L53

Tabla de integrales

FORMAS ELEMENTALES

1. S u d v = uv - v d u S 2. / u " d u = n+l 1

10. S s e c u t a n u d u = secu+C

un+l + c si n + -1 11. J c s c u c o t u d u = - c s c u + C

3. / d " = l n l u , + C U

4. S e" du = e" + C 5. / a " d u = a" + C

6. J s e n u d u = -cosu + C

7. J c o s u d u = s e n u + C

8. / s e c 2 u d u = t a n u + C

9. / c s c 2 u d u = - c o t u + C

FORMAS TRIGONOMTRICAS

1 1 2 4

19. Jsen'udu = "u - -sen2u + C

u). / c o s 2 u d u = -u+-sen2u+C 1 1 2 4

21. / t a n 2 u d u = t a n u - u + C

12. / t a n u d u = l n l s e c u l f C

13. J c o t u d u = 1nIsenuI + C

14. S s e c u d u = l n I s e c u + t a n u ) + C

15. / c s c u d u = l n l c s c u - c o t u I + C

du U a

= sen" - + c

23. S s e n ' u d u = --(2+sen2u)cosu 1 + C

25. S t a n ' u d u = - tan2u+ln Icosu l+C 1

3

24. / cos3 u du = -(2 + cos2 u ) senu + C 1 3

2

1 E - - pnt2 sa - I n I "en * a I I P

28. ~ c s c ' u d u = - - c s c u c o t u + - l n l c s c u - c o t u l + C 1 1 2 2

29. Jsenau sen bu du = - - - seda - b)u sen(a + b)u 2(a - b) 2(a + b) + C sia2 # b2

(Contina en la contraportada)

"" . - .._lu_'. - " ..." - ."__. - " . .. . I " " . ~ _ . .

ECUACIONES DIFERENCIALES

u ECUACIONES

DIFERENCIALES / / Segunda edicin

C. Henrybdwards David E. Penney

The University of Georgia

TRADUCCI~N:

Victor Hugo Ibarra Mercado Lic. en Fsica y Matemticas

Coordinador Matemticas Aplicadas Actuara - U. Anhuac

ESFM-IPN

scar Alfred0 Palmas Velasco Doctor en Ciencias (Matemticas) Departamento de Matemticas Facultad de Ciencias, UNAM

REVISIN TCNICA:

M. en C. Juan Carlos del Valle Sotelo ITESM-CEM

MXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILE ESPAA GUATEMALA PER PUERTO RICO VENEZUELA

Datos de catalogacin bibliogrifica

Edwards, C. Henry, et al. Ecuaciones diferenciales, 2a. ed.

Pearson Educacin, Mxico, 2001

ISBN 968-444-438-9

Formato: 20 X 25.5 cm Pginas 808

Versin en espaol de la obra titulada Differential Equations and Boundary Value Problems, Second Edition de C. Henry Edwards y David E. Penney, publicada originalmente en ingls por Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, E.U.A.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Original English language title by Prentice Hall Copyright 02000 All rights reserved ISBN 0-13-079770-7

Edicin en espaol: Editor: Guillermo Trujano Mendoza

Supervisor de Traduccin: Felipe de J. Castro Prez Supervisor de Produccin: Alejandro A. Gmez Ruiz

Edicin en ingls: Acquisitions Editor: George Lobell Director of Marketing: Melody Marcus I .. .8 Art Director: Maureen Eide Cover Designer: Joe Sengotta Interior Design and Layout: Meryl Poweski

e-mail: [email protected]

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SEGUNDA EDICI~N. 2001 i. A'

D.R. 0 2001 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Calle 4 Nm. 25-2do. piso Fracc. Industrial Alce Blanco 53370 Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Nm. 103 l .

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqu- mico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. i i,

CONTENIDO

Proyectos de cmputo x Prefacio xi

CAPTULO 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 1 1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 1 O 1.3 Campos direccionales y curvas solucin 18 1.4 Ecuaciones separables y aplicaciones 30 1.5 Ecuaciones lineales de primer orden 44 1.6 Mtodos de sustitucin y ecuaciones exactas 58

CAPTULO 2 MODELOS MATEMTICOS Y MTODOS NUMRICOS 75 2.1 Modelos de poblacin 75 2.2 Soluciones de equilibrio y estabilidad 88 2.3 Modelos de aceleracin-velocidad 94 2.4 Aproximaciones numricas: mtodo de Euler 105 2.5 Un estudio ms completo del mtodo de Euler 1 16 2.6 El mtodo de Runge-Kutta 128

CAPTULO 3 ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 140 3.1 Introduccin: ecuaciones lineales de segundo orden 140 3.2 Soluciones de ecuaciones lineales generales 155 3.3 Ecuaciones homogneas con coeficientes constantes 168 3.4 Vibraciones mecnicas 180 3.5 Ecuaciones no homogneas y el mtodo

3.6 Vibraciones (oscilaciones) forzadas y resonancia 207 de coeficientes indeterminados 191

viii Contenido

3.7 Circuitos elctricos 220 3.8 Problemas con valores en la frontera y valores propios 228

CAPTULO 4 INTRODUCCI~N A SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 242 4.1 Sistemas de primer orden y aplicaciones 242 4.2 El mtodo de eliminacin 256 4.3 Mtodos numricos para sistemas 267

CAPTULO 5 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 284 5.1 Matrices y sistemas lineales 284 5.2 El mtodo de los valores propios para sistemas homogneos 304 5.3 Sistemas de segundo orden y aplicaciones mecnicas 320 5.4 Soluciones con valores propios multiples 334 5.5 Exponencial de una matriz y sistemas lineales 352 5.6 Sistemas lineales no homogneos 366

CAPTULO 6 SISTEMAS Y FENMENOS NO LINEALES 375 6.1 La estabilidad y el plano fase 375 6.2 Sistemas lineales y casi lineales 388 6.3 Modelos ecolgicos: depredadores y competidores 403 6.4 Sistemas mecnicos no lineales 416 6.5 Caos en sistemas dinmicos 432

CAPTULO 7 MTODOS CON TRANSFORMADA DE LAPLACE 445 7.1 Transformadas de Laplace y transformadas inversas 445 7.2 Transformacin de problemas con valores iniciales 457 7.3 Traslacin y fracciones parciales 469 7.4 Derivadas, integrales y productos de transformadas 479 7.5 Funciones de entrada continuas y continuas por partes 488 7.6 Impulsos y funciones delta 501

Contenido x

CAPTULO 8 MTODOS CON SERIES DE POTENCIAS 512 8.1 Introduccin y repaso de las series de potencias 51 2 8.2 Soluciones en series cerca de puntos ordinarios 526 8.3 Puntos singulares regulares 539 8.4 Mtodo de Frobenius: los casos excepcionales 556 8.5 Ecuacin de Bessel 572 8.6 Aplicaciones de las funciones de Bessel 582

CAPTULO 9 MTODOS CON SERIES DE FOURIER 591 9.1 Funciones peridicas y series trigonomtricas 591 9.2 Series de Fourier y convergencia: el caso general 600 9.3 Series de senos y cosenos de Fourier 609 9.4 Aplicaciones de las series de Fourier 623 9.5 Conduccin de calor y separacin de variables 629 9.6 Cuerdas vibrantes y la ecuacin de onda unidimensional 645 9.7 Temperatura estacionaria y ecuacin de Laplace 659

CAPTULO 10 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS Y VALORES EN LA FRONTERA 671 10.1 Problemas de Sturm-Liouville y desarrollos con funciones propias 671 10.2 Aplicaciones de las series con funciones propias 684 10.3 Soluciones peridicas estacionarias y frecuencias naturales 697 10.4 Problemas en coordenadas cilndricas 707 10.5 Fenmenos en dimensiones superiores 723

Referencias para estudios posteriores 743 Apndice: Existencia y unicidad de soluciones 745 Respuestas a problemas seleccionados 761 ndice / I

.... I" ... ~I_.." ."""_.""" . . _.

PROYECTOS DE COMPUTO

Los proyectos que aqu se listan corresponden a las secciones indicadas en el texto. El Manual de Proyectos de Cmputo que acompaa a la versin en ingls de este texto incluye versiones en Maple, Mathernatica y MATLAB para estos proyectos.

1.3 Campos de direcciones 1.4 La ecuacin logstica 1.5 Fluctuaciones de las temperaturas en el interior 1.6 Soluciones con lgebra computacional

2.1 Modelo logistico de datos de poblacin 2.4 Implementacin del mtodo de Euler 2.5 Implementacin del mtodo de Euler mejorado 2.6 Implementacin del mtodo de Runge-Kutta

3.1 Graficacin de familias solucin de segundo orden 3.2 Graficacin de familias de soluciones de tercer orden 3.3 Solucin aproximada de ecuaciones lineales 3.5 Automatizacin de la variacin de parmetros 3.6 Vibraciones forzadas

4.1 Gravitacin y leyes del movimiento planetario de Kepler 4.2 Solucin de sistemas con lgebra computacional 4.3 Cometas y un vehculo espacial

5.1 Solucin automtica de sistemas lineales 5.2 Clculo automtico de valores y vectores propios 5.3 Vibraciones inducidas por terremotos a edificios de varios pisos 5.4 Valores propios defectuosos y vectores propios generalizados 5.5 Solucin automtica del mtodo de exponenciales de matrices 5.6 Variacin de parmetros automatizada

6.1 Retratos fase y ecuaciones de primer orden 6.2 Retratos fase de sistemas casi lineales 6.3 Su propia reserva para la conservacin de la vida salvaje

Proyectos de cmputo X

6.4 Las ecuaciones de Rayleigh y van der Pol

7.1 Transformadas, transformadas inversas y el lgebra por computadora 7.2 Transformadas de problemas con valores iniciales 7.3 Anlisis del amortiguamiento y la resonancia 7.5 Funciones de ingeniera

8.2 Clculo automtico de coeficientes de una serie 8.3 Automatizacin del mtodo de series de Frobenius 8.4 El caso excepcional va reduccin de orden 8.6 Ecuaciones de Ricatti y funciones de Bessel modificadas

9.2 Clculo algebraic0 por computadora de los coeficientes de Fourier 9.3 Series de Fourier de funciones suaves por partes 9.5 Anlisis de varillas calentadas 9.6 Anlisis de cuerdas vibrantes

10.1 Desarrollos numricos en trminos de funciones propias 10.2 Estudio numrico del flujo de calor 10.3 Vigas vibrantes y trampolines 10.4 Funciones de Bessel y cilindros con calor

PREFACIO

E n las dcadas de 1950 al 2000 muchos cursos introductorios de ecuaciones diferenciales para estudiantes de ciencias e ingeniera han enfatizado la solucin for- mal de tipos estndares de ecuaciones diferenciales utilizando una (aparente) bolsa de sorpresas de tcnicas de solucin sistemtica. Con frecuencia, los estudiantes en tales cursos concentran su aprendizaje en relacionar mtodos donde se memorizan ecuaciones. La evolucin del presente texto est basada en la experiencia de enseanza de un nuevo curso con mayor nfasis en ideas conceptuales y en el uso de proyectos de laboratorio para involucrar a los estudiantes en experiencias de resolucin de problemas ms intensas y continuas.

La disponibilidad de aplicaciones tcnicas de cmputo tales como Maple, Mathematica y MATLAB est reformando la funcin y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ciencia e ingeniera, y le han dado forma a nuestro enfoque en este texto. Nuevas tecnologas motivan un desplazamiento de mtodos manuales tradicionales a mtodos cualitativos y con base en computadoras que:

Haga accesible un rango ms amplio de aplicaciones ms realistas; Permita el uso tanto de clculo numrico como de visualizacin grfica para desarrollar mejor comprensin conceptual; y Aliente investigaciones empricas que incluyan pensamiento y anlisis ms pro- fundo que el de los problemas de libros de texto estndares.

Caractersticas principales

Las caractersticas siguientes de este texto tienen la intencin de apoyar un curso contemporneo de ecuaciones diferenciales que aumente las principales habilidades tradicionales con perspectivas conceptuales que los estudiantes ne- cesitarn para el uso eficaz de ecuaciones diferenciales en su trabajo y estudio subsecuentes:

En todo el texto, hemos reducido la cobertura de temas que rara vez se uti- lizan y agregado nuevos temas, para una mayor nfasis en las tcnicas principales as como en aspectos cualitativos de los temas asociados con campos de direcciones, curvas solucin, imgenes del plano fase y sistemas dinmicos. Para este fin combinamos mtodos de solucin simblica, grfica y numrica siempre que parezca ventajoso. En las figuras, ejemplos, problemas y proyectos en todo el texto debe ser evidente un nuevo y fresco sabor computacional. En esta edicin, alrededor d d 20% de los ejemplos en el texto son nuevos.

Prefacio xiii

La organizacin del libro da una mayor importancia a los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, que se estudian en los captulos 4 y 5 (junto con el lgebra lineal necesaria), seguida por un tratamiento sustancial en el captulo 6 de sistemas y fenmenos no lineales (incluyendo caos en sistemas dinmicos). Este libro inicia con el anlisis y estudio de la modelacin matemtica de fenmenos del mundo real. El hecho de que las ecuaciones diferenciales tengan diversas e importantes aplicaciones es suficientemente obvio existen keas completas del tema a consecuencia de sus aplicaciones. Los estudiantes apren- den a travs de modelacin matemtica e investigacin emprica para equili- brar las preguntas de qu ecuacin plantear, cmo resolverla y si una solucin dar informacin til. Aunque estamos de acuerdo en la utilidad de las aplicaciones del mundo real, tambin pensamos que el primer curso en ecuaciones diferenciales debe ser una ventana al mundo de las matemticas. Aunque no es factible ni deseable incluir demostraciones de los teoremas fundamentales de existencia y unicidad durante el desarrollo de un curso elemental, los estudiantes necesitan ver los enunciados precisos y claros de estos teoremas para entender su papel en la materia. Incluimos demostraciones apropiadas de la existencia y unicidad en el apndice y en ocasiones nos referimos a ellas en el texto. Aunque nuestro enfoque refleja un amplio uso de los nuevos mtodos con computadora para la solucin de ecuaciones diferenciales, continuamos consi- derando que es importante que los estudiantes aprendan ciertos mtodos ana- lticos elementales de solucin (como en el captulo l y 3 ) . Una razn es que con frecuencia el uso efectivo y confiable de mtodos numricos requieren de un anlisis preliminar utilizando tcnicas elementales estndares; la construccin de modelos numricos realistas con frecuencia tiene como base el estudio de un modelo analtico ms sencillo. Por lo tanto continuaremos resaltando el dominio de las tcnicas de solucin tradicionales (en especial a travs de la inclusin de extensos conjuntos de problemas).

Caractersticas computacionales

Las caractersticas siguientes resaltan aspectos de la tecnologa de cmputo que dis- tingue mucho nuestra exposicin.

Ms de 300 grficas generadas por computadora casi la mitad de ellas nuevas para esta edicin y la mayora construidas utilizando MAPLE- muestran a los estudiantes ilustraciones vvidas de campos de direcciones, curvas solucin e imgenes de planos fase que traen a la vida a soluciones simblicas de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, la grfica de la portada muestra una funcin propia de la ecuacin de onda tridimensional que ilustra ondas en un planeta esfrico y se construy utilizando las funciones asociadas de Legendre (vase la seccin 10.5). Casi 45 proyectos de cmputo la mitad de ellos nuevos o revisados de manera sustancial para esta edicin- siguen las secciones clave a lo largo del texto. Estas secciones de proyectos con tecnologa neutral ilustran el uso de sistemas de lgebra computacional como Maple, Mathematica y MATLAB, y buscan activamente atraer al estudiante en la aplicacin de nueva tecnologa.

Un nfasis numrico nuevo que es asequible por la pronta introduccin de tcnicas numricas de solucin en el captulo 2 (sobre modelos matemticos y mtodos numricos). Ah y en el captulo 4, en donde se estudian tcnicas numricas para sistemas, se alcanza un concreto y tangible gusto por la inclusin de algoritmos numricos presentados de forma paralela en un rango que va desde calculadoras grficas hasta MATLAB.

Una perspectiva conceptual formulada por medio de la disponibilidad de recur- sos computacionales, que permiten una cobertura ms concisa y moderna de ciertos temas manuales tradicionales (como ecuaciones exactas y variacin de parmetros) en los captulos 1, 3 y 5.

Caractersticas de modelacin

Tomamos la modelacin matemtica como una meta y motivacin constante para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Para mostrar el rango de aplicaciones en este texto, considere las preguntas siguientes:

Qu explica el tiempo de retraso observado entre las oscilaciones de las temperaturas diarias en el interior y exterior? (Seccin 1.5)

Qu hace la diferencia entre el da del juicio y la extincin en la poblacin de lagartos? (Seccin 2.1)

Cul es la diferencia de reacciones de un monociclo y un auto de dos ejes a saltos en la carretera? (Secciones 3.7 y 5.3) Cmo puede predecir el instante del paso por el perihelio de un cometa recin observado? (Seccin 4.3)

Por qu un terremoto puede demoler un edificio y dejar intacto otro junto al primero? (Seccin 5.3)

Qu determina si dos especies vivirn juntas de manera armnica, o si la competencia tendr como resultado la extincin de una especie y la supervi- vencia de la otra? (Seccin 6.3) Por qu y cundo la no linealidad conduce al caos en sistemas biolgicos y mecnicos? (Seccin 6.5) Por qu las astas son huecas en lugar de ser slidas? (Seccin 8.6) Qu explica la diferencia en los sonidos de una guitarra, un xilfono y un tambor? (Secciones 9.6, 10.2 y 10.4)

Organizacin y contenido Hemos reformado el enfoque usual y la secuencia de temas para adecuarlos a una nueva tecnologa y nuevas perspectivas. Por ejemplo.

Despus de un resumen de ecuaciones de primer orden en el captulo 1 (con la cobertura de ciertos mtodos simblicos tradicionales un poco racionalizado), el captulo 2 ofrece una pronta introduccin a la modelacin matemtica, estabilidad y propiedades cualitativas de las ecuaciones diferenciales y mtodos num-

Prefacio xv

ricos -una combinacin de temas que por lo regular estn dispersos en un curso introductorio. Los captulos 4 y 5 proporcionan un tratamiento flexible de sistemas lineales. Motivados por las tendencias actuales en la educacin de ciencia e ingeniera y la prctica. El captulo 4 ofrece una introduccin intuitiva a sistemas de primer orden, modelos y tcnicas de aproximacin numrica. El captulo 5 inicia con un tratamiento autocontenido del lgebra lineal que es necesaria, y luego presenta el enfoque de los valores propios para sistemas lineales. Incluye un nmero poco comn de aplicaciones (que van desde vagones de ferrocarril hasta terremotos) de todos los casos del mtodo de los valores propios. Ahora la seccin 5.5 incluye un tratamiento ms extenso de exponenciales de matrices y en esta edicin se agreg la nueva seccin 5.6 sobre sistemas lineales no homogneos. Los mtodos de la transformada de Laplace (captulo 7) y los mtodos de series de potencias (captulo 8) siguen al material sobre sistemas lineales y no lineales pero puede cubrirse en cualquier punto anterior (despus del captulo 3) que el instructor prefiera. Los captulos 9 y 10 tratan las aplicaciones de las series de Fourier, separacin de variables y la teoria de Sturm-Liouville para ecuaciones diferenciales parciales y problemas con valor en la frontera. Despus de la introduccin de las series de Fourier, se estudian las tres ecuaciones clsicas -la ecuacin de onda, la ecuacin de calor y la ecuacin de Laplace- en las ltimas tres secciones del captulo 9. Los mtodos de Sturm-Liouville del captulo 10 se desarrollan lo suficiente para incluir algunas aplicaciones ms significativas y realistas.

Este libro incluye suficiente material distribuido de manera apropiada para diferentes cursos que vm'an en longitud desde un trimestre hasta dos semestres. La versin ms breve, Differential Equations: Computing and Modeling, termina con el captulo 7 sobre mtodos de transformada de Laplace (y por tanto omite el material sobre mtodos de series de potencias, series de Fourier, separacin de variables y ecuaciones diferenciales parciales).

Problemas y proyectos

Tal vez ningn otro curso de matemticas (superior a los de clculo) depende tanto de los conjuntos de ejercicios y problemas para promover un aprendizaje adecuado por parte del estudiante. Ms de 200 de los casi 1900 problemas del texto son nuevos para esta edicin. Cada seccin contiene ms problemas de clculo (del estilo "resuelva las ecuaciones siguientes") que las que por lo comn utilizar cualquier clase, ms un nmero amplio de problemas aplicados y conceptuales.

La seccin de respuestas incluye las soluciones a la mayor parte de los problemas con nmero impar y para algunos de los de nmero par. El Manual de Solucio- nes que acompaa a la edicin en ingls de este libro proporciona soluciones desarrolladas para ms de la cuarta parte de los problemas del libro; la mayora de estas soluciones son para los problemas con nmero par. Se proporciona una breve sugerencia o indicacin para otra cuarta parte, y la respuesta sola para la mayor parte de los problemas restantes en el texto que no incluyen respuestas en sus enunciados.

Las 44 secciones de proyectos en el texto contienen muchos material de problemas adicionales y ampliados diseados para atraer a los estudiantes a la explo- racin y aplicacin de tecnologa computacional. Estos proyectos se amplan de

manera considerable en el Manual de Proyectos de Cmputo que acompaa a la edicin en ingls de este texto y lo complementa con investigaciones adicionales y, algunas veces, ms desafiantes. Cada seccin de proyecto en este manual tiene sub- secciones paralelas Using Maple, Using Mathematica y Using MATLAB que detallan los mtodos y tcnicas aplicables de cada sistema y proporcionar a los estudiantes usuarios una oportunidad de comparar los mritos y estilos de diferentes sistemas computacionales. Los estudiantes pueden bajar los guiones de los proyectos y las hojas de clculo del sitio Web de apoyo www .prenhall . corn/edwards.

Agradecimientos

En la preparacin de esta revisin estamos muy agradecidos de los consejos y asis- tencia de los muy capaces revisores siguientes:

George Dorner,

Caroline N. Haddad, William Rainey Harper College

State University of New York at Geneseo

Da-Veig Ho,

Robert R. Jensen, Georgia Institute of Technology

Loyola University Chicago

David A. Singer,

Ram P. Srivastav, Case Western Reserve University

State University of New York at Stony Brook

Kenneth B. Stolarsky, University of Illinois at

Urbana-Champaign

Tambin agradecemos a Bayani DeLeon por su eficiente supervisin del proceso de produccin del libro y a Patricia M. Daly, nuestra correctora, por su cuidadosa y di- ligente atencin al manuscrito. Nuestro especial agradecimiento a nuestro editor, George Lobell, por su nimo y consejos concernientes a esta revisin y a Dennis Kletzing por su atractivo diseo y composicin del libro. Una vez ms, somos in- capaces de expresar de forma adecuada nuestra deuda a Alice F. Edwards y Carol W. Penney por su ayuda, estmulo, apoyo y paciencia continuos.

C. H. E. D. E. P. [email protected] [email protected] Athens, Georgia, U.S.A. Athens, Georgia, U.S.A.

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CAPTULO 1

n . Ecuaciones diferenciales 1 . 1 de primer orden

A

1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES Y MODELOS MATEMTICOS

L as leyes del universo estn escritas en el lenguaje de las matemticas. El lgebra es suficiente para resolver muchos problemas estticos, pero los fenmenos naturales ms interesantes implican cambios y se describen slo por medio de ecuaciones que relacionen las cantidades que cambian.

Puesto que la derivada &/dl = f' ( t ) de la funcinfes la razn a la cual la cantidad x = f ( t ) est cambiando con respecto a la variable independiente t, es natural que las ecuaciones que incluyan derivadas se usen con frecuencia para describir el universo cambiante. Una ecuacin que relaciona una funcin desconocida y una o ms de sus derivadas se llama ecuacin diferencial.

EJEMPLO 1 La ecuacin diferencial

dx d t - = x * + t 2

incluye tanto a la funcin desconocida x(t) como a su primer derivada x'(t) = &/dt. La ecuacin diferencial

d2Y dY " 3 3 - + + y = o dx2 dx

incluye la funcin desconocida y de la variable independiente x y las primeras dos derivadas y y y" de y. m

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres objetivos principales:

1. Descubrir la ecuacin diferencial que describa una situacin fsica especi-

2. Determinar -ya sea de manera exacta o aproximada- la solucin apropiada ficada.

de esa ecuacin.

2 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

3. Interpretar la solucin que se encuentre.

En lgebra, por lo regular buscamos los nLirneras desconocidos que satisfagan una ecuacin tal como x3 + 7x2 - 1 l x + 41 = O. En contraste, al resolver una ecuacin diferencial, nos enfrentamos a determinarfunciones desconocidas y = y(x) para las cuales una identidad como y ' ( ~ ) = 2xy(x) "esto es, la ecuacin diferencial

dY - = 2xy d x

se cumpla en algn intervalo de nmeros reales. Por lo comn, si es posible, necesitaremos determinar todas las soluciones de la ecuacin diferencial.

EJEMPLO 2 Si C es una constante y

y (x) = c&,

entonces

- dY = c @ r e x 2 ) = (2x1 (Cex2) = 2xy d x

As, toda funcin y(x) de la forma en la ecuacin (1 ) satisface "y por tanto es una solucin de- la ecuacin diferencial

dY - = 2xy d x

para toda x. En particular, la ecuacin (1) define una familia infinita de soluciones diferentes de esta ecuacin diferencial, una para cada eleccin de la constante arbitraria C. Por medio del mtodo de separacin de variables (seccin 1.4) puede de- mostrarse que toda solucin de la ecuacin diferencial en (2 ) es de la forma de la ecuacin (1). N

Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos

Los tres ejemplos siguientes ilustran el proceso de traducir leyes y principios cien- tficos en ecuaciones diferenciales. En cada uno de estos ejemplos la variable independiente es el tiempo t, pero veremos numerosos ejemplos en los que alguna cantidad diferente del tiempo es la variable independiente.

EJEMPLO 3 n

FIGURA 1.1.1 L a ley de enfriamiento de Newton, ecuacin (3), describe el enfriamiento de una roca caliente en agua.

La ley de enfriamiento de Newton puede ser establecida en la forma siguiente: La tasa de cambio de la temperatura T(t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio ambiente (figura l . l . 1). Esto es,

dT - dt = -k(T - A ) ,

donde k es una constante positiva. Observe que si T > A, entonces dT/dt < O, de modo que la temperatura es una funcin decreciente de t y el cuerpo se est enfrian- do. Pero, si T < A, entonces dT/d t > O, y por tanto Test aumentando.

As, la ley fsica se traduce a una ecuacin diferencial. Si damos valores a k y A, debemos ser capaces de determinar una frmula explcita para T(t), y entonces "con la ayuda de esta frmula- podremos predecir la temperatura futura del cuerpo. N

1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 3

EJEMPLO 4

EJEMPLO 5

FIGURA 1.1.2 La ley de dre- nado de Torricelli, ecuacin (4), describe el desage de un tanque con agua.

La ley de Torricelli indica que la tasa de cambio con respecto al tiempo del volu- men V del agua en un tanque que se vaca (figura 1.1.2) es proporcional a la raz cuadrada de la profundidad y del agua en el tanque:

dV d t - = -k&,

donde k es una constante. Si el tanque es un cilindro con lados verticales y rea de su seccin transversal A, entonces V = Ay, de modo que dV/d t = A (dy /d t ) . En este caso, la ecuacin (4) toma la forma

donde h = k/A es una constante. m La tasa de cambio con respecto al tiempo de una poblacin P( t ) con tasas de natalidad y mortalidad constantes es, en muchos casos sencillos, proporcional al tama- o de la poblacin. Esto es,

A D U 1 - = k P , dt

donde k es la constante de proporcionalidad. m Analicemos con mayor detalle el ejemplo 5. Primero observe que cada fun-

cin de la forma

~ ( t ) = Cek' (7)

es una solucin de la ecuacin diferencial

d P - = k P d t

en (6). Verificamos esta afirmacin como sigue:

P' ( t ) = Ckek' = k (Cek') = k P ( t )

para todos los nmeros reales t . Puesto que cada funcin de la forma dada en (7) sustituida en la ecuacin (6) produce una identidad, todas esas funciones son soluciones de la ecuacin (6).

Por lo tanto, aun si el valor de la constante k es conocido, la ecuacin diferencial dP/d t = kP tiene un nmero infinito de soluciones diferentes de la forma P(t) = Cekf, uno para cada eleccin de la constante "arbitraria" C. Esto es comn de las ecuaciones diferenciales. Tambin es afortunado, ya que puede permitirnos utilizar informacin adicional para seleccionar de entre todas estas soluciones una particular que se adecue a la situacin bajo estudio.

EJEMPLO 6 Suponga que P( t ) = Cekf es la poblacin de una colonia de bacteria en el tiempo t , que la poblacin en el instante t = O (horas, h) fue 1000, y que la poblacin se du- plica despus de 1 h. Esta informacin adicional acerca de P(t ) conduce a las ecuaciones siguientes

1000 = P ( O ) = Ceo = C, 2000 = ~ ( 1 ) = Cek.


Se sigue que C = 1000 y que ek = 2, de modo que k = In 2 = 0.693147. Con este valor de k la ecuacin diferencial en ( 6 ) es

d P - = (ln2)P = (0.693147)P. dt

La sustitucin de k = In 2 y C = 1000 en la ecuacin ( 7 ) da la solucin particular

que satisface las condiciones dadas. Podemos utilizar la solucin particular para

y media (cuando t = lS), el nmero de bacterias en la poblacin es C = 1 2 C = 6 C = 3 predecir la poblacin de la colonia de bacterias. Por ejemplo, despus de una hora

P ( 1 . 5 ) = 1000. 23'2 =: 2828. m

La condicin P(0) = 1000 en el ejemplo 6 se conoce como condicin inicial ya que con frecuencia escribimos ecuaciones diferenciales para las que t = O es el "tiempo inicial". La figura l. 1.3 muestra varias grfkas diferentes de la forma P(t) = Cekf con k = In 2. Las grficas del infinito nmero de soluciones de dPldt = kP de hecho llenan por completo el plano bidimensional, y ningn par de ellas se inter-

P(0). Puesto que exactamente una solucin pasa por cada uno de tales puntos, en FIGURA 1.1.3 Grficas de este caso vemos que una condicin inicial P(0) = Po determina una solucin nica P(t) = Cekt con k = In 2. que concuerda con los datos dados.

C"12 C = - 6 C=-3 sectan. Adems, la seleccin de un punto en el eje P conduce a la determinacin de 1

Modelos matemticos

Nuestro breve estudio de crecimiento de poblacin en los ejemplos 5 y 6 ilustra el proceso crucial de la modelacin maternritica (figura l. 1.4), que incluye lo siguiente:

1. Formulacin de un problema del mundo real en trminos matemticos; esto

2. Anlisis o solucin del problema matemtico resultante. 3. Interpretacin de los resultados matemticos en el contexto original de la si-

tuacin del mundo real; por ejemplo, responder la pregunta originalmente planteada.

es, la construccin de un modelo matemtico.

FIGURA 1.1.4 El proceso de la modelacin matemtica.

1 . I Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 5

En el ejemplo de la poblacin, el problema del mundo real es el de determinar la poblacin en un momento futuro. Un modelo matemtico consiste en una lista de variables ( P y t ) que describe la situacin dada, junto con una o ms ecuaciones que relacione estas variables (dP/dt = kP, P(0) = Po) que son conocidas o se supone son vlidas. El anlisis matemtico consiste en la solucin de estas ecuaciones (aqu, para P como una funcin de t). Por ltimo, aplicamos estos resultados matemticos para intentar responder la pregunta original del mundo real.

Sin embargo, es muy probable que ninguna solucin de la ecuacin diferencial cumpla toda la informacin conocida. En tal caso debemos sospechar que la ecuacin diferencial podra no describir de manera adecuada al mundo real. Por ejemplo, las soluciones de la ecuacin (6) son de la forma P(t) = Cekf, donde C es una constante positiva, pero ninguna eleccin de las constantes k y C describe con precisin P(t) el crecimiento real de la poblacin humana del mundo en los siglos pasados. Por lo tanto, debemos escribir una, tal vez, ms complicada ecuacin diferencial, una que tome en cuenta los efectos de la presin de la poblacin sobre la tasa de natalidad, la disminucin de las reservas alimenticias y otros factores. Esto no debe considerarse como un error del modelo en el ejemplo 5, sino como una idea que debe considerar factores adicionales para estudiar el crecimiento de poblacio- nes. En realidad, la ecuacin (6) es muy precisa bajo ciertas condiciones -por ejemplo, el crecimiento de una poblacin de bacterias bajo condiciones de alimen- to y espacio ilimitados.

Pero en nuestro ejemplo de poblacin ignoramos los efectos de factores tales como variablidad en tasas de natalidad y mortalidad. Esto hizo muy sencillo el anlisis matemtico, aunque tal vez no realista. Un modelo matemtico satisfactorio es- t sujeto a dos requisitos contradictorios. Debe ser suficientemente detallado para representar la situacin del mundo real con relativa exactitud, y aun as debe ser lo suficientemente sencillo para hacer prctico el anlisis matemtico. Si el modelo es demasiado detallado que represente por completo la situacin fsica, entonces el anlisis matemtico puede ser demasiado difcil de llevar a cabo. Si el modelo es demasiado simple, los resultados pueden ser tan imprecisos que sean intiles. Por lo tanto, hay un compromiso ineludible entre lo que es fsicamente realista y lo que es matemticamente posible. Por consiguiente, el paso ms crucial y delicado en el proceso es la construccin de un modelo que salve adecuadamente esta brecha entre el realismo y la factibilidad. Se deben encontrar caminos para simplificar el modelo matemticamente sin sacrificar las caractersticas esenciales de la situacin del mundo real.

Los modelos matemticos se examinan en toda esta obra. El resto de esta seccin introductoria se dedica a ejemplos sencillos y para uniformar la terminologa utilizada en el estudio de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones.

Ejemplos y terminologa

EJEMPLO 7 Si C es una constante y y(x) = 1/(C - x), entonces

dY 1 " - 2 dx (C -x)* = y

si x # C. As

1 c - x Y(X) = -


define una solucin de la ecuacin dlferencial

=y dY 2 d x (9)

para cualquier intervalo de nmeros reales que no contenga al punto x = C. En realidad, la ecuacin (8) define una familia uniparamtrica de soluciones de dy/& = y, una para cada valor de la constante arbitraria o parmetro C. Con C = 1 obtenemos la solucin particular

1 - 3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 Y(X) = -

X 1 - x

FIGURA 1.1.5 La solucin que satisface la condicin inicial y(0) = 1. Como se indica en la figura 1.1.5, esta de y = y2 definida por y(x) = solucin es continua en el intervalo (-00, l), pero tiene una asntota vertical en 1 / (1 -x). x = 1. w

EJEMPLO 8 Verifique que la funcin y(x) = 2x1/ - x / ~ In x satisface la ecuacin diferencial

para toda x > O.

Solucin Primero calculamos las derivadas

Luego, la sustitucin en la ecuacin (10) da

si x es positiva, de modo que la ecuacin diferencial se satisface para toda x > O.

El hecho de que podamos escribir una ecuacin diferencial no es suficiente para garantizar que tenga una solucin. Por ejemplo, es claro que la ecuacin diferencial

dT d t - = -k(T - A),

no tiene solucin (con valores reales) ya que la suma de nmeros no negativos no puede ser negativa. Para una variacin sobre este tema, observe que la ecuacin

obviamente slo tiene la solucin (con valores reales) y(x) O. En nuestros ejemplos anteriores cualquier ecuacin diferencial que tuviese una solucin, en realidad tiene un nmero infinito de ellas.

El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada ms alta que aparezca en ella. La ecuacin diferencial del ejemplo 8 es de segundo orden, y las de los ejemplos 2 al 7 son ecuaciones de primer orden, y

1 . I Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 7

es una ecuacin de cuarto orden. La forma ms general de una ecuacin diferencial de orden n con variable independiente x y funcin desconocida o variable independiente y = y(x) es

F (x , y , y ' , y" , . .. , y'"') = O. (13 )

donde F es una funcin especfica con valores reales de n + 2 variables. Hasta ahora, el uso que le hemos dado a la palabra solucibn es un poco infor-

mal. Para ser precisos, decimos que la funcin u = u(x) es una solucin de la ecuacin diferencial en (1 3 ) en el intervalo I siempre y cuando las derivadas u', u '{ . . ., u(") existan en I y

F ( X , u , U', U", ... , u'")) = O

para toda x en I. Cuando es importante la brevedad, decimos que u = u(x) satisface la ecuacin diferencial en (1 3 ) sobre I.

EJEMPLO 9 Si A y B son constantes y

y (x) = A cos 3x + B sen 3x , entonces dos derivaciones sucesivas producen

y'(x) = -3A sen 3x + 3 B cos 3x , y " ( x ) = - 9 A cos 3x - 9 B sen 3x = - 9 y ( x )

para toda x. En consecuencia, la ecuacin (14) define lo que es natural llamar una familia biparamtrica de soluciones de la ecuacin diferencial de segundo orden

y" + 9 y = O (15) en toda la recta real.

Aunque las ecuaciones diferenciales en (1 1) y (12 ) son excepciones a la regla general, veremos que una ecuacin diferencial de orden n por lo general tiene una familia de soluciones con n parmetros -una familia que incluye n constantes arbitrarias o parmetros.

En las dos ecuaciones, (1 1 ) y (12) , la aparicin de y' como una funcin definida de manera implcita provoca complicaciones. Por esta razn, en general supon- dremos que cualquier ecuacin diferencial bajo consideracin puede resolverse de manera explcita para la derivada de mayor orden que aparezca; esto es, que la ecuacin puede escribirse en la llamadaforma normal

donde G es una funcin con valores reales de n + 1 variables. Adems, siempre buscaremos slo soluciones con valores reales a menos que se advierta al lector lo contrario.

Todas las ecuaciones diferenciales que hemos mencionado hasta ahora son ecuaciones diferenciales ordinarias, queriendo decir que la funcin desconocida (variable dependiente) depende solamente de una sola variable independiente. Si la variable dependiente es una funcin de dos o ms variables independientes, enton-


EJEMPLO 10

Solucin

ces probablemente las derivadas parciales estn incluidas; si es as, la ecuacin se llama ecuacin diferencial parcial. Por ejemplo, la temperatura u = u(x, t ) en el punto x y en el tiempo t de una varilla larga y uniforme satisface (en condiciones simples y apropiadas) la ecuacin diferencial parcial

au a2u - = k - , at ax2

donde k es una constante (conocida como la dzfisividad trmica de la varilla). En los captulos 1 al 8 slo nos interesaremos por ecuaciones diferenciales ordinarius y haremos referencia a ellas simplemente como ecuaciones diferenciales.

En este captulo nos concentraremos en ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma

Tambin daremos ejemplos de la ampla variedad de aplicaciones de tales ecuaciones. Un modelo matemtico comn de una situacin aplicada ser un problema con condiciones iniciales, que consiste en una ecuacin diferencial de la forma en (17) junto con una condicin inicial y(xo) = yo. Observe que llamamos a y(xq) = yo una condicin inicial sea o no x. = O. Resolver el problema con condicin inicial

significa determinar una funcin diferenciable y = y(x) que satisface ambas condiciones de la ecuacin (1 8) en algn intervalo que contenga xo.

Dada la solucin y(x) = 1/(C - x) de la ecuacin diferencial dy/dx = y2 estudiada en el ejemplo 7, resuelva el problema con condicin inicial

2 - dx

= y , y(1) = 2.

Slo necesitamos determinar el valor de C de modo que la solucin y(x) = 1/(C - x) satisfaga la condicin inicial y( 1) = 2. La sustitucin de los valores x = 1 y y = 2 en la solucin dada produce

1 2 = y(1) = - c - 1

as 2C - 2 = 1, y de aqu C = ;. Con este valor de C obtenemos la solucin deseada

m 1 L

La pregunta principal de mayor inters para nosotros es esta: si nos diesen una ecuacin diferencial sabiendo que tiene una solucin que satisface una condicin inicial dada, cmo determinamos o calculamos esa solucin? Y una vez encontra- da, qu podemos hacer con ella? Veremos que unas cuantas tcnicas relativamen- te sencillas -separacin de variables (seccin 1.4), solucin de ecuaciones lineales (seccin 1 S ) , mtodos elementales de sustitucin (seccin 1.6)- son suficientes para permitirnos resolver una diversidad de ecuaciones de primer orden que tienen aplicaciones impresionantes.

1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 9

1.1 Problemas

En los problemas del 1 al 12, verifique por medio de sus- En los problemas del 27 al 3 1, se describe una funcin y = titucin que cada funcin dada es una solucin de la ecuacin g(x) por medio de alguna propiedad geomtrica de su grfica. diferencial dada. En todos estos problemas, los apstrofos de- Escriba una ecuacin diferencial de la forma dy/& =f(x, y) que notan derivadas con respecto a x. tenga a la funcin g como su solucin (O como una de SUS soh-

1. yr = 3x2; y = x + 7 3 ciones).

2. y' + 2y = O; y = 3e-2x 27. La pendiente de la grfica de g en el punto (x, y) es la su- 3. y" + 4y = O; y1 = cos 2x, y2 = sen 2x ma de x y y. 4. y" = 9y; y1 = e3", y2 = e-3x 5. y' = y + 2 P ; y = ex -e-' 6. y" + 4y' + 4y = O; y1 = e-Zx, y2 = xe-2x 7. y"-2y '+2y=O;y l=excosx,y2=exsenx + k ( k es una constante) en donde se intersectan. 8. y" + y = 3 COS 2x, y1 = COS x -COS 2 ~ , y2 = sen X - C O S ~ X 31. La recta tangente a la grfica de g en (x, y) pasa por el pun-

28. La recta tangente a la grfica de g en el punto (x, y) inter- secta al eje x en el punto (x/2, O).

29. Cada recta normal a la grfica de g pasa por el punto (O, 1). 30. La grfica de g es normal a toda curva de la forma y = x*

1 1 +x2

9. y/ + 2xy2 = o; y = - to (-3 x).

1 En los problemas del 32 al 36, escriba - e n la forma de las 10. x2y" + xy' - y = Inx; y1 = x - Inx, y2 = - - lnx ecuaciones (3) a (6) de esta seccin- una ecuacin diferencial

X

1 In x que sea un modelo matemtico de la situacin que se describe.

11. x2yII + 5xy' + 4y = o; y1 = -, y2 = - 12. x2y" - xy' + 2y = O; y1 = x cos(lnx), y2 = x sen (lnx) P es proporcional a la raz cuadrada de P.

X2 X2 32. La tasa de cambio con respecto al tiempo de una poblacin

33. La tasa de cambio con respecto al tiempo de la velocidad u En los problemas del 13 al 16, sustituya y = erx en la de un bote de motor es proporcional al cuadrado de u.

ecuacin diferencial dada para determinar todos los valores de 34. L~ de un Lamborghini es p roporc~on~ a la constante r para los cuales y = erx es una solucin de la la diferencia 250 km/h y la velocidad del automvil. ecuacin. 35. En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, 13. 3v' = 2v 14. 4 ~ " = v la tasa de cambio con respecto al tiempo del nmero de 15. y'' + y/ - 2y = o 16. 3y" + 3y' - 4y = O personas N que han odo cierto rumor es proporcional al

nmero de personas que an no lo han escuchado.

En 10s problemas del 17 al 26, primero verifique que y(x) 36. En una ciudad con una poblacin fija de P personas, la ta- satisface la ecuacin diferencial dada. Luego determine un va- sa de cambio con respecto al tiempo del nmero N de per- lor de la constante C de modo que y(x) satisfaga la condicin sonas que han contrado cierta enfermedad contagiosa es inicial dada. proporcional al producto del nmero de quienes estn en-

17. y' + y = O; y(x) = CeJ, y(0) = 2 18. y' = 2y; y(x) = Ce2', y(O) = 3 En los problemas del 37 al 42, por inspeccin determine 19. y' = y + 1; y(x) = CeX - 1, y(0) = 5 al menos una solucin de la ecuacin diferencial dada. Esto es,

utilice su conocimiento acerca de derivadas para hacer una con- 20. y' = x - y; y ( ~ ) = Ce-" + x - 1, y(0) = IO jetura. Despus pruebe su hiptesis. 21. y' + 3x2y = O; y(x) = ce-x3, y(0) = 7 22. eYy' = 1; y(x) = In(x + C), y(0) = O 37. y" = o

fermas y el nmero de las que no lo estn.

38. y1 = y

dY 39. xy' + y = 3x2 40. (y')2 + y2 = 1 23. X- + 3y = 2 ~ ' ; Y(X) = $X' + CxP3, y(2) = I 24. xy' - 3y = x3; y ( x ) = x3(C + lnx), y(1) = 17 25. y' = 3x2(y2 + 1); y(x) = tan(x3 + C ) , y@) = 1 43. En el ejemplo 7 vimos que y(x) = 1/(C - x) define una familia uniparamtrica de soluciones de la ecuacin diferen- 26. y' + y tanx = cosx; y(x) = (x + C) cosx, y(n) = O cia1 dy/& = y2. (a) Determine un valor de C de modo que

dx 41. y' + y = ex 42. y" + y = O


44.

= 4

100 80 60 40 20

h O - 20 - 40 - 60 - 80

- 100 X

X

FIGURA 1.1.6 Grficas de FIGURA 1.1.7 La grfica de las soluciones de la ecuacin y = C,8 para varios valores de C. dy/dx = y*.

y(10) = 10. (b) Existe algn valor de C tal que y(0) = O? No obstante, puede por inspeccin determinar una solucin de dy/& = y2 tal que y(0) = O? (c) L a figura l. 1.6 muestra grficas tpicas de soluciones de la forma y(x) = 1/(C - x). Parece que las curvas solucin cubren todo el plano xy? Puede concluir que, dado cualquier punto (u, b) en el plano, la ecuacin diferencial dy/& = y2 tiene exactamente una solucin y(x) que satisface la condicin y(a) = b?

(a) Demuestre que y(x) = Cx4 define una familia uniparamtrica de las soluciones derivables de la ecuacin diferen-

cial xy = 4y (figura l . 1.7). (b) Demuestre que

define una solucin derivable de xy = 4y para toda x, pero no es de la forma y(x) = Cx4. (c) Dados cualesquiera dos nmeros reales a y b, explique por qu - e n contraste con la situacin en la parte (c) del problema 43- existe un n- mero infinito de soluciones derivables de xy = 4y que todas satisfacen la condicin y ( ~ ) = b.

1.2 INTEGRALES COMO SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES La ecuacin diferencial de primer orden dyldx = f(x, y ) toma una forma particu- larmente sencilla si la funcinfes independiente de la variable dependiente y:

dY - d x = f ( x ) .

En este caso especial nos basta con integrar ambos miembros de la ecuacin (1) para obtener

y = y(x) = f ( x ) d x + C. sta es una solucin general de la ecuacin (l), en el sentido de que incluye una constante arbitraria C y que para cada valor elegido para C constituye una solucin de la ecuacin diferencial (1). Si G(x) es una antiderivada particular def es decir, si G(x) =.f(x)- entonces

S (2)

Las grficas de cualesquiera dos soluciones, tales como y,(x) = G(x) + C, y y2(x) = G(x) + C2 en el mismo intervalo I son paralelas en el sentido ilustrado

1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 11

4

3

2

1

-1

-2

-3

- 4 - 4 - 3 -2 -1 o 1 2 3 4

X

FIGURA 1.2.1 Grficas de y = x2 + C para diferentes valores de C.

4

2

- 0

-2

-4

-6 - -6 -4 -2 O 2 4 6

X

FIGURA 1.2.2 Grficas de y = sen x + C para diferentes valores de C.

por medio de las figuras 1.2.1 y 1.2.2. Ah vemos que geomtricamente la constante C es la distancia vertical entre las dos curvas y(x) = G(x) y y(x) = G(x) + C.

Para satisfacer una condicin inicial y(xo) = yo, slo necesitamos sustituir x = x. y y = yo en la ecuacin (3) para obtener yo = G(xo) + C; de modo que C = yo - G(xo). Con este valor de C, obtenemos la solucin particular de (1) que satisface el problema con condicin inicial

Veremos que sta es la rutina tpica para la solucin de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por lo comn, primero determinamos una solucidn general que incluya una constante arbitraria C. Despus, intentamos obtener, mediante una apropiada eleccin de C, una solucidn particular que satisfaga la condicin inicial dada y(xo) = yo.

Nota: Como se utiliz el trmino en el pmafo anterior, una solucin general de una ecuacin diferencial de primer orden, es simplemente una familia de soluciones con un parmetro. Una pregunta natural es si una solucin general dada, contiene todas las soluciones particulares de la ecuacin diferencial. Cuando se sabe que esto es cierto, le llamamos la solucin general de la ecuacin diferencial. Por ejemplo, debido a que cualesquiera dos antiderivadas de la misma funcinf(x) pueden diferir solamente por una constante, se deduce que cada una de las soluciones de la ecuacin (1) es de la forma de (2). As, la ecuacin (2) sirve para definir la solucin general de (1). M

EJEMPLO 1 Resuelva el problema con condicin inicial

dY - = 2x + 3, y(1) = 2. d x

Solucin La integracin de ambos miembros de la ecuacin diferencial como en la ecuacin (2) inmediatamente produce la solucin general

y = y ( x ) = ( 2 x + 3 ) d x = x 2 + 3 x + C . S


La figura 1.2.3 muestra la grfica y = x* + 3x + C para varios valores de C. La solucin particular que buscamos corresponde a la curva que pasa por el punto ( 1 , 2 ) , y por tanto que satisfaga la condicin inicial

y(1) = (1)* + 3 * (1) + c = 2.

Se deduce que C = -2, de modo que la solucin particular deseada es

-10 I I I -6 -4 -2 O 2 4 y ( x ) = x2 + 3x - 2. m

X

FIGURA 1.2.3 Curvas solucin para la ecuacin diferencial del ejemplo 1.

La observacin de que la ecuaci6n especial de primer orden d y / d x = f ( x ) es fcilmente soluble (con tal de que pueda determinarse una antiderivada d e n se ex- tiende a las ecuaciones diferenciales de segundo orden de la forma especial

en la que la funcin g en el miembro derecho no contiene la variable dependiente y ni a su derivada dyldx . Simplemente integramos para obtener

d x = 1 y ( x ) d x = 1 g ( x ) d x = G(x) + cl, en donde G es una antiderivada de g y C, es una constante arbitraria. Luego, una segunda integracin conduce a

en la que C2 es una segunda constante arbitraria. En efecto, la ecuacin diferencial de segundo orden (4) es una de las que pueden resolverse integrando sucesivamen- te las ecuaciones diferenciales de primer orden

d u dY - d x = g ( x ) y - d x = u ( x ) .

Velocidad y aceleracin La integracin directa es suficiente para permitimos resolver varios problemas re- lativos al movimiento de una partcula (o masa puntual) en trminos de las fuerzas que actan sobre ella. En movimiento de una partcula a lo largo de una lnea recta (el eje x) se describe mediante su funcin de posicin

la cual da la coordenada x en el tiempo t. La velocidad de la partcula se define como

d x u( t ) = f ( t ) ; esto es, u = --.

d t (6)

1 . 2 Integrales como soluciones generales y particulares 13

Su aceleracin a(t) es a(t) = u'(t) = f ( t ) ; en notacin de Leibniz,

du d2x d t d t2 '

a=-=-

La segunda ley del movimiento de Newton implica que si una fuerza F(t) ac- ta sobre una partcula y es dirigida a lo largo de su lnea de movimiento, entonces

ma(t) = F(t); es decir, F = ma, (8)

donde m es la masa de la partcula. Si la fuerza F es conocida, entonces la ecuacin f ( t ) = F(t) /m puede integrarse dos veces para obtener la funcin de posicin x(t) en trminos de dos constantes de integracin. Con frecuencia, estas dos constantes arbitrarias son determinadas por la posicin inicial x. = x(0) y la velocidad inicial u. = u(0) de la partcula.

Por ejemplo, suponga que la fuerza F; y por lo tanto la aceleracin a = F/m son constantes. Entonces comenzamos con la ecuacin

d u d t - = a (a es una constante) (9)

e integramos ambos lados para obtener

Sabemos que u = u. cuando u = O y la sustitucin de esta informacin en la ecuacin anterior conduce al hecho que C, = uo. As que

dx u = u ( t ) = - =at + U @

d t

Una segunda integracin da

x ( t ) = s u ( t ) d t = /(at + uO) dt = $at2 + uOt + Cz, y la sustitucin t = O, x = x. da C2 = xo. Por lo tanto

As que con la ecuacin (10) podemos determinar la velocidad y con la ecuacin (1 1) la posicin de la partcula en cualquier instante t en trminos de la aceleracin constante a, su velocidad inicial u. y su posicin inicial no.

EJEMPLO 2 Un vehculo lunar est cayendo libremente hacia la superficie de la Luna a una velocidad de 1000 millas por hora (mi/h). Cuando se encienden los cohetes retropropulsores, producen una desaceleracin de 20,000 millas por hora en cada hora (mi/h2) (se supone que la aceleracin gravitacional producida por la Luna est in- cluida en la desaceleracin dada). A qu altura sobre la superficie lunar deben ser activados los retropropulsores para asegurar un descenso suave (u = O en el instante del impacto)?


xo = -10000 (&) + 1000 ($) = 25 2

(mi). Por lo que los retropropulsores deben ser activados cuando el vehculo lunar se encuentre a 25 mi sobre la superficie, a la que llegar 3 min despus.

Unidades fsicas El trabajo numrico requiere de unidades para la medicin de cantidades fsicas tales como las distancia y el tiempo. Algunas veces utilizamos unidades ad hoc -tal como distancia en millas o kilmetros y tiempo en horas- en situaciones especia- les (como en el vehculo lunar del ejemplo 2). Sin embargo, con mayor frecuencia son utilizados los sistemas de unidades pie-libra-segundo (fps, por sus siglas en ingls) y metro-kilogramo-segundo ( m k s ) que se resumen en la tabla siguiente. De hecho, las unidades fps slo son de uso comn en Estados Unidos (y en unos cuan- tos pases ms) mientras que las unidades mks constituyen el sistema estndar in- ternacional para las unidades cientficas.

Fuerza libra (lb) newton (N) Masa slug kilogramo (kg) Distancia pie (ft) metro (m) Tiempo segundo (S) segundo (S) R 32 ft/s2 9.8 m/s2

La ltima lnea de esta tabla proporciona los valores de la aceleracin debida a la gravedad g en la superficie de la Tierra. Aunque estos valores aproximados se- rn suficientes para la mayora de los ejemplos y problemas, valores ms precisos son 9.7805 m/s2 y 32.088 pies/s2 (al nivel del mar en el ecuador).

Ambos sistemas son compatibles con la segunda ley de Newton F = ma. Por tanto, 1 N es (por definicin) la fuerza requerida para impartir una aceleracin de 1 m/s2 a una masa de 1 kg. De forma anloga, 1 slug es (por definicin) la masa que


experimenta una aceleracin de 1 pie/s2 bajo una fuerza de 1 lb. (Utilizaremos las unidades m k s en todos los problemas que requieran unidades de masa, y as rara- mente necesitaremos slugs para medir la masa.)

Las pulgadas y los centmetros (as como las millas y los kilmetros) tambin son utilizados para describir distancias. Para conversiones entre las unidades fps y m k s ayuda recordar que

1 pulg = 2.54 cm (exactamente) y 1 lb = 4.448 N. Por ejemplo,

1 pie = 12 pulg x 2.54 - = 30.48 cm cm

PUk y se sigue que

1 mi = 5280 pies x 30.48- = 160934.4 cm = 1.609 km.

As un lmite de velocidad en Estados Unidos de 50 mi/h significa que -en trminos internacionales- la velocidad legal es alrededor de 50 X 1.609 = 80.45 km/h.

cm

Ple

Movimiento vertical con aceleracin gravitacional

El peso W de un cuerpo es la fuerza ejercida por la gravedad sobre el cuerpo. La sustitucin de a = g y F = W en la segunda ley de Newton F = ma da

W = mg (14) para el peso W de la masa m en la superficie de la Tierra (donde g = 32 pies/s2 = 9.8 m/s2). Por ejemplo, una masa de m = 20 kg tiene un peso de W = (20 kg) (9.8 m/s2) = 196 N. De forma anloga, una masa m que pesa 100 lb tiene un peso en el sistema m k s

W = (100 lb)(4.448 N/lb) = 444.8 N, de modo que su masa es

W 444.8 N g 9.8 m/s2

m = - - = z 45.4 kg.

Para estudiar el movimiento vertical es natural seleccionar al eje y como el sistema de coordenadas para la posicin, con frecuencia haciendo corresponder a y = O con "el nivel del suelo". Si elegimos la direccin ascendente como la direccin positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre un cuerpo que se mueve verticalmente es disminuir su altura y tambin decrecer su velocidad u = dyldt. En consecuencia, si ignoramos la resistencia del aire, entonces la aceleracin a = du/dt del cuerpo, est dada por

d u "

dt - -g . (15)

Esta ecuacin de la aceleracin proporciona un punto de inicio en muchos problemas que incluyen al movimiento vertical. Integraciones sucesivas (como en las ecuaciones (10) y (1 1)) producen las frmulas para la velocidad y la altura

u( t ) = -gt + u0 (16) Y y ( t ) = -;gt2 4- uot + yo. (17)

Aqu, yo denota la altura inicial ( t = O) del cuerpo y u. su velocidad inicial.


EJEMPLO 3 (a) Supngase que una pelota es arrojada directamente hacia arriba desde el suelo (yo = O) con una velocidad inicial de vo = 96 pies/s (de modo que utilizamos g = 32 pies/$ en unidades del sistema fps). Entonces, alcanza su mxima altura cuando su velocidad es cero,

~ ( t ) = -32t + 96 = O, cuando t = 3 s. Por lo tanto, la mxima altura que alcanza la pelota es

y ( 3 ) = - . 3 2 . 32 + 96. 3 + O = 144 (pies)

(con ayuda de la ecuacin (17)). (b) Si una flecha se dispara directamente hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial vo = 49 m/s (de modo que usamos g = 9.8 m/s2 en unidades m k s ) , entonces regresa al piso cuando

~ ( t ) = -$ (9.8)t2 + 49t = (4.9)t(-t + 10) = O,

y por tanto, despus de 10 S de estar en el aire. m

Problema de un nadador

En la figura 1.2.5 se muestra un ro, que fluye en direccin norte, con un ancho w = 2a. Las lneas x = &a representan las riberas del ro, y el eje y su centro. Su- ponga que la velocidad vR con la cual el agua fluye aumenta a medida que se apro- xima al centro del ro, y ms an, est dada en trminos de la distancia x, medida desde el centro, por

I I

FIGURA 1.2.5 El problema de un nadador (ejemplo 4).

Puede utilizar la ecuacin (1 8) para comprobar que el agua fluye ms rpido en el centro, en donde uR = u@ en tanto que vR = O en cada ribera del ro.

Suponga que un nadador parte del punto (--a, O) en la ribera occidental y nada hacia el este (con respecto el agua) con una velocidad constante us Como se indica en la figura 1.2.5, su vector velocidad (con respecto al suelo) tiene una componente horizontal vs y una componente vertical vK Por lo tanto, el ngulo de direccin a del nadador est dado por

tana = - V R VS

Como tan a = dy/dx, al sustituir utilizando (1 8) tenemos la ecuacin diferencial

para la trayectoria del nadador y = y(x) cuando 61 atraviesa el ro.


EJEMPLO 4 Supngase que el ro tiene 1 mi de ancho y que la velocidad de la corriente a la mitad del ro es u. = 9 mi/h. Si la velocidad del nadador es us = 3 mi/h, entonces la ecuacin (19) toma la forma

- dx dy = 3(1 - 4x2).

La integracin produce

y = Y ( X ) = (3 - 1 2 ~ ~ ) dx = 3~ - 4x3 + C S para la trayectoria del nadador. La condicin inicial y (-;) = O da C = 1, de modo que

y(x) = 3x - 4x3 + 1. Entonces

y (1) = 3 (i) - 4 (i) + 1 = 2, 3 2 de modo que el nadador es desplazado 2 mi comente abajo mientras nada 1 mi a travs del no.

1.2 Problemas En los problemas del 1 al 10, determine una funcin y = a(t), posicin inicial x. = x(0) y la velocidad inicial u. = u(O),

f ( x ) que satisfaga la ecuacin diferencial dada y la condicin dadas. inicial que se indica.

1. - = 2x + 1; y ( 0 ) = 3 dY d x

dY 2. - = (x - 2)*; y ( 2 ) = 1 d x

3. - = f i ; y(4) = o dY d x

6. - = ~ d m ; y(-4) = O dY d x d y 10 7. -=- d x x2+ 1 ; Y ( 0 ) = o

8. - dY = cos2x; y(0) = 1 d x

11. ~ ( t ) = 50, uo 10, XO, = 20 12. ~ ( t ) = -20, uo = -15, xo = 5 13. ~ ( t ) = 3t , uo = 5, xo = O 14. a ( t ) = 2t + 1, uo = -7, = 4 15. ~ ( t ) = 4(t + 3)', uo = -1, xo = 1 16. ~ ( t ) - u0 = -1,xo = 1

1

m' (t + 113

1 17. a ( t ) = ___ , u0 = o, x0 = o

18. a(t ) = 50 sen 5t , u0 = -10, x0 = 8

19. Cul es la mxima altura que alcanza la flecha de la parte (b) del ejemplo 3?

20. Una pelota se deja caer desde la parte superior de un edificio de 400 pies de altura. Cunto tarda en llegar al suelo? Con qu velocidad pega con el suelo la pelota?

21. Los frenos de un automvil son aplicados cuando ste se mueve a 100 km/h y proporcionan una desaceleracin constante de 10 m por segundo cada segundo (m/s2). Cun- to avanzar el automvil antes de detenerse?

22. Un proyectil es disparado directamente hacia arriba con En 10s problemas del 11 al 18, determine la funcin de una velocidad inicial de 100 m/s, desde lo alto de un edifi-

posicin x( t ) de una partcula en movimiento con la aceleracin cio de 20 m de altura y cae al suelo en la base del edificio.


23.

24.

25.

26.

27.

28.

Determine (a) la mxima altura por encima del piso; (b) cuando pasa por la parte ms alta del edificio; (c) su tiempo total en el aire. Una pelota se lanza directamente hacia arriba desde la parte superior de un edificio alto. La velocidad inicial de la pelota es 10 m/s. Golpea el piso con una velocidad de 60 m/s. Cul es l a altura del edificio? Una pelota de bisbol es lanzada directamente hacia abajo con una velocidad de 40 pies/s desde la parte ms alta del monumento a Washington (555 pies de altura). Cunto tarda en llegar al suelo?, y icon qu velocidad golpea el suelo la pelota? Un automvil a diesel aumenta gradualmente su velocidad de modo que para los primeros 10 S su aceleracin est dada por

du - = (0.12)t2 + (0.6)t (pie/s2). dx

Si el automvil inicia desde el reposo (xo = O, u. = O), determine la distancia que ha recorrido al final de los primeros 10 s y su velocidad en ese instante. Un automvil que va a 60 mi/h (88 pies/s) patina 176 pies despus de que se aplican repentinamente los frenos. Bajo la suposicin de que el sistema de frenado proporciona desaceleracin constante, cul es esa desaceleracin? iDu- rante cunto tiempo continuar el derrape? Las marcas de un derrape hechas por un automvil indican que sus frenos se aplicaron completamente durante una distancia de 75 m antes de que se detuviera. Se sabe que, bajo estas condiciones, el automvil en cuestin tiene una desaceleracin de 20 m/s2. Cul era la velocidad a la que iba el automvil - e n km/h- en el momento que se em- pezaron a aplicar los frenos? Suponga que cuando los frenos son aplicados un automvil patina 15 m si va a 50 km/h. Suponga que el automvil tiene la misma constante de desaceleracin, jcunto p a t i n d si va a 100 km/h cuando son aplicados los frenos?

se deja caer desde lo alto de un edificio de 200 pies de altura en Gzyx, jcunto tardar en llegar al piso? Con qu velocidad pegar con el piso?

30. Una persona puede arrojar una pelota directamente hacia arriba desde la superficie de la Tierra a una altura mxima de 144 pies. ;Esta persona, a qu altura podra lanzar una pelota en el planeta Gzyx del problema 29?

31. Se deja caer una piedra desde el reposo desde una altura inicial h por encima de la superficie de la Tierra. Demues- tre que la velocidad con la que golpea el piso es u = m.

32. Si una mujer tiene suficiente resorte en sus piernas para saltar verticalmente una altura de 2.25 pies sobre la Tierra, a qu altura podra saltar en la Luna, en donde la aceleracin gravitacional en la superficie es (aproximadamente) 5.3 pies/s2?

33. A medioda un automvil arranca desde el reposo en el punto A y prosigue con aceleracin constante a lo largo de un camino recto hacia el punto B. Si el automvil llega a B a las 1250 P.M. con una velocidad de 60 mi/h, cul es la distancia de A a B?

34. Al mediodia un automvil arranca desde el reposo en el punto A y prosigue con aceleracin constante a lo largo de un camino recto hacia el punto C, que se encuentra a 35 mi. Si el automvil acelerado de manera uniforme llega a C con una velocidad de 60 mi/h, La qu hora llega al pun- to C?

35. Si a = 0.5 mi y u. = 9 mi/h como en el ejemplo 4, cul debe ser la velocidad del nadador us para que slo se des- ve 1 mi corriente abajo cuando I cruce el ro?

36. Suponga que a = 0.5 mi, u. = 9 mi/h y us = 3 mi/h como en el ejemplo 4, pero que la velocidad del no est dada por medio de la funcin de cuarto grado

en lugar de la funcin cuadrtica de la ecuacin (18). Aho- 29. En el planeta Gzyx, una pelota que se deja caer desde una ra determine la distancia ro abajo que el nadador es des-

altura de 20 pies golpea con el suelo en 2 s. Si una pelota plazado cuando I cruza el ro.

1.3 CAMPOS DIRECCIONALES Y CURVAS SOLUCIN En el caso de una ecuacin general de primer orden de la forma

no podemos integrar simplemente miembro a miembro como en l a seccin 1.2, ya que ahora el segundo miembro incluye a la funcin desconocida y(x). Antes de per-

1.3 Campos direccionales y curvas solucin 19

der mucho tiempo tratando de resolver una ecuacin diferencial, es preferible investigar si la solucin en efecto existe. Quiz tambin queramos saber si hay slo una solucin de la ecuacin que satisfaga una condicin inicial "es decir, si las soluciones son zinicas. Por ejemplo, puede verificar con facilidad (por sustitucin directa) que un problema con condicin inicial tan sencillo como

dY - = 2 4 7 , y(0) = o d x

tiene las dos soluciones diferentes yl(x) = x2 y y2(x) = O. Las cuestiones relativas a existencia y unidad tambin afectan al proceso de

la modelacin matemtica. Supngase que estamos estudiando un sistema fsico cuyo comportamiento est determinado por completo por ciertas condiciones ni- ciales, pero que nuestro modelo matemtico propuesto incluye una ecuacin diferencial que no tiene solucin nica. Esto hace surgir la pregunta inmediata de si el modelo matemtico representa de manera adecuada al sistema fsico.

Campo de direcciones

Para investigar el posible comportamiento de las soluciones de una ecuacin diferencial de la forma dy/& = f ( x , y) debemos pensar en una forma muy geomtrica: en diversos puntos (x, y) del plano coordenado bidimensional, el valor de f(x, y) determina una pendiente m = y'@) = f ( x , y). Una solucin de esta ecuacin diferencial es una funcin diferenciable cuya grfka tenga la pendiente y'(x) en cada punto (x, y) por la que la grfka pase. En algunas ocasiones la grfka de una solucin de una ecuacin diferencial se denomina curva solucin de la ecuacin. Desde este punto de vista geomtrico, una curva solucin de una ecuacin diferencial es entonces una curva en el plano cuya recta tangente en cada punto (x, y) tiene pendiente m = f(x, y).

Esta idea de una curva solucin sugiere el siguiente mtodo grfico para construir soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial dy/& = f (x, y). Por cada uno de los puntos (x, y), de una coleccin representativa, dibujamos un segmento corto de recta que tenga la pendiente m = f ( x , y). El conjunto de todos estos segmentos de rectas se llama campo de direcciones (o campo de pendientes) para la ecuacin dy/& = f(x, y). Podemos intentar dibujar una curva solucin que traza su camino a travs del campo de pendientes en tal forma que la curva sea tangente para cada uno de los segmentos cortos de rectas que intersecte.

EJEMPLO 1 Las figuras 1.3.1(a)-(d) muestran los campos de direcciones y las curvas solucin para la ecuacin diferencial

dY d x - = k y

con los valores k = 2, 0.5, - 1 y -3 para el parmetro k de la ecuacin (3). Obser- ve que el campo de direcciones produce una importante informacin cualitativa acerca del conjunto de todas las soluciones de la ecuacin diferencial. Por ejemplo, las figuras 1.3.l(a) y (b) sugieren que cada una de las soluciones y(x) tienden a 2- cuando x + +m si k > O, mientras que las figuras 1.3.1(c) y (d) sugieren que cada y ( ~ ) "+ O cuando x + +- si k < O. Adems, aunque el signo de k determina la direccidn de aumento o disminucin de y(x>, su valor absoluto ( k I parece que determina la tasa de cambio de y(x) . Todo esto es aparente de los campos de direcciones como los de la figura 1.3.1 aun sin conocer que la solucin general de la ecuacin (3) est dada de manera explcita por y(x) = Ceh. m


X

FIGURA 1.3.1(a) Campo de direcciones y curvas solucin paray' = 2y.

4

3

2

1

r, o -1

-2

- 3

- 4 - 4 - 3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 X

FIGURA 1.3.1(c) Campo de direcciones y curvas solucin para y' = -y.

Isoclinas

r

FIGURA 1.3.1(b) Campo de direcciones y curvas solucin para y ' = (0.5)~.

X

FIGURA 1.3.1(d) Campo de direcciones y curvas solucin para y' = -34'.

Es fcil instruir a una computadora para que dibuje un campo de direcciones para una ecuacin diferencial dada dy /dx = f(x, y ) , y programas para realizarlo son f- cilmente disponibles. Existe tambin un mtodo manual ms antiguo, que an es til en ocasiones: una isoclina de la ecuacin diferencial dy/dx = f(x, y ) es una curva de la forma

f(x, y) = c ( c es una constante) (4)

en la cual la pendiente y '(x) es constante. Si estas isoclinas son curvas sencillas y conocidas, primero trazamos varias de ellas, luego dibujamos segmentos cortos de recta con la misma pendiente c en puntos representativos de cada isoclinaf(x, y ) = c.

Por ejemplo, f (x , y ) = -y para la ecuacin dy/dx = - y de la figura 1.3.l(c), de modo que las isoclinas son lneas rectas horizontales de la forma y = "c. Varias de estas isoclinas, cada una adornada con segmentos cortos de rectas de pendiente m = -c, se muestran en la figura 1.3.2. Observe que el campo de direcciones resultante es consistente con el campo ms detallado que se muestra en la figura 1.3.1(c).


EJEMPLO 2 La isoclina tpica de la ecuacin diferencial

dY 2 2 - = x + y dx

3 tiene la ecuacin x2 + y2 = c > O, y por tanto es un crculo con centro en el origen 2 con radio r = A. Varios de estos crculos se presentan en la figura 1.3.3, cada uno

marcado con sus lneas de direccin con pendiente m = ?, junto con algunas curvas solucin tpicas de la ecuacin diferencial en (5). Sucede que la ecuacin l

dY - = x 2 + y 2 -1 dx

-2 es muy difcil de resolver de manera explcita; su solucin general incluye las fun- -3 - ciones de Bessel de la seccin 8.5. Pero aun sin un conocimiento explcito de las

X soluciones, de la figura 1.3.3 parece que en cada curva solucin, y(x) + +m cuan- FIGURA 1.3.3 Isoclinas, campo de direcciones y curvas solucin para y' = x2 + y2.

do x aumenta. Esta observacin es correcta e ilustra la informacin cualitativa acerca de las soluciones de una ecuacin diferencial, que con frecuencia es revelada por medio de un campo de direcciones que se construye con facilidad. W

EJEMPLO 3 Las isoclinas de la ecuacin diferencial

dY - = sen(x - y) dx

son de la forma

sen(x - y) = c;

esto es, x - y = sen" c, y por lo tanto, y = x - sen-lc. Por consiguiente, las isoclinas de la ecuacin (6) son todas ellas lneas rectas de pendiente 1 en el plano xy. En la figura 1.3.4 se muestran el campo de pendientes y algunas curvas solucin tpicas. La mayor parte de las curvas solucin que vemos en esta figura parecen exhibir el comportamiento oscilatorio sugerido por la presencia de la funcin seno en la ecuacin (6). Pero hay una curva solucin que parece ser una lnea recta! Esta observacin nos sugiere inspeccionar ms de cerca la ecuacin (6). Cuando lo hacemos, encontramos la solucin particular

-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 Ir y = x - - 2 X

FIGURA 1.3.4 Campo de direcciones y soluci~n para la cual y '(x) = 1 y x - y = z/2, de modo que tambin sen(x - y) = 1. Puede para y' = sen(x - y ) del observar en la figura 1.3.4 alguna indicacin de una curva solucin de lnea recta ejemplo 3. para la ecuacin (6)? w

EJEMPLO 4 Considere la ecuacin diferencial

y + x "O. 2 2dy dx

Si escribimos esta ecuacin en la forma

dY Y2 " - " dx x2'

22 CaDtulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

:::q ....

-4 - 4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4

FIGURA 1.3.5 Campo de direcciones para y2 + x2y = O y la grfica de una solucin de esta ecuacin.

6

4

2

A 0

-2

-4

-6 -6 -4 -2 O 2 4 6

x

FIGURA 1.3.6 Curvas solucin para y2 + x2y = O.

vemos que las isoclinas son de la forma -y2/x2 = c -esto es, y = lac- y de esta manera son lneas rectas que pasan por el origen. En la figura 1.3.5 mostramos un campo de direcciones y una curva solucin tpica para esta ecuacin. En realidad, ya que dy/dx = -(y/~)~, vemos que cada solucin diferenciable debe ser decreciente excepto en los ejes coordenados (en los que x o y son cero). Mucha informacin adicional cualitativa puede obtenerse a partir del campo de direcciones de la ecuacin (7).

En la seccin 1.4 resolveremos ecuaciones como sta conocidas como ecuaciones diferenciales separables- separando las variables. Aqu est cmo: primero volvemos a escribir la ecuacin (8) en la forma separada

d y dx - - -

y2 x2

Despus integramos cada lado,

para obtener

1 1 - = + C . Y X

Finalmente, despejamos a y para obtener

y = y ( x ) = ~ CX - 1

X

La figura 1.3.6 muestra varias curvas solucin calculadas con diferentes valores de C. Cada curva solucin de la forma dada en la ecuacin (9) con C # O, tiene asn- totas x = 1/C y y = 1/C (como las que se muestran en la figura 1.3.5). En efecto, cada una de estas curvas solucin consiste en dos ramas de una hiprbola rectangu- lar, una rama de las cuales pasa por el origen. Cuando C = O obtenemos la solucin diferente y = x . Adems, el proceso de solucin que se muestra aqu excluye la funcin y(x) = O, que (por medio de sustitucin en la ecuacin (7)) tambin es otra solucin. m

Las caractersticas notables de la ecuacin diferencial (7) y de sus soluciones son: primero, que hay un nmero in$nito de soluciones diferentes que satisfacen la condicin inicial y (0 ) = O. Pero se sigue de la ecuacin (7) que y(0) = O, de modo que si b # O, entonces no hay solucin que satisfaga la condicin inicial y(0) = b. Por ltimo, si a # O y b es arbitraria, existe exactamente una solucin con y(a) = b. To- das estas observaciones son evidente de l a inspeccin de la figura 1.3.6.

Existencia y unicidad de las soluciones

El ejemplo 4 muestra que un problema con condicin inicial puede no tener solucin, una nica solucin (esto es, una y slo una) o muchas soluciones -incluso un nmero infinito de ellas. El teorema siguiente proporciona condiciones suficientes para asegurar la existencia y unicidad de soluciones, de modo que no puede ocu- rrir algn caso extremo (cero soluciones o soluciones no nicas). Los mtodos para demostrar los teoremas de existencia y unicidad se estudian en el apndice.


Suponga que una funcin con valores reales f(x, y) es continua en algn rectngulo, en el plano x y , que contiene al punto (a, b) en su interior. Entonces el problema con condicin inicial

tiene al menos una solucin definida en algn intervalo J que contiene al punto a. Si adems, la derivada parcial df/dy es continua en ese rectngulo, entonces la solucin es nica en algn (tal vez ms pequeo) intervalo abierto Jo que contiene al punto x = a.

Nota 1: En el caso de la ecuacin diferencial dy/& = -y del ejemplo 1, tanto la funcinf(x, y ) = -y como la derivada parcial d f ld y = - 1 son funciones continuas en todas partes, de modo que el teorema 1 implica la existencia de una solucin nica para cualquier informacin inicial (a, b). Aunque el teorema asegu- ra la existencia slo en algn intervalo abierto que contenga a x = a, cada solucin y(x) = realmente est definida para toda x.

Nota 2: En el caso de la ecuacin diferencial dyldx = 2fi en la ecuacin (2), la funcin f ( x , y) = 2fi es continua siempre que y > O, pero la derivada parcial df ld y = 1 / f i es discontinua cuando y = O, y por tanto en el punto (O, O). Esto es por lo que es posible que ah existan dos soluciones diferentes y, (x) = x2 y y2(x) E O, cada una de las cuales satisface la condicin inicial y(0) = O.

Nota 3: En el ejemplo 4 analizamos la ecuacin diferencial y2 + x2y ' = O y encontramos que no haba solucin que pasase por (O, 1). Si tomamos f(x, y) = - t ~ / x ) ~ , vemos que el teorema 1 no puede garantizar la existencia de una solucin que pase por (O, 1) ya quefno es continua ah. (Observe queftampoco es continua en (O, O), pero algunas soluciones s pasan por este punto. De esta manera la continuidad de fes una condicin suficiente, pero no necesaria, para la existencia de soluciones.)

Nota 4: Por ltimo, en el ejemplo 7 de la seccin 1 . 1 examinamos la ecuacin diferencial, especialmente sencilla, dy/& = y2. Aqu tenemosf(x, y) = y2 y $/ay = 2y. Ambas funciones son continuas en todas partes del plano xy, y en particular en el rectngulo -2 < x < 2, O < y < 2. Puesto que el punto (O, 1) est en el interior de este rectngulo, el teorema 1 garantiza una solucin nica "necesa- riamente una funcin continua- del problema con condicin inicial

en algn intervalo abierto que contiene a x. = O. Esta es la solucin

que fue estudiada en el ejemplo 7. Pero, 1/( 1 - x) es discontinua en x = 1, as que no tenemos existencia de una solucin en el intervalo -2 < x < 2. Esto significa que el intervalo J del teorema 1 no puede ser tan amplio como el rectngulo. As, aunque las hiptesis del teorema se satisfacen para toda x en un intervalo I (y toda y en un intervalo apropiado), la solucin puede, como en el ejemplo 7, existir slo en un intervalo ms pequeo J. De manera anloga, el intervalo J, de la unicidad podra ser an ms pequeo que J. m


EJEMPLO 5 Considere la ecuacin diferencial de primer orden

dY x- = 2y. d x

Al aplicar el teorema 1 con f ( x , y ) = 2y/x, vemos que la ecuacin (1 1) tiene una nica solucin cerca de cualquier punto en donde x # O. En realidad, con facilidad vemos que

satisface la ecuacin (1 1) para cualquier valor de la constante C y para todos los valores de x.

Con estas observaciones preliminares en mente, consideremos el problema con condicin inicial

dY x- = 2y , y(-1) = 1. (13) dx

La condicin inicial y( - 1) = 1 implica que C = 1 en la ecuacin (12), de modo que en algn intervalo abierto que contenga a x = - 1 tenemos una solucin nica y(x) = x2 que pasa por el origen (O, O). Pero a la derecha del origen podemos ele- gir cualquier valor que queramos para C en la ecuacin (12). Esto es, para cualquier C fija, una solucin para el problema con condicin inicial de la ecuacin (13) es- t dada por

As este problema con condicin inicial tiene un nmero infinito de soluciones diferentes, a pesar del hecho que (de acuerdo con el teorema 1) existe una nica solucin en algn intervalo abierto que contiene al punto x = - l . La figura l .3.7 muestra tres de estas soluciones diferentes para la ecuacin (1 3 ) . m

El punto es que el teorema garantiza la unicidad cerca del punto (a, b), pero la curva solucin puede ramificarse en otro sitio y la unicidad se perder. De forma anloga, el teorema 1 garantiza la existencia de una solucin cerca del punto (a, b), pero la ecuacin diferencial podra no tener solucin para algunos otros valores de x.

FIGURA 1.3.7 Tres soluciones del problema con condicin inicial de la ecuacin (13).


1.3 Problemas

En los problemas del 1 al 10, hemos proporcionado el dy campo de direcciones de la ecuacin diferencial indicada, junto 3' con una o ms curvas solucin. De la misma forma, bosqueje curvas solucin que pasen por los puntos adicionales marcado

del campo de direcciones y dibuje sus curvas solucin en un segundo color. Otro mtodo: utilice papel para dibujar.)

= y - sen

en cada campo de direcciones. (Un mtodo: saque una fotocopia

- dx d y = -y - senx -2 \ \ \ \ x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u \ \ \ X " \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ * \ \ \ Y \ \ \ \ \ * \ \ \ Y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 3 - 3 -2 -1 o 1 2 3

X

FIGURA 1.3.10

dY 4. - = dx X - Y

. 3 " " " ' - 3 -2 -1 o 1 2 3 X

FIGURA 1.3.8

X

FIGURA 1.3.11

2. z=x+y dY dY 5. - = dx

y - x + l

3

2

1

-1

-2

- 3 -

/ /,---.\\ \ \ \ \ \ \ \ i \

8 - 2 - 1 o 1 2 3 /Y"-.\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \

FIGURA 1.3.9

X

FIGURA 1.3.12


6. - - dY dx

- x - y + l

-3 -2 -1 o 1 2 3 X

FIGURA 1.3.13

7. - = senx + seny dY dx

X

FIGURA 1.3.14

dY 8. - = x 2 - y dx

X

FIGURA 1.3.15

dY 9. - =x2 - Y - 2 dx

3 1 I / " \ \ \ I \ \ \ I I \ I \ \ \ ' L / I

n

FIGURA 1.3.16

IO. - = -x2 + sen y dY dx

FIGURA 1.3.17

En los problemas del 11 al 20, identifique las isoclinas de la ecuacin diferencial dada. Haga un bosquejo que muestre varias de estas isoclinas, cada una marcada con segmentos de recta cortos que tenga la pendiente apropiada.

11. - = x - 1 dY

dY

dY Y

dY

dY

dx

13. - = y 2 dx

15. - = - dx x

17. - = XY dx

19. - = y - x 2 dx

12. - = x + y

14. - = 15/L

dY

dY

dY

dY

dY

dx

dx

16. - = x2 - y* dx

18. - = x - y2 dx

20. - = ye-" dx


En los problemas del 21 al 30, determine si el teorema 1 garantiza o no la existencia de una solucin del problema con condicin inicial dado. Si se garantiza la existencia, determine si el teorema 1 garantiza o no la unicidad de esa solucin.

21. - = 2x2y2; y(1) = -1 dY dx

dY 22. - = x lny . 7 Y(1) = 1 dx

dY 23. - = y@) = 1 dx

dY dx

dY

24. - = f i ; y (0 ) = O

25. - = y ( 2 ) = 2 dx

26. - = y ( 2 ) 1 dY dx

27. y - = X - 1; y(0) = 1 dY dx

dY 28. y- = X - 1; ~ ( 1 ) = O d x

29. - = ln(1 + y * ) ; y (0) = O dY d x

dY 30. - = x 2 - 2 d x y ; y(0) = 1

Los siguiente seis problemas ilustran el hecho de que si las hiptesis del teorema 1 no se cumplen en un punto (a, b), entonces en ese punto puede haber cero soluciones, un nmero finito de soluciones, o un nmero infinito de soluciones que pa- SUl

31.

32.

por el punto (u, b).

Demuestre que en el intervalo [O, 74 ambas funciones y l (x ) 5 1 y y2(x) = cos x satisfacen el problema con condicin inicial

dY - + -2 =o, y(0) = 1. d x

Por qu este hecho no contradice al teorema l ? Explique su respuesta cuidadosamente. Determine por inspeccin dos soluciones diferentes del problema con condicin inicial

- = 3y2'3, y ( 0 ) = o. dY d x

LPor qu la existencia de soluciones diferentes no contradice al teorema l ?

33. Utilice la figura 1.3.18 como una sugerencia para mostrar que el problema con condicin inicial

- dx d y = 3y2'3, y(-l) = -1

tiene un nmero infinito de soluciones. Por qu esto no contradice al teorema l?

[ I y = ( x - a ) 3

FIGURA 1.3.18 Una sugerencia para el problema 33.

34. Verifique que si k es una constante, entonces y = kx, satisface la ecuacin diferencial xy' = y. De aqu concluya que el problema con condicin inicial

tiene un nmero infinito de soluciones en cualquier intervalo abierto que contenga a x = O.

35. Utilice isoclinas para construir un campo de direcciones para la ecuacin diferencial xy ' = y. Explique por qu este campo de direcciones sugiere que el problema con condicin inicial

tiene: (a) una solucin nica si a # O, (b) no tiene solucin si a = O y b # O, (c) un nmero infinito de soluciones si a = b = O. Estos resultados son consistentes con el teorema l?

36. Considere la ecuacin diferencial d y J d x = 4 x f i para y 2 O. Aplique el teorema 1 para determinar aquellos puntos (a, b) tales que una solucin de la ecuacin diferencial debe existir en un intervalo abierto J que contenga a a. Des- pus, determine aquellos puntos (a, b) tales que exista una nica solucin en un intervalo abierto J, que contenga a a . Luego, determine cuntas soluciones pasan por (O, O). (Su- gerencia: Observe que y , (x ) = O es una solucin, al igual que y,(x) = (x2 + o2 si x2 + c 2 O.)


1.3 Proyecto de cmputo: campos de direcciones Varios paquetes especializados en ecuaciones diferenciales estn disponibles como freeware (de distribucin gratuita) o shareware. Los enlaces para bajar los sitios en donde ofrecen tales paquetes son proporcionados en la pgina Web www.prenhall. com/edwards que apoya este texto. Tales sistemas automatizan la construccin de campos de direcciones y curvas solucin, como lo hacen algunas calculadoras grficas (vase la figura 1.3.19).

FIGURA 1.3.19 Campo de

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