Ttulo del LABORATORIO (Times New Roman, 12 pt, Negrita)

Nombre1 Apellido1 1, Nombre2 Apellido2 1*, Nombre3 Apellido3 2(Times New Roman, 12pt, Cursiva, Centrado)1: Profesin o estudios, Institucin1. Ciudad, Pas (Times New Roman, 12pt, Centrado)2: Idem 13: Idem 1

* Contacto: E-Mail Autor de correspondencia.

ABSTRACT The study of the dimension of the objects has been for many years one of the most demanding and relevant areas in the world of science. Scientists have been working on how to accurate at its finest the way they measure things. The fractal dimension is one of those really complex definitions that they are trying to define. As we can expect, there is still no precise and exact definition about it, and even less about the lagunarity. In this paper we do not try to find the answers to those definitions, but we try to give to the audience one way in which they can measure the fractal dimension and the lagunarity. We tried to solve these problems by taking some steel balls and some paper balls that we compressed, and then with the corresponding measures we calculated the values of fractal dimension and lagunarity, also with the corresponding standard desviations (uncertainty). At the end, we show the result and the necesary graphs forma understanding the conclusions we gave.

Palabras Clave: Plantilla, entrega de informes Mineralurgia, Instrucciones.

Laboratorio de Integrado de FsicaUniversidad de Antioquia

4Plantilla Tomada de CIM 2013

3Plantilla Tomada de CIM 2013

1. INTRODUCCIN.

Durante dcadas, los cientficos se dieron a la tarea de entender por completo los conceptos en cuanto a la dimensin topolgica de los elementos. A medida que esto se estudiaba, se toparon con un problema ms profundo que revelaba una complejidad an mayor. Es aqu cuando el matemtico polaco Benoit Mandelbrot introdujo en la dcada de los setenta el concepto y el trmino de fractal y dimensin fractal. Mandelbrot es considerado como el principal responsable del auge de este campo de las matemticas desde el inicio de los aos setenta.En 1975 Benoit Mandelbrot public un ensayo titulado Los objetos fractales: forma, azar y dimensin (en francs). En la introduccin comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como trminos que haba inventado a partir del adjetivo latino fractus (roto, fracturado). Sin embargo hasta la fecha de hoy, siguen existiendo muchas tergiversaciones de esta definicin y no se ha podido esclarecer con exactitud el significado de la dimensin fractal.2. Marco Terico.

3. MATERIALES Y MTODOS

Para poder llevar a cabo con satisfaccin el experimento, se usaron distintas herramientas para medir longitudes y pesos. As mismo, se usaron cinco bolitas de acero de distintas medidas y pesos, y seis bolas de papel que fueron el resultado de comprimir manualmente 6 hojas de distinto tamao, cada una la mitad de la anterior. El procedimiento que se seleccion para calcular la dimensin fractal de mejor manera fue el siguiente:Se comenz por medir con un calibrador (pie de rey) el dimetro de las cinco bolitas de acero, midindolos en las tres direcciones (X,Y,Z) para as sacar un promedio. Luego se pesaron las cinco bolas y estos datos de dimetro promedio y masa se tabularon. Luego se tomaron las hojas de papel y se cortaron de forma que cada una fuera la mitad de la anterior, es decir, 2, 4, 8, 16, 32 y 64. Acto seguido, se comprimieron con la mano lo mejor posible cada una de estas hojas en forma de esferas, y se prosigui a medir el dimetro de las bolas de papel en las mismas tres direcciones y promediar estos datos. Todos estos datos se llevaron a Excel para luego calcular los valores de volumen de una esfera, densidad, incertidumbre de todos los valores, se realiz un estadstico promediando los valores de otros grupos y luego se calcularon los valores de dimensin fractal d y lagunaridad k mediante la ecuacin 1.

4. Clculos y Resultados.

En las siguientes tablas se presentan los resultados obtenidos en todo el proceso experimental con sus respectivos errores.

Tabla 1. Medidas tomadas para las esferas de Papel.

Tabla 2. Medidas tomadas para las esferas de Acero.

Grafica 1. Se muestran los valores obtenidos en la medicin de las esferas de Papel y la grfica de la ecuacin obtenida en la regresin lineal.

Grafica 2. Se muestran los valores obtenidos en la medicin de las esferas de Acero y la grfica de la ecuacin obtenida en la regresin lineal.

Para realizar los clculos para obtener la dimensin fractal y la constante de proporcionalidad k se realiz una regresin lineal por mnimos cuadrados, los valores obtenidos se podrn apreciar en las tablas con los clculos completos que sern anexadas al artculo.

5. Anlisis de Resultados.

Como se observa con los valores obtenidos de dimensin fractal para esferas de papel y de acero, podemos comprobar que la dimensin fractal de las esferas de papel tiene un valor de d=2,496 (Tabla 3.) esto es debido a que no ocupa el volumen total que est encerrando por los pliegues que posee la hoja esto hace que la densidad de las diferentes esferas de papel sea variable, esto se compara con el resultado obtenido para las esferas de acero el cual fue de d=3,069 lo cual nos dice que la esfera de acero ocupa ms densamente su volumen en el espacio. Lo anterior se puede explicar partiendo de la suposicin de que el papel antes de ser arrugado tena una dimensin topolgica y fractal de dos y se forz a pasar a una dimensin topolgica tres, por tanto no podr ocupar totalmente el mismo volumen que ocupa la esfera de acero. Para poder obtener una mayor certeza de los valores obtenidos de dimensin fractal y lagunaridad se realiz un anlisis estadstico de los datos obtenidos en clase por los otros equipos de trabajo obteniendo para las esferas de papel un promedio de este valor cae en el rango de la dimensin fractal de ; y para las esferas de acero estas variaciones en los valores experimentales con los valores esperados se pueden dar por errores en la toma de medidas, diferentes presiones aplicadas a las esferas de papel para comprimirlas, etc.En las grficas 3 y 4 podemos observar la relacin entre la Densidad de las esferas de Acero y Papel respectivamente, se puede observar que la densidad no es una propiedad variable en estas esferas; en las esferas de Acero se puede deber a que muy seguramente no todas estas son del mismo tipo de aleacin y puede variar significativamente su composicin qumica y por tanto su densidad; en las esferas de Papel esto se debe a otro motivo, todas las esferas de Papel estn hechas de una misma hoja y se supone esta como un material isotrpico de densidad constante, pero al ser arrugadas para formar las esferas las ms pequeas quedan ms compactas por tanto su densidad es mayor que la de las esferas de Papel ms grandes, as su capacidad de ocupar un espacio tridimensional es mayor, esto se puede apreciar en las grficas 1 y 2 donde las rectas tienen una pendiente mayor.

6. Conclusiones.

7. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

.

Para referencias a revistas: 1. Autor (Ejemplo: Lpez, M.E.), Ttulo, revista, Vol., No., pginas, fecha.

Para referencias a libros:2. Autor (Ejemplo: Lpez, M.E.), Ttulo, Lugar, Editorial, fecha.

Para referencia a textos electrnicos y bases de datos:3. Autor (Ejemplo: Lpez, M.E.), Ttulo, Tipo de soporte o medio entre corchetes [], Lugar, fecha, Direccin electrnica.

2. Para consultar el estilo bibliogrfico IEEE: http://www.library.uq.edu.au/pse/useits/ieee_style.pdf

bolas de papelDiametroBola NxyzPromedio DiametroDesviacion E diametroMasaincertidumbre masavolumenincertidumbre volumenDensidadIncertidumbre Densidadlog Xlog YXYX^2regresionSrStr^2ecuacion11.4901.2701.5001.4200.1061.0000.0101.4990.3360.6670.1560.0000.1520.0000.000a10.1410.00013248130.12274817860.99367967591.382860247321.6151.6601.8301.7020.0932.0000.0102.5800.4210.7750.1300.3010.2310.0700.0910.4010.2610.00093179220.07385796221.825505973732.6802.4702.5652.5720.0864.0000.0108.9050.8920.4490.0460.6020.4100.2470.362yprom0.382k0.00079487010.00854294082.409840088143.2703.4052.8903.1880.2188.0000.01016.9703.4820.4710.0970.9030.5040.4550.8160.5030.5031.3830.00000084830.00000084833.181216240154.2704.2203.9504.1470.14116.0000.01037.3333.7960.4290.0441.2040.6180.7441.450xprom0.623d0.00003096980.01323797974.199505525965.4605.2705.1255.2850.13732.0000.01077.2926.0180.4140.0321.5050.7231.0882.2650.9030.7442.4960.0004343330.04857716765.543743439877.7057.6707.4257.6000.12564.0000.010229.84711.3020.2780.0141.8060.8811.5913.262a00.8650.00026590110.14301321937.3182642903sumatoria6.3223.5184.1948.2460.1410.00259119570.4099782965

bolas de aceroDiametroN bolaxyzpromedio(y)masa(X)XYXYX^2xpromkecuacionSrStr^212.3652.3602.3552.36055.6001.7450.3730.6513.0451.1380.6362.3540.00000106550.03956913650.992103684721.7201.7101.7201.71721.9501.3410.2350.3151.799ypromd1.7390.00003213950.00368374931.5701.5601.5751.56816.5501.2190.1950.2381.4850.1743.0691.5860.00002456330.000459943641.2601.2501.2601.2576.9100.8390.0990.0830.705a11.1930.00050290330.005590849450.9200.9300.9350.9283.5000.544-0.032-0.0180.2960.3260.9560.00016467180.042554794sumatoria5.6890.8701.2697.331a00.00072534350.0918584724-0.197DiametroN bolaxyzpromedio(y)incertidumbre diametro masa(X)incertidumbre masa volumenincertidumbre volumendensidadincertidumbre densidad1.0002.3652.362.3552.360.00455.60.016.8820.0368.0790.0432.0001.721.711.721.7170.00521.950.012.6490.0228.2870.07231.571.561.5751.5680.00616.550.012.020.0248.1940.10341.261.251.261.2570.0056.910.011.0390.0126.650.08450.920.930.9350.9280.0063.50.010.4190.0088.3550.192

imprimirBOLAS DE PAPELDiametroBola NxyzPromedio DiametroDesviacion Est diametroMasaIncertidumbre masaVolumenIncertidumbre volumenDensidadIncertidumbre Densidadkd11.4901.2701.5001.4200.1061.0000.0101.4990.3360.6670.1562.6832.49621.6151.6601.8301.7020.0932.0000.0102.5800.4210.7750.13032.6802.4702.5652.5720.0864.0000.0108.9050.8920.4490.04643.2703.4052.8903.1880.2188.0000.01016.9703.4820.4710.09754.2704.2203.9504.1470.14116.0000.01037.3333.7960.4290.04465.4605.2705.1255.2850.13732.0000.01077.2926.0180.4140.03277.7057.6707.4257.6000.12564.0000.010229.84711.3020.2780.014

BOLAS DE ACERODiametroN bolaxyzPromedio DiametroIncertidumbre diametro MasaIncertidumbre masa VolumenIncertidumbre volumenDensidadIncertidumbre densidadkd12.36502.3602.35502.3600.00455.600.016.8820.0368.0790.0430.6363.09621.72001.7101.72001.7170.00521.950.012.6490.0228.2870.07231.57001.5601.57501.5680.00616.550.012.0200.0248.1940.10341.26001.2501.26001.2570.0056.910.011.0390.0126.6500.08450.92000.9300.93500.9280.0063.500.010.4190.0088.3550.192

promediosPapelGrupos12345PromedioDesviacion Ed2.49602.59002.54002.18061.90002.34130.2630k1.38300.23001.93400.3234-1.97000.38011.3393377862AceroGrupos12345PromedioDesviacion Ed3.06902.95002.95003.04102.41002.88400.2418k0.63604.12000.60403.12901.49901.99761.4020930925

ACEROMASAVOLUMENDENSIDADDIAMETRO12345123451234512345Grupo 155.60021.95016.5506.9103.5006.8822.6492.0201.0390.4198.0798.2878.1946.6508.3552.3601.7171.5681.2570.928Grupo 245.44028.57016.6008.5003.5805.7303.6502.5301.0500.4507.9307.8206.5608.0907.9602.2201.9101.6901.2600.950Grupo 345.48028.63014.6308.5403.5905.5753.5911.7671.1500.4498.1587.9738.2807.4267.9952.2001.9001.5001.3000.950PROMEDIO48.84026.38315.9277.9833.5576.0623.2972.1061.0800.4398.0568.0277.6787.3898.1032.2601.8421.5861.2720.943DESVIACION ESTANDAR4.7803.1350.9170.7590.0400.5830.4590.3170.0500.0140.0950.1940.7910.5880.1790.0710.0890.0790.0200.010

PAPELMASAVOLUMENDENSIDADDIAMETRO123456123456123456123456Grupo 118.0800009.1000004.5400002.3000001.1700000.58000077.29200037.33300016.9700008.9050002.5800001.4990000.0001450.0001470.0002100.0002510.0002510.0002935.2850004.1470003.1880002.5720001.7020001.420000Grupo 217.5700008.7900004.3900002.1900001.1000000.55000066.44000037.15000015.7500008.3800003.2600001.2300000.2600000.2400000.2800000.2600000.3400000.4400005.0300004.1400003.1100002.5200001.8400001.330000Grupo 317.6600008.8300004.4200002.2100001.1100001.000000106.99000041.77000024.6300008.8600003.8900001.6300000.1650000.2110000.1790000.2490000.2850000.6130005.8900004.3050003.6100002.5680001.9520001.460000PROMEDIO17.7700008.9066674.4500002.2333331.1266670.71000083.57400038.75100019.1166678.7150003.2433331.4530000.1417150.1503820.1530700.1697500.2084170.3510984.3012504.1973333.3026672.5533331.8313331.403333DESVIACION ESTANDAR0.2222610.1376790.0648070.0478420.0309120.20542617.1400752.1360623.9302020.2375920.5349350.1665070.1073550.1068900.1156860.1199380.1488980.2579150.3606550.0761850.2196380.0236270.1022460.054365

bolas de papelDiametroBola NxyzPromedio DiametroDesviacion E diametroMasaincertidumbre masavolumenincertidumbre volumenDensidadIncertidumbre Densidadlog Xlog YXYX^2regresionSrStr^2ecuacion11.4901.2701.5001.4200.1061.0000.0101.4990.3360.6670.1560.0000.1520.0000.000a10.1410.00013248130.12274817860.99367967591.382860247321.6151.6601.8301.7020.0932.0000.0102.5800.4210.7750.1300.3010.2310.0700.0910.4010.2610.00093179220.07385796221.825505973732.6802.4702.5652.5720.0864.0000.0108.9050.8920.4490.0460.6020.4100.2470.362yprom0.382k0.00079487010.00854294082.409840088143.2703.4052.8903.1880.2188.0000.01016.9703.4820.4710.0970.9030.5040.4550.8160.5030.5031.3830.00000084830.00000084833.181216240154.2704.2203.9504.1470.14116.0000.01037.3333.7960.4290.0441.2040.6180.7441.450xprom0.623d0.00003096980.01323797974.199505525965.4605.2705.1255.2850.13732.0000.01077.2926.0180.4140.0321.5050.7231.0882.2650.9030.7442.4960.0004343330.04857716765.543743439877.7057.6707.4257.6000.12564.0000.010229.84711.3020.2780.0141.8060.8811.5913.262a00.8650.00026590110.14301321937.3182642903sumatoria6.3223.5184.1948.2460.1410.00259119570.4099782965

bolas de aceroDiametroN bolaxyzpromedio(y)masa(X)XYXYX^2xpromkecuacionSrStr^212.3652.3602.3552.36055.6001.7450.3730.6513.0451.1380.6362.3540.00000106550.03956913650.992103684721.7201.7101.7201.71721.9501.3410.2350.3151.799ypromd1.7390.00003213950.00368374931.5701.5601.5751.56816.5501.2190.1950.2381.4850.1743.0691.5860.00002456330.000459943641.2601.2501.2601.2576.9100.8390.0990.0830.705a11.1930.00050290330.005590849450.9200.9300.9350.9283.5000.544-0.032-0.0180.2960.3260.9560.00016467180.042554794sumatoria5.6890.8701.2697.331a00.00072534350.0918584724-0.197DiametroN bolaxyzpromedio(y)incertidumbre diametro masa(X)incertidumbre masa volumenincertidumbre volumendensidadincertidumbre densidad1.0002.3652.362.3552.360.00455.60.016.8820.0368.0790.0432.0001.721.711.721.7170.00521.950.012.6490.0228.2870.07231.571.561.5751.5680.00616.550.012.020.0248.1940.10341.261.251.261.2570.0056.910.011.0390.0126.650.08450.920.930.9350.9280.0063.50.010.4190.0088.3550.192

imprimirBOLAS DE PAPELDiametroBola NxyzPromedio DiametroDesviacion Est diametroMasaIncertidumbre masaVolumenIncertidumbre volumenDensidadIncertidumbre Densidadkd11.4901.2701.5001.4200.1061.0000.0101.4990.3360.6670.1562.6832.49621.6151.6601.8301.7020.0932.0000.0102.5800.4210.7750.13032.6802.4702.5652.5720.0864.0000.0108.9050.8920.4490.04643.2703.4052.8903.1880.2188.0000.01016.9703.4820.4710.09754.2704.2203.9504.1470.14116.0000.01037.3333.7960.4290.04465.4605.2705.1255.2850.13732.0000.01077.2926.0180.4140.03277.7057.6707.4257.6000.12564.0000.010229.84711.3020.2780.014

BOLAS DE ACERODiametroN bolaxyzPromedio DiametroIncertidumbre diametro MasaIncertidumbre masa VolumenIncertidumbre volumenDensidadIncertidumbre densidadkd12.36502.3602.35502.3600.00455.600.016.8820.0368.0790.0430.6363.09621.72001.7101.72001.7170.00521.950.012.6490.0228.2870.07231.57001.5601.57501.5680.00616.550.012.0200.0248.1940.10341.26001.2501.26001.2570.0056.910.011.0390.0126.6500.08450.92000.9300.93500.9280.0063.500.010.4190.0088.3550.192

promediosPapelGrupos12345PromedioDesviacion Ed2.49602.59002.54002.18061.90002.34130.2630k1.38300.23001.93400.3234-1.97000.38011.3393377862AceroGrupos12345PromedioDesviacion Ed3.06902.95002.95003.04102.41002.88400.2418k0.63604.12000.60403.12901.49901.99761.4020930925

ACEROMASAVOLUMENDENSIDADDIAMETRO12345123451234512345Grupo 155.60021.95016.5506.9103.5006.8822.6492.0201.0390.4198.0798.2878.1946.6508.3552.3601.7171.5681.2570.928Grupo 245.44028.57016.6008.5003.5805.7303.6502.5301.0500.4507.9307.8206.5608.0907.9602.2201.9101.6901.2600.950Grupo 345.48028.63014.6308.5403.5905.5753.5911.7671.1500.4498.1587.9738.2807.4267.9952.2001.9001.5001.3000.950PROMEDIO48.84026.38315.9277.9833.5576.0623.2972.1061.0800.4398.0568.0277.6787.3898.1032.2601.8421.5861.2720.943DESVIACION ESTANDAR4.7803.1350.9170.7590.0400.5830.4590.3170.0500.0140.0950.1940.7910.5880.1790.0710.0890.0790.0200.010

PAPELMASAVOLUMENDENSIDADDIAMETRO123456123456123456123456Grupo 118.0800009.1000004.5400002.3000001.1700000.58000077.29200037.33300016.9700008.9050002.5800001.4990000.0001450.0001470.0002100.0002510.0002510.0002935.2850004.1470003.1880002.5720001.7020001.420000Grupo 217.5700008.7900004.3900002.1900001.1000000.55000066.44000037.15000015.7500008.3800003.2600001.2300000.2600000.2400000.2800000.2600000.3400000.4400005.0300004.1400003.1100002.5200001.8400001.330000Grupo 317.6600008.8300004.4200002.2100001.1100001.000000106.99000041.77000024.6300008.8600003.8900001.6300000.1650000.2110000.1790000.2490000.2850000.6130005.8900004.3050003.6100002.5680001.9520001.460000PROMEDIO17.7700008.9066674.4500002.2333331.1266670.71000083.57400038.75100019.1166678.7150003.2433331.4530000.1417150.1503820.1530700.1697500.2084170.3510984.3012504.1973333.3026672.5533331.8313331.403333DESVIACION ESTANDAR0.2222610.1376790.0648070.0478420.0309120.20542617.1400752.1360623.9302020.2375920.5349350.1665070.1073550.1068900.1156860.1199380.1488980.2579150.3606550.0761850.2196380.0236270.1022460.054365