L3 мт101

8/14/2019 L3 мт101

http://slidepdf.com/reader/full/l3-101 1/23

Ä ½

Ò × Ò Ù Ù Ð

½ º Å Ø Ö Ø Ò Ö Ü Ü Ð Ð ́ Å Ø Ö Ü Ç Ô Ö Ø Ó Ò × µ

• Å Ø Ö Ø Ò Ö Ü Ü Ð Ð º

• n Ö Ñ Ò Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ø Ò Õ Ò Ö Ù Ù

º

• Ì Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ö Ñ Ù Ù Ö Ù Ù Ð Ü Ö Ö Ó Ó Ü º

• Í Ö Û Ù Ù Ñ Ø Ö º

• Å Ø Ö Ý Ò Ö Ò º

½

8/14/2019 L3 мт101


Å Ø Ö Ø Ò Ö Ü Ü Ð Ð ́ Å Ø Ö Ü Ç Ô Ö Ø Ó Ò × µ

m Ñ Ö ̧ n Ò Ø

̧ m × n Ø Ó Ó Ó Ó Ö ́

Û Ø Ó Ö ̧

Ù Ò µ

Þ Ó Ü Ó × Ó Ò Ø Ò Ø

Ü × Ò Ø Ñ Ø Ö Ò º

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

× Û Ð Ø Ó Û Õ Ó Ó Ö

A = (aij)mn i = 1, 2, . . . , n

j = 1, 2, . . . , m

½ º Å Ö Ò Ý Ò Ø Ó Ó Ò ð Ø Ò Ñ Ø Ö Ý Û Ö Ø Ñ Ø Ö

¾ º Æ Ò Ø (n = 1)

Ó Ð Ò Ñ Ø Ö

¿ º Æ Ñ Ö Ø

(m = 1) Ó Ð Ñ Ö Ñ Ø Ö Ò

º Å Ø Ö Ý Ò Ü Ð Ñ Ò Ø Ò ð Ø Ø Ø Ò Ó Ð Ù Ñ Ø Ö Ý Ø Ñ Ø Ö

¾

8/14/2019 L3 мт101


º Ã Û Ö Ø Ñ Ø Ö Ý Ò Þ Ò Ù Ð Ò × Ö Ù Ù Ò Ó Ó Ù Ð Ò Ü Ó Ð Ó × Ó Ò Ó ¹

Ò Ð Ó Ð Ó Ò Ð ð

º Ã Û Ö Ø Ö Ù Ù Ò Ù Ð Ò Þ Ò Ó Ó Ù Ð Ò Ü Ó Ö Ý Ü Ó Ð Ó × Ó Ò Ó Ò Ð

Ü Ù Ù Ò Ó Ò Ð ð

º Ã Û Ö Ø Ñ Ø Ö Ý Ò Ó Ð Ó Ò Ð × Ù × Ö Ò Ü ð Ð Ñ Ò Ø Ò ð Ø Ø

Ø Ò Û Ð Ù Ñ Ø Ö Ý Ó Ò Ð ð Ñ Ø Ö

º Ó Ò Ð ð Ñ Ø Ö Ý Ò Ó Ò Ð ð Ö Ü Ð Ñ Ò Ø Ò ð Ø Ò Û Ð × Ð ò Ö

Ñ Ø Ö

º Ë Ð ò Ö Ñ Ø Ö Ý Ò Ó Ò Ð ð Ö Ü Ð Ñ Ò Ø Ò ð Ò Ø Ø Ò Û Ð Ò

Ñ Ø Ö Ò Ö Ð Ò º

Ì Õ Ù Ð Ø Ý Ó Ì Û Ó Å Ø Ö × º

A = B Ò Ó Ò Ð Ý

aij = bij Ó Ö Ð Ði = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , m

Ü Ñ Ô Ð ½

6 9

2 8

= 6 9

2 8

¿

8/14/2019 L3 мт101


Ø Ó Ò Ò Ë Ù Ø Ö Ø Ó Ò Ó Å Ø Ö × º

A + B =

aij

+

bij

=

aij + bij

º º Ø Ø Ó Ò Ó A

Ò B

× Ò × Ø Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò

Ð Ñ Ò Ø ×

Ê Ñ Ö º Ì Û Ó Ñ Ø Ö × Ò ´ Õ Ù Ð µ Ò Ó Ò Ð Ý Ø Ý Ú Ø × Ñ

Ñ Ò × Ó Ò º

Ü Ñ Ô Ð

a11 a12 a13a21 a22 a23

+

b11 b12 b13b21 b22 b23

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23

Ø Ó Ò ¸ Ë Ù Ø Ö Ø Ó Ò Ò Ì Ö È Ö Ó Ô Ö Ø ×

• A + B = B + A

• A + (B + C ) = (A + B) + C = (A + C ) + B

8/14/2019 L3 мт101


Ì × Ù Ø Ö Ø Ó Ò Ó Å Ø Ö ×

A − B × Ò Ý

[aij] − [bij] = [aij − bij]

Ü Ñ Ô Ð

19 32 0

−

6 81 3

=

13 −51 −3

Ë Ð Ö Å Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò

λA = λ[aij] = [λaij]

º º Ø Ó Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ñ Ø Ö Ü Ý Ò Ù Ñ Ö × Ø Ó Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ú Ö Ý Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ø Ñ Ø Ö Ü Ý

Ø Ú Ò × Ð Ö º

8/14/2019 L3 мт101


Ü Ñ Ô Ð

7 3 −1

0 5

= 21 −7

0 35

Ü Ñ Ô Ð

−1

a11 a12 a13a21 a22 a23

=

−a11 −a12 −a13−a21 −a22 −a23

Å Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò Ó Å Ø Ö ×

Ú Ò Ø Û Ó Ñ Ö ×Am×n Ò

B p×q ̧ Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ý Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò

AB × Ø Ø Ø Ó Ð Ù Ñ Ñ Ò × Ó Ò Ó

A Ñ Ù × Ø Õ Ù Ð Ø Ó Ø Ö Ó Û Ñ Ò × Ó Ò Ó

B ̧ º º ¸

Ø Ñ Ø Ö Ü Ô Ö Ó Ù ØAB

Û Ð Ð Ò Ò Ó Ò Ð Ý n = p

º Á Ò ¸ Ø Ô Ö Ó Ù Ø

AB Û Ð Ð Ú Ø Ñ Ò × Ó Ò

m×

q

8/14/2019 L3 мт101


Ì Ô Ö Ó Ù ØAB

× Ò Ý

A = (aij)mn, B = (b jk)ns =⇒ C = A · B = (cik)ms

cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + ainbnk =n

j=1

aijb jk j

Ü Ñ Ô Ð

a11 a12a21 a22

b11 b12b21 b22

=

a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

Ü Ñ Ô Ð

A2×2 =

3 54 6

B2×2 =

−1 04 7

AB =

−3 + 20 35−4 + 24 42

=

17 3520 42

́ AB = BA µ

8/14/2019 L3 мт101


Ì Ì Ö Ò × Ô Ó × × Ó Å Ø Ö ×

Ì Ø Ö Ò × Ô Ó × Ó Ñ Ø Ö Ü A × Ñ Ø Ö Ü Û × Ó Ø Ò Ý Ò Ø Ö Ò Ò Ø

Ö Ó Û × Ò Ó Ð Ù Ñ Ò × Ó Ø Ñ Ø Ö ÜA

º Á Ø × Ò Ó Ø ÝA′

Ó ÖAT

º

Ü Ñ Ô Ð Ó ÖA = 3 8 −9

1 0 4

A′ = AT =

3 18 0

−9 4

Ì Ù × ¸ Ý Ò Ø Ó Ò ¸ Ñ Ø Ö

A ×

m × n ̧ Ø Ø × Ø Ö Ò × Ô Ó ×

A′

Ñ Ù × Ø n × m

8/14/2019 L3 мт101


Ü Ñ Ô Ð Ó ÖD =

1 0 40 3 74 7 2

Ø × Ø Ö Ò × Ô Ó × D

′=

1 0 40 3 7

4 7 2

= D

A Ñ Ø Ö Ü × Ø Ó × Ý Ñ Ñ Ø Ö

A′ = A º

È Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ì Ö Ò × Ô Ó × ×

½ º (A′)′ = A

¾ º(A + B)′ = A′ + B′

¿ º

(AB)′ = B′A

8/14/2019 L3 мт101


n ¹ Ö Ñ Ò Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ø Ò Õ Ò Ö Ù Ù

A Ñ Ø Ö Ý Ò Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ

detA = |A| = △A

A=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

detA

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

A Ñ Ø Ö Ý Ò

i Ö Ñ Ö

k Ù Ö Ò Ý Ö Ü Ð Ü

(n − 1) Ö Ñ Ò Ñ Ø Ö Ý Ò Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ

n Ö Ñ Ò Û Ö Ø Ñ Ø Ö Ý Ò

aik Ð Ñ Ò Ø Ò Ñ Ò Ó Ö M ik Ø Ñ Ð Ò

º

M ik ¹ (−1)i+k Ø Ñ Ø Û × Ò Ý

aik Ð Ñ Ò Ø Ò Ð Ö Ý Ò Ð Ø

Ò Ö Ð

Aik = (−1)i+k

M ik Ø Ñ Ð Ò

º

æ Ñ Ö Õ Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ i

Ö Ñ Ö ̧ k

Ù Ö Ò Ö Ò ð Þ Ð Ó Ð Ó Ü

Ò Þ Ö Ð Ò ð Ò Ü Ò Ý Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ø Ó Ó Ó Ø Ò Ò º

½ ¼

8/14/2019 L3 мт101


A Ñ Ø Ö Ý Ò

k ¹ Ù Ö Ò Ý Ò Þ Ö

|A| =

ni=1

aikAik =

ni=1

(−1)i+kaikM ik

A Ñ Ø Ö Ý Ò

i ¹ Ö Ñ Ö Ò Þ Ö

|A| =

nk=1

aikAik =

nk=1

(−1)i+kaikM ik

Ì Ö Ì Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ò Ð ð Ò Ñ Ö Ò ́

Ò Ý Ò µ

Ð Ñ Ò Ø Ö Ñ Ö Ò

́ Ò Ý Ò

µ Ð Ñ Ò Ø Ò Ð Ö Ý Ò Ð Ø Ö Ö Ð Ò Ñ × Ò Ò Ð Ö

Ø Ø Ø Ò Ò º

Ö Ö Ü Ð Ð

n

j=1

akjAij = 0,

n

i=1

aijAik = 0

Ø Ò Ø Ð ò Ñ Ø Ð Ò × Ò º

½ ½

8/14/2019 L3 мт101


Â

Ù Ö Û Ù Ö Ö Ñ Ò Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ò Ü Ù Û ð

a11A21 + a12A22 + a13A23 = − a11

a12 a13a32 a33

+ a12

a11 a13a31 a33

− a13

a11 a12a31 a32

=

= −

a11 a12 a13a11 a12 a13a31 a32 a33

= 0.

½ ¾

8/14/2019 L3 мт101


8/14/2019 L3 мт101


8/14/2019 L3 мт101


1 2 3 4

2 1 3 1−3 −2 1 35 9 −2 −1

=

−3 0 −3 2

2 1 3 11 0 7 5

−13 0 −29 −10

= (−1)2+2 · 1 ·

−3 −3 21 7 5

−13 −29 −10

=

=

0 18 17

1 7 50 62 55

= (−1)2+1 · 1 · 18 1762 55

= 17 · 62 − 18 · 55 =

=18 · (62 − 55) − 62 = 126 − 62 = 64

Ì Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ò Ó Ð Ó Ò Ð Ò Ð ð Ò Ø Ð Ý Ò Ð Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ò

Û Ð Ù Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ù Ö Û Ð Ò Ü Ð Ö Ø Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ò º

æ Ñ Ö Õ Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ ̧

Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ò Õ Ò Ö Ù Ù Ý Ð Ò Ü Ù Û Ö Ð Ø

Ü Ù Ö Û Ð Ò Ü Ð Ö Ø Ð Ð Ó Ð Ò Ó º

Á Ñ Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ Ò ð Ó Ð Ó Ò Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò º

½

8/14/2019 L3 мт101


Ì Ö ́

Ä Ô Ð × Ý Ò Ø Ó Ö Ó Ñ µ |A| =

B 0C D

= |B| · |D|

Â

|A| =

2 3 −2 14 2 3 46 7 2 22 −3 4 −1

=

l2 = l2 − 2l1

l3 = l3 − 3l1l4 = l4 − l1

=

2 3 −2 10 −4 7 20 −2 8 −10 −6 6 −2

=

l3 = l3 − 1

2l2

l4 = l4 − 3

2l2

=

=

2 3 −2 10 −4 7 20 0 9

2−2

0 0 −9

2−5

= (l4 = l4 + l3) =

2 3 −2 10 −4 7 20 0 9

2−2

0 0 0 −7

= (−1)1+1 · 2 ·

−4 7 2

0 9

2−2

0 0 −7

=

=2 · (−1)1+1

· (−4) ·9

2

−20 −7

=2 · (−4) ·9

2 · (−7) = 4 · 63 = 252.

½

8/14/2019 L3 мт101


Í Ö Û Ù Ù Ñ Ø Ö

n Ö Ñ Ò Û Ö Ø Ñ Ø Ö

A ¹

Ò Ü Ù Û ð

A · B = E Ü

B Ñ Ø Ö Ó Ö Ò Û Ð Ø Ò Ö Ù Ù Ò Ù Ö Û Ù Ù Ñ Ø Ö Ò

º

C · A = E Ü

C Ñ Ø Ö Ý Þ Ò Ù Ö Û Ù Ù Ñ Ø Ö Ò

º

Ö Û Ñ Ø Ö Ý Ò Ö Ù Ù Ò ̧

Þ Ò Ù Ö Û Ù Ù Ñ Ø Ö Ò ð Ó Ö Ò Û Ð Ø Ö Ò ð

Ü Ó Ó Ö Ó Ò Ó Ó Ø Ò Ò º

C = C · E = C (AB) = (CA)B = E · B = B ⇒ C = B = A−1.

Ì Ö Ã Û Ö Ø Ñ Ø Ö A

Ò ð Ù Ö Û Ù Ù Ø Ü⇐⇒

Ò ð Ø Ò Ø Ó Ó Ö Ü Ó Ð Ó Õ|A|

Ò ð

Ø × ò Ð Ø Ü ò Û Ð ñ Ñ º º

Ü Ð Ü Ü Ñ Ø Ö Ü ́

Ò Ó Ò × Ò Ù Ð Ö Ø Ý

µ

A−1=1

|A|· B.

Ò

B =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

· · · · · · · · · · · ·A1n A2n · · · Ann

=

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

· · · · · · · · · · · ·An1 An2 · · · Ann

T

= adjA

½

8/14/2019 L3 мт101


8/14/2019 L3 мт101


Ì Ò

adjB = 21 −7 5

6 31 −89 3 12

À Ò

B

−1

=

1

99

21 −7 5

6 31 −89 3 12

Ç Ó Ó Ù Ö Û Ù Ù Ñ Ø Ö Ý Ó Ð Ó Ü Ö Ò Ò Ö Ý Û Õ Þ ð º

Ò Ö Ò ð A Ñ Ø Ö Ý Ò Ö E Ñ Ø Ö Õ ̧ n × 2n Ü Ñ × Ø (A|E ) Ñ ¹

Ø Ö Þ Ó Ü Ó Ó Ó Ü ò Ð Ö Ü Ù Û Ö Ð Ø Ü Ü Þ Ñ Ö

(E |A−1) Ñ Ø Ö Ý Ó Ð Ò Ó

º

Ò Ñ Ø Ö Ù A−1

Ñ Ø Ö Ò ð Ò Ó Ð Ó Ü Ù Ö Û Ù Ù Ñ Ø Ö ñ Ñ º

Â A =

2 1 0

3 0 57 6 4

Ó ÐA−1

Ó Ð º

½

8/14/2019 L3 мт101


|A| =

2 1 03 0 5

7 6 4

= −37 = 0.

=⇒

(A|E ) =

2 1 0 1 0 03 0 5 0 1 0

7 6 4 0 0 1

∼

2 1 0 1 0 00 3 −10 3 −2 0

0 −5 −8 7 0 −2

∼

6 0 −10 −3 0 00 3 −10 3 −2 0

0 0 −74 36 −10 −6

∼

∼

−222 0 0 −180 −24 30

0 111 0 −69 −24 300 0 37 −18 5 3

∼

1 0 0 30

37

4

37− 5

37

0 1 0 −23

37− 8

37

10

37

0 0 1 −18

37

5

37

3

37

A−1 =

30

37

4

37− 5

37

−23

37− 8

37

10

37

−1837

537

337

= −

1

37

−30 −4 523 8 −10

18 −5 −3

.

¾ ¼

8/14/2019 L3 мт101


Å Ø Ö Ý Ò Ö Ò º

A = (aik)mn Ñ Ø Ö Ý Ò ò Ñ Ö Ò

s Ö Ñ Ò Ñ Ò Ó Ö Ø × ò Ð Ø

º

Ì Ü s + 1

Ö Ñ Ò Ü Ñ Ò Ó Ö Ò ð Ø Ø Ø Ò Û Ð Ø Ö Ø × ò Ð ¹

Ø s

Ö Ñ Ò Ñ Ò Ó Ö Ý A

Ñ Ø Ö Ý Ò × Ù Ù Ö ð Ñ Ò Ó Ö Ò º

Ë Ù Ù Ö ð Ñ Ò Ó Ö Ò ð Ñ Ø Ö Ü Ü Ó Ð Ò Ó º A

Ñ Ø Ö Ý Ò × Ù Ù Ö ð Ñ Ò Ó Ö Ò ð

s Ö Ñ Ø Ü

s ¹ × Ü Ö Ñ Ò Ü Ñ Ò Ó Ö Ò ð Ø Ø Ø Ò Ò

º

Å Ø Ö Ý Ò × Ù Ù Ö ð Ñ Ò Ó Ö Ý Ö Ö Ù Ù Ð Ñ Ö × Ù Ù Ö ð Ñ Ö ̧

Ò Ù ¹

Ù Ý × Ù Ù Ö ð Ò Ù Ù Ò º

Å Ø Ö Ý Ò × Ù Ù Ö ð Ñ Ò Ó Ö Ý Ò Ö Ñ Ø Ò Ö Ò Ò º

º Ü º Å Ø Ö Ý Ò Ö Ò Ò ð Ù Ñ Ò Ü Ñ Ö Ð Ñ Ö Ò

́ Ò Ù Ù Ý Ò

µ Ø Ó Ó Ø Ó Ø Ò Ò

º

0 ≤ r(A) ≤ min{m, n}

¾ ½

8/14/2019 L3 мт101


Å Ø Ö Ý Ò Ö Ò Ó Ð Ó Ü Ò × Ò Ü Ó Ö Ö º

½ º ò Ð Ö Ü Ù Û Ö Ð Ø Ý Ò Ö

Å Ø Ö Ù Ù Ü ò Ð Ö Ü Ù Û Ö ¹

Ð Ø Ü Ü

Ö Ò Ò ð Ö Õ Ð Ü º

Á Ñ Ü ò Ð Ö Ü Ù Û Ö Ð Ø Ü Ü Þ Ñ Ö × Ù Ù Ö ð Ñ Ò Ó Ö Ò ð Ð

Ü Ö Ù Ñ Ø Ö Ù Ù Ð Ò Ü Ò Ý Ñ Ø Ö Ý Ò Ö Ò Ó Ð Ó º

Ë Ù Ù Ö ð Ñ Ò Ó Ö Ò ð Ö Ü Ù Ö Û Ò Ü Ð Ö Ø Ó Ð Ò Ó º

Bmn (s ≤ m, s ≤ n), (s = m ≤ n), (s = n ≤ m)

¾ º Å Ò Ó Ö Ü Ö Ð Ü Ö º

A ¹

Ý Ò ò Ñ Ö Ò

k ¹

Ö Ñ Ò

M = 0 Ñ Ò Ó Ö Û Ò

º

Á Ü Û Õ Ð Ò Á Á Ö Ñ Ò Ñ Ò Ó Ö Û º

Ö Ò ðM ¹

Ý Ü Ö Ð × Òk + 1 ¹

Ö Ñ Ò

Ñ Ò Ó Ö Ù Ù Ý Ó Ó Þ Ò º C 1n−k ·C 1m−k.

Ö Û Ø Ö Ò ð Ø Ø Ø Ò Û Ðr(A) = k ̧

× Ù Ù Ö ð Ñ Ò Ó Ö Ò ðM

Ó Ð Ò Ó º

Ö ÛM ¹

Ý Ü Ö Ð × ÒM ′

× Ò ò Ñ Ö Ò Ñ Ò Ó Ö Ò ð Ø × ò Ð Ø Û Ð

M ¹ Ý Ü Ö Ð Ü Ð Ð Þ Ó × Ó Ó

M ¹ Ý Ò Ó Ö Ó Ò

M ′ ¹ Ø Û ð Ñ Ò Ü Ð Ð

Û Ø Ò º

Ü Ñ Ø Õ Ð Òk = min{m, n}

Ü Ö Ø Ð Ò Ð Ð Û Ø Ó Ð Ò Ó º

Ò A ¹

Ñ Ø Ö Ý Ò Ö Ò Ò ðr(A) = k = min{m, n}

Ó Ð Ò Ó º

¾ ¾

8/14/2019 L3 мт101


Â

A =

2 0 −1 0 13 −2 5 1 5

−1 1 2 4 −24 −3 3 5 0

Ó Ð

r(A) ¹

Ó Ð º

M = M 1212 =

2 03 −2

= −4 = 0.

M 123123 =

2 0 −13 −2 5

−1 1 2

=

0 0 −113 −2 53 1 2

= −(13 + 6) == −19 = 0.

M 123123 = M ′ ¹ Ü Ö Ð × Ò Ü Ó Ö Ñ Ò Ó Ö

º

M 1234

1234

=

2 0 −1 03 −2 5 1

−1 1 2 44 −3 3 5

=

0 0 −1 013 −2 5 1

3 1 2 410 −3 3 5

= −1 · 13 −2 13 1 4

10 −3 5 = −42 = 0.

=⇒r(A) = 4.

¾ ¿

Documents

L3 мт101