22
Kapitel 1 Vorab Ein notorisches Problem im Lehramtsstudium Physik ist die Mathematikausbildung, die im Vergleich zum 1-Fachstudium Physik mager ausf ¨ allt. Betroen sind insbeson- dere Lehramtsstudierende, die weder im Haupt- noch im Nebenfach (Studienordnung vor 2013) bzw als anderes Fach (Studienordnung ab 2013) Mathe belegt haben. Ih- nen – aber nicht nur ihnen – sollen die “Mathematische Methoden der Physik” das n ¨ otige Handwerkszeug vemitteln um im Physikstudium ¨ uber die Runden zu kom- men. Die MathMeth werden in Potsdam ¨ uber zwei Semester gestreckt. Im Wintersemester werden im Format 2V1 ¨ U die Vektorrechnung, komplexe Zahlen und Grundlagen der reellen Analysis behandelt. Im Sommersemester folgen im Format 2V1 ¨ U die Vektor- felder, DivGradRot und die Integralstze von Gauss und Stokes. 1 Die Portionierung 1 xVy ¨ U steht f ¨ ur “x Semesterwochenstunden (SWS) Vorlesung nebst y SWS ¨ Ubung”. Das Norm- semester hat 15 Wochen. Entsprechend sitzen Sie im Forma 2V1 ¨ U genau 45 Schulstunden in der Uni rum . . . c Martin Wilkens 15 22. August 2014

lamathmain - uni-potsdam.de€¦ · bx + c f ¨ e n x 1, 2 = b ± p b 2 4 ac 2 a) • in ¨ it ... i ↵. o ll r n n. he k ¨ n,-n ¨ und e ↵ n ¨-r ¨ ie in-i-l m ¨ r ¨ und K

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  • Kapitel

    1

    Vora

    b

    Ein

    notorisch

    esP

    roblem

    imLeh

    ramtsstu

    diu

    mP

    hysikist

    die

    Math

    ematikau

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    die

    imV

    ergleichzu

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    achstu

    diu

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    etro↵en

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    dere

    Leh

    ramtsstu

    dieren

    de,d

    iew

    eder

    imH

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    noch

    imN

    eben

    fach(S

    tudien

    ordnu

    ng

    vor2013)

    bzw

    alsan

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    ordnu

    ng

    ab2013)

    Math

    ebelegt

    hab

    en.Ih

    -nen

    –ab

    ernicht

    nur

    ihnen

    –sollen

    die

    “Math

    ematisch

    eM

    ethod

    ender

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    das

    nötige

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    dw

    erkszeug

    vemitteln

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    imP

    hysikstudiu

    müber

    die

    Runden

    zukom

    -m

    en.

    Die

    Math

    Meth

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    enin

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    Form

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    Vektorrech

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    der

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    ImSom

    mersem

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    1Üdie

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    Die

    Portion

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    c�M

    artinW

    ilkens15

    22.A

    ugust2014

  • 16

    Vora

    b

    der

    Inhalte

    folgtder

    Regel

    “eine

    Woch

    e–

    einT

    hem

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    t)”.

    Außer

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    ins

    und

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    erdie

    Regeln

    der

    Bru

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    –und

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    orlesungen

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    D

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    resM

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    orlesung

    finden

    Sie

    imO

    rdner

    “Teach

    ing”

    aufhttp://www.quantum.physik.uni-potsdam.de.

    1.1

    Physik

    und

    Math

    e

    Physik

    und

    Math

    ematik

    sind

    wie

    einZw

    illingsp

    aar.D

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    eist

    ohne

    das

    andere

    nichts,

    und

    keiner

    war

    ehr

    da. 2

    Waru

    mallerd

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    eine

    empirisch

    eD

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    letzterR

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    das

    Exp

    eriment,

    und

    eine

    theoretisch

    eD

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    ,deren

    letzteIn

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    erdie

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    (das

    Man

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    ),so

    wundersam

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    “Waru

    m”,

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    eW

    igner

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    ufsatz

    von1960,“ist

    die

    Math

    ematik

    inder

    Physik

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    ektiv?”. 3

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    .Lesen

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    istder

    Aufsatz

    allemal.

    Galilei

    Galileo,

    der

    Vater

    der

    experim

    entellenN

    aturw

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    aften,hat

    sichw

    enig

    2Ineiner

    glänzendenP

    hilippikaO

    nteaching

    mathem

    atics(1997,

    nachzulesenauf:

    http://pauli.uni-muenster.de/

    munsteg/arnold.html)

    geißeltder

    großeM

    athematiker

    V.I.

    Arnol’d

    seineFachkollegen,

    siehätten

    sichin

    derLehre

    vonder

    Verschränkung

    vonP

    hyskund

    Mathem

    atikunverhältnism

    äßigw

    eitentfernt.

    Insbesonderedie

    eherm

    ittelmäßig

    begabtenM

    a-them

    atikerw

    ürdennur

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    blutleerenG

    ötzender

    reinenA

    xiomatik

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    ihreM

    ediokrizitätzu

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    ugeneW

    ignerT

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    ofM

    athematics

    inthe

    Natural

    Sciencesin:

    Com

    munications

    inP

    ureand

    Applied

    Mathem

    atics,vol.13,No.I

    (Februar1960).

    22.A

    ugust2014

    16c�

    Martin

    Wilkens

  • 1.1

    Physik

    und

    Math

    e17

    um

    das

    “Waru

    m”

    geschert,

    sondern

    kurz

    und

    bündig

    konstatiert:

    Das

    Buch

    der

    Natu

    rkan

    nm

    annu

    rversteh

    en,w

    enn

    man

    vorher

    die

    Spra-

    che

    und

    die

    Buch

    staben

    gelernthat,

    inden

    enes

    geschrieb

    enist.

    Es

    istin

    math

    ematisch

    erSprach

    egesch

    rieben

    ,und

    die

    Buch

    staben

    sind

    Dreiecke,

    Kreise

    und

    andere

    geometrisch

    eFigu

    ren,und

    ohne

    diese

    Hilfsm

    ittelist

    esM

    ensch

    enunm

    öglich,au

    chnu

    rein

    Wort

    davon

    zubegreifen

    .

    Das

    sollnu

    nerst

    mal

    alsB

    egründung

    reichen

    ,w

    arum

    Sie

    ausgerech

    net

    Math

    estu

    -dieren

    sollen,w

    osie

    doch

    Physik

    studieren

    wollen

    ...

    Abb

    1.1

    Euklids

    “Elem

    ente”

    –die

    Spra-

    cheder

    Mathem

    atikzu

    Galileis

    Zeit.

    Heu

    tzutage

    sind

    allerdin

    gsnicht

    geometrisch

    eFigu

    rendie

    “Buch

    staben

    der

    Math

    e-m

    atik”,sondern

    Zah

    len,V

    ektorenund

    Morp

    hism

    en,u

    nd

    auch

    die

    Sprach

    e–

    ehem

    alsA

    rithm

    etikund

    Geom

    etrie–

    istum

    Analysis

    und

    Lin

    eareA

    lgebra

    erweitert.

    So

    komm

    tes,

    dass

    inden

    Ein

    führu

    ngsvorlesu

    ngen

    eines

    Physikstu

    diu

    ms

    ohne

    vielFed

    erlesensogleich

    vonFunktion

    en,

    Ableitu

    ngen

    und

    Integralendie

    Red

    eist,

    som

    anch

    eFunktion

    inein

    erTaylorreih

    eentw

    ickeltod

    erin

    einer

    Fou

    rierreihe

    darge-

    stelltw

    ird,

    kurz

    mal

    eben

    Di↵

    erentialgleichungen

    integriertund

    Vektoren

    inder

    einen

    oder

    anderen

    Art

    mutlip

    liziertw

    erden

    .

    Inden

    erstenV

    orlesungen

    zur

    Exp

    erimentalp

    hysik,beisp

    ielsweise,

    komm

    enau

    sder

    Analysis

    zum

    Ein

    satz

    •D

    iequ

    adratisch

    eFunktion

    f(x

    )=

    ax2

    +bx

    +c,

    neb

    stder

    Form

    elfü

    rih

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    x1,2

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    b±p

    b2�

    4ac

    2a(1.1)

    •K

    omplexe

    Zah

    lenm

    itder

    imagin

    ärenE

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    i,defi

    niert

    i 2=�

    1.

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    ilkens17

    22.A

    ugust2014

  • 18

    Vora

    b

    •D

    ieE

    xpon

    entialfunktion

    ex

    und

    die

    Trigon

    ometrisch

    enFunktion

    ensin

    (x),

    cos(x),ih

    rech

    arakteristischen

    Merkm

    ale,insb

    esondere

    eaxe

    bx=

    e(a

    +b)x,sin

    2(x)+

    cos2(x

    )=

    1,neb

    stih

    rerjew

    eiligenA

    bleitu

    ng

    f0(x

    ):=

    ddx f(x

    )und

    Stam

    mfu

    nk-

    tionF

    (x)

    := Rxf(x

    0)dx0.

    •D

    ieP

    rodukt-

    und

    Ketten

    regelder

    Di↵

    erentialrechnu

    ng

    und

    die

    Tech

    nik

    der

    partiellen

    Integrationfü

    rdie

    Integralrechnu

    ng.

    •D

    ieTaylorentw

    icklung

    bzw

    Taylorap

    proxim

    ationein

    er“kom

    plizierten

    ”Funk-

    tiondurch

    eine

    “einfach

    e”Funktion

    •D

    i↵erentialgleichu

    ngen

    ,etwa

    inForm

    “Masse-m

    al-Besch

    leunigu

    ng

    gleichK

    raft”.B

    eschleu

    nigu

    ng

    istdie

    zweite

    Ableitu

    ng

    des

    Ortes

    nach

    der

    Zeit,

    und

    das

    be-

    sagteG

    esetznim

    mt

    dan

    nim

    einfach

    stenFall

    die

    Form

    der

    gewöh

    nlich

    eD

    if-ferentialgleichu

    ng

    md2

    dt 2 q(t)

    =F

    (q(t))an

    .G

    esucht

    istbei

    soein

    erD

    i↵erential-

    gleichung

    imm

    erein

    eFunktion

    die

    die

    Di↵

    erentialgleichung

    befried

    igt,inunse-

    remB

    eispielalso

    irgendein

    eFunktion

    q(t),die

    –w

    enn

    man

    siezw

    eimalab

    leitetund

    mit

    mm

    ultip

    liziertdas

    gleiche

    liefertw

    iedie

    Funktion

    f(t)

    =F

    (q(t)).

    und

    aus

    der

    linearen

    Algeb

    ra

    •V

    ektor,bild

    lich“P

    feil”

    •Län

    geein

    esV

    ektors,Skalarp

    rodukt

    ~a· ~b,K

    reuzp

    rodukt

    ~a⇥~b

    und

    Spatp

    rodukt

    ~a·( ~b⇥

    ~c).

    •M

    atrix,insb

    esondere

    3⇥3

    Matrix

    fürdie

    Darstellu

    ng

    vonTen

    soren(T

    rägheits-

    tensor

    etc.)und

    Koord

    inatentran

    sformation

    ,in

    sbeson

    dere

    Drehu

    ng

    des

    Koor-

    din

    atensystem

    s

    22.A

    ugust2014

    18c�

    Martin

    Wilkens

  • 1.1

    Physik

    und

    Math

    e19

    •D

    etermin

    ante,fü

    rdie

    Berech

    nung

    vonV

    olum

    ina,

    aber

    auch

    zur

    Bestim

    mung

    des

    charakteristisch

    enPolyn

    oms

    einer

    linearen

    Di↵

    erentialgleichung

    usw

    .

    Wie

    schon

    gesagt–

    inden

    erstenpaar

    Vorlesu

    ngen

    ...und

    dan

    ngeht

    das

    genau

    sow

    eiter.D

    ieListe

    sollübrigen

    skein

    sfallsbeh

    aupten

    ,dass

    Sie

    das

    allessch

    onin

    der

    Schu

    legeh

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    en.D

    ashab

    enSie

    wah

    rschein

    lichnicht.

    Es

    istnu

    rein

    eListe

    vonden

    Din

    gen,m

    itden

    enSie

    vermutlich

    ganz

    schnell

    konfrontiert

    werd

    en.

    Math

    ematik

    lernen

    entspricht

    dem

    Erlern

    enein

    erFrem

    dsp

    rache.E

    ine

    Frem

    dsp

    rache

    aber,

    inder

    sienicht

    irgendw

    ann

    einkau

    fenod

    erim

    Restau

    rantbestellen

    können

    ,son

    dern

    einer

    Frem

    dsp

    rache

    mit

    der

    siesich

    eine

    andere

    Frem

    dsp

    rache

    –die

    Phy-

    sik–

    erschließen

    .W

    enn

    Sie

    näm

    lichphysikalisch

    eSachverh

    altebesch

    reiben

    ,und

    schließlich

    auch

    verstehen

    ,dan

    ntre↵

    enSie

    math

    ematisch

    eA

    ussagen

    über

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    lische

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    .Joh

    ann

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    ieQ

    uad

    rateder

    Um

    laufzeiten

    verhalten

    sichw

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    der

    großenH

    albach

    sen”

    istso

    eine

    Aussage

    –au

    chw

    enn

    Sie

    hier

    keinG

    leichheitszeich

    enseh

    enund

    keine

    Form

    el.V

    erstehen

    tun

    Sie

    diese

    Aussage

    alsm

    a-th

    ematisch

    notw

    endige

    Kon

    sequen

    zein

    erK

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    New

    ton’sch

    enG

    ravitati-on

    sgesetzes,dem

    zufolge

    die

    Anziehu

    ngskraft

    zweier

    Massen

    um

    gekehrt

    prop

    ortional

    dem

    Quad

    ratih

    resA

    bstan

    ds,m

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    Äqu

    ivalenzp

    rinzip

    ,dem

    zufolge

    sichträge

    und

    schwere

    Masse

    eines

    Körp

    ersbis

    aufs

    Haar

    gleichen

    .W

    ohlgem

    erkt,die

    Prin

    zipien

    sind

    Physik,

    die

    Kon

    sequen

    zensin

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    alsein

    math

    ematisch

    esE

    ssay. 4

    Solch

    eE

    ssayszu

    lesen,

    und

    imtäglich

    enP

    hysikerdasein

    selber

    kleine

    Essays

    zuverfassen

    bed

    arfes

    meh

    rals

    nur

    die

    “Buch

    staben

    ”zu

    kennen

    und

    zuerken

    nen

    .Sie

    müssen

    auch

    Wörter

    und

    vollständige

    Sätze

    bild

    enkön

    nen

    ,m

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    mit

    richtigerK

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    asetzung.

    Sie

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    –ku

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    chdie

    Gram

    matik

    der

    Math

    ematik

    4New

    tonging

    hierübrigensgenauin

    deranderenR

    ichtungvor.Sein

    Ausgangspunktw

    arKeplers

    drittesG

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    Endpunkt

    war

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    ravitationsgesetz,w

    obeider

    aufdem

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    nalysism

    alebenkurz

    ausderTaufehob

    –vgl.die

    Handreichung

    “Kepler,N

    ewton

    undso”

    aufderWebseite

    desK

    urses.

    c�M

    artinW

    ilkens19

    22.A

    ugust2014

  • 20

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    gibt

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    die

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    d,

    dass

    beisp

    ielsweise

    die

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    Gren

    zwert-

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    ngen

    der

    Analysis

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    und

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    fürErbsen

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    Kollege

    hat

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    man

    d,der

    noch

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    hat,

    wird

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    der

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    des

    Sinu

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    asm

    uss

    Zack-Z

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    Zack-Z

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    mt

    nur

    durch

    Übung.

    Der

    Kollege

    hat

    den

    Sinu

    ssch

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    bei

    ihm

    ganz

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    Das

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    die

    Epsilontik

    –kon

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    aus

    seinem

    Blickfeld

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    Aber

    wen

    ner

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    eigene

    Stu

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    ihm

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    seine

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    Ein

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    die

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    des

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    ihm

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    hat,

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    Keller

    indie

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    Etagen

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    hilft

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    Nur

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    nen

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    die

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    enteken

    nen

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    Adam

    und

    Eva

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    gen.

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    Men

    geund

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    Folge

    und

    Reih

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    Klein

    und

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    5esseiden

    ergreift

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    Mit

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    omputer!

    22.A

    ugust2014

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    Martin

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  • 1.2

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    1.2

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    Math

    ematik

    lernen

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    nicht

    inder

    Vorlesu

    ng.

    Die

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    der

    ihr

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    inder

    Vorlesu

    ng

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    Nicht

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    Sie

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    itB

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    Auflage,

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    30und

    31,B

    .I.-Wissen

    schaftsverlag

    1962,[IS

    BN

    3-411-00030-9und

    3-411-00031-7].Solid

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    igsberger

    “Analysis

    1”(5.

    Auflage),

    Sprin

    ger2001

    [ISB

    N3-540-

    41282-4]und

    “Analysis

    2”(3.

    Auflage),

    Sprin

    ger2000

    [ISB

    N3-540-66902-

    7].T

    hem

    atische

    Breite

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    •K

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    BN

    3-540-41976-4und

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    Auflage,

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    ger1992.

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    N3-540-64535-

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    3.A

    uflage,

    Sprin

    ger1995

    [ISB

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    •K

    laus

    Jänich

    “Vektoran

    alysis”,2.

    Auflage,

    Sprin

    ger1993

    [ISB

    N3-540-57142-

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    Die

    Aussage

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    anau

    chA

    seirichtig,

    oder

    Agelte.

    IstA

    falsch,sagt

    man

    Asei

    unrichtig

    oder

    ungü

    ltig.

    Die

    Wahrheitsw

    ertevon

    “und”,“oder”

    und“w

    enn–

    dann”fasst

    man

    gernein

    einersog.

    Wahrheitsw

    erttabellezusam

    men.

    AB

    A^

    BA_

    BA)

    B

    ww

    ww

    w

    wf

    fw

    f

    fw

    fw

    w

    ff

    ff

    w

    6Bitte

    nicht“W

    ahr”und

    “Falsch”m

    it“B

    eweisbar”

    und“U

    beweisbar”

    verwechseln.

    Inder

    Mathem

    atik–

    dasw

    eißm

    anseit

    Gödel,Turing

    undanderen,sind

    durchausSätze

    vorstellbar,dieunbew

    eisbarsind.

    SolcheSätze

    kannm

    andann

    für“w

    ahr”erklären,

    oderauch

    als“falsch”.

    Jenach

    demw

    iem

    anhier

    verfährt,schaut

    man

    aufleicht

    unterschiedlicheA

    xiomensystem

    e.W

    ennes

    umihre

    Bedeutung

    fürdie

    Physik

    geht,spielendiese

    Unterschiede

    aberzum

    Glück

    keineR

    olle.

    c�M

    artinW

    ilkens23

    22.A

    ugust2014

  • 24

    Vora

    b

    Brot

    und

    Butter

    der

    Math

    ematik

    sind

    Aussagen

    der

    Form

    1+

    2·3

    =4·5�

    6

    2,

    (1.2)

    genan

    ntein

    eG

    leichung. 7

    Ein

    eG

    leichung

    hat

    eine

    linke

    Seite

    und

    eine

    rechteSei-

    te.B

    eide

    Seiten

    hab

    ennotw

    endig

    die

    Form

    vonTerm

    en.E

    inen

    Ausd

    ruck

    der

    Form

    1+

    2·3,beisp

    ielsweise,

    istein

    Term

    .E

    inA

    usd

    ruck

    der

    Form

    1+ist

    keinTerm

    .E

    inTerm

    istein

    Ausd

    ruck,

    der

    eine

    Zah

    l(od

    erein

    anderes

    math

    ematisch

    esO

    bjekt)

    ben

    ennt.

    Der

    Ausd

    ruck

    1+

    2·3ist

    einTerm

    ,w

    eiler

    die

    Zah

    l7

    ben

    ennt.

    Kein

    eA

    h-

    nung,

    welch

    eZah

    lder

    Ausd

    ruck

    1+ben

    ennt.

    Dah

    erist

    1+au

    chkein

    Term

    (sondern

    möglich

    erweise

    die

    Note

    für

    eine

    beson

    ders

    gute

    Leistu

    ng).

    Ein

    eG

    leichung

    beh

    aup-

    tet,dass

    die

    Zah

    l(b

    zw.

    das

    math

    ematisch

    eO

    bjekt),

    die

    der

    Term

    auf

    der

    linken

    Seite

    ben

    ennt

    die

    gleiche

    Zah

    l(b

    zw.

    das

    math

    ematisch

    eO

    bjekt)

    ist,w

    iedie

    Zah

    l(b

    zw.das

    math

    ematisch

    eO

    bjekt),

    die

    der

    Term

    auf

    der

    rechtenSeite

    ben

    ennt.

    So

    einfach

    istdas.

    Hat

    man

    eine

    Aussage

    A,kan

    nm

    andarau

    sein

    eneu

    eA

    ussage

    “Aist

    nicht

    wah

    r”bild

    en,

    genan

    ntdie

    Neg

    ation

    vonA

    ,kryp

    tischnotiert

    ¬A

    .D

    ieA

    ussage

    ¬A

    istgen

    audan

    nw

    ahr,

    wen

    nA

    falschist.

    Hat

    man

    zwei

    Aussagen

    Aund

    B,

    istau

    ch“A

    und

    B”

    eine

    Aussage,

    genan

    ntK

    onju

    nktio

    n,notiert

    A^

    B.W

    ahr

    istdie

    Kon

    junktion

    dan

    nund

    nur

    dan

    n,w

    enn

    sowoh

    lA

    alsau

    chB

    wah

    rsin

    d.

    Die

    Aussage

    “Aod

    erB

    ”nen

    ntm

    anein

    eD

    isjunktio

    n,

    auch

    Altern

    ative,notiert

    A_

    B. 8

    Die

    Disju

    nktion

    istdan

    nund

    nur

    dan

    nfalsch

    ,w

    enn

    sowoh

    lA

    alsau

    chB

    7Auch

    1=

    2ist

    eineG

    leichung,nur

    dassdiese

    Gleichung

    einefalsche

    Aussage,

    imG

    egensatzzur

    Gleichung

    (1.2),dieeine

    wahre

    Aussage

    darstellt.Inder

    Mathem

    atikbeschränkt

    man

    sichim

    Allgem

    einendarauf,nur

    wahre

    Aussagen

    hinzuschreiben,2=

    1w

    erdensie

    seltensehen,allenfalls

    gegenE

    ndeeines

    indirektenB

    eweises.

    8Kann

    man

    sichm

    erken:Lateinisch“vel”

    heißtaufdeutsch

    “oderauch”

    bzw“oder

    sogar”.Wer

    22.A

    ugust2014

    24c�

    Martin

    Wilkens

  • 1.3

    Logik

    für

    Laien

    25

    falschsin

    d.A

    chtung!

    ImG

    egensatz

    um

    landläu

    figen

    Sprach

    gebrau

    chist

    “oder”

    hier

    nicht

    imau

    sschließen

    den

    Sin

    ne

    von“entw

    eder

    –od

    er”gem

    eint. 9In

    jedem

    Fall

    giltim

    mer

    A_¬

    A.

    Die

    Aussage

    “Sein

    oder

    nicht

    sein”

    isteb

    enkein

    eFrage,

    wie

    bei

    Shakesp

    eare,son

    dern

    als‘T

    ertium

    non

    datu

    r’ein

    eew

    igeW

    ahrh

    eit. 10

    Die

    Aussage

    “Wen

    nA

    gilt,dan

    ngilt

    B”,

    auch

    gelesen“au

    sA

    folgtB

    ”und

    no-

    tiertA)

    Bnen

    ntm

    anein

    eIm

    plikatio

    n.

    Die

    Implikation

    kann

    mit

    den

    bereits

    vereinbarten

    Junktoren

    ^und_

    defi

    niert

    werd

    en

    (A)

    B)

    :=(¬

    A)_

    B.

    (1.3)

    Das

    hier

    neu

    eingefü

    hrte

    Zeich

    en:=

    kürzt

    übrigen

    sdas

    um

    gangssp

    rachlich

    e“steht

    für”

    ab. 1

    1In

    a:=

    bsagt

    man

    dan

    nau

    ch“a

    istdefi

    nition

    sgemäß

    gleichb”.

    Das

    “a”nen

    ntm

    andan

    ndas

    Defi

    nien

    s,das

    “b”das

    Defi

    nien

    dum

    .D

    efintion

    sgleichungen

    wie

    (1.3)sin

    dim

    mer

    wah

    r–

    siesin

    dnicht

    bew

    eisbed

    ürftig.

    ImG

    egensatz

    dazu

    istdie

    beh

    aupte

    Gleich

    heit

    ina

    =b

    durch

    aus

    bew

    eisbed

    ürftig

    –die

    Aussage

    a=

    bkön

    nteja

    auch

    falschsein

    .D

    ieG

    leichung

    2=

    3,beisp

    ielsweise,

    ist–

    wie

    Sie

    wissen

    –im

    Rah

    men

    der

    üblich

    enA

    rithm

    etiksch

    lichtfalsch

    . 12W

    iem

    anunter

    Rückgri↵

    auf

    die

    Kunst

    des

    logischen

    Sch

    ließens

    ordentlich

    bew

    eist,w

    irdim

    näch

    stenA

    bsch

    nitt

    keinLatein

    kann,m

    erkesich

    einfach“W

    ahl”.U

    ndalso

    kannm

    ansich

    auchm

    erken,dass

    dassandere

    Symbol^

    für“und”

    steht.9“E

    ntweder

    Aoder

    B”

    nenntm

    aneine

    Kontravalen

    z,auchexklu

    sivesoder.D

    ieK

    ontravalenzist

    genaudann

    falsch,wenn

    derW

    ahrheitswert

    vonA

    dergleiche

    wie

    derW

    ahrheitswert

    vonB

    .10zum

    indestin

    derLogik

    derM

    athematik.

    Inder

    Physik

    gibtes

    SchrödingersK

    atze.U

    nddie

    kann–

    ineinem

    metaphorischen

    Sinne–

    sowohl

    “sein”als

    auch”

    nichtsein”.

    Die

    Metaphorik

    beziehtsich

    dabeiauf

    densog.

    Überlagerungszustand

    einesE

    nsembles

    gleichartigpräparierter

    Katzen,und

    ebennicht

    aufeineindividuelle

    Katze.M

    ehrdazu

    inder

    Quantenm

    echanik-Vorlesung

    ...11W

    itzboldedürfen

    auchsagen

    Das

    Zeichen:=

    stehtfür

    “stehtfür”.

    12W

    ennSie

    nundefinieren

    2:=

    3,befindet

    sichdas

    damit

    vonIhnen

    formulierte

    Axiom

    imW

    iderspruchzum

    Axiom

    ensystemder

    handselsüblichenA

    rithmetik.

    Das

    Gesatm

    systemist

    dannnicht

    widerspruchsfreiund

    alsoals

    mathem

    atischesA

    xiomensystem

    nichtgeeignet.

    c�M

    artinW

    ilkens25

    22.A

    ugust2014

  • 26

    Vora

    b

    kurz

    abgeh

    andelt.

    Hier

    fahren

    wir

    fortm

    itden

    Aussagen

    und

    ihren

    möglich

    enV

    er-kn

    üpfu

    ngen

    .

    Mit

    Hilfe

    der

    Wah

    rheitsw

    erttabellen

    für¬

    und_

    überzeu

    gtm

    ansich

    schnell,

    dass

    A)

    Bnu

    rdan

    nfalsch

    ist,w

    enn

    Bfalsch

    ,ab

    erA

    wah

    r,in

    allenan

    deren

    Fällen

    aber

    wah

    r.Für

    die

    noch

    zubesp

    rechen

    de

    Kunst

    des

    logischen

    Sch

    ließens

    bed

    eutet

    das,

    dass

    aus

    einer

    wah

    renA

    ussage

    keine

    falsche

    Aussage

    abgeleitet

    werd

    enkan

    n.

    Allerd

    ings

    kann

    aus

    einer

    falschen

    Aussage

    jede

    Aussage

    abgeleitet

    werd

    en,ob

    nun

    wah

    rod

    erfalsch

    .G

    ebild

    etsagt

    man

    Ex

    falsoquod

    libet. 13

    Impliziert

    eine

    Aussage

    Aein

    eA

    ussage

    B,u

    nd

    impliziert

    andererseits

    die

    Aussage

    Bau

    chdie

    Aussage

    A,sagt

    man

    Aund

    Bseien

    äquivalent.D

    efiniert

    istdie

    Äquivalen

    z

    (A,

    B)

    :=(A)

    B)^

    (B)

    A).

    (1.4)

    Die

    Äqu

    ivalenz

    A,

    Bist

    o↵enb

    argen

    audan

    nw

    ahr,

    wen

    nsich

    die

    Wah

    rheitsw

    ertevon

    Aund

    Bgleich

    en,d.h

    .w

    enn

    beid

    ew

    ahr,

    oder

    wen

    nbeid

    efalsch

    sind.

    Mit

    Hilfe

    vonW

    ahrh

    eitswerttab

    ellenüberzeu

    gtm

    ansich

    ,dass

    die

    Aussage

    A)

    Bgen

    audan

    nw

    ahr

    ist,w

    enn

    die

    Aussage

    (¬B

    ))(¬

    A)

    wah

    rist

    (sog.K

    ontrap

    ositi-

    on).

    Mittels

    Äqu

    ivalenz

    lässtsich

    das

    Gesagt

    auch

    alsForm

    elform

    ulieren

    ,

    (A)

    B),

    (¬B)

    ¬A

    )(1.5)

    Inder

    Implikation

    A)

    Bist

    Bnotw

    endig

    eB

    edin

    gung

    für

    A,

    und

    Aist

    hin

    rei-ch

    ende

    Bed

    ingu

    ng

    für

    B.

    A

    chtung!E

    sist

    durch

    ausm

    öglich,d

    assdie

    Implikation

    A)

    Bw

    ahr,obw

    ohl

    Afalsch

    !Sei

    beisp

    ielsweise

    Adie

    Aussage

    “Es

    regnet.”

    und

    Bdie

    Aussage

    “Es

    stehen

    Wolken

    amH

    imm

    el.”D

    ieIm

    plikation

    A)

    Bbed

    eutet

    nun

    die

    Weish

    eit“W

    enn

    esregn

    et,dan

    nsteh

    enW

    olkenam

    Him

    mel.”,

    die

    Kontrap

    ositionbed

    eutet

    13genau

    gesagt:Ex

    falsosequitur

    quodlibet–

    ausFalschem

    folgtB

    eliebiges.

    22.A

    ugust2014

    26c�

    Martin

    Wilkens

  • 1.3

    Logik

    für

    Laien

    27

    “Wen

    nkein

    eW

    olkenam

    Him

    mel

    stehen

    ,regn

    etes

    nicht”.

    Allerd

    ings

    kann

    esdurch

    -au

    ssein

    ,dass

    esnicht

    regnet

    –A

    alsofalsch

    –obw

    ohlW

    olkenam

    Him

    mel

    stehen

    ,d.h

    .B

    zutre↵

    end.

    Die

    Aussage

    “(A)

    B)

    und

    (B)

    C)”

    impliziert

    die

    Aussage

    A)

    C,in

    Form

    eln

    (A)

    B)^

    (B)

    C))

    (A)

    C).

    (1.6)

    was

    anhan

    dder

    Wah

    rheitsw

    erttabelle

    unschw

    erverifi

    ziertw

    erden

    kann.

    Für

    ma-

    them

    atische

    Bew

    eiseist

    dieses

    Zerlegen

    eines

    großenSch

    rittes(von

    Anach

    C)

    inklein

    ereSch

    ritte(zu

    näch

    stvon

    Anach

    B,dan

    nvon

    Bnach

    C)

    vonunsch

    ätzbarem

    Wert

    –vgl.

    auch

    Gl.

    (1.7).

    Bekan

    ntlichgib

    tes

    Äpfel,

    Stü

    hle

    und

    ungerad

    eZah

    len.

    Istein

    gegeben

    esD

    ing

    xnu

    nein

    Apfel

    sagtm

    anx

    gehöre

    zur

    Apfelkollektion

    ,notiert

    x2

    X,

    wob

    eim

    itX

    die

    Gesam

    theit

    allerÄ

    pfel

    gemeint

    ist.Ist

    xkein

    Apfel

    schreib

    tm

    anx

    /2X

    .U

    nterden

    Äpfeln

    gibt

    essolch

    edie

    süß

    sind,

    und

    solche

    die

    rotsin

    d.

    “Süß

    sein”

    und

    “Rot

    sein”

    sind

    jeweils

    eine

    Eig

    ensch

    aft,nen

    nen

    wir

    sieku

    rzS

    und

    R.

    Hat

    man

    nun

    einen

    Apfel

    x,ist

    S(x

    )gleichb

    edeu

    tende

    mit

    der

    Aussage

    “xist

    süß”.

    Die

    Kollektion

    allersü

    ßenÄ

    pfel

    notier

    man

    dan

    n{x2

    X|S

    (x)}

    (lies:die

    Gesam

    theit

    allerD

    inge

    aus

    dem

    Apfelkollektiv

    (vordem

    Tren

    sstrich)

    die

    süß

    sind

    (nach

    dem

    Tren

    nstrich

    )).Sie

    dürfen

    hier

    Sru

    hig

    alsFunktion

    sehen

    :D

    efintion

    sberich

    wären

    alleÄ

    pfel,

    Werteb

    ereichdie

    beid

    enW

    ahrh

    eitswerte

    wund

    f.

    Aussagen

    wie

    “Alle

    Men

    schen

    sind

    sterblich

    ”kön

    nen

    mit

    Hilfe

    des

    sog.A

    llquan

    torsprägn

    antform

    uliert

    werd

    en:8

    x2

    M:S

    (x),w

    orinM

    die

    Men

    gealler

    Men

    schen

    ,und

    S(a)

    die

    Aussage

    “aist

    sterblich

    ”.A

    ussagen

    wie

    “Esfäh

    rtein

    Zug

    nach

    Nirgen

    dw

    o”kön

    nen

    mit

    dem

    Existen

    zquan

    torprägn

    antform

    uliert

    werd

    en:9

    x2

    Z:N

    (x),w

    orinZ

    die

    Men

    gealler

    Züge,

    und

    N(a)

    die

    Aussage

    “Der

    Zug

    afäh

    rtnach

    Nirgen

    dw

    o”.

    c�M

    artinW

    ilkens27

    22.A

    ugust2014

  • 28

    Vora

    b

    1.4

    Bew

    eiseund

    der

    Um

    gang

    mit

    Gleich

    ungen

    Inden

    seltensten

    Fällen

    weiß

    man

    vonvorn

    eherein

    ,ob

    eine

    gegeben

    eA

    ussage

    wah

    rist

    oder

    nicht.W

    esentlichhäu

    figer

    möchte

    man

    die

    Wah

    rheit

    einer

    Aussage

    bew

    eisen.

    Bew

    eisenist

    eine

    Argu

    mentation

    stechnik,

    die

    einem

    striktenR

    egelwerk

    unterw

    or-fen

    ist–

    etwa

    den

    Reg

    elndes

    natü

    rlichen

    Sch

    ließen

    s.A

    usgeh

    end

    vonbereits

    alsgü

    ltigerkan

    ntenA

    ussagen

    gestattensolch

    eR

    egelnden

    Sch

    luss

    aufein

    eneu

    egü

    ltigeA

    ussage

    –die

    “zubew

    eisende”

    Aussage

    –w

    enn

    der

    Bew

    eisden

    ngelin

    gt.

    Für

    eine

    gegeben

    eFunktion

    f(x

    ),überall

    stetigdi↵

    erenzierb

    ar,m

    öchtem

    anbei-

    spielsw

    eisebew

    eisen,dass

    ihre

    Ableitu

    ng

    anein

    ergegeb

    enen

    Stelle

    x0

    verschwin

    det

    (f0(x

    0 )=

    0sei

    imFolgen

    den

    die

    Aussage

    Bgen

    annt).

    Wir

    stellenuns

    vor,dass

    die

    Funktion

    sofu

    rchtbar

    kompliziert

    ist,dass

    man

    sienicht

    einfach

    ableiten

    kann

    um

    f0(x

    0 )au

    srechnen

    ,dass

    aber

    mit

    vertretbarem

    Aufw

    and

    festgestelltw

    erden

    kann,

    dass

    fbei

    x0

    einlokales

    Maxim

    um

    aufw

    eist(im

    Folgen

    den

    die

    Aussage

    Agen

    annt).

    Indiesem

    Fall

    kann

    der

    Bew

    eisder

    Aussage

    “f0(x

    0 )=

    0”nach

    folgendem

    Sch

    ema

    geführt

    werd

    en:“A

    !B

    istw

    ahr.

    Nun

    istA

    istw

    ahr.

    Dah

    erist

    Bw

    ahr!”.

    Inder

    Form

    elsprach

    edes

    natü

    rlichen

    Sch

    ließens

    liestsich

    das

    A)

    BA

    B,

    (1.7)

    genan

    ntder

    Modus

    Ponen

    s, 14

    auch

    Abtren

    nungsregel.

    Der

    Mod

    us

    Pon

    ens

    und

    der

    sog.K

    ettensch

    luss

    A)

    BB!

    C

    A)

    C(1.8)

    sind

    Gru

    ndform

    endes

    sog.direkten

    Bew

    eises.G

    rundform

    endes

    indirekten

    Be-

    14genauer:M

    odusponendo

    ponens–

    daszu

    Setzendesetzend.

    22.A

    ugust2014

    28c�

    Martin

    Wilkens

  • 1.4

    Bew

    eiseund

    der

    Um

    gang

    mit

    Gleich

    ungen

    29

    weises

    sind

    der

    Modus

    tollen

    do

    tollen

    s15,

    A)

    B

    ¬A

    ,(1.9)

    der

    Modus

    tollen

    do

    ponen

    s16,

    A_

    A

    B,

    (1.10)

    und

    die

    reductio

    adab

    surd

    um

    ,die

    Gru

    ndform

    des

    Wid

    erspru

    chsb

    eweises,

    ¬A)

    (B^¬

    B)

    A.

    (1.11)

    Hier

    stehen

    jeweils

    über

    dem

    Querstrich

    gültige

    Aussagen

    ,m

    itderen

    Hilfe

    auf

    die

    Gültigkeit

    der

    Aussage

    unter

    dem

    Querstrich

    geschlossen

    wird

    .

    Dass

    Gleichu

    ng

    (1.2)ein

    wah

    reA

    ussage

    darstellt,

    kurz

    gesagt“d

    assG

    leichung

    (1.2)w

    ahr

    ist”,ist

    durch

    aus

    bew

    eisbed

    ürftig.

    Der

    Bew

    eiskan

    nin

    diesem

    Fall

    durch

    sog.Ä

    quivalen

    zum

    formungen

    geführt

    werd

    en,an

    deren

    Enden

    (ho↵

    entlich)ein

    eTrivia-

    litätw

    iebeisp

    ielsweise

    1=

    1(od

    er0

    =0,od

    er17

    =17

    etc.)steht.U

    mdie

    Übersicht

    nicht

    zuverlieren

    (“Häh

    ?W

    iekom

    mt’n

    der

    jetztdarau

    f?”)kan

    n–

    und

    sollte–

    man

    die

    jeweilige

    Um

    formung

    durch

    einen

    sog.A

    uftragsstrichprotokollieren

    .E

    twa

    so17

    1+

    2·3

    =4·5�

    62

    |·2(b

    eide

    Seiten

    “mit

    2m

    alneh

    men

    ”)2·(1

    +2·3)

    =4·5�

    6|lin

    ks:A

    ssoziativgesetz;rechts:

    4·5

    =20

    2+

    4·3

    =20�

    6|lin

    ks:4·3

    =12;

    rechts:20�

    6=

    142

    +12

    =14

    |links:

    2+

    12=

    1414

    =14

    |÷14

    (beid

    eSeiten

    “durch

    14teilen

    ”)1

    =1

    (U↵!)

    15lat.das

    Aufzuhebende

    aufhebend16lat.das

    Aufzuhebende

    setzend17D

    asA

    ssoziativgesetzw

    irdin

    ??noch

    einmalrekapituliert

    ...

    c�M

    artinW

    ilkens29

    22.A

    ugust2014

  • 30

    Vora

    b

    wob

    eim

    itU

    ↵!ein

    unb

    estreitbar

    wah

    rerSatz

    der

    Arith

    metik

    erreichtist

    (äquivalent

    einem

    Axiom

    ).D

    ieÄ

    quivalen

    zder

    “Origin

    algleichung”

    (1.2)m

    itU

    ↵!in

    Verb

    indung

    mit

    der

    unb

    edin

    gtenG

    ültigkeit

    vonU

    ↵!.

    erlaubt

    nun

    –via

    Mod

    us

    Pon

    ens

    –au

    fdie

    Gültigkeit

    von(1.2)

    zusch

    ließen.

    Versteht

    sich,

    dass

    mit

    zuneh

    men

    der

    Übung,

    die

    Dichte

    anA

    uftragsstrich

    enab

    -nim

    mt

    –m

    anm

    uss

    janicht

    jede

    Ban

    alitätprotokollieren

    .A

    ber

    dem

    Novizen

    seigeraten

    ,A

    uftragsstrich

    eern

    stzu

    neh

    men

    .E

    rkan

    ndan

    nnäm

    lichbesser

    nachvollzie-

    hen

    ,w

    osich

    seinD

    enkfeh

    lerein

    geschlich

    enhat

    (wen

    ner

    den

    nD

    enkfeh

    lerm

    acht).

    Ein

    ew

    ichtigeForm

    vonÄ

    quivalen

    zum

    formung

    istdie

    Term

    vereinfach

    ung.Term

    -verein

    fachung

    istbeisp

    ielsweise

    2·(1+

    2·3)=

    2+

    2·2·3=

    2+

    12=

    14.A

    ber

    auch

    23+

    32=

    136

    istTerm

    vereinfachu

    ng.

    Unter

    einer

    Term

    vereinfachu

    ng

    ändert

    sichder

    Zah

    lenwert

    des

    Term

    snicht.

    An

    dieser

    Stelle

    eine

    großeB

    itte:

    M

    achen

    Sie

    um

    Him

    mels

    Willen

    bloß

    nicht

    den

    Feh

    ler,sofort

    allesm

    itdem

    Tasch

    enrech

    ner

    (oder

    sonstw

    ie)in

    Dezim

    alzahlen

    auszu

    drü

    cken!B

    leiben

    Sie

    solange

    irgend

    möglich

    bei

    den

    Brü

    chen

    .E

    rstgan

    zam

    Sch

    luss

    können

    Sie,

    wen

    nSie

    den

    nunb

    edin

    gtw

    ollen,

    136

    alsD

    ezimalzah

    lsch

    reiben

    ,136

    =2,166

    ....

    Die

    andere

    wichtige

    Form

    vonÄ

    quivalen

    zum

    formung

    involviertdas

    Addieren

    ,Sub-

    trahieren

    ,Multip

    lizierenund

    Divid

    ierender

    beid

    enSeiten

    (=Term

    e)ein

    erG

    leichung

    mit

    irgendw

    elchen

    ,m

    öglichst

    geschickt

    gewäh

    ltenZah

    len.

    Hat

    man

    beisp

    ielsweise

    eine

    Gleichu

    ng

    32=

    1+

    12 ,erzeu

    gtM

    ultip

    likationm

    it2

    die

    Gleichu

    ng

    3=

    2+

    12 .D

    erW

    ertder

    linken

    Seite

    hat

    sichdab

    eigeän

    der

    (von32

    nach

    3),eb

    enso

    der

    Wert

    der

    rechtenSeite

    (von1+

    12nach

    2+

    2·12 ),ab

    erder

    Wah

    rheitsw

    ertder

    Gleichu

    ng

    hat

    sichnicht

    geändert

    (von“w

    ahr”

    nach

    “wah

    r”).A

    ddieren

    etc.dürfen

    Sie

    übrigen

    sau

    chgan

    zeG

    leichungen

    ,vorau

    sgesetzt,Sie

    hab

    enderen

    Gültigkeit

    schon

    anderw

    ei-tig

    etabliert.

    Das

    Gesagte

    läßtsich

    prob

    lemlos

    aufdie

    Buch

    staben

    rechnung

    übertragen

    .B

    uch

    -

    22.A

    ugust2014

    30c�

    Martin

    Wilkens

  • 1.4

    Bew

    eiseund

    der

    Um

    gang

    mit

    Gleich

    ungen

    31

    staben

    stehen

    für

    Zah

    len,der

    Term

    2·b

    für

    das

    Dop

    pelte

    der

    Zah

    lb,

    bzw

    .–

    dem

    Kom

    mutativgesetz

    der

    Multip

    likationsei

    Dan

    k–

    für

    das

    b-fache

    der

    Zah

    l2.

    Wer

    esgen

    auneh

    men

    möchte,

    nen

    nt2·b

    einen

    ungesättig

    tenTerm

    .O

    ↵en

    bleib

    thier

    der

    Zah

    lenwert

    des

    Term

    s–

    schließlich

    kennt

    man

    jaden

    Zah

    lenwert

    vonb

    andieser

    Stelle

    nicht

    (und

    brau

    chtih

    nau

    chnicht

    zuken

    nen

    ).

    Zuw

    eilenstößt

    man

    aufein

    eG

    leichung

    der

    Form

    x·a

    =2·b,

    imA

    nsch

    luss

    andas

    gerade

    gesagtebezeich

    net

    eineungesättig

    teA

    ussag

    e,wob

    einach

    der

    Lösu

    ng

    dieser

    Gleichu

    ng

    gefragtw

    ird.O

    hne

    esdazu

    zusagen

    ,m

    eintm

    anm

    it“d

    ieLösu

    ng”

    den

    jeni-

    genW

    ertder

    Unbekan

    nten

    x,der

    bei

    gegeben

    enParam

    eterna,b

    die

    ungesättigte

    Aussage

    zuein

    erw

    ahren

    Aussage

    macht.

    Äqu

    ivalenzu

    mform

    ungen

    erfordern

    dan

    nein

    egew

    isseSorgfalt

    –also

    nicht

    einfach

    “durch

    ateilen

    ”,den

    nw

    asw

    äreden

    n,

    wen

    na

    =0?

    Durch

    Null

    darf

    man

    schließlich

    nicht

    teilen(d

    urch

    Null

    teilenist

    keine

    Äqu

    ivalenzu

    mform

    ung),

    man

    muss

    alsoden

    Fall

    a=

    0geson

    dert

    beh

    andeln

    .

    Man

    wird

    dan

    nfeststellen

    ,dass

    die

    Gleichu

    ng

    x·a

    =2·b

    imFalle

    a=

    0fü

    rb6=

    0überh

    aupt

    keine

    Lösu

    ng

    hat,

    dass

    esalso

    keinen

    Wert

    für

    xgib

    t,fü

    rden

    die

    Gleichu

    ng

    eine

    wah

    reA

    ussage.

    Man

    sagtdan

    n,

    die

    Lösu

    ngsm

    enge

    der

    Gleichu

    ng

    x·a

    =2·b

    seiim

    Falle

    a=

    0,b6=

    0,die

    leereM

    enge.

    ImFalle

    a=

    0,b

    =0

    hin

    gegenbesteht

    die

    Lösu

    ngsm

    enge

    aus

    der

    Men

    gealler

    Zah

    len.N

    ur

    imFalle

    a6=

    0um

    fasstdie

    Lösu

    ngsm

    enge

    genau

    eine

    Zah

    l.Statt

    um

    ständlich

    zuform

    ulieren

    “{2·ba }

    istdie

    Lösu

    ngm

    enge

    der

    Gleichu

    ng

    x·a

    =2·b

    imFalle

    a6=

    0”kü

    rztm

    andie

    Prosa

    etwas

    ab,u

    nd

    sagt“x

    =2·ba

    istdie

    Lösu

    ng

    der

    Gleichu

    ng

    x·a=

    2·b”(w

    obeistillschw

    eigend

    vorausgesetzt

    wird

    ,dass

    a6=

    0).

    c�M

    artinW

    ilkens31

    22.A

    ugust2014

  • 32

    Vora

    b

    1.5

    Das

    Prin

    zipder

    vollstä

    ndig

    enIn

    duktio

    n

    Ein

    enB

    eweis

    mittels

    Äqu

    ivalenzu

    mform

    ungen

    istder

    Form

    nach

    eindirekter

    Bew

    eis.Im

    mer

    wen

    nSie

    etwas

    nach

    rechnen

    oder

    ausrech

    nen

    führen

    Sie

    einen

    solchen

    Bew

    eis.In

    der

    “reinen

    Math

    ematik”

    istder

    Bew

    eism

    ittelsÄ

    quivalen

    zum

    formungen

    aber

    eher

    seltenan

    zutre↵

    en.

    Betrachte

    etwa

    die

    Aussage

    E(n

    ):1

    +2

    +3

    +···+

    n=

    n·(n

    +1)

    2(1.12)

    Fürn

    =1

    stimm

    tdiese

    Aussage

    o↵en

    sichtlich,“E

    (1)ist

    wah

    r”.W

    ieab

    erkan

    nm

    anbew

    eisen,dass

    E(n

    )für

    allenatü

    rlichen

    Zah

    lenein

    ew

    ahre

    Aussage?

    18

    Das

    Bew

    eisprin

    zipder

    volstä

    ndig

    enIn

    duktio

    n:

    Seizu

    jeder

    natü

    rlichen

    Zah

    ln

    eine

    Aussage

    A(n

    )gegeb

    en.D

    ann

    sind

    alleA

    ussagen

    A(n

    )w

    ahr,

    wen

    nm

    anbew

    eisenkan

    n

    1.A

    (1)ist

    richtig(sog.

    Induktio

    nsan

    fang).

    2.Für

    jedes

    n,fü

    rw

    elches

    A(n

    )richtig

    ist,ist

    auch

    A(n

    +1)

    richtig(sog.

    Induktio

    nssch

    luss).

    Das

    Bew

    eisprin

    zipder

    vollständigen

    Induktion

    folgtunm

    ittelbar

    aus

    dem

    Indukti-

    onsaxiom

    das

    beiein

    ersystem

    atischen

    Ein

    führu

    ng

    der

    natü

    rlichen

    Zah

    lenform

    uliert

    wird

    .

    18E

    inerA

    nekdotezufolge

    hatG

    aussals

    jungerSchüler

    dieW

    ahrheitvon

    E(100)

    durchU

    mord-

    nungderR

    eihe,1+2+

    3+...+

    100=

    (1+100)+

    (2+99)+

    (3+98)+

    ···+(50+

    51)=

    50·101=

    100·1

    01

    2bew

    iesen.

    22.A

    ugust2014

    32c�

    Martin

    Wilkens

  • 1.5

    Das

    Prin

    zipder

    vollstä

    ndig

    enIn

    duktio

    n33

    Imvorliegen

    den

    Fall

    wurd

    esch

    onerkan

    nt,dass

    E(1)

    legitimer

    Induktion

    sanfan

    g.D

    erSch

    luss

    vonE

    (n)

    nach

    E(n

    +1)

    wird

    nun

    durch

    folgende

    kleine

    Rech

    nung

    vollzogen,w

    obei

    ander

    Stelle

    ⇤die

    Aussage

    E(n

    )als

    Induktion

    svoraussetzu

    ng

    her-

    angezogen

    wird

    :

    1+

    2+

    3+···+

    n+

    (n+

    1)⇤=

    n·(n

    +1)

    2+

    (n+

    1)=

    (n+

    1)·(n+

    2)

    2.

    (1.13)

    Dam

    itist

    E(n

    ))

    E(n

    +1)

    für

    allen

    eine

    wah

    reA

    ussage.

    Weil

    aber

    schon

    E(1)

    alsw

    ahr

    erkannt

    wurd

    e,kan

    nm

    itM

    odus

    Pon

    ens

    auf

    E(2)

    geschlossen

    wed

    en,

    imV

    erbund

    mit

    der

    der

    Wah

    rheit

    vonE

    (2))

    E(3)

    viaM

    odus

    Pon

    ens

    aufE

    (3)und

    sow

    eiter.M

    .a.W.E

    (n)

    istw

    ahr

    für

    allen.

    qed19

    Neb

    endem

    Bew

    eisdurch

    Äqu

    ivalenzu

    mform

    ungen

    und

    dem

    Bew

    eism

    ittelsvollstän

    di-

    gerIn

    duktion

    istder

    Wid

    erspru

    chsb

    eweis

    istein

    ebelieb

    teFigu

    rder

    math

    ematisch

    enB

    eweisfü

    hru

    ng.

    Gute

    Gelegen

    heit

    also,Sie

    mit

    dieser

    Figu

    rvertrau

    tzu

    mach

    en.

    Dazu

    einB

    eispiel

    das

    schon

    inE

    uklid

    sLeh

    rbuch

    der

    Geom

    etriezu

    finden

    ist:

    Satz:

    Es

    gibt

    unen

    dlich

    eviele

    Prim

    zahlen

    .

    Angen

    omm

    enes

    gäbe

    nur

    kP

    rimzah

    lenp

    1<

    p2

    <···

    <p

    k .D

    ann

    wäre

    die

    Zah

    lp

    =p

    1 ·p

    2 ·····p

    k+

    1entw

    eder

    selber

    eine

    neu

    eP

    rimzah

    lp

    >p

    k ,od

    ersie

    wäre

    durch

    eine

    Prim

    zahlp0teilb

    ar,die

    allerdin

    gsau

    chneu

    seinm

    üsste,

    da

    pdurch

    die

    Prim

    zahlen

    p1 ,...,p

    knicht

    ohne

    Rest

    teilbar.

    Inbeid

    enFällen

    befän

    de

    man

    sichim

    Wid

    erspru

    chzu

    rA

    nnah

    me,

    und

    da

    esm

    indesten

    sein

    eP

    rimzah

    lgib

    t,z.B

    .die

    Zah

    l17,

    istder

    einzige

    Sch

    luss

    der

    bleib

    t,dass

    esunen

    dlich

    vieleP

    rimzah

    lengib

    t.qed

    19D

    as“qed”,

    was

    man

    zuweilen

    amE

    ndeeines

    Bew

    eisesfindet

    stehtübrigens

    für“quod

    eratdem

    onstraundum”

    –w

    aszu

    beweisen

    war.

    c�M

    artinW

    ilkens33

    22.A

    ugust2014

  • 34

    Vora

    b

    1.6

    Aufg

    aben

    .A

    ufg

    abe

    1-1

    (1P

    unkt)

    Sch

    reiben

    Sie

    uns

    diejen

    igenForm

    elnau

    f,die

    Ihnen

    imLau

    feder

    Woch

    ebegegn

    en,

    etwa

    inden

    Vorlesu

    ngen

    zur

    Exp

    erimentalp

    hysik,und

    die

    Ihnen

    unklar

    sind.

    .A

    ufg

    abe

    1-2

    (Galilei’s

    Fallg

    esetz)(6

    Punkte)

    Inden

    “Discorsi”

    schreib

    tG

    alileiin

    der

    Ein

    leitung

    zum

    Dritten

    Tag

    [...]E

    inige

    leichtereSätze

    hört

    man

    nen

    nen

    :w

    iezu

    mB

    eispiel,

    dass

    die

    natü

    rliche

    Bew

    egung

    fallender

    schwerer

    Körp

    erein

    estetig

    besch

    leunigte

    sei.In

    welch

    emM

    asseab

    erdiese

    Besch

    leunigu

    ng

    stattfinde,

    istbish

    ernicht

    ausgesp

    rochen

    word

    en;

    den

    nso

    vielich

    weiss,

    hat

    Niem

    and

    be-

    wiesen

    ,dass

    die

    vomfallen

    den

    Körp

    erin

    gleichen

    Zeiten

    zurü

    ckgelegtenStrecken

    sichzu

    einan

    der

    verhalten

    wie

    die

    ungerad

    enZah

    len.

    Sow

    eitG

    alilei.W

    iepasst

    das

    zudem

    ,w

    asSie

    inder

    Schu

    legelernt

    hab

    en?

    Anm

    erkung:

    Galilei

    kannte

    noch

    keine

    Infinitem

    simalrech

    nung.

    Die

    wurd

    eerst

    vonN

    ewton

    und

    Leib

    niz

    erfunden

    .

    .A

    ufg

    abe

    1-3

    (⇡P

    unkte)

    Ein

    ealte

    Bau

    ernregel

    besagt

    “Wen

    nder

    Hah

    nkräht

    aufdem

    Mist,

    ändert

    sichdas

    Wetter

    oder

    esbleib

    tw

    iees

    ist”.U

    nterwerfen

    Sie

    die

    Regel

    einer

    logischen

    Ana-

    lyse.K

    önne

    Sie

    aus

    der

    Wetterlage

    auf

    das

    Kräh

    enbzw

    .nicht-K

    rähen

    des

    Hah

    nes

    schließen

    ?

    .A

    ufg

    abe

    1-4

    22.A

    ugust2014

    34c�

    Martin

    Wilkens

  • 1.6

    Aufg

    aben

    35

    “Wen

    nm

    einG

    roßmutter

    Räd

    erhätte,

    wäre

    sie’n

    Om

    nib

    us”

    lautet

    einaltes

    Sprich

    -w

    ort.N

    un

    stellensie

    fest,dass

    ihre

    Großm

    utter

    inder

    Tat

    einO

    mnib

    us

    ist.D

    ürfen

    Sie

    schließen

    ,dass

    sieR

    äder

    hat?

    .A

    ufg

    abe

    1-5

    (⇡P

    unkte)

    Leh

    rerLem

    pel,

    gefürchtet

    für

    seinen

    messersch

    arfenV

    erstand,beh

    auptet,

    erw

    ürd

    ean

    irgendein

    emTag

    inder

    näch

    stenW

    oche

    genau

    eine

    Math

    earbeit

    schreib

    enlas-

    sen,ab

    erm

    anw

    ürd

    eam

    Morgen

    des

    fraglichen

    Tages

    nicht

    wissen

    ,dass

    der

    Tag

    der

    Klassen

    arbeit

    gekomm

    ensei.

    Reku

    rsine,

    das

    anerkan

    nteM

    athe-A

    ssder

    Klasse,

    be-

    ruhigt:

    “Lem

    pe

    lügt!”.

    Logiku

    s,eb

    enso

    pfi�

    g,ergän

    zt“T

    rotzdem

    solltenw

    irbü↵eln

    bis

    zum

    Um

    fallen!”

    Wie

    argum

    entiertR

    ekursin

    e,und

    wieso

    solltem

    anLogiku

    s’R

    atern

    stneh

    men

    ?

    .A

    ufg

    abe

    1-6

    (3P

    unkte)

    Zeigen

    Sie:

    Die

    Implikation

    A)

    Bist

    genau

    dan

    nw

    ahr,

    wen

    ndie

    Kontrap

    osition(n

    ichtB))

    (nichtA

    )w

    ahr

    ist.

    .A

    ufg

    abe

    1-7

    (1P

    unkt)

    Jeman

    dbeh

    auptet

    “Es

    gibt

    3P

    rimzah

    len”.

    Stim

    men

    Sie

    zu?

    .A

    ufg

    abe

    1-8

    (2P

    unkte)

    Falls

    Sie

    schon

    wissen

    ,w

    asm

    anunter

    der

    Ableitu

    ng

    einer

    Funktion

    versteht:ist

    das

    Verschw

    inden

    der

    erstenA

    bleitu

    ng

    inein

    emP

    unkt

    x0

    notw

    endige

    oder

    hin

    reichen

    de

    Bed

    ingu

    ng

    dafü

    r,dass

    die

    Funktion

    dort

    einM

    aximum

    hat?

    .A

    ufg

    abe

    1-9

    (2P

    unkte)

    c�M

    artinW

    ilkens35

    22.A

    ugust2014

  • 36

    Vora

    b

    Essei

    A(x

    ,y)die

    Kurzform

    fürdie

    Aussage

    “Stu

    dentin

    /Stu

    dent

    xfindet

    das

    Them

    ay

    der

    Math

    e-Vorlesu

    ng

    ban

    al.”G

    eben

    Sie

    die

    um

    gangssp

    rachlich

    eForm

    ulieru

    ng

    für

    8x9

    y:

    A(x

    ,y)(1.14)

    9y8

    x:

    A(x

    ,y)(1.15)

    .A

    ufg

    abe

    1-1

    0(G

    eom

    etrische

    Sum

    men

    form

    el)*(7

    Punkte)

    Zur

    Erin

    neru

    ng:

    Mit

    xn

    meint

    man

    das

    n-fach

    eP

    rodukt

    vonx

    mit

    sichselb

    st,x

    n=

    x·x

    ·····x(n

    Faktoren

    ),und

    esgilt

    xn·x

    m=

    xn+

    m.

    Bew

    eisenSie

    mittel

    vollständiger

    Induktion

    die

    geometrische

    Sum

    men

    formel

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    x+

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    vollständiger

    Induktion

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    Bern

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    22.A

    ugust2014

    36c�

    Martin

    Wilkens