La Elipse e Hiperbola Version Final

8/19/2019 La Elipse e Hiperbola Version Final

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LA ELIPSE

Es el lugargeométrico de los

puntos del planocuya suma de

distancias a dospuntos fjos


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LA ELIPSE


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ELEMENTS !E LA

ELIPSE• "ocos Son los puntos fjos " y "#.• Eje ocal

Es la recta que pasa por los ocos.• Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'.

• $entro

Es el punto de intersección de los ejes.• %adios &ectores

Son los segmentos que van desde unpunto de la elipse a los ocos: P" y P"#.


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ELEMENTS !E LAELIPSE

• !istancia ocal

Es el segmento de longitud 'c, c es el valor de lasemidistancia ocal.• (értices

Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes:, ', ! y !'.

•

Eje mayor Es el segmento de longitud 'a, a es el valor del semiejemayor.

• Eje menor Es el segmento de longitud '), ) es el valor del semiejemenor.

• Ejes de simetr*a Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

• $entro de simetr*a "oincide con el centro de la elipse, que es el punto deintersección de los ejes de simetr#a


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%elaci+n entre la distanciaocal y los semiejes


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E,centricidad de laelipse

Es un n-mero ue mide el mayor o

menor ac/atamiento de la elipse. 0 es

igual al cociente entre susemidistancia ocal y su semiejemayor.


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E,centricidad de la elipse


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E,centricidad de la elipse


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Ecuaci+n reducida de la

elipse •

%omamos como centro de la elipse elcentro de coordenadas y los ejes de laelipse como ejes de coordenadas. &ascoordenadas de los ocos son:F'(-c,0)y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:


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Ecuaci+n reducida de laelipse

• Esta epresión da lugar a:

• (ealizando las operaciones llegamosa:


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E)E*+& -E +&""/0 -E &E&+SE

•

1allar los elementos caracter#sticos y laecuación reducida de la elipse de ocos:F'234,56 y F24, 56, y su eje mayor mide 75.

Semieje mayor :

Semidistancia focal :

Semieje menor :

Ecuaci+nreducida :

Excentricidad :


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Ecuaci+n reducida de la elipsecon los ocos en el eje 0

Si el eje principal est1 en el deordenadas se o8tendr9 la siguienteecuación:

Las coordenadas de los focosson:

F'(0, -c) y F(o, c)


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E)E*+& -E +&""/0 -E & E&+SE"0 &S F"S E0 E& E)E ;<

-ada la ecuación reducida de la elipse, =allar las coordenadas de los v>rtices

de los ocos y la ecentricidad.

-e la ecuación :

E i+ d l li


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Ecuaci+n de la elipsecuando el eje principal es

paralelo a o, Si el centro de la elipse $2,34y35 y el eje principales paralelo a ?, los ocos tienen de coordenadas"2637c4 y35 y "#2638c4 y35. ; la ecuación de laelipse ser9:

Al quitar denominadores yDesarrollar se obtiene, en

general, una ecuación de la

forma

Donde A y B tienen el mismo signo

+


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Ejemplo de aplicaci+n de la elipsecuando el eje principal es

paralelo a o,• 1allar la ecuación de la elipse de ocoF2@, A6, de v>rtice 2B, A6 y de centro "2C,A6.

(esolución:

&a ecuación ser9:


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Ejemplo de aplicaci+n de laelipse cuando el eje principal es

paralelo a o,-ada la elipse de ecuación=allar su centro, semiejes, v>rtices y

ocos.

E i+ d l li d j


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Ecuaci+n de la elipse de eje&ertical

Si el centro de la elipse $2,34y35 y el eje principales paralelo a ;, los ocos tienen de coordenadas"2634 y7c5 y "#2634 y38c5. ; la ecuación de laelipse ser9:

Al quitar denominadores y desarrollarlas

ecuaciones se obtiene, en general,una

ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.


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+(!&E*S S!(E &E&+SE

9. 1alle la ecuación de la elipse que tiene sucentro en 25, 56 y cuyos ocos son los puntosF24, 56 y FD234, 56, adem9s el intercepto de lagr9fca con el eje es el punto 2, 56.

'. %razar la elipse cuya ecuación viene dada por:25x 2 + 4y 2 = 100

:. -etermine el centro, los v>rtices, losocos y di8ujar la elipse que tiene porecuación:4x 2 + y 2 –16x + 2y + 13 = 0


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& 1+E(!&

Es el lugar geom>trico de los puntosdel plano cuya dierencia de distanciasa los puntos fjos llamados ocos esconstante.


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Elementos de la/ipér)ola• "ocos

Son los puntos fjos F y F'.• Eje ocal

Es la recta que pasa por los ocos.• Eje secundario o imaginario

Es la mediatriz del segmento .•

$entroEs el punto de intersección de los ejes.

• (értices

&os puntos y ' son los puntos de intersección de la =ip>r8ola con eleje ocal.

&os puntos ! y !' se o8tienen como intersección del eje imaginariocon la circunerencia que tiene por centro uno de los v>rtices y deradio c.

• %adios &ectores

Son los segmentos que van desde un punto de la =ip>r8ola a losocos: +F y +F'.


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Elementos de la/ipér)ola

•

!istancia ocal Es el segmento de longitud Ac.• Eje mayor

Es el segmento de longitud Aa.•

Eje menor Es el segmento de longitud A8.• Ejes de simetr*a

Son las rectas que contienen al eje real o al ejeimaginario.

• As*ntotas Son las rectas de ecuaciones:

•

%elaci+n entre los semiejes ;

E i id d d l


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E,centricidad de la/ipér)ola

• &a ecentricidad mide la a8erturamayor o menor de las ramas de la=ip>r8ola.


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Ecuaci+n reducida de la/ipér)ola

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresin da lugar a:

!eali"ando las operaciones llegamos a:


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Ejemplo de la ecuaci+nreducida de la /ipér)ola

1allar la ecuación de la =ip>r8ola de ocoF2C, 56, de v>rtice 2A, 56 y de centro "25,56.

(esolución:


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1allar la ecuación y la ecentricidad de la=ip>r8ola que tiene como ocos los puntosF'23, 56 y F2, 56, y como dierencia de

los radios vectores.(esolución:


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1allar las coordenadas de losv>rtices y de los ocos, lasecuaciones de las as#ntotas y la

ecentricidad de la =ip>r8ola BA 37yA G 7CC.%esoluci+n;



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Ecuaci+n reducida de la/ipér)ola con los ocos en

el eje 0

F'(0, -c) y F(0, c)

La ecuaciónser9:


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Ejemplos de la /ipér)olacon los ocos en el eje 0

• 1allar la ecuación de la =ip>r8ola deoco F25, 6, de v>rtice 25, 46 y decentro "25, 56.

Ecuaci+n de la /ipér)ola con


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Ecuaci+n de la /ipér)ola coneje paralelo a 64 y centro

distinto al origen

#i el centro de la hip>rbola es !(x0, y

0)

y el e$e principal es paralelo a %&, los focos tienen de coordenadas F("0#c, y0) y F'("0-

c, y0). ' la ecuación de la hip>rbola ser9:

Al quitar denominadores

y desarrollar las ecuacionesse obtiene, en general,

una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos o$uestos.

Ejemplo de la /ipér)ola con


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Ejemplo de la /ipér)ola coneje paralelo a 64 y centro

distinto al origen• 1allar la ecuación de la =ip>r8ola de

oco F2@, A6, de v>rtice 2,A6 y decentro "24, A6.

Ecuaci+n de la /ipér)ola con


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Ecuaci+n de la /ipér)ola coneje paralelo a 04 y centro

distinto al origen

#i el centro de la hipérbola !(x0, y

0) y el e$e

principal es paralelo a %', los focos tienen decoordenadas F("

0, y

0#c) y F'("

0, y

0-c). ' la ecuacin

de la hipérbola ser(:

Al quitar denominadores y desarrollarlas ecuaciones se obtiene, en general, unaecuacin de la forma:

Donde A y B tienen signos

o$uestos.

Ej l d l /i é ) l


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Ejemplo de la /ipér)ola coneje paralelo a 04 y centro

distinto al origen1allar la ecuación de la =ip>r8ola deoco F23A, 6, de v>rtice 23A, 46 y decentro "23A, 36.

(esolución:

E i+ d l /i é ) l


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Ecuaci+n de la /ipér)olaeuil1tera

%as &i$rolas en las uelos semiejes son iguales sellaman euil*teras, $or tantoa + . ' su ecuacin es:

Las asntotas tienenpor ecuacin:

Es decir, las isectrices delos cuadrantes.

&a e,centricidad es:

Ecuaci+n de la /ipér)ola


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Ecuaci+n de la /ipér)olaeuil1tera reerida a sus

as*ntotas

+ara pasar de los ejes ?, ; a los determinados por las as#ntotas,8astar9 dar un giro de 8 alrededor del origen de coordenadas. )uedando la ecuacin como:

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