Henk J. M. Bos

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doi : 10.3406/rhs.1998.1324

http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1998_num_51_2_1324

La structure de la Geometrie

de Descartes (*)

Henk 1. M. Bas (**)

RESUME. - J' explique la structure de la Geometrie et soutiens la these selon Iaquelle 1 ~ objet du traite de Descartes etait de fournir une methode de resolution des problemes geometriques, co mme cela se faisait a son epoque. Pour illustrer cette pratique, je discute la solution apportee par Clavius a un probleme caracte­ristique de celle-ci. Ensuite je demontre que 1a resolution de problemes geometri­ques necessitait une double methode. Au niveau technique, on avait besoin d'une procedure analytique qui conduirait Ie geometre a la solution du probleme. Sur Ie plan methodologique, il etait necessaire de repondre a la question suivante : quelles constructions sont acceptables en geometrie? Descartes a foumi a la fois la proce­dure et les reponses a cette question. La structure de ce traite fut largement deter­minee par son objet, tel que nous l' avons expose ci-dessus.

MOTS-CLES. - Analyse; construction; problemes geometriques; techniques de construction; methode.

SUMMARY. - I explain the structure of the Geometrie, and I defend the thesis that the aim of Descartes's treatise was to provide a method for the art of geome­trical problem solving as it was practiced in his time. To illustrate this art I discuss the solution by Clavius of a problem characteristic of the art. I then argue that geometrical problem solving required a twofold method. On the technical level an analytical procedure was needed which would lead the geometer to the solution of a problem. On the methodological side an answer was required to the question: which constructions were acceptable in geometry? Descartes provided both the procedure and the answers. The structure of his treatise was largely determined by its aim as formulated above.

KEYWORDS. - Analysis; construction; geometrical problems; means of construction; method.

(*) Conference donnee au « Convegno per il 350"'» anniversario della publicazione del Discours de la methode e degli Essais », Lecce (Italie), 1987. Le texte est publie en anglais dans les actes de ce Colloque : The structure of Descartes's Geometrie, Descartes: il metodo e i saggi; Au; del Convegno per il 35U anniversario della publicazione del Discours de la methode e degli Essais. ed. Giulia Belgioioso et al., 2 vol. (Florence Armando Paoletti, 1990), 349-369.

(**) Professeur Henk J. M. Bos, Mathematical Inst. Utrecht Univ., P.O. Box, 80.010, 3508 TA Utrecht, Pays-Bas; trad. d' Anne Michel-Pajus, lost. de recherche et d' enseignement des mathematiques, Univ. Paris VII, Tour 56-55. 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05.

Rev. Hist. Sci. , 1998, 51/2-3, 291-317

292 Henk J. M. Bos

II n'y a aucun doute sur la portee de la Geometrie (1) de Descartes: elle nous a donne la « geometrie analytique». C'est lit que les mathematiciens ont appris que les courbes ont des equations (it deux inconnues) et, inversement, que de telles equations definis­sent des courbes; courbe et equation sont deux notions dans une large mesure equivalentes. Une forme comme celIe du folium de Descartes (cf. fig 1) est pour l' essentiel la meme chose que I' equa­tion x 3 + y3 = axy; on peut etudier une courbe au moyen de son equation, et une equation au moyen de la courbe qui s'y rattache. Bien sur, l'histoire (2) est plus compliquee; on doit mentionner d'autres noms et ajouter des nuances. On peut dire neanmoins que dans la Geometrie de 1637 resonne pour la premiere fois l'un des themes qui devait devenir un leitmotiv des mathematiques du XVlI

e siecle : Ie lien entre formule et figure, l' interconnexion entre algebre et geometrie.

Toutefois, Ie lecteur qui ouvre la Geometrie en s' attendant it lire un livre de geometrie analytique va probablement faire une experience

(I) R. Descartes, La Geometrie [un des Essais du] Discours de la Methode (Leiden, 1637), 297-413, et AT, VI, 369-485. II existe un fac-simile de l'edition de 1637 accompagne d'une traduction en anglais: D. E. Smith, M. L. Latham (eds), The Geometry of Rene Des­cartes (New York: Dover, 1954).

Note de la traductrice : pOUT les extraits du texte de Descartes, nous indiquons une double reference: EO pour I'edition originale, et AT. Nous avons transcrit en fran~ais contemporain Ie texte cartesien.

(2) Pour plus de details et diverses opinions, voir H. J. M. Bos, On the representation of curves in Descartes's Geometrie. Archive for history of exact sciences, 24 (1981), 295-338; id., Arguments on motivation on the rise and decline of a mathematical theory; the «Construction of equations », 1637-ca.1750, ibid., 30 (1984), 331-380; Carl B. Boyer, History of analytical geometry (New York: Dover, 1956), 74-102; Pierre Costabel, Demar­ches originaJes de Descartes savant (Paris: Vrin, 1982), en particulier 27-37; Jean Dhom­bres, Nombre. mesure et continuo epistemologie et histoire (Paris: Nathan, 1978), 134-143; Emily R. Grosholz, Descartes's Unification of algebra and geometry, in S. Gaukroger (ed.), Descartes. philosophy. mathematics and physics (Brighton: Harvester, 1980), 156-169; Joseph Ehrenfried Hofmann. Descartes und die Mathematik, in H. Scholz (ed.), Descartes. drei Vortriige (Munster: Aschendorff, 1951), 48-73; Jean Itard, La Geometrie de Descartes (Paris: Univ. de Paris, 1956),« Les Conferences du Palais de la decouverte, ser. D.39» 1-14; Timothy Lenoir, Descartes and the geometrization of thought: the methodological bac­kground of Descartes's Geometrie, Historia mathematica, 6 (1979), 355-379; Michael S. Mahoney, The beginnings of algebraic thought in the seventeenth century, in Descartes. philosophy, mathematics and physics, cf. ci-dessus, 141-156; Gaston Milhaud, Descartes savant (Paris: Alcan, 1921), 124-148; A. George Molland, Shifting the foundations: Descartes's transformation of ancient geometry, Historia mathematica, 3 (1976), 21-49; J. F. Scott, The Scientific Work of Rene Descartes, 1596-1650 (Londres : Taylor and Francis, 1952, 1976); Jules Vuillemin, Mathematiques et metaphysique chez Descartes (Paris: PUF, 1960).

La structure de La Geometrie de Descartes 293

Figure I

deroutante. Et meme si I'on aborde Ie livre sans attente specifique, on se trouve confronte a maintes questions et enigmes. Par exemple, l'equivalence entre courbe et equation, qui est Ie creur de la geo­metrie analytique, apparait comme un theme plutot marginal dans la Geometrie. Si cette equivalence avait ete au centre, on se serait attendu it voir Descartes traiter la ligne droite, puis passer aux coniques, et ainsi de suite. En fait, une equation de la droite apparait seulement une fois dans Ie texte (3) plus ou moins en passant, et Descartes examine plusieurs courbes sans donner du tout d'equa­tion (4). De plus, Ie livre contient beaucoup de theorie algebrique sur les equations a une inconnue, ce qui, it premiere vue, semble sans rapport avec Ie theme de I'expression des courbes au moyen d' equations. Puis, il yale probleme de la delimitation de la geo­metrie qui preoccupait fortement Descartes. Pour Descartes, l' algebre concernait l' addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction des racines. A l'epoque, logarithmes, sinus,

(3) La Geometrie, EO. 327-328; AT. VI, 400; c'est la droite y = m -!! x, que Descartes z

trace en preliminaire a la recherche des coniques y = m -!! x + Jmm + ox -!!.. xx; ces coni-z m

ques sont les lieux du probleme de Pappus a quatre lignes (cf. n. 11 et 19). (4) Par exernple la courbe qui resout un cas particulier du probleme de Pappus a

cinq lignes (La Geometrie. EO, 339; AT, VI. 409-410); cf. aussi H. Bos. On the representa­tion of Curves ...• op. cit. in n. 2. 316, n. 21. Descartes n'utilise pas d'equations pour repre­senter les ovales optiques dans la section II-E (cf. tab!. I).

294 Henk J. M. Bos

cosinus, exponentielles, etc. ne faisaient pas encore partie de l' arsenal des formules algebriques. Ce qui signifiait que toutes les courbes ne pouvaient pas etre representees au moyen d'une equa­tion. Descartes insistait pour delimiter la science de la geometrie comme concernant seulement les courbes qui ont des equations algebriques (en coordonnees prises relativement a des axes rectilignes); c'est-a-dire des equations comprenant seulement +, -, x, + et des radicaux. Curieuse idee, en verite, car pourquoi r algebre aurait-elle do servir de critere pour delimiter la geometrie?

Ces aspects enigmatiques ne sont pas sans rapport avec la struc­ture de la theorie de Descartes et avec la structure de son livre qui en resulte. Les passages de la Geometrie, pris separement, sont asseZ comprehensibles, mais on se demande sou vent pourquoi Des­cartes a choisi de les inclure, pourquoi il les a traites a cet endroit particulier du Ii vre, et comment ils se relient aux autres parties. Pourtant, on n'a jamais l'impression que Descartes a manque d' assurance quant a la structure qu' il a donnee au livre; ses transi­tions entre les sections sont sores et solides, et il explicite en general les raisons pour lesquelles il traite Ie sujet en cours.

Cela suggere une fa~on particuliere d' aborder les questions rela­tives a la Geometrie, qui est d'etudier la « structure» du livre; et c' est ce que je me propose de faire dans cet article. l' examinerai en particulier I' ordre dans lequel Descartes presente ses sujets, et les raisons qu'il donne pour traiter les differents sujets. II y a trois themes qui sont cruciaux pour comprendre la structure du livre: les problemes, les constructions, et les regles qui depassent Ie simple fait d'etre mathematiquement correct. Ces themes definissent une grille de questions que je vais mentionner brievement maintenant.

Nous ouvrons Ie livre et nous lisons :

«Tous les Problemes de Geometrie se peuvent facilement n!duire en termes tels qu' il n' est besoin ensuite que de connaitre la longueur de quelques lignes droites pour les construire (5). »

L'objectif de Descartes etait en fait de resoudre tous les pro­blemes geometriques. Aussi faudra-t-il repondre a la question: qu' etaient ces «problemes» de geometrie? Dans la meme phrase d' ouverture, nous Ii sons ce que signifiait resoudre les problemes; cela signifiait une construction, ce qui constitue Ie second theme.

(5) La Geomelrie, EO, 297; AT, VI, 369.

La structure de la Geometrie de Descartes 295

Quand Descartes resume ce qu' il a reussi a la fin de son reuvre, il ecrit :

« Mais mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tache plutot de comprendre beaucoup en peu de mots: comme on jugera peut-etre que je r ai fait, si on considere, qu' ayant reduit a une meme construction tous les Problemes d'un meme genre, j'ai tout ensemble donne la fa~on de les reduire it une infinite d'autres [constructions], et ainsi de resoudre chacun d'eux d'une infinite de fa~ons. Puis outre cela qu'ayant construit tous ceux qui sont plans, en coupant par un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides, en coupant aussi par un cercle une Parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degre plus compose, en coupant de meme par un cercle une ligne qui n'est que d'un degre plus composee que la Parabole, il ne faut que suivre Ia meme voie pour construire tous ceux qui sont plus composes it l'infini (6). »

II est clair que Descartes considerait les constructions qu' il avait donnees comme les resultats finals et la conclusion de son etude. II faudra nous demander ce qu'il entendait par «construction ».

Enfin, il y a un theme curieux qui apparait particulierement dans Ie troisieme livre. Descartes expliquait qu'il presentait une methode qui permette aux geometres d'eviter ce qu'il appelait une « faute ».

Par exemple :

«Et ce n' est pas une moindre faute apres cela que d' essayer de construire [un certain type de probleme] en n' y employant que des cercles et des droites, que ce serait d' employer des sections coniques a construire [les problemes] pour lesquels on n'a besoin que de cercles. Car enfin tout ce qui temoigne de quelque ignorance s'appelle faute (7) .»

Quelle etait cette « faute »? C' etait de construire la solution d'un probleme par des moyens inappropries, en particulier des moyens plus compliques que necessaire. Pour Descartes, une telle fa~on d' agir etait impropre; elle montrait l'ignorance. Pourtant, un mathe­maticien qui commet cette erreur ne fait rien qui soit mathemati­quement incorrect. L'insistance de Descartes sur la « faute » montre l'importance qu' il attachait a certaines «regles qui depassent Ie simple fait d'etre mathematiquement correct », et il faudra se pencher sur la nature et I' effet de ces regles.

(6) Ibid., EO, 412-413; AT, VI, 485. (7) Ibid., EO, 383; AT, VI, 457.

296 Henk J. M. Bos

I. - LA GEOMETRIE DU DEBUT DE LA PERIODE MODERNE

Les passages cites ci-dessus et les themes auxquels ils renvoient indiquent que Descartes a ecrit son livre avec une vision particuliere de la geometrie. II voyait la geometrie comme l~art de resoudre les problemes geometriques. C' est un point tres important, ne serait-ce que parce qu'une telle vision de la geometrie, quoique tres repandue aux debuts de l'ere modeme, ne nous est plus familiere aujourd'hui. Examinons-la par opposition a d'autres fa~ons de voir la geometrie. Descartes ne voyait pas la geometrie comme la science axiomatico­deductive qui decoule des theoremes sur les objets geometriques. C'est-a-dire qu'il ne se conformait pas au style des Elements d'Euclide. De fait, beaucoup de geometres de l'epoque semblent avoir eu I' idee qu' avec les Elements, la geometrie disposait de suffisamment de theoremes, et qu' il etait bien temps d' utiliser ces theoremes pour resoudre des problemes. Descartes ne voyait pas davantage la geometrie comme I' investigation des proprietes des objets ou configurations geometriques - ce qui est la vision adaptee it la conception moderne de la geometrie analytique.

Je suis bien con scient du fait que, si nous choisissons de discuter dans une perspective strictement mathematique, cela ne fait aucune difference de considerer la geometrie com me une activite de reso­lution de problemes, de preuve de theoremes, ou de recherche de proprietes. La resolution d'un probleme peut etre formulee comme un theoreme ou comme une propriete d'une configuration geome­trique. Je maintiens pourtant que, dans la pratique de la recherche geometrique, Ie fait d' adopter I 'un ou I' autre de ces points de vue cree une grande difference. La representation de la geometrie qu' a Ie mathematicien determine les buts de sa recherche, ce qu' il estime important, et la structure de ses ecrits.

Ainsi Descartes voyait-il la geometrie comme l'art de resoudre les problemes et son but etait de resoudre « tous les problemes de geometrie ». Quels etaient ces problemes? Et que signifiait resoudre - c'est-a-dire construire - ces problemes? Pour repondre it ces questions, je vais examiner ici un probleme qui, pris avec sa construction, est caracteristique de ce qu' on peut qualifier comme la tradition de resolution des problemes geometriques au debut de

La structure de La Geometrie de Descartes 297

la periode moderne. Je tire I'exemple de la Geometria practica (1604) de Christophe Clavius, une reuvre que Descartes connaissait sans doute tres bien (8). Le voici :

Probleme: Etant donne (fig. 2) un triangle ABC et un point D, on demande de tracer une droite passant par D qui divise Ie triangle en deux parts egales.

CL-____________ ~----------~ B

Figure 2

Clavius donne ce qUI suit: Construction :

1. Prolonger AC (fig. 3) et tracer DF parallele a CB, qui coupe AC en F; prendre G sur AC telle que AG = CG.

2. Prendre H sur CA tel que CH est la quatrieme proportionnelle de DF, BC et CG, c'est-a-dire

DF : BC = CG : CH.

Clavius suppose que Ie lecteur sait construire une quatrieme pro­portionnelle. Vne construction standard etait (fig. 4) : porter les seg­ments DF et BC sur les cotes d'un angle arbitraire; joindre les extremites; porter CG du meme cote que DF; mener la parallele par son extremite; Ie segment decoupe sur I' autre cote est Ie qua­trieme proportionnel demande CH, de fa90n evidente, les triangles etant semblables.

(8) C . Clavius, Geometria practica, 1604, liber VI, prop. 12, probl. 2, Opera Mathema­rica, (Mainz, 1611-1612), vol. 2,159-160. Sur la farniliarite de Descartes avec Ie travail de Clavius, voir G. Milhaud, op. cit. in n. 2, 235.

298 Henk J. M. Bos

Figure 3

B

F~ ______________ ~

Figure 4

\ CG ----J' / '-----. - - - DF -------'

Q .--Figure 5

F c H

La structure de La Geometrie de Descartes 299

3. Construire la moyenne proportionnelle L entre FC et CH, c' est-a­dire un segment L verifiant :

FC : L = L: CH.

A nouveau, Clavius n' explique pas cette construction; la methode usuelle etait (fig. 5) de porter FC et CH sur une droite, tracer Ie demi-cercle de diametre FH, tracer la perpendiculaire en C qui coupe Ie demi-cercle en Q; CQ est la moyenne proportion­nelle cherchee, parce que les triangles FCQ et QCH sont sembla­bles.

4. Construire 1 sur CA tel que

CI x HI = L2,

ou, com me Clavius l ' ecrit, tel que Ie rectangle de cotes CI et HI soit egal au carre de cote L. Ici Clavius se refere a une construction qu'il a expliquee lors d'un commentaire sur Ie Theoreme 111-36 dans son edition des ELements d'Euclide (9). Cette construction est celle­ci (fig. 6) : tracer un cercle de diametre CH; porter RO = L sur une tangente; tracer une droite passant par 0 et Ie centre M du cercle Celle coupe Ie cercle en P et Q). Alors (avec Euclide 111-36) :

OR2 = OPxOQ,

de sorte que, si l'on prend CI = QO et HI - PO (ce qUI est compatible, puisque CH = QP), on a

CI x HI = L2

comme demande.

( CH

I

\.

Figure 6

(9) Euclidis Elementorum libri XV, C. Clavius ed. (Rome, 1589).

300 Henk J. M. Bos

5. Tracer une droite passant par D et I (fig. 3); cette droite divise Ie triangle en deux parts egales. Finalement Clavius prouve que DI est bien la droite deman­

dee (10). Cette construction demande quelques commentaires. Avant tout,

Clavius n' explique pas comment il a trouve la construction. Peut­etre les inities peuvent-ils l'induire de sa preuve (car il y a un systeme derriere sa construction) (11), mais pas facilement. Clavius n' a pas presente de methode pour trouver les constructions; il n' a pas donne d' « analyse ». Deuxiemement, toutes les etapes de la construction sont effectuables a la regIe et au compas. Les pro­blemes qui admettaient ce genre de construction s' appelaient pro­blemes «plans ». Les geometres s'interessaient aussi a des problemes non-plans et introduisaient en consequence d' autres moyens de construction que la regIe et Ie compas. Troisiemement, Clavius ne s'attendait apparemment pas a ce que son lecteur se saisisse d'une regie et d'un compas pour executer la construction. La construction etait une operation mentale; Ie texte de Clavius aidait l' esprit a voir que la construction etait effectuable et (si l' on connaissait les constructions usuelles ou si l' on verifiait les refe­rences) comment on pouvait la faireR Mais, quatriemement, si for­melle et eloignee d'une n~elle execution que fut la presentation, la terminologie de la construction ne se referait pas moins a une exe­cution reelle de la construction. Le procede etait represente comme une tache, une procedure, presque un rituel que Ie geometre avait a accomplir.

(10) On peut resumer la preuve comme suit (d. fig. 3): CI x HI = L2 = Fe x CH d'apres 3 et 4 d'ou FC: CI = CI: CH. D'ou il decoule: FI: CI = CI: CH. De plus FI: CI = FD : CK (Ies triangles etant semblables), d' ou FD : CK = CI : CH, soit FD x CH = CK

x CI. Alms, par 2, FD x CH = CG x CB = ! CA x CB, soit ! CA x CB = CK x CI. 2 2

D'ou L\CKI = ! L\CBA parce que les aires de triangles qui ont un angle commun sont 2

dans Ie meme rapport que les produits des cotes de cel angle. ( I I) On remarque que Clavius a traduit toutes les relations, donnees et cherchees, en

proportions de segments portes par une seule droite de la figure, en I'occurrence la droite AC. Le probleme est alors resolu par les constructions standard pour trouver les segments verifiant ces proportions.

La structure de la Geometrie de Descartes 301

Une tache implique des regles a observer et des criteres a satis­faire. Quels etaient-ils dans ce cas? Les regles etaient que chaque etape de la construction devait etre effectuee a la regIe et au compas. Le critere de convenance etait la simplicite : Ies construc­tions ne devaient pas etre plus compliquees que necessaire. De fait~ la construction de Clavius convenait tres bien~ on ne pouvait faire Ie travail beaucoup plus simplement.

II. - UNE THESE

Apres cet exemple de la pratique qui a forme I' arriere-plan de l' essai geometrique de Descartes, je peux formuler Ia these que je veux defendre dans cet article sur la structure de Ia Geometrie de Descartes. La voici : I' objectif de la Geometrie etait de foumir une methode pour I'art de resoudre Ies problemes de geometrie tel qu'il est esquisse ci­dessus. Cet objectif impliquait un niveau technique et un niveau methodologique; par consequent Ie livre avait un double programme. La structure de la Geometrie est appropriee et comprehensible si on la situe dans la perspective de cet objectif et de son double programme.

Sur Ie plan «technique»~ Ie programme devait fournir une « analyse », c'est-a-dire une methode universelle pour trouver les constructions pour tout probleme qui pouvait se poser dans la tra­dition de resolution de problemes geometriques. Cette methode etait : utiIiser r algebre pour analyser les problemes geometriques.

Sur Ie plan de la «methodologie », Ie programme affrontait une question cruciale dans Ia tradition de la resolution des problemes geometriques: comment construire quand regIe et compas se revelent insuffisants? Comme les geometres grecs classiques l' avaient deja constate, tous Ies problemes ne peuvent pas etre construits a la regIe et au compas, les «problemes classiques », par exemple, duplication du cube~ trisection de I ~ angle~ quadrature du cercle, ne peuvent pas etre resolus ainsi. Les geometres desiraient neanmoins toujours resoudre de tels problemes. Quels etaient les autres moyens de construction accep­tables et quels etaient ceux qui ne I' etaient pas? Que devait etre Ie critere de simplicite pour decider si les constructions etaient assez bonnes? II fallait repondre a ces questions; dans la deuxieme partie de son programme, la methodologique, Descartes a foumi des reponses.

302 Henk J. M. Bos

III. - LA GEOMETRIE: LE LIVRE I

Je vais maintenant exposer comment les questions techniques et methodologiques mentionnees ci-dessus ont determine la structure de la Geometrie. L'reuvre comprend trois livres. Descartes a foumi des titres en marge pour les subdivisions de ces livres; Ie livre I contient neuf subdivisions, Ie livre II dix-neuf, Ie livre III trente­deux. Au regard des themes, les livres peuvent etre decoupes en un plus petit nombre de sections. l' ai donne cette division dans Ie tableau ci-apres; c'est moi qui ai caracterise les contenus.

Le livre I, que je vais traiter rapidement, peut se caracteriser comme une technique algebrique dans Ie cas ou les problemes peuvent etre resolus a la regIe et au compas, cas qui ne souleve pas de difficultes methodologiques. Descartes montre d'abord (I-A, voir tabl. I) comment les operations de l' arithmetique, addition, soustraction, multiplication, division et extraction de racines carrees peuvent s'interpreter en geo­metrie. II explique ensuite (I-B) comment Ie geometre aux prises avec un probleme devrait utiliser cette interpretation et en deduire une equa­tion algebrique. La solution de cette equation foumira la solution du probleme. Usuellement, comme dans Ie cas du probleme de Clavius, ce sera une equation a une inconnue. Et pour Ies cas auxquels Descartes se limite dans Ie premier livre, cette equation sera du premier ou du second degre. Descartes explique comment I' on peut construire les racines d'une telle equation a Ia regIe et au compas, foumissant ainsi la solution geometrique du probleme original, c'est-a-dire la construc­tion. II est interessant de noter que si I' on applique convenablement Ia methode de Descartes au probleme de Clavius, on obtient precisement la construction don nee par Clavius (12).

(12) Se rapporter aux fig. 2 et 6. II faut d'abord indiquer les segments donnt~s et inconnus; on appelle donc les segments donnt~s CA = b. CB = a, AB = c, FD = p. CF = q. et les segments inconnus CI = z et CK = u. II faut ensuite traduire en equations les relations donnees et cherchees. Les triangles semblables CKI et FDI donnent pz = u( q+z). La division

en parties egales conduit a uz = ! ba. L'elimination de u entre ces deux equations conduit 2

1 1 - ba - baq

a Z2 = ~ + 2 __ . Descartes donne (La Geometrie, EO. 302-303; AT, VI, 375) une p p

construction standard pour les racines de I'equation Z2 = Fz + G 2 ; cette construction est en

fait exactement celIe de l'item 4 de la construction de Clavius avec RM = ! F et RO = G. 2

La structure de fa Geometrie de Descartes 303

Tableau 1. - La structure de la Geometrie.

Livre I : Analyse des problemes plans

I-A EO, 297-300; L'interpretation geometrique des operations de I' arith- AT, VI, 369-371 metique

I-B Problemes, equations, construction de problemes plans

I-C Le probleme de Pappus; formation de I' equation; cas ou Ie probleme est plan

Livre II : Acceptabilite des courbes

II-A Les courbes acceptabIes, leur classification

II-B Suite du probleme de Pappus, solution dans Je cas de 3 ou 4 lignes, lieux plans et solides, cas Ie plus simple du probleme a cinq lignes

EO, 300-304; AT, VI, 372-376

EO, 304-315; AT, VI, 377-387

EO, 315-323; AT, VI, 388-396

EO, 323-339; AT, VI, 396-411

JI-C EO , 339-341; Acceptabilite de la construction des courbes point par AT, VI, 411-412 point et construction par cordes

II-D EO, 34] -352; Les equations de courbes, leur usage pour trouver les AT, VI, 412-424 normales

II-E EO, 352-368; Les ovales pour l' optique AT, VI, 424-440

II-F EO, 297-300; Les courbes sur les surfaces non planes AT, VI, 369-372

Livre III : Simplicite des courbes et des constructions

III-A EO, 369-371 ; L' acceptabilite des courbes dans les constructions, la AT, VI, 442-444 simplicite

III-B Les equations et leurs racines

IlI-C La reduction des equations

III-D La construction des racines des equations du troisieme et quatrieme degres, les problemes solides

EO, 371-380; AT, VI, 444-454

EO, 380-389; AT, VI, 454-464

EO, 389-402; AT, VI, 464-476

III-E EO, 402-413; La construction des racines des equations du cinquieme AT, VI, 476-485 et sixieme degres, les problemes « supersolides »

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Le probleme implique parfois un degre de liberte. Dans ce cas, I' equation qui en resulte a deux inconnues; la solution est un lieu ou une courbe. A ce type appartient Ie fameux probleme de Pappus (13) que Descartes utilise dans les deux premiers livres pour illustrer ses methodes et ses idees. Dans la derniere partie du livre I (I-C) Descartes commence sa discussion de ee probleme. lei son probleme primordial n' est pas Ie lieu en tant que eourbe, mais la eonstructibilite des points du lieu. II determine en particulier dans quels cas ces points peuvent etre construits a la regIe et au compas.

IV. - METHODOLOGIE

Je dois maintenant revenir a la question methodologique qui determine la structure des livres II et III. La question etait: comment construire quand regIe et eompas ne peuvent pas faire Ie travail? La premiere chose a noter est que I' algebre ne fournit pas la reponse. Si nous appliquons I' algebre a un probleme geometrique, la situation est en general eelle-ci : on donne une configuration; on demande de trouver un point ou un segment dans cette configuration.

Done, afin d'utiliser cette construction standard, Ie geometre cartesien doit construire les

1 1 -ba -baq

segments de droite F = ~ et G 2 = _2 - = F q, soit G = ffq. Cela est realise par les p p

constructions pour la multiplication. la division et I' extraction des racines carrees que Descartes a expliquees dans les premieres pages de son livre (La Geometrie. EO, 297-298; AT, VI, 370-371). Si ron realise ces constructions (en prenant p comme segment unite sur Ia droite), on obtient precisement les points 2 et 3 de la construction de Clavius. ( En fait, Descartes prend un segment unite arbitraire; si l' on prend cette unite differenle de p. la construction devient plus compliquee que celle de Clavius, bien qu'elle conduise au me me resultat.)

(13) Le probleme est Ie suivant: soient n droites L j donnees dans Ie plan, ainsi que n angles <Pi et un segment constant a. En tout point P du plan, on definit les distances obliques d j aux droites: ce sont les longueurs des segments traces de P vers L; faisant avec L; I'angle <p;' On demande de trouver Ie lieu du point P tel qu'une certaine proportion entre les d;. qui depend aussi du nombre de droites, soit constante. Les proportions sont respectivement:

pour trois droites: d~: d~j pour quatre droites : d Jd 2 : d~4

pour cinq droites : dJd~j: ad~5 pour six droites : d 1d2d j : d4d~6' etc ...

La structure de fa Geometrie de Descartes 305

C'est-a-dire qu'it y a une longueur, encore inconnue, et on nous demande de construire un segment qui a cette longueur. Nous appe­Ions la longueur x, et nous formons une equation en x. II nous faut alors trouver la ou les racines de cette equation. Dans certains cas, l' algebre donne une formule qui exprime les racines en fonction des coefficients. Mais si Ie degre de I' equation est superieur a quatre, il n' y a en general pas de telle formuIe, et l' algebre ne nous aide donc pas. Si Ie degre est trois ou quatre, il y a des formuies gene­rales, mais elles sont tres compliquees, et pis encore, comprennent des racines cubiques. On ne peut pas construire les racines cubiques a la regIe et au compas, et donc si nous voulons construire la solution - et nous Ie voulons parce que nous faisons de Ia geome­trie - il nous reste a trouver comment construire les racines cubi­ques. Si Ie degre est un ou deux, Ie cas ne pose pas probleme; on peut trouver une construction de la racine a la regIe et au compas et c'est bien ce que Descartes a explique dans Ie livre I, oft il n'y avait pas de difficultes methodoIogiques.

Ainsi l'algebre n'offre pas de constructions. Je souhaite insister sur ce point. Trop sou vent, je pense, on voit I' application faite par Descartes de I' aigebre a la geometrie comme une astuce brillante pour se debarrasser du fatras des lourdes methodes anterieures en appliquant simplement l'algebre. C'est oublier que l'algebre ne faisait que Ie moitie du travail, c'est-a-dire I'analyse. II restait a faire la construction geometrique, et la, l'algebre n'offrait ni aide ni direction. Cette remarque est en fait la clef de rna fa~on de comprendre la structure de la Geometrie (14), elle souligne l'impor­tance des questions methodologiques auxquelles Descartes devait repondre.

Descartes n'etait evidemment pas Ie premier a se demander comment executer une construction qui depassait les possibilites de la regie et du compas. En verite, on avait discute de cette question des les debuts de la geometrie deductive classique. La difficulte provenait de ce que les geometres n' avaient pas obtenu une com­munis opinio sur Ie sujet. II y avait trois approches alternatives a l'epoque de Descartes. La premiere etait d'ajouter d'autres instruments

(14) II est significatif que Ie meme probleme marque l'endroit ou s'interrompent les Regulre ad directionem ingenii (AT, X, 351-469), inachevees, compo sees vers 1628, c'est-a­dire precisement au point ou Descartes aurait dO retraduire Ie resultat de I' analyse algebrique, c' est-a.-dire l' equation, en construction geometrique. II semble qu' aux environs de 1628, Descartes ne pouvait pas encore Ie faire.

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a la regIe et au compas, et la deuxieme d' utiliser des courbes autres que les cercies et les droites. Ces deux possibilites etaient etroite­ment liees, car Ies instruments auraient trace des courbes, de meme que Ie compas et la regIe tracent des cercles et des droites. Une troisieme alternative etait simplement de postuler, sans plus d'expli­cation, que certaines constructions usuelles de plus haut niveau etaient possibles. Cette approche constituait en fait une extension de la maniere dont les constructions euclidiennes etaient fondees sur les trois premiers postulats des Elements (15).

Descartes fit son choix. 11 choisit la construction par les courbes; c'est-a-dire qu'il accepta les constructions par Iesquelles les points sont trouves en tra~ant une courbe et en la coupant par une droite, un cercle, ou une autre courbe. Ce choix, crucial pour Ie programme methodologique de Descartes et pour la structure du livre, condui­sait a deux autres questions.

La premiere question etait : queUes courbes a-t-on Ie droit d'uti­liser dans les constructions? Certainement pas n' importe queUe courbe. 11 y a en particulier deux courbes que Descartes ne pouvait pas accepter comme moyen de construction. Ce sont la Spirale et Ia Quadratrice. Les geometres s'etaient aper~us que si l'on donne une spirale ou une quadratrice, plusieurs problemes, meme les plus difficiles, se construisaient simplement. Peut-etre trop simplement. En utilisant Ia spirale ou la quadratrice, Ia trisection de I' angle (non effectuable a Ia regIe et au compas) serait aussi simple que Ia bissection (constructible a la regIe et au compas). En fait, la divi­sion d'un angle en n'importe quel nombre de parties egales serait chose simple (16). Cela mettait mal a l'aise certains geometres : il etait clair que si l'on acceptait des constructions comme celles utilisant la quadratrice, Ie jeu perdrait de son interet. Descartes voulait exclure ces courbes. II lui fallait donc formuler des criteres d'acceptabilite; i1 lui fallait fixer une delimitation entre les courbes geometriques et non-geometriques.

(15) Notamment F. Viete. qui a demande, dans son Supplementum geometrire (Tours, 1593), I'introduction d'un nouveau postulat pour «supplementer» la geometrie et rendre constructibles des problemes comme Ia duplication du cube ou la trisection de l' angle. II postulait la possibilite de la construction appelee neusis, deja Iargement utilisee dans la geometrie grecque. Dans une construction neusis. un segment de longueur donnee est place entre deux droites ou cercles donnes, de sorte que Ie segment (ou son prolongement) passe par un point donne.

(16) La quadratrice (voir la figure) est Ia courbe AD. contenue dans Ie quadrant OAC, qui est decrite par I'intersection I d'une ligne horizontale et d'un rayon, si ces deux droites

La structure de la Geometrie de Descartes 307

La seconde question se rapportait it la «faute» mentionnee ci­dessus. II fallait effectuer la construction geometrique avec les moyens les plus simples possibles. Cela signifiait evidemment que les courbes utilisees dans Ia construction devaient etre aussi simples que possible, mais quand une courbe est-elle simple? II y avait ici trop de choix it faire; il fallait formuler des « criteres de simplicite ».

Nous voyons ainsi que son programme de construction aI' aide de courbes conduisait naturellement Descartes it deux nouvelles ques­tions. Ces questions caracterisent les livres restants de la Geometrie; Ie livre II traite de l' acceptabilite et Ie livre III de la simplicite.

V. -- ACCEPTABILITE ET DELIMITATION: LE LIVRE II

Quel est Ie critere que choisit Descartes pour I' acceptabilite des courbes? Dans la premiere section du deuxieme livre (II-A), i1

se deplacent uniformement dans Ie meme intervalle de temps, de la position AB a la position OC pour Ia ligne horizontale, et de Ia position OA a Ia position oe pour Ie rayon. Il en resulte que pour tout point I de la quadratrice, angle COl: angle eOA = OK : OA.

A B

l(~----------~~------~

o D c Ainsi, une quadratrice etant donm!e, un angle arbitraire COl peut etre divise en 2, 3 ou

n'importe quel nombre de parties egales en divisant Ie segment OK en autant de parties egaies (ce qui peut se faire a la regIe et au compas) et en tra~ant des horizontales par les points de division. Ces horizontales coupent la quadratrice aux points J; les rayons OJ divisent I'angle donne, comme demande.

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explique que les courbes acceptables sont celles qui sont tracees par des combinaisons de mouvements acceptables :

« Et, considerant la geometrie comme une science qui enseigne gene­ralement a connaitre la mesure de tous les corps, on n' en doit pas plus exclure les lignes les plus composees que les plus simples, pourvu qu'on puisse les imaginer decrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui se sui vent et dont les demiers soient entierement regles par ceux qui les precedent; car par ce moyen, on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure (17). »

Les mouvements sont acceptables s' ils sont continus. Les com­binaisons de mouvements sont acceptables si un premier mouve­ment determine completement tous les mouvements qui Ie sui vent. Descartes decrit divers exemples. Je vais en expliquer un (18).

Descartes considere (fig. 7) une parabole ABC, qui constitue, ainsi qu' il I' a deja explique, une courbe acceptable. Cette parabole

Parabole cartesienne

F

Figure 7

(17) La Geometrie, EO, 316; AT, VI, 389-390.

G' , ;

, , -,..--- ------- -

(18) Ibid., EO, 335-338; AT, VI, 407-410. O'autres exemples se trouvent a EO, 317-323; AT, VI, 390-396.

La structure de La Geometrie de Descartes 309

se deplace verticalement et entraine avec elle Ie point P. II y a aussi une regIe qui relie un point fixe D et Ie point mobile P. Si Ia parabole se deplace, la regIe suit; son mouvement est determine par celui de Ia parabole. Les mouvements combines de la regIe et de la parabole determinent it leur tour celui des points d' intersection I; au cours de ce mouvement~ les intersections decrivent une nouvelle courbe DEFGH. Cette nouvelle courbe, d'apres Descartes, est tracee par une combinaison acceptable de mouvements. C' est en fait la courbe qui sera appelee plus tard Ia «Parabole cartesienne »; elle joue un role important dans la Geometrie. Nous la retrouverons plus loin.

Pourquoi Descartes a-t-il choisi Ie critere des mouvements pour I' acceptabilite? A nos yeux de modernes, cela ne semble ni tres clair ni tres convaincant. Mais, si nous nous souvenons des vues de Descartes sur Ia certitude mathematique telles qu'il les exprime dans les Regulre (19) (env. 1628), nous pouvons comprendre son choix: il aurait soutenu que I' esprit a une intuition claire et dis­tincte de ce type de mouvement, et que les combinaisons de mou­vements sont un cas OU la deduction, au sens d'une sequence ordonnee d'intuitions successives, peut conserver la certitude des premiers mouvements tout au long de la suite des mouvements enchaines jusqu' au dernier. De fait, si nous cherchons dans la Geo­metrie les « longues chaines de raisons » mentionnees dans Ie Dis­cours, nous ne les trouvons pas dans la deduction logique de I' axiome au theoreme, mais dans les chaines de mouvements que combine Ie trace des courbes acceptables dans les constructions geometriques.

Ainsi, Ie critere du mouvement etait-il un choix nature!' Mais il n'etait pas facile it utiliser dans son travail, car il laissait beaucoup de questions sans reponse. Par exemple, Ie critere excluait-il la spirale et la quadratice? Peut-on vraiment tracer ainsi toutes les courbes que l' on voudrait inclure? II y a bien d~ autres fa~ons de tracer ou de construire des courbes : point par point, avec des ins­truments, avec des cordes, etc. QueUe est leur relation avec Ie critere du mouvement? Et finalement, il reste une question cruciale sur Ie plan methodologique : comment definir la simplicite? Peut-on

(19) Notamment les regles 3 et 5-7 (AT, X. 336-370, 379-393); cf. aussi Ian Hacking. Proof and eternal truths: Descartes and Leibniz. Stephen Gaukroger (ed.), op. cit. in n.2. 169-180.

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d6finir la simplicite des courbes par la simplicite des mouvements qui les decrivent?

Descartes a longuement traite tous ces points et il est parvenu A la position finale suivante : les courbes acceptables sont precisement celles qui ont des equations algebriques, c ~ est-A-dire des equations comportant seulement addition, soustraction, multiplication, division et racines. Plus tard au cours du xvne siecle, on a nomme ces courbes « courbes geometriques ».

A premiere vue, ce resultat est pour Ie moins etrange; en effet, pourquoi Ie critere du mouvement cOlnciderait-il precisement avec I' alg6bricite? Je ne peux pas entrer dans les details ici (20); conten­tons-nous de dire que Descartes a pris ce point tres au serieux; il n'a pas simplement mis en equivalence l'algebrique et Ie geome­trique. Ses arguments n' etaient toutefois pas totalement concluants ni convaincants, et tres peu de gens apres lui se sont preoccupes de ce sujet. La plupart des successeurs de Descartes ont pris la conclu­sion pour un dogme et n' ont pas reflechi A la relation entre accep­tabilite du mouvement et algebricite de la courbe.

La plupart des arguments sur la delimitation et I' acceptabilite se trouvent au debut du livre II, surtout dans les sections II-A, qui traite des mouvements acceptables, et II-C, qui traite de l'accepta­bilite des autres moyens de construire les courbes (point par point, et avec des cordes). Dans la section II-B, Descartes a complete la resolution du probleme de Pappus, puisqu'il pouvait desormais etudier les courbes qui apparaissaient comme solutions A ce pro­bleme (21).

La section II-D traite de la determination des normales A une courbe (c' est-A-dire les droites qui coupent une courbe A angle droit). Cette section a eu beaucoup d'influence dans l'histoire des methodes infinitesimales. Toutefois, elle est un peu marginale par

(20) Les arguments de Descartes a ce propos apparaissent a divers endroits de La Geo­metrie, un important passage se trouve a EO, 319; AT, VI, 392. r ai n!uni et analyse les affirmations et les arguments a ce sujet dans mon article On the representation of Curves ...• op. cit. in n. 2, 323-325.

(21) La section II-B contient en fait une solution complete au probleme de Pappus a quatre lignes; Descartes prouve que Ie lieu est dans ce cas une section conique. II explique comment on peut construire la conique dans tous les cas (par des constructions expliquees dans Ie traite des coniques d' Appollonius). Descartes tTaite aussi Ie probleme a cinq lignes dans deux cas particuliers. voir mon Descartes, Pappus' Problem and the Cartesian parabola, a conjecture. in Peter Harman et Allan Shapiro (ed.), sAn investigation of difficult things (Festschrift for D. T. Whiteside) (Cambridge: CUP, 1992), 71-96.

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rapport au probleme de la structure de la Geometrie. Les sections suivantes, sur certains ovales qui donnent des formes interessantes en optique pour les lentilles (II-E), et une tres breve remarque (II-F) sur la geometrie tridimensionnelle, semblent egalement marginales par rapport a la structure generale du livre.

VI. - SIMPLICITE DES COURBES ET CONSTRUCTION: LE LIVRE III

l' en arrive maintenant au livre lIt dont la structure est deter­minee par la question de la simplicite. l' ai mentionne plus haut Ia « faute » que Descartes enjoint aux geometres d'eviter, rerreur qui consiste aussi bien a construire un probleme avec des moyens trop compliques, qu' a essayer vainement de Ie construire avec des moyens plus simples que ceux qu' il requiert. Simplicite est Ie mot­clef ici, et puisque les constructions de geometrie cartesienne sont effectuees au moyen de courbes, il devrait y avoir un critere pour determiner queUes sont les courbes simples, et quand une courbe est plus simple qu'une autre. Descartes a fourni un tel critere : une courbe est plus simple du moment que Ie degre de son equation est plus bas. Les courbes du second degre (sections coniques) sont donc plus simples que celles du troisieme degre (comme la Parabole cartesienne), etc. (22).

Le choix de ce critere n'etait pas evident, et Descartes en etait con scient. En fait, dans la section III-A, ou Descartes traitait de la simplicite des courbes, il avait d'abord mentionne un autre critere de simplicite, qui est la simplicite du mouvement tra~ant. C' etait un critere plus adapte, puisqu' apres tout Descartes acceptait les courbes seulement si elles etaient tracees par un mouvement accep­table. Mais Descartes Ie rejeta en faveur du critere algebrique. II est vraisembiable qu'il n'arrivait pas a formuler un critere de sim­plicite du tra~age des courbes qui s' applique de fa~on generale. Le fait de choisir Ie degre algebrique comme critere de simplicite Ie conduisit a une certaine inconsistance; Ie degre n' etait pas a pre­miere vue un critere geometrique. Mais Ie critere avait l'avantage d'etre clair, et finalement, on pouvait regler completement Ie travail

(22) La Geometrie, EO, 371; AT, VI, 443-444.

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de construction autre qu' a. la regIe et au compas, et formuler avec precision les indispensables regles qui depassaient Ie simple fait d' etre mathematiquement correct. Le resuitat fut un ensemble bien net de regles canoniques pour traiter les problemes geometriques :

1. Quand un geometre etait confronte a. un probleme, il devait d' abord Ie traduire en son equivalent algebrique, c' est-a.-dire une equation.

2. Si l'equation avait une inconnue, Ie probleme etait un probleme de construction normale. Pour avoir la construction la plus simple, Ie geometre devait s' assurer que I' equation avait Ie plus bas degre possible; c'est-a.-dire verifier si I'equation etait reduc­tible, et si oui, la reduire pour en arriver a une equation irreduc­tible.

3. Dne fois convaincu que l'equation etait irreductible, il devait la reecrire sous une certaine forme standard.

4. II pouvait alors lire dans Ie livre III la construction standard des racines de cette equation, et aboutir par ce moyen a la solution geometrique du probleme, c' est-a.-dire une construction.

5. Si l'equation contenait deux inconnues, cela signifiait que les solutions formaient un lieu. Dans ce cas, Ie geometre pouvait construire des points du lieu en choisissant une valeur arbitraire pour l'une des inconnues, et traiter l'equation (a une seule inconnue) qui en resuitait selon les regles 2 a. 4.

Par la methode du 5, Ie lieu etait construit «point par point »,

c'est-a.-dire que I'on pouvait en construire un nombre arbitraire de points. Dans la section II-B, Descartes a montre comment, dans Ie cas des equations du second degre, qui se presentaient comme solu­tions dans un cas particulier du probleme de Pappus (appele Ie probleme a. quatre droites), les lieux, qui sont dans ce cas des coniques, pouvaient etre construits en tant que courbes. II n'a tou­tefois pas explique de procedures analogues pour les courbes de plus haut degree Dans la section II-D, il a affirme que l'equation d'une courbe impliquait toutes ses proprietes, mais il n'a pas donne de regles generales pour deduire ces proprietes de I' equation; il a seulement traite de la determination des normales a la courbe.

Ces regles canoniques, surtout les numeros 2 a. 4, determinent la structure du livre III. Apres la breve section (III-A) sur I'accepta­bilite et la simplicite des courhes utilisees dans les constructions, une grande partie (III-B, C) est consacree a. la theorie des equations

La structure de fa Geometrie de Descartes 313

et a leurs racines. A premIere vue, comme je I' ai mentionne plus haut, cette theorie semble totalement etrangere a la geometrie. Mais en fait elle ne I' est pas. Tous les themes traites dans cette partie se referent soit a la reductibilite d'une equation, soit a sa transforma­tion sous forme standard; ces elements sont tous deux des ingre­dients indispensables au programme (23).

Apres cela, Ie reste du livre (lII-D, E) donne la conclusion natu­relle de I' ensemble du travail: les constructions standard des racines des equations. Descartes a d' abord traite les equations de degre 3 et 4; il donne pour celles-ci une construction standard par

(23) Pour etre plus precis: les sections III-B, C contiennent 21 sous-sections pour Ies­queUes Descartes donne en marge des titres separt!s. Elles ont presque toutes des objectifs en relation avec Ia construction. Ces objectifs sont : [I] la reduction de I' equation (pour eviter la «faute» de la construction par des moyens inappropries) et (2] la transformation de r equation, principalement par Ia substitution x ~ x + a, pour la mettre sous forme standard. Pour les equations des troisieme et quatrieme degres, [2.11 cette forme standard est une equation du quatrieme degre dans IaqueJIe Ie coefficient de x J est zero (Descartes donne Ia construction des racines de cette equation standard en III-D, La Geometrie, EO, 389-395 ~ AT, VI, 463-469; la construction utilise I'intersection d'une parabole et d'un cercle). Pour les equations des cinquieme et sixieme degres [2.2] la forme standard est une equation du sixieme degre dans laquelle les coefficients sont alternativement positifs et negatifs (la construction de ses racines, par intersection de Ia parabole cartesienne et d'un cercle, est don nee en I1I-E, La Geometrie, EO. 402-411; AT, VI, 476-484). Pour indiquer les effets de ces objectifs sur la theorie des equations chez Descartes. je dresse la liste ([a], [b}, ... ) des sujets des sous-sections de III-B, C, et j'indique entre crochets comment ils sont relies a I'un des objectifs [1], [2.1] et [2.2] :

[a] Nombre de racines d'une equation (preliminaire); [b] racines negatives (preliminaire); [c] abaissement du degre d'une equation par division par (x - xo) ([1]); [d] examiner si Xo est racine ([ 1] via [c]); [e1 nombre de racines positives d'une equation, « regIe des signes» ([2.2] via [j]); [f] transformation par x ~ - x (preliminaire it [g]); [g] transformation x ~ x + a ([2]); [h] effet de Ia transformation sur les racines negatives ([2.2]); [il pour eniever Ie second terme ([2.1]); U1 utilisation de x ~ x + a pour rendre positives toutes les racines reelles ([2.2]); [k] idem pour rendre tous les coefficients differents de zero ([2.2]); [1] transformation x ~ ex ou x ~ xle (simplifier les coefficients, ce qui est utile pour

simplifier les constructions); [m] eliminer les fractions dans les coefficients (idem); [n] rendre un coefficient egal a une valeur don nee (objectif peu clair); [0] racines reelles et imaginaires ([2.2] via [j]); [p] reductibilite des equations cubiques ([ 1 D; [q] division par x - Xo ([I]); [r] irreductibilite des equations cubiques ([1]); [s] reductibilite et irreductibilite des equations bicarrees ([ I]); [t] exemple ([1]); [u] methode generale pour tester la reductibilite ([ I]).

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intersection d'une parabole et d'un cercle, la combinaison de courbes les plus simples dans ce cas. II passe aux degres 5 et 6 et presente une construction par intersection de la «parabole cartesienne» et d'un cercle. Puis il pretend que Ie principe devrait etre clair et il laisse au lecteur les degres superieurs - une attitude optimiste; Descartes a certainement sous-estime les difficultes du « et cetera» (24).

VII. - AU-DELA. DE LA STRUCTURE

Nous avons vu que Descartes avait adopte une vision particuliere de la geometrie, tout a fait courante a son epoque, mais peu fami­liere de nos jours. II a accepte les consequences de ce point de vue, a la fois sur Ie plan technique et sur Ie plan methodologique. L' approche qui en a resulte a largement determine la structure de la Geometrie. II reste, bien sur, beaucoup de questions. J'en effleu­rerai brievement deux: a-t-il reussi dans son programme et qu'y a­t-il au-dela de la structure?

Cote technique, Ie succes de la Geometrie fut immediat et durable. L' utilisation de I' algebre se revela un outil des plus puissants, et les mathematiciens s' en emparerent rapidement, avidement, et avec grand profit. Mais qu'en fut-il du cote methodologique? Comment furent r~us les principaux elements de la position metbodologique de Descartes? C' est-a-dire la delimitation de la geometrie, Ie critere de simplicite. et la construction geometrique des racines des equations? La delimitation entre courbes geometriques et non geometriques fut peu debattue et perdit rapidement son principal argument de defense. Le rejet par Des­cartes des mouvements qui produisaient la quadratrice ou la spirale etait fonde sur sa conviction que I' on ne pouvait pas trouver exactement la longueur des courbes algebriques. La decouverte, peu apres, des pre­mieres rectifications de courbes algebriques vint saper cette opinion (25).

(24) La construction geometrique des racines des equations de degre plus eleve devint une partie de la theorie appelee «construction des equations », voir mes Arguments"" op. cit. in n. 2.

(25) Van Heuraet, Fermat, et Neil trouverent independamment de telles rectifications autour de 1658. Cf. Margaret E. Baron, The Origins of infinitesimal calculus (Oxford: Pergamon, 1969), 223-228.

La structure de la Geometrie de Descartes 315

Descartes soutenait que les courbes geometriques acceptables sont precisement celles qui ont des equations algebriques. II a donne quelques exemples de calcul d' equations de courbes decrites par des mouvements acceptables (26); d'apres ces exemples, il etait evident que les courbes tracees par de tels mouvements admettaient des equations algebriques. Mais dans I'autre sens, la question n'est pas si facile. Toute courbe definie par une equation algebrique peut-elle etre tracee par une combinaison de mouvements telle que Descartes l' envisageait? C' est de fait possible, comme on l' a prouve au XIXe siecle (27), mais les arguments de Descartes sont ici vagues et peu convaincants (28). Peu de gens s'interessaient au sujet, de toutes fa~ons; les successeurs de Descartes accepterent comme un dogme que les courbes geometriques sont precisement les courbes algebriques. Le critere de Descartes pour la simplicite des courbes, c' est-a.-dire Ie degre algebrique, fut moins facilement accepte. Plu­sieurs mathematiciens Ie critiquerent et essayerent de lui en substi­tuer un autre, plus directement geometrique. Toutefois, on n'a pas trouve d'autre critere utili sable (29). Comme nous I'avons vu, la contrepartie cruciale de l'utilisation par Descartes de l' algebre comme outil d'analyse etait la construction geometrique des racines. Ces constructions susciterent un interet considerable chez les mathematiciens; il emergea meme une discipline autonome, appelee la « construction des equations »; dans cette discipline, on etudiait des variantes des constructions donnees par Descartes et on deve­loppait des methodes pour les etendre au-dela des equations du sixieme degre, la ou Descartes s' etait arrete. Ce fut une discipline active pendant quelque temps, puis, durant la premiere moitie du XVIIIe siecle, I' interet s' estompa et la theorie mourut sans avoir fourni de solution satisfaisante au probleme general de la construc­tion des racines des equations (30).

Ainsi, les facteurs qui ont determine la structure de la Geometrie, en particulier les choix methodologiques de Descartes, ont eu tres

(26) En particulier I'hyperbole : La Geometrie, EO, 322; AT, VI. 394-395, et la parabole cartesienne, ibid., 337; AT, VI, 408-409.

(27) A. B. Kempe, On a general method of describing plane curves of the n-th degree by linkwork, Proceedings of the London mathematical Society, 7 (1876), 213-216.

(28) Pour une analyse des arguments de Descartes, voir mon article On the representation of Curves .... op. cit. in n. 2, 323-324.

(29) Cf. mon Arguments ... , op. cit. in n. 2, 355-371. (30) SUT cette theorie, cf. mon Arguments ... , op. cit. in n. 2.

316 Henk J. M. Bos

peu d~influence sur les mathematiques ulterieures. Le livre exer~a son influence, pour ainsi dire, en depit de sa structure. Dans cette derniere~ Ie livre de Descartes n~etait pas modeme; il s'adaptait it la vision de son epoque de la geometrie. Mais cette vision fut bientot depassee, surtout, assez curieusement, comme Ie resultat de l'influence de la Geometrie elle-meme.

Dans ces conditions, quelles furent les idees vraiment influentes de la Geometrie? Avant tout, il y avait certainement la relation entre courbe et equation, l'idee clef de la geometrie analytique (31). Bien que cette idee se soit revelee tres fructueuse, elle n' a pas une place predominante dans la structure de la Geometrie. Ensuite, il y avait la methode de la racine double pour la determination des normales (et tangentes) aux courbes (II-D). Dans Ie livre, c'est un theme tout it fait marginal, mais dans l'histoire ulterieure des methodes infini­tesimales, cette idee devait avoir beaucoup d'influence. La troisieme des parties les plus influentes de la Geometrie fut la theorie des equations et de leurs racines (III-B, C). Cette theorie est adaptee it la structure: elle aide Ie geometre it eviter la «faute» de la construction inappropriee. Ce contexte fut vite abandonne, mais la theorie elle-meme suscita beaucoup d'interet et fut developpee ensuite. En resume, on pourrait dire que les elements durables du livre ont brave sa structure et ont vole de leurs propres ailes.

Que dire de Descartes lui-meme? S'est-il senti contraint par la structure qu'il avait choisie? Je pense, etant donne l'etat des mathe­matiques it l'epoque et la conscience qu'avait Descartes des ques­tions philosophiques que posait la geometrie, que la structure s' est plus ou moins imposee it lui. Mais, en lisant la Geometrie, on a l'impression que Descartes se sent parfois excede par les objectifs et limitations du livre qu'il se trouve en train d'ecrire. II y a quel­ques expressions d'ennui et d'irritation (<< Et je tacherai d'en mettre la demonstration en peu de mots, car il m'ennuie deja d'en tant ecrire (32) » qui semblent refleter sa frustration d' avoir it expliquer des details sans interet. II faut aussi noter que Ie sujet auquel Des­cartes accordait Ie plus de valeur dans la Geometrie tombait en fait en dehors de la structure. lIs' agit de la determination des normales aux courbes par la methode de la racine doub1e (II-D), au sujet de laquelle il ecrit :

(31) La Geometrie. EO. 341; AT, VI, 412-413. (32) Ibid., EO. 309; AT, VI. 382.

La structure de fa Geometrie de Descartes 317

«Et j'ose dire que c'est ceci Ie probleme Ie plus utile, et Ie plus general, non seulement que je sache, mais meme que j' aie jamais desire savoir en Geometrie (33). »

Peut-etre pouvons-nous dire que la Muse de l'algebre essayait d' attirer Descartes loin de son attachement au cadre traditionnel de la geometrie - et qu'elle y parvint parfois.

VIII. - CONCLUSION

l' ai touche a beaucoup de choses, et j' ai dO sou vent omettre d'importants details et explications. Je ne veux pas laisser Ie lecteur sur l'impression que la structure de Ia Geometrie est tres clairement dessinee. Toute la question des courbes acceptabIes, par exemple, est tres compliquee, de meme que Ie role des courbes dans la theorie, parce qu' elles apparaissent non seulement comme moyens de construction, mais aussi comme objets d'etude et comme solu­tions de problemes. De meme, la question de savoir jusqu'ou l' algebre a guide (plutot que servi) l' approche de la geometrie par Descartes, demande un examen plus attentif.

En conclusion, disons avant tout que la Geometrie est un grand livre. Une large part de son contenu s'est revelee importante et exen;a de l'influence, en depit de la structure restrictive du livre. Dans cet article, je me suis centre sur les aspects de structure et sur ceux des contenus du livre qui n'ont pas survecu. 1'ai fait ce choix parce que ces aspects de la Geometrie sont historiquement interessants et essentiels pour comprendre Ie Ii vre dans son ensemble. Je crois aussi qu'en etudiant la structure de la Geometrie et en interpretant les reponses que donne Descartes a de difficiles questions methodologiques en geometrie, nous pouvons apprecier l'reuvre d'un grand esprit. En depit de l'absence de succes final, Ie traitement par Descartes de ces questions representa une reussite intellectuelle exceptionnelle.

(33) Ibid .• EO, 342; AT. VI, 413.

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