Las Medallas Fields y los Las Medallas Fields y los problemas del Milenioproblemas del Milenio

por Julio Bernuéspor Julio Bernués

Medallas Fields en Medallas Fields en Matemáticas 2006Matemáticas 2006

Ceremonia inaugural del Ceremonia inaugural del International Congress of International Congress of Mathematicians (ICM).Mathematicians (ICM).

Palacio Municipal de Congresos.Palacio Municipal de Congresos.Madrid, 22 de Agosto de 2006, 10,30h.Madrid, 22 de Agosto de 2006, 10,30h.

www.icm2006.orgwww.icm2006.org

International Congress of International Congress of Mathematicians, 2006. Madrid, 22-30 Mathematicians, 2006. Madrid, 22-30

de Agosto.de Agosto.

Dividido en 20 secciones.Dividido en 20 secciones. 1 Charla Plenaria por cada sección.1 Charla Plenaria por cada sección. +- 10 Charlas de sección.+- 10 Charlas de sección. 1000+ comunicaciones.1000+ comunicaciones.

Españoles en el ICM: Españoles en el ICM:

1 (de sección) en 1994. 1+10 en 2006. 1 (de sección) en 1994. 1+10 en 2006.

International Congress of International Congress of MathematiciansMathematicians

Primer ICM. Zurich, 1897.Primer ICM. Zurich, 1897.

Celebración cada 4 años.Celebración cada 4 años.

Desde 1920 organizado por la Desde 1920 organizado por la International Mathematical Union (IMU).International Mathematical Union (IMU).

Se otorga Medalla Fields, Nevalinna Prize, Se otorga Medalla Fields, Nevalinna Prize, Gauss Prize.Gauss Prize.

Medallas Fields en Medallas Fields en MatemáticasMatemáticas

Primer ICM fuera de Europa en Primer ICM fuera de Europa en Toronto (Canadá) en 1924. Toronto (Canadá) en 1924.

J.C. Fields propone creación de una J.C. Fields propone creación de una medalla que premie los logros medalla que premie los logros matemáticos de un autor. matemáticos de un autor.

Primeras medallas en el ICM de Oslo, Primeras medallas en el ICM de Oslo, 1936. 1936.

Medallas Fields en Medallas Fields en MatemáticasMatemáticas

John Charles FieldsJohn Charles Fields

Canadá, 1863-1932. Canadá, 1863-1932.

Medallas Fields: el Nobel de las Medallas Fields: el Nobel de las matemáticasmatemáticas

Alfred Nobel Alfred Nobel 1833-1896 1833-1896

John Charles FieldsJohn Charles Fields1863-19321863-1932

Francia, 1888Francia, 1888

““El mercader de la El mercader de la muerte, ha muerte, ha muerto”muerto”

Alfred Nobel Alfred Nobel 1833-1896 1833-1896

Premios NobelPremios Nobel

Nobel (en 1895) legó su fortuna para Nobel (en 1895) legó su fortuna para crear una fundación que otorgara crear una fundación que otorgara premios anuales entre aquéllos que premios anuales entre aquéllos que durante el año precedente hubieran durante el año precedente hubieran realizado inventos o descubrimientos realizado inventos o descubrimientos al mayor beneficio a la humanidad. al mayor beneficio a la humanidad.

Premios NobelPremios Nobel

Nobel de FísicaNobel de Física

Nobel de QuímicaNobel de Química

Nobel de MedicinaNobel de Medicina

Nobel de LiteraturaNobel de Literatura

Nobel de la PazNobel de la Paz

Nobel de Economía desde 1969.Nobel de Economía desde 1969.Premio Abel desde 2003. Premio Abel desde 2003.

Premios Nobel vs Medallas FieldsPremios Nobel vs Medallas Fields

Inicio: 1901-1902Inicio: 1901-1902

Proponen: AcademiasProponen: Academias

Premio AnualPremio Anual

Sin límite de edadSin límite de edad

Hasta 3 por premioHasta 3 por premio

Premio:+- Premio:+- 1.000.000$1.000.000$

Inicio: 1936 Inicio: 1936 (ICM,1897)(ICM,1897)

Proponen: IMUProponen: IMU

Cada 4 añosCada 4 años

Menor de 40 añosMenor de 40 años

De dos a cuatro.De dos a cuatro.

Premio: Una medallaPremio: Una medalla

ArquimedesArquimedes

RTM, MCMXXXIIIRTM, MCMXXXIII

Transire suum Transire suum pectus mudoque pectus mudoque potiri.potiri.

Congregati ex toto Congregati ex toto orbe mathematici orbe mathematici ob scripta insignia ob scripta insignia tribuerunttribuerunt

El medalleroEl medallero

Estados Unidos, 12Estados Unidos, 12

Francia, 8Francia, 8

Gran Bretaña, 7Gran Bretaña, 7

Rusia, 6Rusia, 6

Japón, 3Japón, 3

Bélgica, 2Bélgica, 2

Alemania, Finlandia, Italia, Noruega, Alemania, Finlandia, Italia, Noruega, Nueva Zelanda, Suecia, 1Nueva Zelanda, Suecia, 1

International Mathematical UnionInternational Mathematical Union

Africa, 6 nacionesAfrica, 6 naciones América, 10 nacionesAmérica, 10 naciones Asia, 16 nacionesAsia, 16 naciones Europa, 33 nacionesEuropa, 33 naciones Oceanía, 2 nacionesOceanía, 2 naciones

TOTAL, 67 naciones asociadas. TOTAL, 67 naciones asociadas.

GRUPO 1 (un voto, 1): 31 naciones.GRUPO 1 (un voto, 1): 31 naciones. GRUPO 2 (dos votos, 2): 16 naciones.GRUPO 2 (dos votos, 2): 16 naciones. GRUPO 3 (tres votos, 4): 4 naciones.GRUPO 3 (tres votos, 4): 4 naciones.

GRUPO 4 (cuatro votos, 7): GRUPO 4 (cuatro votos, 7): Brasil, España, Holanda, India, Suecia, Brasil, España, Holanda, India, Suecia,

Suiza.Suiza.

GRUPO 5 (cinco votos, 10): Alemania, GRUPO 5 (cinco votos, 10): Alemania, Canadá, China, Estados Unidos, Gran Canadá, China, Estados Unidos, Gran Bretaña, Israel, Italia, Japón, Rusia. Bretaña, Israel, Italia, Japón, Rusia.

La quiniela del 2006La quiniela del 2006

Terence TaoTerence Tao Andrei Okounkov Grigori Perelman Andrei Okounkov Grigori Perelman Australia, 1975- Australia, 1975- Rusia Rusia Rusia Rusia (Princeton, Ucla)(Princeton, Ucla) (Princeton) (Princeton) (S. Petersburgo) (S. Petersburgo)

Grigori PerelmanGrigori Perelman

Perelman PARECE Perelman PARECE haber resuelto la haber resuelto la Conjetura de Conjetura de Poincare. Poincare.

Los problemas del MilenioLos problemas del Milenio

Clay Mathematics Institute, USA.Clay Mathematics Institute, USA. www.claymath.orgwww.claymath.org

Propuestos en el 2000 (año mundial Propuestos en el 2000 (año mundial de las matemáticas a imagen de los de las matemáticas a imagen de los

23 Problemas de Hilbert, ICM 1900.23 Problemas de Hilbert, ICM 1900.

Premio: 1.000.000$ cada uno.Premio: 1.000.000$ cada uno.

Los problemas del milenioLos problemas del milenio

1. La Conjetura de Poincare. 1. La Conjetura de Poincare.

2. La conjetura de Birch y Swinnerton-2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Dyer.

3. La conjetura de Hodge. 3. La conjetura de Hodge.

4. La teoría de Yang-Mills. 4. La teoría de Yang-Mills.

5. Las ecuaciones de Navier-Stokes. 5. Las ecuaciones de Navier-Stokes.

6. La hipótesis de Riemann.6. La hipótesis de Riemann.

7. P vs NP. 7. P vs NP.

1. La conjetura de Poincare. 1. La conjetura de Poincare.

Simplemente conexa No simplemente conexaSimplemente conexa No simplemente conexa

Ejemplo en dimensión 2: Ejemplo en dimensión 2:

Variedades cerradasVariedades cerradas

Dos variedades son “homeomorfas” si Dos variedades son “homeomorfas” si una es una “deformación continua” de una es una “deformación continua” de la otra (sin romper ni rasgar ni pegar). la otra (sin romper ni rasgar ni pegar).

Conjetura de Poincaré: Toda variedad Conjetura de Poincaré: Toda variedad cerrada de dimensión 3 es cerrada de dimensión 3 es homeomorfa a una esfera (de homeomorfa a una esfera (de dimensión 3). dimensión 3).

n=1,2 conocidosn=1,2 conocidosn>4. Smale (Medalla Fields 1966)n>4. Smale (Medalla Fields 1966)n=4 Freedman (Medalla Fields 1986)n=4 Freedman (Medalla Fields 1986)

2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

Ternas pitagóricas, números naturales Ternas pitagóricas, números naturales que cumplenque cumplen

xx22+y+y22=z=z22

3322+4+422=5=522, 6, 622+8+822=10=1022, 5, 522+12+1222=13=1322……

x=3x=3

y=4y=4

z=5z=5Triángulo rectánguloTriángulo rectángulo

xx22+y+y22=z=z22

xx

yy

zz

Paraboloide deParaboloide de RevoluciónRevolución

xxnn+y+ynn=z=zn n Teorema de Fermat. (Wiles, 1995) Teorema de Fermat. (Wiles, 1995)

3. La conjetura de Hodge.3. La conjetura de Hodge.

Se pregunta si cierta Se pregunta si cierta familia de objetos familia de objetos matemáticos matemáticos abstractos son abstractos son realmente objetos realmente objetos geométricos. geométricos. (Topología (Topología algebráica, algebráica, geometría)geometría) William Hodge, 1903 - 1975William Hodge, 1903 - 1975

4. La teoría de Yang-Mills.4. La teoría de Yang-Mills.

Las leyes de la mecánica cuántica rigen el Las leyes de la mecánica cuántica rigen el mundo de las partículas elementales de la mundo de las partículas elementales de la misma manera que las leyes de Newton de la misma manera que las leyes de Newton de la mecánica clásica rigen el mundo mecánica clásica rigen el mundo macroscópico. Hace un siglo, Yang y Mills macroscópico. Hace un siglo, Yang y Mills presentaron un nuevo marco para describir las presentaron un nuevo marco para describir las partículas elementales usando estructuras que partículas elementales usando estructuras que solo aparecen en geometría. La teoría cuántica solo aparecen en geometría. La teoría cuántica de Yang-Mills es actualmente la base de la de Yang-Mills es actualmente la base de la teoría de partículas elementales y sus teoría de partículas elementales y sus predicciones se han comprobado de manera predicciones se han comprobado de manera experimental en laboratorios, pero sus experimental en laboratorios, pero sus fundamentos matemáticos permanecen fundamentos matemáticos permanecen oscuros. oscuros.

5. Las ecuaciones de Navier-5. Las ecuaciones de Navier-Stokes.Stokes.

Son las ecuaciones diferenciales que Son las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de líquidos o describen el movimiento de líquidos o gases:gases:

- ClimaClima- Corrientes oceánicas, corrientes en tubosCorrientes oceánicas, corrientes en tubos- SustentaciónSustentación- Movimiento de estrellas en una galaxiaMovimiento de estrellas en una galaxia

Werner Heisenberg: “Cuando me encuentre con Dios, le haré dos preguntas: ¿Por qué la relatividad? y ¿por qué la turbulencia?. Estoy seguro de que me sabrá contestar a la primera.

Conocer la solución a la ecuación de Navier-Stokes NO significa que, por ejemplo, se pueda predecir el clima.

t=tiempo

P(t),T(t),H(t)Atractor de Lorentz

6. La hipótesis de Riemann.6. La hipótesis de Riemann.

Número primo: Sus divisores son 1 y él Número primo: Sus divisores son 1 y él mismo: 2, 3, 5, 7…. (4, 6, 9 no son primos).mismo: 2, 3, 5, 7…. (4, 6, 9 no son primos).

Cualquier número es producto de primos. Cualquier número es producto de primos.

Los primos se distribuyen en los naturales Los primos se distribuyen en los naturales muy irregularmente. muy irregularmente.

En 1859, B. Riemann observó la En 1859, B. Riemann observó la relación entre la distribución de los relación entre la distribución de los primos y los ceros de la funciónprimos y los ceros de la función

ζ(s) = 1 + 1/2ζ(s) = 1 + 1/2ss + 1/3 + 1/3ss + 1/4 + 1/4ss + ... + ...

Bernhard Riemann, Bernhard Riemann,

1826-18661826-1866

HR: ¿Cuándo es ζ(s) HR: ¿Cuándo es ζ(s) =0?.=0?.

Primos y claves públicas. Primos y claves públicas.

Primo P de 100 cifras

Primo Q de 100 cifras

BANCO

P x Q -Mensaje-

7. P vs NP. 7. P vs NP.

Problemas cuya solución puede ser calculada Problemas cuya solución puede ser calculada (por algún algoritmo) en tiempo exponencial. (por algún algoritmo) en tiempo exponencial.

Ejemplo: Dado un número de N cifras hallar su Ejemplo: Dado un número de N cifras hallar su descomposición en números primos. descomposición en números primos.

A día de hoy, necesito +-10A día de hoy, necesito +-10NN operaciones operaciones (Tiempo exponencial). (Tiempo exponencial). - N=64 cifras, necesito +-10- N=64 cifras, necesito +-106464 operaciones operaciones

10106464 es (+-) el número de átomos del es (+-) el número de átomos del universo!!!universo!!!

7. P vs NP.7. P vs NP.

P = Problemas cuya solución puede ser P = Problemas cuya solución puede ser calculada (por algún algoritmo) en tiempo calculada (por algún algoritmo) en tiempo polinomial. polinomial.

Para un número de N cifras se necesitan +-NPara un número de N cifras se necesitan +-N22 (+-N(+-N33…) operaciones. (64…) operaciones. (6422=4096…)=4096…)

Ejemplo: Ejemplo: - El máximo común divisor de dos números.El máximo común divisor de dos números.- Saber si un número es primo. Saber si un número es primo.

7. P vs NP.7. P vs NP.

NP= Problemas que cuyas soluciones pueden NP= Problemas que cuyas soluciones pueden ser verificadas (Si/No) en tiempo polinomial. ser verificadas (Si/No) en tiempo polinomial.

Ejemplo: Dado un número de N cifras hallar su Ejemplo: Dado un número de N cifras hallar su descomposición en números primos. descomposición en números primos.

Dado un número N,Dado un número N, ¿Es P x Q x R x S … una factorización de N? ¿Es P x Q x R x S … una factorización de N?

(Si/No) es casi instantáneo. (Si/No) es casi instantáneo.

7. P vs NP.7. P vs NP.

Siempre un problema P, es NP.Siempre un problema P, es NP. La cuestión ¿La cuestión ¿PP = = NP?NP? dice: si las dice: si las

soluciones a un problema SI/NO soluciones a un problema SI/NO pueden ser pueden ser verificadasverificadas rápidamente rápidamente (tiempo polinomial) pueden ser (tiempo polinomial) pueden ser calculadascalculadas las soluciones las soluciones rápidamente (tiempo polinomial)? rápidamente (tiempo polinomial)?