Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Kapitel
1
Vora
b
Ein
notorisch
esP
roblem
imLeh
ramtsstu
diu
mP
hysikist
die
Math
ematikau
sbild
ung,
die
imV
ergleichzu
m1-F
achstu
diu
mP
hysikm
agerau
sfällt.B
etro↵en
sind
insb
eson-
dere
Leh
ramtsstu
dieren
de,d
iew
eder
imH
aupt-
noch
imN
eben
fach(S
tudien
ordnu
ng
vor2013)
bzw
alsan
deres
Fach
(Stu
dien
ordnu
ng
ab2013)
Math
ebelegt
hab
en.Ih
-nen
–ab
ernicht
nur
ihnen
–sollen
die
“Math
ematisch
eM
ethod
ender
Physik”
das
nötige
Han
dw
erkszeug
vemitteln
um
imP
hysikstudiu
müber
die
Runden
zukom
-m
en.
Die
Math
Meth
werd
enin
Potsd
amüber
zweiS
emester
gestreckt.ImW
intersemester
werd
enim
Form
at2V
1Üdie
Vektorrech
nung,
komplexe
Zah
lenund
Gru
ndlagen
der
reellenA
nalysis
beh
andelt.
ImSom
mersem
esterfolgen
imForm
at2V
1Üdie
Vektor-
felder,
DivG
radR
otund
die
Integralstzevon
Gau
ssund
Stokes. 1
Die
Portion
ierung
1xVyÜ
stehtfür“xSem
esterwochenstunden
(SWS)V
orlesungnebsty
SWS
Übung”.D
asNorm
-sem
esterhat
15W
ochen.Entsprechend
sitzenSie
imForm
a2V
1Ügenau
45Schulstunden
inder
Unirum
...
c�M
artinW
ilkens15
22.A
ugust2014
16
Vora
b
der
Inhalte
folgtder
Regel
“eine
Woch
e–
einT
hem
a–
einK
apitel
(imSkrip
t)”.
Außer
dem
kleinen
Ein
-Mal-E
ins
und
einer
gehörigen
Portion
Diszip
linw
erden
kei-nerlei
Kom
peten
zenvorau
sgesetzt.W
erdie
Regeln
der
Bru
chrech
nung
vergessenhat
–und
das
kann
jasch
onm
alpassieren
–w
irdin
den
erstenV
orlesungen
ansie
erinnert.
D
ieN
otizenerh
eben
keinerleiA
nsp
ruch
aufO
riginalität,sin
dvollstän
dig
un-
vollständig
und
vollerunb
eabsichtigter
Feh
ler.A
ktualisieru
ngen
und
weite-
resM
aterialzurV
orlesung
finden
Sie
imO
rdner
“Teach
ing”
aufhttp://www.quantum.physik.uni-potsdam.de.
1.1
Physik
und
Math
e
Physik
und
Math
ematik
sind
wie
einZw
illingsp
aar.D
asein
eist
ohne
das
andere
nichts,
und
keiner
war
ehr
da. 2
Waru
mallerd
ings
eine
empirisch
eD
isziplin
,deren
letzterR
ichterim
mer
das
Exp
eriment,
und
eine
theoretisch
eD
isziplin
,deren
letzteIn
stanz
imm
erdie
Bew
eisbarkeit
(das
Man
ipulieren
vonA
ussagen
),so
wundersam
verschrän
ktsin
d,w
eißm
annicht
sorecht.
“Waru
m”,
fragtE
ugen
eW
igner
inein
embem
erkensw
ertenA
ufsatz
von1960,“ist
die
Math
ematik
inder
Physik
soe↵
ektiv?”. 3
Ein
eA
ntwort
kann
Wign
erau
chnicht
geben
.Lesen
swert
istder
Aufsatz
allemal.
Galilei
Galileo,
der
Vater
der
experim
entellenN
aturw
issensch
aften,hat
sichw
enig
2Ineiner
glänzendenP
hilippikaO
nteaching
mathem
atics(1997,
nachzulesenauf:
http://pauli.uni-muenster.de/
munsteg/arnold.html)
geißeltder
großeM
athematiker
V.I.
Arnol’d
seineFachkollegen,
siehätten
sichin
derLehre
vonder
Verschränkung
vonP
hyskund
Mathem
atikunverhältnism
äßigw
eitentfernt.
Insbesonderedie
eherm
ittelmäßig
begabtenM
a-them
atikerw
ürdennur
nocheinem
blutleerenG
ötzender
reinenA
xiomatik
huldigenum
ihreM
ediokrizitätzu
verbergen.3E
ugeneW
ignerT
heU
nreasonableE↵ectiveness
ofM
athematics
inthe
Natural
Sciencesin:
Com
munications
inP
ureand
Applied
Mathem
atics,vol.13,No.I
(Februar1960).
22.A
ugust2014
16c�
Martin
Wilkens
1.1
Physik
und
Math
e17
um
das
“Waru
m”
geschert,
sondern
kurz
und
bündig
konstatiert:
Das
Buch
der
Natu
rkan
nm
annu
rversteh
en,w
enn
man
vorher
die
Spra-
che
und
die
Buch
staben
gelernthat,
inden
enes
geschrieb
enist.
Es
istin
math
ematisch
erSprach
egesch
rieben
,und
die
Buch
staben
sind
Dreiecke,
Kreise
und
andere
geometrisch
eFigu
ren,und
ohne
diese
Hilfsm
ittelist
esM
ensch
enunm
öglich,au
chnu
rein
Wort
davon
zubegreifen
.
Das
sollnu
nerst
mal
alsB
egründung
reichen
,w
arum
Sie
ausgerech
net
Math
estu
-dieren
sollen,w
osie
doch
Physik
studieren
wollen
...
Abb
1.1
Euklids
“Elem
ente”
–die
Spra-
cheder
Mathem
atikzu
Galileis
Zeit.
Heu
tzutage
sind
allerdin
gsnicht
geometrisch
eFigu
rendie
“Buch
staben
der
Math
e-m
atik”,sondern
Zah
len,V
ektorenund
Morp
hism
en,u
nd
auch
die
Sprach
e–
ehem
alsA
rithm
etikund
Geom
etrie–
istum
Analysis
und
Lin
eareA
lgebra
erweitert.
So
komm
tes,
dass
inden
Ein
führu
ngsvorlesu
ngen
eines
Physikstu
diu
ms
ohne
vielFed
erlesensogleich
vonFunktion
en,
Ableitu
ngen
und
Integralendie
Red
eist,
som
anch
eFunktion
inein
erTaylorreih
eentw
ickeltod
erin
einer
Fou
rierreihe
darge-
stelltw
ird,
kurz
mal
eben
Di↵
erentialgleichungen
integriertund
Vektoren
inder
einen
oder
anderen
Art
mutlip
liziertw
erden
.
Inden
erstenV
orlesungen
zur
Exp
erimentalp
hysik,beisp
ielsweise,
komm
enau
sder
Analysis
zum
Ein
satz
•D
iequ
adratisch
eFunktion
f(x
)=
ax2
+bx
+c,
neb
stder
Form
elfü
rih
reN
ullstellen
x1,2
=�
b±p
b2�
4ac
2a(1.1)
•K
omplexe
Zah
lenm
itder
imagin
ärenE
inheit
i,defi
niert
i 2=�
1.
c�M
artinW
ilkens17
22.A
ugust2014
18
Vora
b
•D
ieE
xpon
entialfunktion
ex
und
die
Trigon
ometrisch
enFunktion
ensin
(x),
cos(x),ih
rech
arakteristischen
Merkm
ale,insb
esondere
eaxe
bx=
e(a
+b)x,sin
2(x)+
cos2(x
)=
1,neb
stih
rerjew
eiligenA
bleitu
ng
f0(x
):=
ddx f(x
)und
Stam
mfu
nk-
tionF
(x)
:= Rxf(x
0)dx0.
•D
ieP
rodukt-
und
Ketten
regelder
Di↵
erentialrechnu
ng
und
die
Tech
nik
der
partiellen
Integrationfü
rdie
Integralrechnu
ng.
•D
ieTaylorentw
icklung
bzw
Taylorap
proxim
ationein
er“kom
plizierten
”Funk-
tiondurch
eine
“einfach
e”Funktion
•D
i↵erentialgleichu
ngen
,etwa
inForm
“Masse-m
al-Besch
leunigu
ng
gleichK
raft”.B
eschleu
nigu
ng
istdie
zweite
Ableitu
ng
des
Ortes
nach
der
Zeit,
und
das
be-
sagteG
esetznim
mt
dan
nim
einfach
stenFall
die
Form
der
gewöh
nlich
eD
if-ferentialgleichu
ng
md2
dt 2 q(t)
=F
(q(t))an
.G
esucht
istbei
soein
erD
i↵erential-
gleichung
imm
erein
eFunktion
die
die
Di↵
erentialgleichung
befried
igt,inunse-
remB
eispielalso
irgendein
eFunktion
q(t),die
–w
enn
man
siezw
eimalab
leitetund
mit
mm
ultip
liziertdas
gleiche
liefertw
iedie
Funktion
f(t)
=F
(q(t)).
und
aus
der
linearen
Algeb
ra
•V
ektor,bild
lich“P
feil”
•Län
geein
esV
ektors,Skalarp
rodukt
~a· ~b,K
reuzp
rodukt
~a⇥~b
und
Spatp
rodukt
~a·( ~b⇥
~c).
•M
atrix,insb
esondere
3⇥3
Matrix
fürdie
Darstellu
ng
vonTen
soren(T
rägheits-
tensor
etc.)und
Koord
inatentran
sformation
,in
sbeson
dere
Drehu
ng
des
Koor-
din
atensystem
s
22.A
ugust2014
18c�
Martin
Wilkens
1.1
Physik
und
Math
e19
•D
etermin
ante,fü
rdie
Berech
nung
vonV
olum
ina,
aber
auch
zur
Bestim
mung
des
charakteristisch
enPolyn
oms
einer
linearen
Di↵
erentialgleichung
usw
.
Wie
schon
gesagt–
inden
erstenpaar
Vorlesu
ngen
...und
dan
ngeht
das
genau
sow
eiter.D
ieListe
sollübrigen
skein
sfallsbeh
aupten
,dass
Sie
das
allessch
onin
der
Schu
legeh
abt
hab
en.D
ashab
enSie
wah
rschein
lichnicht.
Es
istnu
rein
eListe
vonden
Din
gen,m
itden
enSie
vermutlich
ganz
schnell
konfrontiert
werd
en.
Math
ematik
lernen
entspricht
dem
Erlern
enein
erFrem
dsp
rache.E
ine
Frem
dsp
rache
aber,
inder
sienicht
irgendw
ann
einkau
fenod
erim
Restau
rantbestellen
können
,son
dern
einer
Frem
dsp
rache
mit
der
siesich
eine
andere
Frem
dsp
rache
–die
Phy-
sik–
erschließen
.W
enn
Sie
näm
lichphysikalisch
eSachverh
altebesch
reiben
,und
schließlich
auch
verstehen
,dan
ntre↵
enSie
math
ematisch
eA
ussagen
über
physika-
lische
Größen
.Joh
ann
Kep
lers“D
ieQ
uad
rateder
Um
laufzeiten
verhalten
sichw
iedie
Kuben
der
großenH
albach
sen”
istso
eine
Aussage
–au
chw
enn
Sie
hier
keinG
leichheitszeich
enseh
enund
keine
Form
el.V
erstehen
tun
Sie
diese
Aussage
alsm
a-th
ematisch
notw
endige
Kon
sequen
zein
erK
ombin
ationdes
New
ton’sch
enG
ravitati-on
sgesetzes,dem
zufolge
die
Anziehu
ngskraft
zweier
Massen
um
gekehrt
prop
ortional
dem
Quad
ratih
resA
bstan
ds,m
itdem
Äqu
ivalenzp
rinzip
,dem
zufolge
sichträge
und
schwere
Masse
eines
Körp
ersbis
aufs
Haar
gleichen
.W
ohlgem
erkt,die
Prin
zipien
sind
Physik,
die
Kon
sequen
zensin
dnichts
alsein
math
ematisch
esE
ssay. 4
Solch
eE
ssayszu
lesen,
und
imtäglich
enP
hysikerdasein
selber
kleine
Essays
zuverfassen
bed
arfes
meh
rals
nur
die
“Buch
staben
”zu
kennen
und
zuerken
nen
.Sie
müssen
auch
Wörter
und
vollständige
Sätze
bild
enkön
nen
,m
öglichst
mit
richtigerK
omm
asetzung.
Sie
müssen
–ku
rzgesagt
–au
chdie
Gram
matik
der
Math
ematik
4New
tonging
hierübrigensgenauin
deranderenR
ichtungvor.Sein
Ausgangspunktw
arKeplers
drittesG
esetz.Sein
Endpunkt
war
seinG
ravitationsgesetz,w
obeider
aufdem
Weg
dieA
nalysism
alebenkurz
ausderTaufehob
–vgl.die
Handreichung
“Kepler,N
ewton
undso”
aufderWebseite
desK
urses.
c�M
artinW
ilkens19
22.A
ugust2014
20
Vora
b
zum
indest
inih
renG
rundzü
genbeh
errschen
.
Es
gibt
Kollegen
die
überzeu
gtsin
d,
dass
beisp
ielsweise
die
ganzen
Gren
zwert-
Betrachtu
ngen
der
Analysis
–im
Jargongen
annt
“die
Epsilontik”
–fü
rden
wah
renP
hysikerüberfl
üssige
Gram
matik
ist:H
auptsache,m
ankan
nden
Sin
usableiten
und
integrieren
!D
erRest
istwas
fürErbsen
zählersagen
sie,un
dfürs
Erbsen
zählenhat
man
inder
Physik
schongar
keine
Zeit.
Der
Kollege
hat
natü
rlichvöllig
Recht:
nie-
man
d,der
noch
alleTassen
imSch
rank
hat,
wird
imtäglich
enG
eschäft
bei
der
Ab-
leitung
des
Sinu
szu
rE
psilontik
greifen.D
asm
uss
Zack-Z
ackgeh
en,und
Zack-Z
ackkom
mt
nur
durch
Übung.
Der
Kollege
hat
den
Sinu
ssch
ontau
sendm
alab
geleitet,und
nun
gehtdas
bei
ihm
ganz
mech
anisch
(er“sieht”
sofortC
osinus).
Das
Fun-
dam
ent–
die
Epsilontik
–kon
nteih
mdab
eigetrost
aus
seinem
Blickfeld
geraten.
Aber
wen
ner
zurü
ckden
ktan
seine
eigene
Stu
dien
zeitfällt
ihm
vielleichtau
f,dass
gerade
seine
eigene
Ein
sichtin
die
Festigkeit
des
Fundam
entses
ihm
schließlich
er-lau
bt
hat,
sichau
sdem
Keller
indie
oberen
Etagen
zubew
egen.U
nd
wen
ner
den
ngefragt
wird
,w
iem
anden
np
2au
srechnet,
dan
nw
irder
zwar
die
Antw
ortnicht
parat
hab
en, 5
aber
erw
irdho↵
entlichein
enW
egzu
rück
inden
Keller
kennen
,und
dort
eine
Ecke
amFundam
entan
geben
können
,w
om
andie
Antw
ortfindet.
Es
hilft
alsonichts.
Nur
“Rech
nen
können
”reicht
nicht
aus.
Man
muss
auch
die
Fundam
enteken
nen
und
sichih
rerFestigkeit
selbst
vergewissert
hab
en.M
anm
uss
–um
noch
einB
ildzu
bem
ühen
–bei
Adam
und
Eva
anfan
gen.
Bei
Men
geund
Zah
l,bei
Folge
und
Reih
e,bei
Klein
und
Groß.
Dab
eim
uss
man
aber
möglich
stsch
nell
auch
Sinu
sab
leitenund
Tan
gens
integrierenkön
nen
.T
ja–
wen
ndas
mal
gut
geht...
5esseiden
ergreift
zubesonders
geistreichenA
ntwort
Mit
demC
omputer!
22.A
ugust2014
20c�
Martin
Wilkens
1.2
Litera
tur
21
1.2
Litera
tur
Math
ematik
lernen
Sie
nicht
inder
Vorlesu
ng.
Die
zeigtallen
fallsein
enroten
Fa-
den
der
ihr
Selb
ststudiu
merleichtern
soll.M
athem
atiklern
enSie
indem
Sie
inder
Vorlesu
ng
mitsch
reiben
,Ih
reM
itschrift
zuH
ause
inO
rdnu
ng
brin
gen,
die
Übun-
genbearb
eitenund
–m
itPap
ierund
Bleistift
gewap
pnet
–ein
Math
ebuch
lesen.
Em
pfoh
lensei
hier
•A
lfredR
ieckersund
Kurt
Bräu
er“E
inlad
ung
zur
Math
ematik”,
Logos
2002.Tut
was
esbeh
auptet.
Nicht
sonderlich
systematisch
,ab
ergu
terLeitfad
enfü
rdie
Vorlesu
ng.
•Siegfried
Großm
ann
“Math
ematisch
erE
infü
hru
ngsku
rs–
für
die
Physik”,
8.A
uflage,
B.G
.Teu
bner
2000.M
itA
usn
ahm
eder
Rech
nen
sim
Kom
plexen
isthier
aufnu
r344
Seiten
alleszu
samm
engefasst,
“was
man
sobrau
cht”.E
twas
“rechen
orienterter”als
Rieckers/B
räuer;
setztallerd
ings
voraus,
dass
Sie
ihr
Abivor
G12
gemacht
hab
en...am
besten
inden
1970’erJah
renod
erdavor.
•H
errman
nSchu
lz“P
hysikm
itB
leistift”,7.
Auflage,
Harri
Deu
tsch2009.
Seh
rgu
t,w
enn
man
schon
einen
rotenFad
enhat,
aber
nicht
weiß,
wo
der
hin
führt.
Ausgezeich
net
die
Pflege
vonPap
ier-und-B
leistift.
Etw
ashärtere
Kost,
aber
Gru
ndlage
dieser
Vorlesu
ng
•Fried
helm
Erw
e“D
i↵erential-
und
Integralrechnu
ng”
(Ban
d1:
Elem
enteder
Infinitesim
alrechnu
ng
und
Di↵
erentialrechnu
ng,
Ban
d2:
Integralrechnu
ng),
B.I.
Hoch
schultasch
enbüch
erB
de.
30und
31,B
.I.-Wissen
schaftsverlag
1962,[IS
BN
3-411-00030-9und
3-411-00031-7].Solid
eW
ertarbeit.
Hat
bereits
Ge-
neration
envon
Math
e-und
Physikstu
denten
gedient.
c�M
artinW
ilkens21
22.A
ugust2014
22
Vora
b
•K
onrad
Kön
igsberger
“Analysis
1”(5.
Auflage),
Sprin
ger2001
[ISB
N3-540-
41282-4]und
“Analysis
2”(3.
Auflage),
Sprin
ger2000
[ISB
N3-540-66902-
7].T
hem
atische
Breite
und
Tiefe
inetw
aw
ieE
rwe,
inder
Sprach
eetw
asm
odern
er.E
mpfeh
lensw
ert.
•K
laus
Jänich
“Math
ematik
1–
Gesch
rieben
für
Physiker”
und
“Math
ematik
2–
Gesch
rieben
fürP
hysiker”,Sprin
ger2001
und
2002[IS
BN
3-540-41976-4und
3-540-42839-9].In
parlieren
dem
Ton
das
volleP
rogramm
für
den
kanon
ischen
Fach
studenten
imP
hysikB
achelor.Z
uweilen
gehtdie
Gratw
anderu
ng
zwisch
enFach
systematik
der
Math
ematik
und
Zielgru
ppen
orientierung
Physik
schief.
Das
störtdie
Puristen
,lässt
mich
aber
vergleichsw
eisekalt.
•“A
nalysis
I”und
“Analysis
II”von
Herb
ertA
man
nund
Joachim
Esch
er,B
irkhäu
ser.M
eine
derzeitigen
Favoriten
.N
ichtgan
zso
trockenw
ieE
rwe
oder
Kön
igsberger,
nicht
ganz
soverp
laudert
wie
Jänich
.In
sbeson
dere
auch
für
Stu
dieren
de
der
Math
ematik
hervorragen
dgeeign
et.
Vertiefen
de
Mon
ographien
zusp
eziellenK
apiteln
:
•H
einz-D
ieterE
bbin
ghau
set
al.“Z
ahlen
”,3.
Auflage,
Sprin
ger1992.
Ok
–eh
erw
asfü
rA
ficion
ados.
Aber
zauberh
aftin
seinen
Ausfü
hru
ngen
zur
Ideen
ge-sch
ichteder
Math
ematik.
Also
genau
das
richtigefü
rStu
dieren
de
inLeh
r-am
tsstudien
gängen
...
•K
lausJän
ich“L
ineare
Algeb
ra”,7.Auflage,S
prin
ger1998
[ISB
N3-540-64535-
7].E
inw
underb
aresLeh
rbuch
zuein
emw
ichtigenW
erkzeug
der
Physik.
Für
Math
ematik-
und
Physikstu
dieren
de
gleicherm
aßengeeigent.
•K
laus
Jänich
“Analysis
für
Physiker
und
Ingen
ieure
–Funktion
entheorie,
Dif-
ferentialgleichungen
,Spezielle
Funktion
en”,
3.A
uflage,
Sprin
ger1995
[ISB
N
22.A
ugust2014
22c�
Martin
Wilkens
1.3
Logik
für
Laien
23
3-540-58878-7].H
ierfindet
sich,w
asbei
Großm
ann
fehlt
–näm
lichA
rithm
etikund
Analysis
imK
omplexen
.
•K
laus
Jänich
“Vektoran
alysis”,2.
Auflage,
Sprin
ger1993
[ISB
N3-540-57142-
6].Das
klingt
wie
div
gradrot,ist
aber
eigentlichein
ew
undersch
öne
Ein
führu
ng
indie
Di↵
erentialgeometrie.
Hat
einen
Ehren
platz
auf
mein
emR
egal.B
rau-
chen
Sie
aber
allenfalls
imzw
eitenTeil
(Som
mersm
ester).
1.3
Logik
für
Laien
Die
Sprach
eder
Physik
istdie
Math
ematik.
Und
die
Sprach
eder
Math
ematik
...istdie
Logik.
Aber
keine
Angst
–Sie
müssen
jetztnicht
erstein
um
fangreich
esLogik-
studiu
mab
solvierenbevor
Sie
aufdie
Math
ematik
losgelassenw
erden
können
.E
inpaar
einfach
elogisch
eSachverh
alte,die
Ihrem
nüchtern
enM
ensch
enverstand
zum
Glü
ckgeläu
fig
sind,reich
endurch
aus
aus.
Jede
Aussag
e,die
siein
der
Math
ematik
tre↵en
,ist
entwed
erwah
rod
erfalsch
–ein
Drittes
gibt
esnicht
,geb
ildet
ausged
rückt
Tertiu
mnon
datu
r. 6“W
ahr”
und
“Falsch
”sin
ddie
beid
enm
öglichen
Wah
rheitsw
ertew
und
fein
erA
ussage.
Die
Aussage
“Zw
eim
alZw
eiist
Vier”,
beisp
ielsweise,
istw
ahr.
Die
Aussage
“Fünf
istein
egerad
eZah
l”ist
falsch.Ist
eine
Aussage
Aw
ahr,
sagtm
anau
chA
seirichtig,
oder
Agelte.
IstA
falsch,sagt
man
Asei
unrichtig
oder
ungü
ltig.
Die
Wahrheitsw
ertevon
“und”,“oder”
und“w
enn–
dann”fasst
man
gernein
einersog.
Wahrheitsw
erttabellezusam
men.
AB
A^
BA_
BA)
B
ww
ww
w
wf
fw
f
fw
fw
w
ff
ff
w
6Bitte
nicht“W
ahr”und
“Falsch”m
it“B
eweisbar”
und“U
beweisbar”
verwechseln.
Inder
Mathem
atik–
dasw
eißm
anseit
Gödel,Turing
undanderen,sind
durchausSätze
vorstellbar,dieunbew
eisbarsind.
SolcheSätze
kannm
andann
für“w
ahr”erklären,
oderauch
als“falsch”.
Jenach
demw
iem
anhier
verfährt,schaut
man
aufleicht
unterschiedlicheA
xiomensystem
e.W
ennes
umihre
Bedeutung
fürdie
Physik
geht,spielendiese
Unterschiede
aberzum
Glück
keineR
olle.
c�M
artinW
ilkens23
22.A
ugust2014
24
Vora
b
Brot
und
Butter
der
Math
ematik
sind
Aussagen
der
Form
1+
2·3
=4·5�
6
2,
(1.2)
genan
ntein
eG
leichung. 7
Ein
eG
leichung
hat
eine
linke
Seite
und
eine
rechteSei-
te.B
eide
Seiten
hab
ennotw
endig
die
Form
vonTerm
en.E
inen
Ausd
ruck
der
Form
1+
2·3,beisp
ielsweise,
istein
Term
.E
inA
usd
ruck
der
Form
1+ist
keinTerm
.E
inTerm
istein
Ausd
ruck,
der
eine
Zah
l(od
erein
anderes
math
ematisch
esO
bjekt)
ben
ennt.
Der
Ausd
ruck
1+
2·3ist
einTerm
,w
eiler
die
Zah
l7
ben
ennt.
Kein
eA
h-
nung,
welch
eZah
lder
Ausd
ruck
1+ben
ennt.
Dah
erist
1+au
chkein
Term
(sondern
möglich
erweise
die
Note
für
eine
beson
ders
gute
Leistu
ng).
Ein
eG
leichung
beh
aup-
tet,dass
die
Zah
l(b
zw.
das
math
ematisch
eO
bjekt),
die
der
Term
auf
der
linken
Seite
ben
ennt
die
gleiche
Zah
l(b
zw.
das
math
ematisch
eO
bjekt)
ist,w
iedie
Zah
l(b
zw.das
math
ematisch
eO
bjekt),
die
der
Term
auf
der
rechtenSeite
ben
ennt.
So
einfach
istdas.
Hat
man
eine
Aussage
A,kan
nm
andarau
sein
eneu
eA
ussage
“Aist
nicht
wah
r”bild
en,
genan
ntdie
Neg
ation
vonA
,kryp
tischnotiert
¬A
.D
ieA
ussage
¬A
istgen
audan
nw
ahr,
wen
nA
falschist.
Hat
man
zwei
Aussagen
Aund
B,
istau
ch“A
und
B”
eine
Aussage,
genan
ntK
onju
nktio
n,notiert
A^
B.W
ahr
istdie
Kon
junktion
dan
nund
nur
dan
n,w
enn
sowoh
lA
alsau
chB
wah
rsin
d.
Die
Aussage
“Aod
erB
”nen
ntm
anein
eD
isjunktio
n,
auch
Altern
ative,notiert
A_
B. 8
Die
Disju
nktion
istdan
nund
nur
dan
nfalsch
,w
enn
sowoh
lA
alsau
chB
7Auch
1=
2ist
eineG
leichung,nur
dassdiese
Gleichung
einefalsche
Aussage,
imG
egensatzzur
Gleichung
(1.2),dieeine
wahre
Aussage
darstellt.Inder
Mathem
atikbeschränkt
man
sichim
Allgem
einendarauf,nur
wahre
Aussagen
hinzuschreiben,2=
1w
erdensie
seltensehen,allenfalls
gegenE
ndeeines
indirektenB
eweises.
8Kann
man
sichm
erken:Lateinisch“vel”
heißtaufdeutsch
“oderauch”
bzw“oder
sogar”.Wer
22.A
ugust2014
24c�
Martin
Wilkens
1.3
Logik
für
Laien
25
falschsin
d.A
chtung!
ImG
egensatz
um
landläu
figen
Sprach
gebrau
chist
“oder”
hier
nicht
imau
sschließen
den
Sin
ne
von“entw
eder
–od
er”gem
eint. 9In
jedem
Fall
giltim
mer
A_¬
A.
Die
Aussage
“Sein
oder
nicht
sein”
isteb
enkein
eFrage,
wie
bei
Shakesp
eare,son
dern
als‘T
ertium
non
datu
r’ein
eew
igeW
ahrh
eit. 10
Die
Aussage
“Wen
nA
gilt,dan
ngilt
B”,
auch
gelesen“au
sA
folgtB
”und
no-
tiertA)
Bnen
ntm
anein
eIm
plikatio
n.
Die
Implikation
kann
mit
den
bereits
vereinbarten
Junktoren
^und_
defi
niert
werd
en
(A)
B)
:=(¬
A)_
B.
(1.3)
Das
hier
neu
eingefü
hrte
Zeich
en:=
kürzt
übrigen
sdas
um
gangssp
rachlich
e“steht
für”
ab. 1
1In
a:=
bsagt
man
dan
nau
ch“a
istdefi
nition
sgemäß
gleichb”.
Das
“a”nen
ntm
andan
ndas
Defi
nien
s,das
“b”das
Defi
nien
dum
.D
efintion
sgleichungen
wie
(1.3)sin
dim
mer
wah
r–
siesin
dnicht
bew
eisbed
ürftig.
ImG
egensatz
dazu
istdie
beh
aupte
Gleich
heit
ina
=b
durch
aus
bew
eisbed
ürftig
–die
Aussage
a=
bkön
nteja
auch
falschsein
.D
ieG
leichung
2=
3,beisp
ielsweise,
ist–
wie
Sie
wissen
–im
Rah
men
der
üblich
enA
rithm
etiksch
lichtfalsch
. 12W
iem
anunter
Rückgri↵
auf
die
Kunst
des
logischen
Sch
ließens
ordentlich
bew
eist,w
irdim
näch
stenA
bsch
nitt
keinLatein
kann,m
erkesich
einfach“W
ahl”.U
ndalso
kannm
ansich
auchm
erken,dass
dassandere
Symbol^
für“und”
steht.9“E
ntweder
Aoder
B”
nenntm
aneine
Kontravalen
z,auchexklu
sivesoder.D
ieK
ontravalenzist
genaudann
falsch,wenn
derW
ahrheitswert
vonA
dergleiche
wie
derW
ahrheitswert
vonB
.10zum
indestin
derLogik
derM
athematik.
Inder
Physik
gibtes
SchrödingersK
atze.U
nddie
kann–
ineinem
metaphorischen
Sinne–
sowohl
“sein”als
auch”
nichtsein”.
Die
Metaphorik
beziehtsich
dabeiauf
densog.
Überlagerungszustand
einesE
nsembles
gleichartigpräparierter
Katzen,und
ebennicht
aufeineindividuelle
Katze.M
ehrdazu
inder
Quantenm
echanik-Vorlesung
...11W
itzboldedürfen
auchsagen
Das
Zeichen:=
stehtfür
“stehtfür”.
12W
ennSie
nundefinieren
2:=
3,befindet
sichdas
damit
vonIhnen
formulierte
Axiom
imW
iderspruchzum
Axiom
ensystemder
handselsüblichenA
rithmetik.
Das
Gesatm
systemist
dannnicht
widerspruchsfreiund
alsoals
mathem
atischesA
xiomensystem
nichtgeeignet.
c�M
artinW
ilkens25
22.A
ugust2014
26
Vora
b
kurz
abgeh
andelt.
Hier
fahren
wir
fortm
itden
Aussagen
und
ihren
möglich
enV
er-kn
üpfu
ngen
.
Mit
Hilfe
der
Wah
rheitsw
erttabellen
für¬
und_
überzeu
gtm
ansich
schnell,
dass
A)
Bnu
rdan
nfalsch
ist,w
enn
Bfalsch
,ab
erA
wah
r,in
allenan
deren
Fällen
aber
wah
r.Für
die
noch
zubesp
rechen
de
Kunst
des
logischen
Sch
ließens
bed
eutet
das,
dass
aus
einer
wah
renA
ussage
keine
falsche
Aussage
abgeleitet
werd
enkan
n.
Allerd
ings
kann
aus
einer
falschen
Aussage
jede
Aussage
abgeleitet
werd
en,ob
nun
wah
rod
erfalsch
.G
ebild
etsagt
man
Ex
falsoquod
libet. 13
Impliziert
eine
Aussage
Aein
eA
ussage
B,u
nd
impliziert
andererseits
die
Aussage
Bau
chdie
Aussage
A,sagt
man
Aund
Bseien
äquivalent.D
efiniert
istdie
Äquivalen
z
(A,
B)
:=(A)
B)^
(B)
A).
(1.4)
Die
Äqu
ivalenz
A,
Bist
o↵enb
argen
audan
nw
ahr,
wen
nsich
die
Wah
rheitsw
ertevon
Aund
Bgleich
en,d.h
.w
enn
beid
ew
ahr,
oder
wen
nbeid
efalsch
sind.
Mit
Hilfe
vonW
ahrh
eitswerttab
ellenüberzeu
gtm
ansich
,dass
die
Aussage
A)
Bgen
audan
nw
ahr
ist,w
enn
die
Aussage
(¬B
))(¬
A)
wah
rist
(sog.K
ontrap
ositi-
on).
Mittels
Äqu
ivalenz
lässtsich
das
Gesagt
auch
alsForm
elform
ulieren
,
(A)
B),
(¬B)
¬A
)(1.5)
Inder
Implikation
A)
Bist
Bnotw
endig
eB
edin
gung
für
A,
und
Aist
hin
rei-ch
ende
Bed
ingu
ng
für
B.
A
chtung!E
sist
durch
ausm
öglich,d
assdie
Implikation
A)
Bw
ahr,obw
ohl
Afalsch
!Sei
beisp
ielsweise
Adie
Aussage
“Es
regnet.”
und
Bdie
Aussage
“Es
stehen
Wolken
amH
imm
el.”D
ieIm
plikation
A)
Bbed
eutet
nun
die
Weish
eit“W
enn
esregn
et,dan
nsteh
enW
olkenam
Him
mel.”,
die
Kontrap
ositionbed
eutet
13genau
gesagt:Ex
falsosequitur
quodlibet–
ausFalschem
folgtB
eliebiges.
22.A
ugust2014
26c�
Martin
Wilkens
1.3
Logik
für
Laien
27
“Wen
nkein
eW
olkenam
Him
mel
stehen
,regn
etes
nicht”.
Allerd
ings
kann
esdurch
-au
ssein
,dass
esnicht
regnet
–A
alsofalsch
–obw
ohlW
olkenam
Him
mel
stehen
,d.h
.B
zutre↵
end.
Die
Aussage
“(A)
B)
und
(B)
C)”
impliziert
die
Aussage
A)
C,in
Form
eln
(A)
B)^
(B)
C))
(A)
C).
(1.6)
was
anhan
dder
Wah
rheitsw
erttabelle
unschw
erverifi
ziertw
erden
kann.
Für
ma-
them
atische
Bew
eiseist
dieses
Zerlegen
eines
großenSch
rittes(von
Anach
C)
inklein
ereSch
ritte(zu
näch
stvon
Anach
B,dan
nvon
Bnach
C)
vonunsch
ätzbarem
Wert
–vgl.
auch
Gl.
(1.7).
Bekan
ntlichgib
tes
Äpfel,
Stü
hle
und
ungerad
eZah
len.
Istein
gegeben
esD
ing
xnu
nein
Apfel
sagtm
anx
gehöre
zur
Apfelkollektion
,notiert
x2
X,
wob
eim
itX
die
Gesam
theit
allerÄ
pfel
gemeint
ist.Ist
xkein
Apfel
schreib
tm
anx
/2X
.U
nterden
Äpfeln
gibt
essolch
edie
süß
sind,
und
solche
die
rotsin
d.
“Süß
sein”
und
“Rot
sein”
sind
jeweils
eine
Eig
ensch
aft,nen
nen
wir
sieku
rzS
und
R.
Hat
man
nun
einen
Apfel
x,ist
S(x
)gleichb
edeu
tende
mit
der
Aussage
“xist
süß”.
Die
Kollektion
allersü
ßenÄ
pfel
notier
man
dan
n{x2
X|S
(x)}
(lies:die
Gesam
theit
allerD
inge
aus
dem
Apfelkollektiv
(vordem
Tren
sstrich)
die
süß
sind
(nach
dem
Tren
nstrich
)).Sie
dürfen
hier
Sru
hig
alsFunktion
sehen
:D
efintion
sberich
wären
alleÄ
pfel,
Werteb
ereichdie
beid
enW
ahrh
eitswerte
wund
f.
Aussagen
wie
“Alle
Men
schen
sind
sterblich
”kön
nen
mit
Hilfe
des
sog.A
llquan
torsprägn
antform
uliert
werd
en:8
x2
M:S
(x),w
orinM
die
Men
gealler
Men
schen
,und
S(a)
die
Aussage
“aist
sterblich
”.A
ussagen
wie
“Esfäh
rtein
Zug
nach
Nirgen
dw
o”kön
nen
mit
dem
Existen
zquan
torprägn
antform
uliert
werd
en:9
x2
Z:N
(x),w
orinZ
die
Men
gealler
Züge,
und
N(a)
die
Aussage
“Der
Zug
afäh
rtnach
Nirgen
dw
o”.
c�M
artinW
ilkens27
22.A
ugust2014
28
Vora
b
1.4
Bew
eiseund
der
Um
gang
mit
Gleich
ungen
Inden
seltensten
Fällen
weiß
man
vonvorn
eherein
,ob
eine
gegeben
eA
ussage
wah
rist
oder
nicht.W
esentlichhäu
figer
möchte
man
die
Wah
rheit
einer
Aussage
bew
eisen.
Bew
eisenist
eine
Argu
mentation
stechnik,
die
einem
striktenR
egelwerk
unterw
or-fen
ist–
etwa
den
Reg
elndes
natü
rlichen
Sch
ließen
s.A
usgeh
end
vonbereits
alsgü
ltigerkan
ntenA
ussagen
gestattensolch
eR
egelnden
Sch
luss
aufein
eneu
egü
ltigeA
ussage
–die
“zubew
eisende”
Aussage
–w
enn
der
Bew
eisden
ngelin
gt.
Für
eine
gegeben
eFunktion
f(x
),überall
stetigdi↵
erenzierb
ar,m
öchtem
anbei-
spielsw
eisebew
eisen,dass
ihre
Ableitu
ng
anein
ergegeb
enen
Stelle
x0
verschwin
det
(f0(x
0 )=
0sei
imFolgen
den
die
Aussage
Bgen
annt).
Wir
stellenuns
vor,dass
die
Funktion
sofu
rchtbar
kompliziert
ist,dass
man
sienicht
einfach
ableiten
kann
um
f0(x
0 )au
srechnen
,dass
aber
mit
vertretbarem
Aufw
and
festgestelltw
erden
kann,
dass
fbei
x0
einlokales
Maxim
um
aufw
eist(im
Folgen
den
die
Aussage
Agen
annt).
Indiesem
Fall
kann
der
Bew
eisder
Aussage
“f0(x
0 )=
0”nach
folgendem
Sch
ema
geführt
werd
en:“A
!B
istw
ahr.
Nun
istA
istw
ahr.
Dah
erist
Bw
ahr!”.
Inder
Form
elsprach
edes
natü
rlichen
Sch
ließens
liestsich
das
A)
BA
B,
(1.7)
genan
ntder
Modus
Ponen
s, 14
auch
Abtren
nungsregel.
Der
Mod
us
Pon
ens
und
der
sog.K
ettensch
luss
A)
BB!
C
A)
C(1.8)
sind
Gru
ndform
endes
sog.direkten
Bew
eises.G
rundform
endes
indirekten
Be-
14genauer:M
odusponendo
ponens–
daszu
Setzendesetzend.
22.A
ugust2014
28c�
Martin
Wilkens
1.4
Bew
eiseund
der
Um
gang
mit
Gleich
ungen
29
weises
sind
der
Modus
tollen
do
tollen
s15,
A)
B¬
B
¬A
,(1.9)
der
Modus
tollen
do
ponen
s16,
A_
B¬
A
B,
(1.10)
und
die
reductio
adab
surd
um
,die
Gru
ndform
des
Wid
erspru
chsb
eweises,
¬A)
(B^¬
B)
A.
(1.11)
Hier
stehen
jeweils
über
dem
Querstrich
gültige
Aussagen
,m
itderen
Hilfe
auf
die
Gültigkeit
der
Aussage
unter
dem
Querstrich
geschlossen
wird
.
Dass
Gleichu
ng
(1.2)ein
wah
reA
ussage
darstellt,
kurz
gesagt“d
assG
leichung
(1.2)w
ahr
ist”,ist
durch
aus
bew
eisbed
ürftig.
Der
Bew
eiskan
nin
diesem
Fall
durch
sog.Ä
quivalen
zum
formungen
geführt
werd
en,an
deren
Enden
(ho↵
entlich)ein
eTrivia-
litätw
iebeisp
ielsweise
1=
1(od
er0
=0,od
er17
=17
etc.)steht.U
mdie
Übersicht
nicht
zuverlieren
(“Häh
?W
iekom
mt’n
der
jetztdarau
f?”)kan
n–
und
sollte–
man
die
jeweilige
Um
formung
durch
einen
sog.A
uftragsstrichprotokollieren
.E
twa
so17
1+
2·3
=4·5�
62
|·2(b
eide
Seiten
“mit
2m
alneh
men
”)2·(1
+2·3)
=4·5�
6|lin
ks:A
ssoziativgesetz;rechts:
4·5
=20
2+
4·3
=20�
6|lin
ks:4·3
=12;
rechts:20�
6=
142
+12
=14
|links:
2+
12=
1414
=14
|÷14
(beid
eSeiten
“durch
14teilen
”)1
=1
(U↵!)
15lat.das
Aufzuhebende
aufhebend16lat.das
Aufzuhebende
setzend17D
asA
ssoziativgesetzw
irdin
??noch
einmalrekapituliert
...
c�M
artinW
ilkens29
22.A
ugust2014
30
Vora
b
wob
eim
itU
↵!ein
unb
estreitbar
wah
rerSatz
der
Arith
metik
erreichtist
(äquivalent
einem
Axiom
).D
ieÄ
quivalen
zder
“Origin
algleichung”
(1.2)m
itU
↵!in
Verb
indung
mit
der
unb
edin
gtenG
ültigkeit
vonU
↵!.
erlaubt
nun
–via
Mod
us
Pon
ens
–au
fdie
Gültigkeit
von(1.2)
zusch
ließen.
Versteht
sich,
dass
mit
zuneh
men
der
Übung,
die
Dichte
anA
uftragsstrich
enab
-nim
mt
–m
anm
uss
janicht
jede
Ban
alitätprotokollieren
.A
ber
dem
Novizen
seigeraten
,A
uftragsstrich
eern
stzu
neh
men
.E
rkan
ndan
nnäm
lichbesser
nachvollzie-
hen
,w
osich
seinD
enkfeh
lerein
geschlich
enhat
(wen
ner
den
nD
enkfeh
lerm
acht).
Ein
ew
ichtigeForm
vonÄ
quivalen
zum
formung
istdie
Term
vereinfach
ung.Term
-verein
fachung
istbeisp
ielsweise
2·(1+
2·3)=
2+
2·2·3=
2+
12=
14.A
ber
auch
23+
32=
136
istTerm
vereinfachu
ng.
Unter
einer
Term
vereinfachu
ng
ändert
sichder
Zah
lenwert
des
Term
snicht.
An
dieser
Stelle
eine
großeB
itte:
M
achen
Sie
um
Him
mels
Willen
bloß
nicht
den
Feh
ler,sofort
allesm
itdem
Tasch
enrech
ner
(oder
sonstw
ie)in
Dezim
alzahlen
auszu
drü
cken!B
leiben
Sie
solange
irgend
möglich
bei
den
Brü
chen
.E
rstgan
zam
Sch
luss
können
Sie,
wen
nSie
den
nunb
edin
gtw
ollen,
136
alsD
ezimalzah
lsch
reiben
,136
=2,166
....
Die
andere
wichtige
Form
vonÄ
quivalen
zum
formung
involviertdas
Addieren
,Sub-
trahieren
,Multip
lizierenund
Divid
ierender
beid
enSeiten
(=Term
e)ein
erG
leichung
mit
irgendw
elchen
,m
öglichst
geschickt
gewäh
ltenZah
len.
Hat
man
beisp
ielsweise
eine
Gleichu
ng
32=
1+
12 ,erzeu
gtM
ultip
likationm
it2
die
Gleichu
ng
3=
2+
2·
12 .D
erW
ertder
linken
Seite
hat
sichdab
eigeän
der
(von32
nach
3),eb
enso
der
Wert
der
rechtenSeite
(von1+
12nach
2+
2·12 ),ab
erder
Wah
rheitsw
ertder
Gleichu
ng
hat
sichnicht
geändert
(von“w
ahr”
nach
“wah
r”).A
ddieren
etc.dürfen
Sie
übrigen
sau
chgan
zeG
leichungen
,vorau
sgesetzt,Sie
hab
enderen
Gültigkeit
schon
anderw
ei-tig
etabliert.
Das
Gesagte
läßtsich
prob
lemlos
aufdie
Buch
staben
rechnung
übertragen
.B
uch
-
22.A
ugust2014
30c�
Martin
Wilkens
1.4
Bew
eiseund
der
Um
gang
mit
Gleich
ungen
31
staben
stehen
für
Zah
len,der
Term
2·b
für
das
Dop
pelte
der
Zah
lb,
bzw
.–
dem
Kom
mutativgesetz
der
Multip
likationsei
Dan
k–
für
das
b-fache
der
Zah
l2.
Wer
esgen
auneh
men
möchte,
nen
nt2·b
einen
ungesättig
tenTerm
.O
↵en
bleib
thier
der
Zah
lenwert
des
Term
s–
schließlich
kennt
man
jaden
Zah
lenwert
vonb
andieser
Stelle
nicht
(und
brau
chtih
nau
chnicht
zuken
nen
).
Zuw
eilenstößt
man
aufein
eG
leichung
der
Form
x·a
=2·b,
imA
nsch
luss
andas
gerade
gesagtebezeich
net
eineungesättig
teA
ussag
e,wob
einach
der
Lösu
ng
dieser
Gleichu
ng
gefragtw
ird.O
hne
esdazu
zusagen
,m
eintm
anm
it“d
ieLösu
ng”
den
jeni-
genW
ertder
Unbekan
nten
x,der
bei
gegeben
enParam
eterna,b
die
ungesättigte
Aussage
zuein
erw
ahren
Aussage
macht.
Äqu
ivalenzu
mform
ungen
erfordern
dan
nein
egew
isseSorgfalt
–also
nicht
einfach
“durch
ateilen
”,den
nw
asw
äreden
n,
wen
na
=0?
Durch
Null
darf
man
schließlich
nicht
teilen(d
urch
Null
teilenist
keine
Äqu
ivalenzu
mform
ung),
man
muss
alsoden
Fall
a=
0geson
dert
beh
andeln
.
Man
wird
dan
nfeststellen
,dass
die
Gleichu
ng
x·a
=2·b
imFalle
a=
0fü
rb6=
0überh
aupt
keine
Lösu
ng
hat,
dass
esalso
keinen
Wert
für
xgib
t,fü
rden
die
Gleichu
ng
eine
wah
reA
ussage.
Man
sagtdan
n,
die
Lösu
ngsm
enge
der
Gleichu
ng
x·a
=2·b
seiim
Falle
a=
0,b6=
0,die
leereM
enge.
ImFalle
a=
0,b
=0
hin
gegenbesteht
die
Lösu
ngsm
enge
aus
der
Men
gealler
Zah
len.N
ur
imFalle
a6=
0um
fasstdie
Lösu
ngsm
enge
genau
eine
Zah
l.Statt
um
ständlich
zuform
ulieren
“{2·ba }
istdie
Lösu
ngm
enge
der
Gleichu
ng
x·a
=2·b
imFalle
a6=
0”kü
rztm
andie
Prosa
etwas
ab,u
nd
sagt“x
=2·ba
istdie
Lösu
ng
der
Gleichu
ng
x·a=
2·b”(w
obeistillschw
eigend
vorausgesetzt
wird
,dass
a6=
0).
c�M
artinW
ilkens31
22.A
ugust2014
32
Vora
b
1.5
Das
Prin
zipder
vollstä
ndig
enIn
duktio
n
Ein
enB
eweis
mittels
Äqu
ivalenzu
mform
ungen
istder
Form
nach
eindirekter
Bew
eis.Im
mer
wen
nSie
etwas
nach
rechnen
oder
ausrech
nen
führen
Sie
einen
solchen
Bew
eis.In
der
“reinen
Math
ematik”
istder
Bew
eism
ittelsÄ
quivalen
zum
formungen
aber
eher
seltenan
zutre↵
en.
Betrachte
etwa
die
Aussage
E(n
):1
+2
+3
+···+
n=
n·(n
+1)
2(1.12)
Fürn
=1
stimm
tdiese
Aussage
o↵en
sichtlich,“E
(1)ist
wah
r”.W
ieab
erkan
nm
anbew
eisen,dass
E(n
)für
allenatü
rlichen
Zah
lenein
ew
ahre
Aussage?
18
Das
Bew
eisprin
zipder
volstä
ndig
enIn
duktio
n:
Seizu
jeder
natü
rlichen
Zah
ln
eine
Aussage
A(n
)gegeb
en.D
ann
sind
alleA
ussagen
A(n
)w
ahr,
wen
nm
anbew
eisenkan
n
1.A
(1)ist
richtig(sog.
Induktio
nsan
fang).
2.Für
jedes
n,fü
rw
elches
A(n
)richtig
ist,ist
auch
A(n
+1)
richtig(sog.
Induktio
nssch
luss).
Das
Bew
eisprin
zipder
vollständigen
Induktion
folgtunm
ittelbar
aus
dem
Indukti-
onsaxiom
das
beiein
ersystem
atischen
Ein
führu
ng
der
natü
rlichen
Zah
lenform
uliert
wird
.
18E
inerA
nekdotezufolge
hatG
aussals
jungerSchüler
dieW
ahrheitvon
E(100)
durchU
mord-
nungderR
eihe,1+2+
3+...+
100=
(1+100)+
(2+99)+
(3+98)+
···+(50+
51)=
50·101=
100·1
01
2bew
iesen.
22.A
ugust2014
32c�
Martin
Wilkens
1.5
Das
Prin
zipder
vollstä
ndig
enIn
duktio
n33
Imvorliegen
den
Fall
wurd
esch
onerkan
nt,dass
E(1)
legitimer
Induktion
sanfan
g.D
erSch
luss
vonE
(n)
nach
E(n
+1)
wird
nun
durch
folgende
kleine
Rech
nung
vollzogen,w
obei
ander
Stelle
⇤die
Aussage
E(n
)als
Induktion
svoraussetzu
ng
her-
angezogen
wird
:
1+
2+
3+···+
n+
(n+
1)⇤=
n·(n
+1)
2+
(n+
1)=
(n+
1)·(n+
2)
2.
(1.13)
Dam
itist
E(n
))
E(n
+1)
für
allen
eine
wah
reA
ussage.
Weil
aber
schon
E(1)
alsw
ahr
erkannt
wurd
e,kan
nm
itM
odus
Pon
ens
auf
E(2)
geschlossen
wed
en,
imV
erbund
mit
der
der
Wah
rheit
vonE
(2))
E(3)
viaM
odus
Pon
ens
aufE
(3)und
sow
eiter.M
.a.W.E
(n)
istw
ahr
für
allen.
qed19
Neb
endem
Bew
eisdurch
Äqu
ivalenzu
mform
ungen
und
dem
Bew
eism
ittelsvollstän
di-
gerIn
duktion
istder
Wid
erspru
chsb
eweis
istein
ebelieb
teFigu
rder
math
ematisch
enB
eweisfü
hru
ng.
Gute
Gelegen
heit
also,Sie
mit
dieser
Figu
rvertrau
tzu
mach
en.
Dazu
einB
eispiel
das
schon
inE
uklid
sLeh
rbuch
der
Geom
etriezu
finden
ist:
Satz:
Es
gibt
unen
dlich
eviele
Prim
zahlen
.
Angen
omm
enes
gäbe
nur
kP
rimzah
lenp
1<
p2
<···
<p
k .D
ann
wäre
die
Zah
lp
=p
1 ·p
2 ·····p
k+
1entw
eder
selber
eine
neu
eP
rimzah
lp
>p
k ,od
ersie
wäre
durch
eine
Prim
zahlp0teilb
ar,die
allerdin
gsau
chneu
seinm
üsste,
da
pdurch
die
Prim
zahlen
p1 ,...,p
knicht
ohne
Rest
teilbar.
Inbeid
enFällen
befän
de
man
sichim
Wid
erspru
chzu
rA
nnah
me,
und
da
esm
indesten
sein
eP
rimzah
lgib
t,z.B
.die
Zah
l17,
istder
einzige
Sch
luss
der
bleib
t,dass
esunen
dlich
vieleP
rimzah
lengib
t.qed
19D
as“qed”,
was
man
zuweilen
amE
ndeeines
Bew
eisesfindet
stehtübrigens
für“quod
eratdem
onstraundum”
–w
aszu
beweisen
war.
c�M
artinW
ilkens33
22.A
ugust2014
34
Vora
b
1.6
Aufg
aben
.A
ufg
abe
1-1
(1P
unkt)
Sch
reiben
Sie
uns
diejen
igenForm
elnau
f,die
Ihnen
imLau
feder
Woch
ebegegn
en,
etwa
inden
Vorlesu
ngen
zur
Exp
erimentalp
hysik,und
die
Ihnen
unklar
sind.
.A
ufg
abe
1-2
(Galilei’s
Fallg
esetz)(6
Punkte)
Inden
“Discorsi”
schreib
tG
alileiin
der
Ein
leitung
zum
Dritten
Tag
[...]E
inige
leichtereSätze
hört
man
nen
nen
:w
iezu
mB
eispiel,
dass
die
natü
rliche
Bew
egung
fallender
schwerer
Körp
erein
estetig
besch
leunigte
sei.In
welch
emM
asseab
erdiese
Besch
leunigu
ng
stattfinde,
istbish
ernicht
ausgesp
rochen
word
en;
den
nso
vielich
weiss,
hat
Niem
and
be-
wiesen
,dass
die
vomfallen
den
Körp
erin
gleichen
Zeiten
zurü
ckgelegtenStrecken
sichzu
einan
der
verhalten
wie
die
ungerad
enZah
len.
Sow
eitG
alilei.W
iepasst
das
zudem
,w
asSie
inder
Schu
legelernt
hab
en?
Anm
erkung:
Galilei
kannte
noch
keine
Infinitem
simalrech
nung.
Die
wurd
eerst
vonN
ewton
und
Leib
niz
erfunden
.
.A
ufg
abe
1-3
(⇡P
unkte)
Ein
ealte
Bau
ernregel
besagt
“Wen
nder
Hah
nkräht
aufdem
Mist,
ändert
sichdas
Wetter
oder
esbleib
tw
iees
ist”.U
nterwerfen
Sie
die
Regel
einer
logischen
Ana-
lyse.K
önne
Sie
aus
der
Wetterlage
auf
das
Kräh
enbzw
.nicht-K
rähen
des
Hah
nes
schließen
?
.A
ufg
abe
1-4
22.A
ugust2014
34c�
Martin
Wilkens
1.6
Aufg
aben
35
“Wen
nm
einG
roßmutter
Räd
erhätte,
wäre
sie’n
Om
nib
us”
lautet
einaltes
Sprich
-w
ort.N
un
stellensie
fest,dass
ihre
Großm
utter
inder
Tat
einO
mnib
us
ist.D
ürfen
Sie
schließen
,dass
sieR
äder
hat?
.A
ufg
abe
1-5
(⇡P
unkte)
Leh
rerLem
pel,
gefürchtet
für
seinen
messersch
arfenV
erstand,beh
auptet,
erw
ürd
ean
irgendein
emTag
inder
näch
stenW
oche
genau
eine
Math
earbeit
schreib
enlas-
sen,ab
erm
anw
ürd
eam
Morgen
des
fraglichen
Tages
nicht
wissen
,dass
der
Tag
der
Klassen
arbeit
gekomm
ensei.
Reku
rsine,
das
anerkan
nteM
athe-A
ssder
Klasse,
be-
ruhigt:
“Lem
pe
lügt!”.
Logiku
s,eb
enso
pfi�
g,ergän
zt“T
rotzdem
solltenw
irbü↵eln
bis
zum
Um
fallen!”
Wie
argum
entiertR
ekursin
e,und
wieso
solltem
anLogiku
s’R
atern
stneh
men
?
.A
ufg
abe
1-6
(3P
unkte)
Zeigen
Sie:
Die
Implikation
A)
Bist
genau
dan
nw
ahr,
wen
ndie
Kontrap
osition(n
ichtB))
(nichtA
)w
ahr
ist.
.A
ufg
abe
1-7
(1P
unkt)
Jeman
dbeh
auptet
“Es
gibt
3P
rimzah
len”.
Stim
men
Sie
zu?
.A
ufg
abe
1-8
(2P
unkte)
Falls
Sie
schon
wissen
,w
asm
anunter
der
Ableitu
ng
einer
Funktion
versteht:ist
das
Verschw
inden
der
erstenA
bleitu
ng
inein
emP
unkt
x0
notw
endige
oder
hin
reichen
de
Bed
ingu
ng
dafü
r,dass
die
Funktion
dort
einM
aximum
hat?
.A
ufg
abe
1-9
(2P
unkte)
c�M
artinW
ilkens35
22.A
ugust2014
36
Vora
b
Essei
A(x
,y)die
Kurzform
fürdie
Aussage
“Stu
dentin
/Stu
dent
xfindet
das
Them
ay
der
Math
e-Vorlesu
ng
ban
al.”G
eben
Sie
die
um
gangssp
rachlich
eForm
ulieru
ng
für
8x9
y:
A(x
,y)(1.14)
9y8
x:
A(x
,y)(1.15)
.A
ufg
abe
1-1
0(G
eom
etrische
Sum
men
form
el)*(7
Punkte)
Zur
Erin
neru
ng:
Mit
xn
meint
man
das
n-fach
eP
rodukt
vonx
mit
sichselb
st,x
n=
x·x
·····x(n
Faktoren
),und
esgilt
xn·x
m=
xn+
m.
Bew
eisenSie
mittel
vollständiger
Induktion
die
geometrische
Sum
men
formel
1+
x+
x2+···+
xn
=1�
xn+
1
1�
x,
x6=
1.
(1.16)
.A
ufg
abe
1-1
1(B
ernoullisch
eU
ngleich
ung)
(7P
unkte)
Zur
Erin
neru
ng:
Ein
eZah
la
heißt
größerals
eine
Zah
lb,
notiert
a>
b,w
enn
a�
bein
epositive
Zah
l.
Bew
eisenSie
mittels
vollständiger
Induktion
die
Bern
oulli’scheU
ngleichun
g
(1+
x)n
>1
+n·x
,fü
rx2
R,x
>�
1,x6=
0und
n=
2,3,....(1.18)
22.A
ugust2014
36c�
Martin
Wilkens