Luis Camacho

La paradoja de Lewis Carroll enDouglas R. Hofstadter

Summary: Hofstadter's explanation of theorigin of Carroll's paradox as an infinite regres-sion is analyzed by focusing on the need for evi-dence, as opposed to what Hofstadter calls "faith. "

Resumen: se analiza la explicación que daHofstadter de ·la paradoja de Carroll como uncaso de regresión infinita centrándonos en la ne-cesidad de la evidencia, y no de lo que Hofstad-ter llama "fe".

l. El diálogo de Lewis Carroll "Lo que latortuga dijo a Aquiles" apareció publicado en1895 en el número 4 de la revista Mind, páginas278-280. Se trata, pues, de una publicación tardíadel autor, quien murió tres años después. Tam-bién es un diálogo muy corto, de apenas tres pá-ginas. Aparece reproducido en las páginas 43-45de la obra de Douglas R. Hofstadter Godel, Es-cher; Bach: An Etemal Golden Braid (New York:Vintage Books, 1980). Es de notar que en la por-tada de este libro, aunque no en la página del tí-tulo, aparece un subtítulo que dice: "A Metapho-rical Fugue on Minds and Machines in the Spiritof Lewis Carroll", El diálogo de Carroll planteala paradoja de la regresión al infinito en el casode la inferencia, lo que a su vez permite a Hofs-tadter plantear la siguiente pregunta: ¿siguen re-glas formales las palabras y los pensamientos, ono? Y añade Hofstadter: este problema es el pro-blema de este libro?

2. El diálogo de Carroll tiene lugar entre losdos personajes de la paradoja de Zenón de Elea,

Aquiles y la tortuga. Cada uno ha sido escogidopor el atributo que le es proverbial y que es justa-mente contrario al del otro: Aquiles por su rapi-dez, la tortuga por su lentitud. Se supone al co-mienzo que la paradoja de Zenón ha sido resuelta,tanto en la práctica (de ahí la frase que Carroll in-cluye en latín, solvitur ambulando, se resuelve ca-minando) como en la teoría: Aquiles explica a latortuga que le ha ganado en la carrera porque lasdistancias a recorrer disminuían constantemente.

Plantea enseguida la tortuga el problema delo que habría ocurrido en caso contrario, si lasdistancias hubieran aumentado constantemente:Aquiles contesta que en tal caso no estaría allí yla tortuga habría dado varias vueltas al mundo enese mismo tiempo. De hecho esta posibilidad esesencial para lo que sigue, pues ahora la estrate-gia será la de incrementar la distancia constante-mente entre dos puntos, en este caso entre laspremisas y la conclusión de un argumento, o en-tre el antecedente y el consecuente de un condi-cional. La tortuga introduce el asunto con la pre-gunta a Aquiles de si quiere escuchar acerca deuna carrera que la gente considera se puede reco-rrer en dos o tres pasos, cuando en realidad con-siste en un número infinito de distancias, cadauna mayor que la anterior. Aquiles saca entoncesun cuaderno de apuntes, y procede a apuntar loque la tortuga le dicta.

3. Antes de formular el problema, dos ad-vertencias sobre terminología.

3.1 Carroll habla primero de argumento("argument") pero lo que hace es establecer tres

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XXXVII (93), 371-375, 1999

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proposiciones, sin incluir ninguna de las partícu-las que suelen indicar separación entre premisas yconclusión, tales como "por tanto", "por consi-guiente" o alguna otra equivalente. En el resto deldiálogo, sin embargo, no habla de argumento si-no de proposición hipotética ("Hypothetical Pro-position") o, simplemente, "hypothetical". Comoveremos más adelante al hacer la simbolizaciónformal, lo lógico sería que Aquiles se refiera alconjunto de proposiciones como argumento y latortuga a ese mismo conjunto como proposiciónhipotética o condicional, pues de hecho Aquilesaplica reglas de inferencia para obtener la conclu-sión, mientras la tortuga transforma las reglas deinferencia en premisas adicionales. Sin embargolos dos términos, el de argumento y el de propo-sición hipotética, aparecen introducidos por pri-mera vez y usados por la tortuga.

3.2 En la primera página del diálogo la tor-tuga se refiere a la proposición "Things that areequal to the same are equal to each other" comoFirst Proposition de Euclides, sin duda refirién-dose a la obra ELementos. Sin embargo, esta pro-posición aparece más bien como la primera deuna lista de cinco "nociones comunes" al co-mienzo de dicha obra, inmediatamente antes delLibro 1, que justamente empieza con una prime-ra proposición, que más bien es la propuesta dehacer algo: "Sobre una línea recta finita construirun triángulo equilátero't.é También podríamostraducir esta noción común proposición primeracomo axioma.

4. El argumento difícilmente podría sermás sencillo y convincente. La tortuga dicta aAquiles un argumento tomado de Euclides, condos premisas y una conclusión, proposicionesnumeradas con las letras (A), (B) Y (Z).

(A) Cosas iguales a una misma cosa soniguales entre sí.

(B) Los dos lados de este triángulo son co-sas que son iguales a una misma cosa.

(Z) Los dos lados de este triángulo soniguales entre sí.

A continuación la tortuga sistemáticamenteplantea tres posibles actitudes respecto de este ar-gumento:

(1) Suponemos que la mayoría de las perso-nas consideran verdaderas las premisas y la con-clusión, y además consideran válida la inferenciade A y B a Z. La conclusión (Z) se sigue lógica-mente de (A) y (B), de modo que alguien queacepta las dos premisas como verdaderas debeaceptar la conclusión como verdadera. En el tex-to original se destaca la palabra "debe" (MUST).

(2) Alguien podría negarse a aceptar (A) y(B) como verdaderas y sin embargo aceptar quela secuencia es válida. Su posición se podría for-mular de la siguiente manera: "Acepto como ver-dadera la proposición hipotética "Si A Y B sonverdaderas, entonces Z es verdadera, pero noacepto que A y B sean verdaderas".

(3) Podría darse el caso de alguien queacepte A y B como verdaderas, y que sin embar-go no acepte la proposición hipotética. Su posi-ción sería:"Acepto Ay B como verdaderas, perono acepto que si Ay B entonces Z".

Nótese que el lector (1) es el caso típico dequien está de acuerdo con Aquiles. Los otros doscasos son los de quienes se niegan a aceptar el ar-gumento, y la tortuga se ubica en el último de es-tos tres casos, a saber el de quien acepta las pre-misas como verdaderas pero se niega a aceptar laconexión con la conclusión (en el caso de queveamos este conjunto de proposiciones como unargumento, tal como se dice al principio del diá-logo), o de quien acepta las proposiciones del an-tecedente como verdaderas pero se niega a acep-tar el condicional como un todo, si lo vemos co-mo una proposición hipotética, tal como se se ha-ce en el resto del diálogo.

El siguiente paso es crucial, y a mi juicioconstituye la trampa en la que Aquiles cae: segúnla tortuga, y Aquiles está de acuerdo, en los casos(1) y (2) el lector no estaría bajo la necesidad ló-gica de aceptar como verdadera la proposición Z.La tortuga pide a Aquiles que la considere en lacategoría última de los casos de no-aceptación.Una vez dado este paso, es muy fácil para la

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tortuga retar a Aquiles a que la fuerce lógicamen-te a aceptar Z como verdadera, y ésta es la claveque introduce el infinito: ahora Aquiles va a tenerque introducir cada vez premisas, por un proce-dimiento recursivo que no tiene fin. Nos basta se-ñalar los dos siguientes pasos, porque lo que si-gue es repetición de lo mismo.

Aquiles formula la proposición (C): si A yB son verdaderas, Z debe ser verdadera. Pide acontinuación a la tortuga que acepte (C) para quepueda aceptar (Z). Ahora el argumento consta detres premisas en vez de dos, y supuestamente esmás contundente: si A y B Y C son verdaderas, Zdebe ser verdadera. La tortuga responde que laproposición hipotética ahora formada es diferen-te a la anterior, pues tiene una proposición más, yque de nuevo acepta como verdaderas A, B Y C,y sin embargo sigue sin aceptar Z. Por el mismoprocedimiento la tortuga pide a Aquiles escribirun nuevo condicional con una premisa más, (D),que dice: si A, y B, YC son verdaderas, entoncesZ debe ser verdadera.

En cada caso, el condicional formado conuna nueva proposición se denomina por la letra si-guiente, que a su vez se introduce como nueva pro-posición en la siguiente versión. Así, el condicio-nal (D) dice que si A, B YC son verdaderas, Z de-be ser verdadera. El condicional siguiente es el (E),según el cual si A, B, C y D son verdaderas, Z de-be ser verdadera. q,e este modo Carroll introducedos niveles, aunque no lo mencione: si llamamosC el condicional original, que consta de las propo-siciones nombradas (A) y (B), entonces el nombredel siguiente condicional será C + 1, es decir (D) (yen general n+ 1), que a su vez incluye (C) comoparte del antecedente. La necesidad de aceptar laconclusión Z se ve en el condicional C como unarelación entre A, B YZ, mientras en D se ve comouna relación entre A, B, C y Z. Nombrar cada con-dicional nos permite verlo desde otro nivel, lo queresulta muy conveniente para Hofstadter, cuya dis-tinción entre niveles, entre argumentos y meta-ar-gumentos, entre condicionales y metacondiciona-les, entre deseos y metadeseos, etc., es constante alo largo de la obra mencionada.

En otra sección de su obra Hofstadter 3 sim-boliza las respectivas posiciones de la siguientemanera:

Aquiles: SI tienes «AAB)~Z) y tambiéntienes AAB, entonces con seguridad obtie-nes Z.Tortuga: ¡Oh! Lo que quieres decir es quetenemos ««AAB)~Z)/\(AAB»~Z), ¿no esverdad? Con esta maniobra, lo que hace latortuga es transformar la regla de inferen-cia que usa Aquiles, el bien conocido mo-dus ponens, en una parte de un sistema quecontinúa indefinidamente.

5. Antes de continuar podemos hacer algu-nas consideraciones sobre la situación de Aquiles.

5.1 La primera y más obvia es que una vezque se admite que se requiere una premisa más,no hay manera de detener el proceso infinito.Nótese que la premisa que se introduce es unameta-premisa, pues no se refiere al contenido delas otras sino a su carácter de premisas. Lo quehace es introducir una condición para la inferen-cia dentro de la inferencia misma, y esto debilitala relación entre premisas y conclusión. La nece-sidad de esta relación se diluye en vez de fortale-cerse con la introducción de la meta-premisadentro del condicional, y cada vez se diluye máscon la introducción de las premisas adicionales.Además, la meta-premisa simplemente se hacecada vez mayor al tener que incluir no solo a laspremisas iniciales sino a todas las meta-premisasposteriores.

5.2 La segunda observación tiene que vercon la diferencia entre lo formal y lo material,entre la estructura del argumento y el contenidode premisas y conclusión. La información conte-nida en las versiones sucesivamente más largassigue siendo la misma: no sabemos nada nuevosobre lados de los triángulos con la introducciónde las premisas adicionales. El argumento de Eu-clides lo podemos formular en cálculo cuantifi-cado con identidad o en cálculo proposicional yla necesidad de la conclusión en relación con laspremisas se convierte en propiedad del cálculoformal, pero no hace falta llegar hasta allí paraadmitir que la conclusión se sigue con necesidadde las premisas. Más aún, parece más convincen-te la necesidad cuando la vemos como parte de la

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argumentación concreta: hay una premisa mayorque establece que dos cosas iguales a una tercerason iguales entre sí, y luego otra menor que afir-ma que dos lados de un triángulo determinadoson iguales a un tercer lado. La conclusión esta-blece lo que nos parece obvio, a saber, que enton-ces esos dos lados son iguales entre sí.

5.3 Pero quizá el punto más importante es elsiguiente: la separación y luego confusión entreniveles se da justamente en el planteamiento e ini-cio del problema, al resumir Aquiles la posiciónde la tortuga diciendo que ésta acepta A y B, perono el condicional C, según el cual si A y B sonverdaderos Z debe ser verdadero. Es aquí mismodonde se da el problema profundo: Aquiles debíahaberse concentrado en la conexión entre A y Bcon Z, no en la relación entre A y B, por un lado,con C por otro. Podría haber preguntado por quéla tortuga rechazaba Z habiendo aceptado A y B,Ymostrar luego por una reducción al absurdo có-mo de la negación de Z y las premisas A y B se si-gue una contradicción. Dicho de otro modo, la ne-cesidad de la conexión se da entre A y B por unlado con Z por otro, no entre A y B como premi-sas y C como refonnulación del argumento. Lanecesidad es algo que se predica de la relación en-tre premisas y conclusión, no de la relación entrepremisas y meta-premisas. Pretender que la nece-sidad lógica se convierta en necesidad física me-diante recurso a metapremisas es un intento falli-do: siempre es posible que alguien físicamente seniegue a aceptar la necesidad lógica, y cuando es-to ocurre es poco lo que podemos hacer.

Podríamos utilizar otros ejemplos más cer-canos al individuo, o podríamos tratar de con ven-cerlo de que en la vida cotidiana utiliza argumen-tos de la misma estructura todo el tiempo. Pode-mos suponer que su negativa a aceptar lo obvioes simplemente maldad, y en todo caso la lógicano es una fuerza física ni psicológica que obliguea los individuos.

6. Hofstadter utiliza el diálogo de Carrollpara proponer su propio tema, a saber, el de la in-clusión o no de reglas formales en el uso de pa-labras y pensamientos. Su conclusión es que laintroducción de reglas formales en el uso mismo

de las palabras no resuelve el problema de tenerque llegar a un punto más allá del cual no pode-mos seguir probando o demostrando. Desgracia-damente llama "fe" a este punto, cuando este tér-mino más bien tiene una connotación de ausenciade pruebas o evidencia:

This tittle debate shows the difficulty of trying to uselogic and reasoning to defend themselves. At somepoint, you reach rock bottom, and there is no defenseexcept loudly shouting, "1 know I'm right!" Onceagain, we are up against the issue which Lewis Carrollso sharply set forth in his Dialogue: you can't go ondefending your pattems of reasoning forever. Therecomes a point where faith takes overo 4

¿Por qué "fe"? Podría haber dicho conven-ción, o evidencia, o certeza. Aristóteles diría quese trata de certeza personal basada en la eviden-cia objetiva, y justamente habría demostrado lanecesidad de llegar a este punto para evitar la re-gresión al infinito. Pues si la demostración ha deser firme no puede proceder al infinito ni ser cir-cular, y por tanto debe basarse en algunas premi-sas últimas de las que no podemos dudar aunquealguien diga que se duda. 5 "Fe" no parece ser lacategoría apropiada para la aceptación de la evi-dencia, es decir, para la certeza que se convierteen fundamento para la argumentación posterior.

Notas

l. Douglas R. Hofstadter Godel, Escher; Bachp.46.

2. En la edición de la Enciclopedia Británica ti-tulada Great Books of the Westem World (Chicago,etc.: 1952), volumen 11, aparecen ambas proposicionesen la página 2.

3. Obra citada, página 193.4. Obra citada, p.192.5. Entre otros lugares, véanse los capítulos 2 y

3 de la Analítica Posterior

Bibliografía

Aristóteles Analítica Posterior. En Obras, traducciónde Francisco de P. Samaranch (Madrid: Aguilar,1964), pp.355-415.

LEWIS CARROLL

Carroll, Lewis "What the Tortoise Said to Achilles"Mind, # 4, 1895 , pp. 278-280

Euclides Elementos. Hemos usado la edición de la En-ciclopedia Británica en la colección tituladaGreat Books o/ the Western World (Chicago,etc.: 1952), volumen n.

Hofstadter, Douglas R. Godel, Escher; Bach: An Eter-nal Golden Braid (New York: Vintage Books,

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1980). Traducción al español por Mario A. Usa-biaga y Alejandro López Rousseau, con los cola-boradores Franco Sirnonetti, Andrea Parada yClaudio L. Lamadrid. Godel, Escher; Bach. UnEterno y Grácil Bucle (Barcelona: Tusquets Edi-tores, 1a.edición 1987, 5a.edición 1995)

Luis CarnachoUniversidad de Costa Rica

Apartado 388-2050Costa Rica, A.C.

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