L’equation d’onde

Lapo Boschi (lapo.boschi@upmc.fr)

27 octobre 2016

Table des matieres

1 Equation d’onde : corde 1

2 Equation d’onde : membrane 2

3 Equation d’onde : gaz en trois dimensions 3

3.1 Pression hydrostatique et loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3 Equation de continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 L’equation d’onde en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Equation d’onde : solide elastique 6

4.1 Equation du deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Encore l’equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Solution de l’equation d’onde : corde 8

5.1 Solution de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2 Solution de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.3 Analogie entre les solutions de d’Alembert et Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 9

1 Equation d’onde : corde

Quand on tire une corde elastique, tous ses points sont sujets a la meme force T , appellee

“tension”. Les cordes d’une guitare, tendues a travers les “mecaniques”, sont tojours sous

tension. Appellons x la distance le long de la corde, et t le temps. Apres avoir accorde (c’est

a dire, applique une tension aux cordes de) sa guitare, un guitariste en tire une corde vers soi

(direction y, perpendiculaire a la corde), avec ses doigts. Il deforme donc la corde. A l’instant

t = 0, il laisse la corde, qui commence a osciller. Appellons u(x, t) la deformation de la corde,

parallele a l’axe y (Fig. 1).

On remarque (trigonometrie) que l’angle θ(x) entre l’axe x (corde a l’equilibre) et la

corde deformee u(x, t) coıncide approximativement avec le rapport entre la variation de u en

fonction de x, et la distance δx correspondante. Si δx est petit,

sin θ(x) ≈ ∂u(x, t)

∂x. (1)

1

Figure 1 – Corde sous tension. La composante T sin(θ) de la force (tension) T dans la

direction y provoque un deplacement u, aussi dans la direction y.

On considere maintenant un segment infiniment petit δx de la corde. La force agissante

sur le segment dans la direction y est egale a

Fy = T sin θ(x+ δx)− T sin θ(x). (2)

On applique la loi de Newton :

T sin θ(x+ δx)− T sin θ(x) = ρδx∂2u(x, t)

∂t2, (3)

ou on a appelle ρ la masse par unite de longueur de la corde. En remplaceant (1) dans (3),

T∂u(x+ δx, t)

∂x− T ∂u(x, t)

∂x= ρδx

∂2u(x, t)

∂t2. (4)

Finalement, si on divise (4) a droite et a gauche par ρδx,

T

ρ

∂2u(x, t)

∂x2=∂2u(x, t)

∂t2. (5)

Le rapport T/ρ est toujours positif (ρ > 0, T > 0 par definition) ; on l’appelle c2, et

c2∂2u(x, t)

∂x2=∂2u(x, t)

∂t2. (6)

L’equation (6) est ce qu’on appelle equation d’onde uni-dimensionelle (1D).

2 Equation d’onde : membrane

La tension d’une membrane est une force par unite de surface. Considerons un element

de membrane de cotes δx, δy sur la membrane (Fig. 2) et epaisseur δz. La tension est par

definition parallele au plan de la membrane, et perpendiculaire aux surfaces δxδz, δyδz (la

tension est une sorte de pression hydrostatique a l’envers). Si la membrane est deformee

(deplacement u(x, y) dans la direction z perpendiculaire au plan de la membrane), une force

2

Figure 2 – Membrane sous tension. Des tensions paralleles a la surface de la membrane

donnent lieu a des forces Tδx, Tδy. La composante de ces forces dans la direction z provoquent

l’oscillation de la membrane.

proportionelle a la magnitude T de la tension ramene la membrane vers sa configuration

d’equlibre. Cette force peut etre ecrite comme la summe de deux contributions : force Tδyδz

perpendiculaire au cote δy, et force Tδxδz perpendiculaire au cote δx. On summe et on

projecte sur l’axe z ; par analogie avec les equations (1)-(4),

Fz =Tδyδz∂u(x+ δx, y, t)

∂x− Tδyδz ∂u(x, y, t)

∂x+ Tδxδz

∂u(x, y + δy, t)

∂y− Tδxδz ∂u(x, y, t)

∂y

=Tδxδyδz1

δx

[∂u(x+ δx, y, t)

∂x− ∂u(x, y, t)

∂x

]+ Tδxδyδz

1

δy

[∂u(x, y + δy, t)

∂y− ∂u(x, y, t)

∂y

]=Tδxδyδz

[∂2u(x, y, t)

∂x2+∂2u(x, y, t)

∂y2

].

(7)

On applique la loi de Newton :

Tδxδyδz

[∂2u(x, y, t)

∂x2+∂2u(x, y, t)

∂y2

]= ρδxδyδz

∂2u(x, y, t)

∂t2, (8)

ou ρ represente maintenant la masse de la membrane par unite de surface. Si on divise par

Tδxδyδz et on appelle c2 = T/ρ, on obtient l’equation d’onde 2D :

∂2u(x, y, t)

∂x2+∂2u(x, y, t)

∂y2=

1

c2∂2u(x, y, t)

∂t2. (9)

3 Equation d’onde : gaz en trois dimensions

3.1 Pression hydrostatique et loi de Newton

Considerez un point de reference r0 = (x0, y0, z0). On appelle p(r, t) la pression hydrosta-

tique au point r a l’instant t. Il convient d’ecrire la loi de Newton pour un element de gaz

3

de volume infiniment petit, defini par le point r0 et les distances δx, δy, δz, le long des trois

axes du repere a partir de r0.

La force totale appliquee a cet element de gaz le long de l’axe x est egale a la difference

entre la force agissante sur la frontiere x = x0 et celle agissante sur la frontiere x = x0 + δx.

La force agissante sur une surface est egale a p multipliee par l’aire de cette surface. L’aire

en question est δyδz (pareil pour x = x0 et x = x0 + δx), donc

Fx(r0, t) = −∂p∂x

(r0, t) δxδyδz. (10)

Pareil pour les axes y et z. Equation vectorielle :

F(r0, t) = −[∂p

∂x(r0, t) i +

∂p

∂y(r0, t) j +

∂p

∂z(r0, t) k

]δx δy δz , (11)

ou i, j, k designent les vecteurs unitaires qui pointent dans les directions des axes x, y, z.

On reconnaıt dans (11) le gradient de p, ∇p = ∂p∂x i + ∂p

∂y j + ∂p∂zk, ce qui nous permet de

reecrire (11)F(r0, t)

V0= −∇p(r0, t), (12)

ou V0 = δxδyδz designe le volume de l’element de gaz, avant qu’il soit modifie par la propa-

gation des ondes. Selon la loi de Newton, F(r0, t) = m dvdt

, ou le vecteur v designe la velocite

de l’element de gaz, et m sa masse. Il decoule alors de (12) que

ρdv

dt(r0, t) = −∇p(r0, t), (13)

ou ρ = m/V est la densite du gaz. On utilisera plus tard la divergence de (13),

ρd

dt[∇ · v(r0, t)] = −∇2p(r0, t), (14)

ou ∇2 = ∇ · ∇ designe l’operateur laplacien.

3.2 Thermodynamique

Aux frequences typiques des ondes acoustiques (audibles) et a temperature/pression at-

mospheriques, la propagation du son est tres rapide par rapport a la vitesse avec laquelle

la chaleur se propage. L’expansion et compression du gaz provoquees par la propagation

des ondes acoustiques peuvent donc etre considerees adiabatiques : elles ne comportent pas

d’echange de chaleur entre l’element de gaz considere et l’atmosphere. Il s’ensuit que la loi

thermodynamique suivante, valable pour expansions adiabatiques, s’applique :

pV γ = constante, (15)

avec γ=1.4 pour des ondes acoustiques dans l’air (Beranek, 1996, chapitre 2).

Il s’ensuit quedp

dV= −γ p0

V0, (16)

ou l’indice 0 designe les valeurs de la pression et du volume avant la deformation. Donc

dp

dt=

dp

dV

dV

dt

= −γ p0V0

dV

dt

(17)

4

(a)

(b)

Figure 3 – L’element de volume defini

par r0, δx, δy, δz a un instant donne (a)

se deplace et se deforme (b). On montre

ici le cas simple ou la seule composante

non-zero du deplacement est constante et

dans la direction x. Si la difference de

deplacement entre x et x + δx est δux,

Le changement de volume est δux δy δz

(Beranek, 1996).

3.3 Equation de continuite

Soit u(r, t)=(ux, uy, uz) le champs des deplacements associe au gaz en question. Les

deplacements des particules de gaz a l’interieur de notre element de gaz provoquent un chan-

gement de volume

δV = δuxδyδz + δuyδxδz + δuzδxδy (18)

(Fig. 3). On divise par V0=δxδyδz, et

δV

V0=δuxδx

+δuyδy

+δuzδz

= ∇ · u,(19)

ou ∇· designe l’operateur divergence. On peut donc calculer la derivee de V par rapport au

temps,

∂V

∂t= V0

∂

∂t(∇ · u)

= V0∇ · v,(20)

ou la velocite v=dudt

.

3.4 L’equation d’onde en trois dimensions

On substitue d’abord l’equation (20) dans (17) :

dp

dt= −γ p0∇ · v. (21)

On calcule ensuite la derivee de (21) par rapport a t,

d2p

dt2= −γ p0

d

dt(∇ · v) =⇒ d

dt(∇ · v) = − 1

γ p0

d2p

dt2. (22)

5

On substitue finalment (22) dans (14), et on obtient ainsi l’equation d’onde en trois dimen-

sions :

∇2p(r0, t) =ρ

γ p0

d2p

dt2. (23)

La pression hydrostatique d’un gaz obeit l’equation d’onde. Le deplacement du gaz n’obeit

pas l’equation d’onde. En revanche, on a vu que le deplacement le long d’une corde ou d’une

membrane obeit l’equation d’onde.

4 Equation d’onde : solide elastique

On ecrit d’abord la loi de Newton pour un milieu continu. On manipule l’equation ainsi

obtenue pour determiner une equation differentielle dont la seule inconnue est le deplacement

(sec. 4.1). Cette equation n’est pas l’equation d’onde, mais on verra a la sec. 4.2 qu’on peut

utiliser notre experience avec l’equation d’onde pour resoudre l’equation du deplacement.

4.1 Equation du deplacement

Le deplacement u d’un element de volume V est determine par les forces de volume

agissantes a son interieur et les forces de surface sur sa surface exterieure. Soit F la force de

volume par unite de volume, et T la force de surface par unite de surface. Soit dV le volume

elementaire et dS l’aire de sa frontiere. La loi de Newton pour un milieu de volume V et

densite ρ delimite par une surface S :∫VFi dV +

∫STi dS =

∫Vρ

d2uidt2

dV. (24)

La force de surface est liee au tenseur des contraintes τij a travers

Ti = τij νj (25)

ou νj designe le vecteur unitaire perpendiculaire a S et oriente vers l’exterieur de V ; on

utilise ici la convention de sommation d’Einstein, c’est a dire que quand l’indice d’une variable

apparaıt deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que

peut prendre cet indice. On substitue l’eq. (25) dans (24),∫VFi dV +

∫Sτij νj dS =

∫Vρ

d2uidt2

dV. (26)

On applique le theoreme de Gauss a l’integral de surface dans (26),∫V

(Fi +

∂τij∂xj

)dV =

∫Vρ

d2uidt2

dV. (27)

Le volume V est arbitraire. L’eq. (27) peut s’appliquer a un element de volume arbitrairement

petit, donc

Fi +∂τij∂xj

= ρd2uidt2

. (28)

6

Le tenseur τij peut a son tour etre exprime en fonction du deplacement u, a travers l’equation

constitutive ou rheologique qui decrit le materiau en question. Pour un milieu elastique iso-

tropique, la loi de Hooke 1 s’ecrit

τij = λ∂uk∂xk

δij + µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

). (29)

Il suffit maintenant de substituer τij dans l’eq. (28) pour obtenir l’equation differentielle

souhaitee,

Fi +∂

∂xj

[λ∂uk∂xk

δij + µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)]= ρ

d2uidt2

, (30)

qui peut etre simplifiee pour un milieu homogene (ρ, λ et µ constants =⇒ ∂λ∂xi

=0, etc.),

Fi + (λ+ µ)∂

∂xi

∂uk∂xk

+ µ∂2ui∂x2j

= ρd2uidt2

. (31)

En notation vectorielle :

F + (λ+ µ)∇ (∇ · u) + µ∇2u = ρd2u

dt2. (32)

4.2 Encore l’equation d’onde

L’equation (32) peut etre reduite a un probleme connu, en exploitant certaines proprietes

de ∇. D’abord, pour n’importe quel champ vectoriel (par exemple u(x, t)), il existe toujours

un champ scalaire φ(x, t) et un champ vectoriel ψ(x, t) tels que

u(x, t) = ∇φ(x, t) +∇∧ψ(x, t) (33)

et

∇ ·ψ(x, t) = 0, (34)

ou ∇φ designe le gradient de la quantite scalaire φ, ∇ ∧ ψ le rotationnel de la quantite

vectorielle ψ. On peut egalement introduire un champ scalaire χ et un champ vectoriel γ

avec ∇ · γ = 0 tels que

F(x, t) = ∇χ(x, t) +∇∧ γ(x, t). (35)

On substitue maintenant dans (32) les expressions (33) et (35) pour u et F,

∇χ+∇∧γ+ (λ+ µ)∇ [∇ · (∇φ+∇∧ψ)] +µ∇2(∇φ+∇∧ψ) = ρd2

dt2(∇φ+∇∧ψ). (36)

On considere ensuite que la divergence d’un rotationnel est toujours 0, et on charge l’ordre

de derivation au cote droit et au deuxieme terme du cote gauche de (36),

∇χ+∇∧ γ + (λ+ µ)∇(∇2φ

)+ µ∇(∇2φ) + µ∇∧ (∇2ψ) = ρ (∇φ+∇∧ ψ). (37)

ou φ = d2φ

dt2, etc. Il suffit de changer l’ordre des termes dans (37) pour trouver

∇χ+ (λ+ 2µ)∇(∇2φ

)− ρ∇φ+∇∧ γ + µ∇∧ (∇2ψ)− ρ∇∧ ψ = 0. (38)

1. Les deux parametres de Lame λ et µ sont suffisants a decrire la reponse elastique d’un milieu isotropique.

Il faut plus de parametres pour des rheologies plus compliquees.

7

Si maintenant on met en evidence ∇ et ∇∧,

∇[χ+ (λ+ 2µ)∇2φ− ρφ

]+∇∧

(γ + µ∇2ψ − ρψ

)= 0, (39)

pourvu que le milieu soit homogene, comme on l’avait suppose ci-dessus.

L’equation (39) est satisfaite, et donc u = ∇φ+∇∧ψ est une solution de l’equation du

deplacement (31), siχ

ρ+

(λ+ 2µ)

ρ∇2φ− φ = 0, (40)

γ

ρ+µ

ρ∇2ψ − ψ = 0. (41)

Remarquez que les conditions (40) et (41) sont suffisantes, pas necessaires a ce que u soit

solution de (31). Mais cela nous suffit pour determiner une forme de la solution generale de

(31).

Pour resumer, le deplacement u(x, t) d’un solide elastique (p.ex. la terre, lors d’un seisme)

contient generalement deux contributions : le terme ∇φ(x, t), ou φ(x, t) est solution de

l’equation (scalaire) des ondes avec vitesse√

(λ+ 2µ)/ρ, et le terme ∇ ∧ψ(x, t), ou ψ(x, t)

est solution de l’equation (vectorielle) des ondes avec vitesse√µ/ρ.

Pour interpreter physiquement ce resultat, rappelons-nous l’eq. (19), qui montre que la

divergence du deplacement, ∇ · u, est proportionelle a la compressibilite de n’importe quel

materiau ; la divergence de (33) donne ∇ · u=∇2φ. Donc φ est lie a la compression : si

φ reste constant, il n’y aura pas de changement de volume ; si φ oscille rapidement, il y

aura des changements de volume importants. Au contraire, un deplacement ∇∧ψ n’a pas de

divergence (sa divergence est zero) : cette contribution a u prend en compte tout deplacement

qui ne comporte pas de changement de volume. On appelle onde P (onde compressionelle,

primaire, etc.) le deplacement ∇φ(x, t), et onde S (onde de cisaillement, secondaire, etc.) le

deplacement ∇∧ψ(x, t).

5 Solution de l’equation d’onde : corde

5.1 Solution de d’Alembert

L’idee que les petites oscillations d’une corde sous tension peuvent etre calculees a travers

l’equation d’onde est due a D’Alembert (1747) (Zeeman, 1993). D’Alembert nota aussi que

n’importe quelle fonction est une solution de l’equation (6), pourvu que x et t y apparaissent

dans la forme x/c+t ou bien x/c−t. Vous pouvez le verifier en calculant les derivees secondes

par rapport a x et a t de la solution generale

u(x, t) = Af(xc− t)

+Bf(xc

+ t), (42)

ou A et B designent deux constantes arbitraires et independantes. Une fonction du type

f(x/c± t), ou x designe une distance et t le temps, est dite onde progressive.

Pour simuler le comportement d’une corde pincee (p.ex., guitare), on exige en plus que

les extremites de la corde soient fixees, et que la vitesse initiale des oscillations la corde soit

zero. Ces conditions impliquent 2 que la solution (42) prenne la forme

u(x, t) =1

2f(xc− t)

+1

2f(xc

+ t), (43)

2. vous pouvez essayer de demontrer cela. Une demonstration assez simple est donnee ici : http ://math-

world.wolfram.com/dAlembertsSolution.html

8

ou la fonction f(x) n’est plus arbitraire, mais egal au deplacement initial de la corde, f(x) =

u(x, 0).

5.2 Solution de Bernoulli

D’ailleurs, deja avant 1700 on avait compris qu’une corde sous tension oscille selon plu-

sieurs “modes propres” qui correspondent a ses “harmoniques” (Zeeman, 1993). Peu apres

la publication du travail de d’Alembert, Daniel Bernoulli proposa donc que la solution de

l’equation de la corde serait plutot

u(x, t) =∞∑k=0

[αk sin

(kπ

Lx

)cos

(kπc

Lt

)+ βk sin

(kπ

Lx

)sin

(kπc

Lt

)], (44)

ou L designe la longueur de la corde, et les coefficients αk, βk peuvent etre determines si on

connaıt, par exemple, le deplacement initial de la corde u0(x), et sa vitesse initiale v0(x),

∞∑k=0

[αk sin

(kπ

Lx

)]= u0(x) =⇒ αk =

2

L

∫ L

0u0(x) sin

(kπ

Lx

)dx, (45)

et∞∑k=0

[βkkπc

Lsin

(kπ

Lx

)]= v0(x) =⇒ βk =

2

kπc

∫ L

0v0(x) sin

(kπ

Lx

)dx (46)

(Bernoulli, 1753).

Rappel : c’est la solution qu’on a trouve l’annee derniere en Outils Mathematiques. Si on

se limite au cas simple ou la vitesse initiale de la corde est zero, v0 = 0, l’eq. (46) implique

βk=0, et la solution de Bernoulli prend la forme plus simple

u(x, t) =∞∑k=0

[αk sin

(kπ

Lx

)cos

(kπc

Lt

)]. (47)

5.3 Analogie entre les solutions de d’Alembert et Bernoulli

Au XVIII siecle, les solutions de d’Alembert et Bernoulli etaient apparemment incon-

cilıables. Selon d’Alembert, il etait impossible de reduire une fonction continue arbitraire a

une simple somme d’harmoniques, parce-que celle-ci serait trop simple par rapport aux pos-

sibilites infinies offertes par toutes les fonctions possibles et imaginables. Bernoulli remarqua

d’ailleurs que sa solution consistait d’une somme infinie d’harmoniques, et que les types de

vibrations donnes par d’Alembert n’etaient rien plus que les sommes de plusieurs vibrations

harmoniques differentes. Mais Bernoulli ne pouvait pas prouver cela mathematiquement, et

il faudra attendre le debut du XIX siecle, avec le travail de Joseph Fourier, pour avoir une

demonstration rigoeureuse.

Voyons comment la solution de d’Alembert et celle de Bernoulli peuvent etre reconciliees

aujourd’hui. On sait maintenant que n’importe quelle fonction peut etre ecrite en forme de

Somme de Fourier ; en pratique, pour la fonction f definie ci-dessus avec l’eq. (42), il existe

un ensemble de valeurs ωk, ak, bk telles que

f(z) =

∞∑k=0

ak cos (ωkz) +

∞∑k=0

bk sin (ωkz) , (48)

9

et donc

f(xc± t)

=∞∑k=0

ak cos[ωk

(xc± t)]

+∞∑k=0

bk sin[ωk

(xc± t)]. (49)

Considerons maintenant les identites trigonometriques suivantes :

cos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β), (50)

cos(α− β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β), (51)

sin(α+ β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β), (52)

sin(α− β) = sin(α) cos(β)− cos(α) sin(β), (53)

avec α et β arbitraires. Ces equations impliquent

cos[ω(xc

+ t)]

= cos(ωxc

)cos (ωt)− sin

(ωxc

)sin (ωt) , (54)

cos[ω(xc− t)]

= cos(ωxc

)cos (ωt) + sin

(ωxc

)sin (ωt) , (55)

sin[ω(xc

+ t)]

= sin(ωxc

)cos (ωt) + cos

(ωxc

)sin (ωt) , (56)

sin[ω(xc− t)]

= sin(ωxc

)cos (ωt)− cos

(ωxc

)sin (ωt) . (57)

Autrement dit, toute onde progressive se propageant dans une corde est la somme de deux

ondes stationnaires “dephasees” ayant la meme frequence ω.

Utilisons maintenant les equations (54)-(57) pour transformer (49) en somme d’ondes

stationnaires. Pour une onde se propageant de gauche a droite,

f(xc− t)

=∞∑k=0

ak

[cos(ωkx

c

)cos (ωkt) + sin

(ωkxc

)sin (ωkt)

]+

∞∑k=0

bk

[sin(ωkx

c

)cos (ωkt)− cos

(ωkxc

)sin (ωkt)

];

(58)

pour une onde se propageant de droite a gauche,

f(xc

+ t)

=∞∑k=0

ak

[cos(ωkx

c

)cos (ωkt)− sin

(ωkxc

)sin (ωkt)

]+

∞∑k=0

bk

[cos(ωkx

c

)sin (ωkt) + sin

(ωkxc

)cos (ωkt)

].

(59)

Finalement, la solution de d’Alembert devient

u(x, t) =1

2f(xc− t)

+1

2f(xc

+ t)

=1

2

∞∑k=0

[ak cos

(ωkxc

)cos (ωkt) + bk sin

(ωkxc

)cos (ωkt)

].

(60)

Il suffit maintenant de choisir ωk = kπcL , ak = 0 et bk = 2αk pour retrouver exactement la

solution de Bernoulli (47). On a donc verifie l’equivalence des deux approches.

— Exercice : demontrer L’equivalence des solutions de Bernoulli et d’Alembert dans le

cas ou la vitesse initiale de la corde n’est pas zero.

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References

Beranek, L. L., 1996. Acoustics. The Acoustical Society of America.

Bernoulli, D., 1753. Reflexions et eclaircissements sur les nouvelles vibrations des cordes

exposees dans les memoires de lacademie de 1747 et 1748. Hist. de lAcad. Roy. de Berlin

9, 147195.

D’Alembert, J. L. R., 1747. Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en

vibration. Hist. de l’Acad. Roy. de Berlin 3, 214249.

Zeeman, E. C., 1993. Controversy in Science : on the Ideas of Daniel Bernoulli and Rene

Thom. Nieuw Archief voor Wiskunde 11, 257282.

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