8/3/2019 L. Woltjer- A Theorem on Force-Free Magnetic Fields

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P r o c e e d i n g s o f t h eNATIONAL ACADEMY OF SCIENCES

V o l u m e 4 4 N u m b e r 6 * J u n e 1 5 , 1 9 5 8

A THEOREM ON FORCE-FREE MAGNETIC FIELDSBY L . WOLTJER

UNIVERSITY OF CHICAGOC o m m u n i c a t e d b y S . C h a n d r a s e k h a r , M l a y 5 , 1 9 5 8

C h a n d r a s e k h a r a n d W o l t j e r 1 h a v e s h o w n t h a t t h e f o r c e - f r e e m a g n e t i c f i e l d s w i t h" c o n s t a n t a " c a n b e r e l a t e d t o a v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e . H e r e a i s t h e s c a l a r f u n c -t i o n i n t h e e q u a t i o n

c u r l H = a H , ( 1 )w h i c h c h a r a c t e r i z e s t h e f o r c e - f r e e f i e l d s . T h i s e q u a t i o n f o l l o w s f r o m t h e d e f i n i t i o no f f o r c e - f r e e m a g n e t i c f i e l d s a s f i e l d s i n w h i c h t h e L o r e n t z f o r c e v a n i s h e s .

I t w a s s h o w n t h a t t h e f o r c e - f r e e f i e l d s w i t h c o n s t a n t a a r e a m o n g t h e f i e l d s w i t hmaximum m a g n e t i c e n e r g y f o r a g i v e n mean s q u a r e c u r r e n t d e n s i t y . A l t e r n a t i v e l y ,t h i s w a s f o r m u l a t e d b y s t a t i n g t h a t t h e s e f i e l d s a r e among t h e f i e l d s o f minimumd i s s i p a t i o n f o r a g i v e n m a g n e t i c e n e r g y .T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s why t h e a b o v e - m e n t i o n e d f o r m u l a t i o n s a r e n o t e n t i r e l ys a t i s f a c t o r y . I t i s n o t o b v i o u s p h y s i c a l l y why we s h o u l d c o n s i d e r t h e mean

s q u a r e c u r r e n t d e n s i t y a s g i v e n . M o r e o v e r , t h e s e f o r m u l a t i o n s d c n o t l e a d u si m m e d i a t e l y t o f o r c e - f r e e f i e l d s b u t t o a w i d e r c l a s s o f f i e l d s , w h i c h s a t i s f y t h ee q u a t i o n

c u r l c u r l H = a 2 H ; ( 2 )a n d a d d i t i o n a l a r g u m e n t s a r e t h e n n e e d e d t o a r r i v e a t e q u a t i o n ( 1 ) . D i f f i c u l t i e sa l s o a r i s e b e c a u s e o f t h e p r e s e n c e o f s u r f a c e c u r r e n t s .

I n t h i s p a p e r w e s h a l l p r o v e a n o t h e r v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e w h i c h s t a t e s t h a t t h ef o r c e - f r e e f i e l d s w i t h c o n s t a n t a r e p r e s e n t t h e s t a t e o f l o w e s t m a g n e t i c e n e r g y i n ac l o s e d s y s t e m . A p r i n c i p l e o f t h i s k i n d s e e m s i n t u i t i v e l y o b v i o u s , b e c a u s e , i f t h em a g n e t i c e n e r g y i s a m i n i m u m , t h e f i e l d c a n p r o d u c e n o m o t i o n s , a n d t h e r e f o r et h e L o r e n t z f o r c e m u s t v a n i s h . T h e p r o o f o f t h e p r i n c i p l e c o n s i s t s i n t w o p a r t s :W e f i r s t s h o w t h a t i n a c l o s e d s y s t e m

fA c u r l AdV = c o n s t a n t , ( 3 )i f t h e g a u g e o f t h e v e c t o r p o t e n t i a l A i s s u i t a b l y c h o s e n . N e x t we s h o w t h a t , i f wem i n i m i z e t h e m a g n e t i c e n e r g y w h i l e s a t i s f y i n g e q u a t i o n ( 3 ) , w e o bt a i n t h e f o r c e -f r e e c o n d i t i o n w i t h a c o n s t a n t a .I f t h e c o n d u c t i v i t y i s i n f i n i t e , t h e i n d u c t i o n e q u a t i o n i s

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A ST RONOMY: W O LTJ E R

y H = c u r l ( v X H ) . ( 4 )w h e r e v i s t h e f l u i d v e l o c i t y . I n t r o d u c i n g t h e v e c t o r p o t e n t i a l a n d c h o o s i n g t h eg a u g e s o t h a t t h e s c a l a r p o t e n t i a l v a n i s h e s , t h i s b e c o m e s

= v X c u r l A . ( 5 )T h e r e f o r e

c u r l A A = 0 . ( 6 )a tM a k i n g u s e o f t h i s r e l a t i o n , we o b t a i n , o n i n t e g r a t i n g b y p a r t s ,

- f A * c u r l AdV = f A * c u r l - d V= J c u r l A - dV + JA X -dS=O. ( 7 )v t b t

T h e s u r f a c e i n t e g r a l v a n i s h e s b e c a u s e we c o n s i d e r a c l o s e d s y s t e m . F o r t h e n t h em o t i o n s i n s i d e t h e s y s t e m may n o t a f f e c t t h e v e c t o r p o t e n t i a l o u t s i d e , a n d , a s t h ev e c t o r p o t e n t i a l i s c o n t i n u o u s , e v e n w h e n s u r f a c e c u r r e n t s a r e p r e s e n t , Z A / l t mustv a n i s h a t t h e s u r f a c e o f t h e s y s t e m .W e n o w a s k f o r t h e m i n i m u m o f t h e m a g n e t i c e n e r g y ,

8 f c u r l A I 2 d V , ( 8 )s u b j e c t t o c o n d i t i o n ( 3 ) . M a k i n g u s e o f a L a g r a n g i a n m u l t i p l i e r a , we f i n d t h a tt h i s r e q u i r e s

I [ 2 c u r l A - c u r l 6 A - a ( b A - c u r l A + A c u r l 6 A ] d V = 0 . ( 9 )I n t e g r a t i n g b y p a r t s a n d o b s e r v i n g t h a t O A m u s t v a n i s h a t t h e s u r f a c e f o r t h e r e a -s o n s we h a v e a l r e a d y g i v e n , we o b t a i n

I [ c u r l c u r l A - a c u r l A ] 6 b A d V = 0 . ( 1 0 )S i n c e 5 A i s a r b i t r a r y , t h e i n t e g r a n d m u s t v a n i s h i d e n t i c a l l y , a n d we m u s t h a v e

c u r l c u r l A - a c u r l A = 0 . ( 1 1 )B e c a u s e o f t h e d e f i n i t i o n o f t h e v e c t o r p o t e n t i a l , t h i s i s e q u i v a l e n t t o

c u r l H = a H . ( 1 2 )T h u s t h e f o r c e - f r e e f i e l d s w i t h c o n s t a n t a r e p r e s e n t t h e l o w e s t s t a t e o f m a g n e t i c e n e r g yw h i c h a c l o s e d s y s t e m may a t t a i n .

T h i s h a s t w o i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e s . I t p r o v e s i n a g e n e r a l way t h e s t a b i l i t y

P R O C . N . A . S9 0

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BIOCHEMISTRY: BASSHAM ET A L .o f f o r c e - f r e e f i e l d s w i t h c o n s t a n t a . U n d e r r e s t r i c t e d c i r c u m s t a n c e s t h e s t a b i l i t yo f f o r c e - f r e e f i e l d s w i t h c o n s t a n t a h a s b e e n d e m o n s t r a t e d e l s e w h e r e m o r e e x -p l i c i t l y . 2 I t a l s o s h o w s t h a t i n a s y s t e m i n w h i c h t h e m a g n e t i c f o r c e s a r e d o m i n a n ta n d i n w h i c h t h e r e i s a m e c h a n i s m t o d i s s i p a t e t h e f l u i d m o t i o n s t h e f o r c e - f r e e f i e l d sw i t h c o n s t a n t a a r e t h e n a t u r a l e n d c o n f i g u r a t i o n s . T h e p r e s e n c e a n d s t a b i l i t y o ff o r c e - f r e e f i e l d s w h e n a i s n o t a c o n s t a n t a r e n o t e x c l u d e d b y t h e p r e s e n t a r g u -m e n t s , a l t h o u g h t h e y a p p e a r s o m e w h a t u n l i k e l y , a s t h e y a r e n o t s t a b l e a g a i n s tl a r g e p e r t u r b a t i o n s .S o m e m e c h a n i s m i s n e e d e d t o d i s s i p a t e t h e v e l o c i t i e s . I n a s t r o p h y s i c a l c a s e st h e v i s c o s i t y i s t o o s m a l l t o b e e f f e c t i v e . B u t i t s e e m s n o t i m p r o b a b l e t h a t s u f f i -c i e n t d i s s i p a t i o n may b e o b t a i n e d b y t h e F e r m i m e c h a n i s m o f t h e a c c e l e r a t i o n o fc o s m i c - r a y p a r t i c l e s . S i m i l a r s u g g e s t i o n s h a v e a l r e a d y b e e n m a d e f o r t h e d i s s i p a t i o no f m o t i o n s i n t h e C r a b n e b u l a ' a n d i n i n t e r s t e l l a r s p a c e . 4 T h e p r e s e n t d i s c u s s i o n i sr e l e v a n t i f t h e c o n d u c t i v i t y i s s u f f i c i e n t l y l a r g e , i . e . , i f t h e t i m e o f d e c a y o f t h em a g n e t i c f i e l d i s l o n g e r t h a n t h e d a m p i n g t i m e f o r t h e m o t i o n s . T h i s c o n d i t i o nw i l l p r o b a b l y b e f u l f i l l e d i n m o s t a s t r o p h y s i c a l s i t u a t i o n s .

I t i s a p l e a s u r e t o a c k n o w l e d g e many v a l u a b l e d i s c u s s i o n s o n f o r c e - f r e e f i e l d sw i t h P r o f e s s o r S . C h a n d r a s e k h a r .

N o t e a d d e d i n p r o o f . S i n c e t h i s p a p e r w a s w r i t t e n we h a v e f o u n d t h a t t h e h y d r o m a g n e t i c e q u a -t i o n s h a v e o t h e r i n t e g r a l s b e s i d e s t h e i n t e g r a l ( 3 ) . T h e v e r y g e n e r a l e q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n sw h i c h may b e d e r i v e d f r o m t h e s e i n t e g r a l s w i l l b e d i s c u s s e d i n a f o r t h c o m i n g p a p e r .

1 S . C h a n d r a s e k h a r a n d L . W o l t j e r , "On F o r c e - F r e e M a g n e t i c F i e l d s , " t h e s e P R O C E E D I N G S , 4 4 ,2 8 5 , 1 9 5 8 .2 L . W o l t j e r , " T h e S t a b i l i t y o f F o r c e - F r e e M a g n e t i c F i e l d s , " A p . J . ( i n p r e s s ) .3 L . W o l t j e r , " T h e C r a b N e b u l a , " B . A . N . , 1 4 , 3 9 ( N o . 4 8 3 ) , 1 9 5 8 .4 E . N . P a r k e r , " O r i g i n a n d D y n a m i c s o f C o s m i c R a d i a t i o n , " P h y s . R e v . , 1 0 9 , 1 3 2 8 , 1 9 5 8 .

THE EFFECTS OF HYDROXYLAMINE ON THE C 1 4 0 2 FIXATIONPATTERN DURING PHOTOSYNTHESIS*BY J . A . B A S S H A M , M. K I R K , AND M. C A L V I N

RADIATION LABORATORY AND DEPARTMENT OF CHEMISTRY, UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY,CALIFORNIA

C o m m u n i c a t e d M a r c h 2 5 , 1 9 5 8E v i d e n c e f o r a n u n s t a b l e p r o d u c t o r p r o d u c t s f o r m e d i n t h e e a r l y s t a g e s o f c a r b o nf i x a t i o n d u r i n g p h o t o s y n t h e s i s b y a l g a e h a s b e e n p r e s e n t e d b y M e t z n e r e t a l . I I n

a n a t t e m p t t o s t a b i l i z e , i s o l a t e , a n d c h a r a c t e r i z e s u c h u n s t a b l e p r o d u c t s , M e t z n e re t a l . 2 a d d e d h y d r o x y l a m i n e t o t h e a l g a e j u s t b e f o r e , d u r i n g , o r a f t e r a s h o r t p e r i o do f p h o t o s y n t h e s i s w i t h C ' 4 0 2 .A n a l y s i s o f t h e p r o d u c t s o f s u c h f i x a t i o n b y t h e u s u a l t e c h n i q u e s o f p a p e r c h r o m a -t o g r a p h y a n d r a d i o a u t o g r a p h y l e d t o o b s e r v a t i o n o f a n a p p a r e n t l y ne w r a d i o a c t i v ec o m p o u n d o n t h e c h r o m a t o g r a m . T h i s c o m p o u n d o r " s p o t " u s u a l l y a p p e a r e d i nt h e t w o - d i m e n s i o n a l p a p e r s a s a t h i n s t r e a k ( i t s l o n g d i m e n s i o n i n t h e p h e n o l d i r e c -t i o n ) s o m e w h e r e b e t w e e n a s p a r t i c a n d m a l i c a c i d s . O b s e r v a t i o n s t h a t t h e s p o t

V O L . 4 4 , 1 9 5 8 4 9 1