UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA

CURSO: Laboratorio de Física I

HORARIO: Sábado 10:00 – 12:00

PROFESOR: Melchor Llosa

INTEGRANTES:

GUTIERREZ ALVARADO, Juan Manuel

MARCELO MEGO, Sergio Wilder

RODRIGUEZ BALDEON, Miriam Leslie

ROJAS JAPAY, Yesenia Gabriela

I. OBJETIVOS

1. Estudiar el comportamiento de las fuerzas concurrentes y fuerzas paralelas.

2. Establecer las condiciones necesarias para que un sistema se encuentre en

equilibrio.

II. EXPERIMIENTO

A. MODELO FISICO

El equilibrio es el estado de un sistema cuya configuración o propiedades macroscópicas no cambian a lo largo del tiempo. Por ejemplo, en mecánica, un sistema está en equilibrio cuando la fuerza total o resultante que actúa sobre un cuerpo y el momento resultante son nulos. En este caso, la propiedad macroscópica del cuerpo que no cambia con el tiempo es la velocidad. En particular, si la velocidad inicial es nula, el cuerpo permanecerá en reposo. El equilibrio mecánico puede ser de dos clases: estable, indiferente e inestable. Si las fuerzas son tales que un cuerpo vuelve a su posición original al ser desplazado, como ocurre con un tentetieso (muñeco de materia ligera, o hueco, que lleva un contrapeso en la base, y que, movido en cualquier dirección, vuelve siempre a quedar derecho), el cuerpo está en equilibrio estable. Si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo hacen que éste permanezca en su nueva posición al ser desplazado, como en una esfera situada sobre una superficie plana, el cuerpo se encuentra en equilibrio indiferente. Si las fuerzas hacen que el cuerpo continúe moviéndose hasta una posición distinta cuando se desplaza, como ocurre con una varita en equilibrio sobre su extremo, el cuerpo está en equilibrio inestable.

Para que haya equilibrio, las componentes horizontales de las fuerzas que actúan sobre un objeto deben cancelarse mutuamente, y lo mismo debe ocurrir con las componentes verticales. Esta condición es necesaria para el equilibrio, pero no es suficiente. Por ejemplo, si una persona coloca un libro de pie sobre una mesa y lo empuja igual de fuerte con una mano en un sentido y con la otra en el sentido opuesto, el libro permanecerá en reposo si las manos están una frente a otra. (El resultado total es que el libro se comprime). Pero si una mano está cerca de la parte superior del libro y la otra mano cerca de la parte inferior, el libro caerá sobre la mesa. Para que haya equilibrio también es necesario que la suma de los momentos en torno a cualquier eje sea cero.

Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el cuerpo rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio estático.

La primera condición de equilibrio es la Primera Ley de Newton, que garantiza el equilibrio de traslación. La segunda condición de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia de la siguiente forma: “la suma vectorial de todos los torques externos que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de cualquier origen es cero”. Esto se traduce en las siguientes dos ecuaciones, consideradas como las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido:

1ª condición de equilibrio:

Σ F=0⇒ F 1+F 2++Fn=0 … (1)

2ª condición de equilibrio:

Στ=0⇒ τ⃗ 1+ τ⃗ 2+…+τ⃗ rn=0…(2)

Como estas ecuaciones vectoriales son equivalentes a seis ecuaciones escalares, resulta un sistema final de ecuaciones con seis incógnitas, por lo que limitaremos el análisis a situaciones donde todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, están en el plano xy, donde también obviamente se encuentra r. Con esta restricción se tiene que tratar sólo con tres ecuaciones escalares, dos de la primera condición de equilibrio y una de la segunda, entonces el sistema de ecuaciones vectorial (1) y (2) se reduce a las siguientes ecuaciones escalares:

ΣFx=0 , ΣFy=0 , Στ O=0

Centro de gravedad.

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo.

Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

Centro de masa.

Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar concentrada toda su masa, corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje se simetría.

Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro de masa como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que aquí la gravedad es prácticamente constante, esto es, si g es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.

Existen métodos de cálculo integral para calcular estas dos posiciones, pero aquí no las detallaremos.

Ahora se pueden responder las preguntas anteriores. Respecto a la Torre de Pisa, la respuesta a la pregunta de porque no se cae, es porque su centro de gravedad está geométricamente dentro de su base, que se llama “área de sustentación”.

Si la torre continúa inclinándose hasta que su centro de gravedad caiga fuera del área de sustentación, entonces se derrumbará. Pero se le han puesto apoyos en su base para evitar que continuara inclinándose.

Para aplicar las condiciones de equilibrio, es recomendable seguir las siguientes instrucciones, que corresponde a dibujar el DCL del cuerpo rígido:

a) Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario.

b) Dibujar los vectores que representen las fuerzas en el punto de aplicación donde las fuerzas efectivamente actúan.

c) Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuerzas, donde dibujar la componente perpendicular a la posición.

d) Elegir un eje de rotación O adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen los torques de (algunas) fuerzas desconocidas.

B. MATERIALES

Soportes universales Poleas Juego de pesas Regla patrón (con orificios) Cuerda Clamps o agarradera Portapesas Balanza Dinamómetro Tablero Transportador

C. RANGO DE TRABAJO

Para fuerzas de igual moduloEn el caso de las fuerzas de igual modulo el ángulo mínimo que se

formó fue de 120o Y la fuerza mínima y máxima a la vez fue de 1.48 N.

Para fuerzas con relación de 3, 4, y 5En el caso de las fuerzas en relación de 3, 4, y 5 el ángulo mínimo

que se formó fue de 90o y el máximo fue de 147 o. La fuerza mínima fue de 148.3N y la máxima de 248.3N.

Para fuerzas con relación de 12, 5, y 13En el caso de las fuerzas en relación de 12, 5, y 13 el ángulo mínimo

que se formó fue de 88o y el máximo fue de 157 o. La fuerza mínima fue de 48.3N y la máxima de 128.3N.

Para la regla con los dinamómetros.En el caso de la regla con los dinamómetros, la lectura mínima fue

de 1.6N y la máxima de 2.6N.

Para la regla con una masa de 148.3g en el C.G.En el caso de la regla con una masa de 148.3N en el C.G, la lectura

mínima fue de 1.3N y la máxima de 1.6N

Para la regla con una masa 148.3g a 30 cm del primer dinamómetro.En el caso de la regla con una masa de 148.3N a 30 cm del primer

dinamómetro, la lectura mínima fue de 1.3N y la máxima de 1.6N

Para la regla con una masa 148.3g a 30 cm del primer dinamómetro y una masa de 20 g a 10cm del otro dinamómetro.

En el caso de la regla con una masa de 148.3N a 30 cm del primer dinamómetro y una masa de 20 g a 10cm del otro dinamómetro, la lectura mínima fue de 0.68N y la máxima de 3N

D. Análisis

1. Arme el sistema de la Fig. 4. Suspenda en los extremos de la cuerda pesos

diferentes F⃗ 1 y F⃗ 2 y en el centro un peso E⃗ 3 . Deje que el sistema se

estabilice. Recuerde que debe cumplirse la ley de la desigualdad de los

lados del triángulo “un lado es menor que la masa de los otros dos y mayor

que su diferencia”

F⃗ 1 F⃗ 2

E⃗

Fig. 4

2. Coloque el tablero (con un papel) en la parte posterior de la cuerda y

marque las direcciones de las cuerdas en el papel.

3. Retire el papel y anote en cada línea los valores de los pesos

correspondientes.

4. Complete el paralelogramo de fuerzas con una escala conveniente para los

valores de F⃗ 1 y F⃗ 2 .

5. Repita los pasos 1,2,3 y 4.

5.1. Coloque, F⃗ 1 ,F⃗ 2 y E⃗ 3 iguales en módulo y mida los ángulos: , y

que se forman alrededor del punto.

Los pesos que se colocaron son 148.3 g, 148.3 g, 148.3 g en dónde

los ángulos son: 120°, 120°, 120°.

5.2. Coloque /F⃗ 1 /, /F⃗ 2 / y /E⃗ 3 / que estén en relación 3:4:5 y mida los

ángulos que forman entre ellos.

Los pesos que se colocaron son 148.3 g, 198.3g, 248.3g en dónde los

ángulos son : 90°, 143°, 127°.

5.3. Coloque /F⃗ 1 /, /F⃗ 2 / y /E⃗ 3 / que estén en relación 12:5:13 .

Los pesos de las fuerzas son: 118.3 g, 48.3 g, 128.3 g en donde los

ángulos son 88°, 115°, 157°.

6. Suspenda la regla con los dinamómetros, utilice los agujeros en 10 cm y 70

cm para las fuerzas F⃗ 1 , F⃗ 2 como muestra la Figura 5. Anote las lecturas

en cada dinamómetro

F3 F4

F1 F4

Figura 5

7. Coloque en el agujero del centro de gravedad de la regla un cuerpo de masa

100g que es la F⃗ 3 . Anote las lecturas en cada dinamómetro.

1,3 N 1,6 N

1,48 N

8. Desplace el cuerpo de F⃗ 3 al agujero a 30cm del primer dinamómetro.

Anote las lecturas de cada uno de ellos.

1,6 N 1,2 N

1.6N 2.6N

1,48N

9. Adicione un cuerpo de masa de 50 g a 10 cm del otro dinamómetro. Anote

sus lecturas de cada uno de ellos.

1 N 3 N

1,48 N 0.68 N

E. Cuestionario

1. ¿Concuerda el valor hallado por el método gráfico con la fuerza del cuerpo E⃗

? ¿Qué diferencias hay entre la fuerza resultante y la fuerza equilibrante?

F⃗ R

F⃗ 1 90o F⃗ 2

Se puede ver que por el método grafico el E si coincide con un margen de

error relativamente cercano al valor obtenido.

Fuerza resultante

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas se pueden sumar las mismas de forma vectorial (como suma de vectores) obteniendo una fuerza resultante, es decir equivalente a todas las demás. Si la resultante de fuerzas es igual a cero, el efecto es el mismo que si no hubiera fuerzas aplicadas: el cuerpo se mantiene en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme, es decir que no modifica su velocidad.

|F⃗ 1|=1 . 48 N ; |F⃗ 2|=1 , 98 N

|E⃗ 1|=2 , 48 N ; = 90°

Por ley de cosenos:

FR=√F 12+F 22+2 F 1 F 2Cosθ

En la mayoría de los casos no tenemos las coordenadas de los vectores sino que tenemos su módulo y el ángulo con el que la fuerza está aplicada. Para sumar las fuerzas en este caso es necesario descomponerlas proyectándolas sobre los ejes y luego volver a componerlas en una resultante (composición y descomposición de fuerzas).

Fuerza equilibrante:

Se llama fuerza equilibrante a una fuerza con mismo módulo y dirección que la resultante (en caso de que sea distinta de cero) pero de sentido contrario. Es la fuerza que equilibra el sistema. Sumando vectorialmente a todas las fuerzas (es decir a la resultante) con la equilibrante se obtiene cero, lo que significa que no hay fuerza neta aplicada.

2. Encuentre teóricamente el valor de la fuerza equilibrante para cada caso, por

la ley de senos o de Lamy, por la ley del coseno y por descomposición

rectangular. Compare los valores /E⃗ / y los ángulos , y hallados con el

obtenido en el paso 1 y los medidos experimentalmente. Confeccione un

cuadro de sus resultados y de los errores experimentales porcentuales con

respecto a la equilibrante colocada.

CASO I: Cálculo Teórico de E⃗

1,48N 1,48N

E

1,48N

E 1,48N

Ley de senos: (Lamy)

ESen (120 ° )

= 1 , 48 NSen(120 ° )

= 1. 48 NSen(120 ° )

Ley de Cosenos:

E2 = (1,48)2 + (1,48)2+ 2(1,48)( 1,48)Cos(120°)

1,48N 1,48N

1,48Cos(30°) 1,48Cos(30°)

E

CASO II: Cálculo Teórico de E⃗

1.48 N 1,98N

1.48 x Cos(37°) 1,98 x Cos(53°)

E

Descomposición rectangular:

E = 1,48(Sen30°) + 1,48(Sen30°)

Ley de senos: (Lamy)

ESen (90° )

= 1 . 48 NSen(143 °)

= 1 .98 NSen (127 ° )

Ley de Cosenos:

E2 = (1.48)2 + (1,98)2– 2(1.48)(1,98)Cos(90°)

Descomposición rectangular:

E = 1.48(Sen37°) + 1,98(Sen53°)

Valor Experimental E = 2,48N

CASO III: Cálculo Teórico de E⃗

0,48N 1,18N

0.48 Cos(25°) 1,18Cos(67°)

E

Valor Experimental E = 1,28N

En conclusión: Teóricamente el valor de la fuerza equilibrante ( E⃗ )hallado

mediante Ley de Senos, ley de cosenos, descomposición rectangular es casi

idéntico al valor hallado experimentalmente, debido a que la medición de los

ángulos , y no fueron mediadamente los precisos y además la gravedad

pudo ser distinta a la tomada como referencia.

Valor Teórico de E⃗

Valor exp.

de E⃗Ley deSenos

Ley de Cosenos

Descomp. Rectangular

Error Porcentual

I 1.48 N 1.48 N 1.47 N 1.48 N 0,23 %

II 2,48 N 2.46 N 2.47 N 2.46 N 0.67 %

III 1,28 N 1.26 N 1.29 N 1.28 N 0.26 %

Ley de senos: (Lamy)

ESen (88° )

= 1 , 18 NSen(115° )

= 0 , 48 NSen(157 °)

Ley de Cosenos:

E2 = (1,18)2 + (0,48)2+ 2(1,18)( 0,48)Cos(88°)

Descomposición rectangular:

E = 1,18x(Sen67°) + 0.48x(Sen25°)

3. Mida los ángulos en los pasos 5.1 ¿Concuerda con el valor teórico de 120°?

Como hemos verificado pues el valor teórico Coincide con el teórico, ya

que la balanza de tres brazos nos facilitó la exactitud de los pesos

colocados.

4. Verifique que el ángulo entre las cuerdas en los casos 5.2 y 5.3 sea 90°?

Luego de medir experimentalmente se han obtenido los siguientes datos:

F1 F2

E

Como observamos el ángulo “”, debería ser 90° teóricamente; pero en

forma experimental vemos que levemente se aleja de este valor.

5. a.¿Son iguales las lecturas en los dinamómetros en los pasos 7 y 8? ¿Por

qué? b.¿En qué caso los dinamómetros marcarán igual, haga un gráfico que

exprese visualmente lo que explique en su respuesta?

a.

Luego de medir experimentalmente, hemos observado que las medidas en

los pasos 7 y 8 no son iguales debido a que en el paso 7 desplazamos la

fuerza de (m=100g), entonces para que se cumpla la 1era y 2da condición

1°) Para las fuerzas:

|E⃗|=2 ,48 N =90°

|F⃗ 2|=1 , 48 N =143°

|F⃗ 1|=1 . 98 N =127°

2°) Para las fuerzas:

|E⃗|=1 ,28 N =88°

|F⃗ 2|=1 , 18 N =115°

|F⃗ 1|=0 , 48 N =157°

de equilibrio la medidas en los dinamómetros tienen que variar, es decir

aumentar su valor.

Esquema gráfico de los pasos (7 y 8)

1,3N 1,6N

1.48N w=1.42N

1,6N 1,2N

1,48N w=1,32N

b.

Los dinamómetros marcarán igual cuando el peso de la barra se encuentre

en el punto medio del segmento de la regla limitada por los dinamómetros.

La gráfica:

F1 d1 d2

wb

Para que F1 y F2 d1 = d2 ¿Por qué?

Porque así se cumple la 2da condición de equilibrio que es ∑M 0F=0

F1. d1 + F2. d2 =0 d1 = d2

6. Calcule teóricamente las reacciones en los puntos de suspensión para

los pasos 8 y 9 y compare con las lecturas en los dinamómetros?

a). Haciendo uso del diagrama del cuerpo libre para el paso 8 se tiene:

F1 F4=mg=1.32N F2

B A

F3=1,45N

Paso 7:

W=1.42N

Paso 8:

Puesto que con la 1era condición que equilibrio (equilibrio de traslación)

∑ F=0 no se puede determinar F1, F2, hacemos uso en la 2da condición

de equilibrio (equilibrio de rotación) ∑M 0F=0

Consideraciones previas:

Aceleración de la gravedad en lima g=9,78 m/s2

Masa de la barra 0,142 kg., masa acondicionada a la barra: m1= 0,148 kg.

F3= m1g = (0,148)(9,78) = 1,45N

mg = (0,142)(9,78) = 1.39N

∑M (↑)=∑M (↓ )

F1(0,7) = F3(0,4) + F4(0,3)

Reemplazando valores

F1(0,7) = 1,45(0,4) + 1.39(0,2) F1 = 1,23N

Tomamos momentos en el punto B:

F2(0,7) = 1,45(0,3) + 1.39(0,4) F2 = 1,42N

De este procedimiento se obtiene: F1=1.23 N ; F2= 1.42N de donde F1 +

F2 = F3+F4 se cumple la 1era condición de equilibrio.

b). Haciendo uso del diagrama de cuerpo libre para el paso 9 se tiene:

F1 F4=mg=1.39N F2

B A

F3=1.48 N F5=0.68N

De la primera condición de equilibrio

F3 + F4 + F5 = F1+ F2 ....... (1)

F3 = 1,48N F5 = 0.68N

F4 =1.39N 3,55 = F1+ F2 .......... (2)

Tomando momento en el punto A.

∑M (↑)=∑M (↓ ) F1(0,7) = F5(0,1) +F4(0,3) + F3(0,5)

F1(0,7) = 0.68 (0,1) +1.39 (0,3) + 1,48 (0,5) = 1,75N

F2= 1,8N tomando momento en el punto “B” también se obtiene el

mismo resultado.

Cálculo Experimental Cálculo Teórico

Paso

8

F1 F2 F1 F2

1,6N 1,2N 1.23N 1.42N

Paso 9

Cálculo Experimental Cálculo Teórico

F1 F2 F1 F2

1 N 3N 1.75 N 1.8 N

7. ¿Qué observa de las fuerzas que actúan sobre la regla acanalada?

Como se observa la barra o regla se equilibra por lo que ésta permanece en

reposo, pero en sí no coinciden en gran medida con lo teórico, ya que no

consideramos las fuerzas externas que actúan sobre la barra. Por esto se

inclina de acuerdo a las diferentes fuerzas que se aplican al sistema de

experimento.

F. Conclusiones

Del experimento efectuado llegamos a conclusiones como de las ecuaciones

de cuerpo rígido ∑ F⃗= 0⃗ ; ∑ τ⃗=0⃗ , establecen que las sumas vectoriales

de las fuerzas y torques que actúan sobre un cuerpo deben ser nulas, por

otro lado que para los cuerpos rígidos, en reposo (estático), la velocidad V⃗ y

la velocidad angular ω⃗ deben ser idénticamente nulas.

Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario

considerar el equilibrio en relación tanto a la traslación como a la rotación.

Por lo tanto se requieren las dos condiciones de equilibrio.

Otro aspecto que se debe recalcar es pues el uso importante del álgebra

vectorial en la composición de fuerzas y en particular el equilibrio de ellas un

problema de gran aplicación en la ingeniería.

Bibliografía:

1) Manual de Laboratorio Física I, UNMSM, Lima

2) Física I - Licenciado Humberto Leyva N.

3) Física para ciencia e ingeniería, volumen 1 - SERWAY

JEWETT

4) A. NAVARRO, F. TAYPE Física Volumen 1, Lima, Editorial Gomez S.A.

5) Física para ciencia e ingeniería, volumen 1 – SEARS

SEMANSKY