Law  of  Sines  Ambiguous  Case    Grade:        11                                                                                                                                  Subject:    Pre-­‐Calculus  11                                                                                                                                                                                      Unit:                Trigonometry      Learning  Target:  Develop  an  understanding  of  the  ambiguous  case.    Explore  three  different  cases  and  determine  how  they  are  related.      Curriculum  Outcomes:    

GCO’s   SCO’s    Students  will  be  expected  to  develop  trigonometric  reasoning.  

 AN01:  Students  will  be  expected  to  solve  problems,  using  the  cosine  law,  and  the  sine  law,  including  the  ambiguous  case.    

 Expected  Time:      1-­‐2  classes      Resources:  (Tools  &  Tech)  

 Lesson  Procedure  

   

       

We  Do:    Law  of  Sines  Ambiguous  Case  Activity.    This  activity  should  be  completed  before  students  receive  an  introduction  of  the  ambiguous  case.    Students  should  discover  on  their  own  that  with  some  sides  lengths,  two  possible  triangles  can  be  created.    Some  students  will  need  some  prompts  to  see  this  as  they  will  fall  into  the  trap  of  assuming  a  pattern  and  not  examining  other  options.    Teacher  directions  and  suggestions  have  been  provided  with  further  explanation  than  is  provided  on  the  student  directions  sheet.    The  idea  is  that  students  will  discover  the  ambiguous  case  on  their  own  and  be  able  to  visualize  the  different  scenarios  once  

the  theory  is  presented.    

   

I  Do  /  You  Do:    Student  Worksheet  is  provided.    The  chart  should  be  filled  out  as  a  class  discussion,  and  an  example  is  provided  on  the  sheet  for  applying  the  concept  of  the  ambiguous  case  to  solving  triangles.    Solutions  to  student  worksheet  have  been  provided.    

  You  Do:    Practice  Problems  to  reinforce  the  concept  of  ambiguous  case.    

     

LAW  OF  SINES:  AMBIGUOUS  CASE  ACTIVITY    

   Materials  Needed:   Strips  of  paper  or  pipe  cleaners  (2  different  colours)           Protractor           Ruler           11  x  17  piece  of  paper    Directions:    

• Draw  a  broken  line  near  the  bottom  of  the  paper;  this  will  be  the  base  line  of  the  triangle.  

 • Cut  one  strip  of  paper  16  cm  long.    Attach  it  to  the  baseline  at  a  30°  angle  to  

form  one  arm  of  the  triangle.  This  strip  will  not  be  adjusted  so  it  should  be  taped  into  position.  

 • Start  with  a  second  strip  that  is  24  cm  long.  

                   

• As  triangles  are  created,  draw  a  sketch  of  the  triangle       on  the  paper.              

• Shorten  the  strip  by  1  cm  increments,  drawing  the  all  the  triangles  that  can  be  created  as  you  go.  

   

Hint:    There  will  be  more  than  20  possible  triangles!!      

 LAW  OF  SINES:  AMBIGUOUS  CASE  ACTIVITY  

Teacher  Directions    

 Materials  Needed:   Strips  of  paper  or  pipe  cleaners  (2  different  colours)           Protractor           Ruler           11  x  17  piece  of  paper    Directions:    

• Draw  a  broken  line  near  the  bottom  of  the  paper;  this  will  be  the  base  line  of  the  triangle.  

 • Cut  one  strip  of  paper  16  cm  long.    Attach  it  to  the  baseline  at  a  30°  angle  to  

form  one  arm  of  the  triangle.  This  strip  will  not  be  adjusted  so  it  should  be  taped  into  position.  

 • Start  with  a  second  strip  that  is  24  cm  long.  

                 

• As  triangles  are  created,  draw  a  sketch  of  the  triangle       on  the  paper.                

• Shorten  the  strip  by  1  cm  increments,  drawing  the  all  the  triangles  that  can  be  created  as  you  go.  

         

Notes:      Once  the  strip  becomes  shorter  than    the  fixed  arm  of  the  triangle,  there  will    be  two  possible  triangles  for  each  arm  length.            When  the  strip  is  half  the  length  of  the  fixed  arm,    the  triangle  formed  will  be  right  angled.        (𝑎 = 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴)                  When  the  strip  is  shorter  than  half  the    length  of  the  arm  (𝑎 < 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴),    no  possible  triangle  can  be  formed.                      Have  students  identify  the  total    number  of  triangles  that  were  created  and  for  which  lengths,    there  were  two  possible  triangles.                  

LAW  OF  SINES:  AMBIGUOUS  CASE  

Sketch of Possible Triangle(s) Number of Solutions

a > b

a = b

a < b

Ex. Solve ∆ ABC if ∠ A = 27° , a = 3.2 cm , b = 4.1 cm.

Practice Problems: For  each  of  the  following  questions,  

• Indicate  whether  the  given  measurements  result  in  no  triangle,  one  triangle,  or  two  triangles.    

• Draw  a  sketch  of  the  possible  triangle(s).  • Solve  the  resulting  triangle.  Round  the  answer  to  the  nearest  tenth.    

   1.   ∠  A  =  22°,  a  =  16.8  cm,  b  =  22.42  cm    2.    ∠B  =  96°,  b  =  3  cm,  a  =  24  cm  

3.    a  =  9  cm,  b  =  7  cm  ,  ∠A  =  49°    

Solutions:   Sketch of Possible Triangle(s) Number of Solutions

a > b

1 possible triangle

a = b

1 possible triangle

a < b

2 solutions if 𝒂 > 𝒃𝒔𝒊𝒏𝑨 1 solution if 𝒂 = 𝒃𝒔𝒊𝒏𝑨 No Solution if 𝒂 < 𝒃𝒔𝒊𝒏𝑨

   Ex. Solve ∆ ABC if ∠ A = 27° , a = 3.2 cm , b = 4.1 cm. a < b: Ambiguous Case a = 3.2 , bsinA = 1.86 a > bsinA: 2 solutions        

∠A = 27°

a = 3.2 cm

∠B = 36°

b = 4.1 cm

∠C = 117°

c = 6.3 cm

∠A = 27°

a = 3.2 cm

∠B = 144°

b = 4.1 cm

∠C = 9°

c = 1.1 cm

Practice  Problems:    

1)      Two  possible  triangles:  

  Solution  1:     ∠B  =  30°,  ∠C  =  128°,  c  =  35.3    

  Solution2:   ∠B  =  150°,  ∠C=8°,  c  =  6.2    

 

2)    No  triangle  exists.    

 

3)    One  triangle    

∠B  =  35.94°,  ∠C  =  95.06°,  c  =  11.88