsque s > sorLorsque s < sor

6 Conclusion



Regle d’or de l’accumulation du capital I

A l’etat regulier, la consommation par tete est egale a

(1− s) y∗t = (1− s)At f (κ∗).

Elle est positive et tend vers 0 lorsque s → 0 et lorsque s → 1.

Par consequent, elle est maximale pour une valeur sor ∈ ]0; 1[ de s.

En utilisant sf (κ∗) = (n+ g + δ) κ∗, on peut la reecrire comme

At [f (κ∗)− (n+ g + δ) κ∗] .



Regle d’or de l’accumulation du capital II

Par consequent, sor est l’unique valeur de s telle que

f ′(κ∗) = n+ g + δ

(i.e. telle que la productivite marginale du capital par unite de travail effic.est egale a la somme des taux de depreciation et de dilution du capital).

Cette derniere equation est appelee “regle d’or de l’accumulation ducapital” (Phelps, 1966).

Edmund S. Phelps : economiste americain, ne en 1933 a Evanston,professeur a l’Universite de Columbia depuis 1971, laureat du prix de laBanque de Suede en sciences economiques en memoire d’Alfred Nobel en2006 “for his analysis of intertemporal tradeoffs in macroeconomic policy”.

Sur le slide suivant, on determine d’abord le point A grace a la regle d’or del’accumulation du capital, puis on en deduit les points B et C ; le segmentAB represente l’ecart maximal entre la courbe de production et la droite dedilution plus depreciation.



Regle d’or de l’accumulation du capital III

Stock de capital à l’état

régulier et à la règle d’or

= κ* à la règle d’or

0


= (n+g+δ)κt

Production = f(κt)

0

κt

Consommation à l’état

régulier et à la règle d’or

= (1‐sor)f(κ*) à la règle d’or

Epargne à la règle

d’or = sorf(κt)

Droite de pente n+g+δ

B

A

Epargne à l’état régulier et à la

règle d’or = sorf(κ*) à la règle d’or C



Lorsque s > sor I

Lorsque s > sor , une diminution de s vers sor augmenterait laconsommation par tete (1− s) yt en tout point du temps :

a long terme (par definition de sor ),a court terme (car la hausse de 1− s dominerait la baisse de yt).

Dans ce cas, il y a inefficience dynamique (≡ situation dans laquelle onpourrait augmenter la consommation par tete en tout point du temps), duea une sur-accumulation du capital.

Dans la mesure ou l’utilite des agents depend positivement de leurconsommation a court terme et a long terme, cette diminution de s vers sorest souhaitable.



Lorsque s > sor II

t

ln(yt)

s

t

t

ln(ct)

ln(kt)

t

sor

(En supposant que l’economie est initialement a l’etat regulier.)



Lorsque s < sor I

Lorsque s < sor , une hausse de s vers sor

augmenterait la consommation par tete a long terme (par def. de sor ),la reduirait a court terme (car la baisse de 1− s dominerait la haussede yt).

Dans ce cas, il n’y a pas inefficience dynamique.

Pour juger si cette hausse de s vers sor est souhaitable, il faut pondererl’utilite de la consommation a court terme et l’utilite de la consommation along terme (ce que fait le chapitre 2).



Lorsque s < sor II

t

ln(yt)

s

t

t

ln(ct)

ln(kt)

t

sor

(En supposant que l’economie est initialement a l’etat regulier.)



Conclusion

1 Introduction

2 Presentation

3 Resolution



6 Conclusion



Principales predictions du modele

A long terme, la croissance est uniquement due au progres technique.

L’effet de l’accumulation du capital sur la croissance disparaıt a long terme acause de la decroissance de la productivite marginale du capital.

Il y a convergence conditionnelle des niveaux de production par tete (enlogarithme) entre les pays.

Il y a inefficience dynamique, due a une sur-accumulation du capital, lorsquele taux d’epargne excede celui de la regle d’or.



Principales limites du modele

Le taux d’epargne s est exogene. S’il etait endogene,

pourrait-on encore avoir une inefficience dynamique ?quel role devrait jouer une politique influencant le taux d’epargne ?

↪→ Le chapitre 2 endogeneise le taux d’epargne.

Le taux de progres technique g est exogene. S’il etait endogene,

y aurait-il des politiques capables de l’influencer ?quel role devraient-elles jouer ?

↪→ Les chapitres 3 et 4 (“theories de la croissance endogene”)endogeneisent le taux de progres technique.


Documents

Le modèle de croissance à taux d’épargne exogène