L A C H AI N E N U M É R I Q U E 3 D : D E L’ AC Q U I S I T I O N À L A

C O M P R E S S I O N D E S D O N N É E S

N O T E S D E C O U R S

D E S C O U R B E S AU X S U R FAC E S M O H AM E D D AO U D I

P R O F E S S E U R T E L E C O M L I L L E 1 , L I F L

Moteurs de Recherche 3D

2

Moteurs de recherche 3D

Trouver des descripteurs invariants “robustes”. Trouver de “bonnes” distances, facile à calculer et rapides. Passage à l ‘échelle.

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Analyse des surfaces faciales 3D

Des scanners disponibles Laser/structured-light/ToF/Passive stereo/etc.

Espace de formes

5

Définir des espaces où les éléments sont des objets (courbes, surfaces, etc ..).

Modéliser les déformations par les chemins géodésiques. S. Kurtek et al. TPAMI 2012

Statistique dans l’espace des formes

Scanner un nombre important de corps humains Différentes poses Différentes personnes

Calculer la mise en correspondance

Calculer des statistiques (moyennes, PCA, etc ..)

Nouveaux systèmes d’acquisition

7

Formes 3D vs images

Géométrie Echantillonage uniforme

Parametrisation

Euclidean

Non-Euclidienne

Globale

Locale

Uniform Cartesian

Echantillonage uniforme non

définie Courtesy of Michael Bronstein

Formes 3D vs images

Représentation Déformations

Tableau de pixels

Nuage de points, maillage, etc, etc.

Rotation, affine, projective, etc.

Richesse des déformations non-

rigides

Challenges

Similarité rigide Similarité non-rigide

Similarité partielle Similarité topologique Courtesy of Michael Bronstein

Outils

Géométrie différentielle Géométrie Riemannienne

Géométrie spectrale

Courbes 2D

Un seul paramètre

t P(t)

Les courbes Soit une courbe paramétrisée par l’abscisse curviligne. est la trajectoire de la voiture qui roule à une vitesse constante.

est le vecteur vitesse, il indique le taux du changement de la position, il est tangent à la courbe.

indique le vecteur accélération, perpendiculaire à la courbe.

La courbure k = || || d’une courbe est une mesure quantitative

du caractère « plus ou moins courbé » de cette courbe.

13

Courbes 3D

Un seul paramètre

C’est quoi une surface ?

Paramétrisation d’une surface

u

v

P (u; v)

v

u Sx(u; v)

x¡1(u; v)

Surface et courbes

17

u

v

x

z

y

Exemple : les coordonnées cylindriques

x(u; v) = (R cosu;R sinu; v)

Exemple : paramétrisation de la terre

u

v

x = r cos v cos uy = r sin v cos uz = r sin u

En chaque point , nous définissons un système de coordonnées locales :

Une paramétrisation est dite régulière si et sont linéairement indépendants.

Le plan est le plan tangent au point .

Une approximation Euclidienne de la

surface.

est la normale à la surface. 20

Plan tangent et normal

u

v

S

xu xv

TpS

p

xu

xv

N ? TpS

TpS = spanfxu; xvg

q 2 Uq

Exercice : coordonnées cylindriques

x(u; v) = (R cosu;R sinu; v)

La première forme fondamentale

Un déplacement infinitésimal

Displace sur la surface de

est la matrice Jacobienne de colonne

et

dv

xu xv

du

dx = x(u + du)¡ x(u)= xudu + xvdv= Jdu

xu

xv

TpS

du

Parametrisation

Calculer la matrice Jacobienne ?

Exemple : paramétrisation de la terre

x = r cos v cos uy = r sin v cos uz = r sin u

La première forme fondamentale

La longueur du déplacement

est une matrice 2x2 symétrique définie positivie,

Les éléments de sont des produits scalaires

La forme quadratique :

est la première forme fondamentale

La première forme fondamentale un chemin dans le domaine de

paramétrisation.

correspond au chemin

sur la surface.

L’incrémentantation du paramètre t par, induit un déplacement

dans le domaine de paramétrisation de :

Le déplacement sur la surface est de

est le Jacobien de la paramétrisation.

25

ds = xudu + xvdv = Jdu

u

v

La première forme fondamentale (Do Carmo) Définition : La restriction du produit euclidien de au plan tangent à en p est dite la I-forme fondamentale de la surface en p.

La I-forme fondamentale d’une surface est une forme bilinéaire

symmétrique définie positive sur La matrice associée à cette forme dans la base est definie par :

STpS S

TpS

Parametrisation

Calculer la matrice Jacobienne ?

Calculer la première forme fondamentale ?

Première forme fondamentale

x = r cos v cos uy = r sin v cos uz = r sin u

La première forme fondamentale Exercice : Calcul de l’aire d’une région R d’une surface S ?

28

La première forme fondamentale

29

Soit une courbe définie dans le domaine de

paramétrage:

Son image sur la surface est :

Un déplacement du paramètre t de :

Génère un déplacement de :

La longueur de cette courbe sur la surface est :

Géométrie intrinsèque La longueur d’une courbe

Le point de vue différentielle

Induit une métrique (intrinsèque)

La géométrie intrinsèque est complétement décrite par la première forme fondamentale.

La première forme est invariante aux isométries.

30

Distance géodésique v.s distance Euclidienne

31 Courtesy of Michael Bronstein

Maillages et graphes Un maillage triangulaire est une Une géométrie Une topologie

Topologie

Réalisation géométrique

32

Exemple d’un maillage

33 Topologie Geométrie

Vertices

Edges

Faces

Coordinates

Exemple de calcul de la normale

34

Calcul de la normale

Surfaces et variétés (manifolds)

Un espace toplogique qui localement ressemble (homéomorphe) à est une variété de dimension n.

Not a manifold

Surfaces et variétés (manifolds)

36 Un maillage qui n’est pas une variété

Arrête partagé par 4 triangles

Distance Nous définissions une fonction distance qui mesure les distances locales : Le chemin entre deux points est l’ensemble des

segments connectés :

Où et La longueur d’un chemin = la sommes des longueurs des

segments est définie par :

37

Distance géodésique Le plus court chemin entre deux points

Objectif approximer la distance géodésique par Problème du plus cours chemin : calculer et

entre les points

38

Dijkstra’s algorithm

39

Paris

Brussels

Berlin

Munich

Prague

Vienna

346

183 566

194

285

504

407

271

0

∞

∞

∞ ∞

∞ 0

183

346

183

346

0

679

749

679

749

183 183

617

346 346 346

617 617 904 904 617

749 749

904 904 904

Courtesy of Michael Bronstein

Exemple de calcul de distance géodésique

40

Les courbures

[Image wikipédia]

41

Rappels mathématiques Soit une fonction , la dérivée de F au point

est la matrice qui décrit les petites variations en F(p) quand la

position p change

Si est exprimée en terme alors la

dérivée est la matrice de taille

42

Rappels mathématiques

Etant donnée une fonction , nous pouvons approximer

cette fonction autour du point (0,0) par le polynôme de Taylor :

43

Constante Linéaire quadratique

Si F(0,0) = 0 et

Rappels mathématiques

Forme quadratique

44

Nous pouvons ré-écrire F de la façon suivante :

Rappels mathématiques

45

Courbures Nous supposons

P est l’origine

Le plan x-y est le plan

tangent

Localement la surface est approximée par z=F(x,y)

46

Courbures

Si y=0, nous obtenons la courbe ayant comme courbure

47 47

Courbures

Si x=0, nous obtenons la courbe ayant comme courbure

48 48

Courbures

Tout autre ligne dans le plan tangent, génère une courbe avec une courbure comprise entre

49 49

Courbures

50

Les valeurs de et sont les courbures principales au point p et les directions des courbes correspondantes au point p sont appelées les directions principales.

Caractérisation de surfaces Descripteur local : détails du modèle

k1 = k2 = 2 k1 = 2 ; k2 = -2 k1 = k2 = -2 k1 = 2 ; k2 = 0

Courbures Le produit des principales de courbures , est appelé la

courbure Gaussienne.

La somme des principales de courbures, est appelée la courbure moyenne.

52

53

Endmorphisme de Weingartan La deuxième forme fondamentale d’une surface en un point

est la forme bilinéaire symétrique sur définie par la matrice dans la base

k1 et k2 sont les vecteurs propres de l’endormorphisme de Weingarten defini par la matrice : II.IW 1−=

Démo Meshlab http://meshlab.sourceforge.net/

54

http://meshlab.sourceforge.net/

3D face segmentation

The pose correction

Kyong I. Chang, Thesis, 2004

3D face segmentation

a nose tip is expected to be a peak

a pair of eye cavities can be a pair of pit regions

the nose bridge can be a saddle region

K > TK ; H < TH

K > TK ; H < TH

K < TK ; H > TH

Spectre de courbure (Shape Index)

Une seule valeur (Koenderink & van Doorn - 1992) :

Propriétés :

invariante par rapport à la rotation et au facteur d’échelle

intervalle [-1; +1] le rapport permet de s'affranchir de la "force" des courbures valeurs de signes opposées = surfaces identiques mais

d'orientations opposées calcul impossible avec : k1 = k2, k1 + k2 ≠ 0 : Ip= ± 1 selon signe de k1 + k2 k1 = k2 = 0 : plan, valeur particulière attribuée à Ip

2121

21

,arctan2 PPPP

PPP kkkk

kkI ≥

−+

=π

Spectre de courbure

Spectre de courbure (Shape Index)

Une seule valeur (Koenderink & van Doorn - 1992) :

Propriétés :

invariante par rapport à la rotation et au facteur d’échelle

intervalle [-1; +1] le rapport permet de s'affranchir de la "force" des courbures valeurs de signes opposées = surfaces identiques mais

d'orientations opposées calcul impossible avec : k1 = k2, k1 + k2 ≠ 0 : Ip= ± 1 selon signe de k1 + k2 k1 = k2 = 0 : plan, valeur particulière attribuée à Ip

2121

21

,arctan2 PPPP

PPP kkkk

kkI ≥

−+

=π

Spectre de courbure

Paramétrisation de Monge

Représentation implicite : la surface est l’ensemble des points (x,y,z) de l’espace vérifiant l’équation F(x,y,z).

Représentation paramétrique : la surface est l’image dans R3 d’un sous-ensemble D de R2 par une fonction X : X(u1,u2)=(x(u1,u2), y(u1,u2), z(u1,u2)).

Représentation par graphe : la surface est l’ensemble des triplets (x,y,f(x,y)), avec x et y deux réels.

Paramétrisation de Monge

Une paramétrisation de Monge est une fonction différentiable r, définie d’un ouvert U de R2 et à valeurs dans R3, de la forme :

Paramétrisation de Monge

Les formes fondamentales de la paramétrisation de Monge

64

++=

yyxy

xyxx

yxffff

ffII

2211

++

= 22

11

yyx

yxx

ffffff

I

221

)1,,(

yx

tyx

ff

ffN

++

−−=

Approximation par une quadrique

Approximation par une quadrique

Références Bronstein A., Bronstein M., Kimmel R. (2008). Numerical geometry of

non-rigid shapes. Springer. http://www.cs.technion.ac.il/~mbron/

Andrew Pressley, Elementary differential geometry, Springer

Barrett O’neill, Elementary Differnetial geometry

Manfredo DoCarmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces

67

http://www.amazon.fr/s/ref=ntt_athr_dp_sr_1/275-7806406-5413233?_encoding=UTF8&search-alias=books-fr-intl-us&field-author=Manfredo DoCarmo

Diapositive numéro 1Moteurs de Recherche 3DMoteurs de recherche 3DAnalyse des surfaces faciales 3DEspace de formesStatistique dans l’espace des formesNouveaux systèmes d’acquisitionDiapositive numéro 8Diapositive numéro 9Diapositive numéro 10Diapositive numéro 11Courbes 2DLes courbesCourbes 3DC’est quoi une surface ?Paramétrisation d’une surfaceSurface et courbesExemple : les coordonnées cylindriquesExemple : paramétrisation de la terre�Plan tangent et normalExercice : coordonnées cylindriquesLa première forme fondamentaleExemple : paramétrisation de la terreLa première forme fondamentaleLa première forme fondamentaleLa première forme fondamentale (Do Carmo)Première forme fondamentaleLa première forme fondamentaleLa première forme fondamentaleGéométrie intrinsèqueDistance géodésique v.s distance EuclidienneMaillages et graphesExemple d’un maillageExemple de calcul de la normaleSurfaces et variétés (manifolds)Surfaces et variétés (manifolds)DistanceDistance géodésiqueDijkstra’s algorithm�Exemple de calcul de distance géodésiqueLes courburesRappels mathématiquesRappels mathématiquesRappels mathématiquesRappels mathématiquesCourbures CourburesCourburesCourburesCourburesCaractérisation de surfacesCourburesEndmorphisme de WeingartanDémo Meshlab3D face segmentation3D face segmentationSpectre de courbure (Shape Index)Spectre de courbureSpectre de courbure (Shape Index)Spectre de courbureParamétrisation de MongeParamétrisation de MongeParamétrisation de MongeLes formes fondamentales de la paramétrisation de MongeApproximation par une quadriqueApproximation par une quadriqueRéférences