UNTUK BELAJAR

Agus SalimFakultas Ekonomi

UNTUK BELAJARSilabusHariIni

OptimisasiTanpaKendaladanAplikasinya(FungsidenganSatuVariabel) Introduction:optimizationproblem Optimumvs extremum values Interpretationoffirstandsecondderivatives Optimizationwithoutconstraint:singlevariablecase,usingfirstandhigherderivativetests

Necessaryvs sufficientcondition Nthderivativetest

UNTUK BELAJAROptimumvalueandExtremeValue

EconomicsisessentiallyascienceofChoises Tujuandiekonomiadalahmemaksimalkanataumeminimalkansesuatu(diistilahkanoptimalisasi) Memaksimalkankeuntungan Memaksimalkankepuasankonsumen Memaksimalkantingkatpertumbuhanperusahaanornegara Meminimalkanbiayaproduksidisatuperusahaan

Subjekperekonomianharusmenggambarkantujuannya(objectivefunction)dariperekonomian.Esensidariprosesoptimisasi(sederhana)menemukansatusetnilai,darivariabelyangdipilih.yangakanmemberikanextremumvaluedariobjectivefunction

Misal QCQRQ Tujuan : max Max tidak berarti max Q

UNTUK BELAJAR

y adalah objective function

0

y

x 0

y

x 0

y

x

0

y

x 0

y

x

A B C

D

E

F

I

JG

H

y = f(x)

(-)(-)

(+)(+)

x1 x2

Objective function : y = f(x); danRelative extreme : x = x01. f(x) = tidak ada2. f(x)=0

Kesimpulan

Differentiability lebih restrictive dibandingkancontinuity, karena membutuhkan sesuatu lebihdaripada continuity.

Continuity di satu titik hanya aturan yang melarang adanya gap, sedangkandifferentiability melarang adanya sharpness

Di ekonomi, fungsi umum memiliki differensiasidisemua titik domainnya

UNTUK BELAJARFirstDerivativetestforrelativeextremum

Objective functiony = f(x)Pada saat variable

x = x0 => f(x0) = 0Dan nilai fungsi saat x0, f(x) akan menjadi :a. Relatif maksimum, jika derivative f(x) berubah tanda dari (+) ke (-) dari sebelah kiri x0 ke sebelah kanannyab. Relatif minimum, jika derivative f(x) berubah tanda dari (-) ke (+) dari sebelah kiri x0 ke sebelah kanannyac. Bukan relatif maksimum atau minimum jika f(x) memiliki tanda yang sama di kedua sisi x0

0

y

x

I

J

(-)(-)

(+)(+)

x0 x0

y = f(x)

f(x0)=0

f(x0)=0

UNTUK BELAJARFirstDerivativeTest

dxdy

)(' xgdxdy

)(' xfdxdy

0

y

x 0

y

x

0 x

x

J K

K

j

(+)

(+)

(-)

(-)

y = f(x)y = g(x)

dxdy

0

j k

(a)

(a)

(b)

(b)

UNTUK BELAJARFirstDerivativeTest

dxdy

)(' xgdxdy )(' xfdx

dy

0

y

x 0

y

x

0 x 0 x

J K

K

J

(+)

(+)

(+)

(+)

y = f(x)y = g(x)

dxdy

UNTUK BELAJAR9876543210-1

908070605040302010

0

-10-20-30

x

y

x

y183612 23 xxxy

Tugas:1. U relative max di x = 2, coba u

x = 1 dan x = 3, bagaimana tanda f(x)-nya?

2. U relative min di x = 6, coba u x = 5 dan x = 7, bagaimana tanda f(x)-nya

UNTUK BELAJARSecondandHigherDerivatives

UNTUK BELAJAR

UNTUK BELAJAR0

y

xx1 x2 x3

AB

C

0

y

xx4 x4 x5

DE F

y = f(x)

y = g(x)

UNTUK BELAJARConditionforaRelatifExtremumCondition Maximum MinimumFOC-necessary f (x) = 0 f(x)=0SOC-necessary f(x) 0 f(x) 0SOC-sufficient f(x) < 0 f(x) > 0

Lihat contoh 1&2 hal 234: kerjakan di SWP

UNTUK BELAJAR

Conditionfor Profit Maximization

0Q

R,C

0Q

0Q

MR,MC

SOC

C

R

MR

MC

MR, MC 0

optimum

UNTUK BELAJAR1. Saat produksi berapa yang memaksimalkan keuntungannya? (Q*?)2. Berapa pula jumlah keuntungannya? (*)?

UNTUK BELAJAR

UNTUK BELAJARPerhatikanKembali

Ekonomi? TujuanEkonomi?

UNTUK BELAJARSelamat Belajar

UNTUK BELAJARReferensi

Chiang,AlphaC.,2005,FundamentalMethodsofMathematicalEconomic

Dowling,EdwardT.,3rd Ed,2001,IntroductiontoMathematicalEconomics

A

g

u

s

S

a

l

i

m

18