L 7PR Laplace Circule Cilinder 12 13 - uam.es · Solucionamos usando separacion variables (SV) 2 1. 3 Métodos Matemáticos en Física Lección_7_PROBLEMAS_Laplace_Circule Ec. Para

1

Métodos Matemáticos en FísicaLección_7_PROBLEMAS_Laplace_Circule

PROBLEMA 1

Calculo de distribución de potencial electroestáticoAnillo: con potencial exterior/interior conocido

2

1

ANTES: vamos a discutir primero solución general de Ec. Laplace en coordinadas cilíndricas (2D)

2


Formulación MATEMATICA

Solucionamos usando separacion variables (SV)

2

1

3


Ec. Para parte radial es

2

1

*

4


2

1Como vimos antes, si

Sustituyendo solucion en Ec * encontramos

Ya vimos (L7A-WEB) que: para n=0 la Ec. (*) tiene soluciones tipo (1) y log(ρ)

5


2

1Los ”ladrillos“ de la solución de Ec. Laplace en sistema circular 2D son:

Solucion general de Ec. Laplace en coordenados cilíndricas 2D:

6


2

1

Usando ortogonalidad de autofunciones (“ladrillos” de solución), obtenemos ecuaciones para coeficientes [n=0 Const(ϕ)]

Se soluciona en respecto de coeficientes a0, b0

1

7


2

1

Usando ortoganalidad de autofunciones (“ladrillos” de solución ), obtenemos ecuaciones para coeficientes [n≠0 ≠Const(ϕ)]

Se soluciona en respecto de coeficientes an, bn

2

8


2

1

Usando ortoganalidad de auto funciones (“ladrillos” de solución ), obtenemos ecuaciones para coeficientes [n≠0 ≠Const(ϕ)]

Se soluciona en respecto de coeficientes cn, dn

3

9


Solución general:Ver inicio de esta lección y Cap 7 APL:

2

1

Usando CC

PROBLEMA 3 complicamos mas CC

Todos coeficientes excepto a1, b1, c1, d1, son iguales a cero


2

1

Sustituyendo valores ρde CC en Solución general , Como es valido para todos ϕ

Solución final:

u(ρ,ϕ)=(-ρ/3+4/3ρ)cosϕ+2/3[ρ-1/ρ)senϕ

11


2

1

Volvemos a PROBLEMA 1

Calculo de distribución de potencial electroestáticoAnillo: con potencial exterior/interior conocido

12


Usando CCPara a0, b0

Usamos CC para hallar an,bn, (n≠0)

2

10 0

0

0

0

ln(1) 00

ln(2) ( )0

a ba

b Cosb

ϕ

+ ==> =

==> =

13


Usamos CC para an,bn, 2

1

2

0

1 1

11 1 1

NO trivial sol

1 1 0

1 12 ( ) (

o para n=1

)2

1 1 01 1 22 12 2

n n

nn n n

a b

a b Cos Cos

Sol

n d

a b

a b

π

ϕ ϕ ϕπ

ππ

× + × =

× + × =

=>

× + × =

× + × = =

∫

14


Usando CC 2

1

0n nc d= =

15


Aunque fuimos por vía formal (formulas 1-3), también se podria intuir que la función que satisface CC y es combinación lineal de Soluciones de Ec. es

2

1Solución:

16


RECORDAMOS Solución general Ec. Laplace en disco:

2

1

17


Hallar distribucion estacionaria de temperatura en un disco con radios iguales a 2cm y 1cm si temperatura inferior es 2K y exterior es 1K

2

1

PROBLEMA 2 CLASE

18


Hallar distribricion estacionaria de temperatura en un disco con radios iguales a 2cm y 1cm si temperatura inferior es 2K y exterior r es 1K

2

1

PROBLEMA 2 CLASE

Solución no depende de ángulo

m=0

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Solución general para parte radial

2

1

Ecuación (*) con n (m)=0

Usando CC

Solución final

20


Hay que “eliminar” soluciones que tienen anomalías para r=0 de solución general, en particular:

RConvertimos anillo en un discoConsideramos solución general del problema:

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Con coeficientes calculados usando CC:

RNos queda solución general:

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RPROBLEMA 4CLASE


Integrales de 0 2π de Cos2(nϕ) (función simétrica en respecto de ϕ=π) con Cos(nϕ) son finitos

Integrales de 0 2π de Sen(nϕ) (función anti-simétrica en respecto de ϕ=π) con Cos(nϕ) (función simétrica ) son nulos (bn=0)

Se quedan solo coeficientes a0 y an

[ ]2 1( ) cos 2 12

cos A A= +como

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Formulación matemática:

R2=∞Convertimos anillo enhuecoConsideramos solución general de problema EXTERNO:

24


Solución general será:

R2=∞Hay que “eliminar” soluciones que tienen anomalías para ρ=∞, en particular:


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R2=∞Problema a resolver en CLASE

Usando ya conocida solución general con coeficientes an, bn :

[ ]3 1( ) 3* ( ) (3 )4

Sen A sen A sen A= −

26


[ ]3 1( ) 3* ( ) (3 )4

Sen A sen A sen A= −

Usamos relación de tablas R2=∞

Es evidente que a0 y todos an son iguales a cero

[ ]2

0

1 1 3 3 ( )4nb sen sen sen n d

π

ϕ ϕ ϕ ϕπ

= −∫

Solo bn con n=1,3 son finitos

Solución:

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Analógicamente a anterior, desarrollamos la solución de Ec. Laplace para circulo (0<ρ<R) con condición de contorno de segunda especie: [Ej. Difusion en CELULA ANIMAL en 2D]

En el contorno:

Solución general

Con CC: f(ϕ)

coeficientes

Q

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En el contorno(problema exterior):

coeficientes

Analógicamente a anterior, desarrollamos la solución de Ec. Laplace para problema exterior al circulo (ρ>R) con condición de contorno de segunda especie: [Ej. Flujos de Calor en la lamina con hueco]

=-f(ϕ)Q

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Metodo de solución de Problemas Ec. Poissonpara anillo y circulo

1. Se busca una solución particular u12. Se hace cambio de variables u=u1+v3. El problema para v se transforma a solución

de problema Laplace + nuevos CC

Problema: hallar la temperatura de un cilindro infinito con radio R y con distribución de densidad de fuentes de calor f=-xy y con superficie en contacto con foco térmico a temperatura cero (Cilindro infinito)

f=xy

u(R,ϕ)=0

*

30


Solución: transformando en variables cilíndricos

Solución buscamos en forma de suma de

dos funciones: u=u1+vf=xy

u(R,ϕ)=0

u1 es solución particular de Ec. No-homogénea

v - solución de Ec. Laplace con CC que sumando a CC para u1 dan CC de problema general

41

1

1 sin(2 )2

0( , ) ( , )

u

vv R u R

ρ ϕ

ϕ ϕ

Δ = −

Δ == −

31


Solución particular buscamos en forma

f=xy

u(R,ϕ)=0

Sustituyendo en Ec. (*)

Con cambio de variable

32


f=xy

u(R,ϕ)=0

Ec. para funcion w(t)

2

( )`

`` ` `` `

t

tt

t t t t ttt

w w ew w e

w w e e w e w e w e

=

= ×

= × × + × = × + ×

**

33


Es Solución particular de (**) comprobado

f=0

v(R,ϕ)≠0

Entonces

como

34


f=0

v(R,ϕ)≠0Vamos ahora hallar forma de otra parte se solucion

Problema para v es de tipo Ec. Laplace

35


Solución de problema según visto anteriormenteSOLUCION GENERAL

Entonces solución final será:

f=0

v(R,ϕ)≠0

Usando CC+otroganalidad de sen(nϕ)

36


PROBLEMA: hallar potencial de campo eléctrico dentro de cilindro infinito con hueco central (a<ρ<b), cuando dentro se encuentran las cargas eléctricas con densidad f=A*(x2-y2).La superficie interior se mantiene a potencial =1 y la superficie exterior tiene campo eléctrico igual a cero

Formulamos problema en coordinadas cilíndricas

u=1

uρ=0

f=A*(x2-y2)

37


Buscamos solución usando problema auxiliar de modo que u=1

uρ=0

f=A*ρ2cos(2ϕ)

Solución evidente es

Buscamos solución como

Ec. 1 Ec. 2

v(a,ϕ)=0

38


Con CC

u=1

u=0

Ec. 1 se transforma en

f=A*ρ2cos(2ϕ)Dividiendo por cos(2ϕ)

Otra vez con sustitución

39


u=1

u=0

Solución general de Ec. Homogenea+ Sol. Particular

f=A*ρ2cos(2ϕ)

R en función de ρ

2

. PARTICULAR: como F*exp( t)F exp( t)-4Fexp( t)=Aexp(4t)=>

1=4 ; A=12

SOL α

α α α

α

40


Buscamos coeficentes usando CC u=1

u=0

f=A*ρ2cos(2ϕ)

41


u=1

u=0

Solución final

f=A*ρ2cos(2ϕ)

42


Problema a solucionar:

Primero tenemos que comprobar que el problema tiene solucióni.e. que:(C- circulo exterior)

PROBLEMA: tenemos un cilindro infinito con flujo de calor conocido sobre la superficie exterior du/dρ = cos3ϕHallar distribución de la temperatura interior de cilindro:

du/dρ = cos3ϕ

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De hecho:

Además, como:du/dρ = cos3ϕ

Los demás coeficientes an=0 (n≠1,3), bn =0

44


Solución final:

du/dρ = cos3ϕC- una constante de integración

Aparece porque solución no depende de temperatura de fondo

45


Nota: para poder solucionar problema similar pero para anillo ( cilindro infinito con hueco central, i.e. con (R1<ρ<R2)Debería cumplirse siguiente condición:

La solución también se obtendrá con la precisión de una constante de integración

46


Ec. Laplace en CILINDRO

FUNCIONES BESSEL Modificades de 1ra y de 2da especie (F. Bessel de argumento imaginario)

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Métodos Matemáticos en FísicaLección_7_PROBLEMAS_Laplace_Cilindro

Problema: hallar potencial de campo electroestático dentro de un cilindro (ρ<a, 0<z<l) si caras (discos) superior y inferior están a potencial cero y superficie lateral tiene potencial V0

l<∞

V0

u=0

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Problema: hallar potencial de campo electroestático dentro de un cilindro (ρ<a, 0<z<l) si caras (discos) superior y inferior están a potencial cero y superficie lateral tiene potencial V0 l<∞

V0

u=0

Formulación matemática

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Como CC no dependen de ángulo (ϕ) solución no dependerá de ángulo

Implementando separación de variables:

Sustituimos en Ec. Laplace:

Dividiendo por RZ

50


o

Es evidente que λ>0 En este caso solución es nula en caras superior y inferior

51


Con cambio de variable

Para hallar parte radial solucionamos Ec.Bessel para argumento imaginario

Ec. a solucionar

52


http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Modified_Bessel_functions_:_I.CE.B1.2C_K.CE.B1

Solución es combinación lineal de dos funciones Bessel modificadas de índice cero (o argumento imaginario o a veces Funciones Bessel Hiperbólicas

53


http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Modified_Bessel_functions_:_I.CE.B1.2C_K.CE.B1

NOTA: Como función MacDonald

Para x ∞

C2=0 ver pag. 35

54


Entonces:

Coeficientes cn hallamos de CC

Entonces:

55


De aquí:

Finalmente:

n=impar

n=par

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Campo eléctricoen el eje de cilindro (ρ=0)

como I0(0)=1

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