-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
1/17
Resumen
La medicin
tcntcaes
esencial
para
el
campo
de
aplicaciones
de
la
fsica.
Hemos
aprendido
que
hay
siete
unidades
funda-
mentales
y que
cada
una
de
ellas
tiene'una
sola
unidad
aprobada
en
el
SI. En
mecnica, las tres cantidades fundamentales para
la mayor
parte
de
las aplicaciones
son
la
longitud,
la
masa
y
el
tiempo.
Algunas
de
las
aplicaciones
incluyen
vectores
y
otras
s6lo
escalares.
Debido
a
que
las cantidades
vectoriales
tienen
direccin,
se
deben
sumaf
o
restar
mediante
mtodos
especia-
les-
Los
siguientes
puntos
resumen
esta
unidad
de
estudio;
Flgura
.
Los
prefijos del
Sl
utilizados
para
expesff
mltiplos
y
submltiplos
de
las unidades
hrsicas
se
indican
a conti-
3.26
nuaclon:
,
giga
(G)
=
10e
mega
(M)
:
10o
kilo
(k)
:
10:
I
centi
(c)
:
10-2
mili
(m)
-
l[::
micro
(r)
:
10-6
nano
(n)
:
10-e
Pico
(P)
:
10
12
Para
convertir
una
unidad
en
otra:
a.
Escriba
la cantidad
que
se
desea
convertir
(nmero
y
unidad).
b.
Recuerde
las
definiciones
necesarias.
c.
Forme
dos
factores
de conversin
para
cada
definicin'
d.
Multiplique
la
cantidad
que
se
va a
convertir
por aque-
ilos
fctores
de
conversin
que
cancelen
todas
las
uni-
dades.
menos
las deseadas.
Mtodo
ctet
poLigono para sumar
veclores:Elvector
resul'
tanfe
se
obtiene
dibuiando
cada vector
a
escala,
colocando
el
origen
de
un
vector
en
la
punta
de
la
flecha
dsl
otro
hasta
que todos los vectores
queden
representados' La
re-
sultante
es
la
lnea
recta
que
se
dibuja
a
partir
del origen
del
primer vector hasta
la
punta del
ltimo
(figura
3.26).
Mtotlo
del
paralelogramo
para sumar
vecfores:
La
resul-
tante
de
sumar
dos vectores
es la diagonal
de
unparalelo-
gfamo
que se
forma
tomando
los
dos
vectores
como
lados
adyacentes.
La direccin
se
indica en
el
punto
ms
lejano
del
grigen
comn
de
los
dos
vectores
(figura
3'27).
.
Las
componentes
x
y
y
de
un
vector
(R.0):
R.:ftcos0
R"-Rsen0
.
La
resultante
de
dos
vectores
perpendiculares
(R",
R,
tp I
-'-
L\'
l
R:VR?+Ri
run:l*l
'
I
^r
I
.
El
mtodo
de
Las componentes
para sumar
vectores:
R":Ar+8,+Cr*"'
Rr:Au+By+Cr+"'
R:
VR
+
R
IR. I
tan
:
ljl
'
lR,l
Conceptos
clave
cantidad
escalar
45
cantidad
vectorial
45
componentes
50
desplazamienlo
del
Pistn
35
dimensiones
44
factor
de
conversin
43
ferza dinmica
50
fuerza esttica
50
62
fuerza
resultanle
5
I
fuerzas
concuffentes
51
magnitud
35
mtodo
de las
componentes
62
mtodo
del
paralelogramo
41
mtodo
del
polgono
41
meffo
38
patron Jf
peso
49
rapidez
43
segundo
38
sistema
internacional
de
unidades
(unidades
del SI)
36
vector unitario
59
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
2/17
Preguntas
de repaso
3.1.
Exprese
las
siguientes
mediciones
en la
lorma
del Sl
apropiada.
empleando
los
prefijos
adecuados.
El
sm_
bolo
de la
unidad
bsica
se
presenta entre parntesis:
a.
298
000
merros
(m)
b.
7
600 volts
r
V.)
c.
0.000067
amperes
(A)
d.
0.0645
newtons
(Ir{)
e. 43
000
000
gramos
(g)
l.
0.00000065
farads
I
F)
3.2.
Cules
son las
tres
cantidades
fundamentales
que
apa-
recen
en
la
definicin
de
la mayor parte
de las
leyes
de
la mecnica?
Mencione
las
tres
unidades
fundamenta_
les
que
estn
asociadas
a
cada
una
de las
cantidades
en
los
sistemas
de
unidades
del
SI
v
del
SLIEU.
3.3.
Una
unidad
de
calor
especfico
es
cal/ g
.
oC.
Cun-
tas
definiciones
se
necesitan
para
convlrtir
ess
uni-
dades en
sus unidades
correspondientes
en e1
SUEU,
sistema
en
el
cual
las unidades
son
Btu/lb
.
oF?
Muestre
por
medio
de una
serie
de
productos
de
qu
manera
llevara
usted
a cabo
esta
conversin.
3.4.
En
virtud
de,que
las
unidades
para
s,
v,4
y
t son,
res_
pectivamente
metros
(m),
metros por
segundo
(m/s),
metros por
segundo
cuadrado
(:m/sr)
y
segundos
(s),
cules
son
las
dimensiones
de
cada
cantidad?
Ace
te o
rechace
las
siguientes
ecuaciones
despus
de
h
ber
realizado un anlisis dimensional:
a.
s:
vt
+
|af
b.2as:
*
r3
c.
vf
:
vg
-l
af
d. s:
vt
*
4af
3.5. Seale
la
diferencia
entre
cantidades
vectoriales
escalares,
y
cite
ejemplos
de cada
una.
Explique
diferencia
entre
sumar
vectores
y
sumar
escalare
Es
posible
que
la
suma
de
dos u..,or.,
ngu
u
magnitud
menor que
cualquiera
de
los
vectores
o
ginales?
3..
Cules
son
las
resultantes
mnima
y
mxima
dos
fuerzas
de 10
N
y
7
N
si
ambas
actan
sobre
mismo
objero?
3.7.
Busque
la
seccin
dedicada
a las
coordenadas
recta
gulares
y
polarcs
en
un libro
de
matemticas.
eu
s
rnejanzas
observa
entre las
componentes
de
un vector
las coordenadas
rectangulares y
polares
de un
punto?
3.8.
Si un vector tiene una
direccin
de
230.
a
partir
del
e
x
positivo,
qu
signos tendrin
sus
componentes.
y?
Si la
razn R"/R
es
negativa,
cules
son
los
ing
los
posibles
de
R,
medidos
a
partir
del
eje x
positivo
Problemas
Nota:
En
ste
y
otros captulos
se supone que
todos
los
n_
meros son precisos
hasta
tres
cifras
significativas, a
menos
que
se
indique
otra
cosa.
Se
proporcionan
las respuestas
a
los
problemas
con nmeros
impares y
a
algunas
de
las
preguntas
para
la refl
exin
crtica.
Seccin
3.
Conversiones
de
unidades
3.1.
Cul
es
la
altura en centmetros
de una
mujer
que
mide5piesy6pulgadas?
Resp.
1B
cm
3.7.
Un
cubo
mide
5 in
por
lado.
Cul
es
e1
volumen
d
cubo
en
unirlades
del Si
y
en
unidades
del
SUEU?
Resp.
0.00205
m3,0,0723
f
3.8.
En
una
caffetera
interestatal
se
ha impuesto
un
lmite
d
rapidez
de 75 mt/h.
(a)
A
curnto
equivale
estarapide
en
kilmetros
por
hora?
(b)
y
en
ii"r
po,
segundo
3.9.
Un motor
Nissan
tiene
1600
cmr
de cilindrada
(vo
lumen) y
un
dimetro
interior
de 84
mm.
Expres
estas
medidas
en
pulgadas
cbicas y
en
pulgadas.
3.10.
un
elecrricisra
uu
u
in,,urlllf
JJiS
,11,3.'*"
desde
la
carrelera
hasta
una vivienda
que
se localiz
a
una distancia
de
1.20
rni en
el
bosque.
Cunto
pies
de cab\e
la
a necesitar?
3.11.
Un
galn
estadounidense
tiene
un
volumen
equiv
lente
a
231 in3.
Cuintos
galones
se
necesitan
pa
rellenar
un
depsito
que
mide
18 in
de
largo,
16
de ancho y
12
in de
alto?
Resp.
i5.0
g
3.12.
La
densidad
del
bronce
es
de
8.89
e/c. ,Cul
su
densidad
en kilogramos por
metro
cbico?
Seccin
3.8
Suma
de vectores
por
mtodos grfico
3.13.
Una mujer
camina
4
km hacia
el Este
y
despus
c
mina
8
km
hacia
el
Noe.
(a)
Aplique
el
mtodo
d
3.2.
Una
sola
loseta
de
piso
mide
8
in
de cada
lado.
Si
las losetas
se
ponen
lado
a
lado,
qu
distancia
en
metros puede
cubrir
una
fila
de
20
losetas?
3.3.
Un
campo
de
tutbol
soccer
mide \00
rn
de
largo
y
60 m
de ancho. Cules son
la
longitud y el
anch
del
campo
en
pies?
Resp.
328 ft,
197
ft.
3.4.
El mango
de una
llave
inglesa
mide
8 in.
,Cul
es
la
longitud
de
dicho
mango
en centmetros?
3.5.
Un
monitor
de computadora
de
19
in
tiene una
sec,
cin
efectiva
de
imagen
que
mide
18
in
en
diagonal,
Exprese
esta
distancia
en
metros.
Resp.
0.4i7 m
3..
La longitud
de
una
librefaes234.5
-m
v su
anchura
es
158.4
mm. Exprese
al
rea
superficial
Oe la
libre-
ta
en
metros
cuadrados.
Captulo
3 Resumen
y
repaso
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
3/17
polgono
para hallar su
desplazamiento
resultante.
(b)
Compruebe
el resultado
con
el
mtodo
del
para-
lelogramo.
Resp.
B'94
km, 3.4n
N
del
E
3.14.
En
la
supercie
de Marte,
un vehrculo
se
desplaza
una
distancia
de
38
m a
un
ngulo
de
18ff.
Despus
vira
)
recore
una
distancia
de
66
m
a
un
ngu1o
de
2'7lf'
Cul
fue
su
desplazamiento
desde
el
punto de
partida?
3.15.
Un
topgrafo
inicia
su
tarea
en ia esquina
sudeste
de
una
parcela
y
registra
los
siguientes
desplazamien-
tos:
A
:
600
m, N;A
:
400
m, O; C
:
200
m,
S,
y
D
:
100 m,
E.
Cul
es el
desplazgienJo^1ej9
desde
el
punto
de
partida?
Resp.
500
m,
126'9"
3.1.
Una
fuerza
descendente
de
ZO_O
lV icfi
:1
f:.Tu
simultnea
con
una
fuerza
de
500
N dirigida
hacia
la
izquierda.
Aplique
el
mtodo
dei
polgono
para
encontrar
la
fuerza
resultante.
3.17.
Las tres
fuerzas
siguientes
actan
simultneamente
sobre
el mismo
objeto:
A
:
300
N,
30"
N
del
E;
B
:
600
N,
27ff; y
C
-
100
N
hacia
el Este.
Halle
1a
fuerza
resultante
mediante
el mtodo
del
polgono.
Resp.
57
N,
51.4"
S
del
E
3.18.
Llna
embarcacin
navega
una
distancia
de
200 m
hacia
ei Oeste,
despus
avanza
hacia
el
Norte
400 m
y
frnalmente
100
m a 30"
S
del
E.
Cul
es su
des-
plazarniento
neto?
3.1
9. Dos
cuerdas
A
y
B estn
atadas
a un
gancho de
ama-
rre,
de
manera
que
se
ha formado
un
ngulo
de 60'
entre
las dos
cuerdas.
La tensin
sobre
la
cuerda
A
es de 80
N
y
la tensin
sobre
la
cuerda
B
es
de
120
N. Utilice
el
mtodo
del
paralelogramo
para hallar
lafterzaresultante
sobre
el
gancho. Resp.
1 74
N
3.20.
Dos
fuerzas
Ay
B
acfat
sobre
el
mismo objeto y
producen una
fuerza
resultante
de
50
N
a 36.9"
N
del
O.
La tuerza
A
:
40
N
se
dirige
hacia
el
Oeste.
Hal1e
ia
ma-enitud
y
la direccin
de
la fuerza
B.
Seccin
3.11
Trigonometra
y
vectores
3.21.
Halle
las
componente\,r
y
l
de
(a)
un desplazamien-
to
de
200
km
a
34'.
(b)
una
velocidad
de
40 km/h
a
I
20"
y (c)
una
fuerza de
50
N
a 330".
Resp.
1
km, 112km;
-20kmlh,
34.
km/h;
43.3
N,
-25
N
3.22.
rJntrineo
es arrastrado
con
una t'uerza
de 540
N
y
su
direccin forma un
ngulo de
-l0o
con
respecto
a
la
horizontal.
,Cules
son
las componentes
horizontal
y
vertical
de
la fuerza
descrita?
3.23.
El martillo
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
4/17
3.27.
Se
necesita
un empuje
vedical
de
80 N
para
levantar
la
parte
mvil
de
una ventana.
Se
usa un
mstil lar,
go
para
rcalt.zar
dicha
operacin.
,eu
fuerza
ser
necesaria
ejercer
a lo
largo
del
mstil
si ste
forma
un ngulo de
34o
con la
pared?
Resp.
9.5
N
3.28.
La
resultante
de dos
fuerzas
A
y
B es
de
40
N a
210'.
Si
la
fuerza
A
es
de
200
N
a
270",
,cules
son
la
magnitud
y
la
direccin
de
la fuerza
B?
Seccin
3.12
Elmtodo
de
las
componentes
para
la
suma,
de vectores
3.29.
Halle
la resultante
de las
siguienles
luerzas perpen-
diculares:
(a)
a00
N, 0o,
(b)
820
N,
270,
y
(c)
500
N,
90".
Resp.512
N,321,3"
3.30.
Cuatro
cuerdas,
las
cuales forman
ngulos rectos
entre
s, tiran
de
una
argolla.
Las
fuerzas son
de
40
N,
E;
80
N,
N;
70
N,
O,
y 20
N,
S.
Encuentre
la
magnitud
y la
direccin
de
1a
fuerza resultante
que
se ejerce
sobre la
argolla.
3.31 .
Dos fuerzas
actan
sobre
el
automvil
ilustrado en
la
figura
3.30.
La
fuerza
A
es
igual
a
120
N,
hacia
el
Oeste,
y
la
fuerza
B
es
igual
a
200
N
a 60. N
del O.
Curiles
son
la magnitud
y
la
direccin de la
fuerza
resultante
sobre
el
automvil?
Resp, 280 N,
38,2o
N delO
Figura
3.30
3.32.
Suponga que
la
direccin
de
la
fuerza
B
del
proble-
ma 3.31
se
invirtiera
(+180") y
que los
dems pa-
rmetros permanecieran
sin
cambio
alguno.
Cul
sera la
nueva resultante?
(Este
resultado
es
la esta
vectorial
A
-
B.)
i.,:
j;
Calcule la
fuerza resultante
que
acta sobre el
perno
delafigura3.3l
Resp.
91.
N,
154.1"
3.34.
Calcule
la
resultante
de
las
siguientes
fuerzas
apli-
cando
el
mtodo
de
las
componentes para
efectuar
la
suma
de
vectores:
4
:
(200
N,
30"), B
:
(300
N,
330')yg:(400N,250).
3.3s. Tres
embarcaciones
ejercen
fuerzas
sobre un
g
cho
de
amarre como muestra la
figura
3.32.
Hall
resultante
de esas
tres
fuerzas.
Resp.853
N,
10
Figura
3.32
Seccin
3.14
Resta
o
sustraccin
de vectores
3.3.
Dos desplazamientos
sonA
:
9
m, NyB
:
12
S. Encuentre
la
magnitud
y
la direccin
de
(A
+
v(A-B).
3.37. Dados
A
:
24
m, E,
y
B
:
50
m,
S, halle
la
mag
tud
y
la
direccin
de
(a)
A
+
B
y
(b)
B
-
A.
Resp.
(a)
55.5
m,
64.4o
S
de
(b)
55.5
m,64.4"
S de
Captulo 3 Resumeny
repaso
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
5/17
3.38.
La
velocidad
tiene
una
magnitud
y una
direccin
que
pueden
representarse
por
medio
de
un
vector'
oniid"t"
una
embarcacin
que
se
mueve
inicial-
mente con
una
velocidad
de 30
m/s directamente
hacia el Oeste' En
algrn
momento
ms
tarde,
1a em-
barcacin
alcanzauna
velocidad
de
72
m/s
a
30"
S
del
O.
Cul
es e1
cambio
en
Ia
velocidad?
3.39.
Considere
cuatro
vectores:
A
:
450
N,
O;
B
:
1
N.
44" N
del
O;
C
:
800
N,
E,
Y
D
:
100
m,
34
"t
g.
n"t"r-ine
la magnitud
y la direccin
de
A
B
+
C
-
D.
Dibuie
e1
polgono
de
vectores'
"
netP'
417
N,
23'" S
de
Problemas
adicionales
3.40.
Calcule
las
componentes
horizontal
y
vertical
de
Ios
siguientes
vectores:
A
:
(400
N,
37)'
g
:
(90
m'
:io1y
g
:
(70
kmlh,
150").
3.41
. Un
catle
est
unido
al
extremo
de
una
viga'
Qu
tirn
se
requiere,
a
un ngulo
de
40'con
respecto
a1
horizontal,
para producir
una
fuerza
horizontal
efectiva
de
200
N?
ResP'
21
N
3.42.
Un muelle
para pescadores
se
extiende hacia
el
Nor-
te
y
el
Sur.
Cul
deber
ser
la rapidez
de
una
em-
baicacin
que avanza
a un
ngulo
de
40'.E
del,N
para
que su
componente
cle
velocidad
a
lo
largo
del
muelle
sea
de 30
km/h?
3.43.
Haile
la resultante
R
:
A
*
B
para los
siguientes
pares
de
vectores:
(a)
A
:
520
N, Sur,
B
:
269
N,
beste,
(b)
A
:
18
-7t,
Xott"'
B
:
15
m/s,
O,este'
ResP'
585
N,
242'6";
23'4
m/s,
129'9"
3.44.
Efecte
la
resta
vectorial
(A
-
B)
para
los
pares de
fuerzas
del
Problema
3.43.
3.45.
Un
semforo
est
colgado
a
la mitad
de
una
cuer
de
manera
que cada
segmento
forma
un
ngulo
i0"
con
la
orizontal.
La
tensin
sobre
cada
s
mento
de
cuerda
es de
200
N.
Si
1a
fuerza
resulta
"n
"l
punto
medio
es
cero,
cul
es
el
peso
rlel sem
i;;;"-
ilesp,
e.5
Calcule
la
resultante
de
las
fuerzas
ilustradas
en
figura
3.33.
Calcule
la
fuerza
resultante
que
acta
sobry
la
ggg
de
la
figura
3.34.
Resp.
31
1 .5",
25''N
Un
blo"que
de
200
N
descansa
sobre
un
plano
in
nado
a
30'.
Si.l
p"to
del
bloque
acta
verticalme
hacia
abajo,
cules
son
las
componentes
del
p
hacia
abajo
del
plano
y
en
direccin
perpendic
al
plano?
g.4S.
Halle
la
resultante
de los
tres
desplazamien
siguientes:
A
:
22A
m,
60";
B
:
I25
m'
210
C:
nSm,340'.
Resp.
190
m,
22
3.46.
t:3;:47.
3.48.
66
Captulo
3
Resumen
y
rePaso
Figura
3.34
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
6/17
Preguntas para
la
reflexin
crtica
*3.50.
Considere estos
tres vectores:
A
:
100
m, 0o: B
:
400
m,
274',
y
C
:
200
m, 30'.
Elija
una
escala
apropiada
y
muestre grficamente que
el
resultado
es
el mismo, sin
imporlar
en
qu
orden
sean
suma-
dos
estos vectorest
es
decir.
A
+
B
+
C
:
C
+
B
*
A.
La
afirmacin
anterior
tambin
es
vlida
para
la
resta de vectores?
Demuestre grficamente
que
A
-
C
produce
un resultado
diferente
que
C
-
A.
3.51.
Dos
fuerzasA
:
30
N
y
B
:
90
N
pueden
actuar
sobre
un
objeto
en
cualquier direccin
que
se desee.
Cul
es
1a mxima fuerza resultante?
Cul
es
la
mnima
fuerza resultante?
Es
posible que
la fueria
resultante
sea cero?
Resp.
120
N, 0 N,
no
*3.53.
Qu
tercera fuerza
F
es necesario
agregar
a
las
dos
ferzas
siguientes
para que
la
fuerza
resultante sea
igual
a
cero?
A
:
120
N,
110"
y
B
-
60
N,
200o.
Resp.
134
N,31.'
*3.54.
Un avin
requiere
una direccin
resultalte con
cur-
so
hacia
el
Oeste.
Larapidez de1
avi
es
600 kmlh
cuando
el aire
est
inmvil.
Si el
viento
adquiere
una rapidez
de 40
kmlh
y
sopla en
direccin
de 30o
S
del
O,
en
qu
direpcin se deber
orientar e
avin
y
cul
ser
su
rapidez relativa
con respecto
a
suelo?
*3.55.
Cules
tendrn que
ser
la magnitud
F
y
la
direc-
cin de la fuerza
necesaria
para que
el automvil
de
la figura
3.31 avance directamente
hacia
el Este
con una
fuerza resultante
de
400
lb?
Resp.
223
ib,17.9"
3.52.
Considere
dos
fuerzas
A
:
4O
N
y
B
:
80 N.
Cul
tiene
que
ser el
ngulo
entre
esas
dos
fuerzas
para
que
la
magnitud
de la
fuerza resultante
sea 60
N?
Captulo
3 Resumen
y
repaso 7
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
7/17
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
8/17
3.9 Fuerza y
vectores
49
Libras
010203040
l-___-t____-[-____H
01234
Centmetros
Figura
3.11 Mtodo
del
paralelogramo
para
sumar vectores
tug
ffi{-$ r-a
:
#Eir -=wtf--: :
itrfit{'nzasuh.lnte
sobre
el
buruo de
la
figura 3.11, si
el
ngulo entre las
dos
Ls eS
d
120";
El
un
extremo se
jala
con una
fuerza
de
60
lb
y,
en
e1
otro,
con
una
flerzade20Ib'Useelmtodode1para1elogramoparasumarlosvectofeS.
Plan: Construya
un
paralelogramo
formando
dos
de los
lados
con vectores dibujados
que
sean
proporcionales
a
las
magnitudes
de las
fuerzas.
Por
tanto,
lafuerzaresultante
puede
encontrarse
al
medir la
diagonal
del
paralelograrno
Solucin:
Utilizando
una
escala
de
1
cm
:
10
tb.
se
tiene
60 rb
x
I
1
:
6.,
20
rb
x
-ljg
:
2.,n
10lb '
10lb
En la figura
3.11
se
construy un paralelogramo,
dibujando
a escala
las dos fuerzas
a
partir
de un origen
comn.
Utilice
un transportador
para
asegurarse
de
que
el ngulo
entre
ellas
sea
de.
120". Al completar el
paralelogramo
se
puede
dibujar la
resultante como:una
diagonal desde
el
origen,
Al
medir
R
y
I con una regla
y
un ansportador
se
obtienen
52.9
lb
para
la
magnitud
y
19.1"
para
la
direccin.
Por
consiguiente,
R
:
(52.9lb.
19.1.)
Un
segundo
vistazo
al
paralelogramo
le
mostrar
que
se otrtendra
la mismalrespuesta
aplicando el mtodo
del
polgono
y
agregando el
vector
de
20
lb
en la
punta
del vector de
60Ib.
20 1b
Cul
es la fuerza resultante
que
acta sobre
el burro?
lilE
Fuerza
y
vectores
Como vimos
en
la
seccin
anterior, los
vectores/zerzapueden sumarse
grficamente
de
la
misma
manera
que
sumamos
antes en el caso
de
desplazamientos.
En virtud
de
la
importancia
de las
fuerzas
en el estudio
de
la mecnica,
conviene
adquirir
destreza en las
operaciones
con
vectores, estudiando
aplicaciones
de fuerza
adems
de
las
aplicaciones
de desplazamiento.
Un
resorte
estirado
ejerce fuerzas
sobre
los
dos objetos
que
estn unidos
a
sus
extremos;
el
aire
comprimido
ejerce
una fuerza
sobre
las
paredes
del
recipiente
que
lo
contiene,
y
un trac-
tor
ejerce
una fuerza
sobre el remolque
que
lleva
arrastrando.
Probablemente
la
fuerza
ms
conocida
es la
atraccin
gravitacional
que
ejerce
la Tierra
sobre un
cuerpo. A esta fuerza
se
lellamapeso
del
cuerpo. Existe
una
fuerza
bien definida
aun cuando no
estn en contacto la
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
9/17
3.10 La fuerza
resultante
51
\reffimfiql* .
ffi#,J8,ffi=effirllril
iplabol*
cEped
se
empuja
hacia
abajo
por
el
asa
con una
fuerzade
160
N,
en
un
de
30o'con
iespecto
a
la
horizontal.
cul
es
ra
magnitud
de
la component;
hori-
zontal
de
esta
fuerza?
Plan:
A
partir
de
la
figura
3.14a,
se
observa
que
la
fuerza
ejercida
sobre el
asa
acta en
el
cuerpo
de
la
cortadora.
Usaremos
una
regla y
un kansportador
para
dibujar
las fuerzas
y
ngulos
a escala,
como
se
muestra en
la figura
3.15b. Por
ltimo,
mediremos las compo-
nentes y
las convertiremos
a
newtons para
obtener
las
dos
componentes.
Solucin:
Una
escala conveniente puede
ser
1
cm
:
40
N, 1o
cual
significa
que
el
vector
F
tendra
una
longitud
de
4
cm con
un
ngulo
de
30"
con respecto
a
la
horizontal.
La
com-
ponente
de la
fuerza
se
dibuja
y
se
le
llama
F .
La
medicin
de
esta
recta revela que
F,
corresponde
a
3.46
cm
Puesto que
I
cm
:
40
N,
se
obtiene
menor que
la fuena
aplicada.
Como ejercicio
adi-
la
componente
descendente
de
la
fuerza
de 160
N
(b)
a)
=''
.]*:
',:::
G-
G
F1.:.::j :
F,:
3.46".119r):
r38
N
\
I
Cm,/
Observe que
la
fverz:a
real
es
bastante
cional,
demuestre que
la magnitud
de
es
F,
:
80.0
N.
Figura
3.1
4 Obtencin
de las componentes
de
una fuerza
por
el
mtodo
grfico.
(
oto
de
paul
E.
Tippens.')
La
fuerza resultante
Cuando
dos
o ms fuerzas
actian
sobre
un mismo punto
de
un
objeto,
se dice
qte
sonfuerzas
concurrentes.
El
efecto
combinado
de tales
fuerzas
se
llamafuerza
resultunte.
La
fuerza
resultante
es la fuerza
individual
que
produce
el
mismo
efecto
tanto
en la
magnitud
como
en la
direccin
que dos
o ms fuerzas
concurrentes.
Las fuerzas
resultantes pueden
calcularse grficamente
al
representar
cadafuerzaconcurren-
te
como
un vector.
Con el
mtodo
del
polgono
o
del
paralelogramo
para
sumar
vectores
se
obtiene
7a
fuerza
resultante.
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
10/17
52
Captulo
3 Mediciones
tcnicas
y
vectores
I
I
r
15N
'............'.......-.
+--------
i+
20N
R=35N.E
t5N
(a)
Fuerzas en
Ia
misma direccin.
20N
R=sN.E
I
I
I
15N
-.-
-
--r...........#-----------E
| :oN
I
15N
Una
elgalra,mee{niqa
y
na:mbntaq
tus,1
iueven
a
las
perlonas
:
qu
ie
suben
en
:
..
llas.
En
una escalera
mecnica.
las personas
sienten
su
peso normal
Porque
se
mueven a
una
velocidd
constante.
Un'a.montaa
rsa
iJ:eia,y.'
desaclera,
,pqr
lor:qe
las
perscnas
se $leh e$,
m.$
pegadas
y
ms{iger:s.q,medida
qu
cambi,1'
ve ,oiidad,
(b)
Fuerzas
que
actan
en direcciones
opuestas
R
=
30.4
N, 34.7
15N
(c)
Fuerzas
que actan
a un
ngulo de 60'
entre s.
Figura
3.1 5
Efecto
de
la direccin
sobre
la
resultante de
dos fuerzas.
Con
frecuencia
las
fuerzas
acfuansobre
una misma
recta,
yasea
juntas
o
en opo
Si
dos
fuerzas
actan
sobre
un mismo
objeto
en
una
misma
direccin,
lafuerza
result
igual
a
la suma
de las
magnitudes
de dichas
fuerzas.
La direccin
de
la resultante es
la
que la de cualquiera
de
las fuerzas.
Por
ejemplo,
considere
una fuerza
de
15 N
y
una
de 20 N
que
actan
en
la misma
direccin
hacia
el
Este.
Su
resultante
es
de 35
N
hacia
como
se
observa
en
la figura
3.15a.
Si
las
mismas
dos
fuerzas acltan
en direcciones
opuestas,
la
magnitud
de
la fuerz
tante
es
igual a
\a
diftrencia
de
las magnitudes
de
las dos fuerzas
y
act:a
en
la direc
lafuerzams
grande.
Suponga
que
la
fuerza
de 15 N del
ejemplo
se
cambiara,
de
mo
tirara
hacia
el Oeste.
La
resultante sera
de 5
N,
E,
como
se indica
en
la figura 3.15b.
Si
las fuerzas
que
actan
forman
un ngulo
de entre
0"
y
180" entre
s,
su
resul
el
vector
suma.
Para
encontrar
la fuerua
resultante
puede
utilizarse
el
mtodo del
polg
mtodo del
paralelogramo.
En la figura 3.15c,
las
dos
fuerzas
mencionadas,
de
15
acfiian
forrnando un
ingulo
de
60'
entre s.
Lafierza
resultante,
calculada
por
el
mt
paralelogramo,
es de
30.4
N a34.1".
nometra
y
vectores
El
tratamiento
grfico
de
los
vectores
es conveniente
para
visualizar
las
fuerzas,
p
frecuencia
no
es
muy
preciso.
Un mtodo
mucho
ms til
consiste
en aprovechar
la
metra del
tringulo
rectngulo
simple,
procedimiento
que
en
gran
medida
se ha simp
gracias
a
las calculadoras
actuales.
El conocimiento
del teoremo
de
Pitgoras
y
cier
riencia en el
manejo
de las
funciones
seno,
coseno
y
tangente
es
todo
1o
que
se
requie
el
estudio
de
esta unidad.
Los
mtodos
trigonomtricos
pueden
mejorar
la
precisin
y larapidez
al
deter
vector
resultante
o
para
encontrar
las componentes
de un vector.
En
la mayoa
de
lo
es til
utilizar
ejes
x
y
y
imaginarios
cuando
se
trabaja
con vectores
en
forma
analtic
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
11/17
3.11
Trigonometra
y
vectores
quier
vector puede
dibujarse
haciendo
coincidir
su origen
con
el cruce
de
esas rectas
imagi
rias.
Las
componentes
del
vector pueden
verse
como
efectos
a lo
largo
de
los
ejes
x
y
y:
'*n:rrFi:.ffi
;to,,Fi={*Rf
- r
las
componentes
-r
y
y
de
una fuerzade
200
N.
con
un
ngulo
de
60'?
Plan,
Dibuje
el
diagrama de veslores usando
la trigonoule tp pwa
enc*lt.*ro*po,
Solucin:
Se
dibuja
un diagrama
ubicando
el origen
del
vector
de 200
N en
el
centro
de
los ejes
J
y
l
somo
se muestra
en la
figura
3.16,
..
En
primer
lugar
se
calcula
la
componente
x,
o sea
,F,
tomando
en
cuenl"a que
se tra1a
.del
lado
ady.acente.
El
vector
de
200,Nes.
hipotearis-
Si se
usa Ia
fu.ncio*e"u*oo,,sg
obtiene
...200
NI
:.
'
.
:'
'
por
lo
cual
F
=
(20Q
N) cos
60"
=
100
'
,
Pam
estos
cleutos
notamos,que.
el
l4{p
opes-to,a
60o es
igual
en longitud
a F;.
por
con_
orbien
Figura
3.1
uso de
la
trigonometra
para
enconuar
las
componentes.r
y y
de u_n vector.
::
Compnentes:,
,{=,Ecos
F:
-sen
En general,
podemos
escribir
las
componentes.r
y
y
de un
vector
en
trminos
de
su magnitu
F
y
su
direccin
0:
s de
unvector
(3.1
donde
0 es el
ngulo
entre
el vector y
el lado
positivo
del
eje x,
medido
en
contrasentido
a
la
manecillas
del
reloj.
El
signo
de una
componente
dada
se determina
a
pair
de
un diagrama
de
vectores.
La
cuatro
posibilidades
se
presentan
en la
flgura
3.17. Adems
de7
ngulo
polar
0,
se muesf
el
ngulo
de referencia
S
para
cada
cuadrante.
Cuando
el ingulo pot*
r
mayor
de
90",
e
ms
fcil
ver las
direcciones
de las
componentes
si
se trabaja
con
l
ngulo
dereferencia
{
Las
aplicaciones
de
la
trigonometra
que
ttilizan
el
ngulo
polar
g
tambin
darn
los
signo
correctos, pero
siempre
es til
verificar
visualmente
la direccin
de
las
componentes.
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
12/17
54
Captulo
3
Mediciones tcnicas
y
vectores
(b)
Cuadrante
II
(c)
Cuadrante
III
(d)
Cuadrante
IV
Figura
3.17
(a)
En
el
primer
cuadrante,
el ngulo
0 est
entre
0'y
90"1
tanto
F
como
{
son
posit
En el segundo cuadrante el ngulo
g
est entre 90" y
180";
F
es
negativa
y
F, es
positiva.
(c)
En
cuadrante,
el ngulo
est entre
1
80"
y
270";
tanto
F como F
son
negativas.
(d)
En el cuarto
cuad
ngulo d est
entre 27tr
y
360";
d
es
positiva y
F
es negativa.
270"
210"
La
trigonometra tambin es
til
pam
calcular Ia
fuerza resultante.
En
el
caso e
en
que
dos
fuerzas
4
V
\
son
perpendiculares
entre
s,
como se
observa
en
la figura
resultante
(R.
0)
se
puede
hallar
a
partir
de
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
13/17
3.12 El
mtodo
de
las
componentes
para
I
I
la
suma
o adicin
de vectores
55
Resultante
(R,
9)
R= el4
F.,
tan
H=:
F"
Figura
3.1
I
La
resultante
de
dos
vectores
perpendiculares.
O-?
Fres
ne-gativa,
generalmente
es
ms
fcil
determinar
el
ngulo
agudo
@
como
se
indica
en
la
figura
3.17.
El
signo
(o
direccin)
de
las fuerzas
F y
F
det"rriinu
cul
de los
cuatro
cuadrantes
se va
a
usar.
Entonces,
la ecuacin(3.2)
se covierie
en
tE. t
tan
:
l:11
l4l
Slo
se
necesitan
los valores
absolutos
de
F,y
F.
Si se
desea,
se
puede
determinar
el
ngulo
0
del
eje
x
positivo.
En
cualquiera
de
los
caos
r
debe identificaiclaramente
la
direccin.
;]n:i
+ i-
itGffi
.r,@E*tlf-.il
de
una fuerza
{e
5 N
dirigida
horizontalmente
a la
derecha
y
una
iieicatni'treia
abei?
dibqjamos'lrn
diagrarna
de
,Aplique,
l
eeuacin
(3.2)
SolUcinl
Tratelos,dos,vectotesfuerzacmo
compolelres
F*
.:651'yf';
-
-,l2Nde
lafierzaresultanf
R. Por tanlo,lamagnitud'de
R
s
vuelve''
i*,,'.
p,*,
{l -R:
flan
Como
las
ferzas.soa
hacia,1a
dei:echa y
hacia
abaio.
vectores
de
cuatro
cuadrantes
como
aguel
Oe
ia figura
3. Zd.
para
hallar
la
rgsultante:
Para
encontrar
la
direccin
de
R.
On*".o,:
::,T""
el
inguto
de referencia
@:
I rlt I
tanE:
I .* l:2.40
J
If
I
Et
ngulo polard
medido
en conlrasentido
a Ias manecillas
del
reloj
a
partirdel
ejexpo-
sirivo es
d
:
360"
-
61.4"
:292.6,
L fuerzaresultante
es 13.0
N
a
292.6".
Los
ngulos
deben
expresarse
redondeados
a la
d-
cima
de
grado
ms
cercana
incluso
si requieren cuatro
cifras significativas
para moslrar la
precisin
requerida.
Otras
respuestas
pueden
reportarse
con
slo
tres
cifras
significalivas.
(5
N)2
(-
12
N)2
El
mtodo
de las
componentes
para
la
suma
o adicin
de vectores
Con frecuencia
es
necesario
sumar
una
serie
de
desplazamientos
o
encontrar
la
resultante
de
varias
fuerzas
usando
mtodos
matemticos.
En
tales casos,
uno
debe
comenzar
con un
bos-
quejo
grfico
usando
el
mtodo
del
polgono
paralasuma
de vectores.
Sin embargo,
como
la
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
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C=40m
5
Captulo
3
Mediciones
tcncas
y
vectores
D=10m
Dy
=
10*l
NOTA:
Ar=0
Br=
0
cr=o
D,= 0
B=50m
Bv=50m
l=20m
I
I
Rx
A"=20m
(b)
(c)
Figura 3.1
9
La
componente
r del
vector
resultante
es
igual
a
la
suma
de las componentes
r de cada
La
componente
)
de la
resultante
es igual
a
la
suma de
las componentes
y.
trigonometra
se usar
para
asegurar
que
los
resultados finales
sean
precisos,
slo
se
n
estimar las
longitudes
de cada
vector.
Por
ejemplo,
un desplazamiento
de
60
m
o una
de 60
N deben
dibujarse
como
un vector con
una
longitud aproximadamente
tres veces
que
el
vector
para
un desplazamiento
de
20 m o una
fuerza de 20
N. Los
ingulos
dado
bin
deben
estimarse.
Los vectores
de 30o,
160",240" o324"
deben
dibujarse
en
los cu
tes
adecuados
y
con una
direccin
lo
ms cercanaposible
a la direccin
real.
Estos diag
aproximados
le
dan
una idea
de la direccin
de la resultante
antes de
hacer
los clcu
que
es
conveniente
que
aprenda
a dibujarlos
rpido.
Resulta
til
reconocer
que
la componente
-r
de la resultante
o
la suma
de
una
serie
tores est dada
por
la
suma
de
las componentes
x de cada vector.
Asimismo,
la compon
de
la
resultante
es
la
suma
de las componentes
y.
Suponga
que quiere sumar los vecto
B,
Cr...
para
encontrar
su
resultante
R.
Se
podra
escribir
R*:A,+B,+Cr*"'
Rn:An+By+Crt"'
La
magnitud
de
la resultante
R
y
su
direccin 0
pueden
obtenerse
a
partir
de
la ecuaci
El
ejemplo
siguiente
ilustra el
mtodo
de
las
componentes
de
la
suma de
vectores.
ga que
un
topgrafo camina
20
m,E;50
m,
N;
40 m, O,
y
10
m,
S.
Nuestro
objetivo
e
el desplazamiento
resultante.
Primero,
se
dibuja cada
vector
a
una
escala
aproximada
utilizando
el mtodo
del
no. De esa
manera, a
partir
de la figura
3.19
se
observa
que
la resultante
R
debe est
segundo
cuadrante.
En este
problema
la obtencin
de las
componentes
de cada vector es
simple,
ya
que
ca
tor
yace
completamene
sobre
un
eje dado as
que
dicha componente
es
cero en cada
cas
que
las
componentes
son
positivas
o
negativas,
mientras
que
las
magnitudes de
los
vectore
pre
son
positivas.
A
veces
es
recomendable elaborar una
tabla de componentes, como
la ta
donde se incluya
para
cada
vector
su
magnitud, el ngulo de
referencia
y
las componente
Tabla
de
componentes
R)
I
I
I
I
I
C-
=
r-40
m
R
(a)
Vector
ngulo 0
Componentex
Componen
B:
C:
D:
20m
50m
40m
l0m
0"
90"
I
80'
270"
A*:
-120m
Br: 0
c':
-4om
D*: 0
Ar:0
Br:
*50m
q:0
D:':
-1om
R.: >
F,:
-20m
R,:
)4,:
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
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3.12
El
mtodo
de
las
componentes
para
la
suma
o
adicin
de
vectores
57
Observe
detenidamente
en
la figura 3.19
la representacin
de cada
una de
estas
componentes.
Es
fcil
ver
el significado
de
la
componente
f neta
y
de
la
componente
)'
neta.
La
resultante
ahora
puede
obtenerse
a
partir
de
las
componentes
R,
y
R, del
vector
resul-
tante.
R:{JR,:@
fi
:
\r?oo
-'r
1600
"t'
:
,/2ooo
ttf;
R
:
44.7
m
Por tanto,
la direccin
puede obtenerse
a
partir
de
la funcin
tangente.
lR, I I +om
ran@:
l.1:
l_ro,''
:
63.4'N
del
O
(o
:
2.00
16.6")
El
procedimiento
que
se
sigui
en
el ejemplo
anterior
tambin
puede utilizarse
para
resolver
problemas ms
generales
que
involucran
vectores
que
no
estn
sobre
ejes
perpendiculares.
Recuerde
que
las
componentes
se
obtienen
usando
las funciones
seno
y
coseno,
y
que
a
estas
componentes
se
deben
asignar signos
algebraicos
adecuados
antes de
hacer la suma.
Recuerde
tambin
que
en
este texto
suponemos
que
cada
magnitud
dqda
tiene
una
precsin de
tres
ci-
fras
significativas
y
qwe
cada ngulo
tiene
una
precisn de
la dcimct
de
grado ms cercana.
de
las comPonentes
sumar
vectores
pasos
se
ilustran
en el
ejemplo
3.9')
1
. Trace
un
polgono aproximado
con
los vectores,
dibujan-
do
cada
vector
con
longitudes
y
ngulos
proporcionales'
Indique
1a resultante
como
una recta
dibujada dede,,el,
origen
del
primer vector
a
la
punta
del
itimo
vector.
2.
Encuentre
las
componentes
r
y y
de
cada
vector
usan,
do
la
trigonometra
si
es
necesario'
Verlfique
que
los
signos
algebraicos
sean
correctos
antes
de
proseguir,
3.
Elabore
una
tabla
de
componentes
x
y
y, y
sume alge-
baicamente
para
hallar
la
magnitud
y
el signo
de
las
-'
,
cornponentes
resultantes:
R.,:Arl
Br+C,+"'
Rr:A.,-tBrfC,-t"'
4ir
Encuentre
la
magnitud
y la direccin
de
la resultante
a
r
partif de
sus
componentes
perpendiculares
R,
Y
Rr.
n
-rVnl
+
nl;
tR. I
mn: ljl
lR- I
A*:Acos0;
A.,,:Asend
de
las componentes.
\r[-F.tffis \1J
w&F,ffxs$r'.il
:es
sogas
estn atadas
a
una
estaca,
y
sobre
ella actan
tres
fuerzas:
A:
20
N,
E;
B
:
30
;
jO"
"t O;
y
C:
40
N,
52"
S
del O.
Determine
la
fuerza
resultante
usando
el mtodo
td'
g
:,
Plan:
Dibujaremos
un
bosquejo
aproximado
del
problema como
se
muestra
en
la
flgura
3.20.
Las
furzas
se
representan
como
vectores
proporcionales
y
sus
direcciones
se
indican
por
medio
de
ngulos
con
respecto
al eje r.
Por
tanto,
obtendremos
lafuetza
resultante
por
medio de
la estrtegia
para resolver problemas.
Solucin:
Los
detalles
del
procedimiento
se
resumen
en
los
pasos
siguientes:
1.
Dibuje
un
polgono
proporcional con
los
vectores,
sumando
las
fuerzas
como
en
la
ngur
:.ZOU.
Se
estima
que la resultante debe
estar
en
el tercer
cuadrante.
2.
Elabore
una
tabla
de
las componentes
r
y
)
para
cada vector.
Note
en
la figura 3.21
que
los ngulos
de
relerencia
@
se
determinan
a
panir
de
los
ejes,r
para
efectos
de trigo-
no..t,u.
Se
debe
tener
cuidado
al
incluir
el
signo
correcto
de
cada
componente'
Por
ejemplo,
8,,
C"y
C"
todas
son
negativas.
Los resultados
se
muestran
en
la tabla 3.6.
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
16/17
58
Captulo
3
Mediciones
tcnicas
y vectores
|
..
(alBosqujo.aproxinailo.
I'
::
:
Figura.3,20
I
lv
I'
::
,
'
A
.
x.
1.
.
--
-
--
J..#J-.
:-=
I
e,=zoN
I
,,=o
(b)
P-olgono de
vctores
(a)
B
=-30coi301
Cl
=.40
c
B'
=.-30
sen
309
'*,-
(b)
Figura
3.21
Clculc
de
las
componentes
de los
vectores,
ic),
I
Vector
ngulo
g*
Cornponente.r
Componentey
A,= ZON
B
-'30
N
C:40N
00
30'
52"
A,:
.*20N
8;,:
-( 0N)(cqs'30")
'
=',-26;0
1S
,
,
C;
-
-{40
N){cos 52q)
246N,l
Ar:o
';
B,
=
(30
Nxsen
301)
:15.0N
e,
=
-(4QN)(sen52
:.
+'31,5
N
-l------*-:--_--
'Q.a'A_coq
2o
&=x4*-30.6N
ftr,*
I
{:*
:-1'6;5r
-
7/25/2019 laboratorio-no-1-de-fc3adsica.pdf
17/17
3.13
Notacin de vectores unitarios
(opcional)
3;
Surne
las
cmpo rytsrx,paryoltgflg{
&r:',Rr-.'Ar
*,8,
*
C;
&:20'0N
-
26.0N
-
24.6N;
&:
-30.6N
4.
Sume
las
componentes
y
para
obtener
Rr'
R,
:
Ay
+
By
+
C"
Rr:0N
+
15.0N
-
31.5N;
Rr:
-16.5
N
:
,
:
'
Una
fi
,*a
indopen-rliente
(vase
la
figura3,??),a
rnenudo
es
til
e
e clctrl.o
de
lalmag-
nitud
y
la
direccin de
la fuerza resultante.
59
:,,ffiTft+
ft
,=
'J{.S,
lr{
:
a
-
nuacllrtrla
{tr.1c|on
s:,ryenTlty
apatir
de la
direecin
tange+f1
lR"l l-re.sNl
tans:
ldl
:l-ffil
:os:o
*
28.3'S
detr
O
o
180'
-
28.3"
:208.3"
Fo Consguiente,
t4
fuereqresultante
es
34:8
N
a 2Q8,3",
Fi$tr*e22
f
-30.6
N)?
+
1;16.5
N)2;
ry
Notacin de
veqtores untarios
(opcional)
Una herramienta
til
para
muchas aplicaciones de
vectores
es
la
especificacin
de
la
direccin
por
medio de
unvector
unitario.
Este
mtodo
separa
claramente
la magnitud de un vector
de
su
direccin.
Vector unitario: Un
vector sin dimensiones
cuya magnitud es exactamente
1
y
cuya direccin est dada
por definicin.
Los
smbolos
i,
j,
k
se
usan
para
describir
vectores
unitarios
en
las
direcciones
x,
y
y
zpo-
sitivas, como
se
indica
en
la
figura
3.23.Por
ejemplo, un
desplazamiento
de
40 m,
E
podra
expresarse
simplemente
como
*40
i,
y
un
desplazamiento
de
40 m, O
podra
darse como
-40
i.
Por
conveniencia,
las unidades
generalmente
se
omiten cuando se
usa
la
notacin
i,
j.
Estudie
cada
ejemplo
de
la figura
3.23
hasta
que
comprenda el
significado
y
uso de los
vectores
unitarios.
Considere
el vector
A
de la fi,gwa3.24
que
se ubica sobre
el
plano
xy
y
tiene
componen-
tes
A"
y
An.
Podemos representar
las
componentes
r
y
y
del vector
A
usando
los
productos
de
sus
magnitudes
y
el vector
unitario adecuado.
Por tanto, el
vector
A
se
puede
expresar
en 1o
que
llamamos notacin de vectores
unitarios:
A:A"ifA,j
