La ligne de partage des eaux

Segmentation par la ligne de partage des eaux Chapitre III

Chapitre

Segmentation par la ligne

de partage des eaux

“ If you’re not failing every now and again

It’s a sign you’re not doing anything very innovative “

-Woody Allen-

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III


La ligne de partage des eaux (watershed en anglais) est très répondue au milieu de la segmentation 2D ; elle exprime l’image en termes géographique, son origine n’est pas purement issue de la morphologie mathématique, elle provient de la topographie et de l’hydrogéologie, elle apparaît au 19 éme siècle (Maxwell et Jordan), un siècle plus tard(1972) : introduction de la LPE en segmentation d’images par Digeabel et Lantuéjoul. La thèse de [Beucher, 1990] représente une étude incontournable de la LPE où les fondements mathématiques sont introduits.

La LPE désigne une limite géographique qui devise une région en plusieurs bassins versants alors qu’en morphologie mathématique la LPE est un algorithme qui a pour but de diviser une image ou un objet en régions homogènes.

Dans la prochaine section, nous présenterons le principe de la LPE appliqué aux images 2D ; la section III.2 concerne les différentes approches abordées pour la LPE, nous traiterons les solutions pour limiter la sur-segmentation dans la section III.3. Enfin, nous exposerons notre méthode de segmentation par LPE qui sera utilisée dans notre étude par la suite.

III.1 Principe de la ligne de partage des eaux

III.1.1 Définition de la LPE

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Introduction


Cet algorithme permet de décomposer l’image en régions homogènes. Une image en niveau

de gris peut être perçue comme un relief topographique. Le niveau de gris d'un pixel de l'image est

interprété comme son altitude dans le relief topographique. Un point est d'autant plus élevé dans le

relief qu'il est clair dans l'image. Les pixels sombres correspondent donc aux vallées et bassins du

relief alors que les pixels clairs correspondent aux collines et lignes de crêtes [J.Cousty, 07].

Une des difficultés de la mise en œuvre de cette analogie intuitive est qu’elle laisse beaucoup

de liberté quant à sa formalisation. L’algorithme LPE peut être implémenté de deux manières : l’une

est basée sur un algorithme récursif d’immersion [Vincent, 91] et l’autre est basée sur l’utilisation

de fonctions de distances géodésiques [Meyer, 88] [A.Nakib, 07].

Figure ΙII .1: Relief 3D d’une IRM, coupe axiale à droite et sagittale à gauche

Figure ΙII .2 : Eléments du relief

III.1.2 Construction de la LPE

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Pour l'obtenir, il faut imaginer l'immersion d'un relief dans de l'eau, en précisant que

l'eau ne peut pénétrer dans les vallées que par ses minima. La ligne de partage des eaux est

représentée par les points où deux lacs disjoints se rejoignent au cours de l'immersion.

Figure ΙII .3 : Principe de la procédure d’immersion

III.1.3 Segmentation par la LPE

L’application de la LPE sur une image ne permet pas de détecter ses contours. Cependant,

lorsqu’on l’applique à une image gradient construite à partir de l’image originale, les minima

correspondent alors aux zones homogènes et les contours de la LPE à la plus forte transition trouvée

entre deux régions. On peut donc définir les contours des régions d’une image comme la LPE de

l’image gradient.

Les contours issus de l’application de la ligne de partage des eaux sont toujours fermés. C’est

une conséquence normale de l’utilisation de la LPE comme outil de segmentation. On remarque

également que le contour passe par les points de l’image où la transition de gris est la plus forte.

III.2 Les différentes mises en œuvre : Notations et algorithmes

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III.2.1 La LPE par inondation

On peut résumer l’algorithme d’immersion par les étapes suivantes [J.Nauroy] :

Principe : simulation de l’inondation

Parcours des pixels dans l’ordre de leurs hauteurs

Pour chaque niveau de hauteur :

Extension des bassins existants

Identification des nouveaux bassins

Détection de la LPE par rencontre de bassins

Le principe repose sur la reconstruction des seuils successifs d'une fonction f à l'aide du squelette

par zone d'influence géodésique (SKIZ) [S.Delest, 07].

On considère une section inférieure de f au niveau h, f h ={x / f (x) ≤ h} et on suppose que l'eau a

atteint l'altitude h. On considère maintenant la section inférieure de f de niveau h+1, f h+1. On

constate que l'inondation de f h+1, Xh+l, a lieu dans les zones d'influence géodésique des

composantes connexes de f h, Xh, à l’intérieur de f h+1.

Figure ΙII .4 :Relation de récurrence entre Xh et Xh+1

L'algorithme de la ligne de partage des eaux fonctionne donc par récurrence sur les niveaux de gris

de la fonction f [Beucher, 90].

III.2.1.1 La LPE de Vincent et Soille

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Xh+1

Xh

f h+1


Un algorithme de LPE par simulation d'immersion a été proposé dans [Vincent & Soille, 91].

Soit f : D → N , une image digitale en niveau de gris, avec hmin et hmax les valeurs minimum et

maximum def . Les minima de f sont associés à des bassins qui vont successivement grandir durant

le procédé d'immersion. Soit l'ensemble Xh l'union des bassins calculés au niveau h. Un élément

connecté au seuil Zh+1 au niveau h +1 peut être soit un minimum, soit une extension d'un bassin du

niveau Xh. Le dernier cas entraîne le calcul de la zone d'influence géodésique de Xh à l'intérieur de

Zh+1. Il en résulte la mise à jour Xh+1. Soit l'ensemble MINh l'union de tous les minima à l'altitude h.

Le même bloc d'instruction pour un niveau h variant de hmin à hmax :

{ Xhmin={p∈D / f ( p)=hmin}=Zhmin

Xh+1=MIN h+1∪ (IZZh +1( Xh ) {Z¿¿h) , h∈[hmin , hmax−1]

La ligne de partage des eaux de f correspond au complément de X hmax dans D :

LPE ( f ) =D \X hmax

3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 B B B B B3 1 1 3 1 1 3 W B 3 W B A W B0 1 0 A 1 B A W B A W B A W B

Figure ΙII .5 : LPE par immersion sur une grille d’éléments 4-connectés ;(a) : Image d’origine, (b-e) : Etapes de labellisation suivant l’algorithme III.1 où A et B sont des labels de régions et W le label de la

LPE.

La figure III.5 propose un exemple de labellisation d'une image. L'illustration III.5 (a) correspond à

l'image initiale dont les minima apparaissent en gras. Les autres figures définissent les niveaux

d'inondation de h =0 à h =3. Le terme « {Z ¿h » de l'équation assure qu'au niveau h+1, seuls les

pixels dont l'intensité correspond à h+1 sont ajoutés aux bassins existants. Cet algorithme ne

garantit pas un SKIZ entièrement connecté comme le montre la figure III.5 (e) où les pixels

d'intensité 3 ont pu être associés aux bassins les plus proches, le procédé fait intervenir une file

d'attente FIFO [S.Delest, 07].

III.2.1.2 La LPE de Meijster et Roerdink

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(a) (b) h=0 (c) h=1 (d) h=2 (e) h=3


Pour éviter les difficultés liées aux éléments connectés de même niveau (plateaux), Meijster

et Roerdink ; 1995; ont proposé de transformer l'image en graphe. L'algorithme correspond à une

version simplifiée de Vincent et Soille ; 1991; où l'utilisation de files d'attente FIFO n'est plus

nécessaire en raison de la disparition des plateaux remplacés par des représentants. L'image peut

être considérée comme un graphe (V, E, f ) où V correspond à l'ensemble des sommets du graphe, E

à l'ensemble des arêtes et f(p) à la fonction de hauteur utilisant l'intensité des pixels. Chaque pixel

est associé à un sommet de V et est relié à un pixel voisin par une arête de E. La LPE peut être

calculée directement à partir du graphe. Le résultat correspond à une image binaire où certains

pixels sont labélisés LPE et d'autres non.

Figure ΙII .6 : Création du graphe des ensembles. (a) Image initiale, (b) relief correspondant, (c) ensembles de niveaux étiquetés et (d) graphe des ensembles.

III.2.2 La LPE par distance topographique

Il existe plusieurs méthodes de calcul de LPE basées sur l'algorithme du plus court chemin. Les deux principales familles de méthodes sont :

L'intégration de la pente la plus faible d'une image, par propagation des distances à partir des minima. Les distances sont liées à la plus faible pente de l'image par rapport à la fonction de coût. L'implémentation fait intervenir une structure de données composée de files d'attentes hiérarchiques (FAH) ordonnées par priorité d'intensité [Meyer, 91].

S.Beucher [Beucher, 04] a proposé récemment un algorithme de ligne de partage des eaux sans biais basé sur les files d'attente hiérarchique pour corriger le biais lié à l'ordre de traitement des pixels. La méthode utilise des files d'attente intermédiaires pour gérer correctement la propagation des labels sur les zones plates et ne valide un label qu'une fois les voisins visités.

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Figure ΙII .7 : Fonctionnement d’une file d’attente hiérarchique

L'ascension de colline : les distances géodésiques entre les points d'un bassin et le

minimum associé sont les chemins de plus forte pente. Le processus de LPE utilise les

étapes suivantes : l'attribution d'un label différent à tous les minima puis la labellisation de

tous les pixels q voisins de p dont la pente est la plus forte par le label de p à partir des

pixels adjacents aux minima. Si le pixel q a déjà un label et que celui-ci est différent de p,

alors q est marqué comme LPE.

III.3 Le problème de la sur-segmentation

Malheureusement, les images réelles étant généralement assez bruitées, lorsqu’on calcule la

LPE de leur gradient, celle-ci fait apparaître une forte sur-segmentation due au fait que le gradient

présente de nombreux minima générés par le bruit.

Figure Ι II .8: Image sur-segmentée

Il existe plusieurs méthodes [Toul-Sad, 04] qui permettent de pallier à cette sur-

segmentation :

La première consiste à filtrer l'image originale afin de supprimer tous les minima non-

significatifs : c'est l'approche filtrage.

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La deuxième consiste à choisir le nombre de minima locaux et donc le nombre de zones que

l'on souhaite mettre en évidence grâce à la LPE : c'est l'approche marqueurs (swamping).

Enfin une première LPE peut servir de marqueur pour une seconde, et la zone qu'elle

délimite donne lieu à une image mosaïque. Cette image n'est plus construite par pixels, mais

comme graphe planaire. Elle est susceptible à son tour d'être traité par LPE, filtrage,

marqueurs. C'est un processus itératif qui donne donc lieu à une segmentation hiérarchique.

III.3.1 L’approche filtrage

Dans cette approche on cherche à éliminer tous les minima non-significatifs de l'image

gradient. Alors qu'avec l'approche marqueur on cherche à remplacer les minima du gradient par des

images de marquages, ici on va plutôt chercher à supprimer les minima non-significatifs dans

l'image elle-même à l’aide des filtres comme le filtre gaussien ou le filtre Alterné Séquentiel (ASF).

Le filtre ASF est un filtre morphologique qui consiste à faire une succession d'ouvertures et de

fermetures par des sphères de rayons croissants.

a) Image lissée b) LPE sur l'image lissée

Figure ΙII .9: Filtre ASF

III.3.2 L’approche marqueurs

Il existe plusieurs méthodes de type morphologique qui permettent de déterminer de tels ensembles.

III.3.2.1 Marqueurs intérieurs : méthode du chapeau haut de forme

Dans cette méthode, on extrait les éléments plus petits que l'élément structurant. C'est à dire

qu'on considère comme marqueurs les éléments qui sont à l'intérieur du chapeau haut de forme.

Cette transformation est définie comme la différence entre l'image f et son ouvert.

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a) Image marqueur b) LPE sur l’image reconstruite

Figure ΙII .10 :Utilisation des marqueurs I

III.3.2.2 Marqueurs intérieurs : méthode des h minima

Cette méthode consiste à déterminer les régions minimales de l'image obtenue par

reconstruction géodésique par érosion de l'image source I par J, translatée de I d'un niveau h. Cette

reconstruction géodésique a pour effet de "combler" les bassins versant non significatifs (ce qui

suppose un bon choix de h) pour ne conserver que les minima intéressants.

a) marqueur du fond h =30 b) LPE sur l'image reconstruite

Figure ΙII .11: Utilisation des marqueurs II

III.3.3 L’approche hiérarchique

III.3.3.1 LPE sur image mosaïque

L'idée de ce traitement est la suivante [Beucher, 00] : on va chercher à créer une mosaïque de

zones plates qui ressemble à l'image de départ. Eliminant ainsi les variations d'intensité à l'intérieur

de chaque "carreau" de la mosaïque, la LPE d'une telle image sera ainsi bien moins sur-segmentée.

Reste à obtenir une telle partition et à déterminer le niveau de gris de chaque région.

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La segmentation devient de plus en plus simple au fil des itérations, jusqu'à la disparation de

certains éléments essentiels de l'image. Sur l'image cell (figure III.12) par exemple de l'itération 1 à

l'itération 2 les cellules en haut à gauche ne sont plus différenciées.

a) itération 1

b) itération 2 c) itération 3

Figure ΙII .12 : LPE sur l'image mosaïque

III.3.3.2 Lpe de Vincent et Soille par marqueurs

En 1992, Beucher a proposé d’utiliser un ensemble de marqueurs désignant les minima des

régions dans l’algorithme de Vincent et Soille, l’image d’entrée I sera remplacée par l’image des

marqueurs IM, ainsi au niveau hmin il n’y aura que les minima imposés et la LPE sera construite

autours de ces marqueurs et l’algorithme sera réécrit comme suit [Q.Wang, 09] :

{X hmin={p∈M I / f M ( p)=hmin}=Zhmin

Xh+1=IZZh+1( ℑ)( Xh ) ,h∈[hmin ,hmax−1]

III.4 Les algorithmes LPE retenus

Nous avons choisi d’implémenter deux algorithmes : celui de Vincent-Soille et celui de

S.Beucher, tout les deux sont connus pour leur rapidité. Et nous proposons une autre

implémentation de la LPE qui aura comme objectif de limiter le problème de la sur-segmentation

basée sur l’approche marqueurs.

Les minima seront imposés dès le départ, l’idée est de fournir une image classifiée par la

méthode des K-moyennes pour ensuite l'utiliser comme image de marqueurs du watershed, on aura

les centres des régions comme minima ; la segmentation est alors presque parfaite.

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III.5 Conclusion

La ligne de partage des eaux fournit par définition des contours fermés. Même si la LPE

produit une très forte sur-segmentation, tous les contours effectivement présents dans l'image font

partie de la partition obtenue par l'algorithme.

Ce qui sous-entend que toute l'information nécessaire est présente dans cette transformation

morphologique et qu'il faut, afin de pouvoir l'exploiter correctement, éliminer toute l'information

non significative. Effectuer un prétraitement revient donc toujours d'une certaine façon à éliminer

certains contours non pertinents.

Vu son efficacité, plusieurs travaux récents l’on utilisé. On retrouve la segmentation

interactive d'images 3D de [J. Stawiaski, 06] et la segmentation d’IRM cardiaque spatio-

temporelles (3D+temp) de [J.Cousty, 09], comme on l’a trouvé aussi dans la segmentation de

maillages 3D de [S.Delest, 07] où la LPE a été appliquée à la segmentation des maillages

polygonaux.

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